泊松方程的狄氏问题
泊松方程的推导公式
泊松方程的推导公式泊松方程是数学物理中的一个重要方程，描述了二维空间中的电势分布。
它是由法国数学家泊松于19世纪初提出的，被广泛应用于电磁场、流体力学、热传导等领域中。
泊松方程的推导公式如下：∇²φ = -ρ/ε₀其中，φ表示电势，ρ表示电荷密度，ε₀表示真空介电常数。
这个公式可以用来计算电势场中的电势分布。
在二维情况下，泊松方程可以简化为：∂²φ/∂x² + ∂²φ/∂y² = -ρ/ε₀接下来，我们来推导一下泊松方程的解。
假设在一个有限区域Ω内有一些电荷，我们想要求解这些电荷在区域Ω中的电势分布。
我们可以将Ω分成很多小的网格，然后在每个网格上求解电势的值。
假设第i个网格的电势为φᵢ，那么根据泊松方程，我们可以得到：∂²φᵢ/∂x² + ∂²φᵢ/∂y² = -ρᵢ/ε₀其中，ρᵢ表示在第i个网格内的电荷密度。
我们可以将二阶偏导数离散化，用差分来表示。
假设Δx和Δy分别表示网格在x和y方向上的间距，那么可以得到：(φᵢ₊₁ⱼ- 2φᵢⱼ+ φᵢ₋₁ⱼ)/Δx² + (φᵢⱼ₊₁- 2φᵢⱼ+ φᵢⱼ₋₁)/Δy² = -ρᵢⱼ/ε₀我们可以进一步化简上述公式，得到：φᵢ₊₁ⱼ + φᵢ₋₁ⱼ + φᵢⱼ₊₁ + φᵢⱼ₋₁ - 4φᵢⱼ = -Δx²Δy²ρᵢⱼ/ε₀这个公式可以用于求解电势的值。
我们可以通过迭代的方式，从初值开始，逐步更新每个网格的电势值，直到达到收敛条件为止。
在每次迭代中，我们可以根据上述公式来更新每个网格的电势值。
泊松方程还有一种边界条件，即边界上的电势值是已知的。
在实际问题中，我们通常会给定一些边界条件，例如，某些区域的电势值是已知的，或者电势在边界上的法向导数是已知的。
这些边界条件可以帮助我们更好地求解泊松方程。
总结一下，泊松方程是描述二维空间中电势分布的重要方程。
高数泊松方程
高数泊松方程全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：高等数学中的泊松方程是一个非常重要的概念，它在物理学、工程学等领域都有着广泛的应用。
泊松方程是一个偏微分方程，它描述了一个标量函数的拉普拉斯算子（拉普拉斯算子是二阶空间导数的和）等于一个给定函数的情况。
泊松方程在物理学中的应用特别广泛，比如在电磁学中描述电势分布、在热传导中描述温度分布等等。
我们来看一下泊松方程的数学表达式：设函数u(x,y,z)在空间区域D内有定义，记\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}、\frac{\partial^2 u}{\partial y^2} 、\frac{\partial^2 u}{\partial z^2} 分别为u对x、y、z的二阶偏导数，那么泊松方程可以表示为：其中f(x,y,z)是给定的函数。
可以看出，泊松方程是一个二阶偏微分方程，描述了一个标量函数的拉普拉斯算子等于一个给定函数的情况。
泊松方程在物理学中的应用非常广泛，其中最为著名的应用就是在电磁学中描述电势分布。
根据麦克斯韦方程组，电荷在空间中分布会产生电场，而电场又会引起电荷的移动，形成电流。
泊松方程可以描述电势分布，即描述电场的强度和方向。
通过求解泊松方程，我们可以得到电势分布的解析表达式，从而进一步推导出电场分布、电流分布等物理量。
另一个比较常见的应用就是在热传导中描述温度分布。
热传导是物体内部的热量传递过程，它遵循热传导方程。
如果我们知道物体表面的温度分布，可以通过泊松方程求解得到物体内部的温度分布。
这对于工程设计和热力分析非常重要，可以帮助我们优化散热结构，提高能效等。
除了电磁学和热传导，泊松方程还有很多其他的应用，比如在流体力学中描述流场的速度分布、在弹性力学中描述物体变形的表面位移等等。
泊松方程是一个非常重要且有着广泛应用的数学工具，它帮助我们理解和描述自然界中许多复杂的现象。
在实际应用中，泊松方程的求解并不是一件容易的事情。
数学物理方程泊松方程
在保险精算中，泊松方程可以用来预测未来的风险和 损失。
股票市场预测
在股票市场中，泊松方程可以用来预测股票价格的波 动和趋势。
泊松方程的扩展
04
非线性泊松方程
ห้องสมุดไป่ตู้
非线性泊松方程
在泊松方程的基础上，引入非线 性项，使其能够描述更复杂的物 理现象。
求解方法
由于非线性项的存在，求解非线 性泊松方程的难度增加，需要采 用迭代法、有限元法等数值解法。
泊松方程的来源和重要性
泊松方程的起源可以追溯到18世纪的数学和物理学领域。它是由法国数学家和物理学家西莫恩·德尼· 泊松在研究电场和重力场问题时提出的。
泊松方程在数学物理、工程技术和科学计算等领域具有广泛的应用价值。它涉及到许多物理现象和工 程问题的建模与求解，如静电场、位势论、量子力学和流体动力学等。因此，掌握泊松方程的基本理 论和方法对于深入理解和解决实际问题至关重要。
应用领域
非线性泊松方程在物理学、工程 学等领域有广泛的应用，如描述 晶体生长、流体动力学等。
泊松方程的数值解法
有限差分法
将泊松方程转化为差分方程，通过迭代求解。
有限元法
将求解区域划分为若干个小的单元，对每个单元进行近似求解，再 通过求解全局方程得到最终结果。
应用领域
数值解法广泛应用于实际问题的求解，如工程设计、物理模拟等。
泊松方程的应用
03
在物理中的应用
描述粒子在势场中的运动
泊松方程可以描述粒子在势场中的运 动，例如在量子力学和经典力学中， 粒子在势能场中的运动可以用泊松方 程来描述。
电磁波传播
热传导问题
在热传导问题中，泊松方程可以用来 描述温度场的变化和分布。
4.4试探法、泊松方程求解
(6’)
9
第4章主要内容 3 调和函数的积分表达式(三维情形)
1 u(M 0 ) 4 1 u ( M ) rMM n 0 1 u ( M ) dS. rMM n 0
u dS 0, n
性质1
(12)
性质2 (平均值定理)
1 u(M 0 ) 4a 2
udS.
