切线的判定课件.ppt
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第二课时切线的判定和性质PPT课件(人教版)
答：圆心O到直线L
的距离是＿⊙＿O ＿的＿半＿径.
直线L是⊙O的 ＿切＿线＿ .
O
lL
A
探究新知
切线的判定定理：
经过_半__径__的__外__端___并且__垂__直___于这条半径的的
直线是圆的切线.
定理的几何语言：如图
∵OA是⊙O的___半__径___，
OA＿⊥＿L ，
O
lL
A
∴直线是切线．
探究新知
分析：要证AC 是⊙O 的切线，只要证 明由点O 向AC 所作的垂线段OE 是 _⊙__O___的__半__径___就可以了.而OD是⊙O的 半径，则要证OE=OD.
探究新知
证明： 过点O 作OE⊥AC， 垂足为E,连接OD,OA. ∵AB与⊙O 相切于点D,∴ ___O__D_⊥__A_.B 又∵△ABC为等腰三角形，O是底边BC 的中点， ∴ ____A_O__是__∠__B_A__C__的__平___分__线______.（ 三线合一） ∴_O__E_=__O__D_.（ 角平分线性质 ） 即OE 是⊙O 的半径, ∴AC 经过⊙O 的半径OE 的外端E，OE⊥AC， ∴AC 是⊙O的切线( 切线的判定定理 )．
1.已知一个圆和圆上的一个点， 如何过这个点画出圆的切线？（用尺规作图）
l
作法：
1、连接OA; 2、过点A 作直线l 与OA 垂直, 直线l 就是所求作的切线，如图.
探 究 新 知 ２.如图，AB是⊙O 的直径，∠ABT＝45°，AT＝AB． 求证：AT 是⊙O 的切线．
证明：
∵AT＝AB, ∠ABT＝45°,∴∠ATB=45°, ∴∠TAB=90°,即OA⊥TA. ∵AT经过⊙O 的半径于点A, ∴AT是⊙O 的切线.
的距离是＿⊙＿O ＿的＿半＿径.
直线L是⊙O的 ＿切＿线＿ .
O
lL
A
探究新知
切线的判定定理：
经过_半__径__的__外__端___并且__垂__直___于这条半径的的
直线是圆的切线.
定理的几何语言：如图
∵OA是⊙O的___半__径___，
OA＿⊥＿L ，
O
lL
A
∴直线是切线．
探究新知
分析：要证AC 是⊙O 的切线，只要证 明由点O 向AC 所作的垂线段OE 是 _⊙__O___的__半__径___就可以了.而OD是⊙O的 半径，则要证OE=OD.
探究新知
证明： 过点O 作OE⊥AC， 垂足为E,连接OD,OA. ∵AB与⊙O 相切于点D,∴ ___O__D_⊥__A_.B 又∵△ABC为等腰三角形，O是底边BC 的中点， ∴ ____A_O__是__∠__B_A__C__的__平___分__线______.（ 三线合一） ∴_O__E_=__O__D_.（ 角平分线性质 ） 即OE 是⊙O 的半径, ∴AC 经过⊙O 的半径OE 的外端E，OE⊥AC， ∴AC 是⊙O的切线( 切线的判定定理 )．
1.已知一个圆和圆上的一个点， 如何过这个点画出圆的切线？（用尺规作图）
l
作法：
1、连接OA; 2、过点A 作直线l 与OA 垂直, 直线l 就是所求作的切线，如图.
探 究 新 知 ２.如图，AB是⊙O 的直径，∠ABT＝45°，AT＝AB． 求证：AT 是⊙O 的切线．
证明：
∵AT＝AB, ∠ABT＝45°,∴∠ATB=45°, ∴∠TAB=90°,即OA⊥TA. ∵AT经过⊙O 的半径于点A, ∴AT是⊙O 的切线.
