(典型题)2014高考数学二轮复习_知识点总结_函数、基本初等函数的图象与性质

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(考点梳理+考点自测+真题举例)2014高考总复习数学(理)第二章函数与基本初等函数(1)

第二章函数与基本初等函数Ⅰ第1讲函数及其表示对应学生用书P9考点梳理1．函数的概念一般地，设A ，B 是两个非空数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f (x )与之对应；那么就称：f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数．记作y ＝f (x )，x ∈A . 2．函数的定义域(1)函数的定义域是指使函数有意义的自变量的取值范围． (2)求定义域的步骤①写出使函数式有意义的不等式(组)． ②解不等式(组)．③写出函数的定义域(注意用区间或集合的形式写出)． (3)常见基本初等函数的定义域 ①分式函数中分母不等于零．②偶次根式函数、被开方式大于或等于0. ③一次函数、二次函数的定义域为R .④y ＝a x (a >0且a ≠1)，y ＝sin x ，y ＝cos x ，定义域均为R .⑤y ＝tan x 的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ∈R 且x ≠kx ＋π2，k ∈Z .⑥函数f (x )＝x 0的定义域为{}x |x ∈R 且x ≠0. 3．函数的值域(1)在函数y ＝f (x )中，与自变量x 的值相对应的y 的值叫函数值，函数值的集合叫函数的值域． (2)基本初等函数的值域 ①y ＝kx ＋b (k ≠0)的值域是R .②y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的值域是：当a >0时，值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫4ac －b 24a ，＋∞；当a <0时，值域为⎝⎛⎦⎥⎤－∞，4ac －b 24a . ③y ＝kx (k ≠0)的值域是{y |y ∈R 且y ≠0}． ④y ＝a x (a >0且a ≠1)的值域是(0，＋∞)． ⑤y ＝log a x (a >0且a ≠1)的值域是R . ⑥y ＝sin x ，y ＝cos x 的值域是[－1,1]． ⑦y ＝tan x 的值域是R . 4．函数的表示法(1)用列表来表示两个变量之间函数关系的方法称为列表法．(2)用等式来表示两个变量之间函数关系的方法称为解析法．这个等式通常叫做函数的解析表达式，简称解析式．(3)用图象表示两个变量之间函数关系的方法称为图象法． 5．分段函数在定义域内不同部分上，有不同的解析表达式，像这样的函数通常叫做分段函数．6．映射的概念设A ，B 是两个非空集合，如果按某种对应法则f ，对于A 中的每一个元素，在B 中都有唯一的元素与之对应，那么这样的单值对应叫做集合A 到集合B 的映射，记作f ：A →B . 【助学·微博】函数与映射的区别与联系(1)函数是特殊的映射，其特殊性在于集合A 与集合B 只能是非空数集，即函数是非空数集A 到非空数集B 的映射．(2)映射不一定是函数，从A 到B 的一个映射，A 、B 若不是数集，则这个映射不是函数．一个命题规律在高考中，主要考查函数的定义域、分段函数的解析式和求函数值，属容易题．其中求解析式和定义域具有综合性，有时渗透在解答题中，近几年对函数概念的理解的考查也在加强，以填空题考查基本技能．考点自测1．(2012·南通二模)函数f (x )＝x －4＋15－3x 的定义域为________．解析由⎩⎨⎧x －4≥0，15－3x ≥0，解得4≤x ≤5.所以f (x )的定义域为[4,5]．答案 [4,5]2．(2012·泰州二模)已知M ＝{1,2,3,4}，设f (x )，g (x )都是从M 到M 的函数，其对应法则如下表：则f (g (1))＝________.解析因为g (1)＝4，所以f (g (1))＝f (4)＝1. 答案 13．(2012·盐城检测)已知函数f (x )＝log a (x ＋1)的定义域和值域都是[0,1]，则实数a 的值是________．解析由0≤x ≤1，得1≤x ＋1≤2,0≤log a (x ＋1)≤log a 2，所以log a 2＝1，a ＝2. 答案 24．(2010·陕西卷改编)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2x＋1，x ＜1，x 2＋ax ，x ≥1，若f (f (0))＝4a ，则实数a ＝________.解析 f (x )＝⎩⎨⎧2x＋1，x ＜1，x 2＋ax ，x ≥1.由0＜1，得f (0)＝20＋1＝2.又f (0)＝2≥1，所以f [f (0)]＝22＋2a ＝4a ，故a ＝2. 答案 25．(2012·南通一模)为了保证信息安全传输，有一种称为秘密密钥的密码系统，其加密、解密原理如下：明文――→加密密钥码密文――→发送密文――→解密密钥码明文现在加密密钥码为y ＝log a (x ＋2)，如上所示，明文“6”通过加密后得到密文“3”，再发送，接受方通过解密密钥码解密得到明文“6”．若接受方接到密文为“4”，则解密后得到明文为________．解析由题意，log a (6＋2)＝3，所以a ＝2，密文为“4”，令y ＝4，得log 2(x ＋2)＝4，得x ＝14，即明文为14. 答案 14对应学生用书P10考向一函数与映射的概念【例1】 (1)(2012·临沂调研)已知a ，b 为两个不相等的实数，集合M ＝{a 2－4a ，－1}，N ＝{b 2－4b ＋1，－2}，f ：x ―→x 表示把M 中的元素x 映射到集合N 中仍为x ，则a ＋b 等于________．(2)已知映射f ：A ―→B .其中A ＝B ＝R ，对应关系f ：x ―→y ＝－x 2＋2x ，对于实数k ∈B ，在集合A 中不存在元素与之对应，则k 的取值范围是________．解析 (1)由已知可得M ＝N ，故⎩⎨⎧a 2－4a ＝－2，b 2－4b ＋1＝－1⇒⎩⎨⎧a 2－4a ＋2＝0，b 2－4b ＋2＝0，所以a ，b 是方程x 2－4x ＋2＝0的两根，故a ＋b ＝4.(2)由题意知，方程－x 2＋2x ＝k 无实数根，即x 2－2x ＋k ＝0无实数根．∴Δ＝4(1－k )<0，∴k >1时满足题意．答案 (1)4 (2)(1，＋∞)[方法总结] 函数是一种特殊的对应，要检验给定的两个变量之间是否具有函数关系，只需要检验：①定义域和对应关系是否给出；②根据给出的对应关系，自变量在其定义域中的每一个值，是否都有唯一确定的函数值．【训练1】下列对应关系是集合P 上的函数的是________(填序号)． ①P ＝Z ，Q ＝N *，对应关系f ：对集合P 中的元素取绝对值与集合Q 中的元素相对应；②P ＝{－1,1，－2,2}，Q ＝{1,4}，对应关系f ：x ―→y ＝x 2，x ∈P ，y ∈Q ； ③P ＝{三角形}，Q ＝{x |x >0}，对应关系f ：对P 中三角形求面积与集合Q 中元素对应．解析由于①中集合P 中元素0在集合Q 中没有对应元素，并且③中集合P 不是数集，所以①和③都不是集合P 上的函数．由题意知，②正确．答案 ②考向二求函数定义域的方法【例2】 (1)函数y ＝1log 0.5(4x －3)的定义域为________．(2)若函数f (x )＝x －4mx 2＋4mx ＋3的定义域为R ，则实数m 的取值范围是________．解析 (1)要使函数有意义，则log 0.5(4x －3)＞0，即0＜4x －3＜1，所以34＜x ＜1.故函数定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫34，1.(2)f (x )的定义域为R ，即mx 2＋4mx ＋3≠0恒成立． ①当m ＝0时，符合条件．②当m ≠0时，Δ＝(4m )2－4×m ×3<0，即m (4m －3)<0，∴0<m <34. 综上所述，m 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，34.答案 (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫34，1 (2)⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，34[方法总结] 求函数的定义域，其实质就是使函数解析式有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集，其准则一般是：①分式中，分母不为零；②偶次根式，被开方数非负；③对于y ＝x 0，要求x ≠0；④对数式中，真数大于0，底数大于0且不等于1；⑤由实际问题确定的函数，其定义域要受实际问题的约束．【训练2】 (1)(2013·南京模拟)函数f (x )＝11－x＋log 2(2x －1)的定义域是________．(2)(2012·聊城模拟)函数y ＝ln (x ＋1)－x 2－3x ＋4的定义域为________．解析 (1)因为⎩⎨⎧1－x >0，2x －1>0，解得12<x <1，所以f (x )的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1.(2)由⎩⎨⎧x ＋1>0，－x 2－3x ＋4>0得－1<x <1.答案 (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 (2)(－1,1)考向三求函数的值域【例3】求下列函数的值域． (1)y ＝x 2＋2x (x ∈[0,3])； (2)y ＝x －3x ＋1；(3)y ＝x －1－2x ； (4)y ＝log 3x ＋log x 3－1. 解 (1)(配方法) y ＝x 2＋2x ＝(x ＋1)2－1，y ＝(x ＋1)2－1在[0,3]上为增函数，∴0≤y ≤15，即函数y ＝x 2＋2x (x ∈[0,3])的值域为[0,15]． (2)(分离常数法)y ＝x －3x ＋1＝x ＋1－4x ＋1＝1－4x ＋1. 因为4x ＋1≠0，所以1－4x ＋1≠1，即函数的值域是{y |y ∈R ，y ≠1}． (3)法一 (换元法)令1－2x ＝t ，则t ≥0且x ＝1－t 22，于是y ＝1－t 22－t ＝－12(t ＋1)2＋1，由于t ≥0，所以y ≤12，故函数的值域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫y |y ≤12. 法二 (单调性法)容易判断函数y ＝f (x )为增函数，而其定义域应满足1－2x ≥0，即x ≤12，所以y ≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝12，即函数的值域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫y |y ≤12. (4)(基本不等式法)函数定义域为{x |x ∈R ，x >0，且x ≠1}．当x >1时，log 3x >0，于是y ＝log 3x ＋1log 3x －1≥2log 3x ·1log 3x －1＝1；当0<x <1时，log 3x <0，于是y ＝log 3x ＋1log 3x －1＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤(－log 3x )＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－log 3x －1≤－2－1＝－3.故函数的值域是(－∞，－3]∪[1，＋∞)．[方法总结] (1)当所给函数是分式的形式，且分子、分母是同次的，可考虑用分离常数法；(2)若与二次函数有关，可用配方法；(3)若函数解析式中含有根式，可考虑用换元法或单调性法；(4)当函数解析式结构与基本不等式有关，可考虑用基本不等式求解；(5)分段函数宜分段求解；(6)当函数的图象易画出时，还可借助于图象求解．【训练3】求下列函数的值域： (1)y ＝x 2－xx 2－x ＋1；(2)y ＝2x －1－13－4x .解 (1)法一 (配方法)∵y ＝1－1x 2－x ＋1，又x 2－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34≥34，∴0<1x 2－x ＋1≤43，∴－13≤y ＜1.∴函数的值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－13，1.法二 (判别式法) 由y ＝x 2－xx 2－x ＋1，x ∈R .得(y －1)x 2＋(1－y )x ＋y ＝0. ∵y ＝1时，x ∈∅，∴y ≠1.又∵x ∈R ，∴Δ＝(1－y )2－4y (y －1)≥0，解得－13≤y ≤1. 综上得－13≤y ＜1.∴函数的值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－13，1.(2)法一 (换元法)设13－4x ＝t ，则t ≥0，x ＝13－t 24，于是f (x )＝g (t )＝2·13－t 24－1－t ＝－12t 2－t ＋112＝－12(t ＋1)2＋6，显然函数g (t )在[0，＋∞)上是单调递减函数，所以g (t )≤g (0)＝112，因此原函数的值域是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，112.法二 (单调性法)函数定义域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≤134，当自变量x 增大时，2x －1增大，13－4x 减小，所以2x －1－13－4x 增大，因此函数f (x )＝2x －1－13－4x 在其定义域上是一个单调递增函数，所以当x＝134时，函数取得最大值f ⎝ ⎛⎭⎪⎫134＝112，故原函数的值域是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，112.考向四求函数的解析式【例4】 (1)已知f (x )是二次函数，若f (0)＝0，且f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，试求f (x )的解析式．(2)已知3f (x )＋5f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝2x ＋1，求函数f (x )的解析式．(3)已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＝x 2＋1x 2，求f (x )的解析式．(4)已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1＝lg x ，求f (x )的解析式．解 (1)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， ∵f (0)＝0，∴c ＝0，又f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，∴a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＝ax 2＋bx ＋x ＋1. 即2ax ＋a ＋b ＝x ＋1， ∴⎩⎨⎧2a ＝1，a ＋b ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝12，∴f (x )＝12x 2＋12x .(2)以1x 替换原等式中的x ，则3f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋5f (x )＝2x ＋1.故⎩⎪⎨⎪⎧3f (x )＋5f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝2x ＋1，3f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋5f (x )＝2x ＋1，两式相减整理，得f (x )＝58x －38x ＋18(x ≠0)． (3)令x ＋1x ＝t ，则t 2＝x 2＋1x 2＋2≥4. ∴t ≥2或t ≤－2且x 2＋1x 2＝t 2－2.∴f (t )＝t 2－2.即f (x )＝x 2－2(x ≥2或x ≤－2)．(4)令2x ＋1＝t ，由于x >0，∴t >1且x ＝2t －1，∴f (t )＝lg 2t －1，即f (x )＝lg 2x －1(x >1)．[方法总结] 函数解析式的求法(1)凑配法：由已知条件f (g (x ))＝F (x )，可将F (x )改写成关于g (x )的表达式，然后以x 替代g (x )，便得f (x )的解析式；(2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，可用待定系数法； (3)换元法：已知复合函数f (g (x ))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；(4)方程思想：已知关于f (x )与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 或f (－x )的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f (x )．【训练4】 (2013·宿迁联考)如图放置的边长为1的正三角形P AB 沿x 轴滚动，设顶点A (x ，y )的纵坐标与横坐标的函数关系式是y ＝f (x )，则f (x )在区间[－2,1]上的解析式是________．解析当－12＜x ≤1时，点A (x ，y )到原点距离为1，所以x 2＋y 2＝1(y ≥0)，所以y ＝1－x 2；当－2≤x ≤－12时，点A (x ，y )到点(－1,0)的距离为1，所以(x ＋1)2＋y 2＝1(y ≥0)，所以y ＝1－(x ＋1)2.答案y ＝⎩⎪⎨⎪⎧1－(x ＋1)2，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，－12，1－x 2，x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，1对应学生用书P11热点突破4 求函数值域的常见方法近几年高考对值域的考查难度大大降低，值域的考查常与单调性、最值相结合．【示例】 (2009·湖南改编)设函数y ＝f (x )在(－∞，＋∞)内有定义，对于给定的正数K ，定义函数f K (x )＝⎩⎨⎧f (x )，f (x )≤K ，K ，f (x )>K .取函数f (x )＝2－x －e －x ，若对任意的x ∈(－∞，＋∞)，恒有f K (x )＝f (x )，则K 的最小值为________．[审题与转化] 第一步：由f K (x )＝f (x )恒成立可得K ≥f (x )恒成立．第二步：根据f (x )＝2－x －e －x 的形式，可用导数法求f (x )的最大值．[规范解答] 第三步：依题意K ≥f (x )恒成立．f ′(x )＝－1＋e －x ，当x >0时，f ′(x )<0；当x <0时，f ′(x )>0，即f (x )在(－∞，0)上是增函数，(0，＋∞)上是减函数，当x ＝0时，f (x )取得最大值f (0)＝2－0－1＝1，故K ≥1，即K 的最小值为1.[反思与回顾] 第四步：求函数值域的常见方法：(1)观察法：如y ＝12x 2＋1的值域可以从x 2入手去求，由x 2≥0得2x 2＋1≥1，函数的值域为(0,1]．(2)图象法：基本初等函数，或由其经简单变换所得的函数，或用导数研究极值点及单调区间后，可通过画示意图观察得值域．(3)利用函数的有界性：形如sin α＝f (y )，x 2＝g (y )，由|sin α|≤1，x 2≥0可解出f (y )、g (y )的范围，从而求出其值域或最值．(4)换元法化归为基本函数的值域①代数换元：形如y ＝ax ＋b ±cx ＋d (a ，b ，c ，d 为常数，ac ≠0)，可设cx ＋d ＝t (t ≥0)，转化为二次函数求值域．②三角换元：如y ＝x ＋1－x 2，可令x ＝cos θ，θ∈[0，π]，则y ＝cos θ＋sin θ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4，θ∈[0，π]． (5)均值不等式法：利用均值不等式a ＋b ≥2ab (a ，b >0)．(6)分离常数法：形如y ＝cx －d ax －b(a ≠0)的函数的值域，可用“分离常数法”求解． (7)导数法：如求y ＝x 3＋3x 2－5x x ∈[0,1]的值域．高考经典题组训练1．(2012·江苏卷)函数f (x )＝1－2log 6x 的定义域为________．解析因为1－2log 6x ≥0，所以log 6x ≤12，解得0<x ≤6，故函数f (x )的定义域为(0, 6]．答案 (0, 6]2．(2012·福建卷改编)设f (x )＝⎩⎨⎧ 1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0，g (x )＝⎩⎨⎧ 1，x 为有理数，0，x 为无理数，则f (g (π))的值为________．解析 π是无理数，g (π)＝0，所以f (g (π))＝f (0)＝0.答案 03．(2012·江西卷改编)下列函数：①y ＝1sin x ；②y ＝ln x x ；③y ＝x e x ；④y ＝sin x x 中，与函数y ＝13x 定义域相同的函数序号是________．解析 y ＝13x 定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，所以y ＝sin x x 的定义域与y ＝13x定义域相同．答案 ④4．(2012·安徽卷改编)下列函数：①f (x )＝|x |；②f (x )＝x －|x |；③f (x )＝x ＋1；④f (x )＝－x ，其中满足f (2x )＝2f (x )的函数序号是________．解析 ①f (2x )＝|2x |＝2|x |＝2f (x )；②f (2x )＝2x －|2x |＝2(x －|x |)＝2f (x )；③f (2x )＝2x ＋1≠2x ＋2＝f (2x )；④f (2x )＝－2x ＝2f (x )．答案 ①②④5．(2011·江苏卷)已知实数a ≠0，函数f (x )＝⎩⎨⎧2x ＋a ，x ＜1，－x －2a ，x ≥1，若f (1－a )＝f (1＋a )，则a 的值为________．解析当1－a ＜1，即a ＞0时，a ＋1＞1，由f (1－a )＝f (1＋a )，得2(1－a )＋a＝－(1＋a )－2a ，解得a ＝－32(舍去)．当1－a ＞1，即a ＜0时，a ＋1＜1，由f (1－a )＝f (1＋a )，得2(1＋a )＋a ＝－(1－a )－2a ，解得a ＝－34.答案－34对应学生用书P249分层训练A 级基础达标演练(时间：30分钟满分：60分)一、填空题(每小题5分，共30分)1．(2012·宿迁联考)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧ x ，x ≥0，x 2，x <0，则f (f (－2))＝________. 解析 f (－2)＝4，f (f (－2))＝f (4)＝4.答案 42．(2012·盐城检测)函数y ＝x 2x 2＋1(x ∈R )的值域为________．解析 y ＝x 2x 2＋1＝x 2＋1－1x 2＋1＝1－1x 2＋1，又x 2＋1≥1，所以0<1x 2＋1≤1，所以y ∈[0,1)．答案 [0,1)3．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1－12x (x ≥0)，1x (x ＜0)，若f (a )＝a ，则实数a 的值是________．解析当a ≥0时，1－12a ＝a ，所以a ＝23.当a ＜0时，1a ＝a ，所以a ＝－1.答案 23或－14．(2012·南通四校联考)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ |x －1|－2，|x |≤1，11＋x 2，|x |>1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12等于________．解析因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝12－2＝－32，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝ f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝11＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－322＝413. 答案 4135．(2012·栟茶高级中学调研)设函数f (x )＝－x 2－2x ＋15，集合A ＝{x |y ＝f (x )}，B ＝{y |y ＝f (x )}，则A ∩B ＝________.解析由－x 2－2x ＋15≥0，得x 2＋2x －15≤0，解得－5≤x ≤3，所以A ＝[－5,3]．又由y ＝－x 2－2x ＋15＝－(x ＋1)2＋16≤16，得0≤f (x )≤4，所以B ＝[0,4]，所以A ∩B ＝[0,3]．答案 [0,3]6．(2012·无锡模拟)设函数f (x )对于任意实数x 满足条件f (x ＋2)＝1f (x )，若f (1)＝－5，则f (f (5))的值为________．解析由f (x ＋2)＝1f (x )，得f (x ＋4)＝1f (x ＋2)＝f (x )，所以f (5)＝f (1)＝－5，则f (f (5))＝f (－5)＝f (－1)＝1f (－1＋2)＝1f (1)＝－15. 答案－15二、解答题(每小题15分，共30分)7．(2012·苏州期中调研)已知函数f (x )＝ 2x －11－x，若函数y ＝g (x )与y ＝f (x )的图象关于原点对称．(1)写出函数g (x )的解析式；(2)记y ＝g (x )的定义域为A ，不等式x 2－(2a －1)x ＋a (a －1)≤0的解集为B .若A 是B 的真子集，求a 的取值范围．解 (1)在函数y ＝g (x )的图象上任取一点P (x ，y )，则P 关于原点的对称点P ′(－x ，－y )在y ＝f (x )的图象上，所以－y ＝ 2(－x )－11－(－x )＝－2x －1x ＋1，即g (x )＝－－2x －1x ＋1. (2)由－2x ＋1x ＋1≥0，得－1<x ≤－12，即A ＝⎝ ⎛⎦⎥⎤－1，－12.由x 2－(2a －1)x ＋a (a －1)≤0，解得a －1≤x ≤a ，即B ＝[a －1，a ]．因为A B ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a －1≤－1，a ≥－12，解得－12≤a ≤0. 8．(2012·南京外国语学校调研)已知函数f (x )＝2a ＋1a －1a 2x ，常数a ＞0.(1)设m ·n ＞0，证明：函数f (x )在[m ，n ]上单调递增；(2)设0＜m ＜n 且f (x )的定义域和值域都是[m ，n ]，求常数a 的取值范围．(1)证明任取x 1，x 2∈[m ，n ]，且x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝1a 2·x 1－x 2x 1x 2. 因为x 1＜x 2，x 1，x 2∈[m ，n ]，所以x 1x 2＞0，即f (x 1)＜f (x 2)，故f (x )在[m ，n ]上单调递增．(2)解因为f (x )在[m ，n ]上单调递增，f (x )的定义域、值域都是[m ，n ]⇔f (m )＝m ，f (n )＝n ，即m ，n 是方程2a ＋1a －1a 2x ＝x 的两个不等的正根⇔a 2x 2－(2a 2＋a )x ＋1＝0有两个不等的正根．所以Δ＝(2a 2＋a )2－4a 2＞0，2a 2＋a a 2＞0⇒a ＞12. 即常数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞.，分层训练B 级创新能力提升1．(2011·江西卷改编)若f (x )＝1log 12(2x ＋1)，则f (x )的定义域为________．解析因为log 12(2x ＋1)＞0，所以0＜2x ＋1＜1，解得－12＜x ＜0.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0 2．(2011·湖南卷)给定k ∈N *，设函数f ：N *―→N *满足：对于任意大于k 的正整数n ，f (n )＝n －k .(1)设k ＝1，则其中一个函数f 在n ＝1处的函数值为________．(2)设k ＝4，且当n ≤4时，2≤f (n )≤3，则不同的函数f 的个数为________．解析 (1)由题意得“f ”为从正整数集(N *)到正整数集(N *)的函数，若k ＝1，则当n >1时，f (n )＝n －1，当n ＝1时，函数“f ”可以是任意的正整数，可以用a 表示．(2)若k ＝4，则当n >4时，f (n )＝n －4，当n ≤4，f (n )为正整数，且2≤f (n )≤3，故f (n )＝2或f (n )＝3.当n ＝1时，f (n )＝2或3，当n ＝2时，f (n )＝2或3，当n ＝3时，f (n )＝2或3，当n ＝4时，f (n )＝2或3，故共可构成不同的函数f 的个数为16.答案 (1)a (a 为正整数) (2)163．(2011·天津卷改编)对实数a 和b ，定义运算“⊗”：a ⊗b ＝⎩⎨⎧ a ，a －b ≤1，b ，a －b ＞1.设函数f (x )＝(x 2－2)⊗(x －1)，x ∈R .若函数y ＝f (x )－c 的图象与x 轴恰有两个公共点，则实数c 的取值范围是________．解析当(x 2－2)－(x －1)≤1时，－1≤x ≤2，所以f (x )＝⎩⎨⎧x 2－2，－1≤x ≤2，x －1，x ＜－1或x ＞2，f (x )的图象如图所示．y ＝f (x )－c 的图象与x 轴恰有两个公共点，即方程f (x )＝c 恰有两个解，由图象可知当c ∈(－2，－1]∪(1,2]时满足条件．答案 (－2，－1]∪(1,2]4．(2012·苏州模拟)若一系列函数的解析式相同，值域相同但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”，那么函数解析式为y＝2x2＋1，值域为{3,19}的“孪生函数”共有________个．解析若y＝3，则由2x2＋1＝3，得x＝±1；若y＝19，则由2x2＋1＝19，得x＝±3.所以函数f(x)定义域可以是{1，－3}，{1,3}，{－1,3}，{－1，－3}，{－1,1,3}，{－1,1，－3}，{－3,1,3}，{－3，－1,3}，{－1，－3,1,3}，共有9个孪生函数．答案95．(2012·无锡一中调研)已知函数f(x)满足：对任意实数x，y都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋xy＋1，且f(－2)＝－2.(1)求f(1)的值；(2)证明：对一切大于1的正整数t，恒有f(t)>t.(1)解令x＝y＝0，得f(0)＝－1.令x＝y＝－1，得f(－2)＝f(－1)＋f(－1)＋2，又f(－2)＝－2，所以f(－1)＝－2.令x＝1，y＝－1，得f(0)＝f(1)＋f(－1)，故f(1)＝1.(2)证明令x＝1，得f(y＋1)－f(y)＝y＋2.当y∈N时，有f(y＋1)－f(y)>0，即f(y＋1)>f(y)．又f(1)＝1，从而对y∈N*，有f(y)>0.当y∈N*时，有f(y＋1)＝f(y)＋y＋2＝f(y)＋1＋y＋1>y＋1.故对一切大于1的正整数t，恒有f(t)>t.6．(2012·济南外国语学校质检)据气象中心观察和预测：发生于M地的沙尘暴一直向正南方向移动，其移动速度v(km/h)与时间t(h)的函数图象如图所示，过线段OC上一点T(t,0)作横轴的垂线l，梯形OABC在直线l左侧部分的面积即为t(h)内沙尘暴所经过的路程s(km)．(1)当t＝4时，求s的值；(2)将s随t变化的规律用数学关系式表示出来；(3)若N城位于M地正南方向，且距M地650 km，试判断这场沙尘暴是否会侵袭到N城，如果会，在沙尘暴发生后多长时间它将侵袭到N城？如果不会，请说明理由．解 (1)由图象可知；当t ＝4时，v ＝3×4＝12，所以s ＝12×4×12＝24.(2)当0≤t ≤10时，s ＝12·t ·3t ＝32t 2；当10＜t ≤20时，s ＝12×10×30＋30(t －10)＝30t －150；当20＜t ≤35时，s ＝12×10×30＋10×30＋(t －20)×30－12×(t －20)×2(t －20)＝－t 2＋70t －550.综上可知s ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 32t 2，t ∈[0，10]，30t －150，t ∈(10，20]，－t 2＋70t －550，t ∈(20，35].(3)当t ∈[0,10]时，s max ＝32×102＝150＜650.当t ∈(10,20]时，s max ＝30×20－150＝450＜650.当t ∈(20,35]时，令－t 2＋70t －550＝650.解得t 1＝30，t 2＝40,20＜t ≤35，故t ＝30，所以沙尘暴发生30 h 后将侵袭到N 城.第2讲函数的单调性与最值对应学生用书P12考点梳理1．函数的单调性(1)单调函数的定义设函数f (x )的定义域为I ，如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1＜x 2时，①若f (x 1)＜f (x 2)，则f (x )在区间D 上是增函数；②若f (x 1)＞f (x 2)，则f (x )在区间D 上是减函数．(2)单调性、单调区间的定义若函数f (x )在区间D 上是增函数或减函数，则称函数f (x )在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D 叫做f (x )的单调区间．2．函数的最值一般地，设y ＝f (x )的定义域为A .如果存在x 0∈A ，使得对于任意的x ∈A ，都有f (x )≤f (x 0)，那么称f (x 0)为y ＝f (x )的最大值，记为y max ＝f (x 0)；如果存在x 0∈A ，使得对于任意的x ∈A ，都有f (x )≥f (x 0)，那么称f (x 0)为y ＝f (x )的最小值，记为y min ＝f (x 0)．【助学·微博】一个命题规律求函数的单调区间及单调性的应用，如应用单调性求值域、比较大小、解(或证明)不等式等．运用定义法或导数法判断或证明函数的单调性等．函数的单调性是高考的热点问题．函数单调性的四种判断方法(1)定义法：取值、作差、变形、定号、下结论．(2)复合法：同增异减，即内外函数的单调性相同时，为增函数，不同时为减函数．(3)导数法：利用导数研究函数的单调性．(4)图象法：利用图象研究函数的单调性．考点自测 1．(2013·南京鼓楼模拟)函数f (x )＝1＋x －1－x 的最大值为M ，最小值为m ，则M m ＝________.解析由⎩⎨⎧1＋x ≥0，1－x ≥0得－1≤x ≤1.因为f (x )在[－1,1]上是单调增函数，所以M ＝f (1)＝2，m ＝f (－1)＝－2，所以M m ＝－1.答案－12．(2012·连云港模拟)已知函数f (x )＝x －k x (k >0，x >0)，则f (x 2＋1)与f (x )的大小关系是________．解析因为f (x )在(0，＋∞)上单调递增，且x 2＋1≥2x >x (x >0)，所以f (x 2＋1)>f (x )．答案 f (x 2＋1)>f (x )3．(2013·连云港模拟)已知函数f (x )＝2x ＋ln x ，若f (x 2＋2)≤f (3x )，则x 的取值范围是________．解析因为f (x )是定义域(0，＋∞)上的增函数，所以由f (x 2＋2)≤f (3x )，得x 2＋2≤3x ，即x 2－3x ＋2≤0，解得1≤x ≤2.答案 [1,2]4．(2012·镇江市调研)函数f (x )＝2x ＋log 2x (x ∈[1,2])的值域为________．解析因为2x 与log 2x 都是[1,2]上的增函数，所以f (x )＝2x ＋log 2x 是[1,2]上的增函数，所以f (1)≤f (x )≤f (2)，即2≤f (x )≤5.答案 [2,5]5．(2013·济南外国语学校检测)若f (x )＝－x 2＋2ax 与g (x )＝a x ＋1在区间[1,2]上都是减函数，则a 的取值范围是________．解析 f (x )在[a ，＋∞)上是减函数，对于g (x )，只有当a >0时，它有两个减区间为(－∞，－1)和(－1，＋∞)，故只需区间[1,2]是f (x )和g (x )的减区间的子集即可，则a 的取值范围是0＜a ≤1.答案 (0,1]对应学生用书P12考向一函数单调性的判断【例1】试讨论函数f (x )＝ax x －1(a ≠0)在(－1,1)上的单调性．审题视点可利用定义或导数法讨论函数的单调性．解设－1<x 1<x 2<1，f (x )＝a x －1＋1x －1＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x －1， f (x 1)－f (x 2)＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x 1－1－a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x 2－1 ＝a x 2－x 1(x 1－1)(x 2－1)当a >0时，f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)，函数f (x )在(－1,1)上递减；当a <0时，f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)，函数f (x )在(－1,1)上递增．[方法总结] 证明函数的单调性用定义法的步骤：取值—作差—变形—确定符号—下结论．【训练1】已知f (x )＝xx －a(x ≠a )． (1)若a ＝－2，试证f (x )在(－∞，－2)内单调递增； (2)若a >0且f (x )在(1，＋∞)内单调递减，求a 的取值范围． (1)证明任设x 1<x 2<－2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1＋2－x 2x 2＋2＝(x 1－x 2)(x 1＋2)(x 2＋2). ∵(x 1＋2)(x 2＋2)>0，x 1－x 2<0， ∴f (x 1)<f (x 2)，∴f (x )在(－∞，－2)内单调递增． (2)解任设1<x 1<x 2，则 f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1－a －x 2x 2－a ＝a (x 2－x 1)(x 1－a )(x 2－a )， ∵a >0，x 2－x 1>0， ∴要使f (x 1)－f (x 2)>0，只需(x 1－a )(x 2－a )>0恒成立，∴a ≤1. 综上所述知0<a ≤1.考向二函数单调性的应用【例2】 (2013·鞍山模拟)已知f (x )是定义在[－1,1]上的奇函数，且f (1)＝1，若a ，b ∈[－1,1]，a ＋b ≠0时，有f (a )＋f (b )a ＋b >0成立．(1)判断f (x )在[－1,1]上的单调性，并证明它； (2)解不等式：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －1；(3)若f (x )≤m 2－2am ＋1对所有的a ∈[－1,1]恒成立，求实数m 的取值范围．解 (1)任取x 1，x 2∈[－1,1]，且x 1<x 2，则－x 2∈[－1,1]，∵f (x )为奇函数， ∴f (x 1)－f (x 2)＝f (x 1)＋f (－x 2) ＝f (x 1)＋f (－x 2)x 1＋(－x 2)·(x 1－x 2)，由已知得f (x 1)＋f (－x 2)x 1＋(－x 2)>0，x 1－x 2<0，∴f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)． ∴f (x )在[－1,1]上单调递增． (2)∵f (x )在[－1,1]上单调递增，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋12<1x －1，－1≤x ＋12≤1，－1≤1x －1≤1.∴－32≤x ＜－1.(3)∵f (1)＝1，f (x )在[－1,1]上单调递增． ∴在[－1,1]上，f (x )≤1.问题转化为m 2－2am ＋1≥1，即m 2－2am ≥0，对a ∈[－1,1]成立．下面来求m 的取值范围．设g (a )＝－2m ·a ＋m 2≥0.①若m ＝0，则g (a )＝0≥0，对a ∈[－1,1]恒成立．②若m ≠0，则g (a )为a 的一次函数，若g (a )≥0，对a ∈[－1,1]恒成立，必须g (－1)≥0，且g (1)≥0， ∴m ≤－2，或m ≥2.∴m 的取值范围是m ＝0或m ≥2或m ≤－2.[方法总结] 函数单调性的应用，主要有两个方面，即应用单调性求字母取值范围，二是应用单调性比较数值大小或解函数不等式．【训练2】 (1)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋4x ，x ≥0，2x －x 2，x <0，若f (1－a 2)>f (a )，则实数a 的取值范围是________． (2)已知函数f (x )＝2－axa －1(a ≠1)是区间(0,1]上的减函数，则实数a 的取值范围为________．解析 (1)画图象或求导，可知函数f (x )是R 上的增函数，于是由f (1－a 2)>f (a )，得1－a 2>a ，即a 2＋a －1<0，解得－1－52<a <－1＋52.(2)由题意，当x ＝1时，2－ax ＝2－a ≥0，所以a ≤2且a ≠1，a ≠0. 若a <0，则2－ax 是增函数，要使f (x )是区间(0,1]上的减函数，必有a －1<0，即a <1.所以a <0.若a >0，则2－ax 是减函数，要使f (x )是区间(0,1]上的减函数，必有a －1>0，即a >1.所以1<a ≤2.综上，得a 的取值范围是(－∞，0)∪(1,2]．答案 (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫－1－52，－1＋52 (2)(－∞，0)∪(1,2]考向三函数的最值及其应用【例3】已知函数f (x )＝x 2＋2x ＋ax ，x ∈[1，＋∞)．(1)当a ＝12时，求函数f (x )的最小值；(2)若对任意x ∈[1，＋∞)，f (x )＞0恒成立，试求实数a 的取值范围．解 (1)当a ＝12时，f (x )＝x ＋12x ＋2，在[1，＋∞)上为增函数，f (x )min ＝f (1)＝72. (2)当x ∈[1，＋∞)时，由f (x )＝x 2＋2x ＋a x >0恒成立，得x 2＋2x ＋a >0，即a >－x 2－2x 在x ∈[1，＋∞)上恒成立．因为当x ＝1时，(－x 2－2x )max ＝－3，所以a >－3.[方法总结] 不等式m ＞f (x )恒成立⇔m ＞f (x )max ，m ＜f (x )恒成立⇔m ＜f (x )min . 【训练3】若对任意x ∈(0,1]，函数f (x )＝x |x －a |－2的值恒为负数，则实数a 的取值范围是________．解析由f (x )＝x |x －a |－2<0，x ∈(0,1]，得|x －a |<2x ，即x －2x <a <x ＋2x .因为x －2x在(0,1]上单调递增，x ＋2x 在(0,1]上单调递减，所以x ＝1时，⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2x max ＝－1，⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2x min ＝3，所以－1<a <3. 答案 (－1,3)对应学生用书P14热点突破5 函数中创新性问题的求解方法定义新的函数有关的概念，是近几年我省高考的一大亮点，无论填空题还是解答题都可能出现，解这类问题关键是化归，即将不熟悉的新问题化归到一般性的常规的数学问题．一、定义新的函数概念与已知函数原有概念的关系【示例】 (2011·四川卷)函数f (x )的定义域为A ，若x 1，x 2∈A 且f (x 1)＝f (x 2)时总有x 1＝x 2，则称f (x )为单函数．例如，函数f (x )＝2x ＋1(x ∈R )是单函数，下列命题：①函数f (x )＝x 2(x ∈R )是单函数；②若f (x )为单函数，x 1，x 2∈A 且x 1≠x 2，则f (x 1)≠f (x 2)；③若f ：A →B 为单函数，则对于任意b ∈B ，它至多有一个原象；④函数f (x )在某区间上具有单调性，则f (x )一定是单函数．其中的真命题是________(写出所有真命题的编号)．[审题与转化] 第一步：本题考查“单函数”的定义，映射的概念，四种命题间的关系．第二步：“单函数”与“单调函数”的区别与联系：f (x )＝1x 是定义域(－∞，0)∪(0，＋∞)上单函数，但不是单调函数，反之，若f (x )在定义域A 上是单调函数，则它一定是单函数．[规范解答] 第三步：①对于函数f (x )＝x 2，取x 1＝1，x 2＝－1可知不正确．②该命题为定义的逆否命题与原命题等价，是真命题．③由于f (x )是单函数，所以对于集合B 中的任意元素b ，至多只有一个原象，所以正确．④f (x )＝x 2在区间[0，＋∞)上具有单调性，但它在R 上不是单函数，故填②③.[反思与回顾] 第四步：本题考查学生对新概念“单函数”的理解及其性质的应用，考查学生对所学知识“映射”与新概念之间的联系及应用．属于较难题．二、定义新的函数性质验证原函数是否具有该性质【示例】 (2010·江苏卷)设f (x )是定义在区间(1，＋∞)上的函数，其导函数为f ′(x )，如果存在实数a 和函数h (x )，其中h (x )对任意的x ∈(1，＋∞)都有h (x )＞0，使得f ′(x )＝h (x )(x 2－ax ＋1)，则称函数f (x )具有性质P (a )．设函数f (x )＝ln x ＋b ＋2x ＋1(x ＞1)，其中b 为实数． (1)求证：函数f (x )具有性质P (b )； (2)求函数f (x )的单调区间．[审题与转化] 第一步：由性质P (a )的定义直接验证．[规范解答] 第二步：(1)由f (x )＝ln x ＋b ＋2x ＋1，得f ′(x )＝x 2－bx ＋1x (x ＋1)2，因为x＞1，所以h (x )＝1x (x ＋1)2＞0，所以f (x )具有性质P (b )．(2)当b ≤2时，x 2－bx ＋1≥0恒成立，所以f ′(x )＞0，从而函数f (x )在区间(1，＋∞)上单调递增．当b ＞2时，解方程x 2－bx ＋1＝0，得x 1＝b －b 2－42，x 2＝b ＋b 2－42.因为x 1＝b －b 2－42＝2b ＋b 2－4＜2b ＜1， x 2＝b ＋b 2－42＞1.所以当x ∈(1，x 2)时，f ′(x )＜0；当x ∈(x 2，＋∞)时，f ′(x )＞0，从而函数在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫1，b ＋b 2－42上单调递减，在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋b 2－42，＋∞上单调递增． [反思与回顾] 第三步：讨论函数的单调性，如无特殊说明，尽可能用导数法，另外，本题容易忽视对方程x 2－bx ＋1＝0根的讨论，即验证x 1＜1，x 2＞1.高考经典题组训练1．(2012·陕西卷改编)下列函数：①y ＝x ＋1；②y ＝－x 3；③y ＝1x ；④y ＝x |x |，其中既是奇函数又是增函数的序号是________．解析 y ＝－x 3；y ＝1x ，y ＝x |x |是奇函数，仅y ＝x |x |是增函数．答案 ④2．(2012·天津卷改编)下列函数：①y ＝cos 2x ，x ∈R ；②y ＝log 2|x |，x ∈R 且x ≠0；③y ＝e x －e －x2，x ∈R ；④y ＝x 3＋1，x ∈R ，其中既是偶函数，又在区间(1,2)内是增函数的是________．解析 y ＝cos 2x 与y ＝log 2|x |是偶函数，y ＝log 2|x |在(1,2)内是增函数．答案 ②3．(2012·上海卷)已知函数f (x )＝e |x －a |(a 为常数)．若f (x )在区间[1，＋∞)上是增函数，则a 的取值范围是________．解析因为y ＝e x 是增函数，所以由题意，y ＝|x －a |在区间[1，＋∞)上是增函数，所以a ≤1. 答案 (－∞，1]4．(2010·天津卷改编)设f (x )＝x 2－1，对任意x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x m －4m 2f (x )≤f (x －1)＋4f (m )恒成立，求实数m 的取值范围．解由题意，得x 2m 2－1－4m 2(x 2－1)≤(x －1)2－1＋4(m 2－1)在x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞上恒成立，即1m 2－4m 2≤－3x 2－2x ＋1在⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞上恒成立．因为y ＝－3x 2－2x ＋1在⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞上单调递增，所以当x ＝32时，y min ＝－53，所以1m 2－4m 2≤－53，即(3m 2＋1)(4m 2－3)≥0，解得m ≤－32或m ≥32.对应学生用书P251分层训练A 级基础达标演练(时间：30分钟满分：60分)一、填空题(每小题5分，共30分)1．(2013·南京金陵中学检测)下列函数中：①f (x )＝1x ；②f (x )＝(x －1)2；③f (x )＝e x ；④f (x )＝ln(x ＋1)，满足“对任意x 1x 2∈(0，＋∞)，当x 1<x 2时，都有f (x 1)>f (x 2)”的函数序号是________．解析由题意，即判断哪些函数是(0，＋∞)内的减函数．仅f(x)＝1x符合题意．答案①2．下列函数中：①y＝－x＋1；②y＝x；③y＝x2－4x＋5；④y＝2x，在区间(0,2)上为增函数的是________(填所有正确的编号)．解析y＝－x＋1在R上递减；y＝x在R＋上递增；y＝x2－4x＋5在(－∞，2]上递减，在[2，＋∞)上递增，y＝2x在R＋上递减．答案②3．(2012·镇江调研)若函数f(x)＝x2＋(a2－4a＋1)x＋2在区间(－∞，1]上是减函数，则a的取值范围是________．解析因为f(x)是二次函数且开口向上，所以要使f(x)在(－∞，1]上是单调递减函数，则必有－a2－4a＋12≥1，即a2－4a＋3≤0，解得1≤a≤3.答案[1,3]4．(2011·新课标全国卷)下列函数：①y＝x3；②y＝|x|＋1；③y＝－x2＋1；④y＝2－|x|.既是偶函数又在(0，＋∞)单调递增的函数序号是________．解析y＝x3是奇函数，y＝－x2＋1与y＝2－|x|在(0，＋∞)上是减函数．答案②5．已知f(x)是定义在(－1,1)上的奇函数，且f(x)在(－1,1)上是减函数，则不等式f(1－x)＋f(1－x2)＜0的解集为________．解析由f(x)是定义在(－1,1)上的奇函数，及f(1－x)＋f(1－x2)＜0，得f(1－x)＜－f(1－x2)，所以f(1－x)＜f(x2－1)．又因为f(x)在(－1,1)上是减函数，所以⎩⎨⎧－1＜1－x ＜1，－1＜1－x 2＜1，解得0＜x ＜1.1－x ＞x 2－1.故原不等式的解集为(0,1)．答案 (0,1)6．(2012·南师附中检测)已知函数y ＝f (x )是定义在R 上的偶函数，当x ≤0时，y ＝f (x )是减函数，若|x 1|＜|x 2|，则结论：①f (x 1)－f (x 2)＜0；②f (x 1)－f (x 2)＞0；③f (x 1)＋f (x 2)＜0；④f (x 1)＋f (x 2)＞0中成立的是________(填所有正确的编号)．解析由题意，得f (x )在[0，＋∞)上是增函数，且f (x 1)＝f (|x 1|)，f (x 2)＝f (|x 2|)，从而由0≤|x 1|＜|x 2|，得f (|x 1|)＜f (|x 2|)，即f (x 1)＜f (x 2)，f (x 1)－f (x 2)＜0，只能①是正确的．答案 ①二、解答题(每小题15分，共30分) 7．已知函数f (x )＝1a －1x (a >0，x >0)． (1)求证：f (x )在(0，＋∞)上是增函数．(2)若f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，求a 的值．(1)证明法一设x 2>x 1>0，则x 2－x 1>0，x 1x 2>0.因为f (x 2)－f (x 1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1x 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1x 1＝1x 1－1x 2＝x 2－x 1x 1x 2>0，所以f (x 2)>f (x 1)，因此f (x )在(0，＋∞)上是增函数．法二因为f (x )＝1a －1x ，所以f ′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1x ′＝1x 2>0，所以f (x )在(0，＋∞)上为增函数．(2)解因为f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，又f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上单调递增，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝12，f (2)＝2，故a ＝25.8．已知函数f(x)对于任意x，y∈R，总有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，且当x＞0时，f(x)＜0，f(1)＝－2 3.(1)求证：f(x)在R上是减函数．(2)求f(x)在[－3,3]上的最大值和最小值．(1)证明法一因为函数f(x)对于任意x，y∈R总有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，所以令x＝y＝0，得f(0)＝0.再令y＝－x，得f(－x)＝－f(x)．在R上任取x1＞x2，则x1－x2＞0，f(x1)－f(x2)＝f(x1)＋f(－x2)＝f(x1－x2)．又由x＞0时，f(x)＜0，而x1－x2＞0，所以f(x1－x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)．因此f(x)在R上是减函数．法二设x1＞x2，则f(x1)－f(x2)＝f(x1－x2＋x2)－f(x2)＝f(x1－x2)＋f(x2)－f(x2)＝f(x1－x2)．又由x＞0时，f(x)＜0，而x1－x2＞0，所以f(x1－x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，所以f(x)在R上为减函数．(2)解因为f(x)在R上是减函数，所以f(x)在[－3,3]上也是减函数，所以f(x)在[－3,3]上的最大值和最小值分别为f(－3)与f(3)．而f(3)＝3f(1)＝－2，f(－3)＝－f(3)＝2.所以f(x)在[－3,3]上的最大值为2，最小值为－2.分层训练B级创新能力提升1．已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是增函数，则f(－25)，f(11)，f(80)的大小关系是________．解析由题意，得f(x)在[－2,2]上递增，且由f(x－4)＝－f(x)得f(x)是以8为周期的周期函数，所以f(－25)＝f(－1)，f(11)＝f(3)＝－f(－1)＝f(1)，f(80)＝f(0)，所以f (－25)＜f (80)＜f (11)．答案 f (－25)＜f (80)＜f (11)2．(2012·盐城模拟)如果对于函数f (x )的定义域内任意两个自变量的值x 1，x 2，当x 1＜x 2时，都有f (x 1)≤f (x 2)且存在两个不相等的自变量m 1，m 2，使得f (m 1)＝f (m 2)，则称为定义域上的不严格的增函数．已知函数g (x )的定义域、值域分别为A ，B ，A ＝{1,2,3}，B ⊆A 且g (x )为定义域A 上的不严格的增函数，那么这样的函数g (x )共有________个．解析分B 中元素为1个，2个，3个讨论．B 中只有一个元素时，此时各有一个函数；B 有两个元素，此时各有两个函数；B 有3个元素时，不合题意．因此共有3＋6＝9个函数．答案 93．已知函数f (x )＝1－1－x 2，x ∈[0,1]，对于满足0＜x 1＜x 2＜1的任意x 1、x 2，给出下列结论：①(x 2－x 1)[f (x 2)－f (x 1)]＜0；②f (x 2)－f (x 1)＞x 2－x 1；③f (x 1)＋f (x 2)2＞f ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22. 其中正确结论的序号是________．解析函数f (x )＝1－1－x 2，x ∈[0,1]的图象如图所示，命题①可等价为⎩⎨⎧x 2－x 1＞0，f (x 2)＜f (x 1)，即f (x )在x ∈[0,1]上是单调递减函数，结合图象可知，结论①错误；结论②可变形为f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1＞1，不等式左端的几何意义是图象上任意两点连线的斜率，由图象知斜率不大于1，结论②错误；对于结论③，因为图象是凹函数，满足f (x 1)＋f (x 2)2＞f ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，所以结论③正确．答案 ③4．(2013·启东月考)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧e －x－2，x ≤0，2ax －1，x ＞0(a 是常数且a ＞0)．对于下列命题：①函数f (x )的最小值是－1； ②函数f (x )在R 上是单调函数；。

