4、1 相交线与平行线
湘教版数学七年级下册4.1 平面上两条直线的位置关系(48页)
如图，直线 EF 与 AB，CD 相交， 构成 8 个角.指出图中所有的对顶角、同位角、 内错角和同旁内角. 解 对顶角有∠1和∠3， ∠2和∠4， ∠5和∠7， ∠6和∠8； 同位角有∠2和∠5， ∠1和∠8， ∠3和∠6， ∠4和∠7； 内错角有∠1和∠6， ∠4和∠5； 同旁内角有∠1和∠5， ∠4和∠6.
4.一个长方体如图. （1）和 AA1平行的棱有多少条？ （2）和 AB 平行的棱有多少条？ （3）和 AD 平行的棱有多少条？请分别表示出来.
解：（1）有 3 条，分别为：BB1 , CC1 , DD1. （2）有 3 条，分别为：A1B1 , C1D1 , CD. （3）有 3 条，分别为：A1D1 , B1C1 , BC.
第4章 相交线与平行线
4.1 平面上两条直线的位置关系
湘教版·七年级数学下册
第4章 相交线与平行线
4.1.1相交与平行
湘教版·七年级数学下册
情情境景导导入入
小明家客厅的窗户由两扇窗页组成，下图表示两扇窗页开合的 状态. 当我们把两扇窗页近似地看成在同一平面内，并且考虑每扇 窗页的四条边所在的直线时，这些直线的相互位置有哪些关系？
a
A
B
C
b
D
1.如图，直线 AB 与 CD 是平行线.记做“ AB∥ CD ”， 这里“ ∥ ”是平行符号. 读做“ AB 平行于 CD ”.
2.若用 a、b 表示这两条直线，那么直线 a 与直线 b 平行，
记做“ a∥ b ”，读做“ a 平行于 b ”.
任意画一条直线 a， 并在直线 a 外任取一点 P． 请画一条 过点 P 且与 a 平行的直线．
学法指导
新课程标准有以下几项变化，一是理念变化：确立核心素养导向的课 程目标；二是结构变化：明确学业要求与学业质量标准；三是内容变化： 调整教学要求和增加教学内容。最终是要结合学生认知水平和生活经验， 设计合理的生活情境、数学情境、科学情境。关注情境的真实性，适当引 入数学文化，真正让学生感受数学与生活的密切关系和对生活的影响以及 作用。培养学生的核心素养目标，从本质上提升教学质量。
相交线与平行线知识点总结
相交线与平行线知识点总结1.直线的定义：直线是平面上的一组点，这些点的任意两个点都可以用直线上的一段有向线段连接起来。
直线也可以看作没有端点的线段。
2.相交线的性质：(1)相交线：两条直线在平面上的交点。
两条相交的直线不可能平行。
(2)轴：两条相交线的交点称为轴。
(3)垂直交线：两条相交线互相垂直，即交角为90度。
(4)垂线：一条直线与另一条直线垂直，称为垂线。
(5)垂直平分线：两条相交直线的交点到两条直线距离相等的直线，称为垂直平分线。
3.平行线的性质：(1)平行线：在同一个平面内，两条直线不相交，称为平行线。
(2)平行符号：在直线上标记一对箭头表示平行关系。
(3)平行线定理：-同位角定理：两条平行线与同一条横截线相交，所得相对应的内角相等，相对应的外角相等。
-平行线之间的任意一对同位角互相相等。
(4)平行线判定定理：-直线与直线平行判定定理：直线与一条直线平行，则与这条直线平行的所有直线都平行。
-同位角平行判定定理：两条直线被一条横截线所截，使同位角相等，则这两条直线平行。
-垂直线判定定理：两条直线互相垂直，则这两条直线平行于同一直线。
(5)平行线的性质：-平行线之间的距离相等：两条平行线上任意两点之间的距离相等。
-平行线的夹角：两条平行线被一条直线截断所得的内角和为180度。
-平行线的斜率：两条平行线的斜率相等或者其中一条线的斜率不存在。
4.平行四边形：(1)平行四边形定义：有两对对边分别平行的四边形。
(2)平行四边形的性质：-对边相等：平行四边形的对边相等。
-对角线：平行四边形的对角线互相平分。
-同位角：平行四边形的同位角互相相等。
5.直线的倾斜角：(1)倾斜角定义：一条直线倾斜角的正切值等于该直线的斜率。
(2)平行线的倾斜角：平行线具有相同的倾斜角。
(3)垂直线的倾斜角：垂直线的倾斜角之和等于90度。
6.平行线与欧几里得公设：(1)欧几里得公设五：经过点外的一条直线上至少有两条平行线。
湘教版七年级数学下册4.1.1相交与平行
双杠扶手边 沿所在直线
4.如图是用电脑画出来的“花”，它由一些平行 线段组成，你能找出其中的一些平行线段吗？ 请你用画平行线的方法设计一件“艺术品”.