《切线的判定》课件
切线与过切点的半径所在的直 线相互垂直。
02
切线的判定方法
利用定义判定切线
总结词：直接验证
详细描述：根据切线的定义，如果直线与圆只有一个公共点，则该直线为圆的切 线。因此，可以通过验证直线与圆的交点数量来判断是否为切线。
利用切线的性质判定切线
总结词：半径垂直
详细描述：切线与过切点的半径垂直，因此，如果已知过切点的半径，可以通过验证直线与半径的夹角是否为直角来判断是 否为切线。
切线判定定理的变种
切线判定定理的变种
除了标准的切线判定定理，还存在一些变种，如利用切线的 性质来判断是否为切线，或者利用已知点和切线的性质来判 断未知点是否在曲线上。
切线判定定理的应用
切线判定定理在几何证明题中有着广泛的应用，如证明某直 线为圆的切线，或者判断某点是否在曲线上。这些应用都需 要熟练掌握切线判定定理及其变种。
04
切线判定定理的证明
定理的证明过程
第一步
根据题目已知条件，画 出图形，标出已知点和
未知点。
第二步
根据切线的定义，连接 已知点和未知点，并作
出过这两点的割线。
第三步
根据切线和割线的性质 ，证明割线与圆只有一 个交点，即证明割线是
圆的切线。
第四步
根据切线的判定定理， 如果一条割线满足上述 性质，则这条割线是圆
切线判定定理在其他领域的应用
物理学中的应用
在物理学中，切线判定定理可以应用于研究曲线运动和力的分析。例如，在分析物体在曲线轨道上的 运动时，可以利用切线判定定理来判断物体的运动轨迹是否与轨道相切。
工程学中的应用
在工程学中，切线判定定理可以应用于机械设计和流体力学等领域。例如，在机械设计中，可以利用 切线判定定理来判断曲轴是否与轴承相切，从而避免轴承的损坏。在流体力学中，可以利用切线判定 定理来判断流体是否沿着流线流动。
《切线的判定》课件
在求解切点弦问题中的应用
切点弦方程
通过切点可以求出过该点的弦的方程，进而求出弦长或与弦 有关的量。
切点弦与切线的关系
利用切点弦与切线的关系，可以求解与切点弦有关的问题。
04 切线定理的证明
切线的判定定理的证明
切线的判定定理
如果一条直线与圆只有一个交点，则 这条直线是圆的切线。
证明方法
反证法。假设直线与圆有两个交点， 则直线与圆相交而非相切，与题目条 件矛盾。
利用切线的性质判定
切线的性质
切线与半径垂直，因此可以利用 这一性质判定切线。
判定方法
若直线与圆的半径垂直，则该直 线为圆的切线。
利用辅助线判定
辅助线的作法
在圆上任取一点，连接这点与圆心， 将连线与待判断的直线相交于一点， 然后过该点作直线的垂线，与圆相交 于另一点，连接圆心与该点。
判定方法
若所作的辅助线与待判断的直线重合 ，则该直线为圆的切线。
切线的判定定理
若直线与圆有交点，且连接交点和圆心的线段垂直于交点所连的直线，则该直线为圆的 切线。
证明过程
利用反证法，假设直线不是切线，则它与圆有两个交点，形成两个弦，由垂径定理可知 ，过圆心作弦的垂线，则这条垂线平分弦，但由题意知这条垂线同时也是连接圆心和切
点的线段，因此弦也被这条线平分，这与题意矛盾，因此假设不成立，直线为切线。
在三角函数中，切线定理可以用来求 解三角函数的值，或者用来证明某个 三角函数表达式等于零。
切线定理也可以用来求解三角函数的 单调性、周期性和最值等问题。
感谢您的观看
THANKS
如果一条直线与圆相交于两点，且 这两点与圆心构成的角平分线与该 直线垂直，则该直线是圆的切线。
切线定理在解析几何中的应用
数学复习课件：切线的性质和判定(共18张PPT)
直击中考
A
A
A
A
考点巩固
例1 如图. AB为⊙O的直径,C为⊙O上一点,AD和过C点的切线互相垂直, 垂足为D. 求证:AC平分∠DAB.
证明:连接OC, ∵CD是⊙O的切线,
思想方法归纳： ∴OC ⊥CD.
又∵AD⊥CD,
D C 1 A 2 O B 3
连半径， ∴OC//AD. ∴ ∠1=得垂直 ∠3. ∵OC=OA. ∴ ∠2=∠3.
∴ ∠1=∠2. ∴ AC平分∠DAB.
