弦、弧、圆心角和圆周角

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弧、弦、圆心角、圆周角--知识讲解(基础)

弧、弦、圆心角、圆周角--知识讲解（基础）【学习目标】1.了解圆心角、圆周角的概念；2.理解圆周角定理及其推论，能灵活运用圆周角的定理及其推理解决有关问题；3.掌握在同圆或等圆中，三组量：两个圆心角、两条弦、两条弧，只要有一组量相等，就可以推出其它两组量对应相等，及其它们在解题中的应用．【要点梳理】要点一、弧、弦、圆心角的关系1.圆心角定义如图所示，∠AOB的顶点在圆心，像这样顶点在圆心的角叫做圆心角．2.定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．3.推论：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦也相等．在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等．要点诠释：(1)一个角要是圆心角，必须具备顶点在圆心这一特征；(2)注意定理中不能忽视“同圆或等圆”这一前提.要点二、圆周角1.圆周角定义：像图中∠AEB、∠ADB、∠ACB这样的角，它们的顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．2.圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．3.圆周角定理的推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．要点诠释：(1)圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交.(2)圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中.4.圆内接四边形：（1）定义: 圆内接四边形：顶点都在圆上的四边形，叫圆内接四边形．（2）性质：圆内接四边形对角互补，外角等于内对角（即它的一个外角等于它相邻内角的对角）．5.弦、弧、圆心角、弦心距的关系：在同圆或等圆中，弦，弧，圆心角，弦心距等几何量之间是相互关联的，即它们中间只要有一组量相等，(例如圆心角相等)，那么其它各组量也分别相等(即相对应的弦、弦心距以及弦所对的弧也分别相等)。

*如果它们中间有一组量不相等，那么其它各组量也分别不等。

同一条弦所对的圆周角和圆心角的关系

同一条弦所对的圆周角和圆心角的关系圆周角和圆心角是圆内角的两种特殊形式。

在圆上任意取一条弦，弦所对的圆周角和圆心角是由这条弦所夹的圆弧所确定的角度。

我们来了解圆周角的定义。

圆周角是指以一条弦为两边的角，其顶点在圆上。

圆周角所对的圆弧是以这条弦为弦的圆弧。

圆周角的度数等于其所对的圆弧的度数。

接下来，我们来了解圆心角的定义。

圆心角是指以圆心为顶点的角，其两条边分别与圆上的两点相交。

圆心角所对的圆弧是以这个角为圆心角的圆弧。

圆心角的度数等于其所对的圆弧的度数的两倍。

那么，同一条弦所对的圆周角和圆心角之间有何关系呢？我们可以观察到，当弦的长度不变时，弦所对的圆周角和圆心角的度数是相等的。

这是因为，弦所对的圆周角是由弦所夹的圆弧所决定的，而圆心角是以圆心为顶点的角，其两边分别与圆上的两点相交，所以圆心角所对的圆弧也是由这条弦所夹的圆弧所决定的。

因此，当弦的长度不变时，弦所对的圆周角和圆心角的度数是相等的。

我们可以观察到，当弦的长度增大时，弦所对的圆周角和圆心角的度数也会增大。

这是因为，当弦的长度增大时，弦所夹的圆弧的度数也会增大，而圆周角和圆心角的度数与所对的圆弧的度数是相等的。

因此，当弦的长度增大时，弦所对的圆周角和圆心角的度数也会增大。

我们可以观察到，当弦的长度减小时，弦所对的圆周角和圆心角的度数也会减小。

这是因为，当弦的长度减小时，弦所夹的圆弧的度数也会减小，而圆周角和圆心角的度数与所对的圆弧的度数是相等的。

因此，当弦的长度减小时，弦所对的圆周角和圆心角的度数也会减小。

同一条弦所对的圆周角和圆心角之间有如下关系：当弦的长度不变时，弦所对的圆周角和圆心角的度数是相等的；当弦的长度增大时，弦所对的圆周角和圆心角的度数也会增大；当弦的长度减小时，弦所对的圆周角和圆心角的度数也会减小。

这种关系在几何学中具有重要的应用。

在解决与圆相关的问题时，我们常常需要利用这一关系来求解未知角度或长度。

通过理解和应用这一关系，我们可以更好地理解和运用圆周角和圆心角的概念，进而解决与圆相关的各种几何问题。

12圆心角与圆周角、切线判定

第二节：圆心角与圆周角、切线判定知识点1：圆心角【笔记】1 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对弦的弦心距相等. 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角以及这两个角所对的弧、多对的弦、所对弦的弦心距中，有一组量相等，那么其余各组量都分别相等.简记为：圆心角相等→弧相等→弦相等→弦心距相等2 圆周角、圆心角定理：定理：一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半.推论1：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，相等的圆周角所对的弧也相等.推论2：半径或直径所对的圆周角是直角；90︒的圆周角所对的弦是直径. 几何语言：① ∵AB 是直径 ∴ ② ∵90ACB ∠=︒ ∴ 如下三个图，分别证明圆周角定理：推论：半圆（或直径）所对的圆周角是，所对的是直径。

【例题】【例1】如图，AD 是⊙O 的直径，且6AD =，点,B C 在⊙O 上，弧AmB 和弧AnC 相等，120AOB ∠=︒，点E 是线段CD 的中点，则OE =（）A ．1B ．C ．3D ．【例2】如图，已知,,A B C 三点在⊙O 上，AC BD ⊥于点D ，55B ∠=︒，则BOC ∠的度数是【例3】已知ABC ∆的外接圆O 的半径为3，4AC =，则sin B =（）A.13 B.34 C.45 D.23【例4】如图，AB 是⊙O 的弦，OH AB ⊥于点H ，点P 是优弧上一点，若AB =1OH =，则APB ∠的度数是【练习】1.<1分钟>如图，AB 是⊙O 的直径，弧BC =弧CD =弧DE ,34COD ∠=︒，则AEO ∠的度数是（）A ．51︒B ．56︒C ．68︒D ．78︒2.<1分钟>如图，BD 是⊙O 的直径，30CBD ∠=︒，则A ∠的度数为（）A ．30︒B ．45︒C ．60︒D ．75︒3.<2分钟>如图，直径为10的⊙A 经过点(05)C ，和点(00)O ，，B 是y 轴右侧⊙A 优弧4.<2分钟>如图，已知⊙O 的半径为1，锐角ABC ∆内接于⊙O ，BD AC ⊥于点D ，OM AB ⊥于点M ，则sin CBD ∠的值等于（）A ．OM 的长B ．2OM 的长C ．CD 的长 D ．2CD 的长【补救练习】1.如图，AB 是⊙O 的直径，四边形ABCD 内接于⊙O ，若4BC CD D A c m ===，则⊙O的周长为（）A ．5πcmB ．6πcmC ．9πcmD ．8πcm2.如图，⊙O 的弦CD 与直径AB 相交，若35ACD ∠=︒，则BAD ∠=（）A ．55︒B ．40︒C ．35︒D ．30︒3.如图，ABC ∆内接于⊙O ，45C ∠=︒，2AB =，则⊙O 的半径为（）A.1B. 22C.2 24.如图，ABC ∆内接于⊙O ，OD BC ⊥于D ，50A ∠=︒，则OCD ∠的度数是 .知识点2：圆内接四边形【笔记】定理：圆的内接四边形的对角互补，且任何一个外角等于它的内对角.【例题】【例1】如图，两圆相交于,A B 两点，小圆经过大圆的圆心O ，点,C D 分别在两圆上，若100ADB ∠=︒，则ACB ∠的度数为（）A. 35︒ B ．40︒ C ．50︒ D ．80︒【例2】如图，点,,,A B C D 在⊙O 上，O 点在D ∠的内部，四边形OABC 为平行四边形，则OAD OCD ∠+∠=_______________°.【例3】如图，在ABC ∆中，以BC 为直径的圆分别交边,AC AB 于,D E 两点，连．若BD 平分ABC ∠，则下列结论不一定成立的是（）A ．BD AC ⊥B ．22AC AB AE =∙ C ．ADE ∆是等腰三角形D ．2BC AD =【练习】1.<2分钟>如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，若它的一个外角70DCE ∠=︒，则ÐBOD =( )A ．35︒ B.70︒ C ．110︒ D.140︒2.<2分钟>如图，⊙O 中，ABCD 是圆内接四边形，110BOC ∠=︒，则BDC ∠的度数是（）A. 110︒B.70︒C.55︒D ．125︒3.<2分钟>如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，并且AD 是⊙O 的直径，C 是弧BD 的中点，AB 和DC 的延长线交⊙O 外一点E ．求证：BC EC =．【补救练习】1.如图，⊙C 过原点，且与两坐标轴分别交于点A ，点B ，点A 的坐标为(0,3)，M 是第三象限内弧上一点，120BMO ∠=︒，则⊙C 的半径为（）A ．6B ．5C ．3D ．22.如图，点,,,A B C D 在⊙O 上，O 点在D ∠的内部，四边形OABC 为平行四边形，求OAD OCD ∠+∠的度数．3.如图，已知,,,A B C D 是⊙O 上的四点，延长,DC AB 相交于点E ，若DA DE =，求证：BCE ∆是等腰三角形．知识点3：切线的判定和性质【笔记】1.切线判定：经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.2.切线性质：圆的切线垂直于经过切点的半径.3.切线长定理：从圆外一点作圆的两条切线，两切线长相等，圆心与这一点的连线平分两条切线的夹角.=为圆的两条切线，根据切线长定理，写出两个结如图所示，P为⊙O外一点，PA PB论：，4.切线的判定方法：（1），这条直线是圆的切线；（利用切线的定义）（2），这条直线是圆的切线；（利用r与d的关系）（3），这条直线是圆的切线；（利用切线定理）5.拓展：圆外切四边形两组对边的和相等.E F G H分别为切点，则有如图所示,⊙O是四边形A B C D的内切圆，点,,,+=+.AB CD AC BD【例1】如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的切线，切点为D ，CD 与AB 的延长线交于点C ，30A ∠=︒，给出下面3个结论：①AD CD =；②BD BC =；③2AB BC =，其中正确结论的个数是（）【例2】已知：如图，ABC ∆中，以AB 为直径的⊙O 交AC 于点D ，且D 为AC 的中点，过D 作DE CB ⊥，垂足为E ．（1）判断直线DE 与⊙O 的位置关系，并说明理由；（2）已知4CD =，3CE =，求⊙O 的半径．1.如图，P 为⊙O 的直径BA 延长线上的一点，PC 与⊙O 相切，切点为C ，点D 是⊙上一点，连接PD ．已知PC PD BC ==．下列结论：（1）PD 与⊙O 相切；（2）四边形PCBD 是菱形；（3）PO AB =；（4）120PDB ∠=︒．其中正确的个数为（）A ． 4个B ．3个 C ． 2个 D ． 1个2.如图，ABC ∆内接于⊙O ，AB 是⊙O 的直径，延长AB 到D ，连接CD ．请你结合图形，编写一道题．要求：再补充两个已知条件，并写出在所有已知条件下得出的一个结论．例如：“补充已知：OB BD =，CD 切⊙O 于点C ，求证：A D ∠=∠“补充已知：．求证：．”【补救练习】1.如图3，,PA PB 切⊙O 于点,A B ，点C 是⊙O 上的一点，且65ACB ∠=︒，则P ∠=____________2.如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，点O 在AB 上，⊙O 经过点A ，且与BC 相切于点D（1）求证：AD 平分BAC ∠；（2）若5BD =，3CD =，求AD 的长．。

