泊松方程和拉普拉斯方程
2020年高中物理竞赛—电磁学B03泊松方程 拉普拉斯方程 (共13张PPT)
电磁学B
电磁场与波
3.3 泊松方程 拉普拉斯方程
补充内容：拉普拉斯运算
标量场的拉普拉斯运算 对标量场的梯度求散度的运算称为拉普拉斯运算。记作：
gu 2u
式中：“2”称为拉普拉斯算符。
在直角坐标系中：
2u
2u x2
2u y 2
2u z 2
3.3 泊松方程 拉普拉斯方程
矢量场的拉普拉斯运算
r
ev r
ev
r sin
)( aU )
r
evr
aU r2
解法二：电荷均匀分布在导体球上，呈点对称。
设导体球带电总量为Q，则可由高斯定理求得，在球外空间，电场 强度为：
v E
Q
40r 2
evr
U
Evgdrv Q ( 1) Q
a
40 r a 40a
Q 40aU
v E
aU r2
evr
可用于求解静电场的边值问题。
例 半径为a的带电导体球，已知球体电位为U，
求空间电位分布及电场强度分布。
解法一：导体球是等势体。
r
a
时：Ev
U
0
r a时：
2 0 ra U r 0
1
r
2
d dr
(r 2
d
dr
ra U
r 0
)
0
c1 r U
ra
0
r
Байду номын сангаас
c2
aU r
v
E
(evr
问题的求解。
THE END
谢谢观看！
Evgdrv
r
aU r r2 dr
aU r
第四章静态场分析
D E
E 0 D V
——静电场是有散(有源)无旋场，是保守场。
E D E V
0
( ) V
V ——泊松方程
2
无源区域
2 0 ——拉普拉斯方程
2. 恒定电场的拉普拉斯方程
Qm LI
K j LI
（b） n
IS （c）
对图（c）所示小圆环电流就其远区辐射 场而言，可以等效为图（b）所示磁流元 IS Kl j IS Q IS Qml IS K j m l l
（2）对偶原理
H Jc j E E j H
B m D V
对应电流连续性方程，引入磁流连续性方程 J m jm 0
电磁场的边界条件也做相应的修改
ˆ n (D1 D2 ) S ˆ n (E1 E2 ) J m ˆ n ( B1 B2 ) mS ˆ n (H1 H2 ) J S
积分法
边值问题研究方法
解析法
分离变量法 镜像法、电轴法
微分方程法
计算法 保角变换法
有限差分法 有限元法 数值法 边值问题 研究方法 实验法 实测法 模拟法 定性 定量 边界元法
矩量法
模拟电荷法
数学模拟法 物理模拟法
作图法
三、静态场的重要原理和定理 1.对偶原理 （1）场源的概念
( x a ,0 y b ) 0
边值问题
( y 0,0 xa ) 0
( y b,0 xa ) U 0
分离变量法的前提是假设待求函数有分
离变量形式的解。
泊松方程与拉普拉斯
泊松方程与拉普拉斯泊松方程与拉普拉斯方程是数学领域中重要的偏微分方程，它们在物理学、工程学、计算机科学等各个领域有着广泛的应用。
本文将介绍泊松方程和拉普拉斯方程的定义、性质以及它们在实际问题中的应用。
泊松方程是一个二阶偏微分方程，通常用于描述电位、温度、流体静压力分布等问题。
其一般形式可以表示为：∆u = f(x,y,z)其中，u是待求函数，∆表示Laplace算子，f(x,y,z)是已知的函数。
泊松方程的求解过程包括确定边界条件、选择适当的解析方法等。
在一些特殊情况下，泊松方程可以通过分离变量、格林函数等方法精确求解。
拉普拉斯方程是泊松方程的特殊情况，即f(x,y,z)=0。
它表示了没有源项的稳定状态下的物理量分布。
例如，在无电荷的情况下，电势的分布可以由拉普拉斯方程描述。
泊松方程和拉普拉斯方程在实际问题中具有重要的应用。
下面将介绍它们在物理学、工程学和计算机科学中的具体应用。
一、物理学应用：1. 电场分布：根据泊松方程，可以求解电荷分布对电场的影响。
例如，在计算静电场、电容器以及电场中带电粒子的运动等问题时，泊松方程能够提供准确的分析结果。
