第二十讲 容斥原理讲解学习
容斥原理最简单三个步骤
容斥原理最简单三个步骤嘿，你问容斥原理的最简单三个步骤呀？那我来给你讲讲哦！第一步呢，就是要搞清楚都有啥“东西”。
比如说你有一堆水果，有苹果、香蕉、橘子。
这就相当于你要处理的不同集合啦。
你得先知道你面对的是哪些种类，心里有个底儿哦。
就好像你要去整理一个杂乱的房间，你得先看看都有哪些东西在里面一样 。
第二步，分别算出各个集合的大小。
还是拿水果举例，你数数有几个苹果，几个香蕉，几个橘子。
这就是在计算每个集合里元素的个数哦。
在数学问题里，就是要明确每个相关集合的数量情况。
比如说一个班级里，喜欢数学的有多少人，喜欢语文的有多少人，喜欢英语的有多少人。
这可都是很重要的基础数据呢 。
第三步，就是用公式把它们加加减减啦。
容斥原理有个公式哦，通过这个公式来算出最终的结果。
这就像是一个神奇的魔法公式，能帮你把那些复杂的情况都理顺。
比如说你把苹果的数量、香蕉的数量、橘子的数量按照公式的要求进行加减运算，就能知道总共有多少种水果啦（当然这里只是简单举例哦，实际的容斥原理会更复杂一些，但道理是类似的）。
在实际问题中，比如计算参加了不同社团的学生总人数，或者有不同兴趣爱好的人群数量等等，通过这个公式就能准确得出啦 。
我给你举个例子吧。
比如说学校组织活动，有绘画比赛、唱歌比赛和舞蹈比赛。
参加绘画比赛的有30人，参加唱歌比赛的有25人，参加舞蹈比赛的有20人。
但是呢，有5个人既参加了绘画比赛又参加了唱歌比赛，有3个人既参加了绘画比赛又参加了舞蹈比赛，有4个人既参加了唱歌比赛又参加了舞蹈比赛，还有2个人三个比赛都参加了。
那我们用容斥原理来算参加比赛的总人数。
首先，把参加绘画、唱歌、舞蹈比赛的人数分别算出来，这就是第二步。
然后，根据容斥原理的公式，把这些数字加加减减。
先把30、25、20加起来，然后减去重复的部分，像5、3、4这些交叉的人数，但是注意哦，因为那2个三个比赛都参加的人被减了多次，所以最后还要把他们加回来。
这样算下来，就能得到参加比赛的实际总人数啦。
高考数学中的容斥原理知识点总结
高考数学中的容斥原理知识点总结在高中数学中，容斥原理是一个非常重要的知识点，也是数学竞赛、数学建模等数学应用领域常用的思想方法。
在高考数学中也经常出现相关的考题，因此掌握容斥原理的思想和应用是非常有必要的。
一、容斥原理的基本概念容斥原理是一种计算交集的方法，指的是为了确定若干集合的并集的元素个数，而不必逐一列出其中的元素，而采用计算各个集合的元素个数之和，然后减去交集中的元素个数，再加上交集的元素个数。
即：$|A_1∪A_2∪\cdots∪A_n|=|A_1|+|A_2|+\cdots+|A_n|-\sum\limits_{i<j}|A_i ∩ A_j|+\sum\limits_{i<j<k}|A_i ∩ A_j ∩ A_k|-\cdots+(-1)^{n-1}|A_1 ∩ A_2 ∩\cdots ∩ A_n|$其中，$|A_i|$表示集合$A_i$的元素个数。
以上为容斥原理的基本公式，容斥原理主要用于处理集合的交集问题，在应用时需要将问题转化为若干个集合的交集或并集的形式进行计算。
二、容斥原理的应用1、某种颜色的球某种颜色的球有$x$个，其中有$a$个是带编号的，$b$个是大小不同的，$c$个是重量不同的，$d$个是带编号且大小不同的，$e$个是带编号且重量不同的，$f$个是大小和重量都不同的。
求这种颜色的球有多少个。
解析：根据题目描述，我们可以分别将这种颜色的球分为以下六类：$A$：带编号的球；$B$：大小不同的球；$C$：重量不同的球；$D$：带编号且大小不同的球；$E$：带编号且重量不同的球；$F$：大小和重量都不同的球。
那么根据容斥原理，我们可以得到该颜色球的总个数为：$$x=|A∪B∪C|=|A|+|B|+|C|-|A ∩ B|-|A ∩ C|-|B ∩ C|+|A ∩ B ∩C|$$因为带编号的和大小不同和带编号的和重量不同的球都是带编号的球，因此$A=D∪E$，所以$|A|=|D|+|E|-|D ∩ E|=a+b+e-abde$。
容斥原理常识型公式
容斥原理常识型公式（实用版）目录1.容斥原理的基本概念2.容斥原理的常识型公式3.容斥原理在实际问题中的应用正文【1.容斥原理的基本概念】容斥原理，又称为加法原理与减法原理，是集合论中的一种基本原理。
它主要用于解决集合的运算问题，包括并集、交集和补集等。
容斥原理有两个基本公式，分别是加法公式和减法公式。
【2.容斥原理的常识型公式】容斥原理的常识型公式是指在解决实际问题时，常用的一些简化公式。
主要包括以下两个公式：1.若 A、B 两集合无公共元素，则|A∪B| = |A| + |B|，|A∩B| = 0。
2.若 A、B 两集合有公共元素，则|A∪B| = |A| + |B| - |A∩B|，|A∩B| = |A| + |B| - |A∪B|。
【3.容斥原理在实际问题中的应用】容斥原理在实际问题中有广泛的应用，例如在统计学、概率论、组合数学等领域。
通过运用容斥原理，可以简化问题，求解复杂集合的运算。
例如，在一个班级中，有男生和女生两个集合。
若男生集合有 30 人，女生集合有 25 人，则班级总人数可以通过容斥原理的加法公式求解，即班级总人数 = 男生人数 + 女生人数 = 30 + 25 = 55 人。