高考数学中基本初等函数的图像及性质总结

高考数学中基本初等函数的图像及性质总结数学作为一门基础学科，在高中阶段的学习中占据非常重要的地位，而在高考数学中，基本初等函数更是赫赫有名。

基本初等函数包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数等，除了常数函数外，每个函数都有其特点的图像及性质，下面将对其进行总结。

幂函数幂函数是指函数y=x^a，其中a为常数，当a>0时，函数的图像经过(1,1)，在第一象限上单调递增；当a<0时，在第一象限上单调递减。

当a=1时，函数为y=x，图像为一条直线。

此外，当a为偶数时，函数在第一象限上为关于y轴对称的，当a为奇数时，函数在第一象限上为关于坐标原点对称的。

指数函数指数函数是指函数y=a^x，其中a为正实数且不等于1。

当a>1时，函数的图像在x轴右侧单调递增，当0<a<1时，在x轴右侧单调递减。

其图像在y轴上通过(0,1)，在x轴上不存在渐近线。

对数函数对数函数是指函数y=loga x，其中a为正实数且不等于1，且x>0。

当a>1时，函数在x轴右侧单调递增，当0<a<1时，在x轴右侧单调递减。

其图像在y轴上通过(0,0)，在x轴上不存在渐近线。

三角函数三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数。

正弦函数和余弦函数的图像均为周期函数，其周期为2π，其函数值均在[-1,1]之间。

正弦函数的图像在点(π/2,1)和(3π/2,-1)处取得极值；余弦函数的图像在点(0,1)和(π,-1)处取得极值。

正切函数是一个奇函数，其在点π/2、3π/2、5π/2等处有无穷大趋势。

反三角函数反三角函数包括反正弦函数、反余弦函数和反正切函数。

反正弦函数的定义域为[-1,1]，值域为[-π/2,π/2]；反余弦函数的定义域为[-1,1]，值域为[0,π]；反正切函数的定义域为实数集，值域为[-π/2,π/2]。

以上是基本初等函数的图像及性质总结，希望能够对数学学习者有所帮助。

2014届高考二轮复习课件：常考问题1 函数、基本初等函数的图象与性质 (1)

满足f(a＋x)＝f(x)(a不等于0)，则其周期T＝ka(k∈Z)的绝对
值．
知识与方法热点玉提升审题与答题
3．求函数最值(值域)常用的方法
(1)单调性法：适合于已知或能判断单调性的函数；
(2)图象法：适合于已知或易作出图象的函数； (3)基本不等式法：特别适合于分式结构或两元的函数；
(4)导数法：适合于可求导数的函数．
0，f(1)＝1，f(2)＝2，所以在一个周期内有f(1)＋f(2)＋„＋
f(6)＝1＋2－1＋0－1＋0＝1，所以f(1)＋f(2)＋„＋f(2012)＝ f(1)＋f(2)＋335×1＝335＋3＝338，选B. 答案 (1)B (2)B
知识与方法
热点玉提升
审题与答题
热点二函数的图象及其应用 x [例 2] (1)函数 y＝2－2sin x 的图象大致是 ( )．
1 5 a＝f－2＝f2，当
x2>x1>1 时，[f(x2)－f(x1)](x2－
x1)<0 恒成立，等价于函数 f(x)在(1，＋∞)上单调递减，所以 b>a>c.选 D.
知识与方法
热点玉提升
审题与答题
方法点评
根据函数图象的对称性可以把位于对称轴两侧
的函数值转化为同一侧的函数值，这样就可以使用函数在对称轴一侧的单调性比较函数值的大小，因此在解决比较大小问题时这是常用的解题思路．
x≤0，
，
图象如图所示． f(x)＝x 解的个数即 y＝f(x)与 y＝x 图象的交点个数．由图知两图象有 A，B，C 三个交点，故方程有 3 个解．
答案 (1)D (2)3
知识与方法热点玉提升审题与答题
热点三

2014高考数学知识点讲析基本初等函数Ⅱ(三角函数)

2014高考数学知识点讲析:基本初等函数Ⅱ（三角函数）【专题要点】任意角的概念和弧度制、任意角的三角函数的定义（重点是任意角的正弦、余弦和正切的定义）、周期函数的概念、三角函数（正弦函数、余弦函数和正切函数）的图象与性质、函数sin()y A wx φ=+的图象和性质、同角三角函数的基本关系式和诱导公式【考纲要求】（1）任意角的概念、弧度制①了解任意角的概念，②了解弧度制概念，能进行弧度与角度的转化（2）三角函数①理解任意角的三角函数的定义； ②能利用单位圆中的三角函数线推导出,2ππ±∂±∂的正弦、余弦、正切的诱导公式，能画出正、余弦函数、正切函数的图象，了解三角函数的周期性； ③理解正、余弦函数在]0，2π]，正切函数在（-2π，2π）的性质，如单调性、最大值与最小值、周期性，图象与x 轴的交点； ④理解同角三角函数的基本关系式；⑤了解sin()y A x ωϕ=+的物理意义，能画出sin()y A x ωϕ=+的图象，了解参数A 、ω、ϕ对函数图象变化的影响；⑥了解三角函数是描述周期性变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单的问题。

【知识纵横】【教法指引】高考对三角函数的考查内容稳定，难度稳定，题量稳定，题型稳定，注重创新。

因此，我们在复习中应首先立足课本，打好基础，从数形两方面理解三角函数的定义，在牢固图象的基础上，把握三角函数的性质，通过认识整个体系的推导和形成过程，掌握公式的本质和规律，领会其中的数学思想，形成清晰的知识结构，明确各部分的基本知识，基本题型，基本方法和规律，强化易混、易漏、易错点的反思和感悟和针对性训练；其次，在学习过程中不断总结、反思提炼解题规律，学会观察差异，寻找联系，分析综合，合理转化，会从三角函数的名称、角和运算三个方面寻求解题思路；另外，注意重点问题的变式、拓展和延伸，突出复习的针对性和有效性，在解题时，注意在条件和结论中建立联系，讲求算理，就能立足基础、发展能力、决胜高考【典例精析】例1.若角α的终边落在直线0=+y x 上，求ααcos sin +的值解析：【解法一】分类讨论①角α的终边在第二象限 22cos ,22sin -==αα 则0cos sin =+αα； ②角α的终边在第二象限 22cos ,22sin =-=αα 则0cos sin =+αα. 【解法二】也可以按照课本上三角函数的定义，求出终边与单位圆的交点。

2014高考数学(理)快速提分专题1函数、基本初等函数的图象与性质

2014高考数学（理）快速提分直通车：专题1 函数、基本初等函的图象与性质1．同时满足两个条件：①定义域内是减函数；②定义域内是奇函数的函数是( )．A ．f (x )＝－x |x |B ．f (x )＝x 3C ．f (x )＝sin xD ．f (x )＝ln xx解析结合各选项知定义域内是奇函数的函数有选项A ，B ，C 中的函数，而这三个函数在定义域内是减函数的只有选项A. 答案 A2．设函数f (x )＝⎩⎨⎧x ，x ≥0，－x ，x <0，若f (a )＋f (－1)＝2，则a 等于( )．A ．－3B ．±3C ．－1D ．±1解析依题意，得f (a )＝2－f (－1)＝2－－－＝1.当a ≥0时，有 a ＝1，则a＝1；当a <0时，有－a ＝1，a ＝－1.综上所述，a ＝±1. 答案 D3．函数f (x )＝log 2|x |，g (x )＝－x 2＋2，则f (x )·g (x )的图象只可能是( )．解析因为函数f (x )，g (x )都为偶函数，所以f (x )·g (x )也为偶函数．所以图象关于y 轴对称，排除A ，D.f (x )·g (x )＝(－x 2＋2)log 2|x |，当0<x <1时，f (x )·g (x )<0，排除B ，选C. 答案 C4．已知x ，y 为正实数，则( )．A ．2lg x ＋lg y＝2lg x＋2lg yB ．2lg(x ＋y )＝2lg x·2lg yC ．2lg x ·lg y ＝2lg x ＋2lg yD ．2lg(xy )＝2lg x·2lg y解析 2lg x·2lg y＝2lg x ＋lg y＝2lg(xy )．故选D.答案 D5．已知定义在R 上的函数y ＝f (x )满足以下三个条件：①对于任意的x ∈R ，都有f (x ＋4)＝f (x )；②对于任意的x 1，x 2∈R ，且0≤x 1<x 2≤2，都有f (x 1)＜f (x 2)；③函数y ＝f (x ＋2)的图象关于y 轴对称．则下列结论中正确的是 ( )．A ．f (4.5)＜f (7)＜f (6.5)B ．f (7)＜f (4.5)＜f (6.5)C ．f (7)＜f (6.5)＜f (4.5)D ．f (4.5)＜f (6.5)＜f (7)解析由已知得f (x )是以4为周期且关于直线x ＝2对称的函数．∴f (4.5)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，f (7)＝f (4＋3)＝f (3)＝f (1)， f (6.5)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32.又f (x )在[0,2]上为增函数．故有所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32>f (1)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，f (4.5)<f (7)<f (6.5)．答案 A6．已知f (x )＝ln(1＋x )的定义域为集合M ，g (x )＝2x＋1的值域为集合N ，则M ∩N ＝________.解析由对数与指数函数的知识，得M ＝(－1，＋∞)，N ＝(1，＋∞)，故M ∩N ＝(1，＋∞)．答案 (1，＋∞)7．已知函数f (x )＝x 3＋x ，对任意的m ∈[－2,2]，f (mx －2)＋f (x )<0恒成立，则x 的取值范围是________．解析 f ′(x )＝3x 2＋1>0，∴f (x )在R 上为增函数．又f (x )为奇函数，由f (mx －2)＋f (x )<0知，f (mx －2)<f (－x )．∴mx －2<－x ，即mx ＋x －2<0，令g (m )＝mx ＋x －2，由m ∈[－2,2]知g (m )<0恒成立，可得⎩⎪⎨⎪⎧g－＝－x －2<0g ＝3x －2<0，∴－2<x <23.答案 ⎝⎛⎭⎪⎫－2，23 8．已知函数y ＝f (x )是R 上的偶函数，对∀x ∈R 都有f (x ＋4)＝f (x )＋f (2)成立．当x 1，x 2∈[0,2]，且x 1≠x 2时，都有f x 1－f x 2x 1－x 2<0，给出下列命题：①f (2)＝0；②直线x ＝－4是函数y ＝f (x )图象的一条对称轴； ③函数y ＝f (x )在[－4,4]上有四个零点； ④f (2 014)＝0.其中所有正确命题的序号为________．解析令x ＝－2，得f (－2＋4)＝f (－2)＋f (2)，解得f (－2)＝0，因为函数f (x )为偶函数，所以f (2)＝0，①正确；因为f (－4＋x )＝f (－4＋x ＋4)＝f (x )，f (－4－x )＝f (－4－x ＋4)＝f (－x )＝f (x )，所以f (－4＋x )＝f (－4－x )，即x ＝－4是函数f (x )的一条对称轴，②正确；当x 1，x 2∈[0,2]，且x 1≠x 2时，都有f x 1－f x 2x 1－x 2<0，说明函数f (x )在[0,2]上是单调递减函数，又f (2)＝0，因此函数f (x )在[0,2]上只有一个零点，由偶函数知函数f (x )在[－2,0]上也只有一个零点，由f (x ＋4)＝f (x )，知函数的周期为4，所以有函数f (x )在(2,6]与[－6，－2]上也单调且有f (6)＝f (－6)＝0，因此，函数在[－4,4]上只有2个零点，③错；对于④，因为函数的周期为4，即有f (2)＝f (6)＝f (10)＝…＝f (2 014)＝0，④正确．答案 ①②④9．已知函数f (x )＝log a (x ＋1)(a >1)，若函数y ＝g (x )的图象上任意一点P 关于原点对称的点Q 的轨迹恰好是函数f (x )的图象．(1)写出函数g (x )的解析式；(2)当x ∈[0,1)时总有f (x )＋g (x )≥m 成立，求m 的取值范围．解 (1)设P (x ，y )为g (x )图象上任意一点，则Q (－x ，－y )是点P 关于原点的对称点，因为Q (－x ，－y )在f (x )的图象上，所以－y ＝log a (－x ＋1)，即y ＝－log a (1－x )(x <1)． (2)f (x )＋g (x )≥m ，即log a 1＋x 1－x≥m .设F (x )＝log a 1＋x1－x ，x ∈[0,1)．由题意知，只要F (x )min≥m 即可．因为F (x )在[0,1)上是增函数，所以F (x )min ＝F (0)＝0. 故m 的取值范围是(－∞，0]． 10．已知二次函数f (x )＝ax2＋bx ＋1(a ＞0)，F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f x，x ＞0，－fx ，x ＜0.若f (－1)＝0，且对任意实数x 均有f (x )≥0成立． (1)求F (x )的表达式；(2)当x ∈[－2,2]时，g (x )＝f (x )－kx 是单调函数，求k 的取值范围．解 (1)∵f (－1)＝0，∴a －b ＋1＝0， ∴b ＝a ＋1，∴f (x )＝ax 2＋(a ＋1)x ＋1. ∵f (x )≥0恒成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，Δ＝a ＋2－4a ≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，a －2≤0.∴a ＝1，从而b ＝2，∴f (x )＝x 2＋2x ＋1，∴F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ＋1 x ＞，－x 2－2x －x ＜(2)由(1)知，g (x )＝x 2＋2x ＋1－kx ＝x 2＋(2－k )x ＋1. ∵g (x )在[－2,2]上是单调函数， ∴k －22≤－2或k －22≥2，解得k ≤－2或k ≥6.所以k 的取值范围是(－∞，－2]∪[6，＋∞)． 11．已知函数f (x )＝e x －e －x(x ∈R 且e 为自然对数的底数)．(1)判断函数f (x )的奇偶性与单调性；(2)是否存在实数t ，使不等式f (x －t )＋f (x 2－t 2)≥0对一切x 都成立？若存在，求出t ；若不存在，请说明理由．解 (1)∵f (x )＝e x－⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x ，且y ＝e x 是增函数，y ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x 是增函数，所以f (x )是增函数．由于f (x )的定义域为R ，且f (－x )＝e －x－e x＝－f (x )，所以f (x )是奇函数． (2)由(1)知f (x )是增函数和奇函数，∴f (x －t )＋f (x 2－t 2)≥0对一切x ∈R 恒成立 ⇔f (x 2－t 2)≥f (t －x )对一切x ∈R 恒成立⇔x 2－t 2≥t －x 对一切x ∈R 恒成立⇔t 2＋t ≤x 2＋x 对一切x ∈R 恒成立⇔⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122min 对一切x ∈R 恒成立 ⇔⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122≤0⇔t ＝－12.即存在实数t ＝－12，使不等式f (x －t )＋f (x 2－t 2)≥0对一切x 都成立．。

