01函数及其表示

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高中数学第一章集合与函数的概念1函数及其表示复习学案1

1。

2 函数及其表示自主复习考点清单：函数的概念与函数的定义域；函数的表示；分段函数及映射.考点详情：重点一：函数的概念 1．函数的概念设B A ,是非空数集，如果按照某种对应关系f ，使集合A 中任意一个数x ，在集合B 中存在唯一确定的数)(x f 与之对应，则称)(x f 为从集合A 到集合B 的一个函数，记作A x x f y ∈=),(。

函数的定义域、值域:在函数A x x f y ∈=),(中，x 叫自变量，x 的取值范围叫函数的定义域，与x 的值对应的值y 叫函数值，函数值的集合}|)({A x x f ∈叫函数的值域,显然值域是B 的子集。

2．函数的三要素：定义域、值域、对应法则 3．区间：区间是数学中表示“连续”的数集的一种形式。

设a ，b 是两个实数，而且a ＜b 。

我们规定：(1）满足不等式a≤x≤b的实数x的集合叫做闭区间，表示为［a，b]；（2)满足不等式a＜x＜b的实数x的集合叫做开区间，表示为(a,b）；(3）满足不等式a≤x＜b或a＜x≤b的实数x的集合叫做半开半闭区间，分别表示为[a,b)，（a，b］。

这里的实数a与b都叫做相应区间的端点．其中a叫做左端点,b 叫做右端点。

实数集R可以用区间表示为(－∞，＋∞)，“∞”读作“无穷大”，“－∞”读作“负无穷大”，“＋∞”读作“正无穷大”。

我们可以把满足x≥a，x＞a，x≤b，x＜b的实数x的集合分别表示为［a，＋∞），(a，＋∞），(－∞，b］，（－∞，b)。

区间的几何表示如下表所示:4．具体函数定义域的求法函数的定义域是自变量x的取值范围，如果未加特殊说明,函数的定义域就是指使函数关系式有意义的x的取值范围，但在实际问题中，函数的定义域还要受到实际意义的制约。

(1）求具体函数定义域的原则和方法主要有:①若f（x)为整式，则其定义域为实数集R。

②若f(x)是分式，则其定义域是使分母不等于0的实数的集合。

③若f（x)为偶次根式，则其定义域是使根号内的式子大于或等于0的实数的集合。

01 函数

void setValue(int width,int height); float GetValue(void);
（2）参数命名要恰当，顺序要合理。（3）参数的顺序要遵循程序员的习惯。一般地，应将目的参数放在前面，源参数放在后面。（4）如果参数是指针，且仅作输入用，则应在类型前加const，以防止该指针在函数体内被意外修改。例如：
并且函数头末尾没有分号。函数体是函数实现的功能所在，由一对大括号{}内的一组语句组成。例如，下面的代码定义了TwoAdd函数，实现两个整数相加。
int TwoAdd (int one, int two) {
return one+two; }
说明：如果函数有返回值，必须使用return语句返回一个与函数返回值类型兼容的数据。函数头部分的参数名称
函数
本讲大纲： 1. 函数的声明和定义 2. 为函数设置参数 3. 为函数参数设置默认值 4. 使用指针/引用参数 5. 使用数组参数 6. 为函数设置动态参数 7. 定义内联函数 8. 定义和使用重载函数 9. 应用函数模板定义通用函数 10.应用函数指针调用不同的函数 11.函数的递归调用
支持网站：
//为第3个参数提供了默认值 //调用ThreeAdd函数,第3个参数采用默认值 //函数定义
在为参数指定默认值时，有一条限制，如果某个参数没有默认值，其前面的参数均不能有默认值。下面的函数原型是非法的。
int ThreeAdd (int one,int two =2, int three); //非法的函数原型
//定义按值st
//为参数赋值
//定义一个整型变量，初始化为1 //调用PassByValue函数
与按值传递对应的是按引用传递。所谓按引用传递是指在调用函数时将函数参数的地址传递到调用函数的堆栈中，在函数体中访问参数时，实际访问的是实际参数（传递到函数中的参数和实际参数具有相同的地址），这样在函数体中修改了参数值，实际上也就修改了实际参数的值。

函数及其表示知识梳理

函数1．函数的概念：设A 、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f (x )和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数。

记作：y =f (x )，x ∈A 。

其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f (x )| x ∈A }叫做函数的值域。

显然，值域是集合B 的子集.解读函数概念（1）“A ，B 是非空的数集”，一方面强调了A ，B 只能是数集，即A ，B 中的元素只能是实数；另一方面指出了定义域、值域都不能是空集，也就是说定义域为空集的函数是不存在的．（2）理解函数的概念要注意函数的定义域是非空数集A ，但函数的值域不一定是非空数集B ，而是集合B 的子集．（3）函数定义中强调“三性”：任意性、存在性、唯一性，即对于非空数集A 中的任意一个(任意性)元素x ，在非空数集B 中都有(存在性)唯一(唯一性)的元素y 与之对应．(4) “y=f(x)”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y=g(x)”；常用函数符号: ƒ(x) ,g(x), h(x), F(x), G(x)等.（5）函数符号“()y f x =”是数学中抽象符号之一，“()y f x =”仅为y 是x 的函数的数学表示，不表示y 等于f 与x 的乘积，()f x 也不一定是解析式，还可以是图表或图象．（6）函数只能是一对一或者多对一（7）函数求值，需要把所有定义域都做代换2．构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域函数的构成要素由函数概念知，一个函数的构成要素为定义域、对应关系和值域_.由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以确定一个函数只需要两个要素：定义域和对应关系.辨析() f x 与()()f a a A ∈：()f a 表示当自变量x a =时函数() f x 的值，是一个常量，而() f x 是自变量x 的函数，它是一个变量，()f a 是() f x 的一个特殊值．（1）解决一切函数问题必须认真确定该函数的定义域，函数的定义域包含三种形式：①自然型：指函数的解析式有意义的自变量x 的取值范围（如：分式函数的分母不为零，偶次根式函数的被开方数为非负数，对数函数的真数为正数，等等）；②限制型：指命题的条件或人为对自变量x 的限制，这是函数学习中重点，往往也是难点，因为有时这种限制比较隐蔽，容易犯错误；③实际型：解决函数的综合问题与应用问题时，应认真考察自变量x 的实际意义。

