10-3三重积分的概念与性质
数学分析中的三重积分
§2. 三重积分的计算 z
三重积分化为三次积分的过程： 三重积分化为三次积分的过程：
(1) Ω向 xoy 面上投影，得到 D。 面上投影， (2) D向 x 轴投影，得到 轴投影， a ≤ x ≤ b, D: y1( x) ≤ y ≤ y2( x).
z2 z1
∫c
∫x1( y) ∫z1( x, y)
§2. 三重积分的计算
(1) Ω向 yoz 面上投影，得到Dyz。 面上投影， (2) Dyz向 y 轴投影，得到 轴投影，
z1( y) ≤ z ≤ z1( y), D: a ≤ y ≤ b.
x
x2
x1 Ω
(3) 过点( y, z) ∈ Dyz 作直线,
z
1
过点( x, y) ∈ D 作平行与z 轴 的直线, 得到
x
1
o D
1 2
y
0 ≤ z ≤ 1 − x − 2 y.
于是， 于是，
Yunnan University
∫∫∫ x dxdydz = ∫0 dx∫0
1
Ω
1− x 1− x−2 y 2 dy xdz
∫0
§2. 三重积分的计算
过点( x, y) ∈ D 作平行与 z 轴的直线, 得到
Ω
b
y2 ( x)
z2 ( x, y)
f ( x, y, z)dz.
注意
(1) 平行于 z 轴且穿过闭区域Ω内部的直线与闭 区域 Ω 的边界曲面 S 相交不多于两点情形． 相交不多于两点情形．
(2) 若平行于z 轴且穿过闭区域Ω内部的直线与 相交多于两点时， 闭区域Ω 的边界曲面 S 相交多于两点时，把 ． Ω分若干个小区域来讨论
高数同济六版D103三重积分
通过选取特定的节点和权系 数，使得数值积分具有更高 的代数精度和更好的稳定性。
数值方法在求解复杂三重积分中应用
1 2 3
适应性网格划分
根据被积函数的特性，自适应地划分积分区域， 使得在函数变化剧烈的区域采用更细的网格，提 高计算精度。
蒙特卡罗方法
通过随机抽样估计三重积分值，适用于高维、复 杂积分区域的计算，但计算结果的精度与抽样次 数和随机数生成质量有关。
通过投影法或截面法，可以将三重积分转化为二重积分进行计算。
二重积分与三重积分在解决实际问题时常常相互转换，如计算物体体积、质量等。
与曲线曲面积分关系及转换方法
三重积分与曲线积分、曲面积分 之间有着密切的联系，它们都是 研究多元函数积分学的重要内容。
在一定条件下，三重积分可以转 化为曲线积分或曲面积分进行计
划分微元
将积分区域Ω划分为n个小立方体，每个小立方体的边长分 别为dx, dy, dz，小立方体的体积为dV=dx×dy×dz。
三重积分表达式
对于被积函数f(x,y,z)，其在积分区域Ω上的三重积分可以表 示为∭f(x,y,z)dV，其中积分号∭表示三重积分，dV表示体积 微元。
计算步骤
先对z进行积分，再对y进行积分，最后对x进行积分。即 ∭f(x,y,z)dV=∫[a,b]dx∫[c,d]dy∫[e,f]f(x,y,z)dz，其中[a,b]、 [c,d]、[e,f]分别为x、y、z的积分上下限。
高维数值积分方法
将高维积分转化为一系列一维积分的组合，利用 一维数值积分方法进行计算，降低计算复杂度。
误差分析和收敛性判断
误差来源分析
分析数值积分过程中产生的各种误差来源，包括截断误差、 舍入误差、模型误差等，为后续的误差控制和收敛性判断 提供依据。
三重积分先一后二例题
三重积分先一后二例题
摘要：
一、三重积分的概念和性质
1.三重积分的定义
2.三重积分的性质
二、三重积分的计算方法
1.先一后二法则
2.例题解析
a.计算三重积分∫∫∫(x^2y^3) dxdydz
b.计算三重积分∫∫∫(x^2z^2) dxdydz
三、三重积分在实际问题中的应用
1.物理中的应用
2.工程中的应用
正文：
三重积分是数学中的一种积分方法，用于计算空间中某一个函数在某一范围内的总和。
它的定义是将一个三维空间划分为无数个微小的矩形、立方体或者其它形状的小区域，然后对这些小区域中的函数值进行求和。
三重积分具有一定的性质，例如，它的积分次序可以改变，即先对x 积分、再对y 积分、最后对z 积分，或者先对y 积分、再对z 积分、最后对x 积分，结果是相同的。
这就是所谓的“先一后二”法则。
在计算三重积分时，我们可以利用“先一后二”法则，将三重积分转化为
多次单积分。
例如，对于函数f(x,y,z)=x^2y^3，我们可以先对x 积分，得到一个新的函数g(y,z)=y^3∫x^2dx，然后再对y 和z 积分。
这样就可以将复杂的三重积分转化为简单的多次单积分。
在实际问题中，三重积分常常应用于物理和工程等领域。
例如，在物理学中，可以用三重积分来计算物体的质量、体积和密度等；在工程中，可以用三重积分来计算流体的压力、速度和温度等。
第三节 三重积分的概念及性质
性质 4
d v V
（Ｖ为区域 的体积）．
性质 5
如果在 上，f ( x, y, z) g ( x, y, z) ，则有不等式
f ( x, y, z) d v g ( x, y, z) d v
特殊地有
f ( x, y, z) d v
质量可表示为
( x, y, z) d v．
三重积分的存在性： 当函数 f (x，y，z) 在闭区域 上连续时，函数 f(x，y，z) 在
上的三重积分是存在的，以后也总假定 f(x，y，z) 在闭区域 上是连续的．
二、三重积分的性质
性质 1
kf ( x, y, z) d v k f ( x, y, z) d v
f ( x, y, z) d v f ( y, x, z) d v
例1 设 : x 2 y 2 z 2 R 2 , z 0, 1 为 位于第一卦象内部分，
I1 ( xy 2 z )dv, I 2 xdv, 则（ ）．
(k 为常数)．
性质 2
[ f ( x, y, z) g ( x, y, z)]d v f ( x, y, z) d v g ( x, y, z) d v.