2. 热传导问题：热传导是物体内部以及不同物体之间的热量传递过程。
泊松方程可以描述温度分布的稳定状态，因此可以求解热传导问题。
例如，在石油勘探中，泊松方程可用于分析地下温度场的分布。
二、工程学应用：1. 结构力学：泊松方程可用于模拟材料的弯曲、拉伸、压缩等受力状态。
例如，在工程结构设计中，可以利用泊松方程分析材料的变形和应力分布。
2. 流体力学：泊松方程可以用于模拟流体流动中的压力分布。
例如，在空气动力学中，可以用泊松方程求解空气流动的速度场和压力场。
三、计算机科学应用：1. 图像处理：在数字图像处理中，拉普拉斯算子可以用于图像边缘检测。
通过计算图像中像素灰度值的二阶导数，可以突出显示图像中的边缘结构。
2. 数值计算：泊松方程和拉普拉斯方程是数值计算领域中常用的方程之一。
静电场(5) 泊松方程和拉普拉斯方程
0
Dd S
S
q
微分形式：
E
0
或（E ）
7
介质方程：
D
D 0rE E
在各向同性、均匀、线性的媒质中， 由静电场的基本方程可以得出结论： 静电场是一个有通量源（静止电荷）
而没有旋涡源的矢量场。
8
根据矢量场理论，要确定一个矢量场， 必须同时给顶它的散度和旋度。 所以静电场的基本方程中包含了：
E ()
（在均匀、线性、各向同性的电介质中，为常数。）
2
（电位的泊松方程）
12
2、拉普拉斯方程
对于场中没有电荷分布（=0）的区域内：
2
（电位的泊松方程）
0 2
(电位的拉普拉斯方程)
拉普拉斯方程是泊松方程的特例。
13
2是拉普拉斯算符：二阶微分算符
直角坐标系：
r
1
r2 sin
sin
1
r 2 sin 2
2 2
15
两类问题 可以用泊松方程或拉普拉斯方程解决
1、已知：有限区域内的电荷分布， 求：电位和场强
（场域内电介质是均匀、线性和各向同性。）
求电位：
(x, y, z) 1 (x', y', z') dV '
4 V '
r
求场强：
E
1
r 2 sin
sin
1
r 2 sin 2
2 2
1 r2
r
r 2
r
0
r 2 0
18
r r
r 2 0
r r
一次积分
r2
r
C1
C1 r r 2
EM第12讲泊松拉普方程
显然，由于两极板面无限大，故某x面上场在
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12.3 一维泊松方程的解
方向分布均匀，板面上的电荷密度
均为
常数。作一柱形闭合面，其上、下底面积为
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代入上式得:
应用高斯通量定理的解法物理概念清晰，而一维泊松
方程的求解法则更简单。
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小结
静电场的基本方程
South China University of Technology
泊松方程与拉普拉斯方程 一维泊松方程的解
2
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12.3 一维泊松方程的解
例12-1 已知导体球的电位为U(设无穷远处的电位为
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0)，球的半径为a，求球外的电位函数。
静电场的基本方程
积分形式：
微分形式： E 0
D
或E
在线性、各向同性媒质中，本构关系为：
静电场是无旋有散场。
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12.2 泊松方程与拉普拉斯方程
解:
令球心为球坐标系原点，在
电位 因此电场具
函数满足拉普拉斯方程，且 有球对称性，电位
泊松方程和拉普拉斯方程
泊松方程和拉普拉斯方程势函数的一种二阶偏微分方程。