a
(13)
性质3 设函数 u ( x, y, z )是区域 内的调和函数， 它在 上连续，且不为常数， 则它的最大值、 最小值只能在边界 上达到 (极值原理)。
11
4
例 求方程 u xx u yy xy 的特解
解 由于 f ( x, y) xy 是自变量 x, y 的一个二次 多项式，为了计算方便，不妨取其特解为 w( x, y) Ax3 y Bxy3 代入方程，得
6( A B) xy xy,
1 , 6 1 w( x, y ) x 3 y; 6 B 0, A A 0, B
8
第4章主要内容
二维、三维拉普拉斯方程边值问题
1 二维、三维拉普拉斯方程的基本解分别为
1 U 0 ln r 1 U0 r
(r 0),
2 空间上格林第二公式
u v (uv vu)d u v dS. n n
(6)
平面上格林公式
u( x, y) a 2 ( x 2 y 2 ).
6
补充：利用极值原理证明泊松方程狄利克雷问题
u( x, y, z ) F , ( x, y, z ) ,
泊松方程
泊松方程
泊松方程（法语：Équation de Poisson）是数学中一个常见于静电学、机械工程和理论物理的偏微分方程，因法国数学家、几何学家及物理学家泊松而得名的。
泊松方程为
在这里代表的是拉普拉斯算子，而和可以是在流形上的实数或复数值的方程。
当流形属于欧几里得空间，而拉普拉斯算子通常表示为，因此泊松方程通常写成
在三维直角坐标系，可以写成
如果有恒等于0，这个方程就会变成一个齐次方程，这个方程称作“拉普拉斯方程”。
泊松方程可以用格林函数来求解；如何利用格林函数来解泊松方程可以参考屏蔽泊松方程。
现在也发展出很多种数值解，如松弛法（一种迭代法）。
通常泊松方程表示为
这里代表拉普拉斯算子，为已知函数，而为未知函数。
当时，这个方程被称为拉普拉斯方程。
为了解泊松方程我们需要更多的信息，比如狄利克雷边界条件:
其中为有界开集。
这种情况下利用基础函数构建泊松方程的解，拉普拉斯方程的基础函数为:
其中为n维欧几里得空间中单位球面的体积，此时可通过卷积得到的解。
为了使方程满足上述边界条件，我们使用格林函数
为一个校正函数，它满足
通常情况下是依赖于。
通过可以给出上述边界条件的解
其中表示上的曲面测度。
此方程的解也可通过变分法得到。
圆和半平面上的迪利希莱(Dirichlet)问题—泊松积分公式
圆和半平面上的狄利克雷（Dirichlet ）问题—泊松积分公式在第一章的§2.5中，我们曾讨论过调和函数与解析函数之间的密切联系。
在这一节中，我们将继续阐述这种联系。
具有物理应用的一类重要的数学问题是迪利希莱（Dirichlet ）问题，即要找一个未知函数，它在某个区域内是调和的，而且在这个区域的边界上取得预先指定的值。
例如图2.8所示，一半径为1的圆柱体充满导热的物质。
我们知道，圆柱体内的温度是由调和函数(,)T r θ来描述的。
若圆柱体表面的温度是已知的，是由2sin cos θθ所给定的，由于(1,)T θ在01,02r θ≤≥≤≥上是连续的，因此，我们的问题是要求一个单位圆上的调和函数(,)T r θ，使得2(1,) sin cos T θθθ=。
这就是我们所要解的迪利希莱问题。
图 2.8我们刚才所讨论的迪利希莱问题，其边界是简单的几何形状，如在大多数关于偏微分方程的教科书中所述的，通常用变量分离法来解，对更复杂的形状，有时要用共形映照的方法。
这种方法将在以后讨论。
在这节里，我们只讨论区域的边界是圆周或无限直线的情况。
一．圆的迪利希莱问题对解边界为圆周的迪利希莱问题，柯西积分公式是有帮助的。
考虑z-复平面上半径为R ，中心为原点的圆（见图2.9）设f(z)是在圆周z R =上及其内解析的函数。
图2.9对这函数f(z)和这圆周应用柯西积分公式，对圆内的任何一点z ，我们有1()()2w R f w f z dw i w zπ==-⎰ (2-25)令2R z z =，它位于过圆点和点z 的射线上，且21R z R z=>，因此，1z 位于圆的外部。
于是，由柯西定理，我们有 211()1()02-2w Rw Rw f w f w dw dw R iw z izππ==-==⎰⎰. (2-26) 将式(2-25)与式(2-26)的两边分别相减，我们获得221()().2()()w RR z z f z f w dw R i w z w z π=⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎣⎦⎰(2-27) 令e i i w R z re φθ==，,于是θi re z -=。
泊松方程
泊松方程是数学中一个常见于静电学、机械工程和理论物理的偏微分方程。
是因法国数学家、几何学家及物理学家泊松而得名的。
泊松首先在无引力源的情况下得到泊松方程，△Φ=0（即拉普拉斯方程）；当考虑引力场时，有△Φ=f（f为引力场的质量分布）。
