初中数学竞赛辅导资料换元法含答案
初中数学竞赛——换元法和待定系数法
第3讲换元法和待定系数法典型例题一.换元法【例1】分解因式：63-+x x2827【例2】分解因式：44222-+++-()()()a b a b a b【例3】分解因式：4444(4)++-a a【例4】分解因式：44+++-y y(1)(3)272+++-+y y y(1)(3)4(35)【例5】分解因式：33【例6】 分解因式：2222(48)3(48)2x x x x x x ++++++【例7】 证明：四个连续整数的的乘积加1是整数的平方.【例8】 分解因式：(1)(1)(3)(5)9x x x x -+++-【例9】 分解因式：22(76)(6)56x x x x -+--+.【例10】 分解因式：42199819991998x x x -+-【例11】 分解因式：24(5)(6)(10)(12)3x x x x x ++++-【例12】 分解因式：()()()()()()()b c a c a b a b c a a b c a b c b a b c b c a +-+-+-+-++-++-+-+()()c b c a a b c +--+.【例13】 分解因式：2(3)(1)(5)20x x x +-+-.【例14】 分解因式：4322212()x x x x x +++++.【例15】 分解因式：22222(21)(44)(21)x y x y xy x y x +-+----+.【例16】 分解因式：2(1)(2)(2)xy x y x y xy -++-+-.【例17】 证明：对任意自然数n ，都存在一个自然数m ，使得1mn +是一个合数.【例18】化简：2323234 (1)1x x x xx x x x+++-++++.【例19】将199551-分解成三个整数之积，且每一个因数都大于1005.二.待定系数法【例20】分解因式：43223x x x x++-+【例21】分解因式：432x x--【例22】 分解因式：432266x x x x -+-+【例23】 分解因式：432615x x x x -+-+.【例24】 421x x -+能否分解因式？【例25】 分解因式：2422(1)1a a a a ++-+.【例26】 若226541122x xy y x y m ---++可分解为两个一次式的积，求m 的值并将多项式分解因式.【例27】 已知4326134x x x kx -+++是一个完全平方式，求常数k 的值.【例28】 已知32x bx cx d +++的系数均为整数，若bd cd +为奇数.求证：此多项式不能分解为两个整系数的多项式之积.【例29】 已知关于x ，y 的二次六项式226372x axy y x y +----能分解为一次式2x by c ++与2dx ey +-的积，求a b c d e ++++的值.【例30】 已知关于y 的五次三项式554y my n -+有二次因式2()y a -（其中a ，n 均不为零）.求证：（1）n a m =；（2）54m n =.【例31】 将分式251126x x x -+-分解成部分分式.思维飞跃【例32】 设3434a b -≤-≤，5917a b ≤+≤，求7a b +的最小值和最大值。
换元法专题含答案
的斜率为 ， 是坐标原点． （1）求 的方程； （2）设过点 的直线 与 相交于 ， 两点，当
的面积最大时，求直线 的方程．
14. 已知椭圆 t
t 的离心率为 ，左焦点 到点 区 的距离为 t．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过椭圆右焦点 的直线 与椭圆交于不同的两点 ， ，则
内切圆的面积是否存
在最大值?若存在，求出这个最大值及此时直线 的方程；若不存在，请说明理由．
t
区． t
在 t区 t 上恒成立，
即：
t
t 在 t区 t 上恒成立，令
，则
log ．
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t
t
t
t
t
在
区t 时恒成立，所以
t
因为 t，所以 t
，所以 t
所以 t
，
t
，
min
，
所以
，
t min
所以
．
5. （1） 因为
，
所以 sin sin⸷，
16. 已知椭圆 ㌱： t
t 的左右焦点和短轴的两个端点构成边长为 的正方形．
（1）求椭圆 ㌱ 的方程；
（2）过点 区t 的直线 与椭圆 ㌱ 相交于 ，⸷ 两点，且点
别为 ， ，当
取最大值时，求直线 的方程．
区 ，记直线 ， ⸷ 的斜率分
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（1）求椭圆 ㌱ 的方程； （2）设过点 的动直线 与椭圆 ㌱ 相交于 ， 两点，当
程．
的面积最大时，求直线 的方
29. 已知函数 （1）若函数 （2）若
中考数学复习一元二次方程专练换元法解一元二次方程专项练习35题含答案
换元法解一元二次方程(1)（x2﹣3x）2﹣2（x2﹣3x）﹣8=0(2)（2x2﹣3x）2+5（2x2﹣3x）+4=0．(3)已知：（x2+2x﹣1）（x2+2x+2）=4，求x2+2x的值”(4)已知：（x2+y2﹣3）（2x2+2y2﹣4）=24，求x2+y2的值．（5）（x2﹣2x）2+（x2﹣2x）﹣2=0 （6）2（﹣x）2﹣（x ﹣）﹣1=0．（7）（x﹣1）2+5（1﹣x）﹣6=0 （8）（x+3）2﹣5（x+3）﹣6=0．（9）2（x﹣1）2+5（x﹣l）+2=0．（10）（x+2）2﹣3（x+2）+2=0．（11）（2x﹣3）2﹣5（2x﹣3）=﹣6（12）（2x﹣x2）2﹣2（x2﹣2x）+1=0．（13）（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+4=0．（14）（x2﹣x）2﹣2（x2﹣x）﹣3=0（15）已知（a+2b）2﹣2a﹣4b+1=0，求（a+2b）2010的值．（16）（x2﹣x）2﹣5（x2﹣x）+6=0，（17）已知（a2+b2）2﹣（a2+b2）﹣6=0，求a2+b2的值．（18）（2x+1）2﹣6（2x+1）+5=0（19）（x2+3x﹣4）2+（2x2﹣7x+6）2=（3x2﹣4x+2）2．