广泛应用于电学、磁学、力学、热学等多种热场的研究与计算。
简史1777年，拉格朗日研究万有引力作用下的物体运动时指出：在引力体系中，每一质点，并且把这些商加在一起，其总和即P点的质量m k除以它们到任意观察点P的距离rk的势函数，势函数对空间坐标的偏导数正比于在 P点的质点所受总引力的相应分力。
1782年，P.S.M.拉普拉斯证明：引力场的势函数满足偏微分方程：，叫做势方程，后来通称拉普拉斯方程。
1813年，S.-D.泊松撰文指出，如果观察点P在充满引力物质的区域内部，则拉普拉斯方程应修改为，叫做泊松方程，式中ρ为引力物质的密度。
文中要求重视势函数 V在电学理论中的应用，并指出导体表面为等热面。
静电场的泊松方程和拉普拉斯方程若空间分区充满各向同性、线性、均匀的媒质，则从静电场强与电势梯度的关系E=-墷V和高斯定理微分式，即可导出静电场的泊松方程：，式中ρ为自由电荷密度，纯数εr为各分区媒质的相对介电常数，真空介电常数ε=8.854o×10-12法／米。
在没有自由电荷的区域里，ρ＝0，泊松方程就简化为拉普拉斯方程。
在各分区的公共界面上，V满足边值关系，，式中i，j指分界面两边的不同分区，ζ为界面上的自由电荷密度，n表示边界面上的内法线方向。
边界条件和解的唯一性为了在给定区域内确定满足泊松方程以及边值关系的解，还需给定求解区域边界上的物理情况，此情况叫做边界条件。
有两类基本的边界条件：给定边界面上各点的电势，叫做狄利克雷边界条件；给定边界面上各点的自由电荷，叫做诺埃曼边界条件。
边界几何形状较简单区域的静电场可求得解析解，许多情形下它们是无穷级数，稍复杂的须用计算机求数值解，或用图解法作等势面或力线的场图。
泊松方程和拉普拉斯方程的区别
泊松方程和拉普拉斯方程的区别泊松方程和拉普拉斯方程是数学中的两个重要方程，它们在物理、工程、计算机科学等领域都有广泛的应用。
虽然它们都属于偏微分方程，但是它们的性质和应用有很大的不同。
本文将从定义、性质和应用等方面对这两个方程进行比较和分析。
一、定义泊松方程和拉普拉斯方程都是二阶偏微分方程，它们的定义如下：泊松方程：$Delta u=f(x,y,z)$拉普拉斯方程：$Delta u=0$其中，$Delta$表示拉普拉斯算子，$u$表示待求函数，$f(x,y,z)$表示已知的函数。
泊松方程的右侧有一个非零函数，而拉普拉斯方程的右侧为零。
二、性质1.解的存在性和唯一性对于泊松方程，只有在给定边界条件的情况下才有解，并且解是唯一的。
这是由于泊松方程是一个椭圆型方程，其解析性质决定了解的存在性和唯一性。
对于拉普拉斯方程，解的存在性和唯一性则要根据边界条件和区域形状来判断。
在一些特殊的情况下，拉普拉斯方程可能没有解或者有多个解。
2.性质分析泊松方程和拉普拉斯方程的性质有很大的不同。
泊松方程是一个非齐次方程，其右侧有一个非零函数。
这意味着泊松方程的解会受到外部条件的影响，例如在流体力学中，泊松方程描述了流体中的压力分布，其解会受到外部物体的影响。
拉普拉斯方程是一个齐次方程，其右侧为零。
这意味着拉普拉斯方程的解不受外部条件的影响，它只与内部条件有关。
例如在电场中，拉普拉斯方程描述了电势的分布，其解只与内部电荷分布有关。
另外，泊松方程和拉普拉斯方程在解的性质上也有很大的不同。
泊松方程的解是一个调和函数，它具有良好的性质，例如可微性、可积性等。
而拉普拉斯方程的解则不一定是调和函数，其性质则要根据具体情况来判断。
三、应用泊松方程和拉普拉斯方程在物理、工程、计算机科学等领域都有广泛的应用。
下面分别介绍它们的应用。
1.泊松方程的应用(1)流体力学中的应用泊松方程可以描述流体中的压力分布，因此在流体力学中有广泛的应用。
例如在空气动力学中，泊松方程可以用来计算飞机翼的气动力。
静电场微分方程及唯一性定理
2 0
泊松方程和拉普拉斯方程统称为微分方程。 二、泊松方程与拉普拉斯方程适用条件 只适用于各向同性、线性的均匀媒质。(?)