再如，在一次考试中，有及格和优秀两个集合。
若及格人数为 80 人，优秀人数为 30 人，则不及格人数和非优秀人数可以通过容斥原理的减法公式求解，即不及格人数 = 总人数 - 及格人数 = 100 - 80 = 20 人，非优秀人数 = 总人数 - 优秀人数 = 100 - 30 = 70 人。
总之，容斥原理是集合论中非常重要的基本原理，它在实际问题中的应用可以帮助我们简化问题，快速求解集合的运算。
容斥原理公式大全
容斥原理公式大全容斥原理是组合数学中的一种重要方法，常常用于求解集合的并、交、差等问题。
它的应用范围非常广泛，涉及到概率论、数论、组合数学等多个领域。
在实际问题中，我们经常需要利用容斥原理来解决一些复杂的计数问题。
下面，我们将介绍容斥原理的相关公式，希望能够对大家有所帮助。
1. 两个集合的容斥原理公式。
对于两个集合A和B，它们的元素个数分别为|A|和|B|，那么它们的并集元素个数为|A∪B|，则有：|A∪B| = |A| + |B| |A∩B|。
这个公式非常直观，它的意义在于，我们先把A和B的元素个数加起来，然后减去A和B的交集元素个数，这样得到的结果就是A和B的并集元素个数。
2. 三个集合的容斥原理公式。
对于三个集合A、B和C，它们的元素个数分别为|A|、|B|和|C|，那么它们的并集元素个数为|A∪B∪C|，则有：|A∪B∪C| = |A| + |B| + |C| |A∩B| |A∩C| |B∩C| + |A∩B∩C|。
这个公式是两个集合容斥原理的推广，它的推导过程可以通过画Venn图来理解。
在实际问题中，我们经常会遇到三个集合的容斥原理的应用，比如在概率论中的概率计算问题。
3. n个集合的容斥原理公式。
对于n个集合A1、A2、...An，它们的并集元素个数为|A1∪A2∪...∪An|，则有：|A1∪A2∪...∪An| = Σ|Ai| Σ|Ai∩Aj| + Σ|Ai∩Aj∩Ak| ... + (-1)^(n-1)|A1∩A2∩...∩An|。
这个公式是容斥原理的一般形式，它适用于任意个集合的情况。
在实际问题中，当我们需要求解多个集合的并集元素个数时，可以利用这个公式来进行计算。
4. 容斥原理的应用举例。
下面通过一个具体的例子来说明容斥原理的应用。
假设有一个集合A，它包含了1到100之间所有能被2、3或5整除的整数，我们需要求集合A的元素个数。
这个问题可以通过容斥原理来解决。
首先，分别求出能被2、3和5整除的整数的个数，然后分别两两求交集的个数，最后再求三者的交集的个数，然后代入容斥原理的公式，即可得到集合A的元素个数。
容斥原理讲解
容斥原理讲解嘿，朋友们！今天咱来唠唠容斥原理。
你说这容斥原理啊，就像是一场奇妙的拼图游戏。
咱就打个比方吧，比如说你有一堆各种各样的糖果，有巧克力糖、水果糖、奶糖。
然后呢，你想知道总共有多少颗糖，但是这里面有些糖果它既是巧克力味又是水果味的呀，还有些可能既是奶糖又是巧克力糖。
这时候容斥原理就派上用场啦！它能帮你理清这些重复的部分，准确算出糖果的总数。
你想想看，在生活中不也经常会遇到这样类似的情况嘛。
比如说你参加了好几个兴趣小组，篮球小组、绘画小组、音乐小组。
那在统计参与人数的时候，可不能简单地把各个小组的人数一加就完事儿了，因为有些人可能同时参加了好几个小组呀，这就需要用容斥原理来好好算一算啦！再比如说班级里评选优秀学生，有的同学学习好，有的同学品德好，还有的同学文体好。
但也有同学是好几方面都好呀，那在统计优秀学生人数的时候，不就得考虑到这些重叠的部分嘛，不然可就不准确啦。
容斥原理不就是这样嘛，它让我们能更清楚、更准确地去理解和处理那些有重叠、有交叉的情况。
就像我们在生活中处理各种关系一样，朋友之间可能有共同的爱好，工作中可能有交叉的任务，都需要我们用智慧去分辨和处理呀。
它不是那种死板的理论，而是非常实用的工具呢！它能让我们在面对复杂的情况时不慌乱，能有条理地去分析和解决问题。
你说这容斥原理是不是很神奇呢？它就像是一把钥匙，能打开我们理解复杂世界的大门。
让我们能更清晰地看到各种事物之间的关系，避免重复计算或者遗漏重要信息。
所以啊，大家可别小瞧了这容斥原理，它在很多地方都能派上大用场呢！无论是在数学领域，还是在我们的日常生活中，它都能给我们带来很多帮助和启示。
我们要好好去理解它、运用它，让它为我们的生活增添更多的精彩和便利呀！这容斥原理，真的是很有意思的东西呢，大家难道不这么觉得吗？。
高二数学容斥原理
竞赛讲座20-容斥原理在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算。
我们用|A|表示有限集合A的元素个数(新教材中用CardA表示有限集合A的元素个数)。
原理一：给定两个集合A和B，要计算A∪B中元素的个数，可以分成两步进行：第一步：先求出∣A∣+∣B∣（或者说把A，B的一切元素都“包含”进来，加在一起）；第二步：减去∣A∩B∣（即“排除”加了两次的元素）总结为公式：|A∪B|=∣A∣+∣B∣-∣A∩B∣。
原理二：给定三个集合A，B，C。
要计算A∪B∪C中元素的个数，可以分三步进行：第一步求|A|+|B|+|C|；第二步减去|A∩B|，|A∩C|，|B∩C|；第三步加上|A∩B∩C|。
