深圳大学2008年硕士研究生入学考试试题考试科目：高等代数
2008年深圳大学硕士生入学考试业务课指定参
出版社：高等教育出版参考书：《原子物理学》（第三版）作者：杨福家
出版社：高等教育出版社出版时间：2000年7月
出版社：高等教育出版社出版时间：2002年7月
②考试科目：量子力学指定参考书：《量子力学导论》（第二版）作者：曾谨言
出版社：北京大学出版社出版时间：1998年3月
2．复试笔试科目
①考试科目：线性代数指定参考书：《线性代数》作者：吴赣昌出版社：中国人民大学出版社出版时间：2006年4月
3．同等学力加试2门笔试科目
2008年深圳大学硕士生入学考试业务课指定参考书
专业代码及名称：070201理论物理
1．初试笔试科目
①考试科目：普通物理指定参考书：1、《力学》（第二版）作者：漆安慎出版社：高等教育出版社出版时间：2005年6月；2、指定参考书：《电磁学》（第二版）作者：梁灿彬
出版社：高等教育出版社出版时间：2004年5月；3、《光学教程》（第三版）作者：姚启钧
2008硕士研究生数3考试真题
2008年全国硕士研究生入学统一考试数 学三试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.（1）设函数()f x 在区间[1,1]-上连续，则0x =是函数0()()xf t dtg x x=⎰的（ ）（A ）跳跃间断点. （B ）可去间断点.（C ）无穷间断点.（D ）振荡间断点.（2）如图，曲线段方程为()y f x =，函数()f x 在区间[0,]a 上有连续的导数，则定积分()at xf x dx ⎰等于（ ）（A ）曲边梯形ABOD 面积.（B ） 梯形ABOD 面积.（C ）曲边三角形ACD 面积.（D ）三角形ACD 面积.（3）已知(,)f x y =（A ）(0,0)x f '，(0,0)y f '都存在 （B ）(0,0)x f '不存在，(0,0)y f '存在 （C ）(0,0)x f '存在，(0,0)y f '不存在 （D ）(0,0)x f '，(0,0)y f '都不存在（4）设函数f连续，若22(,)uvD F u v =⎰⎰，其中uv D 为图中阴影部分，则Fu∂=∂（ ）（A ）2()vf u （B ）2()v f u u （C ）()vf u （D ）()vf u u（5）设A 为阶非0矩阵，E 为n 阶单位矩阵，若30A =，则（ ）（A ）E A -不可逆，E A +不可逆.（B ）E A -不可逆，E A +可逆. （C ）E A -可逆，E A +可逆.（D ）E A -可逆，E A +不可逆.（6）设1221A ⎛⎫= ⎪⎝⎭则在实数域上域与A 合同的矩阵为（ ）（A ）2112-⎛⎫⎪-⎝⎭.（B ）2112-⎛⎫⎪-⎝⎭.（C ）2112⎛⎫⎪⎝⎭.（D ）1221-⎛⎫⎪-⎝⎭.（7）随机变量,X Y 独立同分布，且X 分布函数为()F x ，则{}max ,Z X Y =分布函数为（ ）（A ）()2Fx .（B ）()()F x F y .（C ）()211F x --⎡⎤⎣⎦.（D ）()()11F x F y --⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦.（8）随机变量()~0,1X N ，()~1,4Y N 且相关系数1XY ρ=，则（ ）（A ）{}211P Y X =--=.（B ）{}211P Y X =-=.（C ）{}211P Y X =-+=.（D ）{}211P Y X =+=.二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.（9）设函数21,()2,x x c f x x c x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩在(,)-∞+∞内连续，则c = .（10）设341()1x x f x x x ++=+，则2()______f x dx =⎰.（11）设22{(,)1}D x y x y =+≤，则2()Dx y dxdy -=⎰⎰ . （12）微分方程0xy y '+=满足条件(1)1y =的解是y = .（13）设3阶矩阵A 的特征值为1，2，2，E 为3阶单位矩阵，则14_____A E --=. （14）设随机变量X 服从参数为1的泊松分布，则{}2P X EX == . 三、解答题：15－23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15) （本题满分10分） 求极限201sin limln x xx x→.(16) （本题满分10分）设(,)z z x y =是由方程()22x y z x y z ϕ+-=++所确定的函数，其中ϕ具有2阶导数且1ϕ'≠-时.（Ⅰ）求dz （Ⅱ）记()1,z z u x y x y x y ⎛⎫∂∂=- ⎪-∂∂⎝⎭，求u x ∂∂.计 算max(,1),Dxy dxdy ⎰⎰其中{(,)02,02}D x y x y =≤≤≤≤.(18) （本题满分10分） 设()f x 是周期为2的连续函数， （Ⅰ）证明对任意的实数t ，有()()22t tf x dx f x dx +=⎰⎰；（Ⅱ）证明()()()202xt t G x f t f s ds dt +⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦⎰⎰是周期为2的周期函数．(19) （本题满分10分）设银行存款的年利率为0.05r =，并依年复利计 算，某基金会希望通过存款A 万元，实现第一年提取19万元，第二年提取28万元，…，第n 年提取（10+9n ）万元，并能按此规律一直提取下去，问A 至少应为多少万元？设n 元线性方程组Ax b =，其中2221212n n a a a A a a ⨯⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ，12n x x x x ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ ，100b ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦（Ⅰ）求证行列式()1nA n a =+;（Ⅱ）a 为何值时，该方程组有唯一解，并求1x ； （Ⅲ）a 为何值时，方程组有无穷多解，并求通解。
2008考研数三真题及解析
2008年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.(1) 设函数()f x在区间[1,1]-上连续，则0x=是函数0()()xf t dtg xx=⎰的( ) ()A跳跃间断点. ()B可去间断点.()C无穷间断点. ()D振荡间断点.(2) 如图，曲线段方程为()y f x=，函数在区间[0,]a上有连续导数，则定积分()axf x dx'⎰等于( )()A曲边梯形ABOD面积.()B梯形ABOD面积.()C曲边三角形ACD面积.()D三角形ACD面积.(3) 设(,)f x y=则函数在原点偏导数存在的情况是( )()A(0,0),(0,0)x yf f''存在存在()B(0,0),(0,0)x yf f''存在不存在()C(0,0),(0,0)x yf f''不存在存在()D(0,0),(0,0)x yf f''不存在不存在(4) 设函数f连续. 若()22,uvDf x yF u v+=，其中区域uvD为图中阴影部分，则Fu∂=∂( )()A ()2vf u()B ()2v f u u ()C ()vf u ()D ()vf u u(5) 设A 为n 阶非0矩阵E 为n 阶单位矩阵若3A O =，则( )()A E A -不可逆，E A +不可逆.()B E A -不可逆，E A +可逆. ()C E A -可逆，E A +可逆.()D E A -可逆，E A +不可逆.(6) 设1221A ⎛⎫=⎪⎝⎭则在实数域上与A 合同的矩阵为( ) ()A 2112-⎛⎫ ⎪-⎝⎭.()B 2112-⎛⎫ ⎪-⎝⎭. ()C 2112⎛⎫⎪⎝⎭.()D 1221-⎛⎫⎪-⎝⎭.(7) 随机变量,X Y 独立同分布，且X 分布函数为()F x ，则{}max ,Z X Y =分布函数为( )()A ()2F x .()B ()()F x F y . ()C ()211F x --⎡⎤⎣⎦.()D ()()11F x F y --⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦.(8) 随机变量()0,1XN ，()1,4Y N 且相关系数1XY ρ=，则( )()A {}211P Y X =--=. ()B {}211P Y X =-=. ()C {}211P Y X =-+=.()D {}211P Y X =+=.二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.(9) 设函数21,()2,x x c f x x c x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩在(,)-∞+∞内连续，则c = .(10) 函数3411x x f x x x +⎛⎫+= ⎪+⎝⎭，求积分()2f x dx =⎰ .(11) 设{}22(,)|1D x y x y =+≤，则2()Dx y dxdy -=⎰⎰ . (12) 微分方程0,(1)1,xy y y '+==求方程的特解y = .(13) 设3阶矩阵A 的特征值为1，2，2，E 为三阶单位矩阵，则14A E --= . (14) 设随机变量X 服从参数为1的泊松分布，则{}2P X EX == .三、解答题：15－23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (15) (本题满分9分)求极限201sin limln x x x x→.(16) (本题满分10分)设z z =(,)x y 是由方程()22x y z x y z ϕ+-=++所确定的函数，其中ϕ具有2阶导数且1ϕ'≠-，(I) 求dz (II) 记()1,z z u x y x y x y ⎛⎫∂∂=- ⎪-∂∂⎝⎭，求u x ∂∂.(17) (本题满分11分)计算{}max ,1,Dxy dxdy ⎰⎰其中{(,)02,02}D x y x y =≤≤≤≤(18) (本题满分10分)设()f x 是周期为2的连续函数， (I) 证明对任意实数t 都有()()22t tf x dx f x dx +=⎰⎰(II) 证明()()()202x t t G x f t f s ds dt +⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦⎰⎰是周期为2的周期函数．(19) (本题满分10分)设银行存款的年利率为0.05r =，并依年复利计算. 某基金会希望通过存款A 万元实现第一年提取19万元，第二年提取28万元，…，第n 年取出(10+9n )万元，并能按此规律一直提取下去，问A 至少应为多少万元？(20) (本题满分12分)设n 元线性方程组Ax b =，其中2221212n n a a a A a a ⨯⎛⎫ ⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭，12n x x x x ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，100b ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭， (I)证明行列式()1n A n a =+；(II)当a 为何值时，该方程组有唯一解，并求1x ； (III)当a 为何值时，该方程组有无穷多解，并求通解.(21)(本题满分10分)设A 为3阶矩阵，12,αα为A 的分别属于特征值1,1-特征向量，向量3α满足323A ααα=+. (1)证明123,,ααα线性无关；(2)令()123,,P ααα=，求1P AP -.(22)(本题满分11分)设随机变量X 与Y 相互独立，X 概率分布为{}()11,0,13P X i i ===-，Y 的概率密度为()1010Y y f y ≤≤⎧=⎨⎩其它，记Z X Y =+.求：(I) 102P Z X ⎧⎫≤=⎨⎬⎩⎭； (II) Z 的概率密度()Z f z ．