§2.8.2
唯一性定理（Uniquness Theorem）
一、定理内容
在静电场中，满足给定边界条件的微分方程（泊松方程或
拉普拉斯方程）的解是唯一的，称之为静电场的唯一性定理。
2 2 2 式中： ( ex ey ez ) ( ex ey ez ) 2 2 2 2 x y z x y z x y z
2
泊松方程（针对场源点）
拉普拉斯方程（针对场点,ρ=0）
《电磁场理论》
主讲教师：李志刚 辽宁科技大学电信学院通信系 2012年05月
§2.8 静电场边值问题 唯一性定理
§2.8.1 泊松方程与拉普拉斯方程 一、静电场微分方程
D
E E E
E
E 0
常数
二、物理角度理解
场源相同、场分布相同，则场一定相同。
三、数学角度理解
方程相同、边界条件相同，则解一定相同。
四、唯一性定理的作用
1、确定何为相同场的判定条件；
2、可以采用等效方法进行问题的求解，只要保证满足唯一
性定理的条件，则解法不同，但解却一
2.5泊松方程和拉普拉斯方程
１、求借电位φ呈完全对称分布； ２、无穷大边界面（如点电荷电场）
除上述情况外均须用其它方法求解。
解：泊松方程 2
为
0
0 x <d
<x 0
2 0 x 0d
0
x d U0 (x)
s(0) s(d)
E(x)
0x
x
d
d
0
U0
则 2
2
x2
d 2
dx2
0x 0d
d dx
0x2 20d
C1
第二章 静电场
d dx
0x2 20d
C1
0x3 60d
C1x
C2
x0 0
x d U0
C2 0
因球外无电荷，则空间电位满足拉普拉斯方程
2 0 球坐标系中
1 r2
d dr
(r2
d dr
)
0
即
r2
d
dr
C1
d
dr
C1 r2
第二章 静电场
r2
d
dr
C1
d
dr
C1 r2
C1 r
C2
而
r a时,
U0
C1 a
C2
r 时, 0 C2
故 aU0
r
C1 aU0
第二章 静电场
例：用解泊松方程的方法重求上例的电场强度。
第二章 静电场
❖ 求解泊松方程（或拉普拉斯方程）：
E 给定电荷分布，求解其方程得
（ E ）
若已知 E、
第二章 静电场
例：导体球的电位为U，球半径为 a ， 求球外的电位。（假定无穷远电位为0） 解：显然，导体球的电荷分布在球面上， 且呈球对称，故空间的电位也呈球对称， 仅是r 的函数。取球坐标系。
电磁场10_静电学2_泊松方程和边界条件
ˆ s
1 2
E2
ˆ n
1
2
E1
S 0
tˆ
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10.5 介质分界面上电位边界条件
利用电位与电场的关系 E ，可得
South China University of Technology
ˆ S ( D1 D2 ) n
h 0
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同时
Q
South China University of Technology
V
dv hS s S
h 0
ˆ 是由介质2指向介质1。 注意: n
0 x 2 U 0 0 d ˆx E a 2 0 d d 6 0
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10.2 静电场的边界条件
已经得到静电场和电位满足的方程
South China University of Technology
解：根据题意，有泊松方程 0 x 2 0 xd 0d 且满足
0, x 0 U 0 , x d
因为 分布仅为x的函数，故 ( x)
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故
1
2
介质交界面 金属边界
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泊松方程和拉普拉斯方程
泊松方程和拉普拉斯方程泊松方程和拉普拉斯方程是数学中非常重要且常用的偏微分方程。
它们在物理学、工程学以及其他科学领域都扮演着重要角色，并且在实际问题的建模和求解中经常被使用。