性质 3 如果闭区域 划分为两个闭区域1与 2 ，则
f ( x, y, z) d v f ( x, y, z) d v f ( x, y, z) d v
1
(A) I1 0
(C) I1 2 I 2
(B) I 2 0
(D) I1 4 I 2
解
I1 xy 2 dv zdv,
10-5 三重积分的概念与性质 (1)
x
y
Dxy : x 2 y2 4.
zdv
2
2 1 2 64 4 d (16 )d . 0 2 0 3
0
d d 2 zdz
0
2
4
12
(2)当 f ( x , y, z ) 在闭区域上连续时， 定义中和 式的极限必存在，即三重积分必存在.
(3)三重积分与二重积分有类似的性质。 (4)三重积分的物理意义：如果被积函数表示空 间物体的体密度，则三重积分表示物体的质量。
4
三重积分的直角坐标形式
z
已知三重积分存在的前提下 在直角坐标系下用平行于三 个坐标面的三组平面来划分区域 Ω，则典型小区域是长方体，
第十章 重积分
第三节 三重积分的概念
1
一、三重积分的概念
定义 设 f ( x , y, z ) 是空间有界闭区域 上的有界 ， 函数，将 任意分成 n 个小闭区域 v1 ， v2 , 上任取一点 (i ,i , i ) ， 作乘积 f (i ,i , i ) v i ， 并作和
在每个 vi vn ， v i 也表示第 i 个小闭区域的体积，
( i 1,2,, n) ，
f ( , , )v ，
i 1 i i i i
2
n
如果当各小闭区域的直径中的最大值 趋近于零 时，这和式的极限存在，则称此极限为函数 f ( x, y, z ) 在闭区域 上的三重积分， 记为
o
x
v
x
z
y
y
则体积元素为 dv xyz dxdydz
故三重积分可写为
f ( x, y, z )dv f ( x, y, z )dxdydz.
三重积分
z z2(x,y)
Ω为图示曲顶柱体
Ω
I =∫∫ dxdy∫z ( x, y) f ( x, y, z)dz
D
1
z2 ( x, y )
z1(x,y)
这就化为一个定积分和 一个二重积分的运算
0
.
y
D
x
方法2 . 截面法 (“先二后一”) 方法
I = ∫∫∫ f ( x, y, z)dxdydz
ρ
o
dz
y
其中 F(ρ,θ , z) = f (ρ cosθ , ρ sinθ , z ) 适用范围: 适用范围
θρ
dθ
dρ
1) 积分域 积分域表面用柱面坐标表示时方程简单 ; 方程简单 2) 被积函数 被积函数用柱面坐标表示时变量互相分离 变量互相分离. 变量互相分离
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例3. 计算三重积分
∫∫∫Ω f (x, y, z) d v = f (ξ,η,ζ )V
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二、三重积分的计算
1. 利用直角坐标计算三重积分 先假设连续函数 f (x, y, z) ≥ 0, 并将它看作某物体 的密度函数 , 通过计算该物体的质量引出下列各计算 方法: 方法1 . 投影法 (“先一后二”) 方法 方法2 方法 . 截面法 (“先二后一”) 方法3 方法 . 三次积分法 最后, 推广到一般可积函数的积分计算.
c2 z
z
Dz
Ω
I=
∫
.
c2
c1
dz ∫∫ f ( x,y,z)dxdy
Dz
c1
0 y
10.3三重积分
M =lim∑µ(ξi ,ηi ,ζi )∆vi
λ→0 i=1 =
n
∆vi
o x
(ξi ,ηi ,ζ i ) y
定义 设 f ( x, y, z)(( x, y, z)∈Ω) 若对 Ω 作任意分割: 任意分割: 任意取点 积和式” 极限 积和式”
lim∑ f (ξi ,ηi ,ζ i )∆vi
λ→0
n
i
)∆v i .
∫∫∫ f ( x, y, z )dv = lim ∑ f (ξ ,η , ζ λ
Ω →0 i =1 i i
n
i
)∆v i .