1.在同一平面内的三条直线a，b，c，若a∥c，
b∥c，则a与b的位置关系是
（B）
A.相交
B.平行
C.相交或平行
D.无法确定
2.下列语句中，正确的个数是（ C ） 做一做
（1）同一平面内，不相交的两条直线是平行线 （2）同一平面内，两直线的位置关系有两种，
即相交或平行 （3）若线段AB与CD没有交点，则AB//CD （4）若a//b,b//c,则a//c
1.在同一平面的两条直线的位置关系有两种： 相交 和 平行 。
2.平行线：在同一平面内， 没有公共点 的 两条直线叫做平行线。
3.平行的基本事实：过直线外一点有且只有 一条 直线与已知直线平行。
4.平行于同一条直线的两条直线 平行 。
知识结构
相交 与
平行
同一平面内两条直线的位置关系 平行线的画法 平行的基本事实 平行的传递性。
第4章
相交线与平行线
在我们生活的现实世界中，随处可见 由平行和垂直交织而成的图形。
什么样的两条直线是平行线？平行线 有什么性质？怎样判定两条直线平行呢？ 什么样的两条直线叫作互相垂直？垂线有 哪些性质？
通过本章的学习，这些问题将迎刃而解.
平面上两条直线的位置关系
4.1.1 相交与平行
学习 标
1. 知道平面上两条直线的位置关系； 2. 理解平行线的概念、表示方法； 3. 掌握平行线的画法； 4. 掌握平行的基本事实及平行的传递性； 5. 培养认识几何图形的能力。
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
平行线与相交线的关系探究
平行线与相交线的关系探究平行线和相交线是几何学中常见的两种线，它们之间的关系是几何学中重要的基础知识之一。
本文将探究平行线和相交线的性质及其相关定理。
一、平行线的性质平行线是指在同一平面上永远不会相交的两条线。
具体来说，平行线具有以下性质：1. 平行线的夹角关系：平行线的夹角是全等的。
即，当一条直线与两条平行线相交时，所形成的对应的内角、外角和同旁内角都相等。
2. 平行线的传递性：如果两条直线分别与第三条直线平行，那么这两条直线也是平行的。
例如，若线段AB || 线段CD，线段CD || 线段EF，则线段AB || 线段EF。
3. 平行线的斜率关系：平行线具有相同的斜率或斜率的相反数。
斜率是指直线上两点的纵坐标差与横坐标差的比值。
二、相交线的性质相交线是指在同一平面上有一个或多个交点的两条线。
具体来说，相交线具有以下性质：1. 相交线的夹角关系：相交线之间的夹角可以划分为多个类型，其中包括对应角、同位角、内错角等。
这些夹角的关系由线相交的位置和角的位置来决定。
2. 垂直相交线：垂直相交线是指两条直线在交点处相互垂直，形成直角。
垂直相交线之间的夹角为90度。
例如，竖直线与水平线相交时会形成直角。
3. 斜交线：斜交线是指两条直线在交点处相交，但夹角不为直角。
斜交线的夹角可以大于90度或小于90度，具体取决于线相交时的角度。
三、平行线和相交线的相关定理在平行线和相交线的研究中，我们还可以推导出以下重要的定理：1. 平行线的对应角定理：当一条直线与两条平行线相交时，所形成的对应角是相等的。
2. 平行线的同位角定理：当一条直线与两条平行线相交时，所形成的同位角是相等的。
3. 平行线的内错角定理：当一条直线与两条平行线相交时，所形成的内错角是相等的。
4. 相交线的对顶角定理：当一条直线与两条相交线相交时，所形成的对顶角是相等的。
5. 相交线的同旁内角定理：当一条直线与两条相交线相交时，所形成的同旁内角之和为180度。
平行线与相交线
平行线与相交线平行线与相交线是几何学中的基础概念，对于描述和解决与线段、角度以及图形形状相关的问题至关重要。
本文将介绍平行线和相交线的定义、性质以及它们在几何学中的应用。
一、平行线的定义和性质1. 平行线的定义：平行线是指在同一个平面上永远不相交的两条直线。
简单地说，如果两条直线在平面上始终保持同样的方向，且没有交点，那么它们就是平行线。
2. 平行线的判定：有三种常见方法可以判定两条直线是否平行：- 同一直线外的一点和该直线上的两点连线所形成的两个角相等时，可以得出这两条直线是平行线。
- 两条直线被一条横线相交，形成的内错角、外错角相等时，可以得出这两条直线是平行线。