(23) (本题满分11分)设12,,,n X X X 是总体2(,)N μσ的简单随机样本.记11n i i X X n ==∑，2211()1n ii S X X n ==--∑，221T X S n =- (I) 证明 T 是2μ的无偏估计量；(II) 当0,1μσ==时 ，求DT .2008年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析一、选择题 (1)【答案】B【详解】 ()()0()lim ()limlim 0xx x x f t dt g x f x f x→→→===⎰，所以0x =是函数()g x 的可去间断点．(2)【答案】C 【详解】00()()()()()()aa a aaxf x dx xdf x xf x f x dx af a f x dx '==-=-⎰⎰⎰⎰其中()af a 是矩形ABOC 面积，0()af x dx ⎰为曲边梯形ABOD 的面积，所以0()axf x dx '⎰为曲边三角形的面积．(3)【答案】C【详解】000(,0)(0,0)11(0,0)lim lim lim 0xxx x x f x f e f x xx→→→---'===- 0011lim lim 1xx x x e e x x ++→→--==，0011lim lim 1xx x x e e x x---→→--==- 故(0,0)x f '不存在．220000(0,)(0,0)11(0,0)lim limlim lim 00y y y y y y f y f e y f y yyy →→→→---'=====- 所以(0,0)y f '存在．故选C(4)【答案】A【详解】用极坐标得 ()222()2011,()vu uf r r Df u v F u v dv rdr v f r dr +===⎰⎰⎰所以()2Fvf u u∂=∂(5)【答案】C【详解】23()()E A E A A E A E -++=-=，23()()E A E A A E A E +-+=+=故,E A E A -+均可逆．(6)【答案】D 【详解】记1221D -⎛⎫=⎪-⎝⎭，则()2121421E D λλλλ--==---，又()2121421E A λλλλ---==---- 所以A 和D 有相同的特征多项式，所以A 和D 有相同的特征值.又A 和D 为同阶实对称矩阵，所以A 和D 相似．由于实对称矩阵相似必合同，故D 正确.(7)【答案】A【详解】()(){}{}()()()()()2max ,Z F z P Z z P X Y z P X z P Y z F z F z F z =≤=≤=≤≤==(8)【答案】D【详解】 用排除法. 设Y aX b =+，由1XY ρ=，知道,X Y 正相关，得0a >，排除()A 、()C 由~(0,1),~(1,4)X N Y N ，得0,1,EX EY ==所以 ()()E Y E aX b aEX b =+=+01,a b =⨯+= 所以1b =. 排除()B . 故选择()D二、填空题 (9)【答案】1【详解】由题设知||0c x ≥≥，所以22,()1,2,x x c f x x c x c x x c >⎧⎪=+-≤≤⎨⎪-<-⎩因为 ()22lim lim(1)1x cx cf x x c --→→=+=+，()22lim lim x c x cf x x c++→→== 又因为()f x 在(,)-∞+∞内连续，()f x 必在x c =处连续所以 ()()lim lim ()x cx cf x f x f c +-→→==，即2211c c c+=⇒=(10)【答案】1ln 32【详解】222111112x xx x f x x x x x x ++⎛⎫+== ⎪⎝⎭⎛⎫++- ⎪⎝⎭，令1t x x =+，得()22t f t t =- 所以()()()22222111ln 2ln 6ln 2ln 32222x f x dx dx x x ==-=-=-⎰⎰(11)【答案】4π【详解】()22221()2DDDx y dxdy x dxdy x y dxdy -=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰利用函数奇偶性 21200124d r rdr ππθ==⎰⎰(12)【答案】1y x= 【详解】由dy y dx x -=，两端积分得1ln ln y x C -=+，所以1C x y=，又(1)1y =，所以1y x=.(13)【答案】3【详解】A 的特征值为1,2,2，所以1A -的特征值为1,12,12， 所以14A E --的特征值为4113⨯-=，41211⨯-=，41211⨯-=所以143113A E --=⨯⨯=(14)【答案】112e - 【详解】由22()DX EX EX =-，得22()EX DX EX =+，又因为X 服从参数为1的泊松分布，所以1DX EX ==，所以2112EX =+=，所以 {}21111222P X e e --===！三、解答题 (15) 【详解】方法一：22001sin 1sin limln lim ln 11x x x x x x x x →→⎛⎫=+- ⎪⎝⎭32000sin cos 1sin 1limlim lim 366x x x x x x x x x x →→→--===-=-方法二：2230001sin cos sin cos sin lim ln lim lim 2sin 2x x x x x x x x x xx x x x x →→→--=洛必达法则20sin 1lim 66x x x x →-=-洛必达法则(16) 【详解】(I) ()()22xdx ydy dz x y z dx dy dz ϕ'+-=++⋅++()()()122dz x dx y dy ϕϕϕ'''⇒+=-++-+ ()()221x dx y dydz ϕϕϕ''-++-+⇒='+()1ϕ'≠-(II) 由上一问可知22,11z x z yx y ϕϕϕϕ''∂-+∂-+==''∂+∂+，所以 ()11221222,()()1111z z x y y x u x y x y x y x y x y ϕϕϕϕϕϕ''∂∂-+-+-+=-=-=⋅=''''-∂∂-++-++ 所以 ()()()()223322(1)2(1)2(12)2(12)11111x z u x x x xϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ'-∂''+''-+'''''''∂++-++∂==-=-=-∂''''++++.(17) 【详解】 曲线1xy =将区域分成两 个区域1D 和23D D +，为了便于计算继续对 区域分割，最后为()max ,1Dxy dxdy ⎰⎰123D D D xydxdy dxdy dxdy =++⎰⎰⎰⎰⎰⎰112222211102211x xdx dy dx dy dx xydy =++⎰⎰⎰⎰⎰⎰1512ln 2ln 24=++- 19ln 24=+(18) 【详解】方法一：(I) 由积分的性质知对任意的实数t ，()()()()20222t t ttf x dx f x dx f x dx f x dx ++=++⎰⎰⎰⎰令2x u =+，则()()()()222t tttf x dx f u du f u du f x dx +=+==-⎰⎰⎰⎰所以()()()()()20202t tttf x dx f x dx f x dx f x dx f x dx +=+-=⎰⎰⎰⎰⎰(II) 由(1)知，对任意的t 有()()220t tf x dx f x dx +=⎰⎰，记()2a f x dx =⎰，则()0()2xG x f u du ax =-⎰. 所以，对任意的x ，()()2(2)()2(2)2x xG x G x f u du a x f u du ax ++-=-+-+⎰⎰()()22022220x xf u du a f u du a +=-=-=⎰⎰所以()G x 是周期为2的周期函数.方法二：(I) 设2()()t tF t f x dx +=⎰，由于()(2)()0F t f t f t '=+-=，所以()F t 为常数，从而有()(0)F t F =. 而2(0)()F f x dx =⎰，所以2()()F t f x dx =⎰，即22()()t tf x dx f x dx +=⎰⎰.(II) 由(I)知，对任意的t 有()()220t tf x dx f x dx +=⎰⎰，记()2a f x dx =⎰，则()0()2xG x f u du ax =-⎰ ， ()20(2)2(2)x G x f u du a x ++=-+⎰由于对任意x ，()(2)2(2)2()G x f x a f x a '+=+-=-，()()2()G x f x a '=-所以 ()(2)()0G x G x '+-=，从而 (2)()G x G x +-是常数即有 (2)()(2)(0)0G x G x G G +-=-= 所以()G x 是周期为2的周期函数.(19) 【详解】方法一：设n A 为用于第n 年提取(109)n +万元的贴现值，则(1)(109)n n A r n -=++故 1111110919102009(1)(1)(1)(1)n n n nnn n n n nn n nA A r r r r ∞∞∞∞∞=====+===+=+++++∑∑∑∑∑设 1()(1,1)n n S x n x x ∞==∈-∑因为 21()()()(1,1)1(1)n n x xS x x x xx x x ∞=''=== ∈---∑所以 11()()4201 1.05S S r ==+(万元) 故 2009420398A =+⨯=(万元)，即至少应存入3980万元. 方法二：设第t 年取款后的余款是t y ，由题意知t y 满足方程1(10.05)(109)t t y y t -=+-+， 即 11.05(109)t t y y t --=-+ (1)(1)对应的齐次方程 11.050t t y y --=的通解为 (1.05)t t y C = 设(1)的通解为 *t y at b =+，代入(1)解得 180a =，3980b = 所以(1)的通解为 (1.05)1803980t t y C t =++ 由0y A =，0t y ≥得 3980A C =+ 0C ≥ 故A 至少为3980万元．(20) 【详解】(I) 证法一：2222122121213210122122112221301240134(1)2(1)3231(1)0nn n a a aa a a aa aA r ar aaa aa a a n a a n ar ar a n a nnn a n-=-=-+-=⋅⋅⋅=++证法二：记||n D A =，下面用数学归纳法证明(1)n n D n a =+．当1n =时，12D a =，结论成立．当2n =时，2222132a D a a a==，结论成立．假设结论对小于n 的情况成立．将n D 按第1行展开得221221221210212121222(1)(1)n n n n nn n a a a aD aD a aaD a D ana a n a n a -----=-=-=--=+故 ||(1)nA n a =+证法三：记||n D A =，将其按第一列展开得 2122n n n D aD a D --=-，所以 211212()n n n n n n D aD aD a D a D aD ------=-=-222321()()n n n n a D aD a D aD a ---=-==-=即 12122()2n n n n n n n n D a aD a a a aD a a D ----=+=++=++2121(2)(1)n n n n n a a D n a a D --==-+=-+1(1)2(1)n n n n a a a n a -=-+⋅=+(II) 因为方程组有唯一解，所以由Ax B =知0A ≠，又(1)n A n a =+，故0a ≠． 由克莱姆法则，将n D 的第1列换成b ，得行列式为2221122(1)(1)112102121221122n n n nn n a aa a a aa aD na a a a a --⨯-⨯-===所以 11(1)n n D nx D n a-==+ (III) 方程组有无穷多解，由0A =，有0a =，则方程组为12101101001000n n x x x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 此时方程组系数矩阵的秩和增广矩阵的秩均为1n -，所以方程组有无穷多解，其通解为()()10000100,TTk k +为任意常数．