三个正数的算术—几何平均不等式
2. 三个正数的算术——几何平均不等式
∴E2＝1k62 ·sin2θ·cos4θ＝3k22 (2sin2θ)·cos2θ·cos2θ ≤3k22 ·(2sin2θ＋co3s2θ＋cos2θ)3＝1k028， 当且仅当 2sin2θ＝cos2θ 时取等号， 即 tan2θ＝12，tan θ＝ 22时，等号成立． ∴h＝2tan θ＝ 2，即 h＝ 2时，E 最大． 因此选择灯的高度为 2米时，才能使桌子边缘处最亮．
∵2x2＋(1－x2)＋(1－x2)＝2，
∴y2≤12(2x2＋1－3x2＋1－x2)3＝247.
当且仅当 2x2＝1－x2，
即 x＝ 33时等号成立．
∴y≤2
9
3，∴y
的最大值为2 9
3 .
1．解答本题时，有的同学会做出如下拼凑： y＝x(1－x2)＝x(1－x)(1＋x)＝12·x(2－2x)·(1＋x)≤12 (x＋2－23x＋1＋x)3＝12. 虽然其中的拼凑过程保证了三个数的和为定值，但忽略了取 “＝”号的条件，显然 x＝2－2x＝1＋x 无解，即无法取“＝”号，也 就是说，这种拼凑法是不正确的． 2．解决此类问题时，要注意多积累一些拼凑方法的题型及数 学结构，同时也要注意算术－几何平均不等式的使用条件，三个 缺一不可．
用平均不等式求解实际问题 例 3 如图所示，在一张半径是 2 米的 圆桌的正中央上空挂一盏电灯．大家知道， 灯挂得太高了，桌子边缘处的亮度就小； 挂得太低，桌子的边缘处仍然是不亮的．
由物理学知识，桌子边缘一点处的照亮度 E 和电灯射到 桌子边缘的光线与桌子的夹角 θ 的正弦成正比，而和这一点 到光源的距离 r 的平方成反比．
变式训练
若 2a＞b＞0，试求 a＋
4
的最小值．
（2a－b）·b
【解】 a＋2a－4b·b＝2a－2b＋b＋2a－4b·b ＝2a－ 2 b＋b2＋2a－4b·b
三个正数的算术-几何平均不等式
3
3时,y 取最小值 2 ×
2
33
3
= 2 9.
错解 2:∵x>0,
3
1 2
∴y=x2 + + ≥3·
1 2
3
3
2 · · = 3 2,y 的最小值为 3 2.
题型一
题型二
题型三
题型四
3
错因分析:错解 1 中不能保证两正数 x2与 的积为定值,此
3
时 2 3为变量,不能说当 x=
2
题型一
题型二
题型三
题型四
解:∵y=x(1-x2),
1
2
2
2
2
2
2
2
∴y =x (1-x ) =2x (1-x )(1-x )·.
2
∵2x2+(1-x2)+(1-x2)=2,
1 22 +1-2 +1-2
2
∴y ≤2
3
3
=
4
.
27
3
当且仅当 2x2=1-x2,即 x= 3 时,等号成立.
2 3
3.三个正数的算术-几何平均不等式
学习目标：
1.了解三个正数的算术-几何平均不等式.
2.会应用三个正数的算术-几何平均不等式解决简单问题.
