初中数学竞赛辅导资料换元法含答案
初中数学竞赛——换元法和待定系数法
第3讲换元法和待定系数法典型例题一.换元法【例1】分解因式：63-+x x2827【例2】分解因式：44222-+++-()()()a b a b a b【例3】分解因式：4444(4)++-a a【例4】分解因式：44+++-y y(1)(3)272+++-+y y y(1)(3)4(35)【例5】分解因式：33【例6】 分解因式：2222(48)3(48)2x x x x x x ++++++【例7】 证明：四个连续整数的的乘积加1是整数的平方.【例8】 分解因式：(1)(1)(3)(5)9x x x x -+++-【例9】 分解因式：22(76)(6)56x x x x -+--+.【例10】 分解因式：42199819991998x x x -+-【例11】 分解因式：24(5)(6)(10)(12)3x x x x x ++++-【例12】 分解因式：()()()()()()()b c a c a b a b c a a b c a b c b a b c b c a +-+-+-+-++-++-+-+()()c b c a a b c +--+.【例13】 分解因式：2(3)(1)(5)20x x x +-+-.【例14】 分解因式：4322212()x x x x x +++++.【例15】 分解因式：22222(21)(44)(21)x y x y xy x y x +-+----+.【例16】 分解因式：2(1)(2)(2)xy x y x y xy -++-+-.【例17】 证明：对任意自然数n ，都存在一个自然数m ，使得1mn +是一个合数.【例18】化简：2323234 (1)1x x x xx x x x+++-++++.【例19】将199551-分解成三个整数之积，且每一个因数都大于1005.二.待定系数法【例20】分解因式：43223x x x x++-+【例21】分解因式：432x x--【例22】 分解因式：432266x x x x -+-+【例23】 分解因式：432615x x x x -+-+.【例24】 421x x -+能否分解因式？【例25】 分解因式：2422(1)1a a a a ++-+.【例26】 若226541122x xy y x y m ---++可分解为两个一次式的积，求m 的值并将多项式分解因式.【例27】 已知4326134x x x kx -+++是一个完全平方式，求常数k 的值.【例28】 已知32x bx cx d +++的系数均为整数，若bd cd +为奇数.求证：此多项式不能分解为两个整系数的多项式之积.【例29】 已知关于x ，y 的二次六项式226372x axy y x y +----能分解为一次式2x by c ++与2dx ey +-的积，求a b c d e ++++的值.【例30】 已知关于y 的五次三项式554y my n -+有二次因式2()y a -（其中a ，n 均不为零）.求证：（1）n a m =；（2）54m n =.【例31】 将分式251126x x x -+-分解成部分分式.思维飞跃【例32】 设3434a b -≤-≤，5917a b ≤+≤，求7a b +的最小值和最大值。
换元法专题含答案
的斜率为 ， 是坐标原点． （1）求 的方程； （2）设过点 的直线 与 相交于 ， 两点，当
的面积最大时，求直线 的方程．
14. 已知椭圆 t
t 的离心率为 ，左焦点 到点 区 的距离为 t．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过椭圆右焦点 的直线 与椭圆交于不同的两点 ， ，则
内切圆的面积是否存
在最大值?若存在，求出这个最大值及此时直线 的方程；若不存在，请说明理由．
t
区． t
在 t区 t 上恒成立，
即：
t
t 在 t区 t 上恒成立，令
，则
log ．
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t
t
t
t
t
在
区t 时恒成立，所以
t
因为 t，所以 t
，所以 t
所以 t
，
t
，
min
，
所以
，
t min
所以
．
5. （1） 因为
，
所以 sin sin⸷，
16. 已知椭圆 ㌱： t
t 的左右焦点和短轴的两个端点构成边长为 的正方形．
（1）求椭圆 ㌱ 的方程；
（2）过点 区t 的直线 与椭圆 ㌱ 相交于 ，⸷ 两点，且点
别为 ， ，当
取最大值时，求直线 的方程．
区 ，记直线 ， ⸷ 的斜率分
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（1）求椭圆 ㌱ 的方程； （2）设过点 的动直线 与椭圆 ㌱ 相交于 ， 两点，当
程．
的面积最大时，求直线 的方
29. 已知函数 （1）若函数 （2）若
中考数学复习一元二次方程专练换元法解一元二次方程专项练习35题含答案
换元法解一元二次方程(1)（x2﹣3x）2﹣2（x2﹣3x）﹣8=0(2)（2x2﹣3x）2+5（2x2﹣3x）+4=0．(3)已知：（x2+2x﹣1）（x2+2x+2）=4，求x2+2x的值”(4)已知：（x2+y2﹣3）（2x2+2y2﹣4）=24，求x2+y2的值．（5）（x2﹣2x）2+（x2﹣2x）﹣2=0 （6）2（﹣x）2﹣（x ﹣）﹣1=0．（7）（x﹣1）2+5（1﹣x）﹣6=0 （8）（x+3）2﹣5（x+3）﹣6=0．（9）2（x﹣1）2+5（x﹣l）+2=0．（10）（x+2）2﹣3（x+2）+2=0．（11）（2x﹣3）2﹣5（2x﹣3）=﹣6（12）（2x﹣x2）2﹣2（x2﹣2x）+1=0．（13）（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+4=0．（14）（x2﹣x）2﹣2（x2﹣x）﹣3=0（15）已知（a+2b）2﹣2a﹣4b+1=0，求（a+2b）2010的值．（16）（x2﹣x）2﹣5（x2﹣x）+6=0，（17）已知（a2+b2）2﹣（a2+b2）﹣6=0，求a2+b2的值．（18）（2x+1）2﹣6（2x+1）+5=0（19）（x2+3x﹣4）2+（2x2﹣7x+6）2=（3x2﹣4x+2）2．（20）已知（x2+y2）2﹣3（x2+y2）﹣40=0，求x2+y2．（21）（x2+x）（x2+x﹣3）﹣3（x2+x）+8=0．（22）（x+2）2+6（x+2）﹣91=O；（23）（3x﹣2）2+（2﹣3x）=20．（24）（x2﹣3x）2﹣2（x2﹣3x）﹣8=0．（25）（x2﹣2）2﹣7（x2﹣2）=0．（26）已知（x2+y2）（x2+y2+2）﹣8=0，求x2+y2的值．（27）已知x，y满足方程x4+y4+2x2y2﹣x2﹣y2﹣12=0，求x2+y2的值．（28）（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+4=0，（29）（x2﹣x）2﹣8（x2﹣x）+12=0．（30）（x2+x）2﹣8（x2+x）+12=0． (31)（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+4=0，(32)（x2﹣2x）2﹣2（x2﹣2x）﹣3=0(33)（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+4=0，（34）x（x+3）（x2+3x+2）=24．（35）已知：（x2+y2）2﹣（x2+y2）﹣12=0，求x2+y2的值．换元法解一元二次方程35题参考答案：(1)（x2﹣3x）2﹣2（x2﹣3x）﹣8=0解：设x2﹣3x=y则原方程可化为y2﹣2y﹣8=0解得：y1=﹣2，y2=4当y=﹣2时，x2﹣3x=﹣2，解得x1=2，x2=1当y=4时，x2﹣3x=4，解得x1=4，x2=﹣1∴原方程的根是x1=2，x2=1，x3=4，x4=﹣1，(2)（2x2﹣3x）2+5（2x2﹣3x）+4=0．解：设2x2﹣3x=y，原方程转化为：y2+5y+4=0（1分），解得：y1=﹣4，y2=﹣1（3分）当y1=﹣4时，2x2﹣3x+4=0，无实数根．（4分）当y2=﹣1时，2x2﹣3x+1=0，解得x1=，x2=1．故原方程根为x1=，x2=1(3)（x2+2x﹣1）（x2+2x+2）=4，求x2+2x的值”，解：设x2+2x=y，则原方程可变为：（y﹣1）（y+2）=4 整理得y2+y﹣2=4即：y2+y﹣6=0解得y1=﹣3，y2=2∴x2+2x的值为﹣3或2(4)已知：（x2+y2﹣3）（2x2+2y2﹣4）=24，求x2+y2的值．解：设x2+y2=m，则原方程可变为：（m﹣3）（2m﹣4）=24∴2（m﹣3）（m﹣2）=24．∴m2﹣5m+6=12．∴m2﹣5m﹣6=0解得m1=6，m2=﹣1∵x2+y2≥0∴x2+y2的值为6（5）（x2﹣2x）2+（x2﹣2x）﹣2=0解：设y=x2﹣2x原方程可变为：y2+y﹣2=0解方程得y=﹣2或1所以x2﹣2x=﹣2或1．当x2﹣2x=﹣2时，△＜0，没实数根，当x2﹣2x=1时，解得x=1±．∴原方程的根是x1=1+，x2=1﹣（6）2（﹣x）2﹣（x ﹣）﹣1=0．解：2（﹣x）2﹣（x ﹣）﹣1=0，变形得：2（x ﹣）2﹣（x ﹣）﹣1=0，设y=x ﹣，则原方程可化为2y2﹣y﹣1=0，…（2分）因式分解得：（2y+1）（y﹣1）=0，解得：y=﹣或y=1，…（5分）当y=﹣时，x ﹣=﹣，解得：x=0；当y=1时，x ﹣=1，解得：x=，∴x1=，x2=0（7）（x﹣1）2+5（1﹣x）﹣6=0解：设x﹣1=y，则原方程可化为：y2﹣5y﹣6=0，∴y1=﹣1，y2=6，∴x﹣1=﹣1，x﹣1=6∴x1=0，x2=7（8）（x+3）2﹣5（x+3）﹣6=0．解：设y=x+3，则原方程可化为y2﹣5y﹣6=0．解得：y1=6，y2=﹣1．当y1=6时，x+3=6，x1=3；当y2=﹣1时，x+3=﹣1，x2=﹣4．∴x1=3，x2=﹣4（8）2（x﹣1）2+5（x﹣l）+2=0．解：设x﹣l=y，则由原方程，得2y2+5y+2=0，即（y+2）（2y+1）=0，∴y+2=0，或2y+1=0，解得，y=﹣2，或y=﹣；①当y=﹣2时，x﹣1=﹣2，解得，x=﹣1；②当y=﹣时，x﹣1=﹣，解得，x=；综上所述，原方程的解是x1=﹣1，x2=（9）（x+2）2﹣3（x+2）+2=0．解：令x+2=t，原方程可化为t2﹣3t+2=0，（t﹣1）（t﹣2）=0，解得t1=1，t2=2，∴x+2=1或x+2=2，∴x1=﹣1，x2=0（10）（2x﹣3）2﹣5（2x﹣3）=﹣6解：（1）∵3x2﹣5x﹣2=0∴（3x+1）（x﹣2）=0即3x+1=0或x﹣2=0解得x1=2；x2=．（11）设t=2x﹣3，则原方程可化为：t2﹣5t+6=0∴（t﹣2）（t﹣3）=0∴t=2或3，即2x﹣3=2或3解得x1=；x2=3（12）根据题意，令y=x2﹣2x，原方程可化为：y2﹣2y+1=0，解得y=1，即x2﹣2x=1，可用公式法求解，其中a=1，b=﹣2，c=﹣1，∴△=8＞0，∴方程的解为x==，即x1=1﹣，x2=1+（13）（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+4=0．解：设x2﹣1=t．则由原方程，得t2﹣5t+4=0，即（t﹣1）（t﹣4）=0，解得，t=1或t=4；①当t=1时，x2﹣1=1，∴x2=2，∴x=±；②当t=4时，x2﹣1=4，∴x2=5，∴x=±．综合①②，原方程的解是：x1=，x2=﹣，x3=，x4=﹣（14）（x2﹣x）2﹣2（x2﹣x）﹣3=0解：设x2﹣x=y，所以原方程变化为：y2﹣2y﹣3=0，解得y=﹣1或3，当y=﹣1时，x2﹣x=﹣1，无解；当y=3时，x2﹣x=3，解得，x1=，x2=，∴原方程的解为x1=，x2=（15）已知（a+2b）2﹣2a﹣4b+1=0，求（a+2b）2010的值．解：根据题意，设a+2b=x，代入原方程得：x2﹣2x+1=0，即（x﹣1）2=0∴x=1，即a+2b=1，所以（a+2b）2010=1（16）（x2﹣x）2﹣5（x2﹣x）+6=0解：根据题意x2﹣x=y，把原方程中的x2﹣x换成y，所以原方程变化为：y2﹣5y+6=0，解得y=2或3，当y=2时，x2﹣x=2，解得：x1=2，x2=﹣1；当y=3时，x2﹣x=3，解得，x3=，x4=，∴原方程的解为x1=2，x2=﹣1，x3=，x4=．（17）已知（a2+b2）2﹣（a2+b2）﹣6=0，求a2+b2的值．解：设a2+b2=y据题意得y2﹣y﹣6=0解得y1=3，y2=﹣2∵a2+b2≥0∴a2+b2=3（18）（2x+1）2﹣6（2x+1）+5=0解：设2x+1=a，原方程可化为a2﹣6a+5=0，解得a=1或5，当a=1时，即2x+1=1，解得x=0；当a=5时，即2x+1=5，解得x=2；∴原方程的解为x1=0，x2=2（19）．解：设u=x2+3x﹣4，v=2x2﹣7x+6，则u+v=3x2﹣4x+2．则原方程变为u2+v2=（u+v）2，即u2+v2=u2+2uv+v2，∴uv=0，∴u=0或v=0，即x2+3x﹣4=0或2x2﹣7x+6=0．解得（20）解：设x2+y2=t（t≥0），则t2﹣3t﹣40=0，所以（t﹣8）（t+5）=0，解得，t=8或t=﹣5（不合题意，舍去），故x2+y2=8（21）解：设x2+x=y，原方程可变形为：y（y﹣3）﹣3y+8=0，y2﹣6y+8=0，（y﹣4）（y﹣2）=0，解得：y1=4，y2=2，当y1=4时，x2+x=4，解得：x1=，x2=．当y2=2时，x2+x=2，解得：x3=1，x4=﹣2（22）（x+2）2+6（x+2）﹣91=O；设x+2=y，则原方程可变形为：y2+6y﹣91=0，解得：y1=7，y2=﹣13，当y1=7时，x+2=7，x1=5，当y2=﹣13时，x+2=﹣13，x2=﹣15；（23）设3x﹣2=t，则t2﹣t﹣20=0，∴（t+4）（t﹣5）=0，∴t+4=0或t﹣5=0，解得 t=﹣4或t=5．当t=﹣4时，3x﹣2=﹣4，解得 x=﹣；当t=5时，3x﹣2=5，解得 x=，综上所述，原方程的解为：x=﹣或 x=．（24）解：（x2﹣3x）2﹣2（x2﹣3x）﹣8=0，分解因式得：（x2﹣3x﹣4）（x2﹣3x+2）=0，即（x﹣4）（x+1）（x﹣1）（x﹣2）=0，可得x﹣4=0或x+1=0或x﹣1=0或x﹣2=0，解得：x1=4，x2=﹣1，x3=1，x4=2（25）解：根据题意，把y=x2﹣2代入方程（x2﹣2）2﹣7（x2﹣2）=0得：y2﹣7y=0，解得y1=0，y2=7，当y1=0时，即x2﹣2=0，解得：x1=﹣，x2=，当y2=7时，即x2﹣2=7，解得：x3=﹣3，x4=3，∴原方程的解为：x1=﹣，x2=，x3=﹣3，x4=3（26）已知（x2+y2）（x2+y2+2）﹣8=0，求x2+y2的值．解：设x2+y2=t，则原方程变形为t（t+2）﹣8=0，整理得t2+2t﹣8=0，∴（t+4）（t﹣2）=0，∴t1=﹣4，t2=2，当t=﹣4时，则x2+y2=﹣4，无意义舍去，当t=2时，则x2+y2=2．所以x2+y2的值为2（27）已知x，y满足方程x4+y4+2x2y2﹣x2﹣y2﹣12=0，求x2+y2的值．解：∵x4+y4+2x2y2﹣x2﹣y2﹣12=0，∴（x2+y2）2﹣（x2+y2）﹣12=0，即（x2+y2+3）（x2+y2﹣4）=0，∴x2+y2=﹣3，或x2+y2=4，∵x2+y2≥0，∴x2+y2=4(28)解方程（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+4=0，设x2﹣1=y原方程可化为y2﹣5y+4=0，解此方程得y1=1，y2=4．当y=1时，x2﹣1=1，∴x=±；当y=4时，x2﹣1=4，∴x=±，∴原方程的解为x1=，x2=﹣，x3=，x4=﹣．（29）解方程：（x2﹣x）2﹣8（x2﹣x）+12=0．设x2﹣x=A，由题意，得A2﹣8A+12=0，解得：A1=6，A2=2．当A=6时，x2﹣x=6，解得：x1=3，x2=﹣2；当A=2时，x2﹣x=2，解得：x3=2，x4=﹣1．∴原方程的解为：x1=6，x2=﹣2，x3=2，x4=﹣1（30）解方程：（x2+x）2﹣8（x2+x）+12=0．解：设y=x2+x，方程化为y2﹣8y+12=0，即（y﹣2）（y ﹣6）=0，解得y=2或y=6，即x2+x=2或x2+x=6，分解因式得：（x+2）（x﹣1）=0或（x﹣2）（x+3）=0，解得：x1=﹣2，x2=1，x3=2，x4=﹣3（31）解方程（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+4=0，解;设x2﹣1=y，即（x2﹣1）2=y2，原方程可化为y2﹣5y+4=0，又化为（y﹣1）（y﹣4）=0解得y1=1，y2=4．当y=1即x2﹣1=1时，x2=2，x=±；x1=，x2=﹣当y=4即x2﹣1=4时，x2=5，x=±；x3=，x4=﹣(32)解方程（x2﹣2x）2﹣2（x2﹣2x）﹣3=0解：设x2﹣2x=y，即（x2﹣2x）2=y2，原方程可化为y2﹣2y﹣3=0，解得y1=3，y2=﹣1，当y1=3时，x2﹣2x=3，解得x1=3，x2=﹣1；当y2=﹣1时，x2﹣2x=﹣1，解得x3=x4=1；∴原方程的解为x1=3，x2=﹣1；x3=x4=1（33）解方程（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+4=0，解：设x2﹣1=y，则原方程可化为y2﹣5y+4=0，解得y1=1，y2=4．当y1=1时，x2﹣1=1，∴；当y2=4时，x2﹣1=4，∴．因此原方程的解为：．（34）设x2+3x=y．∵x（x+3）（x2+3x+2）=24，∴（x2+3x）（x2+3x+2）=24，∴y（y+2）=24，即（y﹣4）（y+6）=0，解得，y=4或y=﹣6；①当y=4时，x2+3x=4，即（x﹣1）（x+4）=0，解得，x1=﹣4，x2=1；②当y=﹣6时，x2+3x=﹣6，即x2+3x+6=0，∵△=9﹣24=﹣15＜0，∴该方程无解；综上所述，原方程的根是：x1=﹣4，x2=1 （35）解：（x2+y2）2﹣（x2+y2）﹣12=0，设x2+y2=a，则有a2﹣a﹣12=0，因式分解得：（a﹣4）（a+3）=0，解得：a1=4，a2=﹣3，∵x2+y2＞0，即a＞0，∴a=﹣3不合题意，舍去，则x2+y2=a=4。
