全国所名校单元测试示范卷数学(一)集合与常用逻辑用语(理科)

年月全国所名校单元测试示范卷数学(一)集合与常用逻辑用语(理科)————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：2014年4月全国100所名校单元测试示范卷数学（一）集合与常用逻辑用语（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集U=R ，集合M={x|x 2-x=0}，N={x|x=2n+1，n ∈Z}，则集合M∩N 为（ ） A ．{0}B ．{1}C ．{0，1}D ．∅2．下列命题中的假命题是（ ） A ．存在x ∈R ，lg x =0 B ．存在x ∈R ，tan x =1 C ．任意x ∈R ，x 3+1＞0 D ．任意x ∈R ，2x ＞03．已知集合A={y ∈Z|y=log2x ，12＜x ≤8}，B={x|12x x +-≥0}，则A∩（∁RB ）等于（ ） A ．{0，1，2}B ．（-1，3]C ．{-1，0，1，2}D ．[-1，3）4．已知命题p ：存在x 0∈R ，x 02-x 0+1＜0；命题q ：“x ＞0，a=1”是“x +ax≥2”的充分不必要条件”．则下列命题正确的是（ ） A ．命题“p 或q”是假命题 B ．命题“（￢p ）且q”是真命题 C ．命题“p 或（￢q ）”是真命题D ．命题“（￢p ）且（￢q ）”是真命题5．满足M ⊆{1，2，3，4，5}，且M∩{1，2，3}={1，3}的集合M 的个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．46．已知函数y=1ln(1)x -的定义域为M ，集合{y|y=e|x|，x ∈R}（e 为自然对数的底数）的补集为N ，则下列说法正确的是（ ）A ．“x ∈N”是“x ∈M”的充分不必要条件B ．“x ∈N”是“x ∈M”的必要不充分条件C ．“x ∈N”是“x ∈M”的充要条件D ．“x ∈N”是“x ∈M”的既不充分也不必要条件7．已知全集U=R ，集合M={x |y ＝23x -}，N={y|y=2sin （2x +4π）-1，x ∈R}，且M 、N 都是全集U 的子集，则右图Venn 中阴影部分表示的集合为（ ） A ．[-3，-3） B ．（1，3 ] C ．[-3，- 3）∪（1，3] D ．[-3，-3]∪（1，3]8．给出以下四个命题： ①在△ABC 中，若sinA ＞22，则A ＞4π； ②若1≤x ＜2，则（x -1）（x -2）≤0； ③若x =y=0，则x 2+y 2=0；④若a•b=a•c （a≠0），则b=c ．则以下判断正确的为（ ） A ．①的逆否命题为真 B ．②的否命题为真 C ．③的否命题为假D ．④的逆命题为假9．已知f （x ）是定义在实数集R 上的增函数，且f （1）=0，函数g （x ）在（-∞，1]上为增函数，在[1，+∞）上为减函数，且g （2）=g （0）=0，则集合{x| ()()f xg x ≥0}等于（ ） A ．{x |x ＜0或1≤x ＜2} B ．{x |0＜x ＜2} C ．{x |x ≤2}D ．{x |0＜x ≤1或x ＞2}10．甲：函数f （x ）是奇函数；乙：函数f （x ）在定义域上是增函数．对于函数①f （x ）=tanx ，②f （x ）=－1x ，③f （x ）=x |x |，④f （x ）=21,021,0x x x x -⎧-⎪⎨-+<⎪⎩≥能使甲、乙均为真命题的所有函数的序号是（ ） A ．①②B ．②③C ．③④D ．②③④11．已知集合A={（x ，y ）| 10220x y x y +-⎧⎨--⎩≥≤}，B={（x ，y ）|a x -2y-2≤0}，若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[-1，2]B ．[-2，2]C ．（-1，2]D ．（-2，2）12．已知函数f （x ）= 21(0)441(0)x x xx x x ⎧+>⎪⎨⎪---⎩≤则方程f （x ）-a=0有四个实根的充要条件为（ ） A ．a ≥1 B ．a ≤3 C ．1≤a ≤3 D ．1＜a ＜3二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上.13．如果命题“￢p 或￢q”是真命题，且p 为真命题，则q 一定是 命题．（填“真”或“假”） 14．设集合P={a 1，a 2，a 3}，Q={b 1，b 2}，定义集合P ※Q={（a ，b ）|a ∈P ，b ∈Q}，则集合P ※Q 中的元素有 个．15．已知p ：-2≤x ≤10，q ：x 2-2x +1-a 2≥0（a ＞0），若非p 是q 的充分不必要条件，则a 的取值范围为 。