人教版初三数学上册弧、弦、圆心角、圆周角讲义

弧、弦、圆心角、圆周角之间的关系解题技巧：1、顶点在圆心的角叫圆心角，顶点在圆周上的角叫圆周角2、圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等（知道一组相等，就可以推出其它三组相等）3、圆周角定理：同弧所对圆周角是圆心角的一半4、直径所对圆周角等于90°，90°的圆周角所对的弦是直径例1、下列说法正确的是_________________①相等的圆周角所对的弧相等②相等的弦所对的弧相等③等弦对等弧④等弧对等弦例2、如图，点A、B、C在⊙O上，OC、OB是半径，∠COB=100°，则∠A的度数等于（）A、20°B、40°C、50°D、100°例3、如图所示，BD是⊙O的直径，∠CBD=30°，则∠A的度数为（）A、30°B、45°C、60°D、75°例4、如图，AB是⊙O的直径，BD=BC，∠A=25°，则∠BOD的度数为（）A、12.5°B、30°C、40°D、50°例5、如图所示，AB是⊙的直径，AC=CD=BD，E是⊙O上一点，连接CE、DE，则∠CED的度数为（）A、25°B、30°C、40°D、60°例6、如图，⊙O的直径是AB，∠C=35°，则∠DAB的度数是（）A、60°B、55°C、50°D、45°例7、如图，经过原点的⊙P与x轴，y轴分别交于A（3，0）、B（0,4）两点，点C是OB上一点，且BC=2，则AC=____1、如图，AB和CD都是⊙O的直径，∠AOC=52°，则∠C的度数是（）A、22°B、26°C、38°D、48°2、如图，AB为⊙O直径，∠ABC=25°，则∠D的度数为（）A、70°B、75°C、60°D、65°3、如图，AB是⊙O的直径，若∠BDC=30°，则∠AOC的度数为（）A、80°B、100°C、120°D、无法确定4、如图，⊙O中弦AB等于半径OA，点C在优弧AB上运动，则∠ACB的度数是（）A、30°B、45°C、60°D、无法确定5、如图所示，正六边形ABCDEF内接于⊙O，则∠ADB的度数是（）A、60°B、45°C、30°D、22.5°6、如图，A、D是⊙O上的两个点，BC是直径，若∠D=35°，则∠OAB的度数是（）A、35°B、55°C、65°D、70°7、如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦。

圆中有关的角

年级初三学科数学编稿老师田一鹏课程标题圆中有关的角一校张琦锋二校林卉审核孙永涛一、考点突破1. 掌握和圆有关的角：圆心角、圆周角、圆内角、圆外角、弦切角的定义及其度量。

2. 掌握圆内接四边形的性质定理。

3. 了解弧、弦、圆心角、圆周角之间的关系，并能运用这些关系解决有关问题。

二、重难点提示重点：弧、弦、圆心角、圆周角之间的关系。

难点：圆周角定理的应用和分类讨论的思想在解题中的应用。

一、圆中有关的角⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩圆心角圆周角圆中有关的角圆内角圆外角弦切角1. 圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角。

OCB把整个圆周等分成360份，每一等份弧是1°的弧，圆心角的度数和它所对的弧的度数相等。

在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。

在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组量相等，那么它们相对应的其余各组量都相等。

2. 圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。

OBCA一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，同弧或等弧所对的圆周角相等；反之也成立。

直径所对的圆周角是直角。

BCAO3. 圆内角：顶点在圆内（两边自然和圆相交）的角叫圆内角。

P OBA圆内角的度数等于它所对的弧的度数与它的对顶角所对的弧的度数的和的一半。

DPB COA4. 圆外角：顶点在圆外，并且两边都和圆相交（或相切）的角叫圆外角。

DPBCAO圆外角的度数等于它所夹的两弧度数的差（较大弧的度数减去较小弧的度数）的一半。

5. 弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角。

弦切角等于它所夹的弧对的圆周角。

推论①弦切角等于它所夹的弧所对的圆心角的一半。

推论②如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等。

二、圆的内接四边形如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，那么这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆。

圆心角与圆周角定理

圆心角与圆周角定理如下：
•圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对弦的弦心距也相等。

•圆周角定理：
•圆周角度数定理：圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半。

•同圆或等圆中，圆周角等于它所对的弧上的圆心角的一半。

•同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，相等圆周角所对的弧也相等。

•半圆（或直径）所对圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。

•圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角。

请注意，这些定理和性质在几何学和三角学中非常重要，它们被广泛应用于各种实际问题中，例如计算角度、长度和面积等。

同时，这些定理和性质也是数学竞赛和考试的重要内容之一。

弧、弦、圆心角、圆周角

2
1 ∴ ∠ABC = ∠AOC. 2
B
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
圆周角和圆心角的关系
• 如果圆心不在圆周角的一边上,结果会怎样? • 3.当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的外部时,圆周角 ∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系会怎样? A

老师提示:能否也转化为1的情况?
过点B作直径BD.由1可得: ∠ABD =
弦心距所对应的圆心角相等
在同圆或等圆中如果弦心距相等
那么
弦心距所对应的弧相等
弦心距所对应的弦相等
条件
在同圆或等圆中那么如果圆心角相等
结论
圆心角所对的弧相等
圆心角所对的弦相等圆心角所对的弦的弦心距相等
推论：(圆心角定理的逆定理)
在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余的各组量都分别相等。
●
A
O
D C
ADC ABE 900 , C E. ADC ~ ABE. AC AD . AE AB AB AC AE AD.
B E
例2。如图，AB与CD相交于圆内一点P，求证 AD弧的度数与BC弧的度数和的一半等于 APD 的度数。
证明:过点C作CE//AB 交圆于E.
弧、弦、圆心角之间的关系：在同圆或等圆中，相等的圆心角
所对的弧相等，所对的弦相等。
可通过△AOB≌△ A∕OB∕ 然后利用全等的性质得到
圆心角, 弧,弦,弦心距之间的关系定理（圆心角定理）
• 在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等所对的弦相等,所对的弦的弦心距相等.
D
A
●