例1求不超过20的正整数中是2的倍数或3的倍数的数共有多少个。
例2 某班统计考试成绩，数学得90分上的有25人；语文得90分以上的有21人；两科中至少有一科在90以上的有38人。
问两科都在90分以上的有多少人？例3 某校组织棋类比赛，分成围棋、中国象棋和国际象棋三个组进行。
参加围棋比赛的共有42人，参加中国象棋比赛的共有51人，参加国际象棋比赛的共有30人。
同时参加了围棋和中国象棋比赛的共有13人，同时参加了围棋和国际象棋比赛的7人，同时参加了中国象棋和国际象棋比赛的11人，其中三种棋赛都参加的3人。
问参加棋类比赛的共有多少人？例4边长分别为6，5，2的三个正方形，如图8—5所示放在桌面上。
问它们盖住的面积是多大？例5求1到200的自然数中不能被2、3、5中任何一个数整除的数有多少？练习题1. 某班共有48名学生，都参加了语文兴趣小组或数学兴趣小组，其中参加语文兴趣小组的有30人，参加数学兴趣小组的有28人，问同时参加语文、数学兴趣小组的人数是多少．2.纸片面积为7，一张边长为2的正方形纸片，把这两张纸片放在桌面上覆盖的面积为8，问两张纸片重合部分的面积是多少？3. 不超过110且与110互质的自然数有几个？4.求在1至1000的自然数中，不能被5或7整除的数有多少个。
容斥原理讲义
容斥原理例题在很多计数问题中常用到数学上的一个包含与排除原理，也称为容斥原理。
为了说明这个原理，我们先介绍一些集合的初步知识。
在讨论问题时，常常需要把具有某种性质的同类事物放在一起考虑。
如：A=｛五（1）班全体同学｝。
我们称一些事物的全体为一个集合。
A=｛五（1）班全体同学｝就是一个集合。
例1. B=｛全体自然数｝=｛1，2，3，4，…｝是一个具体的有无限多个元素的集合。
例2. C=｛在1，2，3，…，100 中能被3 整除的数｝=｛3，6，9，12，…，99｝是一个具有有限多个元素的集合。
例3. 通常集合用大写的英文字母A、B、C、…表示。
构成这个集合的事物称为这个集合的元素。
如上面例子中五（1）班的每一位同学均是集合A 的一个元素。
又如在例1 中任何一个自然数都是集合B 的元素。
像集合B 这种含有无限多个元素的集合称为无限集。
像集合C 这样含有有限多个元素的集合称为有限集。
有限集合所含元素的个数常用符合︱A︱、︱B︱、︱C︱、…表示。
例4. 记号A∪B 表示所有属于集合A 或属于集合B 的元素所组成的集合，就是下边示意图中两个圆所覆盖的部分。
集合A∪B 叫做集合A与的并集。
“∪”读作“并”，“A∪B”读例5. 设集合A=｛1，2，3，4｝，集合B=｛2，4，6，8｝，则A∪B=｛1，2，3，4，6，8｝。
元素2，4 在集合A、B 中都有，在并集中只写一个。
记号A∩B 表示所有既属于集合A 也属于集合B 中的元素的全体。
就是上面图中阴影部分所表示的集合。
即是由集合A、B 的公共元素所组成的集合。
它称为集合A、B 的交集。
符号“∩”读作“交”，“A∩B”读作“A 交B”。
如例3 中的集合A、B，则A∩B=｛2，4｝。
例6. 设集合I=｛1，3，5，7，9｝，集合A=｛3，5，7｝，A=｛属于集合，但不属于集合A 的全体元素｝=｛1，9｝。
我们称属于集合I 但不属于集合A 的元素的集合为集合A 在集合I 中的补集（或余集），如下图中阴影部分表示的集合（整个长方形表示集合I），常记作A。
noi容斥原理
noi容斥原理
容斥原理，也称为包含-排除原理，是一种在组合数学和概率论中常用的计数方法。
它主要用于计算多个集合的交、并等运算的结果，尤其在处理有重叠部分的集合时非常有用。
NOI（全国青少年信息学奥林匹克竞赛）中，容斥原理也经常被用作解题的关键。
容斥原理的基本思想是通过两个或多个集合各自的元素个数和它们的交集个数来计算它们的并集个数。
具体地，如果有n个集合，那么这n个集合的并集中的元素个数等于这n个集合的元素个数之和，减去任意两个集合的交集的元素个数之和，再加上任意三个集合的交集的元素个数之和，以此类推，直到加上或减去所有n个集合的交集的元素个数。
在NOI中，容斥原理常常被应用于一些需要计算不同条件下的方案数的题目。
例如，给定一些限制条件，需要计算满足这些条件的整数对的个数。
这时，可以将每个限制条件看作一个集合，然后利用容斥原理计算满足所有条件的整数对的个数。
此外，容斥原理还可以用于计算一些组合数学中的问题，如计算一个集合的子集的个数、计算一个图的边的个数等。
需要注意的是，在使用容斥原理时，需要注意集合之间的关系和顺序，以避免重复计算或遗漏计算。
同时，也需要灵活运用容斥原理，根据题目的具体情况进行调整和变形。
总之，容斥原理是一种非常有用的计数方法，在NOI等数学竞赛中经常被应用。
通过熟练掌握容斥原理的思想和应用方法，可以更好地解决一些复杂的计数问题。
容斥原理PPT课件
如 何 成
为 狮 子 王 ？
2021
1
犀鸟，你赶 紧去统计鸟 的种数。
是，大王
2021
2
我有翅膀 ，我算鸟 类。
大王，共 有80种鸟 类。
2021
3
彭彭，去统计兽 类的种数
是，大王！
2021
4
我没有羽毛，我应 该算兽类
共有70种兽类
2021
5
森林中共有鸟类 和兽类多少种?
