2010年中考数学试题分类汇编 压轴题(四)及答案
2010年中考数学压轴题100题精选(81-90题)答案
合并自： (奥数)、 (中考)、 (高考)、 (作文)、 (英语)、 (幼教)、 、 等站 E 度教育网2010年中考数学压轴题100题精选（81-90题）答案【081】解：（1）（0，－3），b ＝－94，c ＝－3． ···································································· 3分 （2）由（1），得y ＝34x 2－94x －3，它与x 轴交于A ，B 两点，得B （4，0）．∴OB ＝4，又∵OC ＝3，∴BC ＝5． 由题意，得△BHP ∽△BOC ， ∵OC ∶OB ∶BC ＝3∶4∶5，∴HP ∶HB ∶BP ＝3∶4∶5，∵PB ＝5t ，∴HB ＝4t ，HP ＝3t ．∴OH ＝OB －HB ＝4－4t ．由y ＝34tx －3与x 轴交于点Q ，得Q （4t ，0）．∴OQ ＝4t ． ······································································································· 4分 ①当H 在Q 、B 之间时， QH ＝OH －OQ＝（4－4t ）－4t ＝4－8t ． ········································································ 5分 ②当H 在O 、Q 之间时， QH ＝OQ －OH＝4t －（4－4t ）＝8t －4． ········································································ 6分 综合①，②得QH ＝｜4－8t ｜； ········································································ 6分 （3）存在t 的值，使以P 、H 、Q 为顶点的三角形与△COQ 相似． ······················· 7分①当H 在Q 、B 之间时，QH ＝4－8t ，若△QHP ∽△COQ ，则QH ∶CO ＝HP ∶OQ ，得483t -＝34tt，∴t ＝732． ········································································································ 7分若△PHQ ∽△COQ ，则PH ∶CO ＝HQ ∶OQ ，得33t ＝484tt -，即t 2＋2t －1＝0．∴t 11，t 21（舍去）． ······················································· 8分 ②当H 在O 、Q 之间时，QH ＝8t －4．若△QHP ∽△COQ ，则QH ∶CO ＝HP ∶OQ ，得843t -＝34tt，∴t ＝2532． ········································································································ 9分若△PHQ ∽△COQ ，则PH ∶CO ＝HQ ∶OQ ，得33t ＝844t t -，即t 2－2t ＋1＝0． ∴t 1＝t 2＝1（舍去）． ···················································································· 10分综上所述，存在t 的值，t 11，t 2＝732，t 3＝2532． ··························· 10分附加题：解：（1）8； ·················································································································· 5分 （2）2．················································································································ 10分合并自： (奥数)、 (中考)、 (高考)、 (作文)、 (英语)、 (幼教)、 、 等站 E 度教育网【082】（09上海）略【083】. 解：（1）B （1（2）设抛物线的解析式为y =ax (x+a )，代入点B （1,，得a =，因此2y x =+ （3）如图，抛物线的对称轴是直线x =—1，当点C 位于对称轴与线段AB 的交点时，△BOC的周长最小.设直线AB 为y =kx +b .所以20.k k b k b b ⎧⎪⎧+=⎪⎪⎨⎨-+=⎪⎩⎪⎪⎩解得因此直线AB 为y x =+ 当x =－1时，y =， 因此点C 的坐标为（－1.（4）如图，过P 作y 轴的平行线交AB 于D .2221()()213212PAB PAD PBD D P B A S S S y y x x x ∆∆∆=+=--⎡⎤⎫=+-⨯⎢⎥⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦=⎫=+⎪⎝⎭当x =－12时，△PAB ，此时1,2P ⎛- ⎝⎭. 【084】解：（1）⊙P 与x 轴相切.∵直线y =－2x －8与x 轴交于A （4，0），与y 轴交于B （0，－8），∴OA =4，OB =8.由题意，OP =－k ，∴PB =PA =8+k . 在Rt △AOP 中，k 2+42=(8+k )2， ∴k =－3，∴OP 等于⊙P 的半径， ∴⊙P 与x 轴相切.（2）设⊙P 与直线l 交于C ，D 两点，连结PC ，PD 当圆心P 在线段OB 上时,作PE ⊥CD 于E .合并自： (奥数)、 (中考)、 (高考)、 (作文)、 (英语)、 (幼教)、 、 等站 E 度教育网∵△PCD 为正三角形，∴DE =12CD =32，PD =3， ∴PE. ∵∠AOB =∠PEB =90°， ∠ABO =∠PBE ，∴△AOB ∽△PEB ，∴2,AO PE AB PB PB=，∴PB =∴8PO BO PB =-=，∴8)P -，∴8k =-. 当圆心P 在线段OB 延长线上时,同理可得P (0,8)， ∴k =8，∴当k8或k =8时，以⊙P 与直线l 的两个交点和圆心P 为顶点的三角形是正三角形.【085】解: (1)由题知: ⎩⎨⎧=+-=++033903b a b a ……………………………………1 分解得: ⎩⎨⎧-=-=21b a ……………………………………………………………2分∴ 所求抛物线解析式为: 322+=x －－x y ……………………………3分(2) 存在符合条件的点P , 其坐标为P (－1, 10)或P(－1,－ 10)或P (－1, 6) 或P (－1, 35)………………………………………………………7分 (3)解法①：过点E 作EF ⊥x 轴于点F , 设E ( a ,-2a -2a ＋3 )( －3< a < 0 ) ∴EF =-2a -2a ＋3，BF =a ＋3，OF =－a ………………………………………………8 分∴S 四边形BOCE =21BF ·EF + 21(OC +EF )·OF =21( a ＋3 )·(－2a －2a ＋3) + 21(－2a －2a ＋6)·（－a ）……………………………9 分合并自： (奥数)、 (中考)、 (高考)、 (作文)、 (英语)、 (幼教)、 、 等站 E 度教育网=2929232+--a a ………………………………………………………………………10 分 =－232)23(+a +863∴ 当a =－23时，S 四边形BOCE 最大, 且最大值为 863．……………………………11 分此时，点E 坐标为 (－23，415)……………………………………………………12分解法②：过点E 作EF ⊥x 轴于点F ， 设E ( x , y ) ( －3< x < 0 ) …………………………8分则S 四边形BOCE =21(3 + y )·(－x ) + 21( 3 + x )·y ………………………………………9分 = 23( y －x )= 23(332+x －－x ) …………………………………10 分= －232)23(+x + 863∴ 当x =－23时，S 四边形BOCE 最大，且最大值为 863． …………………………11分此时，点E 坐标为 (－23，415) ……………………………………………………12分【086】⑴证明：∵BC 是⊙O 的直径∴∠BAC=90o又∵EM ⊥BC ，BM 平分∠ABC ， ∴AM=ME ，∠AMN=EMN 又∵MN=MN ， ∴△ANM ≌△ENM⑵∵AB 2=A F ·AC ∴ABAF AC AB =又∵∠BAC=∠FAB=90o ∴△ABF ∽△ACB ∴∠ABF=∠C又∵∠FBC=∠ABC+∠FBA=90o ∴FB 是⊙O 的切线合并自： (奥数)、 (中考)、 (高考)、 (作文)、 (英语)、 (幼教)、 、 等站 E 度教育网⑶由⑴得AN=EN ，AM=EM ，∠AMN=EMN ， 又∵AN ∥ME ，∴∠ANM=∠EMN ， ∴∠AMN=∠ANM ，∴AN=AM ， ∴AM=ME=EN=AN ∴四边形AMEN 是菱形 ∵cos ∠ABD=53，∠ADB=90o∴53=AB BD 设BD=3x ，则AB=5x ，，由勾股定理()()x x －x AD 43522==而AD=12，∴x=3 ∴BD=9，AB=15∵MB 平分∠AME ，∴BE=AB=15 ∴DE=BE-BD=6∵ND ∥ME ，∴∠BND=∠BME ，又∵∠NBD=∠MBE ∴△BND ∽△BME ，则BEBD ME ND =设ME=x ，则ND=12-x ，15912=-x x ，解得x=215∴S=M E ·DE=215×6=45【087】（天门）略合并自： (奥数)、 (中考)、 (高考)、 (作文)、 (英语)、 (幼教)、 、 等站 E 度教育网【088】解：（1）法一：由图象可知：抛物线经过原点， 设抛物线解析式为2(0)y ax bx a =+≠．