第2章_连续系统的时域分析

f ( t ) = 10 cos( t )， t ≥ 0, y (0) = 2， y ' (0) = 0
解：先求齐次解，即： 先求齐次解，
y '' (t ) + 5 y ' (t ) + 6 y (t ) = 0 系统的特征方程为 λ 2 + 5λ + 6 = 0 因式分解： 因式分解： (λ + 2)(λ + 3) = 0 特征根： 特征根： λ1 = −2, λ2 = −3 −2t −3t 对应的齐次解为： yh (t ) = C1e + C2e 对应的齐次解为：
4 y ' (0)=-2C1 -3C2 +1 = 0
)
强迫响应
y (t ) = 2 e
−2 t
-e
−3t
+
2 sin( t -
π
4
) ，≥0 t
瞬态响应
稳态响应
第二章 连续系统的时域分析 2.1 LTI连续系统的响应 LTI连续系统的响应 一 微分方程的求解
特征根的情况分析
特征根 λ 单实根 r重实根 一对共轭复根 λ1,2 = α + j β 齐次解 yh (t )
第二章 连续系统的时域分析 2.1 LTI连续系统的响应 LTI连续系统的响应 一 微分方程的求解
将它们代入方程： 将它们代入方程： P + 5Q + 6 P ) cos t + (-Q - 5 P + 6Q ) sin t = 10 cos t (上式对所有的t≥0成立 故有： 上式对所有的t≥0成立 ，故有：5P + 5Q = 10 ， 5P + 5Q = 0 t≥0 解得P=Q=1，所以特解为：y p (t ) = cos t + sin t = ，所以特解为： 解得 系统的全响应为： 系统的全响应为：y (t ) = y h (t )+ y p (t )= C1e 其一阶导数为： 其一阶导数为： y (t ) = -2 C1e
e
λt
(Cr −1t r −1 + Cr − 2t r − 2 + ⋅⋅⋅ + C1t + C0 )eλt
eα t [C cos( β t ) + D sin( β t ) ]
第二章 连续系统的时域分析 2.1 LTI连续系统的响应 LTI连续系统的响应 二 关于0-和0+初始值 若输入f(t)是在 时接入系统 则确定待定系数C 若输入 是在t=0时接入系统，则确定待定系数 i时 是在 时接入系统， 时刻的初始值 初始值， 用t = 0+时刻的初始值，即y(j)(0+) (j=0,1,2…，n-1)。 ， 。 包含了输入信号的作用， 而y(j)(0+)包含了输入信号的作用，不便于描述系统的 包含了输入信号的作用 历史信息。 历史信息。 反映了系 在t=0-时，激励尚未接入，该时刻的值 (j)(0-)反映了系 时 激励尚未接入，该时刻的值y 反映了 统的历史情况而与激励无关 称这些值为初始状态 而与激励无关。 初始状态或 统的历史情况而与激励无关。称这些值为初始状态或起 始值。 始值。
第二章 连续系统的时域分析 2.1 LTI连续系统的响应 LTI连续系统的响应 一 微分方程的求解
第二章 连续系统的时域分析 2.1 LTI连续系统的响应 LTI连续系统的响应 一 微分方程的求解
例2.1-2：求给定微分方程的全解 y '' ( t ) + 5 y ' ( t ) + 6 y ( t ) = f ( t ) 。
y(0− ) ≠ y(0+ ) 或 y '(0− ) ≠ y '(0+ ) 等等
通常，对于具体的系统，初始状态一般容易求得。 通常，对于具体的系统，初始状态一般容易求得。这 为求解微分方程，就需要从已知的初始状态y(j)(0-)设法 为求解微分方程，就需要从已知的初始状态 设法 求得y(j)(0+)。下列举例说明。 求得 。下列举例说明。
= P cos t + Q sin t
其中C 为待定系数，在求得全解后，由初始条件确定。 其中 1，C2为待定系数，在求得全解后，由初始条件确定。 再求特解，可设特解为： 再求特解，可设特解为： y p ( t ) 特解
' ''
y p (t ) = - P sin t + Q cos t ， p (t ) = - P cos t -Q sin t y
第二章 连续系统的时域分析 2.1 LTI连续系统的响应 LTI连续系统的响应 二 关于0-和0+初始值 对式(1)两端积分有 对式 两端积分有
∫
0+
0−
y ' ' (t )dt + 3∫ y ' (t )dt + 2∫ y (t )dt = 2∫ δ (t )dt + 6∫ ε (t )dt
0− 0− 0− 0−
