【深圳大学2011年考研专业课真题】高等代数2011
2011年考研数学一真题及解析
2011年全国硕士研究生入学统一考试数学试题答案和评分参考数 学（一）一．选择题 ( 1 ～ 8小题，每小题4分，共32分.)(1) 曲线234(1)(2)(3)(4)y x x x x =----的拐点是 （C ） (A) (1,0) (B) (2,0) (C) (3,0) (D) (4,0)(2) 设数列{}n a 单调减少，lim 0n n a →∞=，1(1,2,)nn k k S a n ===∑ 无界，则幂级数1(1)nnn a x ∞=-∑的收敛域为 （C ） (A) (1,1]-(B) [1,1)- (C) [0,2) (D) 0,2]((3) 设函数()f x 具有二阶连续导数，且()0,(0)0f x f '>=，则函数()ln ()z f x f y =在点(0,0)处取得极小值的一个充分条件是 （A ）(A) (0)1,(0)0f f ''>> (B) (0)1,(0)0f f ''>< (C) (0)1,(0)0f f ''<> (D) (0)1,(0)0f f ''<<(4) 设4ln sin I xdx π=⎰,40ln cot J xdx π=⎰,40ln cos K xdx π=⎰, 则,,I J K 的大小关系为（B ）(A) I J K <<(B) I K J <<(C) J I K <<(D) K J I <<(5) 设A 为3阶矩阵，将A 的第2列加到第1列得矩阵B ，再交换B 的第2行与第3行得单位矩阵.记1100110001⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭P ，2100001010⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭P ，则A = （D ）(A) 12P P (B) 112-P P (C) 21P P (D) 121-P P(6) 设1234(,,,)αααα=A 是4阶矩阵，*A 为A 的伴随矩阵.若(1,0,1,0)T是方程组0x =A的一个基础解系，则*0x =A 的基础解系可为 （D ）(A)13,αα(B)12,αα (C) 123,,ααα(D)234,,ααα(7) 设1()F x 与2()F x 为两个分布函数，其相应的概率密度1()f x 与2()f x 是连续函数，则必为概率密度的是 （D ） (A) 12()()f x f x(B) 212()()f x F x (C) 12()()f x F x (D) 1221()()()()f x F x f x F x +(8) 设随机变量X 与Y 相互独立，且EX 与EY 存在，记max{,}U X Y =，min{,}V X Y =，则()E UV = （B ） (A)EU EV ⋅ (B) EX EY ⋅ (C) EU EY ⋅ (D) EX EV ⋅ 二、填空题：（9～14小题，每小题4分，共24分.） (9) 曲线0tan (0)4xy tdt x π=≤≤⎰的弧长s =ln(12)(10) 微分方程cos x y y e x -'+=满足条件(0)0y =的解为y =sin xe x -(11) 设函数20sin (,)1xyt F x y dt t =+⎛⎜⎠，则2202x y F x==∂=∂ 4 .(12) 设L 是柱面221x y +=与平面z x y =+的交线，从z 轴正向往z 轴负向看去为逆时针方向，则曲线积分22y Lxzdx xdy dz ++=⎰π.(13) 设二次曲面的方程22232224x y z a x y x z y z +++++=经正交变换化为221144y z +=，则a = 1 .(14) 设二维随机变量(,)X Y 服从正态分布22(,;,;0)N μμσσ，则2()E XY =23μσμ+.三、解答题 ( 15 ～ 23小题，共94分. )(15)（本题满分10分）求极限110ln(1)lim xex x x -→+⎛⎫ ⎪⎝⎭.解：记11ln(1)xex y x -+⎛⎫=⎪⎝⎭. 当0x >时，ln[ln(1)]ln ln 1xx xy e +-=-， 00011ln[ln(1)]ln (1)ln(1)lim ln lim lim 11x x x x x x x x xy e +++→→→-+-++==- ……4分 0(1)ln(1)lim (1)ln(1)x x x x x x x +→-++=++20(1)ln(1)lim x x x x x+→-++= 01ln(1)11lim 22x x x +→-+-==-. ……9分当0x <时，ln[ln(1)]ln()ln 1x x x y e -+--=-， 00ln[ln(1)]ln()1lim ln lim 12x x x x x y e --→→-+--==--.综上可知，110ln(1)lim xex x x e-→+⎛⎫=⎪⎝⎭. ……10分(16)（本题满分9分）设函数(,())z f xy yg x =，其中函数f 具有二阶连续偏导数，函数()g x 可导且在1x =处取得极值(1)1g =，求211x y z x y==∂∂∂.解：由题意(1)0g '= ……2分因为12()zyf yg x f x ∂'''=+∂，……4分 21111222122[()]()()[()]zf y xfg x f g x f yg x xf g x f x y∂''''''''''''=+++++∂∂， ……8分 所以211x y z x y==∂∂∂11112(1,1)(1,1)(1,1)f f f '''''=++.……9分(17)（本题满分10分）求方程arctan 0k x x -=不同实根的个数，其中k 为参数.解：令()arctan f x k x x =-，则()f x 是(,)-∞+∞上的奇函数，且221(0)0,()1k x f f x x --'==+. ……3分 当10k -≤即1k ≤时，()0(0)f x x '<≠，()f x 在(,)-∞+∞内单调减少，方程()0f x = 只有一个实根0x =.……5分当10k ->即1k >时，在1)k -内，()0f x '>，()f x 单调增加；在(1,)k -+∞内，()0f x '<，()f x 单调减少，所以(1)f k -是()f x 在(0,)+∞内的最大值. 由于(0)0f =，所以(1)0f k ->. 又arctan lim ()lim (1)x x k xf x x x→+∞→+∞=-=-∞，所以存在(1,)k ξ∈-+∞，使得()0f ξ=. 由()f x 是奇函数及其单调性可知：当1k >时，方程()0f x =有且仅有三个不同实根,0,x x x ξξ=-==. ……10分(18)（本题满分10分）（I ） 证明：对任意的正整数n ，都有111ln(1)1n n n<+<+成立.（II ） 设111ln (1,2,)2n a n n n=+++-= ，证明数列{}n a 收敛. 解：（I ）根据拉格朗日中值定理，存在(,1)n n ξ∈+，使得 11ln(1)ln(1)ln n n n ξ+=+-=，所以1111ln(1)1n n nξ<+=<+.……4分 （II ）当1n ≥时，由（I ）知111ln(1)01n n a a n n+-=-+<+， ……6分且11111ln ln(11)ln(1)ln(1)ln 22n a n n n n=+++->++++++-ln(1)ln 0n n =+->，所以数列{}n a 单调下降且有下界，故{}n a 收敛. ……10分(19)（本题满分11分）已知函数(,)f x y 具有二阶连续偏导数，且(1,)0f y =，(,1)0f x =，(,)Df x y dxdy a =⎰⎰，其中{(,)|01,01}D x y x y =≤≤≤≤，计算二重积分(,)xy DI xyf x y dxdy ''=⎰⎰.解： 因为(1,)0f y =，(,1)0f x =，所以(1,)0y f y '=，(,1)0x f x '=. ……2分 从而11I (,)xy xdx yf x y dy ''=⎰⎰……4分111000(,)|(,)y x y x x yf x y f x y dy dx ==⎡⎤''=-⎢⎥⎣⎦⎰⎰1100(,)x dy xf x y dx '=-⎰⎰ ……7分 111000(,)(,)x x x f x y f x y dx dy ==⎡⎤=--⎢⎥⎣⎦⎰⎰1100(,)dy f x y dx a ==⎰⎰. ……11分(20)（本题满分11分）设向量组1(1,0,1)T a =，2(0,1,1)T a =，3(1,3,5)T a =不能由向量组T1(1,1,1β=），T 2(1,2,3β=），T3(3,4,a β=）线性表示. （I ）求a 的值； （II ）将123,,βββ用123,,ααα线性表示.解：（I ）4个3维向量123,,,i βββα线性相关(1,2,3)i =，若123,,βββ线性无关，则i α 可由123,,βββ线性表示(1,2,3)i =，与题设矛盾. 于是123,,βββ线性相关. ……3分从而 123113|,,|1245013a aβββ==-=，于是5a =此时，1α不能由向量组123,,βββ线性表示.……5分（II ）令 123123(,,|,,)αααβββ=A .对A 施以初等行变换1011131002150131240104210115135001102⎛⎫⎛⎫⎪⎪=→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭A ， 从而112324βααα=+-，2122βαα=+，31235102βααα=+-. …… 11分(21)（本题满分11分）设A 为3阶实对称矩阵，A 的秩为2，且111100001111-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭A .（I ）求A 的所有特征值与特征向量； （II ）求矩阵A . 解：（I ）由于A 的秩为2，故0是A 的一个特征值.由题设可得110011⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭A ，110011⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭A ， 所以，1-是A 的一个特征值，且属于1-的特征向量为1(1,0,1)T k -，1k 为任意非零常数； 1也是A 的一个特征值,且属于1的特征向量为2(1,0,1)T k .2k 为任意非零常数； ……4分 设123(,,)T x x x 是A 的属于0的特征向量，由于A 为实对称矩阵，则123(1,0,1)0x x x ⎛⎫ ⎪-= ⎪ ⎪⎝⎭，123(1,0,1)0x x x ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，即131300x x x x -=⎧⎨+=⎩. 于是属于0的特征向量为3(0,1,0)T k ，3k 为任意非零常数； ……6分（II ）令 110001110⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭P ， 则 1100010000--⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭P AP ， ……8分1100010000--⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A P P 1122112211010000010010100000110000010100--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪== ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. ……11分(22)（本题满分11分）设随机变量X 与Y 的概率分布分别为X 0 1 Y -1 0 1 P1/32/3P1/31/31/3且22{}1P X Y ==.（I ）求二维随机变量(,)X Y 的概率分布； （II ）求Z XY =的概率分布； （III ）求X 与Y 的相关系数XY ρ.解：（I ）由22{}1P X Y ==，得22{}0P X Y ≠=，所以{0,1}{0,1}{1,0}0P X Y P X Y P X Y ==-=======.故(,)X Y 的概率分布为X Y-1 0 1 0 0 1/3 0 11/31/3……4分（II ）Z XY =的可能取值为1,0,1-. 由(,)X Y 的概率分布可得Z 的概率分布为……7分 （III ）由X ，Y 及Z 的概率分布得222,,0,,()0393EX DX EY DY EZ E XY ======，所以 (,)0,Cov X Y =0XY ρ=.…… 11分(23)（本题满分11分）设12,,,n X X X 为来自正态总体20(,)N μσ的简单随机样本，其中0μ已知，20σ>未 知.X 和2S 分别表示样本均值和样本方差.（I ）求参数2σ的最大似然估计 2σ； （II ）计算 2E σ 和2D σ. 解：（I ）设12,,,n x x x 为样本观测值，则似然函数20211()2222()(2).ni i nx L eμσσπσ=---∑=，2220211ln ()ln(2)()22n i i n L x σπσμσ==---∑，Z 1-0 1 P1/31/31/3令 2ln 0()d Ld σ=，得 202411()022n i i n x μσσ=-+-=∑， 从而得2σ的最大似然估计 22011()n i i X n σμ==-∑. ……6分（II ）解法1 由于2202122()()nii Xn n μσσσ=-=~χ∑，……8分所以 222E n n σσσ=⋅=， 442222D n n nσσσ=⋅=. ……11分 解法2 222011()n i i E E X n σμσ==-=∑， ……8分4422221001021112()()()n i i X D D X D X D n n n nμσσσμμσ=-=-=-==∑. ……11分数 学（二）一．选择题（1～8小题，每小题4分，共32分）．(1) 已知当0x →时，函数()3sin sin 3f x x x =-与kcx 是等价无穷小，则 (C) (A) 1,4k c ==(B) 1,4k c ==-(C) 3,4k c ==(D) 3,4k c ==-(2) 设函数()f x 在0x =处可导，且(0)0f =，则2330()2()lim x x f x f x x →-= (B) (A) 2(0)f '- (B) (0)f '- (C) (0)f ' (D) 0(3) 函数()ln |(1)(2)(3)|f x x x x =---的驻点个数为 (C) (A) 0(B) 1(C) 2(D) 3(4) 微分方程2(0)x x y y e e λλλλ-''-=+>的特解形式为 (C)(A) ()x x a e e λλ-+ (B) ()x x ax e e λλ-+ (C) ()x xx ae be λλ-+ (D) 2()x x x ae be λλ-+(5) 【 同数学一（3）题 】 (6) 【 同数学一（4）题 】 (7) 【 同数学一（5）题 】 (8) 【 同数学一（6）题 】二、填空题：（9～14小题，每小题4分，共24分.） (9) 1012lim 2xxx →⎛⎫+= ⎪⎝⎭2.(10) 【 同数学一（10）题 】 (11) 【 同数学一（9）题 】(12) 设函数,0,()00,0,x e x f x x λλλ-⎧>=>⎨≤⎩，则()xf x dx +∞-∞=⎰1λ.(13) 设平面区域D 由直线y x =，圆222x y y +=及y 轴所围成，则二重积分Dxyd σ=⎰⎰712.(14) 二次型222123123121323(,,)3222f x x x x x x x x x x x x =+++++，则f 的正惯性指数为 2 .三、解答题 ( 15 ～ 23小题，共94分. ) (15)（本题满分10分）已知函数20ln(1)()xt dt F x x α+=⎰.