04空间力系
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第四章空间力系
• 各分力相连的顺序任意，但合成的结果是惟一的。
第四章 空间力系 Spatial Force System
静力学
n
2、解析法 各力沿坐标轴投影得:
FR = F1 + F2 + L + Fn = ∑ Fi
i =1
FRx = F1x + F2x + L + Fnx = ∑ Fix
i =1
n
FRy = F1y + F2y + L + Fny = ∑ Fiy
45o
静力学
D
F2
C F
30o 45o
（2） 列平衡方程
B
F =0 ∑ Fxx = 0
F =0 ∑ F yy = 0 F =0 ∑ Fzz = 0
F11 sin 45 oo − F22 sin 45 oo = 0
F1
α
F A sin 30 oo− F11 cos 45 oo cos 30 oo − F22 cos 45 oo cos 30 oo= 0 F A sin 30 − F cos 45 cos 30
1
第四章 空间力系 Spatial Force System
静力学
§4-1 空间汇交力系
Spatial Concurrent Force System 空间汇交力系：各力作用线不在同一平面而且汇交于一点。
一、力在直角坐标轴上的投影和力沿直角坐标轴的分解
1、空间任意力在轴上的投影
第四章 空间力系 Spatial Force System
16
第四章 空间力系 Spatial Force System
静力学
即：力Ｆ对 z 轴之矩，等于该力在垂直于 z 轴 平面上的投影F'对z 轴与投影面交点O之矩。
04空间一般力系
0,
xi yi
0 0 0
空间一般力系的平衡方程
10
zi
二、空间一般力系的平衡方程
F F F
xi yi
zi
M 0, M 0, M
0,
xi yi
0 0 0
zi
空间一般力系平衡的充要条件是：
各力在三个坐标轴上的投影的代数和及各力对三个轴 力矩的代数和都必须分别等于零。
Pz
200
FAy
Q
x
Px
Qx
FAx A x
FBx FAy B
Px Py D y
F
x
0
FAx FBx Px Q cos200 0
FAx 729(N)
19
C
解题步骤、技巧与注意问题： 1、解题步骤： ①选研究对象
②画受力图
③选坐标、列方程 ④解方程、求出未知数 2、解题技巧： ① 用取矩轴代替投影轴，解题常常方便。
空间一般力系向任一点简化可得到一个力和一个力偶。
这个力通过简化中心，称为力系的主矢，它等于各
个力的矢量和，并与简化中心的选择无关。
这个力偶的力偶矩矢称为力系对简化中心的主矩，
并等于力系中各力对简化中心之矩矢的矢量和，并
与简化中心的选择有关。
5
Fi FR M O M Oi
解析式：
FRx i FRy j FRz k FR
Fxi FRx
Fyi FRy
M O M Ox i M Oy j M Oz k
MOx M xi
M Oy M yi
Fzi FRz
M Oz M zi
6
空间一般力系简化结果的讨论： 1、 FR 0, MO 0
xi yi
0 0 0
空间一般力系的平衡方程
10
zi
二、空间一般力系的平衡方程
F F F
xi yi
zi
M 0, M 0, M
0,
xi yi
0 0 0
zi
空间一般力系平衡的充要条件是：
各力在三个坐标轴上的投影的代数和及各力对三个轴 力矩的代数和都必须分别等于零。
Pz
200
FAy
Q
x
Px
Qx
FAx A x
FBx FAy B
Px Py D y
F
x
0
FAx FBx Px Q cos200 0
FAx 729(N)
19
C
解题步骤、技巧与注意问题： 1、解题步骤： ①选研究对象
②画受力图
③选坐标、列方程 ④解方程、求出未知数 2、解题技巧： ① 用取矩轴代替投影轴，解题常常方便。
空间一般力系向任一点简化可得到一个力和一个力偶。
这个力通过简化中心，称为力系的主矢，它等于各
个力的矢量和，并与简化中心的选择无关。
这个力偶的力偶矩矢称为力系对简化中心的主矩，
并等于力系中各力对简化中心之矩矢的矢量和，并
与简化中心的选择有关。
5
Fi FR M O M Oi
解析式：
FRx i FRy j FRz k FR
Fxi FRx
Fyi FRy
M O M Ox i M Oy j M Oz k
MOx M xi
M Oy M yi
Fzi FRz
M Oz M zi
6
空间一般力系简化结果的讨论： 1、 FR 0, MO 0
第4章空间力系分解
合力的大小
FR ( Fx )2 ( Fy )2 ( Fz )2
Fx 方向余弦 cos( FR , i ) FR
Fy Fz cos( FR , j ) cos( FR , k ) FR FR
7
空间汇交力系的合力等于各分力的矢量和，合力的作用 线通过汇交点.
M 为合力偶矩矢，等于各分力偶矩矢的矢量和。
25
力偶系的合成（与汇交力系的计算完全相同）
合力偶矩矢
M Mi
M x Mix M y Miy Mz Miz
M M xi M y j Mzk
合矢量投影定理：Βιβλιοθήκη 合力偶矩矢的大小和方向余弦:
M
M M M
2 2 ix iy iz
2
M ix cos M
cos
M iy M
M iz cos M
26
空间力偶系平衡的充分必要条件是：合力偶矩矢等于零。
为代数量
z
即：力对轴之矩，等于力在垂直于
该轴的平面上的投影对轴与平面交 点之矩。 O x
y
特殊情况：
1、力与轴平行，矩为零。 2、力与轴相交，矩为零。
即： 力与轴位于同一平面内时，力对轴之矩为零。 16
合力矩定理
空间任意力系的合力对于任一轴的矩等于力系中所有各 力对于该轴的矩的代数和。（用于求力矩）
B
F
F
rBA rA
A
M rBA F
rB
O
23
2、空间力偶等效定理
作用在同一刚体上的两个力偶，如果力偶矩矢相等， 则它们彼此等效。
第四章空间力系
2 2 2 大小 M O [M O ( Fi )]x [M O ( Fi )]y [M O ( Fi )]z 2 2 2 [M x ( Fi )] [M y ( Fi )] [M z ( Fi )]
（4-19a）
' FR F2'
F R F1 F 2 Fn Fi
（4-3） （4-4）
或 其中
xi yi
F R F xi i Fyi j Fzi k
F , F , F
zi
为合力 FR 沿x、y、z轴的投影。
（4-5） （4-6）
空间汇交力系平衡的必要和充分条件是该力系的合力等于零。 由此得
y
方向 cos(MO , i ) M x (Fi ) MO
§4-4 空间任意力系向一点的简化●主矢和主矩 二、空间任意力系的简化结果分析 ' 1. FR 0, M O 0 简化结果：合力偶 合力偶矩矢