- 两条直线的斜率相等时，可以得出这两条直线是平行线。
3. 平行线的性质：- 平行线之间的距离在任意两点之间是相等的。
- 平行线的两侧任意一点到两条直线的距离之和相等。
- 平行线与同一个横线相交时，相交的内错角、外错角相等。
二、相交线的定义和性质1. 相交线的定义：相交线是指在同一个平面上有一个交点的两条直线。
当两条直线的交点不是无穷远处时，它们就是相交线。
2. 相交线的性质：- 相交线的交点是两条直线上对应的点之间与交点相连的线段。
- 相交线上的内角和、外角和都是相等的。
- 相交线可以分为内部区域和外部区域，两个相交线之间还可以形成许多角，如同位角、对顶角等。
三、平行线与相交线的应用平行线与相交线在几何学中具有广泛的应用，以下是一些常见的应用场景：1. 平行四边形和矩形的性质：对于平行四边形来说，其对边相等且平行。
而矩形是一种特殊的平行四边形，其内角都是直角。
2. 三角形内角和：当一条直线与两条平行线相交时，所形成的三角形内角和为180度。
3. 平面切割：使用平行线和相交线可以将一个平面切割为多个区域，为解决复杂的几何问题提供了便利。
4. 平行线与比例：平行线的性质可用于解决比例问题。
当两条平行线被两条相交线所切割时，所形成的线段之间的比例是相等的。
七年级数学下第4章《相交线与平行线》4.1平面上两条直线的位置关系4.1.1相交与平行习题湘教版
You made my day!
我们，还在路上……
第四章 相交线与平行线 4．1 平面上两条直线的位置关系
4．1.1 相交与平行
1. 同一平面内，不重合的两直线的位置关系有两 种：平__行__，相__交__．
2. 平行公理：经过直线外一点有一条并且只有一条 直线与已__知__直__线__平__行__．
3. 推论：若直线 a∥b，b∥c，则_a_∥__c．
10. 如图所示，取一张长方形的硬纸片 ABCD，EF 为折痕，把长方形 ABFE 平放在桌面上，另一个面 CDEF 无 论 怎 样 改 变 位 置 总 有 CD∥AB 存 在 ， 根 据 是 _平__行_于 __同 __一__条__直__线__的__两__条__直__线__互__相__平__行__．
解：由答图①、②、③、④可知，三条直线可以将 平面分成四或六或七部分．
•1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。2022年3月21日星期一2022/3/212022/3/212022/3/21 •2、科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人，给那些善于独 立思考的人，给那些具有锲而不舍的人。2022年3月2022/3/212022/3/212022/3/213/21/2022 •3、做老师的只要有一次向学生撒谎撒漏了底，就可能使他的全部教育成果从此为之失败。 2022/3/212022/3/21March 21, 2022
(1)经过一点有且仅有一条直线与已知直线平行；
(2)经过一点有无数条直线与已知直线相交；
(3)经过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线
平行；
(4)同一平面内两条直线有且只有一个公共点，则两
相交线与平行线
相交线与平行线1. 介绍在几何学中，相交线和平行线是两个基本的概念。
相交线指的是在平面上两条直线交叉或相交的情况，而平行线指的是在平面上永不相交的两条直线。
本文将介绍相交线和平行线的特性、判定方法以及相关定理。
2. 相交线和平行线的特性相交线和平行线有以下一些重要的特性：2.1 相交线的特性•相交线的交点称为交点。
•两条相交线上的任意一点，都分别位于另一条相交线的两侧。
•两条相交线的交点处，有且只有一条直线通过。
2.2 平行线的特性•平行线永不相交，它们在无穷远处相交。
•两条平行线上的任意一点，都位于另一条平行线的同侧。
•平行线的斜率是相等的。
•平行线的间距在任意两个平行线上的两点之间的距离是相等的。
3. 判定相交线与平行线的方法3.1 判定相交线的方法为了判定两条直线是否相交，可以使用以下方法：•方法一：计算两条直线的斜率，如果斜率不相等，则两条直线相交。
