求动点轨迹方程专题

求动点轨迹方程专题

一、直接法

步骤：1、建立恰当的坐标系，设动点坐标()y x ，；

2、由已知条件列出几何等量关系式，建立关于y x ，的方程()0=y x f ，；

3、化简整理；

4、检验，检验点轨迹的纯粹性与完备性。

[例1] 已知圆O 的方程是0222=−+y x ，圆O '的方程是01082

2=+−+x y x ，如图所示。由动点P 向圆O 和圆O '所引的切线长相等，求动点P 的轨迹方程。

[练习1] 已知平面上两定点()20−，

M ，()20，N ，点P 满足MN PN MN MP ⋅=⋅，求点P 的轨迹方程。

步骤：1、分析几何关系；

2、由曲线的定义直接得出轨迹方程。

[例2] 已知圆A ：()3622

2=++y x ，()02，B ，点P 是圆A 上的动点，线段PB 的中垂线交PA 于点Q ，求动点Q 的轨迹方程

[练习2] 已知圆1C :()1322=++y x 和圆2C ：()932

2=+−y x ，动圆M 同时与圆1C 及圆2C 相外切，求动圆圆心M 的轨迹方程。

步骤：1、设所求轨迹的动点为()y x P ，，相关点()00y x Q ，；

2、根据点的产生过程，找到()y x ，和()00y x ，的关系，并将00y x ，用y x ，表示；

3、将()00y x ，代入相关点的曲线，化简即可得到所求轨迹方程。

[例3] 已知点P 在椭圆14

22=+y x 上运动，过P 作y 轴的垂线，垂足为Q ，点M 满足PQ PM 31=，求动点M 的轨迹方程。

[练习3] 过双曲线12

2=−y x 上一点Q 作直线2=+y x 的垂线，垂足为N ，求线段QN 的中点P 所形成的曲线方程。

步骤：1、引入参数；

2、将所求轨迹的点()y x ，用参数表示；

3、消去参数；

4、研究范围。

[例4] 过点()10，的直线l 与椭圆142

2

=+y x 相交于B A ，两点，求AB 中点M 的轨迹方程。

[练习4] 过抛物线()022

>=p px y 的顶点O 作两条垂直的弦OA ，OB ，求线段AB 中点M 的轨迹方程。

五、待定系数法

步骤：根据给出的带有参数的方程以及该曲线所具备的一些性质确定参数，然后求解方程。即设法建立关于b a ，的方程组，先定性，再定量，若位置不确定时，考虑是否两解。

[例5] 已知点P 在以坐标轴为对称轴的椭圆上，且P 到两焦点的距离分别为5、3，过P 且与长轴垂直的直线恰过椭圆的一个焦点，求椭圆的方程。

[练习5] 易知椭圆C ()0122

22>>=+b a b

y a x 的右焦点1F 与抛物线x y 42=的焦点重合，原点到过点()0，a A ，()b B −，0的直线距离为

7

212，求椭圆C 的标准方程。