设0lim ()lim ()0x x F x F x +→+∞→==，试求α的取值范围. 解：因为2201ln(1)ln(1)lim ()limlim x x x x t dt x F x x x ααα-→+∞→+∞→+∞++==⎰ 22112211lim lim(1)(1)x x x x x x αααααα--→+∞→+∞+==--， 由题意lim ()0x F x →+∞=，得1α>. ……5分又因为2201000ln(1)ln(1)lim ()limlim xx x x t dt x F x x x ααα+++-→→→++==⎰231001lim lim x x x x x αααα++--→→==， 由题意 0lim ()0x F x +→=，得3α<. 综上所述，13α<<. ……10分(16)（本题满分11分）设函数()y y x =由参数方程3311331133x t t y t t ⎧=++⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩-确定，求()y y x = 的极值和曲线()y y x =的凹凸区间及拐点.解：令22101dy t dx t -==+，得1t =±.当1t =时，53x =； 当1t =-时，1x =-. ……3分令222222344(1)01(1)td y t t dx t t +===++，得0t =，即13x =. ……6分 列表如下：由此可知，函数()y x 的极大值为1(1)|1t y y =--==，极小值为151()|33t y y ===-. 曲线()y y x =的凹区间为1(,)3+∞，凸区间为1(,)3-∞.由于011()|33t y y ===，所以曲线()y y x =的拐点为11(,33）. ……11分(17)（本题满分10分）【 同数学一（16）题 】 (18)（本题满分10分）设函数()y x 具有二阶导数，且曲线:()l y y x =与直线y x =相切于原点. 记α为曲线l 在点(,)x y 处切线的倾角，若d dydx dxα=，求()y x 的表达式. 解：由于tan y α'=，即arctan y α'=，所以 ……2分21d y dx y α''='+.于是有21y y y '''='+，即2(1)y y y ''''=+ ① ……4分令y p '=，则"y p '=，代入①式得2(1)p p p '=+，分离变量得2(1)dpdx p p =+， 两边积分得212ln 2ln 1p x C p=++ ② 由题意(0)1y '=，即当0x =时1p =，代入②式 得112C =，于是有 22121x e xy p e'==- ……7分两边积分得222221()x xx e e e y dx C ==+-，由(0)0y =得24C π=-.所以24x e y π=-. ……10分(19)（本题满分10分）【 同数学一（18）题 】(20)（本题满分11分）一容器的内侧是由图中曲线绕y 轴旋转一周而成的曲面，该曲线由2212()2x y y y +=≥与2211()2x y y +=≤连接而成.（I ）求容器的容积；（II ）若将容器内盛满的水从容器顶部全部抽出，至少需要做多少功？ （长度单位：m ，重力加速度为g 2/m s ，水的密度为3310/kg m .） 解： (I) 由对称性，所求的容积为12212V x dy π-=⎰……3分122192(1)4y dy ππ-=-=⎰，即该容器的容积为94π立方米.……5分（II ）123232211210(1)(2)10[1(1)](2)W y y gdy y y gdy ππ-=--+--⎰⎰－ ……8分132323232112271010(22)(44)8g y y y dy y y y dy g ππ-⎡⎤⨯=--++-+=⎢⎥⎣⎦⎰⎰.即所求的功为32710/8g π⨯焦耳. ……11分(21)（本题满分11分）【 同数学一（19）题 】 (22)（本题满分11分）【 同数学一（20）题 】 (23)（本题满分11分）【 同数学一（21）题 】数 学（三）一．选择题 (1～8小题，每小题4分，共32分) . (1) 【 同数学二（1）题 】 (2) 【 同数学二（2）题 】(3) 设{}n u 是数列，则下列命题正确的是 (A) (A) 若1nn u ∞=∑收敛，则2121()n n n u u ∞-=+∑收敛 (B) 若2121()n n n u u ∞-=+∑收敛，则1n n u ∞=∑收敛 (C) 若1n n u∞=∑收敛，则2121()n n n uu ∞-=-∑收敛 (D) 若2121()n n n u u ∞-=-∑收敛，则1n n u ∞=∑收敛(4) 【 同数学一（4）题 】 (5) 【 同数学一（5）题 】(6) 设A 为43⨯矩阵，123,,ηηη是非齐次线性方程组β=Ax 的3个线性无关的解，12,k k 为任意常数，则β=Ax 的通解为 (C) (A)23121()2k ηηηη++-(B)23121()2k ηηηη-+-(C) 23121231()()2k k ηηηηηη++-+-(D) 23121231()()2k k ηηηηηη-+-+-(7) 【 同数学一（7）题 】(8) 设总体X 服从参数为(0)λλ>的泊松分布，12,,,(2)n X X X n ≥ 为来自该总体的简单随机样本.则对于统计量111n i i T X n ==∑和121111n in i T X X n n -==+-∑，有 (D) (A)1212,ET ET DT DT >> (B) 1212,ET ET DT DT >< (C) 1212,ET ET DT DT <>(D) 1212,ET ET DT DT <<二、填空题：（9～14小题，每小题4分，共24分.） (9) 设0()lim (13)x tt f x x t →=+，则()f x '=3(13)xx e +.(10) 设函数(1)x yxyz =+，则(1,1)|dz =(12ln 2)()dx dy +-.(11) 曲线tan()4y x y e π++=在点(0,0)处的切线方程为2y x=-.(12) 曲线21y x =-2x =及x 轴所围的平面图形绕x 轴旋转所成的旋转体的体积为4/3π. (13) 设二次型123(,,)T f x x x =x Ax 的秩为1，A 的各行元素之和为3，则f 在正交变换Q =x y 下的标准形为213y .(14) 【 同数学一（14）题 】三、解答题 ( 15 ～ 23小题，共94分. ) (15)（本题满分10分） 求极限 012sin 1x x x →+--.解：0012sin 112sin 1x x x x x x →→+--+--= ……2分 0112sin x x→-+= ……4分 0cos 12sin 12sin x x x x →-+=+0sin 12sin x x x →--+= ……8分 12=-.……10分 (16)（本题满分10分）已知函数(,)f u v 具有二阶连续偏导数，(1,1)2f =是(,)f u v 的极值，(,(,))z f x y f x y =+.求2(1,1)z x y∂∂∂.解：121(,(,))(,(,))(,)zf x y f x y f x y f x y f x y x∂'''=+++⋅∂， ……3分 2111212(,(,))(,(,))(,)(,)(,(,))zf x y f x y f x y f x y f x y f x y f x y f x y x y∂''''''''=+++⋅+⋅+∂∂22 12122()(,(,))(,(,))(,)f x y f x y f x y f x y f x y f x y ⎡⎤''''''+++++⋅⎣⎦2 ……7分由题意知，1(1,1)0f '=，2(1,1)0f '=， ……9分从而2(1,1)z x y ∂∂∂11212(2,2)(2,2)(1,1)f f f '''''=+.……10分(17)（本题满分10分） 求不定积分arcsinln x xx+⎛⎜⎠.解：arcsinln 2ln )x xx x x x+=⎰……2分2(arcsin ln )21x x x x x =--⎛⎛⎜⎜⎠⎠ ……6分 2(arcsinln )41x x x x x=+-- ……8分2(arcsin ln )214x x x x x C =+- ……10分(18)（本题满分10分）证明方程44arctan 303x x π-+=恰有两个实根. 证：设 4()4arctan 3f x x x π=-+24(3)(3)()11x x f x x -+'=-=+ ……2分 令()0f x '=，解得驻点123,3x x =-=.由单调性判别法知()f x 在(,3]-∞-上单调减少，在[3,3]-上单调增加，在[3,)+∞上单调减少. ……5分 因为(3)0f -=，且由上述单调性可知(3)f -是()f x 在(3]-∞上的最小值， 所以3x =()f x 在(,3]-∞-上的唯一的零点. ……7分又因为4(3)2(3)03f π=>，且l i m ()x f x →+∞=-∞，所以由连续函数的介值定理知()f x 在(3,)+∞内存在零点，且由()f x 的单调性知零点唯一.综上可知，()f x 在(,)-∞+∞内恰有两个零点，即原方程恰有两个实根. ……10分(19)（本题满分10分）设函数()f x 在区间[0,1]上具有连续导数，(0)1f =，且满足()()ttD D f x y dxdy f t dxdy '+=⎰⎰⎰⎰，其中{(,)|0,0}(01)tD x y y t x x t t =≤≤-≤≤<≤.求()f x 的表达式.解：()()tt t x D f x y dxdy dx f x y dy -''+=+⎰⎰⎰⎰……2分(()())()()ttf t f x dx tf t f t dx =-=-⎰⎰. ……4分又2()()2tD t f t dxdy f t =⎰⎰，由题设有20()()()2t t tf t f t dx f t -=⎰. ……6分两边求导整理得 (2)()2()t f t f t '-=，解得2()(2)Cf t t =-. ……9分代入(0)1f =，得4C =，故24()(01)(2)f x x x =≤≤-. ……10分(20)（本题满分11分）【 同数学一（20）题 】 (21)（本题满分11分）【 同数学一（21）题 】 (22)（本题满分11分）【 同数学一（22）题 】 (23) （本题满分11分）设二维随机变量(,)X Y 服从区域G 上的均匀分布，其中G 是由0x y -=，2x y +=与0y =所围成的三角形区域.(I) 求X 的概率密度()X f x ； (II) 求条件概率密度|(|)X Y f x y . 解：(I) (,)X Y 的概率密度为1,(,)(,)0,x y Gf x y ∈⎧=⎨⎩其他.X 的概率密度为()(,)X f x f x y dy +∞-∞=⎰.（1）当0x <或2x >时，()0X f x =； （2）当01x ≤≤时，0()xX f x dy x ==⎰； （3）当12x <≤时，20()2xXf x dy x -==-⎰；综上所述 ,01()2,120,X x x f x x x ≤≤⎧⎪=-<≤⎨⎪⎩其 他……7分(II) Y 的概率密度为2,01,2(1),01,()(,)0,0,y yY dx y y y f y f x y dx -+∞-∞⎧≤≤-≤≤⎧⎪==⎨⎨⎩⎪⎩⎰⎰=其他其他； 在(01)Y y y =≤<时，X 的条件概率密度为|1,2,(,)2(1)(|)()0,X Y Y y x y f x y y f x y f y ⎧<<-⎪-==⎨⎪⎩其他. ……11分。
2011考研数一真题解析
→∞ 时∑(-1) an2011 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题答案一、选择题：1～8 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，请将所选项前的字母填在答．题．纸．指定位置上． (1) 【答案】(C)．【解析】记 y = x -1, y ' = 1, y ''= 0 ， y = (x - 2)2, y ' = 2(x - 2), y ''= 2,1 1 12 2 2y = (x - 3)3 , y ' = 3(x - 3)2 , y ''= 6(x - 3),333y = (x - 4)4 , y ' = 4(x - 4)3 , y ''=12(x - 4)2 ,444y '' = (x - 3)P (x ) ，其中 P (3) ≠ 0 ， y ''故选(C)．(2) 【答案】(C)．x =3= 0 ，在 x = 3 两侧，二阶导数符号变化，【解析】观察选项：(A)，(B)，(C)，(D)四个选项的收敛半径均为 1，幂级数收敛区间的中心在 x = 1处，故(A)，(B)错误；因为{a n } 单调减少， lim a n = 0 ，所以a n ≥ 0 ，所以n∞∞n∑ a n为正项级数，将 x = 2 代入幂级数得∑ a n，而已知S n= ∑ a k无界，故原幂级数在 x = 2n =1n =1∞k =1处发散，(D )不正确．当 x = 0 时，交错级数∑(-1)na 满足莱布尼茨判别法收敛，故 x = 0n =1∞n收敛．故正确答案为(C)．n =1(3) 【答案】(A)．∂z【解析】| = f '(x ) ⋅ l n f ( y ) | = f '(0) ln f (0) = 0 ,∂x (0,0)(0,0)∂z | = f (x ) ⋅ f '( y )| = f '(0) = 0, 故 f '(0) = 0 , ∂y (0,0)f ( y )(0,0)∂2zA = = ' ⋅ = ' ⋅ > ∂x 2 |(0,0)f (x ) ln f ( y ) |(0,0) f (0) ln f (0) 0,∂2 z ' f '( y ) [ f '(0)]2B = ∂x ∂y|(0,0) = f(x ) ⋅ f ( y ) |(0,0) = f (0) = 0,∂2 z C = = ⋅ f '( y ) f ( y ) -[ f '( y )]2 = ' - [ f '(0)]2 = '∂y2 |(0,0)f (x ) f 2 ( y ) |(0,0) f (0) f (0) f (0).又 AC - B 2 = [ f ''(0)]2⋅ ln f (0) > 0, 故 f (0) > 1, f ''(0) > 0 ．(4) 【答案】(B)．【解析】因为0 < x < π时， 0 < sin x < cos x <1< cot x ，4n⎪ ⎝ ⎭⎪ ⎝ ⎭2 3 4 2 34 ⎨ ⎨ X , 又因ln x 是单调递增的函数，所以lnsin x < lncos x < lncotx ． 故正确答案为(B)．(5) 【答案】 (D)．【解析】由于将 A 的第 2 列加到第 1 列得矩阵 B ，故⎛ 1 0 0 ⎫A 1 1 0 ⎪ =B ， 0 0 1 ⎪即 AP = B ， A = BP -1．11由于交换 B 的第 2 行和第 3 行得单位矩阵，故⎛ 1 0 0 ⎫0 0 1 ⎪ B = E ， 0 1 0 ⎪ 即 P B = E , 故 B = P -1 = P ．因此， A = P P -1，故选(D)．2222 1(6) 【答案】(D)．【解析】由于(1, 0,1, 0)T 是方程组 Ax = 0 的一个基础解系，所以 A (1, 0,1, 0)T= 0 ，且r (A ) = 4 -1= 3 ，即 α + α = 0 ，且 A = 0．由此可得 A *A =| A | E = O ，即13A *(α α, α, α, = )O ，这说明α ,α ,α ,α是 A *x = 0 的解．12341234由于r ( A ) = 3 ，α + α = 0 ，所以α ,α ,α 线性无关．又由于r ( A ) = 3 ，所以r ( A *) = 1，13 2 3 4因此 A *x = 0 的基础解系中含有 4 -1 = 3 个线性无关的解向量．而α ,α ,α 线性无关，且 为 A *x = 0 的解，所以α ,α ,α 可作为 A *x = 0 的基础解系，故选(D)． (7)【答案】(D)． 