(21)【详解】(I)证法一：假设123,,ααα线性相关．因为12,αα分别属于不同特征值的特征向量，故12,αα线性无关，则3α可由12,αα线性表出，不妨设31122l l ααα=+，其中12,l l 不全为零(若12,l l 同时为0，则3α为0，由323A ααα=+可知20α=，而特征向量都是非0向量，矛盾)11,A αα=-22A αα=∴32321122A l l αααααα=+=++，又311221122()A A l l l l ααααα=+=-+ ∴112221122l l l l ααααα-+=++，整理得：11220l αα+=则12,αα线性相关，矛盾. 所以，123,,ααα线性无关.证法二：设存在数123,,k k k ，使得1122330k k k ααα++= (1)用A 左乘(1)的两边并由11,A αα=-22A αα=得1123233()0k k k k ααα-+++= (2)(1)—(2)得 113220k k αα-= (3) 因为12,αα是A 的属于不同特征值的特征向量，所以12,αα线性无关，从而130k k ==，代入(1)得220k α=，又由于20α≠，所以20k =，故123,,ααα线性无关.(II) 记123(,,)P ααα=，则P 可逆，123123(,,)(,,)AP A A A A αααααα==1223(,,)αααα=-+123100(,,)011001ααα-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭100011001P -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭所以 1100011001P AP --⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.(22)【详解】(I) 1201(0,)11112(0)(0)()122(0)22P X Y P Z X P X Y X P Y dy P X =≤≤==+≤===≤===⎰ (II) (){}{}Z F z P Z z P X Y z =≤=+≤{,1}{,0}{,1}P X Y z X P X Y z X P X Y z X =+≤=-++≤=++≤= {1,1}{,0}{1,1}P Y z X P Y z X P Y z X =≤+=-+≤=+≤-= {1}{1}{}{0}{1}{1}P Y z P X P Y z P X P Y z P X =≤+=-+≤=+≤-=[]1{1}{}{1}3P Y z P Y z P Y z =≤++≤+≤- []1(1)()(1)3Y Y Y F z F z F z =+++- 所以 []1()(1)()(1)3Z Y Y Y f z f z f z f z =+++-1,1230,z ⎧-≤<⎪=⎨⎪⎩其它(23) 【详解】(I) 因为2(,)XN μσ，所以2(,)XN nσμ，从而2,E X DX nσμ= =．因为 221()()E T E X S n =-221()E X E S n =- 221()()DX E X E S n =+-222211n nσμσμ=+-=所以，T 是2μ的无偏估计(II)方法一：22()()D T ET ET =-，()0E T =，22()1E S σ==所以2()D T ET =442222()S E X X S n n=-⋅+4224221()()()()E X E X E S E S n n=-+因为(0,1)X N ，所以1(0,)X N n，有10,E X D X n ==，()221E X DX E X n=+=所以2242222()()()()()E X D X E X D D X E X ⎡⎤=+=++⎣⎦2221()D D X n⎡⎤=+⎣⎦2221132n n n ⎛⎫=⋅+= ⎪⎝⎭()2422222()1ES E S DS ES DS ⎡⎤==+=+⎢⎥⎣⎦因为2222(1)(1)(1)n S W n S n χσ-==--，所以2(1)DW n =-，又因为22(1)DW n DS =-，所以22(1)DS n =-,所以4211(1)1n ES n n +=+=--所以 2223211111n ET n n n n n +=-⋅⋅+⋅-2(1)n n =-. 方法二：当0,1μσ==时221()()D T D X S n=- (注意X 和2S 独立)222222221111(1)(1)DX DS DD n S n nn n ⎡⎤=+=+⋅-⎣⎦- 222111222(1)(1)(1)n n n n n n =⋅+⋅⋅-=--。
中山大学2008高代解答
3a − 3 0 −2
(2) + (1) 0 a−1 → 1 1
2 − a − a2 1−a a
3a − 3 0 −2
当a = 1时，方程组有无穷解，其解集为(−2, 0, 0) + k1 (1, −1, 0) + k2 (1, 0, −1). 五、(10分) 在F n 中，设αi = (ai1 , ai2 , · · · , ain ), i = 1, 2, · · · , m, β = (b1 , b2 , · · · , bn ). 证明： 如果线性方程组 a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn a x + a x + ··· + a x 21 1 22 2 2n n · · · am1 x1 + am2 x2 + · · · + amn xn = = = 0 0 0
0 0
列变 → 1 0 0 1 −1 0
λ3 − cλ2 − bλ − a 0 0
,
解法2： 直接计算矩阵的不变因子为D3 = λ3 − cλ2 − bλ − a, D2 = 1 (因为 以所求极小多项式为D3 ÷ D2 = λ3 − cλ2 − bλ − a.
λ −1
= 1), 所
七、(10分) 设A为实对称矩阵，B 为实反对称矩阵，A − B 可逆，且AB = BA. 证明：(A + B )(A − B )−1 是正交矩阵。 证明： 由已知条件可得 ( (A + B )(A − B )−1 )′ ( )′ −1 = (A − B )−1 (A + B )′ = ((A − B )′ ) (A + B )′
08年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题
2008年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题乐考无忧，为您的考研之路保驾护航！2008年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. (1) 设f(x)?x2(x?1)(x?2)，求f?(x)的零点个数( ) ?A?0 ?B?1?C?2?D?3 (2) 如图，曲线段方程为y?f(x)，y 函数在区间[0,a]上有连续导数，则C(0, f(a))A(a, f(a)) a定积分xf?(x)dx等于( ) y=f(x) 0??A?曲边梯形ABOD面积. ?B?梯形ABOD面积. ?C?曲边三角形ACD面积. ?D?三角形ACD面积.D O B(a,0)x (3) 在下列微分方程中，以y?C1ex?C2cos2x?C3sin2x(C1,C2,C3为任意常数)为通解的是( ) ?A?y????y???4y??4y?0. ?C?y? ???y???4y??4y?0. (4) 判断函数f(x)? ?B?y????y???4y??4y?0. ?D?y ????y???4y??4y?0. lnxsinx(x?0)间断点的情况( ) x?1?A?有1个可去间断点，1个跳跃间断点?B?有1个跳跃间断点，1个无穷间断点?C?有两个无穷间断点?D?有两个跳跃间断点;考研辅导视频乐考无忧，为您的考研之路保驾护航！(5) 设函数f(x)在(??,??)内单调有界，?xn?为数列，下列命题正确的是( ) ?A?若?xn?收敛，则?f(xn)?收敛.?B?若?xn?单调，则?f(xn)?收敛. ?C?若?f(xn)?收敛，则?xn?收敛. (6) 设函数f连续. 若F?u,v????Duv?D?若?f(xn)?单调，则?xn?收敛. ?F?( ) ?uf?x2?y2?x2?y2其中区域Duv为图中阴影部分，则dxdy，?A?vf?u? 2 y x2+y2=u2 x2+y2=1 v Duv ?B?uf?u2? v?C?vf?u?vD??uf?u?(7) 设A为n阶非零矩阵，E为n阶单位矩阵. 若A3?O，则( ) O x ?A?E?A不可逆，E?A不可逆. ?C?E?A可逆，E?A可逆. ?B?E?A不可逆，E?A 可逆. ?D?E?A可逆，E?A不可逆. ?12?(8) 设A???，则在实数域上与A合同的矩阵为( ) ?21??A?? ??21??. ?1?2? ?B???2?1??. ??12?? 21??C???.12?? ?1?2??D???. ?21??二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上. (9) f(x)连续，limx?01?cos(sinx)(e?1)f(x)x2?1，则f(0)?????????????????? (10) 微分方程(y?x2e?x)dx?xdy?0的通解是y?????????????????? (11) 曲线sin?xy??ln?y?x??x在点?0,1?处的切线方程为?????????????????. ;考研辅导视频乐考无忧，为您的考研之路保驾护航！(12) 求函数f(x)?(x?5)x的拐点______________. 23?z?y?(13) 已知z???，则?_______. ?x(1,2)?x?(14) 矩阵A 的特征值是?,2,3，其中?未知，且2A??48，则?=_______. 三、解答题：15－23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (15)(本题满分9分) xysinx?sin?sinx??sinx???求极限lim. x?0x4 (16) (本题满分10分) ?x?x(t)?设函数y?y(x)参数方程?确定，其中x(t)是初值问题t2y??ln(1?u)du?0??dx?xd2y??2te?0的解. 求2. ?dtdx?x|?0?t?0 (17)(本题满分9分) 计算?1x2arcsinx1?x20dx (18)(本题满分11分) 计算??max?xy,1?dxdy,其中D?{(x,y)0?x?2,0?y?2} D(19)(本题满分11分) 设f(x)是区间[0,??)上具有连续导数的单调增加函数，且f(0)?1. 对于任意的t?[0,??)，直线x?0,x?t，曲线y?f(x)以及x轴所围成曲边梯形绕x轴旋转一周生成一旋转体. 若该旋转体的侧面面积在数值上等于其体积的2倍，求函数f(x)的表达式.(20)(本题满分11分) ;考研辅导视频乐考无忧，为您的考研之路保驾护航！(I) 证明积分中值定理：若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，则至少存在一点??[a,b]，使得?f(x)dx?f(?)(b?a)；ab(II) 若函数?(x)具有二阶导数，且满足，?(2)??(1),?(2)???(x)dx，则至少存在一点23??(1,3)，使得???(?)?0.(21)(本题满分11分) 求函数u?x2?y2?z2在约束条件z?x2?y2和x?y?z?4下的最大和最小值.(22)(本题满分12分) 设n元线性方程组Ax?b，其中?2a1?2a2aA????a2??x1???1????? ?x2?，x???，b??0? ????1??????2a?n?n?xn??0?(I) 证明行列式A??n?1?an (II) 当a为何值时，该方程组有唯一解，并求x1 (III) 当a为何值时，该方程组有无穷多解，并求通解(23)(本题满分10分) 设A为3阶矩阵，向量?3满足A?3??2??3，?1,?2为A的分别属于特征值?1,1的特征向量，(I) 证明?1,?2,?3线性无关；(II) 令P???1,?2,?3?，求P?1AP ;考研辅导视频。