后推广至电场磁场，以及热场分布。
该方程通常用格林函数法求解，也可以分离变量法，特征线法求解。
泊松方程可以用格林函数来求解；如何利用格林函数来解泊松方程可以参考屏蔽泊松方程。
有很多种数值解。
像是松弛法，不断回圈的代数法，就是一个例子。
泊松方程为：
在三维直角坐标系，可以写成：
泊松方程可以用格林函数来求解；如何利用格林函数来解泊松方程可以参考屏蔽泊松方程。
有很多种数值解。
像是松弛法，不断回圈的代数法，就是一个例子。
第六章 格林函数法
M* 2
M0
又因为v(x0,y0,z0)=M0,说明v(x,y,z)必在V内取最大值。 但一方面，v(x,y,z)在V内取最大值时，其海色矩阵：
vxx vyx
vxy vyy
vxz vyz
V
V
9
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
2、第二格林公式
设u(x,y,z),V(x,y,z)在SŲSV上有一阶连续偏导数，它们在 V中有二阶偏导，则：
uv vu dS uv vudV
S
V
证明：由第一格林公式得：
uv dS u vdV uvdV (1)
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
数理方程与特殊函数
任课教师：杨春 Email: yc517922@
数学科学学院
1
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
第六章 格林函数法
本章主要介绍利用格林函数法求解拉普拉斯方程与泊 松方程的三类边值问题。
作函数
v(x,
y,
z)
u(x,
y,
z)
M0 M 8R2
*
[( x
x0 )2
(
y
y0
)2
(z
z0 )2
]
其中P(x,y,z)是V中点，R是包含V的球体半径。
26
1
0.5 n 0
0.5
武汉大学数学物理方法5_4用电像法求某些特殊区域的狄氏格林函数
的球体中情况为半径为中心任意小，则应考虑以若e 00)2(M r =1),,()1(000-=----=D òòòòòòdxdydzz z y y x x dxdydz G et td ，由òòò-=D ®et e )2(1limGdxdydz 即îíì=Î----=D 0|,),,(1000s td G M z z y y x x G 、三维我们已求得思路t d Î----=D M z z y y x x G ),,,(:000Q 故希望将现在的定解问题看成两部分迭加,有意识使其中一部分为前面讨论过的),(),(),(000M M g M M F M M G +=令)(),(00M M M M F --=D d 使二、狄氏格林函数ì Dg = 0 ï 对于三维问题即求 : í 1 ï g |s = - 4pr |s î ìDg = 0 ï 对于二维问题即求 : í 1 1 ï g |l = - 2p ln r |s î三 、用电象法求某些边界形状的狄氏格林函数ìDu = 0 , r < a的解 ï 1、求í ïu |r = a = f ( M ) î(5.2.12) 得 : 由P244u(M ) = -r1M1òòs¶G f (M 0 ) ds 0 ¶n01 G(M , M 0 ) = +g 4pr ìDg = 0 ï 1 í ïg |r =a = - 4pr + g îr =ar0r1(1)分析 : 求u ® 求G ® g 即求M点电位 ® 求边界面上感应电荷在M ìDg = 0 ï 产生电位í 1 ï g | r = a = - 4pr |r = a î2、用电象法求 g（不好求） (1)若能在s外M 0的象M1点放一适当负电荷 - q 设之与M的距离为r1 -q 则 D( ) = 0 在s内 4pe 0r1 q 1 |s = |s 4pe 0r1 4pr q 则即为g 4pe 0 r1(*)\问题在于 : r1 = ? q = ? 虽然对于某些好的 边界形状r1是易于确定的 如 :rMM0M1r1故由 (*)可确定q\ 求g ® (1)确定 象点M 1 , (2)确定 q大小问题 ® 可由(*)( 2 )求 G : ìì 1 +g ï ïG = 4pr ïí ïï r<a í îDg = 0 ï ï g |r = a = - 1 |r = a ï 4pr î OM 0 = r 0 , OM1 = r1 使r 0 × r1 = a2r1M1r rM 0 r1 r0r0 a 即 = a r1则M1 - M 0象点 设 MM 0 = r , M1M 0 = r11 |s = ? 