2014年高考数学重要知识点详细总结-高考数学

2014年高考数学重要知识点详细总结高中数学常用公式及常用结论1. 元素与集合的关系U x A x C A ∈⇔∉,U x C A x A ∈⇔∉.2.德摩根公式();()U U U U U U C A B C A C B C A B C A C B == .3.包含关系A B A A B B =⇔= U U A B C B C A ⇔⊆⇔⊆U A C B ⇔=ΦU C A B R ⇔= 64.容斥原理()()card A B cardA cardB card A B =+-()()card A B C cardA cardB cardC card A B =++- ()()()()card A B card B C card C A card A B C ---+ .5．集合12{,,,}n a a a 的子集个数共有2n 个；真子集有2n –1个；非空子集有2n –1个；非空的真子集有2n–2个.6.二次函数的解析式的三种形式(1)一般式2()(0)f x ax bx c a =++≠; (2)顶点式2()()(0)f x a x h k a =-+≠; (3)零点式12()()()(0)f x a x x x x a =--≠. 7.解连不等式()N f x M <<常有以下转化形式()N f x M <<⇔[()][()]0f x M f x N --<⇔|()|22M N M Nf x +--<⇔()0()f x N M f x ->- ⇔11()f x N M N>--. 8.方程0)(=x f 在),(21k k 上有且只有一个实根,与0)()(21<k f k f 不等价,前者是后者的一个必要而不是充分条件.特别地, 方程)0(02≠=++a c bx ax 有且只有一个实根在),(21k k 内,等价于0)()(21<k f k f ,或0)(1=k f 且22211k k a b k +<-<,或0)(2=k f 且22122k abk k <-<+. 9.闭区间上的二次函数的最值二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 在闭区间[]q p ,上的最值只能在abx 2-=处及区间的两端点处取得，具体如下：(1)当a>0时，若[]q p a bx ,2∈-=，则{}min max max ()(),()(),()2b f x f f x f p f q a=-=；[]q p abx ,2∉-=，{}max max ()(),()f x f p f q =，{}min min ()(),()f x f p f q =. (2)当a<0时，若[]q p abx ,2∈-=，则{}min ()min (),()f x f p f q =，若[]q p abx ,2∉-=，则{}max ()max (),()f x f p f q =，{}min ()min (),()f x f p f q =.10.一元二次方程的实根分布依据：若()()0f m f n <，则方程0)(=x f 在区间(,)m n 内至少有一个实根 . 设q px x x f ++=2)(，则（1）方程0)(=x f 在区间),(+∞m 内有根的充要条件为0)(=m f 或2402p q p m ⎧-≥⎪⎨->⎪⎩；（2）方程0)(=x f 在区间(,)m n 内有根的充要条件为()()0f m f n <或2()0()0402f m f n p q p m n >⎧⎪>⎪⎪⎨-≥⎪⎪<-<⎪⎩或()0()0f m af n =⎧⎨>⎩或()0()0f n af m =⎧⎨>⎩；（3）方程0)(=x f 在区间(,)n -∞内有根的充要条件为()0f m <或2402p q p m ⎧-≥⎪⎨-<⎪⎩ .11.定区间上含参数的二次不等式恒成立的条件依据(1)在给定区间),(+∞-∞的子区间L （形如[]βα,，(]β,∞-，[)+∞,α不同）上含参数的二次不等式(,)0f x t ≥(t 为参数)恒成立的充要条件是min (,)0()f x t x L ≥∉.(2)在给定区间),(+∞-∞的子区间上含参数的二次不等式(,)0f x t ≥(t 为参数)恒成立的充要条件是(,)0()man f x t x L ≤∉.(3)0)(24>++=c bx ax x f 恒成立的充要条件是000a b c ≥⎧⎪≥⎨⎪>⎩或2040a b ac <⎧⎨-<⎩.12.13.14.四种命题的相互关系15.充要条件（1）充分条件：若p q ⇒，则p 是q 充分条件.（2）必要条件：若q p ⇒，则p 是q 必要条件.（3）充要条件：若p q ⇒，且q p ⇒，则p 是q 充要条件. 注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然. 16.函数的单调性(1)设[]2121,,x x b a x x ≠∈⋅那么[]1212()()()0x x f x f x -->⇔[]b a x f x x x f x f ,)(0)()(2121在⇔>--上是增函数；[]1212()()()0x x f x f x --<⇔[]b a x f x x x f x f ,)(0)()(2121在⇔<--上是减函数.(2)设函数)(x f y =在某个区间内可导，如果0)(>'x f ，则)(x f 为增函数；如果0)(<'x f ，则)(x f 为减函数.17.如果函数)(x f 和)(x g 都是减函数,则在公共定义域内,和函数)()(x g x f +也是减函数; 如果函数)(u f y =和)(x g u =在其对应的定义域上都是减函数,则复合函数)]([x g f y =是增函数.18．奇偶函数的图象特征奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称;反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y 轴对称，那么这个函数是偶函数．19.若函数)(x f y =是偶函数，则)()(a x f a x f --=+；若函数)(a x f y +=是偶函数，则)()(a x f a x f +-=+.20.对于函数)(x f y =(R x ∈),)()(x b f a x f -=+恒成立,则函数)(x f 的对称轴是函数2b a x +=;两个函数)(a x f y +=与)(x b f y -= 的图象关于直线2ba x +=对称. 21.若)()(a x f x f +--=,则函数)(x f y =的图象关于点)0,2(a对称; 若)()(a x f x f +-=,则函数)(x f y =为周期为a 2的周期函数.22．多项式函数110()n n n n P x a x a x a --=+++ 的奇偶性多项式函数()P x 是奇函数⇔()P x 的偶次项(即奇数项)的系数全为零. 多项式函数()P x 是偶函数⇔()P x 的奇次项(即偶数项)的系数全为零. 23.函数()y f x =的图象的对称性(1)函数()y f x =的图象关于直线x a =对称()()f a x f a x ⇔+=- (2)()f a x f x ⇔-=.(2)函数()y f x =的图象关于直线2a bx +=对称()()f a mx f b mx ⇔+=-()()f a b mx f mx ⇔+-=.24.两个函数图象的对称性(1)函数()y f x =与函数()y f x =-的图象关于直线0x =(即y 轴)对称. (2)函数()y f mx a =-与函数()y f b mx =-的图象关于直线2a bx m+=对称. (3)函数)(x f y =和)(1x fy -=的图象关于直线y=x 对称.25.若将函数)(x f y =的图象右移a 、上移b 个单位，得到函数b a x f y +-=)(的图象；若将曲线0),(=y x f 的图象右移a 、上移b 个单位，得到曲线0),(=--b y a x f 的图象.26．互为反函数的两个函数的关系a b f b a f =⇔=-)()(1.27.若函数)(b kx f y +=存在反函数,则其反函数为])([11b x f ky -=-,并不是)([1b kx fy +=-,而函数)([1b kx fy +=-是])([1b x f ky -=的反函数.28.几个常见的函数方程(1)正比例函数()f x cx =,()()(),(1)f x y f x f y f c +=+=.(2)指数函数()xf x a =,()()(),(1)0f x y f x f y f a +==≠.(3)对数函数()log a f x x =,()()(),()1(0,1)f xy f x f y f a a a =+=>≠. (4)幂函数()f x x α=,'()()(),(1)f xy f x f y f α==.(5)余弦函数()cos f x x =,正弦函数()sin g x x =，()()()()()f x y f x f y g x g y -=+，()(0)1,lim1x g x f x→==. 29.几个函数方程的周期(约定a>0)（1）)()(a x f x f +=，则)(x f 的周期T=a ；（2）0)()(=+=a x f x f ，或)0)(()(1)(≠=+x f x f a x f ，或1()()f x a f x +=-(()0)f x ≠,或[]1(),(()0,1)2f x a f x +=+∈,则)(x f 的周期T=2a ； (3))0)(()(11)(≠+-=x f a x f x f ，则)(x f 的周期T=3a ；(4))()(1)()()(212121x f x f x f x f x x f -+=+且1212()1(()()1,0||2)f a f x f x x x a =⋅≠<-<，则)(x f 的周期T=4a ；(5)()()(2)(3)(4)f x f x a f x a f x a f x a +++++++()()(2)(3)(4)f x f x a f x a f x a f x a =++++,则)(x f 的周期T=5a ； (6))()()(a x f x f a x f +-=+，则)(x f 的周期T=6a.30.分数指数幂(1)m na =0,,a m n N *>∈，且1n >）. (2)1m nm naa-=（0,,a m n N *>∈，且1n >）.31．根式的性质（1）na =.（2）当na =；当n,0||,0a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩.32．有理指数幂的运算性质 (1) (0,,)rsr sa a aa r s Q +⋅=>∈.(2) ()(0,,)r s rs a a a r s Q =>∈. (3)()(0,0,)rr rab a b a b r Q =>>∈.注：若a ＞0，p 是一个无理数，则a p 表示一个确定的实数．上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用.33.指数式与对数式的互化式log b a N b a N =⇔=(0,1,0)a a N >≠>.34.对数的换底公式log log log m a m NN a=(0a >,且1a ≠,0m >,且1m ≠, 0N >).推论 log log m n a a nb b m =(0a >,且1a >,,0m n >,且1m ≠,1n ≠, 0N >).35．对数的四则运算法则若a ＞0，a ≠1，M ＞0，N ＞0，则 (1)log ()log log a a a MN M N =+;(2) log log log aa a MM N N =-; (3)log log ()na a M n M n R =∈.36.设函数)0)((log )(2≠++=a c bx ax x f m ,记ac b 42-=∆.若)(x f 的定义域为R ,则0>a ，且0<∆;若)(x f 的值域为R ,则0>a ，且0≥∆.对于0=a 的情形,需要单独检验.37. 对数换底不等式及其推广若0a >,0b >,0x >,1x a ≠,则函数log ()axy bx =(1)当a b >时,在1(0,)a 和1(,)a +∞上log ()ax y bx =为增函数. ， (2)当a b <时,在1(0,)a 和1(,)a+∞上log ()ax y bx =为减函数.推论:设1n m >>，0p >，0a >，且1a ≠，则（1）log ()log m p m n p n ++<. （2）2log log log 2a a am nm n +<. 38. 平均增长率的问题如果原来产值的基础数为N ，平均增长率为p ，则对于时间x 的总产值y ，有(1)x y N p =+.39.数列的同项公式与前n 项的和的关系11,1,2n n n s n a s s n -=⎧=⎨-≥⎩( 数列{}n a 的前n 项的和为12n n s a a a =+++ ).40.等差数列的通项公式*11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈；其前n 项和公式为1()2n n n a a s +=1(1)2n n na d -=+ 211()22d n a d n =+-. 41.等比数列的通项公式1*11()n nn a a a q q n N q-==⋅∈；其前n 项的和公式为11(1),11,1n n a q q s q na q ⎧-≠⎪=-⎨⎪=⎩或11,11,1n n a a qq q s na q -⎧≠⎪-=⎨⎪=⎩. 42.等比差数列{}n a :11,(0)n n a qa d a b q +=+=≠的通项公式为1(1),1(),11n n n b n d q a bq d b q d q q -+-=⎧⎪=+--⎨≠⎪-⎩；其前n 项和公式为(1),(1)1(),(1)111n n nb n n d q s d q db n q q q q +-=⎧⎪=-⎨-+≠⎪---⎩. 43.分期付款(按揭贷款)每次还款(1)(1)1nn ab b x b +=+-元(贷款a 元,n 次还清,每期利率为b ).44．常见三角不等式（1）若(0,)2x π∈，则sin tan x x x <<.(2) 若(0,)2x π∈，则1sin cos x x <+≤(3) |sin ||cos |1x x +≥.45.同角三角函数的基本关系式22sin cos 1θθ+=，tan θ=θθcos sin ，tan 1cot θθ⋅=. 46.正弦、余弦的诱导公式（奇变偶不变，符号看象限）212(1)sin ,sin()2(1)s ,nn n co απαα-⎧-⎪+=⎨⎪-⎩212(1)s ,s()2(1)sin ,n n co n co απαα+⎧-⎪+=⎨⎪-⎩47.和角与差角公式sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=±;cos()cos cos sin sin αβαβαβ±= ;tan tan tan()1tan tan αβαβαβ±±=. 22sin()sin()sin sin αβαβαβ+-=-(平方正弦公式); 22cos()cos()cos sin αβαβαβ+-=-.sin cos a b αα+=)αϕ+(辅助角ϕ所在象限由点(,)a b 的象限决定,tan baϕ= ).48.二倍角公式sin 2sin cos ααα=.2222cos2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-.22tan tan 21tan ααα=-. 49. 三倍角公式3sin 33sin 4sin 4sin sin()sin()33ππθθθθθθ=-=-+.3cos34cos 3cos 4cos cos()cos()33ππθθθθθθ=-=-+.323tan tan tan 3tan tan()tan()13tan 33θθππθθθθθ-==-+-. 50.三角函数的周期公式函数sin()y x ωϕ=+，x ∈R 及函数cos()y x ωϕ=+，x ∈R(A,ω,ϕ为常数，且A ≠0，ω＞0)的周期2T πω=；函数tan()y x ωϕ=+，,2x k k Z ππ≠+∈(A,ω,ϕ为常数，且A ≠0，ω＞0)的周期T πω=.51.正弦定理2sin sin sin a b cR A B C===. 52.余弦定理2222cos a b c bc A =+-; 2222cos b c a ca B =+-; 2222cos c a b ab C =+-.53.面积定理（1）111222a b c S ah bh ch ===（a b c h h h 、、分别表示a 、b 、c 边上的高）. （2）111sin sin sin 222S ab C bc A ca B ===.(3)OAB S ∆=54.三角形内角和定理在△ABC 中，有()A B C C A B ππ++=⇔=-+222C A Bπ+⇔=-222()C A B π⇔=-+. 55. 简单的三角方程的通解sin (1)arcsin (,||1)kx a x k a k Z a π=⇔=+-∈≤. s 2arccos (,||1)co x a x k a k Z a π=⇔=±∈≤.tan arctan (,)x a x k a k Z a R π=⇒=+∈∈.特别地,有sin sin (1)()k k k Z αβαπβ=⇔=+-∈.s cos 2()co k k Z αβαπβ=⇔=±∈.tan tan ()k k Z αβαπβ=⇒=+∈.56.最简单的三角不等式及其解集sin (||1)(2arcsin ,2arcsin ),x a a x k a k a k Z πππ>≤⇔∈++-∈.sin (||1)(2arcsin ,2arcsin ),x a a x k a k a k Z πππ<≤⇔∈--+∈. cos (||1)(2arccos ,2arccos ),x a a x k a k a k Z ππ>≤⇔∈-+∈.cos (||1)(2arccos ,22arccos ),x a a x k a k a k Z πππ<≤⇔∈++-∈.tan ()(arctan ,),2x a a R x k a k k Z πππ>∈⇒∈++∈.tan ()(,arctan ),2x a a R x k k a k Z πππ<∈⇒∈-+∈.57.实数与向量的积的运算律设λ、μ为实数，那么(1) 结合律：λ(μa)=(λμ)a;(2)第一分配律：(λ+μ)a=λa+μa; (3)第二分配律：λ(a+b)=λa+λb. 58.向量的数量积的运算律： (1) a 〃b= b 〃a （交换律）; (2)（λa ）〃b= λ（a 〃b ）=λa 〃b= a 〃（λb ）; (3)（a +b ）〃c= a 〃c +b 〃c. 59.平面向量基本定理如果e 1、e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1、λ2，使得a=λ1e 1+λ2e 2．不共线的向量e 1、e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 60．向量平行的坐标表示设a=11(,)x y ,b=22(,)x y ，且b ≠0，则a b(b ≠0)12210x y x y ⇔-=. 53. a 与b 的数量积(或内积) a 〃b=|a ||b|cos θ． 61. a 〃b 的几何意义数量积a 〃b 等于a 的长度|a|与b 在a 的方向上的投影|b|cos θ的乘积． 62.平面向量的坐标运算(1)设a=11(,)x y ,b=22(,)x y ，则a+b=1212(,)x x y y ++. (2)设a=11(,)x y ,b=22(,)x y ，则a-b=1212(,)x x y y --.(3)设A 11(,)x y ，B 22(,)x y ,则2121(,)AB OB OA x x y y =-=--.(4)设a=(,),x y R λ∈，则λa=(,)x y λλ.(5)设a=11(,)x y ,b=22(,)x y ，则a 〃b=1212()x x y y +. 63.两向量的夹角公式cos θ=(a =11(,)x y ,b=22(,)x y ).64.平面两点间的距离公式,A B d=||AB ==(A 11(,)x y ，B 22(,)x y ).65.向量的平行与垂直设a=11(,)x y ,b=22(,)x y ，且b ≠0，则 A||b ⇔b=λa 12210x y x y ⇔-=. a ⊥b(a ≠0)⇔a 〃b=012120x x y y ⇔+=. 66.线段的定比分公式设111(,)P x y ，222(,)P x y ，(,)P x y 是线段12P P 的分点,λ是实数，且12PPPP λ=，则 121211x x x y y y λλλλ+⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩⇔121OP OP OP λλ+=+ ⇔12(1)OP tOP t OP =+- （11t λ=+）. 67.三角形的重心坐标公式△ABC 三个顶点的坐标分别为11A(x ,y )、22B(x ,y )、33C(x ,y ),则△ABC 的重心的坐标是123123(,)33x x x y y y G ++++. 68.点的平移公式''''x x h x x h y y k y y k⎧⎧=+=-⎪⎪⇔⎨⎨=+=-⎪⎪⎩⎩''OP OP PP ⇔=+ . 注:图形F 上的任意一点P(x ，y)在平移后图形'F 上的对应点为'''(,)P x y ，且'PP的坐标为(,)h k .69.“按向量平移”的几个结论（1）点(,)P x y 按向量a=(,)h k 平移后得到点'(,)P x h y k ++.(2) 函数()y f x =的图象C 按向量a=(,)h k 平移后得到图象'C ,则'C 的函数解析式为()y f x h k =-+.(3) 图象'C 按向量a=(,)h k 平移后得到图象C ,若C 的解析式()y f x =,则'C 的函数解析式为()y f x h k =+-.(4)曲线C :(,)0f x y =按向量a=(,)h k 平移后得到图象'C ,则'C 的方程为(,)0f x h y k --=.(5) 向量m=(,)x y 按向量a=(,)h k 平移后得到的向量仍然为m=(,)x y .70. 三角形五“心”向量形式的充要条件设O 为ABC ∆所在平面上一点，角,,A B C 所对边长分别为,,a b c ，则（1）O 为ABC ∆的外心222OA OB OC ⇔== .（2）O 为ABC ∆的重心0OA OB OC ⇔++=.（3）O 为ABC ∆的垂心OA OB OB OC OC OA ⇔⋅=⋅=⋅.（4）O 为ABC ∆的内心0aOA bOB cOC ⇔++=.（5）O 为ABC ∆的A ∠的旁心aOA bOB cOC ⇔=+.71.常用不等式：（1）,a b R ∈⇒222a b ab +≥(当且仅当a ＝b 时取“=”号)．（2）,a b R +∈⇒2a b+≥(当且仅当a ＝b 时取“=”号)．（3）3333(0,0,0).a b c abc a b c ++≥>>>（4）柯西不等式22222()()(),,,,.a b c d ac bd a b c d R ++≥+∈（5）b a b a b a +≤+≤-. 72.极值定理已知y x ,都是正数，则有（1）若积xy 是定值p ，则当y x =时和y x +有最小值p 2；（2）若和y x +是定值s ，则当y x =时积xy 有最大值241s . 推广已知R y x ∈,，则有xy y x y x 2)()(22+-=+（1）若积xy 是定值,则当||y x -最大时,||y x +最大；当||y x -最小时,||y x +最小.（2）若和||y x +是定值,则当||y x -最大时, ||xy 最小；当||y x -最小时, ||xy 最大.73.一元二次不等式20(0)ax bx c ++><或2(0,40)a b ac ≠∆=->，如果a 与2ax bx c ++同号，则其解集在两根之外；如果a 与2ax bx c ++异号，则其解集在两根之间.简言之：同号两根之外，异号两根之间.121212()()0()x x x x x x x x x <<⇔--<<； 121212,()()0()x x x x x x x x x x <>⇔--><或.74.含有绝对值的不等式当a> 0时，有22x a x a a x a <⇔<⇔-<<.22x a x a x a >⇔>⇔>或x a <-.75.无理不等式（1()0()0()()f x g x f x g x ≥⎧⎪>⇔≥⎨⎪>⎩.（22()0()0()()0()0()[()]f x f x g x g x g x f x g x ≥⎧≥⎧⎪>⇔≥⎨⎨<⎩⎪>⎩或.（32()0()()0()[()]f x g x g x f x g x ≥⎧⎪<⇔>⎨⎪<⎩.76.指数不等式与对数不等式 (1)当1a >时,()()()()f x g x a a f x g x >⇔>;()0log ()log ()()0()()a a f x f x g x g x f x g x >⎧⎪>⇔>⎨⎪>⎩.(2)当01a <<时,()()()()f x g x a a f x g x >⇔<;()0log ()log ()()0()()a a f x f x g x g x f x g x >⎧⎪>⇔>⎨⎪<⎩77.斜率公式2121y y k x x -=-（111(,)P x y 、222(,)P x y ）.78.直线的五种方程（1）点斜式 11()y y k x x -=- (直线l 过点111(,)P x y ，且斜率为k )．（2）斜截式 y kx b =+(b 为直线l 在y 轴上的截距).（3）两点式112121y y x x y y x x --=--(12y y ≠)(111(,)P x y 、222(,)P x y (12x x ≠)).(4)截距式 1x ya b+=(a b 、分别为直线的横、纵截距，0a b ≠、)（5）一般式 0Ax By C ++=(其中A 、B 不同时为0).79.两条直线的平行和垂直(1)若111:l y k x b =+，222:l y k x b =+ ①121212||,l l k k b b ⇔=≠; ②12121l l k k ⊥⇔=-.(2)若1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,且A 1、A 2、B 1、B 2都不为零,①11112222||A B C l l A B C ⇔=≠； ②1212120l l A A B B ⊥⇔+=；80.夹角公式(1)2121tan ||1k k k k α-=+.(111:l y k x b =+，222:l y k x b =+,121k k ≠-)(2)12211212tan ||A B A B A A B B α-=+.(1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,12120A A B B +≠).直线12l l ⊥时，直线l 1与l 2的夹角是2π. 81. 1l 到2l 的角公式(1)2121tan 1k k k k α-=+.(111:l y k x b =+，222:l y k x b =+,121k k ≠-)(2)12211212tan A B A B A A B B α-=+.(1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,12120A A B B +≠).直线12l l ⊥时，直线l 1到l 2的角是2π. 82．四种常用直线系方程(1)定点直线系方程：经过定点000(,)P x y 的直线系方程为00()y y k x x -=-(除直线0x x =),其中k 是待定的系数; 经过定点000(,)P x y 的直线系方程为00()()0A x x B y y -+-=,其中,A B 是待定的系数．(2)共点直线系方程：经过两直线1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=的交点的直线系方程为111222()()0A x B y C A x B y C λ+++++=(除2l )，其中λ是待定的系数．(3)平行直线系方程：直线y kx b =+中当斜率k 一定而b 变动时，表示平行直线系方程．与直线0Ax By C ++=平行的直线系方程是0Ax By λ++=(0λ≠)，λ是参变量．(4)垂直直线系方程：与直线0Ax By C ++= (A ≠0，B ≠0)垂直的直线系方程是0Bx Ay λ-+=,λ是参变量．83.点到直线的距离d =(点00(,)P x y ,直线l ：0Ax By C ++=).84. 或0<所表示的平面区域设直线:0l Ax By C ++=，则0Ax By C ++>或0<所表示的平面区域是：若0B ≠，当B 与Ax By C ++同号时，表示直线l 的上方的区域；当B 与Ax By C ++异号时，表示直线l 的下方的区域.简言之,同号在上,异号在下.若0B =，当A 与Ax By C ++同号时，表示直线l 的右方的区域；当A 与Ax By C ++异号时，表示直线l 的左方的区域. 简言之,同号在右,异号在左.85. 111222()()0A x B y C A x B y C ++++>或0<所表示的平面区域设曲线111222:()()0C A x B y C A x B y C ++++=（12120A A B B ≠），则111222()()0A x B y C A x B y C ++++>或0<所表示的平面区域是： 111222()()0A x B y C A x B y C ++++>所表示的平面区域上下两部分； 111222()()0A x B y C A x B y C ++++<所表示的平面区域上下两部分.86. 圆的四种方程（1）圆的标准方程 222()()x a y b r -+-=.（2）圆的一般方程 220x y Dx Ey F ++++=(224D E F +-＞0). （3）圆的参数方程 cos sin x a r y b r θθ=+⎧⎨=+⎩.（4）圆的直径式方程 1212()()()()0x x x x y y y y --+--=(圆的直径的端点是11(,)A x y 、22(,)B x y ).87. 圆系方程(1)过点11(,)A x y ,22(,)B x y 的圆系方程是1212112112()()()()[()()()()]0x x x x y y y y x x y y y y x x λ--+--+-----= 1212()()()()()0x x x x y y y y ax by c λ⇔--+--+++=,其中0ax by c ++=是直线AB的方程,λ是待定的系数．(2)过直线l :0Ax By C ++=与圆C :220x y Dx Ey F ++++=的交点的圆系方程是22()0x y Dx Ey F Ax By C λ+++++++=,λ是待定的系数．(3) 过圆1C :221110x y D x E y F ++++=与圆2C :222220x y D x E y F ++++=的交点的圆系方程是2222111222()0x y D x E y F x y D x E y F λ+++++++++=,λ是待定的系数．88.点与圆的位置关系点00(,)P x y 与圆222)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种若d =d r >⇔点P 在圆外;d r =⇔点P 在圆上;d r <⇔点P 在圆内.89.直线与圆的位置关系直线0=++C By Ax 与圆222)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种:0<∆⇔⇔>相离r d ; 0=∆⇔⇔=相切r d ; 0>∆⇔⇔<相交r d .其中22BA CBb Aa d +++=.90.两圆位置关系的判定方法设两圆圆心分别为O 1，O 2，半径分别为r 1，r 2，d O O =21条公切线外离421⇔⇔+>r r d ; 条公切线外切321⇔⇔+=r r d ;条公切线相交22121⇔⇔+<<-r r d r r ; 条公切线内切121⇔⇔-=r r d ; 无公切线内含⇔⇔-<<210r r d .91.圆的切线方程(1)已知圆220x y Dx Ey F ++++=．①若已知切点00(,)x y 在圆上，则切线只有一条，其方程是 0000()()022D x xE y y x x y yF ++++++=.当00(,)x y 圆外时, 0000()()022D x xE y y x x y yF ++++++=表示过两个切点的切点弦方程．②过圆外一点的切线方程可设为00()y y k x x -=-，再利用相切条件求k ，这时必有两条切线，注意不要漏掉平行于y 轴的切线．③斜率为k 的切线方程可设为y kx b =+，再利用相切条件求b ，必有两条切线．(2)已知圆222x y r +=．①过圆上的000(,)P x y 点的切线方程为200x x y y r +=;②斜率为k 的圆的切线方程为y kx =±92.椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的参数方程是cos sin x a y b θθ=⎧⎨=⎩.93.椭圆22221(0)x y a b a b+=>>焦半径公式)(21c a x e PF +=，)(22x ca e PF -=.94．椭圆的的内外部（1）点00(,)P x y 在椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的内部2200221x y a b ⇔+<. （2）点00(,)P x y 在椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的外部2200221x y a b⇔+>. 95. 椭圆的切线方程(1)椭圆22221(0)x y a b a b +=>>上一点00(,)P x y 处的切线方程是00221x x y y a b+=.（2）过椭圆22221(0)x y a b a b+=>>外一点00(,)P x y 所引两条切线的切点弦方程是00221x x y ya b+=. （3）椭圆22221(0)x y a b a b+=>>与直线0Ax By C ++=相切的条件是22222A a B b c +=.96.双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的焦半径公式21|()|a PF e x c =+，22|()|a PF e x c=-.97.双曲线的内外部(1)点00(,)P x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的内部2200221x y a b ⇔->. (2)点00(,)P x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的外部2200221x y a b ⇔-<. 98.双曲线的方程与渐近线方程的关系(1）若双曲线方程为12222=-b y a x ⇒渐近线方程：22220x y a b -=⇔x aby ±=.(2)若渐近线方程为x aby ±=⇔0=±b y a x ⇒双曲线可设为λ=-2222b y a x .(3)若双曲线与12222=-b y a x 有公共渐近线，可设为λ=-2222by a x （0>λ，焦点在x轴上，0<λ，焦点在y 轴上）.99. 双曲线的切线方程(1)双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>上一点00(,)P x y 处的切线方程是00221x x y y a b-=.（2）过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>外一点00(,)P x y 所引两条切线的切点弦方程是00221x x y ya b-=. （3）双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>与直线0Ax By C ++=相切的条件是22222A a B b c -=.100. 抛物线px y 22=的焦半径公式抛物线22(0)y px p =>焦半径02p CF x =+.过焦点弦长p x x px p x CD ++=+++=212122.101.抛物线px y 22=上的动点可设为P ),2(2 y py 或或)2,2(2pt pt P P (,)x y ，其中 22y px = .102.二次函数2224()24b ac b y ax bx c a x a a-=++=++(0)a ≠的图象是抛物线：（1）顶点坐标为24(,)24b ac b a a --；（2）焦点的坐标为241(,)24b ac b a a-+-；（3）准线方程是2414ac b y a--=.103.抛物线的内外部(1)点00(,)P x y 在抛物线22(0)y px p =>的内部22(0)y px p ⇔<>. 点00(,)P x y 在抛物线22(0)y px p =>的外部22(0)y px p ⇔>>. (2)点00(,)P x y 在抛物线22(0)y px p =->的内部22(0)y px p ⇔<->. 点00(,)P x y 在抛物线22(0)y px p =->的外部22(0)y px p ⇔>->. (3)点00(,)P x y 在抛物线22(0)x py p =>的内部22(0)x py p ⇔<>. 点00(,)P x y 在抛物线22(0)x py p =>的外部22(0)x py p ⇔>>. (4) 点00(,)P x y 在抛物线22(0)x py p =>的内部22(0)x py p ⇔<>. 点00(,)P x y 在抛物线22(0)x py p =->的外部22(0)x py p ⇔>->.104. 抛物线的切线方程(1)抛物线px y 22=上一点00(,)P x y 处的切线方程是00()y y p x x =+.（2）过抛物线px y 22=外一点00(,)P x y 所引两条切线的切点弦方程是00()y y p x x =+.（3）抛物线22(0)y px p =>与直线0Ax By C ++=相切的条件是22pB AC =.105.两个常见的曲线系方程(1)过曲线1(,)0f x y =,2(,)0f x y =的交点的曲线系方程是12(,)(,)0f x y f x y λ+=(λ为参数).(2)共焦点的有心圆锥曲线系方程22221x y a k b k+=--,其中22max{,}k a b <.当22min{,}k a b >时,表示椭圆; 当2222min{,}max{,}a b k a b <<时,表示双曲线.106.直线与圆锥曲线相交的弦长公式 AB =1212|||AB x x y y ==-=-（弦端点A ),(),,(2211y xB y x ，由方程⎩⎨⎧=+=0)y ,x (F b kx y 消去y 得到02=++c bx ax ，0∆>,α为直线AB 的倾斜角，k 为直线的斜率）.107.圆锥曲线的两类对称问题（1）曲线(,)0F x y =关于点00(,)P x y 成中心对称的曲线是00(2-,2)0F x x y y -=. （2）曲线(,)0F x y =关于直线0Ax By C ++=成轴对称的曲线是22222()2()(,)0A Ax By C B Ax By C F x y A B A B ++++--=++.108.“四线”一方程对于一般的二次曲线220Ax Bxy Cy Dx Ey F +++++=，用0x x 代2x ，用0y y 代2y ，用002x y xy +代xy ，用02x x +代x ，用02y y +代y 即得方程0000000222x y xy x x y yAx x B Cy y D E F ++++⋅++⋅+⋅+=，曲线的切线，切点弦，中点弦，弦中点方程均是此方程得到.109．证明直线与直线的平行的思考途径（1）转化为判定共面二直线无交点；（2）转化为二直线同与第三条直线平行；（3）转化为线面平行；（4）转化为线面垂直；（5）转化为面面平行.110．证明直线与平面的平行的思考途径（1）转化为直线与平面无公共点；（2）转化为线线平行；（3）转化为面面平行.111．证明平面与平面平行的思考途径（1）转化为判定二平面无公共点；（2）转化为线面平行；（3）转化为线面垂直.112．证明直线与直线的垂直的思考途径（1）转化为相交垂直；（2）转化为线面垂直；（3）转化为线与另一线的射影垂直；（4）转化为线与形成射影的斜线垂直. 113．证明直线与平面垂直的思考途径（1）转化为该直线与平面内任一直线垂直；（2）转化为该直线与平面内相交二直线垂直；（3）转化为该直线与平面的一条垂线平行；（4）转化为该直线垂直于另一个平行平面；（5）转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直. 114．证明平面与平面的垂直的思考途径（1）转化为判断二面角是直二面角；（2）转化为线面垂直.115.空间向量的加法与数乘向量运算的运算律 (1)加法交换律：a ＋b=b ＋a ．(2)加法结合律：(a ＋b)＋c=a ＋(b ＋c)． (3)数乘分配律：λ(a ＋b)=λa ＋λb ．116.平面向量加法的平行四边形法则向空间的推广始点相同且不在同一个平面内的三个向量之和，等于以这三个向量为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所表示的向量.117.共线向量定理对空间任意两个向量a 、b(b ≠0 )，a ∥b ⇔存在实数λ使a=λb ．P A B 、、三点共线⇔||AP AB ⇔AP t AB = ⇔(1)OP t OA tOB =-+.||AB CD ⇔AB 、CD共线且AB CD 、不共线⇔AB tCD = 且AB CD 、不共线.118.共面向量定理向量p 与两个不共线的向量a 、b 共面的⇔存在实数对,x y ,使p ax by =+．推论空间一点P 位于平面MAB 内的⇔存在有序实数对,x y ,使MP xMA yMB =+ ，或对空间任一定点O ，有序实数对,x y ，使OP OM xMA yMB =++.119.对空间任一点O 和不共线的三点A 、B 、C ，满足OP xOA yOB zOC =++（x y z k ++=），则当1k =时，对于空间任一点O ，总有P 、A 、B 、C 四点共面；当1k ≠时，若O ∈平面ABC ，则P 、A 、B 、C 四点共面；若O ∉平面ABC ，则P 、A 、B 、C 四点不共面．C A B 、、、D 四点共面⇔AD 与AB 、AC共面⇔AD xAB y AC =+ ⇔ (1)OD x y OA xOB yOC =--++（O ∉平面ABC ）.120.空间向量基本定理如果三个向量a 、b 、c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在一个唯一的有序实数组x ，y ，z ，使p ＝xa ＋yb ＋zc ．推论设O 、A 、B 、C 是不共面的四点，则对空间任一点P ，都存在唯一的三个有序实数x ，y ，z ，使OP xOA yOB zOC =++.121.射影公式已知向量AB=a 和轴l ，e 是l 上与l 同方向的单位向量.作A 点在l 上的射影'A ，作B 点在l 上的射影'B ，则''||cos A B AB = 〈a ，e 〉=a 〃e122.向量的直角坐标运算设a ＝123(,,)a a a ，b ＝123(,,)b b b 则 (1)a ＋b ＝112233(,,)a b a b a b +++； (2)a －b ＝112233(,,)a b a b a b ---； (3)λa ＝123(,,)a a a λλλ (λ∈R)； (4)a 〃b ＝112233a b a b a b ++；123.设A 111(,,)x y z ，B 222(,,)x y z ，则 AB OB OA =-= 212121(,,)x x y y z z ---.124．空间的线线平行或垂直设111(,,)a x y z =r ，222(,,)b x y z =r，则a b r r P ⇔(0)a b b λ=≠r r r r ⇔121212x x y y z zλλλ=⎧⎪=⎨⎪=⎩；a b ⊥r r ⇔0a b ⋅=r r⇔1212120x x y y z z ++=.125.夹角公式设a ＝123(,,)a a a ，b ＝123(,,)b b b ，则 cos 〈a ，b 〉.推论 2222222112233123123()()()a b a b a b a a a b b b ++≤++++，此即三维柯西不等式. 126. 四面体的对棱所成的角四面体ABCD 中, AC 与BD 所成的角为θ,则2222|()()|cos 2AB CD BC DA AC BDθ+-+=⋅.127．异面直线所成角cos |cos ,|a b θ=r r=||||||a b a b ⋅=⋅r rr r（其中θ（090θ<≤o o）为异面直线a b ,所成角，,a b r 分别表示异面直线a b ,的方向向量）128.直线AB 与平面所成角sin ||||AB m arc AB m β⋅=(m为平面α的法向量). 129.若ABC ∆所在平面若β与过若AB 的平面α成的角θ,另两边AC ,BC 与平面α成的角分别是1θ、2θ,A B 、为ABC ∆的两个内角，则2222212sin sin (sin sin )sin A B θθθ+=+.特别地,当90ACB ∠=时,有22212sin sin sin θθθ+=.130.若ABC ∆所在平面若β与过若AB 的平面α成的角θ,另两边AC ,BC 与平面α成的角分别是1θ、2θ,''A B 、为ABO ∆的两个内角，则222'2'212tan tan (sin sin )tan A B θθθ+=+.特别地,当90AOB ∠=时,有22212sin sin sin θθθ+=.131.二面角l αβ--的平面角cos ||||m n arc m n θ⋅= 或cos ||||m narc m n π⋅-（m ，n 为平面α，β的法向量）.132.三余弦定理设AC 是α内的任一条直线，且BC ⊥AC ，垂足为C ，又设AO 与AB 所成的角为1θ，AB 与AC 所成的角为2θ，AO 与AC 所成的角为θ．则12cos cos cos θθθ=.133. 三射线定理若夹在平面角为ϕ的二面角间的线段与二面角的两个半平面所成的角是1θ,2θ,与二面角的棱所成的角是θ，则有22221212sin sin sin sin 2sin sin cos ϕθθθθθϕ=+- ;1212||180()θθϕθθ-≤≤-+ (当且仅当90θ= 时等号成立).134.空间两点间的距离公式若A 111(,,)x y z ，B 222(,,)x y z ，则,A B d =||AB = =135.点Q 到直线l 距离h =(点P 在直线l 上，直线l 的方向向量a=PA ，向量b=PQ ). 136.异面直线间的距离||||CD n d n ⋅=(12,l l 是两异面直线，其公垂向量为n ，C D 、分别是12,l l 上任一点，d 为12,l l 间的距离).137.点B 到平面α的距离||||AB n d n ⋅= （n 为平面α的法向量，AB 是经过面α的一条斜线，A α∈）. 138.异面直线上两点距离公式d =.d =d ='E AA F ϕ=--）.(两条异面直线a 、b 所成的角为θ，其公垂线段'AA 的长度为h.在直线a 、b 上分别取两点E 、F ，'A E m =,AF n =,EF d =). 139.三个向量和的平方公式2222()222a b c a b c a b b c c a ++=+++⋅+⋅+⋅2222||||cos ,2||||cos ,2||||cos ,a b c a b a b b c b c c a c a =+++⋅+⋅+⋅140. 长度为l 的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为123l l l 、、，夹角分别为123θθθ、、,则有2222123l l l l =++222123cos cos cos 1θθθ⇔++=222123sin sin sin 2θθθ⇔++=.（立体几何中长方体对角线长的公式是其特例）.141. 面积射影定理'cos S S θ=. (平面多边形及其射影的面积分别是S 、'S ，它们所在平面所成锐二面角的为θ). 142. 斜棱柱的直截面已知斜棱柱的侧棱长是l ,侧面积和体积分别是S 斜棱柱侧和V 斜棱柱,它的直截面的周长和面积分别是1c 和1S ,则①1S c l =斜棱柱侧. ②1V S l =斜棱柱.143．作截面的依据三个平面两两相交，有三条交线，则这三条交线交于一点或互相平行. 144．棱锥的平行截面的性质如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么所得的截面与底面相似，截面面积与底面面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比（对应角相等，对应边对应成比例的多边形是相似多边形，相似多边形面积的比等于对应边的比的平方）；相应小棱锥与小棱锥的侧面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比．145.欧拉定理(欧拉公式)2V F E +-=(简单多面体的顶点数V 、棱数E 和面数F).（1）E =各面多边形边数和的一半.特别地,若每个面的边数为n 的多边形，则面数F 与棱数E 的关系：12E nF =；（2）若每个顶点引出的棱数为m ，则顶点数V 与棱数E 的关系：12E mV =. 146.球的半径是R ，则其体积343V R π=, 其表面积24S R π=．147.球的组合体(1)球与长方体的组合体:长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长. (2)球与正方体的组合体:正方体的内切球的直径是正方体的棱长, 正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长, 正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长. (3) 球与正四面体的组合体:棱长为a,. 148．柱体、锥体的体积13V Sh =柱体（S 是柱体的底面积、h 是柱体的高）.13V Sh =锥体（S 是锥体的底面积、h 是锥体的高）.149.分类计数原理（加法原理）12n N m m m =+++ .150.分步计数原理（乘法原理）12n N m m m =⨯⨯⨯ .151.排列数公式m n A =)1()1(+--m n n n =！！)(m n n -.(n ，m ∈N *，且m n ≤)．注:规定1!0=. 152.排列恒等式 (1）1(1)mm n n A n m A -=-+;（2）1m mn n n A A n m -=-; （3）11m m n n A nA --=;（4）11nn nn n n nA A A ++=-; （5）11mmm n n n A A mA -+=+.(6) 1!22!33!!(1)!1n n n +⋅+⋅++⋅=+- .153.组合数公式m n C=m n m m A A =mm n n n ⨯⨯⨯+-- 21)1()1(=！！！)(m n m n -⋅(n ∈N *，m N ∈，且m n ≤). 154.组合数的两个性质 (1)mn C =mn nC - ; (2) mn C +1-m nC =mn C 1+.注:规定10=n C . 155.组合恒等式（1）11mm n n n m C C m --+=; （2）1m mn n n C C n m -=-;（3）11mm n n n C C m--=;（4）∑=nr r nC0=n2;（5）1121++++=++++r n rn rr rr r rC C C C C .(6)nnn rn n n n C C C C C 221=++++++ . (7)1425312-+++=+++n n n n n n n C C C C C C .(8)1321232-=++++n nn n n n n nC C C C .(9)rn m rn rm n r m n rm C C C C C C C +-=+++011. (10)nn n n n n n C C C C C 22222120)()()()(=++++ . 156.排列数与组合数的关系m m n n A m C =⋅！ .157．单条件排列以下各条的大前提是从n 个元素中取m 个元素的排列. （1）“在位”与“不在位”①某（特）元必在某位有11--m n A 种；②某（特）元不在某位有11---m n mn A A （补集思想）1111---=m n n A A （着眼位置）11111----+=m n m m n A A A （着眼元素）种.（2）紧贴与插空（即相邻与不相邻）①定位紧贴：)(n m k k ≤≤个元在固定位的排列有km k n kk A A --种.②浮动紧贴：n 个元素的全排列把k 个元排在一起的排法有kk k n k n A A 11+-+-种.注：此类问题常用捆绑法；③插空：两组元素分别有k 、h 个（1+≤h k ），把它们合在一起来作全排列，k 个的一组互不能挨近的所有排列数有kh hh A A 1+种.（3）两组元素各相同的插空m 个大球n 个小球排成一列，小球必分开，问有多少种排法？当1+>m n 时，无解；当1+≤m n 时，有n m n nn m C A A 11++=种排法. （4）两组相同元素的排列：两组元素有m 个和n 个，各组元素分别相同的排列数为n n m C +.158．分配问题（1）(平均分组有归属问题)将相异的m 、n 个物件等分给m 个人，各得n 件，其分配方法数共有mnn nn nn mn nn mn nmn n mn C C C C C N )!()!(22=⋅⋅⋅⋅⋅=-- . （2）(平均分组无归属问题)将相异的m 〃n 个物体等分为无记号或无顺序的m 堆，其分配方法数共有mn nn n n n mn n n mn n mn n m mn m C C C C C N )!(!)!(!...22=⋅⋅⋅⋅=--. （3）(非平均分组有归属问题)将相异的) 12m P(P=n +n ++n 个物体分给m 个人，物件必须被分完，分别得到1n ，2n ，…，m n 件，且1n ，2n ，…，m n 这m 个数彼此不相等，则其分配方法数共有!!...!!!! (212)11m n n n n p n p n n n m p m C C C N m m =⋅⋅=-.（4）(非完全平均分组有归属问题)将相异的) 12m P(P=n +n ++n 个物体分给m 个人，物件必须被分完，分别得到1n ，2n ，…，m n 件，且1n ，2n ，…，m n 这m 个数中分别有a 、b 、c 、…个相等，则其分配方法数有!...!!!...211c b a m C C C N m m n n n n p n p ⋅⋅=- 12!!!!...!(!!!...)m p m n n n a b c =.（5）(非平均分组无归属问题)将相异的) 12m P(P=n +n ++n 个物体分为任意的1n ，2n ，…，m n 件无记号的m 堆，且1n ，2n ，…，m n 这m 个数彼此不相等，则其分配方法数有!!...!!21m n n n p N =.（6）(非完全平均分组无归属问题)将相异的) 12m P(P=n +n ++n 个物体分为任意的1n ，2n ，…，m n 件无记号的m 堆，且1n ，2n ，…，m n 这m 个数中分别有a 、b 、c 、…个相等，则其分配方法数有!...)!!(!!...!!21c b a n n n p N m =.（7）(限定分组有归属问题)将相异的p （2m p n n n = 1+++）个物体分给甲、乙、丙，……等m 个人，物体必须被分完，如果指定甲得1n 件，乙得2n 件，丙得3n 件，…时，则无论1n ，2n ，…，m n 等m 个数是否全相异或不全相异其分配方法数恒有!!...!! (212)11m n n n n p n p n n n p C C C N m m =⋅=-.159．“错位问题”及其推广贝努利装错笺问题:信n 封信与n 个信封全部错位的组合数为1111()![(1)]2!3!4!!n f n n n =-+-+- . 推广: n 个元素与n 个位置,其中至少有m 个元素错位的不同组合总数为 1234(,)!(1)!(2)!(3)!(4)!(1)()!(1)()!m m m m ppmm mmf n m n C n C n C n C n C n p C n m =--+---+--+--++--12341224![1(1)(1)]p m p m m m m m m mp mn n n n n nC C C C C C n A A A A A A =-+-+-+-++- . 160．不定方程2n x x x m = 1+++的解的个数(1)方程2n x x x m = 1+++（,n m N *∈）的正整数解有11m n C --个. (2) 方程2n x x x m = 1+++（,n m N *∈）的非负整数解有 11n m n C +--个.(3) 方程2n x x x m = 1+++（,n m N *∈）满足条件i x k ≥(k N *∈,21i n ≤≤-)的非负整数解有11(2)(1)m n n k C +----个.(4) 方程2n x x x m = 1+++（,n m N *∈）满足条件i x k ≤(k N *∈,21i n ≤≤-)的正整数解有12222321(2)11121221(1)n m n m n k n m n k n m n k n n n n n n C C C C C C C +--+---+---+---------+-+- 个. 161.二项式定理nn n r r n r n n n n n n n n b C b a C b a C b a C a C b a ++++++=+--- 222110)( ;二项展开式的通项公式。