鸟类与兽类共 有150种
2021
6
你确定有这么多鸟类和 兽类吗？你是未来的狮 子王一定要清楚你的领 地有多少人。
我算错了吗？
2021
7
错啦，大王，蝙蝠重复 数了，所以要减去一个， 应该是149种。
2021
12
一个班有48人，班主任在班会上问：“谁做完语文作业？请 举手！”有37人举手。又问：“谁做完数学作业？请举手！” 有42人举手。最后问：“谁语文、数学作业都没有做完？”没 有人举手。求这个班语文、数学作业都完成的人数。
语文 数学
①②③
①②③分别 代表什么呢
语文作业完成 数学作业完成 总人数 语文、数学作业都完成
①+②
②+③ ①+②+③
②
37+42-48
=79-48 =31（人）
答：这个班语文、数学作业都202完1 成的人数为31人。
13
五年级有122名学生参加语文、数学考试，每人至少有 一门功课取得优秀成绩。其中语文成绩优秀的有65人， 数学优秀的有87人，语文、数学都优秀的有多少人？
实用的计数原理之容斥原理(内含大量实例和详细分析)
在计数时，为了使重叠部分不被重复计算，人们研究出一种新的计数方法，这种方法的基本思想是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。
容斥原理（1）如果被计数的事物有A、B两类，那么，A类或B类元素个数= A类元素个数+ B类元素个数—既是A类又是B类的元素个数。
例1 、一次期末考试，某班有15人数学得满分，有12人语文得满分，并且有4人语、数都是满分，那么这个班至少有一门得满分的同学有多少人？分析：依题意，被计数的事物有语、数得满分两类，“数学得满分”称为“A类元素”，“语文得满分”称为“B类元素”，“语、数都是满分”称为“既是A类又是B类的元素”，“至少有一门得满分的同学”称为“A类或B类元素个数”的总和。
试一试：某班学生每人家里至少有空调和电脑两种电器中的一种，已知家中有空调的有41人，有电脑的有34人，二者都有的有27人，这个班有学生多少人？（并说一说你的想法。
）容斥原理（2）如果被计数的事物有A、B、C三类，那么，A类或B类或C类元素个数= A类元素个数+B类元素个数+C类元素个数—既是A类又是B类的元素个数—既是A类又是C类的元素个数—既是B类又是C类的元素个数+既是A类又是B类而且是C类的元素个数。
例2某校六（1）班有学生54人，每人在暑假里都参加体育训练队，其中参加足球队的有25人，参加排球队的有22人，参加游泳队的有34人，足球、排球都参加的有12人，足球、游泳都参加的有18人，排球、游泳都参加的有14人，问：三项都参加的有多少人？分析：仿照例1的分析，你能先说一说吗？例3 在1到1000的自然数中，能被3或5整除的数共有多少个？不能被3或5整除的数共有多少个？分析：显然，这是一个重复计数问题（当然，如果不怕麻烦你可以分别去数3的倍数，5的倍数）。
我们可以把“能被3或5整除的数”分别看成A类元素和B类元素，能“同时被3或5整除的数（15的倍数）”就是被重复计算的数，即“既是A类又是B类的元素”。
容斥原理常识型公式
容斥原理常识型公式容斥原理在概率论和组合数学中被广泛应用，是一种用于计算交集的公式。
它的核心思想是通过减去所有可能的重叠部分来计算集合的总数，从而得到最终的结果。
容斥原理的正确应用能够避免重复计数，使问题的解决更加简洁和准确。
要理解容斥原理，首先需要了解集合的概念。
集合是由一些元素组成的整体，而容斥原理的目的就是计算多个集合的交集的元素个数。
假设有两个集合A和B，它们的交集表示为A∩B，那么根据容斥原理，A与B的并集元素个数等于A的元素个数加上B的元素个数再减去A与B的交集元素个数。
使用数学符号来表示，即|A∪B| = |A| + |B| - |A∩B|。
这个公式可以扩展到多个集合的情况。
假设有三个集合A、B和C，它们的交集表示为A∩B∩C，那么根据容斥原理，A、B和C的并集元素个数等于A的元素个数加上B的元素个数加上C的元素个数，再减去A与B的交集元素个数，减去A与C的交集元素个数，减去B与C的交集元素个数，最后再加上A、B和C的交集元素个数。
使用数学符号表示为：|A∪B∪C| = |A| + |B| + |C| - |A∩B| - |A∩C| - |B∩C| +|A∩B∩C|。
通过依次减去和加上各个集合的交集元素个数，我们可以计算任意多个集合的并集元素个数。
容斥原理的应用不仅限于计算集合的元素个数，还可以用于计算集合的概率。
假设有两个事件A和B，它们的概率分别为P(A)和P(B)，那么根据容斥原理，A或B发生的概率等于A发生的概率加上B发生的概率减去A与B同时发生的概率。
使用数学符号表示为：P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)。
同样地，容斥原理可以推广到多个事件的情况。
通过理解容斥原理，我们能够更加灵活地解决各种与集合有关的问题。
它可以帮助我们避免重复计数，减少工作量，提高计算的准确性。
在实际应用中，容斥原理被广泛运用于概率计算、组合数学、统计学等领域，并在解决集合问题中起到了重要的指导作用。
【小高数学知识点】容斥原理
容斥原理一、知识结构图容斥原理二、方法讲解1、容斥原理Ⅰ：两量重叠问题A 类与B 类元素个数的总和=A 类元素的个数+B 类元素个数—既是A 类又是B 类的元素个数用符号可表示成：A ∪B=A+B-A ∩B （其中符号“∪”读作“并”，相当于中文“和”或者“或”的意思；符号“∩”读作“交”，相当于中文“且”的意思。
）则称这一公式为包含于排除原理，简称容斥原理。
图示如下：A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：A ∩B ，即阴影面积。
包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合A 、B 的并集A ∪B 的元素的个数，可分以下两步进行：第一步：分别计算集合A 、B 的元素个数，然后加起来，即先求A+B （意思是把A 、B 的一切元素都“包含”进来，加在一起）；第二步：从上面的和中减去交集的元素个数，即减去C=A ∩B （意思是“排除”了重复计算的元素个数）。
2、容斥原理Ⅱ：三量重叠问题A 类、B 类与C 类元素个数的总和=A 类元素的个数+B 类元素个数+C 类元素个数—既是A 类又是B 类的元素个数—既是B 类又是C 类的元素个数+同时是A 类、B 类、C 类的元素个数。