圆周角与圆心角、弧的关系

(教案)圆周角与圆心角、弧的关系一、知识讲解：1．圆周角与圆心角的的概念：顶点在圆上，同时两边都和圆相交的角叫做圆周角。

2．在同圆或等圆中，假如两条弦，两条弧，两个圆心角中有一组量相等，那么它们所对应的其它各组量都分别相等。

3．一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半。

4．直径所对的圆周角是90度，90度的圆周角所对的弦是直径。

5．圆的内接四边形对角之和是180度。

6．弧的度数确实是圆心角的度数。

解题思路：1．已知圆周角，能够利用圆周角求出圆心角2．已知圆心角，能够利用圆心角求出圆周角3．已知直径和弧度，能够求出圆周角与圆心角1.圆周角与圆心角的定义顶点在圆上，同时两边都和圆相交的角叫做圆周角。

注意圆周角定义的两个差不多特点：(1)顶点在圆上；(2)两边都和圆相交。

二、教学内容【1】圆心角：顶点在圆心的角。

利用两个错误的图形来强调圆周角定义的两个差不多特点：练习：判断下列各图形中的是不是圆周角，并说明理由．【2】明白得圆周角定理的证明一条弧所对的圆周角的度数等于这条弧所对的圆心角度数的一半。

已知：⊙O中，弧BC所对的圆周角是∠BAC，圆心角是∠BOC，求证：∠BAC= 1/2∠BOC.分析：通过图形的演示指导学生进一步去查找圆心O与∠BAC的关系本题有三种情形：（1）圆心O在∠BAC的一边上 O（2）圆心O在∠BAC的内部（3）圆心O在∠BAC的外部 B D C●假如圆心O在∠BAC的边AB上,只要利用三角形内角和定理的推论和等腰三角形的性质即可证明●假如圆心O在∠BAC的内部或外部,那么只要作出直径AD,将那个角转化为上述情形的两个角的和或差即可证明:圆心O在∠BAC的一条边上 AOA=OC==>∠C=∠BAC∠BOC=∠BAC+∠C O==>∠BAC=1/2∠BOC. B C【3】圆周角与圆心角的关系（1）．在同圆或等圆中，假如两条弦，两条弧，两个圆心角中有一组量相等，那么它们所对应的其它各组量都分别相等。

圆的概念弧、圆心角、圆周角、弦知识点+例题+练习(分类全面)

例题
1：圆的性质应用
例 1 如图，CD 是⊙O 的直径，BE 是⊙O 的弦，DC、EB 的延长线相交于点 A．若∠A＝25°， AB＝OC，求∠EOD 的度数．
2：利用圆的性质进行证明
例1如图，⊙O 的半径OA、OB 分别交弦C D 于点E、F，且CE＝DF．试说明∠OEF 与∠OFE 的关系．
例 2 如图，O为AB所在圆的圆心，已知OA⊥OB，M为弦AB的中点，且MC∥OB交AB于点C．求AC的度数．60
延长CM交OA于E,OE=1/2 OA=1/2 OC
3：圆的性质和矩形性质综合
例 1 如图，点 A、D、G、M 在半圆 O 上，四边形 ABOC、DEOF、HMNO 为矩形，设 BC＝a，EF＝b，NH＝c．则下列各式正确的是( )
A．a>b>c B．a＝b＝c C．c>a>b D．b>c>a
4：点与圆的位置关系中分类讨论思想
例1若⊙O 所在平面上的一点P到⊙O 上的点的最大距离是10，最小距离是2，则此圆的半径为
5：利用圆的定义与直角三角形的性质综合进行证明
例1、已知：如图，BD、CE 是△ABC 的高，M 为B C 的中点，试说明点B、C、D、E 在以点M为圆心的同一个圆上．
例2、如图，在□ABCD 中，∠BAD 为钝角，且A E⊥BC，AF⊥CD． (1)求证：A、E、C、F 四点共圆；
(2)设线段B D 与(1)中的圆交于点M、N．求证：BM＝ND．。

圆心角、圆周角、弦、弧的关系

1圆的基本性质考点一、圆的相关概念（1）圆的定义圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。

固定的端点O 叫做圆心，线段OA 叫做半径。

（2）圆的几何表示以点O 为圆心的圆记作“⊙O ”，读作“圆O ”考点二、弦、弧等与圆有关的定义（1）弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦。

（如图中的AC ）（2）直径：经过圆心的弦叫做直径。

（如图中的AB ）直径等于半径的2倍。

（3）半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆。

（4）弧、优弧、劣弧弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。

弧用符号“⌒”表示，以A ，B为端点的弧记作“”，读作“圆弧AB ”或“弧AB ”。

大于半圆的弧叫做优弧（多用三个字母表示）；小于半圆的弧叫做劣弧（多用两个字母表示）考点三、垂径定理及其推论垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。

推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。

（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。

（3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。

推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。

垂径定理及其推论可概括为：过圆心直径平分弦知二推三平分弦所对的优弧平分弦所对的劣弧考点四、圆的对称性（1）圆的轴对称性圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。

（2）圆的中心对称性圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。

2考点五、弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理（1）圆心角：顶点在圆心，角的两边和圆相交的角叫做圆心角。

