圆锥曲线弦长专题
圆锥曲线：弦长公式与面积的12类题型考法总结 高考数学
PQ = 3.
【答案】(1)求椭圆C的方程；(2)求△ 面积的取值范围.
试卷讲评课件
【详解】(1)依题意， = ，当直线的斜率不存在时，由 = ，
得直线过点
为
+
,
，于是
+
= ，解得 = ，所以椭圆的方程
= .
(2)依题意，直线不垂直于轴，设直线的方程为
【解析】 = .
试卷讲评课件
(3)是否存在常数，使得 + = ⋅ 恒成立？若存在，
求的值；若不存在，请说明理由.
【解析】由于PF 的方程为 = �� + ，将其代入椭圆方程得
+ − + − = ，由违达定理得
+
+
−
− − +
− +
+
=
试卷讲评课件
3.特殊方法：拆分法,可以将三角形沿着轴或者轴拆分成两个三角形，
不过在拆分的时候给定的顶点一般在轴或者轴上，此时，便于找到两
个三角形的底边长.
= + = ∣ ∣∣ − ∣
＋
＋
由 ＞，得0＜ ＜ ，所以 ＜＜.综上可得：
＋
＜
≤ ，即 ∈
( ,
].
试卷讲评课件
例2.已知 P 为椭圆
x2
8
+
y2
2
= 1 上的一个
微考点6-2 圆锥曲线中的弦长面积类问题(解析版)
微考点6-2 圆锥曲线中的弦长面积类问题（三大题型）直线与圆锥曲线相交，弦和某个定点所构成的三角形的面积，处理方法：①一般方法：d AB S 21=（其中AB 为弦长，d 为顶点到直线AB 的距离），设直线为斜截式m kx y +=.进一步，d AB S 21==20011221214)(121k m y kx x x x x k ++--++②特殊方法：拆分法,可以将三角形沿着x 轴或者y 轴拆分成两个三角形，不过在拆分的时候给定的顶点一般在x 轴或者y 轴上，此时，便于找到两个三角形的底边长.12PAB PQA PQB A B S S S PQ y y ∆∆∆=+=-=12PAB PQA PQB A B S S S PQ x x ∆∆∆=+=-=③坐标法：设),(),,(2211y x B y x A ，则||211221y x y x S AOB -=∆④面积比的转化：三角形的面积比及其转化有一定的技巧性，一般的思路就是将面积比转化为可以利用设线法完成的线段之比或者设点法解决的坐标形式，通常有以下类型：1.两个三角形同底，则面积之比转化为高之比，进一步转化为点到直线距离之比2.两个三角形等高，则面积之比转化为底之比，进一步转化为长度（弦长之比）3.利用三角形面积计算的正弦形式，若等角转化为腰长之比4.面积的割补和转化⑤四边形的面积计算在高考中，四边形一般都比较特殊，常见的情况是四边形的两对角线相互垂直，此时我们借助棱形面积公式，四边形面积等于两对角线长度乘积的一半；当然也有一些其他的情况，此时可以拆分成两个三角形，借助三角形面积公式求解.⑥注意某条边过定点的三角形和四边形当三角形或者四边形某条边过定点时，我们就可以把三角形，四边形某个定顶点和该定点为边，这样就转化成定底边的情形，最终可以简化运算.当然，你需要把握住一些常见的定点结论，才能察觉出问题的关键.题型一：利用弦长公式距离公式解决弦长问题【精选例题】【例1】已知椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>，1F ，2F 分别为左右焦点，点(1P，2P -⎛⎝在椭圆E 上.(1)求椭圆E 的离心率；(2)过左焦点1F 且不垂直于坐标轴的直线l 交椭圆E 于A ，B 两点，若AB 的中点为M ，O 为原点，直线OM交直线3x =-于点N ，求1ABNF 取最大值时直线l 的方程.则2222(2)(2)2x y x -+=-【跟踪训练】1.已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>，圆O ：22320x y x y ++--=，若圆O 过椭圆C 的左顶点及右焦点．(1)求椭圆C 的方程；(2)过点()1,0作两条相互垂直的直线1l ，2l ，分别与椭圆相交于点A ，B ，D ，E ，试求AB DE +的取值范围．【点睛】方法点睛：圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略：（1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；（2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；（3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；（4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；（5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.题型二：利用弦长公式距离公式解决三角形面积类问题【精选例题】圆心O 到直线CD 的距离为2||51m d k ==+联立22132y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得()2223k x ++()()()2226423360km k m ∆=-+->，可得设()11,A x y 、()22,B x y ，则12623km x x k -+=+()2222121236141k m AB kx x x x k=++-=+()()()(2222261322612k km k ⋅++-+【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值与范围问题的常见求法：（特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；（首先建立目标函数，再求这个函数的最值，式长最值．P x y满足方程【例3】动点(,)【点睛】求解动点的轨迹方程，可通过定义法来进行求解型的轨迹的定义，由此来求得轨迹方程用不等式的性质、基本不等式等知识来进行求解【例4】已知椭圆C的中心在原点，一个焦点为(1)求椭圆C的标准方程；【点睛】思路点睛：本题第二小问属于直线与圆锥曲线综合性问题，设出过点达定理可得12y y +，12y y ，可求出1142ABF S a r =⋅⋅△，由此可求得直线【跟踪训练】(1)求椭圆C的标准方程；(2)判定AOMV（O为坐标原点）与理由.【答案】(1)2212xy+=；(2)面积和为定值，定值为【分析】（1）根据题意求,a b）方程为22221x ya b+=，焦距为2c，则2221b a c=-=，的标准方程为221 2xy+=.()0,1A，()0,1B-，直线l：x(1)求椭圆C的方程；(2)过B作x轴的垂线交椭圆于点①试讨论直线AD是否恒过定点，若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由．△面积的最大值．②求AOD②设直线AD 恒过定点记为M 由上()222481224t m ∆=-+=⨯所以1222423t y y t +=+，122y y =）题型三：利用弦长公式距离公式解决定四边形面积问题【精选例题】(1)求椭圆的标准方程；(2)求四边形ABCD面积的最大值；(3)试判断直线AD与BC的斜率之积是否为定值，若是，求出定值；若不是，请说明理由【答案】(1)2214xy+=；(2)4；(3)）当直线1l，2l中的一条直线的斜率不存在、另一条直线的斜率为1AB CD=⨯⨯=.4122当直线1l，2l的斜率都存在且不为0时，【跟踪训练】2．已知焦距为2的椭圆M ：于A ，B 两点，1ABF V 的周长为(1)求椭圆M 的方程；F l）斜率不存在时.1l 方程为1x =，2l 方程为1134622ABCD S AB CD =⋅=⋅⋅=四边形斜率为0时.1l 方程为0y =，此时无法构成斜率存在且不为0时.设1l 方程为y =12．已知圆O ：224x y +=，点点P 的轨迹为E .(1)求曲线E 的方程；(2)已知()1,0F ，过F 的直线m【点睛】方法点睛：设出直线的方程，与椭圆方程联立，根据韦达定理结合弦长公式得出弦长3．已知椭圆2222:1(x yEa b+=()2,1T，斜率为k的直线l与椭圆(1)求椭圆E的标准方程；（2）设直线AB的方程为6．已知椭圆(2222:1x y C a a b+=两点，且1ABF V 的周长最大值为(1)求椭圆C 的标准方程；(2)已知点P 是椭圆C 上一动点（不与端点重合），则112AF AH AF AF +≤+=故当AB 过右焦点2F 时，ABF V 因为椭圆C 的离心率为c e a =22121,2A F a c A A a =-===则11214A PQ PA A S S =V V ，故PQ =设(,),(02)P P P P x y x <<，则又P 点在22143x y +=上，则又2(2,0)A ，所以直线2A P 的方程为）O 中，由OA l ⊥，2EOF EOA ∠=∠，则EOA V 中，cos 601OA OE =⋅=o ，则S 当直线l 的斜率不存在时，可得:1l x =±，代入方程可得：2114y +=，解得32y =±，可得MN 当直线l 的斜率存在时，可设:l y kx b =+，联立可得））得1(0,3)B ，2(1,0)F ，12B F k =所以直线MN 的斜率为33，所以直线()2231313x y =++=．消去y 并化简得13(1)求椭圆E的方程；(2)是否存在实数λ，使椭圆若不存在，请说明理由；(3)椭圆E的内接四边形ABCD4t4t【点睛】方法点睛：本题（2圆联立求出弦长，然后再结合基本不等式求解出最值11．已知椭圆221:184x yC+=与椭圆(1)求椭圆2C的标准方程：不妨设P 在第一象限以及x 故000022AP AQ k y y k x x -+⋅=⋅=-由题意知直线AP 存在斜率，设其方程为若直线l ，m 中两条直线分别与两条坐标轴垂直，则其中有一条必与直线所以直线l 的斜率存在且不为零，设直线()()1122,,,A x y B x y ，()1y k x ⎧=+。
高考数学一轮复习专题02 圆锥曲线弦长问题(解析版)
解析几何专题二：圆锥曲线弦长问题一、知识储备弦长公式||AB =12||AB x ==-= （最常用公式，使用频率最高）= 二、例题讲解1．（2022·辽宁高三开学考试）已知椭圆C 的标准方程为：22221(0)x y a b a b +=>>，若右焦点为F（1）求椭圆C 的方程；（2）设M ，N 是C 上的两点，直线MN 与曲线222x y b +=相切且M ，N ，F 三点共线，求线段MN 的长． 【答案】（1）2213x y +=；（2【分析】（1）根据椭圆的焦点、离心率求椭圆参数，写出椭圆方程即可.（2）由（1）知曲线为221(0)x y x +=>，讨论直线MN 的存在性，设直线方程联立椭圆方程并应用韦达定理求弦长即可. 【详解】（1）由题意，椭圆半焦距c =c e a =，则a =2221b a c =-=， ∴椭圆方程为2213x y +=；（2）由（1）得，曲线为221(0)x y x +=>当直线MN 的斜率不存在时，直线:1MN x =，不合题意：当直线MN 的斜率存在时，设()11,M x y ，()22,N x y 又M ，N ，F 三点共线，可设直线:(MN y k x =，即0kx y -=， 由直线MN 与曲线221(0)x y x +=>1=，解得1k =±，联立22(13y x x y ⎧=±⎪⎨+=⎪⎩，得2430x -+=，则12x x +=1234x x ⋅=，∴||MN ==2．（2022·全国高三专题练习）过双曲线142x y -=的右焦点F 作斜率为2的直线l ，交双曲线于A ，B 两点.（1）求双曲线的离心率和渐近线； （2）求AB 的长. 【答案】（1）e =，渐近线方程为y =；（2）207.【分析】（1）由双曲线方程得出,a b ，再求出c ，可得离心率，渐近线方程；（2）写出直线方程，代入双曲线方程，设()11,A xy ，()22,B x y，由韦达定理得1212,x x x x +，然后由弦长公式计算弦长． 【详解】解：（1）因为双曲线方程为22142x y -=， 所以2a =，b =则c =所以62cea，渐近线方程为2y x =±. （2）双曲线右焦点为0)，则直线l 的方程为2(y x = 代入双曲线22142x y -=中，化简可得27520x -+=设()11,A x y ，()22,B x y 所以12x x +=12527x x ⋅=，所以2120|||7AB x x -==. 【点睛】方法点睛：本题考查双曲线的离心率和渐近线方程，考查直线与双曲线相交弦长．解题方法是直线方程与双曲线方程联立并消元后应用韦达定理求出1212,x x x x +，然后由弦长公式12d x =-求出弦长．3．（2022·全国高三模拟预测）在平面直角坐标系xOy 中，已知()2,0F ，()2,3M -，动点P 满足12OF MP PF ⋅=． （1）求动点P 的轨迹C 的方程；（2）过点()1,0D 作直线AB 交C 于A ，B 两点，若AFD 的面积是BFD △的面积的2倍，求AB ． 【答案】（1）28y x =；（2【分析】（1）设(),P x y ，求得,,MP OF PF 的坐标，结合12OF MP PF ⋅=，化简、整理，即可求得抛物线的方程； （2）设()()1122,,,A x y B x y ，不妨设120,0y y ><，由2AFD BFD S S =△△，求得122y y =-，设直线AB 的方程为1x my =+，联立方程组，结合根与系数的关系，求得128y y m +=，128y y =-，进而求得12,,y y m ，利用弦长公式，即可求解. 【详解】（1）设(),P x y ，因为()2,0F ，()2,3M -，则()2,3MP x y =+-，()2,0OF =，()2,PF x y =--． 由12OF MP PF ⋅=，可得2x +=28y x =，即动点P 的轨迹C 的方程为28y x =． （2）设()11,A x y ，()22,B x y ， 由题意知112AFD S FD y =⋅△，212BFD S FD y =⋅△， 易知120y y <，不妨设120,0y y ><，因为2AFD BFD S S =△△，所以122y y =，所以122y y =-． ① 设直线AB 的方程为1x my =+，联立281y xx my ⎧=⎨=+⎩消去x ，得2880y my --=，则264320m ∆=+>，可得128y y m +=，128y y =- ② 由①②联立，解得1214,2,4y y m ==-=，所以124(2)AB y =-=--=． 【点睛】本题主要考查了向量的坐标运算，抛物线的标准方程的求解，以及直线与抛物线的位置关系的综合应用,解答此类题目，通常联立直线方程与抛物线方程，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等．三、实战练习1．（2022·江门市培英高级中学高三模拟预测）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>过点P ⎭，离心率为12． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若1A 为椭圆C 的左顶点，直线l 过右焦点2F 与椭圆C 交于M ，N 两点（M ，N 与1A 不重合），l 不与x 轴垂直，若11A M A N MN k k k +=-，求MN ．【答案】（1）22143x y +=；（2）247 【分析】（1）由题意可得关于,,a b c 的方程组，求解,a b 的值，即可求得椭圆C 的标准方程；（2）根据题意设()()1122,,,M x y N x y ，直线l ：()1,0x my m =+≠，联立直线方程与椭圆方程，化为关于y 的一元二次方程，利用根与系数的关系结合11A M A N MN k k k +=-，求出m 的值，再根据弦长公式即可求得MN . 