第三章 运输问题_1
管理运筹学第3章-运输规划1
6
9 u2=-2
5
9
10
6
3
-11
-3
6
13 u3=6
v1=10
v2=6
v3=4
v4=0
c32 - z32= c32 – (u3+v2)= 9 – 6-6=-3
3.3 迭代规则 运算方法—闭回路调整法
调整的步骤如下： （1）先确定最小检验数：； （2）找出以空格为一个顶点，其余顶点全是数字
-----退化解出现
3.3 迭代规则 运算方法—闭回路调整法
1
2
3
4
6
7
1
14
5
5
3
5
u1=-4
7
8
4
2
7
2
8
13
6
9 u2=-2
5
9
10
6
3
-11
-3
6
13 u3=6
v1=10
v2=6
v3=4
v4=0
x31进基, min{x21,x33}=min{8,6}=6, x33离基
转轴运算,重新计算检验数,确定进基、离基变量
第三章 运输问题
运输问题及其数学模型 运输问题表上作业法
3.1 运输问题及其数学模型
一、一般运输问题
设某种货物有m个产地A1，A2，…,Am,产量分 别为a1,a2,…,am,有n个销地B1,B2,…,Bn,销量分 别为b1,b2,…,bn，而且从Ai到Bj的单位运价为 Cij。若产销平衡（ ai= bj），问如何制定调 运方案，可以使总运费最小？
v3=4
4 3
u1
7 u2=-2
6
13 u3=6
运筹学(第四版)：第3章 运输问题
x11 x12 x1n x21 x22 x2n xm1 xm2 xmn
u1 1 1 1
u2
um
1
1
1
1
1
1
m行
v1 1
1
1
v2 1
vn
1
1
1
1
1
n行
5
第1节 运输问题的数学模型
该系数矩阵中对应于变量xij的系数向量Pij，其分量中除第i个和 第m+j个为1以外，其余的都为零。即
21
2.2 最优解的判别
判别的方法是计算空格(非基变量)的检验数cij−CBB-1Pij， i,j∈N。因运输问题的目标函数是要求实现最小化，故当 所有的cij−CBB-1Pij≥0时，为最优解。下面介绍两种求空格 检验数的方法。 1.闭回路法； 2.位势法
22
2.2 最优解的判别
1.闭回路法
2.1 确定初始基可行解
第二步：从行或列差额中选出最大者，选择它所在行或列 中的最小元素。在表3-10中B2列是最大差额所在列。B2列 中最小元素为4，可确定A3的产品先供应B2的需要。得表311
销 地 B1 B2 B3 B4 产
加工厂
量
A1
7
A2
4
A3
6
9
销量 3 6 5 6
18
2.1 确定初始基可行解
销 地 B1 B2 B3 B4 产
加工厂
量
A1
A2
3
43 7
1
4
A3
6
39
销量
36 56
12
2.1 确定初始基可行解
用最小元素法给出的初始解是运输问题的基可行解，其理由为： (1) 用最小元素法给出的初始解，是从单位运价表中逐次地
第三章--运输问题
A1 A2 A3 销量
B1 B2 B3 B4 产量
3 11 3 10
7
1928
4
7 4 10 5
9
3
6
5
6
20
A1 A2 A3 A1 0 1 3 A2 1 0 M A3 3 M 0
B1
B2
B3
B4
B1
0142
B2
1021
B3
4203
B4
2130
A1 A2 A3 T1 T2 T3 T4 B1 B2 B3 B4 T1 2 3 1 0 1 3 2 2 8 4 6 T2 1 5 M 1 0 1 1 4 5 2 7 T3 4 M 2 3 1 0 2 1 8 2 4 T4 3 2 3 2 1 2 0 1 M 2 6
A1 A2 A3 T1 T2 T3 T4 B1 B2 B3 B4 产量 A1 0 1 3 2 1 4 3 3 1 3 10 27
1
A2 1 0 M 3 5 M 2 1 9 2 8 24 A3 3 M 0 1 M 2 3 7 4 10 5 29 T1 2 3 1 0 1 3 2 2 8 4 6 20 T2 1 5 M 1 0 1 1 4 5 2 7 20 T3 4 M 2 3 1 0 2 1 8 2 4 20 T4 3 2 3 2 1 2 0 1 M 2 6 20 B1 3 1 7 2 4 1 1 0 1 4 2 20 B2 11 9 4 8 5 8 M 1 0 2 1 20 B3 3 2 10 4 2 2 2 4 2 0 3 20 B4 10 8 5 6 7 4 6 2 1 3 0 20 销量 20 20 20 20 20 20 20 23 2 25 26