把(11)A ，，(31)B ，代入上式得： ································································································ 1分 11931a b a b =+⎧⎨=++⎩解得1343a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩··································································································· 3分 ∴所求抛物线解析式为21433y x x =-+··················································································· 4分 法二：∵(11)A ，，(31)B ，，∴抛物线的对称轴是直线2x =．设抛物线解析式为2(2)y a x h =-+（0a ≠） ······································································ 1分把(00)O ，，(11)A ，代入得 220(02)1(12)a h a h ⎧=-+⎪⎨=-+⎪⎩ 解得1343a h ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩······················································································ 3分 ∴所求抛物线解析式为214(2)33y x x =--+． ····································································· 4分合并自： (奥数)、 (中考)、 (高考)、 (作文)、 (英语)、 (幼教)、 、 等站 E 度教育网（2）分三种情况：①当02t <≤，重叠部分的面积是OPQ S △，过点A 作AF x ⊥轴于点F ， ∵(11)A ，，在Rt OAF △中，1AF OF ==，45AOF ∠=°在Rt OPQ △中，OP t =，45OPQ QOP ∠=∠=°，∴cos 452PQ OQ t ===°， ∴2211224S t ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭． ····················································· 6分 ②当23t <≤，设PQ 交AB 于点G ，作GH x ⊥轴于点H 45OPQ QOP ∠=∠=°，则四边形OAGP 是等腰梯形，重叠部分的面积是OAGP S 梯形． ∴2AG FH t ==-， ∴11()(2)1122S AG OP AF t t t =+=+-⨯=-． ············ 8分 ③当34t <<，设PQ 与AB 交于点M ，交BC 于点N ，重叠部分的面积是OAMNC S 五边形． 因为P N C △和BMN △都是等腰直角三角形，所以重叠部分的面积是OA M NS 五边形B M NOA B C S S=-△梯形． ∵(31)B ，，OP t =， ∴3PC CN t ==-，∴1(3)4BM BN t t ==--=-，∴211(23)1(4)22S t =+⨯--2111422S t t =-+-． ······················································· 10分（3）存在 11t = ·················································································································· 12分 22t = ················································································································ 14分合并自： (奥数)、 (中考)、 (高考)、 (作文)、 (英语)、 (幼教)、 、 等站 E 度教育网【089】解：（1） 圆心O 在坐标原点，圆O 的半径为1，∴点A B C D 、、、的坐标分别为(10)(01)(10)(01)A B C D --，、，、，、， 抛物线与直线y x =交于点M N 、，且MA NC 、分别与圆O 相切于点A 和点C ，∴(11)(11)M N --，、，． ············································································································ 2分 点D M N 、、在抛物线上，将(01)(11)(11)D M N --，、，、，的坐标代入 2y ax bx c =++，得：111c a b c a b c =⎧⎪-=-+⎨⎪=++⎩ 解之，得：111a b c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩∴抛物线的解析式为：21y x x =-++． ················································································ 4分 （2）2215124y x x x ⎛⎫=-++=--+ ⎪⎝⎭∴抛物线的对称轴为12x =，12OE DE ∴===，． ······················· 6分 连结90BF BFD ∠=，°，BFD EOD ∴△∽△，DE ODDB FD∴=，又12DE OD DB ===，，5FD ∴=，5210EF FD DE ∴=-=-=． ··············································································· 8分 （3）点P 在抛物线上． ············································································································· 9分 设过D C 、点的直线为：y kx b =+，将点(10)(01)C D ，、，的坐标代入y kx b =+，得：11k b =-=，，合并自： (奥数)、 (中考)、 (高考)、 (作文)、 (英语)、 (幼教)、 、 等站 E 度教育网∴直线DC 为：1y x =-+． ·································································································· 10分 过点B 作圆O 的切线BP 与x 轴平行，P 点的纵坐标为1y =-， 将1y =-代入1y x =-+，得：2x =．∴P 点的坐标为(21)-，， ········································································································ 11分 当2x =时，2212211y x x =-++=-++=-，所以，P 点在抛物线21y x x =-++上． ·············································································· 12分 说明：解答题各小题中只给出了1种解法，其它解法只要步骤合理、解答正确均应得到相应的分数．合并自： (奥数)、 (中考)、 (高考)、 (作文)、 (英语)、 (幼教)、 、 等站 E 度教育网【090】（1）解：把A （1-，0），C （3，2-）代入抛物线 23y ax ax b =-+ 得⎩⎨⎧-=+-=+-⨯--2990)1(3)1(2b a a b a a ···························································································· 1分整理得 ⎩⎨⎧-==+204b b a ·················· ……………… 2分 解得⎪⎩⎪⎨⎧-==221b a ………………3分∴抛物线的解析式为 223212--=x x y ············································································ 4分（2）令0223212=--x x 解得 1214x x =-=，∴ B 点坐标为（4，0）又∵D 点坐标为（0，2-） ∴AB ∥CD ∴四边形ABCD 是梯形． ∴S 梯形ABCD ＝82)35(21=⨯+ ································ 5分 设直线)0(1≠+=k kx y 与x 轴的交点为H ，与CD 的交点为T ，则H （k 1-，0）， T （k3-，2-） ····················· 6分∵直线)0(1≠+=k kx y 将四边形ABCD 面积二等分∴S 梯形AHTD ＝21S 梯形ABCD ＝４∴42)311(21=⨯-+-kk ·········································· 7分 ∴34-=k ···································································· 8分（3）∵MG ⊥x 轴于点G ，线段MG ︰AG ＝1︰2∴设M （m ，21+-m ）， (9)∵点M 在抛物线上 ∴22321212--=+-m m m 解得1231m m ==-，（舍去） ······························· 10分∴M 点坐标为（3，2-） ································································································ 11分 根据中心对称图形性质知，MQ ∥AF ，MQ ＝AF ，NQ ＝EF ，∴N 点坐标为（1，3-） ······························································································· 12分图(9) -2图(9) -1。
2010数学中考压轴题(含答案)