【详解】（1）由题意可得：22222123314c a a b a b c ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得：224,3a b ==，∴ 椭圆C 的标准方程为：22143x y +=； （2）()()211,0,2,0F A -，由题意可设：直线l ：()1,0x my m =+≠，()()1122,,,M x y N x y ，联立：221143x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得：()2234690m y my ++-=， 则12122269,3434m y y y y m m --+==++， 1112121,,22A M A N MN y y k k k x x m===++， 11121222A M A N y yx k x k ∴+=+++ ()()()()1221122222y x y x x x +++=++()()()()1221213333y my y my my my +++=++()()2122112122339y y y m y y y my m y ++=+++222229623343496393434mm m m m m m m m --⨯+⨯++=--⨯+⨯+++ m =-，又11A M A N MN k k k +=-， 1m m∴-=-， 解得：21,1m m ==±， 故1212226699,347347m y y y y m m --+==±==-++，247MN =.2．（2022·广东执信中学高三月考）已知椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b +=>>，右焦点为F．（1）求椭圆C 的方程；（2）设M ，N 是椭圆C 上的两点，直线MN 与曲线222(0)x y b x +=>相切．证明：M ，N ，F三点共线的充要条件是||MN =【答案】（1）2213x y +=；（2）证明见解析.【分析】（1）由离心率公式可得a =2b ，即可得解；（2）必要性：由三点共线及直线与圆相切可得直线方程，联立直线与椭圆方程可证MN =充分性：设直线():,0MN y kx b kb =+<，由直线与圆相切得221b k=+，联立直线与椭圆方程结合弦长公式可得=1k =±，即可得解. 【详解】（1）由题意，椭圆半焦距c =c e a =，所以a = 又2221b a c =-=，所以椭圆方程为2213x y +=；（2）由（1）得，曲线为221(0)x y x +=>，当直线MN 的斜率不存在时，直线:1MN x =，不合题意； 当直线MN 的斜率存在时，设()()1122,,,M x y N x y ， 必要性：若M ，N，F 三点共线，可设直线(:MN y k x =即0kx y --=，由直线MN 与曲线221(0)x y x +=>1=，解得1k =±，联立(2213y x x y ⎧=±⎪⎨⎪+=⎩可得2430x -+=，所以121234x x x x +⋅=，所以MN ==所以必要性成立；充分性：设直线():,0MN y kx b kb =+<即0kx y b -+=， 由直线MN 与曲线221(0)x y x +=>1=，所以221b k =+，联立2213y kx b x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩可得()222136330k x kbx b +++-=， 所以2121222633,1313kb b x x x x k k -+=-⋅=++，所以MN === 化简得()22310k -=，所以1k =±，所以1k b =⎧⎪⎨=⎪⎩1k b =-⎧⎪⎨=⎪⎩:MN y x =或y x =-+所以直线MN 过点F ，M ，N ，F 三点共线，充分性成立； 所以M ，N ，F 三点共线的充要条件是||MN = 【点睛】 关键点点睛：解决本题的关键是直线方程与椭圆方程联立及韦达定理的应用，注意运算的准确性是解题的重中之重.3．（2022·全国高三月考（文））已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>与抛物线24y x =有公共的焦点F ，1A ，2A 分别为椭圆C 长轴的左、右端点，P 为C 上一动点，且12PAA ∆的最大面积为 （1）求椭圆C 的标准方程；（2）直线l 经过点F ，且与C 交于A ，B 两点，若10||3AB =，求直线l 的方程． 【答案】（1）22143x y +=；（20=． 【分析】（1）利用已知条件可以直接得出焦点F 的坐标，当三角形面积最大时P 为短轴端点，从而解出a ，b 的值即可； （2）利用（1）中求出的点F 的坐标，设出直线方程，然后与椭圆方程联立，利用弦长公式即可求出直线的方程． 【详解】（1）抛物线24y x =的焦点F 坐标为()1,0∴椭圆C 中的半焦距为1．由椭圆的几何性质可知，当12PA A ∆面积最大时，P 为椭圆短轴端点，不妨令()0,P b ，则221a b ab ⎧-=⎪⎨=⎪⎩解得2a b =⎧⎪⎨=⎪⎩∴椭圆C 的标准方程为22143x y +=． （2）直线l 经过椭圆C 的右焦点，且10||3AB =∴直线l 的斜率存在，设直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为(1)y k x =-， 与椭圆C 的方程联立可得()22223484120k xk x k +-+-=，0∆>，设()11,A x y ，()22,B x y ，则2122834k x x k +=+，212241234k x x k -=+12||AB x ∴-=()2212110343k k +==+解得k =∴直线l 0=0．【点睛】本题考查椭圆的标准方程、抛物线的几何性质以及直线与椭圆的位置关系，要求较高的运算求解能力，属于中档题.本题的关键点有：（1）韦达定理的应用，韦达定理是联系各个变量之间的桥梁是解决解析几何问题的重要方法； （2）计算能力和计算技巧是解决解析几何问题的关键能力.4．（2022·陕西（文））已知点B 是圆22:(1)16C x y -+=上的任意一点，点(1,0)F -，线段BF 的垂直平分线交BC 于点P .（1）求动点P 的轨迹E 的方程；（2）直线:2l y x m =+与E 交于点M ，N ，且MN =m 的值. 【答案】（1）22143x y +=，（2）1m =±.（1）由条件可得42PC PF PC PB BC FC +=+==>=，然后由椭圆的定义可求出答案；（2）设()()1122,,,M x y N x y ，然后联立直线与椭圆的方程消元，韦达定理得出1212,x x x x +，然后利用MN =出m 的值即可. 【详解】（1）由条件可得42PC PF PC PB BC FC +=+==>=所以动点P 的轨迹E 是以,F C 为焦点的椭圆，设其方程为()222210x y a b a b+=>>所以24,22a c ==，所以2,1,a c b ===所以方程为22143x y += （2）设()()1122,,,M x y N x y联立221432x y y x m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩可得221916+4120x mx m +-= 所以由()22256764120m m ∆=-->得(m ∈2121216412,1919m m x x x x -+=-=因为MN =所以可解得1m =±5．（2022·全国高三专题练习）已知点(A 和B ，动点C到A ，B 两点的距离之差的绝对值为2，记点C 的（1）求轨迹E 的方程；（2）设E 与直线2y x =-交于两点M ，N ，求线段MN 的长度. 【答案】（1）2212y x -=；（2）【分析】（1）设(,)C x y ，由于||||2CA CB -=，||AB =，利用双曲线的定义求解即可； （2）直线和双曲线方程联立消y ，利用韦达定理以及弦长公式求解即可. 【详解】 （1）设(,)C x y ， 则||||2CA CB -=，所以点C 的轨迹E 为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>，且22a =，2||c AB == 则1a =，2222b c a =-=， 所以轨迹E 的方程为2212y x -=；（2）由22122y x y x ⎧-=⎪⎨⎪=-⎩， 得2460x x +-=， 因为0∆>，所以直线与双曲线有两个交点， 设()11,M x y ，()22,N x y ， 则124x x +=-，126x x =-，故MN =所以线段MN 的长度为6．（2022·全国高三专题练习）已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>)是双曲线的一个顶点．（1）求双曲线的方程；（2）经过双曲线右焦点2F 作倾斜角为30的直线，直线与双曲线交于不同的两点A ，B ，求AB ． 【答案】（1）22136x y -=；（2【分析】（1)求出,a b ，即可得出双曲线方程；（2）可先求出直线方程为3)y x =-，联立椭圆方程，再利用弦长公式即可求出. 【详解】（1）由题可得c a a ⎧=⎪⎨⎪=⎩3c =，b ，所以双曲线的方程为22136x y-=；（2）双曲线22136x y -=的右焦点为()23,0F所以经过双曲线右焦点2F 且倾斜角为30°的直线的方程为3)y x =-.联立221363)x y y x ⎧-=⎪⎪⎨⎪-⎪⎩得256270x x +-=．设()11,A x y ，()22,B x y ，则1265x x +=-，12275x x =-．所以AB ==【点睛】本题考查双曲线方程的求法，考查直线与双曲线相交弦长的求法，属于基础题.7．（2022·重庆高三模拟预测）已知直线l ：4y kx =+与抛物线C ：2y ax =交于A 、B 两点，O 为坐标原点，OA OB ⊥． （1）求抛物线C 的标准方程；（2）若过点A 的另一条直线1l 与抛物线C 交于另一点M ，与y 轴交于点N ，且满足||||AN AM =，求BM 的最小值．【答案】（1）214y x =；（2）【分析】（1）先联立直线与抛物线，得到判别式和韦达定理，再根据垂直关系，利用0OA OB ⋅=，求得参数即可；（2）设直线BM 的方程，并与抛物线联立，得到判别式和韦达定理，根据已知关系，判断中点位置，利用坐标关系求得参数m ，最后利用弦长公式计算BM ，利用二次函数判断最小值即可. 【详解】解：（1）依题意，设()()1122,,,A x y B x y ，由24y ax y kx ⎧=⎨=+⎩，消去y ，得240ax kx --=，2121604k a x x a ⎧∆=+>⎪∴⎨=-⎪⎩， OA OB ⊥，12120OA OB x x y y ∴⋅=+=，即2212120x x ax ax +⋅=，即22212120x x a x x +=，所以22440a a a ⎛⎫⎛⎫-+⋅-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得14a =，∴抛物线C 的标准方程为214y x =； （2）由题意知，直线BM 的斜率存在，故可设直线BM 的方程为y tx m =+，()33,M x y ，由214y xy tx m ⎧=⎪⎨⎪=+⎩，消去y ，得2440x tx m --=，223231616044t m x x m x x t ⎧∆=+>⎪∴=-⎨⎪+=⎩，由（1）知，1216x x =-，故1123321644x x x x x x m m-===-， 由题意知,,A M N 三点共线，且|AN |＝|AM |，即A 为线段MN 的中点，设()0,N n ， 则3102x x +=，即13142x x m ==，即8m =，22323161680324t x x x x t⎧∆=+⨯>⎪∴=-⎨⎪+=⎩，23BM x ∴=-=)20t ==≥， 故20t =时，BM最小为=【点睛】 思路点睛：直线与抛物线中的弦长问题，我们常让直线与抛物线方程联立，再利用韦达定理及弦长公式，建立关系式．其中弦长公式：（已知直线上的两点距离）设直线:l y kx m =+，l 上两点()()1122,,,A x y B xy ，所以12AB x =-或12AB y =-，解决相关问题.8．（2022·全国高三模拟预测）已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，点(),2P t -在C 上，且2PF OF =(O 为坐标原点).（1）求C 的方程；（2）若A ，B 是C 上的两个动点，且A ，B 两点的横坐标之和为8，求当AB 取最大值时，直线AB 的方程. 【答案】（1）24yx =；（2）220x ±-=. 【分析】（1）根据题意，列出方程组22242pp t pt⎧+=⨯⎪⎨⎪=⎩，求得p 的值，即可求得C 的标准方程； （2）设()11,A x y ，()22,B x y ，当12x x =时，得到AB 的方程4x =；当12x x ≠时，得到2AB k n =，得到()42nx y n =-+，联立方程组，结合根与系数的关系，得到1212,y y y y +，根据弦长公式和基本不等式，即可求解. 【详解】（1）由题意，点(),2P t -在()2:20C y px p =>上，且2PF OF =，可得22242pp t pt ⎧+=⨯⎪⎨⎪=⎩，解得21p t =⎧⎨=⎩，所以C 的标准方程为24y x =.（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，且128x x +=，设AB 中点为(),D m n ，则122x x m +=，122y y n +=， 当12x x =时，:4AB l x =，8AB =； 当12x x ≠时，()212122212121442AB y y y y k x x y y y y n--====--+， 则()2:4AB l y n x n-=-，即()42n x y n =-+，与C 联立方程消去x ，整理得2222160y ny n -+-=， 由22(2)4(216)0n n ∆=--->，解得216n <，且122y y n +=，212216y y n =-，所以2212416102n n AB y ++-=-==， 当26n =时取“=”，所以AB 的最大值为10，此时AB 的方程为220x -=. 【点睛】直线与圆锥曲线的综合问题的求解策略：对于直线与圆锥曲线的位置关系的综合应用问题，通常联立直线方程与圆锥曲线方程，应用一元二次方程根与系数的关系，以及弦长公式等进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力．9．（2022·浙江高三模拟预测）已知直线:4l y kx =+与抛物线2:C y ax =交于A 、B 两点，O 为坐标原点，OA OB ⊥. （1）求抛物线C 的标准方程；（2）若过点A 的另一条直线1l 与抛物线C 交于另一点M ，与y 轴交于点N ，且满足AN AM =，求BM 的最小值. 【答案】（1）24x y=；（2）最小值为【分析】（1）联立直线l 与抛物线C 的方程，列出韦达定理，由已知条件可得出0OA OB ⋅=，利用平面向量数量积的坐标运算结合韦达定理求出a 的值，即可得出抛物线C 的标准方程；（2）设直线BM 的方程为y tx m =+，点()33,M x y ，将直线BM 的方程与抛物线C 的方程联立，列出韦达定理，由已知条件可得1312x x =，代入韦达定理求出m 的值，再利用弦长公式可求得BM 的最小值.【详解】（1）依题意设()11,A x y 、()22,B x y ，由24y ax y kx ⎧=⎨=+⎩消去y ，得240ax kx --=，所以，212160,4.k a x x a ⎧+>⎪⎨=-⎪⎩OA OB ⊥，12120OA OB x x y y ∴⋅=+=，即22212120x x a x x +=，4160a∴-+=，解得14a =，所以，抛物线C 的标准方程为24x y =；（2）由题意知，若直线BM 的斜率不存在，则该直线与抛物线C 只有一个公共点，不合乎题意.所以，直线BM 的斜率存在，故可设直线BM 的方程为y tx m =+，点()33,M x y ， 由24x y y tx m ⎧=⎨=+⎩消去y ，得2440x tx m --=，223231616044t m x x t x x m⎧+>⎪∴+=⎨⎪=-⎩， 由（1）知1216x x =-，1123231644x x x x x x m m-∴===-①. 由题意知A 、M 、N 三点共线，且A 为线段MN 的中点，设()0,N n ，则3102x x +=，即1312x x =②，由①②得8m =，22323161680432t x x t x x ⎧+⨯>⎪∴+=⎨⎪=-⎩，23BM x ∴=-=)20t ==≥，当且仅当0t =时，等号成立，故BM 的最小值为【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值．10．（2022·全国高三专题练习）如图所示，A ，B 是焦点为F 的抛物线24y x =上的两动点，线段AB 的中点M 在定直线34x =上.