中考与切线有关的定理

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与切线有关的定理

一、切线的性质及判定 1． 切线的性质：

定理：圆的切线垂直于过切点的半径．

推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． 推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心． 2． 切线的判定：

定义法：和圆只有一个公共点的直线是圆的切线； 距离法：到圆心距离等于半径的直线是圆的切线；

定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 3． 切线长和切线长定理：

⑴ 切线长：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．

⑵ 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．

①切线的判定定理

设OA 为⊙O 的半径，过半径外端A 作l ⊥OA ，则O 到l 的距离d=r ，∴l 与⊙O 相切．因此，我们得到：切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 注：定理的题设①“经过半径外端”，②“垂直于半径”，两个条件缺一不可．结论是“直线是圆的切线”．举例说明：只满足题设的一个条件不是⊙O 的切线．

l A

l

A

l

证明一直线是圆的切线有两个思路：（1）连接半径，证直线与此半径垂直；（2）作垂线，证垂足在圆上

②切线的性质定理及其推论

切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径． 二、内切圆

1． 定义：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．

P

2

2． 多边形内切圆：和多边形的各边都相切的圆叫做多边形的内切圆，这个多边形叫做圆的外切多边形．

3．直角三角形的内切圆半径与三边关系

O

F E

D C B

A

C

B

A C

B

A

c

b

a

c

b

a

（1） （2）

图（1）中，设a b c ，，分别为ABC ∆中A B C ∠∠∠，，的对边，面积为S 则内切圆半径（1）s r p

=，其中()12

p

a b c =

++；

图（2）中，90C

∠=︒，则()12

r a b c =+-

cm,BC=14 cm ，CA=13 cm ，求AF 、BD 、CE 的长

例2. 如图所示，已知：AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，切点为B。OC平行于弦AD，试说明：DC是⊙O的切线。

练习题：

1.三角形的外心是（）

A、三条高线的交点

B、三条角平分线的交点

C、三条中线的交点

D、三条垂直平分线的交点

2、若一个三角形的外心恰好在它的某一边上，则这个三角形一定是（）

A、直角三角形

B、等腰三角形

C、等边三角形

D、无法确定

3、如图，PA是⊙O的切线，切点为A，∠APO = 36º，则∠AOP = （）

A、54º

B、64º

C、44º

D、36º

4、如图，∠MAB = 30°，P为AB上的点，且AP = 6，圆P与AM相切于N，则圆P的半径为。

5、如图，AB与⊙O相切于点B，AO的延长线交⊙O于点C，连接BC，若∠A = 36°，

则∠C = °。

（5）

（3）

（6）（7）（8）（9）

C

B

A

I

I

A

B C C

3

6、如图，在△ABC中，I是内心，∠BIC = 115°，则∠A = °。

7、如图，在△ABC中，∠A = 68°，点I是内心，则∠BIC = °。

8、如图，⊙O内切于△ABC，切点分别为D、E、F，已知∠B = 50°，∠C = 60°，连接OE、OF、DE、DF，则∠EDF = °

9、如图，⊙I是△ABC的内心，∠EDF = 50°，则∠A = °。

10、如图，点E在直角△ABC的边AB上，以AE为直径的⊙O与BC相交于点D，且AD平分∠BAC。

11．（09湛江）如图，A B是O

⊥，

⊙于点C，过点C作D C O A

，交O

⊙的切线，切点为B A O

交A B于点D．

（1）求证：C D O B D O

∠=∠；

（2）若30

A O

∠=°，⊙的半径为4，求阴影部分的面积．（结果保留π）

B D

4