2008年考研高数一真题(附答案)
2008年考研数学一试题分析、详解和评注一、选择题：(本题共8小题，每小题4分，共32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内) （1）设函数2()ln(2)x f x t dt =+⎰，则()f x '的零点个数为【 】(A) 0. (B) 1. (C) 2. (D) 3． 【答案】应选(B).【详解】22()ln(2)22ln(2)f x x x x x '=+⋅=+．显然()f x '在区间(,)-∞+∞上连续，且(1)(1)(2ln 3)(2ln 3)0f f ''-∙=-∙<，由零点定理，知()f x '至少有一个零点．又2224()2ln(2)02xf x x x''=++>+，恒大于零，所以()f x '在(,)-∞+∞上是单调递增的．又因为(0)0f '=，根据其单调性可知，()f x '至多有一个零点．故()f x '有且只有一个零点．故应选(B).（2）函数(,)arctan x f x y y=在点(0,1)处的梯度等于【 】(A) i (B) i -. (C) j . (D) j - . 【答案】 应选(A).【详解】因为222211f y y x xx yy∂==∂++．222221x f x yx yx yy-∂-==∂++．所以(0,1)1f x∂=∂，(0,1)0f y∂=∂，于是(0,1)(,)i grad f x y =.故应选(A).（3）在下列微分方程中，以123cos 2sin 2xy C e C x C x =++（123,,C C C 为任意的常数）为通解的是【 】(A) 440y y y y ''''''+--=. (B) 440y y y y ''''''+++=.(C) 440y y y y ''''''--+=. (D) 440y y y y ''''''-+-=. 【答案】 应选(D).【详解】由123cos 2sin 2xy C e C x C x =++，可知其特征根为11λ=，2,32i λ=±，故对应的特征值方程为2(1)(2)(2)(1)(4)i i λλλλλ-+-=-+3244λλλ=+-- λλλ3244=-+-所以所求微分方程为440y y y y ''''''-+-=．应选(D).（4）设函数()f x 在(,)-∞+∞内单调有界，{}n x 为数列，下列命题正确的是【 】．(A) 若{}n x 收敛，则{()}n f x 收敛 (B) 若{}n x 单调，则{()}n f x 收敛 (C) 若{()}n f x 收敛，则{}n x 收敛. (D) 若{()}n f x 单调，则{}n x 收敛. 【答案】 应选(B).【详解】若{}n x 单调，则由函数()f x 在(,)-∞+∞内单调有界知，若{()}n f x 单调有界，因此若{()}n f x 收敛．故应选(B).（5）设A 为n 阶非零矩阵，E 为n 阶单位矩阵．若30A =，则【 】则下列结论正确的是：(A) E A -不可逆，则E A +不可逆. (B) E A -不可逆，则E A +可逆.(C) E A -可逆，则E A +可逆. (D) E A -可逆，则E A +不可逆. 【答案】应选(C). 【详解】故应选(C).23()()E A E A A E A E -++=-=，23()()E A E A A E A E +-+=+=．故E A -，E A +均可逆．故应选(C).（6）设A 为3阶实对称矩阵，如果二次曲面方程()1x xyz A y z ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭在正交变换下的标准方程的图形如图，则A 的正特征值个数为【 】(A) 0. (B) 1. (C) 2. (D) 3.【答案】 应选(B).【详解】此二次曲面为旋转双叶双曲面，此曲面的标准方程为222221x y z ac+-=．故A 的正特征值个数为1．故应选(B).（7） 设随机变量,X Y 独立同分布且X 的分布函数为()F x ，则max{,}Z X Y =的分布函数为【 】(A) 2()F x . (B) ()()F x F y . (C) 21[1()]F x --. (D) [1()][1()]F x F y --. 【答案】应选(A)．【详解】(){}()m ax{,}F z P Z z P X Y z =≤=≤()()2()()()P X z P Y z F z F z F z =≤≤==．故应选(A)．（8）设随机变量X N (0,1) , (1,4)Y N , 且相关系数1XY ρ=，则【 】(A) {21}1P Y X =--= (B) {21}1P Y X =-= (C) {21}1P Y X =-+= (D) {21}1P Y X =+= 【答案】应选 (D)．【详解】用排除法．设Y aX b =+．由1XY ρ=，知X ，Y 正相关，得0a >．排除（A ）和（C ）．由(0,1)X N ，(1,4)Y N ，得0,1,()EX EY E aX b aEX b ==+=+．10a b =⨯+，1b =．从而排除(B).故应选 (D)．二、填空题：(9－14小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上.) （9）微分方程0xy y '+=满足条件(1)1y =的解是y = . 【答案】 应填1y x =．【详解】由dy y dxx=-，得dy dx yx=-．两边积分，得ln ||ln ||y x C =-+．代入条件(1)1y =，得0C =．所以1y x=．（10）曲线sin()ln()xy y x x +-=在点(0,1)的切线方程为 . 【答案】 应填1y x =+．【详解】设(,)sin()ln()F x y xy y x x =+--，则1(,)cos()1x F x y y xy y x-=+--，1(,)cos()x F x y x xy y x=+-，(0,1)1x F =-，(0,1)1y F =．于是斜率(0,1)1(0,1)x y F k F '=-='．故所求得切线方程为1y x =+．（11）已知幂级数0(2)nn n a x ∞=+∑在0x =处收敛，在4x =-处发散，则幂级数(2)nnn ax ∞=-∑的收敛域为 .【答案】 (1,5]．【详解】由题意，知0(2)nn n a x ∞=+∑的收敛域为(4,0]-，则0nn n a x ∞=∑的收敛域为(2,2]-．所以0(2)nn n a x ∞=-∑的收敛域为(1,5]．(12)设曲面∑是z =的上侧，则2xydydz xdzdx xdxdy ∑++=⎰⎰ .【答案】 4π．【详解】作辅助面1:0z ∑=取下侧．则由高斯公式，有2xydydz xdzdx xdxdy ∑++⎰⎰122xydydz xdzdx x dxdy xydydz xdzdx x dxdy ∑∑=++-++⎰⎰⎰⎰2224x y ydV x dxdy Ω+≤=+⎰⎰⎰⎰⎰．2222410()2x y x y dxdy +≤=++⎰⎰d r rdr πθππ222116424=∙==⎰⎰．(13) 设A 为2阶矩阵，12,αα为线性无关的2维列向量，10A α=，2122A ααα=+．则A 的非零特征值为___________. 【答案】应填1．【详解】根据题设条件，得1212121202(,)(,)(0,2)(,)01A A A αααααααα⎛⎫==+=⎪⎝⎭． 记12(,)P αα=，因12,αα线性无关，故12(,)P αα=是可逆矩阵．因此 0201AP P ⎛⎫=⎪⎝⎭，从而10201P AP -⎛⎫= ⎪⎝⎭．记0201B ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则A 与B 相似，从而有相同的特征值．因为2||(1)01E B λλλλλ--==--，0λ=，1λ=．故A 的非零特征值为1．(14) 设随机变量X 服从参数为1的泊松分布，则{}2P X EX ==____________． 【答案】应填12e.【详解】因为X 服从参数为1的泊松分布，所以1EX D X ==．从而由22()D X EX EX =-得22EX =．故{}{}22P X EX P X ====12e．三、解答题：(15－23小题，共94分. )(15)(本题满分10分) 求极限[]4sin sin(sin )sin limx x x xx→-【详解1】[]4sin sin(sin )sin limx x x xx→-[]3sin sin(sin )limx x x x→-=＝2cos cos(sin )cos lim3x x x xx→-21cos(sin )lim3x x x→-= 0sin(sin )cos lim6x x xx→=(或221(sin )2lim 3x x x→=，或2221sin (sin )2lim 3x x o x x→+=)16=．【详解2】[]4sin sin(sin )sin limx x x xx→-[]4sin sin(sin )sin limsin x x x xx→-=＝3sin limt t t t→-201cos lim3t t t→-=2202lim 3t tt →=（或0sin lim 6t tt→=） 16=．（16）(本题满分9分)计算曲线积分2sin 22(1)Lxdx x ydy +-⎰，其中L 是曲线sin y x =上从(0,0)到(,0)π的一段．【详解1】按曲线积分的计算公式直接计算．2sin 22(1)Lxdx x ydy +-⎰2[sin 22(1)sin cos ]xdx x x x dx π=+-⎰2sin 2x xdx π=⎰2cos 2cos 22x xx xdx ππ=-+⎰2cos 22x xdx ππ=-+⎰2sin 2sin 2222x x x dx πππ=-+-⎰22π=-．【详解2】添加辅助线，按照Green 公式进行计算．设1L 为x 轴上从点(,0)π到(0,0)的直线段．D 是1L 与L 围成的区域12sin 22(1)L L xdx x ydy ++-⎰2(2(1)sin 2D x y x dxdy x y ⎡⎤∂-∂=--⎢⎥∂∂⎣⎦⎰⎰4D xydxdy =-⎰⎰sin 04xxydydx π=-⎰⎰22sin x xdx π=-⎰0(1cos 2)x x dx π=--⎰2cos 22xx xdx ππ=-+⎰2sin 2sin 2222x x x dx πππ=-+-⎰22π=-．因为12sin 22(1)sin 20L xdx x ydy xdx π+-==⎰⎰故2sin 22(1)Lxdx x ydy +-⎰22π=-【详解3】令2sin 22(1)LI xdx x ydy =+-⎰212sin 222Lxdx ydy x ydy I I =-+=+⎰对于1I ，记sin 2,2P x Q y ==-．因为0P P yx∂∂==∂∂，故1I 与积分路径无关．10sin 20I xdx π==⎰．对于2I ， 2222022sin cos sin 2LI x ydy x x xdx x xdx ππ===⎰⎰⎰2cos 2cos 22x xx xdx ππ=-+⎰2cos 22x xdx ππ=-+⎰2sin 2sin 2222x x x dx πππ=-+-⎰22π=-．故2sin 22(1)Lxdx x ydy +-⎰22π=-17（本题满分11分）已知曲线22220,:35,x y z C x y z ⎧+-=⎨++=⎩求C 上距离xoy 面最远的点和最近的点．【详解1】 点(,,)x y z 到xoy 面的距离为||z ，故求C 上距离xoy 面最远的点和最近的点的坐标等价于求函数2H z =在条件22220,x y z +-=35x y z ++=下的最大值点和最小值点．构造拉格朗日函数2222(,,,,)(2)(35)L x y z z x y z x y z λμλμ=++-+++-，由222220,20,220,43.,350x y z L x L y L z z x y z x y z λμλμλμ'=+=⎧⎪'=+=⎪⎪'=-++-=++==⎨⎪⎪⎪⎩ 得x y =，从而22220,23 5.x z x z -=+=⎧⎨⎩解得5,5,5.x y z ==-⎧⎪=-⎨⎪⎩或1.1,1,z x y =⎧=⎪=⎨⎪⎩根据几何意义，曲线C 上存在距离x o y 面最远的点和最近的点，故所求点依次为(5,5,5)--和(1,1,1)．