（1）求FA FB +的值； （2）求AB 的最大值. 【答案】（1）72；（2）【分析】（1）由抛物线定义有12FA FB x x p +=++，结合已知条件即可求FA FB +；（2）由直线与抛物线位置关系，联立方程得到一元二次方程，结合根与系数关系、弦长公式即可求AB 的最大值. 【详解】（1）由题意知：2p =，抛物线对称轴方程1x =-.设()11,A x y ，()22,B x y ，12324x x +=，则1272FA FB x x p +=++=； （2）点A 和B 在抛物线24y x =上，有2114y x =，2224y x =，两式相减得：()()()1212124y y y y x x -+=-，令3(,)4M m ，∴12122y y x x m -=-，即2AB k m=， ∴设直线AB 的方程为234y m x m ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，即23224m m x y =-+，代入抛物线方程得222230y my m -+-=，∴22248121240m m m ∆=-+=->，得203m ≤<，122y y m +=，21223y y m =-∴12AB y =-=∴当20m=时，max AB = 【点睛】思路点睛：求抛物线焦半径相关线段长度时注意抛物线定义的应用，即抛物线焦点到抛物线上点的距离等于该点到抛物线准线的距离；直线与抛物线相交，求弦长时一般要联立方程应用根与系数关系以及弦长公式.11．（2022·全国高三专题练习）已知抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点F 与椭圆22143x y +=的右焦点重合，点M 是抛物线C 的准线上任意一点，直线MA ，MB 分别与抛物线C 相切于点A ，B .（1）求抛物线C 的标准方程；（2）设直线MA ，MB 的斜率分别为1k ，2k ，证明：12k k ⋅为定值； （3）求AB 的最小值.【答案】（1）24y x =；（2）证明见解析；（3）4.【分析】（1）由椭圆的方程可得右焦点的坐标，由题意可得抛物线的焦点坐标，进而可得抛物线的方程；（2）可设M 的坐标，设过点(1,)M t -的直线方程为(1)y k x t =++，与抛物线方程24y x =联立，消去x 得：24440ky y k t -++=，利用判别式等于零可得结论；（3）设A ，B 的坐标，由（2）可得参数t ，k 的关系，代入过M 的切线方程与抛物线的方程中，可得A ，B 用参数1k ，2k 表示的坐标，代入弦长公式中求||AB的表达式，由参数的范围求出||AB 的最小值．【详解】（1）由椭圆方程得，椭圆的右焦点为(1,0) ∴抛物线的焦点为(1,0)F ，2p ∴=，所以抛物线的标准方程：24y x =． （2）抛物线C 的准线方程为1x =-． 设(1,)M t -，设过点(1,)M t -的直线方程为(1)y k x t =++，与抛物线方程24y x =联立，消去x 得：24440ky y k t -++=． 其判别式△1616()k k t =-+，令△0=，得：210k kt +-=． 由韦达定理知12k k t +=-，121k k =-， 故121k k =-（定值）．（3）设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，由210k kt +-=，得21k t k-=，故2222214244444440k ky y k t ky y k ky y k y k k k -⎛⎫-++=-++⨯=-+=-= ⎪⎝⎭，所以2y k=，代入抛物线方程得21x k =，所以211(A k ，12)k ，221(B k ，22)k ，||AB=因为121k k =-，12k k t +=-，所以12|||AB k k -244t =+，当且仅当0t =时取等号． 当且仅时取等号． 故||AB 的最小值为4．【点睛】求曲线弦长的方法：（1）利用弦长公式12l x -；（2）利用12l y =-；（3）如果交点坐标可以求出，利用两点间距离公式求解即可.12．（2022·广西河池·高三期末（理））已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，斜率为2的直线l 与抛物线C 相交于A 、B 两点．（Ⅰ）若直线l 与抛物线C 的准线相交于点P ，且PF =l 的方程； （Ⅱ）若直线l 不过原点，且90AFB ∠=︒，求ABF 的周长．【答案】（Ⅰ）2y x =；（Ⅱ）15+【分析】（Ⅰ）设直线l 的方程为2y x m =+，则点P 的坐标为()1,2m --，联立直线与抛物线，由判别式大于0可得12m <，由PF =0m =或4m =（舍去），从而可得结果；（Ⅱ）设直线l 的方程为()20=+≠y x b b ，并代入抛物线2:4C y x =，根据韦达定理和0FA FB ⋅=可解得12b =-，根据弦长公式可得||AB =||||AF BF +，进一步可得ABF 的周长. 【详解】（Ⅰ）由抛物线2:4C y x =可知(1,0)F ，准线为1x =-， 设直线l 的方程为2y x m =+，则点P 的坐标为()1,2m --，联立方程242y x y x m⎧=⎨=+⎩，消去y 后整理为()224440x m x m +-+=，又由()22441616320m m m ∆=--=->，可得12m <，由点F 的坐标为()1,0，有PF ==， 解得0m =或4m =（舍去）， 故直线l 的方程为2y x =．（Ⅱ）设直线l 的方程为()20=+≠y x b b ， 点A 、B 的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，联立方程242y x y x b⎧=⎨=+⎩，消去y 后整理为()224440x b x b +-+=，可得121x x b +=-，21214x x b =，()()()()222121212122242212y y x b x b x x b x x b b b b b b =++=+++=+-+=又由()22441616320b b b ∆=--=->，可得12b <． 又由()111,FA x y =-，()221,FB x y =-，可得()()()1212121212111FA FB x x y y x x x x y y ⋅=--+=-+++ ()22111123044b b b b b =--++=+=，得0b =（舍去）或12b =-．由12b =-，可得1213x x +=，1236x x =，所以AB ===()()121211215AF BF x x x x +=+++=++=，故ABF 的周长为15+ 【点睛】本题考查了直线与抛物线的位置关系，考查了抛物线的定义，韦达定理和弦长公式，考查了运算求解能力，属于中档题.。
高中数学圆锥曲线系统讲解第20讲《弦长问题》练习及答案
第20讲 弦长问题知识与方法设直线的方程为y kx t =+，由()()200,0y kx tax bx c a f x y =+⎧⎪⇒++=≠⎨=⎪⎩，则：12AB x x a=−== 设直线的方程为x my n =+，由()()200,0x my nay by c a f x y =+⎧⎪⇒++=≠⎨=⎪⎩，则：12AB y y −= 提醒：①当已知或可求点的横（或纵）坐标时，则直接计算12x x −或12y y −得出弦长，否则联立直线与圆锥曲线，按上述公式中最右端的部分，用判别式来计算弦长；②若涉及到计算PA PB ⋅这种结构，还有小技巧可以使用典型例题1.（★★★★）设椭圆()222210x y a b a b +=>>的左焦点为F ，上顶点为B .已知椭圆的离心率为3，点A 的坐标为(),0b ，且FB AB ⋅= （1）求椭圆的方程；（2）设直线():0l y kx k =>与椭圆在第一象限的交点为P ，且l 与直线AB 交于点Q .若sin 4AQ AOQ PQ=∠（O 为原点），求k 的值.【解析】（1）由题意，3a =，故32a b =，c =，32FB a b =−，AB ，故32FB AB b ⋅==2b =，3a =，即椭圆的方程为22194x y +=. （2）如图，由（1）知()2,0A ，故直线AB 的方程为2y x =−+联立2y kx y x =⎧⎨=−+⎩解得：21x k =+，所以221AQ k =−=+.联立22194y kxx y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得：x =p x所以21PQ k =−+， 设AOQ θ∠=，则tan k θ=，故sin cos k θθ=，即sin cos k θθ=， 所以()22222sin cos 1sin k k θθθ==−， 结合sin 0θ>可得sin θ=，即sin AOQ ∠=，由AQ AOQ PQ=∠=415−=，易证()31k +>3110k +>，31415k +=，进一步可解得：12k =或1128.2.（★★★★）设椭圆()222210x y a b a b +=>>的右顶点为A ，上顶点为B .，AB =.（1）求椭圆的方程；（2）设直线():0l y kx k =<与椭圆交于P 、Q 两点，l 与直线AB 交于点M ，且点P 、M 均在第四象限.若BPM △的面积是BPQ △面积的2倍，求k 的值.【解析】（1）由题意，3a ==3a =，2b =， 故椭圆的方程为22194x y +=.（2）显然直线AB 的方程为132x y +=，联立132y kxx y =⎧⎪⎨+=⎪⎩解得：623x k =+，即623M x k =+因为点M 在第四象限，所以6023k >+，解得：23k >−， 联立22194y kxx y =⎧⎪⎨+=⎪⎩解得：x =结合点P在第四象限知P x =，Q x =，所以P Q PQ x x =−，P M PM x x =−， 由题意，2BPMBPQ PM S S PQ==△△，所以2PM PQ =，P M P Q x x x x −=−，故2P M P Q x x x x −=−， 所以()2M P P Q x x x x −=−，即32M P Q x x x =−，所以632k =+，解得：12k =−或89−，又23k >−，所以12k =−.3.（★★★★）已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>> 的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的3个顶点，直线:3l y x =−+与椭圆E 有且只有一个公共点T.（1）求椭圆E 的方程及点T 的坐标；（2）设O 是坐标原点，直线l '平行于OT ，与椭圆E 交于不同的两点A 、B ，且与直线l 交于点P .证明：存在常数λ，使得2PT PA PB λ=⋅，并求λ的值.【解析】（1）设椭圆的焦距为2c ，由题意，b c = ，故22222a b c b =+=，椭圆的方程为222212x y b b +=，联立2222312y x x y bb =−+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去x 整理得：223121820x x b −+−= ①，判别式()()2212431820b∆=−−⨯−=，解得：b =E 的方程为22163x y +=将b =2x =，代入3y x =−+可得1y =，故点T 的坐标为()2,1. （2）解法1：由（1）可得直线OT 的斜率为12，因为l OT '∥，所以直线l '的斜率为12k = 故可设l '的方程为12y x m =+，设()11,A x y ，()22,B x y ， 联立312y x y x m =−+⎧⎪⎨=+⎪⎩，解得：223213m x m y ⎧=−⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，即222,133m m P ⎛⎫−+ ⎪⎝⎭ .所以2289m PT = 联立2212163y x m x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 消去y 整理得：22344120x mx m ++−=, 由判别式()22116124120m m ∆=−−>得：22m −<<， 故1243m x x +=−，2124123m x x −=，故()221212125225221022224334339m m m m m PA PB x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅=⋅−−−−=⋅−−−++=⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭故245PT PA PB =⋅，所以存在45λ=，使得2PT PA PB λ=⋅恒成立. 解法2：由（1）可得直线OT 的斜率为12，因为l OT '∥，所以直线l '的斜率为12k =， 因为点P 在直线3y x =−+上，所以可设(),3t P t −，则()()()222223122PT t t t =−+−−=−， 且l '的方程为()132y x t t =−+−，设()11,A x y ，()22,B x y ， 联立()22132163y x t t x y ⎧=−+−⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 消去y 整理得：()()()224220x t x t t −+−+−=， 由判别式()2116820t ∆=−−>得：22t <， 由韦达定理，()()()21222x t x t t −−=−11PA x t x t −=−，同理，2PB x t =−，所以()()()()2212555222442PA PB x t x t t t ⋅=⋅−−=⋅−=− 故245PT PA PB =⋅，所以存在45λ=，使得2PT PA PB λ=⋅恒成立.【反思】设()00,P x y ，过点P 的直线与某圆锥曲线交于A 、B 两点，若要计算PA PB ⋅这种结构，在将直线和圆锥曲线方程联立时，根据弦长公式的需要凑成关于0x x −的这种“整体型”的一元二次方程，可以一定程度上简化计算.4.（★★★★）已知椭圆22:13x y E t +=的焦点在x 轴上，A 是E 的左顶点，斜率为()0k k >的直线交E 于A 、M 两点，点N 在E 上，MA NA ⊥.（1）当4t =，AM AN =时，求AMN △的面积； （2）当2AM AN =时，求k 的取值范围.【解析】（1）当4t =时，椭圆E 的方程为22143x y +=，所以()2,0A −， 如图1，由AM AN =知AMN △为等腰直角三角形，直线AM 的方程为2y x =+联立222143y x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 解得：27127x y ⎧=−⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或20x y =−⎧⎨=⎩，所以212,77M ⎛⎫− ⎪⎝⎭，由对称性可得212,77N ⎛⎫−− ⎪⎝⎭，故1224144227749AMN S ⎛⎫=⨯−⨯= ⎪⎝⎭△. （2）如图2，由题意可得()A ，直线AM的方程为(y k x =，即1x y k= 记1m k =，则AM的方程为x my =2213x y t +=消去x 整理得：()22360mt y +−=，解得：0y =，所以My =故M A AM y y =−=①在式①中用1m −替换m 可得AN =，因为2AM AN =，所以= ，结合00m t >⎧⎨>⎩整理得：()322136m t m m −=−， 将m 换回成1k 可得322361t k k k ⎛⎫−=− ⎪⎝⎭，从而()32236k t k k −=−②，当k =时，方程②不成立；当k ≠23362k k t k −=−，因为椭圆E 焦点在x 轴上，所以3t >，故233632k k k −>−，从而23212k k k −>−③，当0k <<时，320k −>，不等式③可化为2322k k k −>−，即32220k k k −+−>，所以()()221210k k k +−+>，故()()2120k k +−>，该不等式在0k <时无解，当k >时，320k −<，不等式③可化为2322k k k −<−，即32220k k k −+−<，所以()()2120k k +−<，解得：2k <，结合k >2k <综上所述，k 的取值范围为)【反思】欲求t 的范围，需建立关于k 的不等关系，本题建立k 的不等式用到的是椭圆E焦点在x 轴上，这一条件较为隐蔽.强化训练5.（★★★）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，点A 在内圆上运动，12AF F △112AF F F ⊥时，132AF =. （1）求椭圆C 的方程；（2）延长直线1AF 与椭圆C 交于点B ，若11F A F B AB λ⋅=，求λ的值. 【解析】（1）设()1,0F c −，()2,0F c ，则222a c b −=①，由题意，()12max122AF F S c b bc =⋅⋅==△②， 当112AF F F ⊥时，直线1AF 的方程为x c =−，代入22221x y a b +=可得，2242222a c b y b a a−=⋅=， 故2b y a=±，从而2132b AF a ==③，联立①②③解得：2a =，b =1c =，所以椭圆C 的方程为22143x y +=（2）由（1）可得()11,0F −，当直线AB 垂直于y 轴时，易求得113F A F B ⋅=，4AB =，所以34λ=，当直线AB 不与y 轴垂直时，设直线AB 的方程为1x my =−，()11,A x y ，()22,B x y ， 联立2213412x my x y =−⎧⎨+=⎩消去x 整理得：()2234690m y my +−−=， ()()()22236434914410m m m ∆=−+⋅−=+>由韦达定理，122934y y m =−+，从而()()22111212291134m F A F B y y m y y m +⋅==+=+()212212134m AB y y m +=−==+因为11F A F B AB λ⋅=，所以1134F A F B ABλ⋅==综上所述，34λ=.【反思】本题背后有一个简单的结论，设椭圆22221x y a b+=()0a b >>的左焦点为1F ，AB 是椭圆的过1F 的弦，则211112a AF BF b +=，其实也就是2112AB aAF BFb=⋅，右焦点弦也有同样的结论。