#01-函数及其表示(一)

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1 1 x2 ( x 0) ，那么 f ( ) 等于（ 2 2 x
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30
√1．已知 f（x）＝ x ＋x＋1，则 f ( 2 ) ＝______；f［ f ( 2 ) ］＝______．
2 √2．（函数的定义）若函数 f (2 x 1) x 2 x ，则 f (3) =
．
☆3．已知函数 f（x）＝＋f（
1 1 x2 ，那么 f（1）＋f（2）＋f（）＋f（3）＋f（）＋f（4） 2 2 3 1＋x
令 2x 1 3, x 1, f (3) f (2 x 1) x2 2 x 1

高三第一轮复习函数及其表示

第1讲函数及其表示1．函数的基本概念(1)函数的定义：设A 、B 是非空数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f (x )和它对应，那么称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数，记作：y ＝f (x )，x ∈A . (2)函数的定义域、值域在函数y ＝f (x )，x ∈A 中，x 叫自变量，x 的取值范围A 叫做定义域，与x 的值对应的y 值叫函数值，函数值的集合{f (x )|x ∈A }叫值域．值域是集合B 的子集． (3)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．(4)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等；这是判断两函数相等的依据． 2．函数的三种表示方法表示函数的常用方法有：解析法、列表法、图象法． 3．映射的概念一般地，设A 、B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应，那么就称对应f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个映射．映射是一种特殊的函数，映射中的集合A,B 可以是数集，也可以是点集或其他集合，这两个集合有先后顺序。

A 到B 的映射与B 到A 的映射是不同的。

而函数是数集到数集的映射，所以函数是特殊的映射，但是映射不一定是函数。

4.求函数的定义域的主要依据是：（1）分式的分母不能等于零；（2）偶次方根的被开方数必须大于等于零；（3）对数函数x y a log =的真数0>x ；（4）指数函数x a y =和对数函数x y a log =的底数0>a 且1≠a ；（5）零次幂0x 的底数0≠x ；（6）由实际问题确定函数的定义域，不仅要考虑解析式有意义，还要有实际意义。

求复合函数y ＝f (t )，t ＝q (x )的定义域的方法：①若y ＝f (t )的定义域为(a ，b )，则解不等式得a ＜q (x )＜b 即可求出y ＝f (q (x ))的定义域；②若y ＝f (g (x ))的定义域为(a ，b )，则求出g (x )的值域即为f (t )的定义域．5.两个防范 (1)解决函数问题，必须优先考虑函数的定义域． (2) 函数的定义域和值域必须用集合表示，也可以用区间表示，但是不能用不等式表示。

函数01函数及其表示

第1课时函数及其表示基础过关一、映射（1）设A，B是两个非空集合，如果按照某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任何一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么，就称对应f：A→B为从集合A到集合B的映射，记作：f：A→B。

（2）像与原像：如果给定一个集合A到集合B的映射，那么，和集合A中的a对应的集合B中的b叫做a的像，a叫做b的原像。

二、函数2、函数：（1）定义（传统）：如果在某变化过程中有两个变量x，y并且对于x在某个范围内的每一个确定的值，按照某个对应法则，y都有唯一确定的值和它对应，那么y就是x的函数，x叫做自变量，x的取值范围叫做函数的定义域，和x的值对应的y的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域。

（2）函数的集合定义：设A，B都是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任何一个元素x，在集合B中都有唯一确定的数f（x）和它对应，那么就称f：x→y为从集合A到集合B的一个函数，记作y=f（x），x∈A，其中，x叫做自变量，x 的取值范围A叫做函数f（x）的定义域，与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{ f（x）|x∈A}叫做函数f（x）的值域。

显然值域是集合B的子集。

2．函数的三要素为定义域，值域，对应法则。

值域可由定义域唯一确定，因此当两个函数的定义域和对应法则相同时，值域一定相同，它们可以视为同一函数。

3．函数的表示法有（1）解析法：如果在函数y=f（x）（x∈A）中，f（x）是用代数式（或解析式）来表达的，则这种表示函数的方法叫做解析式法；（2）列表法：用表格的形式表示两个量之间函数关系的方法，称为列表法；（3）图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系。