用符号表示为：A ∪B ∪C=A+B+C-A ∩B-B ∩C-A ∩C+A ∩B ∩C 图示如下：3、解答有关包含排除问题的一般方法在解答有关包含排除问题时，我们常常利用圆圈图（韦恩图）来帮助分析思考。
三、例题精讲例题1、把面积35cm ²和面积27cm ²的大小两个圆平放在桌面上，有一部分重叠，重叠部分面积为8cm ²，求被盖住桌面的面积？ 答案：面积为35+27-8=54cm 2练习1、实验小学四年级二班，参加语文兴趣小组的有 28 人，参加数学兴趣小组的有 29 人，有12 人两个小组都参加．这个班有多少人参加了语文或数学兴趣小组？ 答案：参加的人有：28+29-12=45人例2、某班有40名学生，其中有15人参加数学小组，18人参加航模小组，有10人两个小组都参加，那么有多少人两个小组都不参加？ 答案：参加兴趣小组：15+18-10=23（人） 都不参加：40-23=17（人）40 航模 数学1810 15练习2、四(二)班有 48 名学生，在一节自习课上，写完语文作业的有 30 人，写完数学作业的有 20 人，语文数学都没写完的有 6 人． ⑴ 问语文数学都写完的有多少人？ ⑵ 只写完语文作业的有多少人？ 答案：（1）至少完成一科作业：48-6=42人 两科都写完：30+20-42=8人 （2）只写完语文：30-8=22人∩CC ∩1． 先包含——A +B +C重叠部分A ∩B 、B ∩C 、C ∩A 重叠了2次，多加了1次. 2． 再排除——A +B +C -A ∩B -B ∩C -A ∩C 重叠部分A ∩B ∩C 重叠了3次，但是在进行A +B +C -A ∩B -B ∩C -A ∩C 计算时都被减掉了.C B A 例3、在 1—100 的全部自然数中，不是 3 的倍数也不是 5 的倍数的数有多少个？ 答案：3的倍数：100÷3=33个···1 5的倍数：100÷5=20个既是3又是5的倍数：100÷15=6个···10 所以3或5的倍数：33+20-6=47个既不是3也不是5的倍数：100-47=53个练习3、50 名同学面向老师站成一行．老师先让大家从左至右按 1，2，3，...，49，50 依次报数；再让报数是 4 的倍数的同学向后转，接着又让报数是 6 的倍数的同学向后转．问：现在面向老师的同学还有多少名? 答案：4的倍数：50÷4=12人...2 6的倍数：50÷6=8人 (2)既是4又是6的倍数：50÷12=4人···2 所以4或6的倍数：12+8-4=16人既不是4也不是6的倍数：50-16=34人最后向前的同学包含：既不是4和6的倍数和同时是4和6的倍数 共有：4+34=38人例4、在桌面上放置着三个两两重叠的近圆形纸片（如图，三个纸片等大），它们的面积都是100 cm ²，并知A 、B 两圆重叠的面积是20 cm ²，A 、C 两圆重叠的面积为45 cm ²，B 、C 两圆重叠的面积为31 cm ²,三个圆共同重叠的面积为15 cm ²，求盖住桌子的总面积。
简单的容斥原理
简单的容斥原理容斥原理是数学中的一个基本原理，它涉及到集合的计数问题。
这个原理在日常生活和数学问题中都有广泛的应用。
下面我们将通过一个简单的例子来解释容斥原理。
假设有一个班级里有30名学生，现在我们要计算班级里有多少个学生是戴眼镜的，多少个学生是戴隐形眼镜的，以及多少个学生既不戴眼镜也不戴隐形眼镜。
我们可以将戴眼镜的学生记为集合A，戴隐形眼镜的学生记为集合B，既不戴眼镜也不戴隐形眼镜的学生记为集合C。
根据容斥原理，我们可以得到以下关系：1. 班级总人数= 集合A的人数+ 集合B的人数+ 集合C的人数。
2. 集合A和集合B的交集（即同时戴眼镜和隐形眼镜的学生）的人数= 集合A 的人数+ 集合B的人数- 总人数。
通过这个简单的例子，我们可以看到容斥原理在处理集合计数问题时的重要作用。
这个原理可以广泛应用于各种不同的场景，帮助我们更准确地理解和解决各种数学问题。
当然，容斥原理的应用远不止于此。
以下是一些更复杂的例子，它们展示了容斥原理在数学和实际问题中的广泛应用：1. 错排问题：错排问题是组合数学中的一个重要问题，它涉及到排列和组合的计数。
容斥原理在这里的应用可以帮助我们更准确地计算错排的数量。
2. 图形计数问题：在图形计数问题中，我们经常需要计算满足某些条件的子图的数量。
通过使用容斥原理，我们可以更准确地计算出这些数量。
3. 概率论：在概率论中，容斥原理可以用来计算多个事件同时发生的概率。
通过将各个事件的概率相加，然后减去重叠部分的概率，我们可以得到最终的结果。
4. 计算机科学：在计算机科学中，容斥原理可以用来优化数据结构和算法。
例如，在数据库查询中，我们可以通过使用容斥原理来优化索引和查询性能。
总的来说，容斥原理是一种强大的数学工具，它可以用来解决各种计数和优化问题。
通过理解和掌握这个原理，我们可以更好地理解和解决各种数学和实际问题。
容斥原理三大公式
容斥原理三大公式容斥原理是数学中一个非常实用的工具，它能帮助我们在解决一些集合问题时更加得心应手。
容斥原理主要有三大公式，接下来咱们就好好唠唠这三个公式。
咱们先来说说这第一个公式。
假设咱们有两个集合 A 和 B，那么 A 和 B 的并集元素个数就等于 A 的元素个数加上 B 的元素个数，再减去A 和B 的交集元素个数。
用数学式子表示就是：|A∪B| = |A| + |B| -|A∩B| 。
我给您举个例子哈，就说咱们班同学，喜欢数学的有 20 人，喜欢语文的有 15 人，既喜欢数学又喜欢语文的有 5 人。
那喜欢数学或者语文的同学一共有多少人呢？咱们就用这个公式来算算。
|A| 就是喜欢数学的 20 人，|B| 是喜欢语文的 15 人，|A∩B| 是既喜欢数学又喜欢语文的 5 人。
所以喜欢数学或者语文的同学一共有 20 + 15 - 5 = 30 人。
再来说说第二个公式。
要是有三个集合 A、B、C，那么它们的并集元素个数就是 A 的元素个数加上 B 的元素个数加上 C 的元素个数，然后减去 A 和 B 的交集元素个数，减去 A 和 C 的交集元素个数，减去 B 和 C 的交集元素个数，最后再加上 A、B、C 三个集合的交集元素个数。
式子就是：|A∪B∪C| = |A| + |B| + |C| - |A∩B| - |A∩C| - |B∩C| +|A∩B∩C| 。