圆锥曲线大题—弦长问题-含解析
第02章弦长问题经过第一章的学习, 本章部分题目会跳步(实际考试一定要把完整过程写上去), 对于不知道硬解公式的人来说是跟不上的, 但是对于掌握硬解公式的人来说解题效率会有很大提升！通过前面的学习, 相信你已经对硬解定理有了一定的了解和掌握, 在圆雉曲线中弦长问题的计算也是比较烦琐的, 本章目的是通过练习能够熟练使用弦长公式, 并不要求死记硬背, 跟随着我们的脚步, 慢慢熟练掌握这个公式即可, 相信掌握之后能够大大减少你的计算时间!首先推导一下弦长公式. 由{x2a2+y2b2=1Ax+By+C=0ε=a2A2+b2B2消y得(a2A2+b2B2)x2+(2a2AC)x+a2(C2−b2B2)=0εx2+βx+μ=0Δx=β2−4εμ=4a2b2B2(ε−C2)由弦长公式AB=√1+k2√(x1+x2)2−4x1x2有AB =√1+A2B2√β2ε2−4εμε⋅ε=√1+A2B2√β2−4εμε2=√1+A2B2√Δxε2=√1+A2B2√4a2b2B2|ε−C2|ε2=√A2+B22ab√∣ε−C2Φ|ε|=2ab⋅√A2+B2⋅√∣ε−C2T|ε|所以【注】这个公式的绝对值对于椭圆来说是不必要的,对于双曲线来说是必要的. 在练习题中如果急需弦长, 只需看着上面的方程组来默写弦长即可. 我们先借助一些简单的题目来熟悉一下弦长公式.【例 1】过椭圆 x 26+y 22=1 的布焦点且斜率为 1 的直线 l 与椭圆交于 A 、B 两点, 求 线段 AB 的长度.解 :法一:一般解法.吻知右焦点坐标为 (2,0), 设直线 l 的方程为 y =x −2, 联立方程组有{x 26+y 22=1x −y −2=0消去 y 并整理得 2x 2−6x +3=0.设 A (x 1,y 1),B (x 2,y 2), 故x 1+x 2=3, x 1x 2=32则|AB|=√1+k 2|x 1−x 2|=√6法二: 套公式解法.公式: AB =2ab⋅√A 2+B 2⋅√|ε−C 2||ε| (对照使用,熟悉该式, 建议保留原始数据去 计算).这里说明一下:并不是让大家做题直接套公式,首先联立方程的标准书写流程大家都是会的,当熟悉了硬解定理之后,联立方程的步骤就相当于默写,弦长公式也是可以跳过前面的流程邺写的,这对提高解题效率是很有帮助的.其实圆雉曲线联立的计算流程都是千篇一律的,当熟悉了硬解公式后,解题的重心就偏向于分析解题思路而不是限于计算,也就是节省计算时间来分析题日思路.下面的解题过程会适当跳步.【例2】已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的焦距为2,离心率为√22.(1)求椭圆C 的标准方程.(2)经过椭圆的左焦点F 1作倾斜角为60∘的直线l ,直线l 与椭圆交于A 、B 两点,求线段AB 的长.解:(1){2c =2c a =√22⇒x 22+y 2=1.a 2=b 2+c 2(2)过椭圆的左焦点F 1(−1,0),倾斜角为60∘的直线l 的方程为y =√3(x +1).公式:AB =2ab⋅√Λ2+B 2⋅√|ε−C 2||ε|.{x 22+y 21=1√3x −y +√3=0AB =2√2×√1×√√32+12√7−√322×√32+1=8√27例1、例2正常计算也是十分简单的,因为不含用字母表示的末知量,接下来我们看看带用字母表示的末知量的情况.【例3】已知椭圆G:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为√32,长轴长为4,过点(m,0)作圆x 2+y 2=1的切线l 交椭圆G 于A 、B 两点.(1)求椭圆G 的方程.(2)将|AB|表示为m 的函数,并求|AB|的最大值.解:(1)由题意可得{c a =√322a =4a 2=c 2+b 2⇒x 24+y 2=1. (2)法一:设切线l 的方程为ty =x −m,|m|⩾1. 由√t 2+1=1,得m 2=t 2+1.联立{ιy =x −m x 2+4y 2=4,得 (t 2+1)y 2+2tmy +m 2−4=0由Δ>0,可得4+t 2>m 2,所以y 1+y 2=−2tm t 2+4,y 1y 2=m 2−4t 2+4|AB|=√(1+t 2)[(y 1+y 2)2−4y 1y 2]=1√3|m|m 2+3=1√3|m|+3|m|⩽2 当务仅当|m|=√3时取等号.此时|AB|取得最大值2.法二:使用公式计算.公式:AB =2ab⋅√A 2+B 2⋅√|ε−C 2||ε|. 由{x 24+y 21=1x −ty −m =0,得 AB =2√4×√1×√1+t 2√4+ι2−m 24+t 2由相切可得|m|√1+t 2=1⇒t 2=m 2−1所以 AB =2√4×√1×√1+t 2√4+t 2−m 24+t 2=4√3|m|m 2+3=4√3|m|+3|m|后面同法一一样,不再慗述.【例4】设椭圆E:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)过M(2,√2)、N(√6,1)两点,O 为坐标原点.(1)求椭圆E 的方程.(2)是否存在圆心在原点的圆,使该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A 、B ,且OΛ⊥OB , 若存在,写出该圆的方程,并求出|AB|的范围;若不存在,说明理由.解:(1)因为椭圆E:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)过M(2,√2)、N(√6,1)两点,所以{4a 2+2b 2=16a 2+1b 2=1 解得a 2=8,b 2=4所以椭圆E 的方程:x 28+y 24=1.(2)假设存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A 、B ,且OA ⊥OB ,设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),该圆的切线方程为x =ky +m .由{x 28+y 24=1x −ky −m =0消x 得,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,；消y 得,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,.所以x 1x 2=,,,,,,,,,,,,,,；,y 1y 2= ,,,,,,,,,,,,,,；Δ>0⇒,,,,,,,,,,,,,.因为OA ⊥OB ,所以x 1x 2+y 1y 2=8(m 2−4k 2)+4(m 2−8)8+4k 2=0 所以(8+4)m 2=8×4(1+k 2)⇒m 2=83(1+k 2) 因为直线y =kx +m 为圆心在原点的圆的一条切线,所以圆的半径为r =√1+k 2=√8×48+4=2√63（应用公式r =√a 2b 2a 2+b 2) 所以所求的圆为x 2+y 2=83. 由弦长公式有。
圆锥曲线综合问题——弦长问题
x2 y 2 【例 1】在平面直角坐标系 xOy 中，过椭圆 M : 2 2 1(a b 0) 的右焦点 a b 1 P AB OP 的直线 x y 3 0 交椭圆于 A, B 两点， 为 中点，且 的斜率为 . 2 （1）求椭圆 M 的方程； （2）C , D 为椭圆 M 上的两点，若四边形 CDAB 的对角线 CD AB ，求四边形 CDAB 面积的最大值. x2 y 2 8 6 1 (1) (2) Smax 6 3 3 2 2 x y 3 【例 2】椭圆 M : 2 2 1(a b 0) 的离心率 ，直线 x a 和 y b 所 a b 2 围成的矩形 ABCD 面积为 8 . （1）求椭圆 M 的方程； （ 2 ）设直线 l : y x m(m R) 与椭圆 M 有两个不同的交点 P, Q , l 与矩形 PQ ABCD 有两个不同的交点 S , T ,求 的最大值及取得最大值时 m 的值. 已知双曲线 C : 2 2 1(a 0, b 0) 的左、右焦点分别为 F1 , F2 ， a b 离心率 3 ，直线 y 2 与 C 的两个焦点间的距离为 6 . （1）求 a , b ； （2）设过 F2 的直线 l 与 C 的左、右两支分别交于 A, B 两点,且 AF 1 BF 1 ，
证明： AF2 , AB , BF2 成等比数列. （1） a 1, b 2 2 （2）略
且曲线 C 过点 P . （1）建立适当的平面直角坐标系，求曲线 C 的方程； （2）设过点 D 的直线 l 与曲线 C 相交于不同的两点 E , F ，若 OEF 的面积不小 于 2 2 ，求直线 l 斜率的取值范围.
专题16 圆锥曲线焦点弦 微点3 圆锥曲线焦点弦长公式及其应用
16．过双曲线 的右焦点 作倾斜角为 的直线，交双曲线于 两点，则 的值为________.
17．过抛物线 的焦点 作倾角为 的直线，与抛物线分别交于 、 两点（ 在 轴左侧），则 _______________________．
注意：夹角不是直线的倾斜角，而是直线与焦点所在轴的夹角，这样就不需要区的右焦点F作倾斜角为 的直线，交双曲线于 两点，求弦长 ．
三、圆锥曲线坐标式焦点弦长公式
1．椭圆的坐标式焦点弦长公式
例9
9．已知椭圆 ，若过左焦点的直线交椭圆于 两点，求 ．
【结论6】椭圆的坐标式焦点弦长公式：
我们有如下结论：
【结论6】双曲线的坐标式焦点弦长公式：
（1）双曲线 的焦点弦长公式：
同支弦 ；异支弦 ，统一为： ；
（2）双曲线 的焦点弦长公式：
同支弦 ；异支弦 ，统一为： ．
3．抛物线的坐标式焦点弦长公式
由抛物线的定义易得
【结论7】抛物线的坐标式焦点弦长公式：
（1）抛物线 的焦点弦长公式： ；
（2）抛物线 的焦点弦长公式： ；
说明：特殊情形，当倾斜角为 时，即为椭圆的通径，通径长 ．
2．双曲线的倾斜角式焦点弦长公式
例2
2．设双曲线 ，其中两焦点坐标为 ，过 的直线 的倾斜角为 ，交双曲线于 ， 两点，求弦长 ．
可得如下结论2：
【结论2】双曲线的倾斜角式焦点弦长公式：
（1） 为双曲线 的左、右焦点，过 倾斜角为 的直线 与双曲线 交于 两点，则 ．
专题16 圆锥曲线焦点弦 微点3 圆锥曲线焦点弦长公式及其应用
专题16圆锥曲线焦点弦
圆锥曲线技巧提升篇：韦达定理联立及弦长问题
设点 A(x1 , y1 ), B(x2 , y2 ), C(x3 , y3 ), D(x4 , y4 ),
因为 AC 与 BD 同向，且|AC|＝|BD|，故 | AC | | CB || BD | | CB |, | AB || CD |,
联立
y kx x2 4
y
1 ,
整理得
x2
B 两点都在曲线上时，通常称为弦长公式，根据前面的根差形式，弦长即可表达为：
| AB |
1 k 2 | x1 x2 |
1
k2
b2
△ a2k2
若是反设直线 x ty 1 ，则：
| AB |
1
1 t2
x1 x2
1 t2
y1 y2
特别地，在抛物线 y2 2 px( p 0) 中，若直线 AB 过焦点 F，根据抛物线定义，有
x4
16k 9 8k 2
64 9 8k
，所以
| CD |
1 k 2 | x1 x2 |
1 k2
( x1
x2 )2
4x1 x2
48(1 k 2 ) 9 8k 2
，
由|AB|＝|CD|，即
4k 2
4
48(1 k 2 9 8k 2
)
，
整理即得 (8k 2 3)(k 2 1) 0 ，解得 k 2 1 (舍)，或 k 2 3 , k 6 ，
| AB |
(x1 x2 )2 ( y1 y2 )2
1 k 2 | x1 x2 |
1
1 2 k
|
y1
y2
|
两点距离公式任何时候都可以使用，而若知道 A、B 两点所在直线的斜率，只需再知道它们横坐标
或纵坐标差值即可求两点距离．对于这两种情形，在后续的题型中都将出现，应懂得灵活应用．当 A、
圆锥曲线中的弦长问题(含解析)
圆锥曲线中的弦长问题一、单选题1．椭圆2214x y +=的两个焦点为1F 、2F ，过1F 作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个交点为P ，则2PF =（ ）A ．2B C ．72D ．42．直线l 过抛物线22y x =的焦点F ，且l 与该抛物线交于不同的两点()11,A x y ，()22,B x y ．若12 3x x +=，则弦AB 的长是（ ）A ．4B ．5C ．6D ．83．焦点为F 的抛物线2:4C y x =的对称轴与准线交于点E ，点P 在抛物线C 上，在EFP △中，sin EFP FEP ∠=∠，则||EP 的值是（ ）A ．B ．4C ．2D ．14．椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别是1F 、2F ，斜率为12的直线l过左焦点1F 且交C 于A ，B 两点，且2ABF 的内切圆的周长是2π，若椭圆C 的离心率为13,24e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则线段AB 的长度的取值范围是（ ）A ．,3⎡⎢⎣B ．3⎡⎢⎣C ．,48⎣⎦D ．816⎣⎦5．已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与抛物线C 的一个交点，若4PF FQ =，则QF =（ ） A ．3 B ．52C ．32D ．32或52二、填空题6．已知P 为椭圆221164x y +=上的一个动点，过点P 作圆()2211x y -+=的两条切线，切点分别是A ，B ，则AB 的最小值为_______.7．已知抛物线C ：22x py =-()0p >的焦点F 与22184y x +=的一个焦点重合，过焦点F 的直线与C 交于A ，B 两不同点，抛物线C 在A ，B 两点处的切线相交于点M ，且M 的横坐标为2，则弦长AB =______.8．已知1F ，2F 为椭圆221123x y+=的两个焦点，点P 在椭圆上，如果线段1PF 的中点在y 轴上，则1PF 的值为______.三、解答题9．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆1C ：22221x y a b +=和椭圆2C ：22221x y c b+=，其中0a c b >>>，222a b c =+，1C ，2C 的离心率分别为1e ，2e ，且满足12:2:3e e =，A ，B 分别是椭圆2C 的右、下顶点，直线AB 与椭圆1C 的另一个交点为P ，且185PB =.