七年级数学尖子生培优竞赛专题辅导第一讲因式分解的常用方法和技巧(含答案)
第一讲因式分解的常用方法和技巧趣题引路】你知道如何分解因式^-+X9+/+/+1吗？试作一代换：若令疋= )，,贝IJ原式=h + )，3+y2 + y+l,指数为连续整数,可考虑用公式/-l = (^-l)(/ + / + / + y+l),则原式=V4 + V3 + V2 + V + 1 = —(y5 -1))‘一1x-l x2 + X + 1= (x4 + x3 +x2 +x+ l)(x8 -x7 +x5 +x3 -x + 1)一个代换，把一个复杂的问题转化为一个较简单的问题，这是数学方法之美.多项式的因式分解是数学中恒等变形的一种重要方法，它在初等数学乃至高等数学中都有广泛的应用，因式分解的方法很多，技巧性强，认真学好因式分解，不仅为以后学习分式的运算及化简、解方程和解不等式等奠定良好的基础，而且有利于思维能力的发展.知识拓展】因式分解与整式乘法的区别是：前者是把一个多项式变成几个整式的积，后者是把几个整式的积变成一个多项式，因式分解初中可在有理数域或实数域中进行，高中还可在复数域中进行.因式分解后每个因式应在指定数域中不能再分.“例如X4-A在有理数域内可分解为(X+2)(/-2),其中每个因式就不能再分，不然分解式的系数会超过有理数的范围；在实数域中，它的分解式是(X2+2)(X+>/2)(X->/2):在复数域中，它的分解式是因式分解的方法很多，除了数学教材中的提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法以外, 还有换元法、待定系数法、拆项添项法和因数定理法等.本讲在中学数学教材的基础上，对因式分解的方法、技巧作进一步的介绍.一、用换元法分解因式换元法是指将一个较复杂的代数式中的某一部分看作一个整体，并用一个新的字母替代这个整体来进行运算，从而使运算过程简单明了.换元法是中学数学中常用的方法之一.例1 (1999年希望杯题)分解因式(X2-1)(X +3)(X+5)+12.解析若全部展开，过于复杂，考虑局部重新组合.注意到在(x + l)(x + 3) = X + 4x + 3和(X-1)(X+5)= X2+4X-5中出现了相同部分X2+4X ,可考虑引入辅助元y = x2+4x分解(也可设y = F+4x + 3,y = x'+4x-l 等).解原式=[(x + l)(x + 3)][(A-1)(X + 5)] +12=(x2 +4x+ 3)(x2 + 4x-5)+12设y = x2 +4x f贝!I原式= (y+3)(y-5)+12= r-2y-3= (y-3)(y + l)=(x2+4x+ 3)(x2 +4x-l)点评换元法体现了数学中的整体代换思想，它是化繁为简的重要手段这里y取(x2 +4X + 3)和(x2 + 4X-1)的平均值时分解过程最为简便例2 (2001年天津初二题)分解因式(弓-1)= + (x+_ 2)(x+ > - 2xy).解析题中巧和卄y多次出现启发我们换元分解：设xy=d, x+y=b.解设xy=a, x+y=b,则，原式=(a -1)： + (b - 2)(b - 2a)=cr -2a + l+br -2b-2cib+4a=a2 +b2 +l+2a-2ab-2b=(a-b+[)2注：这里用到公式a，+b2 +c2 + 2ab + 2bc + lac = (a + b +c)2.点评换元必须考虑多项式的结构特征：当代数式中出现相同、相近或相关联(如：互为相反数，互为倒数)的部分时都可以考虑换元.二、用待定系数法分解因式待定系数法是初中数学中的又一重要方法，其应用很广泛.在因式分解时，只要假定一个多项式能分解成某几个因式的乘积，而这些因式中某些系数未定，可用一些字母来表示待定的系数•根据两个多项式恒等的性质，即两边对应项的系数必相等，可列出关于待定系数的方程或方程组，解此方程(组)即可求出待定系数.这种因式分解的方法叫做待定系数法.例3 (第9届五羊杯初二题)设x3 + 3x2-2xy + kx-4y可分解为一次与二次因式之积，则k= ______________________ .解析首先确定两个因式的结构：因多项式中疋的系数是1，常数项是0,以及没有护项，所以分解所得因式可设为x+a 和x2+bx + cy,其中e b, c为待定系数.解设x3 + 3x2 - 2xy + kx-4y可分解为(x+a)(x2 +bx+cy),贝ijx3 + 3x2 -2xy + kx-4y = x3 +(a + b)x2 + cxy + abx + acy比较系数，得a+b=3 ,a +b = 3消去c,得\ab = -k ,消去a,b,解得k=-2.ab = -ka = 2ac = -4 i点评用待定系数法分解因式，关健在于确定因式分解的最终形式.三、用公式法分解因式初中教材中出现的公式有平方差公式，完全平方公式，在因式分解中还常用到下列公式：立方和公式：a3 +b3 = (a + b)(a2 -ab + b2)立方差公式：a3 -b3 =(a-b)(a2 +ab+b2)和的立方公式：(a + b)3 =a3 + 3a2b + 3ab2 + b3差的立方公式：(a - b)3 =a3 - 3crb + 3ab2 -b3三数和的平方公式：(tz + b + c)' =a2 +b2 +c2 + 2ab 4- lac + 2bc两数n 次方差公式：a” -b n =(a-b)(a n~l + a n~2b + • • • + ab"~2 + b n~l)三数立方和公式：a3 +b3+c‘ = (a + b +c)3 -3(a + b)(b + c)(a + c)在具体问题中要根据代数式的结构特征来选用适当的公式.例4 分解因式x l5+x l4+x l3+-+x2+x+l.解析对于指数成连续整数的多项式我们可以考虑公式a" - b n =(a- + a"~2b + ab"~2 + b n~l),令b=l,得a" = + a n~2 + …+ a + l).为化繁为简，及能用公式，给原式乘以x-1解原it= (x15 +x14 +X13 + - -X2 +X+1) -_ =- ---------------------- --x-l x-l=(土 + 1)(疋 + 1)(F + l)(x + 1)(— 1)=(x8 + l)(x4 + l)(x2 + l)(x + 1)点评这里原式乘以吕很必要，这种先乘以再除以(或先加上再减去)同一个式子的变形技能经常用到.例5 (昆明市初中数学竞赛题)分解因式(c-a)2-4(b-c)(a-b).解析把拾号展开后重新组合.解原式=c? 一 2ac十/ 一 4ab + 4ac — 4bc + 4b‘=c2 + lac + a2 - Aab一4bc + 4b2=(c2 + 2ac + a2)-4b(a + c) + (2b)2= (a + c- 2b)2点评欲进先退，这是为了更清楚地认识代数式的结构特征.例6 分解因式(x+2y_77)，+ (3x_4y + 6zF_(4x_2y_z)B解析本题与三个数的立方和有关.联想到公式a3 + + c5 = (a + b + c)(«2 + b2 +c2 -ab-be- ca)+ 3abc , 而(x + 2y- 7z)+(3x - 4y + 6乙)+ (- 4x + 2y+ z)= 0.故原式可分解为3(x + 2y - 7z)(3x - 4y + 6乙)(-4x + 2y + z) ■四、用拆项添项法分解因式在对某些多项式分解因式时，需要对某些项作适当的变形，使其能分组分解，添项和拆项是两种重要的技巧例7分解因式：x3-9x+8.解析多项式有三项，若考虑拆项，有三种选择.注意只有让分解能继续的拆法才是可取的.若考虑添项，式中无二次项，可添加-F + F.解法1将常数项拆成一1+9,原式=/3_9大_] + 9 =疋_1_9(尤_1) = (—1)(疋+尤_8)解法2 将一次项-9兀拆成-x-3x ,原式=X3-X-3X +3=(X3-X)- 8(x-l)=x(x + l)(x-1)-8(x-1) = (x - l)(x: +x-8)解法3 将三次项/拆成9疋-8疋，原式=9X3-8X3-9X +8=(9X3-9X)+(-8X3+8)=9x(x + l)(x-1)-8(x - l)(x2 + x + l)=(X-1)(X2+ X-8)解法4添加-x2+x2,原式=x3 -x2 +x2 -9x+8= X2(X-1)+(X-8)(X-1)= (x-l)(x2 +x-8)点评一题四种解法，可谓“横看成岭侧成峰，左添右拆都成功”.拆项、添项是因式分解中技巧性最强的一种例8己知x2 + x+l = O ,试求X8 + x4 +1的值.解析设法使疋+疋+1变成含x2+x+l的式子，因x8 = (x4)2,可考虑完全平方公式，将十拆成2x4-%4.解原式=^8+2X4+1-X4=(X4+1)-(x2)2 =(x2+x + IX%2 -x + 1)因为疋+"1 = 0,所以原式的值为0.五、利用因式定理分解因式因式定理的内容：如果x=a时，多项式的值为零，即f(a) = 0 ,则/'(x)能被x-a整除，即/(兀)一定有因式x-d・运用因式定理和综合除法可以解决一些较复杂的多项式分解问题.例9 分解因式X4+2?-9X:-2X+8.解析设f(x) = x4 + 2x3-9x2-2x + 3,可知/(1) = 0, /(-1) = 0,因此/⑴有因式(x+l)(x-l),用综合除法可求另外因式.解依题意知y(l) = /(-l) = 0,故/'(x)有因式x-1, x+1,作综合除法：12-9-2811 3 -6 -813-6-80—]—1 — 2 812-80因此f(x) = (x- l)(x + l)(x2 + 2x- 8),则原式=(x- 1)(A-+l)(x一2)(A-+4) •好题妙解】佳题新题品味例1 (2001年呼和浩特市中考题)要使二次三项式x^rnx-6能在整数范围内分解因式，则加可取的整数为.解析该式可用十字相乘法分解.那么m等于一6的两个整因数之和.而—6=lx ( —6) = ( — 1) x6=2x ( —3) = ( —2) x3,因而m 可能的值为一5, 5, —1, 1. 点评本题训练逆向思维及枚举法.例2 (2003年江苏初中竞赛)若a, b, c为三角形三边，则下列关系式中正确的是()A. a2-b2-c2-2bc>QB. a2-b2-c2-2bc = QC. a2-b2-c2-2bc<0D. a2 -b2-c2-2bc<0解析因a' -b1 -c2 -2bc = a2 -(b2 +c2 + 2bc) = a2 -(b + c)1 =(a + b + c)(a-b-c)而在三角形中，a<b+c ,即a~b—c<Q,故选C.点评注意隐含条件：三角形中两边之和大于第三边中考真题欣赏例1 (武汉中考题)分解因式a2-l+b2-2ab= _________________________ .解析将a2 +b2 -2ab作一组恰为(«-b)2与1构成平方差，应填(a—b+1) (a—b—1).例2 (北京朝阳区)分解因式m3-2m2-4m+8.解析第一、二项作一组可提公因式沪，后两项作一组可提公因数4,于是m3 -2nr一4m+3 = m2(m-2)-4(m-2) = (m2一4)(m-2) = (m—2):(m+2).点评分解因式一定分解到不能再分解为止.例3 (1999年北京中考题)多项式x2 + axy + by1 -5x+ y + 6的一个因式是x+y-2,试求d+b的值.解析 利用待定系数法，设原式=（x+y-2）（x+^y-3）展开比较系数得号; 解得 a=~l, b=~2,因此 a+b=—3.竞赛样题展示例1 （江苏省第十七届初中数学竞赛）如果是ax 3+bx 2+l 的一个因式，则b 的值为（）A.-2B.-lC.OD.2解析 运用待定系数法，依题可设另一因式为ax-1,比较系数可得b=—2,选A.(23 -1)(33 ~1)(43 -1) - (1003 -1)(23 +1](33 +1J43 +1)---(1003 +1)a 3 -1 _(a ~ 1)3 + a + l) _ fl-1 (a +1)3 +1 (a + 2)(a 2 4-ti + l) a + 2故呼式=(2-1X3-1)…(99-山00，-1) 収 玖 (23 +1)(3 +1X4+ 1)-(100-1)1X 2X 3X (1OO 3-1) 3367 小― (23 +1)x99x100x1015050例3设多项式与多项式F+x-a 有非常数公因式，贝仏= ______________________________ . 解析 0或6.因为（兀3-X-d ） - （F+x-d ） = x （x+l ）（x-2）,所以，X’-X-d 与 F +兀-4 的公因式必为 X 、兀+1、X-2中的一个.当公因式为x 或x+1时，£7=0；当公因式为X —2时，a = 6.例4 （2003年太原市初中数学竞赛）已知直角三角形的各边长为正整数，它的周长为80.则三边长分 别是 •解析涉及直角三角形问题勾股定理举足轻重！ 解 30、 16、 34.设直角三角形的三边长分别为4、b 、c.由题设得a 2+b 2^c 2且a+b+c=80.将 c=SQ-a~b 代入a 2+b 2=c 2,整理得 6400—80a — 80b+ab=3200,即（80—。
专题04 换元法专题研究(解析版)
备战2020中考数学解题方法专题研究专题4 换元法专题【方法简介】解一些复杂的因式分解问题，常用到换元法，即对结构比较复杂的多项式，若把其中某些部分看成一个整体，用新字母代替(即换元)，则能使复杂的问题简单化，明朗化，在减少多项式项数,降低多项式结构复杂程度等方面有独到作用。
换元法又称变量替换法, 是我们解题常用的方法之一。
利用换元法, 可以化繁为简, 化难为易, 从而找到解题的捷径。
【真题演练】1. 若（x2+y2﹣2）2=9，则x2+y2的值为（）A．1 B．﹣1 C．5 D．5或﹣1【解析】：设t=x2+y2（t≥0），由原方程得：（t﹣2）2=9，解得t﹣2=±3，解得t=5或t=﹣1（舍去）．故选：C．2. 用“整体法”求得方程（2x+5）2﹣4（2x+5）+3=0的解为（）A．x1=1，x2=3 B．x1=﹣2，x2=3 C．x1=﹣3，x2=﹣1 D．x1=﹣2，x2=﹣1【解析】：（2x+5）2﹣4（2x+5）+3=0，设2x+5=y，则原方程变形为y2﹣4y+3=0，解得：y1=1，y2=3，当y=1时，2x+5=1，解得：x=﹣2，当y=3时，2x+5=3，解得：x=﹣1，即原方程的解为x1=﹣2，x2=﹣1，故选：D．3. 若实数a，b满足（2a+2b）（2a+2b﹣2）﹣8=0，则a+b=．【解析】设a+b=x，则由原方程，得2x（2x﹣2）﹣8=0，整理，得4x2﹣4x﹣8=0，即x2﹣x﹣2=0，分解得：（x+1）（x﹣2）=0，解得：x1=﹣1，x2=2．则a+b的值是﹣1或2．故答案是：﹣1或2．4. 阅读下面的材料，回答问题：解方程x4﹣5x2+4=0，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设x2=y，那么x4=y2，于是原方程可变为y2﹣5y+4=0 ①，解得y1=1，y2=4．当y=1时，x2=1，∴x=±1；当y=4时，x2=4，∴x=±2；∴原方程有四个根：x1=1，x2=﹣1，x3=2，x4=﹣2．（1）在由原方程得到方程①的过程中，利用法达到的目的，体现了数学的转化思想．【解析】：（1）换元，降次（2）设x2+x=y，原方程可化为y2﹣4y﹣12=0，解得y1=6，y2=﹣2．由x2+x=6，得x1=﹣3，x2=2．由x2+x=﹣2，得方程x2+x+2=0，b2﹣4ac=1﹣4×2=﹣7＜0，此时方程无实根．所以原方程的解为x1=﹣3，x2=2．【名词释义】概念：换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法。
八年级数学因式分解综合应用(换元法与添项拆项)(北师版)(含答案)
