辽宁省实验中学高二下学期期中考试文科数学试题含解析
辽宁省沈阳市高二下学期期中考试文科数学试卷 有答案
辽宁省沈阳市东北育才学校高二下学期期中考试数学（文）试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的.1．下面四个条件中，使b a >成立的充分不必要条件是A ．1+>b aB ．1->b aC ．22b a > D ．33b a >2．下面是一段演绎推理：如果直线平行于平面，则这条直线平行于平面内的所有直线； 已知直线//b 平面α，直线a ⊂平面α； 所以直线//b 直线a ，在这个推理中 A ．大前提正确，结论错误 B ．小前提与结论都是错误的C ．大、小前提正确，只有结论错误D ．大前提错误，结论错误3．某医疗研究所为了检验某种血清预防感冒的作用，把500名使用血清的人与另外500名未使用血清的人一年中的感冒记录作比较，提出假设H ：“这种血清不能起到预防感冒的作用”，利用2×2列联表计算的918.32≈K ，经查临界值表知05.0)841.3(2≈≥K P .则下列表述中正确的是A ．有95℅的把握认为“这种血清能起到预防感冒的作用”B ．若有人未使用该血清，那么他一年中有95℅的可能性得感冒C ．这种血清预防感冒的有效率为95℅D ．这种血清预防感冒的有效率为5℅4．复数20152015121ii z -+=的共轭复数在复平面内对应的点在 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限5．曲线)4sin(42πθρ+=与曲线122122x ty ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩的位置关系是 A ．相交过圆心 B ．相交不过圆心 C ．相切 D ．相离6．对于数25，规定第1次操作为3325133+=，第2次操作为33313355++=，如此反复操作，则第100次操作后得到的数是A ．25B ．250C ．55D ．1337．如图，090ACB ∠=，CD AB ⊥于点D ，以BD 为直径的圆与BC 交于点E .则 A.DB AD CB CE ⋅=⋅ B. AB AD CB CE ⋅=⋅ C. 2CD AB AD =⋅ D. 2CD EB CE =⋅ADBCE8．已知)41,0(∈x ，则x x y 41-=的最大值为A ．61B ．41C ．183D ．939．已知曲线C 的参数方程为()()x y =+=+⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪<<cos sin sin θθθθπ2212102，则点)21,1(-M ，)21,1(N ，)2,2(P ，)1,2(Q 中，在曲线C 上的点有A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个10．如图5，锐角三角形ABC 中，以BC 为直径的半圆分别交AB 、 AC 于点D 、E ，则ADE ∆与ABC ∆的面积之比为A ．A cosB ．A sinC ．A 2sin D ．A 2cos 11．平面直角坐标系中，点集⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈⎩⎨⎧-=+==),(sin cos cos sin |),(R y x y x M βαβαβα，则点集M 所覆盖的平面图形的面积为 A ．π4B ．π3C ．π2D ．与βα,有关12．已知函数1(),()12x x f x g x x +==+，若()()f x g x >，则实数x 的取值范围是 A ．(,1)(0,1)-∞- B ．1(,1)(0,-+-∞- C ．15(1,0)()-+-+∞ D ．1(1,0)(0,-+-二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．曲线2cos 4πρθθ==关于直线对称的曲线的极坐标方程为 ．14．若不等式)0(>≥+a x a x 的解集为}|{n x m x ≤≤，且a n m 2||=-，则a 的值为 .15因为归分析的方法预测他孙子的身高为 ． 参考公式：2121ˆx n xy x n yx bni ini ii --=∑∑== x b y aˆˆ-= 16．复数z 在复平面内对应的点位于第二象限，且ai z i z z +=⋅+⋅82（R a ∈），则实数a 的取值范围为______________．三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．(本小题满分10分)某中学采取分层抽样的方法从应届高三学生中按照性别抽取20名学生，其中8名女生中有3名报考理科，男生中有2名报考文科．（1）是根据以上信息，写出22⨯列联表；（2）用假设检验的方法分析有多大的把握认为该中学的高三学生选报文理科与性别有关？参考公式22()=()()()()n ad bc K a c b d a b c d -++++18．(本小题满分12分) 已知)sin ,sin (cos x x x a += ，)cos 2,sin (cos x x x b -= ，求证：向量a与向量b 不可能平行．19．(本小题满分12分)已知ω,z 为复数，z i )31(+为实数，iz+=2ω，且25||=ω，求ω. 20. (本小题满分12分)（1）已知：x b a ,,均为正数，且b a >，求证：bax b x a <++<1； （2）若x b a ,,均为正数，且b a <，对真分数ba，给出类似于第（1）小问的结论；（不需证明） （3）求证：ABC ∆中，2sin sin sin sin sin sin sin sin sin <+++++BA CA CBC B A ．请考生在21、22、23题中任选两题做答．做题时用2B 铅笔在答题纸上将所选做题目对应的题号涂黑. 21．（本小题满分12分）选修4—1：几何证明选讲如图,已知PA 与圆O 相切于点A ，经过点O 的割线PBC 交圆O 于点B 、C ，APC ∠的平分线分别交AB 、AC 于点D 、E ．求证: （Ⅰ）AED ADE ∠=∠；（Ⅱ）若AP AC =，求PA PC 的值．22.（本小题满分12分）选修4—4：坐标系与参数方程在直角坐标系xoy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. 已知射线:l 4πθ=与曲线:C ⎩⎨⎧-=+=,)1(,12t y t x （t 为参数）,相交于B A ,两点. （Ⅰ）写出射线l 的参数方程和曲线C 的直角坐标系方程；（Ⅱ）求线段AB 的中点极坐标.23. （本小题满分12分）选修4—5：不等式选讲已知实数t ，若存在]3,21[∈t 使得不等式21521-+-≥---x x t t 成立，求实数x 的取值范围．下学期期中考试高二数学科（文科）答案ADABB DACCD AD13．θρsin 2= 14．2 15．185 16．()0,24-（2） 假设0H :报考文理科与性别无关.则2K 的估计值220()20(506)=4.432()()()()128137n ad bc k a c b d a b c d --=≈++++⨯⨯⨯841.3> 所以我们有95%把握认为该中学的高三学生选报文理科与性别有关18．假设b a//，则)s in (c o s s in )s in (c o s c o s 2x x x x x x -=+即0sin cos sin cos 222=++x x x x∴022cos 12sin 212cos 1=-+++xx x ∴032cos 2sin =++x x∴03)42sin(2=++πx ∴223)42sin(-=+πx 与[]1,1)22sin(-∈+πx 矛盾故假设不成立，所以向量a与向量b 不可能平行。
辽宁省沈阳铁路实验中学2018_2019学年高二数学下学期期中试题文
沈阳铁路实验中学2018-2019学年度下学期期中考试试题高二数学时间：120分钟分数：150分一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．A．B．C．2 D．12．设复数z满足，则z在复平面内对应的点位于 A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．用反证法证明命题“若a2+b2=0（a，b∈R），则a，b全为0”，其反设正确的是（ ）A．a，b至少有一个为0 B．a，b至少有一个不为0C．a，b全部为0 D．a，b中只有一个为04．某商品的销售量y(件)与销售价格x(元/件)存在线性相关关系，根据一组样本数据(x i，y i)(i＝1,2，…，n)，用最小二乘法建立的回归方程为＝－5x＋150，则下列结论正确的是( ) A．y与x具有正的线性相关关系 B．若r表示y与x之间的线性相关系数，则r＝－5 C．当销售价格为10元时，销售量为100件D．当销售价格为10元时，销售量为100件左右5．将直角坐标方程转化为极坐标方程，可以是( )A． B． C． D．6．下面几种推理是合情推理的是( )①由圆的性质类比出球的有关性质;②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形内角和是归纳出所有三角形的内角和都是;③由,满足,,推出是奇函数;④三角形内角和是,四边形内角和是,五边形内角和是,由此得凸多边形内角和是.A．①②B．①③④C．①②④D．②④7．下图是计算的值的一个流程图，其中判断框内应填入的条件是A． B． C． D．8．如图，第1个图形由正三角形扩展而成，共12个顶点.第n个图形是由正n+2边形扩展而来，则第n+1个图形的顶点个数是 ( )（1）（2）（3）（4）A．(2n+1)(2n+2) B．3(2n+2) C．(n+2)(n+3) D．(n+3)(n+4)9．在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换后，曲线变为曲线，则曲线的方程为（）A．B．C．D．10．在的条件下，五个结论：①；②；③；④；⑤设都是正数，则三个数至少有一个不小于，其中正确的个数是( )A．2 B．3 C．4 D．511．箱子里有16张扑克牌：红桃、、4，黑桃、8、7、4、3、2，草花、、6、5、4，方块、5，老师从这16张牌中挑出一张牌来，并把这张牌的点数告诉了学生甲，把这张牌的花色告诉了学生乙，这时，老师问学生甲和学生乙：你们能从已知的点数或花色中推知这张牌是什么牌吗？于是，老师听到了如下的对话：学生甲：我不知道这张牌；学生乙：我知道你不知道这张牌；学生甲：现在我知道这张牌了；学生乙：我也知道了.则这张牌是（）A．草花5 B．红桃 C．红桃4 D．方块512．若关于的不等式有实数解，则实数的取值范围是( )A． B． C． D．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确的答案填在题中的横线上) 13．在中，若，则的外接圆半径，将此结论拓展到空间，可得出的正确结论是：在四面体中，若两两垂直，，则四面体的外接球半径______________．14．复数满足，则的最大值是___________．15．若不等式对于一切恒成立，则实数a的取值范围为______．16．某公司调查了商品的广告投入费用（万元）与销售利润（万元）的统计数据，如下表：广告费用（万2 3 5 6元）销售利润（万5 7 9 11元）由表中的数据得线性回归方程为，则当时，销售利润的估值为__________．其中：，.三、解答题(本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．为了解人们对“延迟退休年龄政策”的态度，某部门从年龄在岁到岁的人群中随机调查了人，并得到如图所示的频率分布直方图，在这人中不支持“延迟退休年龄政策”的人数与年龄的统计结果如表所示：年龄不支持“延迟退休年龄政策”的人数155152317（1）由频率分布直方图，估计这人年龄的平均数；（写出必要的表达式）（2）根据以上统计数据补全下面的列联表，据此表，能否在犯错误的概率不超过的前提下，认为以岁为分界点的不同人群对“延迟退休年龄政策”的态度存在差异？岁以下岁以上总计不支持支持总计附：临界值表、公式（公式在右上）0.15 0.10 0.050 0.025 0.010 0.005 0.0012.072 2.7063.841 5.024 6.635 7.879 10.82818．某幼儿园雏鹰班的生活老师统计2018年上半年每个月的20日的昼夜温差，和患感冒的小朋友人数（/人）的数据如下：温差患感冒人数8 11 14 20 23 26其中，，.（Ⅰ）请用相关系数加以说明是否可用线性回归模型拟合与的关系；（Ⅱ）建立关于的回归方程（精确到），预测当昼夜温差升高时患感冒的小朋友的人数会有什么变化？（人数精确到整数） 参考数据：．参考公式：相关系数：，回归直线方程是， ,19．在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为．（1）若与相交于两点，，求；（2）圆的圆心在极轴上，且圆经过极点，若被圆截得的弦长为，求圆的半径．20．在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（Ⅰ）将的方程化为普通方程，将的方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）已知直线的参数方程为（，为参数，且），与交于点，与交于点，且，求的值.21．设函数．求不等式的解集；若，恒成立，求实数T 的取值范围．22．已知，求证：01a b <<<（Ⅰ）； 1a b ab +<+<参考答案1．B【解析】【分析】先上下同乘分母的共轭复数化简，再利用求模公式计算即可。
辽宁省实验中学2020学年高二数学下学期期中试题 文
辽宁省实验中学2020学年度下学期期中阶段测试高二数学（文科）试卷考试时间120分钟 试题满分150分一．选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1.已知复数2,()z m i m R =+∈，且()2i z +是纯虚数，则实数m =（ ） A ． 1 B ．2 C ．-1 D ．-22.设复数z 满足1132z i z +=--，则||z =（ ） A ．5BC ．2D3.下列关于命题的说法正确的是（ ） A ．函数1y x x=+的最小值为2； B ．命题“2,13x R x x ∀∈+>”的否定是“2,13x R x x ∀∈+≤”； C ．“2x >”是“112x <”的充要条件； D ．1311(0,),()log 32x x x ∀∈<，23x x <4. 反证法证明命题： “三角形的内角中至少有一个不大于 60°”反设正确的（ ）. A.假设三内角都不大于 60° B.假设三内角都大于 60° C.假设三内角至多有一个大于 60° D.假设三内角至多有两个大于 60°5.王昌龄《从军行》中两句诗为“黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，其中最后一句“攻破楼兰”是“返回家乡”的( )A ．充要条件B ．既不充分也不必要条件C ．充分条件D ．必要条件 6.已知一组样本数据(),i i x y 如表x3 4 5 6 y2.5344.5设其线性回归方程$y bx a =+ ,若已求出0.7b =，则线性回归方程为（ ） A ．$0.70.35y x =+B ．$0.7 4.5y x =+ C ．$0.70.35y x =-D ．$0.7 4.5y x =- 7.下面几种推理是类比推理的是 （ ）A ．两条直线平行，同旁内角互补，如果A ∠和B ∠是两条平行直线的同旁内角，则180A B ︒∠+∠= B ．由平面三角形的性质，推测四面体的性质C ．某校高二年级有20个班，1班有51位团员，2班有53个团员，3班有52位团员，由此可以推测各班都超过50位团员。
2016-2017年辽宁省实验中学分校高二(下)期中数学试卷(文科)和答案
2016-2017学年辽宁省实验中学分校高二（下）期中数学试卷（文科）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号涂写在答题卡上（每小题5分，共60分）1．（5分）已知i为虚数单位，复数z1=1+i，z2=1﹣i，则=（）A．B．C．﹣i D．i2．（5分）如图是某产品加工为成品的流程图，从图中可以看出，若是一件不合格产品，则必须至少经过的工序数目为（）A．6道B．5 道C．4道D．3道3．（5分）曲线y=x3﹣2x+4在点（1，3）处的切线的倾斜角为（）A．30°B．45°C．60°D．120°4．（5分）有一段演绎推理是这样的：“若直线平行于平面，则平行于平面内所有直线，已知直线b在平面α外，直线a在平面α内，直线b∥平面α，则直线b∥直线a”的结论显然是错误的，这是因为（）A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．非以上错误5．（5分）函数的最大值为（）A．B．e C．e2D．6．（5分）用反证法证明命题：“a，b，c，d∈R，a+b=1，c+d=1，且ac+bd＞1，则a，b，c，d中至少有一个负数”时的假设为（）A．a，b，c，d中至少有一个正数B．a，b，c，d全为正数C．a，b，c，d全都大于等于0D．a，b，c，d中至多有一个负数7．（5分）已知呈线性相关关系的变量x，y之间的关系如下表所示，则回归直线一定过点（）A．（0.1，2.11）B．（0.2，2.85）C．（0.3，4.08）D．（0.275，4.7975）8．（5分）将参数方程化为普通方程为（）A．y=x﹣2B．y=x+2C．y=x﹣2（2≤x≤3）D．y=x+2（0≤y≤1）9．（5分）化极坐标方程ρ2cosθ﹣ρ=0为直角坐标方程为（）A．x2+y2=0或y=1B．x=1C．x2+y2=0或x=1D．y=110．（5分）若不等式|2x﹣3|＞4与不等式x2+px+q＞0的解集相同，则p：q等于（）A．12：7B．7：12C．﹣12：7D．﹣3：4 11．（5分）设xy＞0，则的最小值为（）A．﹣9B．9C．10D．012．（5分）若a，b在区间上取值，则函数f（x）=ax3+bx2+ax在R上有两个相异极值点的概率是（）A．B．C．D．二、填空题：（本大题共4小题，每题5分，共20分）13．（5分）直线的斜率为．14．（5分）若不等式2x2+ax+b＜0的解集为，则a﹣b的值是 ．15．（5分）在R 上的可导函数f （x ）=x 3+ax 2+x ，当x ∈（0，1）取得极大值，当x ∈（1，2）取得极小值，则a 的取值范围是 ． 16．（5分）已知a ，b ，c 都是正数，且4a+9b+c=3，则的最小值是 ．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知复数Z 1满足（Z 1﹣2）i=1+i ，复数Z 2的虚部为2，且Z 1Z 2是实数，则Z 2= ．18．（12分）某班主任对全班50名学生的学习积极性和对待班级工作的态度进行了调查，统计数据如表所示：（Ⅰ）如果随机抽查这个班的一名学生，那么抽到积极参加班级工作的学生的概率是多少？抽到不太主动参加班级工作且学习积极性一般的学生的概率是多少？（Ⅱ）试运用独立性检验的思想方法分析：学生的学习积极性与对待班级工作的态度是否有关？并说明理由． 参考公式与临界值表：K 2=．19．（12分）已知函数f （x ）=|x+1|﹣2|x ﹣a|，a ＞0． （Ⅰ）当a=1时，求不等式f （x ）＞1的解集；（Ⅱ）若f （x ）的图象与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围． 20．（12分）不等式|x ﹣1|≤的解集为{x|n ≤x ≤m}（1）求实数m，n；（2）若实数a，b满足：|a+b|＜m，|a﹣b|＜n，求证：|b|＜．21．（12分）已知曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθ．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是（t是参数）（1）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）若直线l与曲线C相交于A、B两点，且|AB|=，求直线的倾斜角α的值．22．（12分）已知函数f（x）=﹣2ax﹣3，g（a）=+5a﹣7．（1）当a=1时，求函数f（x）的单调递增区间；（2）若函数f（x）在[﹣2，0]上不单调，且x∈[﹣2，0]时，不等式f（x）＜g （a）恒成立，求实数a的取值范围．2016-2017学年辽宁省实验中学分校高二（下）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号涂写在答题卡上（每小题5分，共60分）1．（5分）已知i为虚数单位，复数z1=1+i，z2=1﹣i，则=（）A．B．C．﹣i D．i【解答】解：由z1=1+i，z2=1﹣i，得=，故选：D．2．（5分）如图是某产品加工为成品的流程图，从图中可以看出，若是一件不合格产品，则必须至少经过的工序数目为（）A．6道B．5 道C．4道D．3道【解答】解：由某产品加工为成品的流程图看出，即使是一件不合格产品，零件到达后也必须经过粗加工、检验、返修加工、返修检验、定为废品五道程序．故选：B．3．（5分）曲线y=x3﹣2x+4在点（1，3）处的切线的倾斜角为（）A．30°B．45°C．60°D．120°【解答】解：y′=3x2﹣2，切线的斜率k=3×12﹣2=1．故倾斜角为45°．故选：B．4．（5分）有一段演绎推理是这样的：“若直线平行于平面，则平行于平面内所有直线，已知直线b在平面α外，直线a在平面α内，直线b∥平面α，则直线b∥直线a”的结论显然是错误的，这是因为（）A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．非以上错误【解答】解：直线平行于平面，则直线可与平面内的直线平行、异面、异面垂直．故大前提错误．故选：A．5．（5分）函数的最大值为（）A．B．e C．e2D．【解答】解：令，当x＞e时，y′＜0；当x＜e时，y′＞0，，在定义域内只有一个极值，所以，故选：A．6．（5分）用反证法证明命题：“a，b，c，d∈R，a+b=1，c+d=1，且ac+bd＞1，则a，b，c，d中至少有一个负数”时的假设为（）A．a，b，c，d中至少有一个正数B．a，b，c，d全为正数C．a，b，c，d全都大于等于0D．a，b，c，d中至多有一个负数【解答】解：“a，b，c，d中至少有一个负数”的否定为“a，b，c，d全都大于等于0”，由用反证法证明数学命题的方法可得，应假设“a，b，c，d全都大于等于0”，故选：C．7．（5分）已知呈线性相关关系的变量x，y之间的关系如下表所示，则回归直线一定过点（）A．（0.1，2.11）B．（0.2，2.85）C．（0.3，4.08）D．（0.275，4.7975）【解答】解：线性回归方程必过样本中心点（，）．∵==0.275，==4.7975，∴线性回归方程必过（0.275，4.7975）故选：D．8．（5分）将参数方程化为普通方程为（）A．y=x﹣2B．y=x+2C．y=x﹣2（2≤x≤3）D．y=x+2（0≤y≤1）【解答】解：将参数方程消去参数化普通方程为y=x﹣2，由0≤sin2θ≤1，可得2≤x≤3．故选：C．9．（5分）化极坐标方程ρ2cosθ﹣ρ=0为直角坐标方程为（）A．x2+y2=0或y=1B．x=1C．x2+y2=0或x=1D．y=1【解答】解：∵ρ2cosθ﹣ρ=0，∴ρcosθ﹣1=0或ρ=0，∵，∴x2+y2=0或x=1，故选：C．10．（5分）若不等式|2x﹣3|＞4与不等式x2+px+q＞0的解集相同，则p：q等于（）A．12：7B．7：12C．﹣12：7D．﹣3：4【解答】解：∵|2x﹣3|＞4，∴2x﹣3＞4或2x﹣3＜﹣4，∴x＞或x＜﹣，∴不等式|2x﹣3|＞4的解集为：{x|x＞或x＜﹣}；又不等式|2x﹣3|＞4与不等式x2+px+q＞0的解集相同，∴与﹣是方程x2+px+q=0的两根，∴由韦达定理得：+（﹣）=﹣p，×（﹣）=q，∴p=﹣3，q=﹣，∴p：q=12：7．故选：A．11．（5分）设xy＞0，则的最小值为（）A．﹣9B．9C．10D．0【解答】解：（x2+）（y2+）≥（x+）2=9．当且仅当xy=即xy=时取等号．故选：B．12．（5分）若a，b在区间上取值，则函数f（x）=ax3+bx2+ax在R上有两个相异极值点的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：易得f′（x）=3ax2+2bx+a，函数f（x）=ax3+bx2+ax在R上有两个相异极值点的充要条件：是a≠0且其导函数的判别式大于0，即a≠0且4b2﹣12a2＞0，又a，b在区间上取值，则，点（a，b）满足的区域如图中阴影部分所示，其中正方形区域的面积为3，阴影部分的面积为，故所求的概率是．故选：C．二、填空题：（本大题共4小题，每题5分，共20分）13．（5分）直线的斜率为．【解答】解：直线，所以直线的普通方程为：（y﹣4）=﹣（x﹣3），y=x+；所以直线的斜率为：；故答案为：．14．（5分）若不等式2x2+ax+b＜0的解集为，则a﹣b的值是．【解答】解：由题意，得﹣=﹣，=﹣，解得：a=，b=﹣，所以a﹣b=﹣（﹣）=，故答案为：．15．（5分）在R上的可导函数f（x）=x3+ax2+x，当x∈（0，1）取得极大值，当x∈（1，2）取得极小值，则a的取值范围是（﹣2.5，﹣2）．【解答】解：∵函数f（x）=x3+ax2+x，∴f′x）=x2+ax+1，又当x∈（0，1）取得极大值，当x∈（1，2）取得极小值，∴f′（0）＞0，f′（1）＜0，f′（2）＞0，∴，解得：﹣2.5＜a＜﹣2，故答案为：（﹣2.5，﹣2）．16．（5分）已知a，b，c都是正数，且4a+9b+c=3，则的最小值是12．【解答】解：由4a+9b+c=3，∴+3b+=1，∴++=（++）（+3b+），=+++3+++++=3++（+）+（+）+（+）≥3++4++2=12．当且仅当a=，b=，c=取等号，故的最小值是12．