（1）求椭圆1C 的方程；（2）与椭圆2C 相切的直线MN 交椭圆1C 与点M ，N ，求MN 的最大值.10．在平面直角坐标系上，已知动点P 到定点()11,0F -、()21,0F 的距离之和为2. （1）求动点P 的轨迹方程C ．（2）若直线:l y x t =+与曲线C 交于A 、B 两点，423AB =.求t 的值11．已知椭圆222:1(1)x E y a a +=>的离心率为32，右顶点为(,0)P a ，P 是抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点．（1）求抛物线C 的标准方程；（2）若C 上存在两动点,A B （,A B 在x 轴两侧）满足20OA OB ⋅=（O 为坐标原点），且PAB △的周长为2||4AB +，求||AB ．12．已知椭圆2222:1(0)x y G a b a b +=>>的离心率为1,2过椭圆G 右焦点2(1,0)F 的直线m ：x =1与椭圆G 交于点M (点M 在第一象限) （1）求椭圆G 的方程；（2）连接点M 与左焦点并延长交椭圆于点N ，求线段MN 的长.13．已知抛物线21:2C y px =的焦点与椭圆222:198x y C +=的右焦点F 重合，过抛物线1C 的准线l 上一点P 作抛物线1C 的两条切线，切点为A ，B .（1）求证：直线AB 过焦点F ； （2）若8PA =，6PB =，求PF 的值.14．已知椭圆2222:1x y E a b+=()0a b >>的半焦距为c ，原点O 到经过两点()(),0,0,c b 的直线的距离为12c ，椭圆的长轴长为43.（1）求椭圆E 的方程；（2）直线l 与椭圆交于,A B 两点，线段AB 的中点为()2,1M -，求弦长.AB 15．已知直线l 经过抛物线26y x =的焦点F ，且与抛物线交于A 、B 两点. （1）若直线l 的倾斜角为60，求线段AB 的长； （2）若2AF =，求BF 的长.16．已知圆上224x y +=上任取一点P ，过点P 作y 轴的垂线段PQ ，垂足为Q ，当P在圆上运动时，线段PQ 中点为M . （1）求点M 的轨迹方程；（2）若直线l 的方程为y ＝x －1，与点M 的轨迹交于A ，B 两点，求弦AB 的长.一、单选题1．椭圆2214x y +=的两个焦点为1F 、2F ，过1F 作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个交点为P ，则2PF =（ ） A ．3 B ．3C ．72D ．4【答案】C 【解析】 试题分析：，所以当时，，而,所以,故选C.考点：椭圆的性质2．直线l 过抛物线22y x =的焦点F ，且l 与该抛物线交于不同的两点()11,A x y ，()22,B x y ．若12 3x x +=，则弦AB 的长是（ ）A ．4B ．5C ．6D ．8【答案】A 【分析】由题意得1p =，再结合抛物线的定义即可求解. 【详解】 由题意得1p =，由抛物线的定义知：121231422p pAB AF BF x x x x p =+=+++=++=+=， 故选：A 【点睛】本题主要考查了抛物线的几何性质，考查抛物线的定义，属于基础题.3．焦点为F 的抛物线2:4C y x =的对称轴与准线交于点E ，点P 在抛物线C 上，在EFP △中，sin 2EFP FEP ∠=∠，则||EP 的值是（ ）A ．2B ．4C ．2D ．1【答案】A 【分析】过点P 作PH 垂直于准线于点H ，由双曲线的定义得cos PF PH m FEP ==∠，在EFP △中利用正弦定理可求出FEP ∠，带入所给等式即可推出2EFP π∠=，即可求得PE 的值. 【详解】如图所示，过点P 作PH 垂直于准线于点H ，设PE m =，则cos PF PH m FEP ==∠， 在EFP △中，由正弦定理知sin sin PF PEPEF EFP=∠∠，即cos sin 2sin m FEP FEP FEP∠=∠∠，所以2cos 2FEP ∠=，又()0,FEP π∠∈，所以4FEP π∠=，则sin 21EFP FEP ∠=∠=，又()0,EFP π∠∈，所以2EFP π∠=，在直角EFP △中，2EF =，4FEP π∠=，所以22PE =故选：A 【点睛】本题考查抛物线的定义与几何性质、正弦定理解三角形，属于中档题.4．椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别是1F 、2F ，斜率为12的直线l过左焦点1F 且交C 于A ，B 两点，且2ABF 的内切圆的周长是2π，若椭圆C 的离心率为13,24e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则线段AB 的长度的取值范围是（ ）A ．45,253⎡⎢⎣B ．85453⎡⎢⎣C ．535,48⎣⎦D ．535816⎣⎦【答案】B【分析】先利用等面积法可得：12114222a r c y y ⨯⋅=⨯⋅-，求解出12y y -的值，然后根据弦长公式12AB y =-的取值范围. 【详解】设内切圆半径为r ，由题意得12114222a r c y y ⨯⋅=⨯⋅-得1228,43y y e ⎡⎤-=∈⎢⎥⎣⎦，1212AB y y y =-=-∈⎣. 故选：B. 【点睛】本题考查椭圆焦点三角形问题，考查弦长的取值范围问题，难度一般.解答时，等面积法、弦长公式的运用是关键.5．已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与抛物线C 的一个交点，若4PF FQ =，则QF =（ ） A ．3 B ．52C ．32D ．32或52【答案】B 【分析】设点()1,P t -，利用4PF FQ =求得点Q 的横坐标，利用抛物线的定义可求得QF . 【详解】抛物线C 的焦点为()1,0F ，准线l 的方程为1x =-.设点()1,P t -、(),Q x y ，则()2,PF t =-，()1,FQ x y =-，4PF FQ =，可得()412x -=，解得32x =， 由抛物线的定义可得35122QF =+=. 故选：B. 【点睛】本题考查利用抛物线的定义求焦半径，求出点Q 的坐标是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.二、填空题6．已知P为椭圆221 164xy+=上的一个动点，过点P作圆()2211x y-+=的两条切线，切点分别是A，B，则AB的最小值为_______..【答案】422.【分析】连接PC，交AB于H，可得H为AB中点，求得圆心和半径，连接AC，BC，可得,AC PA BC PB⊥⊥，运用勾股定理和三角形面积公式可得AB，设()4cos,2sinPθθ，[]0,2θπ∈，运用两点的距离公式和同角的平方关系，结合配方和二次函数的最值求法，可得所求最小值.【详解】如图，连接PC，交AB于H，可得H为AB中点，圆()2211x y-+=的圆心为()1,0C，半径1r=，连接AC，BC，可得,AC PA BC PB⊥⊥，则21PA PB PC==-又222121221PCPA ACAB AHPC PC PC-⋅====-设()4cos,2sinPθθ，[]0,2θπ∈，可得()()2 2222111 4cos12sin12cos8cos512cos33PCθθθθθ⎛⎫=-+=-+=-+⎪⎝⎭，当1cos 3θ=时，2PC 取得最小值为113，此时AB 取得最小值为11=.故答案为：11. 【点睛】本题考查椭圆中的最值问题，涉及圆的相切问题，属于中档题7．已知抛物线C ：22x py =-()0p >的焦点F 与22184y x +=的一个焦点重合，过焦点F 的直线与C 交于A ，B 两不同点，抛物线C 在A ，B 两点处的切线相交于点M ，且M 的横坐标为2，则弦长AB =______. 【答案】10 【分析】首先根据已知条件得到抛物线方程为28xy ，设直线AB 方程为2y kx =-，()11,A x y ，()22,B x y ，利用导数的几何意义得到两条切线分别为21148x x y x =-+和22248x x y x =-+，联立切线得到122M x x x +=，从而得到124x x +=，联立直线AB 与抛物线，利用韦达定理即可得到12k =-，再求焦点弦长即可. 【详解】由题意可得()0,2F -，则4p =，抛物线方程为28xy .设直线AB 方程为2y kx =-，()11,A x y ，()22,B x y ，其中2118x y =-，2228x y =-. 由28x y =-得4x y '=-，所以在点A 处的切线方程为()1114x y y x x -=--，化简得21148x x y x =-+①，同理可得在点B 处的切线方程为22248x x y x =-+②.联立①②得122M x x x +=，又M 的横坐标为2， 124x x ∴+=.将AB 方程代入抛物线得28160x kx +-=，1284x x k ∴+=-=，12k ∴=-，()1212144462y y k x x ∴+=+-=-⨯-=-，1210AB p y y ∴=--=.故答案为：10 【点睛】本题主要考查抛物线的焦点弦，同时考查导数的几何意义，属于中档题.8．已知1F ，2F 为椭圆221123x y+=的两个焦点，点P 在椭圆上，如果线段1PF 的中点在y 轴上，则1PF 的值为______.【分析】由题意可得PF 2平行y 轴，然后结合椭圆方程和椭圆的定义整理计算即可求得最终结果. 【详解】∵原点O 是F 1F 2的中点，∴PF 2平行y 轴，即PF 2垂直于x 轴， ∵c =3，∴|F 1F 2|=6，设|PF 1|=x，根据椭圆定义可知2PF x =，∴22)36x x +=，解得2x =.. 【点睛】本题主要考查椭圆的几何性质，方程的思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.三、解答题9．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆1C ：22221x y a b +=和椭圆2C ：22221x y c b+=，其中0a c b >>>，222a b c =+，1C ，2C 的离心率分别为1e ，2e ，且满足12:2:3e e =，A ，B 分别是椭圆2C 的右、下顶点，直线AB 与椭圆1C 的另一个交点为P ，且185PB =.（1）求椭圆1C 的方程；（2）与椭圆2C 相切的直线MN 交椭圆1C 与点M ，N ，求MN 的最大值.【答案】（1）22193x y +=；（232. 【分析】（1）由12:3e e =可得得42243840c a c a -+=，化为2232a c =，从而3a b ，2c b =， )2,0Ab ，()0,B b -，则直线AB 的方程为2y x b =-，与椭圆方程联立，利用弦长公式求得3b =（2）当直线MN 的斜率不存在时，易得2MN =，当直线MN 的斜率存在时，设直线MN ：()0y kx m k =+≠，与椭圆2C ：22163x y +=联立并消去y ，利用韦达定理、弦长公式表示出弦长，结合配方法可得答案. 【详解】（1）由题意知1c e a =，222222c b c ae --==， 因为12:3e e =22232c c a a c-=⋅，222223a c a c -=，将等号两边同时平方，得42243840c a c a -+=，即()()22222230a cac --=，所以2232a c =，又222a b c =+，所以3a b，c =，所以),0A，()0,B b -，所以直线AB的方程为y x b =-， 与椭圆1C ：222213x y b b +=联立并消去y，得222332x x b b ⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭， 整理得10x =，25x =，所以,55b P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭， 因为185PB =185=，得b =3a =，椭圆1C 的方程为22193x y +=.（2）当直线MN 的斜率不存在时，易得2MN =.当直线MN 的斜率存在时，设直线MN ：()0y kx m k =+≠，与椭圆2C ：22163x y +=联立并消去y ， 得()222124260kxknx m +++-=，因为直线MN 与椭圆2C 相切，所以()()222216412260k m k m∆=-+-=，整理得()22630*k m +-=，将直线MN 与椭圆1C 方程联立并消去y ，得()222136390k x kmx m +++-=，由()*式可得()()()22222223641339129336k m kmk m k ∆=-+-=+-=.设(),M M M x y ，(),N N N x y ，则2613M N km x x k -+=+，223913M N m x x k-=+，所以M N MN x =-==设213k t +=，则1t >，2MN ==22<，所以当4t =，即1k =±时，MN 最大，且最大值为322. 【点睛】求椭圆标准方程的方法一般为待定系数法,根据条件确定关于,,a b c 的方程组，解出,,a b ，从而写出椭圆的标准方程．解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单.10．在平面直角坐标系上，已知动点P 到定点()11,0F -、()21,0F 的距离之和为22. （1）求动点P 的轨迹方程C ．（2）若直线:l y x t =+与曲线C 交于A 、B 两点，423AB =.求t 的值 【答案】（1）2212x y +=；（2）1t =±.【分析】（1）求出,a b 可求椭圆的方程.（2）设点()11,A x y ，()22,B x y ，联立直线方程和椭圆方程，消去y 后利用韦达定理和弦长公式公式可得关于t 的方程，解方程后可得t 的值.【详解】解：（1）因为1222PF PF +=P 轨迹为椭圆，并且长轴长222a =， 因为焦点坐标分别为()1,0-，()1,0，所以22c =，又因为222a b c =+，所以1b =，所以P 点运动轨迹椭圆C 的方程为2212x y +=.（2）设点()11,A x y ，()22,B x y ，因为22220x y y x t⎧+-=⎨=+⎩，消元化简得2234220x tx t ++-=，所以()2221612222480t t t ∆=--=->，1221243223t x x t x x ⎧+=-⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，所以3AB ==又因为3AB =3=， 解得1t =±，满足>0∆，所以1t =±. 【点睛】直线与圆锥曲线的位置关系，一般可通过联立方程组并消元得到关于x 或y 的一元二次方程，再把要求解的目标代数式化为关于两个的交点横坐标或纵坐标的关系式，该关系中含有1212,x x x x +或1212,y y y y +，最后利用韦达定理把关系式转化为某一个变量的方程，解此方程即可.11．已知椭圆222:1(1)x E y a a +=>的离心率为2，右顶点为(,0)P a ，P 是抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点．（1）求抛物线C 的标准方程；（2）若C 上存在两动点,A B （,A B 在x 轴两侧）满足20OA OB ⋅=（O 为坐标原点），且PAB △的周长为2||4AB +，求||AB ． 【答案】（1）28y x =；（2）30. 【分析】(1)根据椭圆离心率的关系可得2a =，进而根据抛物线的性质求出方程即可. (2) 设直线:AB x my n =+，联立28y x =得出韦达定理，再结合抛物线的方程与20OA OB ⋅=化简可得10n =，再根据抛物线的焦半径公式以及弦长公式求得2m =±，进而求得||AB . 【详解】解析：（1）因为椭圆222:1x E y a +=22134a a -=， 解得24a =，所以2a =， 而22p=，所以4p =， 从而得抛物线C 的标准方程为28y x =.