高中物理带电粒子在电场中的“曲线运动”

带电粒子在电场中的“曲线运动”（一）

—’08备考综合热身辅导系列

山东平原一中 魏德田 253100

高中乃至于普通物理，所谓运动“曲线”，大都指 “二次曲线”，即椭圆、圆、抛物线

和双曲线等等，螺旋线、摆线及更复杂的曲线往往不多研究。笔者认为，讨论“带电粒子在电场中的曲线运动”这一至关重要的课题，宜按抛物线、圆或椭圆、双曲线及其他曲线运动等顺序进行。并且，体例编排，宜先均匀场后非均匀场；范题选择，宜由简而繁、自易入难；至于分析解答，从立意、选题、解析到点拨，更宜谨慎遵循深入浅出的基本原则。因此，虽几经周折，而勉力为之。不尽之处，请细心的读者予以批评指正。

一、破解依据

欲破解此类问题，大致归纳为以下几条依据:㈠若合力F （或合加速度a ，下同）与初速度v 0“不相共线”，则粒子的轨迹为曲线，且向合力一侧弯曲；若“二者”成“锐角”，则为“加速”，为“钝角“则“减速”。恒成“直角”则“匀速”。㈡求解匀变速曲线运动的位移（路程）、速度（率）、加速度（率）等等，亦需要综合运用牛顿定律、运动学公式，更重要的要把握运动合成与分解、平抛、圆周运动等概念和规律。 ㈢若“加速”（或减速），则合外力有正（或负）的冲量；由动量定理知“动量增加”（或减少）；速度不变，动量亦然。㈣若“加速”（或减速），则合外力做功为“正”（或负）；由动能定理知“动能增加”（或减少）；速度不变，则动能亦然。㈤重力、电场力做功为“正”（或负），必然等于重力势能、电势能的“减少”（或增加）；而其他力做功则不一定如此。无论何力做功，包括机械能、电势能等在内的总能量是守恒的。

除开涉及“电场力做功”的第㈤条而外，皆已于力学中经常应用。以下三条当属于“静电场”一章的基本内容。

㈥场强、电势、电势差：

⑴.,,2

d U E r kQ E q F E === ⑵.,r kQ q W A A ==∞ϕϕ⑶B A AB U ϕϕ-= ㈦电场力及其功：⑴d qU qE F ==, 2

r kQ q F ⋅=

⑵,qU qEd Fd W === )11(B A AB AB r r kQ q qU W -⋅==

㈧电势能及其变化，则用⋅==A A A r kq q q ϕε及.AB AB W =∆ε 由此可见，它与相应的直线运动的破解，“仿宋”体文字即表示两者有许多相同之处。 二、解题示例

㈠带电粒子在电场中的抛线运动

“带电粒子”（以下多称“粒子”）在匀强电场．．．．（限本文）中的运动，可分为受单一电场力、或者等效重力作用两种基本题型。无论哪种情形，粒子均受恒力作用，且均可证明，粒子必做匀变速运动（“匀速”是“匀变速”的特例）。其运动轨迹，除开前文所列为直线而外，所余者皆为抛物线。若恒力与“初速度”两者成“锐角”，则为“类斜下抛”；成“直角”则为“类平抛”；成“钝角”为“类斜上抛”。

下面，我们先来讨论在单一匀强电场中带电粒子的抛线运动。这里的带电粒子，指电子、

M

图—3

质子、α粒子和离子之类。应该强调，在解决问题的过程中，运动合成和分解的知识是必要的。

⒈带电粒子在单一匀强电场中的抛线运动

[例题1]（高考模拟） 两个半径均为R 的圆形平板电极，平行正对放置，相距为d ，极板间的电势差为U ，板间电场可以认为是均匀的。一个α粒子从正极板边缘以某一初速度垂直于电场方向射入两极板之间，到达负极板时恰好落在极板中心。已知质子电荷为e ，质子和中子的质量均视为m ，忽略重力和空气阻力的影响，求：

⑴α粒子在极板间运动的加速度a ； ⑵α粒子的初速度v 0。

⑶此过程中α粒子的动量变化v ∆。

[解析] ⑴首先，作出示意图—1。显然，两圆形板极间场强为

①d

U E ----=

已知粒子电荷为2e ，质量为4m ，由综合“依据”㈡（牛二定律）、㈦电场力公式）可得

.

