空间向量的坐标运算10769
空间向量的坐标与运算
空间向量的坐标与运算空间向量是向量的一种特殊形式，用于表示空间中的位置和方向。
在三维空间中，我们可以用三个坐标轴来表示空间向量的三个分量，分别是x、y和z轴的坐标。
通过对空间向量的坐标进行运算，我们可以进行各种有趣的空间几何计算。
首先，我们来看一下空间向量的表示。
一个三维向量可以表示为(Vx, Vy, Vz)，其中Vx、Vy和Vz分别是向量在x、y和z轴上的坐标。
如果我们在空间中有两点A(x1, y1, z1)和B(x2, y2, z2)，我们可以通过这两点的坐标求出空间向量AB的坐标。
坐标运算是对空间向量的坐标进行运算。
常用的坐标运算有加法、减法、数量乘法和点乘。
首先，让我们来看一下向量的加法和减法。
如果有两个向量A(x1,y1, z1)和B(x2, y2, z2)，它们的坐标和分别是(x1+x2, y1+y2, z1+z2)。
也就是说，向量的坐标相加就是分别将对应坐标相加。
同样，向量的减法也是使用相同的方式。
接下来，我们来看一下向量的数量乘法。
向量的数量乘法是将向量的坐标分别乘以一个标量。
如果有一个向量A(x, y, z)和一个标量k，那么A乘以k的结果就是(kx, ky, kz)。
最后，我们来看一下向量的点乘。
向量的点乘也叫数量积，结果是一个标量。
如果有两个向量A(x1, y1, z1)和B(x2, y2, z2)，它们的点乘结果等于x1*x2 + y1*y2 + z1*z2。
点乘的结果可以用来判断两个向量之间的夹角、平行性等。
除了以上的基本运算外，我们还可以进行其他更复杂的运算，如叉乘、模长计算等。
叉乘是两个向量的乘积，结果是一个新的向量。
叉乘的结果正交于原来的两个向量，并且模长与原向量之积等于原向量之间的夹角的正弦值。
空间向量的坐标和运算在几何学、物理学等许多学科中都有广泛的应用。
通过对坐标的运算，我们可以计算两点之间的距离、判断两个向量之间的关系等。
在计算机图形学、计算机游戏等领域，也经常使用空间向量的坐标和运算来表示和处理三维图形。
空间向量的坐标表示与计算
空间向量的坐标表示与计算空间向量是指具有大小和方向的箭头，用于描述空间中的物理量。
为了方便表示和计算，我们需要将空间向量转化为坐标形式。
本文将介绍空间向量的坐标表示与计算方法。
一、空间向量的坐标表示在三维空间中，我们通常使用直角坐标系来表示空间向量。
直角坐标系由三条相互垂直的坐标轴组成，分别记作x轴、y轴和z轴。
一个空间向量可以表示为一个三元组(x, y, z)，其中x、y和z分别表示向量在x轴、y轴和z轴上的投影长度。
例如，假设有一个空间向量a，它的起点坐标为A(x1, y1, z1)，终点坐标为B(x2, y2, z2)。
我们可以通过计算两点坐标的差值，得到向量a 的坐标表示：a = (x2 - x1, y2 - y1, z2 - z1)二、空间向量的计算1. 加法运算空间向量的加法运算是指将两个向量相加得到一个新向量。
设有两个向量a和b，其坐标分别表示为(a1, a2, a3)和(b1, b2, b3)，则它们的和向量c可以计算如下：c = (a1 + b1, a2 + b2, a3 + b3)2. 减法运算空间向量的减法运算是指将一个向量减去另一个向量得到一个新向量。
设有两个向量a和b，其坐标分别表示为(a1, a2, a3)和(b1, b2, b3)，则它们的差向量c可以计算如下：c = (a1 - b1, a2 - b2, a3 - b3)3. 数乘运算空间向量的数乘运算是指将向量的每个坐标分量与一个标量相乘得到一个新向量。
设有一个向量a和一个标量k，其坐标表示为(a1, a2, a3)，则它们的数乘结果向量b可以计算如下：b = (k * a1, k * a2, k * a3)4. 内积运算空间向量的内积运算是指将两个向量的对应坐标分量相乘后相加得到一个标量。
设有两个向量a和b，其坐标表示为(a1, a2, a3)和(b1, b2, b3)，则它们的内积结果为一个标量c，计算如下：c = a1 * b1 + a2 * b2 + a3 * b35. 外积运算空间向量的外积运算是指将两个向量进行叉乘得到一个新向量。
空间向量的坐标表示与计算
空间向量的坐标表示与计算空间向量是三维空间中的一个重要概念，可以用来表示空间中的一个点或者空间中的两个点之间的位移向量。
为了方便计算和表示，我们可以使用坐标表示来描述和计算空间向量。
一、空间向量的坐标表示在三维坐标系中，可以使用三个坐标轴（通常是x轴、y轴、z轴）来表示一个空间向量的坐标。
这三个坐标轴是相互垂直的，构成一个直角坐标系。
对于一个空间向量v，可以使用v的起点在坐标原点的坐标表示来表示该向量。
假设v的坐标表示为(x, y, z)，其中x、y、z分别表示v在x轴、y轴、z轴上的坐标值。
例如，对于一个空间向量v，如果它的起点在坐标原点，终点的坐标分别为(3, 4, 5)，那么可以表示为v = (3, 4, 5)。
二、空间向量的计算1. 向量的加法空间向量的加法是指将两个向量相加得到一个新的向量。
假设有两个向量a和b，它们的坐标表示分别为(a1, a2, a3)和(b1, b2, b3)。
那么它们的和向量c的坐标表示为(c1, c2, c3)，其中c1 = a1 + b1，c2 = a2 + b2，c3 = a3 + b3。
+ b的坐标表示为(c1, c2, c3) = (1 + 4, 2 + 5, 3 + 6) = (5, 7, 9)。
2. 向量的减法空间向量的减法是指将一个向量减去另一个向量得到一个新的向量。
假设有两个向量a和b，它们的坐标表示分别为(a1, a2, a3)和(b1, b2, b3)。
那么它们的差向量c的坐标表示为(c1, c2, c3)，其中c1 = a1 - b1，c2 =a2 - b2，c3 = a3 - b3。
例如，对于向量a = (1, 2, 3)和向量b = (4, 5, 6)，它们的差向量c = a - b的坐标表示为(c1, c2, c3) = (1 - 4, 2 - 5, 3 - 6) = (-3, -3, -3)。
3. 向量的数量积空间向量的数量积是指将两个向量相乘得到一个标量（即一个数）。
空间向量的3种坐标运算洋葱数学
空间向量的3种坐标运算洋葱数学摘要：1.空间向量的概念及坐标表示2.空间向量的加法运算3.空间向量的减法运算4.空间向量的数乘运算5.空间向量的坐标运算应用举例正文：一、空间向量的概念及坐标表示空间向量是指在三维空间中的有向线段，它可以用来表示空间中的物体和运动。
空间向量通常用有序的三元组(x, y, z) 来表示，其中x, y, z 分别代表向量在x, y, z 三个坐标轴上的分量。
二、空间向量的加法运算空间向量的加法是指将两个空间向量相加，得到一个新的空间向量。
空间向量的加法满足平行四边形法则，即两个向量的和等于以这两个向量为邻边的平行四边形的对角线。
设向量A = (x1, y1, z1) 和向量B = (x2, y2, z2)，则向量A 和向量B 的和为：A +B = (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2)三、空间向量的减法运算空间向量的减法是指将两个空间向量相减，得到一个新的空间向量。