【详解2】 点(,,)x y z 到xoy 面的距离为||z ，故求C 上距离xoy 面最远的点和最近的点的坐标等价于求函数22H x y =+在条件2225203x y x y +-⎛⎫+-= ⎪⎝⎭下的最大值点和最小值点．构造拉格朗日函数222222(,,,)(5)9L x y z x y x y x y λλ⎛⎫=+++-+- ⎪⎝⎭，由222520.422(5)0,9422(5)0,93x y L x x x y L y x x y y y y x λλ⎧⎛⎫'=+-+-=⎪ ⎪⎝⎭⎪⎪⎪⎛⎫'=+-+-=+-⎨⎪⎝⎭⎛⎫+-= ⎪⎝⎭⎪⎪⎪⎪⎩得x y =，从而2222(25)09x x --=．解得5,5,5.x y z ==-⎧⎪=-⎨⎪⎩或1.1,1,z x y =⎧=⎪=⎨⎪⎩根据几何意义，曲线C 上存在距离x o y 面最远的点和最近的点，故所求点依次为(5,5,5)--和(1,1,1)．【详解3】由22220x y z +-=得cos ,sin .x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩代入35x y z ++=，得5z =所以只要求()z z θ=的最值．令()2sin cos )()03sin )z θθθθθ-+'==++，得cos sin θθ=，解得5,44ππθ=．从而5,5,5.x y z ==-⎧⎪=-⎨⎪⎩或1.1,1,z x y =⎧=⎪=⎨⎪⎩根据几何意义，曲线C 上存在距离x o y 面最远的点和最近的点，故所求点依次为(5,5,5)--和(1,1,1)．（18）(本题满分10分)设()f x 是连续函数， （I ）利用定义证明函数0()()x F x f t dt =⎰可导，且()()F x f x '=；（II ）当()f x 是以2为周期的周期函数时，证明函数2()2()()xG x f t dt x f t dt=-⎰⎰也是以2为周期的周期函数． （I ）【证明】000()()()()()limlimx x x x x f t dt f t dtF x x F x F x xx+∆∆→∆→-+∆-'==∆∆⎰⎰()limx x xx f t dtx+∆∆→=∆⎰()limlim ()()x x f x f f x xξξ∆→∆→∆===∆【注】不能利用L ’Hospital 法则得到0()()lim limx x xx x f t dtf x x xx+∆∆→∆→+∆=∆∆⎰．(II) 【证法1】根据题设，有222000(2)2()(2)()(2)()x G x f t dt x f t dt f x f t dt +'⎡⎤'+=-+=+-⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰，22000()2()()2()()x G x f t dt x f t dt f x f t dt '⎡⎤'=-=-⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰．当()f x 是以2为周期的周期函数时，(2)()f x f x +=． 从而 (2)()G x G x ''+=．因而(2)()G x G x C +-=．取0x =得，(02)(0)0C G G =+-=，故 (2)()0G x G x +-=． 即2()2()()xG x f t dt x f t dt =-⎰⎰是以2为周期的周期函数．【证法2】根据题设，有 2200(2)2()(2)()x G x f t dt x f t dt ++=-+⎰⎰，2222022()()()2()x f t dt x f t dt x f t dt f t dt +=+--⎰⎰⎰⎰．对于22()x f t dt +⎰，作换元2t u =+，并注意到(2)()f u f u +=，则有22()(2)()()x x x x f t dt f u du f u du f t dt +=+==⎰⎰⎰⎰，因而 2220()()0x x f t dt x f t dt +-=⎰⎰．于是2(2)2()()()xG x f t dt x f t dt G x +=-=⎰⎰．即2()2()()x G x f t dt x f t dt =-⎰⎰是以2为周期的周期函数【证法3】根据题设，有 2200(2)2()(2)()x G x f t dt x f t dt ++=-+⎰⎰，222002()2()()2()xx xf t dt f t dt x f t dt f t dt +=+--⎰⎰⎰⎰2222()()2()2()x x xf t dt x f t dt f t dt f t dt +=-+-⎰⎰⎰⎰()220()2()()x xG x f t dt f t dt +=+-⎰⎰．当()f x 是以2为周期的周期函数时，必有220()()x xf t dt f t dt +=⎰⎰．事实上22(())(2)()0x d f t dt f x f x dx+=+-=⎰，所以22()x f t dt C +≡⎰．取0x =得，02222()()C f t dt f t dt +≡=⎰⎰．所以2(2)2()()()x G x f t dt x f t dt G x +=-=⎰⎰．即2()2()()x G x f t dt x f t dt =-⎰⎰是以2为周期的周期函数(19)(本题满分11分)将函数2()1(0)f x x x π=-≤≤展开成余弦级数，并求级数11(1)n n n-∞=-∑的和．【详解】将()f x 作偶周期延拓，则有0,1,2,n b n == ．0a =22(1)d x x ππ-⎰2213π⎛⎫=- ⎪⎝⎭．2()cos n a f x nxdx ππ=⎰22cos cos nxdx x nxdx ππππ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦⎰⎰220cos x nxdx πππ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦⎰22sin 2sin x nx x nxdx nnπππ⎡⎤-=-⎢⎥⎣⎦⎰1222(1)n nππ--=124(1)n n--=．所以2101221()1cos (1)143cos 2n nn n a f x x nanx nx π-∞∞===-=+=--+∑∑，0x π≤≤．令x=0，有n n f nπ2121(1)(0)143-∞=-=-+∑又(0)1f =，所以n n nπ1221(1)12-∞=-=∑．（20）(本题满分10分)设,αβ为3维列向量，矩阵TTA ααββ=+，其中,TTαβ分别是,αβ得转置．证明： （I ） 秩()2r A ≤；（II ）若,αβ线性相关，则秩()2r A <．【详解】（I ）【证法1】()()()()()()2TTTTr A r r r r r ααββααββαβ=+≤+≤+≤． 【证法2】因为T TA ααββ=+，A 为33⨯矩阵，所以()3r A ≤． 因为,αβ为3维列向量，所以存在向量0ξ≠，使得0,0TTαξβξ==于是 0T T A ξααξββξ=+= 所以0A x =有非零解，从而()2r A ≤．【证法3】因为TTA ααββ=+，所以A 为33⨯矩阵．又因为()00TT TT A αααββαββ⎛⎫ ⎪=+= ⎪ ⎪⎝⎭， 所以|||0|00T TaA αββ==故 ()2r A ≤．（II ）【证法】由,αβ线性相关，不妨设k αβ=．于是()2()()(1)()12TTTr A r rk r ααβββββ=+=+≤≤<．(21) (本题满分12分)．设n 元线性方程组A x b =，其中2222212121212a a a aa A aa aa ⎛⎫ ⎪⎪⎪=⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，12n x x x x ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ，b 100⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ．（I ）证明行列式||(1)n A n a =+；（II ）当a 为何值时，该方程组有惟一解，并求1x ． （III ）当a 为何值时，该方程组有无穷多解，并求其通解．【详解】（I ）【证法1】数学归纳法．记2222212121||212n na aa aa D A aa aa==以下用数学归纳法证明(1)nn D n a =+． 当1n =时，12D a =，结论成立． 当2n =时，2222132a D a aa==，结论成立．假设结论对小于n 的情况成立．将n D 按第一行展开得n n n aa aa D aD aa aa2212211021212212--=-2122n n aD a D --=-1222(1)n n anaa n a--=--(1)nn a =+故 (1)nA n a =+．【注】本题（1）也可用递推法．由2122n n n D aD a D --==- 得，2211221()()n n n n n n n D aD a D aD aD aD a ------=-==-= ．于是(1)nn D n a =+（I ）【证法2】消元法．记2222212121||212na aa aa A aa aa=221222130121212212na aa a r ar aa aa-3222221301240123321212na aar ar a a aa aa-=n n na aan r ar nn an n an12130124011301110----+(1)nn a =+．（II ）【详解】当0a ≠时，方程组系数行列式0n D ≠，故方程组有惟一解．由克莱姆法则，将n D 得第一列换成b ，得行列式为22211222211121021212121212122n n nn aa a a aa aa D na aa aa aa aa---===所以，11(1)n nD a x D n a-==+．（III ）【详解】 当0a =时，方程组为12101101001000n n x x x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭此时方程组系数矩阵得秩和增广矩阵得秩均为1n -，所以方程组有无穷多组解，其通解为 ()()010100TTx k =+，其中k 为任意常数．(22) (本题满分11分)设随机变量X 与Y 相互独立，X 的概率密度为1()(1,0,1)3P X i i ===-，Y 的概率密度为1,01,()0,Y y f y 其它.≤<⎧=⎨⎩记Z X Y =+． （I ） 求102P Z X ⎛⎫≤= ⎪⎝⎭； （II ）求Z 的概率密度)(z f Z . （I ）【详解】解法1．1100221110.222P Z X P X Y X P Y X P Y ⎛⎫⎛⎫≤==+≤= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫=≤==≤= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭解法2．()()1,0120201,0112.022P X Y X P Z X P X P Y X P Y P X ⎛⎫+≤= ⎪⎛⎫⎝⎭≤==⎪=⎝⎭⎛⎫≤= ⎪⎛⎫⎝⎭==≤= ⎪=⎝⎭（II ）解法1．Z z P Z z P X Y z P F (){}{}=P {X+Y z,X=-1}+P {X+Y z,X=0}+P {X+Y z,X=1} =P {Y z+1,X=-1}+P {Y z,X=0}+P {Y z-1,X=1}=P {Y z+1}P {X=-1}+P {Y z}P {X=0}+P {Y z-1}P {X=1}1 =[{Y z+1}P {Y 3=≤=+≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤+≤Y Y Y z z Y Y Y F z F z F z f z F z z f z f z f z 'z}P {Y z-1}]1 =[(1)()(1)]3()()1,12;1(1)()(1)330,.其它+≤+++-=⎧-<<⎪=+++-=⎡⎤⎨⎣⎦⎪⎩解法2．11()()()1,12;1(1)()(1)330,.Z Y i Y Y Y f z P X i f z i z f z f z f z =-==-⎧-<<⎪=+++-=⎡⎤⎨⎣⎦⎪⎩∑其它 （23）(本题满分11分)设n X X X 21,是来自总体2(,)N μσ的简单随机样本，记∑==ni iXnX 11，2211()1ni i S X X n ==--∑，221T XS n=-．（1）证明T 是μ2的无偏估计量； （2）当μσ0,1==时，求.D T . 【详解1】（1）首先T 是统计量．其次 221()()E T E X ES n=-222222111()()D X EX ES nnnσμσ=+-=+-2μ=对一切,μσ成立．因此T 是2ˆμ的无偏估计量． 【详解2】（1）首先T 是统计量．其次()()22111111nnij k i j kn T XXX X n n n n n =≠=-=---∑∑，()()1njk j knET E X EX n ≠=-∑2μ=，对一切,μσ成立．因此T 是2ˆμ的无偏估计量． （2）解法2(0,1)N ，22(1)nXχ ，22(1)(1)n S n χ-- ．于是2()2D nX =，()2(1)2(1)D n S n -=-．所以221()D T D X S n ⎛⎫=-⎪⎝⎭()()()22222112()(1)11D nX D n Snn n nn =+-=--。
