二次函数yaxhk的图象与性质课件
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二次函数图像与性质ppt课件
D．f(1)＞25
答案：A
三基能力强化
2．若函数f(x)＝ax2＋bx＋c满足 f(4)＝f(1)，那么( )
A．f(2)＞f(3) B．f(3)＞f(2) C．f(3)＝f(2) D．f(3)与f(2)的大小关系不确定 答案：C
三基能力强化
3．已知函数y＝x2－2x＋3在闭区
间[0，m]上有最大值3，最小值2，则
课堂互动讲练
【思路点拨】 (1)待定系数法．(2) 二次函数的单调性．
【解】 (1)依题意，方程f(x)＝ax2 ＋bx＝x有等根，
则有Δ＝(b－1)2＝0，∴b＝1. 2分 又f(－x＋5)＝f(x－3)， 故f(x)的图象关于直线x＝1对称， ∴－2ba＝1，解得 a＝－12，
∴f(x)＝－21x2＋x. 5 分
基础知识梳理
2．二次函数的图象及其性质
基础知识梳理
基础知识梳理
基础知识梳理
二次函数可以为奇函数吗？ 【思考·提示】 不会为奇 函数．
三基能力强化
1．已知函数f(x)＝4x2－mx＋5在
区间[－2，＋∞)上是增函数，则f(1)的
范围是( )
A．f(1)≥25
B．f(1)＝25
C．f(1)≤2＋2＝(x＋a)2＋2 －a2的对称轴为x＝－a，
∵f(x)在[－5,5]上是单调函数， ∴－a≤－5，或－a≥5， 解得a≤－5，或a≥5. 10分
规律方法总结
1．二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a ＞0)在区间[m，n]上的最值．
当－2ba＜m 时，函数在区间[m， n]上单调递增，最小值为 f(m)，最大 值为 f(n)；
基础知识梳理
1．二次函数的解析式有三种常用表 达形式
二次函数yax2k的图象和性质公开课ppt课件
二次函数y=ax2+k的性质
y＝ax2+k 图象
a>0
k＞0 k＜0
a<0
k＞0 k＜0
开口 对称性 顶点
增减性
开口向上
开口向下
a的绝对值越大，开口越小
关于y轴对称
(0,k)
顶点是最低点
顶点是最高点
在对称轴左侧递减 在对称轴左侧递增 在对称轴右侧递增 在对称轴右侧递减
• 1、今天我学会了顶点在y轴上的抛物
线
，它的开口方向由 所决
定，它的对称轴是 ，它得顶点
是。
•
决定了平移的方向，平移的规律
归纳为四个字是
。
• 2、请你模仿y=ax2的知识结构图总结 今天的函数y=ax2+k的知识结构图。
为深入学习习近平新时代中国特色社 会主义 思想和 党的十 九大精 神,贯彻 全国教 育大会 精神,充 分发挥 中小学 图书室 育人功 能
为深入学习习近平新时代中国特色社 会主义 思想和 党的十 九大精 神,贯彻 全国教 育大会 精神,充 分发挥 中小学 图书室 育人功 能
已知抛物线y=3x2+1上有两点 （x1,y1）、（x2,y2）,且x1＜x2＜0,则 y1 ＞ y2（填“＞”或“＜”）。
为深入学习习近平新时代中国特色社 会主义 思想和 党的十 九大精 神,贯彻 全国教 育大会 精神,充 分发挥 中小学 图书室 育人功 能
• 在同一直角坐标系中，画出二次函数y=x2, • y=x2＋1，y＝x2－1的图象．（要求：每组2、
4、6号完成）
• 在同一直角坐标系中，画出二次函数y=-x2, • y=-x2＋1，y＝-x2－1的图象． （要求：每组1、
3、5号完成）
y＝ax2+k 图象
a>0
k＞0 k＜0
a<0
k＞0 k＜0
开口 对称性 顶点
增减性
开口向上
开口向下
a的绝对值越大，开口越小
关于y轴对称
(0,k)
顶点是最低点
顶点是最高点
在对称轴左侧递减 在对称轴左侧递增 在对称轴右侧递增 在对称轴右侧递减
• 1、今天我学会了顶点在y轴上的抛物
线
，它的开口方向由 所决
定，它的对称轴是 ，它得顶点
是。
•
决定了平移的方向，平移的规律
归纳为四个字是
。
• 2、请你模仿y=ax2的知识结构图总结 今天的函数y=ax2+k的知识结构图。
为深入学习习近平新时代中国特色社 会主义 思想和 党的十 九大精 神,贯彻 全国教 育大会 精神,充 分发挥 中小学 图书室 育人功 能