故答案为：12三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知复数Z1满足（Z1﹣2）i=1+i，复数Z2的虚部为2，且Z1Z2是实数，则Z2=6+2i．【解答】解：∵复数z1满足（z1﹣2）i=1+i，所以z1﹣2=﹣i（1+i）=1﹣i∴Z1=3﹣i∵复数Z2的虚部为2，设z2=a+2i，所以z1•z2=（3﹣i）（a+2i）=3a+2+（6﹣a）i，它是实数，∴a=6；∴Z2=6+2i故答案为：6+2i18．（12分）某班主任对全班50名学生的学习积极性和对待班级工作的态度进行了调查，统计数据如表所示：（Ⅰ）如果随机抽查这个班的一名学生，那么抽到积极参加班级工作的学生的概率是多少？抽到不太主动参加班级工作且学习积极性一般的学生的概率是多少？（Ⅱ）试运用独立性检验的思想方法分析：学生的学习积极性与对待班级工作的态度是否有关？并说明理由．参考公式与临界值表：K2=．【解答】解：（Ⅰ）积极参加班级工作的学生有24人，总人数为50人，概率为=；不太主动参加班级工作且学习积极性一般的学生有19人，概率为．（Ⅱ）k2=≈11.5，∵K2＞6.635，∴有99%的把握说学习积极性与对待班级工作的态度有关系．19．（12分）已知函数f（x）=|x+1|﹣2|x﹣a|，a＞0．（Ⅰ）当a=1时，求不等式f（x）＞1的解集；（Ⅱ）若f（x）的图象与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）当a=1时，不等式f（x）＞1，即|x+1|﹣2|x﹣1|＞1，即①，或②，或③．解①求得x∈∅，解②求得＜x＜1，解③求得1≤x＜2．综上可得，原不等式的解集为（，2）．（Ⅱ）函数f（x）=|x+1|﹣2|x﹣a|=，由此求得f（x）的图象与x轴的交点A （，0），B（2a+1，0），故f（x）的图象与x轴围成的三角形的第三个顶点C（a，a+1），由△ABC的面积大于6，可得[2a+1﹣]•（a+1）＞6，求得a＞2．故要求的a的范围为（2，+∞）．20．（12分）不等式|x﹣1|≤的解集为{x|n≤x≤m}（1）求实数m，n；（2）若实数a，b满足：|a+b|＜m，|a﹣b|＜n，求证：|b|＜．【解答】解：（1）由|x﹣|≤得﹣≤x﹣≤，即≤x≤，∵不等式|x﹣|≤的解集为{x|n≤x≤m}，∴n=，m=，（2）证明：3|b|=|3b|=|2（a+b）﹣（2a﹣b）|≤2|a+b|+|2a﹣b|，∵|a+b|＜m，|2a﹣b|＜n，∴|a+b|＜，|2a﹣b|＜，则3|b|≤2|a+b|+|2a﹣b|＜2×+=，即|b|＜．21．（12分）已知曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθ．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是（t是参数）（1）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）若直线l与曲线C相交于A、B两点，且|AB|=，求直线的倾斜角α的值．【解答】解：（1）∵ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，∴曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθ可化为：ρ2=4ρcosθ，∴x2+y2=4x，∴（x﹣2）2+y2=4．（2）将代入圆的方程（x﹣2）2+y2=4得：（tcosα﹣1）2+（tsinα）2=4，化简得t2﹣2tcosα﹣3=0．设A、B两点对应的参数分别为t1、t2，则，∴|AB|=|t1﹣t2|==，∵|AB|=，∴=．∴cos．∵α∈[0，π），∴或．∴直线的倾斜角或．22．（12分）已知函数f（x）=﹣2ax﹣3，g（a）=+5a﹣7．（1）当a=1时，求函数f（x）的单调递增区间；（2）若函数f（x）在[﹣2，0]上不单调，且x∈[﹣2，0]时，不等式f（x）＜g （a）恒成立，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）当a=1时，f（x）=∴f′（x）=x2﹣x﹣2=（x﹣2）（x+1）令f′（x）＞0，可得x＜﹣1或x＞2∴函数f（x）的单调递增区间是（﹣∞，﹣1），（2，+∞）；（2）求导函数，可得f′（x）=x2+（a﹣2）x﹣2a=（x+a）（x﹣2）∵f（x）在[﹣2，0]上不单调，∴﹣2＜﹣a＜0∴0＜a＜2∵x∈[﹣2，0]时，不等式f（x）＜g（a）恒成立，∴f（﹣a）＜g（a）∴＜+5a﹣7∴a2﹣5a+4＜0∴1＜a＜4．∴1＜a＜2．。
辽宁省沈阳铁路实验中学2019-2020学年高二下学期期中考试数学试题 Word版含答案
沈阳铁路实验中学2019-2020学年度下学期第二次月考数学试卷命题人： 校对人 : 时间：120分钟一．选择题（每题只有一个选项正确，每题5分） 1.函数1y x x=+的导数是（ ） A ．211x -B ．11x -C ．211x +D ．11x+ 2.某天的值日工作由4名同学负责，且其中1人负责清理讲台，另1人负责扫地，其余2人负责拖地，则不同的分工共有（ ） A ．6种B ．12种C ．18种D ．24种3．2101()x x+的展开式中含5x 项的系数为（ ） A ．160B ．210C ．120D ．2524. 设f(x)，g(x)在[a ，b]上可导，且f′(x)>g′(x)，则当a<x<b 时，有( ) A ．f(x)>g(x) B ．f(x)<g(x)C ．f(x)＋g(a)>g(x)＋f(a)D ．f(x)＋g(b)>g(x)＋f(b)5．()()4221x x x -+-的展开式中x 项的系数为 （ ）A ．9-B ．5-C ．7D ．86.在61(1)x x+-的展开式中，含5x 项的系数为 （ ） A ．6 B ．6-C ．24D ．24-7.已知函数()2ln 38,f x x x =+则0(12)(1)limx f x f x∆→-∆-∆的值为 （ ）A ．-20B ．-10C ．10D ．208．如图，将一个四棱锥的每一个面染上一种颜色，使每两个具有公共棱的面染成不同颜色，如果只有4种颜色可供使用，则不同的染色方法总数为（ ） A ．36B ．48C ．72D ．1089已知()0112nn n x a a x a x +=++⋅⋅⋅+，其中01243n a a a ++⋅⋅⋅+=，则123452345a a a a a ++++ =( )A ．405B ．810C ．324D ． 64810如果一个三位数，各位数字之和等于10，但各位上数字允许重复，则称此三位数为“十全九美三位数”（如235，505等），则这种“十全九美三位数”的个数是（ ）A ．5 4B ．50C ．60D ．5811.设函数,则 （ ）A.有极大值且为最大值 B.有极小值，但无最小值C.若方程恰有3个实根，则D.若方程恰有一个实根，则12. 设)(x f '为函数)(x f 的导函数，已知21()()ln ,()x f x xf x x f e e'+==，则下列结论正确的是 A ．()f x 在(0,)+∞即有极大值又有极小值 B ．()f x 在(0,)+∞既无极大值又无极小值 C ．()f x 在(0,)+∞上有极大值 D ．()f x 在(0,)+∞上有极小值二．填空题 （每题5分）13. 10个相同的小球放在三个编号为1,2,3的盒中，每盒至少1个，有 种方法？ 14．函数在处的切线方程为______15.已知函数,若∀x 1，x 2∈（0，+∞），都有f （x 1）≥g （x 2）恒成立，则实数a 的取值范围为__________16.若0<x 1<x 2<1,且1<x 3<x 4，下列命题正确的有①3443ln ln x x e e x x ->- ② 2121ln ln x x e e x x ->- ③.3232x x x e x e < ④ 1221x x x e x e >三．解答题17.（请写出式子再写计算结果）有4个不同的小球，4个不同的盒子，现在要把球全部放入盒内： （1）共有多少种方法？（2）若每个盒子不空，共有多少种不同的方法？（3）恰有一个盒子不放球，共有多少种放法？18．二项式n 的二项式系数和为256.（1）求展开式中二项式系数最大的项； （2）求展开式中各项的系数和；（3）展开式中是否含有有理项，若有，求系数；若没有，说明理由.19. 设函数xe x xf 221)(=． （1）求函数)(x f 的单调区间；（2）若当]2,2[-∈x 时，不等式m x f <)(恒成立，求实数m 的取值范围．20已知函数f(x)＝x 3－3ax 2＋3x ＋1. (1)设a ＝2，求f(x)的单调区间；(2)设f(x)在区间(2,3)中至少有一个极值点，求a 的取值范围.21. 已知函数()2ln ,f x x ax x a R =+-∈．（1）若函数()f x 在[]1,2上是减函数，求实数a 的取值范围；（2）令()()2g x f x x =-，是否存在实数a ，当(]0,x e ∈（e 是自然常数）时，函数()g x 的最小值是3，若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由；22. （1）当0a =时，求()f x 的极值； （2）当0a <时，求()f x 的单调区间；（3）方程()0f x =的根的个数能否达到3，若能，请求出此时a 的范围，若不能，请说明理由．答案1.A2. B方法数有1143C C 12=种.故选B.3．D()102203110101rrrr rr T C xC xx --+⎛⎫== ⎪⎝⎭， 当=5r 时，555610252T C x x ==. 4.C 5．AQ ()()42244421(1)(1)2(1)x x x x x x x x -+---+-=-4(1)x -二项展开式的通项公式(4)14(1)r r r r T C x -+=⋅- Q 24(1)x x -中不含x 项,无需求解.Q 4(1)x x --中含x 项,即当4r =时(44444)(1)x C x x --⋅⋅=-- Q 42(1)x -中含x 项,即当3r =时(43)34328(1)C x x -⋅=--∴ ()()4221x x x -+-的展开式中x 项9x -6．B61(1)x x +-的展开式的通项为6161()(1)rr r r T C x x -+=⋅+⋅-． 61()r x x -+的展开式的通项为6161()s r s s s r T C x x--+-=⋅⋅=626s r s r C x ---⋅．由6﹣r ﹣2s=5，得r+2s=1， ∵r ，s ∈N ，∴r=1，s=0． ∴在61(1)x x+-的展开式中，含x 5项的系数为10656C C -⋅=-． 7.A 8．C当面SAB 与面SDC 同色时，面ABCD 有4种方法，面SDC 有3种方法，面SAD 有2种方法，面SAB 有1种方法，面SBC 有2种方法，即4321248⨯⨯⨯⨯=种当面SAB 与面SDC 不同色时，面ABCD 有4种方法，面SDC 有3种方法，面SAD 有2种方法，面SAB 有1种方法，面SBC 有1种方法，即4321124⨯⨯⨯⨯=种 即不同的染色方法总数为482472+=种 9．B 10． A利用分类计数原理，分成有重复数字和无重复数字的情况：（1）无重复数字：109，190，901，910，127，172，271，217，721，712，136，163，316，361，613，631，145，154，451，415，514，541，208，280，802，820，235，253，352，325，523，532，307，370，703，730，406，460，604，640，共40个，（2）有重复数字：118，181，811，226，262，622，334，343，433，442，424，244，550，505，共14个. 11.C12 B 试题分析：由2'()()ln x f x xf x x +=，得ln '()()x xf x f x x +=，从而ln [()]'xxf x x=，令()()g x xf x =，则()()g x f x x =，∴22'()()ln ()'()xg x g x x g x f x x x --==，令()ln ()h x x g x =-，则11ln 1ln '()'()x xh x g x x x x x-=-=-=（0x >）， 令'()0h x >，即1ln 0x ->，因此当0x e <<时，()h x 是增函数， 令'()0h x <，即1ln 0x -<，因此当x e >时，()h x 是减函数，由1()f e e=，得()()1g e ef e ==， ∴()h x 在(0,)+∞上有极大值()ln ()110h e e g e =-=-=，也是最大值． ∴()0h x ≤，即'()0f x ≤，当且仅当x e =时，'()0f x =， ∴()f x 在(0,)+∞上为减函数． 13. 36 14.15. 1-1-≤ea16. (1),(4)17. 解：（1）每个球都有4种方法，故有4×4×4×4＝256种，（2）每个盒子不空，共有4424A =不同的方法，（3）四个不同的小球放入编号为1，2，3，4的四个盒子中，恰有一个空盒，说明恰有一个盒子中有2个小球，从4个小球中选两个作为一个元素，同另外两个元素在三个位置全排列，故共有2344144C A =种不同的放法．18因为二项式n的二项式系数和为256，所以2256n=， 解得8n =.（1）∵8n =，则展开式的通项818rrr T C-+=⋅ 823812r rrC x --⎛⎫=⋅⋅ ⎪⎝⎭. ∴二项式系数最大的项为445813528T C ⎛⎫=-=⎪⎝⎭；（2）令二项式中的1x =，则二项展开式中各项的系数和为88111122256⎛⎫⎛⎫-==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. （3）由通项公式及08r ≤≤且r Z ∈得当1,4,7r =时为有理项；系数分别为118142C ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，44813528C ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，77811216C ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭.19.【解】（1）)2(2121)(2+=+='x x e e x xe x f xx x ， …2分 令0)2(>+x x e x，得20-<>x x 或，∴)(x f 的增区间为)2,(-∞-和),0(∞+，………4分 令0)2(<+x x e x，得02<<-x ，∴)(x f 的减区间为)0,2(-．………………………………………………6分 （2）因为]2,2[-∈x ，令0)(='x f ，得2-=x ，或0=x ，又由（1）知，2-=x ，0=x 分别为)(x f 的极小值点和极大值点， ………8分 ∵22)2(ef =-，22)2(e f =，0)0(=f ， ∴]2,0[)(2e xf ∈， ……………………………………………………………11分 ∴22e m >． …………20. 【解析】(1)当a ＝2时，f(x)＝x 3－6x 2＋3x ＋1. f′(x)＝3x 2－12x ＋3 ＝3(x 2－4x ＋1)＝3(x －2－2．当x ＜2x ＞2时，得f′(x)＞0；当2＜x ＜2时，得f′(x)＜0.因此f(x)的递增区间是(－∞，2与(2，＋∞)；f(x)的递减区间是(2，2． (2)f′(x)＝3x 2－6ax ＋3，Δ＝36a 2－36，由Δ＞0得，a ＞1或a ＜－1，又x 1x 2＝1， 可知f′(2)＜0，且f′(3)＞0， 解得54＜a ＜53， 因此a 的取值范围是55,43⎛⎫⎪⎝⎭.综上，存在实数2a e =，使得当(]0,x e ∈时()g x 有最小值3．22解析：（1）()f x 其定义域为(0,)+∞． 当0a =时， 令()0f x '=，解得1x =，当01x <<时，()0f x '<；当1x>时，()0f x '>． 所以()f x 的单调递减区间是(0,1)，单调递增区间是(1,)+∞． 所以1x =时，()f x 有极小值为(1)1f =，无极大值．（2 令()0f x '=，得当10a -<<时，得01x <<或令()0f x '>，当1a =-时，当1a <-时，令()0f x '<，或1x >，令()0f x '>， 综上所述：当10a -<<时，()f x 的单调递减区间是 当1a =-时，()f x 的单调递减区间是(0,)+∞；当1a <-时， （3）0a ≥时，∵∴()0(0)f x x '=>仅有1解，方程()0f x =至多有两个不同的解． （注：也可用min ()(1)10f x f a ==+>说明．）由（2）知10a -<<时，极小值(1)10f a =+>，方程()0f x =至多在区间1个解；1a =-时()f x 单调，方程()0f x =至多有1个解；1a <-时，，方程()0f x =仅在区间1个解．故方程()0f x =的根的个数不能达到3．。
辽宁省沈阳市辽宁省实验中学等校2023-2024学年高二下学期7月期末考试数学试题(含答案)
辽宁省实验中学等校2023-2024学年高二下学期7月期末考试数学科试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知函数（ ）A ．B ．C ．D ．2．已知一种元件的使用寿命超过1年的概率为0.8，超过2年的概率为0.6，若一个这种元件使用到1年时还未失效，则这个元件使用寿命超过2年的概率为（ ）A ．0.75B ．0.6C ．0.52D ．0.483．已知为等差数列的前n 项和，，则（ ）A ．B ．85C ．170D ．3404．已知命题p ：，，则命题p 的真假以及否定分别为（ ）A ．真，：，B ．真，：，或C ．假，：，D ．假，：，或5．已知随机变量，，，，且，若，则实数（ ）A ．0B ．-1C ．1D ．26．集合的子集个数为（ ）（其中e 为自然对数的底数）A ．2B ．4C ．8D ．167．设数列满足，,，若对一切，，则实数m 的取值范围是（）()2f x x =+()()11lim2x f x f x∆→+∆-=⋅∆32345254n S {}n a 2818220a a a ++=17S =852π0,2x ⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭2sin πx x x <<p ⌝π0,2x ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭2sin πx x x ≥≥p ⌝π0,2x ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭2sin πx x ≥sin x x ≥p ⌝π0,2x ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭2sin πx x x ≥≥p ⌝π0,2x ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭2sin πx x ≥sin x x ≥ξη1~9,3B ξ⎛⎫⎪⎝⎭()2~,N ημσ()()E D ξη=()21P a η≤++()21P a η≤-=a ={}e 1e xx x ∈+≤+Z {}n a 11a =()1ln 1n n a a m +=-+*n ∈N *n ∈N 2n a ≤A ．B ．C ．D ．8．已知定义在R 上的单调递增的函数满足：任意，有，，则下列结论错误的是（ ）A ．当时，B ．任意，C ．存在非零实数T ，使得任意，D ．存在非零实数k ，使得任意，二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．等比数列的公比为q ，则下列说法正确的是（ ）A ．为等差数列B ．若且，则递增C ．为等比数列D ．为等比数列10．甲乙两人进行投篮比赛，两人各投一次为一轮比赛，约定如下规则：如果在一轮比赛中一人投进，另一人没投进，则投进者得1分，没进者得-1分，如果一轮比赛中两人都投进或都没投进，则都得0分，当两人各自累计总分相差4分时比赛结束，得分高者获胜，在每次投球中甲投进的概率为0.5，乙投进的概率为0.6，每次投球都是相互独立的，若规定两人起始分都为2分，记为“甲累计总分为i 时，甲最终获胜”的概率，则（）A ．一轮比赛中，甲得1分的概率为0.5B ．，C ．D ．为等差数列11．已知函数，，则下列说法正确的是（）A ．若，则B ．，使得在上单调递增C ．若为的极值点，则D ．，坐标平面上存在点P ，使得有三条过点P 的直线与的图象相切三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．从含有6件正品和4件次品的产品中任取3件，记X 为所抽取的次品，则______．2m ≥12m ≤≤3m ≥23m ≤≤()f x x ∈R ()()112f x f x -++=()()224f x f x ++-=x ∈Z ()f x x =x ∈R ()()f x f x -=-x ∈R ()()f x T f x +=x ∈R ()1f x kx -≤{}n a {}ln n a 21a a >54a a >{}n a {}12n n a a ++22n n n a a a +⎧⎫+⎨⎬⎩⎭()0,1,2,3,4i P i =()00P =()41P =110.20.30.5i i i i P P P P +-=++{}()10,1,2,3i i P P i +-=()()2e xf x x a =-a ∈R 0a =()f x x≥a ∃∈R ()f x (),-∞+∞1x =()f x ea =a ∀∈R ()f x ()E X =13．已知实数x ，y 满足，则的最小值为______．14．设高斯函数表示不超过x 的最大整数（如，，），已知，,,则______；______．四、解答题，本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）甲、乙两人对局比赛，甲赢得每局比赛的概率为，每局比赛没有平局．（1）若赛制为3局2胜，，求最终甲获胜的概率；（2）若赛制为5局3胜，记为“恰好进行4局比赛且甲获得最终胜利”的概率，求的最大值及此时p 的值．16．（15分）已知数列满足，，数列的前n 项和为，且．（1）求数列，的通项公式；（2）求数列的前n 项和为．18．（15分）目前AI 技术蓬勃发展，某市投放了一批AI 无人驾驶出租车为了了解不同年龄的人对无人驾驶出租车的使用体验，随机选取了100名使用无人驾驶出租车的体验者，让他们根据体验效果进行评分．（1）现将100名消费者的年龄划分为“青年”和“中老年”，评分划分为“好评”和“差评”，整理得到如下数据，请将2×2列联表补充完整，并判断是否有99.9%的把握认为对无人驾驶出租车的评价与年龄有关．好评差评合计青年20中老年10合计40100（2）设消费者的年龄为x ，对无人驾驶出租车的体验评分为y ．若根据统计数据，用最小二乘法得到y 关于x 的线性回归方程为，且年龄x 的方差为，评分y 的方差为．求y 与x 的相关系数r ，并据此判断对无人驾驶出租车使用体验的评分与年龄的相关性强弱（当时，认为相关性强，否则认为相关性弱）．附：，210x xy +-=22x y +[]x []2.12=[]33=[]1.72-=-3107n n a ⎡⎤=⨯⎢⎥⎣⎦11b a =()*110,2n n n b a a n n -=-∈≥N 4a =2024b =()01p p <<23p =()f p ()f p {}n a 11n n n a a a +=+112a ={}n a n S 1233n n S +=-{}n a {}n b 1n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭n T ˆ 1.515y x =+29x s =225y s =0.75r ≥()()()121ˆniii nii x x y y bx x ==--=-∑∑r =独立性检验中的，其中．临界值表：0.0500.0100.0013.8416.63510.82818．（17分）已知函数，．（1）求证：时，；（2）讨论的单调性；（3）求证：，恰有一个零点．19．（17分）已知函数，定义：对给定的常数a ，数列满足，，则称数列为函数的“—数列”．（为的导函数）（1）若函数，数列为函数的“—数列”，且，求的通项公式；（2）若函数，数列为函数的“—数列”，求证：；（3）若函数，正项数列为函数的“—数列”，已知,．记数列的前n 项和为．求证：当时，．辽宁省实验中学等校2023-2024学年高二下学期7月期末考试数学科试卷参考答案1234567891011D ABBCCACABDBCABD12．13． 14．4285；2四、解答题：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++n a b c d =+++()20P K k ≥0k ()()()2ln 1ln a x f x x x+=+0a >0x >2e x x >()f x 0a ∀>()f x ()f x {}n a q a >()()()1n n n f a f a f a a a+-'=-{}n a ()f x ()L a ()f x '()f x ()2f x x ={}n a ()f x ()1L -11a ={}n a ()lng x x ={}n a ()g x ()1L 11n n a a +<<()36sin h x x x =+{}n b ()h x ()L b ()1,n n b b b +∈*n ∈N {}n b n S 0b ≥()112n n S b n b b +≥-+652-15．【解】（1）设前两局比赛甲赢为事件A ，∴设前两局比赛甲赢一局且最后甲胜为事件B ，∴甲胜的概率为（2）恰进行4局比赛且甲最后胜，则前三局比赛甲赢两局，第四局甲赢∴，∴当，，∴在上为增函数当，，∴在上为减函数∴，此时．16．【解】（1）∵，∴，∴是以为首项，以1为公差的等差数列∴，∴∵，∴∴当，，符合上式．