1.三个正数或三个以上正数的算术-几何平均不等式的应用条件
剖析:“一正”:不论是三个数或者 n 个数的算术-几何平均不等式,
3
都要求是正数,否则不等式是不成立的.如 a+b+c≥3 abc, 取a=b=3
≤32 ·
3
3
=
2
,
三个正数的均值不等式的证明
三个正数的均值不等式的证明三个正数的均值不等式是数学中的一个重要概念，它可以帮助我们理解数值之间的关系。
在这篇文章中，我将向大家介绍关于三个正数的均值不等式，并给出其证明。
三个正数的均值不等式是指对于任意三个正数a、b和c，它们的算术平均数大于等于它们的几何平均数，并且大于等于它们的谐波平均数。
具体来说，我们有以下不等式：(a+b+c)/3 ≥ √(abc) ≥ 3/(1/a + 1/b + 1/c)我们来证明不等式的第一部分：(a+b+c)/3 ≥ √(abc)。
假设a、b 和c是任意三个正数，我们可以将(a+b+c)/3的平方展开得到：(a+b+c)/3 ≥ √(abc)(a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc)/9 ≥ abc接下来，我们考虑右侧的abc。
根据算术平均-几何平均不等式，我们有：(a^2 + b^2 + c^2)/3 ≥ √(a^2b^2c^2)(a^2 + b^2 + c^2)/3 ≥ abc现在，我们将前两个不等式相加，得到：(a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc)/9 ≥ abc + abc(a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc)/9 ≥ 2abc通过简化不等式，我们可以得到：(a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc)/9 ≥ 2abc(a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc)/9 ≥ (2/3)(3abc)(a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc)/9 ≥ (2/3)(a+b+c)(abc)由于(a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc)是(a+b+c)^2的展开式，我们可以将不等式进一步简化为：(a+b+c)^2/9 ≥ (2/3)(a+b+c)(abc)接下来，我们可以将等式两边的(a+b+c)约去，得到：(a+b+c)/3 ≥ (2/3)(abc)(a+b+c)/3 ≥ 2abc/3由于abc是正数，不等式仍然成立。
第一讲一3.三个正数的算术-几何平均不等式课件
a 3 + b3 + c 3 − 3abc = (a + b)3 − 3a 3b − 3ab 2 + c 3 − 3abc = (a + b) + c − 3a b − 3ab − 3abc
3 3 3 2
(2 )x 3 + y 3
= (x + y)(x 2 − xy + y 2 )
≤（
3 例1 已知x,y,z ∈ R + ,求证（x + y + z） ≥ 27xyz. 已知x 求证（
证明： 证明：
推论
如果 a, b, c ∈ R + ,则 abc
a + b + c 3 ）. 3
攀登者的智慧和汗水，构思着一首信念和意志的长诗 攀登者的智慧和汗水，构思着一首信念和意志的长诗. 课堂小结 类比感悟 适用范围 均值不等式 相关概念 语言表述 推 应 论 用
攀登者的智慧和汗水，构思着一首信念和意志的长诗 攀登者的智慧和汗水，构思着一首信念和意志的长诗.
类比
对于两个正数a, b
猜想
对于三个正数a, b, c
如果a 如果a, b ∈ R + ,那么 如果a 如果a,b,c ∈ R + ,那么 a+b+c 3 a+b ≥ abc, ≥ ab， 3 2 当且仅当a 等号成立. 当且仅当a = b = c时，等号成立. 当且仅当a 等号成立. 当且仅当a = b时，等号成立.
2
和为定值, 积最大；积为定值，和最小.
一正;二定；三相等 一正 二定；三相等! 二定
求最值条件
攀登者的智慧和汗水，构思着一首信念和意志的长诗 攀登者的智慧和汗水，构思着一首信念和意志的长诗. 例2 如下图，把一块边长是a的正方形铁片的各角 如下图，把一块边长是a
三个正数的算术-几何不等式
1 a2
1 b2
1 c2
6
3
的多重条件。
当且仅当a=b=c= 4 3 时，等号成立．
方法·规律·小结
(1)不等式的证明方法较多，关键是从式 子的结构入手进行分析．
(2)运用三个正数的平均值不等式证明不 等式时，仍要注意“一正、二定、三相等”， 在解题中，若两次用平均值不等式，则只有 在“相等”条件相同时，才能取到等号．
4x
2x2 2
x
2x2(2 (2 2
x2x)
2)
x42
xx22 2
3
(x22x(22) 2
3
3x2
)
3
32 27
abc
a
b
c
3
3
a、b、c R
练习：
4、a,b, c
R , 求证a2
时,Vmax
2a3 27
6 合的最大容 积是 2a3 .
27
错解分析
求函数y 2x2 3 , (x 0)的最小值.
x
解: y 2x2 3 2x2 1 2 33 2x2 1 2 33 4
x
xx
xx
ymin 33 4 (错解:原因是取不到等号)
正解: y 2x2 3 2x2 3 3
即（x+y+z）3 27xyz
例２(1)当0 x 1时,求函数y x2(1 x)的最大值.