对于 M 在 r = a 上 r Q D OM 0 M ∽ D OM 1 Mr0 a r \ = = a r1 r1 1 r0 a |r = a = |r 即 r1 r=aa r0 1 |r = a = |r = a 4p r 4p r1e 0a r 0 |r = a = 4pe 0 r1e 0a -e 0 a r 0 - a r0 g = \q = = 4 pe 0 r1 4 p r1 r01 a r0 \G = 4pr 4pr1(3)电象法：这种在象点放一虚构的电荷来等效代替界面上的感应电荷所产生的电位 的方法称之为电象法3 求 u(M )2 r = r 2 + r 0 + 2 rr 0 cos g2 r1 = r 2 + r1 - 2 rr1 cos g¶G 1 é ¶ æ 1 ö a ¶ æ 1 öù ç ÷ú = ê ç ÷¶n 4p ê ¶r è r ø r 0 ¶r ç r1 ÷ ú è øû ë r0 a r = = 2 2 r1 r1 a Q r = r + r 0 - rr 0 cos g1 = r12 r 2 + r0 - 2 rr0 cos g2 r 2 + r0 - r 2 ® r0 cos g = 2r(*)¶ 1 ¶ = ¶n r ¶r =*12 r 2 + r 0 - 2 rr0 cos g r - r 0 cos g 2 2 + r 0 - 2 rr0 cos g(r)3 2=-2 2 r 2 - r 2 - r0 + r 22 rr 3=2 r0 - r 2 - r 22 rr 3格林函数演示1 无穷大接地导体平面上方放一平行均匀带电直导线，导体所在半无界空间的静电场由对称性可归结为二维点源的边值问题。
泊松方程的求解
泊松方程的求解
贝叶斯方程，又称泊松方程，是一种用于描述随机事件发生的概率的数学方程。
它是由英国数学家贝叶斯在18世纪末提出的，因此得名。
它可以用来解决各种概率问题，如抛硬币、抽牌等，也可以用来解决更复杂的问题，如统计学中的回归分析。
贝叶斯方程的基本思想是，在一定的条件下，某个事件发生的概率可以用一个数学表达式来表示。
这个表达式就是贝叶斯方程，它的形式如下：
P(A|B) = P(B|A) * P(A) / P(B)
其中，P(A|B)表示在B发生的条件下，A发生的概率；P(B|A)表示在A发生的条件下，B发生
的概率；P(A)表示A发生的概率；P(B)表示B发生的概率。
贝叶斯方程可以用来解决各种概率问题，如抛硬币、抽牌等，也可以用来解决更复杂的问题，如统计学中的回归分析。
例如，假设有一个抛硬币的游戏，抛出正面的概率是0.5，那么抛出
反面的概率就是0.5。
如果我们抛出了正面，那么抛出反面的概率就是0.5*0.5/0.5=0.5。
贝叶斯方程的应用不仅仅局限于概率问题，它还可以用来解决更复杂的问题，如机器学习中的分类问题。
例如，假设有一个分类问题，要判断一个样本是否属于某一类，那么我们可以使用贝叶斯方程来计算这个样本属于某一类的概率。
贝叶斯方程是一种非常有用的数学方程，它可以用来解决各种概率问题，也可以用来解决更复杂的问题，如机器学习中的分类问题。
它的应用范围很广，可以说是一种非常实用的数学工具。
泊松方程的推导公式
泊松方程的推导公式泊松方程（Poisson’s equation）是描述二维或三维空间中电场、重力场、温度场等场的分布的一种微分方程。
它源于法国数学家西蒙·泊松（Siméon-Denis Poisson）的研究工作，因此得名。
∇²φ=f(x,y,z)其中，∇²是拉普拉斯算子（Laplace Operator），定义为二阶偏导数的和：∇²=∂²/∂x²+∂²/∂y²+∂²/∂z²φ是待求解的标量场（例如电势、位势等），f(x,y,z)是给定的源项函数。
为了简洁起见，我们在以下推导中仅考虑二维空间的情况。
1.定义相关概念：- 梯度（Gradient）：标量场φ的梯度表示为∇φ，它是一个向量，指向标量场在每个坐标轴方向上的变化率最大的方向。
- 散度（Divergence）：向量场F的散度表示为∇·F，它是一个标量，描述向量场在每个坐标轴方向上的流动性。
- 斯托克斯定理（Stokes' theorem）：它表示对一个具有光滑边界Ω的区域进行曲面积分，等于该区域的边界曲线的环量积分，即∮∇×F·dS = ∬∇·FdA。
2.假设φ是一个具有连续二阶偏导数的标量场，可用泰勒级数展开：φ(x + h, y + k) = φ(x, y) + h∂φ/∂x + k∂φ/∂y +(1/2)h²∂²φ/∂x² + (1/2)k²∂²φ/∂y² + hk∂²φ/∂x∂y + O(h³, k³, hk², h²k)3. 考虑一个二维面积元素dA = dx dy，由斯托克斯定理可得：∮∇φ·dS=∬∇·∇φdA4.将标量场φ在上一步展开的泰勒级数中对面积元素dA求散度：∇·(∇φ)=∂²φ/∂x²+∂²φ/∂y²+O(h,k)5.根据泊松方程的定义可得：f(x,y)=∇·(∇φ)=∂²φ/∂x²+∂²φ/∂y²6.将泊松方程改写为：∇²φ=f(x,y)至此，我们得到了泊松方程的推导公式。
泊松方程
泊松方程是数学中一个常见于静电学、机械工程和理论物理的偏微分方程。