M O M O (Fi )
主矩与简化中心的位置无关
2、空间力偶的三要素：
（1）大小： M Fd （2）方位：垂直力偶作用面
（3）指向：力偶的转向
§4-3 空间力偶
3、空间力偶的性质： （1）力偶中两力在任意坐标轴投影的代数和为零； （2）力偶对任意点取矩都等于力偶矩，不因矩心的改变而改变； （3）只要保持力偶矩不变，力偶可在其作用面内任意移转， 且可以同时改变力偶中力的大小与力偶臂的长短，对刚
正负号规定：从坐标轴正向看，逆时针转向为正，反之为负。
§4-2 力对点的矩和力对轴的矩
例4-3 已知：F , l , a, 求： Mx F ,My F ,Mz F 解：将力 F 分解如图
（4-19a）
' FR F2'
F R F1 F 2 Fn Fi
（4-3） （4-4）
或 其中
xi yi
F R F xi i Fyi j Fzi k
F , F , F
zi
为合力 FR 沿x、y、z轴的投影。
（4-5） （4-6）
空间汇交力系平衡的必要和充分条件是该力系的合力等于零。 由此得
y
方向 cos(MO , i ) M x (Fi ) MO
§4-4 空间任意力系向一点的简化●主矢和主矩 二、空间任意力系的简化结果分析 ' 1. FR 0, M O 0 简化结果：合力偶 合力偶矩矢
M O M O (Fi )
主矩与简化中心的位置无关
2、空间力偶的三要素：
（1）大小： M Fd （2）方位：垂直力偶作用面
（3）指向：力偶的转向
§4-3 空间力偶
3、空间力偶的性质： （1）力偶中两力在任意坐标轴投影的代数和为零； （2）力偶对任意点取矩都等于力偶矩，不因矩心的改变而改变； （3）只要保持力偶矩不变，力偶可在其作用面内任意移转， 且可以同时改变力偶中力的大小与力偶臂的长短，对刚
正负号规定：从坐标轴正向看，逆时针转向为正，反之为负。
§4-2 力对点的矩和力对轴的矩
例4-3 已知：F , l , a, 求： Mx F ,My F ,Mz F 解：将力 F 分解如图
第四章：空间力系
第四章空间力系一、要求1、能熟练地计算力在空间直角坐标轴上的投影和力对轴之矩。
2、对空间力偶的性质及其作用效应要有清晰的理解。
3、了解空间力系向一点简化的方法和结果。
4、能应用平衡条件求解空间汇交力系、空间任意力系、空间平行力系的平衡问题。
5、能正确地画出各种常见空间约束的约束反力。
二、重点、难点1、本章重点：力在空间直角坐标轴上的投影和力对轴之矩。
空间汇交力系、空间任意力系、空间平行力系的平衡方程的应用。
各种常见的空间约束及约束反力。
2、本章难点：空间矢量的运算，空间结构的几何关系与立体图。
三、学习指导1、空间力系的基本问题及其研究方法空间力系研究的基本问题仍然是静力学的三个基本问题，即：物体的受力分析、力系的等效替换和力系的平衡条件。
空间力系是力系中最普遍的情形，其它各种力系都是它的特殊情形。
按由浅入深、由特殊到一般的认识规律研究空间力系，是从理论上对静力学作一个系统而完整的总结。
与平面力系的研究方法相似，这里也采用力向一点平移的方法将空间任意力系分解为空间汇交力系和空间力偶系，再应用这两个力系的合成方法来简化原力系，然后根据简化结果推导出平衡条件。
由于空间力系各力作用线分布在空间，因而使问题复杂化。
出现了力在坐标轴上的二次投影法、力对轴的矩以及用向量表示力对点的矩和力偶矩等新问题，简化的结果和平衡方程也复杂了。
2、各类力系的平衡方程各类力系的独立的平衡方程的数目不变。
但是平衡方程的形式可以改变。
上表列出的是一般用形式。
解题指导1、对于解力在直角坐标轴上投影或力沿直角坐标轴分解这类问题，重要的是确定力在空间的位置。
一般解题的思路如下：（1）认清题意，仔细查看结构（或机构）的立体图，它由哪些部件组成，各部件在空间的位置，以及它们和坐标轴的关系。
（2）认清力的作用线在结构（或机构）的哪个平面内，寻找它与坐标面的交角，然后找力与坐标平面的夹角及力与坐标轴的夹角。
（3）考虑用一次投影或二次投影的方法求解。
【材料课件】04空间力系(1)
rr M o (F ) y zFx xFz
M o F z xFy yFx
（4–5）
2.力对轴的矩
r
r
Mz (F) Mo(Fxy ) Fxy h （4–6）
力与轴相交或与轴平行（力与轴在同一平面内），力对该轴 的矩为零.
3、 力对点的矩与力对过该点的轴的矩的关系
已知：力Fr ,力 标 x, y, z
结果： F1 3000N, F2 6000N,
FAx 10004N, FAz 9397N,
FBx 3348N, FBz 1799N,
例4-10
已知： F、P及各尺寸 求： 杆内力
解：研究对象，长方板
受力图如图 列平衡方程
r
M AB F 0
r
M AE F 0
r
M AC F 0
例4-3
已知：P=1000N ,各杆重不计. 求：三根杆所受力.
解：各杆均为二力杆，取球铰O，画受 力图建坐标系如图。
由 Fx 0 FOB sin 45 FOC sin 45 0
Fy 0 FOB cos 45 FOC cos 45 FOA cos 45 0
Fz 0
FOA sin 45 P 0
圆盘面O1垂直于z轴， 圆盘面O2垂直于x轴， 两盘面上作用有力偶， F1=3N，F2=5N，构件自重不计.
求:轴承A,B处的约束力.
解：取整体，受力图如图b所示.
由力偶系平衡方程
Mx 0
Mz 0
解得
F2 400 FAz 800 0
F1 400 FAx 800 0
FAx FBx 1.5N FAz FBz 2.5N
r F
在三根轴上的分力
Frx，Fry，Frz
，力
M o F z xFy yFx
（4–5）
2.力对轴的矩
r
r
Mz (F) Mo(Fxy ) Fxy h （4–6）
力与轴相交或与轴平行（力与轴在同一平面内），力对该轴 的矩为零.
3、 力对点的矩与力对过该点的轴的矩的关系
已知：力Fr ,力 标 x, y, z
结果： F1 3000N, F2 6000N,
FAx 10004N, FAz 9397N,
FBx 3348N, FBz 1799N,
例4-10
已知： F、P及各尺寸 求： 杆内力
解：研究对象，长方板
受力图如图 列平衡方程
r
M AB F 0
r
M AE F 0
r
M AC F 0
例4-3
已知：P=1000N ,各杆重不计. 求：三根杆所受力.
解：各杆均为二力杆，取球铰O，画受 力图建坐标系如图。
由 Fx 0 FOB sin 45 FOC sin 45 0
Fy 0 FOB cos 45 FOC cos 45 FOA cos 45 0
Fz 0
FOA sin 45 P 0
圆盘面O1垂直于z轴， 圆盘面O2垂直于x轴， 两盘面上作用有力偶， F1=3N，F2=5N，构件自重不计.