江苏省2014年高考数学(文)二轮复习专题提升训练：1 函数、基本初等函数的图象与性质

第一部分 22个常考问题专项突破常考问题1 函数、基本初等函数的图象与性质(建议用时：50分钟)1．(2012·江苏卷)函数f (x )＝1－2log 6x 的定义域为______．解析由题意⎩⎨⎧x ＞0，1－2log 6x ≥0，所以x ∈(0，6]．答案 (0，6]2．设函数f (x )＝⎩⎨⎧x ，x ≥0，－x ，x <0，若f (a )＋f (－1)＝2，则a 等于________．解析依题意，得f (a )＝2－f (－1)＝2－－(－1)＝1.当a ≥0时，有 a ＝1，则a ＝1；当a <0时，有－a ＝1，a ＝－1.综上所述，a ＝±1.答案 ±13．(2013·苏州调研)已知定义域为R 的函数f (x )＝－2x ＋12x ＋1＋a 是奇函数，则a ＝________.解析因为函数f (x )＝－2x ＋12x ＋1＋a 是定义域为R 的奇函数，所以f (－1)＝－f (1)，即－12＋11＋a＝－－2＋14＋a，解得a ＝2. 答案 24．已知f (x )＝ln(1＋x )的定义域为集合M ，g (x )＝2x ＋1的值域为集合N ，则M ∩N ＝________.解析由对数与指数函数的知识，得M ＝(－1，＋∞)，N ＝(1，＋∞)，故M ∩N ＝(1，＋∞)．答案 (1，＋∞)5．(2013·镇江调研)已知函数y ＝log 2(ax －1)在(1,2)上单调递增，则a 的取值范围为________．解析根据复合函数的单调性及对数函数的定义域求解．因为y ＝log 2(ax －1)在(1,2)上单调递增，所以u ＝ax －1在(1,2)单调递增，且恒大于0，即⎩⎨⎧a ＞0，a －1≥0⇒a ≥1. 答案 [1，＋∞)6．(2013·苏州模拟)已知a ＝20.5，b ＝2.10.5，c ＝log 21.5，则a ，b ，c 的大小关系是________．解析因为y ＝x 0.5，x ∈(0，＋∞)是增函数，所以b ＝2.10.5＞a ＝20.5＞1，又由对数函数性质可知c ＝log 21.5＜log 22＝1，所以a ，b ，c 的大小关系是b ＞a ＞c .答案 b ＞a ＞c7．(2013·济南模拟)已知函数f (x )＝x 3＋x ，对任意的m ∈[－2,2]，f (mx －2)＋f (x )<0恒成立，则x 的取值范围是________．解析 f ′(x )＝3x 2＋1>0，∴f (x )在R 上为增函数．又f (x )为奇函数，由f (mx －2)＋f (x )<0知，f (mx －2)<f (－x )．∴mx －2<－x ，即mx ＋x －2<0，令g (m )＝mx ＋x －2，由m ∈[－2,2]知g (m )<0恒成立，可得⎩⎨⎧g (－2)＝－x －2<0，g (2)＝3x －2<0，∴－2<x <23. 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，238．已知函数y ＝f (x )是R 上的偶函数，对∀x ∈R 都有f (x ＋4)＝f (x )＋f (2)成立．当x 1，x 2∈[0,2]，且x 1≠x 2时，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0，给出下列命题：①f (2)＝0；②直线x ＝－4是函数y ＝f (x )图象的一条对称轴； ③函数y ＝f (x )在[－4,4]上有四个零点； ④f (2 014)＝0.其中所有正确命题的序号为________．解析令x ＝－2，得f (－2＋4)＝f (－2)＋f (2)，解得f (－2)＝0，因为函数f (x )为偶函数，所以f (2)＝0，①正确；因为f (－4＋x )＝f (－4＋x ＋4)＝f (x )，f (－4－x )＝f (－4－x ＋4)＝f (－x )＝f (x )，所以f (－4＋x )＝f (－4－x )，即x ＝－4是函数f (x )的一条对称轴，②正确；当x 1，x 2∈[0,2]，且x 1≠x 2时，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0，说明函数f (x )在[0,2]上是单调递减函数，又f (2)＝0，因此函数f (x )在[0,2]上只有一个零点，由偶函数知函数f (x )在[－2,0]上也只有一个零点，由f (x ＋4)＝f (x )，知函数的周期为4，所以函数f (x )在(2,6]与[－6，－2)上也单调且有f (6)＝f (－6)＝0，因此，函数在[－4,4]上只有2个零点，③错；对于④，因为函数的周期为4，即有f (2)＝f (6)＝f (10)＝…＝f (2 014)＝0，④正确．答案 ①②④9．已知函数f (x )＝log a (x ＋1)(a >1)，若函数y ＝g (x )的图象上任意一点P 关于原点对称的点Q 的轨迹恰好是函数f (x )的图象． (1)写出函数g (x )的解析式；(2)当x ∈[0,1)时总有f (x )＋g (x )≥m 成立，求m 的取值范围．解 (1)设P (x ，y )为g (x )图象上任意一点，则Q (－x ，－y )是点P 关于原点的对称点，因为Q (－x ，－y )在f (x )的图象上，所以－y ＝log a (－x ＋1)，即y ＝－log a (1－x )(x <1)． (2)f (x )＋g (x )≥m ，即log a1＋x1－x≥m . 设F (x )＝log a1＋x1－x，x ∈[0,1)．由题意知，只要F (x )min ≥m 即可．因为F (x )在[0,1)上是增函数，所以F (x )min ＝F (0)＝0. 故m 的取值范围是(－∞，0]．10．已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a ＞0)，F (x )＝⎩⎨⎧f (x )，x ＞0，－f (x )，x ＜0.若f (－1)＝0，且对任意实数x 均有f (x )≥0成立． (1)求F (x )的表达式；(2)当x ∈[－2,2]时，g (x )＝f (x )－kx 是单调函数，求k 的取值范围．解 (1)∵f (－1)＝0，∴a －b ＋1＝0， ∴b ＝a ＋1，∴f (x )＝ax 2＋(a ＋1)x ＋1. ∵f (x )≥0恒成立， ∴⎩⎨⎧a ＞0，Δ＝(a ＋1)2－4a ≤0，即⎩⎨⎧a ＞0，(a －1)2≤0. ∴a ＝1，从而b ＝2，∴f (x )＝x 2＋2x ＋1，∴F (x )＝⎩⎨⎧x 2＋2x ＋1 (x ＞0)，－x 2－2x －1 (x ＜0).(2)由(1)知，g (x )＝x 2＋2x ＋1－kx ＝x 2＋(2－k )x ＋1. ∵g (x )在[－2,2]上是单调函数， ∴k －22≤－2或k －22≥2，解得k ≤－2或k ≥6.所以k 的取值范围是(－∞，－2]∪[6，＋∞)．11．(2013·苏北四市调研)已知函数f (x )＝e x －e －x (x ∈R 且e 为自然对数的底数)． (1)判断函数f (x )的奇偶性与单调性；(2)是否存在实数t ，使不等式f (x －t )＋f (x 2－t 2)≥0对一切x 都成立？若存在，求出t ；若不存在，请说明理由．解 (1)∵f (x )＝e x －⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x ，且y ＝e x 是增函数，y ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x 是增函数，所以f (x )是增函数．由于f (x )的定义域为R ，且f (－x )＝e －x －e x ＝－f (x )，所以f (x )是奇函数．(2)由(1)知f (x )是增函数和奇函数，∴f (x －t )＋f (x 2－t 2)≥0对一切x ∈R 恒成立 ⇔f (x 2－t 2)≥f (t －x )对一切x ∈R 恒成立 ⇔x 2－t 2≥t －x 对一切x ∈R 恒成立 ⇔t 2＋t ≤x 2＋x 对一切x ∈R 恒成立 ⇔⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122min对一切x ∈R 恒成立⇔⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122≤0⇔t ＝－12. 即存在实数t ＝－12，使不等式f (x －t )＋f (x 2－t 2)≥0对一切x 都成立．。

高考数学二轮复习(考点梳理+热点突破)第二讲函数、基本初等函数的图象与性质课件

栏目链接
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Z主干考点
(kǎo
diǎn) 梳理
解析对A，没有幂函数的图象；对B，f(x)＝xa(x＞0)中a
＞1，g(x)＝logax中0＜a＜1，不符合(fúhé)题意；对C，f(x)
＝xa(x＞0)中0＜a＜1，g(x)＝logax中a＞1，不符合(fúhé)题
栏目
随堂讲义·第一部分知识复习专题专题一集合、常用逻辑(luójí)用语、函数与导
数第二讲函数、基本初等函数的图象与性质
第一页，共43页。
高考预测函数的图象与性质历来是高考的重点，也是热点，一般以选择题或填空题的形式考查．对于函数图象的考查体现在两个(liǎnɡ ɡè)方面：一是识图；二是用图，即通过函数的图象，通过数形结合的思想方法解决问题，对于函数的性质，主要考查函数单调性、奇偶性、周期性，也可能考查求函数的定义域和简单函数的值
0＜a＜1 时，在(0，＋∞)
上是⑩_减__函__数_
a○ 1＞2_增_1_时函__，_数在(0，＋∞)上是
栏目
0＜a＜1，
当 x＞1 时，○ 15_y_＜__0__；
链接
当 0＜x＜1 时，○ 16_y_＞__0
a＞1，
当 x＞1 时，○ 19_y_＞__0__；当 0＜x＜1 时，○ 20_y_＜__0
第十七页，共43页。
Z主干考点
(kǎo
diǎn) 梳理
3．函数 y＝f(x)(x∈R)的图象如下图所示，下列说法正确的是( C )
栏
目
①函数 y＝f(x)满足 f(－x)＝－f(x)；
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②函数 y＝f(x)满足 f(x＋2)＝f(－x)；