– 产地和销地之间虽有直达路线，但直达运输的费用或 运输距离分别比经过某些中转站还要高或远。
广工管理运筹学第三章运输问题
闭合回路法的优点是能够找到全局最 优解，适用于大型复杂运输问题。但 该方法的计算复杂度较高，需要较长 的计算时间。
商位法
01
商位法是一种基于商位划分的优化算法，用于解决运输问题。该方法通过将供 应点和需求点划分为不同的商位，并最小化总运输成本。
02
商位法的计算步骤包括：根据地理位置和货物需求量，将供应点和需求点划分 为不同的商位；根据商位的地理位置和货物需求量，计算总运输成本；通过比 较不同商位的总运输成本，确定最优的配送路线。
80%
线性规划法
通过建立线性规划模型，利用数 学软件求解最优解，得到最小化 总成本的运输方案。
100%
启发式算法
采用启发式规则逐步逼近最优解 ，常用的算法包括节约算法、扫 描算法等。
80%
遗传算法
基于生物进化原理的优化算法， 通过模拟自然选择和遗传机制来 寻找最优解。
02
运输问题的数学模型
变量与参数
约束条件
供需平衡
每个供应点的供应量等于对应 需求点的需求量，这是运输问 题的基本约束条件。
非负约束
运输量不能为负数，即每个供 应点对每个需求点的运输量都 应大于等于零。
其他约束条件
根据实际情况，可能还有其他 约束条件，如运输能力的限制 、运输路线的限制等。
03
运输问题的求解算法
表上作业法
总结词
直到达到最优解。这两种方法都可以通过构建线性规划模型来求解最优解。
04
运输问题的优化策略
节约法
节约法是一种基于节约里程的优化算法，用于解决 运输问题。该方法通过比较不同配送路线的距离和 货物需求量，以最小化总运输距离为目标，确定最 优的配送路线。
节约法的计算步骤包括：计算各供应点到需求点的 距离，找出最短路径；根据最短路径和货物需求量 ，计算节约里程；按照节约里程排序，确定最优配 送路线。
运筹学第三章 运输问题
销地 产地 A1
A2
B1
B2
B3
B4
产量
6
5 3
3 1
4
4
2
A3
销量 2
4 7
1 3
4
4 6
3
7 5
3
5
6
8
4 3 13
σ11=-3, σ12=-2,σ23=-4, σ31=-1,σ33=1, σ34=-1
销地 产地 A1
A2
B1
B2
B3
B4
产量
6
5 0
3 4
4
4
2
A3
销量 2
4 7
4
4 6
3
4 3
5
3
4
3
4 7
1
5
4 6
A3 销量 2
7
0
4
6
3
5
3
4
8
3 13
x11检验数为 6-4+8-6+4-4=4
销地 产地 A1
A2
B1
B2
B3
B4
产量
6 4 2 4
5
3
4
3
4 7
1
5
4 6
A3 销量 2
7
0
4
6
3
5
3
4
8
3 13
x12检验数为 5-4+8-6=3
销地 产地 A1
A2
B1
B2
B3
B4
产量
2、位势法 当运输问题变量的格数较多时，用闭 回路法计算检验数比较麻烦，而位势法比 较简便。 对于运输问题 minf=CX AX=b X≥0 设B为其一个可行基，则xij的检验数为 σ ij=CBB-1Pij-Cij
运输问题——精选推荐
运输问题第三章运输问题⼀、选择1. 运输问题在⽤表上作业法计算的时候，⽤闭回路法进⾏调整检验时，通过任⼀空格可以找到（）闭回路A、惟⼀B、多个C、零个D 不能确定2. 在产销不平衡的运输问题中，如果产⼤于销，我们（B ）把他变成⼀个产销平衡的运输问题A 假想⼀个产地B 假想⼀个销地C 去掉⼀个产地D 没有办法3.最⼩元素法的基本思想就是（D）。
A依次供应B全⾯供应C 选择供应D就近供应4.运输问题中在闭回路调整中，使⽅案中有数字的格为（C ）。
A mB nC m+nD m+n-15. 在表上作业法中，调运⽅案中有数字的格为（C ）A m+nB m-nC m+n-1D m*n6.运输问题的数学模型中，包含有（D）变量。
A m+nB m-nC m+n-1D m*n7. 运输问题的数学模型中，包含有（A）个约束条件。
A m+nB m-nC m+n-1D m*n8. 运输问题的数学模型中,系数矩阵中线性独⽴的列向量的最⼤个数为（C ）A m+nB m-nC m+n-1D m*n9. 运输问题的解中的基变量数⼀般为（C ）A m+nB m-nC m+n-1D m*n10.运输问题中，在检验数表上所有检验数都（C ），此时运输表中给出的⽅案就是最优⽅案。