【解析】选项(D) +∞⎡ f (x )F (x ) + f (x )F (x )⎤dx = +∞⎡F (x )dF (x ) + F (x )dF (x )⎤ ⎰-∞⎣ 1221⎦ ⎰-∞ ⎣ 2 1 1 2 ⎦= +∞ d ⎡F (x )F (x )⎤ = F (x )F (x ) |+∞= 1 ．所以 f 1F 2 (x ) + f 2 F 1 (x ) 为概率密度． (8)【答案】(B)．⎰-∞⎣ 12⎦1 2 -∞【解析】因为 U = max {X ,Y } = ⎧ X ,⎩Y , X ≥ Y ,X < Y ,V = min {X ,Y } = ⎧ Y ,⎩ X ≥ Y ,X < Y ．所以，UV = XY ，于是 E (UV ) = E (XY ) = E (X )E (Y ) ．= ⋅ 二、填空题：9～14 小题，每小题 4 分，共 24 分，请将答案写在答．题．纸．指定位置上． (9) 【答案】ln (1+2 )．【解析】选取 x 为参数，则弧微元ds = 1+ ( y ')2dx = ππ1+ t an 2xdx = sec xdx所以 s =⎰ 4sec xdx = ln sec x + tan x4= ln(1+ 2) ．(10) 【答案】 y = e- xsin x ．【解析】由通解公式得y = e -⎰dx (⎰e - x co s x ⋅ e ⎰dxdx + C )= e - x (⎰cos xdx + C )= e - x (sin x + C )．由于 y (0) = 0, 故C =0．所以 y = e - xsinx ． (11)【答案】4．∂F【解析】∂x sin xyy ， 1+ (xy )2∂2F = ∂x 2y cos xy - sin xy ⋅ 2xy 2y ⋅ [1+ (xy )2 ]2 ，∂2 F故 ∂x2 |(0,2) = 4 ． (12) 【答案】π ．【解析】取 S : x + y - z = 0, x 2 + y 2≤ 1，取上侧，则由斯托克斯公式得，原式=⎰⎰dydz dzdx dxdy∂ ∂ ∂= ⎰⎰ ydydz + xdzdx + dxdy ．S∂x ∂y ∂z S y 2 xzx2因 z = x + y , z '= 1, z '= 1. 由转换投影法得xy⎰⎰ ydydz + xdzdx + dxdy = ⎰⎰ [ y ⋅ (-1) + x (-1) +1]dxdy ．Sx 2 + y 2 ≤1⎝ ⎭xy(13) 【答案】a = 1．=⎰⎰ x 2 + y 2 ≤1=⎰⎰x 2 + y 2 ≤1(-x - y +1)dxdy = πdxdy = π ．【解析】由于二次型通过正交变换所得到的标准形前面的系数为二次型对应矩阵 A 的特征值，故 A 的特征值为 0，1，4．二次型所对应的矩阵⎛ 1 a 1⎫ A =a 3 1⎪ ，1 a 13⎪ 1 1 1⎪ 由于 A =∏λi= 0 ，故 a 3 1 = 0 ⇒ a = 1．i =11 1 1(14)【答案】 μ(μ2+ σ 2 )．【解析】根据题意，二维随机变量( X ,Y ) 服从 N(μ, μ;σ 2,σ 2;0) ．因为 ρ= 0 ，所以由二维正态分布的性质知随机变量 X ,Y 独立，所以 X ,Y 2．从而有E ( X Y 2 ) = E ( X ) E (Y 2 ) = μ ⎡⎣D (Y ) + E 2 (Y )⎤⎦= μ (μ2 +σ 2)． 三、解答题：15～23 小题，共 94 分．请将解答写在答．题．纸．指定的位置上．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．(15)(本题满分 10 分)ln(1+ x ) 1lim[ ln(1+ x ) -1]. 1 【解析】lim[ ]e x -1 = e x →0 xe x-1 x →0 xlimln(1+ x )-xlim x - 1x 2 +o ( x 2 )-x 2= e x →0x 2= e x →0x 2- 1x 2 +o ( x 2 )lim 2- 1= e x →0x 2= e2 ．(16)(本题满分 9 分) 【解析】 z = f [xy , yg (x )]∂z= f '[xy , yg (x )]⋅ y + f '[xy , yg (x )]⋅ yg '(x )∂x 12∂2 z∂x ∂y= f 1'[xy , yg (x )]+ y [ f 11'(xy , yg (x ))x + f 12'(xy , yg (x ))g (x )]+g '(x ) ⋅ f 2'[xy , yg (x )]+ yg '(x ){ f 1'2'[xy , yg (x )]⋅ x + f 2'2'[xy , yg (x )]g (x )}．因为 g (x ) 在 x = 1 可导，且为极值,所以 g '(1) = 0 ，则d 2 z dxdy |x =1 =y =1f 1'(1,1) + f 11'(1,1) + f 12'(1,1) ． (17)(本题满分 10 分)【解析】显然 x = 0 为方程一个实根． 当 x ≠ 0 时，令 f ( x ) =xarctan x - k ,f '( x ) =arctan x -x1+ x 2 ．( arctan x )2令 g ( x ) = arctan x -xx ∈ R ，1+ x 2' 1 1+ x 2- x ⋅ 2x2x 2 g ( x ) = 2= 2> 0 ， 1+ x (1+ x 2 ) (1+ x 2 ) 即 x ∈ R , g '( x ) > 0 ．又因为 g ( 0) = 0 ，即当 x < 0 时， g ( x ) < 0 ； 当 x > 0 时， g ( x ) >0 ． 当 x < 0 时， f '( x ) < 0 ；当 x > 0 时， f '( x ) > 0 ．所以当 x < 0 时， f ( x ) 单调递减，当 x > 0 时， f ( x ) 单调递增 x又由lim f ( x ) = lim- k = 1- k ，x →0x →0arctan xxlim f ( x ) = l im - k = +∞ ，x →∞x →∞ arctan x 所以当1- k < 0 时，由零点定理可知 f ( x ) 在(-∞, 0)， (0, +∞) 内各有一个零点； 当1- k ≥ 0 时，则 f ( x ) 在(-∞, 0)， (0, +∞) 内均无零点．综上所述，当k > 1时，原方程有三个根．当k ≤ 1 时，原方程有一个根．- 21 1 (18)(本题满分 10 分)【解析】(Ⅰ)设 f ( x ) = ln (1+ x ), x ∈ ⎡0,1 ⎤⎢⎣ n ⎥⎦显然 f (x ) 在⎡0,1 ⎤上满足拉格朗日的条件，⎣⎢ n ⎥⎦f ⎛ 1 ⎫ - f (0) = ln ⎛1+ 1 ⎫ - ln1 = ln ⎛1+ 1 ⎫ = 1 ⋅ 1 ,ξ ∈⎛ 0, 1 ⎫ n ⎪ n ⎪ n ⎪ 1+ ξ n n ⎪ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭所以ξ ∈⎛0, 1 ⎫ 时，n ⎪ ⎝ ⎭1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 ⋅ < ⋅ < ⋅ ，即： n +< ⋅ < ， 1+ n n1+ ξ n 1+ 0 n1 1+ ξ n n 1 亦即：< ln ⎛1+ 1 ⎫ < 1 ．n +1 n ⎪ n⎝ ⎭结论得证．1 1 1 n1（II）设a n = 1+ + + + - ln n = ∑ -ln n ．2 3 n先证数列{a n } 单调递减．k =1 ka - a = ⎡∑n +1 1 - ln (n +1)⎤ - ⎡∑n 1 - ln n ⎤ = 1 + ln ⎛ n ⎫ = 1 - ln ⎛1+ 1 ⎫， n +1n ⎢ k ⎥ ⎢ k ⎥ n +1 n +1⎪ n +1 n ⎪ ⎣ k =1 ⎦ ⎣ k =1 ⎦⎝ ⎭ ⎝ ⎭1 利用（I ）的结论可以得到< ln(1+ ) ，所以- ln ⎛1+ 1 ⎫ < 0 得到 a< a ，即 n +1 n n +1 n ⎪ n +1 n⎝ ⎭数列{a n } 单调递减．再证数列{a n } 有下界．n1 n⎛ 1 ⎫a n = ∑ k - ln n > ∑ln 1+ k ⎪ - ln n ，k =1 k =1⎝ ⎭n⎛ 1 ⎫ n⎛ k +1⎫ ⎛ 2 3 4n +1⎫ ∑ln 1+ k ⎪ = ln ∏ k ⎪ = ln ⋅ ⋅ n ⎪ = ln (n +1) ，k =1 ⎝ ⎭ k =1 ⎝ ⎭ ⎝ 1 2 3 ⎭n1 n⎛ 1 ⎫a n = ∑ k - ln n > ∑ln 1+ k⎪ - ln n > ln (n +1) - ln n > 0 ．k =1 k =1⎝ ⎭0 0 I 1 1'x 0 0 I0 0 =-⎰ ⎰ ' ⎝ ⎭⎝ ⎭ ⎝ ⎭⎝ ⎭⎝ ⎭ ⎝ ⎭1xdx f ' (x ,1) - 1f '(x , y )dy 得到数列{a n } 有下界．利用单调递减数列且有下界得到{a n } 收敛． (19)(本题满分 11 分) 1 1 【解析】xdx yf xy (x , y )dy = ⎰0 xdx ⎰0 ydf x(x , y ) = 1 xdx ⎡ yf '( x , y ) |1- 1f ' ( x , y )dy ⎤⎰0 ⎢⎣x⎰0 (x 0 ⎰0 x⎥⎦⎰0x )因为 f (x ,1) = 0 ，所以 f '(x ,1) = 0 ．1 1 xdx f x (x , y )dy 1 1dy xf x (x , y )dx = - 1dy ⎡xf (x , y ) |1 - 1 f (x , y )dx ⎤ = - 1 dy ⎡ f (1, y ) - 1 f (x , y )dx ⎤⎰⎢⎣⎰⎦⎥⎰⎢⎣⎰⎥⎦= ⎰⎰ fdxdy = a ．D(20)(本题满分 11 分)【解析】(I)由于α1,α2 ,α3 不能由 β1, β2 , β3 线性表示，对(β1, β2 , β3 ,α1,α2 ,α3 ) 进行初等行变换：⎛1 1 3 1 0 1 ⎫ (β , β , β ,α ,α ,α ) = 1 2 4 0 1 3⎪1 2 3 1 2 31 3 a ⎪ 1 1 5⎪⎛ 1 1 3 1 0 1 ⎫ ⎛ 1 1 3 1 0 1 ⎫ → 0 1 1 -1 1 2 ⎪ →0 1 1 -1 1 2 ⎪ ． 0 2 a - 3 ⎪ 0 1 4 ⎪ 0 0 a - 5 2 ⎪ -1 0 ⎪当 a = 5 时，r (β1, β2 , β3 ) = 2 ≠ r (β1, β2 , β3 ,α1) = 3 ，此时，α1 不能由 β1, β2 , β3 线性表示，故α1,α2 ,α3 不能由 β1, β2 , β3 线性表示．(II)对(α1,α2 ,α3 , β1, β2 , β3 ) 进行初等行变换：⎛ 1 0 1 1 1 3 ⎫ (α ,α ,α , β , β , β ) =0 1 3 1 2 4 ⎪1 2 3 1 2 31 1 5 ⎛ 1 0 1 ⎪ 1 3 5 ⎪ 1 1 3 ⎫⎛ 1 0 1 1 1 3 ⎫ → 0 1 3 1 2 4 ⎪ →0 1 3 1 2 4 ⎪ 0 1 4 ⎪ 0 2 2 ⎪ 0 0 1 -1 0 ⎪ -2 ⎪ = ．α1 α2 α3 2 2 ⎪ ⎝ ⎭⎝ ⎭ ⎝ ⎭ 3 1 2 3 α ⎛ 1 0 0 → 0 1 0 2 1 5 ⎫ 4 2 10 ⎪ ， 0 0 1 -1 0 -2 ⎪故 β1 = 2α1 + 4α2 -α3 ， β2 = α1 + 2α2 ， β3 = 5α1 +10α2 -2α3 ． (21)(本题满分 11 分)⎛ 1 1 ⎫ ⎛ -1 1 ⎫ 【解析】(I)由于 A 0 0 ⎪ =0 0 ⎪ ，设α = (1, 0, -1)T ,α = (1, 0,1)T ，则⎪ ⎪1 2 -1 1 ⎪ 1 1 ⎪A (α1,α2 ) = (-α1,α2 ) ，即 A α1 = -α1, A α 2 = α 2 ，而α1 ≠ 0,α2 ≠ 0 ，知 A 的特征值为λ1 = -1, λ2 = 1，对应的特征向量分别为 k 1α1 (k 1 ≠ 0) ， k 2α2 (k 2 ≠ 0) ．由于r ( A ) = 2 ，故 A = 0 ，所以λ3 = 0 ．由于 A 是三阶实对称矩阵，故不同特征值对应的特征向量相互正交，设 λ3 = 0 对应的特征向量为α = ( x , x , x )T，则 ⎧α T α = 0, ⎧x - x = 0,⎨ 1 3 即⎨ 1 3 α T α = 0, x + x = 0．⎩ 2 3⎩ 1 3 解此方程组，得α = (0,1, 0)T，故λ = 0 对应的特征向量为k α (k ≠ 0) ．33 3 3 3(II) 由于不同特征值对应的特征向量已经正交，只需单位化：β1 = 1 = 1 (1, 0, -1)T , β = α2 2 2= 1 (1, 0,1)T, β = α32 3= (0,1, 0)T ． 令Q = (β , β , β ⎛ -1 ⎫ ) ，则Q TAQ = Λ =1 ⎪， 123 ⎪ 0⎪ ⎝ ⎭A = Q ΛQ T⎛⎫⎛ 20 -2 ⎫2 2 0 ⎪ 2 2 ⎪ 2 2 ⎪⎛ -1 ⎫ ⎪ = 0 0 1 1 ⎪ 2 0 2 ⎪ ⎪ 2 2 ⎪ 0 ⎪⎪ - 0 ⎪⎝ ⎭ 0 10 ⎪ ⎝ 22 ⎭ ⎪ ⎝ ⎭22 1 1 1 1⎛ ⎫⎛ 2 0 - 2 ⎫ - 2 2 0 ⎪2 2 ⎪ 2 2 ⎪ ⎪ ⎛ 0 0 1 ⎫ = 0 0 0 ⎪ 2 0 2 ⎪ = 0 0 0 ⎪ ． ⎪ 22 ⎪ ⎪⎪ 1 0 0 ⎪ 0 ⎪ 0 1 0 ⎪ ⎝ ⎭ ⎝ 22 ⎭ ⎪ ⎝ ⎭（22）（本题满分 11 分） 【解析】(I)因为 P {X 2 = Y2} = 1 ，所以 P { X2≠ Y 2} = 1- P { X 2 = Y 2}= 0 ．即 P { X = 0,Y = -1} = P { X = 0,Y = 1} = P { X = 1,Y = 0} = 0 ．利用边缘概率和联合概率的关系得到1P { X = 0,Y = 0} = P { X = 0} - P { X = 0,Y = -1} - P { X = 0,Y = 1} = ；3P { X = 1,Y = -1} = P {Y = -1} - P { X = 0,Y = -1}= ；3P { X = 1,Y = 1} = P {Y = 1} - P { X = 0,Y = 1} = ．3即( X ,Y ) 的概率分布为(II) Z 的所有可能取值为-1, 0,1 ．P {Z = -1} = P {X = 1,Y = -1} = ．3P {Z = 1} = P {X = 1,Y = 1} = ．31P {Z = 0} = 1- P {Z = 1} - P {Z = -1} = ．Cov ( XY ) E ( X Y ) - E ( X )⋅ E (Y )(III) 因为 ρXY = = ，D ( X ) D (Y ) D ( X ) D (Y )其中XY-1 0 1 0 0 1/3 0 11/31/3Z = XY 的概率分布为3Z -1 0 1P1/31/31/32πσ∏n 0 n i ∑Y ) = E (Y ) = D (Y ) +[E (Y )] = σ ．n n∧ ∧ 1 1 1 1 1 1E ( XY ) = E (Z ) = -1⋅ + 0 ⋅ +1⋅ = 0 ， E (Y ) = -1⋅ + 0 ⋅ +1⋅ = 0 ．3 3 3 3 3 3所以 E ( X Y ) - E ( X )⋅ E (Y ) = 0 ，即 X ， Y 的相关系数 ρXY = 0 ． （23）（本题满分 11 分）【解析】因为总体 X 服从正态分布，故设 X 的概率密度为 f (x ) =-∞ < x < +∞．(I) 似然函数1 -( x -μ0 )2 e 2σ 2 ，( x -μ )2n1 22 n2n1- i 0- - 2 ∑( x i -μ0 )L (σ ) = ∏ f (x i ;σ i =1) = [ ei =12πσ2σ 2] = (2πσ ) 2 ei =1；2n 2n(x - μ )2 取对数： ln L (σ ) = - ln(2πσ ) - ∑ i 0 ； 2d ln L (σ 2 ) n i =1n (x - μ )2 2σ 2 1 n 2 2求导： = - + ∑ i 0= ∑[(x i - μ0 ) -σ ]． d (σ 2 ) 2σ 2 d ln L (σ 2)2i =1 12(σ 2 )2 n2(σ 2 )22i =1令d (σ 2 )= 0 ，解得σ =∑(x i - μ0 ) ．i =12∧1 nο 的最大似然估计量为σ 2 =(II) 方法 1：∑( X ii =1- μ )2 ．X i ~ N (μ0 ,σ ) ，令Y i = X i - μ0 ~ N (0,σ ∧ 2) ，则σ 2= 1 ∑n Y 2i =1E (σ 2) = E ( 1 nn 22 2 2 i i i i i =1D (σ 2 ) = D ( 1 ∑Y 2 ) =1 D (Y2 + Y 2 + + Y 2) = 1 D (Y 2 ) n i =1 n 2 1 2 nn i1 42 2 1 4 42σ 4 = n {E (Y i 方法 2：) -[E (Y i X )] } = (3σ n- μ -σ ) =． nn⎛ X - μ ⎫2X ~ N (μ ,σ 2 ) ，则 i 0~ N ( 0 , ， 得 到 Y = ∑ i 0~ χ 2 (n ) ，即i 0σ σ ⎪ i =1 ⎝⎭ 2n2ο Y = ∑( X i - μ0 ) ．i =1i 2σ 2n2．0 n ⎝ ⎭ ⎪ ⎥ ⎛ ∧⎫ 1 ⎡ n ⎤ 1 1 1 E σ 2 =E ∑( X - μ )2 = E (σ 2Y ) = σ 2 E (Y ) = ο 2 ⋅ n = σ 2 ． ⎪ ⎣ i =1 0 ⎥⎦ n n n ⎛ ∧ ⎫ 1 ⎡ n ⎤ 1 1 1 2D σ 2 = n 2 D ⎢∑( X i - μ )2 = n 2 D (σ 2Y ) = ο 4 D (Y ) = n 2 ο 4 ⋅ 2n = n 2 ο 4 ． n ⎝ ⎭ ⎣ i =1 ⎦ i ⎢。