为深入学习习近平新时代中国特色社 会主义 思想和 党的十 九大精 神,贯彻 全国教 育大会 精神,充 分发挥 中小学 图书室 育人功 能
已知抛物线y=3x2+1上有两点 （x1,y1）、（x2,y2）,且x1＜x2＜0,则 y1 ＞ y2（填“＞”或“＜”）。
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• 在同一直角坐标系中，画出二次函数y=x2, • y=x2＋1，y＝x2－1的图象．（要求：每组2、
4、6号完成）
• 在同一直角坐标系中，画出二次函数y=-x2, • y=-x2＋1，y＝-x2－1的图象． （要求：每组1、
3、5号完成）
二次函数的图象和性质课件
最大值出现在顶点处。
解决实际问题
实际应用场景
二次函数在许多实际问题中都有应用，如物体运动、经济 活动等。通过建立数学模型，我们可以利用二次函数来描 述和解决这些实际问题。
实际问题的求解策略
对于实际问题，我们通常需要结合二次函数的性质和实际 问题的特点来制定求解策略。这可能包括分析函数的单调 性、最值、零点等。
二次函数的顶点
总结词
二次函数的顶点坐标为(-b/2a, c-b^2/4a)。
详细描述
二次函数的最值点即为顶点。对于一般形式的二次函数y=ax^2+bx+c，其顶点的x坐标为-b/2a，y坐 标为c-b^2/4a。Biblioteka 二次函数的对称轴总结词
二次函数的对称轴为x=-b/2a。
详细描述
二次函数的对称轴是一条垂直于x轴的直线，其方程为x=-b/2a。这是由二次函数的最值性质决定的，对称轴上 方的函数值与对称轴下方的函数值相等。
二次函数图象的绘制
01
02
03
步骤一
确定二次函数的表达式， 例如 $f(x) = ax^2 + bx + c$。
步骤二
选择一个或多个点，代入 二次函数表达式中，计算 出对应的y值。
步骤三
在坐标系上标出这些点， 通过这些点绘制出二次函 数的图象。
二次函数图象的形状
形状特征一
二次函数图象是一个抛物 线。根据a的值（正或负） ，抛物线开口向上或向下 。
二次函数的图象和性质课 件
• 二次函数的基本概念 • 二次函数的图象 • 二次函数的性质 • 二次函数的解析式 • 二次函数的应用
01
二次函数的基本概念
二次函数定义
总结词
二次函数是形如$f(x) = ax^2 + bx + c$的函数，其中$a neq 0$。
解决实际问题
实际应用场景
二次函数在许多实际问题中都有应用，如物体运动、经济 活动等。通过建立数学模型，我们可以利用二次函数来描 述和解决这些实际问题。
实际问题的求解策略
对于实际问题，我们通常需要结合二次函数的性质和实际 问题的特点来制定求解策略。这可能包括分析函数的单调 性、最值、零点等。
二次函数的顶点
总结词
二次函数的顶点坐标为(-b/2a, c-b^2/4a)。
详细描述
二次函数的最值点即为顶点。对于一般形式的二次函数y=ax^2+bx+c，其顶点的x坐标为-b/2a，y坐 标为c-b^2/4a。Biblioteka 二次函数的对称轴总结词
二次函数的对称轴为x=-b/2a。
详细描述
二次函数的对称轴是一条垂直于x轴的直线，其方程为x=-b/2a。这是由二次函数的最值性质决定的，对称轴上 方的函数值与对称轴下方的函数值相等。
二次函数图象的绘制
01
02
03
步骤一
确定二次函数的表达式， 例如 $f(x) = ax^2 + bx + c$。
步骤二
选择一个或多个点，代入 二次函数表达式中，计算 出对应的y值。
步骤三
在坐标系上标出这些点， 通过这些点绘制出二次函 数的图象。
二次函数图象的形状
形状特征一
二次函数图象是一个抛物 线。根据a的值（正或负） ，抛物线开口向上或向下 。
二次函数的图象和性质课 件
• 二次函数的基本概念 • 二次函数的图象 • 二次函数的性质 • 二次函数的解析式 • 二次函数的应用
01
二次函数的基本概念
二次函数定义
总结词
二次函数是形如$f(x) = ax^2 + bx + c$的函数，其中$a neq 0$。
二次函数的图象和性质-课件
2．类比探究二次函数 y = ax2 的图象和性质
问题3 在同一直角坐标系中，画出函数 y 1 x 2，y 2x2
2
的图象，这两个函数的图象与函数 y = x2 的图象相比， 有什么共同点？有什么不同点？当 a＞0 时，二次函数 y = ax2 的图象有什么特点？