∴，（2）由（1）得∴∴()22439P A ⎛⎫==⎪⎝⎭()122128C 33327P B =⋅⋅=()()2027P A P B +=()()22343C 133f p p p p p p =-=-()()232912334f p p p pp '=-=-()304f p p '=⇒=30,4p ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()0f p '>()f p 30,4⎛⎤ ⎥⎝⎦3,14p ⎛⎫∈⎪⎝⎭()0f p '<()f p 3,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭()max 3814256f p f ⎛⎫==⎪⎝⎭34p =11n n n a a a +=+1111n n a a +=+1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭112a =()1111211n n d n n a a =+-=+-=+11n a n =+1233n n S +=-()12332nn S n -=-≥()11333,22n nn n n n b S S n +--=-==≥1n =2113332b S -===3n n b =*n ∈N 113nn n n a b +=()23111112131133333n n n n n T --+++++=+++⋅⋅⋅++()2311111121133333n n n n n T +-++++=++⋅⋅⋅++作差：∴17．【解】（1）根据题意可得2×2列联表如下：好评差评合计青年203050中老年401050合计6040100因为，所以有99.9%的把握认为对无人驾驶出租车的评价与年龄有关．（2）因为，所以，因为，所以，因为，所以，所以相关系数，因为0.9>0.75，所以判断对无人驾驶出租车使用体验的评分与年龄的相关很强．18．【解】（1）设，，则，易知在上递增，在上递减，所以，即．（2）定义域为，,,①时，可知恒有，此时在上递增；12311111221111219313333333313n n n n n n n T -++⎛⎫- ⎪++⎛⎫⎝⎭=+++⋅⋅⋅+-=+- ⎪⎝⎭-151114346n n n T -+⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭()221002010304016.66710.82850506040K ⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯()10022119100xi i s x x ==-=∑()10021900ii x x =-=∑()100221125100yi i s y y ==-=∑()100212500i i y y =-=∑()()()100110021ˆ 1.5iii i i x x y y bx x ==--==-∑∑()()()1001002111.5 1.59001350i i i i i x x y y x x ==--=⨯-=⨯=∑∑13500.93050r ====⨯()2e xg x x -=0x >()()2exg x x x -'=-0x >()g x (]0,2[)2,+∞()()2421eg x g ≤=<22e 1e x x x x -<⇒>()f x ()0,+∞()()222ln 2ln ln x a x a x f x x x x x--'=+=0x >0a >2a =()0f x '≥()f x ()0,+∞②时，可知时，；时，，所以此时在和上递增，在上递减；③时，同理可得在和上递增，在上递减．（3）由（2）：①时，在上递增，因为，，所以此时恰有一个零点；②时，因为的极小值为，又由（1）知，结合的单调性，可知此时也恰有一个零点；③时，的极小值为，又，结合的单调性，同样也恰有一个零点．综上，，恰有一个零点．【说明】用极限代替找点，过程合理，扣2分．19．【解】（1），由题意，有，则，又，所以是以2为首项、以为公比的等比数列，所以，从而．（2）由题可得，①设，，可知当时，，递减，；当时，，递增，即时，有．因为，所以，即，以此类推，可得；02a <<()0,1,2a x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭ ()0f x '>,12a x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()0f x '<()f x 0,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭()1,+∞,12a ⎛⎫⎪⎝⎭2a >()f x ()0,1,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭1,2a ⎛⎫⎪⎝⎭2a =()f x ()0,+∞()120f =>()22e 42e 0f -=-<()f x 02a <<()f x ()10f a =>211111e 1e 0a a f a --+⎛⎫⎛⎫=+-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()f x ()f x 2a >()f x 22ln 2ln 1ln 1102222a a a a f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=++> ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()22e 42e 0f -=-<()f x ()f x 0a ∀>()f x ()()22f x x f x x '=⇒=211211n n n n a a a a +-==-+()11112n n a a ++=+112a +={}1n a +122112n n a -+=2112n n a -=-1ln 11n n n a a a +=-()ln 1x x x ϕ=-+()11x xϕ'=-1x >()0x ϕ'<()x ϕ()()10x ϕϕ<=01x <<()0x ϕ'>()x ϕ()()10x ϕϕ<=01x <≠ln 1x x <-11a >1111ln 10111a a a a -<<=--221011a a <<⇒>1n a >②由时：从而，即．综上：．（3）先证的唯一性．令，则∵，∴．∵，∴时，递增，递增，所以这样的是唯一的，且当时，，递减；时，，递增．下证：．令，，则，，∵，∴，∴，递减，递增∴即．取，得，即．累加可得．01x <≠111ln 1ln1ln 1x x x x x x<-⇒<-⇔>-111ln 1111n n n n n n a a a a a a +-=>=--1111n n n na a a a ++>⇒<11n n a a +<<1nb +()()()()()0n n h b h b H x h x x x b b-=-≥-()()n H b H b =()()()1n n n h b h b h b b b+-'=-()10n H b +'=()()()61cos 0H x h x x ''''''==-≥[)0,x ∈+∞()()()6sin H x h x x x ''''==-()0H x ''≥()H x '⇒1n b +[)10,n x b +∈()0H x '<()H x ()1,n x b +∈+∞()0H x '>()H x 12n n b b b ++<()()()12n x H x H b x ϕ+=--[)10,n x b +∈()()()12n x H x H b x ϕ+'''=+-()()()12n x H x H b x ϕ+''''''=--[)10,n x b +∈12n b x x +->()0x ϕ''<()x ϕ'()()()10n x b x ϕϕϕ+''>=⇒()()10x bn ϕϕ<+=()()12n H x H b x +<-[)10,n x b b +=∈()()()()111222n n n n n H b H b b H b H b b b b b +++<-⇒<-⇒<-12n n b b b ++<()112n n S b n b b +≥-+。
辽宁省实验中学2021-2022学年高二下学期期中阶段测试数学试卷含答案
辽宁省实验中学 2023 届高二下学期期中阶段测试数学科试卷第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、单选题：本题共8小题，每小题5分1．下列导数运算正确的是（ ） A ．()22141x x '+=+B ．ππsin cos 33'⎛⎫= ⎪⎝⎭C ．2ln 1ln x x x x '+⎛⎫=⎪⎝⎭D ．()3sin 2cos 3cos 2sin x x x x '-=+2．设数列{}n a 满足123211111222n n a a a a n -+++⋅⋅⋅+=+，则{}n a 的前n 项和（ ）A ．21n- B ．21n + C ．2nD ．121n +-3．函数22()f x x x=+的大致图像为（ ）A ．B ．C ．D ．4．正项等比数列{}n a 中，5a ，34a ，42a -成等差数列，若212a =，则17a a =（ ） A ．64 B ．32 C ．8 D ．45．2022年第24届冬季奥林匹克运动会（即2022年北京冬季奥运会）的成功举办，展现了中国作为一个大国的实力和担当，“一起向未来”更体现了中国推动构建人类命运共同体的价值追求．在北京冬季奥运会的某个比赛日，某人欲在冰壶（●）、冰球（●）、花样滑冰（）、跳台滑雪（）、自由滑雪（）、雪车（）这6个项目随机选择3个比赛项目现场观看（注：比赛项目后括号内为“●”表示当天不决出奖牌的比赛，“”表示当天会决出奖牌的比赛），则所选择的3个观察项目中当天会决出奖牌的项目数的均值为（ ） A ．1B ．32C ．2D ．526．数列{}n a 满足111122n n n a a ++⎛⎫=- ⎪⎝⎭，且112a =，若13n a <，则n 的最小值为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．67．已知数列{}n a 的首项11a =，且满足()*12n n na a n +-=∈N ，记数列11(2)(2)n n n a a a +⎧⎫+⎨⎬++⎩⎭的前n 项和为n T ，若对于任意*n ∈N ，不等式n T λ>恒成立，则实数λ的取值范围为（ ） A ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭8．已知12x x ，是函数()222ln f x x ax x =-+的两个极值点，且12x x <．当52a ≥时，不等式()12f x mx ≥恒成立，则实数m 的取值范围为（ ） A ．90,ln 28⎛⎤-- ⎥⎝⎦ B ．9,ln 28⎛⎤-∞-- ⎥⎝⎦C ．9ln 2,08⎡⎫--⎪⎢⎣⎭D ．9ln 2,8⎡⎫--+∞⎪⎢⎣⎭二、多选题：本题共4小题，每小题5分 9、下列命题中，真命题的是（ ）A ．某人射击时命中的概率为0.5，此人射击二次必命中一次B ．若回归方程0.450.6y x =-+，则变量y 与x 负相关C ．已知随机变量,X Y 满足142Y X =+，若(10,0.6)X B ，则()()7,0.6E Y D Y ==D ．若随机变量,X Y 服从正态分布()23,N σ，()40.64P X ≤=，则()230.14P X ≤≤=10、已知等差数列{}n a ，其前n 项的和为n S ，则下列结论正确的是（ ）． A ．数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列B ．数列2n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭不可能是等差数列C ．()9633S S S =-D ．若公差0d >，且5835a a =，则当12n =时，n S 取得最小值11．已如函数()3ex x f x =，则以下结论正确的是（ ）A ．函数()y f x =存在极大值和极小值B ．()()()2e 1lnf f f π-<<C ．函数()y f x =只有1个零点D ．对于任意实数k ，方程()f x kx =最多有4个实数解12．已知函数()xf x e =，()lng x x =，其中e 为自然对数的底数．下列结论正确的是（ ）A ．函数()()y f x g x =-在()0,1上单调递减B ．函数()()y f x g x =-的最小值大于2C ．若P ，Q 分别是曲线()y f x =和()y g x =上的动点，则PQD ．若()()()1f mx g x m x -≥-对()0,x ∈+∞恒成立，则1m e≥第Ⅱ卷(非选择题 共90分)三、填空题：本题共4小题，每小题5分13．已知某地区6%的男性和0.4%的女性患色盲．假如男性、女性各占一半，从中随机选一人，则此人恰是色盲的概率是 .14．已知函数()f x 的定义域是()0,∞+，其导函数是()f x ' ，且满足()()1ln 0x f x f x x'⋅+⋅>，则()e f 0.（填>或<）15．已知函数()3232f x x x =-+，若函数()f x 在()2,3a a +上存在最小值，则a 的取值范围是 .16．正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，()1111,22,n n na a S n n N a *-=+=≥∈，则1280111S S S ⎡⎤+++=⎢⎥⎣⎦. 其中[]x 表示不超过x 的最大整数. 四、解答题：本大题共6小题，共70分。
2015-2016年辽宁省实验中学分校高二(下)期中数学试卷(文科)和答案
2015-2016学年辽宁省实验中学分校高二（下）期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）原点与极点重合，x轴正半轴与极轴重合，则直角坐标为的点的极坐标是（）A．B．（4，）C．（﹣4，﹣）D．2．（5分）经过点M（1，5）且倾斜角为的直线的参数方程是（）A．B．C．D．3．（5分）工人月工资（元）依劳动生产率（千元）变化的回归直线方程为=60+90x，下列判断正确的是（）A．劳动生产率为1000元时，工资为50元B．劳动生产率提高1000元时，工资提高150元C．劳动生产率提高1000元时，工资提高90元D．劳动生产率为1000元时，工资为90元4．（5分）对于线性相关系数r，叙述正确的是（）A．|r|∈（0，+∞），|r|越大相关程度越大，反之相关程度越小B．r∈（﹣∞，+∞），r越大相关程度越大，反之相关程度越小C．|r|≤1，且|r|越接近1相关程度越大，|r|越接近0，相关程度越小D．以上说法都不对5．（5分）圆ρ=2（cosθ﹣sinθ）的圆心极坐标是（）A．B．C．D．6．（5分）否定：“自然数a，b，c中恰有一个偶数”时正确的反设为（）A．a，b，c都是偶数B．a，b，c都是奇数C．a，b，c中至少有两个偶数D．a，b，c中都是奇数或至少有两个偶数7．（5分）极坐标系中与圆ρ=6sinθ相切的一条直线的方程为（）A．ρsinθ=3B．ρcosθ=3C．D．8．（5分）在吸烟与患肺病是否有关的计算中，有下面说法：①若x2=6.635，我们有99%的把握判定吸烟与患肺病有关联，那么在100个吸烟的人中必有99个人患肺病；②由独立性检验可知有99%的把握判定吸烟与患肺病有关联时，若某人吸烟，那么他有99%的可能患有肺病；③从统计量中求出有95%的把握判定吸烟与患肺病有关联，是指有5%的可能性使得推断出现错误；其中说法正确的个数为（）A．0B．1C．2D．39．（5分）已知x、y的值如图所示，如果y与x呈现线性相关且回归直线方程为y=bx+，则b=（）A．B．C．D．10．（5分）有一段演绎推理是这样的：“若直线平行于平面，则平行于平面内所有直线，已知直线b在平面α外，直线a在平面α内，直线b∥平面α，则直线b∥直线a”的结论显然是错误的，这是因为（）A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．非以上错误11．（5分）曲线xy=1的一个参数方程是（）A．B．C．D．12．（5分）参数方程（0＜θ＜2π）表示（）A．双曲线的一支，这支过点B．抛物线的一部分，这部分过C．双曲线的一支，这支过点D．抛物线的一部分，这部分过二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）若直线的参数方程为（t为参数），则直线的斜率为．14．（5分）在极坐标系中，圆ρ=4sinθ的圆心到直线的距离是．15．（5分）在极坐标中，已知圆C经过点P（2，），圆心为直线ρsin（θ﹣）=﹣与极轴的交点，圆C的极坐标方程是．16．（5分）在等比数列{a n}中，若a9=1，则有a1•a2…a n=a1•a2…a17﹣n（n＜17，且n∈N*）成立，类比上述性质，在等差数列{b n}中，若b7=0，则有．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）某公司在一次对员工的休闲方式（看电视与运动）与性别之间是否有关系的调查中，共调查了124人，其中女性70人中主要休闲方式是看电视的有43人，男性中主要休闲方式是运动的有33人．（1）根据以上数据建立一个2×2的列联表；（2）检验性别与休闲方式是否有关系．18．（12分）在直角坐标系xOy中，直线l的方程为x﹣y+4=0，曲线C的参数方程为．（1）已知在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，点P的极坐标为，判断点P与直线l的位置关系；（2）设点Q是曲线C上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值．19．（12分）已知△ABC的三条边分别为a，b，c．用分析法证明：＜．20．（12分）已知曲线C1的参数方程式（φ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=2，正方形ABCD的顶点都在C2上，且A，B，C，D依逆时针次序排列，点A的极坐标为（2，）．（1）求点A，B，C，D的直角坐标；（2）设P为C1上任意一点，求|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围．21．（12分）在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建坐标系，已知曲线C：ρsin2θ=2acosθ（a＞0），已知过点P（﹣2，﹣4）的直线l的参数方程为，直线l与曲线C分别交于M，N．（1）写出曲线C和直线l的普通方程；（2）若|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，求a的值．22．（12分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（φ为参数），曲线C2的参数方程为（a＞b＞0，φ为参数）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l：θ=α与C1，C2各有一个交点．当α=0时，这两个交点间的距离为2，当α=时，这两个交点重合．（I）分别说明C1，C2是什么曲线，并求出a与b的值；（II）设当α=时，l与C1，C2的交点分别为A1，B1，当α=﹣时，l与C1，C2的交点为A2，B2，求四边形A1A2B2B1的面积．2015-2016学年辽宁省实验中学分校高二（下）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）原点与极点重合，x 轴正半轴与极轴重合，则直角坐标为的点的极坐标是（ ）A ．B ．（4，）C ．（﹣4，﹣）D ．【解答】解：∵x=﹣2，y=﹣2；∴ρ===4；又x=ρcos θ=﹣2，∴cos θ=﹣=﹣，且θ为第三象限角， ∴θ=；∴该点的极坐标为（4，）．故选：B ．2．（5分）经过点M （1，5）且倾斜角为的直线的参数方程是（ ）A ．B ．C ．D ．【解答】解：设P 为直线上任意一点，设有向线段PM=t ，则P 点横坐标为x=1﹣tcos=1+，P 点纵坐标为y=5﹣tsin=5﹣t ．∴直线的参数方程为（t 为参数）．3．（5分）工人月工资（元）依劳动生产率（千元）变化的回归直线方程为=60+90x，下列判断正确的是（）A．劳动生产率为1000元时，工资为50元B．劳动生产率提高1000元时，工资提高150元C．劳动生产率提高1000元时，工资提高90元D．劳动生产率为1000元时，工资为90元【解答】解：∵回归直线方程为，∴当x增加1时，y要增加90元，∴当劳动效率增加1000元时，工资提高90元，故选：C．4．（5分）对于线性相关系数r，叙述正确的是（）A．|r|∈（0，+∞），|r|越大相关程度越大，反之相关程度越小B．r∈（﹣∞，+∞），r越大相关程度越大，反之相关程度越小C．|r|≤1，且|r|越接近1相关程度越大，|r|越接近0，相关程度越小D．以上说法都不对【解答】解：用相关系数r可以衡量两个变量之间的相关关系的强弱，r的绝对值越接近于1，表示两个变量的线性相关性越强，r的绝对值接近于0时，表示两个变量之间几乎不存在相关关系，故选：C．5．（5分）圆ρ=2（cosθ﹣sinθ）的圆心极坐标是（）A．B．C．D．【解答】解：圆ρ=2（cosθ﹣sinθ）即：ρ2=2ρ（cosθ﹣sinθ），化为直角坐标方程：x2+y2=2（x﹣y），配方为：+=4．圆心C，可得极坐标=2，tanθ=﹣1，且θ在第四象限，∴圆心C极坐标为．故选：B．6．（5分）否定：“自然数a，b，c中恰有一个偶数”时正确的反设为（）A．a，b，c都是偶数B．a，b，c都是奇数C．a，b，c中至少有两个偶数D．a，b，c中都是奇数或至少有两个偶数【解答】解：∵命题“自然数a、b、c中恰有一个偶数”可得反设的内容是：a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数故选：D．7．（5分）极坐标系中与圆ρ=6sinθ相切的一条直线的方程为（）A．ρsinθ=3B．ρcosθ=3C．D．【解答】解：圆ρ=6sinθ，即：ρ2=6ρsinθ，化为直角坐标方程：x2+y2=6y，配方为x2+（y﹣3）2=9，圆心为（0，3），半径r=3．对于B：直线ρcosθ=3化为x=3，圆心到此直线的距离d=3=r，因此直线与圆相切，故选：B．8．（5分）在吸烟与患肺病是否有关的计算中，有下面说法：①若x2=6.635，我们有99%的把握判定吸烟与患肺病有关联，那么在100个吸烟的人中必有99个人患肺病；②由独立性检验可知有99%的把握判定吸烟与患肺病有关联时，若某人吸烟，那么他有99%的可能患有肺病；③从统计量中求出有95%的把握判定吸烟与患肺病有关联，是指有5%的可能性使得推断出现错误；其中说法正确的个数为（）A．0B．1C．2D．3【解答】解：①若x2=6.635，我们有99%的把握判定吸烟与患肺病有关联，指的是判断可能性的程度大小，但不一定100个吸烟的人中必有99个人患肺病，故错误；②由独立性检验可知有99%的把握判定吸烟与患肺病有关联时，并不是说某人吸烟，那么他有99%的可能患有肺病，故错误；③从统计量中求出有95%的把握判定吸烟与患肺病有关联，即关联程度为95%，那么有5%的可能性使得推断出现错误，故正确．故选：B．9．（5分）已知x、y的值如图所示，如果y与x呈现线性相关且回归直线方程为y=bx+，则b=（）A．B．C．D．【解答】解：根据所给的三对数据，得到=3，=5，∴这组数据的样本中心点是（3，5）∵线性回归直线的方程一定过样本中心点，∴5=3b+，∴b=，故选：B．10．（5分）有一段演绎推理是这样的：“若直线平行于平面，则平行于平面内所有直线，已知直线b在平面α外，直线a在平面α内，直线b∥平面α，则直线b∥直线a”的结论显然是错误的，这是因为（）A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．非以上错误【解答】解：直线平行于平面，则直线可与平面内的直线平行、异面、异面垂直．故大前提错误．故选：A．11．（5分）曲线xy=1的一个参数方程是（）A．B．C．D．【解答】解：A、B、C、D四个选项的参数方程，均可得到xy=1，但是A，B，x＞0，y＞0；D，|x|≤1，故不满足．故选：C．12．（5分）参数方程（0＜θ＜2π）表示（）A．双曲线的一支，这支过点B．抛物线的一部分，这部分过C．双曲线的一支，这支过点D．抛物线的一部分，这部分过【解答】解：∵x=|cos+sin|，∴x2=1+sinθ，∵y=（1+sinθ），∴y=x2，是抛物线；当x=1时，y=；故选：B．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）若直线的参数方程为（t为参数），则直线的斜率为﹣2．【解答】解：直线的普通方程为2x+y=4，即y=﹣2x+4，∴直线的斜率的﹣2．故答案为：﹣2．14．（5分）在极坐标系中，圆ρ=4sinθ的圆心到直线的距离是1．【解答】解：圆ρ=4sinθ表示圆心为C，半径r=2的圆．∴圆心C到直线的距离d==1．故答案为：1．15．（5分）在极坐标中，已知圆C经过点P（2，），圆心为直线ρsin（θ﹣）=﹣与极轴的交点，圆C的极坐标方程是ρ=4cosθ．【解答】解：圆C经过点P（2，），化为直角坐标P（2，2）．直线ρsin（θ﹣）=﹣展开可得：=﹣，化为直角坐标方程：y﹣x=﹣2，令y=0，则x=2，可得直线与极轴的交点C（2，0），要求的圆的方程为：（x﹣2）2+y2=22，展开可得：x2+y2﹣4x=0，化为极坐标方程：ρ2﹣4ρcosθ=0，即ρ=4cosθ，故答案为：ρ=4cosθ．16．（5分）在等比数列{a n}中，若a9=1，则有a1•a2…a n=a1•a2…a17﹣n（n＜17，且n∈N*）成立，类比上述性质，在等差数列{b n}中，若b7=0，则有b1+b2+…+b n=b1+b2+…+b13﹣n（n＜13，且n∈N*）．