求:轴承A,B处的约束力.
解：取整体，受力图如图b所示.
由力偶系平衡方程
Mx 0
Mz 0
解得
F2 400 FAz 800 0
F1 400 FAx 800 0
FAx FBx 1.5N FAz FBz 2.5N
r F
在三根轴上的分力
Frx，Fry，Frz
，力
004 第四章 空间力系
同理对于薄曲（平）面和细曲（直）杆均可写出相应的公式。 ⑶ 均质物体重心坐标公式〔形心（几何中心）坐标〕
① 均质立体
设g 表示单位体积的重量，⊿Vi 第i个小体积，则 P i g Vi 代入直角坐标形式重心坐标公式，可得：
Vi xi Vi yi Vi zi xC , yC , zC V V V
⑴ 几何法平衡充要条件
几何法平衡充要条件为该力系的力多边形封闭。
⑵ 解析法平衡充要条件 2、空间汇交力系的平衡方程
X 0 Y 0 亦称为 空间汇交力系的平衡方程 Z 0
三个独立的方程，只能求解三个未知量
§4-3
一、力对轴的矩
空间力对坐标轴的矩 ⒈ 实例
⒉ 定义
mz ( F ) mO ( Fxy ) Fxy d 2OA' B'的面积
rC R r1 F1 r2 F2 rn Fn
令R RP0 , F1 F1P0 , Fn Fn P0 ;
RrC F1r1 F2r2 Fn rn
P0 为沿
方向的单位矢量
F1r1 F2 r2 Fn rn Fi ri rC R Fi
4、带有销子的夹板
5、空间固定端
球形铰链
Rz Ry Rx
滚珠（柱）轴承
Rz
Rx
活页铰
滑动轴承
止推轴承
带有销子的夹板
空间固定端
§4-1
空间汇交力系
1.力在空间的表示 力的三要素： 大小、方向、作用点 大小： F F
一、力在空间轴上的投影与分解：
g
O
方向： 由、、g 三个方向角确定 或由仰角 与方位角 来确定。 Fxy 作用点： 物体和力矢的起点或终点 的接触之点。
① 均质立体
设g 表示单位体积的重量，⊿Vi 第i个小体积，则 P i g Vi 代入直角坐标形式重心坐标公式，可得：
Vi xi Vi yi Vi zi xC , yC , zC V V V
⑴ 几何法平衡充要条件
几何法平衡充要条件为该力系的力多边形封闭。
⑵ 解析法平衡充要条件 2、空间汇交力系的平衡方程
X 0 Y 0 亦称为 空间汇交力系的平衡方程 Z 0
三个独立的方程，只能求解三个未知量
§4-3
一、力对轴的矩
空间力对坐标轴的矩 ⒈ 实例
⒉ 定义
mz ( F ) mO ( Fxy ) Fxy d 2OA' B'的面积
rC R r1 F1 r2 F2 rn Fn
令R RP0 , F1 F1P0 , Fn Fn P0 ;
RrC F1r1 F2r2 Fn rn
P0 为沿
方向的单位矢量
F1r1 F2 r2 Fn rn Fi ri rC R Fi
4、带有销子的夹板
5、空间固定端
球形铰链
Rz Ry Rx
滚珠（柱）轴承
Rz
Rx
活页铰
滑动轴承
止推轴承
带有销子的夹板
空间固定端
§4-1
空间汇交力系
1.力在空间的表示 力的三要素： 大小、方向、作用点 大小： F F
一、力在空间轴上的投影与分解：
g
O
方向： 由、、g 三个方向角确定 或由仰角 与方位角 来确定。 Fxy 作用点： 物体和力矢的起点或终点 的接触之点。
004理力-空间力系
X F sin cos
Y F sin sin
Z F cos
上述方法称为间接投影法。
4
力沿坐标轴分解： 将力F 沿直角坐标轴分解，其分量分别为 Fx、Fy、Fz ， 则：
F Fx Fy Fz X i Y j Z k
若已知力F的三个投影X、 Y、Z，则
由于 Fi X i i Yi j Zi k ，代入上式，得合力
R ( X i ) i ( Yi ) j ( Z i ) k
Rx X i
R y Yi
Rz Z i
6
于是合力的大小和方向余弦为
X cos
R
R ( X i ) 2 ( Yi ) 2 ( Z i ) 2
9
[例]
物块G重为10kN，挂在D点，如图所示。A、B、C三点
用铰链固定，试求DA、DB、DC杆所受的力。
10
解：取结点D为研究对象。因三杆均为二力杆，设均受拉力， 则D点受力如图所示，列平衡方程：
Fx 0 : S B cos 450 S A cos 450 0
Fy 0: SC cos150 S B sin 450 cos 300 S A sin 450 cos 300 0
侧面 风力
c
2
§4-1
空间汇交力系
一、力在直角坐标轴上的投影与分解
力在直角坐标轴上的投影为
X F cos , Y F cos , Z F cos
上述方法称为直接投影法。
3
当力与各坐标轴正向间的 夹角不易确定时，可先将 F 投 影到xy面上，然后再投影到 x、 y 轴上，即
所以：
第4章 空间力系
Ai
A1 + A2
yC =
yi Ai = A1 y1 + A2 y2 = 25.37mm
Ai
A1 + A2
(2)负面积法
将该图形看成是一个大矩形I减去一个小矩
形II。它们的形心位置分别为C 1(xl，yl)、 C2 (x2，y2)。其面积分别为A1和A2。根据图 形分析可知，
x1=20mm ， y1=30mm ， A1=40 × 60=2400mm2
M z (F ) = M O (Fxy ) = Fxyd
结论：力对某轴之矩是力使物体绕该轴 转动效应的度量，其大小等于力对垂直 于某轴平面内力对O点（即某轴在该面 的投影点）之矩。
力对轴之矩的符号规定：
空间力系合力矩定理：
M FR = M F1 + M F2 + + M Fn
= M Байду номын сангаасi
x2=30mm ， y2=38mm ， A2=20 × 44=880mm2
则有：
xC =
xi Ai = A1x1 A2x2 = 14.21mm
Ai
A1 A2
yC =
yi Ai = A1 y1 A2 y2 = 25.37mm
Ai
A1 A2
习题参考解答或提示
二次投影法
力F 在三个轴上的投影分别为
Fx = F sin γcos φ Fy = F sin γsin φ Fz = F cos γ
F = Fx2 + Fy2 + Fz2
cosa = Fx F cos b = Fy F cos g = Fz F
§4－2 力对轴之矩
力对轴之矩（N·m）：度量力使物体绕轴的转动效应
理论力学 第四章 空间力系
方向：右手螺旋法则，与Z轴正方向一致时为正，反之为负。
12
单位：N·m
2.力对轴的矩
力对轴之矩合力矩定理：各力对任一轴之矩等于各分力对同一轴之矩的 代数和。
例：将Fxy再分解为Fx、Fy，根据合力矩定理则有：
Mz( F ) MO( Fxy ) MO( Fx ) MO( Fy ) xFy yFx
即：FR Fi 0
FR
Fx2 Fy2 Fz2
空间汇交力系的平衡方程
Fx 0 Fy 0
Fz 0
6
例题
如图所起重机，已知CE=EB=DE,角α=30o ，CDB平面与水平面 间的夹角∠EBF= 30o ,重物G=10 kN。如不计起重杆的重量,试求起 重杆所受的力和绳子的拉力。
XYZ
mO (F) (yZ zY ) i (zX xZ) j (xY yX) k
11
§4.3力对轴的矩
１.当力作用面 Ｚ轴时： MZ(F ) M0 F F h
Ｚ
２.当力作用面 Ｚ轴时： M z (F) Mo (Fxy ) Fxy h
Ｆ
力与轴相交或与轴平行（力与轴在同一平面内），力对该轴的矩为零.