是因法国数学家、几何学家及物理学家泊松而得名的。
泊松首先在无引力源的情况下得到泊松方程，△Φ=0（即拉普拉斯方程）；当考虑引力场时，有△Φ=f（f为引力场的质量分布）。
后推广至电场磁场，以及热场分布。
该方程通常用格林函数法求解，也可以分离变量法，特征线法求解。
方程的叙述泊松方程为在这里代表的是拉普拉斯算子，而f和可以是在流形上的实数或复数值的方程。
当流形属于欧几里得空间，而拉普拉斯算子通常表示为，因此泊松方程通常写成在三维直角坐标系，可以写成如果有恒等于0，这个方程就会变成一个齐次方程，这个方程称作“拉普拉斯方程”。
泊松方程可以用格林函数来求解；如何利用格林函数来解泊松方程可以参考屏蔽泊松方程。
有很多种数值解。
像是松弛法，不断回圈的代数法，就是一个例子。
泊松方程数学表达通常泊松方程表示为这里代表拉普拉斯算子，f为已知函数，而为未知函数。
当f=0时，这个方程被称为拉普拉斯方程。
为了解泊松方程我们需要更多的信息，比如狄利克雷边界条件: 其中为有界开集。
这种情况下利用基础函数构建泊松方程的解，拉普拉斯方程的基础函数为: 其中为n维欧几里得空间中单位球面的体积，此时可通过卷积得到的解。
为了使方程满足上述边界条件，我们使用格林函数为一个校正函数，它满足通常情况下是依赖于。
通过可以给出上述边界条件的解其中表示上的曲面测度。
此方程的解也可通过变分法得到。
泊松方程应用在静电学很容易遇到泊松方程。
对于给定的f找出φ是一个很实际的问题，因为我们经常遇到给定电荷密度然后找出电场的问题。
在国际单位制（SI）中：此代表电势（单位为伏特），是电荷体密度（单位为库仑/立方米），而是真空电容率（单位为法拉/米）。
如果空间中有某区域没有带电粒子，则此方程就变成拉普拉斯方程：高斯电荷分布的电场如果有一个三维球对称的高斯分布电荷密度：此处，Q代表总电荷此泊松方程：的解Φ(r)则为erf(x)代表的是误差函数。
泊松方程的基本解
泊松方程的基本解
泊松方程是一种方程，它可以描述物理系统中常见几何形状的动力学行为。
它最初由著名物理学家伽利略在17世纪提出，但直到20世纪30年代，他才获得了真正的承认。
它使物理学家能够更加具体地解释物理过程。
泊松方程的基本解是它的空间和时间的解法。
它的空间解决方案描述了物理系统中的形态变化，并且可以做出准确的预测。
此外，它的时间解决方案可以描述弹性系统的运动，以及其他一些动力学行为。
它还给出了有关物体在恒定色温下的热传导的物理解决方案。
基本解可以用来获得物理系统中可能存在的其他详细解决方案。
例如，通过解析物理系统的非线性方程，��们可以较容易地获得天文系统中行星运动的准确估计。
基本解的另一个重要用途是它可以给出关于每个物理系统中参与形态变化的参量的有关信息。
这样，我们就可以用这些参数来分析物理系统中其他不同行为。
此外，它们还可以用于设计工程，可以为不同的结构和空间实现有效的结构构建。
总之，泊松方程的基本解是一种强大而有效的工具，可以帮助我们更好地理解物理系统。
它可以帮助我们以一种精确、更有效的方式来描述物体的变化和物理行为，从而使我们能够更好地理解和运用物理知识。
泊松方程 勒让德方程 贝塞尔方程 三者之间的关联
泊松方程勒让德方程贝塞尔方程三者之间的关联泊松方程、勒让德方程和贝塞尔方程是三个重要的数学方程，它们在物理学、工程学和数学分析等领域中有广泛的应用。
本文将依次介绍这三个方程以及它们之间的关联。
首先，我们来介绍泊松方程（Poisson equation）。
泊松方程是一个关于标量函数的偏微分方程，通常用来描述电势、温度和引力等物理量的分布。
泊松方程的一般形式可以写作：∇²φ = - ρ/ε₀其中∇²是拉普拉斯算子，φ是待求标量函数，ρ是待求函数的源项，ε₀是真空介电常数。
在三维笛卡尔坐标系下，泊松方程可以变形为：∂²φ/∂x² + ∂²φ/∂y² + ∂²φ/∂z² = - ρ/ε₀泊松方程是一个椭圆型偏微分方程，其解的性质与边界条件密切相关。
根据不同的边界条件，可以得到不同的解。
泊松方程在静电学、热传导和调和函数等领域中有广泛的应用。
接下来，我们介绍勒让德方程（Legendre equation）。
勒让德方程是一个关于勒让德多项式的二阶线性微分方程，通常用来描述球对称问题的解。
其一般形式可以写作：(1 - x²)y'' - 2xy' + n(n+1)y = 0其中y是待求函数，n是常数。
勒让德方程是一个特殊的超几何微分方程，其解决了球对称物体的形状和场的分布。
勒让德方程的解为勒让德多项式，具有良好的正交性和归一性质，因此在量子力学、电动力学和天体物理等领域中有广泛的应用。
最后，我们介绍贝塞尔方程（Bessel equation）。
贝塞尔方程是一个关于贝塞尔函数的二阶线性微分方程，通常用来描述边界平均值和振动问题。
其一般形式可以写作：x²y'' + xy' + (x² - n²)y = 0其中y是待求函数，n是常数。