【解答】解：在等比数列中，若a9=1，则a18﹣n⋅⋅⋅a9⋅⋅⋅a n=1即a1•a2…a n=a1•a2…a17﹣n（n＜17，且n∈N*）成立，利用的是等比性质，若m+n=18，•a n=a9•a9=1，则a18﹣n∴在等差数列{b n}中，若b7=0，利用等差数列的性质可知，若m+n=14，b14﹣+b n=b7+b7=0，n∴b1+b2+…+b n=b1+b2+…+b13﹣n（n＜13，且n∈N*）故答案为：b1+b2+…+b n=b1+b2+…+b13﹣n（n＜13，且n∈N*）．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）某公司在一次对员工的休闲方式（看电视与运动）与性别之间是否有关系的调查中，共调查了124人，其中女性70人中主要休闲方式是看电视的有43人，男性中主要休闲方式是运动的有33人．（1）根据以上数据建立一个2×2的列联表；（2）检验性别与休闲方式是否有关系．【解答】解：（1）2×2的列联表：（2）根据列联表中的数据得到：χ2=≈6.201．因为χ2＞5.024，所以有97.5%的把握认为休闲方式与性别有关系．18．（12分）在直角坐标系xOy中，直线l的方程为x﹣y+4=0，曲线C的参数方程为．（1）已知在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，点P的极坐标为，判断点P与直线l的位置关系；（2）设点Q是曲线C上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值．【解答】解：（1）∵曲线C的参数方程为，∴曲线C的普通方程是，∵点P的极坐标为，∴点P的普通坐标为（4cos，4sin），即（0，4），把（0，4）代入直线l：x﹣y+4=0，得0﹣4+4=0，成立，故点P在直线l上．（2）∵Q在曲线C：上，（0°≤α＜360°）∴到直线l：x﹣y+4=0的距离：=，（0°≤α＜360°）∴．19．（12分）已知△ABC的三条边分别为a，b，c．用分析法证明：＜．【解答】证明依题意a＞0，b＞0，∴1+＞0，1+a+b＞0，要证＜，只需证（1+a+b）＜（1+）（a+b），只需证＜a+b，只需证ab＜（a+b）2，只需证a2+b2+ab＞0，∵a2+b2+ab=+b2＞0成立，∴＜成立．20．（12分）已知曲线C1的参数方程式（φ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=2，正方形ABCD的顶点都在C2上，且A，B，C，D依逆时针次序排列，点A的极坐标为（2，）．（1）求点A，B，C，D的直角坐标；（2）设P为C1上任意一点，求|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围．【解答】解：（1）∵曲线C2的极坐标方程为ρ=2，∴曲线C2的直角坐标方程为x2+y2=4，∵正方形ABCD的顶点都在C2上，且A，B，C，D依逆时针次序排列，点A的极坐标为（2，），∴A点直角坐标为（0，2），点B的极坐标为（2，π），∴B点直角坐标为（﹣2，0），点C的极坐标为（2，），∴C点直角坐标为（0，﹣2），点D的极坐标为（2，2π），∴D点直角坐标为（2，0）．（2）∵曲线C1的参数方程式（φ为参数），P为C1上任意一点，∴P（2cosφ，3sinφ），令S=|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2，则S=4cos2φ+（2﹣3sinφ）2+（﹣2﹣2cosφ）2+9sin2φ+4cos2φ+（﹣2﹣3sin φ）2+（2﹣2cosφ）2+9sin2φ=16cos2φ+36sin2φ+16=20sin2φ+32，∵0≤sin2φ≤1，∴S的取值范围是：[32，52]．21．（12分）在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建坐标系，已知曲线C：ρsin2θ=2acosθ（a＞0），已知过点P（﹣2，﹣4）的直线l的参数方程为，直线l与曲线C分别交于M，N．（1）写出曲线C和直线l的普通方程；（2）若|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，求a的值．【解答】解：（1）由曲线C：ρsin2θ=2acosθ（a＞0），可得ρ2sin2θ=2aρcos θ，化为y2=2ax．由直线l的参数方程为，消去参数t可得直线l：y=x﹣2．（2）联立，化为x2﹣（4+2a）x+4=0，∵直线l与抛物线相交于两点，∴△=（4+2a）2﹣16＞0，解得a＞0或a＜﹣4．（*）∴x1+x2=4+2a，x1x2=4．∴|MN|===．=，|PN|=．∴|PM||PN|=2|（x1+2）（x2+2）|=2|x1x2+2（x1+x2）+4|=2|16+4a|∵|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，∴|MN|2=|PM||PN|，∴=2|16+4a|，化为a（4+a）=|4+a|，∵a＞0或a＜﹣4．解得a=1．∴a=1．22．（12分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（φ为参数），曲线C2的参数方程为（a＞b＞0，φ为参数）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l：θ=α与C1，C2各有一个交点．当α=0时，这两个交点间的距离为2，当α=时，这两个交点重合．（I）分别说明C1，C2是什么曲线，并求出a与b的值；（II）设当α=时，l与C1，C2的交点分别为A1，B1，当α=﹣时，l与C1，C2的交点为A2，B2，求四边形A1A2B2B1的面积．【解答】解：（Ⅰ）C1是圆，C2是椭圆．当α=0时，射线l与C1，C2交点的直角坐标分别为（1，0），（a，0），因为这两点间的距离为2，所以a=3当时，射线l与C1，C2交点的直角坐标分别为（0，1）（0，b），因为这两点重合所以b=1．（Ⅱ）C1，C2的普通方程为x2+y2=1和．当时，射线l与C1交点A1的横坐标为，与C2交点B1的横坐标为．当时，射线l与C1，C2的两个交点A2，B2分别与A1，B1关于x轴对称，因此四边形A1A2B2B1为梯形．故四边形A1A2B2B1的面积为．。
2017-2018年辽宁省实验中学高二(下)期中数学试卷(文科)和答案
2017-2018学年辽宁省实验中学高二（下）期中数学试卷（文科）一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）复数3﹣4i的虚部是（）A．4B．﹣4C．4i D．﹣4i2．（5分）复数1+2i的共轭复数是（）A．2+i B．﹣1+2i C．1﹣2i D．﹣1﹣2i 3．（5分）复数z=（2﹣i）2在复平面内对应的点所在的象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限4．（5分）已知复数z=（m2﹣1）﹣（m+1）i，其中m∈R．若z是纯虚数，则m=（）A．1B．﹣1C．1或﹣1D．05．（5分）已知复数z=a+，其中a∈R．若z，则a=（）A．1B．﹣1C．1或﹣1D．06．（5分）复数z满足（1﹣i）•z=3+5i，则|z|=（）A．2B．2C．D．7．（5分）i是虚数单位，复数z满足条件|z﹣i|=|3﹣4i|，则|z|的最大值是（）A．3B．4C．5D．68．（5分）复数z满足z2=i，则下列四个判断中，正确的个数是（）①z有且只有两个解；②z只有虚数解；③z的所有解的和等于0；④z的解的模都等于1；A．1B．2C．3D．49．（5分）为了表示散点图中n个点与某一条直线在整体上的接近程度，我们常用下面四个量中的（）A．（y i i）B．（i﹣y i）C．（y i i）2D．（i﹣y i）210．（5分）在平面几何中，与三角形的三条边所在直线的距离相等的点有且只有四个．类似的：在立体几何中，与正四面体的六条棱所在直线的距离相等的点（ ） A ．有且只有一个 B ．有且只有三个 C ．有且只有四个 D ．有且只有五个11．（5分）函数f （x ）=x 2+（a 3﹣a 2）x+1，已知f （x ）在x=0时取得极值，则a 的值为（ ） A ．0 B ．1C ．0和1D ．以上都不正确 12．（5分）角A ，B 是△ABC 的两个内角．下列六个条件中，“A ＞B ”的充分必要条件的个数是（ ）①sinA ＞sinB ； ②cosA ＜cosB ； ③tanA ＞tanB ； ④sin 2A ＞sin 2B ； ⑤cos 2A ＜cos 2B ； ⑥tan 2A ＞tan 2B ． A ．5B ．6C ．3D ．4三、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）用反证法证明“已知a ，b ，c ∈R +，求证：a 这三个数中至少有一个不小于2”时，所做出的假设为 ．14．（5分）在平面几何中：已知O 是△ABC 内的任意一点，连结AO ，BO ，CO并延长交对边于A ′，B ′，C ′，则=1．这是一个真命题，其证明常采用“面积法”．拓展到空间，可以得出的真命题是：已知O 是四面体ABCD 内的任意一点，连结AO ，BO ，CO ，DO 并延长交对面于A ′，B ′，C ′，D ′，则 ． 15．（5分）在研究函数f （x ）=2（x ≠0）的单调区间时，有如下解法：设g （x ）=lnf （x ）=，g （x ）在区间（﹣∞，0）和区间（0，+∞）上是减函数，因为g （x ）与f （x ）有相同的单调区间，所以f （x ）在区间（﹣∞，0）和区间（0，+∞）上是减函数．类比上述作法，研究函数y=x x （x ＞0）的单调区间，其单调增区间为 ． 16．（5分）某同学在一次研究性学习中发现：若集合A ，B 满足：A ∪B={1，2}，则A ，B 共有9组；若集合A，B，C满足：A∪B∪C={1，2}，则A，B，C共有49组；若集合A，B，C，D满足：A∪B∪C∪D={1，2}，则A，B，C，D共有225组．根据上述结果，将该同学的发现推广为A，B，C，D，E五个集合，可以得出的正确结论是：若集合A，B，C，D，E满足：A∪B∪C∪D∪E={1，2}，则A，B，C，D，E共有组．三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）为了调查某校高二同学是否需要学校提供学法指导，用简单随机抽样方法从该校高二年级调查了55位同学，结果如下：（Ⅰ）估计该校高二年级同学中，需要学校提供学法指导的同学的比例（用百分数表示，保留两位有效数字）；（Ⅱ）能否有95%的把握认为该校高二年级同学是否需要学校提供学法指导与性别有关？（Ⅲ）根据（Ⅱ）的结论，能否提出更好的调查方法来估计该校高二年级同学中，需要学校提供学法指导？说明理由．附：K2=18．（12分）某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此作了四次试验，得到的数据如下：（Ⅰ）在给定的坐标系中画出表中数据的散点图；（Ⅱ）试对x与Y的关系进行相关性检验，如x与Y具有线性相关关系，求出Y对x的回归直线方程；（Ⅲ）试预测加工7个零件需要多少时间？参考数据：=3.54，=1.12．附：r=）；=，=；相关性检验的临界值表注：表中的n 为数据的组数19．（12分）已知数列{a n }满足a 1=，a n+1=（n ∈N*）．（Ⅰ）求a 2，a 3，a 4，a 5，并猜测{a n }的通项公式； （Ⅱ）试写出常数c 的一个值，使数列{}是等差数列；（无需证明）（Ⅲ）证明（Ⅱ）中的数列{}是等差数列，并求{a n }的通项公式．20．（14分）已知函数f （x ）=e m •e x ﹣lnx （x ＞0），设g （x ）是f （x ）的导函数． （Ⅰ）求g （x ），并指出函数g （x ）（x ＞0）的单调性和值域； （Ⅱ）若f （x ）的最小值等于0，证明：．请考生在第21、22题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑．[选修4-4：坐标系与参数方程]21．（10分）已知在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程是，（t为参数），曲线C 的参数方程是，（φ为参数），点P （2，2）．（Ⅰ）将曲线C 的方程化为普通方程，并指出曲线C 是哪一种曲线； （Ⅱ）直线l 与曲线C 交于点A ，B ，当|PA|+|PB|=4时，求直线l 的斜率..[选修4-5：不等式选讲]已知函数. 22．已知函数f （x ）=|x ﹣a|．（Ⅰ）若不等式f（x）≤b的解集为{x|1≤x≤5}，求a，b的值；（Ⅱ）若不等式f（x+a+2）+f（x）≤4的解集非空，求实数a的取值范围．请考生在第23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．（10分）在直角坐标系xOy中，直线l的方程是y=8，圆C的参数方程是（φ为参数）．以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求直线l和圆C的极坐标方程；（2）射线OM：θ=α（其中）与圆C交于O、P两点，与直线l交于点M，射线ON：与圆C交于O、Q两点，与直线l交于点N，求的最大值．[选修4-5：不等式选讲]24．已知a，b，c是实数，函数f（x）=ax2+bx+c，g（x）=ax+b，当﹣1≤x≤1时|f（x）|≤1．（1）证明：|c|≤1；（2）证明：当﹣1≤x≤1时，|g（x）|≤2；（3）设a＞0，有﹣1≤x≤1时，g（x）的最大值为2，求f（x）．2017-2018学年辽宁省实验中学高二（下）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）复数3﹣4i的虚部是（）A．4B．﹣4C．4i D．﹣4i【解答】解：复数3﹣4i的虚部是﹣4．故选：B．2．（5分）复数1+2i的共轭复数是（）A．2+i B．﹣1+2i C．1﹣2i D．﹣1﹣2i【解答】解：复数1+2i的共轭复数是1﹣2i，故选：C．3．（5分）复数z=（2﹣i）2在复平面内对应的点所在的象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：复数z=（2﹣i）2=3﹣4i在复平面内对应的点（3，﹣4）所在的象限是第四象限．故选：D．4．（5分）已知复数z=（m2﹣1）﹣（m+1）i，其中m∈R．若z是纯虚数，则m=（）A．1B．﹣1C．1或﹣1D．0【解答】解：∵z=（m2﹣1）﹣（m+1）i是纯虚数，∴，即m=1．故选：A．5．（5分）已知复数z=a+，其中a∈R．若z，则a=（）A．1B．﹣1C．1或﹣1D．0【解答】解：∵复数z=a+，其中a∈R．∴z+=a+i+=a+i+=a+i+﹣i，∵z，∴﹣=0，解得：a=±1．故选：C．6．（5分）复数z满足（1﹣i）•z=3+5i，则|z|=（）A．2B．2C．D．【解答】解：∵（1﹣i）•z=3+5i，∴（1+i）（1﹣i）•z=（1+i）（3+5i），∴2z=﹣2+8i，可得：z=﹣1+4i．则|z|==．故选：C．7．（5分）i是虚数单位，复数z满足条件|z﹣i|=|3﹣4i|，则|z|的最大值是（）A．3B．4C．5D．6【解答】解：设z=x+yi（x，y∈R），∵|z﹣i|=|3﹣4i|，∴=5，即x2+（y﹣1）2=25，圆心C（0，1）到原点的距离d=1，则|z|≤d+r=1+5=6．故选：D．8．（5分）复数z满足z2=i，则下列四个判断中，正确的个数是（）①z有且只有两个解；②z只有虚数解；③z的所有解的和等于0；④z的解的模都等于1；A．1B．2C．3D．4【解答】解：设z=a+bi（a，b∈R），由z2=i，得（a+bi）2=a2+b2+2abi=i，∴，解得：或．∴z=或z=﹣，则z有且只有两个解；z只有虚数解；z的所有解的和等于0；z的解的模都等于1．∴①②③④都正确．故选：D．9．（5分）为了表示散点图中n个点与某一条直线在整体上的接近程度，我们常用下面四个量中的（）A．（y i i）B．（i﹣y i））2D．（i﹣y i）2C．（yi i【解答】解：利用残差的平方和来描述散点图中的点与某一条直线在整体上的接近程度，残差指的是数据真实值与估计值之间的差，为了表示n个点与相应直线在整体上的接近程度，表示它常用（y）2来描i i述．故选：C．10．（5分）在平面几何中，与三角形的三条边所在直线的距离相等的点有且只有四个．类似的：在立体几何中，与正四面体的六条棱所在直线的距离相等的点（）A．有且只有一个B．有且只有三个C．有且只有四个D．有且只有五个【解答】解：在平面几何中，与三角形的三条边所在直线的距离相等的点有且只有四个．一个是三条内角平分线的交点，三个是外角平分线的交点；类比到立体几何中，与正四面体的六条棱所在直线的距离相等的点有且只有五个，一个是正四面体的中心，另外四个是外面的延展面的中心．如图所示：故选：D．11．（5分）函数f（x）=x2+（a3﹣a2）x+1，已知f（x）在x=0时取得极值，则a的值为（）A．0B．1C．0和1D．以上都不正确【解答】解：因为函数f（x）=x2+（a3﹣a2）x+1，所以f'（x）=x3+（1﹣a）x+a3﹣a2，因为f（x）在x=0处取得极值，所以f'（0）=a3﹣a2=0，解得a=1或a=0．验证：当a=1时，f（x）=﹣x2+1，f'（x）=x3﹣x，易得f（x）在x=0处取得极大值．当a=0时，f（x）=+1，f'（x）=x3+x2，x=0不是极值点．故选：B．12．（5分）角A，B是△ABC的两个内角．下列六个条件中，“A＞B”的充分必要条件的个数是（）①sinA＞sinB；②cosA＜cosB；③tanA＞tanB；④sin2A＞sin2B；⑤cos2A＜cos2B；⑥tan2A＞tan2B．A．5B．6C．3D．4【解答】解：当A＞B时，根据“大边对大角”可知，a＞b，由于，所以，sinA＞sinB，则①是“A＞B”的充分必要条件；由于0＜B＜A＜π，余弦函数y=cosx在区间（0，π）上单调递减，所以，cosA＜cosB，则②是“A＞B”的充分必要条件；当A＞B时，若A是钝角，B为锐角，则tanA＜0＜tanB，则③不是“A＞B”的充分必要条件；由于0＜B＜A＜π，则sinA＞0，sinB＞0，若sin2A＞sin2B，则sinA＞sinB，所以，④是“A＞B”的充分必要条件；当cos2A＜cos2B，即1﹣sin2A＜1﹣sin2B，所以，sin2A＞sin2B，所以，⑤是“A＞B”的充分必要条件；由于tan2A＞tan2B，即，即，所以，，则cos2A＜cos2B，所以，⑥是“A＞B”的充分必要条件；故选：A．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）用反证法证明“已知a，b，c∈R+，求证：a这三个数中至少有一个不小于2”时，所做出的假设为a，b，c∈R+，这三个数都小于2．【解答】解：“已知a，b，c∈R+，求证：a这三个数中至少有一个不小于2”，命题的否定为：这三个数都小于2．所以用反证法证明“已知a，b，c∈R+，求证：a这三个数中至少有一个不小于2”时，所做出的假设为：a，b，c∈R+，这三个数都小于2．故答案为：a，b，c∈R+，这三个数都小于2．14．（5分）在平面几何中：已知O是△ABC内的任意一点，连结AO，BO，CO并延长交对边于A′，B′，C′，则=1．这是一个真命题，其证明常采用“面积法”．拓展到空间，可以得出的真命题是：已知O是四面体ABCD内的任意一点，连结AO，BO，CO，DO并延长交对面于A′，B′，C′，D′，则．【解答】解：猜想：若O四面体ABCD内任意点，AO，BO，CO，DO并延长交对面于A′，B′，C′，D′，则．用“体积法”证明如下：=+++==1，故答案为：．15．（5分）在研究函数f（x）=2（x≠0）的单调区间时，有如下解法：设g（x）=lnf（x）=，g（x）在区间（﹣∞，0）和区间（0，+∞）上是减函数，因为g（x）与f（x）有相同的单调区间，所以f（x）在区间（﹣∞，0）和区间（0，+∞）上是减函数．类比上述作法，研究函数y=x x（x＞0）的单调区间，其单调增区间为．【解答】解：设g（x）=lnf（x）=xlnx，则g′（x）=lnx+1，令g′（x）＞0，则x＞，即g（x）在上为增函数，又由复合函数单调性同增异减的原则，y=x x（x＞0）的单调增区间为，故答案为：．16．（5分）某同学在一次研究性学习中发现：若集合A，B满足：A∪B={1，2}，则A，B共有9组；若集合A，B，C满足：A∪B∪C={1，2}，则A，B，C共有49组；若集合A，B，C，D满足：A∪B∪C∪D={1，2}，则A，B，C，D共有225组．根据上述结果，将该同学的发现推广为A，B，C，D，E五个集合，可以得出的正确结论是：若集合A，B，C，D，E满足：A∪B∪C∪D∪E={1，2}，则A，B，C，D，E共有961组．【解答】解：由A∪B={1，2}时，A，B共有9组，即32=9；A∪B∪C={1，2}时，A，B，C共有49组，即72=49；A∪B∪C∪D={1，2}时，A，B，C，D共有225组，即152=225；根据上述结果，推广为：A∪B∪C∪D∪E={1，2}时，A，B，C，D，E共有312=961，即961组．故答案为：961．三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）为了调查某校高二同学是否需要学校提供学法指导，用简单随机抽样方法从该校高二年级调查了55位同学，结果如下：（Ⅰ）估计该校高二年级同学中，需要学校提供学法指导的同学的比例（用百分数表示，保留两位有效数字）；（Ⅱ）能否有95%的把握认为该校高二年级同学是否需要学校提供学法指导与性别有关？（Ⅲ）根据（Ⅱ）的结论，能否提出更好的调查方法来估计该校高二年级同学中，需要学校提供学法指导？说明理由．附：K2=【解答】解：（Ⅰ）该校高二年级同学中，需要学校提供学法指导的同学的比例估计值为；……（2分）（Ⅱ）由列联表，计算，因为3.911＞3.841，所以有95%的把握认为该校高二年级同学是否需要学校提供学法指导与性别有关；……（8分）（Ⅲ）由（Ⅱ）的结论可知，该校高二年级同学是否需要学校提供学法指导与性别有关，并且从样本数据能看出该校高二年级同学男同学与女同学中需要学校提供学法指导的比例有明显差异，因此在调查时，先确定该校高二年级同学中男、女的比例，再把同学分成男、女两层并采用分层抽样的方法；这样的抽样比采用简单随机抽样方法更好．……（12分）18．（12分）某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此作了四次试验，得到的数据如下：（Ⅰ）在给定的坐标系中画出表中数据的散点图；（Ⅱ）试对x与Y的关系进行相关性检验，如x与Y具有线性相关关系，求出Y对x的回归直线方程；（Ⅲ）试预测加工7个零件需要多少时间？参考数据：=3.54，=1.12．附：r=）；=，=；相关性检验的临界值表注：表中的n为数据的组数【解答】解：（Ⅰ）散点图．（Ⅱ）由表中数据得：，，，，；从而有95%的把握认为x与Y之间具有线性相关关系，因此求回归直线方程是有意义的．计算得：，，所以．（Ⅲ）将7代入回归直线方程，得y=0.7×7+1.05=5.95（小时）预测加工7个零件需要5.95小时．19．（12分）已知数列{a n}满足a1=，a n+1=（n∈N*）．（Ⅰ）求a2，a3，a4，a5，并猜测{a n}的通项公式；（Ⅱ）试写出常数c的一个值，使数列{}是等差数列；（无需证明）（Ⅲ）证明（Ⅱ）中的数列{}是等差数列，并求{a n}的通项公式．【解答】解：（Ⅰ）a1=，a n+1=（n∈N*），可得，，，，猜想通项公式为；（Ⅱ）c=1；（Ⅲ）证明：因为（n∈N*），所以==（n∈N*）．从而数列是首项为2，公差为1的等差数列，即（n∈N*）．故（n∈N*）．20．（14分）已知函数f（x）=e m•e x﹣lnx（x＞0），设g（x）是f（x）的导函数．（Ⅰ）求g（x），并指出函数g（x）（x＞0）的单调性和值域；（Ⅱ）若f（x）的最小值等于0，证明：．【解答】解：（Ⅰ）由题意得：．因为所以函数g（x）在（0，+∞）上是单调增函数，值域为（﹣∞，+∞）．……（6分）（Ⅱ）由（Ⅰ）得：g（x）=0有且只有一个解，设x0满足g（x0）=0，则当x∈（0，x0）时，g（x）＜0；当x∈（x0，+∞）时，g（x）＞0．所以函数f（x）在区间（0，x0）上是减函数，在区间（x0，+∞）上是增函数，f（x0）是极小值．从而．因为函数（x＞0）是减函数且y x=1=1，，所以1＜x0＜2．因为，所以．……（14分）请考生在第21、22题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑．[选修4-4：坐标系与参数方程]21．（10分）已知在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程是，（t 为参数），曲线C的参数方程是，（φ为参数），点P（2，2）．（Ⅰ）将曲线C的方程化为普通方程，并指出曲线C是哪一种曲线；（Ⅱ）直线l与曲线C交于点A，B，当|PA|+|PB|=4时，求直线l的斜率..【解答】解：（Ⅰ）曲线C的参数方程是，（φ为参数），曲线C的普通方程是x2+y2=4，曲线C的轨迹是以原点为圆心，2为半径的圆．（Ⅱ）点A，B满足：所以（2+tcosα）2+（2+tsinα）2=4，即t2+4（sinα+cosα）t+4=0．因为t1t2=4，所以|t1|+|t2|=|t1+t2|．从而|PA|+|PB|=|4（sinα+cosα）|=．所以．整理sin2α=1，由于0＜α≤π，所以．即：k=tan=1，故直线l的斜率为1．[选修4-5：不等式选讲]已知函数.22．已知函数f（x）=|x﹣a|．（Ⅰ）若不等式f（x）≤b的解集为{x|1≤x≤5}，求a，b的值；（Ⅱ）若不等式f（x+a+2）+f（x）≤4的解集非空，求实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）不等式|x﹣a|≤b成立，当且仅当b≥0与a﹣b≤x≤a+b同时成立．依题意a﹣b=1，a+b=5，解得a=3，b=2．