各向同性湍流中的尺度及其相互作用问题

1

空间转换到谱空间。但这种方法并没有解除湍流相关理论的缺陷。另外，随着湍 流研究工作的深入，人们越来越多地注意到均匀各向同性湍流理论的一些内在矛 盾，在这种背景下，有必要重新考察均匀各向同性湍流理论的理论基础，本项研 究拟从一个新的理论角度出发，对现有的均匀各向同性湍流理论（包括可压缩湍 流的统计理论）进行全面的评估和发展,对一些有争议的湍流学术问题提出新的 见解。
=
c2t
+ c20
将第三个式子代入有
ν bl
=
c3t
+
c30
−
l
3
2b 2
db dt
= c1 ⎜⎛ c3 ⎝
ν ⎟⎞ − c1c30 bl ⎠ c3
+ c10
写成 Sedov 的形式
1 2b
dl dt
=
c2 c3
⎜⎜⎝⎛
ν bl
⎟⎟⎠⎞
−
c 2 c30 c3
+ c20
1 b
dl dt
= a1⎜⎜⎝⎛
同样的方法不难得到：
b(t) ∝ t −1
由此可以得到对于湍流系统存在一个守恒关系：
(3.5) (3.6) (3.7)
(3.8) (3.9) (3.10)
在本文中，我们引入记号
bl = cons tan t
(3.11)
I = bl 2
(3.12)
表示这种守恒关系。 另外的非幂级数解可以按一般方法计算。由此可以得到：湍流运动的多尺度表现为两个方面： ①对于湍流尺度的幂级数形式解，相对于参数而言，可以存在两种相似尺度； ②可以存在非幂级数形式解。
目录
[0]引言 [1]Karman-Howarth 方程 [2]自保持解 [3]尺度演化方程 [4]三元关联系数解 [5]Taylor 微尺度及守恒方程 [6]积分尺度及递推关系 [7]一般能谱公式 [8]大尺度动力学 [9]结论
引言
包括已故的诺贝尔奖获得者 Feynman 在内的好几位物理学家认为，湍流是 经典物理学中尚未得到解决的最后一个大难题。对湍流基础研究的进展，可以直 接导致许多实际工程及科学应用的进步。例如，坚实地掌握湍流机理，可以使工 程师减小汽车或民用客机的气动阻力，改进喷气歼击机的机动性，提高发动机的 燃料效率。在学术上，湍流研究促进了各学科的交叉。总之，湍流研究具有重要 的学术意义和应用价值。
f
2
+4 ξ
df dξ
⎟⎟⎠⎞
(1.6)
整理可以有
dh + 4 h = − l
dξ ξ
3
2b 2
db f dt
+ 1 dl ξ df + 2 b dt dξ
ν bl
⎜⎜⎝⎛
d2 dξ
f
2
+
4 ξ
df dξ
⎟⎟⎠⎞
(1.7)
固定 ξ ，对时间求偏导数，有
d
⎡ ⎢−
l
dt ⎢ 3
⎣ 2b 2
db dt
⎤ ⎥ ⎥
2
详细的理论推导见附录 1。可见相对于湍流参数来讲具有离散解，也有连续解。
[3]尺度演化方程
对于湍流的尺度，在自保持解假设下可以有尺度演化方程组[3]
1 b
dl dt
= a1⎜⎜⎝⎛
ν bl
⎟⎟⎠⎞
+
p
(3.1)
−l 3 b2
db dt
= a2 ⎜⎜⎝⎛
ν bl
⎟⎟⎠⎞
(3.2)
由第一式有
1 这里参数的定义为σ = a2 。 2a1
目前，由于理论和直接数值模拟工作的研究深入，越来越多的研究工作对于 人们认为已经成熟的均匀各向同性湍流理论提出了一些挑战问题，这里主要以不 可压缩湍流的尺度以及能谱方面所面临的挑战进行论述： ①各向同性湍流大尺度动力学。在湍流的谱空间中反映的是低波数段的行为，在 这一波数段主要是大尺度结构起作用，它直接与流动系统守恒量相关联。传统的 湍流理论预测的是在极低波数区湍谱是 Batchelor 谱，后来，Saffman 发现在一定 的条件下，可以得到另外的低波数段谱，即所称的 Saffman 谱。这两种谱形式是 矛盾的，并对应不同的系统守恒量，直接数值模拟的结果显示问题可能与初始的 能谱形式有关，如何在均匀各向同性湍流理论框架内得到问题的理解是一个没有 解决的理论问题； ②均匀各向同性湍流理论中一种比较有效的简化是 von Karman 提出的自保持假 设，这一假设的条件是流场存在单一的长度尺度和速度尺度，对于自保持解存在 的条件学术界一直存在讨论。最近，有工作显示出可能存在适合全湍流流场的统 一尺度，即所谓的 Taylor 微尺度系统，由此带来的问题是：如果存在这一尺度系 统，它如何与已有的 Kolmogorov 尺度系统所表征的结构相容，这一研究可能将 对已有的湍流理论在惯性区的普适性提出质疑； ③远耗散区的湍流能谱结构。对于较小的尺度，波数大于 Kolmogorov 波数的区 域，粘性是重要的，对于这种情形，湍流能谱形式一直存在较大的争论。经典理 论工作的结论，已被大量的数值模拟及实验结果所否定，另一个比较重要的进展
=
2ν b⎜⎜⎝⎛
∂2 ∂r
f
2
+
4 r
∂f ∂r
⎟⎟⎠⎞
(1.1)
2