7
例题
解： 1. 取杆AB与重物为研究对象，受力分析如图。
zD
F2
E
C F 30o
B
F1
α
FA G
A
y
x
其侧视图为
z
E F1
F 30o
B
α
FA G
A
y
8
例 题 4-3
2. 列平衡方程。
zD
F2
E
C F 30o
B
F1
Fx 0,
F1 sin 45 F2 sin 45 0
12
单位：N·m
2.力对轴的矩
力对轴之矩合力矩定理：各力对任一轴之矩等于各分力对同一轴之矩的 代数和。
例：将Fxy再分解为Fx、Fy，根据合力矩定理则有：
Mz( F ) MO( Fxy ) MO( Fx ) MO( Fy ) xFy yFx
即：FR Fi 0
FR
Fx2 Fy2 Fz2
空间汇交力系的平衡方程
Fx 0 Fy 0
Fz 0
6
例题
如图所起重机，已知CE=EB=DE,角α=30o ，CDB平面与水平面 间的夹角∠EBF= 30o ,重物G=10 kN。如不计起重杆的重量,试求起 重杆所受的力和绳子的拉力。
XYZ
mO (F) (yZ zY ) i (zX xZ) j (xY yX) k
11
§4.3力对轴的矩
１.当力作用面 Ｚ轴时： MZ(F ) M0 F F h
Ｚ
２.当力作用面 Ｚ轴时： M z (F) Mo (Fxy ) Fxy h
Ｆ
力与轴相交或与轴平行（力与轴在同一平面内），力对该轴的矩为零.
7
例题
解： 1. 取杆AB与重物为研究对象，受力分析如图。
zD
F2
E
C F 30o
B
F1
α
FA G
A
y
x
其侧视图为
z
E F1
F 30o
B
α
FA G
A
y
8
例 题 4-3
2. 列平衡方程。
zD
F2
E
C F 30o
B
F1
Fx 0,
F1 sin 45 F2 sin 45 0
建筑力学4-空间力系
第四章 空间力系
空间力系就是指各力的作用线不在同一平 面内的力系。 在空间力系中，若各力的作用线汇交于一 点，则称为空间汇交力系（图4.1（b))； 若各力的作用线相互平行，则称为空间平 行力系（图4.1(d)）； 若各力的作用线既不完全汇交于一点也不 完全平行，则称为空间一般力系（图4.1（f))。
图4.10
上式表明，空间汇交力系平衡的必要和 充分条件是：力系中所有各力在三个坐标轴 中每一轴上投影的代数和分别等于零。
4.3.4 空间力系平衡方程的应用
当物体受空间力系作用而平衡时，在给定荷载后， 应用上述平衡方程可求出某些未知量。 求解空间力系的平衡问题时，物体所受的约束有 些类型不同于平面力系里的约束类型，即使是同一类 型的约束，在平面问题和在空间问题中，其约束反力 的数目也有所不同。 现将常见的几种空间约束类型以及可能作用于物 体上的约束反力与约束反力偶列于表4.1中。
图4.1
4.1 力沿空间直角坐标轴的投影
4.1.1 一次投影法
设有一力F和空间直角坐标系Oxyz(图4.2)。
图4.2
如果力F与x、y、z轴所夹的锐角分别为 α、β、γ，则 Fx=±Fcosα Fy=±Fcosβ Fz=±Fcosγ
4.1.2 二次投影法
如图4.3所示，如果已知力F与z轴的夹角γ及F和z轴 所形成的平面与x轴的夹角φ，为求出力F在三个坐标轴 上的投影，可先将力F投影到z轴及坐标平面xOy上，在 xOy平面上的投影为矢量Fxy，其大小为
Fxy=Fsinγ 然后再将Fxy投影到x、y轴上，于是力F在x、y、z 轴上的投影分别为 Fx=±Fsinγcosφ Fy=±Fsinγsinφ Fz=±Fcosγ
空间力系就是指各力的作用线不在同一平 面内的力系。 在空间力系中，若各力的作用线汇交于一 点，则称为空间汇交力系（图4.1（b))； 若各力的作用线相互平行，则称为空间平 行力系（图4.1(d)）； 若各力的作用线既不完全汇交于一点也不 完全平行，则称为空间一般力系（图4.1（f))。
图4.10
上式表明，空间汇交力系平衡的必要和 充分条件是：力系中所有各力在三个坐标轴 中每一轴上投影的代数和分别等于零。
4.3.4 空间力系平衡方程的应用
当物体受空间力系作用而平衡时，在给定荷载后， 应用上述平衡方程可求出某些未知量。 求解空间力系的平衡问题时，物体所受的约束有 些类型不同于平面力系里的约束类型，即使是同一类 型的约束，在平面问题和在空间问题中，其约束反力 的数目也有所不同。 现将常见的几种空间约束类型以及可能作用于物 体上的约束反力与约束反力偶列于表4.1中。
图4.1
4.1 力沿空间直角坐标轴的投影
4.1.1 一次投影法
设有一力F和空间直角坐标系Oxyz(图4.2)。
图4.2
如果力F与x、y、z轴所夹的锐角分别为 α、β、γ，则 Fx=±Fcosα Fy=±Fcosβ Fz=±Fcosγ
4.1.2 二次投影法
如图4.3所示，如果已知力F与z轴的夹角γ及F和z轴 所形成的平面与x轴的夹角φ，为求出力F在三个坐标轴 上的投影，可先将力F投影到z轴及坐标平面xOy上，在 xOy平面上的投影为矢量Fxy，其大小为
Fxy=Fsinγ 然后再将Fxy投影到x、y轴上，于是力F在x、y、z 轴上的投影分别为 Fx=±Fsinγcosφ Fy=±Fsinγsinφ Fz=±Fcosγ
力学第四章空间力系
例4-3 如图所示的折杆，已知在其自由端A处受到 力F的作用。试求折杆固定端O的约束力。
§4－3 空间任意力系的平衡方程
解 取折杆为研究对象，画受力图如图所示,选直角坐 标系0xyz，列平衡方程
Fx = 0
FOx = 0
Fy = 0
FOy = 0
Fz = 0
FOz F = 0
Mx F = 0 MOx Fb = 0
§4－3 空间任意力系的平衡方程
平衡基本方程
空间任意力系平衡的充分必要条件：
各力在各坐标轴上的投影代数和分别等于零； 各力对各坐标轴的矩的代数和分别等于零
即：
Fx = 0
Fy = 0
Fz = 0
MxF = 0 M y F = 0 Mz F = 0
§4－3 空间任意力系的平衡方程
§4－3 空间任意力系的平衡方程
例4-5 用空间平衡力系的平面解法重解例4-4 解 重物匀速上升,鼓轮作匀速转动,即处于平衡姿态。取鼓轮为研究 对象。将力G和Q平移到轴线上，分别作垂直平面、水平平面和侧垂直
平面(图a、b、c)的受力图。
a)
c) b)
§4－3 空间任意力系的平衡方程
由(图a、b、 c)，列平衡方程。
§4－2 力对轴之矩
力对轴之矩（N·m）：度量力使物体绕轴的转动效应
M z (F ) = M O (Fxy ) = Fxyd
结论：力对某轴之矩是力使物体绕该轴 转动效应的度量，其大小等于力对垂直 于某轴平面内力对O点（即某轴在该面 的投影点）之矩。
