高中数学 3.2.3《直线的一般式方程》导学案新人教A版必修2

合集下载

高中数学第三章直线与方程3.2.2直线的两点式方程3.2.3直线的一般式方程学案(含解析)新人教A版必修2

3.2.2 直线的两点式方程3.2.3 直线的一般式方程知识导图学法指导1.体会直线的两点式方程、截距式方程的推导过程，并由此求直线的方程．2．明确平面上的直线和二元一次方程的区别与联系．3．弄清楚直线的一般式方程和其他几种形式之间的关系以及每种形式的适用条件，在解题时注意选择恰当的直线方程．4．明确利用直线方程的几种形式判断直线平行和垂直问题的方法．高考导航1.利用两点坐标求直线的方程或利用直线的截距式求直线的方程是常考知识点，分值5分．2．由直线的一般式方程判断直线的位置关系或求参数的值也是高考的常考题型，以选择题或填空题为主，分值5分.知识点一直线的两点式、截距式方程1．截距式方程中间以“＋”相连，右边是1.2．a 叫做直线在x 轴上的截距，a∈R ，不一定有a >0.知识点二线段的中点坐标公式若点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，设P (x ，y )是线段P 1P 2的中点，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1＋x 22，y ＝y 1＋y22.知识点三直线的一般式方程 1．直线与二元一次方程的关系在平面直角坐标系中的直线与二元一次方程的对应关系如下：2．直线的一般式方程式子：关于x ，y 的二元一次方程Ax ＋By ＋C ＝0；条件：A ，B 不同时为零；简称：一般式．3．直线的一般式方程与其他四种形式的转化认识直线的一般式方程(1)方程是关于x ，y 的二元一次方程；(2)方程中等号的左侧自左向右一般按x ，y ，常数的先后顺序排列； (3)x 的系数一般不为分数和负数；(4)平面直角坐标系内的任何一条直线都有一个二元一次方程与它相对应，即直线的一般式方程可以表示任何一条直线．[小试身手]1．判断下列命题是否正确. (正确的打“√”，错误的打“×”) (1)不经过原点的直线都可以用方程x a ＋y b＝1表示．( )(2)经过任意两个不同的点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的直线都可以用方程(y －y 1) (x 2－x 1)＝(x －x 1)(y 2－y 1)表示．( )答案：(1)× (2)√2．经过点A (－3,2)，B (4,4)的直线的两点式方程为( ) A.y －22＝x ＋37 B.y －2－2＝x －37C.y ＋22＝x －37D.y －2x ＋3＝27解析：由方程的两点式可得直线方程为y －24－2＝x －－4－－，即y －22＝x ＋37.答案：A3．在x 轴和y 轴上的截距分别为－2,3的直线方程是( ) A.x 3＋y －2＝1 B.x 2＋y－3＝1 C.x －2＋y 3＝1 D.x －3＋y2＝1 解析：由直线的截距式方程，可得直线方程是x －2＋y3＝1.答案：C4．直线x 3＋y4＝1化成一般式方程为( )A ．y ＝－43x ＋4B ．y ＝－43(x －3)C ．4x ＋3y －12＝0D ．4x ＋3y ＝12解析：直线x 3＋y4＝1化成一般式方程为4x ＋3y －12＝0. 答案：C。

3.2.2直线的两点式方程 3.2.3直线的一般式方程教案(人教A版必修2)