（Ⅱ）f（x+a+2）+f（x）≤4 的解集非空，等价于|x+2|+|x﹣a|≤4 的解集非空．由绝对值三角不等式得|x+2|+|x﹣a|的最小值是|x+2﹣（x﹣a）|=|a﹣2|，∴不等式|x+2|+|x﹣a|≤4的解集非空，当且仅当a满足|a+2|≤4，即﹣6≤a≤2，即实数a的取值范围为[﹣6，2]．请考生在第23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．（10分）在直角坐标系xOy中，直线l的方程是y=8，圆C的参数方程是（φ为参数）．以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求直线l和圆C的极坐标方程；（2）射线OM：θ=α（其中）与圆C交于O、P两点，与直线l交于点M，射线ON：与圆C交于O、Q两点，与直线l交于点N，求的最大值．【解答】解：（Ⅰ）∵直线l的方程是y=8，∴直线l的极坐标方程是ρsinθ=8．∵圆C的参数方程是（φ为参数），∴圆C的普通方程分别是x2+（y﹣2）2=4，即x2+y2﹣4y=0，∴圆C的极坐标方程是ρ=4sinθ．…．（5分）（Ⅱ）依题意得，点P，M的极坐标分别为和，∴|OP|=4sinα，|OM|=，从而==．同理，=．∴==，故当时，•的值最大，该最大值是．…（10分）[选修4-5：不等式选讲]24．已知a，b，c是实数，函数f（x）=ax2+bx+c，g（x）=ax+b，当﹣1≤x≤1时|f（x）|≤1．（1）证明：|c|≤1；（2）证明：当﹣1≤x≤1时，|g（x）|≤2；（3）设a＞0，有﹣1≤x≤1时，g（x）的最大值为2，求f（x）．【解答】（1）证明：由条件当=1≤x≤1时，|f（x）|≤1，取x=0得：|c|=|f（0）|≤1，即|c|≤1．（2）证法一：依题设|f（0）|≤1而f（0）=c，所以|c|≤1．当a＞0时，g（x）=ax+b在[﹣1，1]上是增函数，于是g（﹣1）≤g（x）≤g（1），（﹣1≤x≤1）．∵|f（x）|≤1，（﹣1≤x≤1），|c|≤1，∴g（1）=a+b=f（1）﹣c≤|f（1）|+|c|=2，g（﹣1）=﹣a+b=﹣f（﹣1）+c≥﹣（|f（﹣1）|+|c|）=﹣2，因此得|g（x）|≤2 （﹣1≤x≤1）；当a＜0时，g（x）=ax+b在[﹣1，1]上是减函数，于是g（﹣1）≥g（x）≥g（1），（﹣1≤x≤1），∵|f（x）|≤1 （﹣1≤x≤1），|c|≤1∴|g（x）|=|f（1）﹣c|≤|f（1）|+|c|≤2．当a=0时，g（x）=b，f（x）=bx+c．∵﹣1≤x≤1，∴|g（x）|=|f（1）﹣c|≤|f（1）|+|c|≤2．综合以上结果，当﹣1≤x≤1时，都有|g（x）|≤2．证法二：∵|f（x）|≤1（﹣1≤x≤1）∴|f（﹣1）|≤1，|f（1）|≤1，|f（0）|≤1，∵f（x）=ax2+bx+c，∴|a﹣b+c|≤1，|a+b+c|≤1，|c|≤1，因此，根据绝对值不等式性质得：|a﹣b|=|（a﹣b+c）﹣c|≤|a﹣b+c|+|c|≤2，|a+b|=|（a+b+c）﹣c|≤|a+b+c|+|c|≤2，∵g（x）=ax+b，∴|g（±1）|=|±a+b|=|a±b|≤2，函数g（x）=ax+b的图象是一条直线，因此|g（x）|在[﹣1，1]上的最大值只能在区间的端点x=﹣1或x=1处取得，于是由|g（±1）|≤2得|g（x）|≤2，（﹣1＜x＜1）．证法三：∵，∴==当﹣1≤x≤1时，有0≤≤1，﹣1≤≤0，∵|f（x）|≤1，（﹣1≤x≤1），∴|f |≤1，|f（）|≤1；因此当﹣1≤x≤1时，|g（x）|≤|f |+|f（）|≤2．（3）解：因为a＞0，g（x）在[﹣1，1]上是增函数，当x=1时取得最大值2，即g（1）=a+b=f（1）﹣f（0）=2．①∵﹣1≤f（0）=f（1）﹣2≤1﹣2=﹣1，∴c=f（0）=﹣1．因为当﹣1≤x≤1时，f（x）≥﹣1，即f（x）≥f（0），根据二次函数的性质，直线x=0为f（x）的图象的对称轴，由此得﹣=0，即b=0．由①得a=2，所以f（x）=2x2﹣1．（14分）。
辽宁省高二下学期期中数学试卷(文科)
辽宁省高二下学期期中数学试卷（文科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）(2017·龙岩模拟) 数列{an}中，若存在ak ，使得“ak＞ak﹣1且ak＞ak+1”成立（其中k≥2，k∈N*），则称ak为{an}的一个H值．现有如下数列：①an=1﹣2n；②a n=sinn；③an= ④an=lnn﹣n，则存在H值的数列有（）个．A . 1B . 2C . 3D . 42. （2分）函数在[0，3]上的最大值、最小值分别是（）A . -4，-15B . 5，-4C . 5，-15D . 5，-163. （2分）命题，则是（）A .B .C .D .4. （2分） (2015高二上·集宁期末) 如图，是函数y=f（x）的导函数f′（x）的图象，则下面判断正确的是（）A . 在区间（﹣2，1）上f（x）是增函数B . 在（1，3）上f（x）是减函数C . 在（4，5）上f（x）是增函数D . 当x=4时，f（x）取极大值5. （2分） (2019高二下·临海月考) 函数的图象与直线相切，则a等于（）A .B .C .D . 16. （2分）直线l：（t为参数）的倾斜角为（）A . 20°B . 70°C . 160°D . 120°7. （2分） (2020高二上·双峰月考) 已知函数的最大值为，最小值为，则（）A . 2B . 08. （2分） (2017高二下·烟台期中) 已知函数f（x）=（2x﹣x2）ex ，给以下四个结论：①f（x）＞0的解集为{x|0＜x＜2}；② 是极小值，是极大值；③f（x）有极小值，但无最小值；④f（x）有极小值，也有最小值．其中正确的是（）A . ①②B . ①②③C . ①②④D . ②④9. （2分） (2017高二上·长泰期末) “a≠1或b≠2”是“a+b≠3”的（）A . 必要不充分条件B . 既不充分也不必要条件C . 充要条件D . 充分不必要条件10. （2分）对，若，且，，则（）A .B .C .D . 的大小关系不能确定11. （2分） (2017高二下·宁波期末) 已知曲线f（x）=lnx在点（2，f（2））处的切线与直线ax+y+1=0垂直，则实数a的值为（）A .D .12. （2分） (2020高二下·杭州期中) 设数列满足，对任意的恒成立，则下列说法正确的是（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2019高二上·晋江月考) 已知命题p：x满足，命题q：x满足，若p是q的必要条件，则m的取值范围是________．14. （1分） (2017高二下·濮阳期末) 在直角坐标系xOy中，曲线C1和C2的参数方程分别为（θ为参数）和（t为参数）．以原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，则曲线C1与C2的交点的极坐标为________．15. （1分）(2017·湖北模拟) 已知a∈R，若f（x）=（x+ ﹣1）ex在区间（1，3）上有极值点，则a 的取值范围是________．16. （1分）设a∈R，若函数y=aex+3x有大于零的极值点，则实数a的取值范围是________．三、解答题 (共6题；共55分)17. （5分） (2017高一上·张掖期末) 已知命题p：∀x∈[1，2]，x2﹣a≥0，命题q：∃x0∈R，x02+2ax0+2﹣a=0；若命题￢（p∧q）是假命题，求实数a的取值范围．18. （10分） (2019高二下·葫芦岛月考) 已知，且 .（1）求的值；（2）求的值.19. （10分）(2016·大连模拟) 不等式|x﹣≤ 的解集为{x|n≤x≤m}（1）求实数m，n；（2）若实数a，b满足：|a+b|＜m，|2a﹣b|＜n，求证：|b|＜．20. （5分）《中华人民共和国个人所得税》规定，公民全月工资所得不超过3500元的部分不必纳税，超过3500元的部分为全月应纳税所得额．此项税款按下表分段累计计算：全月应纳税所得额税率（%）不超过1500元的部分3超过1500元至4500元的部分10超过4500元至9000元的部分20某人一月份的工资为8660元，那么他当月应缴纳的个人所得税是多少元？21. （15分） (2018高二下·邯郸期末) 已知函数， .（1）当时，求函数图象在点处的切线方程；（2）当时，讨论函数的单调性；（3）是否存在实数，对任意，且有恒成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由.22. （10分） (2019高三上·安徽月考) 已知函数，．（1）讨论的单调性；（2）若有两个极值点，求的最大值．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共55分)17-1、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、21-1、21-2、21-3、22-1、22-2、。
辽宁省高二数学下学期期中试题 文(含解析)
【答案】B
【解析】
试题分析：由题意可知 恒成立，当 时 恒成立；当 时需满足 ，代入解不等式可得 ，综上可知实数 的取值范围是
考点：函数定义域
，则使得 成立的 的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由题意结合函数的解析式分别确定函数的奇偶性和函数在区间 上的单调性，然后脱去f符号求解不等式即可.
【详解】（1）设乙流水线生产产品的该项质量指标值的中位数为x，
因为 ，
则 ，
解得 .
（2）由甲，乙两条流水线各抽取的50件产品可得，甲流水线生产的不合格品有15件，
则甲流水线生产的产品为不合格品的概率为 ，
乙流水线生产的产品为不合格品的概率为 ，
于是，若某个月内甲，乙两条流水线均生产了5000件产品，则甲，乙两条流水线生产的不合格品件数分别为 ；
【详解】∵函数 为偶函数，
且在 时， ，
导数为 ，
即有函数 在[0，+∞）单调递增，
∴ 等价为 ，
即 ，
平方得 ，
解得： ，
所求 的取值范围是 ．
故选：B．
【点睛】本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，综合考查函数性质的综合应用，运用偶函数的性质是解题的关键．
有两个不同的极值点，则实数 的取值范围是（ ）
，其中 ，且曲线 在点 处的切线垂直于直线 ．
（1）求 的值；
（2）求函数 的单调区间与极值．
【答案】(1) (2) 在(0,5)内为减函数；在(5，＋∞)内为增函数． 极小值f(5)＝－ln 5.无极大值．
【解析】
试题分析：（1）由曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线垂直于直线 可得 ，可求出a的值；（2）根据（1）可得函数的解析式和导函数的解析式，分析导函数的符号，进而可得函数f（x）的单调区间与极值．
辽宁省实验中学北校区2023-2024学年高二下学期期中测试数学试题(解析版)
2023—2024学年下学期期中测试 高二年级 数学学科一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知等差数列的前项和为，，，则的值为（）A. 70 B. 80C. 90D. 100【答案】D 【解析】【分析】根据条件求出公差，再利用等差数列求和公式求出.【详解】设等差数列的公差为，则，所以，故选：D.2. 下列变量之间的关系不是相关关系的是（ ）A. 光照时间与大棚内蔬菜的产量 B. 举重运动员所能举起的最大重量与他的体重C. 某正方形的边长与此正方形的面积 D. 人的身高与体重【答案】C 【解析】【分析】根据变量间的相关关系和函数关系判断即可.【详解】C 中的两个变量之间是确定的函数关系，A ，B ，D 中的两个变量之间的关系都是相关关系.故选：C3. 函数的导函数（ ）A.B.C.D.【答案】A 【解析】【分析】利用商的导数运算法则求解即得.{}n a n n S 11a =59a =10S 10S {}n a d 1591244a d a --===1011091010901002S a d ⨯=+=+=()xe f x x=()f x '=()21xx e x-()1xx e x-()21xx e x-()21xx e x +【详解】由得，，所以.故选：A4. 已知等比数列满足，记，则数列（ ）A. 有最大项，有最小项 B. 有最大项，无最小项C. 无最大项，有最小项 D. 无最大项，无最小项【答案】A 【解析】【分析】求出等比数列的通项公式，进而求出，再由数列最大项、最小项的意义判断作答.【详解】依题意，等比数列的通项公式，，，由知，时，数列是递增的，时，数列是递减的，于是得数列的最大项为，而n 为奇数时，，n 偶数时，，所以和分别是数列的最大项和最小项.故选：A5. 已知函数的图象如图所示，则的极小值点的集合为（ ）A. B. ()x e f x x =()222()()1(1)x x x x xe x e x e x e x ef x x x x ''⋅-⋅⋅-⋅-'===()2(1)x x e f x x-'={}n a 1132,2a q ==-()12n n T a a a n +=∈N {}n T {}n a n a n T {}n a 111161(1)32()22n n n n n a a q-----==⋅-=(1)231123(1)2(11)54326(5)(4)(3)(6)211(1)(1)(1)(1)(1)2222222n n n n n n n n n T --++++--------+-+-++-------=⋅⋅⋅⋅⋅== (11)21|2|n nn T -=(11)(1)(10)5122||221||n n n n n n n T T -+---+==≥,5n N n *∈≤{}||n T ,6n N n *∈≥{}||n T {}||n T 1556||||2T T ==0n T >0n T <1552T =1562T =-{}n T ()f x ()f x {}123,,x x x {}13,x xC. D. 【答案】B 【解析】【分析】根据函数极小值点的意义判断作答.【详解】是函数的极小值点，当且仅当是定义域内的点，并且在左侧邻近区域的导数，在右侧邻近区域，即函数在左侧邻近区域单调递减，其图象下降，在右侧邻近区域单调递增，其图象上升，显然，图形中的与都满足上述条件，即与都是极小值点；在左右两侧邻近区域的图象都上升，即不是极值点，在左侧邻近区域的图象下降，而在右侧邻近区域的图象水平，不是极值点，所以的极小值点的集合为.故选：B6. 设是等差数列的前n 项和，且，则下列结论正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】A 【解析】【分析】由等差数列的性质，与的关系，等差中项的性质，前项和公式逐一分析即可；【详解】因为是等差数列的前n 项和，由，由，设公差为，则，对于A ：，故A 正确；对于B ：，故B 错误；{}124,,x x x {}3x 0x ()f x 0x ()f x 0x ()f x ()0f x '<0x ()0f x ¢>()f x 0x 0x 1x 3x 1x 3x 2x ()f x 2x 4x ()f x 0x 4x ()f x {}13,x x n S {}n a 675S S S >>110S >120S <130S >86S S >n S n a n n S {}n a 667770S S a a S =+>⇒<5676756700S S a a a a a S =++⇒⇒>+>>d 760d a a =-<()111116111102a a S a +==>()()112126712602a a S a a +==+>对于C ：，故C 错误；对于D ：，故D 正确；故选：A.7. 已知，则（ ）A. B. C.D.【答案】D 【解析】【分析】先求导，再令，求出，再代值计算即可【详解】解得：故选：D.【点睛】本题解题关键是掌握常见导数的求法，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.8. 已知等比数列满足若，则（ ）A. B. C D. 【答案】A 【解析】【分析】构造函数，利用导数证出，再利用等比数列的通项公式即可得出结果.【详解】构造函数（），则，令，解得； 令，解得；令，解得；.()113137131302a a S a +==<886767820S a a a d S S S -=+=+<⇒<2()sin (1)f x x f x π'=+(1)f =0122ππ1x =(1)f '2()sin (1)f x x f x π'=+ ()cos 2(1)f x x f x ππ''∴=+(1)cos 2(1)f f ππ''∴=+(1)f π'=(1)sin (1)f f ππ'∴=+={}n a 343ln .a a a +=11a >3241,a a a ><3241,a a a <<3241,a a a >>3241,a a a <>ln y x x =-ln x x <ln y x x =-0x >111xy x x-'=-=0y '=1x =0'>y 1x <0'<y 1x >所以函数在上单调递增；在上单调递减；所以，则，所以，即，因为，所以等比数列的公比，若，则，此时，这与矛盾；若，，，，即.故选：A二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9. 已知，则下列说法正确的是（）A. B. C. D.【答案】ACD 【解析】【分析】根据正态分布的定义和正态分布曲线的对称性依次判断各个选项即可.【详解】对于A ，表示均值，即，A 正确；对于B ，表示方差，即，B 错误；对于C ，为正态分布曲线的对称轴，，C 正确；对于D ，，，D 正确.故选：ACD.10. 已知函数，现给出如下结论，其中正确结论个数为（）A. 是奇函数B. 0是的极值点()0,1()1,+¥max ln 10y x x y =-≤=-<ln x x <3433ln a a a a =<+40a <11a >0q <1q ≤-()23341ln 10a a a a q q =+=+⋅≤301a <≤2311a a q =>10q -<<()23341ln 10a a a a q q =+=+⋅>31a >()224110a a a q q -=⋅-<24a a <()2N ,ξμσ ()E ξμ=()D ξσ=()12P ξμ<=()()P P ξμσξμσ<-=>+μ()E ξμ=2σ()2D ξσ=ξμ= ()12P ξμ∴<=()()2μσμσμ-++=()()P P ξμσξμσ∴<-=>+()sin cos =-f x x x x ()f x ()f xC. 在区间上有且仅有三个零点D. 的值域为R【答案】AD 【解析】【分析】根据函数的奇偶性的定义和三角函数的奇偶性，可判定A 项正确；利用导数求得函数在区间上的单调性和，可判B 、C 不正确，根据函数的解析式和三角函数的性质，可判定D 正确的.【详解】由题意，函数的定义域为关于原点对称，又由，所以函数为奇函数，所以A 项正确；又由当时，，函数单调递增；时，，函数单调递增，所以不是函数的极值点，所以B 不正确；又由，所以函数在区间上有且仅有一个零点，所以C 不正确；例如当时，可得，当且，，当时，可得，当且，，由函数，，当，，由此可得函数的值域为，所以D 是正确的.所以正确的选项为AD.故选：AD.【点睛】本题主要考查了三角函数的图象与性质，以及利用导数研究函数的单调性与极值、最值的应用，着重考查推理与运算能力，属于中档试题.11. 意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，8，13，其中从第三项起，每个数都等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”，记为数列的前项和，则下列结论正确的是（ ）()f x (,)22ππ-()f x (,)22ππ-(0)0f =()sin cos =-f x x x x R ()sin()cos()(sin cos )()f x x x x x x f x -=-+-=--=-()f x ()cos cos sin sin f x x x x x x x '=-+=(,0)2x π∈-()0f x '>()f x (0,2x π∈()0f x '>()f x 0()f x (0)0f =()f x (,22ππ-2x k =π(2)2f k k ππ=-k →+∞Z k ∈()f x →-∞2x k ππ=+(2)2f k k πππ+=k →+∞Z k ∈()f x →-∞()sin cos =-f x x x x k →+∞()f x →∞R {}n a n S {}n a nA B. C. D. 【答案】ACD 【解析】【分析】列出数列前几项，可计算AB ；由可计算CD.【详解】对于A ，由题意，数列的前7项为：1，1，2，3，5，8，13，故，故A 正确；对于B ，，故B 错误；对于C ，由题意，，所以，，，，，，所以，故C 正确；对于D ，由C 可知，，故D 正确.故选：ACD三、填空题（本题共3小题，每小题5分，其中15小题第一空2分，第二空3分，共15分）12. 已知函数，则__________．【答案】【解析】【分析】首先计算，当时，即可求值.【详解】，.713a =897S =22212202420242025a a a a a ++⋅⋅⋅+=135199200a a a a a +++⋅⋅⋅+=12n n n a a a ++=-713a =8112358132154S =+++++++=121,1a a ==21n n n a a a ++=+12n n n a a a ++=-2112a a a =()222312312a a a a a a a a =-=-()233423423a a a a a a a a =-=-L ()21111n n n n n n n n a a a a a a a a +-+-=-=-()()()2221220241223123423202420252023202420242025a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ++⋅⋅⋅+=+-=-+-++ ()()()42642001982001351992a a a a a a a a a a a a +++⋅+⋅-+-+⋅+=+-= ()1f x x =0(2)(2)limx f x f x∆→+∆-=∆14-()()()22122f x f x x +∆-=-∆+∆0x ∆→()()()11222222xf x f x x -∆+∆-=-=+∆+∆，.故答案为：13. 在首项为1的数列中，则______【答案】【解析】【分析】先用累加法求出，再用错位相减法求和结合即可解出.【详解】因为，所以，，，，以上各式相加得：， 令，①，②错位相减：有，，()()()22122f x f x x +∆-=-∆+∆()()()002211limlim 224x x f x f xx ∆→∆→⎛⎫+∆-=-=- ⎪ ⎪∆+∆⎝⎭14-{}n a 112nn n a a n +⎛⎫-=⋅ ⎪⎝⎭n a =1132n n -+-1n a a -11a =n a 112nn n a a n +⎛⎫-=⋅ ⎪⎝⎭21112a a -=⨯232122a a ⎛⎫-=⨯ ⎪⎝⎭343132a a ⎛⎫-=⨯ ⎪⎝⎭L()11112n n n a a n --⎛⎫-=-⋅ ⎪⎝⎭()2n ≥()1231111112312222n n a a n -⎛⎫-=⨯+⨯+⨯+- ⎪⎝⎭()2n ≥()1231111112312222n n S a a n -⎛⎫=-=⨯+⨯+⨯+- ⎪⎝⎭()2n ≥()2311111212222n S n =⨯+⨯++-⨯ ()2n ≥-①②()2111111122222n n S n -=++-- ()2n ≥即，所以，又因为，所以有，所以,检验时，符合上式，所以.故答案为：14. 数列中，如果存在，使得“且”成立（其中，），则称为的一个峰值.（1）若，则的峰值为___________（2）若，且不存在峰值，则实数的取值范围是___________【答案】 ①.②. 【解析】【分析】令，利用数列的函数特性，可判断函数的单调性及最值问题；若，且不存在峰值，即不存在最大值，从而求出实数的取值范围.【详解】令开口向下，且对称轴为，但由于，所以时，，所以对于任意的，都有，所以的峰值为；因为，且不存在峰值，令，因为开口向下 ，所以数列是满足且，其中，），故，即，所以实数的取值范围是.故答案为：；.三、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15. 已知等比数列的首项为2，等差数列的前n 项和为，且，，．（1）求，的通项公式；()11111122112212n n S n -⎛⎫- ⎪⎝⎭=---()2n ≥11121122222n n n n n S ----+=--=-()2n ≥11a =11132n n n a S -+=+=-()2n ≥1n =11a =1132n n n a -+=-()N n *∈1132n n -+-{}n a k a 1k k a a ->1k k a a +>2k ≥*k ∈N k a {}n a 2311n a n n =-+{}n a 23n a n tn =-+{}n a t 10(],9-∞()2311f n n n =-+23n a n tn =-+{}n a {}n a t ()2311f n n n =-+116n =*n ∈N 2n =210a =*n ∈N 10n a ≤{}n a 1023n a n tn =-+{}n a ()23g n n tn =-+{}n a 12a a ≥1k k a a +>2k ≥*k ∈N 362t ≤9t ≤t (],9-∞10(],9-∞{}n a {}n b n S 126a a +=1342b a b +=323S a ={}n a {}n b（2）设，求数列的前n 项和．【答案】（1）， （2）【解析】【分析】（1）设数列的公比为q ，数列的公差为d ．