2010年中考数学压轴题20题精选【001】如图，已知抛物线2(1)y a x =-+a ≠0）经过点(2)A -，0，抛物线的顶点为D ，过O 作射线OM AD ∥．过顶点D 平行于x 轴的直线交射线OM 于点C ，B 在x 轴正半轴上，连结BC ．（1）求该抛物线的解析式；（2）若动点P 从点O 出发，以每秒1个长度单位的速度沿射线OM 运动，设点P 运动的时间为()t s ．问当t 为何值时，四边形DAOP 分别为平行四边形？直角梯形？等腰梯形？ （3）若OCOB =，动点P 和动点Q 分别从点O 和点B 同时出发，分别以每秒1个长度单位和2个长度单位的速度沿OC 和BO 运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动．设它们的运动的时间为t()s ，连接PQ ，当t 为何值时，四边形BCPQ 的面积最小？并求出最小值及此时PQ 的长．【002】如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC = 3，AB = 5．点P 从点C 出发沿CA 以每秒1个单位长的速度向点A 匀速运动，到达点A 后立刻以原来的速度沿AC 返回；点Q 从点A 出发沿AB 以每秒1个单位长的速度向点B 匀速运动．伴随着P 、Q 的运动，DE 保持垂直平分PQ ，且交PQ 于点D ，交折线QB -BC -CP 于点E ．点P 、Q 同时出发，当点Q 到达点B 时停止运动，点P 也随之停止．设点P 、Q 运动的时间是t 秒（t ＞0（1）当t = 2时，AP = ，点Q 到AC 的距离是 ； （2）在点P 从C 向A 运动的过程中，求△APQ 的面积S 与t 的函数关系式；（不必写出t 的取值范围） （3）在点E 从B 向C 运动的过程中，四边形QBED 能否成为直角梯形？若能，求t 的值．若不能，请说明理由；（4）当DE 经过点C 时，请直接．．写出t 的值．【003】如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD 的三个顶点B （4，0）、C （8，0）、D （8，8）.抛物线y=ax 2+bx 过A 、C 两点.(1)直接写出点A 的坐标，并求出抛物线的解析式；(2)动点P 从点A 出发．沿线段AB 向终点B 运动，同时点Q 从点C 出发，沿线段CD向终点D 运动．速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t 秒.过点P 作PE ⊥AB 交AC 于点E ，①过点E 作EF ⊥AD 于点F ，交抛物线于点G.当t 为何值时，线段EG 最长?②连接EQ ．在点P 、Q 运动的过程中，判断有几个时刻使得△CEQ 是等腰三角形? 请直接写出相应的t 值。
2010年中考数学压轴题100题精选(5160题)答案
2010年中考数学压轴题100题精选（5160题）答案2010年中考数学压轴题100题精选（51-60题）【051】如图14（1），抛物线与x轴交于A、B两点，与y 轴交于点C（0，）．［图14（2）、图14（3）为解答备用图］（1），点A的坐标为，点B的坐标为；（2）设抛物线的顶点为M，求四边形ABMC的面积；（3）在x轴下方的抛物线上是否存在一点D，使四边形ABDC的面积最大？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；（4）在抛物线上求点Q，使△BCQ是以BC为直角边的直角三角形．图14（1）图14（2）图14（3）【052】已知二次函数（）的图象经过点，，，直线（）与轴交于点．（1）求二次函数的解析式；（2）在直线（）上有一点（点在第四象限），使得为顶点的三角形与以为顶点的三角形相似，求点坐标（用含的代数式表示）；（3）在（2）成立的条件下，抛物线上是否存在一点，使得四边形为平行四边形？若存在，请求出的值及四边形的面积；若不存在，请说明理由．yxO【053】如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线（）经过，，三点，其顶点为，连接，点是线段上一个动点（不与重合），过点作轴的垂线，垂足为，连接．（1）求抛物线的解析式，并写出顶点的坐标；（2）如果点的坐标为，的面积为，求与的函数关系式，写出自变量的取值范围，并求出的最大值；12331DyCBAP2ExO（3）在（2）的条件下，当取得最大值时，过点作的垂线，垂足为，连接，把沿直线折叠，点的对应点为，请直接写出点坐标，并判断点是否在该抛物线上．【054】如图，在直角坐标系中，矩形ABCD的边AD在y 轴正半轴上，点A、C的坐标分别为（0，1）、（2，4）．点P从点A出发，沿A→B→C以每秒1个单位的速度运动，到点C停止；点Q在x轴上，横坐标为点P的横、纵坐标之和．抛物线经过A、C两点．过点P作x轴的垂线，垂足为M，交抛物线于点R．设点P的运动时间为t（秒），△PQR的面积为S （平方单位）．（1）求抛物线对应的函数关系式．（2）分别求t=1和t=4时，点Q的坐标．（3）当0＜≤5时，求S与t之间的函数关系式，并直接写出S的最大值．【055】在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，且点，点，如图所示：抛物线经过点．（1）求点的坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）在抛物线上是否还存在点（点除外），使仍然是以为直角边的等腰直角三角形？若存在，求所有点的坐标；若不存在，请说明理由．BACxy（0，2）（－1，0）（第25题）【056】如图18，抛物线F：的顶点为P，抛物线：与y轴交于点A，与直线OP交于点B．过点P作PD⊥x轴于点D，平移抛物线F使其经过点A、D得到抛物线F′：，抛物线F′与x轴的另一个交点为C．⑴当a = 1，b=－2，c = 3时，求点C的坐标(直接写出答案)；⑵若a、b、c满足了①求b：b′的值；②探究四边形OABC的形状，并说明理由．图18【057】直线与坐标轴分别交于、两点，、的长分别是方程的两根（），动点从点出发，沿路线→→以每秒1个单位长度的速度运动，到达点时运动停止．（1）直接写出、两点的坐标；（2）设点的运动时间为(秒)，的面积为，求与之间的函数关系式（不必写出自变量的取值范围）；（3）当时，直接写出点的坐标，此时，在坐标轴上是否存在点，使以、、、为顶点的四边形是梯形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．【058】如图，已知抛物线与轴交于A、B两点，与轴交于点C．（1）求A、B、C三点的坐标．（2）过点A作AP∥CB交抛物线于点P，求四边形ACBP 的面积．CPByA（3）在轴上方的抛物线上是否存在一点M，过M作MG 轴于点G，使以A、M、G三点为顶点的三角形与PCA相似．若存在，请求出M点的坐标；否则，请说明理由．【059】如图（1），已知正方形ABCD在直线MN的上方，BC在直线MN上，E是BC上一点，以AE为边在直线MN 的上方作正方形AEFG．（1）连接GD，求证：△ADG≌△ABE；(4分)（2）连接FC，观察并猜测∠FCN的度数，并说明理由；(4（3）如图（2），将图（1）中正方形ABCD改为矩形ABCD，AB=a，BC=b（a、b为常数），E是线段BC上一动点（不含端点B、C），以AE为边在直线MN的上方作矩形AEFG，使顶点G恰好落在射线CD上．判断当点E由B向C运动时，∠FCN的大小是否总保持不变，若∠FCN的大小不变，请用含a、b的代数式表示tan∠FCN的值；若∠FCN的大小发生改变，请举例说明．(5分)图（2）MBEACDFG NNMBE CDFG图（1）【060】已知：如图所示，关于的抛物线与轴交于点、点，与轴交于点．（1）求出此抛物线的解析式，并写出顶点坐标；（2）在抛物线上有一点，使四边形为等腰梯形，写出点的坐标，并求出直线的解析式；BAOCyx（第26题图）（3）在（2）中的直线交抛物线的对称轴于点，抛物线上有一动点，轴上有一动点．是否存在以为顶点的平行四边形？如果存在，请直接写出点的坐标；如果不存在，请说明理由．2010年中考数学压轴题100题精选（51-60题）答案【051】解：（1），（-1，0），B（3，0）． (3)分（2）如图14（1），抛物线的顶点为M（1，-4），连结OM．则△AOC的面积= ，△MOC的面积= ，△MOB的面积=6，∴四边形ABMC的面积=△AOC的面积+△MOC的面积+△MOB的面积=9．···················································6分图14（2）说明：也可过点M作抛物线的对称轴，将四边形ABMC的面积转化为求1个梯形与2个直角三角形面积的和．（3）如图14（2），设D（m，），连结OD．则0＜m＜3，＜0．且△AOC的面积= ，△DOC的面积= ，△DOB的面积=- （），∴四边形ABDC的面积=△AOC的面积+△DOC的面积+△DOB的面积= = ．图14（3）图14（4）∴存在点D ，使四边形ABDC的面积最大为．（4）有两种情况：如图14（3），过点B作BQ1⊥BC，交抛物线于点Q1、交y 轴于点E，连接Q1C．∵∠CBO=45°，∴∠EBO=45°，BO=OE=3．∴点E的坐标为（0，3）．∴直线BE的解析式为．····················12分由解得∴点Q1的坐标为（-2，5）．······13分如图14（4），过点C作CF⊥CB，交抛物线于点Q2、交x 轴于点F，连接BQ2．∵∠CBO=45°，∴∠CFB=45°，OF=OC=3．∴点F的坐标为（-3，0）．∴直线CF的解析式为．····················14分由解得∴点Q2的坐标为（1，-4）．综上，在抛物线上存在点Q1（-2，5）、Q2（1，-4），使△BCQ1、△BCQ2是以BC为直角边的直角三角形．yxOBADC(x=m)(F2)F1E1 (E2)【052】解：（1）根据题意，得解得．．（2分）（2）当时，得或，∵，当时，得，∴，∵点在第四象限，∴．······························（4分）当时，得，∴，∵点在第四象限，∴．···················································（6分）（3）假设抛物线上存在一点，使得四边形为平行四边形，则，点的横坐标为，当点的坐标为时，点的坐标为，∵点在抛物线的图象上，∴，∴，∴，∴（舍去），∴，∴．·······································································（9分）当点的坐标为时，点的坐标为，∵点在抛物线的图象上，∴，∴，∴，∴（舍去），，∴，∴．【053】解：（1）设，把代入，得， (2)分∴抛物线的解析式为：．顶点的坐标为．·························5分（2）设直线解析式为：（），把两点坐标代入，得解得．∴直线解析式为．·················7分，∴············9分．················································10分∴当时，取得最大值，最大值为．·················································11分(E)12331DyCBAP2xOFMH（3）当取得最大值，，，∴．