说明 (1) 在直角坐标系下常写作 dv = dxdydz. (2) 三重积分的性质与二重积分相似. 三重积分的性质与二重积分相似. 例如 线性性质、对积分区域的可加性、比较性质、 线性性质、对积分区域的可加性、比较性质、 估值性质、中值定理，还有 估值性质、中值定理，
1
D xy o
y
= ∫ dx ∫
−1
1− x
2 2
− 1− x
dy ∫
2− x − y
2
2
x
x +y
2
2
f ( x , y , z )dz
方法2 方法2 截面法 (“先二后一”) (“先二后一 先二后一”
(1) 将Ω向 z 轴投影，得投影区间[c1 , c2 ].
z
(2) 任取z ∈ [c1 , c2 ]，过 z作平行于xoy坐标 z 面的平面去截Ω，得截面Dz c1 ( x , y ) ∈ Dz o 则 Ω c1 ≤ z ≤ c2 x
例2 化 ∫∫∫ f ( x , y , z )dxdydz为三次积分，其中Ω为由
(完整版)10.3三重积分(新)
8
dz
2
2
d
0
4 r 2 rdr
2
8
r2 dz
2
336
另 解2
8
I dz
( x2 y2 )dxdy
2
Dz
8
2
dz d
2z r 3dr
2
0
0
336 24
4、利用球面坐标计算三重积分
设 M (x, y, z) 为空间内一点，则点M 可用三个有次序的数
r，， 来确定，其中r 为原点O 与点 M 间的距离， 为有向 线段 OM与 z 轴正向所夹的角， 为从正 z 轴来看自x 轴按逆时
d
y
f (r sin cos ,r sin sin ,r cos )r2 sindrdd .
27
例1. 计算三重积分 (x2 y2 z2) d xd yd z ,其中为
锥面 z x 2 y 2 与球面 x2 y 2 z 2 R2 所围立体.
0rR
解:
在球面坐标下
:
0
0
4
b
(
( y2 ( x)
z2( x, y) f ( x, y, z)dz)dy)dx
a y1( x) z1( x, y)
b
dx
y2 ( x) dy z2 ( x, y) f ( x, y, z)dz.
a
y1( x)
z1( x, y)
6
例1. 计算三重积分 xd xd yd z 其中为 z
针方向转到有向线段OP 的角，这里 P 为点 M 在 xoy 面上的投
影，这样的三个数r，， 就叫做点 M 的球面坐标．
规定：
0 r , 0 , 0 2.
三重积分.ppt
小结: 三重积分的计算方法
方法1. “先一后二”
dxdy z2 (x, y) f (x, y, z)d z
D
z1( x, y)
方法2. “先二后一”
b
a d zDz f (x, y, z)dxdy
方法3. “三次积分”
bd x y2 (x) d y z2 (x, y) f (x, y, z)d z
（也表示体积）
n
作和式 f (i ,i , i )Vi i 1
记作
f (x, y, z)dV
存在, 则称此极限为函数 f (x, y, z) 在 上的三重积分.
dv 称为体积元素, 在直角坐标系下常写作 dxdydz.
三重积分的性质与二重积分相似.
二.三重积分的性质
1. k f (x, y, z)dV k f (x, y,) dV ( k 为常数)
同样也有轮换对称性，如
x2
dV
y 2 dV
z 2 dV
1 3
(x2
y2
z2 )dV
第四节 三重积分的计算
1. 利用直角坐标计算三重积分 方法:
方法1 . 投影法 (“先一后二”) 方法2 . 截面法 (“先二后一”)
方法1. 投影法 (“先一后二” )
设区域 :
(
x,
y)
D
:
y1
(
x) a
y x
y2 b
(
x)
利用投影法结果 , 把二重积分化成二次积分即得:
投影法
b
dx
y2 (x) dy
三重积分
§5.三重积分数学分析中常用的曲面和它对应的方程（温馨提示：请大家务必记住常用结论！） 1.球面:()02222>=++a a z y x 表示以原点为球心，半径为a 的球面。
2.柱面：平行于定直线L 并沿定曲线C 移动的动直线所形成的曲面叫做柱面。
定曲线C 叫做柱面的准线，动直线叫做柱面的母线。
一般地，方程0),(=y x f 表示以曲线⎩⎨⎧==00),(:z y x f C 为准线，母线平行于z 轴的柱面。
类似可以写出方程0),(0),(==x z f z y f 和表示的曲面。
注：当准线是直线时，柱面退化为平面。
几种常用的柱面（柱面名称与准线名称相对应）（1）12222=+by a x 表示母线平行于z 轴的椭圆柱面。
特别地，当b a =时，它表示母线平行于z 轴的圆柱面。
这里的定直线L 就是z 轴。
（2）()022>=p px y 表示母线平行于z 轴的抛物柱面。
（3）1-2222=+bz a x 表示母线平行y 轴的双曲柱面。
3.旋转曲面：平面曲线C 绕该平面上一条定直线L 旋转而形成的曲面，叫做旋转曲面。
其中平面曲线C 叫做旋转曲面的母线，定直线L 叫做旋转曲面的轴。
例如平面曲线,0),(:⎩⎨⎧==x z y f C 绕z 轴旋转一周所得到的旋转曲面的方程为0),(22=+±z y x f 。
记忆口诀：绕谁谁不变，用另外两个变量的平方和的正负算术平方根代替方程中另外一个变量。
如果取旋转曲面的母线为坐标面曲线，旋转轴为坐标轴，则可以得到以下几种常用的旋转曲面。
（旋转曲面的名称与母线名称对应） （1） 旋转椭球面椭圆⎪⎩⎪⎨⎧==+,0,12222z b y a x 绕y 轴旋转而成的曲面方程为122222=++b y a z x ，绕x 轴的旋转曲面方程请大家自行给出。
（2） 旋转双叶双曲面双曲线⎪⎩⎪⎨⎧==-012222z b y a x 绕x 轴旋转而成的曲面方程为122222=+-b z y a x （旋转双叶双曲面）（3） 旋转单叶双曲面双曲线⎪⎩⎪⎨⎧==-012222z b y a x 绕y 轴旋转而成的曲面方程为122222=-+b y a z x （旋转单叶双曲面）（4） 旋转抛物面抛物线⎩⎨⎧=>=0)0(22x p pz y 绕z 轴旋转而成的曲面方程为pz y x 222=+。
三重积分精讲
AB = r sin ϕ dθ .
o
B1
y
x
2
A1
AD AC AB = r sin ϕ drd ϕ d θ .
