高二月考试题(文理)及答案

2015-2016学年度高二第二学期第三次月考试卷数学（理科）卷一、单项选择（每题5分，共60分）1、设集合04x A xx ⎧⎫=≤⎨⎬-⎩⎭，{B x y ==，则A B 等于（ ）A 、[2,4]B 、[0,2]C 、[)2,4 D 、[0,8] 2、命题“∀x ∈R,022<+-x x ”的否定是（ ）A.R x ∈∀,022≥+-x xB.R x ∈∃,022≥+-x xC. R x ∈∃,022<+-x xD. R x ∈∀,022≥+-x x3. 某几何体的三视图如右图所示，则其体积为 ( ) A ．32π B. 3π C ．π D ．5π 4．下列函数中，既是偶函数又在区间(－∞，0)上单调递增的是( )A ．f(x)＝1x2 B ．f(x)＝x 2＋1 C ．f(x)＝x3 D ．f(x)＝2－x5、（理）已知函数()f x 的导函数为()f x '，且满足()2(1)ln f x xf x '=+，则(1)f '=（ ） A ．e - B ．1- C ．1 D ．e （文）使不等式230x x -<成立的必要不充分条件是（ ）A 、 03x <<B 、 04x <<C 、 02x <<D 、 0x <，或3x >6、等差数列{}n a 中，14739a a a ++=，36927a a a ++=，则数列{}n a 前9项和9S 等于（ ） A ．66 B ．99 C ．144 D ．2977、（理）某教师一天上3个班级的课，每班一节，如果一天共9节课，上午5节、下午4节，并且教师不能连上3节课(第5和第6节不算连上)，那么这位教师一天的课的所有排法有( ) A ．474种 B ．77种 C ．464种 D ．79种（文）函数)2()(||)(x x x g x x f -==和的递增区间依次是 （ ） A ．]1,(],0,(-∞-∞ B ．),1[],0,(+∞-∞C ．]1,(),,0[-∞+∞D ),1[),,0[+∞+∞8、（理）()13nx +（其中n N ∈且6a ≥）的展开式中5x 与6x 的系数相等，则n = （A ）6 (B)7 (C) 8 (D)9（文）设),()(+∞-∞是x f 上的奇函数，)5.7(,)(,10),()2(f x x f x x f x f 则时当=≤≤-=+= （A ）0.5 （B ）－0.5 （C ）1.5 （D ）－1.59．函数y ＝lg 1|x ＋1|的大致图像为( )10、某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k 的值是（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7 11、（理）由直线0,3,3==-=y x x ππ与曲线x y cos =所围成的封闭图形的面积为 ( )A.21B ．1 C.23 D.3（文）若集合2{|10}A x ax ax =-+<=∅，则实数a 的值的集合是（ ）（A ）{|04}a a << （B ）{|04}a a ≤< （C ）{|04}a a <≤ （D ）{|04}a a ≤≤ 12、（理）过抛物线)0(22>=p px y 的焦点F 且倾斜角为60的直线l 与抛物线在第一、四象限分别交于B A ,两点，则BFAF 的值等于（ ）A ．5B ．4C ．3D ．2（文）设c b a ,,均为正数，且a a 21log 2=，b b 21log 21=⎪⎭⎫ ⎝⎛，c c2log 21=⎪⎭⎫⎝⎛.则（ ）A.c b a <<B. a b c <<C. b a c <<D. c a b << 二、填空题（每题5分，共20分）13、（理）函数()cos f x x x =在点（,ππ -）处的切线方程是_______________（文）设曲线错误！未找到引用源。

在点（1，错误！未找到引用源。

）处的切线与直线错误！未找到引用源。

平行，则错误！未找到引用源。

14、（理）若sin )6(απ-＝35，则cos )3(απ+＝（文）将函数x y sin =的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，使纵坐标不变，然后再将图象沿x 轴向右平移π个单位，所得的图象对应的解析式是15、已知向量,a b满足()()26a b a b +⋅-=- ，且1,2a b == ，则a 与b 的夹角为 .16、在平面直角坐标系中，动点和点、满足，则动点的轨迹方程为__________________．三、解答题（第17题10分，其余各题12分）17、在△ABC 中，已知边10=c , 又知34cos cos ==a b B A ，求边a 、b 的长。