注意：函数的图象可以是一个点，或一群孤立的点，或直线，或直线的一部分，或若干曲线组成。

例1.下列各组函数中，表示同一函数的是（）.A. 1,x y y x ==B. 211,1y x x y x =-+=-C. 33,y x y x ==D. 2||,()y x y x ==解：C变式训练1：下列函数中，与函数y=x 相同的函数是（）A.y=x x 2B.y=(x )2C.y=lg10xD.y=x 2log 2 解：C例2.给出下列两个条件：（1）f(x +1)=x+2x ; (2)f(x)为二次函数且f(0)=3,f(x+2)-f(x)=4x+2.试分别求出f(x)的解析式.解：（1）令t=x +1,∴t≥1，x=（t-1）2.则f(t)=(t-1)2+2(t-1)=t 2-1,即f(x)=x 2-1,x∈［1，+∞).（2）设f(x)=ax 2+bx+c (a≠0),∴f(x+2)=a(x+2)2+b(x+2)+c, 则f(x+2)-f(x)=4ax+4a+2b=4x+2. ∴⎩⎨⎧=+=22444b a a ， ∴⎩⎨⎧-==11b a ，又f(0)=3⇒c=3,∴f(x)=x 2-x+3.变式训练2：（1）已知f （12+x）=lgx ，求f （x ）；（2）已知f （x ）是一次函数，且满足3f （x+1）-2f （x-1）=2x+17，求f （x ）；（3）已知f （x ）满足2f （x ）+f （x 1）=3x ，求f （x ）. 解：(1)令x2+1=t ，则x=12-t ， ∴f（t ）=lg12-t ，∴f（x ）=lg 12-x ,x∈(1,+∞). （2）设f （x ）=ax+b ，则3f （x+1）-2f （x-1）=3ax+3a+3b-2ax+2a-2b=ax+b+5a=2x+17，∴a=2，b=7，故f （x ）=2x+7.（3）2f （x ）+f （x1）=3x ， ① 把①中的x 换成x 1，得2f （x 1）+f （x ）=x 3 ② 典型例题①×2-②得3f （x ）=6x-x 3，∴f（x ）=2x-x1. 例3. 等腰梯形ABCD 的两底分别为AD=2a ，BC=a ，∠BAD=45°，作直线MN⊥AD 交AD 于M ，交折线ABCD 于N ，记AM=x ，试将梯形ABCD 位于直线MN 左侧的面积y 表示为x 的函数，并写出函数的定义域. 解：作BH⊥AD，H 为垂足，CG⊥AD，G 为垂足，依题意，则有AH=2a ，AG=23a. （1）当M 位于点H 的左侧时，N∈AB，由于AM=x ，∠BAD=45°. ∴MN=x. ∴y=S △AMN =21x 2（0≤x≤2a ）. （2）当M 位于HG 之间时，由于AM=x ， ∴MN=2a ，BN=x-2a . ∴y=S AMNB =2·21a ［x+（x-2a ）］=21ax-).232(82a x a a ≤< （3）当M 位于点G 的右侧时，由于AM=x ，MN=MD=2a-x.∴y=S ABCD -S △MDN =).223(45221)44(2143)2(21)2(2·21222222a x a a ax x x ax a a x a a a a ≤<-+-=+--=--+ 综上：y=⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎥⎦⎤ ⎝⎛∈-+-⎥⎦⎤ ⎝⎛∈-⎢⎣⎡⎥⎦⎤∈a a x a ax x a a x a ax a x x 2,2345221.23,28212,0212222 变式训练3：已知函数f(x)=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<-=>.0,1,0,1,0,2x x x x x（1）画出函数的图象；（2）求f(1)，f(-1),f [])1(-f 的值.解：（1）分别作出f(x)在x ＞0,x=0,x ＜0段上的图象，如图所示，作法略.（2）f(1)=12=1,f(-1)=-,111=-f [])1(-f =f(1)=1.1．了解映射的概念，应紧扣定义，抓住任意性和唯一性．2．函数的解析式常用求法有：待定系数法、换元法（或凑配法）、解方程组法．使用换元法时，要注意研究定义域的变化．3．在简单实际问题中建立函数式，首先要选定变量，然后寻找等量关系，求得函数的解析式，还要注意定义域．若函数在定义域的不同子集上的对应法则不同，可用分段函数来表示．小结归纳。

高一数学上册第一章函数及其表示知识点及练习题(含答案)

函数及其表示（一）知识梳理1．映射的概念设B A 、是两个非空集合，如果按照某种对应法则f ，对A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应，则称f 是集合A 到集合B 的映射,记作f(x).2．函数的概念(1)函数的定义：设B A 、是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f ，对A 中的任意数 x ，在集合B 中都有唯一确定的数y 和它对应，则这样的对应关系叫做从A 到B 的一个函数，通常记为___y=f(x),x ∈A(2)函数的定义域、值域在函数A x x f y ∈=),(中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，对于的函数值的集合所有的集合构成值域。

(3)函数的三要素：定义域、值域和对应法则3．函数的三种表示法：图象法、列表法、解析法（1）．图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系；（2）．列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系；(3)．解析法：就是把两个变量的函数关系，用等式来表示。

4．分段函数在自变量的不同变化范围中，对应法则用不同式子来表示的函数称为分段函数。

（二）考点分析考点1：判断两函数是否为同一个函数如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，称这两个函数相等。

考点2：求函数解析式方法总结：（1）若已知函数的类型（如一次函数、二次函数），则用待定系数法；（2）若已知复合函数)]([x g f 的解析式，则可用换元法或配凑法；（3）若已知抽象函数的表达式，则常用解方程组消参的方法求出)(x f1.2函数及其表示练习题（2）一、选择题1. 判断下列各组中的两个函数是同一函数的为（） ⑴3)5)(3(1+-+=x x x y ，52-=x y ； ⑵111-+=x x y ，)1)(1(2-+=x x y ；⑶x x f =)(，2)(x x g =；⑷()f x =()F x = ⑸21)52()(-=x x f ，52)(2-=x x f .A. ⑴、⑵B. ⑵、⑶C. ⑷D. ⑶、⑸2. 函数()y f x =的图象与直线1x =的公共点数目是（）A. 1B. 0C. 0或1D. 1或23. 已知集合{}{}421,2,3,,4,7,,3A k B a a a ==+，且*,,a N x A y B ∈∈∈ 使B 中元素31y x =+和A 中的元素x 对应，则,a k 的值分别为（）A. 2,3B. 3,4C. 3,5D. 2,54. 已知22(1)()(12)2(2)x x f x x x x x +≤-⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩，若()3f x =，则x 的值是（）A. 1B. 1或32C. 1，32或 D.5. 为了得到函数(2)y f x =-的图象，可以把函数(12)y f x =-的图象适当平移，这个平移是（）A. 沿x 轴向右平移1个单位B. 沿x 轴向右平移12个单位 C. 沿x 轴向左平移1个单位 D. 沿x 轴向左平移12个单位 6. 设⎩⎨⎧<+≥-=)10()],6([)10(,2)(x x f f x x x f 则)5(f 的值为（） A. 10 B. 11 C. 12 D. 13二、填空题1. 设函数.)().0(1),0(121)(a a f x xx x x f >⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<≥-=若则实数a 的取值范围是 . 2. 函数422--=x x y 的定义域 . 3. 若二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴交于(2,0),(4,0)A B -，且函数的最大值为9，则这个二次函数的表达式是 .4.函数0y =_____________________. 5. 函数1)(2-+=x x x f 的最小值是_________________.三、解答题1.求函数()f x =.2. 求函数12++=x x y 的值域.3. 12,x x 是关于x 的一元二次方程22(1)10x m x m --++=的两个实根，又2212y x x =+，求()y f m =的解析式及此函数的定义域.4. 已知函数2()23(0)f x ax ax b a =-+->在[1,3]有最大值5和最小值2，求a 、b 的值.参考答案（2）一、选择题 1. C 2. C 3. D 4. D∴2()3,12,f x x x x ===-<<而∴ x =5. D 平移前的“1122()2x x -=--”，平移后的“2x -”，用“x ”代替了“12x -”，即1122x x -+→，左移 6. B [][](5)(11)(9)(15)(13)11f f f f f f f =====.二、 1.(),1-∞- 当10,()1,22a f a a a a ≥=-><-时，这是矛盾的；当10,(),1a f a a a a<=><-时； 2. {}|2,2x x x ≠-≠且 240x -≠3. (2)(4)y x x =-+- 设(2)(4)y a x x =+-，对称轴1x =，当1x =时，max 99,1y a a =-==-4. (),0-∞ 10,00x x x x -≠⎧⎪<⎨->⎪⎩ 5. 54- 22155()1()244f x x x x =+-=+-≥-. 三、 1. 解：∵10,10,1x x x +≠+≠≠-，∴定义域为{}|1x x ≠-2. 解： ∵221331(),244x x x ++=++≥∴y ≥，∴值域为)+∞ 3. 解：24(1)4(1)0,30m m m m ∆=--+≥≥≤得或，222121212()2y x x x x x x =+=+-224(1)2(1)4102m m m m =--+=-+∴2()4102,(03)f m m m m m =-+≤≥或.4. 解：对称轴1x =，[]1,3是()f x 的递增区间，max ()(3)5,335f x f a b ==-+=即min ()(1)2,32,f x f a b ==--+=即∴3231,.144a b a b a b -=⎧==⎨--=-⎩得。