学生做题前请先回答以下问题问题1：因式分解的基本方法有哪几种？问题2：换元、添项拆项是复杂多项式进行分解因式的常用技巧之一，通过对复杂多项式的处理，最终都转化为____________．问题3：换元是复杂多项式进行分解因式的常用技巧之一，当多项式中的某一部分_______时，我们会________将其替换，从而简化式子的形式．因式分解综合应用（换元法与添项拆项）（北师版）一、单选题(共10道，每道10分)1.把因式分解，正确结果是( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：因式分解的技巧——换元法2.把因式分解，正确结果是( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：因式分解的技巧——换元法3.把因式分解，正确结果是( )A. B.C. D.答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：因式分解的技巧——换元法4.把因式分解，正确结果为( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：因式分解的技巧——换元法5.把因式分解，正确结果是( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：因式分解的技巧——添项拆项法6.把因式分解，正确结果是( )A. B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：因式分解的技巧——添项拆项法7.把因式分解，正确结果是( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：因式分解的技巧——添项拆项法8.把因式分解，正确结果是( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：因式分解的技巧——添项拆项法9.把因式分解，正确结果是( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：因式分解的技巧——添项拆项法10.把因式分解后，下列选项中不是它的因式的是？( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：因式分解的技巧——添项拆项法。
《解一元二次方程—换元法》典型例题解析与同步训练(后附答案)
（2）设x2+x=y，原方程可化为y2﹣4y﹣12=0，
解得x=3或x=6；
（4）化简得：（x﹣1﹣2）（x﹣1﹣3）=0
即（x﹣3）（x﹣4）=0
解得x=3或x=4．
例4．阅读下面材料：解答问题
为解方程（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+4=0，我们可以将（x2﹣1）看作一个整体，然后设x2﹣1=y，那么原方程可化为y2﹣5y+4=0，解得y1=1，y2=4．当y=1时，x2﹣1=1，∴x2=2，∴x=± ；当y=4时，x2﹣1=4，∴x2=5，∴x=± ，故原方程的解为x1= ，x2=﹣ ，x3= ，x4=﹣ ．
2.2.5《解一元二次方程—换元法》典型例题解析与同步训练
【知识要点】
1、解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法．
换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理．
解得y1=6，y2=﹣2（4分）
当y=6时，x2﹣x=6即x2﹣x﹣6=0
∴x1=3，x2=﹣2（6分）
当y=﹣2时，x2﹣x=﹣2即x2﹣x+2=0
∵△=（﹣1）2﹣4×1×2＜0
∴方程无实数解（8分）
∴原方程的解为：x1=3，x2=﹣2．（9分）
例5．阅读下面的材料，回答问题：
解方程x4﹣5x2+4=0，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：
（2）先移项，然后把x2﹣9因式分解为（x+3）（x﹣3），然后再提取公因式，因式分解即可．
（3）先移项，然后用提取公因式法对左边进行因式分解即可．
测试卷2：因式分解的方法二—换元法参考答案
因式分解的方法二——换元法参考答案知识要点：换元法是数学中的一种重要方法，在解题和证明中常常起到桥梁作用。
用换元法分解因式，是把题目中的某一部分或某几部分看成一个整体，设为一个或几个新的变元，从而使代数式的结果简单化，便于分解。
A 卷一、填空题1、分解因式：()()_______________122122=-++++x x x x .2、分解因式：()()()()_______________157531=+++++x x x x .3、（重庆市竞赛题）分解因式：()____________________199911999199922=---x x .4、（第12届“五羊杯”初二试题）分解因式：()()()_____________22333=-----y x y x . 5、（“TI 杯”初中竞赛题）若142=++y xy x ，282=++x xy y ，则y x +的值为 .二、选择题6、当1=-y x 时，42233433y xy y x y x xy x ++---的值为（ ）A 、1-B 、0C 、2D 、17、（武汉市选拔赛）若133=-x x ，则199973129234+--+x x x x 的值等于（ ）A 、1999B 、2001C 、2003D 、20058、要使()()()()m x x x x +--+-8431为完全平方式，则m 为（ ）A 、12B 、24C 、196D 、200B 卷一、填空题9、化简：()()()_______________111120022=++++++++x x x x x x x .11、（2005年第16届“希望杯”初二年级竞赛题）在有理数范围内分解因式： ()()()()________________________________________63212=+++++x x x x x二、解答题12、分解因式：（2）()13322132222-+-+-x x x x 解原式()()13211132222---+-=x x x x令y x x =-322，则原式()11112--+=y y y y 92-=()9-=y y()()9323222---=x x x x ()()()32332+--=x x x x（3）()()()91729522---+a a a （湖北省黄冈市竞赛题）解原式()()()()91723352---++=a a a a()()[]()()[]91723352---++=a a a a()()9121215222-----=a a a a 令y a a =-22，则原式()()912115---=y y224362+-=y y()()828--=y y()()8228222----=a a a a()()()827242--+-=a a a a （4）()()42424101314x x x x x ++++-（第13届“五羊杯”竞赛题）解：设y x =+14，则原式()()4221034x x y x y ++-=44221012x x y x y +--=4222x y x y --=()()222x y x y +-=()()1122424+++-=x x x x()()[]2222211x x x -+-=()()()1112222-+++-=x x x x x （5）()()()2121231-+-⎪⎭⎫ ⎝⎛++-+++y x y x xy xy xy （天津市竞赛题） 解：设a y x =+，b xy =，则 原式()()()2121231--⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+++=a a b b b ()2212a b b -++=()()a b a b -+++=11()()y x xy y x xy --++++=11()()()()1111--++=y x y x （6）()()()3331252332y x y x y x ---+-（第13届“五羊杯”竞赛题） 解原式()()()[]33352332y x y x y x ---+-= ()()()()[]33323322332y x y x y x y x -+---+-= 设a y x =-32，b y x =-23，则原式()333b a b a +-+= ()b a ab +-=3()()()y x y x y x 5523323----=()()()y x y x y x 233215----=C 卷一、解答题13、（安徽省竞赛试题）证明：12000199919981997+⨯⨯⨯是一个整数的平方，并求出这个整数。
初中数学竞赛专题选讲换元法(含答案)
初中数学竞赛专题选讲（初三.8）换元法一、内容提要1. 换元就是引入辅助未知数.把题中某一个（些）字母的表达式用另一个（些）字母的表达式来代换，这种解题方法，叫做换元法，又称变量代换法.2. 换元的目的是化繁为简，化难为易，沟通已知和未知的联系.例如通过换元来降次，或化分式、根式为整式等.换元的关鍵是选择适当的式子进行代换.3. 换元要注意新旧变元的取值范围的变化.要避免代换的新变量的取值范围被缩小；若新变量的取值范围扩大了，则在求解之后要加以检验.4. 解二元对称方程组，常用二元基本对称式代换.5. 倒数方程的特点是：按未知数降幂排列后，与首、末等距离的项的系数相等.例如：一元四次的倒数方程ax 4+bx 3+cx 2+bx+a=0.两边都除以x 2,得a(x 2+21x )+b(x+x 1)+c=0. 设x+x 1=y, 那么x 2+21x = y 2－2, 原方程可化为ay 2+by+c －2=0.对于一元五次倒数方程 ax 5+bx 4+cx 3+cx 2+bx+a=0， 必有一个根是－1.原方程可化为 (x+1)(ax 4+b 1x 3+c 1x 2+b 1x+a)=0.ax 4+b 1x 3+c 1x 2+b 1x+a=0 ，这是四次倒数方程.形如 ax 4－bx 3+cx 2＋bx+a=0 的方程，其特点是：与首、末等距离的偶数次幂项的系数相等，奇数次幂的系数是互为相反数.两边都除以x 2, 可化为a(x 2+21x)－b(x －x 1)+c=0. 设x －x 1=y, 则x 2+21x=y 2+2, 原方程可化为 ay 2－by+c+2=0.二、例题例1. 解方程1112---++x x x =x. 解：设11-++x x =y, 那么y 2=2x+212-x .原方程化为： y －21y 2=0 . 解得 y=0；或y=2.当y=0时，11-++x x =0 (无解) 当y=2时， 11-++x x =2，解得，x=45. 检验（略）. 例2. 解方程：x 4+(x －4)4=626.解：（用平均值24-+x x 代换，可化为双二次方程.） 设 y= x －2 ，则x=y+2.原方程化为 (y+2)4+(y －2)4=626.［((y+2)2－(y －2)2)2＋2(y+2)2(y －2)2－626=0整理，得 y 4+24y 2－297=0. (这是关于y 的双二次方程).(y 2+33)(y 2－9)=0.当y 2+33=0时， 无实根 ；当y 2－9=0时， y=±3.即x －2=±3，∴x=5；或x=－1.例3. 解方程：2x 4+3x 3－16x 2+3x+2=0 .解：∵这是个倒数方程，且知x ≠0，两边除以x 2,并整理 得2(x 2+21x )+3(x+x 1)－16=0. 设x+x 1=y, 则x 2+21x =y 2－2. 原方程化为 2y 2+3y －20=0.解得 y=－4；或y=25. 由y=－4得 x=－2+3；或x=－2－3.由y=2.5得 x=2；或x=21. 例4 解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+++++=+++++01012124012522222y x y xy x y x y xy x解：（这个方程组的两个方程都是二元对称方程，可用基本对称式代换.） 设x+y=u, xy=v. 原方程组化为：⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++010********v u u v u u . 解得⎩⎨⎧-==374v u ； 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=91132v u . 即⎩⎨⎧-==+374xy y x ； 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+91132xy y x . 解得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=+-=33213321y x ；或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=--=33213321y x ；或⎪⎩⎪⎨⎧-=+=412412y x ；或⎪⎩⎪⎨⎧+=-=412412y x .三、练习解下列方程和方程组：（1到15题）： 1. =++++)7(27x x x x 35－2x.2. (16x 2－9)2+(16x 2－9)(9x 2－16)+(9x 2－16)2=(25x 2－25)2.3. (2x+7)4+(2x+3)4=32 .4. (2x 2－x －6)4+(2x 2－x －8)4=16.5. (2115-+x )4+(2315-+x )4=16.6. x x x x 112+++=223. 7. 2x 4－3x 3－x 2－3x+2=0. 8. ⎪⎩⎪⎨⎧=++=+++19182222xy y x y x y x 9. ⎪⎩⎪⎨⎧=+=+160311122y x y x . 10. 563964467222+-=+-+--x x x x x x . 11. (6x+7)2(3x+4)(x=1)=6.12. ⎪⎩⎪⎨⎧=+=-++13511y x y x . 13. ⎪⎩⎪⎨⎧=+=+1025y x x y y x .14. ⎪⎩⎪⎨⎧=+-+=-+++01823312y xy y y x y x . 15x xx x =-+-111. 16. 分解因式： ①(x+y －2xy)(x+y －2)+(1－xy)2； ②a 4+b 4+(a+b)4 .17. 已知：a+2=b －2=c ×2=d ÷2, 且a+b+c+d=1989.则a=___,b= ____,c=_____,d=____18. ［a ］表示不大于a 的最大整数，如［2］=1，［－2］=－2，那么 方程 ［3x+1］=2x －21 的所有根的和是_____.参考答案 1. 221229 2. ±43±34 3. －25 4. 2,－23,4651± 5.3231-32211， 6. 1 7.21,2 8.⎪⎩⎪⎨⎧+-=--=⎪⎩⎪⎨⎧--=+-=⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==727272722332y x y x y x y x 9. ⎪⎩⎪⎨⎧+-=--=⎪⎩⎪⎨⎧--=+-=⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==555555555555412124y x y x y x y x 10. 7,－111.－32,－3512.⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==10358y x y x 13.⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==8228y x y x 14. ⎪⎩⎪⎨⎧+=-=⎪⎩⎪⎨⎧-=+=⎩⎨⎧-==⎩⎨⎧==1031041031041513y x y x y x y x 15. x=251± 16.①设x+y=a,xy=b ②设a 2+b 2=x,ab=y17.设原式=k, k=44218. –2可设2x －21=t, x=21t+41代入[3x+1]。
因式分解之换元法、待定系数法、因式定理及其它.题库教师版
【答案】
【例11】分解因式
【考点】因式分解
【难度】5星
【题型】解答
【关键词】湖北黄冈竞赛，换元法
【解析】原式
设 ，原式
【答案】
【例12】分解因式：
【考点】因式分解
【难度】6星
【题型】解答
【关键词】换元法
【解析】原式
原式
【答案】
【例13】分解因式：
【考点】因式分解
【难度】6星
【题型】解答
【关键词】换元法
【题型】解答
【关键词】因式定理
【解析】 的因数是 ， ， 的因数是 ， ．
因此，原式的有理根只可能是 ， (分母为1)， ．
因为 ， ，
于是 是 的一个根，从而 是 的因式，
这里我们可以利用竖式除法，此时一般将被除式按未知数的降幂排列，
没有的补0：
可得原式
【答案】
【例24】分解因式：
【考点】因式定理
原式
【答案】见解析
【例7】若 ， 是整数，求证： 是一个完全平方数.
