两点间距离公式及中点坐标公式
两点之间的距离公式及中点坐标公式
y y1 y2 2
二、坐标法——将几何问题转化为代数问
• P71练习A：1－4. 2－1A：1－4.
• 选做：B组题
P72：习题
(0,y) M 2
M
A
A2
x x1 x2 Байду номын сангаасx
y y1 y2 y
(0，y1)
A1 O M1
B1
x
(X1,0) (X,0) (X2,0)
即： x x1 x2 2
y y1 y2 2
这就是线段中点坐标 的计算公式 ，简称
—— 中点公式
【例4】已知 :平行四边形ABCD的三个顶点坐标
A(- 3,0),B(2,-2),C(5,2).求:顶点D的坐标。
AD2 b a2 c2,
AC2 b2 c2,
x
O A(0,0) B(a,0)
BD 2 b 2a2 c2
AC2 BD2 4a2 2b2 2c2 4ab, 2(2a2 b2 c2 2ab),
AB2 AD2 2a2 b2 c2 2ab,
所以 AC2 BD2 2 AB2 AD2 .
解：因为平行四边形的两条对角线中点相同,
所以它们的中点的坐标也相同.
设D 点的坐标为(x,y).
y D(x,y)
x2 35
则
2
2
M
C(5,2
y2 02
O
A(-3,0)
x
2
2
B(2,-2)
解得 x=0 ∴D(0,4)
y=4
〖课堂检测〗 1、求两点的距离： （1) A（6，2） , B（-2,5） （2) A (2 , -4) , B (7 , 2)
A(x1，y1) A2
o
两点之间的距离公式及中点坐标公式
数轴上两点的距离
A
B
o x1
x2
A x1
o
B x2
所以A,B两点的距离为 两点的距离为: 所以 两点的距离为 d(A,B)= X 2 – X 1
2.1.2平面直角坐标系中的基本公式
1.两点的距离公式 两点的距离公式
如图：有序实数对 与点P对 如图：有序实数对（ x,y）与点 对 与点 这时（ 称为点P的坐标 应，这时 x,y）称为点 的坐标， 这时 称为点 的坐标， 并记为P（x,y），x叫做点 的横坐 叫做点P的横坐 并记为 叫做点 叫做点P的纵坐标 标，y叫做点 的纵坐标。 叫做点 的纵坐标。
O
AD = (b − a) + c ,
AC = b + c ,
2 2 2
A(0 A(0,0)
B(a,0 B(a,0)
BD = (b − 2a) + c
2 2
2
AC + BD = 4a + 2b + 2c − 4ab,
2 2 2 2 2
= 2(2a + b + c − 2ab), 2 2 2 2 2 AB + AD = 2a + b + c − 2ab, 所以 AC2 + BD2 = 2(AB2 + AD2 ).
证明：取A为坐标原点，AB所在直线为X 证明：取A为坐标原点，AB所在直线为X轴建 立平面直角坐标系 xOy ，依据平行四边形的 性质可设点A 性质可设点A，B，C，D的坐标为
(
)
A(0,0), B(a,0), C(b, c), D(b − a, c).