比如说，咱们学校组织兴趣小组，参加绘画小组的有 12 人，参加音乐小组的有 8 人，参加体育小组的有 10 人。
参加绘画和音乐小组的有 3 人，参加绘画和体育小组的有 4 人，参加音乐和体育小组的有 2 人，三个小组都参加的有 1 人。
那参加兴趣小组的一共有多少人呢？咱们照样用公式来算，|A| 是绘画小组的 12 人，|B| 是音乐小组的 8 人，|C| 是体育小组的 10 人，|A∩B| 是 3 人，|A∩C| 是 4 人，|B∩C| 是 2 人，|A∩B∩C| 是 1 人。
小学数学容斥原理知识点
小学数学容斥原理知识点在小学数学中，容斥原理是一种非常重要的解题方法，可以帮助我们解决一些复杂的计数问题。
容斥原理通过排除重复计数来解决问题，让我们一起来了解一下容斥原理的具体内容。
容斥原理的基本思想是，对于所给的问题，我们可以从整体的角度来思考，然后通过减去重复计数的部分来得到最终的结果。
下面我们通过一个具体的例子来理解容斥原理。
假设有一个小学学生组成的班级，其中有20个学生，分别擅长数学、英语和音乐。
我们想要知道至少擅长其中一门学科的学生人数。
首先，我们可以分别统计擅长数学、英语和音乐的学生人数，分别记为M、E和M1；然后，我们可以统计同时擅长数学和英语、数学和音乐以及英语和音乐的学生人数，分别记为ME、MM和EM；最后，我们可以统计同时擅长数学、英语和音乐的学生人数，记为MEM。
根据容斥原理，我们可以得到至少擅长其中一门学科的学生人数为：M + E + M1 - (ME + MM + EM) + MEM在这个例子中，我们通过容斥原理将问题分解成了几个部分，并减去了重复计数的学生人数。
通过这样的计算，我们可以得到至少擅长其中一门学科的学生人数，而不需要逐个统计每个学生的情况。
容斥原理不仅可以用于解决学生人数的问题，还可以用于解决更复杂的计数问题。
下面我们通过更多的例子来进一步了解容斥原理的应用。
例子一：小明手中有4个红色球、3个蓝色球和2个绿色球，他从中随机取出3个球，问至少有两个球是红色的概率是多少？我们可以使用容斥原理来解决这个问题。
首先，我们可以计算至少取到一个红色球的概率（记为P(至少一个红色球)）；然后，我们可以计算至少取到两个红色球的概率（记为P(至少两个红色球)）；最后，我们可以计算至少取到三个红色球的概率（记为P(至少三个红色球)）。
根据容斥原理，我们可以得到至少有两个球是红色的概率为：P(至少一个红色球) - P(至少两个红色球) + P(至少三个红色球)我们可以具体计算每个部分的概率，然后代入公式进行计算。
高中数学,容斥原理
容斥原理是一种常见的统计原理，它主要应用于多个集合的交集和并集的计算。
在高中数学中，容斥原理的应用非常广泛，尤其是在解决组合问题、排列问题、计数问题等方面。
下面我将从定义、应用和注意事项三个方面，详细介绍高中数学中的容斥原理。
一、容斥原理的定义容斥原理的基本思想是，当两个集合不重叠时，它们的并集的数量可以看作是两个集合数量的和，减去重叠数量的两倍。
具体来说，假设我们有两个集合A和B，它们的并集数量为N，重叠数量为K，那么A中元素属于B或B中元素属于A的数量为N-K。
同时，我们需要减去A和B完全重叠的元素数量，即K。
这个原理可以用公式表示为：(A∪B)个案数= A个案数+ B个案数- (A∩B)个案数。
二、容斥原理的应用1. 组合问题：在解决组合问题时，常常需要考虑多个事件同时发生的情况。
例如，从n个人中选出m个组成一个小组，需要考虑到每个人是否被选中。
这时，我们可以用容斥原理来计算选出小组的总人数和被选中的人数。
2. 排列问题：在解决排列问题时，也常常需要考虑多个事件同时发生的情况。
例如，将n 个元素按照一定的顺序排列，需要考虑元素之间的顺序关系。
这时，我们可以用容斥原理来计算所有可能的排列数和满足某种条件的排列数。
3. 计数问题：在解决计数问题时，需要考虑到一些条件对计数的影响。
例如，计算从n个元素中取出k个元素的方案数时，需要考虑k的取值范围和元素之间的相关性。
这时，我们可以用容斥原理来计算总的方案数和满足条件的方案数。
三、注意事项1. 容斥原理的前提条件是两个集合之间没有重叠。
如果两个集合之间有重叠，那么需要使用其他的方法来计算它们的并集数量和重叠数量。
2. 在使用容斥原理时，需要正确理解公式中的各个量所代表的含义，并且需要仔细考虑问题中的条件和限制。
3. 容斥原理的应用范围比较广泛，需要灵活运用公式和方法来解决不同类型的问题。
总之，容斥原理是高中数学中一个非常重要的统计原理，它可以帮助我们更好地理解和解决组合、排列、计数等问题。
三个集合的容斥原理
三个集合的容斥原理在概率论和组合数学中，容斥原理是一种用于计算多个集合交集元素个数的方法。
它可以帮助我们在计算交集元素个数时避免重复计数，从而得到准确的结果。
容斥原理通常适用于三个或三个以上的集合，下面我们将详细介绍三个集合的容斥原理。
假设我们有三个集合A、B和C，我们想要计算它们的交集元素个数。
首先，我们可以使用传统的方法计算它们的交集，即分别计算A∩B、A∩C、B∩C以及A∩B∩C的元素个数，然后将它们相加，并减去重复计数的部分。
但是，这种方法在处理多个集合时会变得非常复杂，而容斥原理可以帮助我们简化计算过程。
容斥原理的核心思想是通过对每个集合的元素进行分类，然后根据分类的情况来计算交集元素个数。
具体来说，我们可以按照以下步骤来应用容斥原理：1. 首先，我们计算单个集合的元素个数，即|A|、|B|和|C|；2. 然后，我们计算两个集合的交集元素个数，即|A∩B|、|A∩C|和|B∩C|；3. 接下来，我们计算三个集合的交集元素个数，即|A∩B∩C|；4. 最后，根据容斥原理的公式，我们可以得到三个集合的交集元素个数为，|A ∪B∪C| = |A| + |B| + |C| |A∩B| |A∩C| |B∩C| + |A∩B∩C|。
通过这个公式，我们可以很方便地计算三个集合的交集元素个数，而不需要逐个计算它们的交集。
容斥原理的应用大大简化了计算过程，提高了计算的效率。
除了计算交集元素个数，容斥原理还可以应用于其他问题，比如计算集合的并集元素个数、计算满足某些条件的元素个数等。
在实际问题中，容斥原理常常被用来解决排列组合、概率统计等方面的问题，具有非常重要的应用价值。
