第七章第四节局地均匀各向同性湍流

能量级串原理示意图
E(k)为能量密度
局地均匀各向同性湍流能谱模式
三、Kolmogorov的相似假设
1、对于这个“准平衡区”：“小尺度湍涡的统 计性质，唯一地由湍能耗散率ε与分子粘性υ 所决定”。外尺度为L0和内尺度为l0，
vl20 / τ ~ vl30 / l0
湍流能量生成
ε ~ υv / l 0
4 2/3 Dll (r ) = (− ) (εr ) 2 / 3 5S (l 0 << r << L)
Dll (r ) = ( 2εr ) 2 / 3
(l 0 << r << L)
五、压力结构函数
M与M’两点压力结构函数为
D pp (r ) = ( p ′ − p )
[ D pp (r )] = M L T
2 −2 −4
2
压力结构函数Dpp(r)
根据相似性假设（1）和量纲理论， Dpp(r) 决定于密度 ρ ，分子粘性 υ 和耗散率 ε ，因而 有
D pp (r ) ~ ρ υ ε
x1 x2
x3
x1=?，x2=?，x3＝？
压力结构函数Dpp(r)
根据量纲理论，得到
M 2 L−2 T
−4
= ( ML − 3 ) x1 ( L 2 T
Kolmogorov的重要贡献
2、结构函数Dij
v v v Bij (r) = ui (x)u′j (x +r)
M M’
vv Dij (x, r) = (ui′ −ui )(u′j −uj )
Kolmogorov的重要贡献
3、量纲分析方法 ，Kolmogorov的相似假 设。
当Re数足够大时，湍涡从外尺度L直到最小的 内尺度l0 全被激发出来。这时，湍流能量通过非 线性惯性力的作用，连续地、损耗十分小地从外 尺度含能湍涡逐级向更小的湍涡输送，直到内尺 度l0 为分子粘性所耗散掉。在平衡时，单位质量 流体的湍能耗散率ε与从外尺度含能湍涡单位时 间内输送的湍能输送率相等，且为常数。因此， 对于这个“平衡区间”，Kolmogorov做出了他的相 似假设。
∂Dll (r ) 4 = − εr Dlll (r ) − 6υ ∂r 5
从Kolmogorov的结构函数方程 得到2/3定律
该式仅对整体也呈均匀各向同性性质的湍流 才能成立。但实验表明，对于仅满足局地均匀 各向同性性质的湍流，该式也近似成立。于 是，当r<<l0时，由于此时湍流起伏很小，Dlll可 以忽略，由此立刻可以得到
2 l0
2
湍流能量耗散
特征尺度
l0 = υ / ε
4 3
v0 = 4 υε
Kolmogorov的相似假设
2、当Re数足够高以至 l0 十分小时，在上述 平衡区间中波数较小的一端，必然会存在一个 “惯性子区间”，在这个子区间中分子粘性的影 响已经可以忽略，。 当Re数充分大时，平衡区间的波数较小的 一端存在着一个惯性子区间，该区间的统计性 质唯一地由量ε决定”
Ko1mogorov湍流模型一定正确？
湍流的不连续性又称间歇性现象的发现是对 Ko1mogorov湍流模型的一个挑战。 湍流的间歇性现象，也有人把它称为淬发、 湍斑或湍流的团块结构。它最早是由Batchlor 与Townsend在l949年在风洞实验中栅网后的 均匀各向同性湍流中发现的。 间歇性广泛地存在于时间、空间、波数空间 之中。
Dlll (r ) = (u l′ − u l ) 3
Dlnn (r )
∂Dlll ∂Dlll 1 1 v Dijk (r ) = ( Dlll + r )(rk δ ij + ri δ jk + r j δ ki ) + 3 ( Dlll − r )ri r j rk 6r ∂r ∂r 2r 1 ∂ Dlnn ( r ) = ( r + 1) Dlll ( r ) Dlll (r ) = 6 Blll (r ) 6 ∂r ∂ Dln n ( r ) = ( r + 1) Blll ( r ) ∂r
−1
) x2 ( L2 T
−3
) x3
2 = x1 ⎧ ⎪ ⎨− 2 = −3x1 + 2 x 2 + 2 x3 ⎪ − 4 = − x − 3x 2 3 ⎩
2
⎧ x1 = 2 ⎪ ⎨ x2 = 1 ⎪x = 1 ⎩ 3
r D pp ( r ) ~ ρ υεπ ( ) l0
惯性子区压力结构函数Dpp(r)
1 ε 2 Dll (r ) = r 15 υ
从Kolmogorov的结构函数方程 得到2/3定律
而在惯性子区间中，按照Ko1mogorov第二 相似假设υ＝0， Ko1mogorov方程立刻给出
4 Dlll (r ) = − εr 5
(l 0 << r << L)