【考点】因式分解
【难度】5星
【题型】解答
【关键词】换元法
【解析】
令
∴上式
即
【答案】见解析
【例8】在有理数范围内分解因式：
【考点】因式分解
【难度】5星
【题型】填空
【关键词】1994年，第6届，“五羊杯”初中数学竞赛试题，换元法
【解析】原式
( ， ， ， )不仅适合⑵、⑷、⑸，而且适合⑶．
因此 ⑺
将 ， ，代人⑷，得 ⑻
将⑻与 ⑵相加得 .于是 ，再由 ⑵得 .
这一组数( ， ， ， )，虽然适合⑵、⑷、⑸，却不适合⑶，
因而 .
初中数学竞赛专题选讲 换元法(含答案)
初中数学竞赛专题选讲（初三.8）换元法一、内容提要1. 换元就是引入辅助未知数.把题中某一个（些）字母的表达式用另一个（些）字母的表达式来代换，这种解题方法，叫做换元法，又称变量代换法.2. 换元的目的是化繁为简，化难为易，沟通已知和未知的联系.例如通过换元来降次，或化分式、根式为整式等.换元的关鍵是选择适当的式子进行代换.3. 换元要注意新旧变元的取值范围的变化.要避免代换的新变量的取值范围被缩小；若新变量的取值范围扩大了，则在求解之后要加以检验.4. 解二元对称方程组，常用二元基本对称式代换.5. 倒数方程的特点是：按未知数降幂排列后，与首、末等距离的项的系数相等. 例如：一元四次的倒数方程ax 4+bx 3+cx 2+bx+a=0.两边都除以x 2,得a(x 2+21x )+b(x+x 1)+c=0. 设x+x 1=y, 那么x 2+21x = y 2－2, 原方程可化为ay 2+by+c －2=0.对于一元五次倒数方程 ax 5+bx 4+cx 3+cx 2+bx+a=0， 必有一个根是－1.原方程可化为 (x+1)(ax 4+b 1x 3+c 1x 2+b 1x+a)=0.ax 4+b 1x 3+c 1x 2+b 1x+a=0 ，这是四次倒数方程.形如 ax 4－bx 3+cx 2＋bx+a=0 的方程，其特点是：与首、末等距离的偶数次幂项的系数相等，奇数次幂的系数是互为相反数. 两边都除以x 2, 可化为a(x 2+21x)－b(x －x 1)+c=0. 设x －x 1=y, 则x 2+21x=y 2+2, 原方程可化为 ay 2－by+c+2=0.二、例题例1. 解方程1112---++x x x =x. 解：设11-++x x =y, 那么y 2=2x+212-x .原方程化为： y －21y 2=0 . 解得 y=0；或y=2.当y=0时，11-++x x =0 (无解) 当y=2时， 11-++x x =2，解得，x=45. 检验（略）. 例2. 解方程：x 4+(x －4)4=626.解：（用平均值24-+x x 代换，可化为双二次方程.） 设 y= x －2 ，则x=y+2.原方程化为 (y+2)4+(y －2)4=626.［((y+2)2－(y －2)2)2＋2(y+2)2(y －2)2－626=0整理，得 y 4+24y 2－297=0. (这是关于y 的双二次方程).(y 2+33)(y 2－9)=0.当y 2+33=0时， 无实根 ；当y 2－9=0时， y=±3.即x －2=±3，∴x=5；或x=－1.例3. 解方程：2x 4+3x 3－16x 2+3x+2=0 .解：∵这是个倒数方程，且知x ≠0，两边除以x 2,并整理 得2(x 2+21x )+3(x+x 1)－16=0. 设x+x 1=y, 则x 2+21x =y 2－2. 原方程化为 2y 2+3y －20=0.解得 y=－4；或y=25. 由y=－4得 x=－2+3；或x=－2－3.由y=2.5得 x=2；或x=21. 例4 解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+++++=+++++01012124012522222y x y xy x y x y xy x解：（这个方程组的两个方程都是二元对称方程，可用基本对称式代换.） 设x+y=u, xy=v. 原方程组化为：⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++010********v u u v u u . 解得⎩⎨⎧-==374v u ； 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=91132v u . 即⎩⎨⎧-==+374xy y x ； 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+91132xy y x . 解得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=+-=33213321y x ；或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=--=33213321y x ；或⎪⎩⎪⎨⎧-=+=412412y x ；或⎪⎩⎪⎨⎧+=-=412412y x .三、练习解下列方程和方程组：（1到15题）： 1. =++++)7(27x x x x 35－2x.2. (16x 2－9)2+(16x 2－9)(9x 2－16)+(9x 2－16)2=(25x 2－25)2.3. (2x+7)4+(2x+3)4=32 .4. (2x 2－x －6)4+(2x 2－x －8)4=16.5. (2115-+x )4+(2315-+x )4=16.6. x x x x 112+++=223. 7. 2x 4－3x 3－x 2－3x+2=0. 8. ⎪⎩⎪⎨⎧=++=+++19182222xy y x y x y x 9. ⎪⎩⎪⎨⎧=+=+160311122y x y x . 10. 563964467222+-=+-+--x x x x x x . 11. (6x+7)2(3x+4)(x=1)=6.12. ⎪⎩⎪⎨⎧=+=-++13511y x y x . 13. ⎪⎩⎪⎨⎧=+=+1025y x x y y x .14. ⎪⎩⎪⎨⎧=+-+=-+++01823312y xy y y x y x . 15x xx x =-+-111. 16. 分解因式： ①(x+y －2xy)(x+y －2)+(1－xy)2； ②a 4+b 4+(a+b)4 .17. 已知：a+2=b －2=c ×2=d ÷2, 且a+b+c+d=1989.则a=___,b= ____,c=_____,d=____18. ［a ］表示不大于a 的最大整数，如［2］=1，［－2］=－2，那么 方程 ［3x+1］=2x －21 的所有根的和是_____.参考答案 1. 221229 2. ±43±34 3. －25 4. 2,－23,4651± 5.3231-32211， 6. 1 7.21,2 8.⎪⎩⎪⎨⎧+-=--=⎪⎩⎪⎨⎧--=+-=⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==727272722332y x y x y x y x 9. ⎪⎩⎪⎨⎧+-=--=⎪⎩⎪⎨⎧--=+-=⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==555555555555412124y x y x y x y x 10. 7,－111.－32,－3512.⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==10358y x y x 13.⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==8228y x y x 14. ⎪⎩⎪⎨⎧+=-=⎪⎩⎪⎨⎧-=+=⎩⎨⎧-==⎩⎨⎧==1031041031041513y x y x y x y x 15. x=251± 16.①设x+y=a,xy=b ②设a 2+b 2=x,ab=y17.设原式=k, k=44218. –2可设2x －21=t, x=21t+41代入[3x+1]。
初中数学竞赛《常用公式与换元》配套练习题及解析
《常用公式与换元》配套练习题一、填空题1、计算：11×19＋12×18＋13×17＋14×16＝________．2、3、4、计算：12－22＋32－42＋…＋20052－20062＋20072＝________．5、6、7、8、9、＝________．10、下面一列数中共出现了________个互不相同的数．、、、…、．答案部分一、填空题1、【正确答案】：870【答案解析】：2、【正确答案】：【答案解析】：3、【正确答案】：＜【答案解析】：4、【正确答案】：2015028【答案解析】：原式＝20072－20062＋…＋52－42＋32－22＋12＝（2007－2006）×（2007＋2006）＋（2005－2004）×（2005＋2004）＋…＋（3－2）×（3＋2）＋1＝2007＋2006＋2005＋2004＋…＋3＋2＋1＝（2007＋1）×2007÷2＝20150285、【正确答案】：50.5【答案解析】：6、【正确答案】：【答案解析】：7、【正确答案】：【答案解析】：8、【正确答案】：【答案解析】：9、【正确答案】：．【答案解析】：这题是利用平方差公式进行裂项：a2－b2＝（a－b）×（a＋b），原式10、【正确答案】：1495【答案解析】：首先要考虑由已知条件我们能推出什么？①可推知这一列数的第一项＝0，第二项＝0，一共有1993个数，最后一项＝1993②可推知这一列数不等于同一个数，但也不是互不相同．③可推知这一列数是逐渐增大的，即≤≤≤…≤．④考虑利用公式（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2分析项的变化．因为＝，根据性质4，若＞1，则这列数的相邻两项有关系：＜．若≤1，则这列数的相邻两项有关系：＋1≥，即相邻两项或相等或是相邻自然数．关键在确定k．当k＞996时，＞1．由分析知从至最后一项互不相同，共有1993－997＋1＝997（个）．而当k≤996时，前996项的相邻两项相等或差1．因知第一项＝0，又第996项＝497，所以共有497＋1＝498个不同的数．综上所述，这一列数共有997＋498＝1495个不同的数．。
例析均值换元法解数学竞赛最值问题
2020年第11期中学数学研究・63・例析均值换元法解数学竞赛最值问题江苏省南京市第二十九中学致远初级中学（210029）蔡俊剑将几个量的平均值作为辅助元，这种换元法称为均值换元法•例如将%+*=m中的％,*分别用2 +/号-/来代换，这种代换就称为均值换元.均值法的应用非常广泛，以几道数学竞赛题为，介绍其在求最值中的作用.一、求最例1（2016中数学联赛初三年级试题）设实数%,*,4满足％+*4=1，则M二％*+2*4+ 3%z的最大值为'）.123（2）1（5）3（C）'（D）1解：因为%+*+4=1,所以%+*=1-4.故可设（宁+/（宁4）+2（宁-）4+34・（L-+ /二+（-942+8z+4/—4/+1），化简整理得942-4（方+2）z+4/+4M-1二0，将此式视为关于4的一二次方程，且有实数根，因此0，7 16（t+2）2-36（4/+4M-1）*0，化简整理得M#-y（/-+）+#，因而当方二+时，.最大值二+故选C评注：本题依据已知条件%+*+4=1,M=%*+ 2*4+3%4,通过均值换元消去％,*,构一个关于力的一元二次方程，再利用有实数根的条件，“大”建立M的最大值.解题过程巧妙自然，构思精彩，耐人回味.例2（2003中数学联题）已知实数%1*满%2+f$+2②求％的最大值-解：由①可设％，筈丄+/*=专丄—/将其代入②中得(丸#+/2+(^-/2=4&2-2& +2，化简整理得&2-2&-3二-4/，因为-4/#0，所以&2-2&-3#0，即'&+1)(&-3)#0，所以&+1*0，&+1#0，{&-3#0或{&-3*0，解得—1#.从而%*=(%+*)2_(%2+*2)_(3&_1)2_(4&2_2&+2) 2二2最大值为16.评注:根据题设巧用均值换元，再结合因式公解十字相乘法，通过解一元二次&的取范围，合配方技巧求得%*的最大值•方法巧妙，解法新颖，匠心独具，令人赞叹.二、求最小值例3（2007中数学竞赛试题）已知& +'二1，求&2+'2的最小解：因为&+b=1，所以可设&二*+/'二+一力,则&2+'2=（*+/2+（*-彳）2二*+2/2*1，故&2+b2的最小值是2（这时方二0，即&二b二*）.评注：本题运用均值代换，其绝妙之处在于能最值问题关方的函数的最小问题，从而只要令/二0即可.其解法简捷明晰，别具风味.例4（2012年“希望杯”全国数学二第二题）如图1，已知边长为1的个正方一个“品”字，求“品”字的最小圆的面积.解析％“品”字的最小际是四边形ABCD的外接圆.“品”字形的高EF=2（（，由轴对称性知，四边形ABCD的外心在EF 由EO+FO=2，由，设E：=1+t,FO= 1-/外接圆的半径为?,由轴对称性知+E=*CD 二*,在Rt AAFO和Rt$DEO中，由勾股定理得3r1+（1-/2二？2,卩二16,[1）2+（1+/2=?解得?242=所以覆盖H2丿I一256°c425“品”字形的最小圆的面积为S="256评注：本题的等量关系隐藏在图形中，运用均-64-中学数学研究2020年第11期值换元法，用平均数和一个字母表示图中两条线段的长，既形象直观地表示出圆心的位置，又使计算简单明晰，令人耳目一新.三、求最大值和最小值例5（2001年全国初中数学竞赛题）已知实数&,'满足&2+&'+'2=1,且t—&'-&2-'2.试求t 的最大最小!解：由题设知&2+'2-〒'①,4&2'2-(1+t2②.由①式可设&2二1-+P,'21-1—丁->.代入②式得'（宁+P）d（宁=（1+/$，整理得（t+3）（3/1）二-16>,而一16>#0,所以（t+3）（3方+1）#0,解得-3#t#-1，故t的最大 值是-丁，最小值是-3.评注:对已知条件变形，先求得&2+'2=\-,再运用均值换元法结合一元二次不等式求最值,可见均值换元技巧在解题中的重要作用.例6（2004年“信利杯”全国初中数学竞赛题）设实数％,*,4满足％+*+4二5,%*+*4++4二3,试求4的最大值和最小值.、5-4解：由%+*+4=5，得%+*=5一4设％二+二5?4一一,代入%*+*4++4=3,化简整理得342-104-13=-412.因为—4/#0,故342-104-13#0,解得-1#2#琴，所以4的最大值是琴，最小值是-1.评注：本题题设为三元二次方程组，如按常规方法直接求4的最大值和最小值,很困难，但由%与5—4*的和是5-4,那么％与*的平均值就是丁.因此借助于均值换元，通过化简整理得到关于z的一元二次，解最大和最.例7（第31届IMO国家集训队测试题）设实数{%+*—=—12求4的最大最小.%*=—-74+14,解：由%+*—4-1,可设%—4-1+/*—=-y1-t,代入%*—42-74+14得（4-1+/（4—1-/—42 -74+14，即'4-1）2-t2—42-74+14,即42-24+1 -412—4z2-284+56，整理得342-264+ 55—-412,所以342-264+55#0，解得¥#Z#5，故Z的最大值是5，最小值是¥.评注:本题已知条件是关于％、*、4的三元二次，要通题设4的最大和最4-1困难，然而通过%+*—4-1—2d丁，再利用均值换元巧妙求得最值.其方法新颖简捷，别有风味.其解法既减少了计算量，又降低了解题的难度，充分显示了均值换元法的优越性.综上可知，均值换元法的应用是极其广泛的，方法通俗易懂，既有利于学生融会贯通“基础知识和基本技能”，又有利于帮助学生提高综合解题水平，对于启迪学生思维、开阔学生视野，培养学生学数学、用数学、研究数学的兴趣均颇有益处.*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%一道地中海地区数学奥林匹克试题推广——兼论一个条件的多余江苏省姜堰中等专业学校（225500）陈宇第21届地中海地区数学奥林匹克第4题:在锐 角中，AE,AF为的三等分线，且分别与$ABC的外接圆交于点.,7,分别在边4）,AC上取点P,R,使得）PEA—）B,）AER—）C.设PR与4E交于U,U7与BC交于+.证明：寻+爲-E+。
用换元法解一次方程组习题及答案