依题意求出，即可求出公比，从而求出的通项公式，再根据，得到方程组，求出和，即可求出；（2）由（1）可得，再利用等比数列求和公式计算可得；【小问1详解】解：设数列的公比为q ，数列的公差为d ．由，，得，∴．∴．由得解得∴．【小问2详解】（2）由（1）知，，∴，∴数列的前项和．16. 年卡塔尔世界杯即将于月日开幕．某球迷协会欲了解会员是否前往现场观看比赛，按性别进行分层随机抽样，已知男女会员人数之比为，统计得到如下列联表：前往现场观看不前往现场观看合计女性男性合计n n b c a ={}n c 2n n a =32n b n =-()2817n-{}n a {}n b 2a q {}n a 1342b a b +=323S a =1b d {}n b 32184n nn b n c a a -===⋅{}n a {}n b 12a =126a a +=24a =212a q a ==112n n n a a q -==1343223b a b S a +=⎧⎨=⎩1112833312b b d b d +=+⎧⎨+=⎩113b d =⎧⎨=⎩()1132n b b n d n =+-=-2n n a =32n b n =-32321284n n n n b n c a a --====⋅{}n c ()()81812814187n n n T -=⋅=--202211203:28ab840（1）求，的值，依据小概率值的独立性检验，能否认为是否前往现场观看比赛与性别有关？（2）用频率估计概率，假设会员是否前往现场观看互不影响，若从拟前往现场观看的会员中随机抽取人进行访谈，求在访谈者中，女性不少于人的概率．附：，其中．【答案】（1），不能认为是否前往现场观看比赛与性别有关（2）【解析】【分析】（1）计算的值，由此作出判断；（2）根据题意设抽到女性人数为，且服从二项分布，按照二项分布概率可得结果.【小问1详解】由已知数据，知男女会员人数之比为，因此，根据分层随机抽样，抽取男会员人，女会员人，故．∵， 由于，根据小概率值的独立性检验，不能认为是否前往现场观看比赛与性别有关．【小问2详解】记抽到的人中，女性人数为，由题意，∴，即在访谈者中，女性不少于人概率为．的a b =0.01α4222()()()()()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++=n a b c d +++α0.10.050.010.0050.001x α 2.706 3.841 6.6357.87910.8288,16a b ==3286252χξξ3:224168,16a b ==2240(88816)10(88)(168)(816)(88)9χ⨯-⨯==++++10 6.6359<0.010α=4ξ2~(4,)5B ξ040131443232328(2)1(0)(1)1C (()C ()(5555625P P P ξξξ≥=-=-==--=232862517. 已知数列的前n 项和为，满足，且为，的等比中项．（1）求数列的通项公式；（2）设为数列的前n 项和，证明：．【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）利用求出即可；（2）令，利用裂项相消法即可求出数列的前前n 项和，即，再结合函数的单调性求出的范围即可.【小问1详解】因为，所以，①当时，，②①②得，化简可得，，且当时，满足上式，所以数列是公差为2的等差数列，由题可得，故，解得，所以，；【小问2详解】令，所以，{}n a n S ()()11Nn n na S n n n *+-=+∈4a 2a 8a {}n a n T 11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭1184n T ≤<2n a n =()()11,2,1n n n S S n a a n -⎧-≥⎪=⎨=⎪⎩n a 11111122(1)41n n n b a a n n n n +⎛⎫===- ⎪⋅++⎝⎭11141n T n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭n T ()11n n na S n n +-=+()11n n na S n n +=++2n ≥()()111n n n a S n n --=+--()112n n n na n a a n +--=+12n n a a +-=2n ≥1n =212a a -={}n a 2284a a a =2111(2)(14)(6)a a a ++=+12a =()1122n a a n n =+-⨯=*n ∈N 11111122(1)41n n n b a a n n n n +⎛⎫===- ⎪⋅++⎝⎭123n nT b b b b =+++⋅⋅⋅+11111111114223141n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦由，，所以，所以，又函数在上单调递增，所以，综上.18. （1）求函数的极值．（2）已知曲线，求曲线过点的切线方程．（3）讨论函数，的单调性【答案】（1）极小值-1；（2），；（3）答案见解析【解析】【分析】（1）对函数求导，利用导数判断函数的单调性，求函数的极值即可；（2）分点为切点和点不切点两种情况，分别求切线方程；（3）对函数求导，根据导数，分、、三种情况，结合二次函数的的开口方向，根的正负大小讨论函数的单调性即可.【详解】（1）因为，所以，令，即，即，解得，，1单调递减极小值单调递增单调递增所以时，，单调递增，当时，，单调递减，所以函数在时有极小值，，无极大值.（2）令，所以，，是()1111141441n T n n ⎛⎫=-=- ⎪++⎝⎭*n ∈N ()1041n >+14n T <111y x =-+()0,∞+11111428n T T ⎛⎫≥=⨯-= ⎪⎝⎭1184n T ≤<4232()1432x x f x x =-+-32221y x x x =-++()0,1P 21()ln 2f x ax x x =-+a ∈R 210x y -+=10x y -+=()0,1P ()0,1P 0a =0a >a<04232()1432x x f x x =-+-()322f x x x x =-+'()0f x '=3220x x x -+=()210x x -=10x =21x =x (),0∞-0()0,1()1,∞+()f x '-0+0+()f x 0x >()0f x '≥()f x 0x <()0f x '<()f x ()f x 0x =()01y f ==-极小()32221f x x x x =-++()01f =()2342f x x x '=-+当为切点时，直线斜率，此时切线方程为，即；当不是切点时，设切点为，此时切线的斜率，又因为，根据导数的几何意义有，， 所以，整理有，①又在曲线上，所以，②联立①②，有，整理得，，解得或（舍），将代入①，解得，所以切点为，又切线过点，所以切线方程为，整理有：.所以曲线过点的切线方程为，.（3）因为，所以，即，当时，，令，解得，所以时，，所以在上单调递减，时，，所以在上单调递增；当时， ，令，，当时，令，则，，所以方程有、两个根， 解得，()0,1P ()02k f ='=()120y x -=-210x y -+=()0,1P ()00,x y 0000110y y k x x --==-()2342f x x x '=-+()2000342k f x x x =-'=+200001342y x x x -=-+3200003421y x x x =-++()00,x y 320000221y x x x =-++03320020003122421x x x x x x -++=-++()200210x x -=01x =00x =01x =02y =()1,2()0,1P 102110y x --=--10x y -+=()0,1P 210x y -+=10x y -+=21()ln 2f x ax x x =-+()0x >()11f x ax x-'=+()0x >()21ax x f x x'+-=()0x >0a =()1x f x x'-=()0x >()0f x '=1x =()0,1x ∈()0f x '<()f x ()0,1()1,x ∞∈+()0f x '>()f x ()0,10a ≠()21ax x f x x'+-=()0x >()21g x ax x =+-()0x >14a ∆=+0a >()0g x =210ax x +-=140a ∆=+>1x 2x 1x =2x =因为，，所以，，所以不在定义域内，时，，单调递减，时，，单调递增；时，当时，即时，在上恒成立，所以在上单调递减；当，即时，方程有、两个根，解得因为，，所以，，所以当时，，单调递减，时，，单调递增，时，，单调递减；综上所述：时， 在是单调递减，在单调递增；时，在上单调递减，在上单调递增时，在和上单调递减，在上单调递增；1210x x a +=-<1210x x a ⋅=->1>0x 20x<20x =<x ⎛∈ ⎝()0f x '<()f x x ∞⎫∈+⎪⎪⎭()0f x '>()f x a<0140a ∆=+≤14a -≤()0f x '≤()0,∞+()f x ()0,∞+140a∆=+>104a -<<1x 2x 1x=2x =1210x x a +=->1210x x a⋅=-<1>0x 20x>11-+>-a<0<x ⎛∈ ⎝()0f x '<()f x x ∈()0f x '>()f x x ∞⎫∈+⎪⎪⎭()0f x '<()f x 0a =()f x (]0,1[)1,+∞0a >()f x ⎛ ⎝∞⎫+⎪⎪⎭104a -<<()f x ⎛ ⎝∞⎫+⎪⎪⎭时，在单调递减.【点睛】关键点点睛：本题讨论函数的单调性，结合导数的形式，利用判别式和利用韦达定理判断出根的个数与正负，分情况进行讨论.19. 集合，集合，若集合中元素个数为，且所有元素从小到大排列后是等差数列，则称集合为“好集合”.（1）判断集合、是否为“好集合”；（2）若集合是“好集合”，求的值；（3）“好集合”的元素个数是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）为“好集合”，不是“好集合”，理由见解析；（2）；（3）最大值为，理由见解析.【解析】【分析】（1）写出集合、所对应的集合、，结合“好集合”的定义判断可得出结论；（2）将集合所对应的集合写出来，将集合中的元素由小到大依次排列，根据等差数列的定义可求得实数的值；（3）利用反证法证明出当时，通过“好集合”的定义推出矛盾，结合（2）中的结论可得结果.【详解】（1）集合对应的集合，故集合为“好集合”.集合对应的集合，集合的元素个数为，且，故集合不是“好集合”；（2）集合对应的集合，且，集合中的元素由小到大排列的顺序为、、、、、或、、、、、，若数列、、、、、为等差数列，则这个等差数列的公差为，所以，，解得；若数列、、、、、为等差数列，则这个等差数列的公差为，则，不合乎题意.14a -≤()f x ()0,∞+{}()*12,,,,1,2,n i S a a a a i n =∈=N {},1ij ij i j T b b a a i j n ==+≤<≤T ()12n n -S {}11,2,3S ={}21,2,3,4S ={}()31,3,5,5S m m =>m S 1S 2S 9m =41S 2S 1T 2T 3S 3T 3T m 5m ≥{}11,2,3S ={}13,4,5T =1S {}21,2,3,4S ={}23,4,5,6,7T =2T 55452⨯≠2S 3S {}34,6,8,1,3,5T m m m =+++5m >3T 4681m +3m +5m +461m +83m +5m +4681m +3m +5m +2110m +=9m =461m +83m +5m +218m +=综上所述，；（3）“好集合”中元素个数存在最大值，理由如下：由（2）可知，即为“好集合”，以下证明都不是好集合.不妨设，记，集合中所有元素从小到大排列为，构成的等差数列的公差为，显然，，.第一步，证明“好集合”的元素个数.（反证法）假设，以下分和两种情况进行讨论.①若，可得，所以，，，所以，，，，在此后的两项和中，最小，所以，，可得，余下的项中，和较小，因为，所以，，，则，而，这与“集合中的元素个数为”矛盾；②若，则，，余下的项中，和较小.（i ）若，则，所以，，这与“集合中的元素个数为”矛盾；（ii ）若，则，，在此后的两项之和中，最小，所以，，所以，，同理可得，所以，，这与“集合中的元素个数为”矛盾.9m =S 4n ={}1,3,5,9S =5n ≥12n a a a <<<()12n n m -=T 123m t t t t <<<< {}n t d 112t a a =+213t a a =+2132d t t a a ∴=-=-S 6n <6n ≥323t a a =+314t a a =+323t a a =+322132d t t a a a a =-=-=-21a a d =+3212a a d a d =+=+112t a d =+2122t a d =+3123t a d =+()1ij i j b a a i j n =+≤<≤14a a +144124a a t a d +==+414a a d =+15a a +24a a +24125a a a d +=+524t a a =+615126t a a a d =+=+516a a d =+341626a a a d t +=+=T ()12n n -314t a a =+32a a d =+422a a d =+15a a +24a a +415t a a =+5423a a d a d =+=+2534223a a a a a d +=+=+T ()12n n -423123t a a a a d =+=++241526a a a d t +=+=341627a a a d t +=+=()1ij i j b a a i j n =+≤<≤15a a +157128a a t a d +==+518a a d =+619a a d =+3526a a a a +=+T ()12n n -综上，假设不成立，所以，.第二步，证明也不合乎要求.当时，显然，，，，，所以，，则，，故，，，因，所以，、、、成等差数列，故，这与“集合中的元素个数为”矛盾.综上所述，“好集合”中的元素个数存在最大值.【点睛】方法点睛：解决以集合为背景的新定义问题，要抓住两点：（1）紧扣新定义，首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是新定义型集合问题难点的关键所在；（2）用好集合的性质，解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的运算与性质.为6n ≥6n <5n =5n =112t a a =+213t a a =+L 935t a a =+1045t a a =+4332a a a a d -=-=141242a a a a d t +=++=253598a a a a d t d t +=+-=-=524t a a =+634t a a =+715t a a =+87t t d -=1a 2a 3a 4a 1423a a a a +=+T ()12n n -S 4n =。
辽宁实验中学2020年高二数学期中阶段测试试卷(文科)
辽宁省实验中学2020学年高二上学期期中阶段测试数学试题（文科）考试时间：120分钟 试题满分：150分一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知等差数列{a n }中，a 6+a 8=16，a 4=1，则a 10的值是 （ ） A ．15 B ．30 C ．31 D ．64 2．在等比数列{a n }中，若a n >0且a 2a 8=65，则a 5的值为 （ ） A ．2 B ．4 C ．6 D ．8 3．数列{a n }的前n 项和为S n ，若)1(1+=n n a n ，则S 10等于（ ）A ．87B ．98 C ．109 D ．1110 4．数列}11{2,1}{21+==n n a a a a ，且数列中，是等差数列，则a 3等于 （ ）A ．31 B ．3C ．5D ．20205．数列{a n }的前n 项和为S n 满足S n =3n +1，数列{a n } （ ） A ．是等差数列 B ．既是等差数列又是等比数列 C ．是等比数列 D ．既不是等差数列又不是等比数列 6．下列命题中，正确命题的个数是 （ ） ①22bc ac b a >⇒>②22bc ac b a ≥⇒≥③bc ac cbc a >⇒> ④bc ac cbc a ≥⇒≥ ⑤0>⇒>>c bc ac b a 且⑥0≥⇒≥≥c bc ac b a 且A ．2B ．3C ．4D ．57．若A 、B 、C 是△ABC 的内角，cosA ·cosB>sinA ·sinB ，则此三角形一定是 （ ） A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．不能确定8．关于x 的不等式)1,(0-∞>+的解集为b ax ，则关于x 的不等式0)2)((>+-x a bx 的解集为（ ） A ．（－2，1）B ．),1()2,(+∞-⋃--∞C ．（－2，－1）D ．),1()2,(+∞⋃--∞9．在数列{a n }中，若24129n a n -=，此数列的前n 项和为S n ，则数列{S n }的最大项是（ ）A ．S 15B ．S 5C ．S 17D ．S 710．数列{a n }满足)211()511()411()311(+-⋅-⋅-⋅-⋅=n n a n ΛΛ，则{a n }是 （ ）A ．递增数列B ．既不是递增数列又不是递减数列C ．递减数列D ．以上都不对11．已知△ABC 中，A 、B 、C 分别是三个内角，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边。
【新结构】2023-2024学年辽宁省实验中学高二下学期期中阶段测试数学试卷+答案解析
【新结构】2023-2024学年辽宁省实验中学高二下学期期中阶段测试数学试卷❖一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知事件A与事件B相互独立且，则()A. B. C. D.2.若随机变量X的分布列为X10Ppq其中，则()A.，B.，C.，D.，3.恩格尔系数是食品支出总额占个人消费支出总额的比重.居民可支配收入是居民可用于最终消费支出和储蓄的总和，即居民可用于自由支配的收入.如图为我国2013年至2019年全国恩格尔系数和居民人均可支配收入的折线图.给出三个结论：①恩格尔系数与居民人均可支配收入之间存在负相关关系；②一个国家的恩格尔系数越小，说明这个国家越富裕；③一个家庭收入越少，则家庭收入中用来购买食品的支出所占的比重就越小.其中正确的是()A.①B.②C.①②D.②③4.设数列的前n项和为，设甲：是等比数列；乙：存在常数c，使是等比数列．已知两个数列的公比都不等于1，则()A.甲是乙的充分条件但不是必要条件B.甲是乙的必要条件但不是充分条件C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件5.某班试用电子投票系统选举班干部候选人，全班k名同学都有选举权和被选举权，他们的编号分别为1，2，，k，规定：同意按“1”，不同意含弃权按0”，令，其中，且，则同时同意第1，2号同学当选的人数为()A.B.C.D.6.已知等差数列的公差为，集合，若，则()A. B.C.0D.17.已知，则，，今有一批数量庞大的零件．假设这批零件的某项质量指标单位：毫米服从正态分布，现从中随机抽取N个，这N个零件中恰有K个的质量指标位于区间，试以使得最大的N值作为N的估计值，则N为()A.50B.55C.59D.648.设为数列的前n项和，若，且存在，，则的取值集合为()A. B. C. D.二、多选题：本题共3小题，共18分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
辽宁省实验中学2017-2018学年高二下学期期中考试文科数学试题(解析版)
辽宁省实验中学2017-2018学年度下学期期中阶段测试高二文科数学试卷一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.复数的虚部是A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由题意结合复数虚部的定义求解虚部即可.【详解】由复数虚部的定义可知复数的虚部为.本题选择B选项.【点睛】本题主要考查虚部的定义，属于基础题目.2.复数的共轭复数是A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由题意结合共轭复数的定义求解共轭复数即可.【详解】由共轭复数的定义可知复数的共轭复数是.本题选择C选项.【点睛】本题主要考查共轭复数的定义与计算，属于基础题目.3.复数在复平面上对应的点在A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】【分析】首先进行复数运算，然后确定其对应的点所在的象限即可.【详解】由复数的运算法则可知：，该复数在复平面上对应的点为，该点位于第四象限.本题选择D选项.【点睛】对于复数的乘法，类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可；对于复数的除法，关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i的幂写成最简形式.4.已知复数,其中.若是纯虚数，则A. B. C. 或 D.【答案】A【解析】【分析】由题意得到关于m的方程组，求解方程组即可求得实数m的值.【详解】复数是纯虚数，则：，据此可得：.本题选择A选项.【点睛】复数中，求解参数(或范围)，在数量关系上表现为约束参数的方程(或不等式).由于复数无大小之分，所以问题中的参数必为实数，因此，确定参数范围的基本思想是复数问题实数化.5.已知复数，其中.若，则A. B. C. 或 D.【答案】C【解析】【分析】首先求解，然后得到关于a的方程，解方程即可求得实数a的值.【详解】由题意可得：，若，则，解得：或.本题选择C选项.【点睛】复数的基本概念和复数相等的充要条件是复数内容的基础，高考中常常与复数的运算相结合进行考查，一般属于简单题范畴.6.复数满足，则A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】首先确定复数z，然后求解复数的模即可.【详解】由题意可得：，则.本题选择C选项.【点睛】本题主要考查复数的运算法则，复数的模的求解等知识，意在考查学生的转化能和计算求解能力.7.复数满足，则的最大值是A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由题意首先确定z的轨迹，然后数形结合确定的最大值即可.【详解】由题意可知：，即复数与复数的距离为，复数在复平面内的轨迹为如图所示的圆，数形结合可知的最大值在点处取得，其最大值为：.本题选择A选项.【点睛】本题主要考查复数的模的几何意义，数形结合的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.8.复数满足，则下列四个判断中，正确的个数是①有且只有两个解；②只有虚数解；③的所有解的和等于；④的解的模都等于；A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由题意结合复数的运算法则求得z的值，然后考查所给的说法是否正确即可.【详解】设，则，结合题意可得：，解得：或，即或.考查题中说给的四个说法：①有且只有两个解正确；②只有虚数解正确；③的所有解的和等于正确；④的解的模都等于正确；即四个判断中，正确的个数是4.本题选择D选项.【点睛】本题主要考查复数相等的充分必要条件，复数的运算法则等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.9.为了表示散点图中个点与某一条直线在整体上的接近程度,我们常用下面四个量中的A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由题意结合回归方程的性质确定所需的量即可.【详解】对于散点图，我们用回归方程来拟合所给的点，在度量上，用来表示散点图中个点与某一条直线在整体上的接近程度.本题选择C选项.【点睛】本题主要考查回归方程的性质与应用，属于基础题目.10.在平面几何中，与三角形的三条边所在直线的距离相等的点有且只有四个.类似的：在立体几何中，与正四面体的六条棱所在直线的距离相等的点（）A. 有且只有一个B. 有且只有三个C. 有且只有四个D. 有且只有五个【答案】D【解析】【分析】由题意结合三角形的性质类比推理三棱锥的性质即可.【详解】如图1所示的四个圆的圆心到到△ABC的三边距离相等，这样的点有且只有四个，类似的，如图2所示，三棱锥P-ABC的内切球球心到六条棱所在直线的距离相等，将三棱锥延拓为三棱锥，所得三棱台的内切球(只可能与底面不相切)球心到正四面体的六条棱所在直线的距离相等，同理，对每个面进行延拓均可得到一个满足题意的点，据此可知，满足题意的点有且只有五个. 本题选择D选项.【点睛】在进行类比推理时，要尽量从本质上去类比，不要被表面现象所迷惑；否则只抓住一点表面现象甚至假象就去类比，就会犯机械类比的错误．11.函数,已知在时取得极值,则的值为A. B. C. 和 D. 以上都不正确【答案】B【解析】【分析】首先求得导函数，然后利用导函数研究函数的极值确定实数a的值即可.【详解】由题意可得：，函数在时取得极值的必要条件为，即，据此可得：或，当时，，在两侧函数的符号相同，不合题意，舍去；当时，，在两侧函数的符号不同，符合题意；综上可得的值为1.本题选择B选项.【点睛】本题主要考查导函数研究函数的极值及其应用，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.12.角是△的两个内角.下列六个条件中，“”的充分必要条件的个数是①；②；③；④；⑤；⑥.A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由题意结合三角函数的性质和三角形的性质逐一考查所给的条件是否符合题意即可.【详解】逐一考查所给的条件：由正弦定理可知；在△ABC中，故；函数在区间上单调递减，故；当时，易知，则，当时，由于，故，据此可得：，据此可得：，综上可得：；当时，无意义，则⑤⑥均不是“”的充分必要条件.综上可得：“”的充分必要条件的个数是4.本题选择D选项.【点睛】本题主要考查正弦定理的应用，三角函数知识的综合运用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。
