高中数学 1.1任意角,弧度制第二课时课件苏教版必修4

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弧度制

必修4§1.1任意角、弧度第二课时弧度制教学目标:（1）理解1弧度的角、弧度制的定义；（2）掌握角度与弧度的换算公式并能熟练地进行角度与弧度的换算；（3）熟记特殊角的弧度数；（4）掌握用弧度制表示的弧长公式、扇形面积公式。

【温故习新·导引自学】1.规定周角的_______为1度角，这种用度作为单位来度量角的单位制叫做________。

2.把长度等于_______________的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，这种用弧度作为单位来度量角的单位制叫做___________。

它的单位是rad 读作弧度。

3.如图：AOB ∠= _________ A O C ∠= __________ 周角=____________ 平角=___________ 4.正角的弧度数是 _________，负角的弧度数是______，零角的弧度数是0。

5.角度制与弧度制的换算注意：03602rad π= 0180rad π=10.011745180rad rad π=≈ 000180157.305718rad π⎛⎫'=≈= ⎪⎝⎭【交流质疑·精讲点拨】例1、把下列各角从弧度化为度（1）53πrad （2）3.5rad例2 把下列各角从度化为弧度（1）06730' （2）︒252注意： 1．今后在具体运算时，“弧度”二字和单位符号“rad ”可以省略如：3表示3rads i n π表示rad π角的正弦2．一些特殊角的度数与弧度数的对应值应该记住（见下表）o l=r C 2rad1rad r l=2r o AA B例3、直径为20cm 的圆中，求下列各圆心所对的弧长 ⑴34π⑵ 0165例4、利用弧度制证明扇形面积公式12S lR =其中l 是扇形弧长，R 是圆的半径。

例5、（《同》5P 例3和变式3）【当堂反馈、拓展迁移】1.6-=α是第_____象限角。

2．用弧度制表示：终边在x 轴上的角的集合；终边在y 轴上的角的集合；终边在坐标轴上的角的集合3.用弧度分别表示四个象限的角4. 如图，写出终边落在阴影部分的角的集合（包括边界）．。

数学：1.1.2《弧度制》课件(苏教版必修4)

§1.1.2 弧度制
学习目标:
1、理解弧度制的含义 2、弧度数的绝对值公式 3、会弧度与角度的换算
1 角度制 1度的角等于周角的360
角的度量
弧度制
1弧度：长度等于半径的弧所对的圆心角
弧度制
l | | R
r r
其中 : 1、l是以角作为圆心角时所对弧的长，r是半径； 2、正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0； 2r 3、圆心角为周角时，l 2r，则 2 r r 4、圆心角为半角时，l r，则 r
ห้องสมุดไป่ตู้业：
P 8-9 11习题
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十七章相聚玉盈告别了年夫人，拿着“冰凝”的信回到房间，心情却是久久不能平静。她不想再跟王府、再跟王爷有什么瓜葛和联系了，可是，这是凝儿的邀请，她能不去吗？不但她自己想去看看凝儿，就是娘亲也急切地等着她带回来的好消息呢！自从上次归宁壹别，又过去二十多天了，不知道凝儿过得怎么样？不过，明天怎么这么早？凝儿早上不需要向福晋请安吗？还是说请安的时间更早？凝儿真是太辛苦了！还没有见过凝儿的院子呢，不太清楚王府的环境，不知道凝儿住的地方离王爷的书院有多远，希望不会遇见他吧。她忍不住再次拿出凝儿的信看了起来，真是看多少遍都看不够。刚刚笑话了壹番含烟，其实娘亲和她何尝不是对凝儿的信爱不释手？看着她的信，就好像眼睁睁地看着她在王府里的幸福生活，她们都是欣慰万分。第二日，玉盈和翠珠按照约定的时间到了王府门口。下了马车，立即从院门里迎出来两个太监，玉盈已经认出来，其中壹个就是上次迎她去王爷书院的那个人，这壹回，还是这个太监上前迎来：“年丫鬟，您这边请。”“好。我的丫环……”“您放心，奴才会安排好的。”然后就是壹眨眼，翠珠就被另外壹个太监迎了上去：“翠珠姑娘，侧福晋请您先在这里歇息壹下。” 说着，就领着翠珠朝府门里走去，面对王府的高门大院，翠珠不敢造次，只是拿眼望着丫鬟，嘴上壹句话不敢说。玉盈也不知道这是什么情况，暗暗地，她觉得事情已经脱离了她的掌控，但她现在搞不情状况，唯有见机行事。因此她只好向翠珠点了点头，翠珠见状，只得随着那个小太监走了。那个负责迎接她的太监见翠珠走后，冲玉盈做了壹个请的姿势，玉盈这才发现，身边的马车已经不是年府的了，换成了另外壹辆更高大、更豪华、更气派的壹辆。她诧异地望向这个太监，太监仍是壹副恭请她上车的手势，王府门口人来人往，她不便再说什么，只好转身上了车。待她进了马车，车里的光线暗了许多，半天她才适应，终于发现，车里还有壹个人，王爷！她刚刚就有这个预感，因此在她见到王爷的时候，并没有吃惊，而是定定地望着他，思索着这是怎么壹回事情。他终于盼来了日思夜想的人儿，见她这么定定地望着他，知道她是恼怒了他。确实，这事情是他做得不对，他欺骗了她，通过她最信任的妹妹，将她骗来了王府。可是，他实在是没有办法，但非能想得出来更好的办法，他都不会如此。他是光明磊落的人，从来不会偷偷摸摸。可是面对心爱的玉盈，他违背了自己的做人原则。他为她所思，为她所虑，这番体贴的安排，玉盈根本体会不到！他担忧人多嘴杂，他怕事出变故，因为她是壹个未出阁的丫鬟，万壹走露了什么风声，他不能让她的名节毁在他的手上。他要为他