(典型题)2014高考数学二轮复习知识点总结函数、基本初等函数的图象与性质

函数、基本初等函数的图象与性质1.高考对函数的三要素，函数的表示方法等内容的考查以基础知识为主，难度中等偏下.2.函数图象和性质是历年高考的重要内容，也是热点内容，对图象的考查主要有两个方面：一是识图，二是用图，即利用函数的图象，通过数形结合的思想解决问题；对函数性质的考查，则主要是将单调性、奇偶性、周期性等综合一起考查，既有具体函数也有抽象函数．常以选择题的形式出现在最后一题，且常与新定义问题相结合，难度较大．1．函数的概念及其表示两个函数只有当它们的三要素完全相同时才表示同一函数，定义域和对应关系相同的两个函数是同一函数． 2．函数的性质(1)单调性：单调性是函数在其定义域上的局部性质．利用定义证明函数的单调性时，规范步骤为取值、作差、判断符号、下结论．复合函数的单调性遵循“同增异减”的原则．(2)奇偶性：奇偶性是函数在定义域上的整体性质．偶函数的图象关于y 轴对称，在关于坐标原点对称的定义域区间上具有相反的单调性；奇函数的图象关于坐标原点对称，在关于坐标原点对称的定义域区间上具有相同的单调性．(3)周期性：周期性是函数在定义域上的整体性质．若函数满足f (a ＋x )＝f (x )(a 不等于0)，则其一个周期T ＝|a |.3．指数函数、对数函数和幂函数的图象和性质(1)指数函数y ＝a x(a >0，a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0，a ≠1)的图象和性质，分0<a <1，a >1两种情况，着重关注两函数图象中的两种情况的公共性质．(2)幂函数y ＝x α的图象和性质，分幂指数α>0，α<0两种情况． 4．熟记对数式的五个运算公式log a (MN )＝log a M ＋log a N ；log a M N ＝log a M －log a N ；log a M n＝n log a M ；a log a N ＝N ；log a N ＝log b N log b a(a >0且a ≠1，b >0且b ≠1，M >0，N >0)．提醒：log a M －log a N ≠log a (M －N )， log a M ＋log a N ≠log a (M ＋N )． 5．与周期函数有关的结论(1)若f (x ＋a )＝f (x ＋b )(a ≠b )，则f (x )是周期函数，其中一个周期是T ＝|a －b |. (2)若f (x ＋a )＝－f (x )，则f (x )是周期函数，其中一个周期是T ＝2a .(3)若f (x ＋a )＝1f x 或f (x ＋a )＝－1f x ，则f (x )是周期函数，其中一个周期是T＝2a .提醒：若f (x ＋a )＝f (－x ＋b )(a ≠b )，则函数f (x )关于直线x ＝a ＋b2对称.考点一函数及其表示例1 (1)若函数y ＝f (x )的定义域是[0,2]，则函数g (x )＝f 2x ln x的定义域是( ) A ．[0,1]B ．[0,1)C ．[0,1)∪(1,4]D ．(0,1)答案 D解析由函数y ＝f (x )的定义域是[0,2]得，函数g (x )有意义的条件为0≤2x ≤2且x >0，x ≠1，故x ∈(0,1)．(2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ，x >02x，x ≤0，则f (f (19))等于( ) A ．4 B.14 C ．－4D ．－14答案 B解析因为19>0，所以f (19)＝log 319＝－2，故f (－2)＝2－2＝14.求函数定义域的类型和相应方法①若已知函数的解析式，则这时函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围，只需构建并解不等式(组)即可，函数f (g (x ))的定义域应由不等式a ≤g (x )≤b 解出． ②实际问题或几何问题除要考虑解析式有意义外，还应使实际问题有意义． (2)求函数值时应注意形如f (g (x ))的函数求值时，应遵循先内后外的原则；而对于分段函数的求值(解不等式)问题，必须依据条件准确地找出利用哪一段求解．(1)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ≥4，f x ＋3，x <4，则f (log 23)等于 ( )A ．3B ．4C ．16D ．24(2)已知函数f (x )＝2＋log 3x (1≤x ≤9)，则函数y ＝[f (x )]2＋f (x 2)的最大值为( ) A ．33B ．22C ．13D ．6答案 (1)D (2)C解析 (1)f (log 23)＝f (log 23＋3) ＝f (log 224)＝2log 224＝24.(2)依题意得，y ＝(2＋log 3x )2＋2＋log 3x 2＝log 23x ＋6log 3x ＋6＝(log 3x ＋3)2－3，因为1≤x ≤9，且1≤x 2≤9，所以1≤x ≤3，所以0≤log 3x ≤1，作出图象知，当log 3x ＝1时，函数y 取得最大值13. 考点二函数的性质例2 (1)(2012·福建)设函数D (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x 为有理数，0，x 为无理数，则下列结论错误的是( )A ．D (x )的值域为{0,1}B ．D (x )是偶函数C ．D (x )不是周期函数 D ．D (x )不是单调函数答案 C解析利用函数的单调性、奇偶性、周期性定义判断可得．由已知条件可知，D (x )的值域是{0,1}，选项A 正确；当x 是有理数时，－x 也是有理数，且D (－x )＝1，D (x )＝1，故D (－x )＝D (x )，当x 是无理数时，－x 也是无理数，且D (－x )＝0，D (x )＝0，即D (－x )＝D (x )，故D (x )是偶函数，选项B 正确；当x 是有理数时，对于任一非零有理数a ，x ＋a 是有理数，且D (x ＋a )＝D (x )＝1，当x 是无理数时，对于任一非零有理数b ，x ＋b 是无理数，所以D (x ＋b )＝D (x )＝0，故D (x )是周期函数，但不存在最小正周期，选项C 不正确；由实数的连续性易知，不存在区间I ，使D (x )在区间I 上是增函数或减函数，故D (x )不是单调函数，选项D 正确．(2)设奇函数y ＝f (x ) (x ∈R )，满足对任意t ∈R 都有f (t )＝f (1－t )，且x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12时，f (x )＝－x 2，则f (3)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32的值等于________．答案－14解析根据对任意t ∈R 都有f (t )＝f (1－t )可得f (－t )＝f (1＋t )，即f (t ＋1)＝－f (t )，进而得到f (t ＋2)＝－f (t ＋1)＝－[－f (t )]＝f (t )，得函数y ＝f (x )的一个周期为2，故f (3)＝f (1)＝f (0＋1)＝－f (0)＝0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－14.所以f (3)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32的值是0＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＝－14.函数的性质主要是函数的奇偶性、单调性和周期性以及函数图象的对称性，在解题中根据问题的条件通过变换函数的解析式或者已知的函数关系，推证函数的性质，根据函数的性质解决问题．(1)(2013·天津)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增．若实数a 满足f (log 2a )＋f (log 12a )≤2f (1)，则a 的取值范围是( )A ．[1,2]B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2D ．(0,2](2)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x >0时，f (x )＝e x＋a ，若f (x )在R 上是单调函数，则实数a 的最小值是________．答案 (1)C (2)－1解析 (1)由题意知a >0，又log 12a ＝log 2a －1＝－log 2a .∵f (x )是R 上的偶函数，∴f (log 2a )＝f (－log 2a )＝f (log 12a )．∵f (log 2a )＋f (log 12a )≤2f (1)，∴2f (log 2a )≤2f (1)，即f (log 2a )≤f (1)．又因f (x )在[0，＋∞)上递增． ∴|log 2a |≤1，－1≤log 2a ≤1，∴a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，选C. (2)依题意得f (0)＝0.当x >0时，f (x )>e 0＋a ＝a ＋1. 若函数f (x )在R 上是单调函数，则有a ＋1≥0，a ≥－1，因此实数a 的最小值是－1. 考点三函数的图象例3 (1)(2013·北京)函数f (x )的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y ＝e x关于y 轴对称，则f (x )等于( )A ．e x ＋1B ．e x －1C ．e－x ＋1D ．e－x －1(2)形如y ＝b|x |－a (a >0，b >0)的函数，因其图象类似于汉字中的“囧”字，故我们把它称为“囧函数”．若当a ＝1，b ＝1时的“囧函数”与函数y ＝lg|x |图象的交点个数为n ，则n ＝________. 答案 (1)D (2)4解析 (1)与y ＝e x 图象关于y 轴对称的函数为y ＝e －x.依题意，f (x )图象向右平移一个单位，得y ＝e －x的图象．∴f (x )的图象由y ＝e －x的图象向左平移一个单位得到． ∴f (x )＝e－(x ＋1)＝e－x －1.(2)由题意知，当a ＝1，b ＝1时，y ＝1|x |－1＝⎩⎪⎨⎪⎧1x －1x ≥0且x ≠1，－1x ＋1x <0且x ≠－1，在同一坐标系中画出“囧函数”与函数y ＝lg|x |的图象如图所示，易知它们有4个交点．作图：常用描点法和图象变换法．图象变换法常用的有平移变换、伸缩变换和对称变换．尤其注意y ＝f (x )与y ＝f (－x )、y ＝－f (x )、y ＝－f (－x )、y ＝f (|x |)、y ＝|f (x )|及y ＝af (x )＋b 的相互关系．(2)识图：从图象与轴的交点及左、右、上、下分布范围、变化趋势、对称性等方面找准解析式与图象的对应关系．(3)用图：图象形象地显示了函数的性质，因此，函数性质的确定与应用及一些方程、不等式的求解常与图象数形结合研究． (1)函数y ＝x ln(－x )与y ＝x ln x 的图象关于( )A ．直线y ＝x 对称B ．x 轴对称C ．y 轴对称D ．原点对称(2)函数y ＝log 2|x |x的大致图象是( )(3)(2013·课标全国Ⅰ)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x ≤0，ln x ＋1，x >0.若|f (x )|≥ax ，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，0]B ．(－∞，1]C ．[－2,1]D ．[－2,0]答案 (1)D (2)C (3)D解析 (1)若点(m ，n )在函数y ＝x ln x 的图象上，则n ＝m ln m ，所以－n ＝－m ln[－(－m )]，可知点(－m ，－n )在函数y ＝x ln(－x )的图象上，而点(m ，n )与点(－m ，－n )关于原点对称，所以函数y ＝x ln x 与y ＝x ln(－x )的图象关于原点对称． (2)方法一由于log 2|－x |－x ＝－log 2|x |x，所以函数y ＝log 2|x |x是奇函数，其图象关于原点对称．当x >0时，对函数求导可知，函数图象先增后减，结合选项知选C. 方法二 0<x <1时，y <0；x >1时，根据y ＝log 2x 与y ＝x 的变化快慢知x →＋∞时，y >0且y →0.故选C.(3)函数y ＝|f (x )|的图象如图． ①当a ＝0时，|f (x )|≥ax 显然成立． ②当a >0时，只需在x >0时， ln(x ＋1)≥ax 成立．比较对数函数与一次函数y ＝ax 的增长速度．显然不存在a >0使ln(x ＋1)≥ax 在x >0上恒成立． ③当a <0时，只需在x <0时，x 2－2x ≥ax 成立．即a ≥x －2成立，∴a ≥－2. 综上所述：－2≤a ≤0.故选D. 考点四基本初等函数的图象及性质例4 (1)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，log 12－x ，x <0，若f (a )>f (－a )，则实数a 的取值范围是( )A ．(－1,0)∪(0,1)B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(－1,0)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(0,1)(2)已知a ＝5log 23.4，b ＝5log 43.6，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫15log 30.3，则有( ) A ．a >b >c B ．b >a >c C ．a >c >bD ．c >a >b答案 (1)C (2)C解析 (1)方法一由题意作出y ＝f (x )的图象如图．显然当a >1或－1<a <0时，满足f (a )>f (－a )．故选C. 方法二对a 分类讨论：当a >0时，log 2a >log 12a ，即log 2a >0，∴a >1.当a <0时，log 12(－a )>log 2(－a )，即log 2(－a )<0，∴－1<a <0，故选C.(2)∵a ＝5log 23.4，b ＝5log 43.6，c ＝(15)log 30.3＝5log 3313，根据y ＝a x且a ＝5，知y 是增函数．又∵log 23.4>log 3313>1,0<log 43.6<1，∴5log 23.4>(15)log 30.3>5log 43.6，即a >c >b .指数函数、对数函数、幂函数是中学阶段所学的基本初等函数，是高考的必考内容之一，重点考查图象、性质及其应用，同时考查分类讨论、等价转化等数学思想方法及其运算能力．(2)比较指数函数值、对数函数值、幂函数值大小有三种方法：一是根据同类函数的单调性进行比较；二是采用中间值0或1等进行比较；三是将对数式转化为指数式，或将指数式转化为对数式，通过转化进行比较．(1)已知f (x )＝a x，g (x )＝log a x (a >0且a ≠1)，若f (3)·g (3)<0，则f (x )与g (x )在同一坐标系内的图象可能是( )(2)(2012·天津)已知a ＝21.2，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－0.8，c ＝2log 52，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．c <b <a B ．c <a <b C ．b <a <cD ．b <c <a答案 (1)C (2)A解析 (1)因为a >0且a ≠1，所以f (3)＝a 3>0. 因为f (3)g (3)<0，所以g (3)<0即log a 3<0，所以0<a <1，则指数函数f (x )＝a x单调递减，对数函数单调递减，所以答案选C. (2)利用中间值判断大小．b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－0.8＝20.8<21.2＝a ，c ＝2log 52＝log 522<log 55＝1<20.8＝b ，故c <b <a ，答案选A.1．判断函数单调性的常用方法(1)能画出图象的一般用数形结合法去观察．(2)由基本初等函数通过加、减运算或复合而成的函数，常转化为基本初等函数单调性的判断问题．(3)对于解析式较复杂的一般用导数法． (4)对于抽象函数一般用定义法． 2．函数奇偶性的应用函数的奇偶性反映了函数图象的对称性，是函数的整体特性．利用函数的奇偶性可以把研究整个函数具有的性质问题转化到只研究部分(一半)区间上，是简化问题的一种途径．尤其注意偶函数f (x )的性质：f (|x |)＝f (x )． 3．函数图象的对称性(1)若函数y ＝f (x )满足f (a ＋x )＝f (a －x )，即f (x )＝f (2a －x )，则f (x )的图象关于直线x ＝a 对称．提醒：函数y ＝f (a ＋x )与y ＝f (a －x )的图象对称轴为x ＝0，并非直线x＝a .(2)若f (x )满足f (a ＋x )＝f (b －x )，则函数f (x )的图象关于直线x ＝a ＋b2对称．(3)若函数y ＝f (x )满足f (x )＝2b －f (2a －x )，则该函数图象关于点(a ，b )成中心对称． 4．二次函数、一元二次方程和一元二次不等式是一个有机的整体，要深刻理解它们之间的相互关系，能用函数与方程、分类讨论、数形结合思想来研究与“三个二次”有关的问题，高考对“三个二次”知识的考查往往渗透在其他知识之中，并且大都出现在解答题中．5．指数函数、对数函数的图象和性质受底数a 的影响，解决与指、对数函数特别是与单调性有关的问题时，首先要看底数a 的范围．比较两个对数的大小或解对数不等式或解对数方程时，一般是构造同底的对数函数，若底数不同，可运用换底公式化为同底的对数，三数比较大小时，注意与0比较或与1比较．6．解决与本讲有关的问题应注意函数与方程、数形结合、分类讨论、化归与转化等思想的运用．1．已知函数f (x )＝e |ln x |－⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －1x ，则函数y ＝f (x ＋1)的大致图象为( )答案 A解析据已知关系式可得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e －ln x＋⎝⎛⎭⎪⎫x －1x ＝x 0<x ≤1，eln x－⎝⎛⎭⎪⎫x －1x ＝1xx >1，作出其图象然后将其向左平移1个单位即得函数y ＝f (x ＋1)的图象．2．定义在R 上的奇函数f (x )满足：对任意的x 1，x 2∈(－∞，0)(x 1≠x 2)，有f x 2－f x 1x 2－x 1>0.则有( )A ．f (0.32)<f (20.3)<f (log 25)B ．f (log 25)<f (20.3)<f (0.32) C ．f (log 25)<f (0.32)<f (20.3) D ．f (0.32)<f (log 25)<f (20.3) 答案 A解析由已知可知f (x )在(－∞，0)上递增，又f (x )为奇函数，故f (x )在(0，＋∞)上递增， ∵0.32<20.3<log 25.∴f (0.32)<f (20.3)<f (log 25)．3．已知f (x )是以2为周期的偶函数，当x ∈[0,1]时，f (x )＝x ，那么在区间[－1,3]内关于x 的方程y ＝kx ＋k ＋1(k ∈R ，k ≠－1)的根的个数为( )A ．不可能有3个B ．最少有1个，最多有4个C ．最少有1个，最多有3个D ．最少有2个，最多有4个答案 B解析函数f (x )的图象如图所示：函数g (x )＝kx ＋k ＋1＝k (x ＋1)＋1恒过定点(－1,1)，故选B.(推荐时间：40分钟)一、选择题1．下列函数中，既是偶函数，又在区间(1,2)内是增函数的为( )A ．y ＝cos 2x ，x ∈RB ．y ＝log 2|x |，x ∈R 且x ≠0C ．y ＝e x －e －x2，x ∈RD ．y ＝x 3＋1，x ∈R 答案 B解析由函数是偶函数可以排除C 和D ，又函数在区间(1,2)内为增函数，而此时y ＝log 2|x |＝log 2x 为增函数，所以选B.2．已知函数y ＝f (x )是奇函数，当x >0时，f (x )＝lg x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1100的值等于( ) A.1lg 2B ．－1lg 2C ．lg 2D ．－lg 2答案 D解析当x <0时，－x >0，则f (－x )＝lg(－x )．又函数f (x )为奇函数，f (－x )＝－f (x )，所以当x <0时，f (x )＝－lg(－x )．所以f ⎝⎛⎭⎪⎫1100＝lg 1100＝－2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝⎛⎭⎪⎫1100＝f (－2)＝－lg 2. 3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x ≥1，x ＋c ，x <1，则“c ＝－1”是“函数f (x )在R 上递增”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析当c ＝－1时，易知f (x )在R 上递增；反之，若f (x )在R 上递增，则需有1＋c ≤0，即c ≤－1. 所以“c ＝－1”是“函数f (x )在R 上递增”的充分不必要条件．4． (2013·课标全国Ⅱ)设a ＝log 36，b ＝log 510，c ＝log 714，则( ) A ．c >b >a B ．b >c >a C ．a >c >bD ．a >b >c答案 D解析设a ＝log 36＝1＋log 32＝1＋1log 23，b ＝log 510＝1＋log 52＝1＋1log 25，c ＝log 714＝1＋log 72＝1＋1log 27，显然a >b >c .5．若函数f (x )＝x 2＋|x －a |＋b 在区间(－∞，0]上为减函数，则实数a 的取值范围是( )A ．a ≥0B ．a ≤0C ．a ≥1D ．a ≤1答案 A解析当a ＝0或者a ＝1时，显然，在区间(－∞，0]上为减函数，从而选A.6．设定义在[－2,2]上的偶函数f (x )在区间[0,2]上单调递减，若f (1－m )<f (m )，则实数m 的取值范围是( )A ．[－1，12)B ．(－∞，－1]∪(12，＋∞)C ．(－1，12)D ．(－∞，－1)∪(12，＋∞)答案 A解析 ∵f (x )是偶函数，∴f (－x )＝f (x )＝f (|x |)， ∴不等式f (1－m )<f (m )⇔f (|1－m |)<f (|m |)，又∵当x ∈[0,2]时，f (x )是减函数， ∴⎩⎪⎨⎪⎧|1－m |>|m |，－2≤1－m ≤2，－2≤m ≤2，解得－1≤m <12.7． (2013·四川)函数y ＝x 33x－1的图象大致是( )答案 C解析由3x－1≠0得x ≠0， ∴函数y ＝x 33x－1的定义域为{x |x ≠0}，可排除选项A ；当x ＝－1时，y ＝－1313－1＝32>0，可排除选项B ；当x ＝2时，y ＝1，当x ＝4时，y ＝45，但从选项D 的函数图象可以看出函数在(0，＋∞)上是单调递增函数，两者矛盾，可排除选项D.故选C.8．已知直线y ＝mx 与函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－⎝ ⎛⎭⎪⎫13x，x ≤0，12x 2＋1，x >0的图象恰好有3个不同的公共点，则实数m 的取值范围是( )A ．(3，4)B ．(2，＋∞)C ．(2，5)D ．(3，22)答案 B解析作出函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－⎝ ⎛⎭⎪⎫13x，x ≤0，12x 2＋1，x >0的图象，如图所示．直线y ＝mx 的图象是绕坐标原点旋转的动直线．当斜率m ≤0时，直线y＝mx 与函数f (x )的图象只有一个公共点；当m >0时，直线y ＝mx 始终与函数y ＝2－⎝ ⎛⎭⎪⎫13x(x ≤0)的图象有一个公共点，故要使直线y ＝mx 与函数f (x )的图象有三个公共点，必须使直线y ＝mx 与函数y ＝12x 2＋1 (x >0)的图象有两个公共点，即方程mx ＝12x 2＋1在x >0时有两个不相等的实数根，即方程x 2－2mx ＋2＝0的判别式Δ＝4m 2－4×2>0，解得m > 2.故所求实数m 的取值范围是(2，＋∞)．二、填空题9．设函数f (x )＝x (e x ＋a e －x)(x ∈R )是偶函数，则实数a 的值为________．答案－1解析因为f (x )是偶函数，所以恒有f (－x )＝f (x )，即－x (e －x＋a e x )＝x (e x ＋a e －x)，化简得x (e －x＋e x)(a ＋1)＝0.因为上式对任意实数x 都成立，所以a ＝－1. 10．(2012·安徽)若函数f (x )＝|2x ＋a |的单调递增区间是[3，＋∞)，则a ＝________.答案－6解析利用函数图象确定单调区间．f (x )＝|2x ＋a |＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋a ，x ≥－a2，－2x －a ，x <－a2.作出函数图象，由图象知：函数的单调递增区间为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－a2，＋∞， ∴－a2＝3，∴a ＝－6.11．已知函数f (x )＝a sin x ＋bx 3＋5，且f (1)＝3，则f (－1)＝________.答案 7解析因为f (1)＝3，所以f (1)＝a sin 1＋b ＋5＝3，即a sin 1＋b ＝－2.所以f (－1)＝－a sin 1－b ＋5＝－(－2)＋5＝7.12．已知奇函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x x ≥0，ax 2＋bx x <0，给出下列结论：①f (f (1))＝1；②函数y ＝f (x )有三个零点； ③f (x )的递增区间是[1，＋∞)；④直线x ＝1是函数y ＝f (x )图象的一条对称轴； ⑤函数y ＝f (x ＋1)＋2图象的对称中心是点(1,2)．其中，正确结论的序号是________．(写出所有正确结论的序号)．答案 ①②解析因为f (x )是奇函数，所以x <0时，f (－x )＝x 2＋2x ，即f (x )＝－x 2－2x . 可求得a ＝－1，b ＝－2.即f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ， x ≥0，－x 2－2x ， x <0.①f (f (1))＝f (－1)＝－f (1)＝1，①正确；②易知f (x )的三个零点是－2,0,2，②正确；③当x ∈(－∞，－1]时，f (x )也单调递增，③错误；④由奇函数图象的特点知，题中的函数f (x )无对称轴，④错误；⑤奇函数f (x )图象关于原点对称，故函数y ＝f (x ＋1)＋2图象的对称中心应是点(－1,2)，⑤错误．故填①②. 13．给出下列四个函数：①y ＝2x；②y ＝log 2x ；③y ＝x 2；④y ＝x .当0<x 1<x 2<1时，使f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22>f x 1＋f x 22恒成立的函数的序号是________．答案 ②④解析由题意知满足条件的图象形状为：故符合图象形状的函数为y ＝log 2x ，y ＝x .14．已知定义在R 上的偶函数满足：f (x ＋4)＝f (x )＋f (2)，且当x ∈[0,2]时，y ＝f (x )单调递减，给出以下四个命题： ①f (2)＝0；②x ＝－4为函数y ＝f (x )图象的一条对称轴； ③函数y ＝f (x )在[8,10]上单调递增；④若方程f (x )＝m 在[－6，－2]上的两根为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝－8. 则所有正确命题的序号为________．答案 ①②④解析令x ＝－2，得f (2)＝f (－2)＋f (2)，又函数f (x )是偶函数，故f (2)＝0；根据①可得f (x ＋4)＝f (x )，可得函数f (x )的周期是4，由于偶函数的图象关于y 轴对称，故x ＝－4也是函数y ＝f (x )图象的一条对称轴；根据函数的周期性可知，函数f (x )在[8,10]上单调递减，③不正确；由于函数f (x )的图象关于直线x ＝－4对称，故如果方程f (x )＝m 在区间[－6，－2]上的两根为x 1，x 2，则x 1＋x 22＝－4，即x 1＋x 2＝－8.故正确命题的序号为①②④.。

2014年高考数学知识点总结

学科一级知识点二级知识点三级知识点数学集合和常用逻辑用语集合集合的含义与表示数学集合间的基本关系数学集合基本运算【交集、并集、补集、余集】数学常用逻辑用语命题及其关系数学充分条件与必要条件数学充要条件数学简单逻辑联结词数学全称量词与存在性量词数学函数与导数函数函数及其表示数学函数的定义域与值域数学函数的解析式数学映射数学反函数数学函数的图像数学函数单调性与最值数学函数的奇偶性数学函数周期性与对称性数学基本初等函数I与应用一次函数与二次函数数学指数与指数函数数学对数与对数函数数学指数方程与对数方程数学幂函数数学函数与方程数学函数模型及其应用数学函数综合数学导数导数概念与几何意义数学导数计算数学利用导数研究函数单调性数学利用导数求函数最值与极值数学利用导数证明不等式数学导数实际应用数学导数综合应用数学定积分与微积分基本定理数学极限数学三角函数、三角恒等变换、解三角形三角函数任意角、弧度制和任意角三角函数数学同角三角函数基本关系式和诱导公式数学三角函数图像与性质数学三角函数图像变换数学反三角函数与简单三角方程数学三角函数模型应用数学三角恒等变换两角和与差的三角函数数学倍角公式数学简单三角恒等变换数学解三角形正弦定理数学余弦定理数学正弦定理与余弦定理的实际应用数学三角函数综合应用数学平面向量平面向量的概念及线性运算平面向量概念数学平面向量线性运算数学平面向量基本定理及坐标表示平面向量基本定理数学平面向量坐标运算数学平面向量的数量积平面向量的数量积定义数学平面向量的数量积应用数学线段定比分点数学平移数学平面向量应用平面向量物理应用数学平面向量几何应用数学数列数列的概念和表示法数学等差数列等差数列通项公式数学等差数列前n项和数学等比数列等比数列通项公式数学等比数列前n项和数学数列求和公式法、分组求和数学倒序相加、错位相减、裂项相消求和数学数列综合应用数学不等式不等式的性质数学解不等式一元二次不等式数学绝对值不等式数学分是不等式数学基本不等式数学线性规划二元一次不等式（组）表示的区域数学线性规划数学不等式选讲绝对值不等式数学柯西不等式数学排序不等式数学不等式证明数学立体几何空间几何体柱、锥、台、球结构特征数学空间几何体三视图和直观图数学空间几何体表面积和体积数学空间点、线、面之间位置关系平行数学垂直数学距离数学角数学空间向量空间直角坐标系数学空间向量及运算数学空间向量的应用数学解析几何直线直线的倾斜角与斜率数学直线的方程数学两直线的位置关系数学距离数学圆圆的标准方程与一般方程数学直线与圆位置关系数学圆与圆位置关系数学圆锥曲线椭圆【标准方程，解析式，离心率，准线】数学双曲线【标准方程，解析式，离心率，准线】数学抛物线【标准方程，解析式，离心率，准线】数学直线与圆锥位置关系数学曲线与方程数学坐标系与参数方程平面直角坐标系与平面上伸缩变换数学极坐标系数学简单曲线的极坐标方程数学柱坐标系和球坐标系数学参数方程的概念数学参数方程与普通方程的互化数学直线的参数方程数学圆的参数方程数学圆锥曲线的参数方程数学计数原理与概率统计计数原理分类加法计数原理与分类乘法计数原理数学排列组合数学二项定理数学统计与概率分成抽样数学用样本估计总体数学变量相关性数学统计案列数学事件与概率数学古典概型数学几何概型数学离散型随便变量及其分布列数学超几何分布数学条件概率数学独立事件与乘法公式数学n次独立重复实验与二项分布数学离散型随机变量的均值、方差数学正态分布数学算法和程序框图框图结构图、流程图数学算法初步算法的概念数学程序框图的三种逻辑结构数学基本算法语句数学中国古代算法案列数学推理与证明合情推理与演绎推理数学直接证明与间接证明【反证法】数学数学归纳法数学数系的扩充与复数复数复数的概念与向量表示数学复数的加减及几何意义数学复数的乘除数学矩阵与行列式矩阵与变换线性变换与二阶矩阵数学变换的复合与二阶矩阵数学逆变换与逆矩阵数学变换的不变量与矩阵的特征向量数学行列式二阶、三阶行列式数学二元、三元线性方程组的讨论数学几何证明选讲相似三角形平行截割定理数学直角三角形射影定理数学圆圆周角定理数学圆的切线判定定理及性质定理数学相交弦定理与切割定理数学圆的内接四边形的性质定理与判定定理以上知识点为个人参考众多资料总结得出，如有不妥之处请联系修改；如有雷同纯属巧合；仅供大家参考使用。

高中数学二轮讲义：专题1 第2讲基本初等函数、函数与方程(教师版)

专题一第2讲基本初等函数、函数与方程【要点提炼】考点一基本初等函数的图象与性质1．指数函数y＝a x(a>0，a≠1)与对数函数y＝log a x(a>0，a≠1)互为反函数，其图象关于y ＝x对称，它们的图象和性质分0<a<1，a>1两种情况，着重关注两函数图象的异同．2．幂函数y＝xα的图象和性质，主要掌握α＝1,2,3，12，－1五种情况．【热点突破】【典例】1 (1)已知f(x)＝2x－1，g(x)＝1－x2，规定：当|f(x)|≥g(x)时，h(x)＝|f(x)|；当|f(x)|<g(x)时，h(x)＝－g(x)，则h(x)( )A．有最小值－1，最大值1B．有最大值1，无最小值C．有最小值－1，无最大值D．有最大值－1，无最小值【答案】 C【解析】画出y＝|f(x)|＝|2x－1|与y＝g(x)＝1－x2的图象，它们交于A，B两点．由“规定”，在A，B两侧，|f(x)|≥g(x)，故h(x)＝|f(x)|；在A，B之间，|f(x)|<g(x)，故h(x)＝－g(x)．综上可知，y＝h(x)的图象是图中的实线部分，因此h(x)有最小值－1，无最大值．(2)已知函数f(x)＝e x＋2(x<0)与g(x)＝ln(x＋a)＋2的图象上存在关于y轴对称的点，则a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，1e B ．(－∞，e)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1e ，eD.⎝⎛⎭⎪⎫－e ，1e 【答案】 B【解析】由题意知，方程f(－x)－g(x)＝0在(0，＋∞)上有解，即e －x＋2－ln(x ＋a)－2＝0在(0，＋∞)上有解，即函数y ＝e －x与y ＝ln(x ＋a)的图象在(0，＋∞)上有交点．函数y ＝ln(x ＋a)可以看作由y ＝ln x 左右平移得到，当a ＝0时，两函数有交点，当a<0时，向右平移，两函数总有交点，当a>0时，向左平移，由图可知，将函数y ＝ln x 的图象向左平移到过点(0,1)时，两函数的图象在(0，＋∞)上不再有交点，把(0,1)代入y ＝ln(x ＋a)，得1＝ln a ，即a ＝e ，∴a<e.【方法总结】 (1)对数函数与指数函数的单调性都取决于其底数的取值，当底数a 的值不确定时，要注意分a>1和0<a<1两种情况讨论：当a>1时，两函数在定义域内都为增函数；当0<a<1时，两函数在定义域内都为减函数．(2)基本初等函数的图象和性质是统一的，在解题中可相互转化．【拓展训练】1 (1)函数f(x)＝ln(x 2＋2)－ex －1的大致图象可能是( )【答案】 A【解析】当x →＋∞时，f(x)→－∞，故排除D ；函数f(x)的定义域为R ，且在R 上连续，故排除B ；f(0)＝ln 2－e －1，由于ln 2>ln e ＝12，e －1<12，所以f(0)＝ln 2－e －1>0，故排除C.(2)已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数，当x>0时，f(x)＝1－2－x，则不等式f(x)<－12的解集是( ) A ．(－∞，－1) B ．(－∞，－1] C ．(1，＋∞) D ．[1，＋∞)【答案】 A【解析】当x>0时，f(x)＝1－2－x>0. 又f(x)是定义在R 上的奇函数，所以f(x)<－12的解集和f(x)>12的解集关于原点对称，由1－2－x >12得2－x <12＝2－1，即x>1，则f(x)<－12的解集是(－∞，－1)．故选A.【要点提炼】考点二函数的零点判断函数零点个数的方法： (1)利用零点存在性定理判断法． (2)代数法：求方程f(x)＝0的实数根．(3)几何法：对于不易求根的方程，将它与函数y ＝f(x)的图象联系起来，利用函数的性质找出零点或利用两个函数图象的交点求解．在利用函数性质时，可用求导的方法判断函数的单调性．考向1 函数零点的判断【典例】2 (1)(2020·长沙调研)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧xe x，x ≤0，2－|x －1|，x>0，若函数g(x)＝f(x)－m 有两个不同的零点x 1，x 2，则x 1＋x 2等于( )A ．2B ．2或2＋1eC ．2或3D ．2或3或2＋1e【答案】 D【解析】当x ≤0时， f ′(x)＝(x ＋1)e x，当x<－1时，f ′(x)<0，故f(x)在(－∞，－1)上单调递减，当－1<x ≤0时，f ′(x)>0，故f(x)在(－1,0]上单调递增，所以x ≤0时，f(x)的最小值为f(－1)＝－1e.又当x ≥1时，f(x)＝3－x ，当0<x<1时，f(x)＝x ＋1.作出f(x)的图象，如图所示．因为g(x)＝f(x)－m 有两个不同的零点，所以方程f(x)＝m 有两个不同的根，等价于直线y ＝m 与f(x)的图象有两个不同的交点，且交点的横坐标分别为x 1，x 2，由图可知1<m<2或m ＝0或m ＝－1e .若1<m<2，则x 1＋x 2＝2；若m ＝0，则x 1＋x 2＝3；若m ＝－1e ，则x 1＋x 2＝－1＋3＋1e ＝2＋1e.(2)设函数f(x)是定义在R 上的偶函数，且对任意的x ∈R ，都有f(x ＋2)＝f(2－x)，当x ∈[－2,0]时，f(x)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22x－1，则关于x 的方程f(x)－log 8(x ＋2)＝0在区间(－2,6)上根的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】 C【解析】对于任意的x ∈R ，都有f(2＋x)＝f(2－x)， ∴f(x ＋4)＝f[2＋(x ＋2)]＝f[2－(x ＋2)]＝f(－x)＝f(x)， ∴函数f(x)是一个周期函数，且T ＝4.又∵当x ∈[－2,0]时，f(x)＝⎝⎛⎭⎪⎫22x－1，且函数f(x)是定义在R 上的偶函数，且f(6)＝1，则函数y ＝f(x)与y ＝log 8(x ＋2)在区间(－2,6)上的图象如图所示，根据图象可得y ＝f(x)与y ＝log 8(x ＋2)在区间(－2,6)上有3个不同的交点，即f(x)－log 8(x ＋2)＝0在区间(－2,6)上有3个根．【特点突破】考向2 求参数的值或取值范围【典例】3 (1)已知关于x 的方程9－|x －2|－4·3－|x －2|－a ＝0有实数根，则实数a 的取值范围是________．【答案】 [－3,0) 【解析】设t ＝3－|x －2|(0<t ≤1)，由题意知a ＝t 2－4t 在(0,1]上有解，又t 2－4t ＝(t －2)2－4(0<t ≤1)， ∴－3≤t 2－4t<0，∴实数a 的取值范围是[－3,0)．(2)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3，x>a ，x 2＋6x ＋3，x ≤a ，若函数g(x)＝f(x)－2x 恰有2个不同的零点，则实数a 的取值范围为____________________．【答案】 [－3，－1)∪[3，＋∞)【解析】由题意得g(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3－2x ，x>a ，x 2＋6x ＋3－2x ，x ≤a ，即g(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧3－x ，x>a ，x 2＋4x ＋3，x ≤a ，如图所示，因为g(x)恰有两个不同的零点，即g(x)的图象与x 轴有两个交点．若当x ≤a 时，g(x)＝x 2＋4x ＋3有两个零点，则令x 2＋4x ＋3＝0，解得x ＝－3或x ＝－1，则当x>a 时，g(x)＝3－x 没有零点，所以a ≥3. 若当x ≤a 时，g(x)＝x 2＋4x ＋3有一个零点，则当x>a 时，g(x)＝3－x 必有一个零点，即－3≤a<－1，综上所述，a ∈[－3，－1)∪[3，＋∞)．【方法总结】利用函数零点的情况求参数值(或取值范围)的三种方法【拓展训练】2 (1)已知偶函数y ＝f(x)(x ∈R )满足f(x)＝x 2－3x(x ≥0)，若函数g(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x>0，－1x，x<0，则y ＝f(x)－g(x)的零点个数为( )A ．1B ．3C ．2D ．4 【答案】 B【解析】作出函数f(x)与g(x)的图象如图，由图象可知两个函数有3个不同的交点，所以函数y ＝f(x)－g(x)有3个零点．(2)(多选)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2a ，x<0，x 2－ax ，x ≥0，若关于x 的方程f(f(x))＝0有8个不同的实根，则a 的值可能为( ) A ．－6 B ．8 C ．9 D ．12 【答案】 CD【解析】当a ≤0时，f(x)仅有一个零点x ＝0，故f(f(x))＝0有8个不同的实根不可能成立．当a>0时，f(x)的图象如图所示，当f(f(x))＝0时，f 1(x)＝－2a ，f 2(x)＝0，f 3(x)＝a.又f(f(x))＝0有8个不同的实根，故f 1(x)＝－2a 有三个根，f 2(x)＝0有三个根，f 3(x)＝a 有两个根，又x 2－ax ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 22－a24，所以－2a>－a24且a<2a ，解得a>8且a>0，综上可知，a>8. 专题训练一、单项选择题1．(2020·全国Ⅰ)设alog 34＝2，则4－a等于( ) A.116 B.19 C.18 D.16 【答案】 B【解析】方法一因为alog 34＝2，所以log 34a＝2，所以4a＝32＝9，所以4－a＝14a ＝19.方法二因为alog 34＝2，所以a ＝2log 34＝2log 43＝log 432＝log 49，所以4－a ＝4log 94-＝14log 94-＝9－1＝19.2．函数f(x)＝ln x ＋2x －6的零点一定位于区间( ) A ．(1,2) B ．(2,3) C ．(3,4) D ．(4,5) 【答案】 B【解析】函数f(x)＝ln x ＋2x －6在其定义域上连续且单调， f(2)＝ln 2＋2×2－6＝ln 2－2<0， f(3)＝ln 3＋2×3－6＝ln 3>0，故函数f(x)＝ln x ＋2x －6的零点在区间(2,3)上．3．在同一直角坐标系中，函数f(x)＝2－ax 和g(x)＝log a (x ＋2)(a>0且a ≠1)的大致图象可能为( )【答案】 A【解析】由题意知，当a>0时，函数f(x)＝2－ax 为减函数．若0<a<1，则函数f(x)＝2－ax 的零点x 0＝2a ∈(2，＋∞)，且函数g(x)＝log a (x ＋2)在(－2，＋∞)上为减函数；若a>1，则函数f(x)＝2－ax 的零点x 0＝2a ∈(0,2)，且函数g(x)＝log a (x ＋2)在(－2，＋∞)上为增函数．故A 正确．4．(2020·广东省揭阳三中模拟)已知a ，b ，c 满足4a ＝6，b ＝12log 4，c 3＝35，则( )A ．a<b<cB ．b<c<aC ．c<a<bD ．c<b<a【答案】 B【解析】 4a ＝6>4，a>1，b ＝12log 4＝－2，c 3＝35<1,0<c<1，故a>c>b.5．(2020·全国Ⅲ)Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领城．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病典例数I(t)(t 的单位：天)的Logistic 模型：I(t)＝K1＋e－0.23t －53，其中K 为最大确诊病典例数．当I(t *)＝0.95K 时，标志着已初步遏制疫情，则t *约为(ln 19≈3)( ) A ．60 B ．63 C ．66 D ．69 【答案】 C【解析】因为I(t)＝K1＋e－0.23t －53，所以当I(t *)＝0.95K 时，*0.23531et K ⎛⎫-- ⎪⎝⎭+＝0.95K ，即*0.235311et ⎛⎫-- ⎪⎝⎭+＝0.95，即1＋*0.2353et ⎛⎫-- ⎪⎝⎭＝10.95，即*0.2353et ⎛⎫-- ⎪⎝⎭＝10.95－1， ∴*0.2353et ⎛⎫- ⎪⎝⎭＝19，∴0.23(t *－53)＝ln 19， ∴t *＝ln 190.23＋53≈30.23＋53≈66.6．(2020·泉州模拟)若函数y ＝log a (x 2－ax ＋1)有最小值，则a 的取值范围是( )A ．1<a<2B ．0<a<2，a ≠1C ．0<a<1D ．a ≥2【答案】 A【解析】令u(x)＝x 2－ax ＋1，函数y ＝log a (x 2－ax ＋1)有最小值，∴a>1，且u(x)min >0，∴Δ＝a 2－4<0，∴1<a<2，∴a 的取值范围是1<a<2.7．(2020·太原质检)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧e x，x>0，－2x 2＋4x ＋1，x ≤0(e 为自然对数的底数)，若函数g(x)＝f(x)＋kx 恰好有两个零点，则实数k 等于( ) A ．－2e B ．e C ．－e D ．2e 【答案】 C【解析】 g(x)＝f(x)＋kx ＝0，即f(x)＝－kx ，如图所示，画出函数y ＝f(x)和y ＝－kx 的图象，－2x 2＋4x ＋1＝－kx ，即2x 2－(4＋k)x －1＝0，设方程的两根为x 1，x 2，则Δ＝(4＋k)2＋8>0，且x 1x 2＝－12，故g(x)在x<0时有且仅有一个零点， y ＝－kx 与y ＝f(x)在x>0时相切．当x>0时，设切点为(x 0，－kx 0)，f(x)＝e x， f ′(x)＝e x，f ′(x 0)＝0e x ＝－k ，0e x ＝－kx 0，解得x 0＝1，k ＝－e.8．已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，x ＝0，⎝ ⎛⎭⎪⎫1e |x|＋1，x ≠0，若关于x 的方程2f 2(x)－(2a ＋3)f(x)＋3a ＝0有五个不同的解，则a 的取值范围是( )A ．(1,2)B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，2C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32∪⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2 【答案】 D【解析】作出f(x)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1e |x|＋1，x ≠0的图象如图所示．设t ＝f(x)，则原方程化为2t 2－(2a ＋3)t ＋3a ＝0，解得t 1＝a ，t 2＝32.由图象可知，若关于x 的方程2f 2(x)－(2a ＋3)f(x)＋3a ＝0有五个不同的实数解，只有当直线y ＝a 与函数y ＝f(x)的图象有三个不同的交点时才满足条件，所以1<a<2.又方程2t 2－(2a ＋3)t ＋3a ＝0有两个不相等的实数根，所以Δ＝(2a ＋3)2－4×2×3a ＝(2a －3)2>0，解得a ≠32，综上，得1<a<2，且a ≠32.二、多项选择题9．(2020·临沂模拟)若10a＝4,10b＝25，则( ) A ．a ＋b ＝2 B ．b －a ＝1 C ．ab>8lg 22 D ．b －a>lg 6【答案】 ACD【解析】由10a＝4,10b＝25，得a ＝lg 4，b ＝lg 25，则a ＋b ＝lg 4＋lg 25＝lg 100＝2，故A 正确；b －a ＝lg 25－lg 4＝lg 254>lg 6且lg 254<1，故B 错误，D 正确；ab ＝lg 4·lg25＝4lg 2·lg 5>4lg 2·lg 4＝8lg 22，故C 正确．10．已知函数f(x)＝log a (x ＋1)，g(x)＝log a (1－x)，a>0，a ≠1，则( ) A ．函数f(x)＋g(x)的定义域为(－1,1) B ．函数f(x)＋g(x)的图象关于y 轴对称 C ．函数f(x)＋g(x)在定义域上有最小值0 D ．函数f(x)－g(x)在区间(0,1)上是减函数【答案】 AB【解析】 ∵f(x)＝log a (x ＋1)，g(x)＝log a (1－x)，a>0，a ≠1，∴f(x)＋g(x)＝log a (x ＋1)＋log a (1－x)，由x ＋1>0且1－x>0得－1<x<1，故A 对；由f(－x)＋g(－x)＝log a (－x ＋1)＋log a (1＋x)＝f(x)＋g(x)，得函数f(x)＋g(x)是偶函数，其图象关于y 轴对称，B 对；∵－1<x<1，∴f(x)＋g(x)＝log a (1－x 2)，∵y ＝1－x 2在[0,1)上单调递减，由复合函数的单调性可知，当0<a<1时，函数f(x)＋g(x)在[0,1)上单调递增，有最小值f(0)＋g(0)＝log a (1－0)＝0；当a>1时，函数f(x)＋g(x)在[0,1)上单调递减，无最小值，故C 错；∵f(x)－g(x)＝log a (x ＋1)－log a (1－x)，当0<a<1时，f(x)＝log a (x ＋1)在(0,1)上单调递减，g(x)＝log a (1－x)在(0,1)上单调递增，函数f(x)－g(x)在(0,1)上单调递减；当a>1时，f(x)＝log a (x ＋1)在(0,1)上单调递增，g(x)＝log a (1－x)在(0,1)上单调递减，函数f(x)－g(x)在(0,1)上单调递增，故D 错．11．(2020·淄博模拟)已知函数y ＝f(x)是R 上的奇函数，对于任意x ∈R ，都有f(x ＋4)＝f(x)＋f(2)成立．当x ∈[0,2)时，f(x)＝2x－1.给出下列结论，其中正确的是( ) A ．f(2)＝0B ．点(4,0)是函数y ＝f(x)图象的一个对称中心C ．函数y ＝f(x)在区间[－6，－2]上单调递增D ．函数y ＝f(x)在区间[－6,6]上有3个零点【答案】 AB【解析】对于A ，因为f(x)为奇函数且对任意x ∈R ，都有f(x ＋4)＝f(x)＋f(2)，令x ＝－2，则f(2)＝f(－2)＋f(2)＝0，故A 正确；对于B ，由A 知，f(2)＝0，则f(x ＋4)＝f(x)，则4为f(x)的一个周期，因为f(x)的图象关于原点(0,0)成中心对称，则(4,0)是函数f(x)图象的一个对称中心，故B 正确；对于C ，因为f(－6)＝0，f(－5)＝f(－5＋4)＝f(－1)＝－f(1)＝－1，－6<－5，而f(－6)>f(－5)，所以f(x)在区间[－6，－2]上不是单调递增的，故C 错误；对于D ，因为f(0)＝0，f(2)＝0，所以f(－2)＝0，又4为f(x)的一个周期，所以f(4)＝0，f(6)＝0，f(－4)＝0，f(－6)＝0，所以函数y ＝f(x)在区间[－6,6]上有7个零点，故D 错误． 12．对于函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧sin πx ，x ∈[0，2]，12f x －2，x ∈2，＋∞，则下列结论正确的是( )A ．任取x 1，x 2∈[2，＋∞)，都有|f(x 1)－f(x 2)|≤1B ．函数y ＝f(x)在[4,5]上单调递增C ．函数y ＝f(x)－ln(x －1)有3个零点D ．若关于x 的方程f(x)＝m(m<0)恰有3个不同的实根x 1，x 2，x 3，则x 1＋x 2＋x 3＝132【答案】 ACD【解析】 f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧sin πx ，x ∈[0，2]，12f x －2，x ∈2，＋∞的图象如图所示，当x ∈[2，＋∞)时，f(x)的最大值为12，最小值为－12，∴任取x 1，x 2∈[2，＋∞ )，都有|f(x 1)－f(x 2)|≤ 1恒成立，故A 正确；函数y ＝f(x)在[4,5]上的单调性和在[0,1]上的单调性相同，则函数y ＝f(x)在[4,5]上不单调，故B 错误；作出y ＝ln(x －1)的图象，结合图象，易知y ＝ln(x －1)的图象与f(x)的图象有3个交点，∴函数y ＝f(x)－ln(x －1)有3个零点，故C 正确；若关于x 的方程f(x)＝m(m<0)恰有3个不同的实根x 1，x 2，x 3，不妨设x 1<x 2<x 3，则x 1＋x 2＝3，x 3＝72，∴x 1＋x 2＋x 3＝132，故D 正确．三、填空题13．(2019·全国Ⅱ)已知f(x)是奇函数，且当x<0时，f(x)＝－e ax.若f(ln 2)＝8，则a ＝________. 【答案】－3【解析】当x>0时，－x<0，f(－x)＝－e －ax.因为函数f(x)为奇函数，所以当x>0时，f(x)＝－f(－x)＝e－ax，所以f(ln 2)＝e－aln 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12a＝8，所以a ＝－3. 14．已知函数f(x)＝|lg x|，若f(a)＝f(b)(a ≠b)，则函数g(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋22x ＋5，x ≤0，ax 2＋2bx，x>0的最小值为________．【答案】 2 2【解析】因为|lg a|＝|lg b|，所以不妨令a<b ，则有－lg a ＝lg b ，所以ab ＝1，b ＝1a(0<a<1)，所以g(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋22＋3，x ≤0，ax ＋2ax ，x>0，当x ≤0时，g(x)＝(x ＋2)2＋3≥3，取等号时x ＝－2；当x>0时，g(x)＝ax ＋2ax≥2ax ·2ax＝22，当且仅当x ＝2a时，等号成立，综上可知，g(x)min ＝2 2.15．定义在R 上的奇函数f(x)，当x ≥0时，f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x x ＋1，x ∈[0，1，1－|x －3|，x ∈[1，＋∞，则函数F(x)＝f(x)－1π的所有零点之和为________．【答案】11－2π【解析】由题意知，当x<0时， f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x 1－x ，x ∈－1，0，|x ＋3|－1，x ∈－∞，－1]，作出函数f(x)的图象如图所示，设函数y ＝f(x)的图象与y ＝1π交点的横坐标从左到右依次为x 1，x 2，x 3，x 4，x 5，由图象的对称性可知，x 1＋x 2＝－6，x 4＋x 5＝6，x 1＋x 2＋x 4＋x 5＝0，令－2x 1－x ＝1π，解得x 3＝11－2π，所以函数F(x)＝f(x)－1π的所有零点之和为11－2π.16．对于函数f(x)与g(x)，若存在λ∈{x ∈R |f(x)＝0}，μ∈{x ∈R |g(x)＝0}，使得|λ－μ|≤1，则称函数f(x)与g(x)互为“零点密切函数”，现已知函数f(x)＝ex －2＋x －3与g(x)＝x 2－ax －x ＋4互为“零点密切函数”，则实数a 的取值范围是________．【答案】 [3,4]【解析】由题意知，函数f(x)的零点为x ＝2，设g(x)的零点为μ，满足|2－μ|≤1，因为|2－μ|≤1，所以1≤μ≤3. 方法一因为函数g(x)的图象开口向上，所以要使g(x)的至少一个零点落在区间[1,3]上，则需满足g(1)g(3)≤0，或⎩⎪⎨⎪⎧g 1>0，g 3>0，Δ≥0，1<a ＋12<3，解得103≤a ≤4，或3≤a<103，得3≤a ≤4.故实数a 的取值范围为[3,4]．方法二因为g(μ)＝μ2－a μ－μ＋4＝0， a ＝μ2－μ＋4μ＝μ＋4μ－1，因为1≤μ≤3，所以3≤a ≤4. 故实数a 的取值范围为[3,4]．。