切线的判定考点梳理：
3、圆的切线的判定：经过 半径的 外端，并 且垂直于这条 半径 的直线是圆的切线。
切线需满足两条： ①经过半径外端. ②垂直于这条半径．
注意:定理中的两个条件缺 一不可．
考点训练
下列说法中,正确的是( D ) A. 垂直于半径的直线是的切线 B.经过半径外端的直线是圆的切线 C.经过切点的直线是圆的切线 D.圆心到直线的距离等于半径，那么这条直线 是圆的切线
证明切线时如何作辅助线？
Ｏ
D A O E
B
Ａ
Ｂ
C
(1)如果已知直线经过圆上一点,则连结这点 和圆心,得到辅助半径,再证所作半径与这直线垂 直。简记为：连半径,证垂直。 (2)如果已知条件中不知直线与圆是否有公共 点,则过圆心作直线的垂线段为辅助线,再证垂线 段长等于半径长。简记为：作垂直,证半径。
O O O O
考点巩固
例2、(例1变式 )如图,AB为⊙O的直径, C为⊙O
上点,若∠ BAC= ∠CAM, 过C点作直线垂直于射线 AM,垂足为点D.
(1)试判断CD与⊙ O的位置关系，并说明理由； 思想方法归纳：
证明: 连结OC
∵OA=OC， ∴∠2=∠3
初中数学九年级上册《切线的概念、切线的判定和性质》PPT课件(共12张PPT)
直线和⊙O相离
d＞r (没有公共点)
直线和⊙O相切
d = r (一个公共点)
直线和⊙O相交
d＜r (两个公共点)
第2页，共12页。
如图在⊙O中经过半径OA的外端点A 做直线l⊥OA,则圆心O到直线 l 的距离 是多少？
直线 l 和⊙O有什么位置关系?
o
A
l
这时圆心O到直线 l 的距离就是⊙O的半径．
·O
∵ l2切⊙O于B，OB是半径
∴ l2⊥OB.
又∵ AB为直径，
l2
B
∴ l1∥ l2 .
第8页，共12页。
知识拓展
▪ 例2．如图，AB为⊙O的直径，C是⊙O上一点，D在AB
的延长线上，且∠DCB= ∠A．
▪ （1）CD与⊙O相切吗？如果相切，请你加以证明，如果不相 切，请说明理由．
▪ （2）若CD与⊙O相切，且∠D=30°，BD=10，求⊙O的半径．
1.如图 AB是⊙O的直径,∠ABT=45°AT=AB,
求证AT 是⊙O的切线. 证明: ∵ AT=AB,∠ABT = 45°，
∴ ∠ATB = ∠ABT=45 °.
∴ ∠TAB = 180°－∠ATB－∠ABT
B
= 90°.
∴ TA⊥OA.
·O
又∵ OA是⊙O的半径 ∴ AT是⊙O的切线.
T
A
第6页，共12页。
▪ 归纳小结
▪ 本节课应掌握： ▪ 1．直线和圆相交、割线、直线和圆相切，切线、切点、直线和圆
相离等概念． ▪ 2．设⊙O的半径为r，直线L到圆心O的距离为d则有： ▪ 直线L和⊙O相交d<r
▪ 直线L和⊙O相切d=r
▪ 直线L和⊙O相离d>r
切线的判定和性质课件.ppt
观察平面图，由此你能得出直线 和圆的位置关系吗？
l l l
关于切线
怎样判定切线？ 切线有什么特征？
直
线
l
和
．O
⊙
O
相
r d
切
l切
切点
外端，并且垂直于 这条半径的直线是圆的切线．
注意
． 圆的切线有无数条．
小练习
已知⊙O上有一点A，过A作出⊙O的切线．
作法： （1）连接OA． （2）过点A作OA的垂线l． l 即为所求的切线．
课堂小结
1． 直线和圆的五种位置关系
图形
直线与圆的位 置关系
公共点的个数 圆心到直线的 距离d与半径r
的关系 公共点的名称
直线名称
Ｏ
d
r ┐
l
相离
0
d>r
O d ．┐r l A
相切
1
d=r
切点 切线
O
．r B
┐d
． C
l
相交
2
d<r
交点 割线
2． 切线的判定定理
经过半径的外端，并且垂直于这 条半径的直线是圆的切线．
知识要点
切线的性质定理 圆的切线垂直于过切点的半径．
．
C
定理证明
O．
A M
证明：假设OA与CD不垂直， D
过点O作一条半径垂直于CD，垂足为M，
则OM＜OA，
即圆心O到直线CD的距离小于⊙O的半径，
因此CD与⊙O相交，
这与已知条件“直线CD与⊙O相切” 矛盾，
所以OA与CD垂直．
即圆的切线垂直于过切点的半径．
切线的判定和性质
新课导入
直线与圆有怎 样的位置关系？
《切线的性质和判定》PPT课件
常添辅助线
连接圆心和切点
垂直于
切点
圆心
惟一
半径
垂直于
┃考点聚焦
考点2 切线长及切线长定理
切线长
在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长
切线长定理
从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长________，圆心和这一点的连线________两条切线的夹角
基本图形
如图所示，点P是⊙O外一点，PA、PB切⊙O于点A、B，AB交PO于点C，则有如下结论：(1)PA＝PB；(2)∠APO＝∠BPO＝∠OAC＝∠OBC，∠AOP＝∠BOP＝∠CAP＝∠CBP
切线的性质和判定
- .