∴四边形是矩形．作点关于直线的对称点，连接．法一：过作轴于，交轴于点．设，则．在中，由勾股定理，．解得．∵，∴．由，可得，．∴．∴坐标．·············································································13分法二：连接，交于点，分别过点作的垂线，垂足为．易证．(E)12331DyCBAP2xOFMHNM∴．设，则．∴，．由三角形中位线定理，．∴，即．∴坐标． (13)分把坐标代入抛物线解析式，不成立，所以不在抛物线上．··············14分【054】（1）由抛物线经过点A(0，1)，C(2，4)，得解得∴抛物线对应的函数关系式为：．·························（2分）（2）当时，P点坐标为(1，1)，∴Q点坐标为(2，0)．当时，P点坐标为(2，3)，∴Q点坐标为(5，0)．·······················（5分）（3）当≤2时，．S ．当≤5时，．S ．（8分）BADCOMNxyP1P2 当时，S的最大值为2．···················································（10分）【055】（1）过点作轴，垂足为，；又，，点的坐标为； (4)分（2）抛物线经过点，则得到， (5)分解得，所以抛物线的解析式为；····································7分（3）假设存在点，使得仍然是以为直角边的等腰直角三角形：若以点为直角顶点；则延长至点，使得，得到等腰直角三角形，·····················8分过点作轴，；，可求得点；·······11分若以点为直角顶点；则过点作，且使得，得到等腰直角三角形，···········12分过点作轴，同理可证；·····································13分，可求得点；·······································14分经检验，点与点都在抛物线上．······················16分【056】解：（1）C（3，0）；（2）①抛物线，令=0，则= ，∴A点坐标（0，c）．∵，∴，∴点P的坐标为（）．∵PD⊥轴于D，∴点D的坐标为（）．……………………………………5分根据题意，得a=a′，c= c′，∴抛物线F′的解析式为．又∵抛物线F′经过点D（），∴．……………6分∴．又∵，∴．∴b:b′= ．②由①得，抛物线F′为．令y=0，则．∴．∵点D的横坐标为∴点C的坐标为（）．设直线OP的解析式为．∵点P的坐标为（），∴，∴，∴．∵点B是抛物线F与直线OP的交点，∴．∴．∵点P的横坐标为，∴点B的横坐标为．把代入，得．∴点B的坐标为．∴BC∥OA，AB∥OC．（或BC∥OA，BC =OA），∴四边形OABC是平行四边形．又∵∠AOC=90°，∴四边形OABC是矩形．【057】(1)(2)∵，，∴当点在上运动时，，；当点在上运动时，作于点，有∵，∴∴（3）当时，，，此时，过各顶点作对边的平行线，与坐标轴无第二个交点，所以点不存在；当时，，，此时，、【058】解：（1）令，得解得，令，得ECB yPA∴A B C ·········3分（2）∵OA=OB=OC= ∴BAC= ACO= BCO=∵AP∥CB，∴PAB= ，过点P作PE 轴于E，则APE为等腰直角三角形令OE= ，则PE= ∴P∵点P在抛物线上∴解得，（不合题意，舍去）∴PE= ·······································4分∴四边形ACBP的面积= AB?OC+AB?PE= ·····················5分(3)．假设存在∵PAB= BAC = ∴PA AC∵MG 轴于点G，∴MGA= PAC =在Rt△AOC中，OA=OC= ∴AC= ，在Rt△PAE中，AE=PE= ∴AP= ··6分GM CB yPA设M点的横坐标为，则M①点M在轴左侧时，则(ⅰ) 当AMG PCA时，有= ∵AG= ，MG= 即解得（舍去）（舍去）………7分(ⅱ) 当MAG PCA时有= GM CB yPA即，解得：（舍去）∴M ···············································································8分②点M在轴右侧时，则(ⅰ) 当AMG PCA时有=∵AG= ，MG=∴解得（舍去）∴M(ⅱ) 当MAG PCA时有= 即解得：（舍去）∴M ∴存在点M，使以A、M、G三点为顶点的三角形与PCA相似，M点的坐标为，，MBEACNDFG图（1）H 【059】解：（1）∵四边形ABCD 和四边形AEFG是正方形∴AB=AD，AE=AG，∠BAD＝∠EAG＝90o∴∠BAE＋∠EAD＝∠DAG＋∠EAD∴∠BAE＝∠DAG∴△BAE≌△DAG …………4分（2）∠FCN＝45o …………5分理由是：作FH⊥MN于H∵∠AEF＝∠ABE＝90o∴∠BAE +∠AEB＝90o，∠FEH+∠AEB＝90o∴∠FEH＝∠BAE 又∵AE=EF，∠EHF＝∠EBA ＝90o∴△EFH≌△ABE …………7分∴FH＝BE，EH＝AB＝BC，∴CH＝BE＝FH∵∠FHC＝90o，∴∠FCH＝45o …………8分MBEACNDFG图（2）H （3）当点E由B向C运动时，∠FCN的大小总保持不变，…………9分理由是：作FH⊥MN于H由已知可得∠EAG＝∠BAD＝∠AEF＝90o结合（1）（2）得∠FEH＝∠BAE＝∠DAG又∵G在射线CD上，∠GDA＝∠EHF＝∠EBA＝90o ∴△EFH≌△GAD，△EFH∽△ABE ……11分∴EH＝AD＝BC＝b，∴CH＝BE，∴＝＝∴在Rt△FEH中，tan∠FCN＝＝＝BAOCyx第26题图Q4Q3Q1Q2P3P1P2DCP4∴当点E由B向C运动时，∠FCN 的大小总保持不变，tan∠FCN＝【060】解：（1）根据题意，得，解得抛物线的解析式为，顶点坐标是（2，4）（2），设直线的解析式为直线经过点点（3）存在．，，，。
2010年中考数学试题分类汇编 综合型问题(含详解答案)
2010年中考数学试题分类汇编 综合型问题20、（2010年某某省东阳县）如图，BD 为⊙O 的直径，点A 是弧BC 的中点，AD 交BC 于E 点，AE=2，ED=4. （1）求证: ABE ∆～ABD ∆；(2) 求tan ADB ∠的值； （3）延长BC 至F ，连接FD ，使BDF ∆的面积等于 求EDF ∠的度数.【关键词】圆、相似三角形、三角形函数问题【答案】（１）∵点A 是弧BC 的中点 ∴∠ＡＢＣ＝∠ＡＤＢ 又∵∠ＢＡＥ＝∠ＢＡＥ ∴△ＡＢＥ∽△ＡＢＤ（２）∵△ＡＢＥ∽△ＡＢＤ ∴ＡＢ２＝２×６＝１２ ∴ＡＢ＝２3在Ｒｔ△ＡＤＢ中，ｔａｎ∠ＡＤＢ＝33632= （３）连接ＣＤ，可得ＢＦ＝８，ＢＥ＝４，则ＥＦ＝４，△ＤＥＦ是正三角形， ∠ＥＤＦ＝６０°20．（2010年某某省某某市）某学校组织八年级学生参加社会实践活动，若单独租用35座客车若干辆，则刚好坐满；若单独租用55座客车，则可以少租一辆，且余45个空座位．（1）求该校八年级学生参加社会实践活动的人数；（2）已知35座客车的租金为每辆320元，55座客车的租金为每辆400元．根据租车资金不超过1500元的预算，学校决定同时租用这两种客车共4辆（可以坐不满）．请你计算本次社会实践活动所需车辆的租金．【关键词】不等式与方程问题【答案】解：（1）设单独租用35座客车需x 辆，由题意得：3555(1)45x x =--,解得：5x =.∴35355175x =⨯=（人）.答：该校八年级参加社会实践活动的人数为175人．3分 （2）设租35座客车y 辆，则租55座客车（4y -）辆，由题意得：3555(4)175320400(4)1500y y y y +-⎧⎨+-⎩≥≤，6分 解这个不等式组，得111244y ≤≤．∵y 取正整数， ∴y = 2. ∴4－y =4－2=2.∴320×2＋400×2=1440（元）.所以本次社会实践活动所需车辆的租金为1440元． (2010年某某省B 卷)23.（本小题满分１２分）如图，Rt ABC △内接于O ⊙，AC BC BAC =∠，的平分线AD 与O ⊙交于点D ，与BC 交于点E ，延长BD ，与AC 的延长线交于点F ，连接CD G ，是CD 的中点，连结OG ． （1）判断OG 与CD 的位置关系，写出你的结论并证明； （2）求证：AE BF =；（3）若3(2OG DE =，求O ⊙的面积．【关键词】圆 等腰三角形 三角形全等 三角形相似 勾股定理【答案】（1）猜想：OG CD ⊥．A证明：如图，连结OC 、OD ． ∵OC OD =，G 是CD 的中点， ∴由等腰三角形的性质，有OG CD ⊥．（2）证明：∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°． 而∠CAE ＝∠CBF （同弧所对的圆周角相等）． 在Rt △ACE 和Rt △BCF 中，∵∠ACE =∠BCF ＝90°，AC =BC ，∠CAE =∠CBF ， ∴Rt △ACE ≌Rt △BCF （ASA ） ∴ AE BF =．（3）解：如图，过点O 作BD 的垂线，垂足为H ．则H 为BD 的中点．∴OH ＝12AD ，即AD =2OH ． 又∠CAD ＝∠BAD ⇒CD =BD ，∴OH =OG ． 在Rt △BDE 和Rt △ADB 中， ∵∠DBE ＝∠DAC ＝∠BAD ， ∴Rt △BDE ∽Rt △ADB ∴BD DE AD DB=，即2BD AD DE =·∴226(2BD ADDE OG DE ===-·· 又BD FD =，∴2BF BD =．∴22424(2BF BD ==-…①设AC x =，则BC x =，． ∵AD 是∠BAC 的平分线， ∴FAD BAD ∠=∠． 在Rt △ABD 和Rt △AFD 中，∵∠ADB =∠ADF ＝90°，AD =AD ，∠FAD ＝∠BAD ，A∴Rt △ABD ≌Rt △AFD （ASA ）． ∴AF =AB，BD =FD ． ∴CF =AF -AC1)x x -= 在Rt △BCF 中，由勾股定理，得2222221)]2(2BF BC CF x x x =+=+=…②由①、②，得22(224(2x -=．∴212x =．解得x =-．∴AB ===∴⊙O∴π6πO S =⋅2⊙＝(2010年某某省B 卷)24.（本小题满分12分）已知：抛物线()20y ax bx c a =++≠的对称轴为1x =-与x 轴交于A B ，两点，与y 轴交于点C ，其中()30A -，、()02C -，． （1）求这条抛物线的函数表达式．（2）已知在对称轴上存在一点P ，使得PBC △的周长最小．请求出点P 的坐标．（3）若点D 是线段OC 上的一个动点（不与点O 、点C 重合）．过点D 作DE PC ∥交x 轴于点E ．连接PD 、PE ．设CD 的长为m ，PDE △的面积为S ．