空间向量的减法也满足平行四边形法则，即两个向量的差等于以这两个向量为邻边的平行四边形的对角线。
设向量A = (x1, y1, z1) 和向量B = (x2, y2, z2)，则向量A 和向量B 的差为：A -B = (x1 - x2, y1 - y2, z1 - z2)四、空间向量的数乘运算空间向量的数乘是指将一个向量与一个标量相乘，得到一个新的空间向量。
数乘运算满足分配律和结合律。
设向量A = (x, y, z) 和标量k，则向量A 与标量k 的乘积为：kA = (kx, ky, kz)五、空间向量的坐标运算应用举例假设有一个空间直角坐标系，原点为O，向量A = (2, 3, 4) 和向量B = (1, 2, 3)。
现在需要求解向量A 和向量B 的和、差以及向量A 与向量B 的数乘。
高二数学空间向量的坐标运算
空间向量的坐标运算一、知识回顾：1、如果空间一个基底的三个向量互相垂直 ：且长都为1 ：则这个基底叫做：常用 来表示。
2、在单位正交基底i ：j ：k 中 ：与向量OA 对应的有序实数组),,(z y x 叫做 ：其中x 叫做：y 叫做：z 叫做。
3、设),,(321a a a a = ：),,(321b b b b = ：则a +b =：-a b =：=a λ：=⋅b a：a ∥b ⇔：a ⊥b ⇔。
4、设),,(321a a a a = ：),,(321b b b b = == ：=。
5、在空间直角坐标系中 ：若),,(111z y x A ：),,(222z y x B ：则=B A d , 。
6、如果表示向量a 的有向线段所在直线垂直于平面α ：则称这个向量：向量a 叫做平面α的。
二、基础练习：1、空间直角坐标系中 ：x 轴上的点的坐标为 ：y 轴上的点的坐标为：z 轴上的点的坐标为 。
2、向量a =)3,0,2(与坐标平面平行 ：向量b =)0,3,2(与坐标平面平行。
3、若向量a =)2,3,2(- ：b =)3,5,1(- ：且b a m +与b a 23+垂直 ：则=m 。
4、已知点B 是点)4,7,3(-A 在xOz 平面上的射影 ：则=2)(OB。
5、若向量b 与向量)2,1,2(-=a 共线 ：且满足18=⋅b a ：则b = 。
6、同时垂直于a =)1,2,2( ：b =)3,5,4(的单位向量为。
三、典型例题：1、已知△ABC 的三顶点)2,1,0(A ：)1,1,2(-B ：)2,1,3(-C ：求（1）△ABC 的重心坐标 ：（2）BC 边上的中线长 ：（3）∠A 的余弦值 ：（4）△ABC 的面积。
2、已知四边形ABCD 的顶点分别是)2,1,3(-A ：)1,2,1(-B ：)3,1,1(--C ：)3,5,3(-D 求证：四边形ABCD 是一个梯形。
3、如图 ：在空间直角坐标系中 ：BC=2 ：O 是BC 的中点 ：点A 的坐标是)0,21,23(：点D 在平面yOz 上 ：且∠BDC=90º：∠DCB=30º ：求（1）向量OD 的坐标 ：（2）设向量AD 和BC 的夹角为θ ：求θ。
空间向量的坐标和运算
空间向量的坐标和运算一、空间向量的坐标和运算1.空间直角坐标系在单位正方体$oabc$-$d$′$a$′$b$′$c$′中，以$o$点为原点，分别以射线$oa$，$oc$，$od$′的方向为正方向，以线段$oa$，$oc$，$od$′的长为单位长，建立三条数轴：$x$轴、$y$轴、$z$轴。
这时我们说建立了一个空间直角坐标系$oxyz$，其中点$o$叫做坐标原点，$x$轴、$y$轴、$z$轴叫做坐标轴。
通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为$xoy$平面、$yoz$平面、$xoz$平面。
2.空间矢量的坐标一个向量在空间直角坐标系中的坐标等于表示向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标。
如果$a（x_1，y_1，z_1）$，$B（x_2，y_2，z_2）$，那么$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{ob}-\overrightarrow{OA}$=$（x_2-x_1$，$y_2-y_1$，$z_2-z_1）$。
3、空间向量的坐标运算设置$\boldsymbol（x_1，y_1，z_1）$，$\boldsymbol B（x_2，y_2，z_2）$，然后（1）$\boldsymbola+\boldsymbolb$=$(x_1+x_2,y_1+y_2,z_1+z_2)$。
（2） $\boldsymbola-\boldsymbolb$=$（x_1-x_2，y_1-y_2，z_1-z_2）$（3）$\boldsymbola·\boldsymbolb$=$x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2$。
（4） $|\boldsymbola |=\sqrt{x^2_1+y^2_1+z^2_1}$（5）$λ\boldsymbola=（λx_1,λy_1,λz_1）$。
4.平行（共线）和垂直空间向量的充要条件设非零向量$\boldsymbola(x_1,y_1,z_1)$，$\boldsymbolb(x_2,y_2,z_2)$，则$\boldsymbola∥\boldsymbolb\leftrightarrow\frac{x_1}{x_2}=\frac{y_1}{y_2}=\frac{z_1}{z_2}=λ（λ∈\mathbf{r}）$$\boldsymbola⊥\boldsymbolb\leftrightarrow\boldsymbola·\boldsymbolb=0\leftrig htarrow$$x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2=0$。
空间向量的坐标运算精选全文完整版
| AC | | BB1 | cos 900 0 AD1 DB1 AD1 DA AD1 AB AD1 BB1 | AD1 | | DA | cos1350 | AD1 | | AB | cos 900
| AD1 | | BB1 | cos 450 0 又AD1 AC A,
AD1 DB1, AC DB1. DB1 平面ACD1.
xA‘
y B(3,4,0)
与y轴垂直的坐标平面是___x_o__z___ A'(3, 4, 5)
与z 轴垂直的坐标平面是___x_o_y____
(2)点P(2,3,4)在 xoy平面内的射影是_(_2_,3_,_0_)
在 xoz 平面内的射影是_(2_,_0_,4_)_
在 yoz平面内的射影是_(0_,_3_,4_)_
(2)a 6b 8c _(2_,_-3_,_1_)_+_(_12,0,18)+(0,0,-16)
=(14,-3,3)
练习Ｐ39 8.判定下列各题中的向量是否平行: (1) (1,2,-2)和(-2,-4,4), (2) (-2,3,5)和(16,-24,40). 解: (1) (-2,-4,4) = -2 (1,2,-2)
数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴.这样
就建立了一个空间直角坐标系O — x y z .