（2）由题意0AB k ≠，设直线:AB x my n =+， 联立28y x =得2880y my n --=， 设()()1122,,,A x y B x y （其中120y y <） 所以12128,8y y m y y n +=⋅=-，且0n >，因为20OA OB ⋅=，所以22121212122064y y OA OB x x y y y y ⋅=+=+=，2820n n -=，所以(10)(2)0n n -+=，故10n =或2n =-（舍）， 直线:10AB x my =+， 因为PAB △的周长为2||4AB + 所以||||||2||4PA PB AB AB ++=+. 即||||||4PA PB AB +=+，因为()21212||||424824PA PB x x m y y m +=++=++=+.又12||AB y y =-=所以2820m +=解得2m =±，所以||30AB ==.【点睛】本题主要考查了联立直线与抛物线的方程，结合韦达定理与弦长公式、焦半径公式求解的问题，属于中档题.12．已知椭圆2222:1(0)x y G a b a b +=>>的离心率为1,2过椭圆G 右焦点2(1,0)F 的直线m ：x =1与椭圆G 交于点M (点M 在第一象限) （1）求椭圆G 的方程；（2）连接点M 与左焦点并延长交椭圆于点N ，求线段MN 的长.【答案】（1）22143x y +=（2）257【分析】（1）由已知条件推导出1c =，12c a =，由此能求出椭圆的方程． （2）依题意可得直线1MF 的方程，联立直线与椭圆方程，消元，求出两交点的横坐标，再根据弦长公式计算可得； 【详解】 解：（1）椭圆2222:1(0)x y G a b a b+=>>的离心率为12，过椭圆G 右焦点2(1,0)F 的直线:1m x =与椭圆G 交于点M （点M 在第一象限），1c ∴=，12c a =，解得2a =， 2223b a c ∴=-=，∴椭圆的方程为22143x y +=．（2）依题意可得()11,0F -，31,2M ⎛⎫⎪⎝⎭，所以1MF ：3344y x =+ 联立方程得223344143y x x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，消去y 整理得22118390x x +-=，则()()121390x x -+=解得11x =，2137x =-所以121325177MN x ⎤⎛⎫=-=--= ⎪⎥⎝⎭⎦【点睛】本题考查待定系数法求椭圆方程，直线与椭圆的综合应用，弦长公式的应用，属于中档题.13．已知抛物线21:2C y px =的焦点与椭圆222:198x y C +=的右焦点F 重合，过抛物线1C 的准线l 上一点P 作抛物线1C 的两条切线，切点为A ，B .（1）求证：直线AB 过焦点F ； （2）若8PA =，6PB =，求PF 的值. 【答案】（1）证明见解析；（2）245. 【分析】（1）求出椭圆的右集合，即抛物线的焦点，从而可得p 值，得抛物线方程，设点()11,A x y ，()22,B x y ，()1,P a -，由切点设出切线方程11:()PA y y k x x -=-，由相切求出斜率k ，得切线PA 方程，同理得PB 方程，代入P 点坐标后可得过,A B 两点的直线方程，得证其过焦点；（2）由（1）中直线AB 方程与抛物线方程联立后消元应用韦达定理，然后可证得PA PB ⊥，又可证得PF AB ⊥，这样由直角三角形性质可得PF【详解】（1）证明：因为椭圆222:198x y C +=的右焦点()1,0F ，所以12p=，即2p =.所以抛物线1C 的方程为24y x =. 设点()11,A x y ，()22,B x y ，()1,P a -，设()111:PA y y k x x -=-， 联立()1112,4,y y k x x y x ⎧-=-⎨=⎩消x 得211114440yy y x k k -+-=， 由0∆=得2111110k y k x -+=.又2114y x =，故2211111104k y k y -+=，故2111102k y ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，故112PA k k y ==，故直线PA 的方程为()1112y y x x y -=-， 即1122yy x x =+.同理22PB k y =，直线PB 的方程为2222yy x x =+. 又点P 在直线PA ，PB 上，所以112222,22,ay x ay x =-+⎧⎨=-+⎩故()11,A x y ，()22,B x y 在直线22ay x =-+上，故直线AB 的方程为22ay x =-+，令0y =，得1x =，所以直线AB 过焦点F .（2）解：由（1）知联立222,4,ay x y x =-+⎧⎨=⎩消x 得2240y ay --=，故122y y a +=，124y y =-，故12221PA PB k k y y ⋅=⋅=-， 故直线PA 与直线PB垂直，从而10AB ==.因为2AB k a =，0112PF a ak -==---，所以1PF AB k k ⋅=-， 故PF AB ⊥，所以6824105PF ⨯==. 【点睛】本题主要考查直线与抛物线的位置关系，解题方法是设而不求的思想方法，本题中设出两切点坐标1122(,),(,)A x y B x y ，由直线AB 方程与抛物线方程联立方程组消元后应用韦达定理，然后代入PA PB k k ⋅可得垂直．这是直线与圆锥曲线相交问题常用的方法．14．已知椭圆2222:1x y E a b +=()0a b >>的半焦距为c ，原点O 到经过两点()(),0,0,c b 的直线的距离为12c，椭圆的长轴长为 （1）求椭圆E 的方程；（2）直线l 与椭圆交于,A B 两点，线段AB 的中点为()2,1M -，求弦长.AB【答案】（1）221123x y +=；（2）10. 【分析】（1）由点到直线的距离得12b a =，再由长轴长可求得,a b 得椭圆方程；（2）直线AB 的斜率一定存在，设方程为()12y k x +=-，代入椭圆方程整理，设()()1122,,,A x y B x y ，由韦达定理得1212,x x x x +，由中点坐标公式求得k ，再由弦长公式求得弦长． 【详解】解：（1）经过两点()(),0,0,c b 的直线为：1x yc b+=即0bx cy bc +-=.由已知：原点到直线的距离12bc d c a ===即12b a =因为2a =b =所以椭圆的标准方程为：221123x y +=（2）当直线l 斜率不存在时，线段AB 的中点在x 轴上，不合题意.所以直线l 的斜率存在，设为k ，则直线()12y k x +=-即为：21y kx k =-- 设()()1122,,,A x y B x y 联立22214120y kx k x y =--⎧⎨+-=⎩得：()()22214821161680k x k k x k k +++++-= ()()22214821161680k xk k x k k +-+++-=显然>0∆ 则()122821414k k x x k++==+，解得12k = 则212216168214k k x x k +-⋅==+所以12AB x =-==【点睛】本题考查求椭圆的标准方程，考查求直线与椭圆相交弦长，解题方法是设而不求的思想方法，即设交点坐标1122(,),(,)x y x y ，设直线方程，代入椭圆方程应用韦达定理，得1212,x x x x +，由弦长公式得弦长．15．已知直线l 经过抛物线26y x =的焦点F ，且与抛物线交于A 、B 两点.（1）若直线l 的倾斜角为60，求线段AB 的长； （2）若2AF =，求BF 的长. 【答案】（1）8；（2）6. 【分析】（1）设点()11,A x y 、()22,B x y ，求出直线l 的方程，与抛物线方程联立，求出12x x +的值，再利用抛物线的焦点弦长公式可求得线段AB 的长； （2）设直线l 的方程为32x my =+，设点()11,A x y 、()22,B x y ，将直线l 的方程与抛物线的方程联立，可得出129y y =-，由2AF =求得1x 的值，利用韦达定理以及抛物线的方程求得2x 的值，利用抛物线的定义可求得BF 的长. 【详解】（1）设点()11,A x y 、()22,B x y ，抛物线26y x =的焦点为3,02F ⎛⎫⎪⎝⎭， 由于直线l 过点F ，且该直线的倾斜角为60，则直线l的方程为32y x ⎫=-⎪⎭，联立2326y x y x⎧⎫=-⎪⎪⎭⎨⎪=⎩，消去y 并整理得29504x x -+=，259160∆=-=>， 由韦达定理可得125x x +=，由抛物线的焦点弦长公式可得123538AB x x =++=+=；（2）设点()11,A x y 、()22,B x y ，由题意可知，直线l 不可能与x 轴重合，设直线l 的方程为32x my =+， 联立2326x my y x⎧=+⎪⎨⎪=⎩，消去x 并整理得2690y my --=，()23610m ∆=+>，由韦达定理可得126y y m +=，129y y =-，1322AF x =+=，可得112x =，21163y x ∴==，129y y ∴=-，则22218127y y ==，222962y x ∴==，因此，2362BF x =+=.【点睛】有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式12AB x x p =++，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．16．已知圆上224x y +=上任取一点P ，过点P 作y 轴的垂线段PQ ，垂足为Q ，当P在圆上运动时，线段PQ 中点为M .（1）求点M 的轨迹方程；（2）若直线l 的方程为y ＝x －1，与点M 的轨迹交于A ，B 两点，求弦AB 的长.【答案】（1）2214y x +=；（2【分析】（1）设M 、P ，利用相关点法即可求解.（2）将直线与椭圆方程联立，利用弦长公式即可求解.【详解】（1）设(),M x y ，()00,P x y ，()00,Q y ∴，点M 是线段PQ 中点，002,x x y y ∴==，又()00,P x y 在圆224x y +=上，()2224x y +=， 即点M 的轨迹方程为2214y x +=. （2）联立22114y x y x =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 可得，25230x x --=， ()22600∆=-+>，设()11,A x y ，()22,B x y ， 则1225x x +=，1235x x =，12AB x ∴=-===. 【点睛】方法点睛：本题考查了轨迹问题、求弦长，求轨迹的常用方法如下：（1）定义法：利用圆锥曲线的定义求解. （2）相关点法：由已知点的轨迹进行求解. （3）直接法：根据题意，列出方程即可求解.。
专题七 解析几何 第二讲 圆锥曲线的概念与性质,与弦有关的计算问题——2022届高考理科数学三轮
③|F1A|＋|F1B|＝
2 p
；④以弦
AB
为直径的圆与准线相切．
[典型例题]
1.已知椭圆 T : x2 y2 1(a b 0) 的长半轴为 2，且过点 M 0,1 .
a2 b2 若过点 M 引两条互相垂直的直线 l1 ， l2 ，P 为椭圆上任意一点，
记点 P 到 l1 ， l2 的距离分别为 d1 ， d2 ，则 d12 d22 的最大值为( B )
C. x2 y
D. x2 1 y 2
[解析]
本题考查抛物线的定义、标准方程. 抛物线 C : x2 2 py( p 0) 的准线方程为 y p .因为 | AF | 4 ，
2 所以由抛物线的定义得 p 3 4 ，解得 p 2 ，
2 所以抛物线 C 的方程为 x2 4 y .故选 A.
因为 | BC | 2 | BF | ，所以 | BC | 2 | BN | ，所以 BC 2 ，所以 BN 2 ，
CF 3
p3
所以 BN BF 4 ， BC 8 ，
3
3
[解析]
所以 CF 4 ,因为 p CF ， AM CA
所以 2 CF 4 4 , AM CF AF 4 AF 4 AM 4
则 d12 d22 x2 (1 y)2 ，因为 P 在椭圆上，所以 x2 4 4 y2 ，
所以
d12
d
2 2
5
3y2
2y
5
3
y
1 2 3
1 3
，
y [1,1]，
[解析]
所以当
y
1 3
时，
பைடு நூலகம்d12
d22
有最大值
16 3
，所以
圆锥曲线.03圆锥曲线地弦长面积问题.知识讲解及练习(最新整理)
9 x02
25 y02
（4） S 1 12 3 m2 m 1 1 m2 (m2 8) 1 1 m2 m2 8 2
2
2
3 22
22
2
当且仅当 m2 m2 8 时，等号成立
（5） S 2 2 1 k 2
2k 2 m12 1 2m1 4 2
1 2k 2
1 k2
(2k 2 m12 1)m12 4
1 k2 A x a
或 AB
1
1 k2
A y1
y2
1
1A k2
y1
y2 4 y1 y2
1 1 A y k2 a
文档
y
P O
A
x H
B
实用标准文案
题型二：面积问题
1. 三角形面积问题
直线 AB 方程： y kx m
d PH kx0 y0 m 1 k2
SABP
1 2
AB
d
1 2
1 k2
1 k2
AB 1 k 2 x1 x2 1 k 2 (x1 x2 )2 4x1x2 1 k 2
x a
SA ABCD AB d 1 k 2
x m1 m2 a 1 k2
x m1 m2 a
题型三：范围问题
首选均值不等式或对勾函数，其实用二次函数配方法，最后选导数思想 均值不等式 a2 b2 2ab(a,b R) 变式： a b 2 ab(a,b R ); ab ( a b)2 (a,b R )
文档
实用标准文案
【例4】 已知椭圆 C : x2 y2 1，过点 M 0 ，3 的直线 l 与椭圆 C 相交于不同的两点 A 、 B ．
4 （Ⅰ）若 l 与 x 轴相交于点 N ，且 A 是 MN 的中点，求直线 l 的方程；
圆锥曲线中的弦长问题
圆锥曲线中的弦长问题左超杰【教学目的】1、熟练掌握直线与圆锥曲线位置关系的判断方法；2、能解决有关直线与圆锥曲线相交时的有关弦长等问题。
【重点难点】直线与圆锥曲线相交时弦长问题的处理方法。
【教学模式】解决思路一一例题讲解一一方法总结一一反馈练习一一课堂小结教学过程：一、基本知识考查：1、当直线与圆锥曲线相交于两点时，就产生了弦。
当弦过焦点时，为___ _________ ；当焦点弦垂直于圆锥曲线的轴时，弦为直线的斜率为k，交点坐标为2、弦长公式X i，y i ，x2 , y 2 ,弦长为d ,为直线的倾斜角①当k存在时：d __________________当k存在且不为0时：d②抛物线的弦长公式AB x1 x2、例题1、磨磨刀2、能力提咼2例1、过双曲线 x 2 L 1的左焦点F !作倾斜角为一的弦AB ，3 1 6求：1 |AB2 ABC 的周长F 2为双曲线的右焦点2、 2直线y x 与椭圆—y 24 4、5 1相交于A 、E 两点，贝V AB 等于 A 、 2B 、C 、4 J0 58、105已知双曲线方程为的直线与双曲线交 A 、 5 过抛物线y 2两点，如果 A 、 84、抛物线y 2A 、 p3、 B 、 2L 1,过其右焦点作一条垂直 与X 轴 4 5与A 、B 两点，贝y AB 等于3C 、44x 的焦点作直线交抛物线 6,那么AB 等于D 、 9于A 、B X 2, y 2x 2 B 、10C 、6D 、 4 2px(p 0)的所有焦点弦中，弦长 的最小值为 B 、2pC 、4pD 、不确定D 、想：弦AB所在的直线斜率为3呢例2：已知直线l:y k(x 2,2)交椭圆x2 9 y2 9于A、B两点，若为I的倾斜角，且线段AB的长不小于短轴的长，求的取值范围拓展：若把第一句话改为：直线I过椭圆的左焦点且交椭圆于A、B两点呢？深度拓展：若把线段AB的长不小于短轴的长，改为求线段AB长的取值范围呢？3、智能升华正方形ABCD的两个顶点A、B在抛物线y x2上，另两个顶点C、D在直线y x 4上,求正方形的面积。
高考圆锥曲线中的弦长问题