A⼤于零B等于零C⼤于等于零D⼩于零11.在产销不平衡的运输问题中，如果销⼤于产时，可以在产销平衡表上（A），把他变成⼀个产销平衡的运输问题A 假想⼀个产地B 假想⼀个销地C 去掉⼀个产地D 没有办法12. 运输问题数学模型的特点之⼀是（）A ⼀定有最优解B 不⼀定有最优解C ⼀定有基可⾏解D 不⼀定有基可⾏解13.运输问题的数学模型的约束条件的系数矩阵的元素由（）组成。
A 0B1C0,1D 不确定14.⼆、填空1. 求解不平衡的运输问题的基本思想是(设⽴虚供地或虚需求点，化为供求平衡的标准形式) 。
2.运输问题中求初始基本可⾏解的⽅法通常有 (最⼩元素法 )、 (伏格尔法 ) 两种⽅法。
运筹学第三章TP
收点 B1 发点 A1 6 A2 42 A3 7 收量 2
kj 2
B2 B3 B4 发量 hi
5 33 4 4 11 4 7 5 6 11 6 58 32 4 3 4 13 1 21
Operations Research
收 点 B1 B2 B3 B4 发 量 hi 发点 A 1 6 5 3 3 4 4 11 A 2 4 2 4 7 5 6 11 A 3 7 63 5 8 3 2 收 量 2 4 3 4 13
收 点 B1 B2 B3 B4 发 量 发点
A1 6 2 5
34
4
A2 4
4
75
6
A3 7
6
58
3
收 量 2 4 3 4 13
Operations Research
（2）向a1，b1较大方向移动一格（或向 右，或向下）此时向右移动一格（A1，B2） B2需要4吨，而A1只有2吨，A1已发完，划 去A1行，并把b2改成（4-2）=2。
A 2 42 41 7 53 6
A 3 7 63 5 8 3 收 量 2 4 3 4 13
kj
Operations Research
西北角法得到初始方案：x11=2，x12=2， x22=2，x23=3，x24=1，x34=3，总运费 =6*2+5*2+4*2+7*3+5*1+8*3=80（元）
最小元素法得到初始方案：x13=3，x14=1， x21=2，x22=4，x34=3，总运费 =3*3+4*1+4*2+4*4+8*3=61（元）
Operations Research
运输问题的图表形式
Ai Bj
运筹学 第三章 运输问题
这样可以保证填过数或零的格为m+n-1个，即保证基变量的个数为 m+n-1个。
2021/3/14
14
2.Vogel法
Vogel法的思想是:一地的产品如果不能按照最小运
费就近供应，就考虑次小运费，这就有差额，差额越大， 说明不能按最小运费调运时，运费增加得越多。因而差 额越大处，就应当采用最小运费调运。
同理可以求得 v4=10，u2= -1，等等见上表。
检验数的求法，即用公式 ijciju，i vj
如 1 1 c 1 1 u 1 v 1 3 0 2 1 。
2021/3/14
23
位势法计算检验数：
检验数： ijcijCBB1Pij
cijYiP jcij(u1,..u.m , ,v1,.v.n.)Pij
3
B4
ui
3 10
0
-1 8
-1
35
-5
10
B1
3
31
7
2
B2
11 9
64
9
B3
4(+1) 3 1 (-1) 2
10
3
B4
ui
3(-1) 10
0
+1 8
-1
35
-5
10
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26
调整运量后的新方案：
销地
产地
B1
A1
A2
3
A3
B2
B3
5
6
销量
3
6
5
B4
产量
2
7
1
4
3
9
第三章运输问题习题及答案(2012春)
运输问题习题1．甲、乙、丙三个城市每年分别需要煤炭320、250、350吨，由A 、B 两处煤矿负责供应。
已知煤炭年供应量为A ——400万吨，B ——450万吨。
由煤矿至各城市的单位运价(万元/万吨)。
见表1：由于需大于供，经研究平衡决定，甲城市供应量可减少0~30万吨，乙城市需要量应全部满足，丙城市供应量不少于270万吨。
试求将供应量分配完又使总运费为最低的调运方案。
2．已知运输问题的产销平衡表、单位运价表及最优调运方案分别见表2和表3。
（1） 从A 2→B2的单位运价C 22在什么范围内变化时，上述最优调运方案不变？提示: 只需检验数220σ≥（2） A 2→B4的单位运价C 24变为何值时，有无穷多最优调运方案。