本文将从基本概念、物理背景和实际应用等多个方面来探讨这两个方程的特性和意义。
首先，我们来了解一下泊松方程和拉普拉斯方程的定义。
泊松方程是一个二阶偏微分方程，通常用来描述在给定区域内的电势或者重力势的分布情况。
它的一般形式可以表示为：∇²Φ = f(x,y,z)其中，∇²是拉普拉斯算子，Φ是待求的函数、f是给定的源项函数。
而拉普拉斯方程则是泊松方程的特殊情况，即当源项函数f等于零时，泊松方程转化为拉普拉斯方程。
泊松方程和拉普拉斯方程之所以如此重要，是因为它们具有一些非常有用的性质。
首先，它们是线性方程，这意味着可以利用线性代数和微积分的方法来求解。
其次，它们是椭圆型偏微分方程，这意味着在一定的边界条件下，问题是唯一可解的。
此外，这两个方程还具有良好的连续性和可微性质，这些特性使得它们在数值计算中具有较好的稳定性和收敛性。
在物理学中，泊松方程和拉普拉斯方程经常用来描述电场、电势、引力场、流体力学等等。
例如，当一个点电荷位于空间中时，其产生的电势满足泊松方程。
而当没有电荷分布时，空间中的电势满足拉普拉斯方程。
同样地，当液体或气体中不存在源项时，流场的速度势满足拉普拉斯方程。
因此，泊松方程和拉普拉斯方程是求解这些物理现象的重要工具。
除了物理学之外，泊松方程和拉普拉斯方程也在其他科学和工程领域中得到了广泛应用。
例如，在图像处理和计算机视觉中，拉普拉斯方程可以用来平滑图像和检测图像边缘。
在声学中，它们可以用来模拟声波传播和反射。
在电力系统中，泊松方程可以用来分析电网的稳定性和负荷分布。
在地理学中，它们可以用来模拟地形的变化和地下水流的分布。
这些仅仅只是应用领域的冰山一角，泊松方程和拉普拉斯方程的应用无处不在。
总之，泊松方程和拉普拉斯方程是数学中非常重要且常用的偏微分方程。
泊松方程和拉普拉斯方程的区别
泊松方程和拉普拉斯方程的区别泊松方程和拉普拉斯方程都是常见的偏微分方程，它们在数学、物理、工程等领域中都有广泛的应用。
虽然两者都描述了物理现象中的某种量的变化，但它们的本质区别是什么呢？本文将从定义、特点、求解方法等方面来探讨泊松方程和拉普拉斯方程的区别。
一、定义泊松方程和拉普拉斯方程都是二阶偏微分方程，它们的定义如下：泊松方程：$$Delta u=f(x,y,z)$$其中$Delta$为拉普拉斯算子，$u$为未知函数，$f(x,y,z)$为已知函数。
拉普拉斯方程：$$Delta u=0$$其中$Delta$为拉普拉斯算子，$u$为未知函数。
从定义上来看，两者的区别在于$f(x,y,z)$是否为0。
泊松方程描述了一个有源场的变化，而拉普拉斯方程描述的是一个无源场的变化。
二、特点泊松方程和拉普拉斯方程的特点也有所不同。
1. 泊松方程的特点泊松方程的特点在于它描述了一个有源场的变化，即$f(x,y,z)$不为0。
这种场的变化通常是由某种源头引起的，比如电荷、密度、温度等。
因此，泊松方程在物理学中有广泛的应用，如电场、热传导、流体力学等领域。
2. 拉普拉斯方程的特点拉普拉斯方程的特点在于它描述了一个无源场的变化，即$f(x,y,z)$为0。
这种场的变化通常是由场本身的性质引起的，比如电势、重力势、流速势等。
因此，拉普拉斯方程在物理学中也有广泛的应用，如静电场、重力场、流体静力学等领域。
三、求解方法泊松方程和拉普拉斯方程的求解方法也有所不同。
1. 泊松方程的求解方法泊松方程的求解方法通常需要给出边界条件，即在一定的边界上给出$u$的值或导数，以确定唯一的解。
求解泊松方程的方法有很多种，如分离变量法、格林函数法、有限差分法、有限元法等。
其中，分离变量法是最常用的方法之一。
它将$u$表示为一系列分离的函数的乘积形式，然后通过边界条件来确定每个函数的系数。
这种方法适用于具有一定对称性的问题，如圆柱形、球形等几何体。
拉普拉斯方程和泊松方程
拉普拉斯方程和泊松方程一、引言拉普拉斯方程和泊松方程是数学物理中常见的偏微分方程，它们在自然科学领域中有着广泛的应用。
本文将详细探讨这两个方程的定义、性质和解法，并给出一些实际应用的例子。