(典型题)2014高考数学二轮复习知识点总结三角函数的图象与性质

三角函数的图象与性质1.对三角函数的图象和性质的考查中，以图象的变换，函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性、最值等作为热点内容，并且往往与三角变换公式相互联系，有时也与平面向量，解三角形或不等式内容相互交汇.2.题型多以小而活的选择题、填空题来呈现，如果设置解答题一般与三角变换、解三角形、平面向量等知识进行综合考查，题目难度为中、低档．1．三角函数定义、同角关系与诱导公式(1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，则sin α＝y ，cosα＝x ，tan α＝y x.各象限角的三角函数值的符号：一全正，二正弦，三正切，四余弦．(2)同角关系：sin 2α＋cos 2α＝1，sin αcos α＝tan α.(3)诱导公式：在k π2＋α，k ∈Z 的诱导公式中“奇变偶不变，符号看象限”．2．三角函数的图象及常用性质函数y ＝sin xy ＝cos x y ＝tan x单调性在[－π2＋2k π，π2＋2k π](k ∈Z )上单调递增；在[π2＋2k π，3π2＋2k π](k ∈Z )上单调递减在[－π＋2k π，2k π](k ∈Z )上单调递增；在[2k π，π＋2k π](k ∈Z )上单调递减在(－π2＋k π，π2＋k π)(k ∈Z )上单调递增对称性对称中心：(k π，0)(k ∈Z )；对称轴：x ＝π2＋k π(k ∈Z )对称中心：(π2＋k π，0)(k ∈Z )；对称轴：x ＝k π(k ∈Z )对称中心：(k π2，0)(k ∈Z )3．三角函数的两种常见变换考点一三角函数的概念、诱导公式及同角三角函数的基本关系问题例1 (1)如图，为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针针尖位置P (x ，y )．若初始位置为P 0⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，当秒针从P 0(此时t ＝0)正常开始走时，那么点P 的纵坐标y 与时间t 的函数关系为( ) A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫π30t ＋π6B ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π60t －π6C ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π30t ＋π6D ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π30t －π3(2)已知点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π4，cos 3π4落在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ的值为( )A.π4B.3π4C.5π4 D.7π4弄清三角函数的概念是解答本题的关键．答案 (1)C (2)D解析 (1)由三角函数的定义可知，初始位置点P 0的弧度为π6，由于秒针每秒转过的弧度为－π30，针尖位置P 到坐标原点的距离为1，故点P 的纵坐标y 与时间t 的函数关系可能为y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π30t ＋π6.(2)tan θ＝cos 34πsin 34π＝－cosπ4sinπ4＝－1，又sin 3π4>0，cos 3π4<0，所以θ为第四象限角且θ∈[0,2π)，所以θ＝7π4.(1)涉及与圆及角有关的函数建模问题(如钟表、摩天轮、水车等)，常常借助三角函数的定义求解．应用定义时，注意三角函数值仅与终边位置有关，与终边上点的位置无关．(2)应用诱导公式时要弄清三角函数在各个象限内的符号；利用同角三角函数的关系化简过程要遵循一定的原则，如切化弦、化异为同、化高为低、化繁为简等．(1)已知α∈(－π，0)，tan(3π＋α)＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π＋α的值为( ) A.1010B ．－1010 C.31010D ．－31010答案 B解析由tan(3π＋α)＝13，得tan α＝13，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π＋α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝sin α. ∵α∈(－π，0)，∴sin α＝－1010. (2)如图，以Ox 为始边作角α(0<α<π)，终边与单位圆相交于点P ，已知点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，45. 求sin 2α＋cos 2α＋11＋tan α的值．解由三角函数定义，得cos α＝－35，sin α＝45，∴原式＝2sin αcos α＋2cos 2α1＋sin αcos α＝2cos αsin α＋cos αsin α＋cos αcos α＝2cos 2α＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－352＝1825. 考点二三角函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及解析式例2函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(其中|φ|<π2)的图象如图所示，为了得到g (x )＝sin ωx 的图象，则只要将f (x )的图象( )A ．向右平移π6个单位B ．向右平移π12个单位C ．向左平移π6个单位D ．向左平移π12个单位答案 A解析由图象可知，T 4＝7π12－π3＝π4，∴T ＝π，∴ω＝2ππ＝2，再由2×π3＋φ＝π，得φ＝π3，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.故只需将f (x )＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6向右平移π6个单位，就可得到g (x )＝sin 2x .(1)已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象求解析式时，常采用待定系数法，由图中的最高点、最低点或特殊点求A ；由函数的周期确定ω；确定φ常根据“五点法”中的五个点求解，其中一般把第一个零点作为突破口，可以从图象的升降找准第一个零点的位置．(2)在图象变换过程中务必分清是先相位变换，还是先周期变换．变换只是相对于其中的自变量x 而言的，如果x 的系数不是1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向．(1)(2013·某某)函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，－π2<φ<π2)的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是( ) A ．2，－π3B ．2，－π6C ．4，－π6D ．4，π3答案 A解析 ∵34T ＝5π12－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，T ＝π，∴ω＝2，又2×5π12＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z ，∴φ＝2k π－π3，又φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，∴φ＝－π3，选A.(2)(2012·某某)把函数y ＝cos 2x ＋1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图象是( )答案 A解析利用三角函数的图象与变换求解．y ＝cos 2x ＋1――→横坐标伸长2倍纵坐标不变 y ＝cos x ＋1――→向左平移1个单位长度y ＝cos(x ＋1)＋1――→向下平移1个单位长度y ＝cos(x ＋1)．结合选项可知应选A.(3)已知函数f (x )＝3sin 2x －2sin 2x ＋2，x ∈R . ①求函数f (x )的最大值及对应的x 的取值集合； ②画出函数y ＝f (x )在[0，π]上的图象．解 ①f (x )＝3sin 2x ＋cos 2x ＋1＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋1，当2x ＋π6＝2k π＋π2 (k ∈Z )时，f (x )取最大值3，此时x 的取值集合为{x |x ＝k π＋π6，k ∈Z }．②列表如下：x0 π6 5π12 2π3 11π12 π 2x ＋π6π6 π2 π 3π2 2π 13π6 y231－112图象如下：考点三三角函数的性质例3 (2012·)已知函数f (x )＝sin x －cos x sin 2xsin x.(1)求f (x )的定义域及最小正周期； (2)求f (x )的单调递增区间．先化简函数解析式，再求函数的性质．解 (1)由sin x ≠0得x ≠k π(k ∈Z )，故f (x )的定义域为{x ∈R |x ≠k π，k ∈Z }．因为f (x )＝sin x －cos x sin 2xsin x＝2cos x (sin x －cos x ) ＝sin 2x －cos 2x －1 ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4－1，所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)函数y ＝sin x 的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z )．由2k π－π2≤2x －π4≤2k π＋π2，x ≠k π(k ∈Z )，得k π－π8≤x ≤k π＋3π8，x ≠k π(k ∈Z )．所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎭⎪⎫k π－π8，k π和⎝ ⎛⎦⎥⎤k π，k π＋3π8(k ∈Z )．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的性质及应用的求解思路第一步：先借助三角恒等变换及相应三角函数公式把待求函数化成y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的形式；第二步：把“ωx ＋φ”视为一个整体，借助复合函数性质求y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的单调性及奇偶性、最值、对称性等问题．(1)已知函数f (x )＝sin x ＋cos x ，g (x )＝sin x －cos x ，有下列四个命题： ①将f (x )的图象向右平移π2个单位可得到g (x )的图象；②y ＝f (x )g (x )是偶函数；③f (x )与g (x )均在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上单调递增； ④y ＝f xg x的最小正周期为2π. 其中真命题的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 C解析 f (x )＝2sin(x ＋π4)，g (x )＝sin x －cos x ＝2sin(x －π4)，显然①正确；函数y ＝f (x )g (x )＝sin 2x －cos 2x ＝－cos 2x ，其为偶函数，故②正确；由0≤x ＋π4≤π2及－π2≤x －π4≤0都可得－π4≤x ≤π4，所以由图象可判断函数f (x )＝2sin(x ＋π4)和函数g (x )＝2sin(x －π4)在[－π4，π4]上都为增函数，故③正确；函数y ＝f xg x ＝sin x ＋cos x sin x －cos x ＝1＋tan x tan x －1＝－tan(x ＋π4)，由周期性定义可判断其周期为π，故④不正确．(2)(2013·某某)已知函数f (x )＝4cos ωx ·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4(ω>0)的最小正周期为π.①求ω的值；②讨论f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的单调性．解 ①f (x )＝4cos ωx ·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4＝22sin ωx ·cos ωx ＋22cos 2ωx ＝2(sin 2ωx ＋cos 2ωx )＋ 2 ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π4＋ 2.因为f (x )的最小正周期为π，且ω>0. 从而有2π2ω＝π，故ω＝1.②由①知，f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋ 2. 若0≤x ≤π2，则π4≤2x ＋π4≤5π4. 当π4≤2x ＋π4≤π2，即0≤x ≤π8时，f (x )单调递增；当π2≤2x ＋π4≤5π4，即π8≤x ≤π2时，f (x )单调递减．综上可知，f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π8上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8，π2上单调递减．1．求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(或y ＝A cos(ωx ＋φ)，或y ＝A tan(ωx ＋φ))的单调区间(1)将ω化为正．(2)将ωx ＋φ看成一个整体，由三角函数的单调性求解． 2．已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B (A >0，ω>0)的图象求解析式(1)A ＝y max －y min2，B ＝y max ＋y min2.(2)由函数的周期T 求ω，ω＝2πT.(3)利用与“五点法”中相对应的特殊点求φ.3．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的对称轴一定经过图象的最高点或最低点． 4．求三角函数式最值的方法(1)将三角函数式化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的形式，进而结合三角函数的性质求解． (2)将三角函数式化为关于sin x ，cos x 的二次函数的形式，进而借助二次函数的性质求解． 5．特别提醒：进行三角函数的图象变换时，要注意无论进行什么样的变换都是变换变量本身.1．假设若干个函数的图象经过平移后能够重合，则称这些函数为“互为生成函数”．给出下列函数：①f (x )＝sin x －cos x ；②f (x )＝2(sin x ＋cos x )； ③f (x )＝2sin x ＋2；④f (x )＝sin x . 则其中属于“互为生成函数”的是( ) A ．①② B．①③ C．③④ D．②④ 答案 B2．已知函数f (x )＝sin ωx ·cos ωx ＋3cos 2ωx －32(ω>0)，直线x ＝x 1，x ＝x 2是y ＝f (x )图象的任意两条对称轴，且|x 1－x 2|的最小值为π4.(1)求f (x )的表达式；(2)将函数f (x )的图象向右平移π8个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，若关于x 的方程g (x )＋k ＝0在区间[0，π2]上有且只有一个实数解，某某数k 的取值X 围．解 (1)f (x )＝12sin 2ωx ＋3×1＋cos 2ωx 2－32＝12sin 2ωx ＋32cos 2ωx ＝sin(2ωx ＋π3)，由题意知，最小正周期T ＝2×π4＝π2，T ＝2π2ω＝πω＝π2，所以ω＝2， ∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π3. (2)将f (x )的图象向右平移π8个单位后，得到y ＝sin(4x －π6)的图象，再将所得图象所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到y ＝sin(2x －π6)的图象．所以g (x )＝sin(2x －π6)．令2x －π6＝t ，∵0≤x ≤π2，∴－π6≤t ≤5π6.g (x )＋k ＝0在区间[0，π2]上有且只有一个实数解，即函数g (t )＝sin t 与y ＝－k 在区间[－π6，5π6]上有且只有一个交点．如图，由正弦函数的图象可知－12≤－k <12或－k ＝1.∴－12<k ≤12或k ＝－1.(推荐时间：60分钟)一、选择题1．点P 从(1,0)出发，沿单位圆x 2＋y 2＝1逆时针方向运动2π3弧长到达Q 点，则Q 点的坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－12C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－32 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12答案 A解析记α＝∠POQ ，由三角函数的定义可知，Q 点的坐标(x ，y )满足x ＝cos α＝cos 2π3＝－12， y ＝sin α＝sin2π3＝32. 2．已知α为第二象限角，sin α＋cos α＝33，则cos 2α等于( ) A ．－53B ．－59C.59D.53答案 A解析因为sin α＋cos α＝33，两边平方得1＋2sin αcos α＝13，所以sin 2α＝－23.由于sin α＋cos α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝33>0，且α为第二象限角，所以2k π＋π2<α<2k π＋3π4，k ∈Z ，所以4k π＋π<2α<4k π＋3π2，k ∈Z ，所以cos 2α＝－1－sin 22α＝－1－49＝－53. 3．将函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3的图象上各点横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平移π6个单位，所得函数图象的一条对称轴是( ) A ．x ＝π4 B ．x ＝π6C ．x ＝π D．x ＝π2答案 D解析 y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3―――――――――→横坐标伸长到原来的2倍纵坐标不变 y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π3 y ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6－π3，即y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫12x －π4.因为当x ＝π2时，y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫12×π2－π4＝1，所以对称轴可以是x ＝π2.4．若函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2)在一个周期内的图象如图所示，M ，N 分别是这段图象的最高点与最低点，且OM →·ON →＝0，则A ·ω 等于( ) A.π6B.7π12 C.7π6 D.7π3答案 C解析由题中图象知T 4＝π3－π12，所以T ＝π，所以ω＝2.则M ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，A ，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12，－A 由OM →·ON →＝0，得7π2122＝A 2，所以A ＝7π12，所以A ·ω＝7π6. 5．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ) (ω>0)的图象关于直线x ＝π3对称，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＝0，则ω的最小值为( ) A ．2 B ．4 C ．6 D ．8 答案 A解析由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＝0知⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，0是f (x )图象的一个对称中心，又x ＝π3是一条对称轴，所以应有⎩⎪⎨⎪⎧ω>02πω≤4⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－π12，解得ω≥2，即ω的最小值为2，故选A.6．(2013·某某)如图，已知l 1⊥l 2，圆心在l 1上、半径为1 m 的圆O 在t＝0时与l 2相切于点A ，圆O 沿l 1以1 m/s 的速度匀速向上移动，圆被直线l 2所截上方圆弧长记为x ，令y ＝cos x ，则y 与时间t (0≤t ≤1，单位：s)的函数y ＝f (t )的图象大致为( )答案 B解析方法一 (排除法)当t ＝0时，y ＝cos 0＝1，否定A 、D. 当t ＝12时，l 2上方弧长为23π.y ＝cos 23π＝－12.∴否定C ，只能选B. 方法二 (直接法)由题意知∠AOB ＝x ，OH ＝1－t ， cos∠AOH ＝cos x 2＝OH OA ＝1－t ，∴y ＝cos x ＝2cos 2x2－1＝2(1－t )2－1(0≤t ≤1)． ∴选B. 二、填空题7．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴，若P (4，y )是角θ终边上一点，且sin θ＝－255，则y ＝________.答案－8解析因为sin θ＝y42＋y2＝－255，所以y <0，且y 2＝64，所以y ＝－8.8．函数f (x )＝sin πx ＋cos πx ＋|sin πx －cos πx |对任意的x ∈R 都有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)成立，则|x 2－x 1|的最小值为________．答案 34解析依题意得，当sin πx －cos πx ≥0，即sin πx ≥cos πx 时，f (x )＝2sin πx ；当sin πx －cos πx <0，即sin πx <cos πx 时，f (x )＝2cos πx .令f (x 1)、f (x 2)分别是函数f (x )的最小值与最大值，结合函数y ＝f (x )的图象可知，|x 2－x 1|的最小值是34.9．已知f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6－m 在x ∈[0，π2]上有两个不同的零点，则m 的取值X 围为________．答案 [1,2)解析函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6－m 在x ∈[0，π2]上有两个不同的零点，等价于方程m ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6在区间[0，π2]上有两解．作出如图的图象，由于右端点的坐标是⎝⎛⎭⎪⎫π2，1，由图可知，m ∈[1,2)．10．关于函数f (x )＝sin 2x －cos 2x 有下列命题：①y ＝f (x )的周期为π；②x ＝π4是y ＝f (x )的一条对称轴；③⎝ ⎛⎭⎪⎫π8，0是y ＝f (x )的一个对称中心；④将y ＝f (x )的图象向左平移π4个单位，可得到y ＝2sin 2x 的图象，其中正确命题的序号是______(把你认为正确命题的序号都写上)．答案 ①③解析由f (x )＝sin 2x －cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4，得T ＝2π2＝π，故①对；f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝2sin π4≠±2，故②错； f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝2sin 0＝0，故③对； y ＝f (x )的图象向左平移π4个单位，得y ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4－π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，故④错．故填①③. 三、解答题11．(2013·某某)设函数f (x )＝32－3sin 2ωx －sin ωx cos ωx (ω>0)，且y ＝f (x )图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4.(1)求ω的值；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2上的最大值和最小值．解 (1)f (x )＝32－3sin 2ωx －sin ωx cos ωx ＝32－3×1－cos 2ωx 2－12sin 2ωx ＝32cos 2ωx －12sin 2ωx ＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx －π3.依题意知2π2ω＝4×π4，ω>0，所以ω＝1.(2)由(1)知f (x )＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.当π≤x ≤3π2时，5π3≤2x －π3≤8π3.所以－32≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3≤1.所以－1≤f (x )≤32. 故f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2上的最大值和最小值分别为32，－1.12．(2012·某某)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈R ，ω>0，0<φ<π2的部分图象如图所示．(1)求函数f (x )的解析式；(2)求函数g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12的单调递增区间．解 (1)由题设图象知，周期T ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫11π12－5π12＝π，所以ω＝2πT＝2.因为点⎝⎛⎭⎪⎫5π12，0在函数图象上，所以A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×5π12＋φ＝0，即sin ⎝⎛⎭⎪⎫5π6＋φ＝0. 又因为0<φ<π2，所以5π6<5π6＋φ<4π3.从而5π6＋φ＝π，即φ＝π6.又点(0,1)在函数图象上，所以A sin π6＝1，解得A ＝2.故函数f (x )的解析式为f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6. (2)g (x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12＋π6－2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12＋π6＝2sin 2x －2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝2sin 2x －2⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin 2x ＋32cos 2x＝sin 2x －3cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z .所以函数g (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12，k ∈Z .。

2014高考数学知识点

2014高考数学知识点2014年的高考数学试卷是考查学生对数学知识点的掌握和应用能力的重要考试。

下面，我将为您详细介绍2014年高考数学试卷涉及的主要知识点。

知识点一：函数与方程在2014年的高考数学试卷中，函数与方程是一个非常重要的知识点。

学生需要掌握函数的概念、性质和图像，并能够解一元一次方程、一元二次方程、一次不等式、二次不等式等各种类型的方程。

此外，还需要了解函数与方程在实际问题中的应用，例如利用函数关系解决实际问题、求函数的最值等。

知识点二：三角函数三角函数也是2014年高考数学试卷中的重点内容。

学生需要了解正弦函数、余弦函数、正切函数等各种三角函数的定义、性质以及它们的图像。

同时，还需要能够解三角方程和三角不等式，并能够应用三角函数解决实际问题，如求角度、求距离等。

知识点三：数列与数学归纳法数列与数学归纳法也是2014年高考数学试卷中的重要知识点。

学生需要了解数列的概念、性质和求和公式，并能够判断数列的特点，如等差数列、等比数列等。

此外，还需要掌握数学归纳法的基本原理和应用，以解决数列问题。

知识点四：立体几何立体几何是2014年高考数学试卷中的必考知识点之一。

学生需要了解各种立体几何的基本概念，如球体、圆柱体、锥体等，并能够计算立体几何的表面积和体积。

此外，还需要掌握立体几何在实际问题中的应用，如计算容积、表面积等。

知识点五：概率与统计概率与统计也是2014年高考数学试卷中的重点知识点。

学生需要了解概率的基本概念、性质和计算方法，并能够解决概率问题，如计算事件的概率、计算样本空间等。

同时，还需要了解统计的基本概念和方法，如频数、频率、均值、中位数等，并能够分析和解释统计数据。

通过对2014年高考数学试卷的分析，我们可以看出，数学知识点的掌握是高考数学考试的核心要求。

只有对这些知识点有深入的理解和熟练的应用，才能在考试中取得好成绩。

因此，我们应该注重对这些知识点的学习和巩固，并进行大量的练习，以提高自己的数学水平和解题能力。

2014高考数学必修章节知识点归纳

2014年高考数学知识点归纳总结必修1数学知识点第一章、集合与函数概念 §1.1.1、集合1、把研究的对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合。

集合三要素：确定性、互异性、无序性。

2、只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合相等。

3、常见集合：正整数集合：*N 或+N ，整数集合：Z ，有理数集合：Q ，实数集合：R .4、集合的表示方法：列举法、描述法. §1.1.2、集合间的基本关系1、一般地，对于两个集合A 、B ，如果集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素，则称集合A 是集合B 的子集。

记作B A ⊆.2、如果集合B A ⊆，但存在元素B x ∈，且A x ∉，则称集合A 是集合B 的真子集.记作：A B.3、把不含任何元素的集合叫做空集.记作：∅.并规定：空集合是任何集合的子集. 4、如果集合A 中含有n 个元素，则集合A 有n2个子集.§1.1.3、集合间的基本运算1、一般地，由所有属于集合A 或集合B 的元素组成的集合，称为集合A 与B 的并集.记作：B A . 2、一般地，由属于集合A 且属于集合B 的所有元素组成的集合，称为A 与B 的交集.记作：B A . 3、全集、补集？{|,}U C A x x U x U =∈∉且 §1.2.1、函数的概念1、设A 、B 是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有惟一确定的数()x f 和它对应，那么就称B A f →:为集合A 到集合B 的一个函数，记作：()A x x f y ∈=,.2、一个函数的构成要素为：定义域、对应关系、值域.如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则称这两个函数相等. §1.2.2、函数的表示法1、函数的三种表示方法：解析法、图象法、列表法. §1.3.1、单调性与最大（小）值1、注意函数单调性证明的一般格式：解：设[]b a x x ,,21∈且21x x <，则：()()21x f x f -=…§1.3.2、奇偶性1、一般地，如果对于函数()x f 的定义域内任意一个x ，都有()()x f x f =-，那么就称函数()x f 为偶函数.偶函数图象关于y 轴对称.2、一般地，如果对于函数()x f 的定义域内任意一个x ，都有()()x f x f -=-，那么就称函数()x f 为奇函数.奇函数图象关于原点对称. 第二章、基本初等函数（Ⅰ） §2.1.1、指数与指数幂的运算1、一般地，如果a x n=，那么x 叫做a 的n 次方根。