求S 与m 之间的函数关系式．试说明S 是否存在最大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由．【关键词】二次函数解析式 对称点 相似三角形 三角形面积【答案】（1）由题意得129302b a a bc c ⎧=⎪⎪⎪-+=⎨⎪⎪=-⎪⎩解得23432a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=-⎪⎪⎩∴此抛物线的解析式为224233y x x =+- （2）连结AC 、BC .因为BC 的长度一定，所以PBC △周长最小，就是使PC PB +最小.B 点关于对称轴的对称点是A 点，AC 与对称轴1x =-的交点即为所求的点P .设直线AC 的表达式为y kx b =+则302k b b -+=⎧⎨=-⎩，解得232k b ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩∴此直线的表达式为223y x =--． 把1x =-代入得43y =-∴P 点的坐标为413⎛⎫-- ⎪⎝⎭， （3）S 存在最大值理由：∵DE PC ∥，即DE AC ∥． ∴OED OAC △∽△． ∴OD OE OC OA =，即223m OE-=．∴332OE m =-， 连结OPOAC OED AEP PCD S S S S S =---△△△△=()1131341323212222232m m m m ⎛⎫⨯⨯-⨯-⨯--⨯⨯-⨯⨯ ⎪⎝⎭ =()22333314244m m m -+=--+ ∵304-< ∴当1m =时，34S =最大（2010年某某省某某市）已知：如图，把矩形OCBA 放置于直角坐标系中，3=OC ，2=BC ，取AB 的中点M ，连结MC ，把MBC ∆沿x 轴的负方向平移OC 的长度后得到DAO ∆.(1)试直接写出点D 的坐标； (2)已知点B 与点D 在经过原点的抛物线上，点P 在第一象限内的该抛物线上移动，过点P 作x PQ ⊥轴于点Q ，连结OP .①若以O 、P 、Q 为顶点的三角形与DAO ∆相似，试求出点P 的坐标； ②试问在抛物线的对称轴上是否存在一点T ，使得TB TO -的值最大.【关键词】二次函数、相似三角形、最值问题 答案：解：(1)依题意得：⎪⎭⎫⎝⎛-2,23D ； (2)①∵3=OC ，2=BC ， ∴()2,3B . ∵抛物线经过原点，∴设抛物线的解析式为bx ax y +=2()0≠a又抛物线经过点()2,3B 与点⎪⎭⎫⎝⎛-2,23D ∴⎪⎩⎪⎨⎧=-=+22349,239b a b a 解得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==32,94b a∴抛物线的解析式为x x y 32942-=. ∵点P 在抛物线上， ∴设点⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x x P 3294,2. 1)若PQO ∆∽DAO ∆，则AOQO DA PQ =， 22332942x xx =-，解得：01=x (舍去)或16512=x ，∴点⎪⎭⎫⎝⎛64153,1651P . 2)若OQP ∆∽DAO ∆，则AOPQ DA OQ =， 23294232x x x -=，解得：01=x (舍去)或292=x ，∴点⎪⎭⎫⎝⎛6,29P . ②存在点T ，使得TO TB -的值最大. 抛物线x x y 32942-=的对称轴为直线43=x ，设抛物线与x 轴的另一个交点为E ，则点⎪⎭⎫⎝⎛0,23E .∵点O 、点E 关于直线43=x 对称， ∴TE TO =要使得TB TO -的值最大，即是使得TB TE -的值最大，根据三角形两边之差小于第三边可知，当T 、E 、B 三点在同一直线上时，TB TE -的值最大. 设过B 、E 两点的直线解析式为b kx y +=()0≠k ，∴⎪⎩⎪⎨⎧=+=+023,23b k b k 解得：⎪⎩⎪⎨⎧-==2,34b k∴直线BE 的解析式为234-=x y . 当43=x 时，124334-=-⨯=y . ∴存在一点⎪⎭⎫⎝⎛-1,43T 使得TO TB -最大.2. （2010年某某省某某市）如图，在等边ABC ∆中，线段AM 为BC 边上的中线. 动点D 在直线．．AM 上时，以CD 为一边且在CD 的下方作等边CDE ∆，连结BE . (1) 填空：______ACB ∠=度；(2) 当点D 在线段．．AM 上(点D 不运动到点A )时，试求出BEAD的值； (3)若8=AB ，以点C 为圆心，以5为半径作⊙C 与直线BE 相交于点P 、Q 两点，在点D 运动的过程中(点D 与点A 重合除外)，试求PQ 的长.【关键词】三角形全等、等边三角形、垂径定理 答案： (1)60；(2)∵ABC ∆与DEC ∆都是等边三角形∴BC AC =，CE CD =，︒=∠=∠60DCE ACB ∴BCE DCB DCB ACD ∠+∠=∠+∠ ∴BCE ACD ∠=∠CA B C 备用图(1) AB C备用图(2)∴ACD ∆≌BCE ∆()SAS ∴BE AD =，∴1=BEAD. (3)①当点D 在线段AM 上（不与点A 重合）时，由(2)可知ACD ∆≌BCE ∆，则︒=∠=∠30CAD CBE ，作BE CH ⊥于点H ，则HQ PQ 2=，连结CQ ，则5=CQ .在CBH Rt ∆中，︒=∠30CBH ，8==AB BC ，则421830sin =⨯=︒⋅=BC CH . 6=.②当点D 在线段AM 的延长线上时，∵ABC ∆与DEC ∆都是等边三角形 ∴BC AC =，CE CD =，︒=∠=∠60DCE ACB ∴DCB ACB =∠+∠∴BCE ACD ∠=∠ ∴ACD ∆≌BCE ∆(∴=∠=∠CAD CBE ③当点D 在线段MA ∵ABC ∆与DEC ∆∴BC AC =，CD =∴︒=∠+∠=∠+∠60ACE BCE ACE ACD ∴BCE ACD ∠=∠ ∴ACD ∆≌BCE ∆()SAS ∴CAD CBE ∠=∠ ∵︒=∠30CAM∴︒=∠=∠150CAD CBE ∴︒=∠30CBQ . 同理可得：6=PQ . 综上，PQ 的长是6.1.（2010年某某省东阳市）如图，P 为正方形ABCD 的对称中心，A （0，3），B （1，0），直线OP 交AB 于N ，DC 于M ，点H 从原点O 出发沿x 轴的正半轴方向以1个单位每秒速度运动，同时，点R 从O 出发沿OM 方向以2个单位每秒速度运动，运动时间为t 。
2010中考数学试题分类汇总整理-压轴题4
2010年中考数学试题分类汇编压轴题(四)23．(安徽省)如图，已知111ABC A B C△∽△，相似比为k（k>1），且ABC△的三边长分别为a、b、c（a>b>c），111A B C△的三边长分别为1a、1b、1c.（1）若c=a1，求证：a=kc；（2）若c=a1，试给出符合条件的一对111ABC A B C△和△，使得a、b、c和1a、1b、1c都是正整数，并加以说明；（3）若b=a1，c=b1，是否存在111ABC A B C△和△使得k=2？请说明理由.解:（1）证：111ABC A B C△∽△，且相似比为11(1).ak k k a kaa>∴=∴=，，又1.c a a kc=∴=，···········································································（3分）（2）解：取11186443 2.a b c a b c======，，，同时取，， ··············（8分）此时1111112a b cABC A B Ca b c===∴，△∽△且1.c a= ······························（10分）注：本题也是开放型的，只要给出的ABC△和111A B C△符合要求就相应赋分.（3）解：不存在这样的ABC△和111A B C△.理由如下：若2k=，则111222.a ab bc c===，，又1b a=，1c b=，112244a ab b c∴====，2.b c∴= ························································································（12分）24b c c c c a∴+=+<=，而b c a+>，故不存在这样的ABC△和111A B C△，使得 2.k= ···································（14分）第23题图注：本题不要求学生严格按反证法的证明格式推理，只要能说明在题设要求下2k =的情况不可能即可. 24．（芜湖市 本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系中放置一矩形ABCO ，其顶点为A（0，1）、B （－33，1）、C （－33，0）、O （0，0）．将此矩形沿着过E （－3，1）、F （－433，0）的直线EF 向右下方翻折，B 、C 的对应点分别为B ′、C ′．（1）求折痕所在直线EF 的解析式；（2）一抛物线经过B 、E 、B ′三点，求此二次函数解析式；（3）能否在直线EF 上求一点P ，使得△PBC 周长最小？如能，求出点P 的坐标；若不能，说明理由．解：（2）设矩形沿直线EF 向右下方翻折后，B 、C 的对应点为1122()()B x y C x y B B A AE AE A ''''''⊥，，，．过作交所在直线于点. 2360B E BE B EF BEF ''==∠=∠=︒，， 6033B EA A E B A '''''∴∠=︒∴==，，.1102(02)A A B y x y B '''∴∴==--与重合，在轴上．，即，.[此时需说明()11B x y y '，在轴上]. ····································································· 6分 设二次函数解析式为：2y ax bx c =++抛物线经过()33B -，1、()3E ，1、()0-2B '，.得到233127331c a b c a b c -=⎧⎪-+=⎨⎪-+=⎩解得134332a b c ⎧=-⎪⎪⎪=-⎨⎪=-⎪⎪⎩2143233y x x ∴=---该二次函数解析式. ····················································· 9分 （3）能，可以在直线EF 上找到P 点，连接B C EF P BP '交于点，再连接.