求半径为a的球面与半顶角为 例4 求半径为 的球面与半顶角为α的内接锥面所围成的 含有球心的立体的体积. 含有球心的立体的体积. 该立体所占区域Ω可表示为: 解 该立体所占区域Ω可表示为: 0≤r≤2acosϕ, 0≤ϕ≤α, 0≤θ≤2π. ≤≤ ≤ ≤ 于是所求立体的体积为
0
r θ
ϕ
M ( r , ϕ ,θ )
y
P
x
几何图形的表示
r=a θ =α
半径为a的球面 半径为 的球面 圆锥面 平面
ϕ=β
变量的变化范围
0 ≤ r < +∞ , 0 ≤ θ ≤ π , 0 ≤ ϕ ≤ 2π
直角坐标与球面坐标的关系 x=rsinϕcosθ, y=rsinϕsinθ, z=rcosϕ. = = = 球面坐标系中的体积元素 dv=r2sinϕdrdϕdθ. = 球面坐标系中的三重积分
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求半径为a的球面与半顶角为 例4 求半径为 的球面与半顶角为α的内接锥面所围成的 立体的体积. 立体的体积. 该立体所占区域Ω可表示为: 解 该立体所占区域Ω可表示为: 0≤r≤2acosϕ, 0≤ϕ≤α, 0≤θ≤2π. ≤≤ ≤ ≤ 于是所求立体的体积为
V = ∫∫∫dxdydz = ∫∫∫r2 sin ϕdrdϕdθ
D
D
= ∫∫ ρ 2 sin 2 θ (4 − ρ 2 ) ρ d ρ dθ
D
=∫
2π
0
sin θ dθ ∫ ρ 2 (4 − ρ 2 ) ρ d ρ
2 0
三重积分概念和计算1
0
0
0
试计算：当 f (x,y,z)= ycos(z+ x), I = ? I = 2 1
16 2
例3. 计算 I f (x, y,z)dxdydz
Ω: 抛物柱面Ωy x 与平面y 0, z 0, x z π 所围成的区域。
z
2
y2=x
o
x
y
.
例3. 计算 I f (x, y,z)dxdydz
I
=
D
dxdy
z ( x, y) z ( x, y)
f (x,
y, z)dz
M
0
. .
x
DP
z2(x,y)
z1(x,y)
y
2. 三重积分计算 积分区域是曲顶柱体
I f (x, y, z)dxdydz
z
为图示曲顶柱体
I
=
D
dxdy
z ( x, y) z ( x, y)
1
1 x2
2x2
I dx
dy
f (x, y, z)dz.
1
1x2
x2 2 y2
例6、 化三重积分 I f ( x, y, z)dxdydz为三
次积分，其中 积分区域
为由曲面z x2 y2,
y x2, y 1, z 0所围
成的空间闭区域. 如图，
b
g
d
a dxe dzc f (x, y, z)dy
z=g
N
d
g
b
c dye dza f (x, y, z)dx
z=e
M
化为一个定积分和 一个二重积分的运算.
三重积分的概念与计算
例： 设物体占有空间闭区域 ，在 点( x , y , z ) 处的密度为 ( x , y , z ) ， 假定 ( x , y , z ) 在 上连续，则该物 体的质量为
z
z z2 ( x , y )
z2 S 2
z1
S1
z z1 ( x , y )
M ( x , y, z )dv .
z e dv 2 e dv 2 [ dxdy ] e dz
z
z
1
上
2
0
D( z )
2 (1 z )e dz 2.
z 0
1
总结： f ( z )dxdydz c f ( z )dz dxdy
d
Dz
属于第二型， Dz的面积易求。
所围成的空间闭区域.
如图，
z
解
2
: 0 z x2 y2 ,
1 1 x2 y2
x y 1, 1 x 1.
I 1 dx x 2 dy 0
f ( x , y , z )dz .
x
y
为三个 例 3 计算三重积分 zdxdydz ，其中
坐标面及平面 x y z 1所围成的闭区域.