2021-2022学年辽宁省实验中学高二下学期期中数学试题(解析版)
2021-2022学年辽宁省实验中学高二下学期期中数学试题一、单选题1．下列导数运算正确的是（ ） A ．()22141x x '+=+B ．ππsin cos 33'⎛⎫= ⎪⎝⎭ C ．2ln 1ln x x x x '+⎛⎫=⎪⎝⎭D ．()3sin 2cos 3cos 2sin x x x x '-=+【答案】D【分析】利用常用函数的导函数公式及导函数运算法则进行计算. 【详解】()2214x x '+=，A 错误；πsin 03''⎛⎫== ⎪⎝⎭⎝⎭，B 错误； 2ln 1ln x x x x '-⎛⎫= ⎪⎝⎭，C 错误；()3sin 2cos 3cos 2sin x x x x '-=+，D 正确.故选：D2．设数列{}n a 满足123211111222n n a a a a n -+++⋅⋅⋅+=+，则{}n a 的前n 项和（ ）A ．21n -B ．21n +C ．2nD ．121n +-【答案】C【分析】当1n =时，求1a ，当2n ≥时，由题意得123122111222n n a a a a n --+++⋅⋅⋅+=，可求得n a ，即可求解.【详解】解：当1n =时，12a =，当2n ≥时，由1231221111112222n n n n a a a a a n ---+++⋅⋅⋅++=+得123122111222n n a a a a n --+++⋅⋅⋅+=，两式相减得，1112n n a -=，即12n na ，综上，12,12,2n n n a n -=⎧=⎨≥⎩所以{}n a 的前n 项和为()11212224822212n n n ---+++++=+=-，故选：C.3．函数22()f x x x=+的大致图像为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【分析】利用导数求出()f x 的单调性即可选出答案. 【详解】由22()f x x x =+可得()322212()2x f x x x x -'=-=，所以由()0f x '>可得1x >，由()0f x '<可得1x <且0x ≠， 所以()f x 在()(),0,0,1-∞上单调递减，在()1,+∞上单调递增， 故选：D4．正项等比数列{}n a 中，5a ，34a ，42a -成等差数列，若212a =，则17a a =（ ） A ．4 B ．8 C ．32 D ．64【答案】D【分析】依题意5a ，34a ，42a -成等差数列，可求出公比q ，进而由212a =求出4a ，根据等比中项求出17a a 的值.【详解】由题意可知，5a ，34a ，42a -成等差数列，所以45328a a a -=，即233328a q a q a -=，所以2280q q --=，4q =或2q =-（舍），所以2428a a q ==，421764a a a ==，故选：D.5．2022年第24届冬季奥林匹克运动会（即2022年北京冬季奥运会）的成功举办，展现了中国作为一个大国的实力和担当，“一起向未来”更体现了中国推动构建人类命运共同体的价值追求．在北京冬季奥运会的某个比赛日，某人欲在冰壶（●）、冰球（●）、花样滑冰（）、跳台滑雪（）、自由滑雪（）、雪车（）这6个项目随机选择3个比赛项目现场观看（注：比赛项目后括号内为“●”表示当天不决出奖牌的比赛，“”表示当天会决出奖牌的比赛），则所选择的3个观察项目中当天会决出奖牌的项目数的均值为（ ） A ．1 B ．32C ．2D ．52【答案】C【分析】分别计算决出奖牌的项目数为1，2，3的概率，按照均值的公式计算即可. 【详解】所选择的3个观察项目中当天会决出奖牌的项目数为X ，则X 的取值为1，2，3，21122424336613(1),(2)55C C C C P X P X C C ⋅⋅======，34361(3)5C P X C ===， 则1311232555EX =⨯+⨯+⨯=.故选：C.6．数列{}n a 满足111122n n n a a ++⎛⎫=- ⎪⎝⎭，且112a =，若13n a <，则n 的最小值为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】B【分析】分析可知数列{}2nn a 是等差数列，确定该数列的首项和公差，可求得数列{}n a 的通项公式，然后分析数列{}n a 的单调性，可得结果. 【详解】因为111122n n n a a ++⎛⎫=- ⎪⎝⎭，等式两边同时乘以12n +可得11221n n n n a a ++=-，所以，11221n n n n a a ++-=且121a =，所以，数列{}2n n a 是等差数列，且首项和公差都为1，则211nn a n n =+-=，所以，2n nna =， 因为111111212222n n n n n n n n n n na a ++++++---=-==. 当1n =时，1212a a ==； 当2n ≥时，1n n a a +<，即数列{}n a 从第二项开始单调递减， 因为33183a =>，41143a =<，故当3n ≤时，13n a >；当4n ≥时，13n a <. 所以，13n a <，则n 的最小值为4. 故选：B.7．已知数列{}n a 的首项11a =，且满足()*12n n n a a n +-=∈N ，记数列()()1122n n n a a a +⎧⎫+⎪⎪⎨⎬++⎪⎪⎩⎭的前n 项和为n T ，若对于任意*n ∈N ，不等式n T λ>恒成立，则实数λ的取值范围为（ ） A ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【答案】C【分析】利用累加法求出{}n a 的通项公式，即可得到()()11111222121n n n n n a a a +++=-++++，再利用裂项相消法求出n T ，即可求出λ的取值范围；【详解】解：因为()*12n n n a a n +-=∈N ，所以1212a a -=，2322a a -=，3432a a ，……，112n n n a a ---=，所以()()1121121222222212n n nn a a n ----=+++==-≥-，，又11a =，即21nn a =-，所以12nn a +=，所以()()()()11112112221212121n n n n n n n n a a a ++++==-++++++，所以1223111111111112121212121213213n n n n T ++=-+-++-=-<+++++++ 所以λ的取值范围是1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.故选：C8．已知1x ，2x 是函数()222ln f x x ax x =-+的两个极值点，且12x x <．当52a ≥时，不等式()12f x mx ≥恒成立，则实数m 的取值范围为（ ） A ．90,ln 28⎛⎤-- ⎥⎝⎦B ．9,ln 28⎛⎤-∞-- ⎥⎝⎦C ．9ln 2,08⎡⎫--⎪⎢⎣⎭D ．9ln 2,8⎡⎫--+∞⎪⎢⎣⎭【答案】B【分析】先对()f x 求导，由1x ，2x 是函数()f x 的两个极值点，即为()0f x '=的两个正解，结合韦达定理可得12x x +与12x x 的式子，再将不等式整理为()12f x m x ≤，将12x x +与12x x 的式子代入()12f x x 中，可得到()131111222ln f x x x x x x =--+，构造函数()322ln g x x x x x =--+，将问题转化为()min m g x ≤，利用导函数求得()g x 的最小值，即可求解.【详解】由题，因为()()221222x ax f x x a x x -+'=-+=，所以1x ，2x 是方程210x ax -+=的两个正根， 所以240a ∆=->，1252x x a +=≥，121=x x ， 因为不等式()12f x mx ≥恒成立，即()12f x m x ≤恒成立， 因为()()21323211111111121112222ln 22ln 22ln f x x ax x x ax x x x x x x x x x x -+==-+=-++ 3111122ln x x x x =--+，所以()31111min 22ln m x x x x ≤--+．因为1252x x a +=≥，121=x x ，得11152x x +≥，所以1102x <≤， 令()3122ln 02g x x x x x x ⎛⎫=--+<≤ ⎪⎝⎭，则()232ln 0g x x x '=-+<，所以()g x 在10,2⎛⎤⎥⎝⎦上单调递减，所以()min 19ln 228g x g ⎛⎫==-- ⎪⎝⎭，故9ln 28m ≤--，故选：B 二、多选题9．下列命题中，真命题的是（ ）A ．某人射击时命中的概率为0.5，此人射击二次必命中一次B ．若回归方程0.450.6y x =-+，则变量y 与x 负相关C ．已知随机变量X ，Y 满足142Y X =+，若()10,0.6X B ，则()7E Y =，()0.6D Y =D ．若随机变量X ，Y 服从正态分布()23,N σ，()40.64P X ≤=，则()230.14P X ≤≤=【答案】BCD【分析】A 选项，对概率概念的理解错误；B 选项，根据0.450-<判断；C 选项，先求出X 的均值和方差，进而求出Y 的均值和方差，D 选项，利用正太分布的对称性进行求解.【详解】某人射击时命中的概率为0.5，此人射击二次可能全部命中，也可能全部没命中，也可能命中一次，A 错误；若回归方程0.450.6y x =-+，因为0.450-<，所以变量y 与x 负相关，B 正确； 已知随机变量X ，Y 满足142Y X =+，若()10,0.6X B ，则()100.66E X =⨯=，()100.60.4 2.4D X =⨯⨯=，则()()1472E Y E X =+=，()()10.64D Y D X ==，C 正确； 若随机变量X ，Y 服从正态分布()23,N σ，()40.64P X ≤=，则()()()1410.640.36,231240.142P X P X P X ⎡⎤>=-=≤≤=->=⎣⎦，D 正确. 故选：BCD10．已知等差数列{}n a ，其前n 项的和为n S ，则下列结论正确的是（ ） A ．数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列B ．数列2n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭不可能是等差数列C ．()9633S S S =-D ．若公差0d >，且5835a a =，则当12n =时，n S 取得最小值 【答案】ACD【分析】由等差数列的前n 项和公式求n S ，由此判断C ，D ，再根据等差数列定义判断A ，B 即可.【详解】设数列{}n a 的公差为d ，则1(1)2n n n S na d -=+， 所以91936S a d =+，61615S a d =+，3133S a d =+， 所以()9633S S S =-，C 正确；若5835a a =，则1232a d =-， 所以223(1)=12222n n n d S nd d n nd -=-+-， 因为0d >，所以当12n =时，n S 取得最小值，D 对， 因为1(1)2n n n S na d -=+，所以1(1)2n S n a d n -=+， 所以1(1)(2)1222n n S S n n dd d n n ----=-=-， 所以数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，A 对，12(1)2n S a n d n n n -=+，所以1121S a =，2121224S a d =+，31211333S a d =+， 令3212232+212S S S ⨯=可得111111233a d a a d +=++，化简可得12d a =， 此时112(1)=2n S a n d a n n n-=+，所以()1220(2)1n n S S n n n --=≥-， 所以数列2n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭可能是等差数列，B 错，故选：ACD.11．已如函数()3ex x f x =，则以下结论正确的是（ ）A ．函数()y f x =存在极大值和极小值B ．()()()2e 1lnf f f π-<<C ．函数()y f x =只有1个零点D ．对于任意实数k ，方程()f x kx =最多有4个实数解 【答案】BCD【分析】利用导数求出单调性,结合极值、零点的概念可判断ABC ，转化为()2e x x h x =，y k =交点问题，数形结合判断D.【详解】由()3ex x f x =可得()2323(3)e e x x x x x x f x --'==， 由()0f x '>可得：3x <，由()0f x '<可得：3x >，所以()f x 在(),3-∞单调递增，在()3,+∞单调递减，故函数在3x =时有极大值，无极小值，故选项A 不正确；对于选项B ：()f x 在(),3-∞单调递增，因为20e 1ln π3-<<<<，所以()()()2e 1ln πf f f -<<，故B 正确；因为(0)0f =，()f x 在(),3-∞单调递增，故函数在(),3-∞上有且只有一个零点，当()3,x ∈+∞时，()30ex x f x =>无零点，所以函数()y f x =只有1个零点，故C 正确；对于选项D ：方程()f x kx =即3e x x kx =，有一根为0x =，令()2e x x h x =．则()()2e xx x h x -'=，令()()e 20x x x h x -'=>可得02x <<， 令()()e20xx x h x -'=<可得0x <或2x >， 所以()2e x x h x =在(),0∞-和()2,+∞单调递减，在()0,2单调递增，且()242e h =，()00h =， 作()2ex x h x =，y k =的图形如图所示：所以存在240e k <<时，方程3ex x kx =有3个实数解，此时方程()f x kx =有4个实数解，故D 正确. 故选：BCD.12．已知函数()e xf x =，g (x )＝ln x ，其中e 为自然对数的底数．下列结论正确的是（ ）A ．函数y ＝f (x )－g (x )在(0，1)上单调递减B ．函数y ＝f (x )－g (x )的最小值大于2C ．若P ，Q 分别是曲线y ＝f (x )和y ＝g (x )上的动点，则|PQ |2D ．若f (mx )－g (x )≥(1－m )x 对()0,x ∈+∞恒成立，则1em ≥【答案】BCD【分析】AB.令()()()e ln xh x f x g x x =-=-，用导数法判断；C. 由()f x 与()g x 关于y x =对称，且()f x 与1y x =+切于()0,1A ，()g x 与1y x =-切于()10B ,求解判断；D.将f (mx )－g (x )≥(1－m )x 对()0,x ∈+∞恒成立，转化为()()()ln ln ln mx x x e mx mx emx +≥+=+对()0,x ∈+∞恒成立，用导数法求解判断.【详解】解：设()()()e ln x h x f x g x x =-=-，则()()211e ,e 0x xh x h x x x '''=-=+>，所以()h x '在()0,∞+上递增，又1e 1e 0e h e ⎛⎫'=-< ⎪⎝⎭，又()1e 10h '=->，则存在01,1x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，当01,e x x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h x '<，()h x 递减，当()0,1x x ∈时，()0h x '>，()h x 递增，故A 错误；有()0001e 0x h x x '=-=，即00001e ,ln x x x x ==-， 所以当()00,x x ∈时，()0h x '<，当()0,x x ∈+∞时，()0h x '>，所以()()0000min 01e ln x h x h x x x x ==-=+，又01,1x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则0012x x +>，故B 正确； 易知()f x 与()g x 关于y x =对称，且()f x 与1y x =+切于()0,1A ，()g x 与1y x =-切于()10B ,， 所以|PQ |的最小值为AB =C 正确；若f (mx )－g (x )≥(1－m )x 对()0,x ∈+∞恒成立，则()()()ln ln ln mx xx e mx mx emx +≥+=+对()0,x ∈+∞恒成立，令()x F x x e =+，则()1e 0xF x '=+>，所以()F x 在()0,∞+上递增，则()ln x mx ≥，即ln ln m x x ≤-，令()ln H x x x =-，则()11H x x'=-，当()0,1x ∈时，()0H x '<，当()1,x ∈+∞时，()0H x '>， 所以()()min 11H x H ==，则ln 1m ≤，解得0m e <≤，故D 错误； 故选：BCD 三、填空题13．已知某地区6%的男性和0.4%的女性患色盲．假如男性、女性各占一半，从中随机选一人，则此人恰是色盲的概率是______． 【答案】0.0323.2%【分析】根据全概率公式的性质，即可求解.【详解】设,A B 分别表示随机选1人为男性和女性，用事件C 表示此人时色盲，则,A B 互斥，故()()()()()116%0.4%0.03222P C P A P C A P B P C B =+=⨯+⨯=.故答案为：0.03214．已知函数()f x 的定义域是()0,∞+，其导函数是()f x '，且满足()()1ln 0x f x f x x '⋅+⋅>，则()f e ______0．（填>或<）【答案】>【分析】令()()ln g x f x x =⋅，根据题意得到()0g x '>，()g x 单调递增，得到()()1g e g >，进而求得()0f e >.【详解】令()()ln g x f x x =⋅，可得()()()1ln g x x f x f x x''=⋅+⋅，因为()()1ln 0x f x f x x '⋅+⋅>，可得()0g x '>，()g x 单调递增，又由()10g =，所以()()1g e g >，即()ln 0f e e ⋅>，即()0f e >. 故答案为：>.15．已知函数()3232f x x x =-+，若函数()f x 在()2,3a a +上存在最小值，则a 的取值范围是______． 【答案】1,12⎡⎫-⎪⎢⎣⎭【分析】对函数求导，求出函数的单调区间和极值，再根据函数()f x 在()2,3a a +上存在最小值求参数范围.【详解】()3232f x x x =-+2()363(2)f x x x x x '=-=-，当02x <<时，()f x 单调递减；当0x <或2x >时，()f x 单调递增， ∴()f x 在0x =取得极大值(0)2f =，2x =处取得极小值(2)2f =-. 令()2f x =-，整理得()()2210x x -+=，解得：2x =或1-∵函数()f x 在(2,3)a a +上存在最小值，∴1223a a -≤<<+，解得112a -≤<.故答案为：1,12⎡⎫-⎪⎢⎣⎭.16．正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，()*1122,N n n na S n n a -+=≥∈，则1280111S S S ⎡⎤++⋅⋅⋅+=⎢⎥⎣⎦______．其中[]x 表示不超过x 的最大整数． 【答案】16【分析】先依据题给条件求得n S的表达式，再利用放缩法得到1n S <<，进而求得1280111S S S ⎡⎤++⋅⋅⋅+⎢⎥⎣⎦的值. 【详解】当2n ≥时，由112n n na S a -+=，可得()11112n n n n n S S S S S ----+=- 即111n n n n S S S S --+=-，则2211n n S S --=，又22111S a ==则数列{}2nS 是首项为1公差为1的等差数列，2=nSn ，又数列{}n a为正项数列，则n S由212n nS S ===，得1n S >当1n >时，122n n S S === 令1280111S S S S =++⋅⋅⋅+，则(12801112216S S S S ⎡⎤=++⋅⋅⋅+>+++-=⎣⎦(12801111122117S S S S S ⎡⎤=++⋅⋅⋅+<+++-+=<⎣⎦则1280111S S S ⎡⎤++⋅⋅⋅+=⎢⎥⎣⎦16故答案为：16 四、解答题17．数列{}n a 满足12a =，2112n n n a a ++⋅=， (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)记2log n n n b a a =⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 【答案】(1)2n n a =(2)()1122n n T n +=-+【分析】（1）根据递推公式求数列的通项公式.（2）根据（1）可得2nn b n =⋅，然后利用错位相减即可求得n T .【详解】(1)解：由题意得： 数列{}n a 满足12a =，2112n n n a a ++⋅=，()21122n n n a a n --⋅=≥两式相除并化简得()1142n n a n a +-=≥∵3122a a ⋅=∴24a =，所以{}21n a -，{}2n a 是公比为4的等比数列，其中{}21n a -是首项为2，{}2n a 的首项为4． 所以12121242n n n a ---=⨯=，122442n n n a -=⨯=，所以2n n a =．(2)2log 2nn n n b a a n =⋅=⋅，∴1231222322n n T n =⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯①∴()23412122232122n n n T n n +=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯+⨯②由②-①得()112311212122222212221n n n n n n T n n n +++-=⨯-⨯---⋅⋅⋅-=⨯-⨯=-+-18．茶是中国颇受青睐的传统饮品．于爱茶的人而言，不仅迷恋于茶恬淡的气味与味道，泡茶工序带来的仪式感也是个修身养性静心的方式．但是细细品来，茶饮复杂的味型之中，总能品出点点的苦和淡淡的涩，所以也有人并不喜欢饮茶．在人们的固有印象中，总觉得中年人好饮茶，年轻人对饮茶持有怎样的态度呢？带着这样的疑问，高二3班的小明同学做了一项社会调查．调查针对身边的同学与方便联系的家长，共回收了200份有效问卷．为了提高统计工作的效率，小明只记录了问卷中三项有效数据，(1)请将上面的信息表格补充完整（请在答题卡中画表格作答）；(2)从这200人中随机选取2人，已知选取的2人中有人喜欢饮茶，求其中有学生的概率； (3)请利用独立性检验相关的知识帮小明同学形成这次调查的结论． 公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++【答案】(1)表格见解析 (2)569927(3)答案见解析【分析】（1）由条件可知，共有200人，再依次补全列联表； （2）利用条件概率求解；（3）根据列联表计算2K ，再和参考数据比较大小. (1)(2)取事件A 为“选取的2人中有人喜欢饮茶”，则()222001102200C C C P A -=，取事件B 为“选取的2人中有学生”，则事件AB 为“选取的2人中即有人喜欢饮茶，又包含有学生”，∴()21111303017050602200C C C C C C P AB ++=∴()()()211113030170506022200110C C C C C 569C C 927P AB P B A P A ++===-． (3)依题意，()()22200605060301102.706,3.841120809011033K ⨯-⨯=∈⨯⨯⨯，∴此次调研的结论为：有90%的把握认为家长相比于学生更喜欢饮茶．19．已知()e xf x k =，0k >，过原点做()f x 图像的切线，切点为M ，已知OM =(1)求()f x 的解析式；(2)若()f x 的图像与()()ln g x x a =+的图像有一条通过原点的公切线，求a 的值．【答案】(1)()1e xf x -=(2)1【分析】(1)根据导数的几何意义列方程求出切点横坐标，再根据OM =k ；(2)由(1)可得y x =与曲线()()ln g x x a =+相切，由此可求a 的值．【详解】(1)设切点(),e t M t k ，∵()e tf t k '=，∴e 0e 0t t k k t -=-，∴1t =，0k >； ∴1ek =，∴()1e xf x -=(2)此公切线即为（1）中的切线，∵()1,1M ，∴切线为y x =，设y x =与()g x 的图像切于点()(),ln N s s a +，又∵()1g x x a '=+，∴()11s a ln s a s⎧=⎪+⎨⎪+=⎩，解得10a s =⎧⎨=⎩，∴1a =20．