18、（理）在数列{}n a 和{}n b 中，已知)(log 32,41,41*4111N n a b a a a n n n n ∈=+==+. （Ⅰ）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（Ⅱ）设n n n b a c ⋅=，求数列{}n c 的前n 项和n S .（文）已知曲线C 的极坐标方程是θρsin 4=，直线l 的参数方程⎪⎩⎪⎨⎧=+-=ty t x 54253 （t为参数）（1）将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程； （2）设直线l 与x 轴的交点是M, N 是曲线C 上一动点，求MN 的最大值。

19、（理）如图，在三棱锥P ABC -中，底面ABC 边长为4的正三角形，PA PC ==，侧面PAC ⊥底面ABC ，M N 、分别为AB 、PB 的中点. （Ⅰ）求证：AC PB ⊥；（Ⅱ）求二面角N CM B --的余弦值.（理科） （文科） （文）如图，正三棱柱（底面为正三角形，侧棱垂直于底面）111ABC A B C -中，D 是BC 的中点， 11AA AB ==．（1） 求证：1A C∥平面1AB D；（2）求点C 到平面1AB D的距离．20．（本小题满分12分）ABCNMP交通指数是指交通拥堵指数的简称，是综合反映道路网畅通或拥堵的概念，记交通指数T. 其范围为[0，10],分别有五个级别：T [)0,2∈畅通；[)2,4T ∈基本畅通；[)4,6T ∈轻度拥堵；[)6,8T ∈中度拥堵；[]8,10T ∈严重拥堵.在晚高峰时段()2T ≥，从贵阳市交通指挥中心选取了市区20个交通路段，依据其交通指数数据绘制的频率分布直方图如图所示.（1）求出轻度拥堵、中度拥堵、严重拥堵的路段各有多少个？（2）用分层抽样的方法从轻度拥堵、中度拥堵、严重拥堵的路段中共抽出6个路段，求依次抽取的三个级别路段的个数；（3）从（2）中抽取的6个路段中任取2个，求至少一个路段为轻度拥堵的概率.21、已知函数2()ln 2f x mx x x =+-. (1)若4m =-,求函数()f x 的最大值.(2)若()f x 在定义域内为增函数,求实数m 的取值范围.22、在平面直角坐标系xOy 中，动点P 到两点(0,、的距离之和等于4．设点P 的轨迹为C ．(I)求曲线C 的方程；(II)设直线1y kx =+与C 交于A B 、两点，若OA OB ⊥，求k 的值.参考答案一、单项选择 二、填空题13、【答案】x y -=． 14、【答案】5315、【答案】3π16、【答案】三、解答题 17、【答案】：cosBcosAsin sin ,sin sin ==A B a b A B 所以原式化为由正弦定理得变形为sinAcosA=sinBcosB ∴sin2A=sin2B, 又∵a ≠b, ∴2A=π－2B, ∴A+B=2π. ∴△ABC 为直角三角形. 由a 2+b 2=102和43b a =，解得a=6, b=8。

18、【答案】（Ⅰ）∵411=+n n a a ∴数列｛n a ｝是首项为41，公比为41的等比数列， ∴)()41(*N n a n n ∈=∵2log 341-=n n a b∴ 232)41(log 341-=-=n b nn（Ⅱ）由（Ⅰ）知，n n a )41(=， 23-=n b n （n *N ∈）∴)(,)41()23(*N n n c n n ∈⨯-=.∴n n n n n S )41()23()41()53()41(7)41(4411132⨯-+⨯-+⋯+⨯+⨯+⨯=-， ①于是1432)41()23()41()53()41(7)41(4)41(141+⨯-+⨯-+⋯+⨯+⨯+⨯=n n n n n S ②①-②得 132)41()23(])41()41()41[(34143+⨯--+⋯+++=n n n n S=1)41()23(21+⨯+-n n ∴ )()41(381232*1N n n S n n ∈⨯+-=+（文）、（1）曲线C 的极坐标方程可化为θρρsin 42=又θρρsin ,222=+=y y x ，……2分所以曲线C 的直角坐标方程为()4222=-+y x ………………4分（2）将直线l 的参数方程化为直角坐标方程为()234--=x y ………………6分 令0=y 得2=x ，即点M 的坐标为（2,0）。