3.2.2直线的两点式方程3.2.3直线的一般式方程●三维目标1．知识与技能(1)掌握直线方程的两点式的形式特点及适用条件．(2)了解直线方程截距式的形式特点及适用条件．(3)明确直线方程一般式的形式特点，会把直线方程的一般式同直线方程的其他形式互化．2．过程与方法(1) 让学生在应用旧知识的探究过程中获得到新的结论，并通过新旧知识的比较、分析、应用获得新知识的特点．(2)通过探究直线与二元一次方程的关系，让学生积极、主动地参与观察、分析、归纳，进而得出直线的一般式方程，培养学生勇于探究的精神和学会用分类讨论的数学思想方法解决问题．3．情感、态度与价值观(1)认识事物之间的普遍联系与相互转化．(2)培养学生用联系的观点看问题．●重点难点重点：直线方程的两点式、一般式．难点：两点式的适用条件及直线方程一般式的形式特征．重难点突破：以具体案例“求过两点的直线方程”为切入点，通过学生解答，发现知识之间的联系，然后通过观察、思考和互相交流，归纳出直线方程的两点式的形式．针对其适用条件，教学时可引导学生从两点式的形式给予突破；从直线方程的点斜式、斜截式、两点式、截距式的形式出发，采用由特殊到一般的方式，通过学生观察、师生交流，寻其共性，得出直线方程一般式的形式特征，最后通过典例训练，熟练掌握直线方程的各种形式，突出重点的同时化解难点．●教学建议本节知识是上一节知识的拓展和补充，旨在培养学生多角度探求直线方程的求法．鉴于本节知识的特点，对于直线方程的两点式的教学，可引导学生由“点斜式方程”出发，探究“过两点的直线方程”求法，整个过程遵循由浅及深、由特殊到一般的认知规律，使学生在已有的知识基础上获得新结论，达到温故知新的目的．对于直线方程的截距式，教学时只需明确以下两点：(1)它是两点式的特殊情形；(2)讲清截距的几何含义和截距式方程的特征及适用条件．对于直线方程的一般式，教学时，可采取“分析法”“讨论法”“归纳法”与多媒体相结合进行教学，增强动感和直观性．在整个教学过程中，引导学生观察、分析、概括、归纳，使学生思维紧紧围绕“一般式的形式特征与直线点斜式方程的互化”层层展开，体现知识的相互交融性，同时为下一节研究直线的交点坐标及距离公式做好铺垫．●教学流程创设问题情境，引出问题：过两定点的直线方程，如何求解？⇒通过引导学生回忆直线的点斜式方程，探究得出直线的两点式方程，明确其适用条件.⇒通过引导学生回答所提问题理解直线方程的一般式与二元一次方程的关系.⇒通过例1及其互动探究，使学生掌握直线的两点式方程的求法.⇒通过例2及其变式训练，使学生掌握直线的截距式方程的求法.⇒1．利用点斜式解答如下问题：(1)已知直线l 经过两点P 1(1,2)，P 2(3,5)，求直线l 的方程；(2)已知两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，其中x 1≠x 2，y 1≠y 2，求通过这两点的直线方程．【提示】 (1)y －2＝32(x －1)．(2)y －y 1＝y 2－y 1x 2－x 1(x －x 1)．2．过点(3,0)和(0,6)的直线能用x 3＋y6＝1表示吗？【提示】能．直线方程的两点式和截距式若点12112212的中点，则⎩⎨⎧x ＝x 1＋x 22，y ＝y 1＋y 22.我们已经学习了直线的点斜式y －y 0＝k (x－x 0)，直线的斜截式y ＝kx ＋b ，直线的两点式y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1，直线的截距式x a ＋y b ＝1，并且掌握了它们的适用条件．1．上述方程的四种形式都能用Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为零)来表示吗？【提示】能．2．关于x ，y 的二元一次方程Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为0)一定表示直线吗？【提示】一定．直线的一般式方程(1)定义：关于x ，y 的二元一次方程Ax ＋By ＋C ＝0(其中A ，B 不同时为0)叫做直线的一般式方程，简称一般式．(2)斜率：直线Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为0)，当B ≠0时，其斜率是－AB ，在y 轴上的截距是－CB.当B ＝0时，这条直线垂直于x 轴，不存在斜率.三角形的三个顶点是A (－1,0)，B (3，－1)，C (1,3)，求三角形三边所在直线的方程．【思路探究】由两点式直接求出三角形三边所在的直线的方程．【自主解答】由两点式，直线AB 所在直线方程为： y －(－1)0－(－1)＝x －3－1－3，即x ＋4y ＋1＝0.同理，直线BC 所在直线方程为： y －3－1－3＝x －13－1，即2x ＋y －5＝0. 直线AC 所在直线方程为： y －30－3＝x －1－1－1，即3x －2y ＋3＝0.1．已知直线上的两点坐标时，通常用两点式求直线方程．2．利用两点式求直线方程的前提是x 1≠x 2，y 1≠y 2，切忌不注意坐标间的关系盲目套用公式．在题设条件不变的情况下，求AB 中点与点C 连线的方程．【解】设AB 边中点为D (x ，y )，则⎩⎨⎧x ＝－1＋32＝1，y ＝0＋(－1)2＝－12，C ，D 两点横坐标相同，所以直线CD 的方程为x ＝1.l 的方程．【思路探究】思路一：利用直线的截距式方程求解，需分截距“为零”和“不为零”两类分别求解；思路二：利用直线方程的点斜式求解．【自主解答】法一设直线l 在两坐标轴上的截距均为a . ①若a ＝0，则直线l 过原点，此时l 的方程为2x ＋3y ＝0； ②若a ≠0，则l 的方程可设为x a ＋ya ＝1，因为直线l 过点(3，－2)，知3a ＋－2a ＝1，即a ＝1，所以直线l 的方程为x ＋y ＝1，即x ＋y －1＝0.综上可知，直线l 的方程为x ＋y －1＝0或2x ＋3y ＝0.法二由题意可知，直线l 的斜率存在且不为0，设其斜率为k ，则可得直线的方程为y ＋2＝k (x －3)．令x ＝0，得y ＝－2－3k . 令y ＝0，得x ＝2k＋3.由题意－2－3k ＝2k ＋3，解得k ＝－1或k ＝－23.所以直线l 的方程为y ＋2＝－(x －3)或y ＋2＝－23(x －3)，即x ＋y －1＝0或2x ＋3y ＝0.1．如果题目中出现直线在两坐标轴上的“截距相等”“截距互为相反数”“在一坐标轴上的截距是另一坐标轴上截距的m 倍(m >0)”等条件时，若采用截距式求直线方程，则一定要注意考虑“零截距”的情况．2．应用截距式方程处理截距相等问题的一般思路：已知直线l 过点(1,1)且在y 轴上的截距是在x 轴上的截距的2倍，求直线l 的方程．【解】由条件知直线l 的斜率存在且不为0，可设直线l 的方程为y －1＝k (x －1)，则由条件知1－k ＝2(1－1k)，解得k ＝1或k ＝－2.故l 的方程为y ＝x 或y ＝－2x ＋3.(1)斜率是3，且经过点A (5,3)； (2)过点B (－3,0)，且垂直于x 轴； (3)斜率为4，在y 轴上的截距为－2； (4)在y 轴上的截距为3，且平行于x 轴； (5)经过A (－1,5)，B (2，－1)两点；(6)在x ，y 轴上的截距分别是－3，－1.【思路探究】根据条件，选择恰当的直线方程的形式，最后化成一般式方程．【自主解答】 (1)由点斜式方程得y －3＝3(x －5)，整理得3x －y ＋3－53＝0. (2)x ＝－3，即x ＋3＝0. (3)y ＝4x －2，即4x －y －2＝0. (4)y ＝3，即y －3＝0.(5)由两点式方程得y －5－1－5＝x －(－1)2－(－1)，整理得2x ＋y －3＝0. (6)由截距式方程得x －3＋y－1＝1，整理得x ＋3y ＋3＝0.直线方程的五种形式的比较：若直线Ax ＋By ＋C ＝0(不经过原点)不经过第三象限，则AB ________0，BC ________0. 【解析】如图所示，若直线l 不经过第三象限，则斜率k <0且在y 轴上的截距大于零，∴B ≠0.由Ax ＋By ＋C ＝0，得y ＝－A B x －CB .∴k ＝－A B <0，b ＝－CB >0.故AB >0且BC <0. 【答案】><利用坐标法解决实际问题(12分)如图3－2－1所示，某房地产公司要在荒地ABCDE 上划出一块长方形土地(不改变方向)建造一图3－2－1幢8层的公寓，如何设计才能使公寓占地面积最大？并求出最大面积．(精确到1 m 2) 【思路点拨】本题考查坐标法的应用和二次函数的最值，关键是确定长方形中在AB 上的顶点的位置，可建立坐标系，运用直线的知识求解．【规范解答】建立如图所示的坐标系，则B (30,0)，A (0,20)，∴由直线的截距式方程得到线段AB 的方程为： x 30＋y20＝1(0≤x ≤30).3分设长方形中在AB 上的顶点为P ，点P 的坐标为(x ，y )，则有y ＝20－23x (0≤x ≤30).4分∴公寓的占地面积为： S ＝(100－x )·(80－y ) ＝(100－x )·(80－20＋23x )＝－23x 2＋203x ＋6 000(0≤x ≤30).8分∴当x ＝5，y ＝503时，S 取最大值，最大值为S ＝－23×52＋203×5＋6 000≈6 017(m 2).10分即当点P 的坐标为(5，503)时，公寓占地面积最大，最大面积约为6 017 m 2.12分本题是用坐标法解决生活问题，点P 的位置由两个条件确定，一是A ，P ，B 三点共线，二是矩形的面积最大．借助三点共线寻求x 与y 的关系，然后利用二次函数知识探求最大值是处理这类问题常用的方法．1．当直线没有斜率(x 1＝x 2)或斜率为0(y 1＝y 2)时，不能用两点式y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1求它的方程，此时直线的方程分别是x ＝x 1和y ＝y 1，而它们都适合(x 2－x 1)(y －y 1)＝(y 2－y 1)(x －x 1)，即两点式的整式形式，因此过任意两点的直线的方程都可以写成(x 2－x 1)(y －y 1)＝(y 2－y 1)(x －x 1)的形式．2．直线的截距式是两点式的一个特殊情形，用它来画直线以及判断直线经过的象限或求直线与坐标轴围成的三角形的面积比较方便．注意直线过原点或与坐标轴平行时，没有截距式方程，但直线过原点时两截距存在且同时等于零．