贝塞尔方程是调和函数的重要特例，其解为贝塞尔函数。
薛定谔-泊松方程组的数值计算和分析及其应用
1.1 问题背景 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 研究现状 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.3 研究内容 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.3.1 1.3.2 1.3.3 快速高效数值方法及其应用 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 两类紧致差分格式的最优误差估计 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 各向异性外势下三维方程组的降维分析 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
泊松方程和边界条
引力场问题中的边界条件
稳态引力场问题
在稳态引力场问题中，边界条件通常涉 及到质量分布、引力势和引力场的连续 性。例如，在星体表面，质量分布和引 力势满足一定的连续性条件，这些条件 限制了引力场的变化。
VS
非稳态引力场问题
在非稳态引力场问题中，边界条件涉及到 物质密度、速度和加速度等物理量的连续 性。这些条件对于分析天体演化、星系形 成和演化等问题非常重要。
03
泊松方程与边界条件的关联
边界条件对泊松方程的影响
边界条件决定了泊松方程的解在边界 上的取值，从而影响整个解的形状和 性质。
不同的边界条件可能导致泊松方程有 不同的解，因此在求解泊松方程时必 须考虑边界条件的约束。
泊松方程在边界条件下的特性
在给定的边界条件下，泊松方程的解 通常具有唯一性，即只有一个解满足 所有给定的条件。
04
泊松方程在物理问题中的应
用
电场问题
静电场问题
泊松方程可以用于描述静电场的分布，通过求解该方 程可以得到电场强度、电势等物理量。
电导率分布问题
在电导率分布不均匀的情况下，泊松方程可以用于描 述电流密度和电场强度之间的关系。
电容和电感问题
泊松方程可以用于计算电容和电感等电路元件的参数。
引力场问题
天体运动问题
在研究天体运动时，泊松方程可以用于描述引力场，进而求解天体的轨道和运 动规律。
地球重力场问题
通过求解泊松方程，可以研究地球重力场的分布和变化规律，为地质勘探、地 震预测等领域提供依据。
其他物理问题
波动问题
泊松方程可以用于描述波动现象，如声波、电磁波等。
流体动力学问题
在某些流体动力学问题中，泊松方程可以用于描述流体的压力场或速度场。
泊松方程的狄氏问题
∫τ τ [GΔu − uΔG]dτ =∫τ τ uδ (M − M
−
ε
M )dτ
对左边用格林第二公式有：
∂G ∂u ∫σ +σ ε (G ∂n − u ∂n )dσ = ∫τ −τ ε uδ ( M − M 0 ) dτ − ∫τ −τ ε Gh ( M )dτ ∂G ∂u ∫σ (G ∂n − u ∂n )dσ − u ( M 0 ) = − ∫τ G ( M , M 0 ) h ( M ) dτ
0
) h ( M 0 ) d τ 0 − ∫∫
∂G f (M 0 ) dσ ∂n0
(6)
⎧ΔG = −δ ( M − M 0 ) (3) ⎨ ( 4) ⎩G σ = 0
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G(M , M 0 ) = G(M 0 , M )
§5.2泊松方程的狄氏问题
习题 5.2：1（2）
2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2
= −G ( M 1 , M 2 ) + G ( M 2 , M 1 )
(2), (4)
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G(M1, M 2 ) = G(M 2 , M1 )
§5.3格林函数的求法
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二、积分公式－格林函数法 §5.2泊松方程的狄氏问题
1、(三维）狄氏积分公式
狄氏格林函数
⎧ Δ u = − h ( M ) (1) ⎧ΔG = −δ ( M − M 0 ) (3) ⎪ ⎨ ⎨ ( 4) (2) ⎪u σ = f ( M ) ⎩G σ = 0 ⎩ ∂G ∂u ∫σ (G ∂n − u ∂n )dσ − u ( M 0 ) = − ∫τ G ( M , M 0 ) h ( M ) dτ 将边界条件(2)(4): Q G(M , M 0 ) = G(M 0 , M ) ∂G u ( M 0 ) = ∫ G ( M , M 0 ) h ( M )d τ − ∫ f ( M ) dσ τ σ ∂n ∂G u ( M ) = ∫ G ( M , M 0 ) h ( M 0 )d τ 0 − ∫ f ( M 0 ) dσ τ σ ∂n0