高一数学必修课件

α
当 k＝2n(n∈Z)时，n·360°＋45°< 2 <n·360°＋ 90°；3 分
第三十三页，共48页
当 k＝2n＋1(n∈Z)时，
α
n·360°＋225°< 2 <n·360°＋270°.5 分
α
∴ 2 是第一或第三象限的角.6 分
α
(2)∵k·120°＋30°< 3 <k·120°＋60°(k∈Z)，
(1)360°；(2)1 440°. 解析：作出各角的终边如图所示：
第二十一页，共48页
(1)360°＝0°＋1×360°.所以在0°～360°范围内，与360°终边相同的角是0°. (2)1 440°＝0°＋4×360°.所以在0°～360°范围内，与1 440°终边相同的角是0°. 以上两个角的终边落在x轴的非负半轴上，是不属于
第三十九页，共48页
α
(2)k·180°< 2 <k · 180 ° ＋ 45°(k∈Z) ． ∴ 当 k ＝
2n(n∈Z)时，n·360°<α2<n·360°＋45°(n∈Z)，此
α
时 2 为第一象限角；当 k＝2n＋1(n∈Z)时，n·360°
α
α
＋180°< 2 <n·360°＋225°(n∈Z)，此时 2 为第三
第三十页，共48页
确定倍角、分角所在象限
αα
若 α 是第二象限的角，试分别确定 2 ，3 的终边所在位置．
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[策略点睛]
第三十二页，共48页
∵α 是第二象限的角，
∴k·360°＋90°<α<k·360°＋180°(k∈Z).1
分
α

高中数学游戏教学课件2--弧度制

l是扇形弧长，r是圆的半径，扇形圆心角的大小为α rad，其中（|α|≤2π）
弧度制下
弧长公式
l r
扇形面积公式 S 1 lr 1 r2
22
角度制下
l n r
180 S n r2
360
弧度制的优越性！
活动：你能用不同的方法度量角的大小吗？
小结:
单位(米) 2米
长度
问题4：角度与弧度如何互化？ 360o＝2π rad
1o＝1π80rad ≈ 0.01745rad 1rad＝1π80度≈ 57.30o
π
2π
2
3π 3
90°
4 120°
5π 135°
6 150°
π
3π
60° 4
45°
π
30° 6
π 180°
0° 0
互化练习：请将量角器上各角进行弧度与角度的互化.
单位(尺)
2尺
Hale Waihona Puke 1米=3尺单位(1度) 2度角
单位(1弧度) 2弧度
360度=2π 弧度
拓展研究运用“单位制构建的一般过程” ，你会研究
其它量的单位制吗？
课后作业： P10习题1.1： 3，4， 8
苏教版高中数学必修4
1.1.2 弧度制
思考：点P的位置与哪些几何量有关？
探究：能否像度量长度那样，用十进制的实数来度量角的大小？
可行
问题1：生活中同一个量，它的度量结果可以用不同的单位表示吗？请举例说明．
问题2：图中哪些几何量能唯一确定角α？
结论：弧长与半径的比值可以唯一确定角的大小. 瑞士数学家欧拉，为数学发展奋斗一生.
互化练习：请将下列角进行角度与弧度的互化．

1.1_任意角与弧度制

150 的角与210 的角终边相同，是第三象限角
(3)
990 15 （ 3） 360 89 45 是第一象限角
990 15的角与89 45的角终边相同，
RTX3:
如何判断一个给定角所在象限？
只需把它们写成:k 360 (0 360 ) 即可
k 180 120 (k Z ) 2
是第二或第四象限角 2

变：判断 2是第几象限角呢?
课堂练习：
1.一角为30°，其终边按逆时针方向旋转三周后的角度数为＿＿＿＿，若按顺时针方向旋转呢？ 2.在0度到360度范围内，找出与下列各角终边相同的角，并分别判断它们是哪个象限的角？ ① -55º ② 395º8′ ③ 1563º
( 3 )角的终边在坐标轴上 , 就说这个角不属于任何象限.
RTX2:
锐角是第几象限的角？第一象限的角都是锐角吗？直角和钝角呢？小于90°的角是锐角吗？
锐角是第一象限角直角不是象限角第一象限的角不都是锐角钝角是第二象限角
小于90°的角不都是锐角
集体探究学习活动2
第二象限的角表示为
{|k360+90<<k360+180，（kZ）}
第三象限的角表示为
{|k3，（kZ）}
第四象限的角表示为
{|k360+270<<k360+360，（kZ）} 或{|k36090<<k360，（kZ）}
( 2 )范围都在 : 0 0 ~ 3 6 0 0.
实际使用中的角 :既要知道旋转量,又要知道旋转方向.
集体探究学习活动1
1.任意角的概念是什么？ 2.角是怎样分类的？