（20）已知（x2+y2）2﹣3（x2+y2）﹣40=0，求x2+y2．（21）（x2+x）（x2+x﹣3）﹣3（x2+x）+8=0．（22）（x+2）2+6（x+2）﹣91=O；（23）（3x﹣2）2+（2﹣3x）=20．（24）（x2﹣3x）2﹣2（x2﹣3x）﹣8=0．（25）（x2﹣2）2﹣7（x2﹣2）=0．（26）已知（x2+y2）（x2+y2+2）﹣8=0，求x2+y2的值．（27）已知x，y满足方程x4+y4+2x2y2﹣x2﹣y2﹣12=0，求x2+y2的值．（28）（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+4=0，（29）（x2﹣x）2﹣8（x2﹣x）+12=0．（30）（x2+x）2﹣8（x2+x）+12=0． (31)（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+4=0，(32)（x2﹣2x）2﹣2（x2﹣2x）﹣3=0(33)（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+4=0，（34）x（x+3）（x2+3x+2）=24．（35）已知：（x2+y2）2﹣（x2+y2）﹣12=0，求x2+y2的值．换元法解一元二次方程35题参考答案：(1)（x2﹣3x）2﹣2（x2﹣3x）﹣8=0解：设x2﹣3x=y则原方程可化为y2﹣2y﹣8=0解得：y1=﹣2，y2=4当y=﹣2时，x2﹣3x=﹣2，解得x1=2，x2=1当y=4时，x2﹣3x=4，解得x1=4，x2=﹣1∴原方程的根是x1=2，x2=1，x3=4，x4=﹣1，(2)（2x2﹣3x）2+5（2x2﹣3x）+4=0．解：设2x2﹣3x=y，原方程转化为：y2+5y+4=0（1分），解得：y1=﹣4，y2=﹣1（3分）当y1=﹣4时，2x2﹣3x+4=0，无实数根．（4分）当y2=﹣1时，2x2﹣3x+1=0，解得x1=，x2=1．故原方程根为x1=，x2=1(3)（x2+2x﹣1）（x2+2x+2）=4，求x2+2x的值”，解：设x2+2x=y，则原方程可变为：（y﹣1）（y+2）=4 整理得y2+y﹣2=4即：y2+y﹣6=0解得y1=﹣3，y2=2∴x2+2x的值为﹣3或2(4)已知：（x2+y2﹣3）（2x2+2y2﹣4）=24，求x2+y2的值．解：设x2+y2=m，则原方程可变为：（m﹣3）（2m﹣4）=24∴2（m﹣3）（m﹣2）=24．∴m2﹣5m+6=12．∴m2﹣5m﹣6=0解得m1=6，m2=﹣1∵x2+y2≥0∴x2+y2的值为6（5）（x2﹣2x）2+（x2﹣2x）﹣2=0解：设y=x2﹣2x原方程可变为：y2+y﹣2=0解方程得y=﹣2或1所以x2﹣2x=﹣2或1．当x2﹣2x=﹣2时，△＜0，没实数根，当x2﹣2x=1时，解得x=1±．∴原方程的根是x1=1+，x2=1﹣（6）2（﹣x）2﹣（x ﹣）﹣1=0．解：2（﹣x）2﹣（x ﹣）﹣1=0，变形得：2（x ﹣）2﹣（x ﹣）﹣1=0，设y=x ﹣，则原方程可化为2y2﹣y﹣1=0，…（2分）因式分解得：（2y+1）（y﹣1）=0，解得：y=﹣或y=1，…（5分）当y=﹣时，x ﹣=﹣，解得：x=0；当y=1时，x ﹣=1，解得：x=，∴x1=，x2=0（7）（x﹣1）2+5（1﹣x）﹣6=0解：设x﹣1=y，则原方程可化为：y2﹣5y﹣6=0，∴y1=﹣1，y2=6，∴x﹣1=﹣1，x﹣1=6∴x1=0，x2=7（8）（x+3）2﹣5（x+3）﹣6=0．解：设y=x+3，则原方程可化为y2﹣5y﹣6=0．解得：y1=6，y2=﹣1．当y1=6时，x+3=6，x1=3；当y2=﹣1时，x+3=﹣1，x2=﹣4．∴x1=3，x2=﹣4（8）2（x﹣1）2+5（x﹣l）+2=0．解：设x﹣l=y，则由原方程，得2y2+5y+2=0，即（y+2）（2y+1）=0，∴y+2=0，或2y+1=0，解得，y=﹣2，或y=﹣；①当y=﹣2时，x﹣1=﹣2，解得，x=﹣1；②当y=﹣时，x﹣1=﹣，解得，x=；综上所述，原方程的解是x1=﹣1，x2=（9）（x+2）2﹣3（x+2）+2=0．解：令x+2=t，原方程可化为t2﹣3t+2=0，（t﹣1）（t﹣2）=0，解得t1=1，t2=2，∴x+2=1或x+2=2，∴x1=﹣1，x2=0（10）（2x﹣3）2﹣5（2x﹣3）=﹣6解：（1）∵3x2﹣5x﹣2=0∴（3x+1）（x﹣2）=0即3x+1=0或x﹣2=0解得x1=2；x2=．（11）设t=2x﹣3，则原方程可化为：t2﹣5t+6=0∴（t﹣2）（t﹣3）=0∴t=2或3，即2x﹣3=2或3解得x1=；x2=3（12）根据题意，令y=x2﹣2x，原方程可化为：y2﹣2y+1=0，解得y=1，即x2﹣2x=1，可用公式法求解，其中a=1，b=﹣2，c=﹣1，∴△=8＞0，∴方程的解为x==，即x1=1﹣，x2=1+（13）（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+4=0．解：设x2﹣1=t．则由原方程，得t2﹣5t+4=0，即（t﹣1）（t﹣4）=0，解得，t=1或t=4；①当t=1时，x2﹣1=1，∴x2=2，∴x=±；②当t=4时，x2﹣1=4，∴x2=5，∴x=±．综合①②，原方程的解是：x1=，x2=﹣，x3=，x4=﹣（14）（x2﹣x）2﹣2（x2﹣x）﹣3=0解：设x2﹣x=y，所以原方程变化为：y2﹣2y﹣3=0，解得y=﹣1或3，当y=﹣1时，x2﹣x=﹣1，无解；当y=3时，x2﹣x=3，解得，x1=，x2=，∴原方程的解为x1=，x2=（15）已知（a+2b）2﹣2a﹣4b+1=0，求（a+2b）2010的值．解：根据题意，设a+2b=x，代入原方程得：x2﹣2x+1=0，即（x﹣1）2=0∴x=1，即a+2b=1，所以（a+2b）2010=1（16）（x2﹣x）2﹣5（x2﹣x）+6=0解：根据题意x2﹣x=y，把原方程中的x2﹣x换成y，所以原方程变化为：y2﹣5y+6=0，解得y=2或3，当y=2时，x2﹣x=2，解得：x1=2，x2=﹣1；当y=3时，x2﹣x=3，解得，x3=，x4=，∴原方程的解为x1=2，x2=﹣1，x3=，x4=．