（2）弦心距：从圆心到弦的距离叫做弦心距。

（3）弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。

推论：在同圆或等圆中，如果两个圆的圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。

第08讲圆心角与圆周角

第08讲圆心角与圆周角（核心考点讲与练）【知识梳理】一．圆心角、弧、弦的关系（1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．（2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧．（3）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合．（4）在具体应用上述定理解决问题时，可根据需要，选择其有关部分．二．圆周角定理（1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可．（2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．（3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握．（4）注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”﹣﹣﹣圆心角转化．③定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角．三．相交弦定理（1）相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．（经过圆内一点引两条线，各弦被这点所分成的两段的积相等）．几何语言：若弦AB、CD交于点P，则P A•PB＝PC•PD（相交弦定理）（2）推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项．几何语言：若AB是直径，CD垂直AB于点P，则PC2＝P A•PB（相交弦定理推论）．【核心考点精讲】一．圆心角、弧、弦的关系（共4小题）1．（2021•江北区校级开学）在⊙O中，如果＝2．那么弦AB与弦CD之间的关系是（）A．AB＝2CD B．AB＞2CD C．AB＜2CD D．无法确定【分析】根据圆周角、弧、弦的关系，三角形的三边关系即可得到结论．【解答】解：取的中点E，连接AE，BE，则＝，∵＝2，∴＝＝，∴CD＝AE＝BE，∵AE+BE＞AB，∴AB＜2CD．故选：C．【点评】本题考查了圆周角、弧、弦的关系，三角形的三边关系，熟练掌握圆周角、弧、弦的关系，三角形的三边关系是解题的关键．2．（2020秋•靖江市期中）已知弦AB的长等于⊙O的半径，弦AB所对的圆周角是30或150度．【分析】在圆中，由半径和弦组成的三角形是等腰三角形，又因为AB的长等于半径，所以由弦和半径组成的三角形是等边三角形，根据等边三角形的性质，弦所对的圆心角为60°，所以弦所对的圆周角为30°或150°．【解答】解：如图示，AB＝OA＝OB，∴△OAB是等边三角形，∴∠AOB＝60°，∴∠ACB＝30°，∴∠ADB＝150°．故弦AB所对的圆周角是30或150度．故答案为：30或150．【点评】本题极易漏解，需注意圆中的一条弦对着两个圆周角，它们是互补关系．3．（2021•广州模拟）如图，AB，CD为⊙O内两条相交的弦，交点为E，且AB＝CD，求证：AD∥BC．【分析】根据圆心角、弧、弦的关系和平行线的判定定理即可得到结论．【解答】解：∵AB＝CD，∴＝，∴﹣＝﹣，即＝，∴∠A＝∠B，∴AD∥BC．【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，平行线的判定，熟练掌握圆心角、弧、弦的关系是解题的关键．4．（2022春•永嘉县月考）如图，AB是⊙O的直径，点C，E都在⊙O上，OC⊥AB，＝2，DE∥AB交OC于点D，延长OC至点F，使FC＝OC，连接EF．（1）求证：CD＝OD．（2）若⊙O的直径是4，求EF的长．【分析】（1）连接OE、CE，如图，利用＝2得到∠COE＝2∠AOE＝60°，则可判定△OCE为等边三角形，接着证明DE⊥OC，然后根据等边三角形的性质得到结论；（2）先利用勾股定理计算出DE＝，然后在Rt△EFD中利用勾股定理计算EF．【解答】（1）证明：连接OE、CE，如图，∵OC⊥AB，∴∠AOC＝90°，∵＝2，∴∠COE＝2∠AOE，∴∠COE＝60°，而OE＝OC，∴△OCE为等边三角形，∵DE∥AB，OC⊥AB，∴DE⊥OC，∴CD＝OD；（2）解：∵⊙O的直径是4，∴OE＝OC＝CF＝2，CD＝OD＝1，在Rt△ODE中，DE＝＝，在Rt△EFD中，EF＝＝＝2．【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．也考查了等边三角形的判定与性质．二．圆周角定理（共5小题）5．（2022•浦江县模拟）已知：如图，OA是⊙O的半径，若∠BAO＝27°，则圆周角∠BDA 的度数是（）A．63°B．60°C．58°D．54°【分析】连接OB，可先求出∠AOB的度数，进而根据圆周角定理可得∠BDA的度数．【解答】解：连接OB，∵OA＝OB，∠BAO＝27°，∴∠BOA＝180°﹣2∠BAO＝180°﹣54°＝126°，∴∠BDA＝∠BOA＝63°，故选：A．【点评】本题考查圆的性质定理，熟练掌握圆周角定理是解题关键．6．（2021秋•嘉兴期末）如图，AB是⊙O的直径，点C在圆上，若∠ABC＝70°，则∠BAC 的度数为（）A．70°B．60°C．40°D．20°【分析】由AB是⊙•O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，即可求得∠C的度数，又由∠ABC＝70°，利用直角三角形中两锐角互余，即可求得∠BAC的度数．【解答】解：∵AB是⊙O的直径，∴∠C＝90°，∵∠ABC＝70°，∴∠BAC＝90°﹣70°＝20°，故选：D．【点评】此题考查了圆周角定理与直角三角形的性质．此题比较简单，注意掌握直径所对的圆周角是直角定理的应用，注意数形结合思想的应用．7．（2022•柯桥区一模）如图，在⊙O中，AD是直径，∠ABC＝35°，则∠CAD等于（）A．75°B．65°C．55°D．45°【分析】由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可求得∠ADC的度数，又由AD是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，即可求得答案．【解答】解：∵∠ABC＝35°，∴∠ADC＝∠ABC＝35°，∵AD是⊙O的直径，∴∠ACD＝90°，∴∠CAD＝90°﹣∠ADC＝55°．故选：C．【点评】此题考查了圆周角定理与直角三角形的性质．此题难度不大，注意数形结合思想的应用．8．（2022•文成县一模）如图，点A，B，C都在⊙O上，∠AOC：∠BOC＝2：5，OA∥BC，则∠ABC＝20°．【分析】根据圆周角定理及三角形内角和定理求解即可．【解答】解：∵OA＝OB，∴∠A＝∠OBA，∵OA∥BC，∴∠A＝∠ABC，∵∠AOC＝2∠ABC，∠AOC：∠BOC＝2：5，∴∠BOC＝5∠ABC，∴∠AOB＝7∠ABC，在△AOB中，∠A+∠AOB+∠OBA＝180°，∴9∠ABC＝180°，∴∠ABC＝20°，故答案为：20．【点评】此题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．9．（2021秋•嵊州市期末）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，以腰AB为直径作⊙O，分别交BC，AC于点D，E，连结OD，DE．（1）求证：BD＝DC．（2）若∠BAC＝50°，求∠ODE的度数．【分析】（1）利用等腰三角形的性质得到∠B＝∠ODB，∠B＝∠C，再判断OD∥AC，然后利用平行线分线段成比例得到BD＝DC；（2）利用三角形内角和计算出∠B＝∠C＝65°，则∠ODB＝∠B＝65°，再利用圆内接四边形的性质得到∠EDC＝∠A＝50°，然后利用平角定义可计算出∠ODE的度数．【解答】（1）证明：∵OB＝OD，∴∠B＝∠ODB，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴∠ODB＝∠C，∴OD∥AC，∴＝＝1，∴BD＝DC；（2）∵AB＝AC，∴∠B＝∠C＝（180°﹣∠A）＝×（180°﹣50°）＝65°，∴∠ODB＝∠B＝65°，∵∠EDC＝∠A＝50°，∴∠ODE＝180°﹣∠ODB﹣∠EDC＝180°﹣65°﹣50°＝65°．【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了等腰三角形的性质．三．相交弦定理（共2小题）10．（2021秋•东阳市月考）已知四边形ABCD两条对角线相交于点E，AB＝AC＝AD，AE ＝3，EC＝1，则BE•DE的值为（）A．6B．7C．12D．16【分析】由题意可知AB＝AC＝AD，点D、C、B在以点A为圆心的圆周上运动，由相交弦定理可得，BE•DE＝CE•EF即可求出答案．【解答】解：∵AB＝AC＝AD，∴点D、C、B在以点A为圆心的圆周上运动，AE＝3，EC＝1，∴AC＝AF＝AE+CE＝3+1＝4，EF＝AE+AF＝3+4＝7，由相交弦定理可得，BE•DE＝CE•EF＝1×7＝7，故选：B．【点评】本题考查了相交弦定理，根据圆心和半径构建圆是解题的关键．11．（2021秋•余姚市期中）如图，⊙O的弦AB、CD相交于点P，若AP＝6，BP＝8，CP ＝4，则CD长为（）A．16B．24C．12D．不能确定【分析】由相交线定理可得出AP•BP＝CP•DP，再根据AP＝6，BP＝8，CP＝4，可得出PD的长，从而得出CD即可．【解答】解：∵AP•BP＝CP•DP，∴PD＝，∵AP＝6，BP＝8，CP＝4，∴PD＝12，∴CD＝PC+PD＝12+4＝16．故选：A．【点评】本题考查了相交线定理，圆内两条弦相交，被交点分成的两条线段的积相等．【过关检测】一．选择题（共10小题）1．（2021秋•西城区校级期中）如图，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过A、B、C三点，那么所对的圆心角的大小是（）A．60°B．75°C．80°D．90°【分析】根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，分别作AB，BC的垂直平分线即可得到圆心，进而解答即可．【解答】解：作AB的垂直平分线，作BC的垂直平分线，如图，它们都经过Q，所以点Q为这条圆弧所在圆的圆心．连接AQ，CQ，在△APQ与△CQN中，∴△APQ≌△CQN（SAS），∴∠AQP＝∠CQN，∠P AQ＝∠CQN∵∠AQP+∠P AQ＝90°，∴∠AQP+∠CQN＝90°，∴∠AQC＝90°，即所对的圆心角的大小是90°，故选：D．【点评】本题考查了垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心．这也常用来确定圆心的方法．2．（2022•富阳区一模）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，G是弧AC上一点，连接AD，AG，GD，BC．则下列结论错误的是（）A．∠ADC＝∠AGDB．若∠ADC＝∠GAD，则＝2C．若＝，则△ADG是等腰三角形D．若＝，则△AGF是等腰三角形【分析】根据圆周角定理求解判断即可．【解答】解：∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，∴＝，∴＝，∴∠ADC＝∠AGD，故A正确，不符合题意；∵∠ADC＝∠GAD，∴＝，∴＝，∵＝2，∴＝2，故B正确，不符合题意；若＝，∴＝，∵＝，∴＝，∴AD＝DG，∴△ADG是等腰三角形，故C正确，不符合题意；由＝，不能推出△AGF是等腰三角形，故D错误，符合题意；故选：D．【点评】此题考查了圆周角定理，熟记圆周角定理是解题的关键．3．（2022•舟山二模）如图，BC是⊙O的直径，AD⊥BC，∠ABC＝25°，则弧CD的度数（）A．50°B．25°C．100°D．65°【分析】连接OA，根据圆周角定理可得∠AOC的度数，从而求出的度数，然后再利用垂径定理可得＝，即可解答．【解答】解：连接OA，∵∠ABC＝25°，∴∠AOC＝2∠ABC＝50°，∴的度数为50°，∴BC是⊙O的直径，AD⊥BC，∴＝，∴弧CD的度数为50°，故选：A．