力对轴之矩的符规定：
§4－2 力对轴之矩
例4-1 图示力F作用在圆轮的平面内,设力F作用线距z轴 距离为d。试计算力F对z轴之矩。
符号规定：从投影的起点到终点的方向与相应坐标轴 正向一致的就取正号；反之，就取负号。
§4－3 空间任意力系的平衡方程
解 取折杆为研究对象，画受力图如图所示,选直角坐 标系0xyz，列平衡方程
Fx = 0
FOx = 0
Fy = 0
FOy = 0
Fz = 0
FOz F = 0
Mx F = 0 MOx Fb = 0
§4－3 空间任意力系的平衡方程
平衡基本方程
空间任意力系平衡的充分必要条件：
各力在各坐标轴上的投影代数和分别等于零； 各力对各坐标轴的矩的代数和分别等于零
即：
Fx = 0
Fy = 0
Fz = 0
MxF = 0 M y F = 0 Mz F = 0
§4－3 空间任意力系的平衡方程
§4－3 空间任意力系的平衡方程
例4-5 用空间平衡力系的平面解法重解例4-4 解 重物匀速上升,鼓轮作匀速转动,即处于平衡姿态。取鼓轮为研究 对象。将力G和Q平移到轴线上，分别作垂直平面、水平平面和侧垂直
平面(图a、b、c)的受力图。
a)
c) b)
§4－3 空间任意力系的平衡方程
由(图a、b、 c)，列平衡方程。
§4－2 力对轴之矩
力对轴之矩（N·m）：度量力使物体绕轴的转动效应
M z (F ) = M O (Fxy ) = Fxyd
结论：力对某轴之矩是力使物体绕该轴 转动效应的度量，其大小等于力对垂直 于某轴平面内力对O点（即某轴在该面 的投影点）之矩。
力对轴之矩的符规定：
§4－2 力对轴之矩
例4-1 图示力F作用在圆轮的平面内,设力F作用线距z轴 距离为d。试计算力F对z轴之矩。
符号规定：从投影的起点到终点的方向与相应坐标轴 正向一致的就取正号；反之，就取负号。
第四章空间力系共45页
§4–2 力对点的矩和力对轴的矩
1、 力对点的矩以矢量表示 ——力矩矢 三要素
(1）大小:力F与力臂的乘积
(2)方向:转动方向 (3)作用面：力矩作用面。
M rO(Fr)rrFr
又 rrxiryrjzkr
rrrr FF xiF yjF zk
则 M r O ( F r ) ( r r F r ) ( x i r y r j z k r ) ( F x i r F y r j F z k r )
§4–3 空间力偶
1、力偶矩以矢量表示 力偶矩矢
F1F2F1F2
空间力偶的三要素 （1） 大小：力与力偶臂的乘积； （2） 方向：转动方向； （3） 作用面：力偶作用面。
MrABF
力偶矩 r r r MrBAF
2、力偶的性质 (1）力偶中两力在任意坐标轴上投影的代数和为零 。
（2）力偶对任意点取矩都等于力偶矩，不因矩心的 改变而改变。
有 Mix 0 Miy 0 Miz 0
简写： M x 0 , M y 0 , M z 0
称为空间力偶系的平衡方程。
§4–4 空间任意力系向一点的简化·主矢和主
矩•简化过程： 将力系向已知点 O 简化 —— O 点称为简化中心。
力线平移
合成 汇交力系
MO
合成 力偶系
结论： 空间 一般力系 向一点O 简化
rrr i jk
x y z
F x F x r F x
r
r
( y F x z F y ) i ( z F x x F z ) j ( x F y y F x ) k
力对O点的矩在三个坐标轴的投影：
rr M o(F ) xyF zzF y
rr M o(F)yzFxxFz
第4章空间力系
矩平面，指向由右手螺旋规则 来拟定，即从矢量旳正向观看， 力矩旳转向是逆钟向旳。
12
理论力学电子教案 C 机械工业出版社
力矩矢旳模等于力旳大小与矩心到力作用线垂直 距离旳乘积，即
mO (F ) F d 2OAB面积
假如r 矩心O到力F作用点A旳矢径，则矢积旳模等 于三角形OAB面积旳两倍，其方向与MO(F)旳方向相同， 故力矩矢也能够表达为
力对//它旳轴旳矩为零。 即力F与轴共面时，力 对轴之矩为零。
z
Fz
O
xy
dA
F
B
Fxy
14
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力矩关系定理
[证]任取一点O，并过O点作
z MO(F)
O
xy
B
F
A
B
A Fxy
一轴z，力F对点O之矩MO(F) 垂直于 所在平面，其模为
M O (F ) 2ΔOAB
力F对z轴之矩为
即合力在某一坐标轴上旳投影，等于力系中全部各
力在同一轴上投影旳代数和，这就是空间汇交力系旳合
力投影定理。
合力FR旳大小和方向余弦分别为
FR FR2x FR2y FR2z ( Fx )2 ( Fy )2 ( Fz )2
cos FRx Fx ,
FR
FR
cos FRy Fy ,
FR
假设方向相反，即两杆均受压力。
11
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§ 4．2 力对点旳矩与力对轴旳矩
4.2.1 力对点旳矩 空间力系中，力对于某一点旳作用效应不但与力
矩旳大小和转向有关，还与力矩平面旳方位有关。 所 以空间力对点旳矩必须用力矩矢MO(F)表达。
B
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力矩矢旳模等于力旳大小与矩心到力作用线垂直 距离旳乘积，即
mO (F ) F d 2OAB面积
假如r 矩心O到力F作用点A旳矢径，则矢积旳模等 于三角形OAB面积旳两倍，其方向与MO(F)旳方向相同， 故力矩矢也能够表达为
力对//它旳轴旳矩为零。 即力F与轴共面时，力 对轴之矩为零。
z
Fz
O
xy
dA
F
B
Fxy
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力矩关系定理
[证]任取一点O，并过O点作
z MO(F)
O
xy
B
F
A
B
A Fxy
一轴z，力F对点O之矩MO(F) 垂直于 所在平面，其模为
M O (F ) 2ΔOAB
力F对z轴之矩为
即合力在某一坐标轴上旳投影，等于力系中全部各
力在同一轴上投影旳代数和，这就是空间汇交力系旳合
力投影定理。
合力FR旳大小和方向余弦分别为
FR FR2x FR2y FR2z ( Fx )2 ( Fy )2 ( Fz )2
cos FRx Fx ,
FR
FR
cos FRy Fy ,
FR
假设方向相反，即两杆均受压力。
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§ 4．2 力对点旳矩与力对轴旳矩