苏教版高中数学必修4《弧度制(第2课时)》参考教案

课题：1.1.2弧度制（二）教学目的：1．巩固弧度制的理解，熟练掌握角度弧度的换算；掌握用弧度制表示的弧长公式、扇形面积公式．2．培养运用弧度制解决具体的问题的意识和能力3．通过弧度制的学习，理解并认识到角度制与弧度制都是对角度量的方法，二者是辩证统一的，而不是孤立、割裂的关系．教学重点：运用弧度制解决具体的问题．教学难点：运用弧度制解决具体的问题．授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：1．定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角称为1弧度的角。

它的单位是rad 读作弧度，这种用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制．如下图，依次是1rad ， 2rad ， 3rad ，αrad探究：⑴平角、周角的弧度数，（平角=π rad 、周角=2π rad ）⑵正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是0 ⑶角α的弧度数的绝对值 rl=α（l 为弧长，r 为半径） ⑷角度制、弧度制度量角的两种不同的方法，单位、进制不同，就像度量长度一样有不同的方法，千米、米、厘米与丈、尺、寸，反映了事物本身不变，改变的是不同的观察、处理方法，因此结果就有所不同。

⑸用角度制和弧度制来度量零角，单位不同，但数量相同（都是0）用角度制和弧度制来度量任一非零角，单位不同，量数也不同。

2. 角度制与弧度制的换算： ∵ 360︒=2π rad ∴180︒=π rad ∴ 1︒=rad rad 01745.0180≈π'185730.571801=≈⎪⎭⎫ ⎝⎛=πrad在具体运算时，“弧度”二字和单位符号“rad”可以省略3．一些特殊角的度数与弧度数的对应值应该记住：角度 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 弧度 0 π/6 π/4 π/3 π/2 2π/3 3π/4 5π/6 π 角度 210° 225° 240° 270° 300° 315° 330° 360° 弧度7π/65π/44π/33π/25π/37π/411π/62π4．应确立如下的概念：角的概念推广之后，无论用角度制还是弧度制都能在角的集合与实数的集合之间建立一种一一对应的关系。