考点1 圆的切线
切线的性质
圆的切线________过切点的半径
推论
(1)经过圆心且垂直于切线的直线必过________；(2)经过切点且垂直于切线的直线必过________
切线的判定
(1)和圆有________公共点的直线是圆的切线；(2)如果圆心到一条直线的距离等于圆的________，那么这条直线是圆的切线；(3)经过半径的外端并且________这条半径的直线是圆的切线
探究一、圆的切线的性质
┃归类探究
┃归类探究
┃归类探究
命题角度：1．利用圆心到一条直线的距离等于圆的半径，判定这条直线是圆的切线；2．利用一条直线经过半径的外端，且垂直于这条半径，判定这条直线是圆的切线．
探究二、圆的切线的判定方法
┃归类探究
┃归类探究
┃归类探究
┃归类探究
命题角度：1．利用切线长定理计算；2．利用切线长定理证明．
相等
平分
┃考点聚焦
考点3 三角形的内切圆
连接圆心和切点
垂直于
切点
圆心
惟一
半径
垂直于
┃考点聚焦
考点2 切线长及切线长定理
切线长
在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长
切线长定理
从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长________，圆心和这一点的连线________两条切线的夹角
基本图形
如图所示，点P是⊙O外一点，PA、PB切⊙O于点A、B，AB交PO于点C，则有如下结论：(1)PA＝PB；(2)∠APO＝∠BPO＝∠OAC＝∠OBC，∠AOP＝∠BOP＝∠CAP＝∠CBP
切线的性质和判定
- .
考点1 圆的切线
切线的性质
圆的切线________过切点的半径
推论
(1)经过圆心且垂直于切线的直线必过________；(2)经过切点且垂直于切线的直线必过________
切线的判定
(1)和圆有________公共点的直线是圆的切线；(2)如果圆心到一条直线的距离等于圆的________，那么这条直线是圆的切线；(3)经过半径的外端并且________这条半径的直线是圆的切线
探究一、圆的切线的性质
┃归类探究
┃归类探究
┃归类探究
命题角度：1．利用圆心到一条直线的距离等于圆的半径，判定这条直线是圆的切线；2．利用一条直线经过半径的外端，且垂直于这条半径，判定这条直线是圆的切线．
探究二、圆的切线的判定方法
┃归类探究
┃归类探究
┃归类探究
┃归类探究
命题角度：1．利用切线长定理计算；2．利用切线长定理证明．
相等
平分
┃考点聚焦
考点3 三角形的内切圆
切线判定定理课件
3 强调对该定理的理解和运用的重要性
强调切线判定定理在数学和实际问题中的重要性，并激发学生的兴趣和学习动力。
课堂互动
1 提供一些实例让学生尝试应用切线判定定理
提供一些具体的问题，鼓励学生应用切线判定定理来解决。
2 鼓励学生互相讨论，促进交流和学习
鼓励学生在小组内或全班上展开讨论，促进彼此之间的思想交流和学习。
Q&A
留出时间进行问题的解答和回答学生的疑问。
1 利用极限的定义推导出切线存在的条件
详细阐述如何利用导数的极限定义推导出切线存在的条件。
