2011届高考数学第一轮总复习知识点课件6

11. 在△ABC中，角A，B，C所对的边为a,b,c,
2 2 a b sin (A - B) 求证： c2 sin C
.
证明： 由余弦定理,得a2-b2=c2-2bccos A, 2 2 2 a b c - 2bcos A c 2bcos A 则 . 2 2 c c c 又由正弦定理,得 c 2bcos A sin C - 2sin Bcos A c sin C sin C -[sin(B A) sin(B - A)] sin C sin C -[sin C sin(B - A)] sin (A - B) , sin C sin C
个是正确的，不可能有第三种情况出现.
举一反三
3. 已知a,b,c是一组勾股数，且 a 2 b2 c2 . 求证：a,b,c不可能都是奇数.
2 2 2 证明： 假设a,b,c都是奇数,且a,b,c是一组勾股数,∴ a b c
又∵a,b,c都是奇数,∴a 2 , b2 , 2 也都是奇数, c ∴ a 2 b 2 是偶数， a 2 b2 c 2 ,
考点演练
10. 完成反证法证题的全过程. 已知：a1,a2,…，a7是1，2，…，7的一个排列. 求证：乘积p=(a1-1)(a2-2)…(a7-7)为偶数. 证明：假设p为奇数，则均为奇数.① 因奇数个奇数之和为奇数，故有 奇数= = =0. 但奇数≠0，这一矛盾说明p为偶数. 答案: ① a1 1, a2 1,...a7 7 ② a1 1 a2 1 ... a7 7 ③ a1 a2 ... a7 1 2 ... 7 ② ③
b d b
a,b,c,d∈R+且bc>ad, ∴
bc ad 0 b d b
d bd
ac a ,∴ bd b
又 c ac ∴
c b d d a c bc ad 0 d b d d b d
c ac d bd
题型三
反证法的应用
π π 2 ,b=y -2z+ , 2 3
【例3】(14分)若a,b,c均为实数，且a=x2-2y+
π . 6 求证：a,b,c中至少有一个大于0.
c=z2-2x+
分析 命题伴有“至少……”“不都……”“都不……”“没有……”“至
多……”等指示性语句，在用直接方法很难证明时，可以采用反 证法. 证明 假设a,b,c都不大于0，即a≤0,b≤0,c≤0,…………..2′
,∴a=-b,∴f(x+ 1 )为偶函
2
数……….12′
学后反思 （1）本题证明的前半部分用的是分析法，要证结
论成立，只需证明a=-b，后半部分用综合法证明了a=-b,这一 例是典型的分析综合法证明.（2）在用分析综合法证明时，
可先分析再综合，也可以先综合再分析.
举一反三
a1 =1,n≥2时，其前 4. （2009· 豫南七校联考）数列an 中， 1 2 n项的和 Sn 满足 Sn . an Sn 2 1 (1)求证：数列 是等差数列；
当n=1时，上式也成立. 1 1 1 ∴数列 构成以 1 为首项，公差为2的等差数列. S1 a1 Sn 1 1 1 1 （2）∵ b Sn
n
Sn
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2n 1
2n 1
2n 1 2n 1
1
2 2n 1 2n 1
举一反三
2. 若sin α+cos α=1,求证：sin6α+cos6α=1.
证明： 由sin α+cos α=1 cos α=1 sin2α+cos2α+2sin α· cos α=0.① sin α· 欲证sin6α+cos6α=1, 只需证(sin2α+cos2α)(sin4α-sin2αcos2α+cos4α)=1, 即证sin4α+cos4α-sin2αcos2α=1, 即证(sin2α+cos2α)2-3sin2αcos2α=1,即证sin2αcos2α=0. 由①式知,上式成立，故原式成立.
∴a+b+c＞0, ……………………………………………………10′ 这与a+b+c≤0矛盾. …………………………………………..12′
因此a,b,c中至少有一个大于0. ……………………………..14′
学后反思 反证法证题的实质是证明它的逆否命题成立.反证
法的主要依据是逻辑中的排中律,排中律的一般形式是：或者 是A，或者非A,即在同一讨论过程中，A和非A有一个且仅有一
与已知 a 2 b2 c2 相矛盾,
∴a,b,c不可能都是奇数.