2．类比探究二次函数 y = ax2 的图象和性质
• 学习重点： 观察图象，得出二次函数 y = ax2 的图象特征和性质．
1．复习研究函数的一般方法
问题1 你认为我们应该如何研究函数的图象和性质？
2．类比探究二次函数 y = ax2 的图象和性质
问题2 类比一次函数的研究内容和研究方法，画出二次函 数 y = x2 的图象，你能说说它的图象特征和性质吗？
•
11、越是没有本领的就越加自命不凡 。2021/2/272021/2/272021/2/27Feb-2127-Feb-21
•
12、越是无能的人，越喜欢挑剔别人 的错儿 。2021/2/272021/2/272021/2/27Satur day, February 27, 2021
•
13、知人者智，自知者明。胜人者有 力，自 胜者强 。2021/2/272021/2/272021/2/272021/2/272/27/2021
问题4 类比 a＞0 时的研究过程，画图研究当 a＜0 时，二 次函数 y = ax2 的图象特征．
2．类比探究二次函数 y = ax2 的图象和性质
问题5 你能说出二次函数 y = ax2 的图象特征和性质吗？
2．类比探究二次函数 y = ax2 的图象和性质
归纳： 一般地， 抛物线 y = ax2 的对称轴是 y 轴， 顶点是 原点． 当 a＞0 时， 抛物线开口向上，顶点是抛物线的最 低点； 当 a＜0 时， 抛物线开口向下，顶点是抛物线的最 高点． 对于抛物线 y = ax2 ，｜a｜越大，抛物线的开口越 小．
二次函数的图像与性质ppt课件
函数的凹凸性
当a>0时，函数凹；当a<0时，函数凸。
函数的零点和方程
零点是方程y=0的解，方程求解可以用二次公式。
二次函数的应用
1
抛物线运动
抛物线可以描述物体在空中的轨迹，如
弹性系数
2
抛出物体的运动轨迹。
二次函数可以表示材料的弹性特性，如
描述力和变形的关系。
3
跳水成绩预测
通过二次函数建模，可以预测跳水运动
二次函数的图像与性质 ppt课件
通过本课件，你将深入了解二次函数的定义和表达式，并学习二次函数的图 像特征，如开口方向、对称轴、最值点和零点等。还将探究二次函数的性质， 如增减性、凹凸性、最值和零点方程。从抛物线运动到报价模型，掌握二次 函数的应用。最后，了解二次函数的变形与拓展，包括平移、缩放、翻转和 混合运用。同时，我们将解决常见错误和实际问题应用。
常见错误和解决方法
1 符号错误
检查符号的正确使用，特别是a的正负。
3 图像理解错误
注意开口方向、对称轴和最值点的判断。
2 方程解法错误
仔细检查求解方程是否正确，特别是二次方 程。
4 实际问题应用
将数学模型应用到实际问题时，需考虑问题 的实际情况并合理使用二次函数。
开口方向
当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时， 抛物线开口向下。
最值点
最值点是抛物线的最高点（当a>0）或最 低点（当a<0）。最值点的坐标为(-b/2a, f(-b/2a))。
二次函数的性质
函数的增减性
当a>0时，函数单调递增；当a<0时，函数单调 递减。
函数的最值
最值主要由最值点确定，注意开口方向和a的值 来确定最值。
九年级数学二次函数yaxh2k的图象公开课获奖课件
(0,0)
(1,0)
(1,1)
y
y=2x2 5
y=2(x–1)2+1
4
3
2
y=2(x–1)2
1
x
–5 –4 –3 –2 –1–O1 1 2 3 4 5
–2
第5页
y 画出函数 y 1 x2
y
1
x
22
2 2
5 4
2
y 1 x 22 3
2
3
图像
2
1
x
–5 –4 –3 –2 –1O 1 2 3 4 5 –1
y
(0,–2)，即x=0时， 5
y取最大值–2
4
3
顶点从(0,0)移到了 (0, 2)，即x=0时， y取最大值2
2
1
x
–5 –4 –3 –2 –1O 1 2 3 4 5 –1
–2
–3
–4
–5
第2页
顶点从(0,0)移到了
y 5
(–2,0)，即x= y取最大值0
–2时，
4 3
顶点从(0,0)移到了 (2,0)，即x=2时， y取最大值0
–2
–3
–4 第6页
二次函数y=a(x–h)2+k图象和性质.