解: 0 x 1, 1 x 0,
y x2(1 x) 4 x x (1 x)
22
x 4( 2
3.三个正数的算术-几何平均不等式
语言表述：n个正数的算术平均不
小于它们的几何平均.
例1、 已 知x, y, z R , 求 证 ： （x y z)3 27xyz.
证明：因为 x y z 3 xyz，所以 3
(x y z)3 xyz, 27
即（x+y+z）3 27xyz
例２: 当0 x 1时,求函数y x2 (1 x)的最大值.
解:
x
y 2x2 3 2x2 1 2 33 2x2 1 2 33 4
x
xx
xx
ymin 33 4 (错解:原因是取不到等号)
正解:
y 2x 2 3 2x 2 3 3 33 2x 2 3 3 33 9 3 3 36
x
2x 2x
2x 2x 2 2
当且仅当2x 2 3 ,即x 2x
3 2
时,
y m in
3 2
3
36 .
练习2：
1.若正数x, y满足xy 2 4,求x 2 y的最小值.
33 4
x y3 4
2.若 a>b>0，则 a+ 1 的最小值是
.
b(a b)
3
a 2b
3.求函数y x4 (2 x 2 )(0 x 2)的最大值.
解: 0 x 1, 1 x 0,
y x2 (1 x) 4 x x (1 x) 22
x x 1 x
4( 2 2
)3
4
3
27
构造三 个数相
加等于 定值.
当 x 2
1
x,即x
2 时, 3
三个正数的算术-几何平均不等式
的内接圆柱体的高 h 为何值时，圆柱的体积最大？
并求出这个最大的体积． 解 设圆柱体的底面半径为r，如图，
H－h r 由相似三角形的性质可得 ＝ ， H R R ∴r＝ (H h)． H
πR 2 ∴V 圆柱＝πr h＝ 2 (H h) h(0＜h＜H)． H
2
2
根据三个正数的基本不等式可得
4πR2 H－h H－h 4πR2H3 4 2 V 圆柱＝ 2 · · · h≤ 2 ＝ πR H. H 2 2 H 3 27
3
x yz 证明：因为 3
3
x yz，所以
（x + y+ z） xyz， 27
3
即（x y z） 27 x yz
3
例2: ( 1 ) 当 0 < x < 1时，求函数 y = x2( 1 – x ) 的最大值 解: 0 x 1, 1 x 0,
x x y x (1 x) 4 (1 x) 2 2 构造三个数相 x x 1 x 加等于定值 . 4 3 2 2 4( ) 3 27 x 2 4 当 1 x, x 时, ymax . 2 3 27
3 xx 1 3 1 x x 1 解析 y＝x＋ 2＝ ＋ ＋ 2≥3 ·· 2 ＝ . 2 2 2x 2 2x 2 2 2x
1 2 3 4
x 1 当且仅当 ＝ 2，即 x＝1 时等号成立． 2 2x
H－h 1 4 2 当且仅当 ＝h，即 h＝ H 时，V 圆柱最大＝ πR H. 2 3 27
课堂练习：
3 4 4 2 2 A．y＝x ＋2x＋x3≥3 x · 2x· 3＝6，∴ymin＝6 x
1 2 3 4
1．已知x为正数，下列求最值的过程正确的是( C )
1.1.3.三个正数的算术__几何平均不等式 课件(人教A选修4-5)
[研ห้องสมุดไป่ตู้题]
[例 2] 设 a、b、c∈R＋，求证：
设圆柱体的底面半径为 r，如图，由相似 H－h r R 三角形的性质可得 H ＝R，∴r＝H(H－h)． πR2 ∴V 圆柱＝πr2h＝ 2 (H－h)2h(0＜h＜H)． H 根据平均不等式可得 4πR2 H－h H－h 4πR2 H 3 V 圆柱＝ 2 · · · h≤ 2 ( ) H 2 2 H 3 4 2 ＝ πR H. 27 H－h 1 4 2 当且仅当 ＝h，即 h＝ H 时，V 圆柱最大＝ πR H. 2 3 27
本题考查基本不等式、算术—几何平均值
不等式等基础知识，同时考查了等号成立的条件及推理运算 能力．
[证明] 法一：因为 a，b，c 均为正数，由平均值不 等式得 a2＋b2＋c2≥3(abc) ，
1 － 1 1 1 ＋b＋ c≥3(abc) 3 ， a
2 3
①
1 1 12 所以(a＋b＋ c) ≥9(abc)
[悟一法]
(1)在解求最值应用题时，先必须确定好目标函数，再用
“平均值不等式”求最值．
(2)在确定目标函数时，必须使函数成为一元函数，即只
能含一个变量，否则是无法求最值的．
[通一类] 3．制作一个圆柱形的饮料盒，如果容积一定，怎样设计它 的尺寸，才能使所用的材料最少？
解：设圆柱形饮料盒的体积为 V(定值)，底面半径为 r， 高为 h，表面积为 S. V 则 V＝πr h，∴h＝ 2. πr
三个正数的算术几何平均不等式
当且仅当a=b=c时，等号成立.