１ 解方程组576233x y x y +=⎧⎨+=⎩， ①． ②2 解方程组521623+126x y x y z x y z +=⎧⎪+=⎨⎪++=⎩， ①， ②． ③3 解方程组24+393251156713x y z x y z x y z +=⎧⎪-+=⎨⎪-+=⎩， ①， ②． ③4. 解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=---=+-+)2.(1213343)1(,04231y x y x5. 解方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=--+=-++.1106,3106y x y x y x y x6. 解方程组7. 解方程组⎩⎨⎧=-=+)2.(97177)1(,1232y x y x8.⎪⎩⎪⎨⎧+-=-+-=+②)(316①)(236y x y x y x y x⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=---=-+-152223*********yx y x yx y x1. 解：由①令5373x k y k =+=-，，所以3537k x k y +⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩， ③． ④ 把③、④代入②，解得18k =-．⑤ 把⑤代入③、④，得原方程组的解为33x y =-⎧⎨=⎩，．2. 解：由①令5828x k y k =+=-，．所以8582k x k y +⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩， ④． ⑤ 把④、⑤代入②、③，整理，得1110323104k z k z +=⎧⎨-=-⎩，．解得21k z =⎧⎨=⎩，．把k =2分别代入④、⑤，得23x y =⎧⎨=⎩，．所以原方程组的解为231x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩，，．3. 解：根据①令：12122=3+4333x k y k z k k ⎧⎪=+⎨⎪=--⎩，，．所以1212323433k x k y k k z +⎧=⎪⎪+⎪=⎨⎪--⎪=⎪⎩，，． 把④、⑤、⑥代入②、③，整理得121213182318k k k k +=-⎧⎨-=⎩，．解得1251k k =-⎧⎨=-⎩， ⑦． ⑧把⑦、⑧代入④、⑤、⑥，得原方程组的解为1123x y z =-⎧⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩，，．4. 解：由①，得4231+=+y x . 设k y x =+=+4231，则13-=k x ，24-=k y ，代入②，得12133244313=-----k k .∴1=k .∴213=-=x ，224=-=y .∴原方程组的解是⎩⎨⎧==.2,2y x 5. 解：设m y x =+6，n yx =-10.原方程组可化为⎩⎨⎧=-=+.1,3n m n m 解得⎩⎨⎧==.2,1n m ∴⎪⎩⎪⎨⎧=-=+.210,16y x yx 即⎩⎨⎧-=-=+.20,6y x y x 解得⎩⎨⎧-==.7,13y x∴原方程组的解为⎩⎨⎧-==.7,13y x6. 解：设 ， . 原方程组可化为 解得 ∴ ，解得7. 解：由①可设t x 662+=，t y 663-=，即t x 33+=，t y 22-=，代入②，得.97)22(17)33(7=--+t t∴2=t .∴,9233=⨯+=x .2222-=⨯-=y ∴原方程组的解为⎩⎨⎧-==.2,9y x说明：本题若按常规设法，可设t x +=62，t y -=63，此时23t x +=，32ty -=﹒由于出现了分数，给运算带来麻烦，因此设t x 662+=，t y 663-=，此时t x 33+=，t y 22-=，没有出现分类，使运算变得简捷.8.解：令a=(x+y);b=(x-y),则原方程组变为：⎪⎩⎪⎨⎧-=-=④316③236a b a a由③式可得： a=12把a=12代入④得：b=6-4=2将a=12,b=2反代回a=x+y;b=x-y 得方程组⎩⎨⎧=+=-⑥2⑤12y x y x解得：x=7,y=5y x b 521-=⎩⎨⎧=-=+1251034b a b a ⎩⎨⎧==21b a ⎪⎩⎪⎨⎧=-=-2152123y x y x ⎪⎩⎪⎨⎧==.221,114y x y x a 231-=。
初中数学专题1.2 恰当换元
1.2 恰当换元一些看上去很复杂的代数式，通过观察与比较，如果可以发现相同或相似之处，此时可以用另一个变量来代替较复杂的代数式，从而起到简化计算的目的，这种方法叫做换元法，它大量运用于计算、化简、解方程、证明题中.例1计算：12012201120102009+⨯⨯⨯【解】 令n ＝2010，则 原式＝11)(2)(1)2)(1()1(2222-+=++-+=+++-n n n n n n n n n n因为n ＝2010，所以原式＝4 042 109.【注】 运用换元法可以使计算显得简洁，例2 比较⋅⋅⋅+++111与⋅⋅⋅+++11111的大小.【解】 令M =⋅⋅⋅+++111，N =⋅⋅⋅+++11111则M M +=1，NN 11+=所以，M 2 －M －1＝0，N 2 －N －1＝0，因为M ＞0，N ＞0，所以M ＝N ＝251+ 【注】 在循环算式的计算和化简中经常采用本例中的处理方法．例3 解方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=-+-+612331y y x y x y x 【解】 设u y x =+1，v y x =-+3（u ＞0，v ≥0，且u ＞v ），则原方程组可化为⎩⎨⎧=+=-3322v u v u ，解得⎩⎨⎧==03v u ，代入原方程组得⎪⎩⎪⎨⎧=-+=+0331y x y x 解得⎩⎨⎧==12y x 或⎩⎨⎧-==14y x ，经检验，原方程组的解为⎩⎨⎧==12y x 或⎩⎨⎧-==14y x 【注】分式方程（组）和无理方程（组）最后要检验是否为增根．例4 已知：(y －z )2＋(z －x )2＋(x －y )2＝(y ＋z －2x )2＋(z ＋x －2y )2＋(x ＋y －2z )2，试求：)1)(1)(1()1)(1)(1(222++++++z y x xy zx yz 的值． 【解】 令a ＝x －y ，b ＝y －z ，c －z －x ，则条件转化为a 2 ＋b 2＋c 2＝(c －a )2＋(a －b )2＋(b －c )2,化简得 a 2 ＋b 2 ＋c 2－2ab －2bc －2ca ＝0． ①又 a ＋b ＋c ＝(x －y )＋(y －z )＋(z －x )＝0所以 (a ＋b ＋c )2＝ a 2 ＋ b 2＋ c 2 ＋ 2ab ＋2bc ＋2ca ＝ 0, ②由①＋②得a 2 ＋b 2＋c 2＝0，故a ＝b －c ＝0，即x －y ＝y －z ＝z －x ＝0所以，x ＝y ＝z ，原式1)1)(1)(1()1)(1)(1(222222=++++++z y x z y x ． 【注】换元法更能够体现问题的代数结构，突显出问题的实质，例5若m 是整数，且m ≠0，求证：m335252++-有理数． 【证明】 令352+=x ，352-=y ，则X 3 ＋y 3＝4，且xy ＝－1，从而x 3＋y 3＝(x ＋y )3－3xy (x ＋y )＝4进而(x ＋y )3－1＋3(x ＋y )－3＝0即 (x ＋y －1)[(x ＋y )2＋(x ＋y )＋4]＝0，又由于 0415214)()(22>+⎪⎭⎫ ⎝⎛++=++++y x y x y x 所以x ＋y －1＝0，x ＋y ＝1，因为m 是整数且m ≠0，所以mm 1525233=++- 是有理数．【注】此题运用换元法，结合x 3 ＋y 3＝4，且xy ＝－1，可以比较方便地进行等式的变形，以达到计算x ＋y 的目的．例6 解方程1164533=-++x x 【解】设345x u +=，316x v -=，则⎩⎨⎧=+=+61133v u v u 又u 3＋v 3＝(u ＋v )3－3uv (u ＋v )，所以61＝1－3uv ，得uv ＝－20，因此u ，v 是方程y 2 －y －20＝0的两根，解得y 1＝5，y 2＝－4，即5453=+x 或－4，解得x 1＝－109，x 2＝80，经检验，x 1＝－109，x 2＝80都是原方程的根．【注】此题的另一种解法如下： ． 令345x a +=，316x b -=，31-=c ，则a ＋b ＋c ＝0．故a 3 ＋b 3＋c 3－3abc ＝(a ＋b ＋c )(a 2 ＋b 2 ＋c 2－ab －bc －ca )＝0即 0164531164533=-⋅++--++x x x x 化简得20)16)(45(3-=-+x x ，解得x 1＝－109，x 2＝80.经检验，x 1＝－109，x 2＝80都是原方程的根．【注】换元法经常需要和一些公式合起来用，所以考察代数式经过换元后可以适用哪个公式成为解题的关键，这需要对公式十分熟练地运用，例7 解方程31)342(32)342(5252=++-+-++++x x x x x x【解】 令a ＝x ＋2，342++=x x b ，则⎩⎨⎧=-=--+②1①31)(32)(2255b a b a b a 由②知（a ＋b ）（a －b ）＝1，代入①得()03132155=---⎪⎭⎫ ⎝⎛-b a b a ， 32(a －b )10 ＋31(a －b )5 －1＝0，即[32(a － b )5 －1][(a － b )5＋1]＝0 故以21=-b a 或a －b ＝－1，分别代人②得⎪⎩⎪⎨⎧=-=+212b a b a 或⎩⎨⎧-=--=+11b a b a 得45=a 或－1，故x 1＝43-，x 2＝－3，经检验，x 1＝43-，x 2＝－3都是原方程的解．例8 求所有5元正整数组(x 1，x 2，x 3，x 4，x 5)，使之满足x 1＞x 2＞x 3＞x 4＞x 5，且383333254243232221=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++⎥⎦⎤⎢⎣⎡++⎥⎦⎤⎢⎣⎡++⎥⎦⎤⎢⎣⎡+x x x x x x x x 这里[x ]表示不超过x 的最大整数. 【解】 设2542432322213,3,3,3⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=x x d x x c x x b x x a ，则 a 2 ＋b 2 ＋c 2 ＋d 2＝38,由于x 5≥1，x 4≥2，所以a ≥b ≥c ≥d ≥1，从而438≤a 2≤35，即3＜a ＜6， 下面讨论如下：(1)若a ＝5，则b 2＋c 2＋d 2＝13，经枚举可知不存在满足题意的正整数；(2)若a ＝4，则b 2 ＋c 2＋d 2＝22，经枚举可知满足题意的仅有b ＝3，c ＝3，d ＝2；由于12≤x 1＋x 2＜ 15，9≤x 2＋x 3＜12，9≤x 3＋x 4＜12，6≤x 4＋x 5 ＜9，从而根据x 2≥x 4＋2可知必有x 2＋x 3＝11，x 3 ＋x 4 ＝9且x 2＝x 4 ＋2，从而可得x 2＝x 3 ＋1，x 3＝x 4＋1，因此x 2＝6，x 3＝5，x 4＝4． 于是7≤x 1＜9，2≤x 5＜4．经检验可知，满足题意的(x 1,x 2,x 3,x 4,x 5)为(8,6,5,4,3),(8,6,5,4,2),(7,6,5,4,3),(7,6,5,4,2)．【注】 利用整体换元实现对局部范围的约束是关键．练习21.已知81≥a ，求证：13183********=-+-+-++a a a a a a2.计算：∑∑==-+9919911010n n nn 的值．3.试求所有正整数n ，使得对于四个不同的正整数a 、b 、c 、d ，在))(())((d a c b d b c a ----，))(())((d b c a d a c b ----，))(())((c b d a c d b a ----，))(())((d c b a d b c a ---- 中至少有2个等于n4.证明：方程x 2＋y 5＝z 3有无穷多组非零整数解.5.设正整数k ，n ≥2，试求：⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++⋅⋅⋅+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=-+-+-+1113131212),(111111n n n n n n k k n k S 的值练习1.21.设318-=a A ，则8132+=A a ，左边＝3223228)3(8138)3(813+-+++++A A A A A A ==-++=12121A A 右，所以原等式成立 2.设∑=+=99110n n S ，∑=-=99110n n T ，注意到，对正实数a 、b 有b a ab b a +=++2,特别的，对于每一个固定n (1≤n ≤99)，选择a 、b 使得a ＋b ＝20，ab ＝n ，则n n n --+-+=+1001010010220，所以∑=+=9912202n n ST S n n n n n n +=⎪⎭⎫ ⎝⎛-++=⎪⎭⎫ ⎝⎛--+-+∑∑==99199110101001010010，从而12121+=-=T S 3.令()()()()d a c b d b c a k ----=，则()()()()k d b c a d a c b 1=----，因此()()()()()()d a c b bc bd ac ad c b d a c d b a --+--=---- ()()()()()()k d a c b d b c a d a c b -=-------1，()()()()()()()()()()()()c d b a c b d a d a c b d b c a d c b a d b c a ----⋅----=---- k k --=1。
2022-2023学年初一数学第二学期培优专题训练30 换元法因式分解
专题30 换元法因式分解【例题讲解】阅读下列材料：在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”．例：用换元法分解因式()()22414212x x x x -+-+-． 解：设24x x y -=，()()1212y y =++-2310y y =+-()()52y y =+-()()224542x x x x =-+-- (1)请你用换元法对多项式()()2232358x x x x -+---进行因式分解； (2)凭你的数感，大胆尝试解方程：()()2221230x x x x -+--=． 【解答】（1）解：设23x x y -=，则原式()()()()()()222258318633633y y y y y y x x x x =+--=--=-+=---+（2）解：设22t x x =-．则()()130t t +-=．解得1t =-或3t =．当1t =-时，221x x -=-，即()210x -=．解得121x x ==．当3t =时，223x x -=，即()()310x x -+=．解得33x =，41x =-．综上所述，原方程的解为121x x ==，33x =，41x =-． 【综合解答】1．阅读理解：对于一些次数较高或者是比较复杂的式子进行因式分解时，换元法是一种常用的方法，下面是某同学用换元法对多项式22()()21234a a a a ---++进行因式分解的过程． 解：设22a a A -=原式(1)(3)4A A =-++（第一步）221A A =++（第二步）2(1)A =+（第三步）22(21)a a =-+（第四步）回答下列问题：(1)该同学第二步到第三步运用了因式分解的__________（填代号）．A ．提取公因式B ．平方差公式C ．两数和的完全平方公式D ．两数差的完全平方公式(2)按照“因式分解，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止”的要求，该多项式分解因式的最后结果为______________．(3)请你模仿以上方法对多项式22(43)(411)49x x x x ---++进行因式分解．2．阅读下列材料：在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”下面是小涵同学用换元法对多项式22(41)(47)7x x x x 进行因式分解的过程解：设24x x y -=①，将①带入原式后，原式(1)(7)7y y （第一步）28y y =+（第二步）(8)y y （第三步）22(4)(48)x x x x （第四步）请根据上述材料回答下列问题：(1)小涵同学的解法中，第二步到第三步运用了因式分解的______方法；(2)老师说，小涵因式分解的结果不彻底，请你通过计算得出该因式分解的最后结果；(3)请你用“换元法”对多项式2222()(2)(1)(1)1x x x x x x x x 进行因式分解3．阅读并解决问题：材料1：在因式分解中，有一类形如2()x m n x mn +++的多项式，其常数项是两个因数的积，而它的一次项系数恰是这两个因数的和，则我们可以把它分解成2()()()x m n x mn x m x n +++=++． 例如：2256(23)23(2)(3)x x x x x x ++=+++⨯=++．材料2：分解因式：2()2()1a b a b ++++．解：设a b x +=，则原式22221(1)(1)x x x a b =++=+=++．这样的解题方法叫做“换元法”，即当复杂的多项式中，某一部分重复出现时，我们用字母将其替换，从而简化这个多项式．换元法是一个重要的数学方法，不少问题能用换元法解决．(1)运用上述方法分解因式：①268x x ++=___________，②26x x --=___________；(2)请用“换元法”进行因式分解：()()2242464x x x x -+-++．4．下面是某同学对多项式()()2242464x x x x -+-++进行因式分解的过程．解：设24x x y -=，原式(2)(6)4y y =+++2816y y =++2(4)y =+()2244x x =-+ 回答下列问题：(1)该同学因式分解的结果是否彻底？_____________（填“彻底”或“不彻底”），若不彻底，请写出因式分解的最后结果__________________________；(2)以上方法叫做“换元法”．请你模仿以上方法对()()222221x x x x --++进行因式分解．5．下面是某同学对多项式(x 2－4x +2)(x 2－4x +6)+4进行因式分解的过程．回答下列问题：(1)该同学第二步到第三步运用了因式分解的 ；(2)该同学因式分解的结果是否彻底？ ．（填“彻底”或“不彻底”），若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果 ．(3)以上方法叫做“换元法”，请你模仿以上方法对(x 2－2x )(x 2－2x +2)+1进行因式分解．6．阅读下列材料：在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，这种方法就是换元法．对于()()22525312x x x x ++++-．