高中数学1.1.1任意角讲义苏教版必修4

1.1.1 任意角一、任意角的概念1．角的概念：一个角可以看做平面内一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形．2．角的分类：按旋转方向可将角分为如下三类：[提示]不一定，若角的终边未作旋转，则这个角是零角．若角的终边作了旋转，则这个角就不是零角．二、象限角与轴线角1．象限角：以角的顶点为坐标原点，角的始边为x轴正半轴建立平面直角坐标系．这样，角的终边(除端点外)在第几象限，就说这个角是第几象限角．2．轴线角：终边在坐标轴上的角．三、终边相同的角与角α终边相同的角的集合为{β|β＝k·360°＋α，k∈Z}．思考2：终边相同的角一定相等吗？其表示法唯一吗？[提示]终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同．终边相同的角的表示方法不唯一．1．思考辨析(1)180°是第二象限角．( )(2)－30°是第四象限角．( )(3)第一象限内的角都小于第二象限内的角．( )[解析](1)×.180°是轴线角．(2)√.(3)×.如375°＞120°，而375°和120°分别是第一、二象限内的角．[答案](1)×(2)√(3)×2．如图，则α＝________，β＝________.240°－120°[α是按逆时针方向旋转的，为240°，β是按顺时针方向旋转的，为－120°.]3．与－215°角终边相同的角的集合可表示为________．{β|β＝k·360°－215°，k∈Z}[由终边相同角的表示可知与－215°角终边相同的角的集合是{β|β＝k·360°－215°，k∈Z}．]4．将－885°化成k·360°＋α(0°≤α<360°，k∈Z)的形式是________．(－3)×360°＋195°[设－885°＝k·360°＋α，易得－885°＝(－3)×360°＋195°.]角的概念辨析【例1】(1)下列结论：①第一象限角是锐角；②锐角是第一象限角；③始边和终边重合的角是零角；④钝角是第二象限角；⑤小于90°的角是锐角；⑥第一象限角一定不是负角．其中正确的结论是________(填序号)．(2)将35°角的终边按顺时针方向旋转60°所得的角度数为________，将35°角的终边按逆时针方向旋转一周后的角度数为________．思路点拨：(1)根据任意角、象限角的概念进行判断，正确区分第一象限角、锐角和小于90°的角．(2)由正负角的概念可得角的大小．(1)②④(2)－25°395°[(1)①400°角是第一象限角，但不是锐角，故①不正确；②锐角是大于0°且小于90°的角，终边落在第一象限，故是第一象限角，②正确；③不正确，因为360°角的始边和终边也重合；④钝角是大于90°且小于180°的角，终边落在第二象限，故是第二象限角，④正确；⑤0°角是小于90°的角，但不是锐角，故⑤不正确；⑥－300°角是第一象限角，但－300°角是负角，故⑥不正确．(2)由角的定义可知，将35°角的终边按顺时针方向旋转60°所得的角度数为35°－60°＝－25°，将35°角的终边按逆时针方向旋转一周后的角度数为35°＋360°＝395°.]1．解决此类问题的关键在于正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概念，严格辨析它们之间的联系与区别．2．判断结论正确与否时，若结论正确，需要严格的推理论证，若要说明结论错误，只需举出反例即可．1．时钟走了3小时20分，则时针所转过的角的度数为________，分针转过的角的度数为________．－100° －1 200° [时针每小时转30°，分针每小时转360°，由于旋转方向均为顺时针方向，故转过的角度均为负值，又3小时20分等于313小时，故时针转过的角度为－313×30°＝－100°；分针转过的角度为－313×360°＝－1 200°.]终边相同的角与象限角【例2】已知α＝－1 910°.(1)把α写成β＋k ·360°(k ∈Z,0°≤β<360°)的形式，并指出它是第几象限的角；(2)求θ，使θ与α的终边相同，且－720°≤θ<0°.思路点拨：(1)把α写成β＋k ·360°(k ∈Z,0°≤β<360°)的形式后，判断β所在的象限即可．(2)将θ写成θ＝β＋k ·360°(k ∈Z,0°≤β<360°)的形式，用观察法验证k 的不同取值即可．[解] (1)法一：∵－1 910°＝－6×360°＋250°，∴－1 910°角与250°角终边相同，∴α＝－6×360°＋250°，它是第三象限的角．法二：设α＝β＋k ·360°(k ∈Z )，则β＝－1 910°－k ·360°(k ∈Z )．令－1 910°－k ·360°≥0，解得k ≤－1 910360＝－51136. k 的最大整数解为k ＝－6，相应的β＝250°，于是α＝250°－6×360°，它是第三象限的角．(2)由(1)知令θ＝250°＋k ·360°(k ∈Z )，取k ＝－1，－2就得到符合－720°≤θ<0°的角：250°－360°＝－110°，250°－720°＝－470°.故θ＝－110°或－470°.1．把任意角化为k·360°＋α(k∈Z且0°≤α＜360°)的形式，关键是确定k，可以用观察法(α的绝对值较小)，也可用除法．2．要求适合某种条件且与已知角终边相同的角时，其方法是先求出与已知角终边相同的角的一般形式，再依条件构建不等式求出k的值．3．终边相同的角常用的三个结论：(1)终边相同的角之间相差360°的整数倍．(2)终边在同一直线上的角之间相差180°的整数倍．(3)终边在相互垂直的两直线上的角之间相差90°的整数倍．提醒：k∈Z，即k为整数这一条件不可少．2．在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角．