所以 (
1 1 1 2 )(a b c) 27. 2 2 2 a b c
用平均不等式解应用题
【典型例题】
1.设三角形三边长为3,4,5,P是三角形内的一点，则P到这个
三角形三边距离乘积的最大值是_______. 2.制造容积为 立方米的无盖圆柱形桶,用来做底面的金属板
【拓展提升】
1.用不等式解决实际问题的方法与技巧 应用不等式解决实际问题时，关键是如何把等量关系、不等 量关系转化为不等式的问题来解决，也就是建立数学模型是 解应用题的关键，最后利用不等式的知识来解.
2.利用平均不等式解决应用题的一般步骤 (1)理解题意，设变量，设变量时一般要把所求最大值或最小 值的变量定为函数. (2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为求函数的最大 值或最小值问题. (3)在定义域内，求出函数的最值. (4)验证相等条件，得出结论.
【证明】1.因为a,b,c∈R+,
所以(a+b)+(b+c)+(a+c)
3 3 (a b)(b c)(a c)，
所以 a b c 3 3 (a b)(b c)(a c).
又 1 1 1 33 1 1 1 ,
ac ab bc ac 1 1 1 9 所以 (a b c)( ) . ab bc ac 2 ab bc
2.由y=sin θcos2θ得，y2=sin2θcos4θ
1 2sin 2 cos 2 cos 2 2 1 2sin 2 cos 2 cos 2 3 4 ( ) , 2 3 27
2 3 . 9
当且仅当2sin2θ=cos2θ，即 sin 3 时取等号，此时
高中数学《三个正数的算术—几何平均不等式 》导学案
1.1.3三个正数的算术—几何平均不等式一、学习目标1.了解三个正数的算术—几何平均不等式；2.会应用三个正数的算术—几何平均不等式解决简单问题.【重点、难点】教学重点：三个正数的算术-几何平均不等式教学难点：利用三个正数的算术-几何平均不等式证明一些简单的不等式，解决最值问题二、学习过程【情景创设】1.基本不等式给出了两个正数的算术平均与几何平均的关系，这个不等式能否推广呢？例如，对于3个正数，会有怎样的不等式成立？2.证明：已知+∈R c b a ,,，那么abc c b a 3333≥++，当且仅当c b a ==时，等号成立.【导入新课】（阅读课本第8-9页，完成下面知识点的梳理）1.定理3.如果+∈R c b a ,,，那么3c b a ++ ，当且仅当 时，等号成立. 即：三个正数的 不小于它们的 .2推广：对于n 个正数n a a a ,,,21 ，它们的算术平均它们的几何平均.，即 ，当且仅当 时，等号成立.思考探究:利用不等式a ＋b ＋c 3≥3abc 求最值的条件是什么？ “一正、二定、三相等”，即(1)各项或各因式为 ；(2)和或积为 ；(3)各项或各因式能 相等的值．三 、典例分析例1. 求函数)0(,322>+=x x x y 的最大值，下列解法是否正确？为什么？ 解一： 3322243212311232=⋅⋅≥++=+=xx x x x x x x y ∴3min 43=y 解二：x x x x x y 623223222=⋅≥+=当x x 322=即2123=x 时 633min 3242123221262==⋅=y例2.已知a ，b ，c 为正数，求证： (a ＋b ＋c )(a 2＋b 2＋c 2)≥9abc .【变式拓展】1．如果x >0，如何求2x ＋1x2的最小值？ 2.当x ∈(0,1)时，函数y=x 2(1-x)的最大值是_______.四、总结反思1．(1)在应用平均不等式时，一定要注意是否满足条件，即a >0，b >0.(2)若问题中一端出现“和式”而另一端出现“积式”，这便是应用基本不等式的“题眼”，不妨运用平均不等式试试看．2．连续多次运用平均不等式定理时，要特别注意前后等号成立的条件是否一致．五、随堂检测1．函数y ＝x 2(1－5x )(0≤x ≤15)的最大值是( ) A ．4 B.215 C.4675 D.522．若x >0，则4x ＋9x2的最小值是( ) A ．9 B ．3336 C ．13 D ．不存在3．已知a.b.c ∈R ＋则(a b ＋b c ＋c a )(b a ＋c b ＋a c)≥________. 4．设a ，b ∈R ＋，且a ＋b ＝3，则ab 2的最大值是________．5.若正数y x ,.满足42=xy ，则y x 2+的最小值为 .。