题型四 利用分析综合法证明题目 【例4】（12分）设f(x)=a x 2 +bx+c(a≠0)，若函数f(x+1)与 f(x)的图象关于y轴对称.求证：fx+12为偶函数. 分析 证明函数是偶函数，关键是证明函数关于y轴对称，即对 称轴是x=0. 证明 要证f(x+
a2 b2 sin (A - B) 2 c sin C
12. 已知a,b,c,d都是正数，且bc>ad,求证：a a c c
b bd d
解析： ∵ a c a a c b a b d bc ad
bd b
b d b
证明 I2=（a+b+c）2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ac)=a2+b2+c2+2S, 故要证I2＜4S,
只需证a2+b2+c2+2S＜4S,
即a2+b2+c2＜2S（这对于保证结论成立是充分必要的）. 欲证上式，只需证a2+b2+c2-2ab-2bc-2ca＜0,
即证（a2-ab-ac）+(b2-bc-ba)+(c2-ca-cb)＜0,
显的事实矛盾或自相矛盾；（推导矛盾）
（3） 结论 ：因为推理正确，所以产生矛盾的原因在于“反 设”的谬误.既然结论的反面不成立,从而肯定了结论成立.(结
论成立)
典例分析
题型一 综合法的应用 【例1】已知a＞b＞0，求证： a b a b . 分析 从已知条件和已知不等式入手，推出所要证明的结论. 证明 ∵a＞b＞0,∴b＜ ab,即2b＜2 ab ,进而-2 ab＜-2b,
各种性质，逐层推进，从而由已知逐渐引出结论.
举一反三
1 1 1 1. 设a＞0,b＞0,a+b=1,求证： 8 . a b ab 1 1 1 ab ab ab b a ab 1 1 证明：∵a+b=1, a b ab a b ab a b ab
则a+b+c≤0, …………………………………………………...4′ π π π 而a+b+c=x2-2y+ +y2-2z+ +z2-2x+ =(x-1)2+(y-1)2+(z-1)2+ 2 3 6 π-3. …………………………………………………………….6′ ∵π-3＞0,且（x-1）2+(y-1)2+(z-1)2≥0,…………………..8′
（2）设 bn S n
Sn
2n 1
1 ，数列 bn 的前n项和为Tn ，求证： Tn
2
1 2 解析： （1）将 an Sn Sn1(n≥2)代入 Sn an Sn 2 Sn 得 Sn 2Sn 1 1 1 1 两边取倒数得 2 (n≥2)， Sn Sn1 1 1 S ∴ =2n-1(n≥2)，即 n (n≥2).
（2）分析法是 “执果索因” ，它是从要证的结论出发，倒着分 析，逐渐地靠近已知. 3. 间接证明 用反证法证明问题的一般步骤: （1） 反设 ：假定所要证的结论不成立，而设结论的反面
（否定命题）成立；（否定结论）
（2） 归谬 ：将“反设”作为条件，由此出发经过正确的推 理，导出矛盾——与已知条件、已知的公理、定义、定理及明
∴a- 2 ab+b＜a+b-2b, 即0＜( a b )2＜a-b,
∴
a b ab
学后反思 综合法从正确地选择已知真实的命题出发，依次推
出一系列的真命题,最后达到我们所要证明的结论.在用综合法
证明命题时，必须首先找到正确的出发点，也就是能想到从哪 里起步，我们一般地处理方法是广泛地联想已知条件所具备的
第二节 直接证明与间接证明
基础梳理
1. 证明
（1）证明分为 直接证明 与 间接证明 .直接证明包
括 综合法 、分析法 等；间接证明主要是 反证法 . （2）综合法:一般地， 利用 已知条件和某些数学定义、定理、公理等 ，经过一系列的 推理论证,最后推导出所要证明的结论成立,这种证明方法叫做综 合法. （3）分析法：一般地，从要证明的结论 出发，逐步寻求
使 它成立的充分条件 ，直至最后，把要证明的结论归结 为 判定一个明显成立的条件 （已知条件、定义、定理、公理
等），这种证明的方法叫做分析法.
（4）反证法：一般地，假设 原命题不成立 （即在原命题的条
件下，结论不成立），经过 正确的推理 ,最后得出矛盾，因此 说明 假设错误 ，从而 证明了原命题成立 ，这样的证明方法叫
1
∴ Tn 1 ... 2 3 3 5 5 7 2n 1 2n 1 1 1 1 1 2 2n 1 2
1
1 1 1 1 1
易错警示
【例】用反证法证明：若a>b>0,则 a b 错解 假设 a 不大于 b ，即 a b 因为a>0,b>0,所以 a b 即a<b,这与已知矛盾. 所以假设不成立，原命题正确.