点O叫做原点，向量 i, j, k
z k
都叫做坐标向量.通过每两个
y
i 坐标轴的平面叫做坐标平面。
O
j
x
三、向量的直角坐标系
给定一个空间坐标系和向量
a ,且设 i, j, k为坐标向量，由空z a
间向量基本定理，存在唯一的有
D1 A1
D
高二数学空间向量的坐标运算
o
a
y
经过A点作三个平面 分别垂直于x轴、y轴和z轴， 它们与x轴、y轴和z轴分别 交于三点，三点在相应的 坐标轴上的坐标a,b,c组成 的有序实数对（a,b,c)叫做 点Ａ的坐标
x
记为：Ａ（a,b,c)
例１
在空间直角坐标系中，作出点（５,４,６）. z 分析：
从原点出发沿x轴 Ｏ Ｐ1 正方向移动５个单位
z
A` B` B D`
O 空间直角坐标系中,x轴上的点、 xoy坐标平面内的点的坐标各有什么 特点？
１．x轴上的点横 坐标就是与x轴交 z 点的坐标，纵坐标 B(0, y , z ) 和竖坐标都是０． R(0,0, z ) ２．xoy坐标平面 M ( x, y, z ) C ( x , o, z ) 内的点的竖坐标为 O ( 0, 0, 0 ) y ０，横坐标与纵坐 o Q(0, y ,0) 标分别是点向两轴 A( x , y ,0) x P ( x ,0,0) 作垂线交点的坐标．
在空间选定一点 O和一个单位正交基底{i , j, k } 以点O为原
对空间任一向量 a
,由空间
z a
k
向量基本定理，存在唯一的有序实 数组 (a , a , a ),使 a a i a j a k . 1 2 3 1 2 3
A(a1 , a2 , a3 )
单位正交基底： 如果空间的一个基底的三个基向量互相垂 直，且大小都为 1，那么这个基底叫做单位正交 基底，常用 {i , j, k } 来表示.
空间向量 p
有序实数组 一一对应 ( x, y, z )
i , j , k 为基底
i
空间向量坐标运算
空间向量坐标运算空间向量是指在空间中有大小和方向的线段。
空间向量的坐标运算包括向量的加法、减法、数乘和内积。
下面将对这些运算进行详细介绍。
一、向量的加法设空间中有两个向量A和B，它们的坐标分别为(Ax, Ay, Az)和(Bx, By, Bz)。
向量的加法即将两个向量的对应分量相加得到一个新的向量C。
它的坐标为(Ax+Bx, Ay+By, Az+Bz)。
例如，设A = (1, 2, 3)和B = (4, 5, 6)，则A+B = (1+4, 2+5, 3+6) = (5, 7, 9)。
二、向量的减法向量的减法是指将一个向量减去另一个向量。
设向量A和B的坐标分别为(Ax, Ay, Az)和(Bx, By, Bz)，则向量A减去向量B的坐标为(Ax-Bx, Ay-By, Az-Bz)。
例如，设A = (1, 2, 3)和B = (4, 5, 6)，则A-B = (1-4, 2-5, 3-6) = (-3, -3, -3)。
三、向量的数乘向量的数乘是指一个向量乘以一个实数。
设向量A的坐标为(Ax, Ay, Az)，实数k，则向量A乘以实数k的坐标为(kAx, kAy, kAz)。
例如，设A = (1, 2, 3)，k = 2，则kA = (2*1, 2*2, 2*3) = (2, 4,6)。
四、向量的内积向量的内积又称为点乘，它是两个向量之间的一种运算。
设向量A和B的坐标分别为(Ax, Ay, Az)和(Bx, By, Bz)，则向量A与向量B的内积为Ax*Bx + Ay*By + Az*Bz。
例如，设A = (1, 2, 3)和B = (4, 5, 6)，则A·B = 1*4 + 2*5 +3*6 = 32。
向量的内积有以下几个性质：1. 交换律：A·B = B·A；2. 分配律：(A+B)·C = A·C + B·C；3. 数乘结合律：(kA)·B = k(A·B) = A·(kB)。
向量的坐标运算法则
向量的坐标运算法则向量是数学中的一个重要概念，可以用来描述物体的位置和运动。
在二维平面上，一个向量可以用两个数值（即x和y坐标）表示。
本文将介绍向量的坐标运算法则，包括坐标加法、坐标减法、数乘坐标、坐标点乘和坐标叉乘等方面。
1. 坐标加法定义：已知两个向量a和b，求向量c，使得c=a+b。
公式：c(x,y)=a(x,y)+b(x,y)坐标加法就是将两个向量的对应坐标相加，得到一个新的向量。
例如，如果向量a的坐标为(1，2)，向量b的坐标为(3，4)，则向量c 的坐标为(1+3，2+4)=(4，6)。
2. 坐标减法定义：已知两个向量a和b，求向量c，使得c=a-b。
公式：c(x,y)=a(x,y)-b(x,y)坐标减法是将两个向量的对应坐标相减，得到一个新的向量。
例如，如果向量a的坐标为(5，7)，向量b的坐标为(3，5)，则向量c的坐标为(5-3，7-5)=(2，2)。
3. 数乘坐标定义：已知向量a和实数k，求向量b，使得b=k*a。
公式：b(x,y)=k*a(x,y)数乘坐标是将一个向量的每个坐标乘以一个实数，得到一个新的向量。
例如，如果向量a的坐标为(4，5)，实数k为3，则向量b的坐标为(4*3，5*3)=(12，15)。
4. 坐标点乘定义：已知两个向量a和b，求实数c，使得c=a*b。
公式：c=a*b坐标点乘也称为内积或标量积，它是将两个向量的对应坐标相乘，并求和得到一个实数。
例如，如果向量a的坐标为(3，4)，向量b的坐标为(5，6)，则它们的内积为(3*5+4*6)=57。
内积是一个重要的概念，它可以用来表示两个向量的夹角以及向量的长度。
5. 坐标叉乘定义：已知两个向量a和b，求向量c，使得c=a×b。
公式：c(x,y)=a(x,y)×b(x,y)坐标叉乘也称为外积或向量积，它是通过两个向量的对应坐标之间乘积得到一个新的向量。
例如，如果向量a的坐标为(1，2)，向量b的坐标为(3，4)，则它们的外积为(1*4-2*3)=-2。
空间向量坐标运算
空间向量坐标运算空间向量是指具有大小和方向的直线段，在三维空间中通常用坐标表示。
空间向量的坐标运算包括向量的加法、减法、数量乘法、点乘和叉乘等。
下面将详细介绍这些运算。