y=a(x–h)2 当k>0时,向上平移 y=a(x–h)2+k
当k<0时,向下平移 y=a(x–h)2+k图象 a＞0时，开口_向__上__, 最 _低___ 点是顶点; a＜0时，开口_向__下__, 最 高____ 点是顶点; 对称轴是 直__线__x_=_h_， 顶点坐标是 __(h_，__k_)。
第7页
指出如下函数图象开口方向,对称轴和顶点坐标. 开口 对称轴 顶点坐标
二次函数 的图象和性质 (课件)
（x>0）,y随x的增大而 增大。 抛物线与x轴的交点是（0,0）。 与y轴也交于此点，是图像的 最 低 点，也叫顶点。
2.若点A(2,m)在抛物线y=x2上, 则点A关于y轴对称点的坐标是？
解： 因为A(2,m)在抛物线y=x2上 所以m=4，即A(2,4)
则点A(2,4)关于y轴对称点的坐标 是（-2,4）
3.已知y=mxm2+1 的图像是不在第一、
二象限的抛物线,则m=_______.
解：由题意的： m2+1=2 且 m<0 解得m=-1
4.二次函数y=mxm2-1 的图像有最低点
则m是多少？
小结：二次函数y=± x2的性质
在对称轴左侧，y随x的增大而减小，
在对称轴右侧，y随x的增大而增大．
在y=-x2的图象中正好相反．
3.y=x2有最低点，y=-x2有最高点
即 y=x2有最小值而y=-x2有最大值
y=x2
x
y=－x2
二次函数y=x2 与 y=-x2 的异同点：
相同点：
1. 形状：图像都是抛物线 2.图象都与y轴交于点( 0,0 ) 3.图象都关于y轴对称．
当x=1时，y=1 当x=2时，y=4
向上,并且向上无限
伸展;当x=0时,函数y
的值最小,最小值是ww0w.
探究二次函数y=-x2的图象
二次函数y=－x2的图象是什么形状？先想一想，然后作出
它的图象，它与二次函数y=x2的图象有什么关系？与同伴进行
交流。
y
y=x2
y 它与抛物线y=x2
（1）满足条件的m 的值；
（2）m为何值时，抛物线有最低点？求 出这个最低点，
2.若点A(2,m)在抛物线y=x2上, 则点A关于y轴对称点的坐标是？
解： 因为A(2,m)在抛物线y=x2上 所以m=4，即A(2,4)
则点A(2,4)关于y轴对称点的坐标 是（-2,4）
3.已知y=mxm2+1 的图像是不在第一、
二象限的抛物线,则m=_______.
解：由题意的： m2+1=2 且 m<0 解得m=-1
4.二次函数y=mxm2-1 的图像有最低点
则m是多少？
小结：二次函数y=± x2的性质
在对称轴左侧，y随x的增大而减小，
在对称轴右侧，y随x的增大而增大．
在y=-x2的图象中正好相反．
3.y=x2有最低点，y=-x2有最高点
即 y=x2有最小值而y=-x2有最大值
y=x2
x
y=－x2
二次函数y=x2 与 y=-x2 的异同点：
相同点：
1. 形状：图像都是抛物线 2.图象都与y轴交于点( 0,0 ) 3.图象都关于y轴对称．
当x=1时，y=1 当x=2时，y=4
向上,并且向上无限
伸展;当x=0时,函数y
的值最小,最小值是ww0w.
探究二次函数y=-x2的图象
二次函数y=－x2的图象是什么形状？先想一想，然后作出
它的图象，它与二次函数y=x2的图象有什么关系？与同伴进行
交流。
y
y=x2
y 它与抛物线y=x2
（1）满足条件的m 的值；
（2）m为何值时，抛物线有最低点？求 出这个最低点，
22.1.3 二次函数yax2 k的图象和性质 课件(共15张PPT)
解析式为___y_=_a_x_2_+_k___,向下平移k个单位，那么它的 解析式为____y_=_a_x_2_-_k___.