4.2.1 力对点旳矩 空间力系中，力对于某一点旳作用效应不但与力
矩旳大小和转向有关，还与力矩平面旳方位有关。 所 以空间力对点旳矩必须用力矩矢MO(F)表达。
B
理论力学 第4章-空间力系
mx (P) m y (P) mz (P)
6. 空间力矩的平衡:
M
o
(R) 0 m m m
x
0 0 0
空间力矩的平衡方程
y
z
§4-4 空间一般力系的简化和合成
1. 空间一般力系向一点O简化:
1) O点的空间汇交力系: ( P , P , P , P ); 2) 空间附加力偶系: ( m ( P ), m ( P ), m ( P ), m
2. 力偶系的合成:
1) 合力偶矩定理:空间上力偶系的合力偶矩等于各 (几何法) 个分力偶矩的矢量和 I l
2) 合力偶矩投影定理: 空间上力偶系的合力偶矩在 (解析法) 一根轴上的投影等于各个合力偶矩在同 一 轴上的投影的代数和
Lx Ly Lz
l l l
x
y
z
3. 力偶系的平衡
x0 y0 z0 N A B c o s c o s T1 0 N A B c o s sin T 2 0 N A B sin Q 0
3. 求解 :
cos s in cos 80
2
60
2
145 105 145 80 100 4 5 ;
方向余弦; 方向余弦;
Lx Ly Lz
3. 空间一般力系的再生成:
合成为合力:
当 R 0 , L 0 或 R L 时 大 小: 方向: 作 用 线 : 由 空 间 作 用 线 函 数 方 程 确 定 ; 或 简 单 地 在 L 作 用 面 内 , 以 d=| L R | 及 L 转 向 来 确 定 作 用 线 位 于 R 左 侧 或 右 侧 的 位 置 . R=R 可合为一合力
理论力学第四章空间力系
→
→ →
→
→
→
→
→
→
AB × F ')
→
力偶矩矢与矩心无关 力偶矩矢无须确定矢的初端位置，故为自由矢量。 力偶矩矢无须确定矢的初端位置，故为自由矢量。 自由矢量
21
结论： 结论：
空间力偶对刚体的作用效果决定于下列三个因素： 空间力偶对刚体的作用效果决定于下列三个因素： ①力偶矩的大小 M = Fd = 2 A∆ABC ②力偶矩的方位——与力偶作用面法线方向相同 力偶矩的方位——与力偶作用面法线方向相同 转向——遵循右手螺旋规则 ③转向——遵循右手螺旋规则
xi
yi
——空间汇交力系的平衡方程 ——空间汇交力系的平衡方程
8
已知： CE=EB=DE； [例1] 已知： 物重P=10kN，CE=EB=DE；θ = 30 ，
0
求：杆受力及绳拉力 解：画受力图如图， 画受力图如图， 列平衡方程
∑F
x
=0
F sin 45o − F sin 45o = 0 1 2
→ → → → → → → →
= [ m O ( F )] x i + [ m O ( F )] y i + [ m O ( F )] z k
[mO (F )]x = yFZ − zFy [mO (F )]y = zFx − xFZ [mO (F )]z = xFy − yFx
→ → → → → →
[mO (F )]x = yFZ − zFy [mO (F )]y = zFx − xFZ [mO (F )]z = xFy − yFx
→ →
→ → → → → →
M x ( F ) = yFz − zF y M y ( F ) = zF x − xFz M Z ( F ) = xF y − yFx
理论力学第四章空间力系
FAx 1004N
36
例4-9(简单讲)
已知：Fx 4.25N,Fy 6.8N, Fz 17N, Fr 0.36 F , R 50mm , r 30mm 各尺寸如图
求： (1) Fr , Ft （2）A、B处约束力（3）O 处约束力
37
解：研究对象1：主轴及工件，受力图如图
29
当
成角
且
不平行不垂直时
力螺旋中心轴距简化中心为
4）平衡 当 时，空间力系为平衡力系
30
§4–5 空间任意力系的平衡方程
空间任意力系平衡的充分必要条件： 该力系的主矢、主矩分别为零。 1、空间任意力系的平衡方程 （4–12） 空间平行力系的平衡方程 （4–13） 2、空间约束类型举例(P88表4－1) 3.空间力系平衡问题举例
19
M iy 0
M iz 0
（4–11）
例4-5(自学) 已知：在工件四个面上同时钻5个孔，每个孔所受 切削力偶矩均为80N· m。 求：工件所受合力偶矩在 轴上的投影 解：把力偶用 力偶矩矢表示， 平行移到点A 。 列力偶平衡方程
。
M x M ix M 3 M 4 cos 45 M5 cos 45 193.1N m
飞机侧移 飞机绕x轴滚转 飞机转弯 飞机仰头
24
举例：
—有效推进力 —有效升力
飞机向前飞行 飞机上升
—侧向力 —滚转力矩 —偏航力矩
—俯仰力矩
飞机侧移 飞机绕x轴滚转 飞机转弯
飞机仰头 25
2、空间任意力系的简化结果分析（最后结果） 1）合力 a. 当 最后结果为一个合力。 合力作用点过简化中心。 b. 当 时， 最后结果为一合力。合力作用线距简化中心为
36
例4-9(简单讲)
已知：Fx 4.25N,Fy 6.8N, Fz 17N, Fr 0.36 F , R 50mm , r 30mm 各尺寸如图
求： (1) Fr , Ft （2）A、B处约束力（3）O 处约束力
37
解：研究对象1：主轴及工件，受力图如图
29
当
成角
且
不平行不垂直时
力螺旋中心轴距简化中心为
4）平衡 当 时，空间力系为平衡力系
30
§4–5 空间任意力系的平衡方程
空间任意力系平衡的充分必要条件： 该力系的主矢、主矩分别为零。 1、空间任意力系的平衡方程 （4–12） 空间平行力系的平衡方程 （4–13） 2、空间约束类型举例(P88表4－1) 3.空间力系平衡问题举例
19
M iy 0
M iz 0
（4–11）
例4-5(自学) 已知：在工件四个面上同时钻5个孔，每个孔所受 切削力偶矩均为80N· m。 求：工件所受合力偶矩在 轴上的投影 解：把力偶用 力偶矩矢表示， 平行移到点A 。 列力偶平衡方程
。
M x M ix M 3 M 4 cos 45 M5 cos 45 193.1N m
飞机侧移 飞机绕x轴滚转 飞机转弯 飞机仰头
24
举例：
—有效推进力 —有效升力
飞机向前飞行 飞机上升
—侧向力 —滚转力矩 —偏航力矩
—俯仰力矩
飞机侧移 飞机绕x轴滚转 飞机转弯
飞机仰头 25
2、空间任意力系的简化结果分析（最后结果） 1）合力 a. 当 最后结果为一个合力。 合力作用点过简化中心。 b. 当 时， 最后结果为一合力。合力作用线距简化中心为