•方法二：计算两条直线的截距，如果截距不相等，则两条直线相交。
•方法三：通过解两条直线的方程组，如果方程组有唯一解，则两条直线相交。
•方法四：绘制两条直线，在图形中观察它们是否相交。
3.2 判定平行线的方法为了判定两条直线是否平行，可以使用以下方法：•方法一：计算两条直线的斜率，如果斜率相等且截距不相等，则两条直线平行。
•方法二：观察两条直线在图形上的位置关系，在平面上永远不相交的直线都是平行线。
4. 相交线与平行线的相关定理在几何学中，有一些重要的定理与相交线和平行线有关：4.1 线段等分定理如果一条直线将另一条直线上的两点分成相等的两部分，那么这条直线与这两个点所在的直线都是相交线。
4.2 平行线夹角定理如果两条平行线被一条直线截断，那么所截线与平行线所夹的内角与同位角相等。
4.3 平行线的性质•平行线的任意一对内角、外角互补。
•平行线和与它们相交的一条直线之间所夹的内角之和是180度。
5. 总结通过本文的介绍，我们了解了相交线和平行线的特性、判定方法以及相关定理。
平行线与相交线
平行线与相交线平行线与相交线是几何学中的基本概念，它们在解决几何问题和推导几何定理中起到重要的作用。
本文将从平行线和相交线的定义开始，探讨它们的性质和关系，并介绍一些常见的相关定理。
一、平行线的定义和性质平行线是指在同一个平面内永远不相交的两条直线。
根据平行线的定义，我们可以得到以下性质：1. 平行线具有相同的斜率：如果两条直线的斜率相等且不相交，则它们是平行线。
2. 平行线之间的距离是恒定的：平行线之间的任意两条线段的距离相等。
3. 平行线有无穷多个共同的垂线：与平行线相交的直线中，与两条平行线都垂直的直线称为垂线。
平行线与相交线的垂线都是两条平行线的垂线。
4. 平行线的夹角为零：两条平行线之间的夹角是零度。
二、相交线的定义和性质相交线是指在同一个平面内相交的两条直线。
根据相交线的定义，我们可以得到以下性质：1. 相交线的交点只有一个：相交线的两条直线只有一个交点。
2. 相交线的夹角为非零角：两条相交线之间的夹角不为零度。
3. 相交线的垂线也是两条相交线的垂线：与相交线相交且垂直于两条相交线的直线称为垂线。
4. 相交线的拓展：两条相交线可以通过延长线相交于无穷远处，形成一条直线。
三、平行线与相交线的关系平行线与相交线之间存在着一些重要的关系和定理。
1. 反证法证明两条线平行的方法：我们可以通过反证法来证明两条线是平行线。
假设两条线不平行，然后推导出矛盾的结论，从而得出两条线是平行线的结论。
2. 平行线与相交线的内角和性质：如果两条平行线被第三条线相交，那么相交线与平行线之间的内角和为180度。
3. 平行线与相交线的外角和性质：如果两条平行线被第三条线相交，那么相交线与平行线之间的外角和为180度。
4. 平行线与相交线的焦点性质：两条不相交的直线被一条直线相交时，互相垂直的两条平行线所包围的区域称为焦点。
5. 平行线与相交线的一些相关定理：如同位角定理、同旁内角定理、同旁外角定理等。
通过以上的探讨，我们对平行线与相交线的定义、性质以及它们之间的关系有了更深入的理解。
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（第1题)
A
B
C
§4.1 相交线与平行线
学习目标：
1、了解线段、角、相交线与平行线、命题、定理等概念；
2、了解余角、补角、对顶角的概念，并理解它们的相关性质；
3、会比较线段、角的大小；
4、理解平行线的性质与判定。
一、课前预习 （一）知识梳理
1. 两点确定一条直线，两点之间线段最短._______________叫两点间距离.
2. 1周角＝__________平角＝_____________直角＝____________．
3. 如果两个角的和等于90度，就说这两个角互余，同角或等角的余角相等； 如果_____________________互为补角，__________________的补角相等.
4. ___________________________________叫对顶角，对顶角___________.
5. 过直线外一点______ 与已知直线平行。
6. 平行线的性质：两直线平行，_________相等，________相等，________互补.