1.1.3.三个正数的算术__几何平均不等式 课件(人教A选修4-5)
“一正二定三相等”同时具备时，函数方可取得最值．其中定
值条件决定着平均不等式应用的可行性，获得定值需要一定 的技巧，如：配系数、拆项、分离常数、平方变形等． (3)当不具备使用平均不等式定理的条件时，求函数的最 值可考虑利用函数的单调性．
[通一类] 1．已知x∈R＋，求函数y＝x2· (1－x)的最大值．
解：y＝x2(1－x)＝x· x(1－x) 1 ＝x· (2－2x)× x· 2 1x＋x＋2－2x3 1 8 4 ≤ ＝2×27＝27. 2 3 2 当且仅当 x＝2－2x，即 x＝ 时取等号． 3 4 此时，ymax＝ . 27
[研一题]
[例 2] 设 a、b、c∈R＋，求证：
[悟一法] 三个正数的算术—几何平均不等式定理，是根据不等
式的意义、性质和比较法证出的，因此，凡是可以利用该
定理证明的不等式，一般都可以直接应用比较法证明，只 是在具备条件时，直接应用该定理会更简便．若不直接具 备“一正二定三相等”的条件，要注意经过适当的恒等变形 后再使用定理证明．
连续多次使用平均不等式定理时要注意前后等号成立
中的应用.2012年昆明模拟以解答题的形式考查了算术—
几何平均值不等式在证明不等式中的应用，是高考模拟命
题的一个新亮点．
[考题印证]
(2012· 昆明模拟)已知 a，b，c 均为正数，证明：a2＋b2＋ 1 1 12 c ＋(a＋b＋c ) ≥6 3，并确定 a，b，c 为何值时，等号成立．
2
[命题立意]
1 1 12 1 1 故 a ＋b ＋c ＋(a＋b＋ c) ≥ab＋bc＋ac＋3ab＋3bc＋
2 2 2
1 3ac≥6 3. 所以原不等式成立．
③
当且仅当 a＝b＝c 时，①式和②式等号成立，当且仅 当 a＝b＝c，(ab)2＝(bc)2＝(ac)2＝3 时，③式等号成立． 即当且仅当 a＝b＝c＝3 时，原不等式等号成立．
三个正数的算数-几何平均不等式
三个正数的算术-几何平均不等式求证：如果),0(,,+∞∈c b a ，那么abc c b a 3333≥++，当且仅当c b a ==时，等号成立。
证明：因为abc c ab b a b a abc c b a 333)(33223333-+--+=-++ ①abc ab b a c b a 333)(2233---++= ②)(3])())[((22c b a ab c c b a b a c b a ++-++-+++= )32)((222ab c bc ac b ab a c b a -+--++++=))((222ac bc ab c b a c b a ---++++= ])()())[((21222c a c b b a c b a +++++++=0≥ 所以abc c b a 3333≥++，当且仅当c b a ==时，等号成立。
注意：（1）三个整数的积为定值，则和有最小值；三个正数的和为定值，则积有最大值。
与常用的基本不等式类似，求解过程中要注意“一正、二定、三相等”。
（2）几个简单的变形：33abc c b a ⋅≥++；27)(3c b a abc ++≤；3311133333c b a c b a abc cb a ++≤++≤≤++。
以上三个式子都是当且仅当c b a ==时，等号成立。
（3）公式的证明过程中，①式应用了公式3223333)(y xy y x x y x +++=+。
②式应用了公式))((2233y xy x y x y x +-+=+。
对上述结果做简单的恒等变形，就可以得到定理：如果),0(,,+∞∈c b a ，那么33abc c b a ≥++，当且仅当c b a ==时，等号成立。
这个不等式可以表述为：三个正数的算术平均不小于它们的几何平均。
1，已知),0(,,+∞∈z y x ，求证xyz z y x 27)(3≥++。
证明：因为033>≥++xyz z y x ，所以xyz z y x ≥++27)(3，即xyz z y x 27)(3≥++。
三个正数的算术—几何平均不等式
[变式训练] 已知 a，b，c∈R＋，a＋b＋c＝1，求证： 1a＋1b＋1c≥9.