空间力系
定位矢量？ 滑移矢量？ 定位矢量？ 滑移矢量？ 力偶矩矢—自由矢量（搬来搬去，滑来滑去） 力偶矩矢—自由矢量（搬来搬去，滑来滑去）
空间力系
空间力偶
3.空间力偶系的合成与平衡 3.空间力偶系的合成与平衡
r r r r 合力偶矩矢： 合力偶矩矢：M = Mxi + My j + Mz k
r r r r r M = M1 + M2 +L+ Mn = ∑ Mi
r r r r r MO (F) = Mx (F) i + My (F) j + Mz (F)k = Fbsinα i −Fasinα j + (Fbsinα sin β − Fasinα cos β ) k
空间力系
空间力矩
思考题
A a F F b D
α
r r MA(F)
r r MAB (F) = MA(F) AB
空间力偶
r r r r r r r r r r 力偶矩矢 M = M( F , F′ ) = rA × F − rB × F′ = rBA × F
空间力系
空间力偶
2.空间力偶的性质 2.空间力偶的性质 （1）力偶对任意点取矩都等于力偶矩，不因矩心的改变而改变。 力偶对任意点取矩都等于力偶矩，不因矩心的改变而改变。 （2）空间力偶等效定理 两个力偶的力偶矩矢相等，则它们是等效的。 两个力偶的力偶矩矢相等，则它们是等效的。 推论1 只要保持力偶矩不变， 推论1：只要保持力偶矩不变，力偶可在其作用面内任意移 转，且可以同时改变力偶中力的大小与力偶臂的长 对刚体的作用效果不变。 短，对刚体的作用效果不变。
x O z
r r MO (F)
B
F
r
第四章 空间力系
显然，当力F与z轴平行（此时Fxy=0）或者相交（此时d=0）时， 力F对z轴之矩为零。
力对轴之矩的单位是Nm。 目录
第四章 空间力系\力对轴之矩及其计算 2. 合力矩定理
空间力系的合力对某一轴之矩等于力系中各力对同一轴之矩的代 数和，即
Mz（FR）=Mz（F1）+Mz（F2）+…+Mz（Fn）=∑Mz（F）
Z F cos
目录
第四章 空间力系\力在空间直角坐标轴上的投影及其计算
2）二次投影法。
若已知角和，则可先将力F投影到z轴和xy坐标平面上，分别
得到Z和矢量Fxy，然后再将Fxy向x、y轴投影，得
X F sin cos
Y
F sin sin
Z F cos
F Xi Yj Zk
式中：i、j、k——x、y、z轴的单位矢量。力F的大小和方向余弦分
别为
F X2 Y2 Z2
cos
X
, cos
Y
, cos
Z
F
F
F
目录
第四章 空间力系\力对轴之矩及其计算
4.2 力对轴之矩及其计算
4.2.1. 力对轴之矩的概念
在生产和生活实际中，有些物体（如门、窗等）在力的作用下 能绕某轴转动。本节讨论如何表示力使物体绕某轴转动的效应。
WyC W1y1 W2 y2 Wn yn Wi yi
目录
第四章 空间力系\重心和形心
再对y轴求矩，有
WxC W1x1 W2x2 Wnxn Wi xi
若将Oxz坐标面作为地面，则各Wi及W的方向如图中虚线段的 箭头所示，这时再对x轴求矩，有
力对轴之矩的单位是Nm。 目录
第四章 空间力系\力对轴之矩及其计算 2. 合力矩定理
空间力系的合力对某一轴之矩等于力系中各力对同一轴之矩的代 数和，即
Mz（FR）=Mz（F1）+Mz（F2）+…+Mz（Fn）=∑Mz（F）
Z F cos
目录
第四章 空间力系\力在空间直角坐标轴上的投影及其计算
2）二次投影法。
若已知角和，则可先将力F投影到z轴和xy坐标平面上，分别
得到Z和矢量Fxy，然后再将Fxy向x、y轴投影，得
X F sin cos
Y
F sin sin
Z F cos
F Xi Yj Zk
式中：i、j、k——x、y、z轴的单位矢量。力F的大小和方向余弦分
别为
F X2 Y2 Z2
cos
X
, cos
Y
, cos
Z
F
F
F
目录
第四章 空间力系\力对轴之矩及其计算
4.2 力对轴之矩及其计算
4.2.1. 力对轴之矩的概念
在生产和生活实际中，有些物体（如门、窗等）在力的作用下 能绕某轴转动。本节讨论如何表示力使物体绕某轴转动的效应。
WyC W1y1 W2 y2 Wn yn Wi yi
目录
第四章 空间力系\重心和形心
再对y轴求矩，有
WxC W1x1 W2x2 Wnxn Wi xi
若将Oxz坐标面作为地面，则各Wi及W的方向如图中虚线段的 箭头所示，这时再对x轴求矩，有
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。这两个 解：将力F分解为F 1 、F 2 两个力，F 1 垂直于AB而与CE平行，F 2 平行于AB如图（a） 分力分别为： F1 F sin ， F2 F cos
M AB ( F ) M AB ( F1 ) M AB ( F2 ) F1 a sin 0 Fa sin sin
2 M 1 2 697 D1 8712.5 N M 1 Fτ D1 0.16 2 又 Fτ F cos ， Fτ F sin Fτ tan 3171 N M x 0 ， F 200 FBz 580 0 10 FBz Fτ 3004 N 29 Fz 0 ， FAz FBz F 0
MA MB
MC 50 N 100 3 ， 36.87 3652' 4
180 14308'
4-13
如图所示，已知镗刀杆刀头上受切削力 Fz 500 N ，径向力 Fx 150 N ，轴向力
Fy 75 N，刀尖位于 Oxy 平面内，其坐标 x=75 mm, y=200 mm。工件重量不计，试求被切
M y 0 ， T sin 30 BC
W
T W 200 N
M BC 0 ， W
BC 0 2
AB FAz AB 0 2
FAz
W 100 N 2
Fx 0 , F Ax T cos 30 sin 30 0 ， F Ax 86.6 N
4-7 图示空间构架由三根无重直杆组成，在 D 端用球铰链连接，如图所示。A、B 和 C 端 则用球铰链固定在水平地板上。如果挂在 D 端的物重 W=10 kN，试求铰链 A、B 和 C 的反 力。
解：取节点 D 为研究对象，假设各杆都为拉力、受力如图（a） 。平衡方程为： Fx 0 ， T B cos 45 T A cos 45 0 F y 0 ， T A sin 45 cos 30 T B sin 45 cos 30 TC cos 15 0
主矢 主矩 4-3
FR FR2z FR2y FR2x 426 N ， FR (345i 250 j 10.6k ) N