3．直线方程的一般式同二元一次方程Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为零)之间是一一对应关系，因此研究直线的几何性质完全可以应用方程的观点来研究，这实际上也是解析几何的思想所在——用方程的思想来研究几何问题.1．过P 1(2,0)，P 2(0,3)两点的直线方程是( ) A.x 3＋y 2＝0 B.x 2＋y3＝0C.x 2＋y 3＝1D.x 2－y 3＝1 【解析】由截距式，得所求直线的方程为x 2＋y3＝1.【答案】 C2．下列语句中正确的是( )A ．经过定点P (x 0，y 0)的直线都可以用方程y －y 0＝k (x －x 0)表示B ．经过任意两个不同点P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)的直线都可以用方程(y －y 1)(x 2－x 1)＝(x －x 1)(y 2－y 1)表示C ．不经过原点的直线都可以用方程x a ＋yb ＝1表示D ．经过定点的直线都可以用y ＝kx ＋b 表示【解析】 A 不正确，该方程无法表示x ＝x 0这条直线；C 不正确，该方程无法表示与坐标轴平行的直线；D 不正确，该方程无法表示与x 轴垂直的直线，B 正确．【答案】 B3．直线方程2x ＋3y ＋1＝0化为斜截式为________；化为截距式为________．【解析】直线方程2x ＋3y ＋1＝0化为斜截式为y ＝－23x －13.化为截距式为x －12＋y－13＝1.【答案】 y ＝－23x －13x－12＋y－13＝1 4．已知在△ABC 中，A ，B 的坐标分别为(－1,2)，(4,3)，AC 的中点M 在y 轴上，BC 的中点N 在x 轴上．(1)求点C 的坐标； (2)求直线MN 的方程．【解】 (1)设点C (m ，n )，AC 中点M 在y 轴上，BC 的中点N 在x 轴上，由中点坐标公式得⎩⎨⎧m －12＝0，n ＋32＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝－3，∴C 点的坐标为(1，－3)．(2)由(1)知：点M 、N 的坐标分别为M (0，－12)、N (52，0)，由直线方程的截距式得直线MN 的方程是x 52＋y－12＝1，即2x －10y －5＝0.一、选择题1．直线3x ＋y ＋6＝0的斜率为k ，在y 轴上的截距为b ，则( ) A ．k ＝3，b ＝6 B ．k ＝－3，b ＝－6 C ．k ＝－3，b ＝6 D ．k ＝3，b ＝－6 【解析】化为斜截式，得y ＝－3x －6， ∴k ＝－3，b ＝－6，故选B. 【答案】 B2．直线x 3＋y4＝1化成一般式方程为( )A ．y ＝－43x ＋4B ．y ＝－43(x －3)C ．4x ＋3y －12＝0D ．4x ＋3y ＝12【解析】直线x 3＋y4＝1化成一般式方程为4x ＋3y －12＝0.【答案】 C3．(2013·周口高一检测)已知点A (1,2)，B (3,1)，则线段AB 的垂直平分线的方程是( ) A ．4x ＋2y ＝5 B ．4x －2y ＝5 C ．x ＋2y ＝5 D ．x －2y ＝5【解析】 ∵A (1,2)，B (3,1)，∴线段AB 的中点坐标为(2，32)．又k AB ＝1－23－1＝－12，故线段AB 的垂直平分线方程为y －32＝2(x －2)，即4x －2y ＝5.【答案】 B4．(2013·威海高一检测)若直线ax ＋by ＋c ＝0经过第一、二、三象限，则( ) A ．ab >0，bc >0 B ．ab >0，bc <0 C ．ab <0，bc >0 D ．ab <0，bc <0【解析】把直线ax ＋by ＋c ＝0化成斜截式得 y ＝－a b x －c b ，由题意可知⎩⎨⎧－ab >0，－cb >0，即ab <0且bc <0.【答案】 D5．(2013·德化高一检测)过点A (4,1)且在两坐标轴上截距相等的直线方程是( ) A ．x ＋y ＝5 B ．x －y ＝5C ．x ＋y ＝5或x －4y ＝0D ．x －y ＝5或x ＋4y ＝0【解析】当直线过点(0,0)时，直线方程为y ＝14x ，即x －4y ＝0，当直线不过点(0,0)时，可设为x a ＋ya ＝1，把(4,1)代入，可解得a ＝5，∴直线方程为x ＋y ＝5.综上可知直线方程为x＋y ＝5或x －4y ＝0.【答案】 C 二、填空题6．斜率为2，且经过点A (1,3)的直线的一般式方程为________．【解析】由点斜式得，所求直线方程为y －3＝2(x －1)，整理得2x －y ＋1＝0. 【答案】 2x －y ＋1＝07．(2012·绵阳高一检测)直线y ＝23x －2与两坐标轴围成的三角形的面积是________．【解析】令x ＝0，得y ＝－2；令y ＝0，得x ＝3.故直线y ＝23x －2与两坐标轴围成的三角形的面积是12×3×2＝3.【答案】 38．在下列各种情况下，直线Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为零)的系数A ，B ，C 之间各有什么关系：(1)直线与x 轴平行时：________； (2)直线与y 轴平行时：________； (3)直线过原点时：________； (4)直线过点(1，－1)时：________.【解析】 ∵A ，B 不同时为零，故当A ＝0且B ≠0时(1)成立；当B ＝0且A ≠0时(2)成立；当C ＝0时(3)成立；当A －B ＋C ＝0时(4)成立．【答案】 (1)A ＝0且B ≠0 (2)B ＝0且A ≠0 (3)C ＝0且A ，B 不同时为0 (4)A －B ＋C ＝0三、解答题9．已知直线与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点且线段AB 的中点为P (4,1)，求直线l 的方程．【解】由题意可设A (x,0)，B (0，y )，由中点坐标公式可得⎩⎨⎧x ＋02＝4，0＋y2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8，y ＝2，∴A (8,0)，B (0,2)，由直线方程的截距式得l 方程为x 8＋y2＝1，即x ＋4y －8＝0.10．设直线l ：(m 2－2m －3)x ＋(2m 2＋m －1)y －2m ＋6＝0(m ≠－1)，根据下列条件分别确定m 的值：(1)直线l 在x 轴上的截距为－3； (2)直线l 的斜率为1.【解】 (1)令y ＝0得x ＝2m －6m 2－2m －3(m 2－2m －3≠0)，由题知，2m －6m 2－2m －3＝－3，解得m ＝3(舍)，m ＝－53.(2)∵直线l 的斜率为k ＝－m 2－2m －32m 2＋m －1，∴－m 2－2m －32m 2＋m －1＝1，解得m ＝43.11．设直线l 的方程为(a ＋1)x ＋y ＋2－a ＝0(a ∈R )． (1)若直线l 在两坐标轴上的截距相等，求直线l 的方程； (2)若直线l 不经过第二象限，求实数a 的取值范围．【解】 (1)当直线过原点时，该直线在x 轴和y 轴上的截距都为零，则当a ＝2时满足条件，此时方程为3x ＋y ＝0.当a ＝－1时，直线为平行于x 轴的直线，在x 轴上无截距，不合题意．当a ≠－1且a ≠2时，由a －2a ＋1＝a －2，得a ＝0，则当a ＝0时，直线在x 轴、y 轴上的截距都为－2，此时方程为x ＋y ＋2＝0.综上所述，当a ＝2或a ＝0时，直线l 在两坐标轴上的截距相等，此时方程为3x ＋y ＝0或x ＋y ＋2＝0.(2)将直线l 的方程转化为y ＝－(a ＋1)x ＋a －2，则⎩⎪⎨⎪⎧ －(a ＋1)>0，a －2≤0，或⎩⎪⎨⎪⎧－(a ＋1)＝0，a －2≤0.解得a ≤－1.故a 的取值范围为(－∞，－1].求过点(4，－3)且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线l 的方程．【思路探究】要求直线方程，可结合题中的截距的绝对值相等来求，或求出直线的斜率获得直线方程．【自主解答】法一设直线在x 轴、y 轴上的截距分别为a ，b . ①当a ≠0，b ≠0时，设l 的方程为x a ＋yb ＝1.∵点(4，－3)在直线上，∴4a ＋－3b ＝1，若a ＝b ，则a ＝b ＝1，直线方程为x ＋y ＝1.若a ＝－b ，则a ＝7，b ＝－7，此时直线的方程为x －y ＝7. ②当a ＝b ＝0时，直线过原点，且过点(4，－3)， ∴直线的方程为3x ＋4y ＝0.综上知，所求直线方程为x ＋y －1＝0或x －y －7＝0或3x ＋4y ＝0. 法二设直线l 的方程为y ＋3＝k (x －4)，令x ＝0，得y ＝－4k －3；令y ＝0，得x ＝4k ＋3k .又∵直线在两坐标轴上的截距的绝对值相等， ∴|－4k －3|＝|4k ＋3k |，解得k ＝1或k ＝－1或k ＝－34.∴所求的直线方程为x －y －7＝0或x ＋y －1＝0或3x ＋4y ＝0.1．由于直线的截距式方程不能表示过原点的直线，因此法一首先考虑过原点的特殊情况，截距为0的直线很容易被遗忘，应引起重视．2．求直线在坐标轴上的截距的方法是：令x ＝0，所得y 值是在y 轴上的截距，令y ＝0，所得x 值是在x 轴上的截距．求过点A (4,2)，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线l 的方程．【解】当直线过原点时，它在x 轴、y 轴上的截距都是0，满足题意．此时，直线的斜率为12，所以直线方程为x －2y ＝0.当直线不过原点时，由题意可设直线方程为x a ＋y b ＝1，过点A ，∴4a ＋2b ＝1.①∵直线在两坐标轴上的截距的绝对值相等，所以 |a |＝|b |.②由①②联立方程组，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝6，b ＝6或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－2，∴所求直线的方程为x 6＋y 6＝1或x 2＋y－2＝1，化简即得直线l 的方程为x ＋y ＝6或x －y ＝2.综上，直线方程为x －2y ＝0或x ＋y －6＝0或x －y －2＝0.。

