圆的切线PPT课件

l是圆的切线 l是圆的切线 l是圆的切线
2. 常用的添辅助线方法？ ⑴直线与圆的公共点已知时，作出过公共点的半径，
再证半径垂直于该直线。（连半径，证垂直） ⑵直线与圆的公共点不确定时，过圆心作直线的垂
线段，再证明这条垂线段等于圆的半径。 （作垂直，证半径）
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圆的切线
授课教师：邹春雨
图形
直线与圆的 位置关系
公共点的个数
圆心到直线的距离 d 与半径 r的关系
公共点的名称
直线名称
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．Ｏ r d┐ l
相离
0 d>r
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．ｏ
．O
d .┐r l
A
. r ┐d .
B
lC
相切 相交
1
2
d=r 切点 切线
d<r 交点 割线
如图,△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交边BC于P，
PE⊥AC于E。
A
求证:PE是⊙O的切线。
证明：连结OP。 ∵AB=AC,∴∠B=∠C。 ∵OB=OP，∴∠B=∠OPB，
O
E
B
PC
∴∠OPB=∠C。
∴OP∥AC。
∵PE⊥AC，
∴∠PEC=90°
∴ ∠OPE=∠PEC=90°
∴PE⊥OP。
几何符号表达：
∵ OA是半径，OA⊥l于A ∴ l是⊙O的切线。
O r
l A
〖判断〗
1. 过半径的外端的直线是圆的切线（ × ） 2. 与半径垂直的的直线是圆的切线（ × ） 3. 过半径的端点与半径垂直的直线是圆的切线（ × ）
O l
r
O
r l
O l
r
A
A
A
利用判定定理时，要注意直线须具备以 下两个条件,缺一不可:
〖例1〗
已知：直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB。
求证：直线AB是⊙O的切线。
分析：由于AB过⊙O上的点C，所以连接OC，只要证明
O
AB⊥OC即可。
证明：连结OC(如图)。 ∵ OA＝OB,CA＝CB,
A
C
B
∴ AB⊥OC(三线合一)
∵ OC是⊙O的半径
∴ AB是⊙O的切线。
〖基础练习〗
●O
┐
l
思考：直线l一定是圆O的A切线吗？
由此，你知道如何画圆的切线吗？
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〖想一想〗
过圆0内一点作直线，这条直线与圆有怎样的位置关系？ 过半径OA上一点（A除外）能作圆O的切线吗？过点A呢？
一、切线的判定定理
切线的判定定理 经过半径的外端并且垂直于这 条半径的直线是圆的切线。
〖能力提升〗 ：如图所示，已知AB是⊙O的直径，
⊙O过BC的中点D，且DE⊥AC。 （1）求证：DE是⊙O的切线。 C（2）若∠C=30°，CD=10cm，求： ⊙O的半径。
（1）证明：连接OD
D E
A
O
B
∵BD=CD,OB=OA ∴OD是△BAC的中位线
∴AC∥OD 又∵DE⊥AC
∴DE⊥OD 又∵OD是⊙O的半径
∴∠BDA=90°
∵OB=OD ∴∠B=∠ODB=30°
在Rt△ABD中，
2AD=AB,BD²+AD²=AB² 10²+AD²=（2AD）²
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AD= 10
3 即⊙O的半径是 10 3
3 3 cm
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〖课堂小结〗
1. 判定切线的方法有哪些？
直线l
与圆有唯一公共点 与圆心的距离等于圆的半径 经过半径外端且垂直这条半径
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱE C
〖小结〗
（例1）与（拓展例题）的证法有何不同?
A
O
D
E
A
C
B
B
O
C
(1)如果已知直线经过圆上一点,则连结这点和圆心, 得到辅助半径,再证所作半径与这直线垂直。简记 为：有交点,连半径,证垂直。
(2)如果已知条件中不知直线与圆是否有公共点,则 过圆心作直线的垂线段为辅助线,再证垂线段长等 于半径长。简记为：无交点,作垂直,证半径。
又∵OD⊥AB, OE⊥AC
∴∠ADO=∠AEO=90°
又∵AO=AO ∴△AOD≌△AOE ∴OD=OE,即OE是⊙O的半径 ∴AC与⊙O相切
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〖基础练习〗
已知：O为∠BAC平分线上一点，OD⊥AB于D,以O为圆心，OD为
半径作⊙O。
D
B
求证：⊙O与AC相切。
A
O
证明：过O作OE⊥AC于E。 ∵ AO平分∠BAC，OD⊥AB OD⊥AB于点D ∴ OE＝OD ∵ OD是⊙O的半径 ∴ OE也是半径 ∴ AC是⊙O的切线。
(1)直线经过半径的外端; (2)直线与这半径垂直。
〖想一想〗
判断一条直线是圆的切线，你现在会有多少种方法?
切线判定有以下三种方法: 1.利用切线的定义:与圆有唯一公共点的直线是
圆的切线。 2.利用d与r的关系作判断:当d＝r时直线是圆的
切线。 3.利用切线的判定定理:经过半径的外端并且垂
直于这条半径的直线是圆的切线。
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观察与思考
问题1：下雨天，转动的雨伞上的水滴是 顺着伞的什么方向飞出去的?
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问题2：砂轮转动时，火花是沿着砂轮的 什么方向飞出去的?
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动手做一做
• 画一个圆O及半径OA，画一条直线l经过⊙O的半 径OA的外端点A，且垂直于这条半径OA，这条直 线与圆有几个交点？
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∴PE为⊙0的切线。
〖拓展例题〗 ：如图所示，等腰△ABC，BC边过圆
心O,且满足OB=OC,AB边交⊙O于点D，连结AO,并且满足
OD⊥AB。求证：AC与⊙O相切。
A
证明：过点O作OE⊥AC于E。
∵△ABC是等腰△ABC
∴AB=AC
D
E
又∵OB=OC
B
O
C
∴∠OAB=∠OAC
∴DE是⊙O的切线
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〖能力提升〗 ：如图所示，已知AB是⊙O的直径，
⊙O过BC的中点D，且DE⊥AC。 C （2）若∠C=30°，CD=10cm，求： ⊙O的半径。
D E
解：连接AD
由（1）可知，AC∥OD，BD=CD=10 ∴∠C=∠ODB=30°
A
O
B ∵AB是⊙O的直径