D d c Dz
(1) : z x 2 y 2与z 2所围。
(2) : z x 2 y 2与z 2所围。
( 3) : x 2 y 2 z 2 R 2 ,0 z R (4) : x 2 y 2 z 2 R 2 ,0 z a
截面法的一般步骤： z 轴）投影，得 (1) 把积分区域 向某轴（例如 投影区间[c , d ] ； z 轴且平行xoy 平面的平面去 (2) 对 z [c , d ]用过 截 ，得截面Dz ;
三重积分的定义和基本概念
三重积分的定义和基本概念三重积分是数学中的一种重要计算方法，用于解决三维空间中的问题。
在工程、物理、计算机图形学等领域都有广泛的应用。
本篇文章将讨论三重积分的定义和基本概念。
一、三重积分的定义三重积分是对空间内的三维物体进行积分计算，相当于对空间进行分块，然后对每个小块进行求和。
计算三重积分需要确定三个方向上的积分限制，通常用x、y、z表示。
例如，计算一个某种物体在三维空间内的体积可以用以下式子表示：V = ∭f(x,y,z)dxdydz其中，f(x,y,z)是需要计算的函数，x、y、z是三个方向上的积分下限和上限。
dxdydz表示对三维空间进行积分。
计算过程中，要对x、y、z的取值范围进行分段积分，将整个空间分成无数个小块，然后对每个小块进行积分求和，从而得出三重积分的结果。
二、三重积分的基本概念1.积分区域计算三重积分时必须确定积分区域。
积分区域通常由内部限制条件和外部限制条件确定。
内部限制条件是由该物体自身属性决定的，例如球体的内部限制条件是x²+y²+z²≤r²，其中r是球体半径。
外部限制条件则是由外部环境或其他因素所影响，例如在放射源处进行辐射计算时，辐射区域的外部限制条件是与放射源的距离。
2.三重积分的求法计算三重积分时，可以采用以下几种方法。
（1）直接积分法：根据题目要求，将积分区域划分成若干子区域，然后对于每个子区域进行一次三重积分。
（2）三重积分与二重积分的转换：当三重积分难以处理时，可以先对其中两个变量进行积分，然后再对得到的二重积分进行积分。
（3）极坐标系下的三重积分：当积分区域以旋转体或圆锥体为主体时，使用极坐标系进行计算会更加简单。
3.三重积分的应用三重积分在物理学和工程学中有广泛的应用。
例如，在热传递学和流体力学中，可以通过三重积分计算热传递和流量。
在电磁场学中，可以通过三重积分计算电磁场强度和电势分布。
在计算机图形学中，可以用三重积分计算物体的体积和表面积等。
10.3 三重积分
20
三重积分
x2 y 2 z 2 解 因为 M 2 2 2 dv a b c V
x2 y2 z2 2 dv 2 dv 2 dv a b c V V V
i 1 i i
n
i
)v i
体积元素
3
三重积分
2. 三重积分存在性
当f ( x , y , z ) 的三重积分存在性时, 称f ( x , y, z )
在Ω上是可积的.
连续函数一定可积 3. 三重积分的几何意义 (1)占有空间区域
, 体密度函数为 f ( x, y, z )
M f ( x, y, z )dv
x2 所以 2 dv a V
x2 a a 2 dx
a
d ydz
Dx
4 abc 15 由对等性知
2 bc a 2 x2 2 x (1 2 )dx a a a
x2 dydz bc(1 2 ) a Dx
则
f ( x, y, z)dv
b
a
dx
y2 ( x )
y1 ( x )
dy
z2 ( x , y )
z1 ( x , y )
f ( x, y, z)dz
9
先对z,次对y,最后对x的三次积分
三重积分
注
这是平行于 z 轴且穿过闭区域 内部的直线与闭区域 的边界曲面 S 相交不多于两点情形.则考虑化为先对 z,后对xy的累次积分.过程如下:
1 dxdy (1 z )(1 z ) 2 Dz 1 1 1 2 原式= 0 z (1 z ) dz . 2 24
三重积分的概念与计算复习过程
115页 3, 4, 6, 12, 13
第三节
第九章
三重积分的概念与计算
一、三重积分的概念 二、三重积分的计算
一、三重积分的概念
引例: 设在空间有界闭区域 内分布着某种不均匀的
物质, 密度函数为(x,y,z) C ,求分布在 内的物质的
质量 M .
解决方法: 类似二重积分解决问题的思想, 采用
被积函数是 z的奇函数,球面
关于xoy面对称
zlx n2x 2 ( y2y 2 z2z 21 1)dxdy0.dz
例 计算 ( x y z)2dxdydz其中是由抛物面
z x2 y2和球面 x2 y2 z2 2所围成的空间闭 区域.
解 (xyz)2
x 2 y 2 z 2 2 (x y z z)x
f(x, y,z)dv
21 f
(x,
y,z)dv，f关于x(z,
y)为偶函数 .
0，f关于x(z, y)为奇函数
例 利用对称性简化计算
z ln( x2 y2 z2 1)
x2 y2 z2 1 dxdydz 其中积分区域 {(x, y, z) | x2 y2 z2 1}.
解 积分域关于三个坐标面都对称，
b2(1c z2 2)
ab(1
z2 c2
),
原式
0cab(1cz22 )zdz
1 abc2 .