提示: 检验数242424()c u v σ=-+=03．试分析分别发生下列情况时,运输问题的最优调运方案及总运价有何变化.(a) 单位运价表第i 行的每个ij c 都加上一个常数λ;对于任意基变量的检验数，在没加常数λ以前，有 ij ij i j c u v σ=--加常数后令**,i i j j u u v v λ==+，那么基变量的检验数等于***()()ij ij i j ij i j ij c u v c u v σλσ=+-+=--=也就是检验数没有变化，因而最优调运方案没有变化 (b) 单位运价表第j 列的每个ij c 都加上一个常数λ; 对于第j 列基变量的检验数，在没加常数λ以前，有 ij ij i j c u v σ=--加常数后令**,i i j j u u v v λ==+，那么基变量的检验数等于***()()ij ij i j ij i j ij c u v c u v σλσ=+-+=--=又由于其它列的位势不改变，因而检验数也不改变 也就是检验数没有变化，因而最优调运方案没有变化 (c) 单位运价表所有ij c 都乘上一个常数λ。
对于第j 列基变量的检验数，在没加常数λ以前，有 ij ij i j c u v σ=--加常数后令**,i i j j u u v v λλ==，那么基变量的检验数等于***()()()ij ij i j ij i j ij c u v c u v σλλλσ=-+=--= 因此，当0λ≥时检验数的符号没有改变，因而最优调运方案没有变化；而0λ<时检验数的符号改变，因而最优调运方案变化。
运筹学习题解答(chap3 运输问题)
第三章运输问题一、建立下列问题的数学模型1、P119, 3.6某厂按照合同规定须于当年每季度末分别提供10，15，25，20台同一规格的柴油机。
已知该厂各季度的生产能力及生产每台柴油机的成本如表所示。
又如果生产出来的柴油机当季不交货，每台每积压一个季度，存储维护费用0.15万元。
要求在完成合同的情况下，使得全年生产（存储）费用最小的决策。
将此问题归结为运输问题，试建立该问题的产销平衡及单位运价表。
解：以四个季度为产地和销地，建立产销平衡运输表如下：2、P119, 3.7上题中若允许某些季度末交货时发生短缺，但全部合同必须于Ⅳ季度末完成。
又缺货时，每台每晚交一个季度，罚款0.1万元。
为使总的生产、存储和缺货罚款损失费用最小，重新列出用运输问题求解时的产销平衡和单位运价表。
解：以四个季度为产地和销地，建立产销平衡运输表如下：3、P119, 3.8某造船厂在某年算起的连续三年的年末各提供三条规格相同的货轮，已知该厂今后三年的的生产能力及生产成本如下表所示。
已知加班生产时每条货轮成本比正常生产时高70万元，又知造出的货轮如当年不交货，每条每积压一年增加维护费用40万元。
在签订合同时，已有以前积压的两条，该厂希望在第三年末交货后多留一条备用。
问该厂应如何安排生产计划，满足上述要求，并使得总费用最小。
请列出产销平衡表和单位运价表。
解4、P120, 3.9为确保飞行的安全，飞机上的发动机每半年必须强迫更换进行大修。
某维修厂估计某种型号的战斗机从下一个半年起的今后三年内每半年需更换的发动机数量分别为：100,70,80,120,150,140（台）。
更换发动机时，可以换上新的，也可以用经过大修的旧的发动机。
已知每台新发动机的购置费是10万元，而旧发动机的维修方式有两种：快修，每台2万元，半年交货（本期拆下，下期即可用上，半年为一期）；慢修，每台1万元，一年才能交货（本期拆下，下下期可用上）。
该厂新接手该项发动机的更换维修任务，又知三年后这种战斗机将退役，退役后这种发动机将报废。
运筹学 第三章 运输问题
mn
Min Z = cij xij i1 j1 m xij =ai （i=1, ..., m）产量约束 i 1 n xij =bj（j=1, ..., n）销量约束 j1
xij ≥ 0（i=1, ..., m；j=1, ..., n）
15
2. 伏格尔法（Vogel）
例5
销地 产地
A1
B1 3
②
B2
B3
11
3
⑤
B4
ai
10 7 0 0 0 0
1
A2
①
9
2③ 8 4 1 1 1 1
A3
7
4
⑥
10
③
5 9 12 - -
bj
3
6
5
6 20
2513
2 - 13
2 - 12
2-1-
Z＝2×3 ＋1×1＋6×4＋5×3＋3×8＋3×5＝85 16
0
2.决策变量xij的系数列向量为:
1
i位 置
aij
1
m
j位 置
3. 线性无关的行数为m+n-1.