2 M O M x2 M y M z2 122 N m ，M O (51.8i 36.6 j 104k ) N m
Fz 0 ， T A sin 45 sin 30 T B sin 45 sin 30 TC sin 15 T 0
（1） （2） （3）
把 T=W=10 kN 代入式（3） 解出： T A T B 26.4 kN （压力） TC 33.5 kN （拉力） 4-9 图示空间桁架由六杆 1、2、3、4、5 和 6 构成。 在节点 A 上作用一力 F， 此力在矩形 ABDC 平面内， 且与铅直线成 45°角。 EAK FBM 。等腰三角 形 EAK、FBM 和 NDB 在顶点 A、B 和 D 处均为直 角，又 EC=CK=FD=DM。若 F=10 kN，求各杆的内 力。 。 解：一、取节点 A 为研究对象，受力图及坐标如图（a） Fx பைடு நூலகம் 0 ， ( S1 S 2 ) cos 45 0 （1）
FRz 100 200 M x 300 3 13
0.1 200 2
M y 100 0.20 200
0.1 36.6 N m 13 3 2 M z 300 0.2 200 0.3 103.6 N m 13 5
Fz 0 ， ( S 4 S 5 S 6 ) sin 45 0
，由力偶矩矢三角形图（b）可见： 解：画出三个力偶的力偶矩矢如图（a）
2 2 MC M A MB 3000 2 4000 2 5000 N mm
由图（a） M C F 100 ， F 由图（b）可知： tan
My 0
Fτ
F Az 5708 N M z 0 ， Fr Fx 0 ， FAx
200 FBx 580 0
FBx 1093 N
Fr FBx 0
F Ax 2078 N
（二）研究对象：CD 轴，受力图（b）
M y 0 ， F 'τ
26
4-15 某减速箱由三轴组成如图所示，动力由I轴输入，在I轴上作用转矩M 1 =697 N• m。如齿 轮节圆直径为D 1 =160 mm，D 2 =632 mm，D 3 =204 mm，齿轮压力角为 20°。不计摩擦及轮、轴 重量，试求等速传动时，求轴承A、B、C、D的约束反力。 解： （一）研究对象：AB 轴，受力图（a）
第四章 空间力系
4-1 力系中，F 1 =100 N、F 2 =300 N、F 3 =200 N，各力作用线的位置如图所示。试将力系向 原点O简化。 解：由题意得
FRx 300 FRy 300 3
2 13 13
200
2 5
345 N
250 N 1 5 10.6 N 1 5 0.3 51.8 N m
Fz 0 ， F Az FDz 0 M x 0 ， M 1 F Ay c F Az b 0
（3） （4） （5） （6）
M y 0 ， F Az a M 2 0
M z 0 ， M 3 F Ay a 0
由式（5） 、 （6）解出： M M F Az 2 ， F Ay 3 a a 代入式（2） 、 （3） ，得： M3 M FDy ， FDz 2 a a 再代入式（4） ，得： c b M1 M 3 M 2 ， a a 即 aM 1 bM 2 cM 3 0
25
F y 0 ， S 3 F sin 45 0 Fz 0 ， ( S1 S 2 ) sin 45 F cos 45 0 F 解出： S1 S 2 5 kN ， S 3 7.07 kN 2
（2） （3）
二、取节点 B 为研究对象，受力如图（a） 。 Fx 0 ， ( S 4 S 5 ) cos 45 0 （4） （5） F y 0 ， S 6 sin 45 S 3 0 （6） 解出： S 4 S 5 5 kN （拉力） ， S 6 10 kN （压力） 4-11 图示三圆盘 A、B 和 C 的半径分别为 150 mm、100 mm 和 50 mm。三轴 OA、OB 和 OC 在同一平面内， AOB 为直角。在这三圆盘上分别作用力偶，组成各力偶的力作用在 轮缘上，它们的大小分别等于 10 N、20 N 和 F。如这三圆盘所构成的物系是自由的，不计 物系重量，求能使此物系平衡的力 F 的大小和角 。
D D2 F ' t3 3 0 2 2 D 632 Fτ3 2 F 'τ 8712.5 26992 N D3 204 Ft3 Ft3 tan 20 9824 N
M x 0 ， F 'τ 200 Ft3 435 FDz 580 0 8712.5 200 26992 435 FDz 580 0 ， FDz 23248 N Fz 0 ， FCz F ' t Ft3 FDz 0 ， FCz 12456 N M z 0 ， F ' r 200 Fr3 435 FDx 580 0 3171 200 9824 435 FDx 580 0 ， FDx 6275 N Fx 0 ， FCx F ' r Fr3 FDx 0 ， FCx 378 N
图示力系的三力分别为 F1 350 N 、F2 400 N 和 F3 600 N ，其作用线的位置如
图所示。试将此力系向原点 O 简化。 解：由题意得
FR ' x 350 FR ' y 350 1010 N FR ' z 350
主矢
60 18100 80 18100 90 18100
4-17 如图所示，均质长方形薄板重 W=200 N，用球铰链 A 和蝶铰链 B 固定在墙上，并用 绳子 CE 维持在水平位置。求绳子的拉力和支座反力。 解：取薄板为研究对象，受力如图（a） 。尽量采用力矩式求解。 M z 0 ， FBx AB 0 ， FBx 0
M AC 0 ， FBz AB sin 30 0 ， FBz 0
600
1 144 N 2
400 0.707 600 0.866
400 0.707 517 N
'2 '2 FR' FR'2 x FRy FRz 1144 N ，
FR' (144i 1011 j 517 k ) N ； 90 M x 350 60 400 0.707 120 48000 N mm 48 N m 18100 90 M y 350 90 21070 N mm 21.07 N m 18100 80 60 1 M z 350 90 350 60 600 0.866 90 600 60 2 18100 18100 19400 N mm 19.4 N m
M y 0 ， F y 0.075 M y 0
（3） （4） （5） （6）
M z 0 ， Fx 0.2 F y 0.075 M z 0
解得： Fox 150 N ， Foy 75 N ， Foz 500 N ；
M x 100 N m ， M y 37.5 N m （与原始反向） ， M z 24.4 N m （与原始反向）