高中数学 3.2.3直线的一般式方程全册精品教案新人教A版必修2

3.2.3 直线的一般式方程（一）教学目标1．知识与技能（1）明确直线方程一般式的形式特征；（2）会把直线方程的一般式化为斜截式，进而求斜率和截距；（3）会把直线方程的点斜式、两点式化为一般式.2．过程与方法学会用分类讨论的思想方法解决问题.3．情态与价值观（1）认识事物之间的普遍联系与相互转化；（2）用联系的观点看问题.（二）教学重点、难点：1．重点：直线方程的一般式；2．难点：对直线方程一般式的理解与应用.（三）教学设想学生阅读教材第105页，从中备选例题例1 已知直线mx + ny + 12 = 0在x 轴，y 轴上的截距分别是–3和4，求m ，n . 解法一：将方程mx + ny + 12 = 0化为截距式得：11212y x m n+=--， 123,124mn-⎧=-⎪⎧⎪⎨⎨-⎩⎪=⎪⎩m =4因此有解之得:n=-3 解法二：由截距意义知，直线经过A (–3，0)和B (0,4)两点，(3)01204041203m n m m n n ⋅-+⋅+==⎧⎧⎨⎨⋅+⋅+==-⎩⎩因此有所以例2 已知A (2，2)和直线l ：3x + 4y – 20 = 0求：（1）过点A 和直线l 平行的直线方程；（2）过点A 和直线l 垂直的直线方程【解析】（1）将与l 平行的直线方程设为3x + 4y + C 1 = 0，又过A (2，2)，所以3×2 + 4×2 + C 1 = 0，所以C 1 = –14. 所求直线方程为：3x + 4y – 14 = 0.（2）将与l 垂直的直线方程设为4x – 3y + C 2 = 0，又过A (2，2)，所以 3×2 + 4×2 + C 2 = 0 ，所以C 2 = –2 所求直线方程为：4 – 3 – 2 = 0.例3 设直线l 的方程为(m 2– 2m – 3)x + (2m 2+ m – 1)y = 2m – 6，根据下列条件分别确定实数m 的值.（1）l 在x 轴上的截距为–3；（2）斜率为1. 【解析】（1）令y = 0，依题意，得：2223026323m m m m m ⎧--≠⎪⎨-=-⎪--⎩ 由①得：m ≠3，且m ≠–1，由②得：3m 2 – 4m – 15 = 0，解得m = 3或53m =-，所以综合得53m =-.① ②由题意得：222210(23)121m m m m m m ⎧+-≠⎪⎨---=⎪+-⎩ 由③得：m ≠–1且m ≠12，由④得：m = –1或43，所以43m =③ ④。

2019-2020年高中数学《3.2.3直线的一般式方程》学案新人教A版必修2

2019-2020年高中数学《3.2.3直线的一般式方程》学案新人教A 版必修2一．学习目标：根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的一般式，体会一般式与直线其它方程形式之间的关系.二．重点、难点：重点：难点：三．知识要点：1. 一般式（general form ）：，注意A 、B 不同时为0. 直线一般式方程化为斜截式方程，表示斜率为，y 轴上截距为的直线.2 与直线平行的直线，可设所求方程为；与直线垂直的直线，可设所求方程为. 过点的直线可写为.经过点，且平行于直线l 的直线方程是；经过点，且垂直于直线l 的直线方程是.3. 已知直线的方程分别是：（不同时为0），（不同时为0），则两条直线的位置关系可以如下判别：（1）；（2）1212211221//0,0l l A B A B AC A B ⇔-=-≠；（3）与重合122112210,0A B A B AC A B ⇔-=-=；（4）与相交.如果时，则；与重合；与相交.四．自主探究例题精讲：【例1】已知直线：，：，问m 为何值时：（1）；（2）.解：（1）时，，则，解得m ＝0.（2）时，, 解得m ＝1.【例2】（1）求经过点且与直线平行的直线方程；（2）求经过点且与直线垂直的直线方程.解：（1）由题意得所求平行直线方程，化为一般式.（2）由题意得所求垂直直线方程，化为一般式.【例3】已知直线l 的方程为3x+4y －12=0，求与直线l 平行且过点（－1，3）的直线的方程．分析：由两直线平行，所以斜率相等且为，再由点斜式求出所求直线的方程.解：直线l:3x+4y －12=0的斜率为，∵ 所求直线与已知直线平行， ∴所求直线的斜率为，又由于所求直线过点（－1，3），所以，所求直线的方程为：，即.点评：根据两条直线平行或垂直的关系，得到斜率之间的关系，从而由已知直线的斜率及点斜式求出所求直线的方程. 此题也可根据直线方程的一种形式而直接写出方程，即，再化简而得.【例4】直线方程的系数A 、B 、C 分别满足什么关系时，这条直线分别有以下性质?（1）与两条坐标轴都相交；（2）只与x 轴相交；（3）只与y 轴相交；（4）是x 轴所在直线；（5）是y 轴所在直线.分析：由直线性质，考察相应图形，从斜率、截距等角度，分析系数的特征.解：（1）当A ≠0，B ≠0，直线与两条坐标轴都相交.（2）当A ≠0，B=0时，直线只与x 轴相交.（3）当A ＝0，B ≠0时，直线只与y 轴相交.（4）当A ＝0，B ≠0，C ＝0，直线是x 轴所在直线.（5）当A ≠0，B ＝0，C ＝0时，直线是y 轴所在直线.点评：结合图形的几何性质，转化为方程形式所满足的代数形式. 对于直线的一般式方程，需要特别注意以上几种特殊位置时的方程形式.五．目标检测（一）基础达标1．如果直线的倾斜角为，则有关系式（）.A. B. C. D. 以上均不可能2．若，则直线必经过一个定点是（）.A. B. C. D.3．直线与两坐标轴围成的面积是（）.A． B． C． D．4．（xx京皖春）直线（）x+y=3和直线x+（）y=2的位置关系是（）.A. 相交不垂直B. 垂直C. 平行D. 重合5．已知直线mx+ny+1=0平行于直线4x+3y+5=0，且在y轴上的截距为，则m，n的值分别为（）.A. 4和3B. －4和3C. －4和－3D. 4和－36．若直线x+ay+2=0和2x+3y+1=0互相垂直，则a= .7．过两点（5，7）和（1，3）的直线一般式方程为；若点（，12）在此直线上，则＝．（二）能力提高8．根据下列各条件写出直线的方程，并且化成一般式：（1）斜率是－，经过点A（8，－2）；（2）经过点B(4，2)，平行于轴；（3）在轴和轴上的截距分别是,－3；（4）经过两点（3，－2）、（5，－4）.9．已知直线的方程分别是：（不同时为0），（不同时为0），且. 求证.（三）探究创新10．已知直线，，求m的值，使得：（1）l1和l2相交；（2）l1⊥l2；（3）l1//l2；（4）l1和l2重合.2019-2020年高中数学《3.2.4互斥事件》教案新人教版必修3【教学目标】1、用集合的观点理解互斥与对立事件；2、注意一题多解，和方法的灵活性。

