解析几何竞赛题求解的几种常见策略

解析几何竞赛题求解的几种常见策略 陈硕罡 吴国建（浙江省东阳中学322100）

解析几何作为高中数学的重要内容之一，研究问题的主要方法是坐标法，解题的基本过程是：首先用代数语言（坐标及其方程）描述几何元素及其关系，将几何问题代数化，解决代数问题，得到结果，分析代数结果的几何意义，最终解决几何问题。解决几何问题的解决往往需要具有较强的观察、分析问题、解决问题的能力，需要熟练掌握数形结合与转换的思想，同时还要具有较强的运算能力，所以解析几何一直是各级高中数学竞赛命题的热点和难点。在近几年的全国数学联赛中一试试题中，一般有一或两道填空题和一道解答题，分值在30分左右，占一试总分值的四分之一，其重要性不言而喻。下面笔者结合自己的教学实践，提出解析几何竞赛题求解的几种常见策略，与同仁们探讨。

一、用函数(变量)的观点来解决问题

函数是描述客观世界中变量间依赖关系的重要数学模型。抓住问题中引起变化的主变量，并用一个具体的量（斜率或点的坐标等）来表示它，同时把问题中的的因变量用主变量表示出来，从而变成一个函数的问题， 这就是解决问题的函数观点。在解析几何问题中，经常会碰到由于某个量（很多时候是线或点）的变化，而引起图形中其它量（面积或长度等）的变化的情况，所以函数观点成为了解决解析几何的一种重要方法。

【例1】（2010全国高中数学联赛试题）已知抛物线2

6y x =上的两个动点11(,)A x y 和

22(,)B x y ,其中12x x ≠且124x x +=.线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点C ,求△

ABC 面积的最大值.

【分析】通过对题目的分析可以发现线段AB 中点的横坐标已经是定值，只有纵坐标在变化，可以把AB 中点的纵坐标作为主变量，这样只要把∆ABC 的面积表示成以AB 中点的纵坐标的函数即可，这是问题就转化为求函数的最值问题。 【解析】设线段AB 的中点M 坐标为（0(2,)y ，则 则直线AB 的斜率：121222

1212120

63

66

--=

===-+-y y y y k y y x x y y y 线段AB 的中垂线方程：0

0(2)3

-=-

-y y y x ，易知线段AB 的中垂线与x 轴的交点为定点(5,0)C

直线AB 的方程：00

3(2)-=-y y x y ，联立抛物线方程消去x 可得：22

00

22120-+-=y y y y （1）， 由题意，

12,y y 是方程（1）的两个实根，且12≠y y ，所

以

22

00044(212)0∆=-->⇒-<

弦长12|||=-==AB y y 点C(5，0)到直线AB

的距离：||==h CM

则

1

||

2

∆

=⋅==

ABC

S AB h

≤=

当且仅当22

00

9242

+=-

y y，

即

=

y，

点A B

或A B时等号成立，所以∆ABC

面积的最大值为。

【评析】在解答过程中用韦达定理代入消元转化，蕴含了“设而不求”的解题策略，把面积S

表示为中点坐标

y的函数，同时注意

y的取值范围，体现了函数问题首先关注定义域，在对

函数求最值的过程中运用了基本不等式，其实也可设2

9,[9,21)

+=∈

y t t，转化为一个t的三次函数，利用导数求最值也是一种常用技巧。

【例2】

（2009全国高中数学联赛试题）设直线:l y kx m

=+（其中k，m为整数）与椭圆

22

1

1612

x y

+=交于不同两点A，B，与双曲线

22

1

412

x y

-=交于不同两点C，D，问是否存在直线l，使得向量0

AC BD

+=，若存在，指出这样的直线有多少条？若不存在，请说明理由．

【分析】通过分析可以看出本题的根本变量是直线方程中的,k m,所以其余各量均可用,k m，所以我们这里可用一个二元函数(,)

f k m来表示+

AC BD，本题就转化为解二元方程(,)0

=

f k m.

【解析】由22

1

1612

y kx m

x y

=+

⎧

⎪

⎨

+=

⎪⎩

消去y化简整理得:()222

3484480

k x kmx m

+++-=

设()

11

A x y

，，()

22

B x y

，，则

122

8

34

km

x x

k

+=-

+

,()()()

222

1

84344480

km k m

∆=-+->①

由22

1

412

y kx m

x y

=+

⎧

⎪

⎨

-=

⎪⎩

消去y化简整理得:()222

32120

k x kmx m

----=

设()

34

C x y

，，()

44

D x y

，，则

342

2

3

km

x x

k

+=

-

,()()()

222

2

243120

km k m

∆=-+-+>②

因为0

AC BD

+=，所以()()

4231

x x x x

-+-=，此时()()

4231

y y y y

-+-=．

由

1234

x x x x

+=+得

22

82

343

km km

k k

-=

+-

．

所以20

km=或

22

41

343

k k

-=

+-

．由上式解得0

k=或0

m=．

当0

k=

时，由①和②得m

-

-，2

-，1

-，0，1，2，3．

当0

m=

，由①和②得k

k=-，0，1．

于是满足条件的直线共有9条．

【评析】如果题目中的主变量需要用两个变量来表示时，可先把这个因变量表示为一个两元函