证明：因为 a，b，c∈R＋，a＋b＋c≥33 abc.
又
a＋b＋c＝1，所以3
abc≤13，所以3
1 ≥3， abc
所以1a＋1b＋1c≥3 3 a1bc≥9. 故原不等式成立． 当且仅当 a＝b＝c＝13时，“＝”成立．
c
c
(2)求函数 y＝ax＋bx2的最小值，其中 ax＞0，bx2＞
0.
则
y
＝
ax
＋
c bx2
＝
ax 2
＋
ax 2
＋
c bx2
≥
3
3
ax ax c 3 2 · 2 ·bx2＝2
3 2ab2c.当且仅当a2x＝bcx2，即 x＝ 3 a2bc时，等号成立．
2．拼凑数学结构，以便能利用基本不等式求最值， 是必须掌握的一种方法，但要注意拼凑的合理性．在三个 正数的算术—几何平均不等式中，也要满足“一正、二定、 三相等”的条件，缺一不可．
(2)基本不等式：a1＋a2＋n …＋an≥n a1a2…an(n∈N*， ai∈R＋，1≤i≤n)．当且仅当 a1＝a2＝…＝an 时等号成立．
语言表述：n 个正数的算术平均数不小于它们的几何 平均数．
温馨提示 两个定理的使用前提都是“正数”．
[思考尝试·夯基]
1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)．
[典例 1] 已知 x∈R＋，求函数 y＝x(1－x2)的最大值．
解：因为 y＝x(1－x2)，
所以
y2
＝
x2(1
－
x2)2
＝
1 2
×
2x2(1
三个正数的算术-几何平均不等式概论
(x
0)的最小值是（
C）
A、6 B、6 6 C、9
D、12
解析：y
3x
12 x2
3x 2
3x 2
12 x2
3x 3x 12 33 2 2 x2 9
当且仅当3x 2
12 x2
即x 3时上式取等号 ymin 9
构造三个数之积为定值.
变式训练：
2、函数y
4x2
16 (x2 1)2
的最小值是
x
a
解：设切去的正方形边长为x，无盖方底
盒子的容积为V，则
V (a 2 x)2 x 1 (a 2x)(a 2x) 4x
4
1 4
(a
2x)
(a 3
当且仅当a 2x a
2x)
4x
3
2a 3 27
2x 4x即当
x
a
6
时，不等式取等号，此时Ｖ取最大值 2a3 ．
27
即当切去的小正方形边长是原来正方形边
当且仅当a b c时,等号成立.
(2)a b c为定值时 abc ( a b c )3 3
当且仅当a b c时,等号成立.
推广：n个正数的算术-几何平均不等式
如果 a1, a2 , , an R , n 1且n N* 则：
a1 a2
a3 n
an
n
a1a2a3 an ,
长的 1 时，盒子的容积最大．
6
变式训练：
1、函数y x4(2 x2 )(0 x 2)的最大值是
（ D） A、0 B、1
C、1267
32
D、27
构造三个数之和为定值.