2014届高考数学二轮复习第4讲函数、基本初等函数I的图象与性质

第4讲函数、基本初等函数I的图象与性质高考研究一、【考纲要求】1．函数（1）了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念.（2）在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图像法、列表法、解析法）表示函数.（3）了解简单的分段函数，并能简单应用（函数分段不超过三段）.（4）理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意义；了解函数奇偶性的含义.（5）会运用基本初等函数的图像分析函数的性质.2．指数函数（1）了解指数函数模型的实际背景.（2）理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算.（3）理解指数函数的概念及其单调性，掌握指数函数图像通过的特殊点，会画底数为2，3，10，1/2，1/3的指数函数的图像．（4）体会指数函数是一类重要的函数模型.3．对数函数（1）理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用.（2）理解对数函数的概念及其单调性，掌握对数函数图像通过的特殊点，会画底数为2，10，1/2的对数函数的图像．（3）体会对数函数是一类重要的函数模型；（4）了解指数函数与对数函数（）互为反函数.4．幂函数（1）了解幂函数的概念.（2）结合函数的图像，了解它们的变化情况.5．函数与方程结合二次函数的图像，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数.7．导数及其应用（1）了解导数概念的实际背景.（2）通过函数图像直观理解导数的几何意义.（3）根据导数的定义求函数(c为常数)的导数.（4）能利用下面给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数（仅限于形如f（ax+b）的复合函数）的导数.常见基本初等函数的导数公式和常用导数运算公式：(C为常数)；, n∈N+；；; ;(a>0,且a≠1); ; (a>0,且a≠1).常用的导数运算法则：（5）了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（其中多项式函数一般不超过三次）.（6）了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值（其中多项式函数一般不超过三次）；会求闭区间上函数的最大值、最小值（其中多项式函数一般不超过三次）. （7）会用导数解决某些实际问题..（8）了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念. （9）了解微积分基本定理的含义. 【命题规律】二、【基础知识整合】1．函数的奇偶性：（1）定义：一般地，如果对于函数()f x 的定义域内任意一个x ，都有()()f x f x -=，那么函数()f x 叫做偶函数；如果都有()()f x f x -=-，那么函数()f x 叫做奇函数,函数具有奇偶性，则定义域关于原点对称. (2)图象特征：函数()f x 是偶函数Û图像关于y 轴对称；函数()f x 是奇函数Û图像关于原点对称.（3）奇函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上的单调性相同，且如果在0x =处有定义，有(0)0f =，即其图像过原点（0,0）.，偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上的单调性相反，且()()()f x f x f x -==，这样就可以把研究整个函数具有的性质问题转化到只研究部分（一半）区间上，是简化问题的途径，切记！2.函数的单调性判断方法：（1）定义法：对于定义域内某一个区间D 内任意的12,x x ，且12x x <，若12()()f x f x < Ûf(x)在D 上单调递增；若12()()f x f x >Ûf(x)在D 上单调递减.（2）导数法：若函数在某个区间D 可导，如果'f (x)>0，那么函数f(x)在区间D 内单调递增；如果'f (x)<0，那么函数f(x)在区间D 内单调递减.(3)图像法：先作出函数的图像，再根据图像的上升或下降，从而确定单调区间.（4）()()()F x f x g x =+，若(),()f x g x 都是增函数，则()F x 在其公共定义域内是增函数；若(),()f x g x 都是减函数，则()F x 在其公共定义域内是减函数.()()()F x f x g x =-，若()f x 是增函数，()g x 是减函数，则()F x 在其公共定义域内是增函数；若()f x 是减函数，()g x 是增函数，则()F x 在其公共定义域内是减函数.同时要充分利用函数的奇偶性、函数的周期性、函数图象的直观性分析转化，函数的单调性往往与不等式的解、方程的解等问题交汇，要注意这些知识的综合运用. 3．函数的图像：（１）描点法作函数图象，应注意在定义域内依据函数的性质，选取关键的一部分点连接而成. （２）图象变换法，包括有平移变换、伸缩变换、对称翻折变换.()f x 的图像的画法：先画0x ≥时()y f x =，再将其关于y 对称，得y 轴左侧的图像.()f x 的图像画法：先画()y f x =的图象，然后位于x 轴上方的图象不变，位于x 轴下方的图象关于x 轴翻折上去.()()f a x f a x +=-Þ()y f x =的图象关于x =a 对称；()()f a x f a x +=--Þ()y f x =的图象关于(a,0）点对称.()y f x =的图象关于x 轴对称的函数图象解析式为(y f x =-）；关于y 轴对称的函数解析式为(-y f x =）；关于原点对称的函数解析式为-(-y f x =）. (3)熟记基本初等函数的图象，以及形如1y x x=+的图象 4．周期性：（1）定义：对于函数()y f x =，如果存在一个不为零的常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，()()f x T f x +=都成立，那么就把函数()y f x =叫做周期函数，不为零的常数T 叫做这个函数的周期. f(x ）是偶函数，且图象关于1x =对称，则f(2+x)=f(-x)=f(x)，所以f(x)周期是2.5．指数函数、对数函数、幂函数的性质：幂函数y x α=图象永远过（1,1），且当0α>时，在(0,)x ∈+∞时，单调递增；当0α<时，在(0,)x ∈+∞时，单调递减.６.函数与方程（１）方程()0f x =有实根Û函数()y f x =的图象与x 轴有交点Û函数()y f x =有零点．（２）如果函数()y f x =在区间[,]a b 上的图象是连续不断的一条曲线，并且有()()0f a f b ⋅<那么，函数()y f x =在区间(,)a b 内有零点，即存在c (a b)∈，，使得f (c) = 0，这个c 也就是方程f (x) = 0的根（5）函数的零点就是函数()y f x =的图象与x 轴有交点的横坐标，所以往往利用导数结合极值和单调性画出函数大致图像，并结合零点存在定理判断零点所在的区间. 7．导数的几何意义（1）函数()y f x =在点0x 处的导数就是曲线()y f x =在点00(,())P x f x 处的切线的斜率，则'0()k f x = （2）函数()y f x =在点00(,())P x f x 处的切线方程为'000()()()y f x f x x x -=-.(3)在关于函数图象的切线问题中，如果涉及确定参数值的问题，首先设切点，然后注意三个条件的使用，其一切点在切线上，其二切点在曲线上，其三切线斜率'0()k f x =. 8．导数与单调性的关系（1）若函数在某个区间D 可导，'f (x)>0 Þf(x)在区间D 内单调递增；'f (x)<0Þf(x)在区间D 内单调递减.(4)若已知单调性确定参数的范围，一种方法是结合基本函数图像或熟悉的函数的图象求解；另一种方法是转化为'()0f x ≥或'()0f x ≤恒成立.9．导数和函数极值、最值的关系（1）求极值的步骤：①先求'()0f x =的根0x （定义域内的或者定义域端点的根舍去）；②分析0x 两侧导数'()f x 的符号：若左侧导数负右侧导数正，则0x 为极小值点；若左侧导数正右侧导数负，则0x 为极大值点.（2）对于可导函数，导数为0是点为极值点的必要而不充分条件.（3）设函数()y f x =在[,]a b 上连续，在,a b （）内可导，则()y f x =在[,]a b 上必有最大值和最小值且在极值点或端点取得，所以只需比较极值点和端点函数值即得到函数的最值.（4）求函数的单调区间、极值、最值是统一的，极值是函数的拐点，也是单调区间的划分点，而求函数的最值是在求极值的基础上，通过判断函数的大致图像，从而得到最值,大前提是要考虑函数的定义域. 10．利用定积分求曲边梯形的面积（1）由直线x=a ，x=b a b <（），x 轴及一条曲线()y f x =(()0)f x ≥围成的曲边梯形的面积 ()baS f x dx =⎰，若'()()F X f x =，则(-S F b F =）（a). （2）推广：由直线x=a ，x=b a b <（），()y f x =和y=g(x ）（()f x >g(x ））围成的平面图形的面积为[()()]baS f x g x dx =-⎰三、【高频考点突破】考点1 函数及其表示【例2】【2013年普通高等学校招生全国统一考试(江西卷)理】函数)y x =-的定义域为（） A.(0,1)B.[0,1)C.(0,1]D.[0,1]【例3】【江苏省苏州市2014届高三九月测试试卷】已知函数2, 0,()2, 0x x f x x x x -≤⎧⎪=⎨->⎪⎩，则满足()1f x <的x 的取值范围是______．【规律方法】1、若已知解析式求函数定义域，只需列出使解析式有意义的不等式（组）即可.2、对于复合函数求定义域问题，若已知()f x 的定义域[,]a b ，则复合函数(())f g x 的定义域由不等式()a g x b ≤≤得到.3、对于分段函数知道自变量求函数值或者知道函数值求自变量的问题，应依据已知条件准确找出利用哪一段求解.【举一反三】【湖北省荆门市龙泉中学2014届高三8月月考数学（理）】设36log (1)(6)()31(6)x x x f x x --+>⎧=⎨-≤⎩满足8()9f n =-，则(4)f n +=( ) A ．2 B ．2- C ．1D ．1-考点2 函数的图象【例1】【湖北省荆门市龙泉中学2014届高三8月月考数学（理）】已知函数()()()f x x a x b =--（a b >）的图象如下面左图所示，则函数()x g x a b =+的图象是（）【例2】【2013年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）】函数cos sin y x x x =+的图象大致为【例3】【2013年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）理】函数f (x )的图象向右平移一个单位长度，所得图象与y =e x 关于y 轴对称，则f (x )=（）A.1ex + B. 1ex - C. 1ex -+ D. 1ex --【规律方法】1.正确的作图必须做到：①熟练掌握常见的一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数及形如(0,0)by ax a b x=+>>的函数图象；②掌握图象变换的方法来简化作图过程. 2．正确的识图是解题的关键，在观察和分析图象时，要注意图象的分布和变化趋势，要结合函数的性质，或者特殊点，以及函数值的正负来判断. 【举一反三】考点3 函数的性质【例1】【2013年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）理】设a 为实常数，()y f x =是定义在R 上的奇函数，当0x <时，2()97a f x x x=++，若()1f x a ≥+对一切0x ≥成立，则a 的取值范围为______.【例3】【江西省2014届高三新课程适应性考试理科数学】函数()f x 的定义域为{|1}x R x ∈≠，对定义域中任意的x ，都有(2)()f x f x -=，且当1x <时，2()2f x x x =-，那么当1x >时，()f x 的递增区间是（）A ．5[,)4+∞ B ．5(1,]4 C ．7[,)4+∞ D ．7(1,)4【规律方法】重视对函数概念和基本性质的理解，包括定义域、值域（最值）、对应法则、对称性（包括奇偶性）、单调性、周期性、图像变换、基本初等函数（载体），研究函数的性质要注意分析函数解析式的特征，同时要注意图象（形）的作用，善于从形的角度研究函数的性质. 【举一反三】【广东省佛山市一中2014届高三10月段考（理）】已知函数()f x 是定义在(,0)(0,)-∞+∞ 上的奇函数，在(0,)+∞上单调递减，且0)3()21(>->f f ，则方程()0f x =的根的个数为_________.考点4 指数函数、对数函数、幂函数【例1】【广东省汕头四中2014届高三第一次月考数学（理）】已知函数3,0,()ln(1),>0.x x f x x x ⎧≤=⎨+⎩ 若2(2)()f x f x ->，则实数x 的取值范围是（）(A) (,1)(2,)-∞-⋃+∞ (B) (,2)(1,)-∞-⋃+∞ (C) (1,2)- (D) (2,1)-【例2】【江西省2014届高三新课程适应性考试理科数学】已知映射:f A B →，其中[0,1]A =，B R =，对应法则是121:log (2)()3xf x x →--，对于实数k B ∈，在集合A 中不存在元素与之对应，则k 的取值范围是 ..【例3】【江苏省南京市2014届高三9月学情调研】已知函数()32log ,031108,333x x f x x x x ⎧<<⎪=⎨-+≥⎪⎩，若存在实数a 、b 、c 、d ，满足()()()f a f b f c == ()f d =，其中0d c b a >>>>，则abcd 的取值范围是 .【规律方法】1.对数函数的定义域为{}0x x >，指数函数的值域{}0y y >.2．熟练掌握指数、对数的运算性质以及指对互化；熟练掌握指数函数、对数函数的图象和性质，当底数的范围不确定时要分类讨论.3. 注意利用指数函数、对数函数、幂函数的图像灵活运用数形结合思想解题. 【举一反三】已知函数2232(0)()log (0)x x x f x x x ⎧++≤=⎨>⎩，则此函数的“和谐点对”有（）A ．0对B ．1对C ．2对D ．3对考点5 函数的零点【例1】【广东省广州市越秀区2014届高三上学期摸底考试（理）】函数()23xf x e x =+-的零点所在的一个区间是（）A.1,02⎛⎫-⎪⎝⎭ B.10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ C.1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭ D.31,2⎛⎫⎪⎝⎭【例2】【江西省2014届高三新课程适应性考试理科数学】已知函数()y f x =是周期为2的周期函数，且当[1,1]x ∈-时，||()21x f x =-，则函数()()|lg |F x f x x =-的零点个数是（）A ．9B ．10C ．11D ．12【规律方法】1、确定函数()f x 的零点所在的区间：第一种方法是解方程()0f x =的根；第二种方法是如果方程容易解出，可转化为两个函数交点横坐标问题，通过检验交点左侧和右侧函数值的大小关系，进而得出两点所在的区间；第三种方法是利用零点存在定理.2.确定零点的个数问题：可利用数形结合的办法判断交点个数，如果函数较为复杂，可结合导数知识确定极值点和单调区间从而确定其大致图象.3、方程的有解问题就是判断是否存在零点的问题，可参变分离，转化为求函数的值域问题处理. 【举一反三】【河北省邯郸市2014届高三9月摸底考试数学理科】直线y x =与函数⎩⎨⎧<++≥=m x x x m x x f ,24,2)(2的图象恰有三个公共点，则实数m 的取值范围（）A ．[1,2)- B. [1,2]- C. ]2,1(- D. [2,)+∞考点6 函数模型及其应用【例1】【2013年普通高等学校招生全国统一考试（陕西卷）】在如图所示的锐角三角形空地中, 欲建一个面积不小于300m 2的内接矩形花园(阴影部分), 则其边长x(单位m)的取值范围是（） (A) [15,20] (B) [12,25] (C) [10,30](D) [20,30]【例2】【2013年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）理】甲厂以x 千克/小时的速度运输生产某种产品（生产条件要求110x ≤≤），每小时可获得利润是3100(51)x x+-元. (1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元，求x 的取值范围；(2)要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求最大利润.第 11 页共 13 页【规律方法】解与函数有关的应用题一般程序为：审题Þ建模Þ求解Þ反馈，审题就是理解题意，明确问题的实际背景，然后进行科学地抽象概括，将实际问题归纳为相应的数学问题；关键一步是设定变量，寻找其内在的等量关系或者不等关系，然后准确建立相关的函数解析式（标明定义域），再应用函数、方程、不等式和导数的有关知识加以综合解决. 【举一反三】【湖北孝感高中2014届高三年级九月调研考试】（本小题满分13分）预计某地区明年从年初开始的前x 个月内，对某种商品的需求总量)(x f （万件）近似满足：∈-+=x x x x x f )(235)(1()(N *，且12≤x ）考点7 导数的运算及其意义【例1】【广东省惠州市2014届高三第一次调研考试】已知函数x x x f 3)(3-=，若过点()0,16A 且与曲线()y f x =相切的切线方程为16y ax =+，则实数a 的值是( )A.3-B.3C.6D.9【例2】【江西省2014届高三新课程适应性考试理科数学】已知函数21()4ln 2f x x x =+，若存在满足013x ≤≤的实数0x ，使得曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线与直线100x my +-=垂直，则实数m 的取值范围是（）A ．[5,)+∞B ．[4,5]C ．13[4,]3D ．(,4)-∞【规律方法】1.导数的几何意义是'()k f x =.2.从近几年的高考试题来看，利用导数的几何意义求曲线在某点处的切线方程以及与切线有关的问题是高考的热点问题，解决该类问题必须熟记导数公式，明确导数的几何意义，切点既在曲线上，又在切线上. 【举一反三】已知点P 在曲线41xy e =+上，α为曲线在点P 处切线的倾斜角，则α的取值范围是（）第 12 页共 13 页A. [0,)4πB. [,)42ππC. 3[,)4ππD. 3(,]24ππ 考点8 导数的应用（单调性、极值、最值）【例1】【湖北省荆州中学2014届高三年级第一次质量检测数学】设函数()f x 的导函数为'()f x ，对任意x R ∈都有'()()f x f x >成立，则（）A ．3(ln 2)2(ln3)f f > B. 3(ln 2)2(ln3)f f =C. 3(ln 2)2(ln3)f f <D. 3(ln 2)f 与2(ln 3)f 的大小不确定【例2】【成都外国语学校2014级高三开学检测试卷】已知函数2()ln(1)f x ax x =++．（Ⅰ）当14a =-时，求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）当[0,)x ∈+∞时，不等式()f x x ≤恒成立，求实数a 的取值范围．【规律方法】1、利用对于确定函数求单调区间问题，先求定义域，然后解不等式'()0f x >和定义域求交集得单调递增区间；解不等式'()0f x <和定义域求交集得单调递减区间.2、对于含参数的函数求单调区间问题，转化为判断导函数符号，可结合函数图象判断.3、求函数的极值，先求'()0f x =的根0x ，再和函数定义域比较，如果落在定义域外或者落在定义域端点，此时函数单调，无极值；当落在定义域内时，将定义域分段，分别考虑0x 两侧导数是否异号，从而判断是否有极值.4、求函数的最值和求极值类似，先求'()0f x =的根0x ，如果落在定义域外或者落在定义域端点，此时函数单调，利用单调性求最值；当落在定义域内时，将定义域分段，分别考虑0x 两侧导数是否异号，从而判断函数大致图象，从而求最值. 【举一反三】【广东省珠海市2014届高三9月摸底考试数学（理）】已知函数1()ln xf x x ax-=+ （1）当1a =时，求()f x 在1[,2]2上的最小值；（2）若函数()f x 在1[,+)2∞上为增函数，求正实数a 的取值范围；第 13 页共 13 页（3）若关于x 的方程12ln 20x x x mx -+-=在区间1,e e⎡⎤⎢⎥⎣⎦内恰有两个相异的实根，求实数m 的取值范围．考点9 定积分的计算及应用【例1】【2013年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷理科】一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度25()731v t t t=-++（t 的单位：s ，v 的单位：m/s ）行驶至停止. 在此期间汽车继续行驶的距离（单位：m ）是（）125ln5+ B ．11825ln 3+ C ．425ln5+ D ．450ln 2+【规律方法】1、求导运算与求原函数运算互为逆运算，求定积分的关键是找到被积函数的原函数，为避免出错，在求出原函数后可利用求导与积分互为逆运算的关系进行验证.2、定积分的应用主要有两个问题：一是能利用定积分求曲边梯形的面积；二是能利用定积分求变速直线运动的路程及变力做功问题，其中，应特别注意求定积分的运算与利用定积分计算曲边梯形面积的区别. 【举一反三】【广东省广州市海珠区2014届高三入学摸底考试数学理试题】一物体在力5, 02,()34, 2x F x x x ≤≤⎧=⎨+>⎩(单位：N )的作用下沿与力F 相同的方向,从0x = 处运动到4x = (单位：m )处,则力()F x 做的功为焦．三．错混辨析A. (1,)+∞B. (,0)-∞C. (1,)+∞ (,0)-∞D. (,)e +∞ 2.概念不清致误【例2】已知322()+f x x ax bx a =++在1x =处有极值为10，则a b +的值=__________. 3.导数和函数单调性不清致误【例3】已知222()2x ax af x x+-=区间[1,)+∞是增函数，求实数a 的取值范围.。

2014届高考数学-函数、基本初等函数的图像与性质

专题一第二讲函数、基本初等函数的图像与性质
一、函数性质
1、函数单调性：
例1：已知在上是x的减函数，则a的值取范围是。答案：(1, 2)
2、函数图象的对称性与周期性
例2：设函数，且在闭区间[0，7]上，只有
（Ⅰ）试判断函数的奇偶性；
（Ⅱ）试求方程在闭区间[－2005，2005]上的根的个数，并证明你的结论.
⑵
故由⑴、⑵得
综合（i）（ii）可知，在区间上的单调增区间的长度和为。
:
专题一第二讲函数、基本初等函数的图像与性质
班级_________________姓名____________________
一、填空题：
1．若，则的取值范围是。
2、若使得方程有实数解，则实数m的取值范围为。高考资源网
（2）令
16、解：（1）若，对于正数，的定义域为，但的值域，故，不合要求．--------------------------2分
若，对于正数，的定义域为．-----------------3分
由于此时，
故函数的值域．------------------------------------6分
解：（1）由的定义可知，（对所有实数）等价于
（对所有实数）这又等价于，即
对所有实数均成立.（*）
由于的最大值为，
故（*）等价于，即，这就是所求的充分必要条件
（2）分两种情形讨论
（i）当时，由（1）知（对所有实数）
则由及易知，
再由的单调性可知，
函数在区间上的单调增区间的长度
，
所以，在区间[－2005,－2000]上，方程无解．

(考点梳理+考点自测+真题举例)2014高考总复习数学(理)第二章函数与基本初等函数(2)