1. 向量的加法和减法向量的加法和减法是指将两个向量相加或相减得到一个新的向量，其坐标运算规律如下：- 加法：若向量u的坐标为(u1, u2, u3)，向量v的坐标为(v1, v2, v3)，则向量u和v的和的坐标为(u1+v1, u2+v2, u3+v3)；- 减法：若向量u的坐标为(u1, u2, u3)，向量v的坐标为(v1, v2, v3)，则向量u和v的差的坐标为(u1-v1, u2-v2, u3-v3)。
2. 向量的数量乘法向量的数量乘法是指将一个向量乘以一个实数得到一个新的向量，其坐标运算规律如下：- 数量乘法：若向量u的坐标为(u1, u2, u3)，实数k，则向量u 乘以k的坐标为(k*u1, k*u2, k*u3)。
3. 向量的点乘向量的点乘又称为内积，是指将两个向量进行乘法运算得到一个标量（实数），其计算公式如下：- 点乘：若向量u的坐标为(u1, u2, u3)，向量v的坐标为(v1, v2, v3)，则向量u和v的点乘的结果为u1*v1 + u2*v2 + u3*v3。
4. 向量的叉乘向量的叉乘又称为外积，是指将两个向量进行乘法运算得到一个新的向量，其计算公式如下：- 叉乘：若向量u的坐标为(u1, u2, u3)，向量v的坐标为(v1, v2, v3)，则向量u和v的叉乘的坐标为((u2*v3 - u3*v2), (u3*v1 -u1*v3), (u1*v2 - u2*v1))。
通过以上的描述可以看出，向量的加法、减法、数量乘法都是按照对应位置进行运算，只要对应坐标进行相加、相减或乘以相同的实数即可。
点乘和叉乘则需要对应坐标进行特定的运算。
需要注意的是，向量的坐标运算不关心向量的起点和终点，只关心向量的大小和方向。
空间向量的坐标及应用
空间向量的坐标及应用空间向量指的是在三维空间中有大小和方向的量。
空间向量可以用坐标表示，坐标分别表示向量在x、y和z轴上的投影。
设空间向量为aa，则它的坐标表示为(a₁, a₂, a₃)，其中a₁表示在x轴上的投影，a₂表示在y轴上的投影，a₃表示在z轴上的投影。
空间向量的坐标表示很重要，可以用于计算向量的长度、夹角、投影等。
具体应用如下：1. 向量的长度：根据勾股定理，空间向量aa的长度为aa= √(a₁²+ a₂²+ a₃²)。
通过坐标计算向量的长度，可以用于判断向量的大小、求解力的大小等。
2. 向量的夹角：设空间向量aa和aa之间的夹角为a，则aaaa = (aa·aa) / ( aa aa)。
通过坐标计算向量之间的夹角，可以用于判断向量的方向、求解物体的夹角、求解力的方向等。
3. 向量的投影：设空间向量aa在空间向量aa上的投影为aa，则aa= (a a·aa) / aa²×aa。
通过坐标计算向量的投影，可以用于求解向量在某个方向上的分量、求解物体在某个方向上的运动等。
4. 平面与直线的判断：设平面的法向量为aa，平面上的一点为a，直线上的一点为a，空间向量aa为aaa，则aa在平面aaa上的投影为零。
通过坐标计算向量的投影，可以用于判断平面与直线的关系。
5. 镜面反射：设平面的法向量为aa，入射光线的方向向量为aa，反射光线的方向向量为aa，则根据反射定律，aa= aa−2(aa·aa) ×aa。
通过坐标计算向量之间的夹角和投影，可以求解光线的反射方向，用于设计反射镜、求解光线的传播等。
6. 空间直线的判断：设空间直线上的一点为a，直线的方向向量为aa，则空间点a在直线aaa上的条件为aaa·aa= 0。
通过坐标计算向量之间的点积，可以判断空间点与直线之间的关系。
7. 面积与体积：设平行四边形的两条边为aa和aa，则平行四边形的面积为a a×aa，其中aa×aa表示向量的叉积。
空间向量运算的坐标公式
空间向量运算的坐标公式首先，我们需要明确什么是空间向量。
空间向量是具有大小和方向的量，可以用箭头表示。
在空间中，我们通常使用坐标系来描述向量的位置和方向。
坐标系分为直角坐标系和斜坐标系两种。
直角坐标系由三条相互垂直的坐标轴构成，分别为X轴、Y轴和Z轴，构成一个三维空间。
而斜坐标系是以线段手段两个切平面之间的夹角小于90度的坐标系。
根据空间向量的定义，我们可以将向量表示为一个三元组(a,b,c)，其中a、b、c分别表示向量在X轴、Y轴和Z轴上的投影长度。
例如，向量A可以表示为(Ax,Ay,Az)，向量B可以表示为(Bx,By,Bz)。
根据向量的定义，我们可以得到以下关于向量的基本性质：1.向量相等：当且仅当两个向量的对应分量相等时，它们相等。
即，向量A=向量B当且仅当Ax=Bx,Ay=By,Az=Bz。
2.向量的数量乘法：向量与一个实数相乘，其结果仍然是一个向量。
公式为：k*向量A=(k*Ax，k*Ay，k*Az)。
3.向量的加法：两个向量相加的结果是一个新的向量，其坐标分别为对应坐标的和。
公式为：向量A+向量B=(Ax+Bx，Ay+By，Az+Bz)。
4.向量的减法：两个向量相减的结果是一个新的向量，其坐标分别为对应坐标的差。
公式为：向量A-向量B=(Ax-Bx，Ay-By，Az-Bz)。
5. 向量的线性组合：对于n个向量A1, A2, ... An和n个实数k1, k2, ... kn，他们的线性组合记作k1 * A1 + k2 * A2 + ... + kn * An，其中k1, k2,..., kn为各自的系数。
线性组合的结果仍然是一个向量。
以上是关于向量的基本性质和运算规则。
在实际运算中，我们可以根据这些规则进行计算，将向量的坐标代入公式，求出运算结果的坐标。
除了基本运算外，我们还可以进行向量的点积和叉积运算。
1.向量的点积也称为内积或数量积，其结果是一个实数。
两个向量A 和B的点积公式为：A·B=Ax*Bx+Ay*By+Az*Bz。
向量的坐标运算公式
向量的坐标运算公式向量的坐标运算是数学中的重要概念，它可以帮助我们描述和解决各种实际问题。
在这篇文章中，我们将深入探讨向量的坐标运算，从而更好地理解和应用它们。
让我们来了解一下什么是向量。
向量是具有大小和方向的量，通常用箭头表示。
在二维空间中，一个向量可以由它在水平轴上的坐标和垂直轴上的坐标表示。
例如，向量v可以表示为(vx, vy)，其中vx 是水平方向上的坐标，vy是垂直方向上的坐标。