圆锥曲线中的弦长问题类型一、常规弦长计算1.已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>，直线1:1x y l a b -=被椭圆C 截得的弦长为，且e =，过椭圆C 2l 被椭圆C 截的弦长AB ，（1）求椭圆的方程；（2）弦AB 的长度.2.已知椭圆1422=+y x 以及直线m x y +=（1）当直线和椭圆有公共点时，求实数m 的取值范围（2）求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程4.已知椭圆1222=+y x ，),(00y x P ，1202020≤+<y x ，问1200=+y y x x 与椭圆的公共点个数？ 5.已知双曲线422=-y x ，直线)1(:-=x k y l ，试讨论满足下列条件时实数k 的取值范围（1）直线l 与双曲线有两个公共点（2）直线l 与双曲线有且只有一个公共点（3）直线l 与双曲线没有公共点过关练习 1.)0(12222>>=+b a b y ax 的离心率为36，设过椭圆的右焦点且倾斜角为45°的直线l 和椭圆交于A,B 两点,当|AB |=3，求的b 值2.已知椭圆G:1422=+y x ，过点（m ，0）作圆122=+y x 的切线l 交椭圆G 于A 、B 两点 （1）求椭圆的焦点坐标和离心率；（2）将|AB |表示成m 的函数，并求|AB |的最大值3.直线01=--kx y 与椭圆1522=+my x 恒有公共点，求m 的取值范围？4.若直线2+=kx y 与双曲线622=-y x 的右支交于不同的两点，求k 的取值范围？类型二 中点弦问题设椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的弦AB 的中点为P ),(00y x （0,000≠≠y x ），则1222-=-=⋅e ab k k op AB 设双曲线12222=-by a x 的弦AB 的中点为P ),(00y x （0,000≠≠y x ），则1222-==⋅e a b k k op AB 设抛物线px y 22=的弦AB 的中点为P ),(00y x （00≠y ），则0y p k AB =1..（1）已知椭圆E ：22143x y +=，试确定m 的取值范围，使得椭圆E 上存在两个不同的点关于直线4y x m =+对称（2）已知双曲线1322=-y x ，双曲线上存在关于直线L ：4+=kx y 对称的点，求实数k 的取值范围。
高中数学同步讲义(人教A版选择性必修一)：圆锥曲线的方程(弦长问题)(教师版)
【典例2】（2023春·广西·高二校联考阶段练习）在直角坐标系动点，且直线PA和直线PB(1)求曲线C的方程；(2)若直线l与曲线C相交于（法二）易知直线斜率存在，设直线方程为联立方程组221255x yy kx b，消去y整理得2222Δ1004(51)(525)500 k b k b则210525,kb bx x x x(1)求椭圆1C的方程；(2)如图，以椭圆1C的长轴为直径作圆B，若直线AB与椭圆1C交于不同的两点【答案】(1)221 42x y；(2)||[2,4)CD .【详解】（1）设半焦距为c，由使得动点P到焦点1F的距离的最大值为2所以椭圆1C的方程是221 42x y.因为直线AT 为切线，故10y ，否则直线若10x ，则11OA y k x ，故11AT x k y ，故直线AT 的方程为： 111x y y y 整理得到：2211114x x y y x y ；当10x 时，若(0,2)A ，直线AT 的方程为：满足114x x y y .故直线AT 的方程为114x x y y ，同理直线【典例2】（2023春圆 2222:1x y C a a b (1)求椭圆C 的方程；(2)若斜率为k 的直线8则211mk ，得221m k ，联立22142y kx m x y 得 2221k x 则 2222164212k m k m【变式1】（2023春·上海浦东新·高二统考期末）椭圆(1)求椭圆C的离心率；【变式3】（2023春·四川内江22221(0)x y a b a b，短轴长为(1)求椭圆E 的方程；(2)若直线l ：(0)y kx m k 与圆的方程.）设椭圆方程为22221x ym n，则2m故椭圆方程为22194x y，联立方程222 648036288016t t t(1)求C 的方程；(2)若P 为直线:2l x 上的一动点，过F 作AB 的垂线交l 于点N ，当【答案】(1)24y x(2)4703【详解】（1）由题知，2p C 的方程为24y x .（2）抛物线2:4C y x 的焦点设 2,P t ，过P 点的抛物线242y x x m y t 消去x 得：y 2Δ161620m mt 即此时①可化为2244y my m 设直线 1:2PA x m y t ，直线则12,m m 为方程②的两根，故且122,2A B y m y m ，可得A 由②知，2211220,m tm m 则直线AB 方程为：22t x y 因为直线NF 与直线AB 垂直，则直线NF 方程为： 2t y x故832,,2,2M N t t，(1)求证：A ，M ，B 三点的横坐标成等差数列；(2)已知当M 点的坐标为【答案】(1)证明见解析(2)22x y 或24x y【详解】（1）证明：由题意设。
【圆锥曲线】06双曲线的弦长和中点弦问题(含经典题型+答案)
双曲线的弦长公式与中点弦问题1.两条渐近线为02=+y x 和02=-y x 且被直线03=--y x 截得弦长为338的双曲线方程是 . 2.斜率为2的直线被双曲线22132x y -=截得的弦长为4，求直线的方程． 3.已知倾斜角为4π的直线l 被双曲线60422=-y x 截得的弦长28=AB ，求直线l 的方程．秒杀秘籍：双曲线的弦长公式与面积（不过焦点的弦）双曲线()222210,0x y a b a b-=>>与直线l ：y kx m =+相交于AB 两点，求AB 的弦长。
设：()()1122,,,A x y B x y 则()22121214AB kx x x x =++- 将y kx m =+代入22221x ya b-=得：()22222222220b k a x a kmx a m a b ----=()221222222212222a km x xb k a a m b x x b k a ⎧⎪+=⎪⎪-⎨⎪--⎪⋅=⎪-⎩∴()222222212122222141ab b k a m AB k x x x x k b k a -+∴=++-=+-例1：已知直线1+=x y 与双曲线14:22=-y x C 交于A 、B 两点，求AB 的弦长 解：设：()()1122,,,A x y B x y 则()()()22222121121214AB x x y y k x x x x =-+-=++-将1y x =+代入2214yx -=得：23250x x --=21235123x x x x +=⋅=-⎧∴⎨⎩22218213AB kx x ∴=+-=双曲线与直线交点的判别式：()2222224a b b k a m ∆=-+用来判断是否有两个交点问题。
面积问题：双曲线与直线m kx y l +=:相交与两点，()00,y x C 为AB 外任意一点，求ABC S ∆。
专题5 圆锥曲线中的弦长问题(解析版)-2021年高考数学圆锥曲线中必考知识专练
PC 2 1 2
PC
1
1 PC 2
，
2
设 P4cos, 2sin ， 0, 2 ，
学高为师，身正为范
小姚数学
可得
PC
2
4 cos
12 2sin
2
12 cos 2
8cos
5 12
cos
1 3
2
11 ， 3
当 cos 1 时， PC 2 取得最小值为 11 ，此时 AB 取得最小值为 2 1 3 4 22 .故答案为： 4 22 .
3
3
11 11
11
7．已知抛物线 C： x2 2 py p 0 的焦点 F 与 y2 x2 1的一个焦点重合，过焦点 F 的直线与 C 交于 A，B 两
84
不同点，抛物线 C 在 A，B 两点处的切线相交于点 M，且 M 的横坐标为 2，则弦长 AB ______.
【答案】10 由题意可得 F 0, 2 ，则 p 4 ，抛物线方程为 x2 = -8y .
2
2
三、解答题
9．如图，在平面直角坐标系
xOy 中，已知椭圆 C1 ：
x2 a2
y2 b2
1和椭圆 C2 ：
x2 c2
y2 b2
1，其中 a
c
b
0，
a2 b2 c2 ，C1 ，C2 的离心率分别为 e1 ，e2 ，且满足 e1 : e2 2 : 3 ，A ，B 分别是椭圆 C2 的右、下顶点，直线 AB
（2）若直线 l : y x t 与曲线 C 交于 A 、 B 两点， AB 4 2 .求 t 的值 3
【答案】（1） x2 y2 1 ；（2） t 1.
2
解：（1）因为 PF1 PF2 2 2 ，所以动点 P 轨迹为椭圆，并且长轴长 2a 2 2 ，
【新高考数学】专题01 圆锥曲线中的弦长问题(含解析)
专题01 圆锥曲线中的弦长问题一、单选题1．设椭圆长半轴长为a ，短半轴长为b ，半焦距为c ，则过焦点且垂直于长轴的弦长是（ ）A ．2b aB ．22c aC ．2c aD ．22b a2．已知椭圆22:12x C y +=，直线l 过椭圆C 的左焦点F 且交椭圆于A ，B 两点，AB 的中垂线交x 轴于M点，则2||||FM AB 的取值范围为（ ）A ．11,164⎛⎫⎪⎝⎭ B ．11,84⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．11,162⎛⎫⎪⎝⎭ D ．11,82⎡⎫⎪⎢⎣⎭3．过椭圆9x 2+25y 2=225的右焦点且倾斜角为45°的弦长AB 的长为（ ） A ．5B ．6C ．9017D ．74．椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别是1F 、2F ，斜率为12的直线l 过左焦点1F 且交C 于A ，B 两点，且2ABF 的内切圆的周长是2π，若椭圆C 的离心率为13,24e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则线段AB 的长度的取值范围是（ ）A ．⎣B ．⎣C ．⎣⎦D ．⎣⎦二、多选题5．已知抛物线()220y px p =>的焦点为F ，过点F 的直线l 交抛物线于A 、B 两点，以线段AB 为直径的圆交y 轴于M 、N 两点，则（ ）A ．若抛物线上存在一点()2,E t 到焦点F 的距离等于3，则抛物线的方程为24y x =B ．若2AF BF =，则直线l 的斜率为C ．若直线l 43p AB =D ．设线段AB 的中点为P ，若点F 到抛物线准线的距离为2，则sin PMN ∠的最小值为12三、解答题6．如图，P 是直线:3l y x =+上一动点，过点P 且与l 垂直的直线l '交抛物线2:C y x =于A ，B 两点，点A 在P ，B 之间．（1）若l '过抛物线C 的焦点F ，求AB ；（2）求PA PB的最小值．7．已知椭圆22221x y a b+=（0a b >>）长轴长为短轴长的两倍，连结椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4，直线l 过点(,0)A a -，且与椭圆相交于另一点B ． （1）求椭圆的方程；（2）若线段AB l 的倾斜角． 8．已知直线l 经过抛物线26y x =的焦点F ，且与抛物线交于A 、B 两点. （1）若直线l 的倾斜角为60，求线段AB 的长； （2）若2AF =，求BF 的长.9．已知圆上224x y +=上任取一点P ，过点P 作y 轴的垂线段PQ ，垂足为Q ，当P 在圆上运动时，线段PQ 中点为M .（1）求点M 的轨迹方程；（2）若直线l 的方程为y ＝x －1，与点M 的轨迹交于A ，B 两点，求弦AB 的长.10．已知椭圆22:1(0)C a b a b+=>>的右焦点为F ，左、右顶点为A 、B ，3FA =，1FB =.（1）求椭圆C 的标准方程； （2）求直线12y x =+被椭圆C 截得的弦长. 11．已知直线:4380l x y --=与圆()()22:11M x y m ++-=相交. （1）求m 的取值范围；（2）若l 与M 相交所得弦长为8，求直线:40l x y '+-=与M 相交所得弦长.12．已知双曲线C 的标准方程为22136x y -=，12,F F 分别为双曲线C 的左、右焦点.（1）若点P 在双曲线的右支上，且12F PF ∆的面积为3，求点P 的坐标；（2）若斜率为1且经过右焦点2F 的直线l 与双曲线交于,M N 两点，求线段MN 的长度. 13．设抛物线24C y x =：，F 为C 的焦点，过F 的直线l 与C 交于A B ，两点. （1）设l 的斜率为2，求AB 的值； （2）求证：OA OB ⋅为定值.14．已知椭圆M ：22213x y a +=()0a >的一个焦点为()1,0F -，左右顶点分别为A ，B ．经过点F 的直线l与椭圆M 交于C ，D 两点． （Ⅰ）求椭圆M 方程；（Ⅰ）当直线l 的倾斜角为45时，求线段CD 的长；（Ⅰ）记ⅠABD 与ⅠABC 的面积分别为1S 和2S ，求12S S -的最大值．15．已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的离心率为12，点31,2A ⎛⎫ ⎪⎝⎭在椭圆C 上，直线1l 过椭圆C 的右焦点与上顶点，动直线2l ：y kx =与椭圆C 交于M ，N 两点，交1l 于P 点. （1）求椭圆C 的方程；（2）已知O 为坐标原点，若点P 满足14OP MN =，求此时MN 的长度.16．已知椭圆()22:10E a b a b+=>>，O 为坐标原点，P 为椭圆上任意一点，1F ，2F 分别为椭圆的左、右焦点，且2b a =，过点()0,1M 的动直线l 与椭圆相交于A ，B 两点. (1)求椭圆E的标准方程；(2)当AB =l 的方程 17．如图，椭圆2222:1x y C a b+=（0a b >>）的离心率为12，过椭圆右焦点F 作两条互相垂直的弦AB 与CD ．当直线AB 的斜率为0时，AB 4=．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅰ）求使AB CD +取最小值时直线AB 的方程．18．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点F 到准线的距离为2，且过点F 的直线l 被抛物线C 所截得的弦长MN 为8． （1）求直线l 的方程；（2）当直线l 的斜率大于零时，求过点,M N 且与抛物线C 的准线相切的圆的方程．19．椭圆C ：(222212x y m m m+=>，直线l 过点()1,1P ，交椭圆于A ､B 两点，且P 为AB 的中点. （1）求直线l 的方程；（2）若AB =，求m 的值.20．如图所示，已知圆()221:116F x y ++=上有一动点Q ，点2F 的坐标为()1,0，四边形12QF F R 为平行四边形，线段1F R 的垂直平分线交2F R 于点P ，设点P 的轨迹为曲线C .（1）求曲线C 的方程；（2）过点2F 的直线l 与曲线C 有两个不同的交点A 、B ，问是否存在实数λ，使得2222AF BF AF BF λ+=⋅成立，若存在求出λ的值；若不存在，请说明理由.21．已知椭圆22:14x W y +=，直线l 过点(0,2)-与椭圆W 交于两点,A B ，O 为坐标原点.（1）设C 为AB 的中点，当直线l 的斜率为32时，求线段OC 的长； （2）当ⅠOAB 面积等于1时，求直线l 的斜率.22．已知抛物线24W y x =：的焦点为F ，直线2+y x t =与抛物线W 相交于,A B 两点. （1）将||AB 表示为t 的函数；（2）若||AB =AFB △的周长.23．如图，过点(1,0)F 的直线l 与抛物线2:4C y x =交于,A B 两点.（1）若||8AB =，求直线l 的方程;（2）记抛物线C 的准线为l '，设直线,OA OB 分别交l '于点,N M ，求ON OM ⋅的值.24．设椭圆E ：22221x y a b+=（a ，b >0）过M （2 ，N 1)两点，O 为坐标原点，（1）求椭圆E 的方程；（2）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A ，B ，且OA OB ⊥？若存在，写出该圆的方程，并求|AB |的取值范围，若不存在说明理由.25．折纸又称“工艺折纸”，是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长. 某些折纸活动蕴含丰富的数学内容，例如：用圆形纸片，按如下步骤折纸（如下图），步骤1：设圆心是O ，在圆内不是圆心处取一点，标记为F ； 步骤2：把纸片对折，使圆周正好通过F ； 步骤3：把纸片展开，于是就留下一条折痕；步骤4：不停重复步骤2和3，能得到越来越多条的折痕．所有这些折痕围成的图形是一个椭圆.若取半径为4的圆形纸片，设定点F 到圆心O 的距离为2，按上述方法折纸.（1）建立适当的坐标系，求折痕围成椭圆的标准方程； （2）求经过F ，且与直线FO 夹角为4π的直线被椭圆截得的弦长.四、填空题26．