高一数学《函数及其表示》知识讲解

高一数学《函数及其表示》知识讲解高一数学《函数及其表示》知识讲解《函数及其表示》是高一数学的一个知识点，下面小编为大家介绍高一数学《函数及其表示》知识讲解，希望能帮到大家！考点一映射的概念1．了解对应大千世界的对应共分四类，分别是：一对一多对一一对多多对多2．映射：设A和B是两个非空集合，如果按照某种对应关系f，对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都存在唯一的一个元素y 与之对应，那么，就称对应f：A→B为集合A到集合B的一个映射(mapping).映射是特殊的对应，简称“对一”的对应。

包括：一对一多对一考点二函数的概念1．函数：设A和B是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都存在唯一确定的数y与之对应，那么，就称对应f：A→B为集合A到集合B的一个函数。

记作y=f(x),xA.其中x叫自变量，x的.取值范围A叫函数的定义域；与x的值相对应的y的值函数值，函数值的集合叫做函数的值域。

函数是特殊的映射，是非空数集A到非空数集B的映射。

2．函数的三要素：定义域、值域、对应关系。

这是判断两个函数是否为同一函数的依据。

3．区间的概念：设a,bR,且a<b.我们规定：①(a,b)={xa<x<b}②[a,b]={xa≤x≤b}③[a,b)={xa≤x<b}④(a,b]= {xa<x≤b}⑤(a,+∞)={xx>a}⑥[a,+∞)={xx≥a}⑦(-∞,b)={xx<b}⑧(-∞,b]={xx≤b}⑨(-∞,+∞)=R考点三函数的表示方法1．函数的三种表示方法列表法图象法解析法2．分段函数：定义域的不同部分，有不同的对应法则的函数。

注意两点：①分段函数是一个函数，不要误认为是几个函数。

②分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集。

能力知识清单考点一求定义域的几种情况①若f(x)是整式，则函数的定义域是实数集R；②若f(x)是分式，则函数的定义域是使分母不等于0的实数集；③若f(x)是二次根式，则函数的定义域是使根号内的式子大于或等于0的实数集合；④若f(x)是对数函数，真数应大于零。

高一数学必修一函数及其表示-函数的概念

1.2函数及其表示§1.2.1函数的概念【教学目的】1、使学生理解函数的概念，明确决定函数的定义域、值域和对应法则三个要素；2、理解函数符号的含义，能根据函数表达式求出定义域、值域；3、使学生能够正确使用“区间”、“无穷大”的记号；4、使学生明白静与动的辩证关系，激发学生学习数学的兴趣和积极性。

【教学重点】在对应的基础上理解函数的概念【教学难点】函数概念的理解【教学过程】一、复习引入〖提问〗初中学习的（传统）的函数的定义是什么？初中学过哪些函数？〖回答〗设在一个变化过程中有两个变量和，如果对于的每一个值，都有唯一的值与它对应，那么就说是自变量，是的函数，并将自变量取值的集合叫做函数的定义域，和自变量的值对应的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域，这种用变量叙述的函数定义我们称之为函数的传统定义。

〖讲述〗初中已经学过：正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数等。

〖提问〗问题1：=1（∈）是函数吗？问题2：=与=是同一函数吗？〖投影〗观察对应：〖分析〗观察分析集合A与B之间的元素有什么对应关系？二、讲授新课函数的概念（一）函数与映射〖投影〗函数：设A，B是非空的数集，如果按某个确定的对应关系，使对于集合A中的任意一个数，在集合B中都有唯一确定的数和它对应，那么就称：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作=，∈A。