（17）已知（a2+b2）2﹣（a2+b2）﹣6=0，求a2+b2的值．解：设a2+b2=y据题意得y2﹣y﹣6=0解得y1=3，y2=﹣2∵a2+b2≥0∴a2+b2=3（18）（2x+1）2﹣6（2x+1）+5=0解：设2x+1=a，原方程可化为a2﹣6a+5=0，解得a=1或5，当a=1时，即2x+1=1，解得x=0；当a=5时，即2x+1=5，解得x=2；∴原方程的解为x1=0，x2=2（19）．解：设u=x2+3x﹣4，v=2x2﹣7x+6，则u+v=3x2﹣4x+2．则原方程变为u2+v2=（u+v）2，即u2+v2=u2+2uv+v2，∴uv=0，∴u=0或v=0，即x2+3x﹣4=0或2x2﹣7x+6=0．解得（20）解：设x2+y2=t（t≥0），则t2﹣3t﹣40=0，所以（t﹣8）（t+5）=0，解得，t=8或t=﹣5（不合题意，舍去），故x2+y2=8（21）解：设x2+x=y，原方程可变形为：y（y﹣3）﹣3y+8=0，y2﹣6y+8=0，（y﹣4）（y﹣2）=0，解得：y1=4，y2=2，当y1=4时，x2+x=4，解得：x1=，x2=．当y2=2时，x2+x=2，解得：x3=1，x4=﹣2（22）（x+2）2+6（x+2）﹣91=O；设x+2=y，则原方程可变形为：y2+6y﹣91=0，解得：y1=7，y2=﹣13，当y1=7时，x+2=7，x1=5，当y2=﹣13时，x+2=﹣13，x2=﹣15；（23）设3x﹣2=t，则t2﹣t﹣20=0，∴（t+4）（t﹣5）=0，∴t+4=0或t﹣5=0，解得 t=﹣4或t=5．当t=﹣4时，3x﹣2=﹣4，解得 x=﹣；当t=5时，3x﹣2=5，解得 x=，综上所述，原方程的解为：x=﹣或 x=．（24）解：（x2﹣3x）2﹣2（x2﹣3x）﹣8=0，分解因式得：（x2﹣3x﹣4）（x2﹣3x+2）=0，即（x﹣4）（x+1）（x﹣1）（x﹣2）=0，可得x﹣4=0或x+1=0或x﹣1=0或x﹣2=0，解得：x1=4，x2=﹣1，x3=1，x4=2（25）解：根据题意，把y=x2﹣2代入方程（x2﹣2）2﹣7（x2﹣2）=0得：y2﹣7y=0，解得y1=0，y2=7，当y1=0时，即x2﹣2=0，解得：x1=﹣，x2=，当y2=7时，即x2﹣2=7，解得：x3=﹣3，x4=3，∴原方程的解为：x1=﹣，x2=，x3=﹣3，x4=3（26）已知（x2+y2）（x2+y2+2）﹣8=0，求x2+y2的值．解：设x2+y2=t，则原方程变形为t（t+2）﹣8=0，整理得t2+2t﹣8=0，∴（t+4）（t﹣2）=0，∴t1=﹣4，t2=2，当t=﹣4时，则x2+y2=﹣4，无意义舍去，当t=2时，则x2+y2=2．所以x2+y2的值为2（27）已知x，y满足方程x4+y4+2x2y2﹣x2﹣y2﹣12=0，求x2+y2的值．解：∵x4+y4+2x2y2﹣x2﹣y2﹣12=0，∴（x2+y2）2﹣（x2+y2）﹣12=0，即（x2+y2+3）（x2+y2﹣4）=0，∴x2+y2=﹣3，或x2+y2=4，∵x2+y2≥0，∴x2+y2=4(28)解方程（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+4=0，设x2﹣1=y原方程可化为y2﹣5y+4=0，解此方程得y1=1，y2=4．当y=1时，x2﹣1=1，∴x=±；当y=4时，x2﹣1=4，∴x=±，∴原方程的解为x1=，x2=﹣，x3=，x4=﹣．（29）解方程：（x2﹣x）2﹣8（x2﹣x）+12=0．设x2﹣x=A，由题意，得A2﹣8A+12=0，解得：A1=6，A2=2．当A=6时，x2﹣x=6，解得：x1=3，x2=﹣2；当A=2时，x2﹣x=2，解得：x3=2，x4=﹣1．∴原方程的解为：x1=6，x2=﹣2，x3=2，x4=﹣1（30）解方程：（x2+x）2﹣8（x2+x）+12=0．解：设y=x2+x，方程化为y2﹣8y+12=0，即（y﹣2）（y ﹣6）=0，解得y=2或y=6，即x2+x=2或x2+x=6，分解因式得：（x+2）（x﹣1）=0或（x﹣2）（x+3）=0，解得：x1=﹣2，x2=1，x3=2，x4=﹣3（31）解方程（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+4=0，解;设x2﹣1=y，即（x2﹣1）2=y2，原方程可化为y2﹣5y+4=0，又化为（y﹣1）（y﹣4）=0解得y1=1，y2=4．当y=1即x2﹣1=1时，x2=2，x=±；x1=，x2=﹣当y=4即x2﹣1=4时，x2=5，x=±；x3=，x4=﹣(32)解方程（x2﹣2x）2﹣2（x2﹣2x）﹣3=0解：设x2﹣2x=y，即（x2﹣2x）2=y2，原方程可化为y2﹣2y﹣3=0，解得y1=3，y2=﹣1，当y1=3时，x2﹣2x=3，解得x1=3，x2=﹣1；当y2=﹣1时，x2﹣2x=﹣1，解得x3=x4=1；∴原方程的解为x1=3，x2=﹣1；x3=x4=1（33）解方程（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+4=0，解：设x2﹣1=y，则原方程可化为y2﹣5y+4=0，解得y1=1，y2=4．当y1=1时，x2﹣1=1，∴；当y2=4时，x2﹣1=4，∴．因此原方程的解为：．（34）设x2+3x=y．∵x（x+3）（x2+3x+2）=24，∴（x2+3x）（x2+3x+2）=24，∴y（y+2）=24，即（y﹣4）（y+6）=0，解得，y=4或y=﹣6；①当y=4时，x2+3x=4，即（x﹣1）（x+4）=0，解得，x1=﹣4，x2=1；②当y=﹣6时，x2+3x=﹣6，即x2+3x+6=0，∵△=9﹣24=﹣15＜0，∴该方程无解；综上所述，原方程的根是：x1=﹣4，x2=1 （35）解：（x2+y2）2﹣（x2+y2）﹣12=0，设x2+y2=a，则有a2﹣a﹣12=0，因式分解得：（a﹣4）（a+3）=0，解得：a1=4，a2=﹣3，∵x2+y2＞0，即a＞0，∴a=﹣3不合题意，舍去，则x2+y2=a=4。
七年级数学尖子生培优竞赛专题辅导第一讲因式分解的常用方法和技巧(含答案)