7. 平行线的判定：________相等,或______相等,或______互补，两直线平行.
8. 平面内，过一点有且只有_____条直线与已知直线垂直.
（二）基础训练：
1. 如图，延长线段AB 到C ，使4BC =， 若8AB =，则线段AC 是BC 的 倍．
2．时钟在4点整时，时针与分针的夹角为_______度．
3．如图，已知直线a b ∥，135=
∠，则2∠的度数是 ．
4．如图，在ABC △中，DE BC ∥，60ADE =
∠，图中等于60
的角还有_________． 5．经过任意三点中的两点共可以画出的直线条数是（ ）
A ．一条或三条
B ．三条
C ．两条
D ．一条
6．如图，直线a b ∥，则A ∠的度数是（ ）
A ．28
B ．31
C ．39
D ．42
A
D
B C
E
(第4题)
a
b
c
1 2 (第3题)
(第6题)图
A
B
D
a
b
70°
31°
A B C D E 7、. 如图所示，下列条件中，不能判断L 1∥L 2的是（
）
A ．∠1=∠
2 B ．∠2=∠
3 C ．∠4=∠5 D ．∠2+∠4=180°
8、如图，AB ∥CD ，AE 交CD 于点C ，DE ⊥AE ，垂足为E ，∠A =37º，求∠D 的度数．
二、例题精讲
例1、 如图, 已知直线AB ∥CD, ∠C=115°,∠A=25°,则=∠E ( ) A ．
70 B ．
80 C ．
90 D ．
100
例2、 如图：AB ∥CD ，直线EF 分别交AB 、CD 于E 、F ，EG 平分∠BEF ，若∠1=720，则∠2
等于多少度？
例3、 如图，ABC △中，B C ∠∠，的平分线相交于点O ，过O 作DE BC ∥，
若5BD EC +=，则DE 等于多少？
C D A B
B C
A E
G C D M
H F 1 2 3 第7题图
三、当堂检测
1．如图，已知a ∥b ，∠1=50°，则∠2=______度．
2．已知∠α与∠β互余，且∠α=40°，则∠β的补角为______度． 3．如图，点A 、B 、C 在直线L 上，则图中共有______条线段． 4.（2009年黄石市）如图，1502110AB CD ∠=∠=∥，°，°，则3∠= ． 5.如图，已知a ∥b ，∠1=70°，∠2=40°，则∠3= __________．
6.（2009年清远）如图，AB CD ∥，EF AB ⊥于E EF ，交CD 于F ，已知 160∠=°，则2∠=（ ） A ．20° B ．60° C ．30° D ．45°
7.如图，直线EF 分别与直线AB 、CD 相交于点G 、H ，已知∠1=∠2=60°，GM 平分∠HGB 交直
线CD 于点M ．则∠3=（ ） A ．60° B ．65° C ．70° D ．130°
8．如图，已知AB ⊥BC ，DC ⊥BC ，BE ∥CF ，求证：∠1=∠2．
四、课堂小结
第1题图 第3题图 第4题图
第6题图 A B C
1 2 3 C D B A
E
F
1 2
第8题图 第5题图
A B
C
五、课后作业
1． 如图，直线a 、b 被直线c 所截，若要a ∥ b ，需增加条件 _____________．（填一个即可）
2． 如图直线l 1//l 2，AB ⊥CD ，∠1=34°，那么∠2的度数是 ． 3． 如图, 已知直线
25,115,//=∠=∠A C CD AB , 则=∠E （ ）
A. 70
B. 80
C. 90
D. 100
2
1D
C
B
A
l
2l 1
( 第1题) ( 第2题) (第3题)
4． 如图，在△ABC 中，AB ＝BC ＝12cm ，∠ABC ＝80°，BD 是∠ABC 的平分线，DE ∥BC ． (1) 求∠EDB 的度数；
(2) 求DE 的长．
5. 如图，AB ∥CD ， AC ⊥BC ，∠BAC ＝65°，求∠BCD 度数．
6. 如图，在ΔABC 中，AB ＝AC ＝10，BC ＝8．用尺规作图作BC 边上的中线AD （保留作图痕迹，不要求写作法、证明），并求AD 的长．
六、延伸拓展
7、 如图，DE+AB=AD ，∠1=∠E ， 求证：（1）∠2=∠B ；
（2）若∠E+∠1+∠2+∠B=180°，则DE ∥AB ．
A
B
C
D E。