2422③m d eU m F a ②d

eU

eE F -----==----=

=

⑵由综合“依据”㈡，可知α粒子只在电场力作用下，做“类平抛”运动。从而，可得

⑤

t v R ④

at d -----=----=022

1

联立③④⑤式，即可求出

m

eU

d R v 20=

⑶由图—2表示初、末速度和速度变化之间的关系。因v ∆与加速度方向均竖直向下，再联系到③④式，从而应用“依据”㈢可得

.444eUm mat v m p ==∆=∆

[点拨]此例属于粒子在单一电场力作用下做“类平抛”运动的较简单而基本的题型，与解决重力场中的平抛运动没什么两样。但对于物理规律的应用和数学运算，则丝毫不能含糊。

[例题2]如图—3所示，在厚铅版A 表面中心放置一很小的放射源，可向各个方向放射出速率为v 0的α粒子（质量为m 、电量q ），在金属网B 与A 间加有竖直向上的匀强电场，场强为E 。A 与B 间距离为d ，B 上方有一很大的荧光屏M ，M 与B 距离为L ，当有α粒子打在荧光屏上时就能够使荧光屏产生一闪光点。整个装置放在真空中，不计重力的影响，试分析：

⑴打在荧光屏上的粒子的动能有多大？ ⑵荧光屏上闪光点的范围有多大？

⑶在实际应用中，往往是放射源射出的α粒子的速率未知，请设计一个方案，用本设置来测定α粒子的速率。

[解析] ⑴分析可知，α粒子自射出而到达荧光屏的过

程中只有电场力做功。由“依据”㈣（动能定理）可得

图—4

202

1mv qEd E K +

= ⑵如图—4所示，欲求粒子的“题设范围”，则只要求出荧光屏上闪光圆的半径R 即可。显见，该半径为沿铅板边缘垂直于电场的α粒子，做“类平抛”复加“匀速”运动的水平位移。

从而，先求类平抛的水平位移x （即侧移）。设“粒子”在电场、真空中运动的时间分别为t 1、t 2.由“综合依据”㈡和静电场“依据”㈦可得

②

at d ①m

qE

a -----=------=

2

12

1

因α粒子离开电场在竖直方向以分速度v y 做匀速运动，设到达荧光屏的时间t 2为,则

④

t v d L ③at v y y ---=------=21

考虑到，粒子在水平方向一直做匀速运动。从而由①②③④式可求出

.

22)

2()

(0210mdqE qEd

L d v t t v R ⋅+=+= ⑶实际测定α粒子的速率时，由上述公式可得

mdqE L d m R

v 2)

2(0⋅+=

。

因此，只要测出相关物理量的数据，代入此式计算就可以了。

[点拨]此例求α粒子打在“荧光屏上闪光点的范围”(图示中闪光圆的半径R ) ，亦即α粒子在水平方向发生的位移，而该位移由匀强电场和真空等产生的两部分位移构成。求此位移时，应牢牢把握粒子在水平方向总做匀速运动这一点，只要细心求出运动的总时间就行了。

⒉带电粒子在等效重力场中的抛线运动

所谓“等效重力场”，指由匀强电场、重力场而成的复合场。所谓“等效重力”或亦可称为“视重”，是由恒定电场力、重力矢量合成的。而该场中的“带电粒子”，则往往为带电小球、颗粒、液滴之类。

[例题3]一质量为m ，带电量为+q 的小球从距地面高h 处以一定的初速度水平抛出。在距抛出点水平距离为l 处，有一根管口比小球直径略大的竖直细管，管的上口距地面h/2。为使小球能无碰撞的通过管子，可在管子上方的整个区域里加一个场强方向水平向左的匀强电场，如图—5所示。试求：

⑴小球的初速度v ； ⑵电场强度E 的大小；⑶小球落地时的动能。

[解析] ⑴首先，分析可知小球在重力、电场力的共同作用下做初速度为v 0的“类斜上抛”运动，如图—6所示。此可分解为竖直自由落体运动，水平匀减速运动。从而，可使小球到达管口处水平速度为零。