所以 AB
2
2
=a ,
2
两点间距离公式中点公式
两点间距离公式中点公式Prepared on 21 November 2021两点间距离公式、中点公式教学目标：掌握两点间坐标公式、中点公式教学重点、难点：公式的应用教学过程：一、两点间距离公式：初中曾学习过数轴上两点间距离，实际就是求数轴上两点所表示的两个数的差的绝对值。
现在我们研究平面内任意两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）间的距离。
如图，由点P1，P2分别作x轴的垂线P1M1，P2M2，与x轴分别交于点M1（x1，0），M2（x2，0）；再由点P1，P2分别作y轴的垂线P1N1，P2N2，与y轴分别交于N1（0，y1），N2（0，y2），直线P1N1，P2M2相交于Q点，则有P1Q＝M1M2＝｜x2－x1｜，Q P 2＝N 1N 2＝｜y 2－y 1｜。
由勾股定理，可得P 1P 22＝P 1Q 2＋Q P 22＝｜x 2－x 1｜2＋｜y 2－y 1｜2＝（x 2－x 1）2＋（y 2－y 1）2由此得到平面内P 1（x 1，y 1），P 2（x 2，y 2）两点间的距离公式 例1、求平面上两点A （1，-2），B （3，5）之间的距离。
解 ()()53251322=++-=AB二、中点公式平面内任意两点P 1（x 1，y 1），P 2（x 2，y 2），线段的中点，求点P 的坐标（x ，y ）.由点P 1，P 2分别作x 轴的垂线P 1M 1，P 2M 2，与x 轴分别交于点M 1（x 1，0），M 2（x 2，0），M (x ,0),则即 x x x x -=-21所以 221x x x += 类似上面方法可得因此，点21p p 之间锁链线段的中点坐标为221x x x +=，221y y y += 上式称为线段的中点公式。
例2、有一线段A B ，它的中点坐标是（4，2），端点A 坐标是（-2，3），求另一端点的坐标。
解 设另一端点B 坐标为()y x ,，由中点坐标公式可知 232,224y x +=+-= 解之得1,10==y x所以端点坐标为()1,10。
两点坐标公式和中点坐标公式
两点坐标公式和中点坐标公式
两点坐标公式指的是计算两个坐标点之间的直线距离的公式，而中点坐标公式是计算两个坐标点连线的中点坐标的公式。
1.两点坐标公式：
设两个点的坐标分别为(x1,y1)和(x2,y2)，则它们之间的直
线距离d可以使用以下公式进行计算：
d=√((x2x1)^2+(y2y1)^2)
其中"^"表示乘方运算。
这个公式的原理是根据勾股定理，通过计算两个坐标在x轴
和y轴上的差值的平方和，再开平方得到直线距离。
2.中点坐标公式：
设两个点的坐标分别为(x1,y1)和(x2,y2)，它们连线的中点
坐标为(xm,ym)，则中点坐标可以使用以下公式进行计算：
xm=(x1+x2)/2
ym=(y1+y2)/2
这个公式的原理是将两个坐标点在x轴和y轴分别做平均，
得到中点的横纵坐标。
两点间距离公式和线段的中点坐标公式
２.已知△ABC的三个顶点坐标A（－3，1），B（0，－2），C（5，3），求
△ABC三边的长，并判断△ABC是否是直角三角形.
解：｜AB｜＝ (0 + 3)2 +(−2 − 1)2 ＝ 18＝3 2
(5 + 3)2 +(3 − 1)2 ＝ 68
｜BC｜＝ (5 − 0)2 +(3 + 2)2 ＝ 50＝5 2
（1，2）
（1，－2）
三、解答题
1.点A（2，3），B（3，m）之间的距离为 26，求m值.
解：由题意得 (3 − 2)2 +( − 3)2 ＝ 26，解得m＝8或m＝－2
2.若点A（1，－2）与点B关于点P（2，－3）对称，求点B的坐标.
1+
−2+
解：设点B（x，y），则 ＝2，
＝－3，解得x＝3，
B.（4，－2）
C.（－7，1）
D.（1，2）
二、填空题
根据条件将表中数据填充完整.
题号
点A的坐标
点B的坐标
（1）
（0，0）
（2，4）
（2）
（4，－3）
（3）
（－2，2）
（2，0）
（0，1）
（4）
（3，－4）
（3，4）
（3，0）
（5）
（1，－1）
（－3，－5）
（－1，－3）
（－2，－1）
线段AB的中点坐标
∵ ｜AB｜2＋｜BC｜2＝｜AC｜2
∴△ABC是直角三角形
｜AC｜＝
亲爱的同学们，下节课见！
,
2
2
.
一、选择题
1.已知O（0，0），A（3，4），则O、A两点间的距离｜OA｜＝（
两点之间的距离公式及中点坐标公式.ppt
A 0 , 0 , B a , 0 , C b , c , D b a , c .
所以
AB a ,
2 2
2 2 2
y D (b-a, c)
C (b, c) x
AD b a c ,
AC b c,
2 2 2
O
A(0,0)
B(a,0)
2 BD b 2 a c 2 2
d(A,C)=
2 2
即|AC|=|BC|且三点不共线
所以，三角形ABC为等腰三角形。
【例3】已知 ABCD ,求证 2 2 2 2 AC BD 2 AB AD .