泊松方程和边界条件
Si j
二、唯一性定理
1．均匀单一介质
若V边界上 区域内 分布已知， 满足 S 已知，或V边界上 已知，则 V 内场（ 静
2
n
电场）唯一确定。
S
证明： 假定泊松方程有两个解 1 2 ，有
2 1 2 1 1 S 2 S S 在边界上
上半空间
Q 2 下半空间 2 (1 2)r
Q 4 ( ) r 1 2
( r a )
导体球面上面电荷分布：
Q 1 1 1 1 2 下半球面上均匀分布 rr 2 ( ) a 1 2 a
Q 2 2 2 2 2 上半球面上均匀分布 rr ( ) a 1 2 a 2
利用
P n ( E E ), E 2 1 0
0 Q 1 )Q P (
3．两种均匀介质（ 1 和 2 ） 充满空间，一半 径 a 的带电Q导体球放 在介质分界面上（球心 在界面上），求空间电 势分布。
2
a
Q
1
解：外边界为无穷远，电荷分布在有限区 给定，所以球外场唯一确定。 对称性分析：
n ：i j
i
Sij
j
Sij
j
j n
S ij
i i n Sij
注：在实际问题 中，因为导体内 场强为零，可以 不包含在所求区 域 V 内。导体面 上的边界条件可 视为外边界条件。
V内两介质分 界面上自由 电荷为零
j
j n
Si j
i i n
1 S 2S
c c c 1 2
泊松积分值的计算方法及其应用
泊松积分值的计算方法及其应用泊松积分是数学中的一种特殊函数，由法国数学家泊松（Siméon Denis Poisson）在19世纪初提出，用于描述电势分布或磁场分布等问题。
泊松积分的计算方法和应用十分广泛，下面我们来详细介绍一下。
一、泊松积分的定义泊松积分是一个二元函数，定义如下：$$P(x,y)=\frac{1}{\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{y}{(t-x)^2+y^2}dt$$其中，$x$和$y$是实数，$P(x,y)$是泊松积分的函数值。
二、泊松积分的计算方法1. 利用复变函数理论泊松积分可以通过复变函数理论来计算。
具体来说，可以将泊松积分转化为复变函数的积分形式，然后利用留数定理来计算积分值。
这种方法可以简化计算过程，但需要一定的复变函数理论基础。
2. 利用分部积分法另一种计算泊松积分的方法是利用分部积分法。
具体来说，可以将泊松积分中的分母拆分成两个因式，然后进行分部积分。
这种方法比较简单易懂，但计算过程较为繁琐。
三、泊松积分的应用1. 电势分布问题泊松积分可以用于描述电势分布问题。
具体来说，可以通过泊松方程来描述电势分布，然后利用泊松积分来求解电势分布的数值解。
这种方法在电磁学、电子学等领域中得到广泛应用。
2. 磁场分布问题泊松积分也可以用于描述磁场分布问题。
具体来说，可以通过安培定理来描述磁场分布，然后利用泊松积分来求解磁场分布的数值解。
这种方法在物理学、工程学等领域中得到广泛应用。
3. 概率论中的应用泊松积分在概率论中也有应用。
具体来说，泊松积分可以用于计算泊松分布的概率密度函数。
这种方法在统计学、金融学等领域中得到广泛应用。
总之，泊松积分是一种十分重要的特殊函数，具有广泛的应用价值。
通过合适的计算方法，可以计算出泊松积分的数值解，从而解决各种实际问题。
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0
) h ( M 0 ) d τ 0 − ∫∫
∂G f (M 0 ) dσ ∂n0
(6)
⎧ΔG = −δ ( M − M 0 ) (3) ⎨ ( 4) ⎩G σ = 0
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G(M , M 0 ) = G(M 0 , M )
§5.2泊松方程的狄氏问题
习题 5.2：1（2）
[(1) ⋅ G − (3) ⋅ u ] 在[τ − τ ε ]中积分有 :
∫τ τ [GΔu − uΔG]dτ =∫τ τ uδ (M − M
−
ε
−
ε
0
)dτ − ∫
τ −τ ε
Gh(M )dτ
对左边用格林第二公式有：
∂G ∂u ∫σ +σ ε (G ∂n − u ∂n )dσ = ∫τ −τ ε uδ ( M − M 0 ) dτ − ∫τ −τ ε Gh ( M )dτ ∂G ∂u ∫σ (G ∂n − u ∂n )dσ − u ( M 0 ) = − ∫τ G ( M , M 0 ) h ( M ) dτ
( 2).我们要求解的三类数值 方程中均含有 Δ, 格林公式是将未知函数 , 从微分算符 Δ下 解脱出来的工具 .
