泊松方程和拉普拉斯方程

拉普拉斯方程和泊松方程

摘要：拉普拉斯方程，又名调和方程、位势方程，是一种偏微分方程。因为由法国数学家拉普拉斯首先提出而得名。求解拉普拉斯方程是电磁学、天文学和流体力学等领域经常遇到的一类重要的数学问题，因为这种方程以势函数的形式描写了电场、引力场和流场等物理对象的性质。

关键词：分离变量 电磁场 拉普拉斯 简史

1777年，拉格朗日研究万有引力作用下的物体运动时指出：在引力体系中，每一质点的质量m k 除以它们到任意观察点P 的距离r k ，并且把这些商加在一起，其总和 m k r k

n k=1

=

V x ，y ，z 即P 点的势函数，势函数对空间坐标的偏导数正比于在 P 点的质点所受总引力的相应分力。1782年，P.S.M.拉普拉斯证明：引力场的势函数满足偏微分方程：

∂2V ∂x +∂2V ∂y +∂2V

∂z =0，叫做势方程，后来通称拉普拉斯方程。1813年，S.D.泊松撰文指出，

如果观察点P 在充满引力物质的区域内部，则拉普拉斯方程应修改为∂2V ∂x 2

+

∂2V ∂y 2

+

∂2V ∂z 2

=−4πρ，

叫做泊松方程，式中ρ为引力物质的密度。文中要求重视势函数 V 在电学理论中的应用，并指出导体表面为等热面。 静电场的泊松方程和拉普拉斯方程

若空间分区充满各向同性、线性、均匀的媒质，则从静电场强与电势梯度的关系E=-∇V 高斯定理微分式∇∙E =ρ/εr ε0，即可导出静电场的泊松方程：∂2V ∂x 2+∂2V ∂y 2+∂2V

∂z 2=∇2V =−ρ/εr ε0 式中ρ为自由电荷密度，纯数 εr 为各分区媒质的相对介电常数，真空介电常数εo =8.854×10-12

法／米。在没有自由电荷的区域里，ρ＝0，泊松方程就简化为拉普拉斯方程∇2V =0 。

在各分区的公共界面上，V 满足边值关系V i =V j ，

ε0εri ∂V

∂n i

−ε0εrj ∂V

∂n j

=−ς,

式中i ，j 指分界面两边的不同分区，σ 为界面上的自由电荷密度，n 表示边界面上的内法线方向。

边界条件和解的唯一性

为了在给定区域内确定满足泊松方程以及边值关系的解，还需给定求解区域边界上的物理情况，此情况叫做边界条件。有两类基本的边界条件：给定边界面上各点的电势，叫做狄利克雷边界条件；给定边界面上各点的自由电荷ς 或∂V

∂n ，叫做诺埃曼边界条件。

静电场的唯一性定理：

设区域V 内给定自由电荷分布)(x

，在V 内电势φ满足泊松方程∇2φ=ρ

ε或拉普拉斯方程∇2φ=0,在V 的边界S 上给定电势φ|s ,或V 边界上给定电势的法线方向偏导数∂φ

∂n |s ,则V 内场（静电场）唯一确定。

除了静电场之外，在电学、磁学、力学、热学等领域还有许多服从拉普拉斯方程的势场。各类物理本质完全不同的势场如果具有相似的边界条件，则因拉普拉斯方程解的唯一性，任何一个势场的解，或该势场模型中实验测绘的等热面或流线图，经过对应物理量的换算之后，可以通用于其他的势场。 静磁场的泊松方程和拉普拉斯方程

在SI 制中，静磁场满足的方程为 ∇∙B =0∇×H =J ,式中j 为传导电流密度。第一式表明静磁

场可引入磁矢势r)描述：∇×A =B 。

在各向同性、线性、均匀的磁媒质中，传导电流密度j 0的区域里，磁矢势满足的方程为∇×∇×A =∇ ∇∙A −∇2A =μr μ0j 。

选用库仑规范，∇∙A =0，则得磁矢势A 满足泊松方程∇2A =μr μ0j ，式中纯数μr 为媒质的相对磁导率， 真空磁导率μo =1.257×10-6

亨／米。在传导电流密度j=0的区域里，上式简化为拉普拉斯方程 ∇2Α=0。

静磁场的泊松方程和拉普拉斯方程是矢量方程，它的三个直角分量满足的方程与静电势满足的方程有相同的形式。对比静电势的解，可得矢势方程的解。

拉普拉斯方程的解——分离变量法

在直角、柱或球坐标系的分离变量法中，通过变量分离将拉普拉斯方程分解为两个或三个微分程分别求解，然后利用边界条件和初始条件来确定其中的系数和常数。

参考文献：

郭硕鸿著:《电动力学》，人民教育出版社，北京，1979。

J.D.杰克逊著，朱培豫译：《经典电动力学》下册，人民教育出版社，北京，1980。(J.D. Jackson，Classical Electrodynamics，John Wilye& Sons，New York，1976.)

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