【点评】本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，垂径定理，熟练掌握圆周角定理，以及垂径定理是解题的关键．4．（2022•西湖区一模）如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD与AB交于点E，设∠ABC ＝α，∠ABD＝β，∠AEC＝γ，则（）A．α+β﹣γ＝90°B．β+γ﹣α＝90°C．α+γ﹣β＝90°D．α+β+γ＝180°【分析】连接AC，根据圆周角定理及三角形外角性质求解即可．【解答】解：连接AC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝∠BCD+∠ACD＝90°，∵∠ACD＝∠ABD＝β，∴∠BCD＝90°﹣β，∵∠AEC＝∠ABC+∠BCD＝γ，∠ABC＝α，∴γ＝α+90°﹣β，即γ+β﹣α＝90°，故选：B．【点评】此题考查了圆周角定理，熟记“直径所对的圆周角等于90°”是解题的关键．5．（1999•山西）如图，⊙O中，弦AB和CD相交于P，CP＝2.5，PD＝6，AB＝8，那么以AP、PB的长为两根的一元二次方程是（）A．x2﹣8x﹣15＝0B．x2﹣8x+15＝0C．x2+8x﹣15＝0D．x2+8x+15＝0【分析】如果设AP＝a，PB＝b；根据相交弦定理：AP×PB＝DP×PC；可知ab＝15，又根据a+b＝AB＝8；根据一元二次方程根与系数的关系，可判断谁是正确的．【解答】解：设AP＝a，PB＝b；则根据相交弦定理可得：AP×PB＝DP×PC，∴ab＝15，又知：a+b＝AB＝8；∴根据一元二次方程根与系数的关系可得方程为：x2﹣8x+15＝0；故选：B．【点评】本题考查的知识点是相交弦定理和一元二次方程根与系数的关系．6．（2022•鹿城区校级二模）如图，△ABC的两顶点A，B在⊙O上，点C在圆外，∠C＝46°，边AC交⊙O于点D，DE∥BC经过圆心交⊙O于点E，则的度数为（）A．44°B．80°C．88°D．92°【分析】根据平行线的性质得到∠ADE＝46°，进而得到的度数，再用180°减去的度数即可得到答案．【解答】解：∵DE||BC，∴∠C＝∠ADE＝46°，∴的度数是92°，∴的度数为180°﹣92°＝88°．故选：C．【点评】本题考查了平行线的性质和圆周角定理，解题的关键是先求出的度数．7．（2022•黄岩区一模）如图，△ABC是等边三角形，点A，点B在数轴上，点A表示数﹣2，点B表示数2，以AB为直径作圆交边AC于点P，以B为圆心，BP为半径作弧交数轴于点Q，则点Q在数轴上表示的数为（）A．B．2C．2﹣2D．2﹣2【分析】根据题意可得AB＝4，利用等边三角形的性质可得∠BAC＝60°，由AB是⊙O的直径可得∠APB＝90°，由三角形内角和定理可得∠ABP＝30°，由此可得AP＝2，根据勾股定理可以求得BP的长，进而可以得到点Q表示的数．【解答】解：由题意可得AB＝4，∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝60°，∵AB是⊙O的直径，∴∠APB＝90°，∴∠ABP＝30°，∴AP＝AB＝2，在Rt△APB中，AB＝4，AP＝2，∴PB＝＝＝＝2，∵BP为半径作弧交数轴于点Q，∴BQ＝PB＝2．∴点Q表示数为2﹣2．故选：C．【点评】本题主要考查实数与数轴、圆周角定理、勾股定理等知识，解答本题的关键是熟练掌握圆周角定理和勾股定理的运用．8．（2022•永康市模拟）如图，线段AB是⊙O的直径，点C在圆上，∠AOC＝60°，点P 是线段AB延长线上的一点，连结PC，则∠APC的度数不可能是（）A．30°B．25°C．10°D．5°【分析】连接CB，根据一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，求出∠ABC的度数，再利用三角形的外角即可解答．【解答】解：连接CB，∵∠AOC＝60°，∴∠ABC＝∠AOC＝30°，∵∠ABC是△PBC的一个外角，∴∠ABC＞∠APC，∴∠APC的度数不可能是30°，故选：A．【点评】本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．9．（2022•东坡区校级模拟）如图，AB为⊙O的直径，点D是弧AC的中点，过点D作DE⊥AB于点E，延长DE交⊙O于点F，若AC＝12，AE＝3，则⊙O的直径长为（）A．10B．13C．15D．16【分析】连接OF，首先证明AC＝DF＝12，设OA＝OF＝x，在Rt△OEF中，利用勾股定理构建方程即可解决问题．【解答】解：如图，连接OF．∵DE⊥AB，∴DE＝EF，＝，∵点D是弧AC的中点，∴＝，∴＝，∴AC＝DF＝12，∴EF＝DF＝6，设OA＝OF＝x，在Rt△OEF中，则有x2＝62+（x﹣3）2，解得x＝，∴AB＝2x＝15，故选：C．【点评】本题考查垂径定理，圆心角，弧，弦之间的关系等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．10．（2021秋•杭州期末）如图，AB，CD是⊙O的两条弦，它们相交于点P，连接AD、BD，已知AD＝BD＝4，PC＝6，那么CD的长为（）A．6B．7C．8D．9【分析】根据圆周角定理，可证∠C＝∠B，又由AD＝BD，可证∠B＝∠DAB，即得∠DAP ＝∠C，可证△DAP∽△DCA，得到AD：CD＝DP：AD，代值计算即可求CD的长．【解答】解：连接AC，由圆周角定理知，∠C＝∠B，∵AD＝BD∴∠B＝∠DAB，∴∠DAP＝∠C∴△DAP∽△DCA，∴AD：CD＝DP：AD，得AD2＝DP•CD＝CD•（CD﹣PC），把AD＝4，PC＝6代入得，CD＝8．故选：C．【点评】本题考查了圆周角定理，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题．二．填空题（共4小题）11．（2021秋•亭湖区期末）如图，AB是⊙O的直径，＝＝，∠COD＝34°，则∠AEO的度数是51°．【分析】由＝＝，可求得∠BOC＝∠EOD＝∠COD＝34°，继而可求得∠AOE的度数；然后再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理来求∠AEO的度数．【解答】解：如图，∵＝＝，∠COD＝34°，∴∠BOC＝∠EOD＝∠COD＝34°，∴∠AOE＝180°﹣∠EOD﹣∠COD﹣∠BOC＝78°．又∵OA＝OE，∴∠AEO＝∠OAE，∴∠AEO＝×（180°﹣78°）＝51°．故答案为：51°．【点评】此题考查了弧与圆心角的关系．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．12．（2014秋•柯城区校级期中）如图，在⊙O中，弦AB，CD相交于点E，AE＝2cm，BE ＝6cm，DE＝3cm，则CE＝4cm；学以致用：点P是直径为10的⊙Q中一点且PQ＝2，过点P作弦HK，则线段PH与线段PK的积等于21．【分析】根据相交弦定理得AE•BE＝CE•DE，然后把AE＝2，BE＝6，DE＝3代入即可计算出CE的长；如图过P点的直径为MN，先计算出PM＝QM﹣PQ＝3，PN＝QN+PQ＝7，然后根据相交弦定理进行计算．【解答】解：∵AE•BE＝CE•DE，∴2×6＝3×CE，∴CE＝4；如图，过P点的直径为MN，∵PQ＝2，∴PM＝QM﹣PQ＝5﹣2＝3，PN＝QN+PQ＝5+2＝7，∵PH•PK＝PM•PN，∴PH•PK＝3×7＝21．故答案为4；21．【点评】本题考查了相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．13．（2021秋•定海区期末）一块直角三角板的30°角的顶点A落在圆O上，两边分别交圆O于B、C两点，则弧BC的度数为60°．【分析】利用圆周角定理，圆心角、弧、弦的知识解决问题即可．【解答】解：连接OB、OC，∵∠A＝30°，又∵∠BOC＝2∠A，∴∠BOC＝60°，∴弧BC的度数为60°，故答案为：60°．【点评】本题考查圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，解题的关键是求得圆心角的度数．14．（2021秋•温州期末）如图，点A在半圆O上，BC是直径，．若AB＝2，则BC的长为．【分析】连接OA，由圆心角，弦，弧的关系可得OA⊥BC，结合等腰直角三角形的性质可求解OB的长，进而可求解BC的长．【解答】解：连接OA，∵，BC是直径，∴OA⊥BC，∵OA＝OB，AB＝2，∴OA＝OB＝，∴BC＝2OA＝．故答案为：．【点评】本题主要考查圆周角，弦，弧的关系，等腰直角三角形的性质，求解OA，OB的长是解题的关键．三．解答题（共6小题）15．（2021秋•淳安县期中）如图，在⊙O中，弦AD＝BC，连接AB、CD．求证：AB＝CD．【分析】在⊙O中，由弦AD＝BC，可得＝，根据等式的性质可得+＝+，即＝，进而得出AB＝CD．【解答】解：在⊙O中，∵AD＝BC，∴＝，∴+＝+，即＝，∴AB＝CD．【点评】本题考查圆心角、弧、弦的关系以及等式的性质，掌握圆心角、弧、弦的关系以及等式的性质是正确解答的关键．16．（2021秋•上城区期中）如图，AD、BC是⊙O的两条弦，且AB＝CD，求证：AD＝BC．【分析】根据弦和弧的关系，由AB＝CD可得，进而得到＝，即可证明AD ＝BC．【解答】证明：∵AB＝CD，∴，∴，∴＝，∴AD＝BC．【点评】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，掌握圆心角，弧、弦之间的关系定理是解题的关键．17．（2021秋•长兴县期中）如图，MB，MD是⊙O的两条弦，点A，C分别在，上，且AB＝CD，M是的中点．求证：MB＝MD．【分析】欲证明BM＝DM，只要证明＝即可．【解答】证明：∵M是的中点，∴＝，∵AB＝CD，∴＝，∴+＝+，即＝，∴MB＝MD．【点评】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，能熟记圆心角、弧、弦之间的关系是解此题的关键．18．（2021秋•诸暨市期末）如图，O为半圆的圆心，C、D为半圆上的两点，连接CD、BD、AD，CD＝BD．连接AC并延长，与BD的延长线相交于点E．（1）求证：CD＝DE；（2）若AC＝6，半径OB＝5，求BD的长．【分析】（1）连接BC，由CD＝BD，AB为直径可得∠E＝∠ECD，进而求解．（2）由勾股定理求出BC的值，再由△AEB为等腰三角形可得BD＝BE，再通过勾股定理求解．【解答】（1）证明：∵AB为直径，∴∠ADB＝∠ADE＝90°，∵CD＝BD，∴∠EAD＝∠DAB，∴∠E＝∠ABE，连接BC，则∠DCB＝∠DBC，∠ACB＝∠ECB＝90°，∵∠EBC+∠E＝90°，∠DCB+∠ECD＝90°，∴∠E＝∠ECD，∴CD＝DE．（2）解：在Rt△ACB中，由勾股定理得BC＝＝＝8，∵∠E＝∠ABE，∴△AEB为等腰三角形，∴AB＝AE，BD＝DE，∴CE＝AE﹣AC＝AB﹣AC＝10﹣6＝4，在Rt△BCE中，由勾股定理得BE＝＝＝4，∴BD＝BE＝2．【点评】本题考查圆与三角形的结合，解题关键是掌握圆周角定理，掌握解直角三角形的方法．19．（2021秋•滨江区期末）如图，在⊙O中，AB＝CD，弦AB与CD相交于点M．（1）求证：＝．（2）连接AC，AD，若AD是⊙O的直径，求证：∠BAC+2∠BAD＝90°．【分析】（1）利用圆心角，弧，弦之间的关系解决问题即可；（2）利用圆周角定理，三角形内角和定理，三角形的外角的性质解决问题．【解答】（1）证明：如图，∵AB＝CD，∴＝，∴+＝+，∴＝．（2）证明：连接AD．∵＝，∴∠ADC＝∠BAD，∴∠AMC＝∠MAD+∠MDA＝2∠BAD，∵AD是直径，∴∠ACD＝90°，∴∠CAB+∠AMC＝90°，∴∠CAB+2∠BAD＝90°．【点评】本题考查圆周角定理，圆心角，弧，弦之间的关系等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．20．（2001•温州）⊙O的两条弦AB，CD交于点P，已知AP＝4，BP＝6，CP＝3，求CD 的长．【分析】求CD，已知了CP的长，关键是求出PD的长．已知了AP，BP的长，可根据相交弦定理来求出PD的长，进而可求出CD的长．【解答】解：∵圆O的弦AB，CD相交于P，∴AP•PB＝CP•PD，∵AP＝4，BP＝6，CP＝3，∴PD＝AP•PB÷CP＝4×6÷3＝8，∴CD＝CP+PD＝3+8＝11．即：CD的长是11．【点评】本题主要考查的是相交弦定理的应用，根据相交弦定理求出PD的长是解题的关键．。