Dlll S = 3/ 2 Dll
v ′ Dnn (r ) = (u n − u n ) 2
不可压缩局地均匀各向同性 湍流的结构函数
根据不可压缩和各向同性的特点，可以得到
r ∂Dll Dnn = Dll + 2 ∂r
准平衡区湍流速度结构函数
利用前面假设以及量纲理论，处于准平衡区 湍流，其速度结构函数为
Dll (r ) ~ υε β (r / l 0 )
r →∞
2 2 2 2 2 2 Dll (r ) = Dnn (r ) = u = (u1 + u 2 + u 3 ) 3 3
结构函数和相关矩之间的关系
如果流场也具有整体均匀各向同性性质，则 它们与三阶纵向相关矩应有以下关系
′ Dijk (r ) = (u i′ − u i )(u ′j − u j )(u k − u k )
7、Karman－Howarth方程点相关矩
这个方程 不闭合
湍流
均匀各向同性湍流
问题
湍能衰变的某些 近似的规律
局地均匀各向同性湍流
Kolmogorov，Obukhov，Monin，Yaglom，Novikov和Tatarskii等
§7．4 局地均匀各向同性湍流
湍流的内尺度l0和外尺度L0
我们将把l0称之为湍流的内尺度. 我们把流场中最大湍涡的大小，或平均流的 特征尺度叫湍流的外尺度L0。 既然湍流场整体具有均匀各向同性性质的假 设 十 分 不 现 实 。 Kolmogorov 建 议 人 们 缩 小 目 标—只研究小尺度湍流的局地性质而放弃研究 湍流的整体性质。 局地均匀各向同性概念与整体均匀各向同性 概念不同，前者有可能是普遍存在的，因而具 有相当普遍的现实意义。
2
4/3
Cp
粘性子区压力结构函数Dpp(r)
对于惯性子区 r<< l0 ，类似前面处理
r r 2 π( ) ~ ( ) l0 l0
D pp (r ) ~ C ′ ρ ε p
2
2/3
υ
−1 / 2
r
2
六、Ko1mogorov的修正部分
几十年来，Ko1mogorov理论已获得很大成 功，在大气中，在海洋中，在实验室中，人们 几乎到处都观测到了这个理论所预测的2/3湍 谱。它不仅有重要的理论意义，是湍流发展史 中一个具有里程碑意义的成就，而且在许多工 程应用中有直接应用价值。 人们在大量实验观测中看到了Ko1mogorov 理论所预测的结果。
α
3
1 3α − 2 4
ε
1 α + 2 4
rα
α=2/3
Dll (r ) = Cε
2/3
r
2/3
′ε 2 / 3 r 2 / 3 Dnn ( r ) = C
粘性子区湍流速度结构函数
对于粘性子区，r<<l0，将β(r/l0)展开得
r ∂β β ( ) = β (0) + l0 ∂r ∂2β r ( )+ 2 ∂r r =0 l 0 r 2 ∂3β ( ) + 3 l ∂r r =0 0
复 习
1、什么是均匀各向同性湍流？ 2、均匀各向同性湍流速度的二阶相关 矩具有什么特点？ 3、不可压缩均匀各向同性湍流的速度 二阶相关矩具有什么特点？ 4、对于速度三阶相关矩呢？ 5、均匀各向同性湍流的压力－速度相 关矩的特点是什么？ 6、不可压缩均匀各向同性湍流的压力 －速度相关矩等于多少？
复习
湍流间歇性的描述
如何描述这类不连续的随机现象，在概率论 上也是一个挑战。Batchlor与Townsend建议 用平坦因子F来描述。定义平坦因子F为四阶矩 与二阶矩平方之比。
F=
u u
4 2
γ = 3/ F
2
间歇性意味着
间歇性为湍涡尺度的不均匀，表现在湍谱上 就是湍谱频率分量的不连续过程，反映出小尺 度分量在空间分布中的不均匀性。就是说，小 尺度并非如Ko1mogorov理论所假设的那样， 是均匀各向同性的。
结构函数的微分方程
从Karman-Howarth方程出发可以得到相 应的支配结构函数的微分方程
∂Dll (r ) d 4 ( + )[ Dlll (r ) − 6υ ] = −4ε dr r ∂r
d 1 2 d 1 2 3 d 3 d 2 2 2 ε = − ( u ) = − [ (u1 + u 2 + u 3 )] = − (u1 ) = − Bll (0, t ) dt 2 dt 2 2 dt 2 dt
一、概述 二、Kolmogorov的重要贡献 三、Kolmogorov的相似假设 四、速度结构函数 五、压力结构函数 六、Ko1mogorov的修正部分 七、实验 个例 八、总结和作业
一、概述
Kolmogorov Obukhov Tatarskii 结构函数的“2／3定律” 湍流谱的“－5／3定律”