在平面直角坐标系xOy 中，过抛物线2:C y mx =的焦点F 作斜率为1的直线，与抛物线C 交于A ，B 两点．若弦AB 的长为6，则实数m 的值为__________.27．已知抛物线C : y 2=2px (p >0)，直线l ：y = 2x + b 经过抛物线C 的焦点，且与C 相交于A 、B 两点．若|AB | = 5，则p = ___．28．已知抛物线2:4,C x y =AB 为过焦点F 的弦，过,A B 分别作抛物线的切线，两切线交于点P ，设112200(,),(,),(,)A x y B x y P x y ，则下列结论正确的有________．Ⅰ若直线AB 的斜率为-1，则弦8AB =； Ⅰ若直线AB 的斜率为-1，则02x =； Ⅰ点P 恒在平行于x 轴的直线1y =-上； Ⅰ若点(,)M M M x y 是弦AB 的中点，则0M x x =．五、双空题29．已知抛物线()2:20C x py p =>的焦点为F ，直线():0l y kx b k =+≠与抛物线C 交于A ，B 两点，且6AF BF +=，线段AB 的垂直平分线过点()0,4M ，则抛物线C 的方程是______；若直线l 过点F ，则k =______.专题01 圆锥曲线中的弦长问题一、单选题1．设椭圆长半轴长为a ，短半轴长为b ，半焦距为c ，则过焦点且垂直于长轴的弦长是（ ）A ．2b aB ．22c aC ．2c aD ．22b a【答案】D 【分析】设椭圆焦点在x 轴上，椭圆的标准方程为()222210x y a b a b+=>>，将x c =或x c =-代入椭圆的标准方程，求出y ，由此可求得结果. 【详解】设椭圆焦点在x 轴上，椭圆的标准方程为()222210x y a b a b+=>>，将x c =或x c =-代入椭圆的标准方程得22221c y a b +=，2222222221y c a c b b a a a -∴=-==， 解得2b y a =±，因此，过焦点且垂直于长轴的弦长是22b a. 故选：D.2．已知椭圆22:12x C y +=，直线l 过椭圆C 的左焦点F 且交椭圆于A ，B 两点，AB 的中垂线交x 轴于M点，则2||||FM AB 的取值范围为（ ）A ．11,164⎛⎫⎪⎝⎭ B ．11,84⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．11,162⎛⎫⎪⎝⎭ D ．11,82⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】B 【分析】 当l ：0y =时，2||1||8FM AB =，设():10l x my m =-≠与椭圆联立可得：()222210m y my +--=， 然后求得AB 的中垂线方程，令0y = ，得21,02M m ⎛⎫-⎪+⎝⎭，然后分别利用两点间的距离公式和弦长公式求得||MF ，2||AB ，建立2||||FM AB 求解.【详解】椭圆22:12x C y +=的左焦点为()1,0F -,当l ：0y =时，())(),,0,0A BM ，1,FM AB ==所以2||1||8FM AB =，设():10l x my m =-≠与椭圆联立22112x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，可得： ()222210my my +--=，由韦达定理得：1221222212m y y m y y m ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，取AB 中点为222,22m D m m -⎛⎫⎪++⎝⎭， 所以AB 的中垂线方程为：2212:22DM m l x y m m m ⎛⎫=--- ⎪++⎝⎭， 令0y = ，得21,02M m ⎛⎫-⎪+⎝⎭， 所以221||2m MF m +=+，又()()2222281||2m AB m +==+， 所以2222||121111=1(,)||818184FM m AB m m ⎛⎫+⎛⎫=+∈ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭， 综上所述2||11,||84FM AB ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭， 故选：B. 【点睛】思路点睛：1、解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单．2、设直线与椭圆的交点坐标为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则弦长为AB ===(k 为直线斜率)． 注意：利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式大于零． 3．过椭圆9x 2+25y 2=225的右焦点且倾斜角为45°的弦长AB 的长为（ ） A ．5 B ．6C ．9017D ．7【答案】C 【分析】求出焦点坐标和直线方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理和弦长公式可得答案. 【详解】由9x 2+25y 2=225得，221259x y +=，2225,9a b ==，所以216c =，右焦点坐标为(4,0)，直线AB 的方程为4y x =-，所以2241259y x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得2342001750x x -+=，设1122(,),(,)A x y B x y ，所以1212100175,1734x x x x +==，||AB ==9017==. 故选：C. 【点睛】本题主要考查直线与椭圆的弦长公式||AB =.4．椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别是1F 、2F ，斜率为12的直线l 过左焦点1F 且交C 于A ，B 两点，且2ABF 的内切圆的周长是2π，若椭圆C 的离心率为13,24e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则线段AB 的长度的取值范围是（ ）A ．⎣B ．⎣C ．⎣⎦D ．⎣⎦【答案】B 【分析】先利用等面积法可得：12114222a r c y y ⨯⋅=⨯⋅-，求解出12y y -的值，然后根据弦长公式12AB y =-的取值范围. 【详解】设内切圆半径为r ，由题意得12114222a r c y y ⨯⋅=⨯⋅-得1228,43y y e ⎡⎤-=∈⎢⎥⎣⎦，1212AB y y y =-=-∈⎣. 故选：B. 【点睛】本题考查椭圆焦点三角形问题，考查弦长的取值范围问题，难度一般.解答时，等面积法、弦长公式的运用是关键.二、多选题5．已知抛物线()220y px p =>的焦点为F ，过点F 的直线l 交抛物线于A 、B 两点，以线段AB 为直径的圆交y 轴于M 、N 两点，则（ ）A ．若抛物线上存在一点()2,E t 到焦点F 的距离等于3，则抛物线的方程为24y x =B ．若2AF BF =，则直线l 的斜率为C ．若直线l 43p AB =D ．设线段AB 的中点为P ，若点F 到抛物线准线的距离为2，则sin PMN ∠的最小值为12【答案】AD 【分析】由抛物线的定义求得p 的值，可判断A 选项的正误；设直线l 的方程为2px my =+，设点()11,A x y 、()22,B x y ，将直线l 的方程与抛物线的方程联立，结合韦达定理可求得m 的值，可判断B 选项的正误；利用韦达定理结合抛物线的焦点弦长公式可判断C 选项的正误；设直线l 的方程为1x my =+，设点()11,A x y 、()22,B x y ，联立直线l 与抛物线的方程，求得点P 到y 轴的距离和AB ，可得出sin PMN ∠关于m 的表达式，可判断D 选项的正误. 【详解】对于A 选项，由抛物线的定义可得232pEF =+=，解得2p =， 所以，抛物线的标准方程为24y x =，A 选项正确； 对于B 选项，如下图所示： 抛物线的焦点为,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，设点()11,A x y 、()22,B x y ，设直线AB 的方程为2p x my =+，联立222p x my y px⎧=+⎪⎨⎪=⎩，消去x 并整理得2220y mpy p --=，222440m p p ∆=+>恒成立，由韦达定理可得122y y mp +=，212y y p =-，由于2AF BF =，由图象可得2AF FB =，即1122,2,22p p x y x y ⎛⎫⎛⎫--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以，122y y =-，可得121221222y y y y mp y y p =-⎧⎪+=⎨⎪=-⎩，解得4m =±，所以，直线l的斜率为1m=±B 选项错误； 对于C 选项，当直线lB选项可知，3m =，12y y p +=，由抛物线的焦点弦长公式可得)12128223AB x x p y y p p p p =++=++=+=，C 选项错误；对于D 选项，抛物线的焦点F 到准线的距离为2p =，则该抛物线的方程为24y x =. 设直线l 的方程为1x my =+，设点()11,A x y 、()22,B x y ，联立214x my y x=+⎧⎨=⎩，消去x 可得2440y my --=，216160m ∆=+>， 则124y y m +=，()21212242x x m y y m ∴+=++=+，()212241AB x x m =++=+，点P 到y 轴的距离为212212x x d m +==+， 所以，()22221111sin 1112222212dm PMN m m AB+∠===-≥-=++， 当且仅当0m =时，等号成立，D 选项正确.故选：AD. 【点睛】本题考查直线与抛物线的综合问题，考查了抛物线焦点弦的几何性质以及焦点弦长、焦半径的计算.本题中将直线方程与抛物线的方程联立，利用韦达定理得出点A 、B 的纵坐标所满足的关系，并结合了抛物线的焦点弦长公式进行计算，考查学生的运算求解能力，属于中等题. 三、解答题6．如图，P 是直线:3l y x =+上一动点，过点P 且与l 垂直的直线l '交抛物线2:C y x =于A ，B 两点，点A 在P ，B 之间．（1）若l '过抛物线C 的焦点F ，求AB ；（2）求PA PB的最小值．【答案】（1）2；（2．【分析】（1）先求出直线l '的方程，联立直线与抛物线，将韦达定理和弦长公式相结合即可得结果； （2）设:AB y x t =-+，联立方程组分别求出A ，B ，P 的纵坐标，将PA PB表示为关于t 的函数式，结合基本不等式即可得结果. 【详解】解：（1）由已知得1,04F ⎛⎫⎪⎝⎭，所以1:4l y x '=-+，联立得214y x y x⎧=-+⎪⎨⎪=⎩，消去x ，可得2104y y +-=，设点()11,A x y ，()22,B x y ，由根与系数的关系得121114y y y y +=-⎧⎪⎨=-⎪⎩，所以AB=122y y -==．（2）设:AB y x t =-+，由2y x ty x=-+⎧⎨=⎩，消去x ，可知20y yt +-=，∵有两个不同的交点，∴11404t t ∆=+>⇒>-，解得：A y =，B y =，由3y x t y x =-+⎧⎨=+⎩，得32P t y +=，由于点A 在点P ，点B 之间，所以1P A P B PA y y PBy y -===-，()0u u =>，所以288111151544PAu PBu u u u=-=-≥=++++当且仅当u =72t =时取等号． 故PA PB的最小值为1911-．【点睛】 关键点点睛：（1）直线弦长公式的应用；（2）将所求量表示为关于t 的函数，利用基本不等式求最值.7．已知椭圆22221x y a b+=（0a b >>）长轴长为短轴长的两倍，连结椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4，直线l 过点(,0)A a -，且与椭圆相交于另一点B ． （1）求椭圆的方程； （2）若线段ABl 的倾斜角． 【答案】（1）2214x y +=；（2）4π或34π． 【分析】（1）由题设列出基本量方程组，解得基本量，从而得方程.（2）设直线l 方程，代入椭圆方程得关于x 的一元二次方程，韦达定理整体思想及弦长公式得关于斜率的方程，解得斜率得直线方程. 【详解】(1)由题意可知22222212242b a a b a b c ⨯=⎧⎪⎪⨯⨯⨯=⎨⎪=+⎪⎩， 2a = ，1b =，c =。
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圆锥曲线弦长专题 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】
弦 长 专 题 (A 组)
1，过抛物线y 2=4x 的焦点作直线交抛物线于A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）两点，若x 1+x 2=6，那么|AB|等于_______
2，过抛物线x y 22=焦点的直线交抛物线于A 、B 两点，已知|AB|=10，O 为坐标原点，则ΔABO 重心的横坐标为_______
3，已知椭圆2
2
221y x a b +=(0)a b >>的一个顶点为B (0,4)，离心率e =5
，直线l 交椭圆于M 、N 两点．若直线l 的方程为4y x =-，求弦MN 的长；
4．已知椭圆C 的中心在坐标原点，左顶点()0,2-A ，离心率2
1=
e ，F 为右焦点，过焦点F 的直线交椭圆C 于P 、Q 两点（不同于点A ）．
（Ⅰ）求椭圆C 的方程； （Ⅱ）当724=PQ 时，求直线PQ 的方程； 5.设椭圆C ：22
221(0)x y a b a b
+=>>的左焦点为F ，过点F 的直线与椭圆C 相交于A ，B 两点，直线l 的倾斜角为60o ,2AF FB =.
(I) 求椭圆C 的离心率； （Ⅱ）如果|AB|=154
，求椭圆C 的方程. 弦 长 专 题 (B 组)
1， 双曲线的中心为原点O ，焦点在x 轴上，两条渐近线分别为12l l ，，经过右焦点
F 垂直于1l 的直线分别交12l l ，于A B ，两点．已知OA AB OB 、、成等差数列，且BF 与FA 同向．
（Ⅰ）求双曲线的离心率；
（Ⅱ）设AB 被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程．
2，已知椭圆1C 的中心和抛物线2C 的顶点都在坐标原点O ，1C 和2C 有公共焦点F ，点F 在x 轴正半轴上，且1C 的长轴长、短轴长及点F 到1C 右准线的距离成等
比数列.
（Ⅰ）当2C 的准线与1C 右准线间的距离为15时，求1C 及2C 的方程；
（Ⅱ）设过点F 且斜率为1的直线l 交1C 于P ，Q 两点，交2C 于M ，N 两点. 当36||7
PQ =时，求||MN 的值. 3．设椭圆22
221(0)x y a b b a
+=>>的焦点为12,F F ，P 是椭圆上任一点，若12F PF ∠的最大值为23
π. (I)求椭圆的离心率； (II)设直线l 与椭圆交于M N 、两点，且l 与以原点为圆心，短轴长为直径的圆相切。
已知MN 的最大值为4，求椭圆的方程和直线l 的方程。
4， 已知两定点E (－2，0) ，F (2，0)，动点P 满足PE →·PF →＝0，由点P 向x
轴作垂线PQ ，垂足为Q ，点M 满足PQ →＝2MQ
→，点M 的轨迹为C . （Ⅰ）求曲线C 的方程；
（Ⅱ）若直线l 交曲线C 于A 、B 两点，且坐标原点O 到直线l 的距离为22，求
|AB |的最大值及对应的直线l 的方程.
5．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)上的点M ⎝ ⎛⎭
⎪⎫1，32到它的两焦点F 1、F 2的距离之和为4，A 、B 分别是它的左顶点和上顶点．
（Ⅰ）求此椭圆的方程及离心率； （Ⅱ）平行于AB 的直线l 与椭圆相交于P 、Q 两点，求|PQ |的最大值及此时直线l 的方程．
6,已知椭圆G ：x 24＋y 2＝1.过点(m,0)作圆x 2＋y 2＝1的切线l 交椭圆G 于A ，B 两
点．
（Ⅰ）求椭圆G 的焦点坐标和离心率；（Ⅱ）将AB 表示为m 的函数，并求AB 的最大值．。