数1--11真题答案
2011年考研数学(一)试题答案速查一、选择题（1）C （2）C （3）A （4）B （5）D （6）D （7）D （8）B 二、填空题（9）ln(1+ （10）esin xx − （11）4 （12）π（13）1 （14）22()μμσ+ 三、解答题 （15）12e−. （16）11112(1,1)(1,1)(1,1)f f f '''''++. （17）1k >时,原方程有三个根.1k 时,原方程有一个根. （18）略. （19）a .（20）（Ⅰ）5=a .（Ⅱ）112324=+−βααα，2122=+βαα，31235102=+−βααα.（21）（Ⅰ）1112223331231101,0,1,0,0,1,0110p k p k p k k k k λλλ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=−=====≠ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪−⎝⎭⎝⎭⎝⎭.（Ⅱ）001000100⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A .（22）（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）0ρ=XY .（23）（Ⅰ）22011()n i i X n σμ==−∑.（Ⅱ）22()E σσ=，422()D nσσ=.2011年全国硕士研究生入学统一考试数学（一）参考答案一、选择题：1～8小题,每小题4分,共32分．下列每题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的．请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上． （1）【答案】C ．【解答】易知该曲线与x 轴有四个交点(1,0),(2,0),(3,0),(4,0),且1x <时，0y >；当12x <<时，0y <；当34x <<时，0y >；当4x >时，0y >. 根据以上结论描绘出曲线y 的大致图形为： 故选择答案C ．（2）【答案】C ． 【解答】因为1nn a∞=∑发散，而1(1)nn n a ∞=−∑收敛，所以1n n n a x ∞=∑的收敛域是[1,1)−,因此1(1)nn n a x ∞=−∑的收敛域是[0,2)故选择答案C ．（3）【答案】A ． 【解答】(0,0)(0,0)()ln ()|(0)ln (0)0zf x f y f f x ∂''=⋅==∂(0,0)(0,0)()()(0)0,()z f y f x f y f y '∂'=⋅==∂故(0)0f '=22(0,0)(0,0)()ln ()(0)ln (0)0,z A f x f y f f x ∂''''==⋅=⋅>∂22(0,0)(0,0)()[(0)]()0,()(0)z f y f B f x x y f y f ''∂'==⋅==∂∂22222(0,0)(0,0)()()[()][(0)]()(0)(0).()(0)z f y f y f y f C f x f f yf y f ''''∂−''''==⋅=−=∂又22[(0)]ln (0)0,AC B f f ''−=⋅>故(0)1,(0)0f f ''>>. 故正确答案选A. （4）【答案】B ． 【解答】当π04x <<时,有0sin cos 1cot x x x <<<<,所以ln sin ln cos ln cot x x x <<，应选B ． （5）【答案】D ．【解答】易知100110,001⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭A B 100001010⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭B =E 即12,=AP B P B =E ,所以1112121−−−A =P P =P P ,选答案D ． （6）【答案】D ．【解答】易知**,()3,()1r r ==AA =O A A ,*=A x 0的基础解系有3个线性无关的向量,1234,,,αααα是*=A x 0的解；又因为T (1,0,1,0)是方程组0Ax =的一个基础解系，即13+=0αα，所以13,αα线性相关，则方程组*=A x 0的基础解系为234,,ααα，选答案D ． （7）【答案】D . 【解答】122112[()()()()]d ()()1f x F x f x F x x F x F x +∞+∞−∞−∞+==⎰，故选答案D .（8）【答案】B ．【解答】因为{}{}()()max ,,min ,,22X Y X Y X Y X YU X Y V X Y ++−+−−====所以UV XY =. 又,X Y 相互独立，所以()E UV =EX EY ⋅，故答案选B ．二、填空题：9～14小题,每小题4分,共24分．请将答案写在答题纸．．．指定位置上． （9）【答案】(ln 1.【解答】(ππ440sec d ln |sec tan |ln 1s x x x x ===+=+⎰.（10）【答案】e sin xy x −=.【解答】d d e (e cos e d )x x xy x x C −−⎰⎰=⋅+⎰e (cos d )x x x C −=+⎰e (sin )x x C −=+由于(0)0,y =故0C =,所以esin xy x −=.（11）【答案】4.【解答】2sin 1()F xy y x xy ∂=⋅∂+,22222cos sin 2[1()]F y xy xy xy y x xy ∂−⋅=⋅∂+,故2(0,2)2|4F x ∂=∂. （12）【答案】π.【解答】设S 是平面=+z x y 上位于柱面221x y +=内的部分，S 在xOy 平面上的投影为22{(,)|1}D x y x y =+，由斯托克斯公式，得22d d d d d d d d d 22L Sy z z x x yy xz x x y z x y z y xzx∂∂∂++=∂∂∂⎰⎰⎰d d d d d d (1)d d πSDy y z x z x x y x y x y =++=−−=⎰⎰⎰⎰.（13）【答案】1.【解答】二次型矩阵为1131111a a ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ,其特征值为0,1,4,所以0,1a =|A |=.（14）【答案】22()μμσ+.【解答】因为(,)X Y 服从二维正态分布22(,;,;0)N μμσσ，不相关，所以,X Y 相互独立，故22222()()()E XY EXEY EX E Y DY μμσ==+=+.三、解答题：15～23小题,共94分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请将答案写在答题纸．．．指定位置上． （15）（本题满分10分）解：1e 10ln(1)lim x x x x −→+⎡⎤⎢⎥⎣⎦0ln(1)1lim[1].e 1e x x x x →+−−=2ln(1)limex x xx →+−=22201()2lim ex x x o x x x →−+−=12e .−=（16）（本题满分10分） 解：[][]12,(),()()zf xy yg x y f xy yg x yg x x∂'''=⋅+⋅∂ []211112,()(,())(,())()zf xy yg x y f xy yg x x f xy yg x g x x y∂'''''⎡⎤=++⎣⎦∂∂[]{}22122(),()()[,()][,()]()g x f xy yg x yg x f xy yg x x f xy yg x g x '''''''+⋅+⋅+ 又()g x 在1x =可导，且为极值，所以(1)0g '=，所以21111211d (1,1)(1,1)(1,1).d d x y zf f f x y=='''''=++（17）（本题满分10分）解：易知0x =为方程的一个实根.当0x ≠时，令(),arctan xf x k x=−则()()22arctan 1arctan xx x f x x −+'=. 令()2arctan 1=−+xg x x x ,则 ()()()222222211220111x x x x g x x x x +−⋅'=−=>+++,()g x 单调递增.又(0)0g =,所以当0x <时，有()0g x <，从而()'0f x <； 当0x >时，有()0g x >，从而()'0f x >. 又，()00lim lim1arctan x x x f x k k x →→=−=−,()lim lim arctan x x xf x k x→±∞→±∞=−=+∞,所以当10k −<时，由零点定理可知()f x 在(,0)−∞,(0,)+∞内各有一个零点； 当10k −时，则()f x 在(,0)−∞,(0,)+∞内均无零点.综上所述，当1k >时，原方程有三个根；当1k 时，原方程有一个根.（18）（本题满分10分） 证：（Ⅰ）设1()ln(1),[0,]f x x x n=+∈. 显然()f x 在1[0,]n上满足拉格朗日中值定理:111111()(0)ln(1)ln1ln(1),(0,)1f f n n n n nξξ−=+−=+=⋅∈+当1(0,)nξ∈时，11111111101n n n nξ⋅<⋅<⋅+++,即111111n n n ξ<⋅<++， 111ln 11n n n⎛⎫<+< ⎪+⎝⎭. （Ⅱ）利用（Ⅰ）的结论,可以得到11ln(1)1n n<++，所以11ln(1)01n n −+<+得到1n n a a +<，即数列{}n a 单调递减.因为，1111ln ln(1)ln nnn k k a n n k k ===−>+−∑∑，而，11112341ln(1)ln ()ln()ln(1)123nnk k k n n k k n==+++==⋅⋅=+∑∏， 所以，11111ln ln(1)ln ln(1)ln 0nnn k k a n n n k k n ===−>+−>+−>∑∑.因此，数列{}n a 有下界. 由单调有界定理可知，数列{}n a 收敛.（19）（本题满分11分） 解：110d (,)d xyI x x yf x y y ''=⎰⎰1100d (,)d x x x ydf x y y '=⎰⎰ ()()111000d ,,d x x x x yf x y f x y y ⎡⎤''=−⎢⎥⎣⎦⎰⎰ ()11d (,1)(,)d x x x x f x f x y y ''=−⎰⎰因为(,1)0f x =,所以(,1)0x f x '=110d (,)d x I x x f x y y '=−⎰⎰1100d (,)d x y xf x y x '=−⎰⎰111000d (,)(,)d y x f x y f x y x ⎡⎤=−−⎢⎥⎣⎦⎰⎰1100d (1,)(,)d y f y f x y x ⎡⎤=−−⎢⎥⎣⎦⎰⎰ d (,)d Df x y x y =⎰⎰a =.（20）（本题满分11分）解: （Ⅰ）由于123,,ααα不能由123,,βββ线性表示，对123123(,,,,,)βββααα进行初等行变换：123123(,,,,,)βββααα= 11310112401313115a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭113101011112023014a ⎛⎫ ⎪→− ⎪ ⎪−⎝⎭113101011112005210a ⎛⎫ ⎪→− ⎪ ⎪−−⎝⎭当5a =时，1231231(,,)2(,,,)3r r =≠=ββββββα,此时，1α不能由123,,βββ线性表示，故5a =.（Ⅱ）对123123(,,,,,)αααβββ进行初等行变换123123(,,,,,)=αααβββ101113013124115135⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭101113013124014022⎛⎫ ⎪→ ⎪ ⎪⎝⎭101113013124001102⎛⎫ ⎪→ ⎪ ⎪−−⎝⎭1002150104210001102⎛⎫⎪→ ⎪ ⎪−−⎝⎭. 故112324=+−βααα，2122=+βαα，31235102=+−βααα.（21）（本题满分11分）解: （Ⅰ）设()()TT121,0,1,1,0,1=−=αα，则()()1212,,=−ααααA ，即1122,=−=ααααA A ，从而A 有特征值121,1λλ=−=，对应的特征向量分别为()1110k k ≠α，()2220k k ≠α. 由于()2r =A ,所以30λ=.由于A 是三阶实对称矩阵，故不同特征值对应的特征向量相互正交，设30λ=对应的特征向量为()T3123,,x x x =α，则T 13T2300⎧=⎨=⎩αααα，即131300x x x x −=⎧⎨+=⎩ 解此方程组，得()T30,1,0=α,故30λ=对应的特征向量为()3330k k ≠α.故A 的所有特征值为1231,1,0λλλ=−==，对应的特征向量分别为()1110k k ≠α，()2220k k ≠α和()3330k k ≠α.（Ⅱ）由于不同特征值对应的特征向量已经正交，只需单位化：))()T T T3121231231,0,1,1,0,1,0,1,0==−====αααβββααα. 令()123,,=βββQ ，则T110−⎛⎫⎪== ⎪ ⎪⎝⎭ΛQ AQ ， T =A Q QΛ022012200110220010022⎛⎫−⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪−⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪− ⎪ ⎪⎝⎭⎪⎝⎭022022000022010022⎛⎫−⎛⎫ ⎪− ⎪ ⎪⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭001000100⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭. （22）（本题满分11分） 解：（Ⅰ）因为{}221P XY ==，所以有{}{}222210P X Y P X Y ≠=−==,即{}{}{}0,10,11,00P X Y P X Y P X Y ==−=======. 