第一讲因式分解的常用方法和技巧趣题引路】你知道如何分解因式^-+X9+/+/+1吗？试作一代换：若令疋= )，,贝IJ原式=h + )，3+y2 + y+l,指数为连续整数,可考虑用公式/-l = (^-l)(/ + / + / + y+l),则原式=V4 + V3 + V2 + V + 1 = —(y5 -1))‘一1x-l x2 + X + 1= (x4 + x3 +x2 +x+ l)(x8 -x7 +x5 +x3 -x + 1)一个代换，把一个复杂的问题转化为一个较简单的问题，这是数学方法之美.多项式的因式分解是数学中恒等变形的一种重要方法，它在初等数学乃至高等数学中都有广泛的应用，因式分解的方法很多，技巧性强，认真学好因式分解，不仅为以后学习分式的运算及化简、解方程和解不等式等奠定良好的基础，而且有利于思维能力的发展.知识拓展】因式分解与整式乘法的区别是：前者是把一个多项式变成几个整式的积，后者是把几个整式的积变成一个多项式，因式分解初中可在有理数域或实数域中进行，高中还可在复数域中进行.因式分解后每个因式应在指定数域中不能再分.“例如X4-A在有理数域内可分解为(X+2)(/-2),其中每个因式就不能再分，不然分解式的系数会超过有理数的范围；在实数域中，它的分解式是(X2+2)(X+>/2)(X->/2):在复数域中，它的分解式是因式分解的方法很多，除了数学教材中的提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法以外, 还有换元法、待定系数法、拆项添项法和因数定理法等.本讲在中学数学教材的基础上，对因式分解的方法、技巧作进一步的介绍.一、用换元法分解因式换元法是指将一个较复杂的代数式中的某一部分看作一个整体，并用一个新的字母替代这个整体来进行运算，从而使运算过程简单明了.换元法是中学数学中常用的方法之一.例1 (1999年希望杯题)分解因式(X2-1)(X +3)(X+5)+12.解析若全部展开，过于复杂，考虑局部重新组合.注意到在(x + l)(x + 3) = X + 4x + 3和(X-1)(X+5)= X2+4X-5中出现了相同部分X2+4X ,可考虑引入辅助元y = x2+4x分解(也可设y = F+4x + 3,y = x'+4x-l 等).解原式=[(x + l)(x + 3)][(A-1)(X + 5)] +12=(x2 +4x+ 3)(x2 + 4x-5)+12设y = x2 +4x f贝!I原式= (y+3)(y-5)+12= r-2y-3= (y-3)(y + l)=(x2+4x+ 3)(x2 +4x-l)点评换元法体现了数学中的整体代换思想，它是化繁为简的重要手段这里y取(x2 +4X + 3)和(x2 + 4X-1)的平均值时分解过程最为简便例2 (2001年天津初二题)分解因式(弓-1)= + (x+_ 2)(x+ > - 2xy).解析题中巧和卄y多次出现启发我们换元分解：设xy=d, x+y=b.解设xy=a, x+y=b,则，原式=(a -1)： + (b - 2)(b - 2a)=cr -2a + l+br -2b-2cib+4a=a2 +b2 +l+2a-2ab-2b=(a-b+[)2注：这里用到公式a，+b2 +c2 + 2ab + 2bc + lac = (a + b +c)2.点评换元必须考虑多项式的结构特征：当代数式中出现相同、相近或相关联(如：互为相反数，互为倒数)的部分时都可以考虑换元.二、用待定系数法分解因式待定系数法是初中数学中的又一重要方法，其应用很广泛.在因式分解时，只要假定一个多项式能分解成某几个因式的乘积，而这些因式中某些系数未定，可用一些字母来表示待定的系数•根据两个多项式恒等的性质，即两边对应项的系数必相等，可列出关于待定系数的方程或方程组，解此方程(组)即可求出待定系数.这种因式分解的方法叫做待定系数法.例3 (第9届五羊杯初二题)设x3 + 3x2-2xy + kx-4y可分解为一次与二次因式之积，则k= ______________________ .解析首先确定两个因式的结构：因多项式中疋的系数是1，常数项是0,以及没有护项，所以分解所得因式可设为x+a 和x2+bx + cy,其中e b, c为待定系数.解设x3 + 3x2 - 2xy + kx-4y可分解为(x+a)(x2 +bx+cy),贝ijx3 + 3x2 -2xy + kx-4y = x3 +(a + b)x2 + cxy + abx + acy比较系数，得a+b=3 ,a +b = 3消去c,得\ab = -k ,消去a,b,解得k=-2.ab = -ka = 2ac = -4 i点评用待定系数法分解因式，关健在于确定因式分解的最终形式.三、用公式法分解因式初中教材中出现的公式有平方差公式，完全平方公式，在因式分解中还常用到下列公式：立方和公式：a3 +b3 = (a + b)(a2 -ab + b2)立方差公式：a3 -b3 =(a-b)(a2 +ab+b2)和的立方公式：(a + b)3 =a3 + 3a2b + 3ab2 + b3差的立方公式：(a - b)3 =a3 - 3crb + 3ab2 -b3三数和的平方公式：(tz + b + c)' =a2 +b2 +c2 + 2ab 4- lac + 2bc两数n 次方差公式：a” -b n =(a-b)(a n~l + a n~2b + • • • + ab"~2 + b n~l)三数立方和公式：a3 +b3+c‘ = (a + b +c)3 -3(a + b)(b + c)(a + c)在具体问题中要根据代数式的结构特征来选用适当的公式.例4 分解因式x l5+x l4+x l3+-+x2+x+l.解析对于指数成连续整数的多项式我们可以考虑公式a" - b n =(a- + a"~2b + ab"~2 + b n~l),令b=l,得a" = + a n~2 + …+ a + l).为化繁为简，及能用公式，给原式乘以x-1解原it= (x15 +x14 +X13 + - -X2 +X+1) -_ =- ---------------------- --x-l x-l=(土 + 1)(疋 + 1)(F + l)(x + 1)(— 1)=(x8 + l)(x4 + l)(x2 + l)(x + 1)点评这里原式乘以吕很必要，这种先乘以再除以(或先加上再减去)同一个式子的变形技能经常用到.例5 (昆明市初中数学竞赛题)分解因式(c-a)2-4(b-c)(a-b).