高中数学必修二(3.2.3 直线的一般式方程)示范教案新人教A版必修2

3.2.3 直线的一般式方程教学过程导入新课思路1.前面所学的直线方程的几种形式，有必要寻求一种更好的形式，那么怎样的形式才能表示一切直线方程呢?这节课我们就来研究这个问题. 思路2.由下列各条件，写出直线的方程，并画出图形. (1)斜率是1，经过点A （1，8）；(2)在x 轴和y 轴上的截距分别是-7，7；(3)经过两点P 1（－1，6）、P 2（2，9）；(4)y 轴上的截距是7，倾斜角是45°. 由两个独立条件请学生写出直线方程的特殊形式分别为y-8=x-1、77yx +-=1、121696++=--x y 、y=x+7，教师利用计算机动态显示，发现上述4条直线在同一坐标系中重合.原来它们的方程化简后均可统一写成：x-y+7=0.这样前几种直线方程有了统一的形式，这就是我们今天要讲的新课——直线方程的一般式. 推进新课新知探究提出问题①坐标平面内所有的直线方程是否均可以写成关于x,y 的二元一次方程?②关于x,y 的一次方程的一般形式Ax+By+C=0（其中A 、B 不同时为零）是否都表示一条直线?③我们学习了直线方程的一般式，它与另四种形式关系怎样，是否可互相转化? ④特殊形式如何化一般式?一般式如何化特殊形式?特殊形式之间如何互化?⑤我们学习了直线方程的一般式Ax+By+C=0，系数A 、B 、C 有什么几何意义?什么场合下需要化成其他形式?各种形式有何局限性?讨论结果:①分析：在直角坐标系中，每一条直线都有倾斜角α.1°当α≠90°时，它们都有斜率，且均与y 轴相交，方程可用斜截式表示：y=kx+b. 2°当α=90°时，它的方程可以写成x=x 1的形式，由于在坐标平面上讨论问题，所以这个方程应认为是关于x 、y 的二元一次方程，其中y 的系数是零. 结论1°：直线的方程都可以写成关于x 、y 的一次方程. ②分析：a 当B≠0时，方程可化为y=-B A x-BC，这就是直线的斜截式方程，它表示斜率为-B A ，在y 轴上的截距为-BC的直线.b 当B=0时，由于A 、B 不同时为零必有A≠0，方程化为x=-AC，表示一条与y 轴平行或重合的直线.结论2°：关于x,y 的一次方程都表示一条直线.综上得：这样我们就建立了直线与关于x,y 的二元一次方程之间的对应关系.我们把Ax+By+C=0（其中A,B 不同时为0）叫做直线方程的一般式. 注意：一般地，需将所求的直线方程化为一般式. 在这里采用学生最熟悉的直线方程的斜截式（初中时学过的一次函数）把新旧知识联系起来. ③引导学生自己找到答案，最后得出能进行互化. ④待学生通过练习后师生小结：特殊形式必能化成一般式；一般式不一定可以化为其他形式（如特殊位置的直线），由于取点的任意性，一般式化成点斜式、两点式的形式各异，故一般式化斜截式和截距式较常见；特殊形式的互化常以一般式为桥梁，但点斜式、两点式、截距式均能直接化成一般式.各种形式互化的实质是方程的同解变形（如图1）.图1⑤列表说明如下：形式方程局限各常数的几何意义点斜式 y-y 1=k(x-x 1) 除x=x 0外 (x 1,y 1)是直线上一个定点,k 是斜率斜截式 y=kx+b除x=x 0外 k 是斜率,b 是y 轴上的截距两点式121121x x x x y y y y --=-- 除x=x 0和y=y 0外 (x 1,y 1)、(x 2,y 2)是直线上两个定点截距式by a x +=1 除x=x 0、y=y 0及y=kx外a 是x 轴上的非零截距,b 是y 轴上的非零截距一般式Ax+By+C=0无当B≠0时,-BA是斜率,-BC是y 轴上的截距应用示例例1 已知直线经过点A(6,-4)，斜率为-34，求直线的点斜式和一般式方程. 解：经过点A(6,-4)且斜率为-34的直线方程的点斜式方程为y+4=-34(x-6).化成一般式，得4x+3y-12=0.变式训练1.已知直线Ax+By+C=0，（1）系数为什么值时，方程表示通过原点的直线? （2）系数满足什么关系时,与坐标轴都相交? （3）系数满足什么条件时,只与x 轴相交? （4）系数满足什么条件时,是x 轴?（5）设P(x 0,y 0)为直线Ax+By+C=0上一点,证明这条直线的方程可以写成A(x-x 0)+B(y-y 0)=0. 答案：（1）C=0；（2）A≠0且B≠0；（3）B=0且C≠0；（4）A=C=0且B≠0;（5）证明：∵P(x 0,y 0)在直线Ax+By+C=0上, ∴Ax 0+By 0+C+0,C=-Ax 0-By 0.∴A(x -x 0)+B(y-y 0)=0.2.(2007上海高考,理2)若直线l 1:2x+my+1=0与l 2:y=3x-1平行,则m=____________. 答案：-32 例2 把直线l 的方程x-2y+6=0化成斜截式，求出直线l 的斜率和它在x 轴与y 轴上的截距，并画出图形.解：由方程一般式x －2y ＋6=0， ① 移项，去系数得斜截式y=2x＋3. ② 由②知l 在y 轴上的截距是3，又在方程①或②中，令y=0，可得x=－6. 即直线在x 轴上的截距是－6.因为两点确定一条直线，所以通常只要作出直线与两个坐标轴的交点(即在x 轴，y 轴上的截距点)，过这两点作出直线l （图2）.图2点评：要根据题目条件，掌握直线方程间的“互化”. 变式训练直线l 过点P(-6,3)，且它在x 轴上的截距是它在y 轴上的截距的3倍，求直线l 的方程.答案：x+3y-3=0或x+2y=0. 知能训练课本本节练习1、２、３. 拓展提升求证：不论m 取何实数，直线(2m －1)x －(m+3)y －(m －11)=0恒过一个定点，并求出此定点的坐标.解：将方程化为(x+3y-11)-m(2x-y-1)=0，它表示过两直线x+3y-11=0与2x-y-1=0的交点的直线系.解方程组⎩⎨⎧=--=-+,012,0113y x y x ,得⎩⎨⎧==3,2y x .∴直线恒过(2,3)点.。

高中数学人教A版必修2导学案设计：3.2.3直线的一般式方程(学生版)

章节
3.2.3 课题直线方程的一般式
教学目标1.探究直线与二元一次方程的关系，掌握直线的一般式方程及其形式特征；
2.会把直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式方程化为一般式方程；
3.会把直线的一般式方程转化为斜截式、截距式，进而求直线的斜率与截距。

教学重点直线的一般式方程以及各种形式之间的互相转化．教学难点直线的一般式方程的理解和应用．【复习回顾】
1.直线方程的四种特殊形式：
（1）点斜式：
直线l经过点
000
(,)
P x y，且斜率为k，直线l的方程。

（2）斜截式：
直线l在y轴上的截距为b，斜率为k，直线l的方程。

（3）两点式：
经过
111
(,)
P x y，
2221212
(,)(,)
P x y x x y y
≠≠的直线方程。

（4）截距式：
在x，y轴上的截距分别为,a b（不为零）的直线方程。

2.根据下列条件写出直线的方程：
（1）斜率为3，且经过点(5,3)
A；（2）过点(3,0)
B-，且垂直于x轴；
（3）斜率为4，在y轴上的截距为-2；（4）在y轴上的截距为3，且平行于x轴；（5）经过(1,5),(2,1)
C D
--两点；（6）在x y轴上的截距分别为-3，-1.
课前预习案
【新知探究】
探究一、直线与二元一次方程的关系
问题1：平面直角坐标系中的每一条直线都可以用一个关于x,y的二元一次方程来表示吗？。

四川省岳池县第一中学高中数学 3.2.3直线的一般式方程导学案(无答案)新人教A版必修2

§3.2.3 直线的一般式方程学习目标：1．掌握直线的一般式方程；2．理解关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)都表示直线；3．会进行直线方程的五种形式之间的转化．学习重点：直线方程的一般式方程．学习难点：1．直线方程一般式的形式特征；2．直线方程的五种形式之间的转化．课前预习案教材助读：阅读教材97-99页的内容，思考并完成下列问题1．关于x，y的二元一次方程(其中A，B )叫做直线的一般式方程，简称一般式．2．比较直线方程的五种形式形式方程局限点斜式不能表示k不存在的直线斜截式不能表示k不存在的直线两点式y－y1y2－y1＝x－x1x2－x1x1≠x2，截距式xa＋yb＝1 不能表示一般式无课内探究案一、新课导学：探究任务1：直线的一般式方程问题1：平面直角坐标系中的每一条直线都可以用一个关于x，y的二元一次方程表示吗？为什么？问题2：每一个关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为零)都表示一条直线吗？为什么？新知1：关于,x y的二元一次方程（A，B不同时为0）叫做直线的一般式方程，简称一般式（general form）．注意：求直线方程，最后要求转化为一般式，系数为整数。

思考1：直线方程的一般式与其他几种形式的直线方程相比，它有什么优点？思考2：在方程0Ax By C++=中，,,A B C为何值时，方程表示的直线⑴平行于x轴；⑵平行于y轴；⑶与x轴重合；⑷与y重合.探究任务2：直线方程五种表达形式的转化探究任务3：与直线0Ax By C ++=平行，垂直的直线方程二、典型例题例1：已知直线经过点A (6，－4)，斜率为－43，求直线的点斜式和一般式方程．例2：把直线l 的一般式方程x －2y ＋6＝0化成斜截式，求出直线l 的斜率和它在x 轴与y 轴上的截距，并画出图形．例3：已知A (2,2)和直线l ：3x ＋4y －20＝0.求：(1)过点A 和直线l 平行的直线方程； (2)过点A 和直线l 垂直的直线方程．三、当堂检测教材99-100页练习1-3题.四、课后反思课后训练案1．若方程Ax ＋By ＋C ＝0表示直线，则A 、B 应满足的条件为 ( )A ．A ≠0B ．B ≠0C ．A ·B ≠0D ．A 2＋B 2≠02．已知ab <0，bc <0，则直线ax ＋by ＝c 通过 ( )A ．第一、二、三象限B ．第一、二、四象限C ．第一、三、四象限D ．第二、三、四象限3．求直线3x ＋2y ＋6＝0的斜截式和截距式方程．4．若方程(2m 2＋m －3)x ＋(m 2－m )y －4m ＋1＝0表示一条直线，求实数m 的取值范围．5．已知直线l 经过点P (－5，－4)，且与两坐标轴围成的三角形面积为5，求直线l 的方程，并将直线的方程化为一般式．。

高中数学人教A版必修2导学案设计：3.2.3-直线的一般式方程(无答案)