这里
b = u2
f = 湍流的二元关联函数
h = 湍流的三元关联函数
有关理论可以参见标准的湍流专著。 引入自保持假设
ξ
=
r
l (t )
(1.2)
则有
∂f = df ∂ξ = − 1 dl ξ ∂t dξ ∂t l dt
[4]三元关联系数解
6

由前面的分析可以得到湍流三元关联系数的方程
dh dξ
+4 ξ
h
=
p ξf 2
′
(4.1)
此方程积分有
h(ξ ) =
p 2
1 ξ4
ξ
∫ξ 5
0
f
′(ξ )dξ
(4.2)
利用原方程将此式简化有
h(ξ
)
=
a2
5p − 5a1
⎡ ⎢⎣
f
′(ξ
f
⎦
+
d dt
⎡ ⎢⎣
2
1 b
dl dt
⎥⎦⎤ξ
df dξ
+
d dt
⎡ ⎢⎣
ν ⎤⎡d 2 f
bl
⎥⎦
⎢ ⎣
dξ
2
+4 ξ
df dξ
⎤ ⎥ ⎦
=
0
(1.8)
Sedov(1941,1950)分析了有关系数的几种可能分布，得到如下结论：
其中，系数为
c1 f
+ c2ξ
df dξ
+
c3
⎡ ⎢ ⎣
d2 dξ
f
+
⎜⎜⎝⎛
4 ξ
+
a1 2
ξ
⎟⎟⎠⎞
df dξ
+ a2 2
f
=0
(2.1)
边界条件如下
f (0) = 1
这一方程的解为1：
( ) 当σ = 5 时， f ξ
− a1 ξ 2
=e 4
2
f (∞) = 0
当k
=
σ
−
5
，
f
(ξ )
=
− a1 ξ 2
e4
F ⎜⎛
5
−σ,
5,
a1
ξ
2
⎟⎞
4
⎝2 2 4 ⎠
当k
ν bl
⎟⎟⎠⎞
+
p
−l 3 b2
db dt
= a2 ⎜⎜⎝⎛
ν bl
⎟⎟⎠⎞
+
q
将此式代入三元关联系数的方程有
dh + 4 h = p ξf ′ − q f dξ ξ 2 2
由 h 的对称性，按 ξ 的幂级数展开应该从三次方开始，从而有
由三元关联系数的对称性可以定出
q =0
以上构成湍流尺度演化方程组。
是有关参数对于 Rλ (以 Taylor 微尺度定义的 Reynolds 数)依赖性的发现，理论上，
目前仅有 Kraichnan 提出的直接相互作用理论（DIA）能给出一定的理论预测， 但如何在均匀各向同性湍流理论框架内得到问题的理解同样也是一个没有解决 的理论问题。 另外，小尺度湍流的间歇性质与 Navier-Stokes 方程的关系也未完全建立。总之， 尽管由于几代人的努力，各向同性湍流理论在取得成功的同时也存在巨大的挑 战，这些挑战，构成湍流统计理论新的发展方向。 本文以湍流自保持假设为基础，发展了一套新的理论分析方法，并对湍流统计理 论的诸多理论问题进行了阐述。
(1.3)
∂f = df ∂ξ = 1 df ∂r dξ ∂r l dξ
(1.4)
∂2 f = 1 d2 f ∂r 2 l 2 dξ 2
(1.5)
将上述各式代入 KH 方程有
db dt
f
−b l
dl ξ dt
df dξ
+
2b
3 2
⎜⎜⎝⎛
4h lξ
+
1 l
dh dξ
⎟⎟⎠⎞
=
2νb l2
⎜⎜⎝⎛
d2 dξ
5

dl dt
=
a1
⎜⎛ ⎝
ν l
⎟⎞ ⎠
+pb源自(3.3)对时间求导有
d 2l dt 2
=
−a1
⎜⎛ ⎝
ν l2
⎟⎞ dl ⎠ dt
+
p 2b