解析把拾号展开后重新组合.解原式=c? 一 2ac十/ 一 4ab + 4ac — 4bc + 4b‘=c2 + lac + a2 - Aab一4bc + 4b2=(c2 + 2ac + a2)-4b(a + c) + (2b)2= (a + c- 2b)2点评欲进先退，这是为了更清楚地认识代数式的结构特征.例6 分解因式(x+2y_77)，+ (3x_4y + 6zF_(4x_2y_z)B解析本题与三个数的立方和有关.联想到公式a3 + + c5 = (a + b + c)(«2 + b2 +c2 -ab-be- ca)+ 3abc , 而(x + 2y- 7z)+(3x - 4y + 6乙)+ (- 4x + 2y+ z)= 0.故原式可分解为3(x + 2y - 7z)(3x - 4y + 6乙)(-4x + 2y + z) ■四、用拆项添项法分解因式在对某些多项式分解因式时，需要对某些项作适当的变形，使其能分组分解，添项和拆项是两种重要的技巧例7分解因式：x3-9x+8.解析多项式有三项，若考虑拆项，有三种选择.注意只有让分解能继续的拆法才是可取的.若考虑添项，式中无二次项，可添加-F + F.解法1将常数项拆成一1+9,原式=/3_9大_] + 9 =疋_1_9(尤_1) = (—1)(疋+尤_8)解法2 将一次项-9兀拆成-x-3x ,原式=X3-X-3X +3=(X3-X)- 8(x-l)=x(x + l)(x-1)-8(x-1) = (x - l)(x: +x-8)解法3 将三次项/拆成9疋-8疋，原式=9X3-8X3-9X +8=(9X3-9X)+(-8X3+8)=9x(x + l)(x-1)-8(x - l)(x2 + x + l)=(X-1)(X2+ X-8)解法4添加-x2+x2,原式=x3 -x2 +x2 -9x+8= X2(X-1)+(X-8)(X-1)= (x-l)(x2 +x-8)点评一题四种解法，可谓“横看成岭侧成峰，左添右拆都成功”.拆项、添项是因式分解中技巧性最强的一种例8己知x2 + x+l = O ,试求X8 + x4 +1的值.解析设法使疋+疋+1变成含x2+x+l的式子，因x8 = (x4)2,可考虑完全平方公式，将十拆成2x4-%4.解原式=^8+2X4+1-X4=(X4+1)-(x2)2 =(x2+x + IX%2 -x + 1)因为疋+"1 = 0,所以原式的值为0.五、利用因式定理分解因式因式定理的内容：如果x=a时，多项式的值为零，即f(a) = 0 ,则/'(x)能被x-a整除，即/(兀)一定有因式x-d・运用因式定理和综合除法可以解决一些较复杂的多项式分解问题.例9 分解因式X4+2?-9X:-2X+8.解析设f(x) = x4 + 2x3-9x2-2x + 3,可知/(1) = 0, /(-1) = 0,因此/⑴有因式(x+l)(x-l),用综合除法可求另外因式.解依题意知y(l) = /(-l) = 0,故/'(x)有因式x-1, x+1,作综合除法：12-9-2811 3 -6 -813-6-80—]—1 — 2 812-80因此f(x) = (x- l)(x + l)(x2 + 2x- 8),则原式=(x- 1)(A-+l)(x一2)(A-+4) •好题妙解】佳题新题品味例1 (2001年呼和浩特市中考题)要使二次三项式x^rnx-6能在整数范围内分解因式，则加可取的整数为.解析该式可用十字相乘法分解.那么m等于一6的两个整因数之和.而—6=lx ( —6) = ( — 1) x6=2x ( —3) = ( —2) x3,因而m 可能的值为一5, 5, —1, 1. 点评本题训练逆向思维及枚举法.例2 (2003年江苏初中竞赛)若a, b, c为三角形三边，则下列关系式中正确的是()A. a2-b2-c2-2bc>QB. a2-b2-c2-2bc = QC. a2-b2-c2-2bc<0D. a2 -b2-c2-2bc<0解析因a' -b1 -c2 -2bc = a2 -(b2 +c2 + 2bc) = a2 -(b + c)1 =(a + b + c)(a-b-c)而在三角形中，a<b+c ,即a~b—c<Q,故选C.点评注意隐含条件：三角形中两边之和大于第三边中考真题欣赏例1 (武汉中考题)分解因式a2-l+b2-2ab= _________________________ .解析将a2 +b2 -2ab作一组恰为(«-b)2与1构成平方差，应填(a—b+1) (a—b—1).例2 (北京朝阳区)分解因式m3-2m2-4m+8.解析第一、二项作一组可提公因式沪，后两项作一组可提公因数4,于是m3 -2nr一4m+3 = m2(m-2)-4(m-2) = (m2一4)(m-2) = (m—2):(m+2).点评分解因式一定分解到不能再分解为止.例3 (1999年北京中考题)多项式x2 + axy + by1 -5x+ y + 6的一个因式是x+y-2,试求d+b的值.解析 利用待定系数法，设原式=（x+y-2）（x+^y-3）展开比较系数得号; 解得 a=~l, b=~2,因此 a+b=—3.竞赛样题展示例1 （江苏省第十七届初中数学竞赛）如果是ax 3+bx 2+l 的一个因式，则b 的值为（）A.-2B.-lC.OD.2解析 运用待定系数法，依题可设另一因式为ax-1,比较系数可得b=—2,选A.(23 -1)(33 ~1)(43 -1) - (1003 -1)(23 +1](33 +1J43 +1)---(1003 +1)a 3 -1 _(a ~ 1)3 + a + l) _ fl-1 (a +1)3 +1 (a + 2)(a 2 4-ti + l) a + 2故呼式=(2-1X3-1)…(99-山00，-1) 収 玖 (23 +1)(3 +1X4+ 1)-(100-1)1X 2X 3X (1OO 3-1) 3367 小― (23 +1)x99x100x1015050例3设多项式与多项式F+x-a 有非常数公因式，贝仏= ______________________________ . 解析 0或6.因为（兀3-X-d ） - （F+x-d ） = x （x+l ）（x-2）,所以，X’-X-d 与 F +兀-4 的公因式必为 X 、兀+1、X-2中的一个.当公因式为x 或x+1时，£7=0；当公因式为X —2时，a = 6.例4 （2003年太原市初中数学竞赛）已知直角三角形的各边长为正整数，它的周长为80.则三边长分 别是 •解析涉及直角三角形问题勾股定理举足轻重！ 解 30、 16、 34.设直角三角形的三边长分别为4、b 、c.由题设得a 2+b 2^c 2且a+b+c=80.将 c=SQ-a~b 代入a 2+b 2=c 2,整理得 6400—80a — 80b+ab=3200,即（80—。