（1）斜率是－，经过点A(8，－2)；
(2)经过点B(4,2)，平行于x轴；
(3)在x轴和y轴上的截距分别是，－3；
(4)经过两点P1(3，－2)、P2(5，－4)．
例2.设直线的方程为，根据下列条件确定实数的值.
（1）在轴上的截距是 .
（2）斜率为 .
例3.已知直线在轴、轴上的截距分别是－3和4，求 .
3.2.3 直线的一般式方程
思维目标
1.理解直线方程的“一般式”；
2.掌握直线方程的一般式与各种形式方程的关系；
3.系统复习方程的的各种形式.
建构数学
问题1.平面直角坐标系中的每一条直线都可以用一个关于的二元一次方程表示吗？
问题2.每一个关于的二元一次方程（A，B不同时为0）都表示一条直线吗？
问题3.直线方程的一般式与其他几种形式的直线方程相比，它有什么优点？
问题4.在方程中，A，B，C为何值时，方程表示的直线
（1）平行于轴；
（2）平行于轴；
（3）与轴重合；
（4）与重合.
问题5. 二元一次方程的每一个Байду номын сангаас与坐标平面中点的有什么关系？直线与二元一次方程的解之间有什么关系？
经典例题
例1.根据下列各条件写出直线的方程，并且化成一般式：
例4.（1）已知直线和
直线互相垂直，则 __________.
（2）已知直线和直线互相平行，则 __________.
例5.证明无论取什么实数，直线恒过定点.
形成练习
1．直线的斜率为_________，纵截距为_________.
2. 在轴上的截距为－5，在轴上的截距为6的直线方程为_________.

高中数学第三章直线与方程 3.2.3 直线的一般式方程学案(含解析)新人教A版必修2(2021

山东省沂水县高中数学第三章直线与方程3.2.3 直线的一般式方程学案（含解析）新人教A版必修2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（山东省沂水县高中数学第三章直线与方程3.2.3 直线的一般式方程学案（含解析）新人教A版必修2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为山东省沂水县高中数学第三章直线与方程3.2.3 直线的一般式方程学案（含解析）新人教A版必修2的全部内容。

3．2.3 直线的一般式方程学习目标1。

掌握直线的一般式方程；2.理解关于x,y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B 不同时为0）都表示直线；3。

会进行直线方程的五种形式之间的转化．知识点一直线的一般式方程思考1 直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式这四种形式都能用Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0）来表示吗？答案能．思考2 关于x,y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)一定表示直线吗？答案一定．思考3 当B≠0时，方程Ax＋By＋C＝0（A，B不同时为0）表示怎样的直线？B＝0呢？答案当B≠0时，由Ax＋By＋C＝0得，y＝－错误!x－错误!，所以该方程表示斜率为－错误!,在y轴上截距为－错误!的直线；当B＝0时,A≠0，由Ax＋By＋C＝0得x＝－错误!,所以该方程表示一条垂直于x轴的直线．形式Ax＋By＋C＝0条件A，B不同时为0知识点二直线的一般式与点斜式、斜截式、两点式、截距式的关系类型一直线一般式的性质例1 设直线l的方程为（m2－2m－3）x－（2m2＋m－1）y＋6－2m＝0.(1）若直线l在x轴上的截距为－3,则m＝________。

高中数学 3.2.3 直线的一般式方程导学案(无答案)新人教版A版必修2

直线的一般式方程学习目标1.复习直线方程的四种形式；2.掌握直线方程的一般式；3.熟练将直线方程的五种形式相互转换；4.会把直线方程的点斜式、两点式化为一般式。

导学过程：一、课前准备（预习教材9997P P -，找出疑惑之处）复习1：⑴已知直线经过原点和点)4,0(，则直线的方程________________________________⑵在x 轴上截距为1-，在y 轴上的截距为3的直线方程________________________________⑶已知点)2,1(A 、)1,3(B ，则线段AB 的垂直平分线方程是______________________________复习2：平面直角坐标系中的每一条直线都可以用一个关于x 、y 的二元一次方程表示吗？二、新课学习探究1.直线方程与二元一次方程问题1：若直线经过),(000y x P ，你准备用哪种形式写方程？条件具备吗?需要注意什么问题？（1）斜率存在（2）斜率不存在能否将上面的两种情况统一成一个形式？设任意一个二元一次方程0=++C By Ax （A 、B 不同时为0）它是否表示一条直线呢？分几种情况讨论？由以上的分析，可以得到：新知1我们把关于x ，y 的二元一次方程0=++C By Ax （*）其中A 、B 不同时为0，叫做直线的一般式方程，简称一般式。

※例题分析例1．已知直线经过)4,6(-A ，斜率为34-，求直线的点斜式方程和一般式方程变式：把直线l 的一般式方程062=+-y x 化为斜截式方程，求出直线l 的斜率及其它在x 轴和y 轴上的截距，并画出图形例2.a 为何值时，直线042)1(=+--y x a 与直线01=--ay x ，（1）平行；（2）垂直※动手试试练1．根据下列各条件写出直线的方程，并且化成一般式（1）经过点)2,8(-A ，且斜率为21-；（2）经过点)2,4(B ，平行于x 轴；（3）经过点)2,3(-A ，)4,5(-B ；（4）在x 轴，y 轴的截距分别是4，-3*练2．设A 、B 是x 轴上的两点，点P 的横坐标为2，且｜PA ｜＝｜PB ｜，若直线PA 的方程为01=+-y x ，求直线PB 的方程三、总结提升 ※.学习小结（1）五种直线方程的形式，注意一些形式的使用范围；（2）点与直线的关系点),(000y x P 在直线0=++C By Ax 上⇔000=++C By Ax学习评价※自我评价你完成本节导学案的情况为（） A ．很好 B ．较好 C ．一般 D ．较差 ※当堂检测1．若01)34()4(22=++-+-y m m x m 表示直线（）A ．2±≠m 且1≠m ，3≠mB ．2±≠mC ．1≠m 且3≠mD ．R m ∈2．斜率为3-，在x 轴上截距为2的直线的一般式方程是（） A ．063=++y x B ．023=+-y x C ．063=-+y xD ．023=--y x 3．直线l 的方程为0=++C By Ax ，若直线经过原点且位于第二、四象限，则（） A ．0,0>=B C B ．0,0,0>>=A B C C ．0,0<=AB CD ．0,0>=AB C4．斜率为3-，在x 轴上截距为2的直线的一般式方程是____________________5．两直线03=--ay x 与032=++y ax 互相垂直，则a 的值为_________________ 课后作业1．已知直线1l ：06=++my x ，和直线2l ：023)2(=++-m y x m ，试求实数m 的值（1）21l l ⊥ （2）1l //2l （3）1l 与2l 重合*2．光线经过点)3,2(P 射到直线01=++y x ，反射后经过)1,1(Q 点，求反射光线所在直线方程。

高中数学 3.2.3直线的一般式方程新人教A版必修2

3 . 5
画一条直线时,只要找出这条直线上的任意两点就可以了.通常是找出直线与两个坐标轴的交点.上面已经求得直线l与x 轴,y轴的交点分别为(5,0),(0,3),过这两点作直线,就得直线l, 如下图.
变式训练1:用一般式或斜截式写出下图中各条直线的方程.
解:(1)x-y+2=0(或y=x+2); (2)x+y-1=0(或y=-x+1); (3)x+3y-3=0(或y=- 1 (4)x+2y+2=0(或y=31
A C x ,它表示斜率为 A , (1)当B≠0时,方程①可化为y=在 B B B C y轴上截距为的直线(斜截式方程).
B
(2)当B=0时,由于A､B不同时为0,必有A≠0,方程①可化为
C x=- , 它表示一条与y轴平行或重合的直线. A
(3)当A=0时,或A≠0时,同样可推出方程①表示直线. 所以在平面直角坐标系中,任何关于x、y的二元一次方程都表示一条直线. 综上可知,在平面直角坐标系中,直线与x、y的二元一次方程是一一对应的. 由此导出概念,方程Ax+By+C=0(其中A,B不同时为0)叫做直
x+1); x-1).
2
题型二直线平行与垂直例2:已知两条直线方程l1:mx+2y+8=0,l2:x+my+3=0,当m 为何值时:
(1)两直线互相平行;
(2)两直线互相垂直. 分析:因为直线方程中x,y的系数含有字母m,所以要分m=0 和m≠0讨论解答.
解:(1)当m=0时,l1:y+4=0,l2:x+3=0,
第三章
直线与方程
第二节直线的方程

新人教A版必修2高中数学学案教案： 3.2.3直线的一般式方程

数学 3.2.3直线的一般式方程教案新人教A 版必修2授课类型：新授课授课时间：第周年月日（星期）一、教学目标1、知识与技能（1）探索并掌握直线方程一般式的形式特征；（2）掌握直线方程的一般式和点斜式、斜截式、两点式、截距式之间的互化的方法；（3）了解在直角坐标系中，平面上的直线与x 、y 的一次方程是一一对应的。