4
例. 计算三重积分
cz Dz z
解: :
c z c Dz:ax22by221cz22
a
by
x
用“先二后一 ”
z2dxdydzccz 2 d z Dz dxdy
ccz2ab(1cz22)dz
4
15
三重积分的计算
三重积分的概念三重积分的性质三重积分的计算直角柱面球面回顾：讨论密度分布不均匀的物体的质量：(1) 一根细棒：ab 密度为i ξ=M ()b a x dx ρ=⎰()i ρξi x ∆∑=ni 10lim →λ(2)平面薄片：),(i i ηξ=M (,)i i ρξη∑=n i 10lim →λiσ∆(,)Dx y dxdy ρ=⎰⎰密度为y x D（3）设在空间有限闭区域Ω内分布着某种不均匀的物质,(,,),x y z C ρ∈求分布在Ω内的物质的质量M .密度函数为Ω(,,)k k k ξηζk v ∆(,,)x y z ρ➢分割：12,,,,,i n v v v v ∆∆∆∆把Ω分为➢取近似：(,,)k k k k kM v ρξηζ∆≈∆➢求和：1(,,)n k k k kk M v ρξηζ=≈∆∑➢取极限：01lim (,,)n k k k k k M v λρξηζ→==∆∑设f (x , y , z )是空间有界闭区域Ω上的有界函数,1、将闭区域Ω任意分成n 个小闭区域∆v 1, ∆v 2, ⋅⋅⋅, ∆v n , 其中∆v i 表示第i 个小闭区域, 也表示它的体积,2、在每个∆v i 上任取一点(ξi , ηi , ζi ), 作乘积f (ξi , ηi , ζi )∆v i ，3、求和∑=ni i i i i v f 1),,(∆ζηξ4、如果当各小闭区域的直径中的最大值λ趋近于零时, 该和式的极限存在, 则称此极限为函数f (x , y , z )在闭区域Ω上的三重积分, 并记为d (,,)Ωf x y z v⎰⎰⎰三重积分的定义⚫注：（2）三重积分的物理意义:不均匀物体的质量（1）其中dv 称为体积元素, 其它术语与二重积分相同.（3）同样有: 有界闭区域上的连续函数一定可积.d 01.(,,)lim (,,)ni i i ii f x y z v f v λξηζ→=Ω=∆∑⎰⎰⎰将二重积分定义中的积分区域推广到空间区域,被积函数推广到三元函数, 就得到三重积分的定义.三重积分的概念三重积分的性质三重积分的计算直角柱面球面➢线性性质[]d d d (,,)(,,)(,,)(,,)f x y z g x y z v f x y z v g x y z v αβαβΩΩΩ+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰➢可加性d d d 12(,,)(,,)(,,)f x y z v f x y z v f x y z v ΩΩΩ=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰➢几何意义d v V Ω=⎰⎰⎰V 为Ω的体积➢不等式(,,)f g x y z ≤∈Ωd d (,,)(,,)f x y z v g x y z vΩΩ≤⎰⎰⎰⎰⎰⎰d d (,,)(,,)f x y z v f x y z vΩΩ≤⎰⎰⎰⎰⎰⎰(),Df x y d σ=⎰⎰曲顶柱体的体积➢估值定理(,,)m f M x y z ≤≤∈Ωd (,,)mV f x y z v MVΩ≤≤⎰⎰⎰➢中值定理(,,)f x y z 在Ω上连续,则存在(,,),ξηζ∈Ω使得d (,,)(,,)f x y z v f V ξηζΩ=⎰⎰⎰三重积分的概念三重积分的性质三重积分的计算直角柱面球面在直角坐标系中, 如果我们用三族(平行于坐标面的)平面x = 常数, y = 常数, z = 常数, 对空间区域进行分割那末每个规则小区域都是长方体. 其体积元素为:dv =dxdydz三重积分可写成:三重积分在直角坐标系中的计算法与二重积分类似, 三重积分可化成三次积分进行计算.具体可分为先单后重和先重后单两种类型.d (,,)f x y z v Ω=⎰⎰⎰(),,f x y z dxdydzΩ⎰⎰⎰（一）先单后重（先一后二）法假设：1(,,)f x y z Ω在有界闭区域上连续；2º过Ω内任一点M 且平行于某坐标轴的直线与Ω的边界曲面S 至多有两个交点.以下以z 轴的情形为例.),(2y x zz =),(1y x z z =),(2y x z z =),(1y x z z =xyzoΩD xy 1z 2z 2S 1S ),(1y x z z =),(2y x z z =ab),(y x ),,(:),,(:2211y x z z S y x z z S ==(,),xy x y D ∈过点作直线穿出．穿入，从从21z z Ω在xOy 面上的投影区域为D xy ,以D xy 的边界为准线作母线平行z 轴的柱面.这柱面与Ω的边界曲面S相交，并将S 分成上、下两部分:则Ω可以表示为12{(,,)(,)(,),(,)}.xy x y z z x y z z x y x y D Ω=≤≤∈()()12,(,,),,,x y f x y z z z x y z x y z ⎡⎤⎣⎦先将看作定值，将只看作的函数，在区间上对积分21(,)(,)(,,)(,)[(,,)].xyxyD z x y z x y D f x y z dv F x y d f x y z dz d σσΩ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰从而原三重积分可表示为21(,)(,)(,,)xyz x y z x y D d f x y z dzσ=⎰⎰⎰这就化为一个定积分和一个二重积分的运算21(,)(,)(,,)z x y z x y f x y z dz⎰(,)xy F x y D 再计算在闭区间上的二重积分(,)F x y ==⎰⎰⎰Ωdvz y x f ),,(12:()(),,xy D y x y y x a x b ≤≤≤≤若得2()y y x =abD1()y