其中叫自变量，的取值范围A叫做函数=的定义域；与的值相对应的的值叫做函数值，函数值的集合{|∈A}，叫做函数=的值域。

函数符号=表示“是的函数”，有时简记作函数。

函数的三要素：对应法则、定义域A、值域{|∈A}注：只有当这三要素完全相同时，两个函数才能称为同一函数。

映射：设是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应关系,使对于集合中的任意一个元素,在集合中都有唯一确定的元素与之对应,那么就称对应为从集合到集合的一个映射.如果集合中的元素对应集合中元素,那么集合中的元素叫集合中元素的原象,集合中元素叫合中的元素的象.映射概念的理解(1)映射包含三个要素:原像集合A,像集合B(或B的子集)以及从集合A 到集合B的对应法则.两个集合A,B可以是数集,也可以是点集或其他集合.对应法则可用文字表述,也可以用符号表示.映射是一种特殊的对应关系,它具有:(1)方向性:映射是有次序的,一般地从A到B的映射与从B到A的映射是不同的;(2)任意性:集合A中的任意一个元素都有像,但不要求B中的每一个元素都有原像;(3)唯一性:集合A中元素的像是唯一的,即不允许“一对多”,但可以“多对一”.函数与映射的关系函数是一种特殊的映射.映射与函数概念间的关系可由下表给出.映射函数集合A,B可为任何集合,其元素可以是物,人,数等函数的定义域和值域均为非空的数集对于集合A中任一元素,在集合B中都有唯一确定的像对函数的定义域中每一个,值域中都有唯一确定的值与之对应对集合B中任一元素,在集合A中不一定有原像对值域中每一个函数值,在定义域中都有确定的自变量的值与之对应函数是特殊的映射,映射是函数的推广.〖注意〗（1）函数实际上就是集合A到集合B的一个特殊对应：A→B。

01随便举几个例子

以下是几个关于“01”的例子：
在计算机科学中，0和1是二进制数的最基本元素，任何数字都可以表示为二进制形式，即由0和1的不同组合构成。

在编程中，0和1是常见的数值，经常用于控制程序的流程和逻辑。

例如，在条件语句中，1通常表示真，0表示假。

在电子工程中，0和1是数字信号的基本形式，任何模拟信号都可以通过采样、量化和编码转换为数字信号，即由0和1的不同组合构成。

在金融中，0和1是货币交易的基本单位，任何货币交易都可以表示为数字形式的金额，例如100美元可以表示为100个1美元的硬币或纸币。

总之，“01”在许多领域都有广泛的应用，是现代社会中不可或缺的基本元素之一。

函数的表示法

2023函数的表示法contents •函数的基本概念•函数的图像表示法•函数的表格表示法•函数的解析表示法•三种表示法的比较目录01函数的基本概念1函数的定义23函数是一种特殊的关系，它把输入值（或自变量）映射到输出值（或因变量）。

函数是一种关系函数定义了输入值和对应的输出值，即函数确定了输入值所对应的输出值。

函数定义了输入和输出函数通常由数学表达式表示，可以用于解决各种数学问题。

函数是数学表达式的组成部分符号表示法使用函数符号来表示函数，例如 $f(x) = x^2$ 表示一个函数，其中 $f$ 是函数符号，$x$ 是自变量，$x^2$ 是因变量。

表格表示法使用表格来表示函数，表格中列出输入值和对应的输出值。

图表示法使用图形来表示函数，图形的纵坐标表示输出值，横坐标表示自变量。

函数的表示方法函数的基本性质对于任意一个自变量，函数都有唯一确定的输出值与之对应。

确定性函数的输出值必须在一定范围内，即函数的值域是有界的。

有界性函数在一定区间内单调递增或单调递减，即因变量随自变量的增大（或减小）而增大（或减小）。

单调性对于任意两个自变量，如果它们的和也是自变量，那么函数的和等于两个自变量的和分别带入函数求得的结果的和。

可加性02函数的图像表示法首先确定函数的定义域，即自变量的取值范围。

函数图像的绘制确定函数定义域根据函数解析式，在坐标系中描点、连线，画出函数的图像。

画出函数图像检查所画图像是否符合函数解析式，确保准确性。

检查图像准确性图像的平移与伸缩图像的平移根据平移规则，将函数图像沿x轴或y轴方向移动一定距离。

图像的伸缩根据伸缩规则，将函数图像沿x轴或y轴方向放大或缩小一定倍数。

平移与伸缩的结合根据需要，可以将图像先平移再伸缩，或先伸缩再平移。

函数的奇偶性和周期性函数的奇偶性根据奇偶性定义，判断函数图像关于原点对称还是关于y轴对称。

函数的周期性根据周期性定义，判断函数图像是否具有重复出现的规律。

函数性质的应用了解函数具有的性质对解题和应用的帮助。

旧教材适用2023高考数学一轮总复习第二章函数与基本初等函数第1讲函数及其表示课件

B．(－1，1]
C．(－，－1)
D．(－4，0)∪(0，1]
答案 A
解析要使函数 f(x)有意义，应有
－x2－3x＋4≥0，
x＋1>0，
解得－1<x<0 或 0<x≤1，故选 A.
x＋1≠1，
3 ． (2021·陕西省高三教学质量检测 ( 四 )) 已知函数 f(x) ＝
□06 唯一确定
A→B
一个元素 x，在集合 B 中都有合 B 中都有□04 唯一确定的
的元素 y 与之对应
数 f(x)与之对应
名称记法
称对应 f：A→B 为从集称 f：A→B 为从集合 A 到集
合 A 到集合 B 的一个合 B 的一个函数
映射
y＝f(x)，x∈A
f：A→B
2．函数的定义域、值域
x－1 B．y＝ x－1与 y＝ x－1 C．y＝4lg x 与 y＝2lg x2 D．y＝(3 x)3 与 y＝x 答案 D
解析 A 中，y＝x－1 与 y＝（x－1）2＝|x－1|的解析式不同，两函数
不相等；B 中，y＝
x－1的定义域为[1，＋∞)，y＝
x－1 x－1的定义域为(1，
＋∞)，定义域不同，两函数不相等；C 中，y＝4lg x 与 y＝2lg x2＝4lg |x|的
A．f：x→y＝12x B．f：x→y＝13x C．f：x→y＝23x D．f：x→y＝ x 答案 C 解析依据函数的概念，集合 A 中任一元素在集合 B 中都有唯一确定的元素与之对应，故选项 C 不符合．
－x2－3x＋4 2．函数 f(x)＝ lg （x＋1）的定义域为( )
A．(－1，0)∪(0，1]