抛物线之间的平移规律：
抛物线
y=ax2 向上平移 抛物线
k(k>0)个单位
y=ax2+k
抛物线 y=ax2 向下平移 抛物线 y=ax2-k
k(k>0)个单位
运用所学，巩固练习
������
方向相反的抛物线所对应的函数是( B )
A.y=-������x2-1
������
B.y=������x2-1
������
C.y=-������x2+1
������
D.y=������x2+1
������
2.下列函数中,当 x>0 时,y 随 x 的增大而增大的是
(B )
A.y=-x+1 B.y=x2-1 C.y=������ D.y=-x2+1
y
y
y
y
o
x
o
x
o
x
o
x
A
B
C
D
例3 已知抛物线 y 4x2 c 与直线 y=-x+k相交于A、B
两点，点A的坐标为（1，1）
（1）求c、k的值；
（2）若抛物线顶点为M，求三角形ABM的面积。
������
例1 已知函数 y ax2 c的图象过点（1，-1）和点（2，
5）， （1）求这个函数的解析式； （2）当x取何值时，函数值y随x的增大而增大； （3）求这个函数的图象与x轴的交点坐标。
例2 问：点A（1，7）是否在抛物线 y 2x2 上？如果不
在，那么怎样向上（或向下）平移抛物线可使平移后的抛 物线经过A点？
抛物线之间的平移规律：
抛物线
y=ax2 向上平移 抛物线
k(k>0)个单位
y=ax2+k
抛物线 y=ax2 向下平移 抛物线 y=ax2-k
k(k>0)个单位
运用所学，巩固练习
������
方向相反的抛物线所对应的函数是( B )
A.y=-������x2-1
������
B.y=������x2-1
������
C.y=-������x2+1
������
D.y=������x2+1
������
2.下列函数中,当 x>0 时,y 随 x 的增大而增大的是
(B )
A.y=-x+1 B.y=x2-1 C.y=������ D.y=-x2+1
y
y
y
y
o
x
o
x
o
x
o
x
A
B
C
D
例3 已知抛物线 y 4x2 c 与直线 y=-x+k相交于A、B
两点，点A的坐标为（1，1）
（1）求c、k的值；
（2）若抛物线顶点为M，求三角形ABM的面积。
������
例1 已知函数 y ax2 c的图象过点（1，-1）和点（2，
5）， （1）求这个函数的解析式； （2）当x取何值时，函数值y随x的增大而增大； （3）求这个函数的图象与x轴的交点坐标。
例2 问：点A（1，7）是否在抛物线 y 2x2 上？如果不
在，那么怎样向上（或向下）平移抛物线可使平移后的抛 物线经过A点？
二次函数yaxhk的图象和性质PPT课件
y = ax2 + k
y = a(x - h )2
上下平移 |k|个单位
左右平移
y = ax2 |h|个单位
结论: 一般地，抛物线 y = a(x-h)2+k 与y = ax2形状相同，位置不同。
抛物线y=a(x－h)2+k有如下 特点:
(1)当a>0时, 开口向上; 当a<0时，开口向下;
(2)对称轴是直线x=h;
2．抛物线的左右平移 （1）把二次函数y=(x+1) 2的图像， 沿x轴向左平移３个单位， 得到___y_=_(x_+_4_)_2____的图像； （2）把二次函数___y_=_(x_+_2_)_2+_1___的图像， 沿x轴向右平移2个单位，得到y=x 2+1的图像.
3．抛物线的平移： （1）把二次函数y=3x 2的图像， 先沿x轴向左平移３个单位， 再沿y轴向下平移2个单位， 得到_y_=_3_(_x_+_3_)2_-2____的图像； （2）把二次函数___y_=_-_3(_x_+_6_)2___的图像， 先沿y轴向下平移2个单位， 再沿x轴向右平移3个单位， 得到y=-3(x+3) 2－2的图像.
2
y 1 x2 2
y 1
有什么关系?
-5 -4 -3 -2 -1-1 o 1 2 3 4 5 x
平移方法1:
y 1 (x 1)2 1
-2
2
-3
y
1 2
x
2向下平移 1个单位
y
1 2
x
2
1
-4 -5 -6
向左平移 y 1 (x 1)2 1
1个单位
2
-7
人教版九年级数学上册课件：二次函数y=axh图象和性质优秀ppt课件
抛物线
y=x2+1
抛物线y=x2
向下平移 1个单位
抛物线
y=x2－1
y
10
把抛物线y=2x2+1向上平
9 8
移5个单位,会得到那条抛物线?
7
向下平移3.4个单位呢?