2 详细阐述每一步推导的原理和方法
逐步展示每个推导步骤的原理和方法，以确保学生理解证明的过程。
实例分析
1
将切线判定定理应用到具体曲线上
选择一个具体的曲线并应用切线判定定理，以加深学生对定理的理解。
2
求解曲线上某点的切线方程
通过计算导数值，求解曲线上特定点的切线方程。
3
解释切线方程的含义和应用
详细解释切线方程的意义以及在实际问题中的应用。
总结与回顾
1 系统总结切线判定定理的内容和应用
概括性总结切线判定定理的核心内容和实际应用。
2 提醒学生注意该定理的前置知识
强调学生需要具备哪些前置知识来更好地理解和应用切线判定定理。
切线判定定理ppt课件
本课程将介绍切线判定定理，该定理用于判断曲线上某点处的切线是否存在。
定理ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ容
1 切线判定定理的核心内容
该定理是用于判断曲线上某点处切线的存在性。
2 曲线上某点处的切线存在的条件
细致讲解曲线上某点的导数值的意义和条件。
3 切线方程的求解方法
详细介绍如何根据导数值求解切线方程。
切线判定定理的证明
强调切线判定定理在数学和实际问题中的重要性，并激发学生的兴趣和学习动力。
课堂互动
1 提供一些实例让学生尝试应用切线判定定理
提供一些具体的问题，鼓励学生应用切线判定定理来解决。
2 鼓励学生互相讨论，促进交流和学习
鼓励学生在小组内或全班上展开讨论，促进彼此之间的思想交流和学习。
Q&A
留出时间进行问题的解答和回答学生的疑问。
1 利用极限的定义推导出切线存在的条件
详细阐述如何利用导数的极限定义推导出切线存在的条件。
2 详细阐述每一步推导的原理和方法
逐步展示每个推导步骤的原理和方法，以确保学生理解证明的过程。
实例分析
1
将切线判定定理应用到具体曲线上
选择一个具体的曲线并应用切线判定定理，以加深学生对定理的理解。
2
求解曲线上某点的切线方程
通过计算导数值，求解曲线上特定点的切线方程。
3
解释切线方程的含义和应用
详细解释切线方程的意义以及在实际问题中的应用。
总结与回顾
1 系统总结切线判定定理的内容和应用
概括性总结切线判定定理的核心内容和实际应用。
2 提醒学生注意该定理的前置知识
强调学生需要具备哪些前置知识来更好地理解和应用切线判定定理。
切线判定定理ppt课件
本课程将介绍切线判定定理，该定理用于判断曲线上某点处的切线是否存在。
定理ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ容
1 切线判定定理的核心内容
该定理是用于判断曲线上某点处切线的存在性。
2 曲线上某点处的切线存在的条件
细致讲解曲线上某点的导数值的意义和条件。
3 切线方程的求解方法
详细介绍如何根据导数值求解切线方程。
切线判定定理的证明
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切线的判定
红崖子沟中心学校 孙永刚
观察与思考
问题1：下雨天，转动的雨伞上的水滴是 顺着伞的什么方向飞出去的?
问题2：砂轮转动时，火花是沿着砂轮的 什么方向飞出去的?