函数的概念及其表示法

时，有x=f^(-1)(y)，则称x=f^(-1)(y)为y=f(x)的反函数。
性质
02
原函数和反函数在相应的区间上单调性相同。
求导法则
03
原函数的导数等于反函数的导数的倒数。
05 函数的实际应用
一次函数的应用
01
02
03
线性回归分析
一次函数是线性回归分析的基础，通过拟合数据点，可以预测因变量的变化趋势。
函数的概念及其表示法
目录
• 函数的基本概念 • 函数的表示法 • 函数的定义域和值域 • 函数的运算 • 函数的实际应用
01 函数的基本概念
函数的定义
01
函数是一种特殊的对应关系，它使得集合A中的每一个元素都能通过某种法则对应到集合B中的唯一一个元素。
02
函数通常用大写字母表示，如f(x)， g(x)等，其中x是自变量，f(x)是因变量。
初等函数
由代数函数和三角函数经过有限次四则运算得到的函数。
三角函数
与三角学相关的函数，如正弦函数、余弦函数等。
超越函数
不能表示为有限次四则运算的初等函数的函数，如自然对数函数、正切函数等。
02 函数的表示法
解析法
解析法
使用数学表达式来表示函数，如 $f(x) = x^2 + 2x + 1$。解析法精确地描述了函数与自变量之间的数学关系，适用于需要精确计算的情况。
表格法
01 02
表格法
列出自变量和因变量的若干组对应数值，以表格的形式表示函数。适用于已知部分函数值的情况，可以通过插值或拟合的方法确定其他点的函数值。
优点
简单、直观，能够提供一定程度的近似值。

函数的表示法及分段函数

下降。
02 分段函数的概念与性质
分段函数的定义与表示方法
分段函数的定义
分段函数是一种在自变量的不同取值范围内，对应不同的函数表达式的函数。
分段函数的表示方法
通常使用大括号将各段的函数表达式括起来，并在每一段前面标明自变量的取值范围。
分段函数的性质
分段连续性
01
分段函数在其定义域内的每一段上都是连续的，但在某些点处
分段函数的单调性
01
分段函数的单调性需要分别考虑其各段的单调性。
02
如果分段函数在某一段内单调增加（或减少），则该函数在该段内为增函数（或减函数）。
03
如果分段函数在其整个定义域内都是单调的，则该函数为全局单调函数。
分段函数的奇偶性
分段函数的奇偶性需要分别考虑其各段的奇偶性。
如果分段函数在其定义域内关于y轴对称，则该函数为偶函数。
税收制度
税收制度中的累进税率就是一种典型的分段函数。根据不同的收入区间，税率会有所不同，从而形成了一个分段函数。
需求与供给
在经济学中，需求和供给曲线可以表示为分段函数。这些曲线描述了在不同价格水平下，消费者和生产者的行为变化。
分段函数在工程学中的应用
控制系统
在控制工程中，分段函数常被用来描述系统的非线性特性。例如，饱和环节、死区环节等都可以通过分段函数来表示。
现实世界中的许多系统都具有复杂性和非线性特点，如生态系统、社会经济系统等。未来，分段函数将在复杂系统的建模和分析中发挥更大作用，需要发展更为精细和高效的方法。
函数表示法与计算机科学的结合
随着计算机科学的不断进步，函数表示法将与计算机科学更加紧密地结合，如自动微分、符号计算等技术的发展将为函数表示法提供新的思路和方法。

2024年高中数学必修一全册全套课件

集合的运算
并集、交集、补集等。
函数及其表示
01 函数的概念
函数是一种特殊的对应关系，它描述了自变量和因变量之间的关系。
03 函数的表示方法
解析式法、图象法、表格
法等。
02 函数的定义域和值域
定义域是自变量的取值范围，值域是因变量的取值范围。
04 函数的性质
单调性、奇偶性、周期性
等。
函数的基本性质
高中数学必修一全册全套课件
目录
• 集合与函数概念 • 基本初等函数（Ⅰ） • 函数的应用 • 空间几何体 • 点、直线、平面之间的位置关系
01
集合与函数概念
集合
集合的概念
集合是具有某种特定属性的事物的总体，是数学中的基本概念之一。
集合间的关系
包含关系、相等关系、互异关系等。
集合的表示方法
列举法、描述法、图示法等。
02 对数函数的图象与性质
通过图象研究对数函数的单调性、特殊点等。
03 对数函数的应用
解决与对数有关的问题，如计算复利、解决音响工程中的分贝数等。
幂函数
幂函数的概念
一般地，形如$y=x^a(a为实数)$的函数，称为幂函数。
幂函数的应用
解决与幂函数有关的问题，如计算面积、体积等。
幂函数的图象与性质
直观图
斜二测画法得到的图形，用于直观地表示空间几何体的形状。
空间几何体的表面积与体积
多面体的表面积与体积
通过计算各面面积之和以及体积公式来求解。
旋转体的表面积与体积
组合体的表面积与体积
通过分解组合体为简单几何体，再分别计算各部分的表面积和体积来求解。
通过计算侧面积、底面积以及体积公式来求解。

1-0 函数

1 , x0 符号函数 sgn x 0 , x 0 1 , x 0
y
1 O －1
用[a] 表示不超过 a 的最大整数。
4 3 1
如 [3.1] 3, [3.5] 4 等。取整函数 y [x]
阶梯形函数
-4 -2
o
-2 -4
1
3
5
x
狄利克雷函数
1 当x是有理数时 y D( x ) 0 当x是无理数时
② 如果常数 K 2 ，使得 x D , 总有 K 2 f ( x ) 成立，则称 K 2 是 f ( x ) 在 D 上的一个上界，或称 f ( x ) 在 D 上有上界。 K2 逻辑形式： K 2 , x D 有 K 2 f ( x)
③ 如果 f ( x ) 在 D 上既有上界又有下界，则称 f ( x ) 在 D 上有界。
y
1
• 特性
1. 有界性设函数 y f ( x ) , x D
① 如果存在常数 K1 ，使得对任何 x D , 总有 K1 f ( x ) 成立，
逻辑形式： K1 , x D 有 K1 f ( x )
则称 K1 是 f ( x ) 在 D 上的一个下界，或称 f ( x ) 在 D 上有下界。
奇函数.
x x
e e 双曲余弦 chx 2
D : ( , ),
偶函数.
y shx
shx e x e x 双曲正切 thx x x chx e e
D : ( , )
奇函数, 有界函数,
双曲函数常用公式
反之，若给出平面上的某些 d 图形，也可以表示一个函数。
y
函数的定义域是图形在 x 轴上的投影；函数的值域是图形在 y 轴上的投影。 ④ 分段定义的函数

