浅谈欧拉积分【文献综述】

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浅谈欧拉积分

微积分成为一门学科来说是在十七世纪, 但是微分和积分的思想在古代就已经产生了.

公元前三世纪, 古希腊的阿基米德在研究解决抛物弓形的面积、球和球冠面积、螺线下面积和旋转双曲体体积的问题中, 就隐含着近代积分学的思想. 作为微分学基础的极限理论来说, 早在古代就有比较清楚的论述. 比如我国的周庄所著的《庄子》一书的“天下篇”中, 记有“一尺之棰, 日取其半, 万世不竭”. 三国时期的刘徽在他的割圆术中提到“割之弥细, 所失弥小, 割之又割, 以至于不可割, 则与圆周和体而无所失矣．”这些都是朴素的、也是很典型的极限概念.

极限的思想方法可追溯到古代. 中国数学家刘徽创立的割圆术用圆内接正九十六边形的面积近似代替圆面积, 求出圆周率 的近似值3.141024, 并指出: “割之弥细, 所失弥少, 割之又割, 以至不可割, 则与圆合体而无所失矣”. 刘徽对面积的深刻认识和他的割圆术方法, 正是极限思想的具体体现. 一个数列n a 如果当n 无限增大时, n a 与某一实数s 无限接近, 就称之为收敛数列, s 为数列的极限.

到了十七世纪, 有许多科学问题需要解决, 这些问题也就成了促使微积分产生的因素. 归结起来, 大约有四种主要类型的问题: 第一类是研究运动的时候直接出现的, 也就是求即时速度的问题; 第二类问题是求曲线的切线的问题; 第三类问题是求函数的最大值和最小值问题; 第四类问题是求曲线长、曲线围成的面积、曲面围成的体积、物体的重心、一个体积相当大的物体作用于另一物体上的引力. 十七世纪的许多著名的数学家、天文学家、物理学家都为解决上述几类问题作了大量的研究工作, 如法国的费尔玛、笛卡尔、罗伯瓦、笛沙格, 英国的巴罗、瓦里士, 德国的开普勒, 意大利的卡瓦列利等人都提出许多很有建树的理论, 为微积分的创立做出了贡献. 欧拉是18世纪数学界最杰出的人物之一, 他不但为数学界作出贡献, 更把数学推至几乎整个物理的领域. 他对数学的研究如此广泛, 因此在许多数学的分支中也可经常见到以他的名字命名的重要常数、公式和定理．欧拉(Euler)积分是其重要贡献之

一, 它是以广义积分定义的特殊函数, 在概率论与数理统计及数理方程等学科中经常用到, 本文重点阐述了gamma 函数, beta 函数的性质, 并通过列举实例的方法揭示出二者所具有的关系及在数学分析、概率统计等学科中的应用, 从而使复杂的题目有了更简单易懂的解决方法, 同时这也揭示了数学与不同学科之间的密切联系, 在提高解题能力的同时, 也加深对数学的理解和应用.

正如我们熟知微分学的基本概念是导数, 积分学的基本概念是一元函数的不定积分和定积分. 主要内容包括积分的性质、计算, 以及在理论和实际中的应用. 不定积分的概念是为解决求导和微分的逆运算而提出来的. 如果对每一x I ∈ , 有()()f x F x '=, 则称()F x 为()f x 的一个原函数, f(x)的全体原函数叫做不定积分, 记为, 因此, 如果()F x 是()f x 的一个原函数, 则()f x 积分等于()F x C +, 其中C 为任意常数. 定积分概念的产生来源于计算平面上曲边梯形的面积和物理学中诸如求变力所作的功等物理量的问题. 解决这些问题的基本思想是用有限代替无限; 基本方法是在对定义域[a, b]进行划分后, 构造一个特殊形式的和式, 它的极限就是所要求的量. 具体地说, 设闭区间[]b a ,内有1-n 个点, 依次为

b x x x x x a n n =<<<<<=-1210Λ它们把[]b a ,分成n 个小区间

[]n i x x i i i ,,2,1,,1Λ==∆-这些分点或这些闭子区间构成对[]b a ,的一个分割, 记为{}n x x x T ,,,10Λ=或{}n ∆∆∆Λ,,21小区间i ∆的长度为1--=∆i i i x x x , 并记{}i n i x T ∆=≤≤1max .

定积分除了可求平面图形的面积外, 在物理方面的应用主要有解微分方程的初值问题和“微元求和”.

求解定积分是学习高等数学的一个重要内容, 也是解决数学问题的一个基本技能. 求解定积分的方法一般来说是先求出原函数, 然后再根据牛顿- - 莱布尼茨公式带入上下限进行计算. 这种方法对于一般的定积分求解问题比较实用. 在实际问题中, 有许多定积分的原函数, 难以计算或者计算过程非常繁杂. 而如果将其进行适量的变量代换, 变为我们熟悉的定积分, 那么这一问题就得到了很好的解决. 欧拉积分恰恰就是我们解决这样问题的一个有效工具.

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