…………………7分又曲线C 为圆，圆心为（0,2）半径2=r 则22=MC ……………8分 所以222+=+≤r MC MN …………………10分 19、【答案】（Ⅰ）证明：取AC 的中点O ，连结OP ，OB∵PA=PC ，AB=CB ， ∴AC ⊥PO ，AC ⊥OB.又∵平面PAC ⊥平面ABC ，且AC 是平面PAC 与平面ABC 的交线， ∴PO ⊥平面ABC.如图所示建立空间直角坐标系O-xyz, 由已知得A (2,0,0)，B C (2,0,0)-，P ，M ，N∴(4,0,0)AC =- ，PB =-∴0AC PB ⋅= ∴ACPB ⊥所以AC ⊥PB（Ⅱ）解：CM = ，(MN =- ，设(,,)n x y z =为平面CMN 的一个法向量，则300CM n x MN n x ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，取1z =，得x y ==. ∴n =为平面CMN 的一个法向量.又∵OP =为平面ABC 的一个法向量，设二面角N-CM-B 的大小等于θ，由已知得二面角N-CM-B 是锐角，∴1cos 3n OP n OP θ⋅==.∴二面角N-CM-B 的余弦值等于13（文）试题解析：（1）证明：连接B A 1，设E AB B A =11 ，连接DE ．AB AA =1 ∴四边形11ABB A是正方形， ∴E 是B A 1的中点， 又D 是BC 的中点， C A DE 1//∴ ． ⊂DE 平面D AB 1，⊄C A 1平面D AB 1，//1C A ∴平面D AB 1．（219.解析：（1）由直方图得：这20个路段中，轻度拥堵的路段有（0.1+0.2）120=6⨯⨯个，中度拥堵的路段有()0.250.2120=9+⨯⨯个，严重拥堵的路段有()0.10.2120=3+⨯⨯个.----------4分 （2）由（1）知：拥堵路段共有6+9+3=18个，按分层抽样，从18个路段选出6个，依次抽取的三个级别路段的个数分别为6666=29=33=1181818⨯⨯⨯，，，即从交通指数在[)[)[]4,66,88,10，，的路段中分别抽取的个数为2,3,1.-------8分（3）记选出的2个轻度拥堵路段为1A ，2A ,选出的3个中度拥堵路段为123,,B B B ,选出的1个严重拥堵路段为1C ,则从这6个路段中选出2个路段的所有可能情况如下：()()()()12111213,,,,,,,,A A A B A B A B ()()()112122,,,,,,A C A B A B ()()2321,B ,,C A A , ()12,,B B ()()()()()1311232131,,,C ,,,,C ,,B B B B B B B C ，共15种情况.其中至少有一个轻度拥堵路段的情况有：()()()()12111213,,,,,,,,A A A B A B A B ()()()112122,,,,,,A C A B A B()()2321,B ,,C A A ，共9种.所以所选2个路段中至少一个轻度拥堵的概率是93155=. ----------12分21、【答案】易见2()l n 2f x mx x x =+-的定义域为4m =-.()f x .(1)当()f x 时,m,令()f x '=0,得14x =或12-(舍去).列表:x10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭14 1,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭()f x ' +0 - ()f x ↗最大值:32ln 24--↘ 故函数()f x 的最大值为32ln 24--.(2)令()0f x '>,即1220mx x +-≥,22210mx x x-+≥. ∵0x >,∴22210mx x -+≥.∵()f x 在定义域内为增函数,∴22210mx x -+≥在(0,)x ∈+∞恒成立.即2max112m x x ⎛⎫≥- ⎪⎝⎭.当(0,)x ∈+∞时,221111122x x x x⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭,当11x =时,取得2max 11122x x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭. 故12m ≥.22、【答案】解：（Ⅰ）设P （x ，y ）,由椭圆定义可知，点P 的轨迹C 是以为焦距，长半轴长为2的椭圆.它的短半轴1,b == 故曲线C 的方程为1422=+y x . （Ⅱ）设1122(,),(,)A x y B x y ，其坐标满足221,4 1.y x y kx ⎧⎪+=⎨⎪=+⎩， 消去y 并整理得22(4)2k x kx ++—3=0，(*) 2122223,44k x x x k k +=-=-++1故 x若,OA OB ⊥即12120.x x y y +=则22121222233210444k k x x y y k k k +=---+=+++ 化简得2410,k -+=所以1.2k =±满足(*)中0∆>，故12k =±为所求.。