圆的确定,圆心角、圆周角、弧、弦、弦心距之间的关系

儒洋教育学科教师辅导讲义6、多边形与圆如果一个圆经过一个多边形的各顶点，那么这个圆叫做这个多边形的外接圆，这个多边形叫做这个圆的内接多边形，提示：1、与圆的确定有关的两个图形一定要学生重点理解。

2、补充两个知识点：线段垂直平分线的性质和角平分线的性质3、和学生一起重点分析课本例题1和2，理解题目考察的细节和解题方法。

二、例题分析：1、以线段AB为弦的圆的圆心的轨迹是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。

cm。

2、已知扇形的圆心角为120°，半径为2cm，则扇形的弧长是cm，扇形的面积是23、点和圆的位置关系有三种：点在圆，点在圆，点在圆；例1：已知圆的半径r等于5厘米，点到圆心的距离为d，（1）当d=2厘米时，有d r，点在圆（2）当d=7厘米时，有d r，点在圆（3）当d=5厘米时，有d r，点在圆4、下列四边形：①平行四边形，②菱形；③矩形；④正方形。

其中四个顶点一定能在同一个圆上的有（）A、①②③④B、②③④C、②③D、③④5、（07上海中考）小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图所示，为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是（）A．第①块 B．第②块C．第③块 D．第④块6、三角形的外接圆的圆心是（），A．三条中线的交点B．三条高的交点C．三条角平分线的交点D．三条边的垂直平分线的交点7、直角三角形的两条直角边分别为5cm和12cm，则其外接圆半径长为。

（三）巩固练习1、圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条的直线；圆是中心对称图形，对称中心为．2、三角形的外接圆的圆心——三角形的外心——三角形的交点；三角形的内切圆的圆心——三角形的内心——三角形的交点；3、三角形的外心一定在该三角形上的三角形（）（A）锐角三角形（B）钝角三角形（C）直角三角形（D）等腰三角形，第7题（第2题） 7、如图，AB 和DE 是⊙O 的直径，弦AC ∥DE ，若弦BE=3，则弦CE=_______8、如图，OE ⊥AB 、OF ⊥CD ，如果OE=OF ，那么_______（只需写一个正确的结论）B A CEDOF（第8题）（第11题）9、已知，如图所示，点O 是∠EPF 的平分线上的一点，以O 为圆心的圆和角的两边分别交于点A 、Ｂ和C 、D 。