证明：取A为坐标原点，AB所在直线为X轴建 立平面直角坐标系 xOy ，依据平行四边形的 性质可设点A，B，C，D的坐标为
A
[题组冲关] 3．假如某爱国实业家在20世纪初需要了解全国各地商业信
息，可采用的最快捷的方式是
(
)
A．乘坐飞机赴各地了解 B．通过无线电报输送讯息 C．通过互联网 D．乘坐火车赴各地了解
解析：本题考查中国近代物质生活的变迁。注意题干信 息“20世纪初”“最快捷的方式”，因此应选B，火车速度
”；此后十年间，航空事业获得较快发展。
筹办航空事宜
处
三、从驿传到邮政 1．邮政
(1)初办邮政： 1896年成立“大清邮政局”，此后又设
邮传部 邮传正式脱离海关。
，
(2)进一步发展：1913年，北洋政府宣布裁撤全部驿站； 1920年，中国首次参加 万国邮联大会 。
2．电讯 (1)开端：1877年，福建巡抚在 办电报的开端。 (2)特点：进程曲折，发展缓慢，直到20世纪30年代情况才发生变 化。 3．交通通讯变化的影响
两点之间的距离公式及中点坐标公式-两点和终点坐标公式。
证明：取A为坐标原点，AB所在直线为X 证明：取A为坐标原点，AB所在直线为X轴建 立平面直角坐标系 xOy ，依据平行四边形的 性质可设点A 性质可设点A，B，C，D的坐标为
(
)
A(0,0), B(a,0), C(b, c), D(b − a, c).
所以 AB
2
2
=a ,
2
2 2
y (bD (b-a, c) C (b, c) x
2 2
d(A,C)= d(C,B)=
(5 -1) + (0 − 2) = 2 2 (5 − 3) + (0 − 4) =
2 2
20
20
即|AC|=|BC|且三点不共线 |AC|=|BC|且三点不共线 所以，三角形ABC为等腰三角形。 所以，三角形ABC为等腰三角形。 ABC为等腰三角形
【例3】已知 ABCD ,求证 已知 2 2 2 2 AC + BD = 2 AB + AD .
o
x A 1
x
d(O,A)=
当A点在坐标轴上时这一公式 也成立吗？ 也成立吗？
y
A
o
A
x
A
显然， 显然，当A点在坐标轴上时 点在坐标轴上时
d(O,A)=
这一公式也成立。 这一公式也成立。
A(x1, y1 ), B(x2 , y2 )
一般地，已知平面上两点A(x 一般地，已知平面上两点A(x1，y1)和 利用上述方法求点A B(x2，y2)，利用上述方法求点A和B的距离
O, A 两点之间的距离通常用 d(O, A)
表示。 表示。
当A点不在坐标轴上时： 点不在坐标轴上时：
在平面直角坐标系中，已知点A(x， 在平面直角坐标系中，已知点A(x， A(x 原点O和点A的距离d(O,A)是多少呢？ d(O,A)是多少呢 y) ，原点O和点A的距离d(O,A)是多少呢？
两点间距离公式及中点坐标公式
d(A, B) (4)2 72 65
【例2】已知：点A(1，2)，B(3，4)，C(5， 0)
求证：三角形ABC是等腰三角形。
证明：因为 d(A,B)= 312 4 22 8
d(A,C)= 5 -12 0 22 20
—— 中点公式
【例4】已知 :平行四边形ABCD的三个顶点坐标
A(- 3,0),B(2,-2),C(5,2).求:顶点D的坐标。
解：因为平行四边形的两条对角线中点相同,
所以它们的中点的坐标也相同.