0
5
四、闭回路
1. 概念
例3
销地 产地
A1
A2
A3 bj
B1
B2
B3
B4
ai
3
11 ④
3 ③
10 7
1 ③
9
2
①
84
7
4
⑥
10 ③
59
3
6
5
6 20
1) 数字格 2) 空格
第三章运输问题
5
设 xij 为 从 产 地 Ai 运 往 销 地 Bj 的 物 资 数 量 （i=1，…m；j=1，…n），由于从Ai运出的物资 总量应等于Ai的产量ai，因此xij应满足：
x
j 1
n
ij
ai
i 1,2, , m
6
运到Bj的物资总量应该等于Bj的销量bj，所以xij还 应满足：
m
第三章 运输问题
本章包含三部分的内容 运输问题及其数学模型 运输问题的表上作业法 运输问题的进一步研究
1
§1 运输问题及其数学模型
日常生活中，人们经常需要将某些物品由一个空间 位置移动到另一个空间位置，这就产生了运输，如 何判定科学的运输方案，使运输所需的总费用最少， 就是运输问题的模型需要解决的问题。
25
调 运
销地 量 B1
B2 90 150
X12
B3 70 100
X13
产量 200 250
产地
50
A1
X11
A2
销 量
50 80 X21
65
X22
200 75
X23
100
150
200
450
26
注：
能够作为表上作业法的基可行解的必要条件是
1. 基变量的个数为m+n-1个； 2. 在基可行解中不存在以非零元素为顶点的闭回 路。
5. 所有约束条件都是等式约束；
6. 各产地产量之和等于各销地销量之足所有约束条件
2. 基变量对应的约束方程组的系数列向量线性 无关。
3. 解中非零变量的个数≤m+n-1个 4. 为使迭代顺利进行，基变量的个数在进行迭 代过程中保持为m+n-1个 5. 将基可行解中基变量的值填入运输表中，非 基变量对应的格不填入数字，称为空格。
运筹学(胡运权第三版)第三章 运输问题
§1 运 输 问 题 及 其 数 学 模 型
二、运输问题数学模型的特点：
1. 运输问题一定有最优解；基变量的个数 =m+n-1
2. 运输问题约束条件的系数矩阵：
x11 x12
1 1 1
…
x1m x21 x22
1 1 1
…
x2m
1
… xm1
1
解 的 最 优 性 检 验
1.闭回路法 闭回路：从空格出发，遇到数 字格可以旋转90度，最后回到空 格所构成的回路； 原理：利用检验数的经济含义； 检验数：非基变量增加一个单 位引起的成本变化量。 当所有非基变量的检验数均大 于或等于零时，现行的调运方案 就是最优方案，因为此时对现行 方案作任何调整都将导致总的运 输费用增加。 闭回路法的主要缺点是：当变 量个数较多时，寻找闭回路以及 计算两方面都会产生困难。
B4
11
-1
产量
16
10 22 48
ui
A1 A2
A3 销量 vj
2
10
1 10
9 6
1 0
-4
8 14
5 12
8
14
2
检验数σ
9
3
10
13=8-（-4）-2=10；
2.对偶变量法（位势法）
解 的 最 优 性 检 验
m in Z = c 1 1 x 1 1 + c 1 2 x 1 2 + ... + c 1 n x 1 n + ... + c m 1 x m 1 + c m 2 x m 2 + ... + c m n x m n
运输问题模型与性质
相同, j1 , j2 ,, js 互不相同。
例3-1 设m=3，n=4，决策变量xij表示从产地 Ai到销地Bj的调运量，列表如下，给出闭回路
{x11, x13 , x33 , x34 , x24 , x21} 在表中的表示法——
用折线连接起来的顶点变量。
三、运输问题的求解方法
1、单纯形法（为什么？） 2、表上作业法
由于问题的特殊形式而采用 的更简洁、更方便的方法
ai bj
i1
j 1
产销平衡条件
二、运输问题的特点与性质
1．约束方程组的系数矩阵具有特殊的结构
写出式（3-1）的系数矩阵A，形式如下：
x11, x12 ,, x1n ; x21, x22 ,x2n ,,,,, xm1 , xm2 ,xmn
1 1 1
111
m行
1
1
1
1
1
1
n行 1
A 的秩小于m+n； ？
由 A 的第二至m+n行和前n列及 x21, x31,, xm1
对应的列交叉处元素构成m+n-1阶方阵D 非奇 异； ？
因此 A 的秩恰好等于m+n-1，又D本身就含于 A中，故A的秩也等于m+n-1
x11, x12 ,, x1n ; x21, x22 ,x2n ,,,,, xm1, xm2 ,xmn
关系：
Pi1 j1 Pi1 j2 Pi2 j2 Pi2 j3 Pis js Pis j1 0
注意：列向量Pij =(0,…,0,1,0,…,0,1,0,…0)T中两 个元素1分别处于第i行和第m+j行，直接计算 即可得到结果。
第三章运输问题
第三章运输问题第三章运输问题本章内容重点：●运输问题与有关概念●运输问题的求解—表上作业法●运输问题应⽤—建模第⼀节运输问题模型及有关概念问题的提出：⼀般的运输问题就是要解决把某种产品从若⼲个产地调运到若⼲个销地，在每个产地的供应量与每个销地的需求量已知，并知道各地之间的运输单价的前提下，如何确定⼀个使得总的运输费⽤最⼩的⽅案。