专题04 换元法专题研究(解析版)
备战2020中考数学解题方法专题研究专题4 换元法专题【方法简介】解一些复杂的因式分解问题，常用到换元法，即对结构比较复杂的多项式，若把其中某些部分看成一个整体，用新字母代替(即换元)，则能使复杂的问题简单化，明朗化，在减少多项式项数,降低多项式结构复杂程度等方面有独到作用。
换元法又称变量替换法, 是我们解题常用的方法之一。
利用换元法, 可以化繁为简, 化难为易, 从而找到解题的捷径。
【真题演练】1. 若（x2+y2﹣2）2=9，则x2+y2的值为（）A．1 B．﹣1 C．5 D．5或﹣1【解析】：设t=x2+y2（t≥0），由原方程得：（t﹣2）2=9，解得t﹣2=±3，解得t=5或t=﹣1（舍去）．故选：C．2. 用“整体法”求得方程（2x+5）2﹣4（2x+5）+3=0的解为（）A．x1=1，x2=3 B．x1=﹣2，x2=3 C．x1=﹣3，x2=﹣1 D．x1=﹣2，x2=﹣1【解析】：（2x+5）2﹣4（2x+5）+3=0，设2x+5=y，则原方程变形为y2﹣4y+3=0，解得：y1=1，y2=3，当y=1时，2x+5=1，解得：x=﹣2，当y=3时，2x+5=3，解得：x=﹣1，即原方程的解为x1=﹣2，x2=﹣1，故选：D．3. 若实数a，b满足（2a+2b）（2a+2b﹣2）﹣8=0，则a+b=．【解析】设a+b=x，则由原方程，得2x（2x﹣2）﹣8=0，整理，得4x2﹣4x﹣8=0，即x2﹣x﹣2=0，分解得：（x+1）（x﹣2）=0，解得：x1=﹣1，x2=2．则a+b的值是﹣1或2．故答案是：﹣1或2．4. 阅读下面的材料，回答问题：解方程x4﹣5x2+4=0，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设x2=y，那么x4=y2，于是原方程可变为y2﹣5y+4=0 ①，解得y1=1，y2=4．当y=1时，x2=1，∴x=±1；当y=4时，x2=4，∴x=±2；∴原方程有四个根：x1=1，x2=﹣1，x3=2，x4=﹣2．（1）在由原方程得到方程①的过程中，利用法达到的目的，体现了数学的转化思想．【解析】：（1）换元，降次（2）设x2+x=y，原方程可化为y2﹣4y﹣12=0，解得y1=6，y2=﹣2．由x2+x=6，得x1=﹣3，x2=2．由x2+x=﹣2，得方程x2+x+2=0，b2﹣4ac=1﹣4×2=﹣7＜0，此时方程无实根．所以原方程的解为x1=﹣3，x2=2．【名词释义】概念：换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法。
八年级数学因式分解综合应用(换元法与添项拆项)(北师版)(含答案)
学生做题前请先回答以下问题问题1：因式分解的基本方法有哪几种？问题2：换元、添项拆项是复杂多项式进行分解因式的常用技巧之一，通过对复杂多项式的处理，最终都转化为____________．问题3：换元是复杂多项式进行分解因式的常用技巧之一，当多项式中的某一部分_______时，我们会________将其替换，从而简化式子的形式．因式分解综合应用（换元法与添项拆项）（北师版）一、单选题(共10道，每道10分)1.把因式分解，正确结果是( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：因式分解的技巧——换元法2.把因式分解，正确结果是( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：因式分解的技巧——换元法3.把因式分解，正确结果是( )A. B.C. D.答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：因式分解的技巧——换元法4.把因式分解，正确结果为( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：因式分解的技巧——换元法5.把因式分解，正确结果是( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：因式分解的技巧——添项拆项法6.把因式分解，正确结果是( )A. B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：因式分解的技巧——添项拆项法7.把因式分解，正确结果是( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：因式分解的技巧——添项拆项法8.把因式分解，正确结果是( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：因式分解的技巧——添项拆项法9.把因式分解，正确结果是( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：因式分解的技巧——添项拆项法10.把因式分解后，下列选项中不是它的因式的是？( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：因式分解的技巧——添项拆项法。
《解一元二次方程—换元法》典型例题解析与同步训练(后附答案)
（2）设x2+x=y，原方程可化为y2﹣4y﹣12=0，
解得x=3或x=6；
（4）化简得：（x﹣1﹣2）（x﹣1﹣3）=0
即（x﹣3）（x﹣4）=0
解得x=3或x=4．
例4．阅读下面材料：解答问题
为解方程（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+4=0，我们可以将（x2﹣1）看作一个整体，然后设x2﹣1=y，那么原方程可化为y2﹣5y+4=0，解得y1=1，y2=4．当y=1时，x2﹣1=1，∴x2=2，∴x=± ；当y=4时，x2﹣1=4，∴x2=5，∴x=± ，故原方程的解为x1= ，x2=﹣ ，x3= ，x4=﹣ ．