由于B P BP P C '=，此时点到、B '在一条直线上，故BP PC B P PC '+=+的和最小， 由于BC 为定长，所以满足PBC ∆周长最小. ······················································· 10分 设直线B C '的解析式为：y kx b =+2033bk b-=⎧⎪⎨=-+⎪⎩23:2B C y x '∴=--直线的解析式为. ··································· 12分 182332119103411x y x P B C EF y y x ⎧⎧=-⎪=--⎪⎪'∴⎨⎨⎪⎪=-=+⎩⎪⎩又为直线和直线的交点，解得 18311P ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭10点的坐标为，-11. ··································································· 14分[注：对于以上各大题的不同解法，解答正确可参照评分！]26.( 重庆市綦江县) 已知：抛物线y=ax 2+bx+c(a ＞0)的图象经过点B(12,0)和C(0，-6），对称轴为x=2.(1)求该抛物线的解析式； (2)点D 在线段AB 上且AD=AC ，若动点P 从A 出发沿线段AB 以每秒1个单位长度的速度匀速运动，同时另一动点Q 以某一速度从C 出发沿线段CB 匀速运动，问是否存在某一时刻，使线段PQ 被直线CD 垂直平分？若存在，请求出此时的时间t （秒）和点Q 的运动速度；若不存在，请说明理由； (3)在（2）的结论下，直线x=1上是否存在点M ，使△MPQ 为等腰三角形？若存在，请求出所有点M 的坐标；若不存在请说明理由. 解：方法一：∵抛物线过C(0,-6) ∴c=－6, 即y=ax 2+bx －6由⎪⎩⎪⎨⎧=-+=-061214422b a a b解得：a=161 ,b=－41∴该抛物线的解析式为y=161x 2－41x －6 -----------------3分方法二：∵A 、B 关于x=2对称∴A （－8，0） 设y=a(x ＋8)(x －12)C 在抛物线上 ∴－6=a ×8×(－12) 即a=161 ∴该抛物线的解析式为：y=161x 2－41x －6 --------3分（2）存在，设直线CD 垂直平分PQ,在Rt △AOC 中，AC=2268+=10=AD∴点D 在对称轴上，连结DQ 显然∠PDC=∠QDC ，-----------4分 由已知∠PDC=∠ACD∴∠QDC=∠ACD ∴DQ ∥AC -----------------------------5分 DB=AB －AD=20-10=10 ∴DQ 为△ABC 的中位线 ∴DQ=21AC=5 -----------------6分 AP=AD-PD=AD-DQ=10-5=5 ∴t=5÷1=5(秒)∴存在t=5(秒)时，线段PQ 被直线CD 垂直平分-----------7分 在Rt △BOC 中, BC=22126+=65 ∴CQ=35 ∴点Q 的运动速度为每秒553单位长度.------------------8分 （3）存在 过点Q 作QH ⊥x 轴于H ，则QH=3，PH=9在Rt △PQH 中，PQ=2239+=310 --------------------9分 ①当MP=MQ ，即M 为顶点，设直线CD 的直线方程为：y=kx+b(k ≠0),则：⎩⎨⎧+==-b k b 206 解得：⎩⎨⎧=-=36k b ∴y=3x-6当x=1时，y=－3 ∴M 1(1, －3) ------------------------10分 ②当PQ 为等腰△MPQ 的腰时，且P 为顶点. 设直线x=1上存在点M(1,y) ,由勾股定理得： 42+y 2=90 即y=±74∴M 2（1，74） M 3（1，－74） -----------------------11分 ③当PQ 为等腰△MPQ 的腰时，且Q 为顶点.过点Q 作QE ⊥y 轴于E ，交直线x=1于F ，则F(1, －3) 设直线x=1存在点M(1,y), 由勾股定理得： (y ＋3)2+52=90 即y=－3±65∴M 4(1, －3＋65) M 5((1, －3－65) --------------------12分 综上所述：存在这样的五点：M 1(1, －3), M 2（1，74）, M 3（1，－74）, M 4(1, －3＋65), M 5((1, －3－65).25．（山东省滨州市 本题满分l0分）如图，四边形ABCD 是菱形，点D 的坐标是（0，3），以点C 为顶点的抛物线c bx ax y ++=2恰好经过x 轴上A 、B 两点．（1）求A 、B 、C 三点的坐标；（2）求过A 、B 、C 三点的抛物线的解析式；（3）若将上述抛物线沿其对称轴向上平移后恰好过D 点，求平移后抛物线的解析式，并指出平移了多少个单位?解：①由抛物线的对称性可知AM=BM在Rt△AOD和Rt△BMC中，∵OD=MC，AD=BC，∴△AOD≌△BMC．∴OA=MB=MA．………………………………………l分设菱形的边长为2m，在Rt△AOD中，2)22m=+)32((m解得m=1．∴DC=2，OA=1，OB=3．∴A、B、C三点的坐标分别为（1，0）、（3，0）、（2，3）………………… 4分②设抛物线的解析式为y=a（x—2）2+3代入A点坐标可得a=—3抛物线的解析式为y=—3（x—2）2+3……………………………………7分③设抛物线的解析式为y=—3（x一2）2+k代入D（0，3）可得k=53所以平移后的抛物线的解析式为y=—3（x一2）2+53..............................9分平移了53一3=43个单位． 026.（山东省烟台市本题满分14分）如图，已知抛物线y=x2+bx－3a过点A（1，0），B（0，－3），与x轴交于另一点C.（1）求抛物线的解析式；（2）若在第三象限的抛物线上存在点P，使△PBC为以点B为直角顶点的直角三角形，求点P的坐标；（3）在（2）的条件下，在抛物线上是否存在一点Q，使以P，Q，B，C为顶点的四边形为直角梯形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.解：（1）把A（1，0），B（0，－3）代入y=x2+bx－3a中，得1+b－3a=0－3a=－3a=1解得b=2∴抛物线的解析式为y=x2+2x－3………………………………………4分（2）令y=0，得x2+2x－3=0，解得x1=－3，x2=1∴点C（－3，0） (5)分∵B（0，－3）∴△BOC为等腰直角三角形.∴∠CBO=45°……………………………………………………6分过点P作PD⊥y轴，垂足为D，∵PB⊥BC，∴∠PBD=45°∴PD=BD……………………………8分所以可设点P（x，－3+x）则有－3+x=x2+2x－3，∴x=－1，所以P点坐标为（－1，－4）………………………10分（3）由（2）知，BC⊥BP当BP为直角梯形一底时，由图象可知点Q不可能在抛物线上.若BC为直角梯形一底，BP为直角梯形腰时，∵B（0，－3），C（－3，0），∴直线BC的解析式为y=－x－3…………………………11分∵直线PQ∥BC，且P（－1，－4），∴直线PQ的解析式为y=－（x+1）－3－1即y=－x－5…………………………………………………12分y=－x－5联立方程组得y=x2+2x－3解得x1=－1，x2=－2…………………………………………………………………………13分∴x=－2，y=－3，即点Q（－2，－3）∴符合条件的点Q的坐标为（－2，－3）………………………………………………14分xy OA BCD EP 28．(四川省成都市)在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于A B 、两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，点A 的坐标为(30)-，，若将经过A C 、两点的直线1y kx b =+沿y 轴向下平移3个单位后恰好经过原点，且抛物线的对称轴是直线2x =-．（1）求直线AC 及抛物线的函数表达式； （2）如果P 是线段AC 上一点，设ABP ∆、BPC ∆的面积分别为ABP S ∆、BPC S ∆，且:2:3ABP BPC S S ∆∆=，求点P 的坐标；（3）设Q 的半径为l ，圆心Q 在抛物线上运动，则在运动过程中是否存在Q 与坐标轴相切的情况？若存在，求出圆心Q 的坐标；若不存在，请说明理由．并探究：若设⊙Q 的半径为r ，圆心Q 在抛物线上运动，则当r 取何值时，⊙Q 与两坐轴同时相切？解：（1）∵y kx b =+沿y 轴向下平移3个单位后恰好经过原点， ∴3b =，(0 3)C ，。
2010年中考数学压轴题100题精选(51-60题)答案巩固基础
2010年中考数学压轴题100题精选（51-60题）答案【051】解：（1）3k =-，（-1，0），B （3，0）． ······················· 3分 （2）如图14（1），抛物线的顶点为M （1，-4），连结OM ．则 △AOC 的面积=23，△MOC 的面积=23，△MOB 的面积=6，∴ 四边形 ABMC 的面积=△AOC 的面积+△MOC 的面积+△MOB 的面积=9． ·································· 6分说明：也可过点M 作抛物线的对称轴，将四边形ABMC 的面积转化为求1个梯形与2个直角三角形面积的和． （3）如图14（2），设D （m ，322--m m ），连结OD ． 则 0＜m ＜3，322--m m ＜0． 且 △AOC 的面积=23，△DOC 的面积=m 23， △DOB 的面积=-23（322--m m ）， ∴ 四边形 ABDC 的面积=△AOC 的面积+△DOC 的面积+△DOB 的面积=629232++-m m =875)23(232+--m ． ∴ 存在点D 315()24-，，使四边形ABDC 的面积最大为875．（4）有两种情况：如图14（3），过点B 作BQ 1⊥BC ，交抛物线于点Q 1、交y 轴于点E ，连接Q 1C ． ∵ ∠CBO =45°，∴∠EBO =45°，BO =OE =3． ∴ 点E 的坐标为（0，3）． ∴ 直线BE 的解析式为3y x =-+． ···························· 12分由2323y x y x x =-+⎧⎨=--⎩， 解得1125x y ，；2230.x y ，∴ 点Q 1的坐标为（-2，5）． ········· 13分如图14（4），过点C 作CF ⊥CB ，交抛物线于点Q 2、交x 轴于点F ，连接BQ 2．∵ ∠CBO =45°，∴∠CFB =45°，OF =OC =3． ∴ 点F 的坐标为（-3，0）．∴ 直线CF 的解析式为3y x =--．····························· 14分 由2323y x y x x =--⎧⎨=--⎩， 解得1103x y ，；2214x y ，．∴点Q 2的坐标为（1，-4）．综上，在抛物线上存在点Q 1（-2，5）、Q 2（1，-4）， 使△BCQ 1、△BCQ 2是以BC 为直角边的直角三角形．