解法一：设25x x y +=，则原式()()2231256y y y y =++-=+-()()()()()()()2226156512351y y x x x x x x x x =+-=+++-=+++-；解法二：设22x m +=，5x n =，则原式()()()()211212m n m n m n m n =+++-=+++- ()()()()()()()2224356512351m n m n x x x x x x x x =+++-=+++-=+++-．请按照上面介绍的方法解决下列问题：(1)因式分解：()()2241479x x x x -+-++；(2)因式分解：()()()2221x y xy x y xy +-+-+-；(3)求证：多项式()()()()21236x x x x x +++++的值一定是非负数． 7．阅读与思考：材料：对于一些次数较高或者是比较复杂的式子进行因式分解时，换元法是一种常用的方法，下面是小影同学用换元法对多项式()()2242464x x x x -+-++进行因式分解的过程． 解：设24x x y -=，原式()()264(y y =+++第一步)2816(y y =++第二步)2(4)(y =+第三步)22(44)(x x =-+第四步)（1）小影同学第二步到第三步运用了因式分解的______(填写选项)．A .提取公因式B .平方差公式C .两数和的平方公式D .两数差的平方公式（2）小影同学因式分解的结果是否彻底？______.(填彻底或不彻底)；若不彻底，请你帮她直接写出因式分解的最后结果______．（3）请你模仿以上方法尝试对多项式()()222221x x x x ++++进行因式分解．8．阅读理解：对于一些次数较高或者是比较复杂的式子进行因式分解时，换元法是一种常用的方法，下面是某同学用换元法对多项式（a 2﹣2a ﹣1）（a 2﹣2a +3）+4进行因式分解的过程． 解：设a 2﹣2a ＝A ，原式＝（A ﹣1）（A +3）+4（第一步）＝A 2+2A +1（第二步）＝（A +1）2（第三步）＝（a 2﹣2a +1）2（第四步）＝（a ﹣1）4回答下列问题：（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的______（填代号）．A ．提取公因式B ．平方差公式C ．两数和的完全平方公式D ．两数差的完全平方公式（2）请你模仿以上方法，分解因式：（x 2﹣4x ﹣3）（x 2﹣4x +11）+49．9．下面是小明同学对多项式()()2252564x x x x -+-++进行因式分解的过程：解：设25x x y -=，则（第一步）原式(2)(6)4y y =+++（第二步）22816(4)y y y =++=+（第三步）把25x x y -=代入上式，得原式()2254x x =-+（第四步） 我们把这种因式分解的方法称为“换元法”，请据此回答下列问题：（1）该同学因式分解的结果 （填“彻底”或“不彻底”），若不彻底，请你直接写出因式分解的最后结果： ；（2）请你仿照上面的方法，对多项式()()223344a a a a --++进行因式分解．10．阅读理解：对于一些次数较高或者是比较复杂的式子进行因式分解时，换元法是一种常用的方法，下面是某同学用换元法对多项式()()2221234a a a a ---++进行因式分解的过程．解：设22a a A -=原式()()134A A =-++（第一步）221A A =++（第二步）()21A =+（第三步）()2221a a =-+（第四步） 回答下列问题：（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的_______（填代号）．A ．提取公因式B ．平方差公式C ．两数和的完全平方公式D ．两数差的完全平方公式（2）按照“因式分解，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止”的要求，该多项式分解因式的最后结果为_______．（3）请你模仿以上方法对多项式()()224341149x x x x ---++进行因式分解．（4）知识延伸：解一元高次方程的常用方法是因式分解法，即若“0AB =，则0A =或0B =”．解方程()()2228120x x x x +-++=． 11．阅读下列材料：在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”．下面是小涵同学用换元法对多项式（x 2+3x ﹣9）（x 2+3x+1）+25 进行因式分解的过程．解：设x 2+3x ＝y原式＝（y ﹣9）（y+1）+25（第一步）＝y 2﹣8y+16（第二步）＝（y ﹣4）2（第三步）＝（x 2+3x ﹣4）2（第四步）请根据上述材料回答下列问题：（1）小涵同学的解法中，第二步到第三步运用了因式分解的（）；A ．提取公因式法B ．平方差公式法C ．完全平方公式法（2）老师说，小涵同学因式分解的结果不彻底，请你写出该因式分解的最后结果： ；（3）请你用换元法对多项式（9x 2- 6x+3）（9x 2- 6x -1）+ 4进行因式分解．专题30 换元法因式分解【例题讲解】阅读下列材料：在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”．例：用换元法分解因式()()22414212x x x x -+-+-．解：设24x x y -=，()()1212y y =++-2310y y =+-()()52y y =+-()()224542x x x x =-+--(1)请你用换元法对多项式()()2232358x x x x -+---进行因式分解； (2)凭你的数感，大胆尝试解方程：()()2221230x x x x -+--=． 【解答】（1）解：设23x x y -=，()()()()()()222258318633633y y y y y y x x x x =+--=--=-+=---+（2）解：设22t x x =-．则()()130t t +-=．解得1t =-或3t =．当1t =-时，221x x -=-，即()210x -=．解得121x x ==．当3t =时，223x x -=，即()()310x x -+=．解得33x =，41x =-．综上所述，原方程的解为121x x ==，33x =，41x =-． 【综合解答】1．阅读理解：对于一些次数较高或者是比较复杂的式子进行因式分解时，换元法是一种常用的方法，下面是某同学用换元法对多项式22()()21234a a a a ---++进行因式分解的过程．解：设22a a A -=原式(1)(3)4A A =-++（第一步）221A A =++（第二步）2(1)A =+（第三步）22(21)a a =-+（第四步）回答下列问题：(1)该同学第二步到第三步运用了因式分解的__________（填代号）．A ．提取公因式B ．平方差公式C ．两数和的完全平方公式D ．两数差的完全平方公式(2)按照“因式分解，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止”的要求，该多项式分解因式的最后结果为______________．(3)请你模仿以上方法对多项式22(43)(411)49x x x x ---++进行因式分解．【答案】(1)C ；(2)4(1)a -；(3)4(2)x -【分析】（1）从解题步骤可以看出该同学第二步到第三步运用了两数和的完全平方公式；（2）对第四步的结果括号里的部分用完全平方公式分解，再用幂的乘方计算即可；（3）模仿例题设24x x A -=，对其进行换元后去括号，整理成多项式，再进行分解，分解后将A 换回24x x -，再分解彻底即可．【解答】（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的两数和的完全平方公式，故选：C ；（2）原式=22224(21)(1)(1)a a a a ⎡⎤-+⎣==--⎦ 故答案为：4(1)a -；（3）设24x x A -=．22(43)(411)49x x x x ---++(3)(11)49A A =-++2816A A =++2(4)A =+2244x x -+=()4(2)x =-．【点评】本题考查的是因式分解，解题关键是要能理解例题的分解方法并能进行模仿，要注意分解要彻底．2．阅读下列材料：在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”下面是小涵同学用换元法对多项式22(41)(47)7x x x x 进行因式分解的过程解：设24x x y -=①，将①带入原式后，原式(1)(7)7y y （第一步）28y y =+（第二步）(8)y y （第三步）22(4)(48)x x x x （第四步）请根据上述材料回答下列问题：(1)小涵同学的解法中，第二步到第三步运用了因式分解的______方法；(2)老师说，小涵因式分解的结果不彻底，请你通过计算得出该因式分解的最后结果；(3)请你用“换元法”对多项式2222()(2)(1)(1)1x x x x x x x x 进行因式分解【答案】(1)提取公因式(2)2(4)(48)x x x x(3)22(1)(1)x x x x【分析】（1）根据因式分解的方法判断即可；（2）因式分解必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止，将因式24x x -分解成(4)x x -即可；（3）用换元法设2x x t +=，代入多项式，然后仿照题干的换元法解答即可．【解答】（1）解：由题意得：从28y y 到(8)y y 运用了因式分解中的提取公因式法故答案为：提取公因式（2）解：由题意得：()()22448x x x x --+ 2(4)(48)x x x x（3）解：设2x x t +=，将2x x t +=代入2222()(2)(1)(1)1x x x x x x x x 中得：(2)(1)(1)1t t t t原式22211t t t222t t2(1)t t222()(1)x x x x22(1)(1)x x x x【点评】本题考查了因式分解的方法和运用，解题关键是灵活运用换元法对较为复杂的多项式进行因式分解，达到去繁化简的效果．3．阅读并解决问题：材料1：在因式分解中，有一类形如2()x m n x mn +++的多项式，其常数项是两个因数的积，而它的一次项系数恰是这两个因数的和，则我们可以把它分解成2()()()x m n x mn x m x n +++=++． 例如：2256(23)23(2)(3)x x x x x x ++=+++⨯=++．材料2：分解因式：2()2()1a b a b ++++．解：设a b x +=，则原式22221(1)(1)x x x a b =++=+=++．这样的解题方法叫做“换元法”，即当复杂的多项式中，某一部分重复出现时，我们用字母将其替换，从而简化这个多项式．换元法是一个重要的数学方法，不少问题能用换元法解决．(1)运用上述方法分解因式：①268x x ++=___________，②26x x --=___________；(2)请用“换元法”进行因式分解：()()2242464x x x x -+-++．【答案】(1)①(2)(4)x x ++，②(2)(3)x x +-．(2)4(2)x -【分析】（1）由题意直接进行因式分解即可；（2）设242x x y -+=，把原多项式换元后因式分解，再代入还元；【解答】（1）①268x x ++=(2)(4)x x ++，②26x x --=(2)(3)x x +-；故答案为：①(2)(4)x x ++，②(2)(3)x x +-．（2）设242x x y -+=，则原式(4)4y y =++244y y =++2(2)y =+()22422x x =-++ 22(2)x ⎡⎤=-⎣⎦ 4(2)x =-．【点评】本题考查了因式分解的完全平方公式和换元法．看懂和理解题例是解决本题的关键．4．下面是某同学对多项式()()2242464x x x x -+-++进行因式分解的过程．解：设24x x y -=，原式(2)(6)4y y =+++2816y y =++2(4)y =+()2244x x =-+ 回答下列问题：(1)该同学因式分解的结果是否彻底？_____________（填“彻底”或“不彻底”），若不彻底，请写出因式分解的最后结果__________________________；(2)以上方法叫做“换元法”．请你模仿以上方法对()()222221x x x x --++进行因式分解．【答案】(1)不彻底，()42x -(2)()41x -【分析】（1）根据完全平方公式可知244x x -+可继续分解，从而可得答案；（2）设22x x y -=，整理后再根据完全平方公式把原式进行分解即可．【解答】（1）∵()()242442x x x -+=-， ∴该同学因式分解的结果不彻底，故答案为：不彻底，()42x -；（2）设22x x y -=， ()()222221x x x x --++21y y =++()221y y =++()2221=-+x x4=-，x(1)x-．故答案为：()41【点评】本题考查的是因式分解，在解答此类题目时要注意完全平方公式的应用和换元法的应用．5．下面是某同学对多项式(x2－4x+2)(x2－4x+6)+4进行因式分解的过程．回答下列问题：(1)该同学第二步到第三步运用了因式分解的；(2)该同学因式分解的结果是否彻底？．（填“彻底”或“不彻底”），若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果．(3)以上方法叫做“换元法”，请你模仿以上方法对(x2－2x)(x2－2x+2)+1进行因式分解．【答案】(1)完全平方公式（或完全平方公式法或公式法）(2)不彻底；(x-2)4(3)(x﹣1)4【分析】（1）根据分解时所用公式判断；（2）用完全平方差公式继续分解；（3）先换元，再用公式分解．（1）解：该同学第二步到第三步运用了因式分解的完全平方公式（或完全平方公式法或公式法）．故答案为：完全平方公式（或完全平方公式法或公式法）．（2）∵x2－4x+4=（x-2)2 ，∴该同学因式分解的结果不彻底，最后结果为（x-2)4 ．故答案为：不彻底；(x-2)4 ．（3）解：设x2－2x=y，则(x2－2x)(x2－2x+2)+1=y(y+2)+1=y2+2y+1=(y+1)2=( x2-2x+1)2【点评】本题考查因式分解，整体代换后用公式是求解本题的关键．6．阅读下列材料：在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，这种方法就是换元法．对于()()22525312x x x x ++++-．解法一：设25x x y +=，则原式()()2231256y y y y =++-=+-()()()()()()()2226156512351y y x x x x x x x x =+-=+++-=+++-；解法二：设22x m +=，5x n =，则原式()()()()211212m n m n m n m n =+++-=+++- ()()()()()()()2224356512351m n m n x x x x x x x x =+++-=+++-=+++-．请按照上面介绍的方法解决下列问题：(1)因式分解：()()2241479x x x x -+-++；(2)因式分解：()()()2221x y xy x y xy +-+-+-；(3)求证：多项式()()()()21236x x x x x +++++的值一定是非负数． 【答案】(1)（1）()42x -(2)()()2211x y --(3)见解析【分析】（1）仿照题意方法一、二求解即可；（2）仿照题意方法二求解即可；（3）先把多项式化成()()2227656x x x x x +++++，然后仿照题意方法二得到原式()2266x x =++，由此即可得答案．【解答】（1）解：解法一：设24x x y -=，则原式()()179y y =+++2816y y =++()24y =+()2244x x =-+ ()42x =-；方法二：设214x m x n +=-=，，则原式()()=69m n m n ++++ ()()269m n m n =++++()23m n =++()22143x x =+-+ ()2244x x =-+ ()42x =-；（2）解：设x y m xy n +==，，则原式()()()2221m n m n =--+- 2222421m mn m n n n =--++-+()22221m mn m n =--+-()()22211m m n n =-+++ ()21m n =-- ()21x y xy =+-- ()()2211x y =--；（3）解：()()()()21236x x x x x +++++ ()()2227656x x x x x =+++++，设26x m x n +==，，则原式()()2=75m n m n n +++ 221236m mn n =++()26m n =+ ()2266x x =++，∵()22660x x ++≥，∴()()()()212360x x x x x ++++≥+， ∴多项式()()()()21236x x x x x +++++的值一定是非负数． 【点评】本题主要考查了因式分解，正确理解题意是解题的关键．7．阅读与思考：材料：对于一些次数较高或者是比较复杂的式子进行因式分解时，换元法是一种常用的方法，下面是小影同学用换元法对多项式()()2242464x x x x -+-++进行因式分解的过程． 解：设24x x y -=，原式()()264(y y =+++第一步)2816(y y =++第二步)2(4)(y =+第三步)22(44)(x x =-+第四步)（1）小影同学第二步到第三步运用了因式分解的______(填写选项)．