设D 点的坐标为(x,y).
y D(x,y)
则
x2 35
2
2
y2 02
M O
A(-3,0)
24
2
24
8．1 两点间的距离与线段中点的坐标
例4 已知ABC 的三个顶点为A(1,0)、B(2,1)、C(0,3) ，试
巩 固
求BC边上的中线AD的长度．
知
解 设BC的中点D坐标为D(xD , yD )，则由 B(2,1)、C(0,3) 得
识
典
xD
(2) 2
0
1，yD
1 3 2
d(C,B)= 5 32 0 42 20
即|AC|=|BC|且三点不共线 所以，三角形ABC为等腰三角形。
该题用的方法----坐标法。可以将几 何问题转化为代数问题。
2、中点公式
合作探究（二）：中点公式
已知A（x1，y1）, B（x2，y2）， 设 M(x,y)是线段AB的中点
显然当a点在坐标轴上时doa一般地已知平面上两点ax11y11和bx和bx22y22利用上述方法求点a和b的距离222121dababxxyy??a1yyxoxobx2y2ax1y1b1b2a2显然当ab平行于坐标轴或在坐标轴上时公式仍然成立
两点间的距离公式及中点公式
两点间的距离公式及中点公式在我们学习数学的旅程中，有两个非常实用的宝贝，那就是两点间的距离公式和中点公式。
这两个公式就像是我们探索数学世界的秘密武器，能帮助我们解决好多有趣又有点小挑战的问题。
先来说说两点间的距离公式。
想象一下，在一个大大的平面上，有两个点 A(x1, y1) 和 B(x2, y2)，就好像是两个小伙伴在操场上站着。
那怎么算出这两个小伙伴之间的距离呢？这时候两点间的距离公式就派上用场啦，它就像是一把神奇的尺子，能告诉我们答案。
公式是：d = √[(x2 - x1)² + (y2 - y1)²] 。
给大家举个例子吧。
有一次我去公园散步，看到两个花坛，一个在坐标（3，5）的位置，另一个在（7，9）的位置。
我就想啊，这两个花坛之间的距离到底是多少呢？我马上就想到了两点间的距离公式，把数字代进去，算出来距离是√[(7 - 3)² + (9 - 5)²] = √[4² + 4²] = √32 =4√2 。
哇，一下子就知道了它们之间的距离，感觉自己就像个数学小侦探，特有成就感！再来说说中点公式。
假如还是这两个点 A(x1, y1) 和 B(x2, y2)，那它们连线的中点坐标是啥呢？中点公式告诉我们：中点坐标为（(x1 + x2) / 2, (y1 + y2) / 2）。
我想起有一次帮小朋友们分糖果。
有两个小朋友分别站在不同的位置，我想把糖果公平地放在他们中间的位置，让他们过来拿都差不多远。
这时候中点公式就帮了大忙，我算出了中点的位置，把糖果放在那里，两个小朋友都很开心，觉得特别公平。
在实际生活中，这两个公式的用处可多啦。
比如在建筑设计中，工程师要确定两个建筑物之间的距离和中间的位置；在地图导航里，计算两个地点之间的距离和中间的参考点。
所以啊，同学们可别小看这两个公式，它们虽然看起来简单，但是作用大大的。
只要我们认真掌握，就能在数学的世界里畅行无阻，解决更多的难题，发现更多的乐趣！总之，两点间的距离公式和中点公式是我们数学学习中的好帮手，让我们继续努力，用它们去探索更多未知的数学奥秘吧！。
坐标中点公式和距离公式的区别和联系
坐标中点公式和距离公式的区别和联系在数学中，坐标中点公式和距离公式是两种常用的计算方式，用于测量和描述平面上的点之间的位置关系。
虽然它们的应用场景有所不同，但在某些方面又存在联系。
1. 坐标中点公式坐标中点公式用于确定平面上两个点的中点坐标。
假设有两个点A(x1, y1)和B(x2, y2)，我们想要找到这两个点之间的中点坐标C(x, y)。
根据坐标中点公式，中点C的横坐标可以通过以下方式计算：x = (x1 + x2) / 2中点C的纵坐标可以通过以下方式计算：y = (y1 + y2) / 2通过这个公式，可以轻松地找到任意两个点的中点坐标。
坐标中点公式常常用于计算线段的中点和图形的重心等。
2. 距离公式距离公式用于计算平面上两个点之间的距离。
假设有两个点A(x1, y1)和B(x2, y2)，我们想要计算这两个点之间的距离d。
根据距离公式，两点之间的距离d可以通过以下方式计算：d = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)²)这个公式基于勾股定理，通过计算两点间的水平距离和垂直距离，最后使用平方根得到两点间的直线距离。