例4.1:某公司从两个产地A1、A2将物品运往三个销地B1、B2、B3，各产地的产量、各销地的销量和各产地运往各销地每件物品的运费如下表所⽰，问：应如何调运可使总运输费⽤最⼩？解：产销平衡问题：总产量 = 总销量设 xij 为从产地Ai运往销地Bj的运输量，得到下列运输量表：Min f = 6x11+4x12+6x13+6x21+5x22+5x23s.t. x11+ x12 + x13 = 200x21 + x22+ x23 = 300x11 + x21 = 150x12 + x22 = 150x13 + x23 = 200xij≥0(i=1,2；j=1,2,3）系数矩阵1 1 1 0 0 00 0 0 1 1 11 0 0 1 0 00 1 0 0 1 00 0 1 0 0 1模型系数矩阵特征1.共有m+n⾏，分别表⽰各产地和销地；m n列，分别表⽰各决策变量；2.每列只有两个 1，其余为 0，分别表⽰只有⼀个产地和⼀个销地被使⽤。
⼀般运输问题的线性规划模型及求解思路：⼀般运输问题的提法：假设 A1, A2,…,Am表⽰某物资的m个产地；B1,B2,…,Bn表⽰某物资的n个销地；si 表⽰产地 Ai的产量；dj表⽰销地 Bj的销量；cij表⽰把物资从产地 Ai运往销地 Bj的单位运价（表4-3）。
如果s1 + s2+ … + sm= d1+ d2+ … + dn则称该运输问题为产销平衡问题；否则，称产销不平衡。
⾸先讨论产销平衡问题。
表4-3 运输问题数据表设xij为从产地Ai运往销地Bj的运输量，根据这个运输问题的要求，可以建⽴运输变量表（表4-4）。
运筹学 第三章 运输问题
1）闭环回路法： 在给出的初始调运方案表上，从每一空格 出发找一条闭环回路，它是以某空格为起点 ，用水平或垂直线向前划，每碰到一数字格 转90°后（回路的转角点必须是一个基变量 ） ，继续前进，直到回到起始空格为止。 从每一空格出发一定存在且只有唯一的闭 环回路。 从空格开始加减闭环各个顶点的运输单价 ，可得每个空格对应的检验数。
《运筹学》
第三章 运输问题
Slide 16
销地
B1
产地
A1
A2
3
A3
销量 3
B2 B3
4 1 6
65
B4 产量
37
4
39
6
销地
产地
B1 B2 B3 B4
A1
3 11 3 10
A2
19 2 8
A3
7 4 10 5
空格 (11) (12) (22) (24) (31) (33)
闭环回路 (11)－(21)－(23)－(13)－(11) (12)－(32)－(34)－(14)－(12) (22)－(32)－(34)－(14)－(13) －(23)－(22) (24)－(14)－(13)－(23)－(24) (31)－(34)－(14)－(13)－(23) －(21)－(31) (33)－(34)－(14)－(13)－(33)
基变量：
X13 U1+V3=C13=3
X14 U1+V4=C14=10
X21 U2+V1=C21=1
1
3 10 U1=0
2
U2=-1
X23 U2+V3=C23=2
4
最新运筹学(胡运权版)第三章运输问题课后习题答案
P66: 8•某部门有3个生产同类产品的工厂（产地），生产的产品由4个销售点出售，各工厂A i, A，A3的生产量、各销售点B i，B2, B3, B4的销售量（假定单位为t）以及各工厂到销售点的单位运价（元/t）示于下表中，问如何调运才能使总运费最小？3 4min z 八'、• q 乂耳=4x11 12x12 4x13 11x142x21i 4 j 410x223X239X24 8x31 5x32 1 1x33 6X34% +X12 +X13 + X14 =16X21+X22 + X23 + X24 =10X31 +X32 +X33 + X34 =22X11 +X21 +X31 =8X12+X22 + X32 =14X13 + X23 + X33 =12X14 + X24 + X34 =14Xij X0, i=1. 2,3; j =1,2,3,4X11 X I2 X13 X14 X21 X22 X23 X24 X31 X32 X33 X34(1 11 1 11 11 1 1 11 11 1 1 11 1 11 11 1 1I 11 1 1I 1 1 1丿7旳2可以证明约束矩阵的秩为r (A)= :6. 从而基变量的个数为 6.二、给出运输问题的初始可行解（初始调运方案）1.最小元素法思想：优先满足运价（或运距）最小的供销业务。
X 13 =10, X 14 =6,X 21 =8, X 23 = 2, X 32 = 14, X 34 = 8,③④⑤②其余（非基）变量全等于零。
此解满足所有约束条件，且基变量（非零变量）的个数为6 （等于m+n-仁3+4-仁6）.总运费为（目标函数值）3 4z -二C j X ji j=1=10 4 6 11 8 2 2 3 14 5 8 6 = 2462.伏格尔（Vogel）法伏格尔法的基本思想：运输表中各行各列的最小运价与次小运价之差值（罚数）应尽可能地小。