接下来，我们来看一下向量的加法运算。
当我们将两个向量相加时，只需要将它们对应的坐标相加即可。
例如，如果有两个向量a和b，它们的坐标分别为(ax, ay)和(bx, by)，那么它们的和向量c的坐标可以表示为(cx, cy)，其中cx = ax + bx，cy = ay + by。
除了加法运算，我们还可以进行向量的数乘运算。
数乘运算指的是将一个向量与一个标量相乘，即将向量的每个坐标都乘以这个标量。
例如，如果有一个向量a，它的坐标为(ax, ay)，而一个标量k，那么将向量a与标量k相乘得到的新向量b的坐标可以表示为(bx, by)，其中bx = k * ax，by = k * ay。
我们还可以进行向量的减法运算。
向量的减法运算可以看作是向量加法运算的逆运算。
当我们将一个向量b从另一个向量a中减去时，只需要将b的坐标的相反数加到a的坐标上即可。
例如，如果有两个向量a和b，它们的坐标分别为(ax, ay)和(bx, by)，那么它们的差向量c的坐标可以表示为(cx, cy)，其中cx = ax - bx，cy = ay - by。
我们来讨论一下向量的模。
向量的模表示向量的长度，可以通过勾股定理计算得到。
在二维空间中，一个向量的模等于它的坐标的平方和的平方根。
例如，如果有一个向量a，它的坐标为(ax, ay)，那么它的模表示为|a| = √(ax^2 + ay^2)。
通过以上的讨论，我们对向量的坐标运算有了更深入的了解。
空间向量9个坐标计算公式
空间向量9个坐标计算公式空间向量是三维空间中的一个重要概念，它可以用来描述物体在空间中的位置、方向和运动。
在三维空间中，一个向量可以用三个坐标来表示，分别是x、y和z坐标。
通过这三个坐标，我们可以计算出向量的模、方向角和方向余弦等重要性质，从而更好地理解和应用空间向量。
在三维空间中，一个向量可以用以下公式来表示：\[。
\vec{a} = (x, y, z)。
\]其中，\(\vec{a}\)表示向量，\(x\)、\(y\)和\(z\)分别表示向量在x、y和z方向上的分量。
向量的模是指向量的长度，它可以用以下公式来计算：\[。
|\vec{a}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}。
\]这个公式就是三维空间中向量的模的计算公式，通过这个公式我们可以计算出向量的长度，从而更好地理解向量在空间中的位置和方向。
除了模之外，向量的方向角也是一个重要的性质。
在三维空间中，一个向量的方向角可以用以下公式来计算：\[。
\cos\alpha = \frac{x}{|\vec{a}|}, \cos\beta = \frac{y}{|\vec{a}|}, \cos\gamma =\frac{z}{|\vec{a}|}。
\]其中，\(\alpha\)、\(\beta\)和\(\gamma\)分别表示向量与x、y和z轴的夹角，通过这个公式我们可以计算出向量与坐标轴的夹角，从而更好地理解向量的方向。
除了方向角之外，向量的方向余弦也是一个重要的性质。
在三维空间中，一个向量的方向余弦可以用以下公式来计算：\[。
\cos\alpha = \frac{x}{|\vec{a}|}, \cos\beta = \frac{y}{|\vec{a}|}, \cos\gamma =\frac{z}{|\vec{a}|}。
\]通过这个公式我们可以计算出向量的方向余弦，从而更好地理解向量的方向。
除了以上的性质之外，向量还有很多其他重要的性质，比如向量的加法、减法、数量积、向量积等。
空间向量的坐标运算
空间向量的坐标运算一．知识回顾：（1）空间向量的坐标：空间直角坐标系的x 轴是横轴（对应为横坐标），y 轴是纵轴（对应为纵轴），z 轴是竖轴（对应为竖坐标）. ①令=(a 1,a 2,a 3),),,(321b b b =，则),,(332211b a b a b a ±±±=+))(,,(321R a a a a ∈=λλλλλ332211b a b a b a b a ++=⋅a ∥)(,,332211Rb a b a b a ∈===⇔λλλλ332211b a b a b a ==⇔0332211=++⇔⊥b a b a b a222321a a a ++==(=⋅=)232221232221332211||||,cos b b b a a a b a b a b a b a ba b a ++⋅++++=⋅⋅>=<②空间两点的距离公式：212212212)()()(z z y y x x d -+-+-=.（2）法向量：若向量所在直线垂直于平面α，则称这个向量垂直于平面α，记作α⊥，如果α⊥a 那么向量a 叫做平面α的法向量. （3）用向量的常用方法：①利用法向量求点到面的距离定理：如图，设n 是平面α的法向量，AB 是平面α的一条射线，其中α∈A ，则点B 到平面α②利用法向量求二面角的平面角定理：设21,n n 分别是二面角βα--l 中平面βα,的法向量，则21,n n 所成的角就是所求二面角的平面角或其补角大小（21,n n 方向相同，则为补角，21,n n 反方，则为其夹角）.③证直线和平面平行定理：已知直线≠⊄a 平面α，α∈⋅∈⋅D C a B A ,，且CDE 三点不共线，则a ∥α的充要条件是存在有序实数对μλ⋅使μλ+=.（常设μλ+=求解μλ,若μλ,存在即证毕，若μλ,不存在，则直线AB 与平面相交）.A B二．基础训练：1．已知(cos,1,sin),(sin,1,cos)a bθθθθ==，则向量a b+与a b-的夹角是（）()A90()B60()C30()D02．已知(1,1,),(2,,)a t t tb t t=--=，则||a b-的最小值是（）()A()B()C()D1153．已知ABCD为平行四边形，且(4,1,3),(2,5,1),(3,7,5)A B C--，则点D的坐标为_____. 4．设向量(1,3,2),(4,6,2),(3,12,)a b c t=-=-=-，若c ma nb=+，则t=，m n+=。
空间向量的坐标运算1
空间直角坐标系O--xyz中的坐标， 记作.