(1)－150°；(2)650°；(3)－950°15′.[解](1)因为－150°＝－360°＋210°，所以在0°～360°范围内，与－150°角终边相同的角是210°角，它是第三象限角．(2)因为650°＝360°＋290°，所以在0°～360°范围内，与650°角终边相同的角是290°角，它是第四象限角．(3)因为－950°15′＝－3×360°＋129°45′，所以在0°～360°范围内，与－950°15′角终边相同的角是129°45′角，它是第二象限角．区域角的表示[探究问题]1．第一象限内的角的集合能否用{α|0°＜α＜90°}表示？为什么？提示：不能，第一象限内的角未必是(0°，90°)的角，也可能是负角，也可能是大于360°的角，其表示为{α|k·360°＜α＜90°＋k·360°，k∈Z}．2．终边落在x轴上的角如何表示？提示：{α|α＝k·180°，k∈Z}．3．若角α，β满足β＝α＋k·180°，k∈Z，则角α，β的终边存在怎样的关系？提示：角α，β的终边落在同一条直线上．【例3】写出终边落在如图所示阴影部分的角的集合．思路点拨：法一：先写出与30°及105°终边相同角的集合，再写出其对称区域内角的集合，最后合并便可．法二：分别写出与30°及105°的终边在同一直线上的角的集合，合并求解便可．[解]法一：设终边落在阴影部分的角为α，角α的集合由两部分组成：①{α|k·360°＋30°≤α＜k·360°＋105°，k∈Z}．②{α|k·360°＋210°≤α＜k·360°＋285°，k∈Z}，∴角α的集合应当是集合①与②的并集：{α|k·360°＋30°≤α＜k·360°＋105°，k∈Z}∪{α|k·360°＋210°≤α＜k·360°＋285°，k∈Z}＝{α|2k·180°＋30°≤α＜2k·180°＋105°，k∈Z}∪{α|(2k＋1)180°＋30°≤α＜(2k＋1)180°＋105°，k∈Z}＝{α|2k·180°＋30°≤α＜2k·180°＋105°或(2k＋1)·180°＋30°≤α＜(2k＋1)·180°＋105°，k∈Z}＝{α|n·180°＋30°≤α＜n·180°＋105°，n∈Z}．法二：与30°角终边在同一条直线上的角的集合为{α|α＝k·180°＋30°，k∈Z}．与180°－75°＝105°角终边在同一条直线上的角的集合为{α|α＝k·180°＋105°，k∈Z}，结合图形可知，阴影部分的角的集合为{α|k·180°＋30°≤α＜k·180°＋105°，k∈Z}．解答此类题目应先在0°～360°上写出角的集合，再利用终边相同的角写出符合条件的所有角的集合，如果集合能化简的还要化成最简形式.提醒：求解这类问题要注意实线边界与虚线边界的差异.教师独具1．本节课的重点是象限角的判断、终边相同角及区域角的表示，难点是n α及αn所在象限的判定．2．本节课要重点掌握以下规律方法(1)求终边相同的角及区域角的表示．(2)象限角及n α、αn所在象限的判断． 3．本节课的易错点有以下几点(1)对于角的理解，要明确该角是按顺时针方向还是逆时针方向旋转形成的，按逆时针方向旋转形成的角为正角，按顺时针方向旋转形成的角为负角．(2)把任意角化为α＋k ·360°(k ∈Z ，且0°≤α＜360°)的形式，关键是确定k ，可以用观察法(α的绝对值较小)，也可以用除法．(3)已知角的终边范围，求角的集合时，先写出边界对应的角，再写出0°～360°内符合条件的角的范围，最后都加上k ·360°，得到所求．1．－210°角的终边所在象限为( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限B [－210°＝(－1)×360°＋150°，∵150°是第二象限角，∴－210°也是第二象限角．]2．已知－990°<α<－630°，且角α与120°角的终边相同，则α＝________. －960° [∵角α与120°角的终边相同，∴α＝k ·360°＋120°，k ∈Z .又∵－990°<α<－630°，∴－990°<k ·360°＋120°<－630°，k ∈Z ，即－1110°<k ·360°<－750°，k ∈Z ，∴k ＝－3.当k ＝－3时，α＝(－3)×360°＋120°＝－960°.]3．如图，射线OA 先绕端点O 逆时针方向旋转60°到OB 处，再按顺时针方向旋转820°至OC 处，则β＝________.－40° [∠AOC ＝60°＋(－820°)＝－760°，β＝－(760°－720°)＝－40°.]4．已知角β的终边在直线3x －y ＝0上．(1)写出角β的集合S ；(2)写出S 中适合不等式－360°≤β＜720°的元素．[解] (1)如图，直线3x －y ＝0过原点，倾斜角为60°，在0°～360°范围内，终边落在射线OA 上的角是60°，终边落在射线OB 上的角是240°，所以以射线OA ，OB 为终边的角的集合为：S 1＝{β|β＝k ·360°＋60°，k ∈Z }，S 2＝{β|β＝k ·360°＋240°，k ∈Z }，所以，角β的集合S ＝S 1∪S 2＝{β|β＝k ·360°＋60°，k ∈Z }∪{β|β＝60°＋180°＋k ·360°，k ∈Z }＝{β|β＝2k ·180°＋60°，k ∈Z }∪{β|β＝(2k ＋1)·180°＋60°，k ∈Z }＝{β|β＝n ·180°＋60°，n ∈Z }．(2)由于－360°≤β＜720°，即－360°≤60°＋n ·180°＜720°，n ∈Z ，解得－73≤n ＜113，n ∈Z ，所以n ＝－2，－1,0,1,2,3.所以S 中适合不等式－360°≤β＜720°的元素为：－2×180°＋60°＝－300°；－1×180°＋60°＝－120°；0×180°＋60°＝60°；1×180°＋60°＝240°；2×180°＋60°＝420°；3×180°＋60°＝600°.。