【052】解：（1）根据题意，得04202.a b c a b c c ++=⎧⎪++=⎨⎪=-⎩，，图14（2）图14（3） 图14（4）yxOBA DE 1 (E 2)解得132a b c =-==-，，．232y x x ∴=-+-．（2分） （2）当EDB AOC △∽△时，得AO CO ED BD =或AO COBD ED=， ∵122AO CO BD m ===-，，，当AO CO ED BD =时，得122ED m =-， ∴22m ED -=，∵点E 在第四象限，∴122m E m -⎛⎫⎪⎝⎭，． ··········································· （4分） 当AO CO BD ED =时，得122m ED=-，∴24ED m =-， ∵点E 在第四象限，∴2(42)E m m -，． ········································································· （6分）（3）假设抛物线上存在一点F ，使得四边形ABEF 为平行四边形，则 1EF AB ==，点F 的横坐标为1m -， 当点1E 的坐标为22m m -⎛⎫ ⎪⎝⎭，时，点1F 的坐标为212m m -⎛⎫- ⎪⎝⎭，，∵点1F 在抛物线的图象上，∴22(1)3(1)22mm m -=--+--，∴2211140m m -+=， ∴(27)(2)0m m --=，∴722m m ==，（舍去），∴15324F ⎛⎫- ⎪⎝⎭，， ∴33144ABEFS=⨯=． ····································································································· （9分） 当点2E 的坐标为(42)m m -，时，点2F 的坐标为(142)m m --，， ∵点2F 在抛物线的图象上，∴242(1)3(1)2m m m -=--+--，∴27100m m -+=，∴(2)(5)0m m --=，∴2m =（舍去），5m =，∴2(46)F -，，∴166ABEFS =⨯=．【053】解：（1）设(1)(3)y a x x =+-，把(03)C ，代入，得1a =-， ······························ 2分∴抛物线的解析式为：223y x x =-++．顶点D 的坐标为(14)，． ··································· 5分 （2）设直线BD 解析式为：y kx b =+（0k ≠），把B D 、两点坐标代入，得304.k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得26k b =-=，．∴直线AD 解析式为26y x =-+． ························· 7分2111(26)3222s PE OE xy x x x x ===-+=-+，∴23(13)s x x x =-+<< ·················· 9分 22993934424s x x x ⎛⎫⎛⎫=--++=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． ····································································· 10分∴当32x =时，s 取得最大值，最大值为94． ······································································ 11分 （3）当s 取得最大值，32x =，3y =，∴332P ⎛⎫⎪⎝⎭，．∴四边形PEOF 是矩形． 作点P 关于直线EF 的对称点P '，连接P E P F ''、． 法一：过P '作P H y '⊥轴于H ，P F '交y 轴于点M设MC m =，则332MF m P M m P E ''==-=，，．在Rt P MC '△中，由勾股定理，223(3)2m m ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭解得158m =．∵CM P H P M PE '''=，∴910P H '=． 由EHP EP M ''△∽△，可得EH EP EP EM '='，65EH =．∴69355OH =-=． ∴P '坐标99105⎛⎫-⎪⎝⎭，． ·············································································································· 13分 法二：连接PP '，交CF 于点H ，分别过点H P '、作PC 的垂线，垂足为M N 、． 易证CMH HMP △∽△．∴12CM MH MH PM ==． 设CM k =，则24MH k PM k ==，．∴5PC =由三角形中位线定理，12845PN k P N k '====，∴12395210CN PN PC =-=-=，即910x =-． 69355y PF P N '=-=-=∴P '坐标99105⎛⎫- ⎪⎝⎭，． ··把P '坐标99105⎛⎫-⎪⎝⎭，代入抛物线解析式，不成立，所以P '不在抛物线上． ····················· 14分 【054】（1）由抛物线经过点A (0，1)，C (2，4)，得21,122 4.4c b c =⎧⎪⎨-⨯++=⎪⎩解得2,1.b c =⎧⎨=⎩ ∴抛物线对应的函数关系式为：21214y x x =-++． ··································· （2分）（2）当1t =时，P 点坐标为(1，1)，∴Q 点坐标为(2，0)． 当4t =时，P 点坐标为(2，3)，∴Q 点坐标为(5，0)． ································ （5分）（3）当0t <≤2时，211(211)124S t t =-++-⨯．S 218t t =-+．当2t <≤5时，1(5)(2212)2S t t =-+-+-．S 215322t t =-+-． （8分）当3t =时，S 的最大值为2． ································【055】（1）过点B 作BD x ⊥轴，垂足为D ， 9090BCD ACO ACO CAO ∠+∠=∠+∠=°，°BCD CAO ∴∠=∠；又90BDC COA CB AC ∠=∠==°；， BCD CAO ∴△≌△，12BD OC CD OA ∴====，∴点B 的坐标为(31)-，； ·················································· 4（2）抛物线22y ax ax =+-经过点(31)B -，，则得到1932a a =--， ··························· 5分 解得12a =，所以抛物线的解析式为211222y x x =+-； ···················································· 7分 （3）假设存在点P ，使得ACP △仍然是以AC 为直角边的等腰直角三角形：①若以点C 为直角顶点；则延长BC 至点1P ，使得1PC BC =，得到等腰直角三角形1ACP △， ······························ 8分 过点1P 作1PM x ⊥轴，11190CP BC MCP BCD PMC BDC =∠=∠∠=∠=，，°； 1MPC DBC ∴△≌△121CM CD PM BD ∴====，，可求得点1P (1，-1)； ·········· 11分 ②若以点A 为直角顶点；则过点A 作2AP CA ⊥，且使得2AP AC =，得到等腰直角三角形2ACP △， ················ 12分 过点2P 作2P N y ⊥轴，同理可证2AP N CAO △≌△； ····················································· 13分221NP OA AN OC ∴====，，可求得点2(21)P ，； ······················································· 14分 经检验，点1(11)P -，与点2(21)P ，都在抛物线211222y x x =+-上． ································ 16分 【056】解：（1） C （3，0）；（2）①抛物线c bx ax y ++=2，令x =0，则y =c ， ∴A 点坐标（0，c ）．∵ac b 22=，∴ 242424442c a ac a ac ac a b ac ==-=-，∴点P 的坐标为（2,2ca b -）． ∵PD ⊥x 轴于D ，∴点D 的坐标为（0,2ab-）． ……………………………………5分 根据题意，得a=a ′，c= c ′，∴抛物线F ′的解析式为c x b ax y ++='2．又∵抛物线F ′经过点D （0,2a b-），∴c a b b ab a +-+⨯=)2('4022．……………6分 ∴ac bb b 4'202+-=．又∵ac b 22=，∴'2302bb b -=．∴b :b ′=32． ②由①得，抛物线F ′为c bx ax y ++=232． 令y=0，则0232=++c bx ax ． ∴abx a b x -=-=21,2．∵点D 的横坐标为,2a b -∴点C 的坐标为（0,ab-）． 设直线OP 的解析式为kx y =．∵点P 的坐标为（2,2ca b -）， ∴k a b c 22-=，∴22222b b b b ac b ac k -=-=-=-=，∴x by 2-=． ∵点B 是抛物线F 与直线OP 的交点，∴x b c bx ax 22-=++．∴abx a b x -=-=21,2．∵点P 的横坐标为a b 2-，∴点B 的横坐标为ab-．把a b x -=代入x by 2-=，得c a ac a b a b b y ===--=222)(22．∴点B 的坐标为),(c ab-．∴BC ∥OA ，AB ∥OC ．（或BC ∥OA ，BC =OA ），∴四边形OABC 是平行四边形．