二、拉普拉斯方程2.1 定义拉普拉斯方程是指具有下述形式的二阶线性偏微分方程：Δu=0其中，u是一个函数，Δ是拉普拉斯算子，定义为：Δu=∂2u∂x2+∂2u∂y2+∂2u∂z2这里的x、y和z是三维空间中的变量。
2.2 性质拉普拉斯方程具有一些重要的性质：1.独立性：拉普拉斯方程不依赖于具体的坐标系选择，它在任何直角坐标系下都成立。
2.线性性：拉普拉斯方程是一个线性的偏微分方程，即它满足叠加原理。
3.唯一解：在一定的边界条件下，拉普拉斯方程的解是唯一的。
2.3 解法对于二维情况，可以使用分离变量法来求解拉普拉斯方程。
设u(x,y)是方程的解，可以将其表示为两个独立变量的乘积形式：u(x,y)=X(x)Y(y)，代入方程得到两个关于X(x)和Y(y)的常微分方程，通过求解这两个方程即可得到u(x,y)的解。
而对于三维情况，解法则更为复杂，需要使用更高级的数学工具和技巧，例如分离变量法、格林函数等。
三、泊松方程3.1 定义泊松方程是指具有下述形式的二阶线性偏微分方程：Δu=f其中，u是一个函数，Δ是拉普拉斯算子，f是已知的函数。
3.2 性质和拉普拉斯方程类似，泊松方程也具有一些重要的性质：1.独立性：泊松方程不依赖于具体的坐标系选择，它在任何直角坐标系下都成立。
2.线性性：泊松方程是一个线性的偏微分方程，即它满足叠加原理。
3.唯一解：在一定的边界条件下，泊松方程的解是唯一的。
3.3 解法对于二维情况，可以通过格林函数法来求解泊松方程。
格林函数是指满足下述条件的函数G(x,y;x0,y0)：ΔG(x,y;x0,y0)=δ(x−x0)δ(y−y0)其中，δ(x)是狄拉克函数。
通过格林函数，可以将泊松方程的解表示为积分形式：u(x,y)=∬G(x,y;x0,y0)f(x0,y0) dx0 dy0而对于三维情况，解法则更为复杂，需要使用更高级的数学工具和技巧。
泊松方程和拉普拉斯方程
直角坐标系：
柱坐标系：
1 1 (r ) 2 2 2 r r r r z 球坐标系：
2 2 2
1 2 1 1 2 2 (r ) 2 (sin ) 2 2 r r r r sin r sin 2
第二章
2.5
静电场的基本方程: 无旋：
c
2.5 泊松方程和拉普拉斯方程
E dl 0
s
线性、均匀、各向同性 电介质 积 分
有散
本构关系：
2018/11/16
D E 0 r E 0 E P
1
E 0 D
D ds q
第二章
2.5
间无电荷分布，则板间电场强度 均匀;
体电荷，由于体电荷只是 函数， 故电场强度也只是
0 x 而实际上板间充满密度为 d 的
0 x d
x
U0
x
的
d
0
x 的函数。
x
8
应用高斯通量定理求解。
作一柱形闭合面为S，底面积为 S ，下底在 左极板内，上底在 处，侧柱面与 ax 平行。 2018/11/16
q E dS 0 0 S
闭合面上、下底处 x 的电场强度为零， d 侧面的法向与电场 故 q0 d 强度的方向垂直。 0 d x s (0)S 0 Sdx s (d )S 0 0 d U 0 0 0 d 则 s (d ) d 3
0
q E dS 0 S
x x 1 0 a E ( x ) a dS ( 0 ) S Sdx S x x 0 s 0 d
电动力学-第二章-2-3拉普拉斯方程
r→0, φ有限
B B0 0
θ=2π-α,φ=V,任何r成立 D0 0, sin 2 0
n
n
2
n 1,2,
V Anrn sin n n1
条件不全,无 法确定An
尖劈附近,r→0
V A1r1 sin1
Er
r
1A1r11 sin1
E
1 r
1A1r11 cos1
0En
0E 0 E
0
2
01 A1r11
α很小,ν1≈1/2,E和σ∝1/r1/2
n
n
2
n 1,2,
r 2
)
r
1
r 2 sin
(sin
)
1
r 2 sin 2
2 2
0
其通解为 (r, ,) R(r)Y ( ,)
Bn(1)
a
n
cos n
E0a cos
Dn(2) a n
n1
cos n
n1 nBn(1) a n1 cos n
0 E0 cos
0
(n)Dn(2) a (n1)
n 1
cos n
两边 为任意值， cos 前系数应相等（ n 1,2, ）