第6讲对数与对数函数对应学生用书P24考点梳理1．对数(1)对数的概念如果a(a>0，a≠1)的b次幂等于N，就是a b＝N，那么数b叫做以a为底N的对数，记作log a N＝b，其中a叫做对数的底数，N叫做对数的真数．(2)常用对数与自然对数通常将log10N叫做常用对数，记作lg_N.自然对数：通常将以无理数e＝2.718 28 …为底的对数叫做自然对数，记作ln_N.(3)对数的性质①零和负数没有对数；②log a1＝0(a>0，且a≠1)；③log a a＝1(a>0，且a≠1)；④a log a N＝N(a>0，且a≠1，N>0)．⑤log a a m＝m(a ＞0，a≠1)．2．对数的运算法则如果a>0，a≠1，M>0，N>0，那么(1)log a(MN)＝log a M＋log a N；(2)log a MN＝log a M－log a N；(3)log a M n＝n log a M(n∈R)；(4)log a M＝log c Mlog c a(c>0，且c≠1)．3．对数函数的图象与性质一个考情快递本讲知识在高考中，主要考查对数式的运算，指数式与对数式的互化，对数函数的图象和性质或由对数函数复合成的函数，大多涉及比较大小、奇偶性、过定点、单调区间以及运用单调性求最值等．以填空题为主，为容易题，在解答题中更有可能以命题背景的形式出现．对数值的大小比较方法(1)化同底后利用函数的单调性．(2)作差或作商法．(3)利用中间量(0或1)．(4)化同真数后利用图象比较．考点自测1．(2012·唐山统考)已知2a ＝5b ＝10，则1a ＋1b ＝________.解析由2a ＝5b ＝10，得a ＝12lg 2，b ＝12lg 5，所以1a ＋1b ＝2(lg 2＋lg 5)＝2lg 10＝2. 答案 22．函数y ＝log 0.5(4x 2－3x )的定义域是________．解析由题意知，log 0.5(4x 2－3x )≥0＝log 0.51，由于0＜0.5＜1，所以⎩⎨⎧4x 2－3x ＞0，4x 2－3x ≤1.从而可得函数的定义域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－14，0∪⎝ ⎛⎦⎥⎤34，1.答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫－14，0∪⎝ ⎛⎦⎥⎤34，13．(2013·盐城检测)已知f (x )＝lg(－x 2＋8x －7)在(m ，m ＋1)上是增函数，则m 的取值范围是________．解析由－x 2＋8x －7＞0，得x 2－8x ＋7＜0，解得1＜x ＜7.又由－x 2＋8x －7＝－(x 2－8x )－7＝－(x －4)2＋9，得f (x )的增区间为(1,4]，于是有(m ，m ＋1)⊆(1,4]，所以1≤m ≤3. 答案 [1,3]4．(2013·盐城检测)已知f (x )＝log 3x ＋2(x ∈[1,9])，则函数y ＝[f (x )]2＋f (x 2)的最大值是________．解析 ∵f (x )＝log 3x ＋2(x ∈[1,9])，∴y ＝[f (x )]2＋f (x 2)中x 满足1≤x ≤9且1≤x 2≤9.∴1≤x ≤3， ∴0≤log 3x ≤1.所以y ＝[f (x )]2＋f (x 2)＝(log 3x ＋2)2＋log 3x 2＋2 ＝(log 3x )2＋6log 3x ＋6＝(log 3x ＋3)2－3. 所以当x ＝3时，y max ＝13. 答案 135．(2012·南师大附中模拟)已知函数f (x )＝log 4(4x ＋1)＋kx (k ∈R )是偶函数，则k 的值为________．解析由f (－x )＝f (x )，得log 4(4－x＋1)－kx ＝log 4(4x＋1)＋kx ，即2kx ＝log 4⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋4x4x －log 4(4x ＋1)＝log 414x ＝－x ，所以k ＝－12. 答案－12对应学生用书P24考向一对数式的化简与求值【例1】 (1)计算lg 2＋lg 5－lg 8lg50－lg40；(2)设3a ＝4b ＝36，求2a ＋1b 的值．解 (1)lg 2＋lg 5－lg 8lg 50－lg 40＝lg2×58lg 5040＝lg 54lg 54＝1. (2)由3a ＝36,4b ＝36得a ＝log 336，b ＝log 436. 由换底公式得：1a ＝log 363，1b ＝log 364， ∴2a ＋1b ＝2log 363＋log 364＝log 3636＝1.[方法总结] (1)利用换底公式及log am N n＝nm log a N (a ＞0，a ≠1，N ＞0)，尽量转化为同底的和、差、积、商的运算；(2)利用对数的运算法则，将对数的和、差、倍数运算，转化为对数真数的积、商、幂再运算．【训练1】计算：(1)lg 25＋lg 2·lg 50＋(lg 2)2； (2)(log 32＋log 92)·(log 43＋log 83)．解 (1)原式＝(lg 2)2＋(1＋lg 5)lg 2＋lg 52 ＝(lg 2＋lg 5＋1)lg 2＋2lg 5＝(1＋1)lg 2＋2lg 5＝2(lg 2＋lg 5)＝2. (2)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 2lg 3＋lg 2lg 9·⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 3lg 4＋lg 3lg 8 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 2lg 3＋lg 22lg 3·⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 32lg 2＋lg 33lg 2 ＝3lg 22lg 3·5lg 36lg 2＝54.考向二对数函数图象及其应用【例2】 (1)已知函数f (x )＝|log 2x |，正实数m ，n 满足m ＜n 且f (m )＝f (n )，若f (x )在区间[m 2，n ]上的最大值为2，则m ，n 的值分别为________．(2)(2011·湖南卷改编)设直线x ＝t 与函数f (x )＝x 2，g (x )＝ln x 的图象分别交于点M ，N ，则当|MN |达到最小时t 的值为________．解析(1)f (x )＝|log 2x |的图象如图所示，于是由0＜m ＜n 时，f (m )＝f (n )，得0＜m ＜1＜n ，又由f (m )＝f (n )，得|log 2m |＝|log 2n |，即－log 2m ＝log 2n ，log 2(mn )＝0，所以mn ＝1.因为0＜m 2＜m ＜1，且f (x )在(0,1)上单调递减，所以f (x )在[m 2，n ]上的最大值为f (m 2)＝|log 2m 2|＝－2log 2m ＝2，解得m ＝12，从而n ＝2，故m ＝12，n ＝2.(2)如图，|MN |＝t 2－ln t ，令h (t )＝t 2－ln t (t >0)，∵h ′(t )＝2t －1t ＝2t 2－1t ，∴易知0<t <22时，h ′(t )<0；t >22时，h ′(t )>0.于是可判断当t ＝22时，|MN |取得最小值．答案 (1)12；2 (2)22[方法总结] (1)数形结合是解函数问题的基本方法之一，若函数部分带有绝对值，通过分类讨论或图象法求解往往较为方便．(2)作一些复杂函数的图象，首先应分析它可以从哪一个基本函数的图象变换过来．一般是先作出基本函数的图象，通过平移、对称、翻折等方法，得出所求函数的图象．【训练2】 (2013·泰州学情调研)已知函数f (x )＝|lg x |，若0＜a ＜b ，且f (a )＝f (b )，则a ＋2b 的取值范围是________．解析由题意，知0＜a ＜1＜b ，于是由|lg a |＝|lg b |，得－lg a ＝lg b ，所以lg ab ＝0，ab ＝1，所以a ＋2b ＝a ＋2a ，可判断此函数在(0,1)上为减函数，所以a ＋2b ＞3.答案 (3，＋∞)考向三对数函数的性质及其应用【例3】 (1)(2012·南通四校联考)若函数f (x )＝log a (x 3－ax )(a >0，a ≠1)在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0上单调递增，则a 的取值范围是________． (2)(2012·无锡一中期中调研)已知函数f (x )＝log a (2x －a )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，23上恒有f (x )>0，则实数a 的取值范围是________．解析 (1)设u (x )＝x 3－ax ，由复合函数的单调性，可分0<a <1和a >1两种情况讨论：①当0<a <1时，u (x )＝x 3－ax 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0上单调递减，即u ′(x )＝3x 2－a ≤0在⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0上恒成立．∴a ≥34，∴34≤a ＜1；②当a >1时，u (x )＝x 3－ax 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0上单调递增，即u ′(x )＝3x 2－a ≥0在⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0上恒成立，∴a ≤0，∴a 无解，综上，可知34≤a ＜1. (2)∵log a (2x －a )>0对∀x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，23恒成立，∴①⎩⎨⎧ a >1，2x －a >1⇒⎩⎨⎧a >1，a <2x －1，(2x －1)min ＝0，∴a <0，无解，舍去； ②⎩⎨⎧ 0<a <1，0<2x －a <1⇒⎩⎨⎧0<a <1，2x －1<a <2x ， ∵(2x －1)max ＝13，(2x )min ＝1，则13<a <1，综上可知，13<a <1. 答案 (1)⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，1 (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1[方法总结] 对数函数与其他基本初等函数复合，其性质较为复杂，可用复合函数的方法进行探求较为方便．【训练3】已知函数f (x )＝log a x (a ＞0，a ≠1)对任意的x ∈[2，＋∞)，恒有|f (x )|≥1成立，则a 的取值范围为________．解析若a ＞1，当x ∈[2，＋∞)时，f (x )＝log a x ＞0，所以|f (x )|＝f (x )＝log a x 在[2，＋∞)上是增函数，因此由|f (x )|≥1对任意x ∈[2，＋∞)恒成立，得log a 2≥1，解得1＜a ≤2.若0＜a ＜1，当x ∈[2，＋∞)时，f (x )＝log a x ＜0，所以|f (x )|＝－f (x )＝－log a x 在[2，＋∞)上是增函数，因此由|f (x )|≥1对任意x ∈[2，＋∞)恒成立，得－log a 2≥1，解得12≤a ＜1.综上，得1＜a ≤2或12≤a ＜1. 答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1∪(1,2]对应学生用书P26热点突破8 与指数、对数函数求值问题有关的解题方法关于指数与对数函数问题，高考中除与导数有关的综合问题外，一般还出一道填空题，考查其图象与性质，其中与求值或取值范围有关的问题是热点，难度虽然不大，但要注意分类讨论．一、与对数函数有关的求值问题【示例】 (2012·北京卷)已知函数f (x )＝lg x ，若f (ab )＝1，则f (a 2)＋f (b 2)＝________.[审题与转化] 第一步：f (a 2)＋f (b 2)＝lg a 2＋lg b 2＝2 lg ab ＝2f (ab )． [规范解答] 第二步：因为f (ab )＝1，所以f (a 2)＋f (b 2)＝lg a 2＋lg b 2＝2lg a ＋2lg b ＝2lg ab ＝2f (ab )＝2.故f (a 2)＋f (b 2)＝2.[反思与回顾] 第三步：本题是逆用对数函数的运算求函数的值，其中等价转化是关键．二、解与对数函数有关的不等式问题【示例】 (2011·辽宁卷改编)设函数f (x )＝⎩⎨⎧21－x，x ≤1，1－log 2x ，x ＞1，则满足f (x )≤2的x 的取值范围为________． [审题与转化] 第一步：分段函数分段求解．[规范解答] 第二步：当x ≤1时，21－x ≤2，解得x ≥0，所以0≤x ≤1. 当x ＞1时，1－log 2x ≤2，解得x ≥12，所以x ＞1.综上所述，f (x )≤2的x 的取值范围是[0，＋∞)．[反思与回顾] 第三步：解这类问题，分类讨论是关键，另外还可用函数单调性直接求解．高考经典题组训练1．(2012·安徽卷改编)(log 29)·(log 34)＝________.解析 (log 29)(log 34)＝log 232·log 322＝2log 23·2log 32＝4lg 3lg 2·lg 2lg 3＝4. 答案 42．(2011·陕西卷)设f (x )＝⎩⎨⎧lg x ，x >0，10x ，x ≤0，则f (f (－2))＝________.解析因为f (－2)＝10－2，所以f (f (－2))＝f (10－2)＝ lg 10－2＝－2. 答案－23．(2012·新课标全国卷改编)当0<x ≤12时，4x <log a x ，则a 的取值范围为________．解析当a >1时，y ＝log a x 在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上恒为负数，而4x >0，所以不等式不成立．当0<a <1时，令f (x )＝4x－log a x ，则f (x )在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上为增函数，所以由f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝412－log a 12＝2－log a 12<0，得log a 12>2，解得22<a <1. 综上，得22<a <1. 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，14．(2012·上海卷改编)已知函数f (x )＝lg(x ＋1)． (1)当0<f (1－2x )－f (x )<1，求x 的取值范围；(2)若g (x )是以2为周期的偶函数，且当0≤x ≤1时，有g (x )＝f (x )，求函数y ＝g (x )(x ∈[1,2])的值域．解 (1)由⎩⎨⎧2－2x >0，x ＋1>0得－1<x <1.由0<lg(2－2x )－lg(x ＋1)＝lg 2－2xx ＋1<1，得1<2－2x x ＋1<10.因为x ＋1>0，所以x ＋1<2－2x <10x ＋10，解得－23<x <13. 于是由⎩⎪⎨⎪⎧－1<x <1，－23<x <13，得－23<x <13.(2)当x ∈[1,2]时，2－x ∈[0,1]，因此y ＝g (x )＝g (x －2)＝g (2－x )＝f (2－x )＝lg(3－x )．由g (x )的单调性可得y ∈[0，lg 2]．对应学生用书P259分层训练A 级基础达标演练(时间：30分钟满分：60分)一、填空题(每小题5分，共30分)1．(2012·河北质检)已知函数f (x )＝log 12(3x －a )的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞，则a ＝________.解析由3x －a >0，得x >a 3.由题意，得a 3＝23，所以a ＝2. 答案 22．(2013·南京鼓楼区调研)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧log 2x ，x >0，3x ，x ≤0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝________.解析因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝log 214＝－2，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝f (－2)＝3－2＝19. 答案 193．(2011·北京海淀区期末)若a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫120.3，b ＝0.3－2，c ＝log 122，则a ，b ，c 的大小关系为________．解析 0<⎝ ⎛⎭⎪⎫120.3<⎝ ⎛⎭⎪⎫120＝1，即0<a <1，同理b >1，而c ＝－1，因此b >a >c .答案 b >a >c4．(2013·烟台调研)函数y ＝ln(1－x )的图象大致为________．解析由1－x >0，知x <1，排除①、②；设t ＝1－x (x <1)，因为t ＝1－x 为减函数，而y ＝ln t 为增函数，所以y ＝ln(1－x )为减函数，故选③.答案 ③5．(2012·烟台调研)若实数x 满足log 3 x ＝1＋sin θ，则|x －1|＋|x －9|的值为________．解析 log 3 x ＝1＋sin θ∈[0,2]，x ＝31＋sin θ∈[1,9]，|x －1|＋|x －9|＝x －1＋9－x ＝8. 答案 86．(2012·南京师大附中模拟)已知函数 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1，x ≥0，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－1，x ＜0.若f (3－2a 2)＞f (a )，则实数a 的取值范围为________．解析画图象可得f (x )是(－∞，＋∞)上连续的单调减函数，于是由f (3－2a 2)＞f (a )，得3－2a 2＜a ，即2a 2＋a －3＞0，解得a ＜－32或a ＞1. 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－32∪(1，＋∞)二、解答题(每小题15分，共30分)7．已知函数f (x )＝log a (3－ax )(a ＞0，且a ≠1)．(1)当x ∈[0,2]时，函数f (x )恒有意义，求实数a 的取值范围；(2)是否存在这样的实数a ，使得函数f (x )在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1，如果存在，试求出a 的值；如果不存在，请说明理由．解 (1)由题设知3－ax >0对一切x ∈[0,2]恒成立，又a >0且a ≠1，故g (x )＝3－ax 在[0,2]上为减函数，从而g (2)＝3－2a >0，所以a <32，所以a 的取值范围为(0,1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32.(2)假设存在这样的实数a ，由题设知f (1)＝1，即log a (3－a )＝1，得a ＝32，此时f (x )＝log 32⎝ ⎛⎭⎪⎫3－32x ，当x ＝2时，f (x )没有意义，故这样的实数a 不存在．8．(2012·泰州学情调查)已知函数f (x )＝log 4(4x ＋1)＋kx (x ∈R )是偶函数．(1)求k 的值；(2)若方程f (x )－m ＝0有解，求m 的取值范围．解 (1)由函数f (x )＝log 4(4x ＋1)＋kx (x ∈R )是偶函数，可知f (x )＝f (－x )．所以log 4(4x ＋1)＋kx ＝log 4(4－x ＋1)－kx ，即log 44x ＋14－x ＋1＝－2kx .所以log 44x ＝－2kx .所以x ＝－2kx 对x ∈R 恒成立．所以k ＝－12. (2)由m ＝f (x )＝log 4(4x ＋1)－12x ，所以m ＝log 44x ＋12x ＝log 4⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋12x .因为2x ＋12x ≥2，所以m ≥12.故要使方程f (x )－m ＝0有解的m 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞. 分层训练B 级创新能力提升1．(2013·绍兴模拟)函数f (x )＝log 12(x 2－2x －3)的单调递增区间是________．解析设t ＝x 2－2x －3，则y ＝log 12t .由t ＞0解得x ＜－1或x ＞3，故函数的定义域为(－∞，－1)∪(3，＋∞)．∴t ＝x 2－2x －3＝(x －1)2－4在(－∞，－1)上为减函数，在(3，＋∞)上为增函数．而函数y ＝log 12t 为关于t 的减函数，所以函数f (x )的单调增区间为(－∞，－1)．答案 (－∞，－1)2．(2013·莱芜检测)已知表中的对数值有且只有一个是错误的.解析由2a －b ＝lg 3，得lg 9＝2lg 3＝2(2a －b )，从而lg 3和lg 9正确，假设lg 5＝a ＋c －1错误，由⎩⎨⎧1＋a －b －c ＝lg 6＝lg 2＋lg 3，3(1－a －c )＝lg 8＝3lg 2，得⎩⎨⎧lg 2＝1－a －c ，lg 3＝2a －b ，所以lg 5＝1－lg 2＝a ＋c . 因此lg 5＝a ＋c －1错误，正确结论是lg 5＝a ＋c . 答案 lg 5＝a ＋c3．设min{p ，q }表示p ，q 两者中的较小者，若函数f (x )＝min{3－x ，log 2x }，则满足f (x )＜12的集合为________．解析画出y ＝f (x )的图象，且由log 2x ＝12，得x ＝2；由3－x ＝12，得x ＝52.从而由f (x )＜12，得0＜x ＜2或x ＞52. 答案 (0，2)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫52，＋∞4．(2011·安徽卷改编)若点(a ，b )在y ＝lg x 图象上，a ≠1，则下列点也在此图象上的是________(填序号)．①⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，b ；②(10a,1－b )；③⎝ ⎛⎭⎪⎫10a ，b ＋1；④(a 2,2b )．解析由点(a ，b )在y ＝lg x 图象上，知b ＝lg a .对于①，点⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，b ，当x ＝1a 时，y ＝lg 1a ＝－lg a ＝－b ≠b ，∴不在图象上．对于②，点(10a,1－b )，当x ＝10a 时，y ＝lg(10a )＝lg 10＋lg a ＝1＋b ≠1－b ，∴不在图象上．对于③，点⎝ ⎛⎭⎪⎫10a ，b ＋1，当x ＝10a 时，y ＝lg 10a ＝1－lg a ＝1－b ≠b＋1，∴不在图象上．对于④，点(a 2,2b )，当x ＝a 2时，y ＝lg a 2＝2lg a ＝2b ，∴该点在此图象上．答案 ④5．已知函数f (x )＝log a (x ＋1)－log a (1－x )(a ＞0，a ≠1)． (1)求f (x )的定义域；(2)判断f (x )的奇偶性，并给出证明；(3)当a ＞1时，求使f (x )＞0的x 的取值范围．解 (1)因为⎩⎨⎧x ＋1＞0，1－x ＞0，所以－1＜x ＜1，所以f (x )的定义域为(－1,1)．(2)f (x )为奇函数．因为f (x )定义域为(－1,1)，且f (－x )＝log a (－x ＋1)－log a (1＋x )＝－f (x )，所以f (x )为奇函数．(3)因为a ＞1，∴f (x )在(－1,1)上单调递增，所以f (x )＞0⇔x ＋11－x ＞1，解得0＜x ＜1.所以使f (x )＞0的x 的取值范围为(0,1)． 6．已知函数f (x )＝－x ＋log 21－x1＋x .(1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 014＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12 014的值；(2)当x ∈(－a ，a ]，其中a ∈(0,1)，a 是常数时，函数f (x )是否存在最小值？若存在，求出f (x )的最小值；若不存在，请说明理由．解 (1)由f (x )＋f (－x )＝log 21－x 1＋x ＋log 21＋x1－x＝log 21＝0. ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 014＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12 014＝0. (2)f (x )的定义域为(－1,1)， ∵f (x )＝－x ＋log 2(－1＋2x ＋1)，当x 1<x 2且x 1，x 2∈(－1,1)时，f (x )为减函数， ∴当a ∈(0,1)，x ∈(－a ，a ]时f (x )单调递减， ∴当x ＝a 时，f (x )min ＝－a ＋log 21－a1＋a.第7讲函数的图象及其应用对应学生用书P26考点梳理1．常见函数的图象常见函数的图象：一次函数、二次函数、正比例函数，反比例函数、指数函数、对数函数．2．图象的变换(1)平移变换①水平平移：y＝f(x±a)(a＞0)的图象，可由y＝f(x)的图象向左(＋)或向右(－)平移a个单位而得到．②竖直平移：y＝f(x)±b(b＞0)的图象，可由y＝f(x)的图象向上(＋)或向下(－)平移b个单位而得到．(2)对称变换①y＝f(－x)与y＝f(x)的图象关于y轴对称．②y＝－f(x)与y＝f(x)的图象关于x轴对称．③y＝－f(－x)与y＝f(x)的图象关于原点对称．④y＝f－1(x)与y＝f(x)的图象关于直线y＝x对称．(3)翻折变换①作出y＝f(x)的图象，将图象位于x轴下方的部分以x轴为对称轴翻折到上方，其余部分不变，即得到y＝|f(x)|的图象；②作出y＝f(x)在y轴上及y轴右边的图象部分，并把y轴左边的图象关于y轴对称翻折到y轴右边，即得y＝f(|x|)的图象．(4)伸缩变换①y＝af(x)(a＞0)的图象，可将y＝f(x)图象上每点的纵坐标伸(a＞1时)缩(a＜1时)到原来的a倍．②y＝f(ax)(a＞0)的图象，可将y＝f(x)的图象上每点的横坐标伸(a＜1时)缩(a＞1时)到原来的1a倍．3．识图与用图(1)对于给定函数的图象，要能从图象的左右、上下分布范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性，注意图象与函数解析式中参数的关系．(2)函数图象形象地显示了函数的性质，为研究数量关系提供了“形”的直观性，它是探求解题路径，获得问题结果的重要工具，要重视数形结合思想的应用．【助学·微博】一个复习指导函数图象是研究函数性质、方程、不等式的重要工具，是数形结合的基础，是高考考查的热点，应重点复习，主要在审题、识图上多下功夫，学会分析“数”与“形”的结合点，把常见的基本题型的解法技巧理解透，掌握好．考点自测1．已知函数y ＝log 2x 与y ＝kx 的图象有公共点A ，且点A 的横坐标为12，则k ＝________. 答案－22．为了得到函数y ＝lg x ＋310的图象，只需把函数y ＝lg x 的图象上所有的点向________平移3个单位长度，再向________平移________个长度单位．答案左下 1 3．函数y ＝3x －1x ＋2的图象关于________对称．解析 y ＝3x －1x ＋2＝3－7x ＋2，∵y ＝－1x 关于点(0,0)对称， ∴y ＝3－7x ＋2关于点(－2,3)对称．答案点(－2,3)4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ，x >0，⎝ ⎛⎭⎪⎫13x，x ≤0，那么不等式f (x )≥1的解集为________．解析由题意得，当x >0时，由f (x )≥1得log 3x ≥1，即x ≥3；当x ≤0时，由f (x )≥1得⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ≥1，即x ≤0.综上可得，不等式f (x )≥1的解集是(－∞，0]∪[3，＋∞)．答案 (－∞，0]∪[3，＋∞)5．若直线y ＝2a 与函数y ＝|a x －1|(a ＞0，a ≠1)的图象有两个公共点，则实数a 的取值范围是________．解析当a ＞1时，y ＝2a ＞2，函数y ＝|a x －1|的图象如图(1)，此时直线y ＝2a 与函数y ＝|a x －1|的图象只有一个交点．当0＜a ＜1时，y ＝2a ＜2；函数y ＝|a x －1|的图象如图(2)，当直线y ＝2a 与函数y ＝|a x －1|的图象有两个公共点，则0＜2a ＜1，∴0＜a ＜12. 答案 0＜a ＜12对应学生用书P27考向一函数图象及其变换【例1】分别画出下列函数的图象． (1)y ＝|x 2－4x ＋3|；(2)y ＝2x ＋1x ＋1；(3)y ＝10|lg x |. 解 (1)先画函数y ＝x 2－4x ＋3的图象，再将其x 轴下方的图象翻折到x 轴上方，如图(1)．(2)y ＝2x ＋1x ＋1＝2(x ＋1)－1x ＋1＝2－1x ＋1，可由函数y ＝－1x 向左平移1个单位，再向上平移2个单位，如图(2)． (3)y ＝10|lg x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≥1，1x，0＜x ＜1，如图(3)．[方法总结] (1)熟知一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、三角函数等函数的图象，再掌握图象变换的规律作图．(2)掌握平移变换、伸缩变换、对称变换、翻折变换、周期变换等常用的方法技巧，来帮助我们简化作图过程．【训练1】定义：若函数f(x)的图象经过变换T后所得的图象对应的函数与f(x)的值域相同，则称变换T是f(x)的同值变换，下面给出了四个函数与对应的变换：①f(x)＝(x－1)2，T：将函数f(x)的图象关于y轴对称；②f(x)＝2x－1－1，T：将函数f(x)的图象关于x轴对称；③f(x)＝xx＋1，T：将函数f(x)的图象关于点(－1,1)对称．其中T是f(x)的同值变换的有________(写出所有符合题意的序号)．解析对于①：f(x)值域为[0，＋∞)，经变换T后f(x)＝(x＋1)2，值域也是[0，＋∞)．对于②：f(x)的值域为(－1，＋∞)，经变换T后f(x)＝1－2x－1，值域为(－∞，1)．对于③：f(x)＝1－1x＋1，其图象关于点(－1,1)对称，因此经变换T后值域不变．答案①③考向二应用函数图象研究与方程有关的问题【例2】已知函数f(x)＝－x2＋2e x＋t－1，g(x)＝x＋e2x(x>0，其中e表示自然对数的底数)．(1)若g(x)＝m有零点，求m的取值范围；(2)确定t的取值范围，使得g(x)－f(x)＝0有两个相异实根．解(1)法一∵g(x)＝x＋e2x≥2e2＝2e，等号成立的条件是x＝e.故g(x)的值域是[2e，＋∞)，因而只需m≥2e，则g(x)＝m就有零点．法二作出g(x)＝x＋e2x的图象如图：可知若使g(x)＝m有零点，则只需m≥2e.法三解方程由g(x)＝m，得x2－mx＋e2＝0.此方程有大于零的根，故⎩⎪⎨⎪⎧m 2>0，Δ＝m 2－4e 2≥0等价于⎩⎨⎧m >0，m ≥2e 或m ≤－2e ，故m ≥2e.(2)若g (x )－f (x )＝0有两个相异的实根，即g (x )＝f (x )中函数g (x )与f (x )的图象有两个不同的交点，作出g (x )＝x ＋e 2x (x >0)的图象． ∵f (x )＝－x 2＋2e x ＋t －1＝－(x －e)2＋t －1＋e 2. 其对称轴为x ＝e ，开口向下，最大值为t －1＋e 2.故当t －1＋e 2>2e ，即t >－e 2＋2e ＋1时，g (x )与f (x )有两个交点，即g (x )－f (x )＝0有两个相异实根．∴t 的取值范围是(－e 2＋2e ＋1，＋∞)．[方法总结] (1)曲线交点、函数零点、方程解的个数问题常常转化为两个熟悉的函数的交点个数．利用此法也可由解的个数求参数值或范围．(2)从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势分析函数的单调性、周期性等都是函数图象的基本应用．【训练2】 (2012·苏北四市调研)直线y ＝1与曲线y ＝x 2－|x |＋a 有四个交点，则a 的取值范围是________．解析如图，在同一直角坐标系内画出直线y ＝1与曲线y ＝x 2－|x |＋a ，观察图象可知，a 的取值必须满足⎩⎪⎨⎪⎧a ＞1，4a －14＜1，解得1＜a ＜54.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，54考向三应用函数图象研究与函数有关的综合性问题【例3】 (1)若定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，且当x ∈[0,1]时，f (x )＝x ，则函数y ＝f (x )－log 3|x |的零点个数是________．(2)(2012·苏州高三暑期自主学习调查)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ，0<x ≤10，⎪⎪⎪⎪⎪⎪－12x ＋6，x >10，若a ，b ，c 互不相等，且f (a )＝f (b )＝f (c )，则a ＋b ＋c 的取值范围是________(填序号)．①(1,10) ②(5,6) ③(10,12) ④(25,34)解析 (1)由题意知，f (x )是周期为2的偶函数．在同一坐标系内作出函数y ＝f (x )及y ＝log 3|x |的图象，如下：观察图象可以发现它们有4个交点，即函数y ＝f (x )－log 3|x |有4个零点． (2)y ＝f (x )的图象如图所示，令f (a )＝f (b )＝f (c )＝t ，则由图象可得，当a <b <c 时，必有1<a <10，b ＋c ＝2×12＝24，所以25<a ＋b ＋c <34. 答案 (1)4 (2)④[方法总结] 通过作出函数y ＝|f (x )|与y ＝f (|x |)等图象，研究与函数有关的综合性问题是高考的热点之一．解这类问题，通过图象转化是关键．【训练3】 (1)(2011·山东卷改编)函数y ＝x2－2sin x 的图象大致是________．(2)函数y ＝e x ＋e －xe x －e－x 的图象大致为________．解析 (1)y ′＝12－2cos x ，由y ′＝0，得cos x ＝14，则这个方程有无穷多解，即函数y ＝x2－2sin x 有无穷多个极值点，又函数是奇函数，图象关于坐标原点对称．故选③.(2)y ＝e 2x ＋1e 2x －1＝1＋2e 2x －1，当x >0时，e 2x －1>0且随着x 的增大而增大，故y ＝1＋2e 2x －1>1且随着x 的增大而减小，即函数y 在(0，＋∞)上恒大于1且单调递减，又函数y 是奇函数，故选①. 答案 (1)③ (2)①对应学生用书P261分层训练A级基础达标演练(时间：30分钟满分：60分)一、填空题(每小题5分，共30分)1．把函数f(x)＝(x－2)2＋2的图象向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得图象对应的函数解析式是________．解析把函数f(x)＝(x－2)2＋2的图象向左平移1个单位长度，得y＝[(x＋1)－2]2＋2＝(x－1)2＋2，再向上平移1个单位长度，得y＝(x－1)2＋2＋1＝(x－1)2＋3.答案y＝(x－1)2＋3.2．已知函数f(x)＝a x(a>0且a≠1)的图象上有两点P(2，y1)与Q(1，y2)，若y1－y2＝2，则a＝________.解析y1＝a2，y2＝a，于是a2－a＝2，得a＝2(a＝－1舍)．答案 23．观察相关的函数图象，对下列命题的真假情况进行判断：①10x＝x有实数解；②10x＝x2有实数解；③10x>x2在x∈(0，＋∞)上恒成立；④10x＝－x有两个相异实数解．其中真命题的序号为________．解析将上述①，④两个问题转化为指数函数y＝10x的图象与直线y＝x(或y ＝－x)的交点问题来处理；将②，③两个问题转化为指数函数y＝10x的图象与二次函数y＝x2的图象的交点问题来处理．答案②③4.设奇函数f(x)的定义域为[－5,5]．若当x∈[0,5]时，f(x)的图象如图，则不等式f(x)＜0的解集是________．解析利用函数f(x)的图象关于原点对称．∴f(x)＜0的解集为(－2,0)∪(2,5)．答案(－2,0)∪(2,5)5．已知函数y ＝f (x )(x ∈R )满足f (x ＋1)＝f (x －1)，且x ∈[－1,1]时，f (x )＝x 2，则函数y ＝f (x )与y ＝log 5x 的图象交点的个数为________．解析根据f (x ＋1)＝f (x －1)，得f (x )＝f (x ＋2)，则函数f (x )是以2为周期的函数，分别作出函数y ＝f (x )与y ＝log 5x 的图象(如图)，可知函数y ＝f (x )与y ＝log 5x 图象的交点个数为4.答案 46．设函数f (x )＝x |x |＋bx ＋c ，给出下列命题： ①b ＝0，c ＞0时，方程f (x )＝0只有一个实数根； ②c ＝0时，y ＝f (x )是奇函数； ③方程f (x )＝0至多有两个实根．上述三个命题中所有正确命题的序号为________．解析 ①f (x )＝x |x |＋c ＝⎩⎨⎧x 2＋c (x ≥0)，－x 2＋c (x ＜0)，如图甲，曲线与x 轴只有一个交点，所以方程f (x )＝0只有一个实数根，正确． ②c ＝0时，f (x )＝x |x |＋bx ，显然是奇函数． ③当c ＝0，b ＜0时，f (x )＝x |x |＋bx ＝⎩⎨⎧x 2＋bx (x ≥0)，－x 2＋bx (x ＜0).如图乙，方程f (x )＝0可以有三个实数根．综上所述，正确命题的序号为①②. 答案 ①②二、解答题(每小题15分，共30分) 7．已知函数f (x )＝|x |(x －a )，a >0. (1)作出函数f (x )的图象； (2)写出函数f (x )的单调区间；(3)当x ∈[0,1]时，由图象写出f (x )的最小值．解 (1)f (x )＝⎩⎨⎧x (x －a )，x ≥0，－x (x －a )，x ＜0，其图象如图．(2)由图知，f (x )的单调递增区间是(－∞，0)和⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，＋∞；单调递减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 2.(3)结合图象知，当a2>1，即a >2时，所求最小值f (x )min ＝f (1)＝1－a ；当0<a2≤1，即0＜a ≤2时，所求最小值f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＝－a 24.8．已知函数f (x )＝|x 2－4x ＋3|.(1)求函数f (x )的单调区间，并指出其增减性；(2)求集合M ＝{m |使方程f (x )＝m 有四个不相等的实根}．思维启迪利用函数的图象可直观得到函数的单调性，方程解的问题可转化为函数图象交点的问题．解 f (x )＝⎩⎨⎧(x －2)2－1，x ∈(－∞，1]∪[3，＋∞)－(x －2)2＋1，x ∈(1，3) 作出函数图象如图．(1)函数的增区间为[1,2]，[3，＋∞)；函数的减区间为(－∞，1]，[2,3]．(2)在同一坐标系中作出y ＝f (x )和y ＝m 的图象，使两函数图象有四个不同的交点(如图)．由图知0<m <1，∴M ＝{m |0<m <1}．探究提高 (1)利用图象，可观察函数的对称性、单调性、定义域、值域、最值等性质．(2)利用函数图象可以解决一些形如f (x )＝g (x )的方程解的个数问题．分层训练B 级创新能力提升1.设f (x )表示－x ＋6和－2x 2＋4x ＋6中较小者，则函数f (x )的最大值是________．解析在同一坐标系中，作出y ＝－x ＋6和y ＝－2x 2＋4x ＋6的图象如图所示，可观察出当x ＝0时函数f (x )取得最大值6. 答案 62．若直线x ＝1是函数y ＝f (2x )的图象的一条对称轴，则f (3－2x )的图象关于直线________对称．答案 x ＝123.已知定义在区间[0,1]上的函数y ＝f (x )的图象如图所示．对满足0＜x 1＜x 2＜1的任意x 1，x 2，给出下列结论： ①f (x 1)－f (x 2)＞x 1－x 2； ②x 2f (x 1)＞x 1f (x 2)； ③f (x 1)＋f (x 2)2＜f ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22. 其中正确结论的序号是________．解析由f (x 2)－f (x 1)＞x 2－x 1，可得f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1＞1，即两点(x 1，f (x 1))与(x 2，f (x 2))的连线斜率大于1，显然①不正确；由x 2f (x 1)＞x 1f (x 2)得f (x 1)x 1＞f (x 2)x 2，即表示两点(x 1，f (x 1))、(x 2，f (x 2))与原点连线的斜率的大小，可以看出结论②正确；结合函数图象，容易判断③的结论是正确的．答案 ②③4．(2012·淮安市模拟)若m －12<x ≤m ＋12(m 为整数)，则m 叫做离实数x 最近的整数，记作{x }，即{x }＝m .给出下列关于函数f (x )＝x －{x }的三个命题：①y ＝f (x )定义域为R ，值域为⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，12；②y ＝f (x )是周期函数，最小正周期为1；③y＝f (x )在定义域上是增函数．其中正确命题的序号是________．解析取m ＝－1,0,1,2，…，得f (x )＝x ＋1，－32<x ≤－12；f (x )＝x ，－12<x ≤12；f (x )＝x －1，12<x ≤32；f (x )＝x －2，32<x ≤52，… 作出f (x )＝x －{x }的图象可知命题①②正确．答案 ①②5．已知不等式x 2－log a x <0，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12时恒成立，求实数a 的取值范围．解由x 2－log a x <0，得x 2<log a x .设f (x )＝x 2，g (x )＝log a x .由题意知，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12时，函数f (x )的图象在函数g (x )的图象的下方，如图，可知 ⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12≤g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，即⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，⎝ ⎛⎭⎪⎫122≤log a 12，解得116≤a ＜1.∴实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫116，1.6．已知函数f (x )＝－aa x ＋a(a ＞0，a ≠1)．(1)证明函数y ＝f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－12对称；(2)求f (－2)＋f (－1)＋f (0)＋f (1)＋f (2)＋f (3)的值．(1)证明函数f (x )的定义域为R ，任意一点(x ，y )关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－12对称的点的坐标为(1－x ，－1－y )．由已知，f (x )＝－aa x ＋a，则－1－y ＝－1＋a a x ＋a ＝－a x a x ＋a .f (1－x )＝－a a 1－x ＋a＝－aa a x ＋a ＝－a ·a x a ＋a ·a x ＝－a xa x ＋a ，∴－1－y ＝f (1－x )．即函数y ＝f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－12对称．(2)解由(1)知有－1－f (x )＝f (1－x )．即f (x )＋f (1－x )＝－1.∴f (－2)＋f (3)＝f (－1)＋f (2)＝f (0)＋f (1)＝－1， ∴f (－2)＋f (－1)＋f (0)＋f (1)＋f (2)＋f (3)＝－3.第8讲函数与方程对应学生用书P29考点梳理1．函数的零点(1)函数零点的定义一般地，我们把使函数y＝f(x)的值为0的实数x称为函数y＝f(x)的零点．(2)几个等价关系方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．(3)函数零点的判定(零点存在性定理)如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)＜0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是f(x)＝0的根．2．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)零点的分布3.对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)＜0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．【助学·微博】一个复习指导本讲复习时，应充分利用二次函数的图象，理顺三个“二次”的关系，进而把握函数与方程之间的关系，重点解决：(1)求函数的零点；(2)求方程解的个数；(3)根据函数零点情况求解参数的取值范围．另外，函数的零点问题常结合导数来考查，难度较大．零点存在性定理是函数y＝f(x)存在零点的充分不必要条件若函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图象是连续不间断的，并且在区间端点的函数值符号相反，即f(a)·f(b)＜0，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)使f(c)＝0，这个c就是方程f(x)＝0的根．这就是零点存在性定理．满足这些条件一定有零点，不满足这些条件也不能说就没有零点．如图，f(a)·f(b)＞0，f(x)在区间(a，b)上存在零点，并且有两个．考点自测1．(2013·南京29中调研)函数f(x)＝x＋log2x的零点个数为________．解析数形结合求解．答案 12．(2013·扬州调研)若函数f(x)＝x2＋2a|x|＋4a2－3的零点有且只有一个，则实数a ＝________.解析因为f (x )是偶函数，若它只有一个零点，则f (0)＝0，所以4a 2－3＝0，a ＝±32.a ＝－32不合题意，故应舍去．答案 323．(2013·泰州学情调查)已知函数f (x )＝3ax －2a ＋1在区间(－1,1)内存在x 0，使f (x 0)＝0，则实数a 的取值范围是________．解析由题意f (－1)f (1)＝(3a －2a ＋1)(－3a －2a ＋1)＝(a ＋1)(1－5a )＜0，所以a ＞15或a ＜－1.答案 (－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫15，＋∞4．(2012·淮安模拟)若函数f (x )＝log 3x ＋2x －a 在区间(1,2)内有零点，则实数a 的取值范围是________．解析由log 3x ＋2x －a ＝0，得a ＝log 3x ＋2x ，所以只要求函数y ＝log 3x ＋2x (x ∈(1,2))的值域．因为x ∈(1,2)，所以x ＋2x ∈(2,3)，log 3x ＋2x ∈(log 32,1)，所以a ∈(log 32,1)．答案 (log 32,1)5．(2012·常州模拟)若函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 的两个零点是－2和3，则不等式af (－2x )＞0的解集是________．解析 ∵f (x )＝x 2＋ax ＋b 的两个零点是－2,3. ∴－2,3是方程x 2＋ax ＋b ＝0的两根，由根与系数的关系知⎩⎨⎧ －2＋3＝－a ，－2×3＝b ，∴⎩⎨⎧a ＝－1，b ＝－6，∴f (x )＝x 2－x －6.∵不等式af (－2x )＞0，即－(4x 2＋2x －6)＞0⇔2x 2＋x －3＜0，解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－32＜x ＜1.答案⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－32＜x ＜1对应学生用书P30考向一判断函数在给定区间上零点的存在性【例1】 (1)(2011·山东卷)已知函数f (x )＝log a x ＋x －b (a ＞0，且a ≠1)．当2＜a ＜3＜b ＜4时，函数f (x )的零点x 0∈(n ，n ＋1)，n ∈N *，则n ＝________. (2)函数f (x )＝3x －7＋ln x 的零点位于区间(n ，n ＋1)(n ∈N )内，则n ＝________. 解析 (1)令y 1＝log a x ，y 2＝b －x ，函数f (x )的零点就是这两个函数图象交点的横坐标，由于直线y ＝b －x 在x 轴上的截距b 满足3<b <4，函数f (x )只有一个零点，且n 只能是1或者2.f (1)＝1－b <0，f (2)＝log a 2＋2－b <1＋2－3<0，f (3)＝log a 3＋3－b >1＋3－4＝0.根据函数零点定理可得函数f (x )的零点在区间(2,3)内，故n ＝2.(2)求函数f (x )＝3x －7＋ln x 的零点，可以大致估算两个相邻自然数的函数值，如f (2)＝－1＋ln 2，由于ln 2＜ln e ＝1，所以f (2)＜0，f (3)＝2＋ln 3，由于ln 3＞1，所以f (3)＞0，所以函数f (x )的零点位于区间(2,3)内，故n ＝2. 答案 (1)2 (2)2[方法总结] 判断函数在某个区间上是否存在零点，要根据具体题目灵活处理．当能直接求出零点时，就直接求出进行判断；当不能直接求出时，可根据零点存在性定理；当用零点存在性定理也无法判断时可画出图象判断．【训练1】 (1)(2010·天津卷改编)函数f (x )＝2x ＋3x 的零点所在的一个区间是________(填序号)．①(－2，－1)；②(－1,0)；③(0,1)；④(1,2)．(2)设函数f (x )＝13x －ln x (x >0)，则y ＝f (x )满足________(填序号)． ①在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，1，(1，e)内均有零点；②在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，1，(1，e)内均无零点；③在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，1内有零点，在区间(1，e)内无零点；④在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，1内无零点，在区间(1，e)内有零点．解析 (1)∵f ′(x )＝2x ln 2＋3>0，∴f (x )＝2x ＋3x 在R 上是增函数．而f (－2)＝2－2－6<0，f (－1)＝2－1－3<0，f (0)＝20＝1>0，f (1)＝2＋3＝5>0，f (2)＝22＋6＝10>0， ∴f (－1)·f (0)<0.故函数f (x )在区间(－1,0)上有零点． (2)f ′(x )＝13－1x ＝x －33x ，当x >3时，f ′(x )>0，当0<x <3时，f ′(x )<0，∴f (x )在(0,3)上递减，在(3，＋∞)上递增．又∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝13e ＋1>0，f (1)＝13>0，f (e)＝e 3－1<0，∴在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，1内无零点，在区间(1，e)内有零点．答案 (1)② (2)④考向二函数零点个数的判断【例2】 (1)(2012·大纲全国卷改编)已知函数y ＝x 3－3x ＋c 的图象与x 轴恰有两个公共点，则c ＝________.(2)已知2＜a ＜2，则函数f (x )＝a 2－x 2＋|x |－2的零点个数为________．解析 (1)f ′(x )＝3x 2－3＝3(x ＋1)(x －1)，则当x ＝－1或1时，f (x )取得极值．∴f (1)＝0或f (－1)＝0，即c －2＝0或c ＋2＝0，∴c ＝2或－2.(2)在同一坐标系中分别作出y ＝a 2－x 2及y ＝2－|x |的图象，得两个函数图象共有4个交点，所以函数f (x )的零点个数是4. 答案 (1)2或－2 (2)4[方法总结] 函数零点个数的判断方法：(1)直接求零点：令f (x )＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点； (2)零点存在性定理：利用定理不仅要求函数在区间[a ，b ]上是连续不断的曲线，且f (a )·f (b )<0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点；(3)利用图象交点的个数：画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．【训练2】 (1)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x ＋1，x ≤0，log 2x ，x ＞0，则函数y ＝f [f (x )]＋1的零点个数是________．(2)(2012·福建卷)对于实数a 和b ，定义运算“*”：a *b ＝⎩⎨⎧a 2－ab ，a ≤b ，b 2－ab ，a >b .设f (x )＝(2x －1)*(x －1)，且关于x 的方程f (x )＝m (m ∈R )恰有三个互不相等的实数根x 1，x 2，x 3，则x 1x 2x 3的取值范围是________．解析 (1)若x ≤0，则f (x )＝x ＋1， y ＝f [f (x )]＋1＝f (x ＋1)＋1 ＝⎩⎨⎧x ＋2，x ≤－1，log 2(x ＋1)＋1，－1＜x ≤0. 令x ＋2＝0与log 2(x ＋1)＝－1，得两个零点x ＝－2和x ＝－12.若x ＞0，则f (x )＝log 2x ，y ＝f [f (x )]＝f (log 2x )＋1＝ ⎩⎨⎧log 2x ＋2，0＜x ≤1，log 2(log 2x )＋1，x ＞1.令log 2x ＋2＝0与log 2(log 2x )＝－1，得两个零点x ＝14和x ＝ 2.故共有4个零点． (2)由题得f (x )＝⎩⎨⎧2x 2－x ，x ≤0，－x 2＋x ，x >0，f (x )的图象如图． ∵f (x )＝m 恰有三个互不相等的根，∴0<m <14. 将y ＝2x 2－x 的图象补充可得A 点坐标： 2x 2－x ＝14，∴x ＝1＋34，∴A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋34，0. 设f 1(x )＝m 与f 2(x )＝2x 2－x 和f 3(x )＝－x 2＋x 的交点分别为x 1，x 4和x 2，x 3，。