利用边缘概率和联合概率的关系得到{}{}{}{}10,000,10,13P X Y P X P X Y P X Y ====−==−−===；{}{}{}11,110,13P X Y P Y P X Y ==−==−−==−=；{}{}{}11,110,13P X Y P Y P X Y ====−===；即(),X Y 的概率分布为（Ⅱ）Z 的所有可能取值为1,0,1−,{}{}111,13P Z P X Y =−==−=−=，{}{}111,13P Z P X Y =====，{}{}{}101113P Z P Z P Z ==−=−=−=.所以，Z XY =的概率分布为（Ⅲ） cov XY XY E XY E X E Y ρ−⋅==由（I ）中(),X Y 的联合分布可知()()1111010333E XY E Z ==−⋅+⋅+⋅=，()1111010333E Y =−⋅+⋅+⋅=，()()()0E XY E X E Y −⋅=，所以cov 0XY XY E XY E X E Y ρ−⋅===.（23）（本题满分11分） 解：总体X 的概率密度为202()2()x f x μσ−−=，x −∞<<+∞（Ⅰ）似然函数 202()22211()(;)i x nn i i i L f x μσσσ−−==⎡⎤==⎥⎥⎦∏∏， 取对数 222211ln ()ln(2π)ln ()222nii n n L x σσμσ==−−−−∑，求导 22022221d ln ()1[()]d()22()nii L n x σμσσσ==−+−∑，令22d ln ()0d()L σσ=，解得22011()n i i x n σμ==−∑， 故2σ的最大似然估计量为22011()ni i X n σμ==−∑.（Ⅱ）20~(,)i X N μσ，则~(0,1)i X N μσ−，得到()2201~ni i X Y n μχσ=−⎛⎫= ⎪⎝⎭∑，即()2201ni i Y X σμ==−∑. ()()()222222011111().n i i E E X E Y E Y n n n n n σμσσσσ=⎡⎤=−===⋅=⎢⎥⎣⎦∑ ()()()22244402222111112()2.n i i D D X D Y D Y n n nn n n σμσσσσ=⎡⎤=−===⋅=⎢⎥⎣⎦∑。
2011年研究生入学统一考试数学二试题及解析
2011年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题及解析一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在答题纸指定位置上.1、已知当0x →时，函数()3sin sin 3f x x x =-与k cx 等价无穷小，则（A ）1,4k c == （B ）1,4k c ==- （C ） 3,4k c == （D ）3,4k c ==- 【分析】本题考查等价无穷小的有关知识.可以利用罗必达法则或泰勒公式完成。
【详解】法一:由题设知 13sin sin 33cos 3cos 31=lim=limkk x x x xx xcxkcx-→→--233sin 9sin 33cos 27cos 3=lim=lim(1)(1)(2)k k x x x x x x k k cxk k k cx--→→-+-+---324=lim(1)(2)k x k k k cx-→--从而(1)(2)243k k k c k --=⎧⎨=⎩，故3,4k c ==。
从而应选（C ）。
法二:333333(3)()3(())(3())4()3!3!xx f x x o x x o x x o x =-+--+=+所以3,4k c ==。
，从而应选（C ）。
2、已知()f x 在0x =处可导，且(0)0f =，则233()2()limx x f x f x x→-=（A ）2'(0)f - （B ）'(0)f - （C ） '(0)f （D ）0【分析】本题考查导数的定义。
通过适当变形，凑出()f x 在0x =点导数定义形式求解。
【详解】23223333()2()()(0)()(0)limlim[2]x x x f x f x x f x x f f x f xxx→→---=-()22333()(0)()(0)lim2lim'0x x x f x x f f x f f xx→→--=-=-故应选（B ）。
2011年考研数学三真题及答案
2011年考研数学三真题一、选择题（18小题，每小题4分，共32分。
下列媒体给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。
）(1)已知当时，与是等价无穷小，则(A)(B)(C)(D)【答案】C。
【解析】【方法一】(洛必达法则)(洛必达法则)()由此得。
【方法二】由泰勒公式知则故。
【方法三】故综上所述，本题正确答案是C。
【考点】高等数学—函数、极限、连续—无穷小量的性质及无穷小量的比较，极限的四则运算高等数学—一元函数微分学—洛必达(L'Hospital)法则(2)已知在处可导，且,则(A)(B)(C)(D)0【答案】B。
【解析】【方法一】加项减项凑处导数定义【方法二】拆项用导数定义由于，由导数定义知所以【方法三】排除法：选择符合条件的具体函数,则而对于,显然选项(A)(C)(D)都是错误的，故应选(B)【方法四】由于在处可导，则综上所述，本题正确答案是B。
【考点】高等数学—一元函数微分学—导数和微分的概念，导数和微分的四则运算(3)设是数列，则下列命题正确的是(A)若收敛，则收敛。
(B)若收敛，则收敛。
(C)若收敛，则收敛。
(D)若收敛，则收敛。
【答案】A。
【解析】若收敛，则该级数加括号后得到的级数仍收敛综上所述，本题正确答案是A。
【考点】高等数学—无穷级数—级数的基本性质与收敛的必要条件(4)设,则的大小关系为(A)(B)(C)(D)【答案】B。
【解析】同一区间上定积分的大小比较最常用的思想就是比较被积函数大小，由于当时，又因为为上的单调增函数，所以,故即综上所述，本题正确答案是B。
【考点】高等数学—一元函数积分学—定积分的概念和基本性质(5)设为3阶矩阵，将第2列加到第1列得矩阵,再交换的第2行和第3行得单位矩阵，记,,则(A)(B)(C)(D)【答案】D。
【解析】本题是常规的初等变换、初等矩阵的考题矩阵的初等行变换是左乘初等矩阵，矩阵的初等列变换是右乘初等矩阵按题意，从而，从而所以【考点】线性代数—矩阵—矩阵的初等变换，初等矩阵(6)设为矩阵，是非齐次线性方程组的3个线性无关的解，为任意常数，则的通解为(A)(B)(C)(D)【答案】C。
2011考研数学一真题及答案解析
2011年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上． (1) 曲线234(1)(2)(3)(4)y x x x x =−−−−的拐点是( )(A) (1,0)． (B) (2,0)． (C) (3,0)． (D) (4,0)． (2) 设数列{}n a 单调减少，lim 0n n a →∞=，1(1,2,)nn kk S an ===∑ 无界，则幂级数1(1)nn n a x ∞=−∑的收敛域为( )(A) (1,1]−． (B) [1,1)−． (C) [0,2)． (D) (0,2]． (3) 设函数()f x 具有二阶连续导数，且()0f x >，(0)0f '=，则函数()ln ()z f x f y =在点(0,0)处取得极小值的一个充分条件是( )(A) (0)1f >，(0)0f ''>． (B) (0)1f >，(0)0f ''<． (C) (0)1f <，(0)0f ''>． (D) (0)1f <，(0)0f ''<．(4) 设4ln sin I x dx π=⎰，40ln cot J x dx π=⎰，40ln cos K x dx π=⎰，则,,I J K 的大小关系是( )(A) I J K <<． (B) I K J <<． (C) J I K <<． (D) K J I <<．(5) 设A 为3阶矩阵，将A 的第2列加到第1列得矩阵B ，再交换B 的第2行与第3行得单位矩阵，记1100110001P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，2100001010P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则A =( ) (A) 12PP ． (B) 112P P −． (C) 21P P ． (D) 121P P −．(6) 设1234(,,,)A αααα=是4阶矩阵，*A 为A 的伴随矩阵，若(1,0,1,0)T是方程组0Ax =的一个基础解系，则*0A x =的基础解系可为( )(A) 13,αα． (B) 12,αα． (C) 123,,ααα． (D) 234,,ααα．(7) 设1()F x ，2()F x 为两个分布函数，其相应的概率密度1()f x ，2()f x 是连续函数，则必为概率密度的是( )(A)12()()f x f x ． (B)212()()f x F x ．(C)12()()f x F x ． (D)1221()()()()f x F x f x F x +．(8) 设随机变量X 与Y 相互独立，且()E X 与()E Y 存在，记{}max ,U X Y =，{}min ,V X Y =则()E UV =( )(A)()()E U E V ⋅． (B)()()E X E Y ⋅． (C)()()E U E Y ⋅． (D)()()E X E V ⋅．二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上． (9) 曲线0tan (0)4π=≤≤⎰xy tdt x 的弧长s = ．(10) 微分方程cos xy y e x −'+=满足条件(0)0y =的解为y = ．(11) 设函数2sin (,)1xytF x y dt t =+⎰，则222x y F x ==∂=∂ ．(12) 设L 是柱面方程221x y +=与平面=+z x y 的交线，从z 轴正向往z 轴负向看去为逆时针方向，则曲线积分22L y xzdx xdy dz ++=⎰ ．(13) 若二次曲面的方程22232224x y z axy xz yz +++++=，经过正交变换化为221144y z +=，则a = ．(14) 设二维随机变量(),X Y 服从正态分布()22,;,;0N μμσσ，则()2E X Y = ．三、解答题：15～23小题，共94分．请将解答写在答题纸．．．指定的位置上．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．(15)(本题满分10分)求极限110ln(1)lim()x e x x x−→+．(16)(本题满分9分)设函数(,())z f xy yg x =，其中函数f 具有二阶连续偏导数，函数()g x 可导且在1x =处取得极值(1)1g =，求211x y zx y==∂∂∂．(17)(本题满分10分)求方程arctan 0k x x −=不同实根的个数，其中k 为参数．(18)(本题满分10分)(Ⅰ)证明：对任意的正整数n ，都有111ln(1)1n n n<+<+ 成立． (Ⅱ)设111ln (1,2,)2n a n n n=+++−=，证明数列{}n a 收敛．(19)(本题满分11分)已知函数(,)f x y 具有二阶连续偏导数，且(1,)0f y =，(,1)0f x =，(,)Df x y dxdy a =⎰⎰，其中{}(,)|01,01D x y x y =≤≤≤≤，计算二重积分''(,)xy DI xy f x y dxdy =⎰⎰．(20)(本题满分11分)设向量组123(1,0,1)(0,1,1)(1,3,5)T T T ααα===，，，不能由向量组1(1,1,1)T β=，2(1,2,3)T β=，3(3,4,)T a β=线性表示．(I) 求a 的值；(II) 将123,,βββ由123,,ααα线性表示．(21)(本题满分11分)A 为三阶实对称矩阵，A 的秩为2，即()2r A =，且111100001111A −⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪−⎝⎭⎝⎭．(I) 求A 的特征值与特征向量； (II) 求矩阵A ． (22)(本题满分11分)设随机变量X 与Y且{}221P X Y ==．(I) 求二维随机变量(,)X Y 的概率分布； (II) 求Z XY =的概率分布； (III) 求X 与Y 的相关系数XY ρ．（23）（本题满分 11分） 设12,,,n X X X 为来自正态总体20(,)μσN 的简单随机样本，其中0μ已知，20σ>未知．X 和2S 分别表示样本均值和样本方差．(I) 求参数2σ的最大似然估计量2σ∧； (II) 计算2()E σ∧和2()D σ∧．2011年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题答案一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上． (1)【答案】(C)．【解析】记1111,1,0y x y y '''=−==，2222(2),2(2),2,y x y x y '''=−=−= 32333(3),3(3),6(3),y x y x y x '''=−=−=− 432444(4),4(4),12(4),y x y x y x '''=−=−=− (3)()y x P x ''=−，其中(3)0P ≠，30x y =''=，在3x =两侧，二阶导数符号变化，故选(C)．(2)【答案】(C)．【解析】观察选项：(A)，(B)，(C)，(D)四个选项的收敛半径均为1，幂级数收敛区间的中心在1x =处，故(A)，(B)错误；因为{}n a 单调减少，lim 0n n a →∞=，所以0n a ≥，所以1nn a∞=∑为正项级数，将2x =代入幂级数得1nn a∞=∑，而已知S n =1nkk a=∑无界，故原幂级数在2x =处发散，(D)不正确．当0x =时，交错级数1(1)nn n a ∞=−∑满足莱布尼茨判别法收敛，故0x =时1(1)nn n a ∞=−∑收敛．故正确答案为(C)．(3)【答案】(A)． 【解析】(0,0)(0,0)|()ln ()|(0)ln (0)0zf x f y f f x∂''=⋅==∂, (0,0)(0,0)()|()|(0)0,()z f y f x f y f y '∂'=⋅==∂故(0)0f '=, 2(0,0)(0,0)2|()ln ()|(0)ln (0)0,zA f x f y f f x∂''''==⋅=⋅>∂22(0,0)(0,0)()[(0)]|()|0,()(0)z f y f B f x x y f y f ''∂'==⋅==∂∂222(0,0)(0,0)22()()[()][(0)]|()|(0)(0).()(0)z f y f y f y f C f x f f y f y f ''''∂−''''==⋅=−=∂ 又22[(0)]ln (0)0,AC B f f ''−=⋅>故(0)1,(0)0f f ''>>．(4)【答案】(B)． 【解析】因为04x π<<时， 0sin cos 1cot x x x <<<<，又因ln x 是单调递增的函数，所以ln sin ln cos ln cot x x x <<． 故正确答案为(B)． (5)【答案】 (D)．【解析】由于将A 的第2列加到第1列得矩阵B ，故100110001A B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭， 即1AP B =，11A BP −=．由于交换B 的第2行和第3行得单位矩阵，故100001010B E ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭， 即2,P B E =故122B P P −==．因此，121A P P −=，故选(D)．