复习
1.直线和圆有哪些位置关系？ 2.什么叫相切？ 3.我们学习过哪些切线的判断方法？
图形
直线与圆的 位置关系
公共点的个数
圆心到直线的距离 d 与半径 r 的关系
几何符号表达： ∵ OA是半径，OA⊥l于A ∴ l是⊙O的切线。
O r
l A
判断
1. 过半径的外端的直线是圆的切线（ × ） 2. 与半径垂直的的直线是圆的切线（ × ） 3. 过半径的端点与半径垂直的直线是圆的切线（ × ）
O l
r
O
r l
O l
r
A
A
A
利用判定定理时，要注意直线须具备以 下两个条件,缺一不可:
〖例1〗
已知：直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB。
求证：直线AB是⊙O的切线。
分析：由于AB过⊙O上的点学C科网，所以连接OC，只要证明
O
AB⊥OC即可。
证明：连结OC(如图)。 ∵ OA＝OB,CA＝CB,
A
C
B
∴ OC是等腰三角形OAB底边AB上的中线。
∴ AB⊥OC。
∵ OC是⊙O的半径
O
A
D
B
O
A
C
B
E C
(1)如果已知直线经过圆上一点,则连结这点和 圆心,得到辅助半径,再证所作半径与这直线垂直。 简记为：连半径,证垂直。
(2)如果已知条件中不知直线与圆是否有公共 点,则过圆心作直线的垂线段为辅助线,再证垂线 段长等于半径长。简记为：作垂直,证半径。
练习
如图，△AOB中，OA＝OB＝10，∠AOB＝120°，以O为圆心， 5为半径的⊙O与OA、OB相交。
∴ AB是⊙O的切线。
〖例2〗
已知：O为∠BAC平分线上一点，OD⊥AB于D,以O为圆心，OD为
半径作⊙O。
D
B
求证：⊙O与AC相切。
zxxk
A
O
证明：过O作OE⊥AC于E。 ∵ AO平分∠BAC，OD⊥AB ∴ OE＝OD ∵ OD是⊙O的半径 ∴ AC是⊙O的切线。
E C
小结
例1与例2的证法有何不同?
公共点的名称
．Ｏ r d┐ l
相离
0
d>r
直线名称
．ｏ
．O
d .┐r l
A
. r ┐d .
B
lC
相切 相交
1
2
d=r 切点 切线
d<r 交点 割线
想一想
过圆0内一点作直线，这条直线与圆有什么位置关系？ 过半径OA上一点（A除外）能作圆O的切线吗？过点A呢？
切线的判定定理 经过半径的外端并且垂直于这 条半径的直线是圆的切线。
求证：AB是⊙O的切线。
O
A
C
B
练习
如图,△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交边BC于P，
PE⊥AC于E。
A
求证:PE是⊙O的切线。
证明：连结zxxkOP。
O
∵AB=AC,∴∠B=∠C。
学.科.网
∵OB=OP，∴∠B=∠OPB，
E
B
PC
∴∠OBP=∠C。
∴OP∥AC。
∵PE⊥AC，
∴PE⊥OP。
l是圆的切线 l是圆的切线
经过半径外端且垂直这条半径
学.科.网
2. 常用的添辅助线方法？
l是圆的切线
⑴直线与圆的公共点已知时，作出过公共点的半
径，再证半径垂直于该直线。（连半径，证垂直）
⑵直线与圆的公共点不确定时，过圆心作直线的
垂线段，再证明这条垂线段等于圆的半径。（作垂
直，证半径）
3.切线的性质
ห้องสมุดไป่ตู้
(1)直线经过半径的外端; (2)直线与这半径垂直。
想一想
判断一条直线是圆的切线，你现在会有多少种方法?
有以下三种方法: 1.利用切线的定义:与圆有唯一公共点的直线
是圆的切线。 2.利用d与r的关系作判断:当d＝r时直线是圆
的切线。 3.利用切线的判定定理:经过半径的外端并且
垂直于这条半径的直线是圆的切线。
∴PE为⊙0的切线。
知识归纳
思考：
如果直线l是⊙O的切线，点A为切点， 那么半径OA与l垂直吗？
∵直线l是⊙O的切线
∴圆心O到直线l 的距离等于半径
∴OA是圆心O到直线l的距离
∴ l⊥OA
●O
┐
A
l
性质：圆的切线垂直于经过切点的半径。
课堂小结
1. 判定切线的方法有哪些？
与圆有唯一公共点 直线l 与圆心的距离学科等网 于圆的半径
红崖子沟中心学校 孙永刚
观察与思考
问题1：下雨天，转动的雨伞上的水滴是 顺着伞的什么方向飞出去的?
问题2：砂轮转动时，火花是沿着砂轮的 什么方向飞出去的?