配套K12高考数学总复习(讲+练+测)：专题2.1 函数及其表示(讲)

第01节函数及其表示【考纲解读】【知识清单】1. 函数与映射的概念对点练习：设集合{}=,,A a b c ，{}=0,1B ，试问：从A 到B 的映射共有几个？【答案】2.函数的定义域、值域(1)在函数y ＝f (x )，x ∈A 中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f (x )|x ∈A }叫做函数的值域.(2)如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为相等函数. 对点练习：若函数y ＝f (x )的定义域为M ＝{x |－2≤x ≤2}，值域为N ＝{y |0≤y ≤2}，则函数y ＝f (x )的图象可能是()【答案】B【解析】 A 中函数定义域不是[－2，2]，C 中图象不表示函数，D 中函数值域不是[0，2]. 3.函数的表示法表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法. 对点练习：若函数满足关系式，则的值为（）A. 1B. -1C.D.【答案】A【解析】试题分析：因为函数满足关系式，所以，用代换，可得，联立方程组可得，故选A ． 4.分段函数(1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数.(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数. 对点练习：【2017届湖南郴州监测】已知211,0()2(1),0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪-->⎩，则使()1f a =-成立的值是____________.【答案】42-或【考点深度剖析】函数的概念，经常与函数的图象和性质结合考查，有时以小题的面目出现，有时渗透于解答题之中.分段函数表示一个函数，不是几个函数，从近几年高考命题看，考查力度有加大趋势，与之相关的题目，往往有一定的难度，关键是与基本初等函数结合，要求不但要理解分段函数的概念，更要掌握基本初等函数的图象和性质．【重点难点突破】考点1 映射与函数的概念【1-1】给出四个命题：①函数是其定义域到值域的映射；②()f x =③函数2(N)y x x ∈＝的图象是一条直线；④2()x f x x=与()g x x ＝是同一个函数．其中正确的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】A【解析】(1)由函数的定义知①正确．②中满足()f x =的不存在，所以②不正确．③中2(N)y x x ∈＝的图象是一条直线上的一群孤立的点，所以③不正确．④中2()x f x x=与()g x x ＝的定义域不同，∴④也不正确．故选A .【1-2】设集合，则下列对应中不能构成到的映射的是（） A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：当时，集合中任意元素，在中都有唯一的元素与之对应，所以对应到的映射；当时，集合中没有元素与之对应，所以对应不是到的映射；当时，集合中任意元素，在中都有唯一的元素与之对应，所以对应到的映射；当时，集合中任意元素，在中都有唯一的元素与之对应，所以对应到的映射，故选B ．【1-3】下列两个对应中是集合到集合的函数的有________________．（写出符合要求的选项序号）（1）设，，对应法则；（2）设，，对应法则；（3）设，对应法则除以所得的余数；（4），对应法则．【答案】（1）（3）【领悟技法】1.判断一个对应是否为映射，关键看是否满足“集合A 中元素的任意性，集合B 中元素的唯一性”．2. 判断一个对应f ：A →B 是否为函数，一看是否为映射；二看A ，B 是否为非空数集．若是函数，则A 是定义域，而值域是B 的子集．3. 函数的三要素中，若定义域和对应关系相同，则值域一定相同．因此判断两个函数是否相同，只需判断定义域、对应关系是否分别相同．【触类旁通】【变式一】下列函数中，与函数y =的定义域相同的函数为( ) A ．1sin y x = B ．ln x y x= C ．y ＝x e xD ．y ＝sin x x【答案】D【解析】函数y =的定义域是0(()0)∞∞－，，＋，而1sin y x =的定义域为{x |x ≠k π，k ∈Z }，ln x y x=的定义域为(0，＋∞)，y ＝x e x的定义域为R ，y ＝sin x x 的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．故选D.【变式二】在下列图形中，表示y 是x 的函数关系的是________．【答案】①②【解析】由函数定义可知，自变量x 对应唯一的y 值，所以③④错误，①②正确．【变式三】已知函数()23,f x x x A =-∈的值域为{1,1,3}-，则定义域A 为 . 【答案】{1,2,3}考点2 求函数的解析式【2-1】已知f (x )是一次函数，且满足3f (x ＋1)－2f (x －1)＝2x ＋17，则f (x )＝________. 【答案】()27f x x =+ 【解析】设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，则3f (x ＋1)－2f (x －1)＝3ax ＋3a ＋3b －2ax ＋2a －2b ＝ax ＋5a ＋b ，即ax ＋5a ＋b ＝2x ＋17不论x 为何值都成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＋5a ＝17，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝7，∴f (x )＝2x ＋7. 【2-2】已知2(1)21f x x x -=-+，求()f x 【答案】2()232f x x x =-+【解析】(换元法)设1t x =-，则1x t =-， ∴22()2(1)(1)1232f t t t t t =---+=-+， ∴ 2()232f x x x =-+.【2-3】定义在(1,1)-内的函数()f x 满足2()()lg(1)f x f x x --=+，求()f x 【答案】21()lg(1)lg(1)33f x x x =++-，x ∈(1,1)-【领悟技法】1.已知函数类型，用待定系数法求解析式．2.已知函数图象，用待定系数法求解析式，如果图象是分段的，要用分段函数表示．3.已知()f x 求[()]f g x ，或已知[()]f g x 求()f x ，用代入法、换元法或配凑法．4.若()f x 与1()f x或()f x -满足某个等式，可构造另一个等式，通过解方程组求解． 5.应用题求解析式可用待定系数法求解．6.求函数解析式一定要注意函数的定义域，否则极易出错．【触类旁通】【变式一】某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表．那么，各班可推选代表人数y 与该班人数x 之间的函数关系用取整函数y ＝[x ]([x ]表示不大于x 的最大整数)可以表示为( )A ．y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 10B ．y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋310C ．y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋410 D ．y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋510 【答案】B【变式二】已知f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＝x 2＋1x2，则f (x )＝________.【答案】()22(][22)f x x x ∈∞∞＝－，－，－，＋【解析】（配凑法） (1)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＝x 2＋1x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 2－2，又x ＋1x∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)，∴()22(][22)f x x x ∈∞∞＝－，－，－，＋考点3 分段函数及其应用【3-1】【2017东营模拟】设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≤1，2x，x ＞1，则f (f (3))等于( )A.15 B ．3 C.23 D ．139【答案】D【解析】由题意知f (3)＝23≤1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋1＝139，∴f (f (3))＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝139.【3-2】已知函数lg ,0()3,0f x x x x x >⎧=⎨+≤⎩，若()()10f a f ＋＝，则实数a 的值为( )A ．－3B ．－3或1C ．1D ．－1或3【答案】B【解析】∵()1 10f lg ＝＝，∴()0f a =，当a ＞0时，lg a ＝0，a ＝1.当a ≤0时，a ＋3＝0，a ＝－3.所以a ＝－3或1.【3-3】【2014浙江高考理第15题】设函数()⎪⎩⎪⎨⎧≥-<+=0,0,22x x x x x x f 若()()2≤a f f ，则实数a 的取值范围是______【答案】a ≤解得，0a <或a ≤≤，故a ≤【领悟技法】1.因为分段函数在其定义域内的不同子集上其对应法则不同，而分别用不同的式子来表示，因此在求函数值时，一定要注意自变量的值所在子集，再代入相应的解析式求值．2.“分段求解”是处理分段函数问题解的基本原则．【触类旁通】【变式一】【2017江西师范附属3月模拟】已知函数()()22log 3,2,{21,2x x x f x x ---<=-≥，若()21f a -=，则()f a =（）A. 2-B. 1-C. 1D. 2 【答案】A【解析】当22a -≥即0a ≤时, 22211a ---=,解得1a =-，则()()()21log 312f a f ⎡⎤=-=---=-⎣⎦；当22a -<即0a >时, ()2log 321a ⎡⎤---=⎣⎦，解得12a =-，舍去. ∴()2f a =-. 【变式二】【2017广州调研】定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2－x ，x ≤0f x －，x ＞0，则f (3)的值为( )A ．－4B ．2C ．log 213D ．4【答案】D【解析】()()()()422(321016)02 4.f f f f log log ＝＝＝＝－＝＝【易错试题常警惕】易错典例：已知函数x x x f 2)(2+=12(≤≤-x且x Z ∈），则()f x 的值域是( )A ．[]0,3B ．[]1,3- C ．{}0,1,3 D ．{}1,0,3- 易错分析：本题易忽视定义域的重要作用，误选B . 正确解析：由已知得函数()22fx x x =+的定义域为{}2,1,0,1--,则()20f -=,()11f -=-,()00f =,()13f =,所以函数的值域为{}1,0,3-.故正确答案为D .温馨提醒：函数三要素是指定义域、值域、对应法则.当函数的定义域、对应法则确定后，其值域也随之确定.【数学素养提升之思想方法篇】分段函数求值妙招——分类讨论思想分类讨论思想就是当问题所给的对象不能进行统一研究时，需要把研究对象按某个标准分类，然后对每一类分别研究得出结论，最后综合各类结果得到整个问题的解答．实质上，分类讨论是“化整为零，各个击破，再积零为整”的解题策略．分段函数体现了数学的分类讨论思想，求解分段函数求值问题时应注意以下三点： (1)明确分段函数的分段区间．(2)依据自变量的取值范围，选好讨论的切入点，并建立等量或不等量关系． (3)在通过上述方法求得结果后，应注意检验所求值(范围)是否落在相应分段区间内．【典例】已知实数0≠a ，函数⎩⎨⎧≥--<+=1,21,2)(x a x x a x x f ，若)1()1(a f a f +=-，则a 的值为________．【答案】34-符合题意.故34a =-.。