总之，容斥原理是一种十分有用的计算方法，它可以帮助我们简化计算过程，避免重复计数，得到准确的结果。
在实际问题中，我们可以根据具体情况灵活运用容斥原理，从而更加高效地解决各种计算问题。
希望本文的介绍能够帮助大家更好地理解和应用容斥原理。
第二十讲 容斥原理
第二十讲容斥原理（2）[知识提要]前面讲述过简单的容斥原理，“容”就是相容，相加，而“斥”就是相斥，相减，容斥原理作为一种计数方法，说简单点，就是从多的往下减，减过头了在加回来，加多了再减，减多了再加……最终得到正确结果。
对于计数中容易出现重复的题目，我们常常采用容斥原理，去掉重复的情况。
应用于计数集合划分有重叠，无法简单应用加法原理的情况下。
在计数时，为了使重叠部分不被重复计算，人们研究出一种新的计数方法，这种方法的基本思想是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。
如果被计数的事物有A、B两类，那么，具体公式为:A类或B类元素个数= A类元素个数+ B类元素个数—既是A类又是B类的元素个数。
如果被计数的事物有A、B、C三类，那么，具体公式为:A类或B类或C类元素个数= A类元素个数+ B类元素个数+C类元素个数—既是A类又是B类的元素个数—既是A类又是C类的元素个数—既是B类又是C类的元素个数+既是A 类又是B类而且是C类的元素个数。
有了以上的容斥原理,一些看起来头绪很多的问题就可以比较方便地得到解决。
[经典例题][例1]五（1）班有学生42人，参加体育代表队的有30人，参加文艺代表队的25人，并且每个人都至少参加了一个队，这个班两队都参加的有几个人？[分析]我们可以画一个图帮助思考，画两个相交的圆圈:其中一个表示体育代表队，另一个表示文艺代表队，那么两圆的内部共有42人，而体育代表队的圆中有30人，文艺代表队的图中有25人，但：30+25=55>42，这是因为两队都参加的人被计算了两次，因此55-42=13，即是两队都参加的人数。
[解答]解：（30+25）-42=13（人）答：两队都参加的有13人。
[评注]可能有很多同学还是刚刚接触容斥原理，所以我们用图形来形象地描绘整个问题。
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第二十讲容斥原理第二十讲容斥原理（2）[知识提要]前面讲述过简单的容斥原理，“容”就是相容，相加，而“斥”就是相斥，相减，容斥原理作为一种计数方法，说简单点，就是从多的往下减，减过头了在加回来，加多了再减，减多了再加……最终得到正确结果。
对于计数中容易出现重复的题目，我们常常采用容斥原理，去掉重复的情况。
应用于计数集合划分有重叠，无法简单应用加法原理的情况下。
在计数时，为了使重叠部分不被重复计算，人们研究出一种新的计数方法，这种方法的基本思想是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。
如果被计数的事物有A、B两类，那么，具体公式为:A类或B类元素个数= A类元素个数+ B类元素个数—既是A类又是B类的元素个数。
如果被计数的事物有A、B、C三类，那么，具体公式为:A类或B类或C类元素个数= A类元素个数+ B类元素个数+C类元素个数—既是A类又是B类的元素个数—既是A类又是C类的元素个数—既是B类又是C类的元素个数+既是A类又是B类而且是C类的元素个数。
有了以上的容斥原理,一些看起来头绪很多的问题就可以比较方便地得到解决。
[经典例题][例1]五（1）班有学生42人，参加体育代表队的有30人，参加文艺代表队的25人，并且每个人都至少参加了一个队，这个班两队都参加的有几个人？[分析]我们可以画一个图帮助思考，画两个相交的圆圈:其中一个表示体育代表队，另一个表示文艺代表队，那么两圆的内部共有42人，而体育代表队的圆中有30人，文艺代表队的图中有25人，但：30+25=55>42，这是因为两队都参加的人被计算了两次，因此55-42=13，即是两队都参加的人数。
[解答]解：（30+25）-42=13（人）答：两队都参加的有13人。
[评注]可能有很多同学还是刚刚接触容斥原理，所以我们用图形来形象地描绘整个问题。
当容斥原理的题目做多了之后，很多基本的题目就不再需要一个一个的画图了。
但是，当遇到复杂的问题时，图形还是帮助我们理解和解决问题的一个帮手。
[举一反三]1、某班学生每人家里至少有空调和电脑两种电器中的一种，已知家中有空调的有41人，有电脑的有34人，二者都有的有27人，这个班有学生多少人？2、六年级共有96人，两种刊物每人至少订其中一种，有23的人订《少年报》，有12的人订《数学报》，两种刊物都订的有多少人？3、森林中住着很多动物，据说狮子大王派仙鹤去统计鸟的种数，蝙蝠跑去说：“我有翅膀，我算鸟类。
”仙鹤把蝙蝠统计进去了，结果得出森林中共有80种鸟类，狮子大王又派大象去统计兽类的种数，蝙蝠又跑去说：“我没有羽毛，我应该算兽类。
”大家又把蝙蝠算为兽类，统计出森林中共有70种兽类。
最后狮子大王问：森林中共有鸟类和兽类多少种？狐狸军师听了仙鹤和大象的统计结果，向狮子大王报告：“森林中鸟类与兽类共计150种。
”听了上面的故事，请你说说狐狸军师这样统计对吗？为什么，正确的答案应该是多少种呢？[思路拓展][例2]在一个炎热的夏日，几个小朋友去冷饮店，每人至少要了一样冷饮，其中有6人要了冰棍，6人要了汽水，4人要了雪碧，只要冰棍和汽水的有3人，只要冰棍和雪碧的没有，只要汽水和雪碧的有1人；三样都要的有1人。
问：共有几个小朋友去了冷饮店？方法二：664311210++---⨯=（人）答：共有10个小朋友去了冷饮店。
[评注]这道题目变成了三种事件，我们仍然可以用图形来简单的描述。
只要同学们能够明白每一种人的数量应该填在哪个空位里，题目就变得非常容易了。
同学们还要注意的一点是，最外圈的6，6，4三个数，并不是指的数字所在范围里的人数，而是指的整个圆里（即买了某种冷饮而并非只买这种冷饮）的人数。
另外，方法二里，为什么要减去1×2，同学们能明白吗？[举一反三]1，三年级一班的同学们报名参加趣味体育运动会，比赛内容共三项，分别是跳绳、拍球跑和踢毽子，每个人至少报了一项。
报跳绳的有15人，报拍球跑的有18人，报踢毽子的有20人，同时包跳绳和拍球跑的有8人，同时报跳绳和踢毽子的有5人，没有报了拍球跑和踢毽子，但是没报跳绳的同学。
三样都报的有2人。