距离公式在几何学中非常重要，常用于计算线段、直角三角形、多边形等的长度。
它能够量化点与点之间的空间距离，从而帮助我们解决许多与位置和距离相关的问题。
区别与联系尽管坐标中点公式和距离公式的应用场景和计算方式有所不同，但它们之间也存在着一些联系。
首先，这两个公式都是计算平面上的点。
坐标中点公式用于计算两个点的中点坐标，而距离公式用于计算两个点之间的距离。
其次，这两个公式的计算都是基于坐标的。
坐标中点公式通过取两个点的横纵坐标的平均值来计算中点的坐标，而距离公式则使用两点的坐标差的平方和来计算距离。
最后，这两个公式都提供了一种计算平面上点的方法，能够帮助我们在几何学和数学问题中解决与点相关的计算和分析。
在实际应用中，这两个公式常常相辅相成。
例如，在分析图形的特性时，可以使用坐标中点公式找到中点，然后结合距离公式计算各个点之间的距离，从而得到关于图形的更多信息。
两点距离公式中点公式
两点距离公式中点公式在数学的奇妙世界里，两点距离公式和中点公式就像是两个忠实的小伙伴，默默地为我们解决着各种问题。
先来说说两点距离公式吧。
假设我们有两个点，A(x₁, y₁)和 B(x₂, y₂)，那么这两点之间的距离 d 就可以通过公式d = √[(x₂ - x₁)² + (y₂- y₁)²]来计算。
这个公式看起来有点复杂，其实理解起来并不难。
我记得有一次，我们班组织了一场校园寻宝活动。
老师在校园里藏了几个“宝贝”，然后给了我们几个点的坐标，让我们通过计算两点之间的距离来找到宝贝的位置。
我和同桌小明一组，拿到的第一个点是教室门口的 A(3, 5)，第二个点是操场边的大树 B(7, 9)。
我们赶紧拿出纸和笔，按照两点距离公式开始计算。
我负责计算横坐标的差值 (7 - 3)² = 16，小明负责计算纵坐标的差值 (9 - 5)² = 16，然后我俩一起把这两个差值相加，16 + 16 = 32，再对 32 开平方，得到√32 = 4√2。
算出距离后，我们一路小跑，按照这个距离去寻找，果然在差不多的位置发现了老师藏的第一个宝贝，是一本有趣的漫画书，可把我俩高兴坏了！再聊聊中点公式。
对于两点 A(x₁, y₁)和 B(x₂, y₂)，它们的中点坐标 M((x₁ + x₂)/2, (y₁ + y₂)/2)。
这个公式在很多实际问题中都能派上用场。
有一次上美术课，老师让我们画一幅校园风景图。
我想画教学楼和校门口之间的那段路，但是不知道怎么确定路的中间位置。
这时候我就想到了中点公式。
教学楼的位置假设是 A(2, 6)，校门口是 B(8, 2)，那中点的横坐标就是 (2 + 8) / 2 = 5，纵坐标是 (6 + 2) / 2 = 4，所以路的中间位置大概就在(5, 4)这个点。
按照这个位置画出来，感觉整幅图的比例都协调多了。
在日常生活中，两点距离公式和中点公式的应用也不少呢。
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合作探究（二）：中点公式
已知A（x1，y1）, B（x2，y2）， 设 M(x,y)是线段AB的中点
y
A1M1 M1B1
B (0，y2) 2
B
A2M2 M2B2
(0,y) M 2
M
A
A2
x x1 x2 x
y y1 y2 y
(0，y1)
A1 O M1
B1
x
我们先寻求原点 O0,0 与任意一 点 Ax, y 之间距离的计算方法
O, A 两点之间的距离通常用 dO, A
表示。
当A点不在坐标轴上时：
在平面直角坐标系中，已知点A(x， y) ，原点O和点A的距离d(O,A)是多少呢？
y
A (x，y)
y
o x A1 x
d(O,A)=
当A点在坐标轴上时这一公式 也成立吗？
8.1平面直角坐标系中的基本公 式
1.两点的距离公式
如图：有序实数对（ x,y）与点P对 应，这时（ x,y）称为点P的坐标， 并记为P（x,y），x叫做点P的横坐 标，y叫做点P的纵坐标。
y
p(x，y) x
y
o
x
两点间的距离公式
思考1
在平面直角坐标系中，已知 两点的坐标，怎样来计算这两点 之间的距离呢？
x x1 x2 2
y y1 y2 2
二、坐标法——将几何问题转化为代数问题。
P48练习8.1.2.