y x =Dba2()y y x =1()y y x =先对z ,再对y ,最后对x 的三次积分dx ⎰dy ⎰(),,.f x y z dz ⎰()1,z x y ()2,z x y ()1y x ()2y x ab注：若将积分域Ω投影到yOz 或xOz 面上，则可把三重积分化为按其它顺序的三次积分.x y zyoz →→Ω积分次序为将投影到面21(,)(,)(,,)(,,)yzx y z x y z D f x y z dv d f x y z dxσΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰21(,)(,)(,,)(,,)xzy x z y x z D f x y z dv d f x y z dyσΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰y x z xoz →→Ω积分次序为将投影到面Ω：平面x =0, y = 0, z = 0，x+2y+ z =1所围成的区域x = 0, y = 0, x+2y =1 围成例1.计算三重积分x + 2y + z =1yx121()112y x =−D xyzy x x I d d d ⎰⎰⎰Ω=1、画出（观察）积分区域2、确定积分次序先z 再y 后x,4、将Ω向xoy 平面做投影得区域xyD 3、确定z 的积分上下限分析：1xyz121解:d d d x x y zΩ⎰⎰⎰121(1)00d (12)d x x x x y y−=−−⎰⎰120d x y z−−⎰12301(2)d 4x x x x =−+⎰148=练习：将积分次序改为：先y 再z 后x将积分次序改为：先x 再z 后y1xyz121x + 2y + z =1()012101201z x yy x x ≤≤−−⎧⎪⎪Ω≤≤−⎨⎪≤≤⎪⎩：例2 化三重积分 ⎰⎰⎰Ω=dxdydz z y x f I ),,(为三次积分，其中 积分区域 Ω为由曲面22y x z +=,2x y =,1=y , 0=z 所围成的空间闭区域.2y x=1y =oxy-11xyD 11、画出（观察）积分区域分析：2、确定积分次序先z 再y 后x,3、确定z 的积分上下限4、将Ω向xoy 平面做投影得区域xyD ⎰⎰⎰−+=1101222),,(yx x dz z y x f dy dx I .例3 化三重积分 ⎰⎰⎰Ω=dxdydz z y x f I ),,(为三次积分，其中积分区域Ω为由曲面 222y x z +=及22x z −=所围成的闭区域.1、画出（观察）积分区域分析：2、确定积分次序先z , 再y 后x ,3、确定z 的积分上下限222z x=−下曲面21((0,0)2(0,0)0)z z =>=2212z x y=+上曲面=22222(,,)xyxx yD I d f x y z dz σ−+∴⎰⎰⎰xyD Oxy–1122222112112(,,).x x xx ydx dy f x y z dz −−−−−+=⎰⎰⎰22222x y z x⎧⎪Ω⎨⎪+≤≤−⎩：2211x y x −−≤≤−11x −≤≤由⎩⎨⎧−=+=22222xz y x z ,221,x y +≤:xyz xoy D Ω消去得在面上的投影区域4、将Ω向xoy 平面做投影得区域xyD 解：xy xoy D xoy Ω思考：在面上的投影区域是一个圆域，那么在平面进行的二重积分，可不可以利用极坐标系计算？需要注意些什么？2222,4x z dv y x z y Ω+Ω=+=⎰⎰⎰例4计算其中是由曲面与平面所围成xyzo2z y x =−2z y x =−−分析：1、画出（观察）积分区域2、确定积分次序先z 再y 后x,4、将Ω向xoy 平面做投影得区域xyD 3、确定z 的积分上下限yxo4y =2y x ==222222xyy x y x D x z dv d x z dzσ−−−Ω++⎰⎰⎰⎰⎰⎰-=22224222y x xy xdx dy x z dz−−−+⎰⎰⎰分析：1、画出（观察）积分区域2、确定积分次序先y 再z 后x,4、将Ω向xoz 平面做投影得区域xzD 3、确定y 的积分上下限=2242222xzx z D x z dv d x z dyσ+Ω++⎰⎰⎰⎰⎰⎰22224,4x z dv y x z y Ω+Ω=+=⎰⎰⎰例计算其中是由曲面与平面所围成xyzΩ22y x z =+4y =xz2−2224x z +==2222422xzx zD x z dvd x z dyσΩ+++⎰⎰⎰⎰⎰⎰()=22222244x y xzx z d σ+≤−−+⎰⎰xz2−2224x z +=2r =()()=222224041282415d rr rdrr r dr πθππ−⋅=−=⎰⎰⎰解：1、确定了积分次序后，内层积分上下限至多包含两个变量，中层积分上下限至多包含一个变量，外层积分上下限必须是常数2、对于先单后重的次序，重积分部分可以根据积分区域的特点采用极坐标系计算（1）把积分区域Ω向某轴（例如 z 轴）投影，得投影区间],[21c c ；(3) 计算二重积分⎰⎰zD dxdy z y x f ),,(其结果为z 的函数)(z F ；(4)最后计算单积分⎰21)(c c dz z F 即得三重积分值.z（二）先重后单（先二后一）法先重后单, 就是先求关于某两个变量的二重积分再求关于另一个变量的定积分122,zz c c z xoy D ∈Ω⎡⎤⎣⎦（）对用过轴且平行平面的平面去截，得截面21()zc cD g z dzdxdy=⎰⎰⎰V d z y x f ⎰⎰⎰Ω),,(即,若f (x, y, z )= g (z )21(,,).zc c D dz f x y z dxdy =⎰⎰⎰易见, 若内层的二重积分容易计算时,这个方法更显出优越性。
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性质 10.3.4（保号性）如果在 上， f ( x, y, z) 0 ，则