n 1
BB1(11)(1a)
E0
a
D(2) 1
a
1
0 E0 0 D1(2)a2
k2Z
0
Rr An Jn kr An Nn kr k 0 Rr Anr n Anr n k 0 Rr Aln r A k n 0
Bn cos n Bn sin n n 0
B B n 0
拉普拉斯方程与泊松方程
拉普拉斯方程与泊松方程拉普拉斯方程和泊松方程是数学领域中的两个重要概念，它们在物理学、工程学以及其他相关领域中都有着广泛的应用。
这两个方程在某些情况下可以简化问题的求解过程，并帮助我们理解和描述自然界中的各种现象。
首先，让我们回顾一下拉普拉斯方程。
在数学上，拉普拉斯方程是一个具有重要意义的偏微分方程，通常用于描述没有初始条件和边界条件的稳态问题。
它的一般形式可以表示为：∇²u = 0其中，∇²是拉普拉斯算子，u是待求函数。
这个方程告诉我们，在没有外部驱动力的情况下，函数u在空间中的取值不随时间变化，稳定在一个平衡状态。
拉普拉斯方程的解可以帮助我们分析物体内部的电场、温度场以及流体运动等问题。
在电磁学中，拉普拉斯方程可以用来描述电荷分布对电场的影响。
在热传导领域中，拉普拉斯方程可以帮助我们理解热量在物质内部的传递过程。
在流体力学中，拉普拉斯方程可以用来描述流体的速度分布和压力场。
接下来，让我们转向泊松方程。
泊松方程是一个与拉普拉斯方程密切相关的偏微分方程，用来描述有外部驱动力的稳态问题。
它的一般形式可以表示为：∇²u = f其中，f是源项函数，表示外部驱动力。
泊松方程可以看作是拉普拉斯方程的一种推广形式，它考虑了外部因素对问题的影响。
泊松方程的解可以帮助我们计算电场、重力场和流体静力学等问题。
在电磁学中，泊松方程可以用来描述电荷分布产生的电势分布。
在引力场中，泊松方程可以帮助我们理解质量分布对重力场的影响。
在流体力学中，泊松方程可以用来计算流体静力学中的压力分布。
拉普拉斯方程和泊松方程的解可以通过数值方法或解析方法求得。
在一些简单的情况下，可以使用分离变量法、格林函数或者傅里叶变换等数学工具来求解。
在更复杂的情况下，可能需要借助计算机模拟和数值计算的方法来得到近似解。
总的来说，拉普拉斯方程和泊松方程是数学中两个重要的方程，它们在物理学和工程学中有广泛的应用。
这两个方程可以帮助我们描述和解析各种稳态问题，从而加深我们对自然界中各种现象的理解。
2-3 泊松方程 拉普拉斯方程
解（1） P 电偶极矩（电矩） P q l + 1 q l E E 2 2 4 0 ( r l / 4) E E 2 E cos 1 q E P 2 2 2 4 0 ( r l / 4) E l/2 2 r 2 1/ 2 ( r l / 4) 1 ql + q q 2 2 3/ 2 l/2 l/2 4 0 (r l / 4)
P l
2 0 ln rP
无限长线电流在空间中产生的电位
2.3.2 泊松方程 拉普拉斯方程
标量场的拉普拉斯运算 对标量场的梯度求散度的运算称为拉普拉斯运算。记作：
u u
2
式中： 2 称为拉普拉斯算符。 “ ”
u
2
在直角坐标系中：
u
2
x
2
u
2
y
偶极子
电偶极子是一种非常重要的物理模型
电偶极矩（电矩） p q l
(方向由负电荷指向正电荷)
q
p
l
q
电介质(中性分子)就可以作一个电偶极 子等效。此即电介质的电偶极子模型。
二、电偶极子激发的静电场
1、电偶极子中垂线上任一点的电场强度。
2、电偶极子延长线上任一点的电场强度。
用矢量形式表示为：
E
1
2
P
2 3/ 2
40 ( r l / 4)
若 r l
1 E 3 4 0 r
P
解(2)
q
l/2
O
l 2
q
2
q
E
A
E
q
x
i
r
i
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拉普拉斯方程和泊松方程
摘要：拉普拉斯方程，又名调和方程、位势方程，是一种偏微分方程。
因为由法国数学家拉普拉斯首先提出而得名。
求解拉普拉斯方程是电磁学、天文学和流体力学等领域经常遇到的一类重要的数学问题，因为这种方程以势函数的形式描写了电场、引力场和流场等物理对象的性质。