2、过程与方法通过直角坐标系中直线与二元一次方程对应关系的探究，体会直线的一般式与平面上直线的关系，学会用分类讨论的思想方法解决问题。

3、情感态度与价值观（1）认识事物之间的普遍联系与相互转化；（2）用联系的观点看问题。

二、教学重点、难点：重点：直线方程的一般式和点斜式、斜截式、两点式、截距式之间互化的方法；难点：平面上的直线与x 、y 的一次方程的一一对应关系。

三、教材分析：1、提示概念内涵，反映客观事物的本质属性（1）联系旧知识，引入新概念；——回顾直线方程的特殊形式，说明它们都具有局限性，通过扩大概念的外延，引出新概念：一般式。

（2）充分用课本，剖析新概念；——“讲授新课”一段，分两个方面，每方面又分两种不同情况进行讨论；教学过程中又适当借助图形，最后得出“平面上的直线与二元一次方程一一对应”的结论。

（3）设计小例题，强化新概念；——例1具体地说明了直线方程的点斜式转化为一般式，把握直线方程一般式的特点；例2除了说明一般式化斜截式，由已知直线方程的一般式求直线的斜率和截距的方法，强化这堂课的新概念外，也重温了前面所学过的知识——由方程如何画直线。

2、进行概念教学，注意运用数学方法，培养学生能力（1）抓住课题是字母系数方程的机会，进行“两分法”教学，培养全面、系统、周密地讨论问题的能力；（2）抓住“特殊式”与“一般式”在一定条件下可以互化，在解题中可以培养多向思维的能力。

四、教学过程（一）复习引入：1、直线方程的点斜式、斜截式、两点式、截距式的互相转化：练习1：由下列条件，写出直线的方程：（1）经过点A （8，– 2），斜率是21-；（)8(212--=+x y ）（2）经过点B （4，2），平行于x 轴；（y – 2 = 0）（3）经过点P 1（3，– 2），P 2（5，– 4）；（353)2(4)2(--=-----x y ）O y xl x 1 O y x（4）在x 轴，y 轴上的截距分别为23，– 3。

高中数学 (3.2.3 直线的一般式方程)示范教案新人教A版必修2【推荐】.doc

3.2.3 直线的一般式方程整体设计教学分析直线是最基本、最简单的几何图形，它是研究各种运动方向和位置关系的基本工具，它既能为进一步学习作好知识上的必要准备，又能为今后灵活地运用解析几何的基本思想和方法打好坚实的基础.直线方程是这一章的重点内容，在学习了直线方程的几种特殊形式的基础上，归纳总结出直线方程的一般形式.掌握直线方程的一般形式为用代数方法研究两条直线的位置关系和学习圆锥曲线方程打下基础.根据教材分析直线方程的一般式是本节课的重点，但由于学生刚接触直线和直线方程的概念，教学中要求不能太高，因此对直角坐标系中直线与关于x 和y 的一次方程的对应关系确定为“了解”层次.两点可以确定一条直线，给出一点和直线的方向也可以确定一条直线，由两个独立条件选用恰当形式求出直线方程后，均应统一到一般式.直线的一般式方程中系数A 、B 、C 的几何意义不很鲜明，常常要化为斜截式和截距式，所以各种形式应会互化.引导学生观察直线方程的特殊形式，归纳出它们的方程的类型都是二元一次方程，推导直线方程的一般式时渗透分类讨论的数学思想，通过直线方程各种形式的互化,渗透化归的数学思想，进一步研究一般式系数A 、B 、C 的几何意义时,渗透数形结合的数学思想.三维目标1.掌握直线方程的一般式，了解直角坐标系中直线与关于x 和y 的一次方程的对应关系，培养学生树立辩证统一的观点，培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神.2.会将直线方程的特殊形式化成一般式，会将一般式化成斜截式和截距式，培养学生归纳、概括能力，渗透分类讨论、化归、数形结合等数学思想.3.通过教学，培养相互合作意识,培养学生思维的严谨性，注意学生语言表述能力的训练. 重点难点教学重点:直线方程的一般式及各种形式的互化.教学难点:在直角坐标系中直线方程与关于x 和y 的一次方程的对应关系，关键是直线方程各种形式的互化.课时安排 1课时教学过程导入新课思路1.前面所学的直线方程的几种形式，有必要寻求一种更好的形式，那么怎样的形式才能表示一切直线方程呢?这节课我们就来研究这个问题.思路2.由下列各条件，写出直线的方程，并画出图形. (1)斜率是1，经过点A （1，8）；(2)在x 轴和y 轴上的截距分别是-7，7；(3)经过两点P 1（－1，6）、P 2（2，9）；(4)y 轴上的截距是7，倾斜角是45°. 由两个独立条件请学生写出直线方程的特殊形式分别为y-8=x-1、77y x +-=1、121696++=--x y 、y=x+7，教师利用计算机动态显示，发现上述4条直线在同一坐标系中重合.原来它们的方程化简后均可统一写成：x-y+7=0.这样前几种直线方程有了统一的形式，这就是我们今天要讲的新课——直线方程的一般式. 推进新课新知探究提出问题①坐标平面内所有的直线方程是否均可以写成关于x,y 的二元一次方程?②关于x,y 的一次方程的一般形式Ax+By+C=0（其中A 、B 不同时为零）是否都表示一条直线? ③我们学习了直线方程的一般式，它与另四种形式关系怎样，是否可互相转化? ④特殊形式如何化一般式?一般式如何化特殊形式?特殊形式之间如何互化?⑤我们学习了直线方程的一般式Ax+By+C=0，系数A 、B 、C 有什么几何意义?什么场合下需要化成其他形式?各种形式有何局限性?讨论结果:①分析：在直角坐标系中，每一条直线都有倾斜角α.1°当α≠90°时，它们都有斜率，且均与y 轴相交，方程可用斜截式表示：y=kx+b.2°当α=90°时，它的方程可以写成x=x 1的形式，由于在坐标平面上讨论问题，所以这个方程应认为是关于x 、y 的二元一次方程，其中y 的系数是零.结论1°：直线的方程都可以写成关于x 、y 的一次方程.②分析：a 当B≠0时，方程可化为y=-B A x-B C ，这就是直线的斜截式方程，它表示斜率为-BA，在y 轴上的截距为-B C 的直线.b 当B=0时，由于A 、B 不同时为零必有A≠0，方程化为x=-AC，表示一条与y 轴平行或重合的直线.结论2°：关于x,y 的一次方程都表示一条直线.综上得：这样我们就建立了直线与关于x,y 的二元一次方程之间的对应关系.我们把Ax+By+C=0（其中A,B 不同时为0）叫做直线方程的一般式.注意：一般地，需将所求的直线方程化为一般式.在这里采用学生最熟悉的直线方程的斜截式（初中时学过的一次函数）把新旧知识联系起来. ③引导学生自己找到答案，最后得出能进行互化.④待学生通过练习后师生小结：特殊形式必能化成一般式；一般式不一定可以化为其他形式（如特殊位置的直线），由于取点的任意性，一般式化成点斜式、两点式的形式各异，故一般式化斜截式和截距式较常见；特殊形式的互化常以一般式为桥梁，但点斜式、两点式、截距式均能直接化成一般式.各种形式互化的实质是方程的同解变形（如图1）.图1例1 已知直线经过点A(6,-4)，斜率为-34，求直线的点斜式和一般式方程. 解：经过点A(6,-4)且斜率为-34的直线方程的点斜式方程为y+4=-34(x-6).化成一般式，得4x+3y-12=0.变式训练1.已知直线Ax+By+C=0，（1）系数为什么值时，方程表示通过原点的直线? （2）系数满足什么关系时,与坐标轴都相交? （3）系数满足什么条件时,只与x 轴相交? （4）系数满足什么条件时,是x 轴?（5）设P(x 0,y 0)为直线Ax+By+C=0上一点,证明这条直线的方程可以写成A(x-x 0)+B(y-y 0)=0. 答案：（1）C=0；（2）A≠0且B≠0；（3）B=0且C≠0；（4）A=C=0且B≠0;（5）证明：∵P(x 0,y 0)在直线Ax+By+C=0上, ∴Ax 0+By 0+C+0,C=-Ax 0-By 0. ∴A(x -x 0)+B(y-y 0)=0.2.(2007上海高考,理2)若直线l 1:2x+my+1=0与l 2:y=3x-1平行,则m=____________. 答案：-32 例2 把直线l 的方程x-2y+6=0化成斜截式，求出直线l 的斜率和它在x 轴与y 轴上的截距，并画出图形.解：由方程一般式x －2y ＋6=0， ① 移项，去系数得斜截式y=2x＋3. ② 由②知l 在y 轴上的截距是3，又在方程①或②中，令y=0，可得x=－6. 即直线在x 轴上的截距是－6.因为两点确定一条直线，所以通常只要作出直线与两个坐标轴的交点(即在x 轴，y 轴上的截距点)，过这两点作出直线l （图2）.图2点评：要根据题目条件，掌握直线方程间的“互化”. 变式训练直线l 过点P(-6,3)，且它在x 轴上的截距是它在y 轴上的截距的3倍，求直线l 的方程. 答案：x+3y-3=0或x+2y=0. 知能训练课本本节练习1、２、３. 拓展提升求证：不论m 取何实数，直线(2m －1)x －(m+3)y －(m －11)=0恒过一个定点，并求出此定点的坐标. 解：将方程化为(x+3y-11)-m(2x-y-1)=0，它表示过两直线x+3y-11=0与2x-y-1=0的交点的直线系. 解方程组⎩⎨⎧=--=-+,012,0113y x y x ,得⎩⎨⎧==3,2y x .∴直线恒过(2,3)点.课堂小结通过本节学习，要求大家：（1）掌握直线方程的一般式，了解直角坐标系中直线与关于x 和y 的一次方程的对应关系；（2）会将直线方程的特殊形式化成一般式，会将一般式化成斜截式和截距式；（3）通过学习，培养相互合作意识,培养学生思维的严谨性，注意语言表述能力的训练. 作业习题3.2 A 组11.设计感想本节课的教学流程是这样设计的：激活旧知→归纳猜想→习得新知→转化巩固→重组网络→变式训练→迁移应用→小结归纳.根据教材分析直线方程的一般式是本节课的重点，但由于学生刚接触直线和直线方程的概念，教学中要求不能太高，因此对直角坐标系中直线与关于x,y 的一次方程的对应关系确定为“了解”层次.两点可以确定一条直线，给出一点和直线的方向也可以确定一条直线，由两个独立条件选用恰当形式求出直线方程后，均应统一到一般式.直线的一般式方程中系数A、B、C的几何意义不很鲜明，常常要化为斜截式和截距式，所以各种形式应会互化.。