2、若a, b R且a b,则a 1 _3_ (a b)b
高中数学新人教A版选修4-5 三个正数的算术—几何平均不等式
[思路点拨]
根据题设条件建立r与θ的关系式
sin θ → 将它代入E＝k 2 r → 得到以θ为自变量，E为因变量的函数关系式 → 用平均不等式求函数的最值 → 获得问题的解
[ 解]
2 ∵r＝ ， cos θ
π sin θcos2θ 0<θ< . ∴E＝k· 2 4
2 2 2 k k k ∴E2＝ · sin2θ· cos4θ＝ · (2sin2θ)· cos2θ· cos2θ≤ · 16 32 32 2 2sin2θ＋cos2θ＋cos2θ k 3 ＝108. 3
5．已知圆锥的底面半径为 R，高为 H，求圆锥的内接圆柱体的 高 h 为何值时，圆柱的体积最大？并求出这个最大的体积．
解：设圆柱体的底面半径为r，如图，由相似三 H－ h r R 角形的性质可得 H ＝R，∴r＝H(H－h)． 2 π R ∴V圆柱＝πr2h＝ 2 (H－h)2h(0<h<H)． H 4πR2 H－h H－h 4πR2H3 根据平均不等式可得V圆柱＝ 2 · · · h≤ 2 3 H 2 2 H H－ h 4 2 ＝ πR H.当且仅当 ＝ h， 27 2 1 4 2 即h＝ H时，V圆柱max＝ πR H. 3 27
“应用创新演练”见“课时跟踪检测（三）” (单击进入电子文档)
1 当且仅当 a－b＝b－c＝ 时等号成立， a－bb－c 1 所以当 a－b＝b－c＝ 时， a－bb－c 1 a－c－ 2 取得最小值 3. b －ab＋ca－b
用平均不等式解应用题
[例 3]
如图所示， 在一张半径是 2 m 的圆桌的正中央上
空挂一盏电灯．大家知道，灯挂得太高了，桌子边缘处的亮 度就小；挂得太低，桌子的边缘处仍然是不亮的．由物理学 知道，桌子边缘一点处的照亮度 E 和电灯射到桌子边缘的光 线与桌子的夹角 θ 的正弦成正比，而和这一点到光源的距离 sin θ r 的平方成反比，即 E＝k 2 . r 这里 k 是一个和灯光强度有关的常数，那么究竟应该怎 样选择灯的高度 h，才能使桌子边缘处最亮？
三个正数的算术几何平均不等式
三个正数的乘积的平方根，记作 GM。即GM = sqrt(a*b*c)。
算术几何平均不等式的形式
算术几何平均不等式
对于任意三个正数a、b、c，有AM >= GM，即(a+b+c)/3 >= sqrt(a*b*c)。
等号成立条件
当且仅当a=b=c时，算术几何平均不 等式的等号成立。
02
算术几何平均不等式的 证明
05
算术几何平均不等式的 局限性与挑战
算术几何平均平均不等式的局限性
01
适用范围有限
算术几何平均不等式仅适用于三 个正数的情况，对于其他数量或 非正数的情况则不适用。
02
无法处理负数
03
无法处理非整数
算术几何平均不等式不适用于负 数，因为负数没有算术和几何平 均数的定义。
算术几何平均不等式不适用于非 整数，因为算术和几何平均数的 定义仅适用于整数。
算术几何平均不等式的研究挑战与前景
寻找更广泛的不等式
为了解决算术几何平均不等式的局限性，需要寻找适用于更广 泛情况的不等式，例如适用于任意数量的正数或非正数的情况
。
深入研究不等式的性质
为了更好地应用算术几何平均不等式，需要深入研究其性 质和特点，例如其与凸函数、Jensen不等式等的关系。
探索实际应用
利用AM-GM不等式的几何解释
总结词
这种方法通过几何图形来解释算术几何平均不等式，将抽象的数学概念可视化， 有助于深入理解不等式的本质。
详细描述
首先，在三维空间中，以$a, b, c$为边长构造一个正方体。然后，根据AM-GM 不等式，正方体的体积大于等于其外接球体的体积。最后，通过观察正方体和外 接球体的关系，我们可以直观地理解算术几何平均不等式的意义。
选修4-5_一3._三个正数的算术--几何平均不等式_课件(14张)
2. 当0 x 1时,求函数y x(1 x2 )的最大值.
3.设θ为锐角，求y=sin2θcosθ的最大值.
4.