16．设非空集合S={x |m ≤x ≤l}，满足：当x ∈S 时，有x 2∈S ，给出如下四个命题： ①若m=1，则S={1}；②若l=1，则m 的取值集合为[-1，1]；③若m=－13，则l 的取值集合为[19，1]；④若l=14，则m 的取值集合为[-12，0]．其中所有真命题的序号为三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.17．已知集合A={x|（x-1）（x-2a-3）＜0}，函数y=lg 2(2)2x a a x-+- 的定义域为集合B ．（1）若a=1，求集合A∩∁RB（2）已知a ＞-1且“x ∈A”是“x ∈B”的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．18．已知a ∈R ，条件p ：函数y=x 2+（4a -3）x+14的图象与x 轴有两个不同的交点，条件q ：复数 1a i i++在复平面上对应的点在第一象限．如果p 或q 为真命题，p 且q 为假命题，求实数a 的范围．19．集合A={x |x 2-ax +a 2-13=0}，B={x |lg （x 2-5x +14）=1}，C={x |x 2+2x -3=0}，求当a 取什么实数时，A∩B=∅和A∩C≠∅同时成立．20．对于点集A={（x ，y ）|x =m ，y=a （x 2-x +1），m ∈N+}，B={（x ，y ）|x =n ，y=-2x 2+x +1，n ∈N+}，问是否存在非零整数a ，使A∩B≠∅，若存在，求出a 的值及A∩B ，若不存在，说明理由．21．已知椭圆方程22221x y a b+=（a ＞b ＞0），A （m ，0）为椭圆外一定点，过A 作直线l 交椭圆于P 、Q 两点，且有AP AQ λ=u u u v u u u v，Q 关于x 轴的对称点为B ，x 轴上一点C ，当l 变化时，证明：点C 在BP 上的充要条件是C 的坐标为（2a m，0）．22．已知集合A={a 1，a 2，…，a k （k ≥2）}，其中ai ∈Z （i=1，2，…，k ），由A 中的元素构成两个相应的集合：S={（a ，b ）|a ∈A ，b ∈A ，a+b ∈A}，T={（a ，b ）|a ∈A ，b ∈A ，a-b ∈A}．其中（a ，b ）是有序数对，集合S 和T 中的元素个数分别为m 和n ．若对于任意的a ∈A ，总有-a ∉A ，则称集合A 具有性质P ．（Ⅰ）检验集合{0，1，2，3}与{-1，2，3}是否具有性质P并对其中具有性质P的集合，写出相应的集合S和T；（Ⅱ）对任何具有性质P的集合A，证明：n≤(1)2k k；（Ⅲ）判断m和n的大小关系，并证明你的结论．2014年4月全国100所名校单元测试示范卷数学（一）集合与常用逻辑用语（理科）答案1、解：分析可得，M 为方程x 2-x=0的解集，则M={x|x 2-x=0}={0，1}， N={x|x=2n+1，n ∈Z}，是奇数的集合， 故集合M∩N={1}， 故选B ． 2、解：对于A ，当x=1时，lg x=0，正确；对于B ，当x=4π时，tan x=1，正确； 对于C ，当x ≤-1时，x 3+1≤0，错误； 对于D ，任意x ∈R ，2x ＞0，正确． 故选：C 3、解：对于A ，当x=1时，lg x=0，正确；对于B ，当x=4π时，tan x=1，正确； 对于C ，当x ≤-1时，x 3+1≤0，错误； 对于D ，任意x ∈R ，2x ＞0，正确． 