九年级数学第二十四章弧、弦、圆心角、圆周角之间的关系人教实验版知识精讲

九年级数学第二十四章弧、弦、圆心角、圆周角之间的关系人教实验版【本讲教育信息】一、教学内容：弧、弦、圆心角、圆周角之间的关系 1. 圆心角、圆周角的概念. 2. 弧、弦、圆心角之间的关系. 3. 圆周角定理及推论.二、知识要点：1. 弧、弦、圆心角（1）我们把顶点在圆心的角叫做圆心角. （2）弧、弦、圆心角之间的关系：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等.在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等. 在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧相等.如图所示，（1）若∠AOB ＝∠COD ，则︵AB ＝︵CD ，AB ＝CD ；（2）若︵AB ＝︵CD ，则∠AOB ＝∠COD ，AB ＝CD ；（3）若AB ＝CD ，则∠AOB ＝∠COD ，︵AB ＝︵CD.OABCD2. 圆周角（1）顶点在圆上，并且两边与圆都相交的角叫做圆周角.（2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半.③②①（3）推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径.三、重点难点：本节重点是圆心角、弦、弧之间的相等关系及圆周角定理. 难点是从圆的旋转不变性出发，得到圆心角、弦、弧之间的相等关系以及圆周角定理的证明.【典型例题】例1. 在⊙O 中，如图所示，∠AOB ＝∠DOC ，试说明：（1）︵DB ＝︵AC ；（2）BD ＝AC.B分析：（1）∵∠DOC ＝∠AOB ，∴︵DC ＋︵BC ＝︵AB ＋︵BC ，∴︵BD ＝︵AC. （2）∵在同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等，∴BD ＝AC.解：（1）∵∠DOC ＝∠AOB ，∴︵DC ＝︵AB ， ∴︵DC ＋︵BC ＝︵AB ＋︵BC ，即︵BD ＝︵AC.（2）由（1）得︵BD ＝︵AC ，∴BD ＝AC.例2. 如图所示，C 是︵AB 的中点，与∠ADC 相等的角的个数是（） A. 7个 B. 3个 C. 2个 D. 1个分析：由同弧或等弧所对的圆周角相等知，∠ADC ＝∠ABC ＝∠CAB ＝∠CDB ，故与∠ADC 相等的角共有3个.解：B评析：同弧或等弧所对的圆周角相等常用来证明两角相等；或进行角的转换，将一个圆周角转换为同弧所对的其他圆周角，从而达到题目中的要求.例3. 如图所示，BC 为半圆O 的直径，G 是半圆上异于B 、C 的点，A 是︵BG 的中点，AD ⊥BC 于点D ，BG 交AD 于点E ，请说明AE ＝BE.分析：在圆中，有关直径的问题常常需要添加辅助线，以便利用直径所对的圆周角是直角的性质，因此，欲说明AE 与BE 相等，可转化为说明∠BAD ＝∠ABE ，圆周角∠ABE 所对的弧为︵AG ，连结AB 、AC 即可解决问题.C解：连结AB 、AC. ∵︵AB ＝︵AG ，∴∠ABE ＝∠ACB. 又∵AD ⊥BC ，∴∠ABD ＋∠BAE ＝90°.∵BC 为直径，∴∠BAC ＝90°，∴∠ABD ＋∠BCA ＝90°， ∴∠BCA ＝∠BAE. ∴∠BAE ＝∠ABG ， ∴AE ＝BE.例4. 如图所示，在⊙O 中，∠AOC ＝150°，求∠ABC 、∠ADC 、∠EBC 的度数，并判断∠ABC 和∠ADC 、∠EBC 和∠ADC 的度数关系.分析：解题的关键是分清同弧所对的圆心角和圆周角，如劣弧AC 所对的圆心角是∠AOC ，所对的圆周角是∠ABC ，优弧ABC 所对的圆心角是大于平角的∠α，所对的圆周角是∠ADC.解：∵∠AOC ＝150°，∴∠ABC ＝12∠AOC ＝75°.∵∠α＝360°－∠AOC ＝360°－150°＝210°，∴∠ADC ＝12∠α＝105°，∠EBC ＝180°－∠ABC ＝180°－75°＝105°.∵∠ABC ＋∠ADC ＝75°＋105°＝180°，∠EBC ＝∠ADC ＝105°， ∴∠ABC 和∠ADC 互补，∠EBC 和∠ADC 相等. 评析：理解圆周角的概念，分清同弧所对的圆心角和圆周角是熟练运用圆周角性质解题的前提.例5. 如图所示，AB 、CD 是⊙O 的弦，∠A ＝∠C. 求证：AB ＝CD.分析：此题的证明方法很多，由于AB 和CD 在圆中，且为弦，可证明AB 和CD 所对的圆心角相等或弧相等，也可直接或间接利用全等证明AB 和CD 相等. 等等.解法一：如图（1）所示，过点O 作OE ⊥AB ，OF ⊥CD ，垂足分别为E 、F.∴AB ＝2AE ，CD ＝2CF ，∠AEO ＝∠CFO ＝90°. 又∵∠A ＝∠C ，OA ＝OC ， ∴△AOE ≌△COF ，∴AE ＝CF. ∴AB ＝CD.(1)解法二：如图（2）所示，连结OB 、OD.∵OA ＝OB ＝OC ＝OD ，∴∠A ＝∠B ，∠C ＝∠D. ∵∠A ＝∠C ，∴∠B ＝∠D. ∴△OAB ≌△OCD ，∴AB ＝CD.(2)(3)解法三：如图（3）所示，连结AC. ∵OA ＝OC ，∴∠1＝∠3.又∵∠BAO ＝∠DCO ，∴∠2＝∠4. ∴︵BC ＝︵AD.∴︵BC ＋︵BD ＝︵AD ＋︵BD ，即︵AB ＝︵CD ， ∴AB ＝CD.例6. AB 、BC 、CA 是⊙O 的三条弦，O 到AB 的距离OE 等于12AB ，求∠C 的度数.分析：∠C 可能为一个钝角，也可能为一个锐角，要分类画图、分析和解答.BB m解：如图（1）所示，连结AO 、BO.因为OE ⊥AB ，所以EB ＝AE ＝12AB.又OE ＝12AB ，所以EB ＝OE ＝AE.所以∠EBO ＝∠EOB ＝∠EOA ＝∠EAO ＝45°.所以∠C ＝12∠AOB ＝12（∠AOE ＋∠EOB ）＝12×90°＝45°.如图（2）所示，由（1）得∠AOB ＝90°，所以优弧A m B 所对的圆心角是270°，所以∠C ＝135°.即∠C 的度数为45°或135°.评析：图（1）中，△ABC 为锐角三角形，圆心在△ABC 内部；图（2）中，△ABC 为钝角三角形，圆心O 在△ABC 外部，两种情形都符合题意，所以本题应有两解.【方法总结】1. 圆不仅是轴对称图形和中心对称图形，实际上，圆绕圆心旋转任意一个角度α，都能与原来的图形重合，这样就把圆和其他的中心对称图形区别开来，即圆不仅是中心对称图形，而且还突破了中心对称图形旋转180°后才能与原来图形重合的局限性，得出圆所特有的性质：圆绕圆心旋转任意一个角度，都能与原来的图形重合，这叫做圆的旋转不变性. 利用这一性质可以推出圆的一些其他性质.2. 在利用圆心角、弧、弦的关系定理解题时，我们应注意：①作圆心到弦的垂线是圆中一种常见的作辅助线的方法；②由圆心到弦的垂线、弧、圆心角的相等来证明弦相等是证明线段相等的一条重要途径.3. 圆周角定理及其推论在证明和计算中应用非常广泛，它是证明角相等、线（弦）相等、弧相等的重要依据，尤其是其推论为在圆中确定直角、构成垂直关系创造了条件，它是圆中的一个很重要的性质，要熟练掌握. 同时它也是证明弦为直径的常用方法，若图中有直径，往往构造直径所对的圆周角形成直角，这也是圆中重要的辅助线.【预习导学案】（点和圆的位置关系）一、预习前知1. 圆可以看作是到__________的距离等于__________的点的集合，也就是说圆上的点到圆心的距离都等于__________.2. 圆的内部可以看作是到__________的距离小于半径的点的集合.3. 圆的外部可以看作是到__________的距离大于半径的点的集合.二、预习导学1. ⊙O 的半径r ＝5cm ，圆心O 到直线的距离OD ＝3cm . 点A 、B 、C 在直线l 上，若AD ＝23cm ，BD ＝4cm ，CD ＝5cm . 则点A 在⊙O__________，点B 在⊙O__________，点C 在⊙O__________.2. 下列条件中，可以画一个圆，并且只可以画一个圆的条件是（） A. 已知圆心 B. 已知半径 C. 已知三点 D. 过直线上两点和直线外一点3. 三角形外接圆的圆心是（） A. 三内角平分线的交点 B. 三边垂直平分线的交点 C. 三中线的交点 D. 三高线的交点4. 用反证法证明：“在△ABC 中，至少有两个内角是锐角”时，第一步假设__________成立.反思：（1）点和圆有哪些位置关系？（2）经过不在同一直线上的三点画圆的时候，如何确定圆心？（3）反证法的基本思路和一般步骤是怎样的？【模拟试题】（答题时间：50分钟）一、选择题1. 一条弦分圆周为5∶7，这条弦所对的两个圆周角分别为（）A. 150°，210°B. 75°，105°C. 60°，120°D. 120°，240°2. 已知AC 为⊙O 的直径，弦AB ＝10cm ，∠BAC ＝30°，那么⊙O 的半径为（）A. 5cmB. 52cmC. 1033cmD. 2033cm3. 如图所示，⊙O 的弦AB 、CD 相交于点E ，已知∠ECB ＝60°，∠AED ＝65°，那么，ADE的度数为（）A. 40°B. 45°C. 55°D. 65°*4. 如图所示，劣弧︵AE 所对的圆心角为40°，则∠B ＋∠D 等于（） A. 320° B. 160° C. 300° D. 260°D5. 如图所示，AB 为⊙O 的直径，∠ACD ＝15°，则∠BAD 的度数为（） A. 75° B. 72° C. 70° D. 65°6. 如图所示，已知圆心角∠AOB 的度数为100°，则圆周角∠ACB 的度数为（） A. 80° B. 100° C. 120°D. 130°**7. 已知⊙O 的半径为6cm ，⊙O 的一条弦AB 的长为63cm ，则弦AB 所对的圆周角是（） A. 30° B. 60° C. 30°或150° D. 60°或120°二、填空题1. 如图所示，D 、E 分别是⊙O 的半径OA 、OB 上的点，CD ⊥OA ，CE ⊥OB ，CD ＝CE ，则AC 与CB 弧长的大小关系是__________.2. 如图所示，点A 、B 、C 、E 都在圆周上，AE 平分∠BAC 交BC 于点D ，则图中相等的圆周角是__________.3. 如图所示，AB 是⊙O 的直径，︵BC ＝︵BD ，∠A ＝30°，则∠BOD ＝__________.AB4. 如图所示，已知⊙O 的半径为2，圆周角∠ABC ＝30°，则弦AC 的长是__________.5. 如图所示，AB 是半圆O 的直径，∠BAC ＝40°，D 是︵AC 上任意一点，那么∠D 的度数是__________.A**6. 如图所示，A 、B 、C 、D 、E 是⊙O 上顺次五点，且AB ＝BC ＝CD ，如果∠BAD ＝50°，那么∠AED ＝__________.B三、解答题1. 如图，在⊙O 中，AB 、CD 是两条弦，OE ⊥AB ，OF ⊥CD ，垂足分别为E 、F. （1）如果∠AOB ＝∠COD ，那么OE 与OF 的大小有什么关系？为什么？（2）如果OE ＝OF ，那么AB 与CD 的大小有什么关系？︵AB 与︵CD 的大小关系？为什么？∠AOB 与∠COD 呢？BD2. 如图所示，AB 、DE 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上的一点，且AD ＝CE ，BE 与CE 的大小有什么关系？为什么？*3. 如图所示，AB 为⊙O 的直径，AC 为弦，P 为AC 延长线上一点，且AC ＝PC. PB 的延长线交⊙O 于D. 求证：AC ＝DC.P*4. 如图所示，已知A 、B 、C 、F 、G 是⊙O 上的五点，AF 交BC 于点D ，AG 交BC 于点E ，且BD ＝CE ，∠1＝∠2. 求证：AB ＝AC.试题答案一、选择题1. B2. C3. C4. B5. A6. D7. D二、填空题 1. 相等2. ∠ABC ＝∠AEC ，∠ACB ＝∠AEB ，∠BAE ＝∠CAE ＝∠BCE ＝∠CBE3. 60°4. 25. 130°6. 75°三、解答题1.（1）如果∠AOB ＝∠COD ，那么OE ＝OF ，理由是：因为∠AOB ＝∠COD ，所以AB ＝CD. 因为OE ⊥AB ，OF ⊥CD ，所以AE ＝12AB ，CF ＝12CD ，所以AE ＝CF. 又因为OA ＝OC ，所以R t △OAE≌R t △OCF. 所以OE ＝OF. （2）如果OE ＝OF ，那么AB ＝CD ，︵AB ＝︵CD ，∠AOB ＝∠COD ，理由是：因为OA ＝OC ，OE ＝OF ，所以R t △OAE ≌R t △OCF. 所以AE ＝CF ，又因为OE ⊥AB ，OF ⊥CD ，所以AE ＝12AB ，CF ＝12CD. 所以AB ＝2AE ，CD ＝2CF. 所以AB ＝CD. 所以︵AB ＝︵CD ，∠AOB ＝∠COD.2. BE ＝CE. 理由：∵AB 、DE 为⊙O 的两条相交的直径，∴∠AOD ＝∠BOE ，∴BE ＝AD ，又∵AD ＝CE ，∴BE ＝CE.3. 连结AD ，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADP ＝90°，∵AC ＝CP ，∴CD ＝12AP. ∴CD ＝AC ＝12AP.∴AC ＝DC.4.∵∠1＝∠2，∴⌒BF ＝⌒CG ，∴BF ＝CG ，⌒BG ＝⌒CF ，∴∠FBC ＝∠GCE. 又BD ＝CE ，∴△BFD ≌△CGE （SAS ），∴∠F ＝∠G. ∴⌒AB ＝⌒AC ，∴AB ＝AC.。