函数及其表示

函数及其表示一、函数的概念及其构成要素函数在数学上的定义：给定一个数集A,对A施加对应法则f,记作f（A）,得到另一数集B,也就是B=f（A）.那么这个关系式就叫函数关系式,简称函数.例:设数集A={1、2、3、4、5},对A施加对应法则求平方，得B={1、4、9、16、25}也就是B=f(A)=A^2，这个关系式就是函数设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数和它对应，那么就称为从集合A到集合B的一个函数，记作或。

其中x叫作自变量，叫做x的函数，集合叫做函数的定义域，与x对应的y叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域，叫做对应法则。

其中，定义域、值域和对应法则被称为函数三要素。

定义域，值域，对应法则称为函数的三要素。

一般书写为。

二、判断两个函数是否为同一个函数若两函数定义域相同,对应法则也相同,则称这两个函数相等。

其实就是看两个方面：1、看定义域是否相同，如果定义域不同，就算函数式形式相同，也不是相同的函数。

例如函数f（x）=x和g（x）=x²/x，尽管当x≠0时，两个函数相等，但是f（x）的定义域是全体实数，g（x）的定义域是x≠0，定义域不一样，所以不是相同的函数。

2、定义域相同的情况下，看相同的x计算出来的函数值是否一样，如果有相同的x算出来的函数值不一样，那么就不是相同的函数。

例如f（x）=x和g（x）=|x|，定义域相同，但是当x＜0的时候，函数值不同，所以不是相同的函数。

如上述两个方面都相同，那么就一定是相同的函数了。

三、函数的定义域及其求法1.如果f（x）为整式,其定义域是R2.如果f（x）=x分之1,其定义域是x≠03.如果f（x）=根号x,其定义域是x≥04.如果f（x）=x0,其定义域是x≠05.如果f（x）是由几个部分的式子构成,定义域是使几个部分有意义的公共部分（交集）6.已知f（x）的定义域是【1,2】,则f（x+1）的定义域是[0,1]7.已知f（x+1）的定义域是【1,2】,则f（x）的定义域是[2,3]四、函数的值域1：直接法：从自变量的范围出发，推出值域，也就是直接看咯。