故选：C 4、解：由题意可得A={y ∈Z|y=log 2x ，12＜x≤8}={y ∈Z|-1＜y≤3}={0，1，2，3}， B={x|12x x +-≥0}=（2，+∞）∪（-∞，-1]， ∴∁R B=（-1，2]，则A∩（∁R B ）={0，1，2}． 故选：A ．5、解：依题意集合M 可能为{1，3}，{1，3，4}，{1，3，5}，{1，3，4，5}． 故选：D6、解：依题意M={x|x ＜1且x≠0}，N={y|y ＜1}，M ⫋N ，所以只有B 选项正确． 故选：B 7、解：依题意M=[-3，3]，N=[-3，1]．阴影部分为（N∩∁U M ）∪（M∩∁U N ）=[-3，-3）∪（1，3]． 故选：C ． 8、解：在△ABC 中，0＜A ＜π，sinA ＞22，∴A ＞4π，逆否命题为真； 若x ≥2或x ＜1，则（x -1）（x -2）＞0为假命题； 若x ，y 不全为0，则x 2+y 2≠0为真命题；若b=c，则a•b=a•c为真命题．故选：A．9、解：由题意，结合函数性质可得x＞1，f（x）＞0，x＜1，f（x）＜0，x＜0或x＞2时g（x）＜0，0＜x＜2时g（x）＞0，故()()f xg x≥0的解集为{x|x＜0或1≤x＜2}．故选：A．10、解：函数①②是奇函数，但是在整个定义域上不是增函数，③f（x）=x|x|=22(0)(0)x xx x⎧⎪⎨-<⎪⎩≥是奇函数，又是增函数，④f（x）=21,021(0)xxxx-⎧-⎪⎨-+<⎪⎩≥满足f（-x）=-f（x），并且在定义域上为增函数．③④正确．故选：C11、解：如图集合A表示的区域为阴影部分，直线ax-2y-2=0恒过定点（0，-1），当该直线过点（1，0）时，a取最大值2，当与直线x+y-1=0平行时，a取最小值-2．故选：B12、解：当x＞0时，f（x）=x+14x≥214xx⋅=1，（当且仅当x=14x，即x=12时，等号成立）；当x≤0时，f（x）=-（x+2）2+3≤3；图象如右图所示，要使方程f（x）-a=0有四个实根，a需满足1＜a＜3．故选D．13、解：由题知￢p，￢q中至少一个为真命题；∵p为真命题，∴￢p为假命题；∴￢q为真命题；故q一定是假命题．故答案为：假．14、解：根据定义集合P※Q={（a1，b1），（a1，b2），（a2，b1），（a2，b2），（a3，b1），（a3，b2）}，有6个元素．故答案为：6．15、解：非p：x＞10或x＜-2，A={x|x＞10或x＜-2}，q：x2-2x+1-a2≥0，x≥1+a或x≤1-a，记B={x|x≥1+a或x≤1-a}，若非p是q的充分不必要条件，即A⊊B，即12110aaa--⎧⎪+⎨⎪>⎩≥≤∴0＜a≤3．故答案为：（0，3]．16、解：依题意，∵l2≤l，∴0≤l≤1，∵m≤m2，∴m≥1或m≤0，又∵m≤l，∴m=1或m≤0，所以①正确，②错误；当m=-13时，1≥l≥m2=（-13）2=19，③正确；当l=14时，m2≤l=14，∴－12≤m≤0，④正确．故答案为：①③④．17、解：（1）若a=1，则A={x|（x-1）（x-5）＜0}={x|1＜x＜5}，函数y=lg2(2)2x aa x-+-=lg32xx--，由32xx--＞0，解得2＜x＜3，即B=（2，3），则∁R B={x|x≤2或x≥3}，则A∩∁R B={x|1＜x≤2或3≤x＜5}，（2）方程（x-1）（x-2a-3）=0的根为x=1或x=2a+3，若a＞-1，则2a+3＞1，即A={x|（x-1）（x-2a-3）＜0}={x|1＜x＜2a+3}由g2(2)2x aa x-+-＞0得（x-2a）[x-（a2+2）]＜0，∵a2+2-2a=（a-1）2+1＞0，∴a2+2＞2a∴（x-2a）[x-（a2+2）]＜0的解为2a＜x＜a2+2，即B={x|2a＜x＜a2+2}若x ∈A”是“x ∈B”的必要不充分条件则B ⊊A ，即221223a a a ⎧⎨++⎩≥≤且等号不能同时取， 即21221a a a ⎧⎪⎨⎪--⎩≥≤0，则121212a a ⎧⎪⎨⎪-+⎩≥≤≤， 即12≤a ≤1+2． 18、解：p 或q 为真命题，说明p 和q 中至少一个为真命题；p 且q 为假命题，说明p 和q 中至少一个为假命题；∴p 和q 中有一个为假命题，另一个为真命题；复数11122a i a a i i ++-=++； ∴若p 为真命题，q 为假命题，则： （1）p 为真命题时：（4a-3）2-1＞0，解得a ＞1，或a ＜12； （2）q 为假命题时：12a +≤0，或12a -≤0，解得a ≤-1，或a ≥1； ∴a 的范围是：（-∞，-1]∪（1，+∞）．