(6)【答案】(D)．【解析】由于(1,0,1,0)T 是方程组0Ax =的一个基础解系，所以(1,0,1,0)0TA =，且()413r A =−=，即130αα+=，且0A =．由此可得*||A A A E O ==，即*1234(,,,)A O =αααα，这说明1234,,,αααα是*0A x =的解．由于()3r A =，130αα+=，所以234,,ααα线性无关．又由于()3r A =，所以*()1r A =，因此*0A x =的基础解系中含有413−=个线性无关的解向量．而234,,ααα线性无关，且为*0A x =的解，所以234,,ααα可作为*0A x =的基础解系，故选(D)．(7)【答案】(D)． 【解析】选项(D)1122()()()()f x F x f x F x dx +∞−∞⎡⎤+⎣⎦⎰2211()()()()F x dF x F x dF x +∞−∞⎡⎤=+⎣⎦⎰21()()d F x F x +∞−∞⎡⎤=⎣⎦⎰12()()|F x F x +∞−∞=1=． 所以1221()()f F x f F x +为概率密度．(8)【答案】(B)．【解析】因为 {},,max ,,,X X Y U X Y Y X Y ≥⎧==⎨<⎩ {},,min ,,Y X Y V X Y X X Y ≥⎧==⎨<⎩．所以，UV XY =，于是()()E UV E XY = ()()E X E Y =．二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上． (9)【答案】(ln 1+．【解析】选取x 为参数，则弧微元sec ds xdx ===所以440sec ln sec tan ln(1s xdx x x ππ==+=+⎰． (10)【答案】sin xy e x −=．【解析】由通解公式得(cos )dx dxx y e e x e dx C −−⎰⎰=⋅+⎰(cos )x e xdx C −=+⎰(sin )xe x C −=+．由于(0)0,y =故C =0．所以sin xy e x −=．(11)【答案】4． 【解析】2sin 1()F xy y x xy ∂=⋅∂+， 22222cos sin 2[1()]F y xy xy xy y x xy ∂−⋅=⋅∂+， 故2(0,2)2|4Fx∂=∂． (12)【答案】π．【解析】取22:0,1S x y z x y +−=+≤，取上侧，则由斯托克斯公式得，原式=22SS dydz dzdx dxdyydydz xdzdx dxdy x y z y xzx∂∂∂=++∂∂∂⎰⎰⎰⎰．因'',1, 1.x y z x y z z =+==由转换投影法得221[(1)(1)1]Sx y ydydz xdzdx dxdy y x dxdy +≤++=⋅−+−+⎰⎰⎰⎰．221(1)x y x y dxdy π+≤=−−+=⎰⎰221x y dxdy π+≤==⎰⎰．(13)【答案】1a =．【解析】由于二次型通过正交变换所得到的标准形前面的系数为二次型对应矩阵A 的特征值，故A 的特征值为0，1，4．二次型所对应的矩阵1131111a A a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，由于310ii A λ===∏，故113101111a a a =⇒=．(14)【答案】()22μμσ+．【解析】根据题意，二维随机变量(),X Y 服从()22,;,;0N μμσσ．因为0xy ρ=，所以由二维正态分布的性质知随机变量,X Y 独立，所以2,X Y ．从而有()()()()()()22222E XY E X E Y D Y E Y μμμσ⎡⎤==+=+⎣⎦． 三、解答题：15～23小题，共94分．请将解答写在答题纸．．．指定的位置上．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．(15)(本题满分10分)【解析】110ln(1)lim[]x e x x x−→+0ln(1)1lim[1].1x x x x e e →+−−=2ln(1)limx x xx e →+−=22201()2lim x x x o x x x e→−+−=22201()2lim x x o x x e→−+=12e −=．(16)(本题满分9分) 【解析】[],()z f xy yg x =[][]12,(),()()zf xy yg x y f xy yg x yg x x∂'''=⋅+⋅∂ [][]211112,()(,())(,())()zf xy yg x y f xy yg x x f xy yg x g x x y∂'''''=++∂∂ []{}21222(),()()[,()][,()]()g x f xy yg x yg x f xy yg x x f xy yg x g x '''''''+⋅+⋅+． 因为()g x 在1x =可导，且为极值,所以(1)0g '=，则21111121|(1,1)(1,1)(1,1)x y d zf f f dxdy =='''''=++． (17)(本题满分10分)【解析】显然0x =为方程一个实根． 当0x ≠时，令(),arctan xf x k x=−()()22arctan 1arctan xx x f x x −+'=． 令()2arctan 1x g x x x R x =−∈+，()()()222222211220111x x x x g x x x x +−⋅'=−=>+++， 即(),0x R g x '∈>． 又因为()00g =，即当0x <时，()0g x <； 当0x >时，()0g x >． 当0x <时，()'0f x <；当0x >时，()'0f x >．所以当0x <时，()f x 单调递减，当0x >时，()f x 单调递增 又由()00lim lim1arctan x x xf x k k x→→=−=−，()lim lim arctan x x xf x k x→∞→∞=−=+∞， 所以当10k −<时，由零点定理可知()f x 在(,0)−∞，(0,)+∞内各有一个零点； 当10k −≥时，则()f x 在(,0)−∞，(0,)+∞内均无零点．综上所述，当1k >时，原方程有三个根．当1k ≤时，原方程有一个根．(18)(本题满分10分)【解析】(Ⅰ)设()()1ln 1,0,f x x x n ⎡⎤=+∈⎢⎥⎣⎦显然()f x 在10,n⎡⎤⎢⎥⎣⎦上满足拉格朗日的条件，()1111110ln 1ln1ln 1,0,1f f n n n n n ξξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫−=+−=+=⋅∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以10,n ξ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时， 11111111101n n n nξ⋅<⋅<⋅+++，即：111111n n n ξ<⋅<++， 亦即：111ln 11n n n⎛⎫<+< ⎪+⎝⎭． 结论得证．（II ）设111111ln ln 23nn k a n n n k==++++−=−∑． 先证数列{}n a 单调递减．()111111111ln 1ln ln ln 1111n n n n k k n a a n n k k n n n n ++==⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫−=−+−−=+=−+ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥+++⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦∑∑，利用（I ）的结论可以得到11ln(1)1n n <++，所以11ln 101n n ⎛⎫−+< ⎪+⎝⎭得到1n n a a +<，即数列{}n a 单调递减．再证数列{}n a 有下界．1111ln ln 1ln nnn k k a n n k k ==⎛⎫=−>+− ⎪⎝⎭∑∑，()11112341ln 1ln ln ln 1123nnk k k n n k k n ==++⎛⎫⎛⎫⎛⎫+==⋅⋅=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∏，()1111ln ln 1ln ln 1ln 0nnn k k a n n n n k k ==⎛⎫=−>+−>+−> ⎪⎝⎭∑∑．得到数列{}n a 有下界．利用单调递减数列且有下界得到{}n a 收敛．(19)(本题满分11分) 【解析】11''(,)xy I xdx yf x y dy =⎰⎰11'0(,)x xdx ydf x y =⎰⎰()()111'000,|,x x xdx yf x y f x y dy ⎡⎤'=−⎢⎥⎣⎦⎰⎰ ()11''0(,1)(,)x x xdx f x f x y dy =−⎰⎰．因为(,1)0f x =，所以'(,1)0x f x =．11'(,)xI xdx f x y dy =−⎰⎰11'0(,)x dy xf x y dx =−⎰⎰111000(,)|(,)dy xf x y f x y dx ⎡⎤=−−⎢⎥⎣⎦⎰⎰1100(1,)(,)dy f y f x y dx ⎡⎤=−−⎢⎥⎣⎦⎰⎰ Dfdxdy =⎰⎰a =．(20)(本题满分11分)【解析】(I)由于123,,ααα不能由123,,βββ线性表示，对123123(,,,,,)βββααα进行初等行变换：123123113101(,,,,,)12401313115a ⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭βββααα113101011112023014a ⎛⎫ ⎪→− ⎪ ⎪−⎝⎭113101011112005210a ⎛⎫ ⎪→− ⎪ ⎪−−⎝⎭． 当5a =时，1231231(,,)2(,,,)3r r ββββββα=≠=，此时，1α不能由123,,βββ线性表示，故123,,ααα不能由123,,βββ线性表示．(II)对123123(,,,,,)αααβββ进行初等行变换：123123101113(,,,,,)013124115135⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭αααβββ101113013124014022⎛⎫ ⎪→ ⎪ ⎪⎝⎭101113013124001102⎛⎫ ⎪→ ⎪ ⎪−−⎝⎭ 1002150104210001102⎛⎫ ⎪→ ⎪ ⎪−−⎝⎭， 故112324βααα=+−，2122βαα=+，31235102βααα=+−．(21)(本题满分11分)【解析】(I)由于111100001111A −⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪−⎝⎭⎝⎭，设()()121,0,1,1,0,1T T αα=−=，则()()1212,,A αααα=−，即1122,A A αααα=−=，而120,0αα≠≠，知A 的特征值为121,1λλ=−=，对应的特征向量分别为()1110k k α≠，()2220k k α≠．由于()2r A =，故0A =，所以30λ=．由于A 是三阶实对称矩阵，故不同特征值对应的特征向量相互正交，设30λ=对应的特征向量为()3123,,Tx x x α=，则13230,0,T T⎧=⎨=⎩αααα即13130,0x x x x −=⎧⎨+=⎩． 解此方程组，得()30,1,0Tα=，故30λ=对应的特征向量为()3330k k α≠．(II) 由于不同特征值对应的特征向量已经正交，只需单位化：))()3121231231,0,1,1,0,1,0,1,0T T Tαααβββααα==−====． 令()123,,Q βββ=，则110TQ AQ −⎛⎫⎪=Λ= ⎪ ⎪⎝⎭， TA Q Q =Λ22122001102201022⎛−⎛⎫⎪ ⎪−⎛⎫⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎪ ⎪− ⎪⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭220012200000002210001022⎛−⎛⎫− ⎪ ⎪⎛⎫⎪ ⎪ ⎪==⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭．（22）（本题满分11分）【解析】(I)因为{}221P X Y==，所以{}{}222210≠=−==P X Y P X Y．即{}{}{}0,10,11,00P X Y P X Y P X Y==−=======．利用边缘概率和联合概率的关系得到{}{}{}{}1 0,000,10,13P X Y P X P X Y P X Y====−==−−===；{}{}{}11,110,13P X Y P Y P X Y==−==−−==−=；{}{}{}11,110,13P X Y P Y P X Y====−===．即,X Y的概率分布为(II)Z的所有可能取值为1,0,1−．{}{}111,13P Z P X Y=−===−=．{}{}111,13P Z P X Y=====．{}{}{}101113P Z P Z P Z==−=−=−=．Z XY=的概率分布为(III)因为XY Cov XY E XY E X E Y ρ−⋅==其中()()1111010333E XY E Z ==−⋅+⋅+⋅=，()1111010333E Y =−⋅+⋅+⋅=．所以()()()0−⋅=E XY E X E Y ，即X ，Y 的相关系数0ρ=XY ． （23）（本题满分 11分）【解析】因为总体X 服从正态分布，故设X 的概率密度为202()2()x f x μσ−−=，x −∞<<+∞．(I) 似然函数22002211()()22222211()(;)](2)ni i i x nnnx i i i L f x eμμσσσσπσ=−−−−−==∑===∏∏；取对数：222021()ln ()ln(2)22ni i x n L μσπσσ=−=−−∑； 求导：22022221()ln ()()22()ni i x d L nd μσσσσ=−=−+∑2202211[()]2()nii x μσσ==−−∑．令22ln ()0()d L d σσ=，解得22011()n i i x n σμ==−∑． 2σ的最大似然估计量为02211()ni i X n σμ∧==−∑．(II) 方法1：20~(,)μσi X N ，令20~(0,)i i Y X N μσ=−，则2211n i i Y n σ=∧=∑．2212221()()()()[()]n i i i i i E E Y E Y D Y E Y n σσ=∧===+=∑．2222212221111()()()()n i n i i D D Y D Y Y Y D Y n nnσ∧===+++=∑442244112{()[()]}(3)σσσ=−=−=i i E Y E Y n n n． 方法2：20~(,)μσi X N ，则~(0,1)i X N μσ−，得到()2201~ni i X Y n μχσ=−⎛⎫= ⎪⎝⎭∑，即()2201ni i Y X σμ==−∑．()()222222011111()n i i E E X E Y E Y n n n n n μσσσσσ=∧⎛⎫⎡⎤=−===⋅= ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭∑．()()22444022222111112()2n i i D D X D Y D Y n nn n n n μσσσσσ=∧⎛⎫⎡⎤=−===⋅= ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭∑．。
2011年数学二真题解析
【解析】由通解公式得
y edx ( ex cos x edxdx C)
ex ( cos xdx C)