2.2.5《解一元二次方程—换元法》典型例题解析与同步训练
【知识要点】
1、解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法．
换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理．
解得y1=6，y2=﹣2（4分）
当y=6时，x2﹣x=6即x2﹣x﹣6=0
∴x1=3，x2=﹣2（6分）
当y=﹣2时，x2﹣x=﹣2即x2﹣x+2=0
∵△=（﹣1）2﹣4×1×2＜0
∴方程无实数解（8分）
∴原方程的解为：x1=3，x2=﹣2．（9分）
例5．阅读下面的材料，回答问题：
解方程x4﹣5x2+4=0，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：
（2）先移项，然后把x2﹣9因式分解为（x+3）（x﹣3），然后再提取公因式，因式分解即可．
（3）先移项，然后用提取公因式法对左边进行因式分解即可．
测试卷2：因式分解的方法二—换元法参考答案
因式分解的方法二——换元法参考答案知识要点：换元法是数学中的一种重要方法，在解题和证明中常常起到桥梁作用。
用换元法分解因式，是把题目中的某一部分或某几部分看成一个整体，设为一个或几个新的变元，从而使代数式的结果简单化，便于分解。
A 卷一、填空题1、分解因式：()()_______________122122=-++++x x x x .2、分解因式：()()()()_______________157531=+++++x x x x .3、（重庆市竞赛题）分解因式：()____________________199911999199922=---x x .4、（第12届“五羊杯”初二试题）分解因式：()()()_____________22333=-----y x y x . 5、（“TI 杯”初中竞赛题）若142=++y xy x ，282=++x xy y ，则y x +的值为 .二、选择题6、当1=-y x 时，42233433y xy y x y x xy x ++---的值为（ ）A 、1-B 、0C 、2D 、17、（武汉市选拔赛）若133=-x x ，则199973129234+--+x x x x 的值等于（ ）A 、1999B 、2001C 、2003D 、20058、要使()()()()m x x x x +--+-8431为完全平方式，则m 为（ ）A 、12B 、24C 、196D 、200B 卷一、填空题9、化简：()()()_______________111120022=++++++++x x x x x x x .11、（2005年第16届“希望杯”初二年级竞赛题）在有理数范围内分解因式： ()()()()________________________________________63212=+++++x x x x x二、解答题12、分解因式：（2）()13322132222-+-+-x x x x 解原式()()13211132222---+-=x x x x令y x x =-322，则原式()11112--+=y y y y 92-=()9-=y y()()9323222---=x x x x ()()()32332+--=x x x x（3）()()()91729522---+a a a （湖北省黄冈市竞赛题）解原式()()()()91723352---++=a a a a()()[]()()[]91723352---++=a a a a()()9121215222-----=a a a a 令y a a =-22，则原式()()912115---=y y224362+-=y y()()828--=y y()()8228222----=a a a a()()()827242--+-=a a a a （4）()()42424101314x x x x x ++++-（第13届“五羊杯”竞赛题）解：设y x =+14，则原式()()4221034x x y x y ++-=44221012x x y x y +--=4222x y x y --=()()222x y x y +-=()()1122424+++-=x x x x()()[]2222211x x x -+-=()()()1112222-+++-=x x x x x （5）()()()2121231-+-⎪⎭⎫ ⎝⎛++-+++y x y x xy xy xy （天津市竞赛题） 解：设a y x =+，b xy =，则 原式()()()2121231--⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+++=a a b b b ()2212a b b -++=()()a b a b -+++=11()()y x xy y x xy --++++=11()()()()1111--++=y x y x （6）()()()3331252332y x y x y x ---+-（第13届“五羊杯”竞赛题） 解原式()()()[]33352332y x y x y x ---+-= ()()()()[]33323322332y x y x y x y x -+---+-= 设a y x =-32，b y x =-23，则原式()333b a b a +-+= ()b a ab +-=3()()()y x y x y x 5523323----=()()()y x y x y x 233215----=C 卷一、解答题13、（安徽省竞赛试题）证明：12000199919981997+⨯⨯⨯是一个整数的平方，并求出这个整数。
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初中数学竞赛辅导资料换元法
甲内容提要
1. 换元就是引入辅助未知数.把题中某一个（些）字母的表达式用另一个（些）字母的表达式来代换，这种解题方法，叫做换元法，又称变量代换法.
2. 换元的目的是化繁为简，化难为易，沟通已知和未知的联系.
例如通过换元来降次，或化分式、根式为整式等.换元的关鍵是选择适当的式子进行代换.