6 5
4
y=x2+1 y=x2
(1)得到抛物线y=2x2+6 (2)得到抛物线y=2x2－2.4
3 2
y=x2－1
1
-5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5 x
描点
y 1 (x 1)2 2
…
-2 -0.5
0 -0.5
-2 -4.5 -8
…
y 1 (x 1)2 … -8 -4.5 -2 -0.5 0 -0.5 -2 …
2
y
可以看出,抛物线的开口向下,
1
y 1 (x 1)2 2
对顶称点轴是是(－经1,过0);
点(－1,0)且与x轴垂直的直
线,我们把它记为x=－1,
在同一坐标系中作出下列二次函数:
y 1 x 2 y 1 (x 2)2
2
2
观察三条抛物线的
y 1 (x 2)2
2
6
5
相互关系,并分别指
y 1 x 22
4
2
出它们的开口方向,
3
对称轴及顶点.
2
1
y 1 x 22
y 1 x2 2
2
y 1 (x 2)2 向左平移-8
2
2个单位
-6
-4
人教版九年级数学上册课件：2二2.次1.函3 数二次 y=a函xh数图y=象a(和x 性-h质)2优图 秀象和pp性t 课质件.(共 20张PP T)
人教版九年级数学上册《二次函数y=a(x-h)_+k的图象和性质》第1课时 课件(共22张PPT)
复习回顾
二次函数 =
>0
的图像和性质
<0
图像
开口方向
对称轴
顶点
<0
增减性
>0
开口大小
向上
向下
轴
轴
(0,0) (0,0) 最低点ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
(0,0) (0,0) 最高点
随 的增大而减小
随 的增大而增大
随 的增大而增大
随 的增大而减小
越大，开口越小
探究二次函数 =
2
+ ≠ 0 的图像和性质
1 在同一个直角坐标系中画出 1 = 22，2 = 22 + 1，3 = 22 − 1 的图象.
1. 列表
1 =
···
2
2
2 = 22 + 1
3 =
2
2
−1
−2 −1.5 −1 −0.5
0
0.5
1
1.5
2
···
···
8
4.5
2
0.5
0
0.5
(0, ) 最高点
函数性质
最值
有最小值是
有最大值是
探究二次函数 =
2
+ ≠ 0 的图像和性质
6 抛物线 = 2 + 的性质.
图像从左至右 在对称轴左侧
的变化趋势 在对称轴右侧
增减性
>0
<0
下降
上升
上升
下降
>0
<0
<0
随 的增大而减小 随 的增大而增大
二次函数 =
>0
的图像和性质
<0
图像
开口方向
对称轴
顶点
<0
增减性
>0
开口大小
向上
向下
轴
轴
(0,0) (0,0) 最低点ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
(0,0) (0,0) 最高点
随 的增大而减小
随 的增大而增大
随 的增大而增大
随 的增大而减小
越大，开口越小
探究二次函数 =
2
+ ≠ 0 的图像和性质
1 在同一个直角坐标系中画出 1 = 22，2 = 22 + 1，3 = 22 − 1 的图象.
1. 列表
1 =
···
2
2
2 = 22 + 1
3 =
2
2
−1
−2 −1.5 −1 −0.5
0
0.5
1
1.5
2
···
···
8
4.5
2
0.5
0
0.5
(0, ) 最高点
函数性质
最值
有最小值是
有最大值是
探究二次函数 =
2
+ ≠ 0 的图像和性质
6 抛物线 = 2 + 的性质.
图像从左至右 在对称轴左侧
的变化趋势 在对称轴右侧
增减性
>0
<0
下降
上升
上升
下降
>0
<0
<0
随 的增大而减小 随 的增大而增大
课件《二次函数的图像和性质》完美PPT课件_人教版1
；
4 8 顶点坐标是
.
2 2
（2）点A（-1，3）和B(2，-6）的2 坐标满足抛物线的表达式，即
p p 8q com/beijing/
PPT图表：www.
∴ 3， 5， com/kejian/meishu/
4
8
∴ p 12，q 13.
所以该抛物线的表达式为y=-2x2-12x-13.
（2）点A（-1，3）和B(2，-6）的坐标满足抛
函数y= ax2+bx+c
解：∵y=x2+2x-1=（x+1）2-2，
y = 4(x-3)2 +7
（2）点A（-1，3）和B(2，-6）的坐标满足抛物线的表达式，即
x取何值时，y随x增大而减小?