已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足23S =，且2n n S na n -=． (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)用数学归纳法证明不等式：()11ln 1ni in a =+<∑，其中*n ∈N ． 【答案】(1)n a n = (2)证明见解析【分析】由2n n S na n -=，可得()11211n n S n a n ++-+=+，两式相减得到()111n n n a na +-+=，得到()2111n n na n a ++-++=，两式相减得212n n n a a a +++=，得出{}n a 为等差数列，进而结合等差数列的通项公式，即可求解；（2）由（1）转化为化为()11ln 1ni n i=+<∑，*n N ∈，结合用数学归纳法证明，即可求解.【详解】(1)解：由2n n S na n -=，可得()11211n n S n a n ++-+=+， 两式相减得()11211n n n a n a na ++-++=，即()111n n n a na +-+=， 则()2111n n na n a ++-++=，两式相减得2120n n n na na na ++-+=，即()212n n n a a a n N ++++=∈， 所以{}n a 为等差数列，又因为1121a a -=，解得11a =， 又由23S =，可得22a =，所以数列{}n a 的首项为1，公差为1，所以{}n a 的通项为n a n =．(2)解：因为n a n =，所以原不等式可化为()11ln 1ni n i=+<∑，*n N ∈，以下用数学归纳法证明：①1n =时，()1ln 111+<显然成立．②假设当n k =时()11ln 1k i k i=+<∑成立，则当1n k =+时，只需证()111ln 11k i k i +=++<∑，只需证()()1ln 2ln 11k k k +<+++，只需证11ln 111k k ⎛⎫+< ⎪++⎝⎭，只需证11ln 1011k k ⎛⎫-+> ⎪++⎝⎭，取()()ln 1h x x x =-+，可得()111h x x '=-+，所以()h x 在[]0,1单调递增， 又因为()10,11k ∈+，所以11ln 1011k k ⎛⎫-+> ⎪++⎝⎭成立，所以()111ln 11k i k i +=++<∑成立． 综上所述，()11ln 1ni in a =+<∑成立．21．近两年因为疫情的原因，同学们对于居家上网课的情景越来越熟悉了．相较于在学校教室里线下课程而言，上网课因为少了课堂氛围，难于与老师和同学互动，听课学生很容易走神．为了提升同学们的听课效率，授课教师可以选择在授课过程中进行专注度监测，即要求同学们在10秒钟内在软件平台上按钮签到，若同学们能够在10秒钟内完成签到，则说明该同学在认真听课，否则就可以认为该同学目前走神了．经过一个月对全体同学上课情况的观察统计，平均每次专注度监测有90%的同学能够正常完成签到．为了能够进一步研究同学们上课的专注度情况，我们做如下两个约定： ①假设每名同学在专注度监测中出现走神情况的概率均相等；②约定每次专注度监测中，每名同学完成签到加2分，未完成签到加1分． 请回答如下两个问题：(1)若某班级共有50名学生，一节课老师会进行三次专注度监测，那么全班同学在三次专注度监测中的总得分的数学期望是多少？(2)计某位同学在数次专注度监测中累计得分恰为n 分的概率为n P （比如：1P 表示累计得分为1分的概率，2P 表示累计得分为2的概率，*n ∈N ），试探求： （Ⅰ）{}1n n P P +-的通项公式； （Ⅱ）{}n P 的通项公式． 【答案】(1)285分 (2)（Ⅰ）()110.9n n n P P ++-=-；（Ⅱ）()110810.919190n n P -=-- 【分析】（1）设全班同学在三次专注度监测中完成签到的总人次数为随机变量X ，则()~150,0.9X B ，在三次专注度监测中完成签到的总分数为随机变量Y ，则()21150150Y X X X =+⨯-=+，求出()E X ，从而求出()E Y ；（2）得到210.10.9n n n P P P ++=+，构造出()2110.9n n n n P P P P +++-=--，从而得到等比数列，求出{}1n n P P +-的通项公式，进而用累加法求解{}n P 的通项公式.【详解】(1)基于约定①，可以认为每名同学在每次专注度监测中完成签到的概率为0.9，取全班同学在三次专注度监测中完成签到的总人次数为随机变量X ，则()~150,0.9X B ，取全班同学在三次专注度监测中完成签到的总分数为随机变量Y ，则()21150150Y X X X =+⨯-=+，∴()()1501501500.9285E Y E X =+=+⨯=分．(2)（Ⅰ）依题意10.1P =，20.90.10.10.91P =+⨯=，210.10.9n n n P P P ++=+， ∴()2110.9n n n n P P P P +++-=--，又∵210.81P P -=，∴{}1n n P P +-为等比数列， ∴()()1110.810.90.9n n n n P P -++-=⨯-=-，（Ⅱ）∵()2210.9P P -=-，()3320.9P P -=-，…，()10.9nn n P P --=-，将这1n -个式子相加得()()()()()()23411810.90.90.90.910.9190nn n P P --=-+-+-+⋅⋅⋅+-=--， ∴()()()118110810.110.90.919019190n n n P --=+--=-- 22．已知函数()e sin xf x x kx =+(1)若()f x 在()0,π上单调，求参数k 的取值范围； (2)若0,2x π⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，()2f x x ≥，求参数k 的取值范围．【答案】(1))2,e e ,ππ⎛⎤⎡-∞-⋃+∞ ⎥⎣⎝⎦(2)[)1,-+∞【分析】（1）首先求函数的导数()()e sin cos xf x x x k '=++，再令()()e sin cos xg x x x =+，转化为求()g x 的最值；（2）求函数的三次导数，逐级分析上层函数，得到k 的取值范围.【详解】(1)∵()()e sin cos x f x x x k '=++，取()()e sin cos xg x x x k =+=-，∴()2e cos xg x x '=，∴()g x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增，在,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减．∵()01g =，2e 2g ππ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()e g ππ=-，∴()2max e g x π=，()min e g x π=-，依题意fx 在[]0,π无变号零点，∴()max k g x -≥或()min k g x -≤，∴k 的取值范围为)2,e e ,ππ⎛⎤⎡-∞-⋃+∞ ⎥⎣⎝⎦(2)取()()22e sin x h x f x x x kx x =-=+-，∴()()e sin cos 2xh x x x k x '=++-，()2e cos 2x h x x ''=-，()()2e cos sin x h x x x '''=-，∵()00h =，()01h k '=+若()010h k '=+<，即1k <-，则0t ∃>使得[]0,x t ∀∈，()0h x '<，∴()h x 在[]0,t 单调递减，∴(]0,x t ∀∈，()()00h x h <=，与条件矛盾，∴1k ≥-．由()()2e cos sin xh x x x '''=-可知，()h x ''在0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增，在,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减，∵()00h ''=，22h π⎛⎫''=- ⎪⎝⎭，∴0,42x ππ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦使得()00h x ''=，∴()h x '在[]00,x 递增，在0,2x π⎡⎤⎢⎥⎣⎦递减，∵()010h k '=+≥，1.522e e 12.7112h k πππππππ⎛⎫'=+-≥-->--=- ⎪⎝⎭10.81 5.410ππ=->⨯-->，∴0,2x π⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，()0h x '≥，∴()h x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增，∴0,2x π⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，()()00h x h ≥=成立．综上，k 的取值范围为[)1,-+∞．。
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学习必备 欢迎下载2017-2018学年辽宁省实验中学高二下学期期中考试文科数学试题数学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、单选题1．复数的虚部是A ．B ．C ．D ．2．复数的共轭复数是A ．B ．C ．D ．3．复数在复平面上对应的点在A ． 第一象限B ． 第二象限C ． 第三象限D ． 第四象限4．已知复数,其中.若是纯虚数，则A ．B ．C ．或 D ．5．已知复数，其中.若，则A ．B ．C ．或 D ．6．复数满足，则A ．B ．C ．D ．7．复数满足，则的最大值是A ．B ．C ．D ．8．复数满足，则下列四个判断中，正确的个数是 ①有且只有两个解； ②只有虚数解； ③的所有解的和等于； ④的解的模都等于； A ．B ．C ．D ．9．为了表示散点图中个点与某一条直线在整体上的接近程度,我们常用下面四个量中的 A ．B ．C ．D ．10．在平面几何中，与三角形的三条边所在直线的距离相等的点有且只有四个.类似的：在立体几何中，与正四面体的六条棱所在直线的距离相等的点 A ． 有且只有一个 B ． 有且只有三个 C ． 有且只有四个 D ． 有且只有五个 11．函数,已知在时取得极值,则的值为 A ．B ．C ．和 D ． 以上都不正确 12．角是△的两个内角.下列六个条件中，“”的充分必要条件的个数是 ①； ②； ③； ④； ⑤； ⑥. A ．B ．C ．D ．二、填空题 13．用反证法证明“已知,求证:这三个数中至少有一个不小于”时，所做出的假设为____________. 14．在平面几何中：已知是△内的任意一点，连结并延长交对边于，则.这是一个真命题，其证明常采用“面积法”.拓展到空间，可以得出的真命题是：已知是四面体内的任意一点，连结并延长交对面于，则___________.此卷只装订不密封班级姓名准考证号考场号座位号学习必备欢迎下载15．在研究函数()的单调区间时，有如下解法:设,在区间和区间上是减函数,因为与有相同的单调区间,所以在区间和区间上是减函数.类比上述作法,研究函数()的单调区间,其单调增区间为_____________.16．某同学在一次研究性学习中发现：若集合满足：，则共有组；若集合满足：，则共有组；若集合满足：，则共有组.根据上述结果, 将该同学的发现推广为五个集合, 可以得出的正确结论是：若集合满足：，则共有___________组.三、解答题17．为了调查某校高二同学是否需要学校提供学法指导，用简单随机抽样方法从该校高二年级调查了55位同学，结果如下：（Ⅰ）估计该校高二年级同学中，需要学校提供学法指导的同学的比例（用百分数表示，保留两位有效数字）；（Ⅱ）能否有95%的把握认为该校高二年级同学是否需要学校提供学法指导与性别有关？（Ⅲ）根据（Ⅱ）的结论，能否提出更好的调查方法来估计该校高二年级同学中，需要学校提供学法指导？说明理由.附：18．某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此作了四次试验，得到的数据如下：加工的时间零件的个数（Ⅰ）在给定的坐标系中画出表中数据的散点图；（Ⅱ）试对与的关系进行相关性检验,如与具有线性相关关系,求出对的回归直线方程；（Ⅲ）试预测加工个零件需要多少时间？参考数据：，.附：)；, ；相关性检验的临界值表注：表中的n为数据的组数19．已知数列满足,().学习必备 欢迎下载(Ⅰ) 求,,,，并猜测的通项公式； (Ⅱ）试写出常数的一个值，使数列是等差数列；(无需证明)(Ⅲ）证明(Ⅱ）中的数列是等差数列，并求的通项公式. 20．已知函数()，设是的导函数. (Ⅰ) 求，并指出函数()的单调性和值域；(Ⅱ）若的最小值等于，证明：.21．已知在直角坐标系中，直线的参数方程是（为参数），曲线的参数方程是（为参数），点. （Ⅰ）将曲线的方程化为普通方程，并指出曲线是哪一种曲线； （Ⅱ）直线与曲线交于点，当时，求直线的斜率.. 22．已知函数. （Ⅰ）若不等式的解集为，求的值； （Ⅱ）若不等式的解集非空，求实数的取值范围.23．在直角坐标系中，直线的方程是，圆的参数方程是（为参数）．以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系． （Ⅰ）求直线和圆的极坐标方程； （Ⅱ）射线:(其中)与圆的交点为，与直线的交点为；射线:与圆的交点为，与直线的交点为．求的最大值． 24．已知函数，函数．当时，． （Ⅰ）证明：当时，； （Ⅱ）设，当时，的最大值等于．求．学习必备欢迎下载2017-2018学年辽宁省实验中学高二下学期期中考试文科数学试题数学答案参考答案1．B【解析】【分析】由题意结合复数虚部的定义求解虚部即可.【详解】由复数虚部的定义可知复数的虚部为.本题选择B选项.【点睛】本题主要考查虚部的定义，属于基础题目.2．C【解析】【分析】由题意结合共轭复数的定义求解共轭复数即可.【详解】由共轭复数的定义可知复数的共轭复数是.本题选择C选项.【点睛】本题主要考查共轭复数的定义与计算，属于基础题目.3．D【解析】【分析】首先进行复数运算，然后确定其对应的点所在的象限即可.【详解】由复数的运算法则可知：，该复数在复平面上对应的点为，该点位于第四象限.本题选择D选项.【点睛】对于复数的乘法，类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i 的看作另一类同类项，分别合并即可；对于复数的除法，关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i的幂写成最简形式.4．A【解析】【分析】由题意得到关于m的方程组，求解方程组即可求得实数m的值.【详解】复数是纯虚数，则：，据此可得：.本题选择A选项.【点睛】复数中，求解参数(或范围)，在数量关系上表现为约束参数的方程(或不等式).由于复数无大小之分，所以问题中的参数必为实数，因此，确定参数范围的基本思想是复数问题实数化.5．C【解析】【分析】首先求解，然后得到关于a的方程，解方程即可求得实数a的值.【详解】由题意可得：，学习必备欢迎下载若，则，解得：或.本题选择C选项.【点睛】复数的基本概念和复数相等的充要条件是复数内容的基础，高考中常常与复数的运算相结合进行考查，一般属于简单题范畴.6．C【解析】【分析】首先确定复数z，然后求解复数的模即可.【详解】由题意可得：，则.本题选择C选项.【点睛】本题主要考查复数的运算法则，复数的模的求解等知识，意在考查学生的转化能和计算求解能力.7．A【解析】【分析】由题意首先确定z 的轨迹，然后数形结合确定的最大值即可.【详解】由题意可知：，即复数与复数的距离为，复数在复平面内的轨迹为如图所示的圆，数形结合可知的最大值在点处取得，其最大值为：.本题选择A选项.【点睛】本题主要考查复数的模的几何意义，数形结合的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.8．D【解析】【分析】由题意结合复数的运算法则求得z的值，然后考查所给的说法是否正确即可.【详解】设，则，结合题意可得：，解得：或，即或.考查题中说给的四个说法：①有且只有两个解正确；②只有虚数解正确；③的所有解的和等于正确；④的解的模都等于正确；即四个判断中，正确的个数是4.本题选择D选项.【点睛】本题主要考查复数相等的充分必要条件，复数的运算法则等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.学习必备欢迎下载9．C【解析】【分析】由题意结合回归方程的性质确定所需的量即可.【详解】对于散点图，我们用回归方程来拟合所给的点，在度量上，用来表示散点图中个点与某一条直线在整体上的接近程度.本题选择C选项.【点睛】本题主要考查回归方程的性质与应用，属于基础题目.10．D【解析】【分析】由题意结合三角形的性质类比推理三棱锥的性质即可.【详解】如图1所示的四个圆的圆心到到△ABC的三边距离相等，这样的点有且只有四个，类似的，如图2所示，三棱锥P-ABC的内切球球心到六条棱所在直线的距离相等，将三棱锥延拓为三棱锥，所得三棱台的内切球(只可能与底面不相切)球心到正四面体的六条棱所在直线的距离相等，同理，对每个面进行延拓均可得到一个满足题意的点，据此可知，满足题意的点有且只有五个.本题选择D选项.【点睛】在进行类比推理时，要尽量从本质上去类比，不要被表面现象所迷惑；否则只抓住一点表面现象甚至假象就去类比，就会犯机械类比的错误．11．B 【解析】【分析】首先求得导函数，然后利用导函数研究函数的极值确定实数a的值即可.【详解】由题意可得：，函数在时取得极值的必要条件为，即，据此可得：或，当时，，在两侧函数的符号相同，不合题意，舍去；当时，，在两侧函数的符号不同，符合题意；综上可得的值为1.本题选择B选项.【点睛】本题主要考查导函数研究函数的极值及其应用，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 12．D【解析】【分析】由题意结合三角函数的性质和三角形的性质逐一考查所给的条件是否符合题意即可.【详解】逐一考查所给的条件：由正弦定理可知；在△ABC 中，故；函数在区间上单调递减，故；当时，易知，则，当时，由于，故，据此可得：，据此可得：，综上可得：；学习必备欢迎下载当时，无意义，则⑤⑥均不是“”的充分必要条件.综上可得：“”的充分必要条件的个数是4.本题选择D选项.【点睛】本题主要考查正弦定理的应用，三角函数知识的综合运用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.13．假设这三个数都小于【解析】【分析】由题意结合反证法否定结论即可.【详解】题中原命题的结论为这三个数中至少有一个不小于，否定结论可知其做出的假设为：假设这三个数都小于.【点睛】本题主要考查反证法的概念与应用，属于基础题目.14．【解析】【分析】由题意利用等体积法进行类比推理即可得出等式.【详解】利用类比推理可给出结论：.证明如下：由题意结合三棱锥的结构特征可得：，，，，由于，故以上四个等式相加可得：.【点睛】合情推理主要包括归纳推理和类比推理．数学研究中，在得到一个新结论前，合情推理能帮助猜测和发现结论，在证明一个数学结论之前，合情推理常常能为证明提供思路与方向．15．【解析】【分析】利用题中所给的方法构造出新的函数，然后结合复合函数的单调性确定函数()的单调区间即可.【详解】构造函数，则，当时，单调递减，由复合函数的单调性可知函数()单调递减；当时，单调递增，由复合函数的单调性可知函数()单调递增；综上可得：函数()的单调增区间为.【点睛】本题主要考查导函数研究函数的单调性，复合函数单调性的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.16．【解析】【分析】由题意结合所得的组数进行归纳推理即可求得最终结果.【详解】由题意进行归纳推理：集合个数为2时，满足题意的集合组数为组；集合个数为3时，满足题意的集合组数为组；学习必备欢迎下载集合个数为4时，满足题意的集合组数为组；据此可归纳推理：集合个数为5时，满足题意的集合组数为组；即若集合满足：，则共有961组.【点睛】归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理，由归纳推理所得的结论不一定正确，通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法．17．(Ⅰ)；(Ⅱ)答案见解析；(Ⅲ)答案见解析.【解析】【分析】(Ⅰ)由比例关系计算可得需要学校提供学法指导的同学的比例估计值为.(Ⅱ)计算独立性检验的观测值为，故有的把握认为该校高二年级同学是否需要学校提供学法指导与性别有关.(Ⅲ)由（Ⅱ）的结论可知，在调查时，先确定该校高二年级同学中男、女的比例，再把同学分成男、女两层并采用分层抽样的方法更好.【详解】(Ⅰ)该校高二年级同学中，需要学校提供学法指导的同学的比例估计值为.(Ⅱ)，因为，所以有的把握认为该校高二年级同学是否需要学校提供学法指导与性别有关.(Ⅲ)由（Ⅱ）的结论可知，该校高二年级同学是否需要学校提供学法指导与性别有关，并且从样本数据能看出该校高二年级同学男同学与女同学中需要学校提供学法指导的比例有明显差异，因此在调查时，先确定该校高二年级同学中男、女的比例，再把同学分成男、女两层并采用分层抽样的方法.这样的抽样比采用简单随机抽样方法更好.【点睛】独立性检验得出的结论是带有概率性质的，只能说结论成立的概率有多大，而不能完全肯定一个结论，因此才出现了临界值表，在分析问题时一定要注意这点，不可对某个问题下确定性结论，否则就可能对统计计算的结果作出错误的解释．18．(Ⅰ)答案见解析；(Ⅱ)答案见解析；(Ⅲ)【解析】【分析】(Ⅰ)由题意绘制散点图即可；（Ⅱ）由题意计算可得，据此可知回归直线方程是有意义的，计算其回归方程即可；（Ⅲ）利用回归方程进行预测可得加工个零件需要小时.【详解】（Ⅰ）散点图如图所示：（Ⅱ）由表中数据得：,,,,；，从而有的把握认为与之间具有线性相关关系，因此求回归直线方程是有意义的.计算得：，，所以.（Ⅲ）将代入回归直线方程，得（小时）预测加工个零件需要小时.学习必备欢迎下载【点睛】一是回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法，只有在散点图大致呈线性时，求出的线性回归方程才有实际意义，否则，求出的线性回归方程毫无意义．二是根据回归方程进行预报，仅是一个预报值，而不是真实发生的值．19．(Ⅰ)；(Ⅱ)1；(Ⅲ).【解析】【分析】（Ⅰ）由递推关系计算,,,的值，据此可猜测数列的通项公式为；（Ⅱ）由题意可令常数使数列是等差数列；（Ⅲ）由题意证明的值为常数即可说明数列是等差数列，结合等差数列的通项公式计算的通项公式即可.【详解】（Ⅰ）,,,，通项公式为；（Ⅱ）；（Ⅲ）因为()，所以().从而数列是首项为，公差为的等差数列，即().故().【点睛】本题主要考查归纳推理的应用，等差数列的判定与证明，数列通项公式的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.20．(Ⅰ)答案见解析；(Ⅱ)证明见解析.【解析】【分析】（Ⅰ）由导数的运算法则可得，据此可得，然后求解函数的单调性和最值即可.（Ⅱ）结合(Ⅰ)的结论可得有且只有一个解，不妨设满足，利用导函数研究函数的性质即可证得题中的结论.【详解】（Ⅰ）由题意得：.因为所以函数在上是单调增函数，值域为.（Ⅱ）由（Ⅰ）得：有且只有一个解，设满足，则当时，；当时，.所以函数在区间上是减函数，在区间上是增函数，是极小值.从而.因为函数()是减函数且，，所以.因为，所以.【点睛】本题主要考查导数研究函数的单调性，导数研究函数的值域，利用导数证明不等式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.21．(Ⅰ)，圆;(Ⅱ)1.学习必备欢迎下载【解析】【分析】（Ⅰ）消去参数可得曲线的普通方程是，曲线是圆.（Ⅱ）联立直线的参数方程与圆的普通方程，结合直线参数的几何意义计算可得直线的斜率为.【详解】（Ⅰ）参数方程化为普通方程可得曲线的普通方程是，曲线是圆.（Ⅱ）点满足：所以，即.因为，所以.从而.所以.据此可得直线的斜率为.【点睛】直角坐标方程转为极坐标方程的关键是利用公式，而极坐标方程转化为直角坐标方程的关键是利用公式，后者也可以把极坐标方程变形尽量产生，,以便转化.22．(Ⅰ)，；(Ⅱ).【解析】【分析】（Ⅰ）由不等式的解集得到关于a,b 的方程组，求解方程组可得，.（Ⅱ）由绝对值三角不等式得的最小值是，结合题意可得实数的取值范围是.【详解】（Ⅰ）不等式成立，当且仅当与同时成立.依题意解得，.（Ⅱ）由绝对值三角不等式得的最小值是，所以不等式的解集非空，当且仅当满足，即.【点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法，绝对值三角不等式的性质等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.23．（1），（2）【解析】试题解析：（Ⅰ）直线的极坐标方程分别是.圆的普通方程分别是，所以圆的极坐标方程分别是.（Ⅱ）依题意得，点的极坐标分别为和所以，，从而.同理，.所以，故当时，的值最大，该最大值是.考点：极坐标.24．(Ⅰ)答案见解析；(Ⅱ).学习必备欢迎下载【解析】【分析】（Ⅰ）由题意可知结合绝对值三角不等式的结性质和函数的解析式即可证得题中的结论.（Ⅱ）由一次函数的性质可知，结合待定系数法可得函数的解析式为.【详解】（Ⅰ）证明：由题意得：即所以，.由于，所以当时，的最大值是或.所以.（Ⅱ）由题意得，又因为，且所以或解得或（舍去）.又因为当时，，且，所以.故.即.经检验，符合题意.【点睛】本题主要考查一次函数性质，二次函数解析式的求解，绝对值三角不等式的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.。