2008年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题 .doc
2008年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. （1）设函数2()ln(2)x f x t dt =+⎰则()f x '的零点个数（ ）()A 0.()B 1. ()C 2.()D 3.（2）函数(,)arctanxf x y y=在点(0,1)处的梯度等于（ ） ()A i .()B i -. ()Cj .()D j -.（3）在下列微分方程中，从123cos 2sin 2xy C e C x C x =++（123,,C C C 为任意常数）为通解的是（ ）()A 440y y y y ''''''+--=.()B 440y y y y ''''''+++=.()C 440y y y y ''''''--+=.()D 440y y y y ''''''-+-=.（4）设函数()f x 在(,)-∞+∞内单调有界，{}n x 为数列，下列命题正确的是（ ）()A 若{}n x 收敛，则{}()n f x 收敛. ()B 若{}n x 单调，则{}()n f x 收敛.()C 若{}()n f x 收敛，则{}n x 收敛.()D 若{}()n f x 单调，则{}n x 收敛.（5）设A 为n 阶非零矩阵E 为n 阶单位矩阵若30A =，则（ ）()A E A -不可逆，E A +不可逆.()B E A -不可逆，E A +可逆.()C E A -可逆，E A +可逆.()D E A -可逆，E A +不可逆.（6）设A 为3阶非零矩阵，如果二次曲面方程(,,)1x x y z A y z ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭在正交变换下的标准方程的图形如图，则A 的正特征值个数（ ）()A 0.()B 1.()C 2.()D 3.（7）随机变量,X Y 独立同分布且X 分布函数为()F X ，则{}max ,Z X Y =分布函数为（ ）()A ()2F X .()B ()()F X F Y .()C ()211F X --⎡⎤⎣⎦.()D ()()11F X F Y --⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦.（8）随机变量()0,1XN ，()1,4Y N 且相关系数1XY ρ=，则（ ）()A {}211P Y X =--=. ()B {}211P Y X =-=. ()C {}211P Y X =-+=.()D {}211P Y X =+=.二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.（9）微分方程0xy y '+=满足条件()11y =的解是y = . （10）曲线()()sin ln xy y x x +-=在点()0,1处的切线方程为 .（11）已知幂级数()02nn n a x ∞=+∑在0x =处收敛，在4x =-处发散，则幂级数()03nn n a x ∞=-∑的收敛域为 .（12）设曲面∑是z =的上侧，则2xydydz xdzdx x dxdy ∑++=⎰⎰ . （13）设A 为2阶矩阵，12,a a 为线性无关的2维列向量，12120,2Aa Aa a a ==+，则A 的非零特征值为 .（14）设随机变量X 服从参数为1的泊松分布，则{}2P X EX== .三、解答题：15－23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)（本题满分10分）求极限()4sin sin sin sin limx x x x x →-⎡⎤⎣⎦.(16)（本题满分12分） 计算曲线积分()2sin 221Lxdx x ydy +-⎰，其中L 是曲线sin y x =上从点()0,0到点(),0π的一段.(17)（本题满分12分）已知曲线22220:35x y z C x y z ⎧+-=⎨++=⎩，求C 点距离XOY 面最远点和最近的点.(18)（本题满分12分） 函数()f x 连续，()()0xF x f t dt =⎰，证明()F x 可导，且()()F x f x '=.(19)（本题满分12分）()21f x x =-，用余弦级数展开，并求()1211n n n +∞=-∑的和(20)（本题满分9分）T T A ααββ=+，T α为α的转置，T β为β的转置（1）证()2r A ≤；（2）若,αβ线性相关，则()2r A <. （21）（本题满分9分）设矩阵2221212n na a aA a a ⨯⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭，现矩阵A 满足方程AX B =，其中()1,,Tn X x x =，()1,0,,0B =，（1）求证()1nA n a =+（2）a 为何值，方程组有唯一解，求1x （3）a 为何值，方程组有无穷多解，求通解（22）（本题满分9分）设随机变量X 与Y 相互独立，X 概率分布为{}()11,0,13P X i i ===-，概率密度为()1010Y y f y ≤≤⎧=⎨⎩其它，记Z X Y =+（1）求102P Z X ⎧⎫≤=⎨⎬⎩⎭（2）求Z 的概率密度．（23）（本题满分9分）12,,,n x x x 是总体为2(,)N μσ的简单随机样本.记11ni i x x n ==∑，2211()1n i i S x x n ==--∑，221T x S n=- （1）证 T 是2μ的无偏估计量.（2）当0,1μσ==时 ，求DT . .。
2008年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析
2008年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析一、选择题 (1)【答案】B【详解】2()[ln(2)]2f x x x '=+⋅，(0)0f '=，即0x =是()f x '的一个零点又2224()2ln(2)02x f x x x''=++>+，从而()f x '单调增加（(,)x ∈-∞+∞） 所以()f x '只有一个零点.(2)【答案】A【详解】因为2211x yf x y '=+，2221y x y f x y-'=+，所以(0,1)1x f '=，(0,1)0y f '= 所以 (0,1)10f =⋅+⋅=grad i j i(3)【答案】D【详解】由微分方程的通解中含有x e 、cos 2x 、sin 2x 知齐次线性方程所对应的特征方程有根1,2r r i ==±，所以特征方程为(1)(2)(2)0r r i r i --+=，即32440r r r -+-=. 故以已知函数为通解的微分方程是440y y y y ''''''-+-=(4)【答案】B【详解】因为()f x 在(,)-∞+∞内单调有界，且{}n x 单调. 所以{()}n f x 单调且有界. 故{()}n f x 一定存在极限(5)【答案】C【详解】23()()E A E A A E A E -++=-=，23()()E A E A A E A E +-+=+= 故,E A E A -+均可逆．(6)【答案】B【详解】图示的二次曲面为双叶双曲面，其方程为2222221x y z a b c'''--=，即二次型的标准型为222222x y z f a b c'''=--，而标准型的系数即为A 的特征值.(7)【答案】A【详解】()(){}{}()()()()()2max ,Z F z P Z z P X Y z P X z P Y z F z F z F z =≤=≤=≤≤==(8)【答案】D【详解】 用排除法. 设Y aX b =+，由1XY ρ=，知道,X Y 正相关，得0a >，排除()A 、()C 由~(0,1),~(1,4)X N Y N ，得0,1,EX EY ==所以 ()()E Y E aX b aEX b =+=+=01,a b ⨯+= 所以1b =. 排除()B . 故选择()D二、填空题 (9) 【答案】1x 【详解】由dy y dx x -=，两端积分得1ln ln y x C -=+，所以1C x y=，又(1)1y =，所以1y x =.(10) 【答案】1y x =+【详解】设(,)sin()ln()F x y xy y x x =+--，则1cos()11cos()x y y xy F dy y x dx F x xy y x--'-=-=-'+-，将(0)1y =代入得01x dydx ==，所以切线方程为10y x -=-，即1y x =+(11)【答案】(1,5]【详解】幂级数(2)nn n a x ∞=+∑的收敛区间以2x =-为中心，因为该级数在0x =处收敛，在4x =-处发散，所以其收敛半径为2，收敛域为(4,0]-，即222x -<+≤时级数收敛，亦即nn n a t∞=∑的收敛半径为2，收敛域为(2,2]-. 则(3)nn n a x ∞=-∑的收敛半径为2，由232x-<-≤得15x <≤，即幂级数0(3)nn n a x ∞=-∑的收敛域为(1,5](12)【答案】4π【详解】加221:0(4)z x y ∑=+≤的下侧，记∑与1∑所围空间区域为Ω，则2xydydz xdzdx x dxdy ∑++⎰⎰ 1122xydydz xdzdx x dxdy xydydz xdzdx x dxdy ∑+∑∑=++-++⎰⎰⎰⎰2222222441()0()2x y x y ydxdydz x dxdy x y dxdy Ω+≤+≤=--=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 22300142d r dr πθπ==⎰⎰(13)【答案】1【详解】1212121202(,)(,)(0,2)(,)01A A A αααααααα⎛⎫==+=⎪⎝⎭记12(,)P αα=，0201B ⎛⎫=⎪⎝⎭，则AP PB = 因为12,αα线性无关，所以P 可逆. 从而1B P AP -=，即A 与B 相似. 由2||(1)001E B λλλλλ--==-=-，得0λ=及1λ=为B 的特征值.又相似矩阵有相同的特征值，故A 的非零特征值为1.(14)【答案】12e【详解】由22()DX EX EX =-，得22()EX DX EX =+，又因为X 服从参数为1的泊松分布，所以1DX EX ==，所以2112EX =+=，所以 {}21111222P X e e --===！