A .提取公因式B .平方差公式C .两数和的平方公式D .两数差的平方公式（2）小影同学因式分解的结果是否彻底？______.(填彻底或不彻底)；若不彻底，请你帮她直接写出因式分解的最后结果______．（3）请你模仿以上方法尝试对多项式()()222221x x x x ++++进行因式分解． 【答案】（1）C ；（2）不彻底，4(2)x -；（3）4(1)x +．【分析】（1）小影同学第二步到第三步运用了完全平方公式中两数和的平方公式，即可得出选项；（2）根据完全平方公式中的两数差的平方公式可继续进行因式分解；（3）根据材料，用换元法进行分解因式即可．【解答】解：（1）小影同学第二步到第三步运用了完全平方公式中两数和的平方公式，故选：C ；（2）小影同学因式分解的结果不彻底，原式2244x x -+=()22[(2)]x =-4(2)x =-，故答案为：不彻底，4(2)x -；（3）设22x x y +=，原式()21y y =++，221y y =++，21)y +=(，222(1)x x +=+，4(1)x =+．【点评】本题考查了因式分解-换元法，公式法，也是阅读材料问题，熟练掌握利用公式法分解因式是解题的关键．8．阅读理解：对于一些次数较高或者是比较复杂的式子进行因式分解时，换元法是一种常用的方法，下面是某同学用换元法对多项式（a 2﹣2a ﹣1）（a 2﹣2a +3）+4进行因式分解的过程． 解：设a 2﹣2a ＝A ，原式＝（A ﹣1）（A +3）+4（第一步）＝A 2+2A +1（第二步）＝（A +1）2（第三步）＝（a 2﹣2a +1）2（第四步）＝（a ﹣1）4回答下列问题：（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的______（填代号）．A ．提取公因式B ．平方差公式C ．两数和的完全平方公式D ．两数差的完全平方公式（2）请你模仿以上方法，分解因式：（x 2﹣4x ﹣3）（x 2﹣4x +11）+49． 【答案】（1）C ；（2）（x -2）4【分析】（1）完全平方公式是两数的平方和与这两个数积的两倍的和或差；（2）按照例题的分解方法进行分解即可．【解答】解：（1）运用了C ，两数和的完全平方公式；（2）设x 2-4x =A ．（x 2-4x -3）（x 2-4x +11）+49=（A -3）（A +11）+49=A 2+8A +16=（A +4）2=（x 2-4x +4）2=（x -2）4．【点评】本题考查了运用公式法分解因式和学生的模仿理解能力，按照提供的方法和样式解答即可，难度中等．9．下面是小明同学对多项式()()2252564x x x x -+-++进行因式分解的过程：解：设25x x y -=，则（第一步）原式(2)(6)4y y =+++（第二步）22816(4)y y y =++=+（第三步）把25x x y -=代入上式，得原式()2254x x =-+（第四步） 我们把这种因式分解的方法称为“换元法”，请据此回答下列问题：（1）该同学因式分解的结果 （填“彻底”或“不彻底”），若不彻底，请你直接写出因式分解的最后结果： ；（2）请你仿照上面的方法，对多项式()()223344a a a a --++进行因式分解．【答案】（1）不彻底，()()2214x x --；（2）()()2212a a --【分析】（1）根据因式分解的步骤进行解答即可；（2）设23a a x -=，再根据不同的方法把原式进行分解即可．【解答】解：（1）该同学因式分解的结果不彻底，原式()2254x x =-+ =()()2214x x --；（2）设23a a x -=，则()()223344a a a a --++ =()44x x ++=244x x ++=()22x +=()2232a a -+ =()()2212a a --【点评】本题考查的是因式分解，在解答此类题目时要注意完全平方公式和十字相乘法的应用． 10．阅读理解：对于一些次数较高或者是比较复杂的式子进行因式分解时，换元法是一种常用的方法，下面是某同学用换元法对多项式()()2221234a a a a ---++进行因式分解的过程． 解：设22a a A -=原式()()134A A =-++（第一步）221A A =++（第二步）()21A =+（第三步）()2221a a =-+（第四步） 回答下列问题：（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的_______（填代号）．A ．提取公因式B ．平方差公式C ．两数和的完全平方公式D ．两数差的完全平方公式（2）按照“因式分解，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止”的要求，该多项式分解因式的最后结果为_______．（3）请你模仿以上方法对多项式()()224341149x x x x ---++进行因式分解．（4）知识延伸：解一元高次方程的常用方法是因式分解法，即若“0AB =，则0A =或0B =”．解方程()()2228120x x x x +-++=． 【答案】（1）C ；（2）()41a -；（3）()42x -；（4）2x =-或1x =或3x =-或 2.x =【分析】（1）由()22211A A A ++=+，运用的是两数和的完全平方公式，从而可得答案； （2）由()22211,a a a -+=- 从而可得最后的答案；（3）设设24,x x m -= 可得()()224341149x x x x ---++()()31149m m =-++ 2816m m =++，再利用完全平方公式分解，再把24x x m -=代入可得答案；（4）由()()2228120x x x x +-++=可得：()()()()21320,x x x x +-+-=利用0AB =，则0A =或0B =，从而可得答案．【解答】解：（1）由()22211A A A ++=+，运用的是两数和的完全平方公式，故答案为：.C（2）()()()22242=211,1a a a a ⎡⎤=-⎣⎦--+ 故答案为：()41.a -（3）设24,x x m -= ∴ ()()224341149x x x x ---++()()31149m m =-++2816m m =++()24m =+()2244x x =-+ ()()22422.x x ⎡⎤=-=-⎣⎦ （4） ()()2228120x x x x +-++=， ()()22260,x x x x ∴+-+-=()()()()21320,x x x x ∴+-+-=+20x ∴=或10x -=或30x +=或20x -=，2x ∴=-或1x =或3x =-或 2.x =【点评】本题考查的是换元法分解因式，因式分解法解高次方程，掌握换元法分解因式及利用因式分解法解高次方程是解题的关键．11．阅读下列材料：在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”．下面是小涵同学用换元法对多项式（x 2+3x ﹣9）（x 2+3x+1）+25 进行因式分解的过程． 解：设x 2+3x ＝y原式＝（y ﹣9）（y+1）+25（第一步）＝y 2﹣8y+16（第二步）＝（y ﹣4）2（第三步）＝（x 2+3x ﹣4）2（第四步）请根据上述材料回答下列问题：（1）小涵同学的解法中，第二步到第三步运用了因式分解的（）；A ．提取公因式法B ．平方差公式法C ．完全平方公式法（2）老师说，小涵同学因式分解的结果不彻底，请你写出该因式分解的最后结果：；（3）请你用换元法对多项式（9x2- 6x+3）（9x2- 6x -1）+ 4进行因式分解．【答案】（1）C；（2）（x-1）2（x+4）2；（3）（3x-1）4．【分析】（1）根据完全平方公式进行分解因式；（2）最后再利用完全平方公式将结果分解到不能分解为止；（3）根据材料，用换元法进行分解因式．【解答】解：（1）由y2﹣8y+16＝（y﹣4）2可知，小涵运用了因式分解的完全平方公式法故选：C；（2）（x2+3x﹣9）（x2+3x+1）+25，解：设x2+3x＝y原式＝（y﹣9）（y+1）+25＝y2﹣8y+16＝（y﹣4）2＝（x2+3x﹣4）2=(x-1)2(x+4)2；故答案为：(x-1)2(x+4)2；（3）（9x2- 6x+3）（9x2- 6x -1）+ 4设9x2- 6x =y，原式=(y+3)（y-1）+4，=y2+2y+1，=（y+1）2，=（9x2- 6x +1）2，=（3x-1）4．【点评】本题考查了因式分解-换元法，公式法，也是阅读材料问题，熟练掌握利用公式法分解因式是解题的关键．。
考点07 解一元二次方程-换元法(解析版)
考点07 解一元二次方程——换元法一．选择题（共12小题）1．（2021·全国八年级）若关于x 的一元二次方程()2500ax bx a ++=≠有一根为2020，则方程()()2115a x b x +++=-必有根为（ ）A ．2021B ．2020C ．2019D ．2015【答案】C【分析】设，即()()2115a x b x +++=-可改写为250at bt ++=，由题意关于x 的一元二次方程()2500ax bx a ++=≠有一根为2020x =，即250at bt ++=有一个根为2020t =，所以12020x +=，x =2019．【解析】由()()2115a x b x +++=-得到()()21150a x b x ++++=，对于一元二次方程()()2115a x b x +++=-，设，所以250at bt ++=，而关于x 的一元二次方程()2500ax bx a ++=≠有一根为2020x =， 所以250at bt ++=有一个根为2020t =，则12020x +=，解得2019x =，所以一元二次方程()()2115a x b x +++=-有一根为2019x =．故选：C ．【点睛】本题考查一元二次方程的解．掌握换元法解题是解答本题的关键．2．（2020·深圳市龙岗区智民实验学校九年级月考）已知x 、y 为实数，且(x 2＋y 2)(x 2＋y 2－1)=12，那么x 2＋y 2的值是（ ）A ．－3或4B ．4C ．－3D ．－4或3【答案】B【分析】利用换元法，令，解一元二次方程即可，注意取值范围．【解析】令，则，原方程变形为：()112t t -=，解得：或（舍去）故选：B ．【点睛】本题考查换元法解一元二次方程，但是注意换元之后的取值范围是关键．3．（2020·佛山市南海区南海实验中学九年级月考）一元二次方程20ax bx c ++=的解是，现给出另一个方程2(23)(23)0a x b x c ++++=．它的解是（ ）A ．B ．C ．D ．121,3x x =-=-【答案】D【分析】 利用换元法解一元二次方程即可得．【解析】令，则方程2(23)(23)0a x b x c ++++=可变形为20ay by c ++=，由题意得：，即1221,2333x x ++==-， 解得121,3x x =-=-，故选：D ．【点睛】本题考查了利用换元法解一元二次方程，熟练掌握换元法是解题关键．4．（2020·山东淄博市·八年级期中）解分式方程时，利用换元法设，把原方程变形成整式方程为（ ）A ．2310y y ++=B ．2310y y -+=C ．2310y y --=D ．2310y y +-=【答案】D【分析】先通过设元，然后把用倒数法转换为，把方程变为y 的方程，再整理去分母即可．【解析】设，，原方程变为y -+3=0，方程两边都乘以y 得，2310y y +-=， 把原方程变形成整式方程为：2310y y +-=．故选：D ．【点睛】本题考查高次方程的解法，掌握换元的方法，有倒数换元法，平方换元法，根据方程的特点选取适当的换元方法，会用换元法进行判断，选择，或解方程是解题关键．5．（2020·四川遂宁市·射洪中学八年级期中）若，则的值是（ ）A ．3B ．-1C ．3或1D ．3或-1【答案】A【分析】用，解出关于a 的方程，取正值即为的值是．【解析】解：令，则(2)30a a --=， 即2230a a --=，即(3)(1)0a a ，解得，，又因为，所以故的值是3，故选：A．【点睛】本题考查解一元二次方程，掌握换元思想可以使做题简单，但需注意．6．（2020·赤峰市松山区大庙中学九年级月考）已知x为实数，且满足（x2+3x）2+2（x2+3x）﹣3=0，则x2+3x的值为（）A．-3或1B．-3C．1D．不能确定【答案】C【分析】采用换元法，设x2﹣3x＝y，将原方程变成一元二次方程求出y，然后根据一元二次方程的根的判别式舍去不成立的解即可；【解析】设x2﹣3x＝y，则原方程可化为y2+2y-3＝0()()-+=y y130解得：y1＝﹣3，y2＝1当x2﹣3x＝-3，即x2﹣3x+3=0时2∆⨯＜=3-430方程无解则x2+3x的值为1故选C【点睛】本题考查一元二次方程的解法和根的判别式，灵活运用换元法和根的判别式是解题关键．7．（2020·呼和浩特市赛罕区世宙中学）若（m2+n2）（m2+n2-2）-8=0，则m2+n2的值是（）．A．4B．-2C．4或-2D．-4或2【答案】A【分析】x x--=，解方程求出x后结合m2+n2≥0即得答设m2+n2=x，将原方程转化为()280案．【解析】x x--=，解：设m2+n2=x，则原方程可变形为：()280解得：，∵m2+n2≥0，∵m2+n2=4．故选：A．【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，属于常考题型，正确换元、掌握解法是解题的关键．8．（2020·四川省达川第四中学九年级月考）(m2+n2)(m2+n2−2)−8=0，则m2+n2=（）A．4B．2C．4或−2D．4或2【答案】A【分析】设y=m2+n2，然后解一元二次方程即可求出y的值，结合平方的非负性即可求出结论．【解析】解：设y=m2+n2，原方程变形为y（y-2）﹣8=0．整理得，y2-2y﹣8=0，（y-4）（y+2）=0，解得y1=4，y2=-2，∵m2+n2≥0，∵m2+n2的值为4，故选A．【点睛】本题考查了用换元法解一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法，把m2+n2设为y，转化为关于y的一元二次方程是解题的关键．9．（2020·全国九年级单元测试）已知关于x的一元二次方程mx2﹣nx＝p（m≠0）的两个根为x1＝3，x2＝5，则方程m（2x+5）2﹣n（2x+5）﹣p＝0的根为（）A．x1＝3，x2＝5B．x1＝﹣1，x2＝0C．x1＝﹣2，x2＝0D．x1＝11，x2＝15【答案】B【分析】利用整体思想可得2x+5＝3或2x+5＝5，从而求出结论．【解析】解：∵关于x的一元二次方程mx2﹣nx＝p（m≠0）的两个根为x1＝3，x2＝5，∵方程m（2x+5）2﹣n（2x+5）﹣p＝0中2x+5＝3或2x+5＝5，解得：x＝﹣1或x＝0，即x1＝﹣1，x2＝0，故选：B．【点睛】此题考查的是一元二次方程的特殊解法，掌握整体思想是解决此题的关键．10．（2020·四川省内江市第六中学九年级月考）用换元法解方程+=2时，若设=y，则原方程可化为关于y的方程是()A．y2﹣2y+1=0B．y2+2y+1=0C．y2+y+2=0D．y2+y﹣2=0【答案】A【分析】方程的两个分式具备倒数关系，设=y，则原方程化为y+=2，再转化为整式方程y2-2y+1=0即可求解．【解析】把=y代入原方程得：y+=2，转化为整式方程为y2﹣2y+1=0．故选：A．【点睛】考查了换元法解分式方程，换元法解分式方程时常用方法之一，它能够把一些分式方程化繁为简，化难为易，对此应注意总结能用换元法解的分式方程的特点，寻找解题技巧．11．（2020·江苏盐城市·汇文实验初中八年级月考）若实数、满足，则a2+b2的值为（）A．-5B．-2或5C．2D．-5或-2【答案】C【分析】根据换元法，令a2+b2=m，将原式整理成含有m的一元二次方程，解出m的值，根据题意对m 的值进行取舍即可.【解析】解：令a2+b2=m ，原式可化为：(3)10m m +=，即23100m m +-=，解得：m=-5或m=2，因为a2+b2＞0所以m=2a²+b²=2故答案为C.【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，利用换元法求一元二次方程根，进而求出相应代数式的值，解决本题的关键是正确理解题意，能够用m 将所求式子替换下来.12．（2020·四川遂宁市·射洪中学）已知(x 2+y 2)(x 2+y 2-1)-6=0，则 x 2+y 2 的值是（ ） A ．3或-2B ．-3或2C ．3D ．-2【答案】C【分析】设m=x2+y2，则有260m m --=，求出m 的值，结合x2+y20，即可得到答案．【解析】解：根据题意，设m=x2+y2，∵原方程可化为：(1)60m m --=，∵260m m --=，解得：或；∵220m x y =+≥，∵，∵；故选：C ．二．填空题（共6小题）13．（2021·上海九年级专题练习）如果实数x 满足（x+）2﹣（x+）﹣2=0，那么x+的值是_____．【答案】2【分析】设，则原方程可变形为y2−y -2=0，求出解，将解分别代入x+=y 判断方程有无解即可．【解析】设，则原方程可变形为y2−y -2=0，解得y1=−1，y2=2，当y1=−1时，，化简得210x x ++=，∵∵=b2−4ac<0，∵此方程无解；当y2=2时，，化简得2210x x -+=， ∵∵=b2−4ac=0， ∵此方程有解， ∵；故答案为：2． 【点睛】此题考查换元法解一元二次方程，根据题意设解方程使计算更加简便，求解后注意检验方程是否有解是解题的关键．14．（2020·全国）若，则代数式 的值为_____ 【答案】4 【分析】 用换元法求解． 