《运筹学》第三章运输问题
Vogel近似法
考虑运输成本差异， 进行逼近最优解。
运输问题的扩展和变体
1
生产产能约束
考虑生产能力限制，同时优化货物的运输方案。
2
供需不平衡
存在供需不平衡时如何有效分配货物，避免浪费和延误。
3
多目标运输问题
同时考虑多个目标，如最小化成本和最大化利润。
运输问题的应用实例和案例分析
物流领域的应用
通过运输问题的优化，提升物流效率，降低成本。
运输问题的基本模型
运输方案的表示
常用的表示方法包括运输矩阵和网络图。
目标函数和约束条件
目标函数通常是最小化运输成本，约束条件包 括供需平衡和容量限制。
运输问题的解决方法
最小成本法
逐步分配货物，直至 达到最小总成本。
北北角法
按照最小单位运输成 本进行分配，直至l's Approximation Method）法为基础， 逐步分配货物。
《运筹学》第三章运输问 题
运输问题是运筹学中重要的问题之一，涉及到各种场景下的货物运输优化。 本章将介绍运输问题的定义、基本模型、解决方法，以及其在物流和生产调 度中的应用实例。
运输问题的概念和应用领域
• 运输问题是一种优化问题，旨在找到使运输成本最小的货物运输方案。 • 运输问题广泛应用于物流管理、供应链优化以及交通规划等领域。
生产调度中的应用
合理安排生产计划，提高生产线的利用率。
总结和展望
运输问题是优化领域的重要研究方向，未来随着物流技术的发展将有更多的应用场景和解决方法出现。
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B1 4 8
B2 8
B3
产量 56 0
0 82 41 0 77 5 4 0
行罚数
1 2
3
x11
16 x21 24
x12 56
16 x22 41
x13
x23 41
0
8
8
16
x31 x5 72 32 46 0 72 102 0 41
4 8 8 8 8 8
24
8
8
8
x33 0 41 215 以行罚数最大者分
72
102
（4）以min xij为调整量，将回路中奇数顶点运输量都增加该数值，偶 数顶点运输量都减去该数值，从而得出一新运输方案。
该运输方案总运费比原运输方案减少σij×min xij
（5）基变量个数仍维持5个，目标函数值： 2968+(-4)×56=2744
练习
• 用位势法检验用西北角法所得初始解是否最优解？ 若不是，对该解进行改进。
运价 A1 A2 A3 销量 4
56 x11
B1 8
B2 8
B3
产量 56 0 82 66 0
41 77
x12 ×
24 16
66 x22
x13 ×
x23 ×
总运费=3624元
16
16 x21
8
x31 ×
16 0 72
16
36 x32 36 0 102
24
41 x33
41
215
• 表上作业法是求解运输问题的一种简便方法。 • 单纯形法与表上作业法的关系：
§3.1 运输问题及其数学模型
• 产销平衡问题——总产量=总销量 m n 即 ai b j
i 1
i 1
• 产销不平衡问题——总产量=总销量
§3.1 运输问题及其数学模型
• 典型案例
某企业有三个工厂（B1,B2,B3）和三座仓库（A1,A2,A3） 根据生产需要要将仓库的原材料运输到工厂。由于工厂和 仓库位置不同，单位运价cij也不同，具体数据如下表。请 您为该企业安排一个使总运费最小的运输方案。 运价 B1 B2 B3 产量
2 当迭代到运输问题的最优解时，如果有某非基变量的检验 数等于零，则说明该运输问题有多重（无穷多）最优解。
§3.3 产销不平衡的运输问题
• 典型案例
某市有三个造纸厂A1,A2,A3，其纸的产量分别为8，5和9 个单位，有四个集中用户B1,B2,B3,B4，其需用量分别为 4，3，5和6个单位。由各造纸厂到各用户的单位运价如 表所示，请确定总运费最少的调运方案。 产地 销地 B1 3 11 6 4 B2 12 2 7 3 B3 3 5 1 5 B4 4 9 5 6 产量 8 5 9 A1 A2 A3 销量
？
m xij b j , j 1,2, , n i 1 xij 0, i 1,2, , m j 1,2, n
运输问题数学模型的特点 x11 x12 x1n x21 x22 x2n xm1 xm2 xmn
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 列出产销平衡表
产销平衡及运价表
运价 B1 4 x11 16 x21 8 x31 16 x32 24 x22 24 x33 8 x12 16 x23 B2 8 x13 B3 产量
A1
A2 A3
56
82 77
销量
72
102
41
215
2 确定初始调运方案
（1）最小元素法
减少运费——单位运价最小的供销业务 运价 产 地 A1 A2 A3 销量 B1 B2 销地 B3 产量 56 0 82 41 0