又∵∠AOC =90°，∴四边形OABC 【057】(1) )6,0(),0,8(B A(2)∵8=OA ，6=OB ，∴AB 当点P 在OB 上运动时，t OP =1t t OP OA S 4821211=⨯⨯=⨯=； 当点P 在BA 上运动时，作D P ⊥2有AB AP BO D P 22=∵t AP -+=1062∴51925125348821212+-=-⨯⨯=⨯⨯=t t D P OA S （3）当124=t 时，3=t ，)3,0(1P ，此时，过AOP ∆各顶点作对边的平行线，与坐标轴无第二个交点，所以点M 不存在； 当125192512=+-t 时，11=t ，)3,4(2P ，此时，)3,0(1M 、)6,0(2-M 【058】解：（1）令0y =，得210x -= 解得1x =±，令0x =，得1y =-∴ A (1,0)- B (1,0) C (0,1)- ·············（2）∵O A =O B =O C =1 ∴∠BAC =∠AC O=∠BC O=45 ∵A P ∥CB ，∴∠P AB =45，过点P 作P E ⊥x 轴于E ， 则∆A P E 为等腰直角三角形令O E =a ，则P E =1a + ∴P (,1)a a +∵点P 在抛物线21y x =-上 ∴211a a +=-解得12a =，21a =-（不合题意，舍去） ∴P E =3 · 4分 ∴四边形ACB P 的面积S =12AB •O C +12AB •P E =112123422⨯⨯+⨯⨯= ································ 5分 (3)． 假设存在∵∠P AB =∠BAC =45 ∴P A ⊥AC∵MG ⊥x 轴于点G ， ∴∠MG A =∠P AC =90在Rt △A O C 中，O A =O C =1 ∴AC ，在Rt △P AE 中，AE =P E =3 ∴A P= ······· 6分设M 点的横坐标为m ，则M 2(,1)m m - ①点M 在y 轴左侧时，则1m <- (ⅰ) 当∆A MG ∽∆P CA 时，有AG PA =MGCA∵A G=1m --MG=21m -2= 解得11m =-（舍去） 223m =（舍去）………7分 (ⅱ) 当∆M A G ∽∆P CA 时有AG CA =MGPA即 2=，解得：1m =-（舍去） 22m =-∴M (2,3)- ························································ 8分② 点M 在y 轴右侧时，则1m >(ⅰ) 当∆A MG ∽∆P CA 时有AG PA =MGCA∵A G=1m +，MG=21m -∴2= 解得11m =-（舍去） 243m = ∴M 47(,)39(ⅱ) 当∆M A G ∽∆P CA 时有AG CA =MGPA 即2=解得：11m =-（舍去） 24m = ∴M (4,15) ∴存在点M ，使以A 、M 、G 三点为顶点的三角形与∆P CA 相似，M 点的坐标为(2,3)-，47(,)39，(4,15)【059】解：（1）∵四边形ABCD 和四边形AEFG 是正方形 ∴AB =AD ，AE =AG ，∠BAD ＝∠EAG ＝90º∴∠BAE ＋∠EAD ＝∠DAG ＋∠EAD ∴∠BAE ＝∠DAG∴△ BAE ≌△DAG …………4分（2）∠FCN ＝45º …………5分 理由是：作FH ⊥MN 于H∵∠AEF ＝∠ABE ＝90º∴∠BAE +∠AEB ＝90º，∠FEH +∠AEB ＝90º∴∠FEH ＝∠BAE 又∵AE =EF ，∠EHF ＝∠EBA ＝90º∴△EFH ≌△ABE …………7分 ∴FH ＝BE ，EH ＝AB ＝BC ，∴CH ＝BE ＝FH∵∠FHC ＝90º，∴∠FCH ＝45º …………8分（3）当点E 由B 向C 运动时，∠FCN的大小总保持不变，…………9分理由是：作FH ⊥MN 于H由已知可得∠EAG ＝∠BAD ＝∠AEF ＝90º 结合（1）（2）得∠FEH ＝∠BAE ＝∠DAG又∵G 在射线CD 上，∠GDA ＝∠EHF ＝∠EBA ＝90º ∴△EFH ≌△GAD ，△EFH ∽△ABE ……11分 ∴EH ＝AD ＝BC ＝b ，∴CH ＝BE ，∴EH AB ＝FH BE ＝FHCH∴在Rt △FEH 中，tan ∠FCN ＝FH CH ＝EH AB ＝b a∴当点E 由B 向C 运动时，∠FCN ＝ba【060】解：（1）根据题意，得 4203660a c a c -+=⎧⎨++=⎩，解得143a c ⎧=-⎪⎨⎪=⎩ ∴抛物线的解析式为2134y x x =-++，顶点坐标是（2，4） （2）(43)D ，，设直线AD 的解析式为(0)y kx b k =+≠ 直线经过点(20)A -，、点(43)D ，2043k b k b -+=⎧∴⎨+=⎩121k b ⎧=⎪∴⎨⎪=⎩ 112y x ∴=+（3）存在．120)Q ，，2(2)Q -，0，3(6Q -，4(6Q +M B E AC ND F G 图（2） HM B E A C ND F G图（1）H第26题图。
【VIP专享】2010年中考数学压轴(1-10题)答案
3 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙9 分
3 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙10 分
6.培养学生观察、思考、对比及分析综合的能力。过程与方法1.通过观察蚯蚓教的学实难验点，线培形养动观物察和能环力节和动实物验的能主力要；特2征.通。过教对学观方察法到与的教现学象手分段析观与察讨法论、，实对验线法形、动分物组和讨环论节法动教特学征准的备概多括媒，体继课续件培、养活分蚯析蚓、、归硬纳纸、板综、合平的面思玻维璃能、力镊。子情、感烧态杯度、价水值教观1和.通过学理解的蛔1虫.过观适1、察于程3观阅 六蛔寄.内列察读 、虫生出蚯材 让标容生3根常蚓料 学本教活.了 据见身： 生，师的2、解 问的体巩鸟 总看活形作 用蛔 题线的固类 结雌动态业 手虫 自形练与 本雄学、三： 摸对 学动状习人 节蛔生结4、、收 一人 后物和同类 课虫活构请一蚯集 摸体 回并颜步关 重的动、学、蚓鸟 蚯的 答归色学系 点形教生生让在类 蚓危 问纳。习从 并状学理列学平的害 题线蚯四线人 归、意特出四生面体以形蚓、形类 纳大图点常、五观玻存 表及动的鸟请动文 本小引以见引、察璃现 ，预物身类 3学物明 节有言及的、导巩蚯上状 是防的体之生和历 课什根蚯环怎学固蚓和， 干感主是所列环史 学么据蚓节二样生练引牛鸟 燥染要否以举节揭 到不上适动、区回习导皮类 还的特分分蚯动晓 的同节于物让分答。学纸减 是方征节布蚓物起 一，课穴并学蚯课生上少 湿法。?广的教， 些体所居归在生蚓前回运的 润；4泛益学鸟色生纳.靠物完的问答动原 的4蛔，处目类 习和活环.近在成前题蚯的因 ？了虫以。标就 生体的节身其实端并蚓快及 触解寄上知同 物表内特动体结验和总利的慢我 摸蚯生适识人 学有容点物前构并后结用生一国 蚯蚓在于与类 的什，的端中思端线问活样的 蚓人飞技有 基么引进主的的考?形题环吗十 体生行能着 本特出要几变以动，境？大 节活的1密 方征本“特节化下物.让并为珍 近习会形理切 法。课生征有以问的小学引什稀 腹性态解的 。2课物。什游题主.结生出么鸟 面和起结蛔关观题体么戏：要利明蚯？类 处适哪构虫系察：的特的特用确蚓等 ，于些特适。蛔章形殊形征板，这资 是穴疾点于可虫我态结式。书生种料 光居病是寄的们结构，五小物典， 滑生？重生鸟内学构，学、结的型以 还活5要生类部习与.其习巩鸟结的爱 是如原活生结了功颜消固类构线鸟 粗形何因的存构腔能色化练适特形护 糙态预之结的，肠相是系习于点动鸟 ？、防一构现你动适否统。飞都物为结蛔。和状认物应与的行是。主构虫课生却为和”其结的与题、病本理不蛔扁的他构特环以生？8特乐虫形观部特8征境小理三页点观的动位点梳相组等、这；，哪物教相，理适为方引些2鸟，育同师.知应单面导鸟掌类结了；？生识的位学你握日构解2互.。办特生认线益特了通动手征观识形减点它过，抄；察吗动少是们理生报5蛔？物，与的解.参一了虫它和有寄主蛔与份解结们环些生要虫其。蚯构都节已生特对中爱蚓。会动经活征人培鸟与飞物灭相。类养护人吗的绝适这造兴鸟类？主或应节成趣的为要濒的课情关什特临？就危感系么征灭来害教；？；绝学，育，习使。我比学们它生可们理以更解做高养些等成什的良么两好。类卫动生物习。惯根的据重学要生意回义答；的3.情通况过，了给解出蚯课蚓课与题人。类回的答关：系线，形进动行物生和命环科节学动价环值节观动的物教一育、。根教据学蛔重虫点病1.引蛔出虫蛔适虫于这寄种生典生型活的线结形构动和物生。理二特、点设；置2.问蚯题蚓让的学生生活思习考性预和习适。于穴居生活的形态、结构、生理等方面的特征；3.线形动物和环节动物的主要特征。
2010年广东省中考数学压轴题(全)
2010年广东省中考数学压轴题（全）1.（2010年广东、汕头、中山市）如图（1），（2）所示，矩形ABCD 的边长AB=6，BC=4，点F 在DC 上，DF=2。
动点M 、N 分别从点D 、B 同时出发，沿射线DA 、线段BA 向点A 的方向运动（点M 可运动到DA 的延长线上），当动点N 运动到点A 时，M 、N 两点同时停止运动。
连接FM 、FN ，当F 、N 、M 不在同一直线时，可得△FMN ，过△FMN 三边的中点作△PQW 。
设动点M 、N 的速度都是1个单位/秒，M 、N 运动的时间为x 秒。
试解答下列问题： （1）说明△FMN ∽△QWP ；（2）设0≤x ≤4（即M 从D 到A 运动的时间段）。
试问x 为何值时，△PQW 为直角三角形？当x 在何范围时，△PQW 不为直角三角形？（3）问当x 为何值时，线段MN 最短？求此时MN 的值。
第22题图（1） A B M C F D N WP Q 第22题图（2） A B C D F M N W P Q图11OxyCDBAE2.（2010年广州市）如图11，四边形OABC 是矩形，点A 、C 的坐标分别为（3，0）、（0， 1），点D 是线段BC 上的动点（与端点B 、C 不重合），过点D 作直线12y x b =-+交折线OAB 于点E 。
（1）记△ODE 的面积为S ，求S 与b 的函数关系式；（2）当点E 在线段OA 上时，若矩形OABC 关于直线DE 的对称图形为四边形1111O A B C ，试探究四边形1111O A B C 与矩形OABC 的重叠部分的面积是否发生变化，若不变，求出重叠部分的面积；若改变，请说明理由。
3.（2010年深圳市）如图10，以点M （－1,0）为圆心的圆与y 轴、x 轴分别交于点A 、B 、C 、D ，直线y ＝－33 x － 533与⊙M 相切于点H ，交x 轴于点E ，交y 轴于点F ． （1）请直接写出OE 、⊙M 的半径r 、CH 的长；（2）如图11，弦HQ 交x 轴于点P ，且DP:PH ＝3:2，求cos ∠QHC 的值； （3）如图12，点K 为线段EC 上一动点（不与E 、C 重合），连接BK 交⊙M 于点T ，弦AT交x 轴于点N ．是否存在一个常数a ，始终满足MN ·MK ＝a ，如果存在，请求出a 的值；如果不存在，请说明理由．xD A BHCEM O F 图10xyD A BHCEM O F 图11P Q xy DABHC EM O F 图12NKy4.（2010年佛山市）一般来说，数学研究对象本质属性的共同点和差异点。