【解析】 解：设，则原方程为2340t t --＝，解得1241t t -＝，＝，∵220a b +≥ ， ∵， ∵ ，故答案为：4．【点睛】本题考查了高次方程，解一元二次方程及换元法解一元二次方程，正确掌握换元法是解决本题的关键．15．（2021·甘肃庆阳市·八年级期末）用换元法解方程时，设，换元后化成关于的一元二次方程的一般形式为______． 【答案】2230y y +-= 【分析】将代入得出，再化为一般形式即可． 【解析】根据题意原方程可化为， ，2230y y +-=．故答案为：2230y y +-=． 【点睛】本题考查利用换元法解分式方程．正确的换元是解题的关键．16．（2021·全国八年级）已知222(3)4(3)30x x x x ++++=，则的值为__． 【答案】． 【分析】设y ＝x2＋3x ，则原方程转化为关于y 的一元二次方程y2＋4y ＋3＝0，利用因式分解法解该方程，然后再解关于y 的一元二次方程即可． 【解析】设，则2430y y ++=，即(1)(3)0y y ++=． 解得或． 则的值为或，22993993()44244x x x ++-=---， 231x x ∴+=-，故答案为：． 【点睛】本题主要考查了换元法解一元二次方程，换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理．17．（2020·黑龙江齐齐哈尔市·九年级期中）已知（x 2+y 2）（x 2+y 2﹣5）=6，则x 2+y 2=_____． 【答案】6 【分析】设x2+y2=m ，把原方程转化为含m 的一元二次方程，先用因式分解法求解，再确定x2+y2的值． 【解析】设x2+y2=m ，原方程可变形为：m(m ﹣5)=6， 即m2﹣5m ﹣6=0． ∵(m ﹣6)(m+1)=0， 解得m1=6，m2=﹣1．∵m=x2+y2≥0，∵x2+y2=6．故答案为：6．【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，掌握换元法和因式分解法解一元二次方程是解决本题的关键．18．（2021·靖江市实验学校九年级月考）已知已知a、b实数且满足（a2+b2）2-（a2+b2）-12=0，则a2+b2的值为_____．【答案】4【分析】将a2+b2看成整体，设a2+b2=t，解关于t的一元二次方程即可，注意 a2+b2≥0．【解析】解：设a2+b2=t，则t2﹣t﹣12=0，解得：t1=4，t2=﹣3，∵a2+b2=t≥0，∵t=4，即a2+b2=4，故答案为：4．三．解析题（共6小题）19．（2021·扬州市江都区育才中学九年级期末）阅读下列材料：为解方程4260--=x x可将方程变形为然后设，则，原方程化为①，解①得，．当时，无意义，舍去；当时，，解得；∵原方程的解为，；上面这种方法称为“换元法”，把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题转化成简单的问题． 利用以上学习到的方法解下列方程： （1）；（2）23152x x ++=． 【答案】（1），，，；（2），． 【分析】（1）根据阅读材料利用换元法降次，令，即原方程=2560y y -+=，求解即可．（2）同理，令，即原方程=23250y y ，求解即可．【解析】 （1）设，得：2560y y -+=， 解得：，． 当时，，解得：， 当时，，解得：，． ∵原方程的解为，，，．（2）设，则方程可变成23250yy ，∵， ，．当时，，所以无解． 当时，， ∵250x x +=， ∵，．经检验，是原方程的解． 【点睛】本题考查利用换元法解一元二次方程．利用整体换元把一些形式复杂的方程变成一元二次方程，从而达到降次的目的是解答本题的关键． 20．（2020·温岭市第三中学九年级期中）解方程：(1)(3)(1)3x x x -+=- (2)22(2)25x x +=+ 【答案】（1），；（2）， 【分析】（1）用因式分解法求解，提取公因式； （2）用换元法求解，令，将原式变形成． 【解析】 解：（1）()30x x -=，，；（2）()22225x x +=+()()222221x x +=++，令，22210t t --=，4812∆=+=，， ，． 【点睛】本题考查解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的各种解法．21．（2020·山西临汾市·九年级期中）阅读材料：为解方程()()2221310x x ---=，我们可以将视为一个整体，然后设将原方程化为①，解得120,3y y ==． 当时当时，，24,2x x ∴=∴=± 原方程的解为 阅读后解答问题：在由原方程得到方程①的过程中，利用 法达到了降次的目的，体现了 的数学思想；利用上述材料中的方法解方程：【答案】（1）换元，整体与划归；（2）， 【分析】（1）题目中的方法用的是换元法，体现了整体与划归的数学思想；（2）令，得，用因式分解法解方程求出t的值，再求出x的值．【解析】解：（1）将设为y，利用的是换元法，体现了整体与划归的数学思想，故答案是：换元，整体与划归；（2）令，则，解得，，当时，，解得，，当时，，，方程无解，综上：方程的解是，．【点睛】本题考查用换元法解一元二次方程，解题的关键是掌握换元法解一元二次方程的方法．22．（2020·河南驻马店市·九年级期中）阅读下列材料：已知实数m，n满足，试求的值．解：设22+=，则原方程变为，整理得，即，∵．2m n t∵22m n29+=．20m n+≥，∵22上面这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化．根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程．（1）已知实数x，y满足，求的值．（2）若四个连续正整数的积为120，求这四个连续正整数．【答案】（1）；（2）这四个整数为2，3，4，5（1）设2x2+2y2=m ，则原方程变为（m+3）（m -3）=27，解方程求得m=±6，根据非负数的性质即可求得x2+y2=3；（2）设最小的正整数为x ，则另三个分别为x+1、x+2、x+3，根据题意可得方程x （x+1）（x+2）（x+3）=120，整理为（x2+3x ）（x2+3x+2）=120，设x2+3x=y ，则原方程变为y （y+2）=120，解方程求得y=-12或10，由于y 是正整数，可得y=10，所以x2+3x=10，再解方程求得x 的值即可. 【解析】解：（1）设，则(3)(3)27m m +-=，∵，即，∵，∵22220x y +≥，∵22226x y +=， ∵．（2）设最小数为x ，则， 即：，设，则221200y y +-=， ∵，，∵，∵2310y x x =+=， ∵，（舍去），∵这四个整数为2，3，4，5． 【点睛】本题考查了换元法，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替(即换元)，则能使复杂的问23．（2020·河北保定市·保定十三中九年级期中）阅读下面的材料，回答问题：解方程42540x x -+=，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设，那么，于是原方程可变为2540y y -+=①，解得当，时，∵； 当，时，∵； 原方程有四个根：．（1）在由原方程得到方程①的过程中，利用 法达到降次的目的，体现了数学的转化思想．（2）试用上述方法解方程()()2224120x xx x +-+-=【答案】（1）换元（2）x1＝−3，x2＝2． 【分析】（1）本题主要是利用换元法降次来达到把一元四次方程转化为一元二次方程，来求解，然后再解这个一元二次方程．（2）利用题中给出的方法先把x2＋x 当成一个整体y 来计算，求出y 的值，再解一元二次方程． 【解析】（1）（1）在由原方程得到方程①的过程中，利用换元法达到降次的目的，体现了数学的转化思想． 故答案为：换元；（2）设x2＋x ＝y ，原方程可化为y2−4y−12＝0， 解得y1＝6，y2＝−2．由x2＋x＝6，得x1＝−3，x2＝2．由x2＋x＝−2，得方程x2＋x＋2＝0，b2−4ac＝1−4×2＝−7＜0，此时方程无实根．所以原方程的解为x1＝−3，x2＝2．【点睛】本题应用了换元法，把关于x的方程转化为关于y的方程，这样书写简便且形象直观，并且把方程化繁为简化难为易，解起来更方便．24．（2020·长沙市湘郡培粹实验中学）阅读下列材料：已知实数x，y满足（x2+y2+1）（x2+y2﹣1）＝63，试求x2+y2的值．解：设x2+y2＝a，则原方程变为（a+1）（a﹣1）＝63，整理得a2﹣1＝63，a2＝64，根据平方根意义可得a＝±8，由于x2+y2≥0，所以可以求得x2+y2＝8．这种方法称为“换元法”，用一个字母去代替比较复杂的单项式、多项式，可以达到化繁为简的目的．根据阅读材料内容，解决下列问题：（1）已知实数x，y满足（2x+2y+3）（2x+2y﹣3）＝27，求x+y的值．（2）填空：①分解因式：（x2+4x+3）（x2+4x+5）+1＝．②已知关于x，y的方程组的解是，关于x，y的方程组的解是．【答案】（1）±3；（2）①（x+2）4；②或．【分析】（1）设2x+2y＝a，则原方程变为（a+3）（a﹣3）＝27，解之求得a的值，进而可得x+y 的值；（2）①设a＝x2+4x+3，原式变形为a（a+2）+1＝（a+1）2，将a代入进一步根据完全平方公式分解可得；②将原方程组变为，由题意得出，进一步即可得出答案．【解析】解：（1）设2x+2y＝a，则原方程变为（a+3）（a﹣3）＝27，整理，得：a2﹣9＝27，即a2＝36，解得：a＝±6，则2x+2y＝±6，∵x+y＝±3；（2）①设a＝x2+4x+3，则原式＝a（a+2）+1＝a2+2a+1＝（a+1）2＝（x2+4x+4）2＝（x+2）4；故答案为：（x+2）4；②由方程组得，整理，得：，∵方程组的解是，∵方程组的解是：，解得：或，故答案为：或．【点睛】本题是阅读理解题，主要考查了换元法、多项式的因式分解、一元二次方程的解法和方程组的拓展问题，读懂题意、明确方法、熟练掌握上述知识是解题的关键．。
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初中数学竞赛辅导资料换元法
甲内容提要
1. 换元就是引入辅助未知数.把题中某一个（些）字母的表达式用另一个（些）字母的表达式来代换，这种解题方法，叫做换元法，又称变量代换法.
2. 换元的目的是化繁为简，化难为易，沟通已知和未知的联系.
例如通过换元来降次，或化分式、根式为整式等.换元的关鍵是选择适当的式子进行代换.
3. 换元要注意新旧变元的取值范围的变化.要避免代换的新变量的取值范围被缩小；若新变量的取值范围扩大了，则在求解之后要加以检验.
4. 解二元对称方程组，常用二元基本对称式代换.
5. 倒数方程的特点是：按未知数降幂排列后，与首、末等距离的项的系数相等. 例如：一元四次的倒数方程ax 4+bx 3+cx 2+bx+a=0.
两边都除以x 2,得a(x 2+
2
1x )+b(x+x 1)+c=0. 设x+x 1=y, 那么x 2+21x = y 2－2, 原方程可化为ay 2+by+c －2=0.
对于一元五次倒数方程 ax 5+bx 4+cx 3+cx 2+bx+a=0， 必有一个根是－1. 原方程可化为 (x+1)(ax 4+b 1x 3+c 1x 2+b 1x+a)=0.
ax 4+b 1x 3+c 1x 2+b 1x+a=0 ，这是四次倒数方程.
形如 ax 4－bx 3+cx 2＋bx+a=0 的方程，其特点是：
与首、末等距离的偶数次幂项的系数相等，奇数次幂的系数是互为相反数. 两边都除以x 2, 可化为a(x 2+21x
)－b(x －x 1)+c=0. 设x －x 1=y, 则x 2+21x
=y 2+2, 原方程可化为 ay 2－by+c+2=0.
乙例题
例1. 解方程1112---+
+x x x =x. 解：设11-++x x =y, 那么y 2=2x+212-x .
原方程化为： y －2
1y 2=0 . 解得 y=0；或y=2.
当y=0时，
11-++x x =0 (无解) 当y=2时， 11-++x x =2，
解得，x=4
5. 检验（略）.
例2. 解方程：x 4+(x －4)4=626.
解：（用平均值2
4-+x x 代换，可化为双二次方程.） 设 y= x －2 ，则x=y+2.
原方程化为 (y+2)4+(y －2)4=626.
［((y+2)2－(y －2)2)2＋2(y+2)2(y －2)2－626=0
整理，得 y 4+24y 2－297=0. (这是关于y 的双二次方程).
(y 2+33)(y 2－9)=0.
当y 2+33=0时， 无实根 ；
当y 2－9=0时， y=±3.
即x －2=±3，
∴x=5；或x=－1.
例3. 解方程：2x 4+3x 3－16x 2+3x+2=0 .
解：∵这是个倒数方程，且知x ≠0，
两边除以x 2,并整理 得2(x 2+
2
1x )+3(x+x 1)－16=0. 设x+x 1=y, 则x 2+21x =y 2－2. 原方程化为 2y 2+3y －20=0.
解得 y=－4；或y=2
5. 由y=－4得 x=－2+3；或x=－2－3.
由y=2.5得 x=2；或x=2
1. 例4 解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+++++=+++++0
1012124012522222y x y xy x y x y xy x 解：（这个方程组的两个方程都是二元对称方程，可用基本对称式代换.）
设x+y=u, xy=v. 原方程组化为：
⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++010********
v u u v u u . 解得⎩⎨⎧-==374v u ； 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=91132v u . 即⎩⎨⎧-==+374xy y x ； 或⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧=-=+91132xy y x . 解得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=+-=33213321y x ；或⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧+-=--=33213321y x ；或⎪⎩⎪⎨⎧-=+=412412y x ；或⎪⎩⎪⎨⎧+=-=41
2412y x .
丙练习
解下列方程和方程组：（1到15题）： 1. =++++)7(27x x x x 35－2x.
2. (16x 2－9)2+(16x 2－9)(9x 2－16)+(9x 2－16)2=(25x 2－25)2.
3. (2x+7)4+(2x+3)4=32 .
4. (2x 2－x －6)4+(2x 2－x －8)4=16.
5. (2115-+x )4+(2315-+x )4=1
6.
6. x x x x 11
2+++=223. 7. 2x 4－3x 3－x 2－3x+2=0. 8. ⎪⎩⎪⎨⎧=++=+++19182222xy y x y x y x 9. ⎪⎩
⎪⎨⎧=+=+160311122y x y x . 10. 5
63964467222+-=+-+--x x x x x x . 11. (6x+7)2(3x+4)(x=1)=6.
12. ⎪⎩⎪⎨⎧=+=-++13511y x y x . 13. ⎪⎩
⎪⎨⎧=+=+1025y x x y y x . 14. ⎪⎩⎪⎨⎧=+-+=-+++01823312y xy y y x y x . 15
x x
x x =-+-111. 16. 分解因式： ①(x+y －2xy)(x+y －2)+(1－xy)2； ②a 4+b 4+(a+b)4 .
17. 已知：a+2=b －2=c ×2=d ÷2, 且a+b+c+d=1989.
则a=___,b= ____,c=_____,d=____ (1989年泉州市初二数学双基赛题)
18. ［a ］表示不大于a 的最大整数，如［2］=1，［－2］=－2，
那么 方程 ［3x+1］=2x －
2
1 的所有根的和是_____.(1987年全国初中数学联赛题)
参考答案 1. 221229 2. ±43±34 3. －25 4. 2,－2
3,4651± 5.3231-32211， 6. 1 7.21,2 8.⎪⎩⎪⎨⎧+-=--=⎪⎩⎪⎨⎧--=+-=⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==7
27272722332y x y x y x y x
9. ⎪⎩⎪⎨⎧+-=--=⎪⎩⎪⎨⎧--=+-=⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==55
5555555555412124y x y x y x y x 10. 7,－1 11.－32,－35 12.⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==10358y x y x 13.⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==8
228y x y x 14. ⎪⎩⎪⎨⎧+=-=⎪⎩⎪⎨⎧-=+=⎩⎨⎧-==⎩⎨⎧==10
31041031041513y x y x y x y x 15. x=251± 16.①设x+y=a,xy=b ②设a 2+b 2=x,ab=y
17.设原式=k, k=442 18. –2可设2x －21=t, x=21t+4
1代入[3x+1]。