三、解答题(15) 【详解】 方法一：4300[sin sin(sin )]sin sin sin(sin )limlim x x x x x x x x x→→--= 22220001sin cos cos(sin )cos 1cos(sin )12lim lim lim 3336x x x xx x x x x x x →→→--==== 方法二：331sin ()6x x x o x =-+ 331sin(sin )sin sin (sin )6x x x o x =-+4444400[sin sin(sin )]sin sin (sin )1lim lim 66x x x x xx o x x x x →→⎡⎤-∴ =+=⎢⎥⎣⎦ (16) 【详解】 方法一：（直接取x 为参数将对坐标的曲线积分化成定积分计算）22202220000sin 22(1)[sin 22(1)sin cos ]sin 21cos 2cos 2sin 2sin 222222Lxdx x ydyx x x x dx x xdxx x x x xdx x xdx ππππππππ+-=+-⋅==-+=-+-=-⎰⎰⎰⎰⎰方法二：（添加x 轴上的直线段用格林公式化成二重积分计算）取1L 为x 轴上从点(,0)π到点(0,0)的一段，D 是由L 与1L 围成的区域112220sin 2000022000sin 22(1)sin 22(1)sin 22(1)14sin 24cos 22sin 21(1cos 2)sin 2sin 22222LL L L xDxdx x ydyxdx x ydy xdx x ydyxydxdy xdx dx xydy x x xdx x x x x dx x xdx πππππππππ++-=+--+-=--=--=-=--=-+-=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰方法三：（将其拆成2sin 222LLxdx ydy x ydy -+⎰⎰，前者与路径无关，选择沿x 轴上的直线段积分，后者化成定积分计算）2212sin 22(1)sin 222LLLxdx x ydy xdx ydy x ydy I I +-=-+=+⎰⎰⎰对于1I ，因为0P Qy x∂∂==∂∂，故曲线积分与路径无关，取(0,0)到(,0)π的直线段积分10sin 20I xdx π==⎰22222002200022122sin cos sin 2cos 221111cos 22cos 2sin 222221111sin 2cos 22222LI x ydy x x xdx x xdx x d x x x x xdx xd xx x x ππππππππππ====-=-+=-+⎡⎤=-++=-⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰⎰所以，原式212π=-(17) 【详解】点(,,)x y z 到xOy 面的距离为||z ，故求C 上距离xOy 面的最远点和最近点的坐标，等价于求函数2H z =在条件22220x y z +-=与35x y z ++=下的最大值点和最小值点.令 2222(,,,,)(2)(35)L x y z z x y z x y zλμλμ=++-+++- 所以 22220(1)20(2)2430(3)20(4)35(5)xy zL x L y L z z x y z x y z λμλμλμ'=+=⎧⎪'=+=⎪⎪'=-+=⎨⎪+-=⎪++=⎪⎩ 由(1)(2)得x y =，代入(4)(5)有 220235x z x z ⎧-=⎨+=⎩，解得555x y z =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩或111x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩(18)【详解】(I) 对任意的x ，由于f 是连续函数，所以0000()()()()limlim x xxx x f t dt f t dtF x x F x xx+→→-+-=⎰⎰0()()limlimlim ()x x xx x x f t dt f xf xxξξ+→→→===⎰ ，其中ξ介于x 与x x +之间 由于0lim ()()x f f x ξ→=，可知函数()F x 在x 处可导，且()()F x f x '=.(II)方法一：要证明()G x 以2为周期，即要证明对任意的x ，都有(2)()G x G x +=，()(2)()H x G x G x =+-，则()()()()()()()()22222()2(2)22(2)2()0x x H x f t dt x f t dt f t dt x f t dtf x f t dt f x f t dt +'''=-+--=+--+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰又因为 ()()()22(0)(2)(0)2200H G G f t dt f t dt =-=--=⎰⎰所以 ()0H x =，即(2)()G x G x +=方法二：由于f 是以2为周期的连续函数，所以对任意的x ，有()()()()222(2)()2(2)2x x G x G x f t dt x f t dt f t dt x f t dt ++-=-+-+⎰⎰⎰⎰()()()()22202002x x f t dt f t dt f t dt f t dt +⎡⎤=+--⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰ ()()()()000222[2]0x x xf t dt f u du f t f t dt ⎡⎤=-++=+-=⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰即()G x 是以2为周期的周期函数.(19)【详解】 由于 220022(1)23a x dx πππ=-=-⎰212024(1)cos (1)1,2,n n a x nxdx n nππ+=-=- =⎰所以 210211(1)()cos 14cos 023n n n n a f x a nx nx x n ππ+∞∞==-=+=-+ ≤≤∑∑ 令0x =，有 2121(1)(0)143n n f n π+∞=-=-+ ∑ 又(0)1f =，所以 1221(1)12n n n π+∞=- =∑(20)【详解】(I) ()()()()()()2TTTTr A r r r r r ααββααββαβ=+≤+≤+≤(II) 由于,αβ线性相关，不妨设k αβ=. 于是()2()()(1)()12T T T r A r r k r ααβββββ=+=+≤≤<(21)【详解】(I)证法一：2222122212132101221221122aa a a a a aa aA r ar aaa a =-=121301240134(1)2(1)3231(1)0n n n a a a n a a n ar ar a n a nnn a n--+-=⋅⋅⋅=++ 证法二：记||n D A =，下面用数学归纳法证明(1)n n D n a =+． 当1n =时，12D a =，结论成立． 当2n =时，2222132a D a a a==，结论成立． 假设结论对小于n 的情况成立．将n D 按第1行展开得2212102121212n n a a a aD aD a a-=-21221222(1)(1)n n n n n aD a D ana a n a n a ---- =-=--=+故 ||(1)nA n a =+证法三：记||n D A =，将其按第一列展开得 2122n n n D aD a D --=-， 所以 211212()n n n n n n D aD aD a D a D aD ------=-=-222321()()n n n n a D aD a D aD a ---=-==-=即 12122()2n n n n n n n n D a aD a a a aD a a D ----=+=++=++2121(2)(1)n n n n n a a D n a a D --==-+=-+1(1)2(1)n n n n a a a n a -=-+⋅=+(II)因为方程组有唯一解，所以由Ax B =知0A ≠，又(1)nA n a =+，故0a ≠．由克莱姆法则，将n D 的第1列换成b ，得行列式为2221122(1)(1)112102121221122n n n nn n a aa a a aa aD na a a a a --⨯-⨯-===所以 11(1)n n D nx D n a-==+ (III)方程组有无穷多解，由0A =，有0a =，则方程组为12101101001000n n x x x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 此时方程组系数矩阵的秩和增广矩阵的秩均为1n -，所以方程组有无穷多解，其通解为()()10000100,TTk k +为任意常数．(22)【详解】(I) 1201(0,)11112(0)(0)()122(0)22P X Y P Z X P X Y X P Y dy P X =≤≤==+≤===≤===⎰ (II) (){}{}Z F z P Z z P X Y z =≤=+≤{,1}{,0}{,1}P X Y z X P X Y z X P X Y z X =+≤=-++≤=++≤={1,1}{,0}{1,1}P Y z X P Y z X P Y z X =≤+=-+≤=+≤-= {1}{1}{}{0}{1}{1}P Y z P X P Y z P X P Y z P X =≤+=-+≤=+≤-=[]1{1}{}{1}3P Y z P Y z P Y z =≤++≤+≤- []1(1)()(1)3Y Y Y F z F z F z =+++- 所以 []1()(1)()(1)3Z Y Y Y f z f z f z f z =+++-1,1230,z ⎧-≤<⎪=⎨⎪⎩其它(23) 【详解】 (I) 因为2(,)XN μσ，所以2(,)XN nσμ，从而2,E X DX nσμ= =．因为 221()()E T E X S n =-221()E X E S n =- 221()()DX E X E S n =+-222211n nσμσμ=+-=所以，T 是2μ的无偏估计(II)方法一：22()()D T ET ET =-，()0E T =，22()1E S σ==所以2()D T ET =442222()S E X X S n n=-⋅+4224221()()()()E X E X E S E S n n=-+ 因为(0,1)X N ，所以1(0,)X N n，有10,E X D X n ==，()221E X DX E X n=+=所以2242222()()()()()E X D X E X D D X E X ⎡⎤=+=++⎣⎦2221()D D X n⎡⎤=+⎣⎦2221132n n n⎛⎫=⋅+= ⎪⎝⎭ ()2422222()1ES E S DS ES DS ⎡⎤==+=+⎢⎥⎣⎦因为2222(1)(1)(1)n S W n S n χσ-==--，所以2(1)DW n =-，又因为22(1)DW n DS =-，所以22(1)DS n =-,所以4211(1)1n ES n n +=+=-- 所以 2223211111n ET n n n n n +=-⋅⋅+⋅-2(1)n n =-. 方法二：当0,1μσ==时221()()D T D X S n=- (注意X 和2S 独立)222222221111(1)(1)DX DS D D n S n nn n ⎡⎤=+=+⋅-⎣⎦- 222111222(1)(1)(1)n n n n n n =⋅+⋅⋅-=--。
2008年研究生入学考试试题
二、 （本题 15 分） 电路如图 1 所示， 已知晶体管的β=100， BE=0.7V。 V （1） 计算静态工作点 ICQ， IBQ，VCEQ； （2）该电路从 vo1 输出时是什么组态的电路？求 Av1 = 从 vo 2 输出时是什么组态的电路？求 Av 2 = v o 2 。
vi
v o1 ； （3）该电路 vi
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三
峡
大
学
2008 年研究生入学考试试题
考试科目： 电子技术基础 （答案必须写在答题纸上）
一、填空（本题 25 分） 1. 2. 在 NPN 型三极管共射放大电路中，若静态工作点选得过高，将发生 失真，若静态工作点选得过低，则易产生 失真。 在共射、共基和共集三种基本放大电路中，输出与输入反相的是 电路，输入 电阻最小的是 电路， 输出电阻 最小的是 电路，频率特性最差的是 电路。 差分放大器放大 信号，抑制 信号。当差放的两输
= x1 + x2 。
3. ( x1 x2 ) ⊕ ( x1 x3 ) = x1 x2 + x1 x2 4. AC + BC + AB = AC + BC + A • B 5.