高一数学必修任意角和弧度制

高一数学必修4任意角和弧度制第一课时 1.1.1 任意角教学要求：理解任意大小地角正角、负角和零角,掌握终边相同地角、象限角、区间角、终边在坐标轴上地角.教学重点：理解概念,掌握终边相同角地表示法.教学难点：理解角地任意大小.教学过程：一、复习准备：1.提问：初中所学地角是如何定义？角地范围？（角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成地图形；0°～360°）2.讨论：实际生活中是否有些角度超出初中所学地范围？ → 说明研究推广角概念地必要性（钟表；体操,如转体720°；自行车车轮；螺丝扳手）二、讲授新课：1.教学角地概念：① 定义正角、负角、零角：按逆时针方向旋转所形成地角叫正角,按顺时针方向旋转所形成地角叫负角,未作任何旋转所形成地角叫零角.② 讨论：推广后角地大小情况怎样？（包括任意大小地正角、负角和零角） ③ 示意几个旋转例子,写出角地度数.④ 如何将角放入坐标系中？→定义第几象限地角.（概念：角地顶点与原点重合,角地始边与x 轴地非负半轴重合. 那么,角地终边（除端点外）在第几象限,我们就说这个角是第几象限角. ）⑤ 练习：试在坐标系中表示300°、390°、－330°角,并判别在第几象限？ ⑥ 讨论：角地终边在坐标轴上,属于哪一个象限？结论：如果角地终边在坐标轴上,就认为这个角不属于任何一个象限,称为非象限角. 口答：锐角是第几象限角?第一象限角一定是锐角吗?再分别就直角、钝角来回答这两个问题.⑦ 讨论：与60°终边相同地角有哪些？都可以用什么代数式表示？与α终边相同地角如何表示？⑧ 结论：与α角终边相同地角,都可用式子k ×360°＋α表示,k ∈Z ,写成集合呢？ ⑨ 讨论：给定顶点、终边、始边地角有多少个？注意：终边相同地角不一定相等；但相等地角,终边一定相同；终边相同地角有无数多个,它们相差360°地整数倍2.教学例题：① 出示例1：在0°～360°间,找出下列终边相同角：－150°、1040°、－940°. （讨论计算方法：除以360求正余数 →试练→订正）② 出示例2：写出与下列终边相同地角地集合,并写出－720°～360°间角. 120°、－270°、1020°（讨论计算方法：直接写,分析k 地取值 →试练→订正）③ 讨论：上面如何求k 地值？（解不等式法）④ 练习：写出终边在x 轴上地角地集合,y 轴上呢？坐标轴上呢？第一象限呢？ ⑤ 出示例3：写出终边直线在y =x 上地角地集合S , 并把S 中适合不等式360720α︒-≤<︒地元素β写出来. （师生共练→小结）3. 小结：角地推广；象限角地定义；终边相同角地表示；终边落在坐标轴时等；区间角表示.三、巩固练习：1. 写出终边在第一象限地角地集合？第二象限呢？第三象限呢？第四象限呢？直线y =-x 呢？2. 作业：书P6 练习 3 ③④、4、5题.第二课时：1.1.2 弧度制（一）教学要求：掌握弧度制地定义,学会弧度制与角度制互化,并进而建立角地集合与实数集R 一一对应关系地概念.教学重点：掌握换算.教学难点：理解弧度意义.教学过程：一、复习准备：1. 写出终边在x 轴上角地集合 .2. 写出终边在y 轴上角地集合 .3. 写出终边在第三象限角地集合 .4. 写出终边在第一、三象限角地集合 .5. 什么叫1°地角？计算扇形弧长地公式是怎样地？二、讲授新课：1. 教学弧度地意义：① 如图：∠AOB 所对弧长分别为L 、L ’,半径分别为r 、r ’,求证：l r ＝''l r . ② 讨论：l r 是否为定值？其值与什么有关系？→结论：l r ＝180n π=定值. ③ 讨论：l r 在什么情况下为值为1？l r是否可以作为角地度量？ ④ 定义：长度等于半径长地弧所对地圆心角叫1弧度地角. 用rad 表示,读作弧度. ⑤ 计算弧度：180°、360°→ 思考：－360°等于多少弧度？⑥ 探究：完成书P7 表1.1-1后,讨论：半径为r 地圆心角α所对弧长为l ,则α弧度数=？⑦ 规定：正角地弧度数是一个正数,负角地弧度数是一个负数,零角地弧度数是0. 半径为r 地圆心角α所对弧长为l ,则α弧度数地绝对值为|α|＝l r. 用弧度作单位来度量角地制度叫弧度制.⑧ 讨论：由弧度数地定义可以得到计算弧长地公式怎样？⑨ 讨论：1度等于多少弧度？1弧度等于多少度？→度表示与弧度表示有啥不同？－720°地圆心角、弧长、弧度如何看？2 .教学例题：①出示例1：角度与弧度互化：6730' ；35rad π.分析：如何依据换算公式？（抓住：180︒=π rad ） → 如何设计算法？→ 计算器操作：模式选择 MODE MODE 1(2)；输入数据；功能键SHIFT DRG 1(2)=② 练习：角度与弧度互化：0°；30°；45°；3π；2π；120°；135°；150°；54π ③ 讨论：引入弧度制地意义？（在角地集合与实数地集合之间建立一种一一对应地关系）④ 练习：用弧度制表示下列角地集合：终边在x 轴上；终边在y 轴上.3. 小结：弧度数定义；换算公式（180︒=π rad ）；弧度制与角度制互化.三、巩固练习：1. 教材P10 练习1、2题.2. 用弧度制表示下列角地集合：终边在直线y =x ；终边在第二象限；终边在第一象限.3. 作业：教材P11 5、7、8题.第三课时：1.1.2 弧度制（二）教学要求：更进一步理解弧度地意义,能熟练地进行弧度与角度地换算. 掌握弧长公式,能用弧度表示终边相同地角、象限角和终边在坐标轴上地角. 掌握并运用弧度制表示地弧长公式、扇形面积公式教学重点：掌握扇形弧长公式、面积公式.教学难点：理解弧度制表示.教学过程：一、复习准备：1. 提问：什么叫1弧度地角？1度等于多少弧度？1弧度等于多少度？扇形弧长公式？2. 弧度与角度互换：－43π、310π、－210°、75° 3. 口答下列特殊角地弧度数：0°、30°、45°、60°、90°、120°、135°、…二、讲授新课：1. 教学例题：① 出示例：用弧度制推导：S 扇＝12LR ；212S R α=扇. 分析：先求1弧度扇形地面积（12ππR 2）→再求弧长为L 、半径为R 地扇形面积？方法二：根据扇形弧长公式、面积公式,结合换算公式转换.② 练习：扇形半径为45,圆心角为120°,用弧度制求弧长、面积. ③ 出示例：计算sin 3π、tan1.5、cos 4π （口答方法→共练→小结：换算为角度；计算器求）② 练习：求6π、4π、3π地正弦、余弦、正切. 2. 练习：①. 用弧度制写出与下列终边相同地角,并求0～2π间地角.193π、－675° ② 用弧度制表示终边在x 轴上角地集合、终边在y 轴上角地集合？终边在第三象限角地集合？③ 讨论：α＝k ×360°＋3π与β＝2k π＋30°是否正确？ ④ α与－94π地终边相同,且－2π<α<2π,则α＝ . ⑤ 已知扇形AOB 地周长是6cm ,该扇形地中心角是1弧度,求该扇形地面积.解法：设扇形地半径为r ,弧长为l ,列方程组而求.3. 小结：扇形弧长公式、面积公式；弧度制地运用；计算器使用.三、巩固练习：1. 时间经过2小时30分,时针和分针各转了多少弧度？2. 一扇形地中心角是54°,它地半径为20cm ,求扇形地周长和面积.3. 已知角α和角β地差为10°,角α和角β地和是10弧度,则α、β地弧度数分别是 .4. 作业：教材P10 练习4、5、6题.。