（1） y＝2x2＋4x；
（2）抛物线y=ax2+bx-6经过点A（-1，3）和B(2，-6).
例3 根据下列条件，确定抛物线的表达式．
y = ax2 + k
com/kejian/shengwu/
x取何值时，y随x增大而增大?
顶点坐标是
.
com/fanwen/ （， ）
函数y= ax2+bx+c
y = 4(x-3)2 +7 （， ）
y= ax2+bx+c
（3） y＝
；
1、抛物线y=a(x-h)2+k的图像与性质：
1.当a﹥0时，开口 向上 ， 当a﹤0时，开口 向下 ， 2.对称轴是 直线x=h； 3.顶点坐标是 (h，k.)
Ⅱ、当a＜0时
当
x
=
-b 2a
最大值=
4ac - b2 4a
例2 求抛物线y=x2+2x-1的对称轴和顶点坐标，并 画出它的图像．
二次函数yaxh的图象和性质市公开课一等奖省优质课获奖课件
y 1 x 1
2
-，1 ）0
且与 x 轴垂直直线，我们把它记作，顶点
是（ -，1 ）0 ；抛物线 y 1 x 12 开口 向，下对称轴是经过（ 21， 0）且
与 轴x 垂直直线，我们把它记作x=－1，
顶点是（ ，1 ）0.
第9页
在同一直角坐标系中，画出以下二次函数
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
图象
y 1 x，2 2
y
1 2
(x
2)，2
y
1 2
(x
2)2
，观察三条抛物线位置关系，并分别指出
他们开口方向、对称轴和顶点.
第10页
y 1 x2 2
开口向上、对称轴y轴、顶点坐标（0,0）
第11页
y 1 (x 2)2 2
开口向上、对称轴x=-2、顶点坐标（-2,0）
第12页
y 1 (x 2)2 2
开口向上、对称轴x=2、顶点坐标（2,0）
二次函数 y a(x h)2 图象；
第5页
三、研读课文
探究 在同一直角坐标系中，画出函
数，y
1x
2
12
，y
1 2
x
12
图象，并分别指出他们开口方向、对
称轴和顶点.
第6页
三、研读课文 解：（1）列表
-3 -2 -1 1 2 3
-2
1 2
0
1 2
-2
9 2
-8
-8
9 2
-2
1 2
0
1 2
-2
（2）对称轴是直线 x = h
；
（3）顶点坐标是 ( h , 0 )
.
第18页
2、抛物线 y a(x h)2 与 y ax2
二次函数的图像和性质PPT课件
顶点形式
二次函数的顶点形式是f(x) = a(x - h)^2 + k，其中(h, k)为顶点坐标。
二次函数图像的性质
对称轴
二次函数的对称轴是x = -最大值。
开口方向
二次函数开口向上当且仅当a > 0，开口向下当且仅当a < 0。
二次函数的变换
导数
二次函数的导数是一条直线，表示了函数的变化率。
凹性质
二次函数的凹性质取决于a的值，a > 0时函数向上凹，a < 0时函数向下凹。
凸性质
二次函数的凸性质取决于a的值，a > 0时函数向上凸，a < 0时函数向下凸。
二次函数的非负和非正性质
1 非负性质
2 非正性质
当a > 0时，二次函数的图像位于x轴以上。
建筑
物理
二次函数的图像和性质可应用 于建筑设计，优化结构和形状。
P物理实验中，二次函数可以 用于描述运动曲线和力学模型。
总结和展望
通过本课程，我们深入了解了二次函数的图像和性质，掌握了解析和图像求 解的方法，并应用于实际领域。希望你喜欢这次学习！继续思考和探索，创 造性地应用二次函数。
1
平移
平移变换可通过改变顶点来实现，横向平移表示为f(x ± h)，纵向平移表示为f(x) ± k。
2
缩放
缩放变换可通过改变a的值来实现，a > 1时函数变窄，0 < a < 1时函数变宽。
3
反转
反转变换可通过改变a的符号来实现，a > 0时函数朝上，a < 0时函数朝下。
二次函数的导数和凹凸性质
二次函数的图像和性质
欢迎来到二次函数的图像和性质课程！通过本课程，您将学习二次函数的定 义和表达形式，并探索其图像的性质和变换。让我们开始吧！
二次函数的顶点形式是f(x) = a(x - h)^2 + k，其中(h, k)为顶点坐标。
二次函数图像的性质
对称轴
二次函数的对称轴是x = -最大值。
开口方向
二次函数开口向上当且仅当a > 0，开口向下当且仅当a < 0。
二次函数的变换
导数
二次函数的导数是一条直线，表示了函数的变化率。
凹性质
二次函数的凹性质取决于a的值，a > 0时函数向上凹，a < 0时函数向下凹。
凸性质