已知
0<a<1,求证:
1 ������
+
14-������≥9.
小结
1.三个正数的算术-几何平均不等式
若a, bc
仍然类比基本不等式的推出过程，我们先证明：
如果a,b, c R+,那么a3 b3 c3 3abc，
当且仅当ａ＝ｂ＝ｃ时，等号成立．
证明 ∵ a3 b3 c3 3abc (a b)3 c3 3a3b 3ab2 3abc
(a b c) (a b)2 (a b)c c2 3ab(a b c) (a b c)(a2 b2 c2 ab bc ca)
1 2
(a
b
c)
(a
b)2
(b
c)2
(c
a)2
0,
∴ a3 b3 c3 3abc
当且仅当ａ＝ｂ＝ｃ时，等号成立．
对上述结果作简单的恒等变形，就可以得到
定理3 (三个正数的算术-几何平均不等式)
若a，b，c R+ , 那么 a b c 3 abc , 3
当且仅当a b c时，等号成立。
语言表述：三个正数的算术平均不小于它们的几何平均.
变形： a b c 33 abc
abc ( a b c )3 3
推广 （n个正数的算术-几何平均不等式）
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主备人：郑飘伶 执行人：
课
题：三个正数的算术—几何平均不等式
1、 三个正数的算术-几何平均不等式及其推导；
内容及解析
2、 利用基本不等式证明； 3、 利用基本不等式及其变形形式求最大（小）值。 知识与技能目标：1．能利用三个正数的算术-几何平均不等式证明一些简单 的不等式，解决最值问题； 2．了解基本不等式的推广形式。
后记与反思
目标及解析
②过程与方法目标：掌握基本不等式的推导方法，会用基本不等式求最值 ③情感、态度与价值观目标：培养类比、推广、求证的思想方法，在学生分析 问题、解决问题的过程中培养其积极探索的精神。 教学重点：三个正数的算术-几何平均不等式 教学难点：利用三个正数的算术-几何平均不等式证明一些简单的不等式，解决 最值问题 1、 概念教学： 思考： 类比基本不等式， 是否存在： 如果 a, b, c R ， 那么 a b c 3abc
3 3 3
教学重、难点 支持条件分析
（当且仅当 a b c 时，等号成立）呢？试证明。 重 要 不 等 式 ： 已 知 a, b, c R ， 那 么 a b c 3abc 。 当 且 仅 当
3 3 3
a b c 时，等号成立。
注意：不等式成立的条件。可以拓宽为 a b c 0 教学设计过程 与设计意图 定理 3：如果 a, b, c R ，那么 等号成立。 变形： a b c 3 3 abc ， abc
abc abc 求最大值，注意配 3
凑和取等号的条件。 也可用导数x 2 最小值。 4 x
变式训练 2
已知：长方体的全面积为定值Ｓ，试问这个长方体的长、宽、高
各是多少时，它的体积最大，求出这个最大值． 小结： 我们应该更牢记 一 ____ 二 _____ 三 ________， 三者缺一不可。 另外， 由不等号的方向也可以知道：积定____________，和定______________. 3、交流互动 教材 P10 习题 1.1 第 11、12、13、14 题 4、课堂小结 通过本节学习，要求大家掌握三个正数的算术平均数不小于它们的几何平 均数的定理，并会应用它证明一些不等式及求函数的最值， ，但是在应用时，应 注意定理的适用条件。 5、作业 基础训练 P18 课后知能检测 教学问题诊断 1、 基本不等式及其推广形式； 2、 基本不等式及其变形的应用，比较灵活
拓展：
2 2 2 a1 a2 an a1 a2 an a1a2 an 1 1 1 n 2 a1 a2 an
n
n
2、例题的教学 教材例 5 利用均值不等式证明不等式
三个的基本不等式的初步运用 由此题， 你觉得在利用不等式解决这类题目时关键是要_____________________ 教材例 6 ： 点评：考查①数学建模；②利用
abc 3 abc 。当且仅当 a b c 时， 3
abc 3
3
推广： 对于 n 个正数 a1 , a2 ,, an ,它们的算术平均不小于它们的几何平均， 即：
a1 a 2 a n n ≥ a1 a 2 a n 。 当且仅当 a1 a2 an 时， 等号成立。 n