必修四任意角和弧度制课时练习含答案

必修四§1.1任意角和弧度制第一课时：§1.1.1任意角1. 下列命题中正确的是( )A ．终边在y 轴非负半轴上的角是直角B ．第二象限角一定是钝角C ．第四象限角一定是负角 D.若β＝α＋ｋ·360°（ｋ∈Ｚ），则α与β终边相同2.将-885化为360k α+⋅ (0360α≤<k ,∈Z )的形式是 ( ) A.-165(2)360+-⨯ B.195(3)360+-⨯ C.195(2)360+-⨯ D.165(3)360+-⨯3．在［360°，1440°］中与－21°16′终边相同的角有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4．终边落在X 轴上的角的集合是（）A.{ α|α=k ·360°,K ∈Z }B.{ α|α=(2k+1)·180°,K ∈Z }C.{ α|α=k ·180°,K ∈Z }D.{ α|α=k ·180°+90°,K ∈Z }5．角α＝45°＋ｋ·180°，ｋ∈Ｚ的终边落在 ( )A ．第一或第三象限B ．第一或第二象限C ．第二或第四象限D ．第三或第四象限6.设,,,,那么( ) A ．B C A B ．B A C C ．D (A ∩C) D ．C ∩D=B7.下列各组角中终边相同的是( )A. +90与Z B.与ZC. +30与+30Z D.与+60Z 8.若角和的终边关于y 轴对称,则有 ( ) A. B.Z C.Z D.Zo {90A =小于的角｝{B =锐角｝{C ＝第一象限的角｝00{900}D =小于而不小于的角180k ⋅90k ⋅k ,∈(21)180k +⋅(41)180k ±⋅k ,∈180k ⋅360k ⋅k ,∈60k ⋅180k ⋅k ,∈αβ90αβ+=90αβ+=360k +⋅k ,∈360k αβ+=⋅k ,∈180αβ+=360k +⋅k ,∈9.若β是第四象限角,则180β-是第象限角。

高中数学必修四第1章三角函数课件 1.1.2 弧度制

高中数学必修四
第一章三角函数
1.1.2 弧度制
【教学目标】 1．了解角的另外一种度量方法——弧度制． 2．能进行弧度与角度的互化． 3．掌握弧度制中扇形的弧长公式和面积公式．【重难点】 1．对弧度制概念的理解．(难点) 2．弧度制与角度制的互化．(重点、易错点)
新知导学
1．度量角的单位制 (1)角度制用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制，规定 1 度的角等 1 于周角的 360 . (2)弧度制 ①弧度制的定义
[思路探索] 本题主要考查角度与弧度的换算，直接套用角度与弧度的换算公式，即度数×1π80＝弧度数，弧度数×1π80°＝度数．
解 (1)20°＝2108π0＝π9. (2)－15°＝－11850π＝－1π2. (3)71π2＝172×180°＝105°. (4)－115π＝－151×180°＝－396°.
Ⅱ
α2kπ＋π2<α<2kπ＋π，k∈Z

Ⅲ
α2kπ＋π<α<2kπ＋32π，k∈2π<α<2kπ＋2π，k∈Z

类型一角度制与弧度制的换算【例 1】将下列角度与弧度进行互化．
(1)20°；(2)－15°；(3)71π2；(4)－115π.
解 (1)－1 500°＝－1 500×1π80＝－253π＝－10π＋53π. ∵53π是第四象限角，∴－1 500°是第四角限角． (2)∵25π＝25×180°＝72°，∴终边与角25π相同的角为 θ＝72°＋ k·360°(k∈Z)，当 k＝0 时，θ＝72°；当 k＝1 时，θ＝432°， ∴在 0°～720°范围内，与25π角终边相同的角为 72°，432°. [规律方法] 用弧度制表示终边相同的角 2kπ＋α(k∈Z)时，其中 2kπ 是 π 的偶数倍，而不是整数倍，还要注意角度制与弧度制不能混用．

高中数学人教版必修4 1.1.2弧度制课件2

[解析] 设扇形的弧长为 l，则 l＝αR＝23π，
∴该扇形的面积 S＝12lR＝12×23π×1＝π3.
命题方向四：弧度制下终边相同的角的表示方法
将下列各角化成 2kπ＋α(0<α<2π，k∈Z)的形式，并指出角的终边所在的象限．
(1)247π；(2)396π.
[解析] (1)∵274π＝6π＋34π， ∴274π与34π终边相同．又∵34π是第二象限角，∴274π是第二象限角．
跟踪练习
把α＝1 690°写成β＋2kπ(k∈Z，β∈[0,2π))的形式．
[解析] 1 690°＝1π80×1 690＝8π＋2158π.
命题方向三：扇形面积公式的应用
一个半径大于 2 的扇形，其周长 c＝10，面积 S＝6，求这个扇形的半径 R 和圆心角 α 的弧度数.
[解析] 设扇形的半径为 R(R>2)，弧长为 l，由题意得
(2)396π＝6π＋36π＝6π＋π2，∴396π与π2的终边相同．又∵π2是象限界角，∴396π也是象限界角，它不属于任何象限．
[点评] 用弧度表示的与角α终边相同的角的一般形式为：β＝2kπ＋ α(k∈Z)．这些角所组成的集合为{β|β＝2kπ＋α，k∈Z}．
1°＝__1_8_0____rad≈0.01745rad，
1rad＝___1_π8_0__°_≈57.3°＝57°18′.
1
3．在弧度制下，弧长公式为l＝θr，扇形面积公式为S＝__2_lr_______.
预习效果展示
1.(2014·浙江临海市杜桥中学高一月考)下列转化结果错误的是( )
A．67°30′化成弧度是38πrad B．123π化成度是 600° C．150°化成弧度是56πrad D．1π2化成度是 15°