那么三年级一班有多少名同学呢？2，班里组织了一次语数外三科的小测验，每名同学都至少有一门得满分，但是没有人拿到三个满分。
语文得满分的有10人，数学得满分的有20人，外语得满分的有25人，语文数学都得满分的有6人，数学外语都得满分的有12人，语文外语都得满分的有2人。
那么全班一共有多少人？3，一次中、美、俄三方的学术交流会上，有28人会说中文，有25人会说英文，有20人会说俄文，有13人会说中文和英文，有10人会说中文和俄文，有6人会说英文和俄文，仅有大会组织者一人三种语言全会。
那么这次交流会一共有多少人参与？[例3] 某班同学参加升学考试，得满分的人数如下：数学20人，语文20人，英语20人，数学、英语两科满分者8人，数学、语文两科满分者7人，语文、英语两科满分者9人，三科都没得满分者3人。
问这个班最多多少人？最少多少人？39+x 表示全班人数，当x 取最大值时，全班人数就最多，当x 取最小值时，全班人数就最少。
x 是数学、语文、英语三科都得满分的同学，因而x 中的人数一定不超过两科得满分的人数，即x x ≤≤78，且x ≤9，由此我们得到x ≤7。
另一方面x 最小可能是0，即没有三科都得满分的。
当x 取最大值7时，全班有39746+=人，当x 取最小值0时，全班有390+=39人。
答：这个班最多有46人，最少有39人。
[评注]这道题目里，我们不知道三科都得满分者的人数，也就无法直接用容斥原理来计算班里的总人数。
但是我们可以假设出三科都得满分的人数，再利用包含原则，即三科都得满分的人数不能小于0，也不能超过某两科得满分的人数，从而确定了三科都满分的人数的一个范围，再代入全班人数的计算式子，便可得出最多的人数与最少的人数。
遇到这种需要假设的题目，同学们一定要注意设，并且要知道设哪个。
如果这道题目假设了语文、数学得满分但英语没得满分的人数，虽然也能计算，但是会麻烦很多。
[举一反三]1，在四年级二班里，有25名男生，有30名少先队员，有13名三好学生。
男少先队员有12人，男三好学生有6人，少先队员里的三好学生有5人，有3名女生既不是少先队员又不是三好学生。
那么四年级二班最少有多少人，最多有多少人？2，某公司的员工为地震灾区捐款、献血和游行鼓励，每位员工至少参加了一项。
捐款的有40人，献血的有35人，游行的有25人，捐款、献血但是没有游行的有8人，捐款、游行但是没有献血的有12人，同时献血和游行的有10人。
那么这个公司最少有多少名员工，最多又有多少名呢？3，小玉在黑板上写下了一些数，其中每个数都至少能被2、3、5之一整除。
被2整除的数有10个，被3整除的数有9个，被5整除的数有6个。
被2、3整除但是不被5整除的有4个，被2、5整除但是不被3整除的有3个、被3、5整除但是不被2整除的有2个。
那么小玉最少写下了几个数？最多又写下了几个呢？[例4]有28人参加田径运动会，每人至少参加跑、跳、投中的两种比赛。
已知有8人没参加跑的项目，参加投掷项目的人数与参加跑和跳两项的人数都是17人。
问：只参加跑和投掷两项的有多少人？[分析]“每人至少参加两项比赛”说明没有不参加的，也没有参加一项比赛的，后，题目就变得很清楚了。
当然，这道题目也可以这么想：只参加跑和投掷的，就是没有参加跳的项目的人数。
而参加了跳类项目的人数，又可以分为参加了跑的和没参加跑的，后者就是只参加了跳和投掷的人数，前者就是参加了跑和跳的人数。
这样也能计算出结果，但是毕竟不如我们画图来得清晰与直接。
[举一反三]1，有28人参加田径运动会，没有人同时参加跑、跳、投三种比赛。
已知有20人参加了跑的项目，参加投掷项目的人数与参加跑和跳两项的人数都是10人，只参加跳项目的有5人。
问：只参加跑和投掷两项的有多少人？2， 56名小朋友，每名小朋友胸前都戴着红、白、蓝三种颜色的花，每人每种花至多戴一朵。
有30名小朋友戴了红花，有15名小朋友戴了白花和蓝花，只戴一种花的有21人，他们中戴每个颜色的花的人数都相同。
那么有多少名小朋友三种花都戴了呢？3，一次聚会，对参与聚会的人规定，如果穿了西服，打了领带，则必须穿黑皮鞋。
来的50人里穿西服、打领带、穿黑皮鞋的各有20人，穿西服和黑皮鞋的有12人，穿黑皮鞋打领带但是没有穿西服的有6人。
那么有多少人没穿西服，没打领带，并且没穿黑皮鞋？[例5]某校六年级二班有49人参加了数学、英语、语文学习小组，其中数学有30人参加，英语有20人参加，语文小组有10人。
老师告诉同学既参加数学小组又参加语文小组的有3人，既参加数学又参加英语和既参加英语又参加语文的人数均为质数，而三种全参加的只有1人，求既参加英语又参加数学小组的人数。
整理后得：x y+=9由于x、y均为质数，因而这两个质数中必有一个偶质数2，另一个质数为7。
答：既参加英语又参加数学小组的为2人或7人。
[评注]所以，我们应该按容斥原理的方法来解决此问题。
用容斥原理的那一个呢？想一想，被计数的事物有那几类？每一类的元素个数是多少？另外，这道题目也帮助我们复习了质数与合数的概念和性质。
[举一反三]1，某校五年级三班有51人参加了数学、英语、语文学习小组，其中数学有30人参加，英语有20人参加，语文小组有20人。
老师告诉同学既参加数学小组又参加语文小组的有8人，既参加数学又参加英语和既参加英语又参加语文的人数均为质数，而三种全参加的只有1人，求既参加英语又参加数学小组的人数。
2， 27块立方体，每个都用红、黄、蓝三种颜料中的一种或几种涂上了色。
已知涂了红色的有21块，涂了黄色和蓝色的立方体个数都各自是一个整数的平方。
同时涂了红、黄两色的有10块，同时涂了黄、蓝两色的有3块，同时涂了红、蓝两色的有2块。
仅有一块立方体三种颜色都涂了。
那么有多少块涂了黄色呢？3，有20名同学，爱唱歌的有8人，爱跳舞的有9人，爱演奏乐器的有10人，爱唱歌跳舞的有5人，爱唱歌和演奏乐器的有4人，爱跳舞和演奏乐器的有5人。
三种都爱的和三种都不爱的同学的个数都是一个质数，那么有多少名同学至少有一个爱好？[例6]有25人参加跳远达标赛，每人跳三次，每人至少有一次达到优秀。
第一次达到优秀的有10人，第二次达到优秀的有13人，第三次达到优秀的有15人，三次都达到优秀的只有1人。
只有两次达到优秀的有多少人？[分析]“每人至少有一次达到优秀”说明没有三次都没达到优秀的。
要求只有答：只有两次达到优秀的有11人。
[评论]这道题目，图形对我们的帮助依然很大。