求证：三角形ABC是等腰三角形。
证明：因为 d(A,B)= 312 4 22 8
d(A,C)= 5 -12 0 22 20
d(C,B)= 5 32 0 42 20
即|AC|=|BC|且三点不共线 所以，三角形ABC为等腰三角形。
该题用的方法----坐标法。可以将几 何问题转化为代数问题。
y
A
A
o
x
A
显然，当A点在坐标轴上时
d(O,A)=
这一公式也成立。
Ax1, y1, Bx2, y2
一般地，已知平面上两点A(x1，y1)和 B(x2，y2)，利用上y述方法求点A和B的距离
B2
B(x2，y2)
A(x1，y1) A2
o
A1
c
B1
x
d(A, B) | AB | (x2 x1)2 ( y2 y1)2
24
24
故所求的分点分别为P（ 3 , 5）、Q（ 3, 1）、R（ 9 , 1）.
24
2
24
8．1 两点间的距离与线段中点的坐标
例4 已知ABC 的三个顶点为A(1,0)、B(2,1)、C(0,3) ，试
巩 固
求BC边上的中线AD的长度．
知
解 设BC的中点D坐标为D(xD , yD )，则由 B(2,1)、C(0,3) 得
(X1,0) (X,0) (X2,0)
即： x x1 x2 2
y y1 y2 2
这就是线段中点坐标 的计算公式 ，简称
—— 中点公式
【例4】已知 :平行四边形ABCD的三个顶点坐标
A(- 3,0),B(2,-2),C(5,2).求:顶点D的坐标。
解：因为平行四边形的两条对角线中点相同,
所以它们的中点的坐标也相同.
设D 点的坐标为(x,y).
y D(x,y)
则
x2 35
2
2
y2 02
M O
A(-3,0)
C(5,2 x
2
2
B(2,-
解得 x=0 ∴D(0,4)
2)
y=4
例3 已知点S（0，2）、点T（−6，−1），现将线段ST四
等分，试（2、-4）、B（-2，3）. 求d（A，B）
解： x1 2, x2 2, y1 4, y2 3
x x2 x1 2 2 4,
y y2 y1 3 4 7
d(A, B) (4)2 72 65
【例2】已知：点A(1，2)，B(3，4)，C(5， 0)
识
典
xD
(2) 2
0
1，yD
1 3 2
2．
型
例
故 | AD | (11)2 (2 0)2 2 2,
题 即BC边上的中线AD的长度为2 2．
8．1 两点间的距离与线段中点的坐标
课堂练习 1、求两点的距离： （1) A（6，2） , B（-2,5） （2) A (2 , -4) , B (7 , 2)
2、已知A（a，0）, B（0,10）两点 的距离等于17，求a的值。
3、已知 : AB的CD三个顶点坐标分别是 A(- 1,-2),B(3,1),C(0,2).求:第D点的坐 标。
1.两点间的距离公式；
d(A, B) | AB | (x2 x1)2 ( y2 y1)2
2.中点坐标公式
解首先设求线出段S线T的段中ST点Q的坐标为(xQ , yQ )， 则的由中S（点0Q，的2）坐、标T，（然−6，−1）得 后再求SQ的中点P及
识
QxTQ的中0 点2(R6的) 坐3标．yQ
2
(1) 2
1 2
典
即 Q（ 3, 1）
型
2
图8－2
例 题
同理，求出线段SQ的中点P（ 3 , 5），线段QT的中点 R（ 9 , 1）.
显然，当AB平行于坐标轴或在坐标轴上时，公式 仍然成立。
给两点的坐标赋值：
x1 ?, y1 ?, x2 ?, y2 ?;
计算两个坐标的差，并赋值给另外两个量， 即
x x2 x1 y y2 y1
计算 d x2 y2
给出两点的距离 d
题型分类举例与练习