信号采样与及恢复过程中的混叠及其滤波

信号采样与及恢复过程中的混叠及其滤波

一、实验目的：

（1）理解连续时间信号的采样与恢复过程；

（2）掌握采样序列的频域分析和滤波，信号的恢复，掌握Shannon 采样定理；

（3）学会利用MATLAB 软件分析信号采样、滤波与恢复的过程。

（4）学会FIR 滤波器的简单设计方法

二、实验内容：

给定原始信号如下式所示：

12()10.5sin 20.2sin 2f t f t f t ππ=++，

其中，12,f f 是信号原始频率（本实验中为自选常数，1f 为低频，2f 为高频）。确定一个采样频率s f 对()f t 进行采样，再将采样得到的序列

进行DFT ，画出过程中各信号的图形。进行频域高、低频滤波，再反变换得出处理后恢复出来的信号。将实验过程中得到的图形与理论图形进行比较，发现不同点并加以解释。

三、实验过程：

先选定f1=50hz 、270f Hz =，则原始信号表示为：

()10.5sin(250)0.2sin(270)f t t t ππ=+⨯+⨯

1、 原信号时域截取：

因为在计算机中只能计算离散的点列，若要用MATLAB 处理图形，只能先对信号进行截取和采样。本实验选定矩形截取窗口的宽

度为原信号周期的m 倍，m 为正整数。所以画出截取后的信号图像为

图1截断后的信号图像

原信号中低频为50Hz ，高频为70Hz ，取采样频率s f 为3倍的2f ，即370210fs Hz Hz =⨯=。50和70的最大公约数为10，所以原信号的最小正周期为1/10s ，这里取m 为3（即取窗口函数的宽度为3/10s ），相应的采样点数=1400.342Nc ⨯=，所以窗口函数为

()100.30t s t ---≤<⎧∏=⎨---⎩其他

其图像如图2所示，其傅立叶变换图像如图3所示，其公式如下：

(){}/2sin(0.5)0.5j F t e ωτωττωτ-∏=，其中0.3s τ=

图2 窗函数 图3窗函数傅里叶变换（CTFT ）

时域截取的过程就是原函数()f t 在时域乘以()t ∏，而在频域()F ω与/2sin(0.5)0.5j e ωτωττωτ

-做卷积运算后再乘以系数1/2π，而在实际计算机仿真过程中，只要选好信号横坐标的范围就完成了截取信号的过程，本实验中取信号横坐标为[0,0.3)，截取后的CT 信号的傅里叶变换图像如图4所示，其图像在频域坐标轴上向正负无穷延展。

图4 截取后的CT 信号（[0,0.3)s s ）的CTFT ()j F ω

2、 截断信号的时域采样

截断后的信号就可以在时域上进行采样，采样函数为()S t nT δ+∞

-∞-∑，

截断后的信号()j f t 乘以()S n nT δ+∞

-∞-∑，所以在频域相当于()1/2j F πω与

()s s n ωδωω+∞

-∞-∑进行卷积，其得到的图像为周期的，其图像与离散采样

信号的DTFT 形式相同。

以上为CT 信号的分析，对于离散信号，为了适应计算机的处理方式，我们需要采用DFT 和IDFT 进行计算求解。采样后的离散信号图像为下图所示

图5 采样后的信号

对上述有限的离散信号求DTFT ，可以得到其在频域的表现形式，对离散角频率Ω取[0,6.28]之间的629个样点，计算其DTFT ，并画出图像如下

图6 有限采样信号的DTFT 频谱

如果对上述频谱图进行采样，则相应的，离散采样信号将进行周期延拓，如果在频域进行采样，并保证在一个主周期中，有N 个采样点，则离散采样信号将以N 为离散周期进行延拓。如果令63N Nc ==,则其相当于原始周期信号的采样。

利用DFT ，我们可以完成这个过程，DFT 公式为

1

2/2/01()[]N j k N j nk N n X e x n e N ππ--==∑g 其类似于DTFS 公式，特点是隐含周期性，就得到了离散的频谱，其频谱与连续周期信号的频谱在形式上极为相似，只要保证N Nc =，频谱赋值在数值上相同。其图像如下：

图7 离散信号的DFT 离散频谱

3、 设计离散滤波器并进行滤波。

目前，只进行了低通滤波。

目标：滤除70Hz 的高频成分，保留直流分量和50Hz 的低频成分。

方法：采用窗函数法设计FIR 滤波器。采用海明窗。

具体步骤：

（1）、取通带截止频率为12p s f f πΩ=⨯

，取阻带起始频率为2

2st s f f πΩ=⨯，2p st c Ω+ΩΩ=,取阻带衰减不小于-50db 。

（2）、求理想滤波器的冲击响应。

||()0||j t j c d c e h e ωωωπ

πω-⎧≤⎪=⎨≤⎪⎩

1sin[()]||()()||

c c

d c c n n h n ωτωππτωπωπ⎧-≤⎪-⎪=⎨⎪≤⎪⎩

(3)、选择窗函数 本实验取海明窗 2()[0.540.46cos ]()1

N n w n R n N π=-- (4)、确定N 值。 海明窗带宽： 6.6/N ωπ=V ，2()/st p s ωπ=Ω-ΩΩV ，所以求得N 为35

（5）、确定FIR 滤波器的()h n ()()()d h n h n w n =

（6）、求()j H e ω 经过计算，得到的滤波器的单位冲击响应和滤波器的频谱图如下图所示

图8 滤波器单位冲击响应

图9 数字滤波器的频谱图

下面进行滤波，把离散信号的DFT 离散频谱函数和数字滤波器的频谱函数对应相乘，进行了频域滤波。滤波后的离散频谱如下图