a =( a 1 , a2, a3)
z
a
k i Oj
A(a1,a2,
a3) y
x
；菲律宾签证 https:/// 菲律宾签证
;
；
马上就明白了。哈里被人领养了，而汤姆没有，他还依旧被留在孤儿院。 如何答复汤姆呢？摩罗·邦尼博士知道，最直截了当的办法，就是找一家愿意领养孩子的人，然后秘密地办理领养手续，待一切办好之后，给汤姆回信，说：汤姆，我的孩子！我真有点疏忽大意了，像您这样好的孩 子，是不应该没有爸爸妈妈的。明天我一定给您送去。 对于一个孤儿，上帝真的会这样答复吗？摩罗·邦尼博士心里非常矛盾。他想，对于一个从小失去依靠的人，要想让他知道上帝是公平的，绝不能用这种办法。经过深思熟虑，他给汤姆回了这么一封信。 亲爱的汤姆： 我不 期望您现在就读懂这封信，不过我还是想现在就告诉您，上帝永远是公平的。假若您认为我没有送给您爸爸妈妈，就是我的不公，这实在让我感到遗憾。我想告诉你：我的公平在于免费地向人类供应了三样东西：生命、信念和目标。 您知道吗？你们每一个人的生命都是免费得到的。到目 前为止，我没让任何一个人在生前为他的生命支付过一分钱。信念和目标与生命一样，也是我免费提供给你们的，不论你生活在人间的哪一个角落，不论你是王子还是贫儿，只要想拥有它们，我都随时让您们据为己有。 孩子，让生命、信念和目标成为免费的东西，这就是我在人间的公平 所在，也是我作为上帝的最大智慧。但愿有一天，您能理解。 您的上帝 这封信后来被刊登在《基督教科学箴言报》上，成为上帝最著名的公平独白，同时也使很多人第一次真正地认识了上帝 务实的李敖 ?你会说我的思想有一点老古板，我对你们清华大学早期的校友名字叫胡适的态 度，你们知道我是老牌的态度，在很早的时候胡适送给我1000块，我在大学捐了150万台币，相当于35万人民币，我是来还这个情，告诉大家，人间有情有义，可是人间也会疏财仗义，我的解释是钱拿出来才是事，光同情你是不可以的。 在帮助慰安妇的时候我把胡适送给我的字都义卖了。 因为二次世界大战，在中国，在朝鲜，在高丽，在台湾，在菲律宾，街上走的女孩子17、18岁抓着就跑，放在军营里面，给他们做性奴隶，不但集体乱奸，怀孕了把她绑在门板上动妇科手术，没有麻醉药，日本人是这样子对待我们的。后来日本人为了应付联合国，就说我们和解这件事情，就 是全世界对慰安妇每个人送50万新台币，相当于10几万人民币，台湾当时还剩下54个老太太，很可怜，有的眼睛看不到，有的路走不动，一身都是性病，没有人理她们。慰安妇的团体和他们说，这个钱不能要，日本人说原谅他们，这50万现金对她们太重要了，可是她们说不可以拿这个钱，为 了国家的尊严和个人的荣誉不可以拿这个钱。不拿可是心里觉得很难过，因为她们现在需要这个钱，我李敖实在看不过去，我站出来，我拿出100件收藏品，举行义卖，我们卖了100万美金，每个人发50万，条件就是你不能要日本鬼子的50万，你要我的50万，还定了一个规定，如果你拿了日本 的50万，这个50万要还我，最后日本人真这样了，但是我说不行，不能要日本人的钱。所以日本人是行不通的，至少在台湾保留了我们中国人的尊严。 我和大家讲，大家注意，我这个招不谈高调的，就是你道德劝说慰安妇不拿这个钱，不尽人情，老太太们实在要这个钱，她内心发生了天 人交战，什么办法，就是我的方法，这才是务实。你们只看到我张牙舞爪，骂张三和李四，你们没有看到我务实这一面，这是很重要的。今天的意思就是大家要务实，面对今天的中国问题和中国的前途，就是说中国才是我们真正努力的方向，真正努力的目标，真正献身的目标。 摘自《李 敖2005年9月23日清华大学演讲文字实录》 爱的遗赠 ?艾尔非常年轻的时候，就已经是一个娴熟的艺术家和制陶工人了。他有一个妻子和两个优秀的儿子。 一天晚上，他的长子感到胃部疼得厉害，但是艾尔和妻子都认为这只是普通的肠道疾病，而没有多加注意。可是男孩得的却是急性阑尾炎， 他在那天晚上意外地死去了。如果不是由于他的粗枝大叶，如果他能稍微意识到儿子病情的严重性，儿子的死本来是完全可以避免的。——在这样巨大的犯罪感的压制下，艾尔的情绪急剧地变坏了。 不久之后，他的妻子也离开了他，留下他和6岁的小儿子相依为命，这使本来就已经很糟 的局面更加恶化。艾尔受不了这两件事给他带来了打击和痛苦，就妄图从酒精中寻求帮助和解脱，没过多久，他就变成了一个酒鬼。 随着对酒精的迷恋越来越深，艾尔所拥有的一切开始一点一点地失去了--他的家，他的土地，他的艺术作品，他的一切。最后，艾尔在旧金山的一家汽车旅 馆里孤独地死去了。 当我听到艾尔去世的消息后，我对他的蔑视也和世人对那些死后没给子孙留下任何遗产的人的蔑视一样。"这是一个多么彻底的失败者呀！"我心里这样想，"完全是浪费生命！" 随着时间的流逝，我开始对早年自己对艾尔的苛刻评断重新估价，因为，我认识了艾 尔现在已经成年的小儿子厄尼。他是我所知道的最仁慈最精细最富爱心的人之一。我观察着厄尼和他的孩子们，看见他们之间洋溢着丰富的关爱之情。我知道那种仁慈和爱心一定源自某处。 我很少听到厄尼谈论他的父亲。要为一个酒鬼辩护是多么困难啊。一天，我鼓起勇气问他，"有一 件事使我感到很迷惑，"我说，"我知道你主要由你的父亲抚养长大的。那么他究竟是如何使你成为这样一个非同一般的人的呢？" 厄尼平静地坐在那儿，仔细思索了一会儿，然后他说："从我记事起一直到我18岁离开家，父亲每天晚上都到我的房间里来，在我的面颊上吻一下，并且说：' 我爱你，儿子。'" 我的眼睛湿润了，我意识到我过去觉得艾尔是一个失败者的想法是多么的愚蠢。他虽然没给儿子留下了什么物质财富，但是他用一个父亲的仁慈和爱心，培养出了一个非常善良无私的儿子。 ? 给狗取个好名字 ? 我的朋友琴德太太，住在纽约白利斯德路，她刚雇好一个 女佣，告诉她下星期一开始来工作。琴德太大打电话给那女佣以前的女主人，那太太指这个女佣并不好。当那女佣来上班的时候，琴德太太说： "妮莉，前天我打电话给你以前做事的那家太太。她说你诚实可靠，会做菜，会照顾孩子，不过她说你平时很随便，总不能将房间整理干净。 我相信她说的是没有根据的，你穿的很整洁，这是谁都可以看出来的……我可以打赌，你收拾房间，一定同你的人一样整洁干净。我也相信，我们一定会相处得很好。" 是的，她们果然相处得非常好，妮莉不得不顾全她的名誉，所以琴德太太所讲的，她真的做到了。她把屋子收拾得干干 净净，她宁愿自己多费些时间，辛苦些，也不愿意破坏琴德太太对她的好印象。 包德文铁路机车工厂总经理华克伦，他说过这样的话："一般人，都会愿意接受指导，如果你得到他的敬重，并且对他的某种能力表示敬重的话。" 我们也可以这样说，如果你想改善一个人某方面的缺点， 你要表示出，他已经具有这方面的优点了。莎士比亚说： "如果你没有某种美德，就假定你有。"最好是"假定"对方有你所要激发的美德，给他一个美好的名誉去表现，他会尽其所能，也不愿意使你感到失望的。 雷布利克在她的《我和梅脱林克的生活》一书中，曾叙述一个低卑的比 利时女佣的惊人改变。 她这样写着：隔壁饭店里有个女佣，每天替我送饭菜来，她的名字叫洗碗的玛丽。因为她开始工作时，是厨房里的一个助手。她那副长相真古怪，一对斗鸡眼，两条弯弯的腿，身上瘦得没有四两肉，精神也是显得无精打采、迷迷糊糊的。 有一天，当她端着一 盘面来给我时，我坦白的对她这样说："玛丽，你不知你有内在的财富？" 玛丽平时似乎有约束自己感情的习惯，生怕会招来什么灾祸，不敢做出一点喜欢的样子，她把面放到桌上后，才叹了口气说："太太，我是从来不敢想到那些的。"她没有任何怀疑，也没有提出更多的问题，她只是回 到厨房，反复思索我所说的话，深信这不是人家开她的玩笑。 