§3.1 运输问题及其数学模型 单纯形法求解 n 引入人工变量 m由某一产地运往各个销 地的物品数量之和等 m in z cij xij i 1 于该产地的产量 j 1 由各产地运往某一销地 n xij ai 的物品数量之和等于 , i 1,2, , m 该销地的销量 j 1
运价
B1 4
0 x11 56
B2 8
56
B3 8 16
产量 （2）以空格（A1,B2）
A1
A2 A3
量 销量
56
82 77 215
16 8
24 x41 22
72 16
为第一个奇数顶点，沿 闭合回路的顺（或逆） 时针方向前进，对闭合 回路上的顶点依次编号
41
16
5 61
24 41
（3）偶数顶点中，找出 运输量xij最小的顶点， 以该格中变量为换出变
（3）计算空格检验数 运价 B1 B2
ij cij (ui v j )
B3 产量 ui
A1
A2 A3
4
56 x11
8
8
-4 x
24
12
4 x
16
56
82 77
u1（-12）
u2 （0） u3 （-8）
13
16
021 x
8
16 x31
41 x22
41 x23
16
61 x32
Hale Waihona Puke 2416 x332 确定初始调运方案
（3）沃格尔（Vogel）法
按最小单位运价优先安排物品调运→不得不采用运费 很高的其它供销点对→整个运输费增加
罚数=次小单位运价-最小单位运价
罚数值较小——不能按最小运价安排运输造成的损失不大 罚数值很大——不按最小运价组织运输会造成很大损失
运价 A1 A2 A3 销量
列 1 罚 2 数 3
2 确定初始调运方案
（2）西北角法
运价
A1 A2 A3 销量 4
56 x11
B1
8
B2
8 x12 ×
B3
x13 ×
产量
56 0 82 66 0
41 77
16
16 x21
24
66 x22
16
x23 × 24
36 x32 41 x33
8
16
x31 ×
16 0 72
36 0 102
41
215
运价 A1 A2 4
运输问题数学模型的特点
• 运输问题有有限最优解 • 运输问题约束条件的系数矩阵 –约束条件系数矩阵每一列只有两个1，其余为0； 对产销平衡问题 –约束条件均为等式，且产量之和=销量之和；
求解思路
一 数学模型法 二 表上作业法（运输单纯形法） 1 列出产销平衡表 2 确定初始调运方案 （1）最小元素法 （2）西北角法 （3）沃格尔（Vogel）法 3 位势法判定是否最优解 4 解的改进
A2 A3 销量 vj 4
56 x11
8 x12 × 24 x21 × x22 41 16 x31 16 72 v1 x32 61 102 v2
8 x13 × 16 x23 41 24 x33 × 41 v3
56
82 77 215
u1
u2 u3
16 8
3 位势法判定是否最优解
（2）计算位势，即建立方程组：
运价 A1 A2 A3 销量 vj 4
56 x11
B1 8
B2 8
B3
产量 56 82 77 215
ui u1 u2 u3
x12 ×
24 16 x22 41
x13 ×
x23 41
16 x21 ×
u1+ v1=4 u2+ v2=24 u2+ v3=16 u3+ v1 =8 u3+ v2=16
8
x31 16 72 v1
61 0 77
4
x11 56 16
8
x12 × 24
8
x13 × 16
41 x22 41 x23
x21 ×
8
16 x31
16
61 x32
24 x33 ×
0 41
16 0 72
41 0 102
215
运价
B1 4 x11 56 16 x21 × 8
16 x31 16 0 72
B2 8 x12 × 24
41 x22
B3 8 x13 × 16
41 x23
产量
0 56
A1
A2 A3 销量
82 41 0
61 0 77
16
61 x32 41 0 102
24 x33 × 0 41
215
这时得到该运输问题的一个初始解：x11=56,x22=41,x23=41, x31=16,x32=61,其余为0 总运费（目标函数值）=2968元
8 8 8
配运输方案结果 如何？
总运费=2744元
2 确定初始调运方案
比较上述三种方法给出的初始基可行解，以沃 格尔法给出的解的目标函数值最小，最小元素法次 之，西北角法解的目标函数值最大。 一般，沃格尔法给出的初始解质量最好，常用 来作为运输问题最优解的近似解。
3 位势法判定是否最优解
步骤 （1）在（最小元素法）初始解表上增加一位势列ui和 位势行vj ui B1 B2 B3 运价 产量 A1
B1 8
56 x11
B2 8 x12 × 24
B3 x13 × 16 x23 × 24
41 x33
产量 56 0 82 66 0
41 77
16
16 x21
66 x22
A3
销量
8 x31 ×
16 0 72
16
36 x32 36 0 102
41
215
至此得到该运输问题的初始基可行解：x11=56,x21=16,x22=66, x32=36,x33=41,其余为0 总运费（目标函数值）=3624元