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一、格林公式
§5.2泊松方程的狄氏问题
2、格林第一公式 ∂v ∫τ uΔvdτ + ∫τ∇u ⋅ ∇vdτ = ∫σ u ∂n dσ (3) ∂u ∫τ vΔudτ + ∫τ∇u ⋅ ∇vdτ = ∫σ v ∂ndσ (4) 3、格林第二公式 ∂v ∂u (5) ∫τuΔvdτ − ∫τ vΔudτ = ∫σ (u ∂n − v ∂n )dσ ∂v ∂ u ( 意义：1) 将u , v, Δu , Δv的值与 u , v, , 的边值联系起来 . ∂ n ∂n
2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2
= −G ( M 1 , M 2 ) + G ( M 2 , M 1 )
(2), (4)
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G(M1, M 2 ) = G(M 2 , M1 )
§5.3格林函数的求法
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0
M0 r
（2）显然
u(M 0 , t0 ) = lim u (r, t0 )
r→0
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二、பைடு நூலகம்分公式－格林函数法 §5.2泊松方程的狄氏问题
1、(三维）狄氏积分公式
M , M 0 ∈τ
⎧ Δ u = − h ( M ) (1) ⎧ΔG = −δ ( M − M 0 ) (3) ⎪ ⎨ ⎨ ( 4) (2) ⎪u σ = f ( M ) ⎩G σ = 0 ⎩ 1 则(3) → G = (5.3.4), r = ( x − x0 ) 2 ( y − y0 ) 2 ( z − z0 ) 2 4π r
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附：证明
G(M 1, M 2 ) = G(M 2 , M 1 )
⎧ ΔG ( M , M 1 ) = −δ ( M − M 1 ) (1) ⎨ (2) ⎩G ( M , M 1 ) σ = 0
2 1
⎧ΔG ( M , M 2 ) = −δ ( M − M 2 ) (3) ⎨ (4) ⎩G ( M , M 2 ) σ = 0
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三、小结：
§5.2泊松方程的狄氏问题
∂v ∂u 1、 uΔvdτ − vΔudτ = (u ∫τ ∫τ ∫σ ∂n − v ∂n )dσ
2、
u(M ) =
⎧Δu = − h(M ) , M ∈ τ ⎪ ⎨ ⎪u σ = f ( M ) ⎩ (1) (2)
σ
(5)
∫∫∫τ G ( M , M
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二、积分公式－格林函数法 §5.2泊松方程的狄氏问题
1、(三维）狄氏积分公式
狄氏格林函数
⎧ Δ u = − h ( M ) (1) ⎧ΔG = −δ ( M − M 0 ) (3) ⎪ ⎨ ⎨ ( 4) (2) ⎪u σ = f ( M ) ⎩G σ = 0 ⎩ ∂G ∂u ∫σ (G ∂n − u ∂n )dσ − u ( M 0 ) = − ∫τ G ( M , M 0 ) h ( M ) dτ 将边界条件(2)(4): Q G(M , M 0 ) = G(M 0 , M ) ∂G u ( M 0 ) = ∫ G ( M , M 0 ) h ( M )d τ − ∫ f ( M ) dσ τ σ ∂n ∂G u ( M ) = ∫ G ( M , M 0 ) h ( M 0 )d τ 0 − ∫ f ( M 0 ) dσ τ σ ∂n0
∫ ∫∫τ [(1) ⋅ G(M , M ) − (3) ⋅ G (M , M )] dτ : ∫ ∫∫τ [G(M , M ) ⋅ ΔG(M , M ) − G(M , M ) ⋅ ΔG(M , M )]dτ = ∫∫∫ [−G ( M , M )δ ( M − M ) + G ( M , M )δ ( M − M )]dτ τ ∂ ∂ ∫∫σ [G(M , M ) ∂n G(M , M ) −G(M , M ) ∂n G(M , M ) ]
§5.2泊松方程的狄氏问题
Dirichlet Problem for the Poisoon’s Equations
⎧Δu = −h(M ) , M ∈τ ⎨ ⎩u σ = g (M )
(1) (2)
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一、格林公式 1、为何引入格林公式
§5.2泊松方程的狄氏问题
(1)积分公式的起点是通过直接积分或分部积分将 未知函数从微分号下解脱出来
－狄氏积分公式
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二、积分公式－格林函数法
2、狄氏积分公式的物理意义：
§5.2泊松方程的狄氏问题
第一项：体内源产生的场的和。 第二项： 边界面上源产生的场的和。 3、(二维）狄氏积分公式 ⎧Δu(M ) = −h(M ) M ∈σ ⎨ ⎩u |l = f (M )
∂G u ( M ) = ∫∫ G ( M , M 0 ) h ( M 0 )d σ − ∫ f ( M 0 ) dl σ l ∂n0
(2 ) u, v 对称
(3) 若已知 v , Δ v = 0, 及 v σ ,
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⎧Δu = −h(M ) (1) 之解。 ⎨ 则由格林公式可能求得 ⎩u σ = g (M ) (2)
一、格林公式
§5.2泊松方程的狄氏问题
3、球面平均值公式 r （1）定义 • s M 1 u (r , t ) = u(M , t )ds 2 ∫∫ M0 4π r sr 1 ds = ∫∫srM0 u(M , t )dΩ dΩ = r 2 = sinθ dθ dϕ 4π M0 －u(M , t )在以M 0为中心，r为半径的球面 sr 上的平均值。