若p 为假命题，q 为真命题，则：（1）p 为假命题时：（4a-3）2-1≤0，解得12≤a ≤1； （2）q 为真命题时：102102a a +⎧>⎪⎪⎨-⎪>⎪⎩，解得-1＜a ＜1；∴a 的范围是：[12，1)． 综上得a 的范围是：{a |a ≤−1，或a ≥12且a ≠1}． 19、解：lg （x 2-5x+14）=1，由此得x 2-5x+14=10，∴B={1，4}．由x 2+2x-3=0，∴C={1，-3}，又A∩B=∅，∴1和4都不是关于x 的方程x 2-ax+a 2-13=0的解，而A∩C≠∅，∴-3是关于x 的方程x 2-ax+a 2-13=0的解，∴可得a=1或a=-4．当a=1时，得A={-3，4}，A∩B={4}，这与A∩B=∅不符合，故a=1（舍去）；当a=-4时，可以求得A={-3，-1}，符合A∩B=∅和A∩C≠∅同时成立，∴a=-4．20、解析：是否存在非零整数a 使A∩B≠⌀，取决于方程a （x 2-x+1）=-2x 2+x+1是否有正整数解，即关于（a+2）x 2-（a+1）x+a-1=0至少有一个正整数根.3分由△=（a+1）2-4（a+2）（a-1）≥0，解得1273--≤a ≤1273-+ 因为a 为非零整数，所以a 的可能取值为-2，-1，1.7分当a=-2时，解得x=3符合题意.8分当a=-1时，解得x=±2与x ∈N +不符，当a=1时，解得x 1=0，x 2=23这也与x ∈N +不符 综上可知，存在a=-2，使A∩B≠⌀，此时A∩B={（3，-14）}.21、证明：连接AB ，∵B 、Q 关于x 轴对称，∴AQ AB =u u u v u u u v ，又AP PC AB CB=u u u v u u u v u u u v u u u v =λ，依题意AP u u u v 与AQ uuu v 同向，PC uuu v 与CB u u u v 同向， ∴AP u u u v =λAQ uuu v ，PC uuu v =λCB u u u v ．设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），C （x 0，0），则B （x 2，-y 2），可得y 1=λy 2，x 1-m=λ（x 2-m ）①，x 0-x 1=λ（x 2-x 0）②，又2211221x y a b +=，2222221x y a b+=， ∴212212()()1x x x x aλλλ+-=-③，将①②代入③中得x0=2am，∴点C的坐标为（2am，0），由于上述解题过程可逆，∴C在BP上的充要条件是C的坐标为（2am，0）．22、（I）解：集合{0，1，2，3}不具有性质P．集合{-1，2，3}具有性质P，其相应的集合S和T是S=（-1，3），（3，-1），T=（2，-1），（2，3）．（II）证明：首先，由A中元素构成的有序数对（a i，a j）共有k2个．因为0∉A，所以（a i，a i）∉T（i=1，2，k）；又因为当a∈A时，-a∉A时，-a∉A，所以当（a i，a j）∈T时，（a j，a i）∉T（i，j=1，2，k）．从而，集合T中元素的个数最多为12(k2−k)＝(1)2k k-，即n≤(1)2k k-．（III）解：m=n，证明如下：（1）对于（a，b）∈S，根据定义，a∈A，b∈A，且a+b∈A，从而（a+b，b）∈T．如果（a，b）与（c，d）是S的不同元素，那么a=c与b=d中至少有一个不成立，从而a+b=c+d与b=d中也至少有一个不成立．故（a+b，b）与（c+d，d）也是T的不同元素．可见，S中元素的个数不多于T中元素的个数，即m≤n，（2）对于（a，b）∈T，根据定义，a∈A，b∈A，且a-b∈A，从而（a-b，b）∈S．如果（a，b）与（c，d）是T的不同元素，那么a=c与b=d中至少有一个不成立，从而a-b=c-d与b=d中也至少有一个不成立，故（a-b，b）与（c-d，d）也是S的不同元素．可见，T中元素的个数不多于S中元素的个数，即n≤m，由（1）（2）可知，m=n．。