就从那天起，她自己似乎也考虑到那回事了；在她谦卑的心理，已起了一种神奇的变化。她相信自己是看不见的暗室之宝；她开始注意修饰她的面部和身体。她那原来枯萎了的青春，渐渐洋溢出青春般的气息来。 两个月 后，当我要离开那地方时，她突然告诉我，她就要跟厨师的侄儿结婚了。她悄悄的告诉我："我要去做人家的太太了！她向我道谢我只用了这样简短的一句话，就改变了她的人生。 雷布利克给"洗碗的玛丽"，一个美好的名誉，而那个名誉改变了她的一生。 当利士纳要影响在法国的美 国士兵的行为时，也用了同样的方法。哈巴德将军--一位最受人们欢迎的美国将军，他曾经告诉利士纳说，在他看来，在法国的二百万美国兵，是他所接触过最合乎理想、最整洁的队伍。 这是不是过份的赞许？或许是的。可是我们看利士纳如何应用它！ 利士纳说："我从未忘记把哈 巴德将军所说的话，告诉士兵们，我并没有怀疑这话的真实性，即使并不真实，那些士兵们知道哈巴德将军的意见后，他们会努力去达到那个水准。" 有这样一句古语："如果不给一条狗取个好听的名字，不如把它勒死算了。" 几乎包括了富人、穷人、乞丐、盗贼，每一个人都愿意竭 尽其所能，保持别人赠予他的"诚实"的美誉。 "星星监狱"狱长洛斯说： "如果你必须去对付一个盗贼、骗子，只有一个办法可以制服他，那就是待他如同一个诚会、体面的绅士一样，假设他是位规规矩矩的正人君子。他会感到受宠若惊，他会很骄傲的认为有人信任他。" 那句话 太重要，太好了！我们不妨再说一遍： "如果你必须去对付一个盗贼、骗子，只有一个办法可以制服他，那就是待他如同一个诚实、体面的绅士，假设他是位规规矩矩的正人君子。他会感到受宠若惊，他会很骄傲的认为有人信任他。" 所以，如果你要影响一个人的行为，而不引起他 的反感，记住这项规则，那是： 给人一个美名让他去保全。 ? 松下幸之助：为你配副好眼镜 ?每一个生意人都想赚钱，这是天经地义的事。可是，满脑子都是生意经，这只是一般人的想法。 很久以前，我曾接到一封从北海道的札幌市寄来的信件，内容大致如下："我是一位眼镜商 人，前几天，在杂志上看到了您的照片。因为您所配戴的眼镜不大适合脸形，希望我能为您服务，
推荐-空间向量的坐标运算 精品 精品
y
右手直角坐标。
x
给定一个空间直角坐标 系和向量 a， 且设 i 、j 、k 为坐标向量 ， 由空间向量基本定理 ， 存在唯一的有序实数组 (a1, a2, a3),
使 a a1i a2 j a3k
有序数组 (a1, a2, a3)叫做 a 在
z
a
空间直角坐标系O xyz中的坐标.
记作 a (a1, a2, a3)
练习:
空间直角坐标系中， 在 x 轴上的点的坐标特征为纵：坐标,竖坐标都为0即(x,0,0) 在 y 轴上的点的坐标特征为横：坐标,竖坐标都为0即(0,y,0)
在 z 轴上的点的坐标特征为横：坐标,纵坐标都为0即(0,0,z)
在平面 xoy 上的点的坐标特征为竖：坐标为0即(x,y,0) 在平面 yoz 上的点的坐标特征为：横坐标为0即(0,y,z) 在平面 zox 上的点的坐标特征为：纵坐标为0即(x,0,z)
记作 A(x, y, z) .
其中 x 叫做点 A 的横坐标
y叫做点 A 的纵坐标
z叫做点 A的竖坐标
zk
k
xi i O
A (x, y, z)
yj
j
y
x
复习：平面向量的坐标运算
设 a= (a1, a2),b= (b1,b2) 则
a b (a1 b1,a2 b2) a b (a1 b1,a2 b2)
a3k
k
a2 j
a1i i O j
y
x
在空间直角坐标系 O xyz 中， 对空间任一点 A， 对应一个向量
OA ，于是存在唯一的有序实数组 x、y 、z ， 是 OA xi yj zk
在单位正交基底i 、j 、k 中与向量OA对应的有序实数组
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课 题：9 6空间向量的直角坐标及其运算 (一)教学目的：⒈掌握空间右手直角坐标系的概念，会确定一些简单几何体（正方体、长方体）的顶点坐标；⒉掌握空间向量坐标运算的规律；3.会根据向量的坐标，判断两个向量共线或垂直；4.会用中点坐标公式解决有关问题教学重点：空间右手直角坐标系，向量的坐标运算 教学难点：空间向量的坐标的确定及运算 授课类型：新授课 课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪 内容分析：本节有两个知识点：向量和点的直角坐标及向量的坐标运算、夹角和距离公式这一小节，去掉基底，使空间一个向量对应一个三维数组，这样使向量运算更加方便在上一小节已学习向量运算的基础上，把向量运算完全坐标化，对学生已不会感到抽象和困难在第2个知识点中，我们给出空间解析几何两个最基本的公式：夹角和距离公式在这个知识点中，作为向量坐标计算的例题，还顺便证明了直线与平面垂直的“性质定理”间解析几何、高维向量和矩阵打下基础要求学生理解空间向量坐标的概念，掌握空间向量的坐标运算，掌握两点的距离公式掌握直线垂直于平面的性质定理 教学过程：一、复习引入：1平面向量的坐标表示分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底任作一个向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x 、y ，使得j y i x a+=把),(y x 叫做向量a 的（直角）坐标，记作),(y x a =其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a在y 轴上的坐标， 特别地，)0,1(=i，)1,0(=j ，0,0(0= 2．平面向量的坐标运算若),(11y x a =，),(22y x b = ，则b a +),(2121y y x x ++=，b a -),(2121y y x x --=，,(y x a λλλ=若),(11y x A ，),(22y x B ，则()1212,y y x x --=3．a ∥b (b≠0)的充要条件是x 1y 2-x 2y 1=04平面两向量数量积的坐标表示已知两个非零向量),(11y x a = ，),(22y x b = ，试用a 和b 的坐标表示b a⋅设i 是x 轴上的单位向量，j是y 轴上的单位向量，那么j y i x a11+=，j y i x b 22+=所以))((2211j y i x j y i x b a++=⋅2211221221j y y j i y x j i y x i x x +⋅+⋅+=又1=⋅i i ，1=⋅j j ，0=⋅=⋅i j j i所以b a⋅2121y y x x +=这就是说：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和 5.平面内两点间的距离公式（1）设),(y x a = ，则222||y x a +=或||a =（2）如果表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，那么221221)()(||y y x x a -+-=(平面内两点间的距离公式)6.向量垂直的判定设),(11y x a = ，),(22y x b = ，则b a⊥ ⇔02121=+y y x x7.两向量夹角的余弦（πθ≤≤0）cos ＜a ,b ＞= c o s θ=||||b a ba⋅⋅8．