二次函数的凸性质取决于a的值，a > 0时函数向上凸，a < 0时函数向下凸。
二次函数的非负和非正性质
1 非负性质
2 非正性质
当a > 0时，二次函数的图像位于x轴以上。
建筑
物理
二次函数的图像和性质可应用 于建筑设计，优化结构和形状。
P物理实验中，二次函数可以 用于描述运动曲线和力学模型。
总结和展望
通过本课程，我们深入了解了二次函数的图像和性质，掌握了解析和图像求 解的方法，并应用于实际领域。希望你喜欢这次学习！继续思考和探索，创 造性地应用二次函数。
1
平移
平移变换可通过改变顶点来实现，横向平移表示为f(x ± h)，纵向平移表示为f(x) ± k。
2
缩放
缩放变换可通过改变a的值来实现，a > 1时函数变窄，0 < a < 1时函数变宽。
3
反转
反转变换可通过改变a的符号来实现，a > 0时函数朝上，a < 0时函数朝下。
二次函数的导数和凹凸性质
二次函数的图像和性质
欢迎来到二次函数的图像和性质课程！通过本课程，您将学习二次函数的定 义和表达形式，并探索其图像的性质和变换。让我们开始吧！
秋九级数学上册二次函数yax的图像和性质新版新人教版PPT课件
线,我们把它叫做抛物线.
课堂练习
画出函数 y= - x2 的图象.
x
… -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y=-x2 … -9 -4 -1 0 -1 -4 -9 …
y
0 -4 -2
24
x
-3
-6
-9
讨论
说说二次函数y=x2的图象有哪些性质，并与同伴交流.
1.y＝x2是一条抛物线;
2.图象开口向上; 3.图象关于y轴对称; 4.顶点（ 0 ，0 ）; 5.图象有最低点．
4
y 1 x2
2
2
-4 -2
24
当a>0时， a越大，开口越小.
练一练：在同一直角坐标系中，画出函数
y 1 x2, y 2x2 2
的图象．
x
··· －4 －3 －2 －1
y 1 x2 2
···
-8
-4.5
-2
-0.5
0123
0 -0.5 -2 -4.5
4 ···
-8 ···
x
··· －2 －1.5 －1 －0.5 0 0.5 1 1.5 2 ···
y 2x2 ··· 8 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 8 ···
思考1：从二次函数 y 1 x2 , y x2 , y 2x2 开口大小与a的大小
2有什么关系？y x2y 2x2 86
x ··· －2 －1.5 －1 －0.5 0 0.5 1 1.5 2 ···
y 2x2··· -8 -4.5 －2 -0.5 0 －0.5 －2 －4.5 －8 ···
思考2 从二次函数 y 1 x2 , y x2 , y 2x2 开口大
课堂练习
画出函数 y= - x2 的图象.
x
… -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y=-x2 … -9 -4 -1 0 -1 -4 -9 …
y
0 -4 -2
24
x
-3
-6
-9
讨论
说说二次函数y=x2的图象有哪些性质，并与同伴交流.
1.y＝x2是一条抛物线;
2.图象开口向上; 3.图象关于y轴对称; 4.顶点（ 0 ，0 ）; 5.图象有最低点．
4
y 1 x2
2
2
-4 -2
24
当a>0时， a越大，开口越小.
练一练：在同一直角坐标系中，画出函数
y 1 x2, y 2x2 2
的图象．
x
··· －4 －3 －2 －1
y 1 x2 2
···
-8
-4.5
-2
-0.5
0123
0 -0.5 -2 -4.5
4 ···
-8 ···
x
··· －2 －1.5 －1 －0.5 0 0.5 1 1.5 2 ···
y 2x2 ··· 8 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 8 ···
思考1：从二次函数 y 1 x2 , y x2 , y 2x2 开口大小与a的大小
2有什么关系？y x2y 2x2 86
x ··· －2 －1.5 －1 －0.5 0 0.5 1 1.5 2 ···
y 2x2··· -8 -4.5 －2 -0.5 0 －0.5 －2 －4.5 －8 ···
思考2 从二次函数 y 1 x2 , y x2 , y 2x2 开口大
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