第二章 连续系统的时域分析 2.1 LTI连续系统的响应 LTI连续系统的响应 一 微分方程的求解
LTI连续系统的时域分析归结为：建立并求解线性微分方程。 连续系统的时域分析归结为：建立并求解线性微分方程。 连续系统的时域分析归结为 这种方法直观，概念清楚，是学习各种变换域分析法的基础。 这种方法直观，概念清楚，是学习各种变换域分析法的基础。
第二章 连续系统的时域分析 2.1 LTI连续系统的响应 LTI连续系统的响应 二 关于0-和0+初始值 例：描述某系统的微分方程为 y”(t) + 3y’(t) + 2y(t) = 2f’(t) + 6f(t) 已知y(0-)=2，y’(0-)= 0，f(t)=ε(t)，求y(0+)和y’(0+)。 已知 ， ， ， 和 。 解：将输入f(t)=ε(t)代入上述微分方程得 将输入 代入上述微分方程得 y”(t) + 3y’(t) + 2y(t) = 2δ(t) + 6ε(t) （1） ） 利用系数匹配法分析：上式对于t=0-也成立，在0-<t<0+ 系数匹配法分析 也成立， 利用系数匹配法分析：上式对于 也成立 区间等号两端δ(t)项的系数应相等。 项的系数应相等。 区间等号两端 项的系数应相等 由于等号右端为2δ(t)，故y”(t)应包含冲激函数，从而 应包含冲激函数， 由于等号右端为 ， 应包含冲激函数 y’(t)在t= 0处将发生跃变，即y’(0+)≠y’(0-)。 处将发生跃变， 在 处将发生跃变 。 不含冲激函数， 将含有δ’(t)项。由于 但y’(t)不含冲激函数，否则 不含冲激函数 否则y”(t)将含有 将含有 项 y’(t)中不含 中不含δ(t)，故y(t)在t=0处是连续的。 处是连续的。 中不含 ， 在 处是连续的 y(0+) = y(0-) = 2 故
微分方程求解
时域分析法
全响应= 全响应= 齐次方程通解 + 非齐次方程特解 （自由响应） （受迫响应）
变换域法 （第五章）
经 典 法
零 状 态 响 应
Байду номын сангаас
( ( 卷 积 法
全响应= 全响应= 零输入响应 + 零状态响应 （解齐次方程） （叠加积分法） 响应 响应
) )
零状态响应
第二章 连续系统的时域分析 2.1 LTI连续系统的响应 LTI连续系统的响应 一 微分方程的求解 y(n)(t) + an-1y (n-1)(t) + …+ a1y(1)(t) + a0y (t) = bmf(m)(t) + bm-1f (m-1)(t) + …+ b1f(1)(t) + b0f (t) 微分方程的经典解： 微分方程的经典解： y(t)(完全解 = yh(t)(齐次解 + yp(t)(特解） 完全解) 齐次解) 特解） 完全解 齐次解 特解 齐次解是齐次微分方程 齐次解是齐次微分方程 y(n)+an-1y(n-1)+…+a1y(1)(t)+a0y(t)=0 的解。yh(t)的函数形式由上述微分方程的特征根确定。 的解。 的函数形式由上述微分方程的特征根确定。 的函数形式由上述微分方程的特征根确定 特解的函数形式与激励函数的形式有关。 特解的函数形式与激励函数的形式有关。P43表2-1、2-2 的函数形式与激励函数的形式有关 表 、 齐次解的函数形式仅与系统本身的特性有关， 齐次解的函数形式仅与系统本身的特性有关，而与激励 的函数形式仅与系统本身的特性有关 固有响应或 f(t)的函数形式无关，称为系统的固有响应或自由响应； 的函数形式无关， 的函数形式无关 称为系统的固有响应 自由响应； 特解的函数形式由激励确定 称为强迫响应 的函数形式由激励确定， 强迫响应。 特解的函数形式由激励确定，称为强迫响应。
第二章 连续系统的时域分析 信号与系统课程体系
第一章 信号与系统的基本概念 第二章 连续系统的时域分析 第三章 离散系统的时域分析 第四章 傅里叶变换和系统的频域分析 连续系统的s域分析 第五章 连续系统的 域分析 离散系统的z域分析 第六章 离散系统的 域分析 第七章 系统函数 第八章 系统的状态变量分析
第二章 连续系统的时域分析 2.1 LTI连续系统的响应 LTI连续系统的响应 三 零输入响应和零状态响应 零输入响应：没有外加激励信号的作用， 零输入响应：没有外加激励信号的作用，只有起始状态 起始时刻系统储能）所产生的响应。 （起始时刻系统储能）所产生的响应。
∑a y
j =0 j
n
( j) zi
课程体系
第二章 连续系统的时域分析 信号与系统课程体系
傅里叶变换 第四章 连续时域 第二章 绪论 第一章 离散时域 第三章 拉普拉斯 变换 第五章 Z变换 第六章