空间向量的基本定理：若{,,}a b c 是空间的一个基底，p 是空间任意一向量，存在唯一的实数组,,x y z 使p xa yb zc =++． 二、讲解新课：1 空间直角坐标系：（1）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为1，这个基底叫单位正交基底，用{,,}i jk 表示；（2）在空间选定一点O 和一个单位正交基底{,,}i j k ，以点O 为原点，分别以,,i j k 的方向为正方向建立三条数轴：x 轴、y 轴、z 轴，它们都叫坐标轴．我们称建立了一个空间直角坐标系O xyz -，点O 叫原点，向量 ,,i j k 都叫坐标向量．通过每两个坐标轴的平面叫坐标平面，分别称为xOy 平面，yOz 平面，zOx 平面；（3）作空间直角坐标系O xyz -时，一般使135xOy ∠=（或45），90yOz ∠=； （4）在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x 轴的正方向，食指指向y 轴的正方向，如果中指指向z 轴的正方向，称这个坐标系为右手直角坐标系为右手直角坐标系2．空间直角坐标系中的坐标：如图给定空间直角坐标系和向量a ，设,,i j k 量，则存在唯一的有序实数组123(,,)a a a ，使123a a ia j ak =++， 有序实数组123(,,)a a a 叫作向量a 在空间直角坐标系O xyz - 中的坐标，记作123(,,)a a a a =．在空间直角坐标系O xyz -中，对空间任一点A ，存在唯一的有序实数组(,,)x y z ，使O A xi y j zk =++，有序实数组(,,)x y z 叫作向量A 在空间直角坐标系O xyz -中的坐标，记作(,,)A x y z ，x 叫横坐标，y 叫纵坐标，z 叫竖坐标． 3．空间向量的直角坐标运算律： （1）若123(,,)a a a a =，123(,,)b b b b =， 则112233(,,)a b a b a b a b +=+++，112233(,,)a b a b a b a b -=---，123(,,)()a a a a R λλλλλ=∈，112233a b a b a b a b ⋅=++，112233//,,()a b a b a b a b R λλλλ⇔===∈， 1122330a b a b a b a b ⊥⇔++=．（2）若111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，则212121(,,)AB x x y y z z =---．一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标三、讲解范例：例1 已知(2,3,5)a =-，(3,1,4)b =--，求a b +，a b -，||a ，8a ，a b ⋅．解：(2,3,5)(3,1,4)(1,2,1)a b +=-+--=--，(2,3,5)(3,1,4)(5,4,9)a b -=----=-，2||2(a =+=88(2,3,5)(16,24,40)a =-=-， (2,3,5)(3,1,4)29a b ⋅=-⋅--=-．例2．求点(2,3,1)A --关于xOy 平面，zOx 平面及原点O 的对称点解：∵(2,3,1)A --在xOy 平面上的射影(2,3,0)C -在zOx 平面上的射影为(2,0,1)B -，∴点(2,3,1A --关于x O y 平面的对称点为(2,3,1)'-，关于zOx 平面及原点O 的对称点分别为(2,3,1)B '-，(2,3,1)A '-．例3．在正方体1111ABCD A B C D -中，,E F 分别是1,BB CD 的中点，求证1D F ⊥平面ADE ．证明：不妨设已知正方体的棱长为1个单位长度，设DA i =，DC j =，1DD k =， 分别以,,i j k 为坐标向量建立空间直角坐标系O xyz -， 则(1,0,0)AD =-，11(0,,1)2D F =-，11(1,0,0)(0,,1)02AD D F ⋅=-⋅-=，∴1D F AD ⊥，又1(0,1,2AE =，111(0,1,(0,,1)022AE D F ⋅=⋅-=， ∴1D F AE ⊥，ADAE A =，所以，1D F ⊥平面ADE ．四、课堂练习：1．已知ABCD －A 1B 1C 1D 1是棱长为2的正方体，E 、F 分别是BB 1和DC 的中点，建立如图所示的空间直角坐标系，试写出图中各点的坐标分析：要求点E 的坐标，过点E 与x 轴、y 轴垂直的平面已存在，只要过E 作平面垂直于z 轴交E ‘点，此时|x|＝||,DA |y|＝||,DC |z|＝'||DE ，当DA 的方向与x 轴正向相同时，x ＞0，反之x ＜0，同理确定y 、z 的符号，这样可求得点E 的坐标解：D(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,2,0)，C(0,0,2)，A 1(2,0,2)，B 1(2,2,2)，C 1(0,2,2)，,D 1(0,0,2)，E(2,2,1)，F(0,1,0)2．已知a ＝(2，－3,5)，b ＝(－3,1，－4)，求a ＋b ，a －b ，8a ，a •b 解：a ＋b ＝（2，－3,5）＋（－3,1，－4）＝（－1，－2,1）， a －b ＝（2，－3,5）－（－3,1，－4）＝（5，－4,9）， 8a ＝8（2，－3,5）＝（16，－24,40），a •b ＝（2，－3,5）•（－3,1，－4）＝－6＋（－3）＋（－20）＝－29 3． 在正方体要ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为BB 1、CD 的中点， 求证：D 1F ⊥平面ADE证明：不妨设已知正方体的棱长为2，建立如图所示的空间直角坐标系D －xyz ，则111(2,0,0),(0,1,2),(2,0,0)(0,1,2)0AD D F AD D F D F AD=-=-⋅=-⋅-=∴⊥ 又(0,2,1),AE =11(0,2,1)(0,1,2)220,AE D F D F AE ⋅=⋅-=-=∴⊥∴D 1F ⊥AE ，又AD ∩AE ＝A ，∴D 1F ⊥平面ADE①本例中坐标系的选取具有一般性，在今后会常用到，这样选取可以使正方体各顶点的坐标均为非负，且易确定②原点的坐标为(0,0,0)，x 轴上的坐标为(x,0,0)，y 轴上的坐标为(0,y,0)，z 轴上的坐标为(0,0,z).③要使一向量a ＝(x,y,z)与z 轴垂直，只要z ＝0即可要使向量a 与哪一个坐标轴垂直，只要向量a 的相应坐标为0 巩固练习 P 39 练习 1－6五、小结：⒈空间右手直角坐标系的概念，会确定一些简单几何体的顶点坐标；⒉掌握空间向量坐标运算的规律；3. 会根据向量的坐标，判断两个向量共线或垂直；4. 会用中点坐标公式解决有关问题5．用向量坐标法证明或计算几何问题的基本步骤：建系设坐标→向量点的坐标化→向量的直角坐标运算六、课后作业：七、板书设计（略）八、课后记：教学以单位正交基底建立直角坐标系时，根据前面向量分解定理，引导学生体会从一般到特殊的思想方法在解数学问题中的重要性；.点的坐标与向量的坐标一般不同，只有表示向量的有向线段的起点是坐标原点时.有向线段终点的坐标与向量的坐标相同.这一点务必向学生讲清楚.；明确用向量坐标法证明或计算几何问题的基本步骤：建系设坐标→向量点的坐标化→向量的直角坐标运算。