人教A版高中数学必修二 3.2.3 直线的一般式方程导学案

3.2.3直线的一般式方程学习目标：1.掌握直线方程的点斜式、两点式、一般式以及它们之间的联系和转化.2.并能根据条件熟练地求出满足已知条件的直线方程.3.通过一般式的教学培养学生全面,系统,周密的分析讨论及解决问题的能力. 学习重点：直线方程的一般式和特殊式之间的互化.学习难点：直线与二元一次方程的对应关系的理解.学习过程一、知识链接复习1：⑴已知直线经过原点和点(0,4)，则直线的方程 .⑵在x轴上截距为1-，在y轴上的截距为3的直线方程 .⑶已知点(1,2),(3,1)A B，则线段AB的垂直平分线方程是 .复习2：平面直角坐标系中的每一条直线都可以用一个关于,x y的二元一次方程表示吗？（预习教材P97~ P99，找出疑惑之处）二、自主学习（首先独立思考探究，然后合作交流展示）关于,x y的二元一次方程0++=（A，B不同时为0）叫做直线的方程，Ax By C简称一般式．注意：直线一般式能表示平面内的任何一条直线问题1：直线方程的一般式与其他几种形式的直线方程相比，它有什么优点？A B C为何值时，方程表示的直线⑴平行于x轴；⑵平问题2：在方程0Ax By C++=中，,,行于y轴；⑶与x轴重合；⑷与y重合.典型例题例1.(1) 已知直线经过点A （6，-4），斜率为 34- ，求直线的点斜式和一般式方程. (2) 把直线 01553=-+y x 化成斜截式，求出直线的斜率以及它在y 轴上的截距。

例2.设直线L 的方程为)1,(62)12()32(22-≠∈-=-++--m R m m y m m x m m ，根据下列条件分别求m 的值：(1)在x 轴上的截距是-3； (2)斜率为1.自测反馈1 斜率为3-，在x 轴上截距为2的直线的一般式方程是（）.A ．360x y ++=B ．320x y -+=C ．360x y +-=D ．320x y --=2. 若方程0Ax By C ++=表示一条直线，则（）.A ．1A ≠B ．0B ≠C ．0AB ≠D ．220A B +≠3. 已知直线1l 和2l 的夹角的平分线为y x =，如果1l 的方程是0(0)ax by c ab ++=>，那么2l 的方程为（）.A ．0bx ay c ++=B ．0ax by c -+=C ．0bx ay c +-=D ．0bx ay c -+=4. 直线270x y ++=在x 轴上的截距为a ，在y 轴上的截距为b ，则a b += .5. 直线1:2(1)40l x m y +++=与直线2:3l mx y +20-=平行，则m = .6．光线由点(1,4)A -射出，在直线:2360l x y +-=上进行反射，已知反射光线过点62(3,)13B ，求反射光线所在直线的方程.课堂小结1．通过对直线方程的四种特殊形式的复习和变形，概括出直线方程的一般形式：0Ax By C ++=（A 、B 不全为0）； 2．点00(,)x y 在直线0Ax By C ++=上⇔00Ax By +0C +=。

高中数学3.2.3《直线一般式方程》导学案新人教A版必修2

3.2.3 《直线的一般式方程》导教案【学习目标】1、知识与技术：（ 1）明确直线方程一般式的形式特色；（2）会把直线方程的一般式化为斜截式，从而求斜率和截距；（ 3）会把直线方程的点斜式、两点式化为一般式。

2、过程与方法：学会用分类议论的思想方法解决问题。

3、感情态度与价值观：（1）认识事物之间的广泛联系与互相转变；（2）用联系的看法看问题。

【要点难点】1、要点：直线方程的一般式。

2、难点：对直线方程一般式的理解与应用。

【学法指导】注意逐字逐句认真审题，认真思虑、独立规范作答。

切记直线方程常有的几种形式，比较各样直线方程的形式特色和合用范围, 多复习记忆。

平行班达成教案的AB 类题目 .【知识链接】：点斜式方程：y y0k(x x0 )斜截式方程： y kx b 两点式：y y1x x1 (x1 x2 , y1 y2 )y2y1x2x1【学习过程】B 问题１（ 1）平面直角坐标系中的每一条直线都能够用一个对于x, y 的二元一次方程表示吗？（ 2 ）每一个对于x, y的二元一次方程Ax By C 0（A，B不一样时为0）都表示一条直线吗？我们把对于对于x, y 的二元一次方程Ax By C0（A，B不一样时为0）叫做直线的一般式方程，简称一般式B 问题 2、直线方程的一般式与其余几种形式的直线方程对比，它有什么长处？C 问题 3、在方程Ax By C0 中，A，B，C为什么值时，方程表示的直线（ 1）平行于x轴；（ 2）平行于y 轴；（3）与 x 轴重合；（4）与 y 重合。

A 例 1 已知直线经过点A（ 6， -4 ），斜率为4，求直线的点斜式和一般式方程。

3A 例 2 把直线l的一般式方程x 2 y 60 化成斜截式，求出直线l的斜率以及它在x轴与y轴上的截距，并画出图形。

C问题４、二元一次方程的每一个解与坐标平面中点的有什么关系？直线与二元一次方程的解之间有什么关系？【基础达标】第９９页 A 练习第１，２，３习题３ . ２ A 组１，１０.小结（1）请学生写出直线方程常有的几种形式，并说明它们之间的关系。

高中数学 3.2.3《直线的一般式方程》导学案 新人教A版必修2

高中数学第三章直线与方程3.2.2直线的两点式方程3.2.3直线的一般式方程学案(含解析)新人教A版必修2

3.2.2直线的两点式方程 3.2.3直线的一般式方程 教案(人教A版必修2)

高中数学 3.2.3直线的一般式方程全册精品教案 新人教A版必修2

2019-2020年高中数学《3.2.3直线的一般式方程》学案 新人教A版必修2

高中数学 必修二(3.2.3 直线的一般式方程)示范教案 新人教A版必修2