∑
m
(5,6,7,8,9) = ABD • ABC • A B ⋅ C
七、 （本题 10 分） 用与非门设计一多数表决电路。 要求 A、 C 三人中， B、 只要有半数以上同意， 则决议通过，输出 F=1，但 A 还具有否决权，即只要 A 不同意，即使多数人同意 也不能通过，要求写出必要的设计步骤，并画出逻辑电路图。
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VCC=10V Rb1 20k Rc 2k C2 C1 vi Q Rb2 15k Re 2k C3 vo2 vo1
2008年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题及答案详解
2008年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. （1）设函数2()ln(2)x f x t dt =+ò，则()f x ¢的零点个数（ ） ()A 0()B 1 ()C 2 ()D 3解：()B .分析：22()ln(2)22ln(2)f x x x x x ¢=+?+2224()2ln(2)02xf x x xⅱ=++>+，恒大于0，所以()f x ¢在(,)-??上是单调递增的. 又因为(0)0f ¢=，根据其单调性可知()f x ¢只有一个零点. （2）函数(,)arctanxf x y y=在点(0,1)处的梯度等于（ ） ()A i()B -i ()C j ()D -j解；()A .分析：由 222222111,(0,1) 1.11x x y yyf f x x y x y y y =====+++ 22222,(0,1)0.1y y x y xf f x x y y--===++所以(0,1)10.gradf i j i =??（3）在下列微分方程中，以123cos 2sin 2x y C e C x C x =++（123,,C C C 为任意常数）为通解的是（ ）()A 440y y y y ⅱⅱⅱ+--=. ()B 440y y y y ⅱⅱⅱ+++=. ()C 440y y y y ⅱⅱⅱ--+=.()D 440y y y y ⅱⅱⅱ-+-=. 解：()D .分析；由123cos 2sin 2x y C e C x C x =++可知其特征根为12,31,2i l l ==?.故对应的特征方程为 2(1)(2)(2)(1)(4)i i l l l l l -+-=-+32324444l l l lll =+--=-+-所以所求微分方程为440y y y y ⅱⅱⅱ-+-=, 选()D . （4）设函数()f x 在(,)-??内单调有界，{}n x 为数列，下列命题正确的是（ ）()A 若{}n x 收敛，则{}()n f x 收敛. ()B 若{}n x 单调，则{}()n f x 收敛.()C 若{}()n f x 收敛，则{}n x 收敛.()D 若{}()n f x 单调，则{}n x 收敛.解：()B分析：若{}n x 单调，则由()f x 在(,)-??内单调有界知，{}()n f x 单调有界， 因此{}()n f x 收敛,应选()B .（5）设A 为n 阶非零矩阵，E 为n 阶单位矩阵. 若30A =，则（ ）()A ()1,4Y N :不可逆，E A +不可逆.()B E A -不可逆，E A +可逆.()C E A -可逆，E A +可逆.()D E A -可逆，E A +不可逆.解：选()C分析：23()()E A E A A E A E -++=-=，23()()E A E A A E A E +-+=+= 故,E A E A -+均可逆。
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2008年研究生入学考试试题
二、 （本题 15 分） 电路如图 1 所示， 已知晶体管的β=100， BE=0.7V。 V （1） 计算静态工作点 ICQ， IBQ，VCEQ； （2）该电路从 vo1 输出时是什么组态的电路？求 Av1 = 从 vo 2 输出时是什么组态的电路？求 Av 2 = v o 2 。
vi
v o1 ； （3）该电路 vi
vo
图2
四、 （本题 10 分） （1）画出 电路如图 3 所示。 双向稳压管的稳压值为 8V，电压 VR = 2 V。 其传输特性 Vo = f (Vi ) ； （2）当输入 Vi = 6 sin t V 时，画出输出电压波形。
VR Vi R 2R A R1 Vz Vo
图3
第 3 页
五、 （本题 15 分） 两个三端集成稳压器组成的电路如图 4 所示，已知电流 IW=5mA。 （1）写出 图 4(a)中 IO 的表达式，并算出其具体值； （2）写出图 4(b)中 VO 的表达式，并算 出当 R2=5Ω时的具体数值； （3）指出这两个电路分别具有什么功能。
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三
峡
大
学
2008 年研究生入学考试试题
考试科目： 电子技术基础 （答案必须写在答题纸上）
一、填空（本题 25 分） 1. 2. 在 NPN 型三极管共射放大电路中，若静态工作点选得过高，将发生 失真，若静态工作点选得过低，则易产生 失真。 在共射、共基和共集三种基本放大电路中，输出与输入反相的是 电路，输入 电阻最小的是 电路， 输出电阻 最小的是 电路，频率特性最差的是 电路。 差分放大器放大 信号，抑制 信号。当差放的两输
1 Vin W7805 2 1 Vin W7805 2
+
+
深圳大学200年硕士生入学考试业务课指定参考书
专业代码及名称：080901物理电子学(光电子学)
1．初试笔试科一、二、三册作者：程守洙
出版社：高等教育出版社出版时间：2004年
②考试科目：电子技术基础指定参考书：《模拟电子技术基础》（第三版）、《数字电子技术基础》（第四版）作者：清华大学电子学教研室出版社：高等教育出版社出版时间：2001年、1998年
2．复试笔试科目
①考试科目：光电子技术基础指定参考书：《光电子技术》作者：安毓英、刘继芳、
李庆辉等出版社：电子工业出版社出版时间：2002年
3．同等学力加试2门笔试科目
①考试科目：电动力学指定参考书：《电动力学》（相对论部分不要求）作者：郭硕鸿
出版社：高等教育出版社出版时间：1997年
②考试科目：固体物理学指定参考书：《固体物理学》作者：黄昆原著；韩汝琦改编
出版社：高等教育出版社出版时间：1988年
008年考研数学一真题及答案
2008年考研数学一真题一、选择题（1~8小题，每小题4分，共32分。
下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。
） (1)设函数f (x )=∫ln?(2+t)dt x 2,则f′(x)的零点个数为(A)0 (B)1 (C)2 (D)3 【答案】B 。
【解析】f ′(x )=2x ln?(2+x 2)且ln?(2+x 2)≠0，则x =0是f′(x)唯一的零点综上所述，本题正确答案是B 。
【考点】高等数学—一元函数积分学—积分上限的函数及其导数 (2)函数f (x,y )=arctan xy 在点(0,1)处的梯度等于(A )i (B )−i (C )j (D )−j 【答案】A 。
【解析】 gradf (x,y )=?f(x,y)?xi +?f(x,y)?y j ?f(x,y)?x=1y 1+(x y)=y x +y,?f(x,y)?y=−xy21+(xy)=−x x +y所以gradf (x,y )|(0,1)=f ′x (0,1)i +f ′y (0,1)j =1?i +0?j =i 综上所述，本题正确答案是A 。
【考点】高等数学—多元函数微分学—方向导数和梯度(3)在下列微分方程中，以y=C1e x+C2cos2x+C3sin2x(C1,C2,C3为任意常数)为通解的是(A)y′′′+y′′−4y′−4y=0(B) y′′′+y′′+4y′+4y=0(C)y′′′−y′′−4y′+4y=0(D)y′′′−y′′+4y′−4y=0【答案】D。
【解析】由通解表达式y=C1e x+C2cos2x+C3sin2x可知其特征根为λ1=1,λ2,3=±2i可见其对应特征方程为(λ−1)(λ2+4)=λ3−λ2+4λ−4=0故对应微分方程为y′′′−y′′+4y′−4y=0综上所述，本题正确答案是D。
【考点】高等数学—常微分方程—高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程(4)设函数f(x)在(−∞,+∞)内单调有界，{x n}为数列，下列命题正确的是(A)若{x n}收敛，则{f(x n)}收敛(B)若{x n}单调，则{f(x n)}收敛(C)若{f(x n)}收敛，则{x n}收敛(D)若{f(x n)}单调，则{x n}收敛【答案】B。
北京大学2008高等代数
北京大学2008年硕士研究生入学考试试题考试科目：数学基础考试2（高代、几何） 考试时间：2008年1月20日下午 招生专业：数学学院各专业 研究方向：数学学院各方向说明：答题一律写在答题纸上（含填空题、选择题等客观题），写在此页上无效。
注：本试题中()r A 表示A 的秩，A 表示矩阵A 的行列式，'A 表示矩阵A 的转置矩阵。
1.（14分）设A 为一s n ⨯矩阵，（1）若非齐次线性方程组AX β=有解且()r A r =，则AX β=的解向量中线性无关的最多有多少个？并找出一组个数最多的线性无关的解向量。
（2）若线性方程组AX β=对任意非零s 维列向量β都有解，求()r A 。
2.（12分）（1）设A 为一s n ⨯矩阵，B 为一n m ⨯矩阵且满足()()r AB r B =，则对任一m l ⨯矩阵C ，是否一定有()()r ABC r BC =？并说明理由。
（2）设A 为一n 阶实矩阵且A 的每一元素的代数余子式等于此元素，求()r A 。
3.（20分）（1）设,A C 分别为n 阶和m 阶实对称矩阵，B 为一n m ⨯实矩阵，若'A B B C ⎛⎫ ⎪⎝⎭为正定矩阵，证明：'A B A C B C ≤⋅且等号成立当且仅当B O =。
（2）设()ij n n A a ⨯=为一n 阶实矩阵且它的每一元素的绝对值1ij a ≤，证明：2n A n ≤。
4.（12分）设()f x 为一整系数多项式且n 不整除(0),(1),...,(1)f f f n -，证明：()f x 无整数根。
5.（12分）设A 为数域K 上一n 阶矩阵，证明：若A 的特征多项式的复数根都属于K ，则A 与上三角矩阵相似。
6.（15分）设V 是数域K 的线性空间，,A B 都是V 上的线性变换。
设A 与B 的最小多项式互素，求满足AC CB =的所有线性变换C 。
7.（15分）设A 是n 维欧氏空间V 上的一正交变换，证明：A 是第一类的当且仅当存在V 上的正交变换B 使得2A B =。
2008年深圳大学管理学院管理学(代码911)考研真题及详解
2008年深圳大学管理学院管理学（代码911）考研真题及详解深圳大学2008年硕士生入学考试初试试题专业：企业管理、技术经济及管理考试科目：管理学一、理解题（5小题，每小题8分，共40分）1．什么是古典管理理论？它在管理学发展中有何重要意义？答：古典管理理论是指20世纪初，西方建立起来的一些管理理论。
这些管理理论都把组织中的人当作“机器”来看待，忽视“人”的因素及人的需要和行为，并且都没有看到组织与外部的联系，关注的只是组织内部的问题，这些理论包括科学管理理论、一般管理理论、行政组织理论，人们将这些理论统称为古典管理理论。
（1）科学管理理论1911年由科学管理之父泰罗在《科学管理原理》中提出了通过对工作方法的科学研究来改善生产效率的基本理论和方法，并总结出了四条基本的科学管理原理。
该理论目的是要改变传统的一切凭经验办事（工人凭经验操作机器，管理人员也凭借经验进行管理）的落后状态，使经验的管理转变成为一种“科学的”管理。
科学管理理论的意义：泰罗的主张被认为是管理思想史上的一次“革命”。
它使劳资双方关注的焦点从盈余的分配比例转向了如何设法通过共同努力把盈余的绝对量做大，从而使盈余分配比例的争论成为必要。
同时，泰罗还提出了如何提高劳动生产率的一系列科学的作业管理方法。
他所倡导的科学管理理论是管理从经验走向理论的标志，对以后管理理论的发展也产生了深远影响，所以说，科学管理的贡献是世界性的。
（2）一般管理理论1916年亨利·法约尔在《工业管理与一般管理》中提出了适用于各类组织的管理五大职能和有效管理的十四条原则，该理论站在高层管理者角度研究整个组织的管理问题。
一般管理理论的意义：法约尔的一般管理理论思想是西方管理思想和理论发展的一个里程碑，他为后来管理理论的发展勾勒出基本的理论框架。
法约尔跳出了泰勒以实践为基础研究管理理论的局限，在理论上第一次努力将管理的要素和管理的原则系统地加以概括，为以后推广管理学教育奠定了基础，使管理具有一般科学性。