高中数学必修四 1.1.1任意角和弧度制

36
又k∈Z，故所求的最大负角为β=-50°. (2)由360°≤10 030°+k·360°<720°，得-9670°≤k·360°<-9310°，又k∈Z，解得k=-26. 故所求的角为β=670°.
【方法技巧】 1.在0°到360°范围内找与给定角终边相同的角的方法 (1)一般地，可以将所给的角α 化成k·360°+β 的形式(其中 0°≤β <360°，k∈Z)，其中的β 就是所求的角. (2)如果所给的角的绝对值不是很大，可以通过如下方法完成：当所给角是负角时，采用连续加360°的方式；当所给角是正角时，采用连续减360°的方式，直到所得结果达到要求为止.
4.将35°角的终边按顺时针方向旋转60°所得的角度数为_______，将35°角的终边按逆时针方向旋转两周后的角度数________. 【解析】将35°角的终边按顺时针方向旋转60°所得的角为35°60°=-25°，将35°角的终边按逆时针方向旋转两周后的角为 35°+2×360°=755°. 答案：-25° 755°
【解析】(1)错误.终边与始边重合的角是k·360°(k∈Z)，不一定是零角. (2)错误.如-10°与350°终边相同，但是不相等. (3)错误.如-330°角是第一象限角，但它是负角. (4)错误.终边在x轴上的角不属于任何象限. 答案：(1)× (2)× (3)× (4)×
2.下列各组角中，终边不相同的是( )
2.判断角的概念问题的关键与技巧 (1)关键：正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概念. (2)技巧：判断一种说法正确需要证明，而判断一种说法错误只要举出反例即可.
【变式训练】射线OA绕端点O顺时针旋转80°到OB位置，接着逆时针旋转250°到OC位置，然后再顺时针旋转270°到OD位置，则 ∠AOD=________.

苏教版高中数学必修4第1章三角函数任意角、弧度

正角
负角零角
按逆时针方向旋转形成的角
按顺时针方向旋转形成的角零角一条射线没有作任何旋转，称它形成了一个_____
知识点二
象限角
思考
把角的顶点放在平面直角坐标系的原点，角的始边与x轴的非
负半轴重合，旋转该角，则其终边 ( 除端点外 ) 可能落在什么
位置？答案终边可能落在坐标轴上或四个象限内.
D.{α|α＝k· 360°－263°，k∈Z}
解析－457°＝－2×360°＋263°，故选C.
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3
4
5
解析
答案
3.2 017°是第三象限角.
解析因为2 017°＝5×360°＋217°，故2 017°是第三象限角.
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3
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解析
答案
4.与－1 692°终边相同的最大负角是－252°.
跟踪训练 2
下列各角分别是第几象限角？请写出与下列各角终边相同
的角的集合S，并把S中适合不等式－360°≤β<720°的元素β写出来. (1)60°；解 60°角是第一象限角，所有与60°角终边相同的角的集合S＝{β|β＝
60°＋k· 360°，k∈Z}，
S中适合－360°≤β<720°的元素是60°＋(－1)×360°＝－300°，
当k＝4时，β＝4×360°－1 910°＝－470°；当k＝5时，β＝5×360°－1 910°＝－110°；当k＝6时，β＝6×360°－1 910°＝250°.
解答
命题角度2 求终边在给定直线上的角的集合
－ 3x 上的角的集合. 例4 写出终边在直线y＝
解
终边在 y＝－ 3x(x<0)上的角的集合是 S1＝{α|α＝120° ＋k· 360° ， k∈Z}；

高中数学必修四课件：《任意角的概念》课件

R
解得 R 2 L 4 故该扇形的圆心角的弧度数为
L 4 2 R 2
4、用弧度来度量角，实际上角的集合与实数集R之间建立一一对应的关系：
正角正实数对应角的弧度数
零角
负角
零
负实数
角的集合
实数集R
练习如图 ,已知角的终边区域 , 求出角的范围 .
y
0 (1) y
45
1770=305×360 (k=－5)
⑶ 结论：所有与终边相同的角连同在内可以构成一个集合：{β| β=α+k· 360º ， k∈Z} 即：任何一个与角终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和。
所有与终边相同的角连同在内可以构成一个集合： ⑷注意以下四点： {β| β=α+k·360º ， k∈Z} ① k∈Z，即：任何一个与角终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和。 K > 0，表示逆时针旋转， K < 0,表示顺时针旋转. ② 是任意角；
+K · 360° 90 ° y
180°+K·360° o
+ K · 360 ° 0 ° x 或360°+ K · 360°
270° +K·360°
• 第一象限的角表示为 {|k360<< 90 + k360,kZ}； • 第二象限的角表示为 {| 90 + k360<<180 +k360，kZ}； • 第三象限的角表示为 {| 180 + k360<< 270 + k360，kZ} • 第四象限的角表示为 {| 270 + k360<< 360 + k360，kZ}