复习
1.直线和圆有哪些位置关系？ 2.什么叫相切？ 3.我们学习过哪些切线的判断方法？
图形
直线与圆的 位置关系
公共点的个数
圆心到直线的距离 d 与半径 r 的关系
几何符号表达： ∵ OA是半径，OA⊥l于A ∴ l是⊙O的切线。
O r
l A
判断
1. 过半径的外端的直线是圆的切线（ × ） 2. 与半径垂直的的直线是圆的切线（ × ） 3. 过半径的端点与半径垂直的直线是圆的切线（ × ）
O l
r
O
r l
O l
r
A
A
A
利用判定定理时，要注意直线须具备以 下两个条件,缺一不可:
〖例1〗
已知：直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB。
求证：直线AB是⊙O的切线。
分析：由于AB过⊙O上的点学C科网，所以连接OC，只要证明
O
AB⊥OC即可。
证明：连结OC(如图)。 ∵ OA＝OB,CA＝CB,
A
C
B
∴ OC是等腰三角形OAB底边AB上的中线。
∴ AB⊥OC。
∵ OC是⊙O的半径
O
A
D
B
O
A
C
B
E C
(1)如果已知直线经过圆上一点,则连结这点和 圆心,得到辅助半径,再证所作半径与这直线垂直。 简记为：连半径,证垂直。
(2)如果已知条件中不知直线与圆是否有公共 点,则过圆心作直线的垂线段为辅助线,再证垂线 段长等于半径长。简记为：作垂直,证半径。
练习
如图，△AOB中，OA＝OB＝10，∠AOB＝120°，以O为圆心， 5为半径的⊙O与OA、OB相交。
∴ AB是⊙O的切线。
〖例2〗
已知：O为∠BAC平分线上一点，OD⊥AB于D,以O为圆心，OD为
半径作⊙O。
D
B
求证：⊙O与AC相切。
zxxk
A
O
证明：过O作OE⊥AC于E。 ∵ AO平分∠BAC，OD⊥AB ∴ OE＝OD ∵ OD是⊙O的半径 ∴ AC是⊙O的切线。
E C
小结
例1与例2的证法有何不同?
公共点的名称
．Ｏ r d┐ l
相离
0
d>r
直线名称
．ｏ
．O
d .┐r l
A
. r ┐d .
B
lC
相切 相交
1
2
d=r 切点 切线
d<r 交点 割线
想一想
过圆0内一点作直线，这条直线与圆有什么位置关系？ 过半径OA上一点（A除外）能作圆O的切线吗？过点A呢？
切线的判定定理 经过半径的外端并且垂直于这 条半径的直线是圆的切线。
求证：AB是⊙O的切线。
O
A
C
B
练习
如图,△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交边BC于P，
PE⊥AC于E。
A
求证:PE是⊙O的切线。
证明：连结zxxkOP。
O
∵AB=AC,∴∠B=∠C。
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∵OB=OP，∴∠B=∠OPB，
E
B
PC
∴∠OBP=∠C。
∴OP∥AC。
∵PE⊥AC，
∴PE⊥OP。
l是圆的切线 l是圆的切线
经过半径外端且垂直这条半径
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2. 常用的添辅助线方法？
l是圆的切线
⑴直线与圆的公共点已知时，作出过公共点的半
径，再证半径垂直于该直线。（连半径，证垂直）
⑵直线与圆的公共点不确定时，过圆心作直线的
垂线段，再证明这条垂线段等于圆的半径。（作垂
直，证半径）
3.切线的性质
ห้องสมุดไป่ตู้
(1)直线经过半径的外端; (2)直线与这半径垂直。
想一想
判断一条直线是圆的切线，你现在会有多少种方法?
有以下三种方法: 1.利用切线的定义:与圆有唯一公共点的直线
是圆的切线。 2.利用d与r的关系作判断:当d＝r时直线是圆
的切线。 3.利用切线的判定定理:经过半径的外端并且
垂直于这条半径的直线是圆的切线。
∴PE为⊙0的切线。
知识归纳
思考：
如果直线l是⊙O的切线，点A为切点， 那么半径OA与l垂直吗？
∵直线l是⊙O的切线
∴圆心O到直线l 的距离等于半径
∴OA是圆心O到直线l的距离
∴ l⊥OA
●O
┐
A
l
性质：圆的切线垂直于经过切点的半径。
课堂小结
1. 判定切线的方法有哪些？
与圆有唯一公共点 直线l 与圆心的距离学科等网 于圆的半径