ex (sin x C) ．
由于 y(0) 0, 故 C =0．所以 y ex sin x ．
(11)【解析】选取 x 为参数，则弧微元 ds 1 y2 dx 1 tan2 xdx sec xdx
x0
xa
ax x0
a1
ax a x0
a1 x0
所以 3 a 0 即 a 3 ．
又因为 0 lim x
x ln(1 t2 )dt
0
xa
ln(1 x2 )
lim
x
axa1
2x
lim
x
1 x2 a(a 1)x
a2
2 a(a 1)
x3a
lim
x
1
x2
所以 3 a 2 ，即 a 1，综合得1 a 3 ．
(15) (本题满分 10 分)
【解析】如果 a 0 时， lim
x ln(1 t2 )dt
0
lim xa
x ln(1 t2 )dt ，
x
xa
x
0
显然与已知矛盾，故 a 0 ．
当 a 0 时，又因为 lim
x ln(1 t2 )dt
0
lim
ln(1
x2 )
lim
x2
lim 1 x3a 0 ．
g(x) f2xy, yg(x) yg(x) f12[xy, yg(x)] x f22[xy, yg(x)]g(x)．
因为 g(x) 在 x 1 可导，且为极值,所以 g(1) 0 ，则
d2z dxdy
|x1
y 1
2011硕士研究生入学考试高等代数试题答案
济 南 大 学2011年攻读硕士学位研究生入学考试试题（A 卷）答案及评分标准一、（20分）⑴.设p 是奇素数，试证1++px x p 在有理数域上不可约.设()1p f x x px =++.令1x y =-,()(1)g y f y =-,那么()(1)(1)(1)1p g y f y y p y =-=-+-+1122221(1)(1)(1)(1)1221p p p p p p p p p y y y y p y p p p ----⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+-++-+-+-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦,取素数p ,则()g y 满足Eisenstein 判断法的条件,故()g y 在有理数域上不可约. 由于()g y 与()f x 在有理数域上有相同的可约性,故()f x 有理数域上不可约.⑵.判断2=x 是8122116)(2345+--+-=x x x x x x f 的几重根.作综合除法可知,2是()f x 的三重根,且3()(2)(1)(1)f x x x x =-+-.二、（10分）如果1()n x f x -，则1()n nx f x -.()1()()1()(1)01()1()n n n n x f x f x x g x f x f x x f x -⇒=-⇒=⇒-⇒-三、（10分）()111(1)x x x n x x x ααααααααααα=-+()()()()(1)12111(1)1(1)n n n x n x n x x x ααααα---=-+=--+--四、（20分）向量组I 与II 等价⇔I 与II 的极大无关组等价⇔I 与II 的极大无关组为III 的极大无关组123r r r ⇔==.五、（20分）求证：⑴设12,,,s ηηη 是齐次线性方程组0AX =的基础解系，12,,,s ηηη 与12,,,t εεε 等价，由于它们都线性无关，所以s t =；12,,,t εεε 由12,,,s ηηη 表示，i ε为12,,,s ηηη 的线性组合，当然是0AX =的解，又因为任何一个解可由12,,,s ηηη 表示，当然也可由12,,,t εεε 表示，故12,,,t εεε 也是基础解系.⑵显然12,,,,s ξξηξηξη+++ 为AX b =的解，12,,,s ηηη 线性无关，ξ不能由它们表示，12,,,,s ηηηξ 线性无关，秩为1s +;12,,,,s ξξηξηξη+++ 与12,,,,s ηηηξ 等价，12,,,,s ξξηξηξη+++ 的秩也为1s +，从而无关，故为AX b =的线性无关解.试题科目：六、（10分）设n 阶半正定矩阵A ，存在可逆矩阵P ，0'00rE A P P ⎛⎫=⎪⎝⎭，矩阵000rE C P ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则'A C C =．七、（15分）作初等行变换'''''123111312121052(,,,,)1111221153A αααββ--⎛⎫ ⎪⎪== ⎪---- ⎪---⎝⎭100017170100349001032500013B -⎛⎫⎪ ⎪-⎪⎪→=- ⎪⎪⎪⎪⎝⎭由于对矩阵施行初等行变换不改变列向量间的线性关系,从B 知1231,,,αααβ线性无关,且2123117492517333βαααβ=---+.显然dim 13W =,dim 22W =,而dim 12()W W +=dim 12312(,,,,)L αααββ=dim 1231(,,,)4L αααβ=.由维数公式得dim12()W W ⋂=dim1W +dim2W -dim12()3241W W +=+-=.由于211231225174917333W W γββααα=-=---∈⋂,且0γ≠,故γ是12W W ⋂的一个基. 八、（10分）设上三角的正交矩阵为A ，上三角1'A A -=下三角，A 必为对角矩阵，又因为2122'n A A A E λλ⎛⎫ ⎪=== ⎪⎪⎝⎭，21i λ=，1i λ=±，即对角线元素为1±. 九、（15分）⑴对于()()1211,,22V αααααααα∀∈=-A ++A =+()()1211,,22αααααα=-A =+A1122A ,A αααα=-=，112111,,V V V V V αα--∴∈∈=+；又因为{}1111,,0,0V V V V γαααα--∀∈⋂=A =-=⋂=，11V V V -=⊕；⑵线性变换A 在1V 某组基下矩阵为s E ，在1V -某组基下矩阵为n s E --，设11V V -，的基构成V 的基，故线性变换A 在V 的某组基下矩阵为s n s E E -⎛⎫⎪-⎝⎭. 十、（20分）证明：⑴设欧氏空间V 的一组标准正交基为1,,n εε ，()()11A ,,,,n n A εεεε= ，(A ,)(,A )αβαβ= ，(A ,)(,A )ji i j i j ij a a εεεε∴===，'A A ∴=为对称矩阵；反之，A 在一组标准正交基1,,n εε 下的矩阵A 为实对称矩阵，()()11,,,,,n n X Y αεεβεε== ，()()()11(A ,),,,,,n n AX Y αβεεεε=()'''AX Y X A Y ==()()()()11',,,,,(,A )n n X AY X AY εεεεαβ=== ，线性变换A 为对称的.(2)对于11,V V αβ⊥∀∈∀∈，此时1A V β∈，()()A ,=,A 0αβαβ=，1A V α⊥∴∈，则1V ⊥也是A 的不变子空间.。
2011年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题及答案
2011年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题答案速查： 一、选择题二、填空题三、解答题（15）13a <<（16）()y y x =的极小值为13-，极大值为1；凸区间为1(,)3-∞，凹区间为1(,)3+∞，拐点为11(,)33（17）2'''''1111121|(1,1)(1,1)(1,1)x y d z f f f dxdy ===++（18）()4x y x π=（19）略（20）（I ）94π；（II ） 278g πρ （21）I a =（22）（I ） 5a =；（II ）112324βααα=+-，2122βαα=+，31235102βααα=+-（23）（I ） A 的特征值为-1，1，0，对应的特征向量为()1110k k α≠，()2220k k α≠，()3330k k α≠ （II ）001000100A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭一、选择题：1~8小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）已知当0x →时，()3sin sin3f x x x =-与kcx 是等价无穷小，则 （ ）（A ）k=1, c =4 （B ）k=1,c =-4 （C ）k=3,c =4 （D ）k=3,c =-4 【答案】（C ）【考点】无穷小量的比较，等价无穷小，泰勒公式 【难易度】★★★ 【详解】解析：方法一：当0x →时，sin x x03sin sin 3limk x x x cx →-03sin sin cos 2cos sin 2lim k x x x x x xcx→--= ()20sin 3cos 22cos limkx x x x cx →--=2103cos 22cos lim k x x xcx -→--= ()22132cos 12cos limk x x xcx -→---=22110044cos 4sin lim lim k k x x x x cx cx--→→-== 304lim14,3k x c k cx -→==⇒==，故选择（C ）.方法二：当0x →时，33sin ()3!x x x o x =-+ 333333(3)()3sin sin 33[()][3()]4()3!3!x x f x x x x o x x o x x o x =-=-+--+=+故3,4==k c ，选（C ）.（2）设函数()f x 在x=0处可导，且()0f =0，则()()2332limx x f x f x x→-= （ ）（A ） -2()0f ' （B ）-()0f ' （C ） ()0f ' （D ） 0 【答案】（B ）【考点】导数的概念 【难易度】★★ 【详解】 解析：()()()()()()2333300200limlim 2x x x f x f x f x f f x f x x x →→⎡⎤---⎢⎥=-⎢⎥⎣⎦()()()0200f f f '''=-=-故应选（B ）（3） 函数()ln (1)(2)(3)f x x x x =---的驻点个数为 （ ）（A ） 0 （B ） 1 （C ） 2 （D ）3【答案】（C ）【考点】复合函数求导 【难易度】★★ 【详解】解析：方法一：令)3)(2)(1()(---=x x x x g ，易知0)3()2()1(===g g g ，且0)(='x g 即)(x g 有两个驻点，所以)(x g 有两个驻点， 因为x y ln =函数单调，故)(ln x g 有两个驻点，选C.方法二：令(2)(3)(1)(3)(1)(2)'()(1)(2)(3)x x x x x x f x x x x --+--+--=---2312110(1)(2)(3)x x x x x -+==---有两个不同的根.所以()f x 有两个驻点.选（C ）. （4） 微分方程2(0)λλλλ-''-=+>xx y y ee 的特解形式为（ ）（A ） ()x x a e e λλ-+ （B ） ()x x ax e e λλ-+ （C ） ()x x x ae be λλ-+ （D ） 2()x x x ae be λλ-+ 【答案】（C ）【考点】二阶常系数非齐次线性微分方程 【难易度】★★★★ 【详解】解析：对应齐次微分放的特征方程为220r λ-=，解得r λ=±， 于是2x y y e λλ''-=，2xy y e λλ-''-=分别有特解xy axeλ=，xy bxeλ-=，因此原非齐次方程有特解()xx y x aebe λλ-=+.选（C ）.（5） 设函数(),()f x g x 均有二阶连续导数，满足(0)0,(0)0,f g ><且'(0)'(0)0f g ==，则函数()()z f x g y =在点(0,0)处取得极小值的一个充分条件是 （ ）（A ） ''(0)0,''(0)0f g <> （B ） ''(0)0,''(0)0f g << （C ） ''(0)0,''(0)0f g >> （D ） ''(0)0,''(0)0f g ><【答案】（A ）【考点】多元函数的极值 【难易度】★★★【详解】解析：因为函数()()z f x g y =在点(0,0)处取得极小值，且(),()f x g x 均有二阶连续导数所以(0,0)(0,0)'()()0zf xg y x ∂==∂，(0.0)(0.0)()'()0z f x g y y∂==∂，满足.又因为2(0,0)2(0,0)"()()"(0)(0)zA f x g y f g x∂===⋅∂，2(0,0)(0,0)'()'()'(0)'(0)0z B f x g y f g x y ∂===⋅=∂∂，2(0,0)2(0,0)()"()(0)"(0)z C f x g y f g y∂===⋅∂，所以必须有2(0)(0)(0)(0)0B AC f g f g ''''-=-<且0A >， 又因为(0)0f >，(0)0g <， 所以''(0)0,''(0)0f g <>，选（A ）.（6） 设40ln sin I x dx π=⎰，40ln cot J x dx π=⎰，40ln cos K x dx π=⎰，则,,I J K 的大小关系是（ ）（A ） I J K << （B ） I K J << （C ） J I K << （D ） K J I << 【答案】（B ）【考点】定积分的基本性质 【难易度】★★ 【详解】解析：如图所示，因为04x π<<时，0sin cos cot 2x x x <<<<，因此ln sin ln cos ln cot x x x <<444lnsin ln cos ln cot xdx xdx xdx πππ<<⎰⎰⎰，故选（B ）.（7） 设A 为3阶矩阵，将A 的第2列加到第1列得矩阵B ，再交换B 的第2行与第3行得单位矩阵，记1100110001P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，2100001,010P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭则A = （ ）（A ） 12PP （B ） 112P P - （C ） 21P P （D ） 121P P -【答案】（D ）【考点】矩阵的初等变换 【难易度】★★ 【详解】解析：由初等矩阵与初等变换的关系知1AP B =，2P B E =，所以111112121A BP P P P P ----===，故选（D ）（8） 设1234(,,,)A αααα=是4阶矩阵，*A 为A 的伴随矩阵，若(1,0,1,0)T是方程组Ax=0的一个基础解系，则*0A x =的基础解系可为 （ ）（A ） 13,αα （B ）12,αα （C ） 123,,ααα （D ） 234,,ααα 【答案】（D ） 【考点】★★★【难易度】矩阵的秩；齐次线性方程组的基础解系 【详解】解析：因为(1,0,1,0)T 是方程组Ax=0的一个基础解系所以1234131100(,,,)01100A αααααα⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦即13,αα线性相关，故排除（A ）（C ），又因为*4()4()1()30()3r A r A r A r A =⎧⎪==⎨⎪<⎩，即*()2r A ≠，所以排除（B ），从而应选（D ）.二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上. （9） 1012lim()2x x x →+= .【考点】重要极限公式；洛必达法则【难易度】★★ 【详解】 解析：原式=01121(1)212112lim(1)122012lim[1(1)]2x x xx xxxx e →+⋅-++--→++-=00212ln 2ln 2limlim222x x x x x eee →→-⋅====（10） 微分方程'cos x y y e x -+=满足条件(0)0y =的解为y = . 