3. 换元要注意新旧变元的取值范围的变化.要避免代换的新变量的取值范围被缩小；若新变量的取值范围扩大了，则在求解之后要加以检验.
4. 解二元对称方程组，常用二元基本对称式代换.
5. 倒数方程的特点是：按未知数降幂排列后，与首、末等距离的项的系数相等. 例如：一元四次的倒数方程ax 4+bx 3+cx 2+bx+a=0.
两边都除以x 2,得a(x 2+
2
1x )+b(x+x 1)+c=0. 设x+x 1=y, 那么x 2+21x = y 2－2, 原方程可化为ay 2+by+c －2=0.
对于一元五次倒数方程 ax 5+bx 4+cx 3+cx 2+bx+a=0， 必有一个根是－1. 原方程可化为 (x+1)(ax 4+b 1x 3+c 1x 2+b 1x+a)=0.
ax 4+b 1x 3+c 1x 2+b 1x+a=0 ，这是四次倒数方程.
形如 ax 4－bx 3+cx 2＋bx+a=0 的方程，其特点是：
与首、末等距离的偶数次幂项的系数相等，奇数次幂的系数是互为相反数. 两边都除以x 2, 可化为a(x 2+21x
)－b(x －x 1)+c=0. 设x －x 1=y, 则x 2+21x
=y 2+2, 原方程可化为 ay 2－by+c+2=0.
乙例题
例1. 解方程1112---+
+x x x =x. 解：设11-++x x =y, 那么y 2=2x+212-x .
原方程化为： y －2
1y 2=0 . 解得 y=0；或y=2.
当y=0时，
11-++x x =0 (无解) 当y=2时， 11-++x x =2，
解得，x=4
5. 检验（略）.
例2. 解方程：x 4+(x －4)4=626.
解：（用平均值2
4-+x x 代换，可化为双二次方程.） 设 y= x －2 ，则x=y+2.
原方程化为 (y+2)4+(y －2)4=626.
［((y+2)2－(y －2)2)2＋2(y+2)2(y －2)2－626=0
整理，得 y 4+24y 2－297=0. (这是关于y 的双二次方程).
(y 2+33)(y 2－9)=0.
当y 2+33=0时， 无实根 ；
当y 2－9=0时， y=±3.
即x －2=±3，
∴x=5；或x=－1.
例3. 解方程：2x 4+3x 3－16x 2+3x+2=0 .
解：∵这是个倒数方程，且知x ≠0，
两边除以x 2,并整理 得2(x 2+
2
1x )+3(x+x 1)－16=0. 设x+x 1=y, 则x 2+21x =y 2－2. 原方程化为 2y 2+3y －20=0.
解得 y=－4；或y=2
5. 由y=－4得 x=－2+3；或x=－2－3.
由y=2.5得 x=2；或x=2
1. 例4 解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+++++=+++++0
1012124012522222y x y xy x y x y xy x 解：（这个方程组的两个方程都是二元对称方程，可用基本对称式代换.）
设x+y=u, xy=v. 原方程组化为：
⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++010********
v u u v u u . 解得⎩⎨⎧-==374v u ； 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=91132v u . 即⎩⎨⎧-==+374xy y x ； 或⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧=-=+91132xy y x . 解得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=+-=33213321y x ；或⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧+-=--=33213321y x ；或⎪⎩⎪⎨⎧-=+=412412y x ；或⎪⎩⎪⎨⎧+=-=41
2412y x .
丙练习
解下列方程和方程组：（1到15题）： 1. =++++)7(27x x x x 35－2x.
2. (16x 2－9)2+(16x 2－9)(9x 2－16)+(9x 2－16)2=(25x 2－25)2.
3. (2x+7)4+(2x+3)4=32 .
4. (2x 2－x －6)4+(2x 2－x －8)4=16.
5. (2115-+x )4+(2315-+x )4=1
6.
6. x x x x 11
2+++=223. 7. 2x 4－3x 3－x 2－3x+2=0. 8. ⎪⎩⎪⎨⎧=++=+++19182222xy y x y x y x 9. ⎪⎩
⎪⎨⎧=+=+160311122y x y x . 10. 5
63964467222+-=+-+--x x x x x x . 11. (6x+7)2(3x+4)(x=1)=6.
12. ⎪⎩⎪⎨⎧=+=-++13511y x y x . 13. ⎪⎩
⎪⎨⎧=+=+1025y x x y y x . 14. ⎪⎩⎪⎨⎧=+-+=-+++01823312y xy y y x y x . 15
x x
x x =-+-111. 16. 分解因式： ①(x+y －2xy)(x+y －2)+(1－xy)2； ②a 4+b 4+(a+b)4 .
17. 已知：a+2=b －2=c ×2=d ÷2, 且a+b+c+d=1989.
则a=___,b= ____,c=_____,d=____ (1989年泉州市初二数学双基赛题)
18. ［a ］表示不大于a 的最大整数，如［2］=1，［－2］=－2，
那么 方程 ［3x+1］=2x －
2
1 的所有根的和是_____.(1987年全国初中数学联赛题)
参考答案 1. 221229 2. ±43±34 3. －25 4. 2,－2
3,4651± 5.3231-32211， 6. 1 7.21,2 8.⎪⎩⎪⎨⎧+-=--=⎪⎩⎪⎨⎧--=+-=⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==7
27272722332y x y x y x y x
9. ⎪⎩⎪⎨⎧+-=--=⎪⎩⎪⎨⎧--=+-=⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==55
5555555555412124y x y x y x y x 10. 7,－1 11.－32,－35 12.⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==10358y x y x 13.⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==8
228y x y x 14. ⎪⎩⎪⎨⎧+=-=⎪⎩⎪⎨⎧-=+=⎩⎨⎧-==⎩⎨⎧==10
31041031041513y x y x y x y x 15. x=251± 16.①设x+y=a,xy=b ②设a 2+b 2=x,ab=y
17.设原式=k, k=442 18. –2可设2x －21=t, x=21t+4
1代入[3x+1]。