f ( x, y, z)dV 0 ．
8-5
推论 10.3.1（保序性）如果在 上， f ( x, y, z) g ( x, y, z) ，则
f ( x, y, z)dV g ( x, y, z)dV ．
⑵ 如果 关于 yOz 平面对称， 1 为 在 yOz 平面前侧的部分区域，则
0, 如果f ( x, y, z )在D上关于x为奇函数, f ( x, y, z )dV 2 f ( x, y, z )dV , 如果f ( x, y, z )在D上关于x为偶函数. 1
f ( , , )V ．
i 1 n i i i i
n
记 max{di }， 如果极限 lim f (i ,i , i ) Vi 存在， 且此极限值与 的分法，
1i n
0
i 1
以及每个小空间区域 Vi 中上点 (i ,i , i ) 的取法都无关，就称此极限值为
⑴ 如果 关于 xOy 平面对称， 1 为 在 xOy 平面上侧的部分区域，则
0, 如果f ( x, y, z )在D上关于z为奇函数, f ( x, y, z )dV 2 f ( x, y, z )dV , 如果f ( x, y, z )在D上关于z为偶函数. 1
1 2 1 2
性质 10.3.2（依区域可加性）如果 1 2 ，且 1 与 2 无公共内点，则
f ( x, y, z)dV f ( x, y, z)dV f ( x, y, z)dV ．
1 2
性质 10.3.3（几何度量性） dV 的体积．
定理 10.3.2（三重积分的轮换对称性）设 为空间有界闭区域，
⑴ 如果 关于平面 y x 对称，则 f ( x, y, z )dV f ( y, x, z )dV ．
⑵ 如果 关于平面 x z 对称，则 f ( x, y, z )dV f ( z, y, x)dV ．
性质 10.3.6（三重积分中值定理）设 f ( x, y, z) 在空间有界闭区域 上连续，
V 是 的体积，则在 上至少存在一点 ( ,, ) ，使得
f ( x, y, z)dV f ( , , )V ．
8-6
定理 10.3.1（三重积分的奇偶对称性）设 为空间有界闭区域，
10.3 三重积分的概念与性质
10.3.1 10.3.2 10.3.3 三重积分概念的实际背景 三重积分的概念 三重积分的性质
8-1
10.3.1 三重积分概念的实际背景
物理背景——空间立体状物体的质量
设有一空间立体状物体，占有空间区域 ，已知物体的体密度 ( x, y, z) 是 上的连续函数，求该物体的质量 M．
0, 如果f ( x, y, z )在D上关于y为奇函数, f ( x, y, z )dV 2 f ( x, y, z )dV , 如果f ( x, y, z )在D上关于y为偶函数. 1
8-7
⑶ 如果 关于 zOx 平面对称， 1 为 在 zOx 平面右侧的部分区域，则
类似于平面薄片质量的求法，把空间区域 任意分成 n 个小空间区域
V1, V2 ,, Vn ．
每个小空间区域 Vi 的体积也记为 Vi ，且 Vi 的直径记为 di ．在Vi 上任取 一点 (i ,i , i ) ， 则 Vi 上的物体质量近似地等于 (i ,i , i )Vi (i 1,2,, n) ， 因此物体的质量 M 近似等于 (i ,i , i ) Vi ，记 max{di } ，所以该物体
⑶ 如果 关于平面 z y 对称，则 f ( x, y, z )dV f ( x, z, y)dV ．
例如，设 为椭球体 x2 y 2 4 z 2 1．由于在 x2 y 2 4 z 2 1中，将变量
x 与 y 互换后， 的表示没有发生变化；而将变量 x 与 z 互换后，变为
4 x2 y 2 z 2 1，发生了变化，因此由三重积分轮换对称性可得
2 2 2 2 x d V y d V x d V z ，而 与 dV 未必相等．
8-8
f ( x, y, z) 在 上的三重积分，记作 f ( x, y, z )dV .
8-3
（续定义）
f ( , , )V ， f ( x, y, z)dV lim
0 i 1 i i i i
n
其中 f ( x, y, z) 称为被积函数； f ( x, y, z)dV 称为被积表达式；dV 称为体积 元素； x, y, z 称为积分变量； 称为积分区域； 称为三重积分号；
f ( , , )V 称为积分和．
i 1 i i i i
n
注 1：空间物体的质量为
M ( x, y, z )dV ．
注 2：当 f ( x, y, z) 在空间有界闭区域 上连续时， f ( x, y, z )dV 存在．
注 3：与二重积分类似，体积元素 dV dxdydz ．dxdydz 称为直角坐标系中 的体积元素．从而
f ( x, y, z)dV = f ( x, y, z)dxdydz ．
8-4
10.3.3 三重积分的性质
以下性质中， 为空间有界闭区域，且所涉及的三重积分均存在．
性质 10.3.1（线性性）设 k1, k2 为常数，则
[k f ( x, y, z) k g ( x, y, z)]dV k f ( x, y, z)dV k g ( x, y, z)dV .
i 1 n
1i n
的质量为
M lim (i ,i , i )Vi ．
0
i 1
n8-210.3. Nhomakorabea 三重积分的概念
定义 10.3.1 设 f ( x, y, z) 是空间有界闭区域 上的有界函数，将 任意分割 为 n 个小空间区域 V1, V2 ,, Vn ．每个小空间区域 Vi 的体积也记为 Vi ， 且 Vi 的直径记为 di ，在 Vi 上任取一点 (i ,i , i ) (i 1,2,, n) ，作和
推论 10.3.2（积分绝对值不等式）
f ( x, y, z)dV | f ( x, y, z) | dV ．
性质 10.3.5（估值定理）设 f ( x, y, z) 在 上有最大值 M 和最小值m ，V 是 的体积，则
mV f ( x, y, z )dV MV ．