【答案】sin x y e x -= 【考点】一阶线性微分方程【难易度】★★ 【详解】解析：(cos )dx dx xy e e x e dx C --⎰⎰=⋅+⎰(cos )x e xdx C -=+⎰(sin )x e x C -=+由于(0)0,y =故0C =,所以sin .x y e x -= （11） 曲线0tan (0)4xy tdt x π=≤≤⎰的弧长s = .【答案】(ln 1+ 【考点】定积分的应用 【难易度】★★★ 【详解】解析：sec ds xdx ===4400sec ln sec tan ln(1s xdx x x ππ∴==+=+⎰（12） 设函数,0,()0,0x e x f x x λλ-⎧>=⎨≤⎩0λ>，则()xf x dx +∞-∞=⎰ . 【答案】1λ【考点】反常积分；定积分的换元积分法与分部积分法【难易度】★★ 【详解】 解析：原式 00xxdx x edx xdeλλλ+∞+∞---∞=+=-⎰⎰⎰x x xee dx λλ+∞-+∞-=-+⎰1xeλλ+∞-=-1λ=（13） 设平面区域D 由直线,y x =圆222x y y +=及y 轴所围成，则二重积分Dxyd σ=⎰⎰ .【答案】712【考点】二重积分的计算 【难易度】★★★ 【详解】解析：用极坐标变换.:42D ππθ≤≤，02sin r θ≤≤，于是原式2sin 24cos sin d r r rdr πθπθθθ=⋅⋅⎰⎰42sin 2041sin cos 4r d πθπθθθ=⋅⋅⎰5522444cos sin 4sin (sin )d d ππππθθθθθ=⋅=⎰⎰6624427sin 163212ππθ⎡⎤⎛⎢⎥==-= ⎢⎥⎝⎭⎣⎦（14） 二次型2221,23123121323(,)3222f x x x x x x x x x x x x =+++++，则f 的正惯性指数为 . 【答案】2【考点】矩阵的特征值的概念；用配方法化二次型为标准形 【难易度】★★★ 【详解】解析：方法一：f 的正惯性指数为所对应矩阵正特征值的个数.由于二次型f 对应矩阵111131111A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，()()111131140111E A λλλλλλλ----=---=--=---，故1230,1,4λλλ===.因此f 的正惯性指数为2.方法二：用配方法. 222221123232323232()()32()f x x x x x x x x x x x x =+++++++-+()2212322x x x x =+++那么经坐标变换22122T T x Ax y y y y =Λ=+，亦知2p =.三、解答题：15~23小题，共94分.请将解答写在答题纸．．．指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15） （本题满分10分 ）已知函数20ln(1)()xt dt F x xα+=⎰，设0lim ()lim ()0,x x F x F x +→+∞→==试求α的取值范围. 【考点】洛必达法则、积分上限的函数及其导数【难易度】★★ 【详解】解析：当0α≤时，lim ()x F x →+∞=+∞；不符合题意.当0α>时，αxdtt x F xx x ⎰+=+∞→+∞→02)1ln(lim)(lim,0)1(2lim )1(12lim )1(112lim )1ln(lim 1222212=-=-=-+=+=-+∞→-+∞→-+∞→-+∞→αααααααααααx x x x x x x x x x x x x 得01>-α即1>α；0lim )1ln(lim )1ln(lim)(lim 120120020==+=+=-→-→+∞→→+++⎰αααααxx x x x dt t x F x x xx x 得21<-α即3<α于是当13α<<时，0lim ()lim ()0x x F x F x +→+∞→==. （16） （本题满分11分）设函数()y y x =由参数方程3311331133x t t y t t ⎧=++⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩确定，求()y y x =的极值和曲线()y y x =的凹凸区间及拐点.【考点】函数的极值；函数图形的凹凸性、拐点 【难易度】★★★ 【详解】解析：221()1dy t dt y x dx t dt -'==+，2222223()2(1)2(1)14()(1)1(1)dy x t t t t t dt y x dx t t t dt'+--''==⋅=+++ 令()0y x '=得1t =± 当1t =时，53x =，13y =-，0y ''>.13y ∴=-为极小值. 当1t =-时，1x =-，1y =，0y ''<.1y ∴=为极大值.令()0y x ''=得0t =,13x y ==. 当0t <时，13x <，0y ''<；当0t >时，13x >，0y ''>. 所以曲线()y y x =的凸区间是1(,)3-∞，凹区间是1(,)3+∞，拐点是11(,)33.（17） （本题满分9分）设函数(,())z f xy yg x =，其中函数f 具有二阶连续偏导数，函数()g x 可导且在1x =处取得极值(1)1g =，求211.x y z x y==∂∂∂【考点】函数的极值；多元复合函数求导法；二阶偏导数 【难易度】★★★ 【详解】 解析：12()zf y f yg x x∂'''=⋅+⋅⋅∂, 因为函数()g x 可导且在1x =处取得极值(1)1g =, 所以0)1(='g ， 所以1121(,(1))(1)(,)x z f y yg y f y g f y y y x=∂''''=⋅+⋅⋅=⋅∂ 21111121111()(,)((,)(,))x y x y y z z x f y y y f y y f y y x yy=====∂∂∂∂⎡⎤'''''==++⎣⎦∂∂∂11112(1,1)(1,1)(1,1)f f f '''''=++ （18） （本题满分10分）设函数()y x 具有二阶导数，且曲线:()l y y x =与直线y x =相切于原点，记α为曲线l 在点(,)x y 处切线的倾角，若,d dydx dxα=求()y x 的表达式. 【考点】变量可分离的微分方程；可降阶的高阶微分方程 【难易度】★★★ 【详解】解析：由题设知：(0)0y =，(0)1y '=，(0)4πα=及解：因为tan y α'=，两边对x 求导得22sec (1tan )d d y dx dxαααα''=⋅=+，代入d dy dx dxα=，tan y α'=得)1(2y y y '+'=''. 令,dp y p y dx '''==，得2(1)dpp p dx=+分离变量得221()(1)1dp pdx dp p p p p ==-++积分得22211ln ln(1)ln 221p x p p C C p =-++=++由(0)1p =得11ln 22C =-，代入得2212ln 21p dy x p p dx =⇒==+ 由(0)0y =，再积分得()arcsin 4tt x xy x π====⎰⎰（19） （本题满分10分）（I ）证明：对任意的正整数n ，都有111ln(1)1n n n<+<+ 成立. （II ）设111ln (1,2,)2n a n n n=+++-=，证明数列{}n a 收敛. 【考点】函数单调性的判别、微分中值定理 【难易度】★★★ 【详解】解析：（I ）方法一：设)1()11ln(1)(≥+-=x xx x f ，则0)1(111111)(222<+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅+--='x x x xx x f ，)(x f 在),1[+∞上单调递减 所以0)(lim )(=>+∞→x f x f x ，即)1()11ln(1≥+>x xx设)1(11)11ln()(≥+-+=x x x x g则011111)1(11111)(22<⎪⎭⎫ ⎝⎛-++=++⎪⎭⎫⎝⎛-⋅+='x x x x x xx g ，)(x g 在),1[+∞上单调递减x所以0)(lim )(=>+∞→x g x g x ，即)1(11)11ln(≥+>+x x x综上：对任意的正整数n ，都有111ln(1)1n n n<+<+ 成立. 方法二：设()()1ln 1,0,f x x x n ⎡⎤=+∈⎢⎥⎣⎦,显然()f x 在10,n⎡⎤⎢⎥⎣⎦上满足拉格朗日中值定理 ()1111110ln 1ln1ln 1,0,1f f n n n n n ξξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴-=+-=+=⋅∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭10,n ξ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭时，11111111101n n n nξ⋅<⋅<⋅+++,即111111n n n ξ<⋅<++ 111ln 11n n n⎛⎫∴<+< ⎪+⎝⎭，结论得证. （II ）设1111ln 23n a n n=++++-. 1111ln ln 10111n n n a a n n n n +⎛⎫⎛⎫-=+=-+< ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭，即数列{}n a 单调递减. 1111ln 23111ln(11)ln(1)ln(1)ln(1)ln 23341ln 2ln 23ln(1)ln 0n a n nnn n nn n n =++++->+++++++-+⎛⎫=⋅⋅- ⎪⎝⎭=+->得到数列{}n a 有下界.利用单调递减数列且有下界得到{}n a 收敛.（20） （本题满分11分）一容器的内侧是由图中曲线绕y 轴旋转一周而成的曲面，该曲线由2212()2x y y y +=≥与2211()2x y y +=≤连接而成（I ） 求容器的容积；（II ） 若将容器内盛满的水从容器顶部全部抽出，至少需要做多少功？（长度单位：m ，重力加速度为2/,gm s ，水的密度为3310/kg m ） 【考点】定积分的应用 【难易度】★★★★ 【详解】解析：（I ）⎰⎰-+-=-2212221122)2()1(dy y y dy y V ππππ49)31()31[(221322113=-+-=-y y y y（II ）2()(2)dW g f y y dy ρπ=-，221122221121234234221123()(2)[(1)(2)(2)(2)]12141[(2)(2)]23434272710()88W g f y y dyg y y dy y y y dy g y y y y y y y g g J ρπρπρπρππ---=-=--+--=--++-+⨯==⎰⎰⎰，（21） （本题满分11分）已知函数(,)f x y 具有二阶连续偏导数，且(1,)0f y =，(,1)0f x =，(,)Df x y dxdy a=⎰⎰，其中{}(,)|01,01D x y x y =≤≤≤≤，计算二重积分''(,)xy DI xy f x y dxdy =⎰⎰.【考点】二重积分的计算；定积分的换元积分法与分部积分法 【难易度】★★★ 【详解】 解析：11''0(,)xyI xdx yf x y dy =⎰⎰11'0(,)x xdx ydf x y =⎰⎰()()111'000,|,x x xdx yf x y f x y dy ⎡⎤'=-⎢⎥⎣⎦⎰⎰()11''0(,1)(,)xx xdx f x f x y dy =-⎰⎰'(,1)0(,1)0x f x f x =∴=11'0(,)x I xdx f x y dy =-⎰⎰11'0(,)x dy xf x y dx =-⎰⎰111000(,)|(,)dy xf x y f x y dx ⎡⎤=--⎢⎥⎣⎦⎰⎰1100(1,)(,)dy f y f x y dx ⎡⎤=--⎢⎥⎣⎦⎰⎰(,)Df x y dxdy =⎰⎰a =.（22） （本题满分11分）设向量组123(1,0,1),(0,1,1),(1,3,5)T T Tααα===，不能由向量组12(1,1,1),(1,2,3),T T ββ== 3(3,4,)T a β=线性表示.（I ）求a 的值；（II ）将123,,βββ用123,,ααα线性表示.【考点】向量组的线性相关与线性无关；矩阵的初等变换 【难易度】★★★ 【详解】解析：（I ）因为123101,,01310115ααα==≠，所以123,,ααα线性无关，又因为123,,ααα不能由123,,βββ线性表示，所以()123,,3r βββ<，所以123113113,,1240115013023a a a βββ===-=-，所以5a =（II ）123123,,,,,αααβββ（）=101113013124115135⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭101113013124014022⎛⎫ ⎪→ ⎪ ⎪⎝⎭101113013124001102⎛⎫⎪→ ⎪ ⎪--⎝⎭1002150104210001102⎛⎫ ⎪→ ⎪ ⎪--⎝⎭故112324βααα=+-，2122βαα=+，31235102βααα=+-（23） （本题满分11分）A 为3阶实对称矩阵，A 的秩为2，且111100001111A -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭（I ） 求A 的所有特征值与特征向量；（II ） 求矩阵A【考点】矩阵的秩；矩阵的特征值和特征向量的概念、性质；实对称矩阵的特征值和特征向量【难易度】★★★ 【详解】解析：（I ）因为111100001111A -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭所以110011A ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，111000111A -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥==-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 所以11λ=是A 的特征值，1(1,0,1)T α=是对应的特征向量；21λ=-是A 的特征值，2(1,0,1)T α=-是对应的特征向量.因()2r A =知0A =，所以30λ=是A 的特征值. 设3123(,,)T x x x α=是A 属于特征值30λ=的特征向量， 因为A 为实对称矩阵，所以不同特征值对应的特征向量相互正交，即131323130,0,T Tx x x x αααα⎧=+=⎪⎨=-=⎪⎩ 解得3(0,1,0)T α= 故矩阵A 的特征值为1,1,0-；特征向量依次为123(1,0,1),(1,0,1),(0,1,0)T T T k k k -，其中123,,k k k 均是不为0的任意常数.（II ）将321,,ααα单位化得⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=101211γ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=101212γ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0103γ 令⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-==0212110002121),,(321γγγQ ，则⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=011AQ Q T所以100110000100T A Q Q ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.友情提示：部分文档来自网络整理，供您参考！文档可复制、编制，期待您的好评与关注！。