关键词：分离变量 电磁场 拉普拉斯 简史
1777年，拉格朗日研究万有引力作用下的物体运动时指出：在引力体系中，每一质点的质量m k 除以它们到任意观察点P 的距离r k ，并且把这些商加在一起，其总和 m k r k
n k=1
=
V x ，y ，z 即P 点的势函数，势函数对空间坐标的偏导数正比于在 P 点的质点所受总引力的相应分力。
1782年，P.S.M.拉普拉斯证明：引力场的势函数满足偏微分方程：
∂2V ∂x +∂2V ∂y +∂2V
∂z =0，叫做势方程，后来通称拉普拉斯方程。
1813年，S.D.泊松撰文指出，
如果观察点P 在充满引力物质的区域内部，则拉普拉斯方程应修改为∂2V ∂x 2
+
∂2V ∂y 2
+
∂2V ∂z 2
=−4πρ，
叫做泊松方程，式中ρ为引力物质的密度。
文中要求重视势函数 V 在电学理论中的应用，并指出导体表面为等热面。
静电场的泊松方程和拉普拉斯方程
若空间分区充满各向同性、线性、均匀的媒质，则从静电场强与电势梯度的关系E=-∇V 高斯定理微分式∇∙E =ρ/εr ε0，即可导出静电场的泊松方程：∂2V ∂x 2+∂2V ∂y 2+∂2V
∂z 2=∇2V =−ρ/εr ε0 式中ρ为自由电荷密度，纯数 εr 为各分区媒质的相对介电常数，真空介电常数εo =8.854×10-12
法／米。
在没有自由电荷的区域里，ρ＝0，泊松方程就简化为拉普拉斯方程∇2V =0 。
在各分区的公共界面上，V 满足边值关系V i =V j ，
ε0εri ∂V
∂n i
−ε0εrj ∂V
∂n j
=−ς,
式中i ，j 指分界面两边的不同分区，σ 为界面上的自由电荷密度，n 表示边界面上的内法线方向。
边界条件和解的唯一性
为了在给定区域内确定满足泊松方程以及边值关系的解，还需给定求解区域边界上的物理情况，此情况叫做边界条件。
有两类基本的边界条件：给定边界面上各点的电势，叫做狄利克雷边界条件；给定边界面上各点的自由电荷ς 或∂V
∂n ，叫做诺埃曼边界条件。
静电场的唯一性定理：
设区域V 内给定自由电荷分布)(x
，在V 内电势φ满足泊松方程∇2φ=ρ
ε或拉普拉斯方程∇2φ=0,在V 的边界S 上给定电势φ|s ,或V 边界上给定电势的法线方向偏导数∂φ
∂n |s ,则V 内场（静电场）唯一确定。
除了静电场之外，在电学、磁学、力学、热学等领域还有许多服从拉普拉斯方程的势场。
各类物理本质完全不同的势场如果具有相似的边界条件，则因拉普拉斯方程解的唯一性，任何一个势场的解，或该势场模型中实验测绘的等热面或流线图，经过对应物理量的换算之后，可以通用于其他的势场。
静磁场的泊松方程和拉普拉斯方程
在SI 制中，静磁场满足的方程为 ∇∙B =0∇×H =J ,式中j 为传导电流密度。
第一式表明静磁
场可引入磁矢势r)描述：∇×A =B 。
在各向同性、线性、均匀的磁媒质中，传导电流密度j 0的区域里，磁矢势满足的方程为∇×∇×A =∇ ∇∙A −∇2A =μr μ0j 。
选用库仑规范，∇∙A =0，则得磁矢势A 满足泊松方程∇2A =μr μ0j ，式中纯数μr 为媒质的相对磁导率， 真空磁导率μo =1.257×10-6
亨／米。
在传导电流密度j=0的区域里，上式简化为拉普拉斯方程 ∇2Α=0。
静磁场的泊松方程和拉普拉斯方程是矢量方程，它的三个直角分量满足的方程与静电势满足的方程有相同的形式。
对比静电势的解，可得矢势方程的解。
拉普拉斯方程的解——分离变量法
在直角、柱或球坐标系的分离变量法中，通过变量分离将拉普拉斯方程分解为两个或三个微分程分别求解，然后利用边界条件和初始条件来确定其中的系数和常数。
参考文献：
郭硕鸿著:《电动力学》，人民教育出版社，北京，1979。
J.D.杰克逊著，朱培豫译：《经典电动力学》下册，人民教育出版社，北京，1980。
(J.D. Jackson，Classical Electrodynamics，John Wilye& Sons，New York，1976.)
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