圆心角、弦、弧、圆周角之间的推导

圆心角、弦、弧、圆周角之间的关系是几何学中常见的概念。

在此文档中，我们将推导这些概念之间的关系，并解释它们在圆的几何中的重要性。

首先，让我们定义这些概念：•圆心角：圆心角指的是以圆心为顶点的角。

•弦：弦是连接圆上两点的线段。

•弧：弧是圆上两点之间的曲线部分。

•圆周角：圆周角是以圆上两条弧为两边的角。

接下来，我们将探讨这些概念之间的关系。

1.弧和圆心角的关系：当我们考虑一个圆上的弧时，圆心角是与该弧相对应的角度，两者是一一对应关系。

换句话说，一个弧唯一对应一个圆心角，一个圆心角也唯一对应一个弧。

例如，如果给定一个半径为r的圆，圆心角为θ度，那么对应的弧长可以通过以下公式计算：弧长= (θ/360) × 2πr。

2.弦、弧和圆心角的关系：在圆上，如果一个弦和圆心角相等，那么它所对应的弧的长度也是相等的。

这表明弦、弧和圆心角之间存在着等量关系。

换句话说，如果两个弦所对应的圆心角相等，那么它们所对应的弧的长度也是相等的。

这个关系可以通过圆心角的定义进行证明。

由于圆心角是以圆心为顶点的角，所以它们的两条边与圆上的两条弦相等，因此对应的弧长也相等。

3.圆周角和圆心角的关系：圆周角是以圆上两条弧为两边的角。

当一个圆周角的两个角点分别在圆上的两条弧的端点时，这两条弧所对应的圆心角恰好等于圆周角的大小。

这个关系可以通过对圆心角和圆周角的定义进行证明。

圆周角的两个角点分别位于圆上的两条弧的端点，因此对应的圆周角的大小就等于这两个圆心角之和。

通过上述推导，我们可以看出圆心角、弦、弧和圆周角之间的关系密切相关。

它们在圆的几何中起到重要的作用，帮助我们研究和解决各种与圆相关的问题。

这些概念的理解不仅对于数学学习具有重要意义，而且在实际应用中也有广泛的应用，例如建筑、工程和物理学等领域。

总结起来，圆心角、弦、弧和圆周角之间的关系可以通过定义和几何推导来解释。

这些概念在圆的几何中相互关联，为我们理解和研究圆提供了重要的工具和观点。

【初中数学】初中数学知识点：圆心角,圆周角,弧和弦

【初中数学】初中数学知识点：圆心角，圆周角，弧和弦圆的定义:在同一平面上，到固定点的距离等于固定长度的一组点称为圆。

这个固定点叫做圆心。

圆的长度是圆的周长。

弧：圆上任意两点之间的部分称为弧，简称弧。

弧用符号“⌒”表示以a，b为端点的弧记作“，读“弧AB”或“弧AB”。

优弧：大于半圆的弧（多用三个字母表示）；下弧：比半圆小的弧（通常用两个字母表示）圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆。

圆弧、弦、弦中心距与圆心角的关系定理：在同一圆或等圆中，等中心角的圆弧相等，等中心角的弦相等，等中心角弦的弦中心距相等。

推论：在同圆或等圆中，如果两个圆的圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。

中心角：顶点在圆心的角叫做圆心角。

圆周角：顶点位于圆上且两侧与圆相交的角度称为圆周角。

圆周角的顶点在圆上，它的两边为圆的两条弦。

中心角特征识别：①顶点是圆心；② 两边都与圆周相交。

计算公式:① L（弧长）=n/180XπR（n为圆心角的度数，下同）；②s(扇形面积)=n/360xπr二；③ 扇形中心角n=（180L）/（πR）（度）。

④k=2rsin(n/2)k=弦长；n=弦所对的圆心角，以度计。

中心角定理：圆心角的度数等于它所对的弧的度数。

理解：（定义）（1）等弧对等圆心角（2）将圆心顶点的圆周角分成360个部分时，每个部分的中心角为1°（3）因为在同圆中相等的圆心角所对的弧相等，所以整个圆也被等分成360份，这时，把每一份这样得到的弧叫做1°的弧．（4）圆的中心角的度数等于它们相对的弧的度数推论：如果每组（2）中的两个和弦具有相同的中心，那么如果每组（2）中的两个和弦具有相同的中心，则其他两个和弦对应于相同的圆与圆周角关系:在同一圆或等圆中，同一圆弧或弦的圆周角等于中心角的一半。

定理证明：分三种情况讨论，始终做直径cod，利用等腰三角形等腰底角相等，外角等于两内角之和来证明。

四周量的关系

如图，△ABC的三个顶点在⊙0上，AD⊥BC，D为垂足，E是弧BC的中点，求证：∠OAE=∠EAD．（写出两种以上的证明方法）
如图，△ABC是圆O的内接三角形，且AB≠AC，∠ABC和∠ACB 的平分线，分别交圆O于点D，E，且BD=CE，则∠A等于（）
如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=36°，以C为圆心， CA为半径的圆交AB于点D，交BC于点E．求弧AD、DE的度数．
如图，在⊙O中，∠ACB=∠BDC=60°，AC=2 3 cm．（1）求∠BAC的度数；（2）求⊙O的周长
已知AB是半径为1的圆O的一条弦，且AB=a＜1，以AB为一边在圆O内作正△ABC，点D为圆O上不同于点 A的一点，且DB=AB=a，DC的延长线交圆O于点E，则 AE的长为（）
如图，已知AB是⊙O的直径，BC是弦，∠ABC=30°，过圆心 O作OD⊥BC交弧BC于点D，连接DC，则∠DCB的度数为（）度．
四组量的关系
1、四组量关系
2、圆周角定理及推论
四组量关系：
在同圆或等圆中，在圆心角、圆周角、弦、弧这四组量中，如果其中有一组量相等，那么其余三组量也相等（知一推三）注意：其中“等弦对等圆周角”，需是弦的同侧的圆周角
圆周角定理：（1）半圆（或直径）所对的圆周角是直角（2）90°圆周角所对的弦是直径确定圆心的方法： (1)弦的垂直平分线过圆心 (2)90°圆周角所对的弦过圆心
如图，圆O的半径OD⊥AB于点C，连接AO并延长交圆O 于点E，连接EC，若AB=8，CD=2，则EC的长________
如图，⊙O中的弦AB=CD，求证：AD=BC
如图所示，以平行边形ABCD的顶点A为圆心，AB为半径作圆，作AD，BC于E，F，延长BA交⊙A于G，求证：GE＝EF

第九讲(圆心角、弧、弦、圆周角)

第九讲：弧、弦、圆心角、圆周角一、基本知识:1、垂径定理：垂直于弦的直径，并且平分垂径定理推论：平分弦（）的直径垂直于弦，并且平分2、圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的，所对的 ____. 圆心角定理推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两条弦心距中有一对量相等，那么都相等。

注解：在由“弦相等，得出弧相等”或由“弦心距相等，得出弧相等”时，这里的“弧相等”是指对应的劣弧与劣弧相等，优弧与优弧相等。

3、圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆周角定理推论1：半圆（或直径）所对的圆周角是；90°的圆周角所对的弦是______圆周角定理推论2：在同圆或等圆中，所对的圆周角相等； _______ 的也相等 4、圆内接四边形的对角之和为。

二、例题讲解 1、圆心角定理(1)如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，且AB=AC=13,BC=24，求⊙O 的半径为．⑵ 下列说法正确的是（）A ．相等的圆心角所对的弧相等 B.等弧所对的圆心角相等 C ．相等的弦所对的圆心到弦的距离相等 D.圆心到弦的距离相等,则弦相等⑶ 如图AB 是⊙O 的直径，弧AD=弧AC ，求证：∠BOD= ∠ BOC（4）如图，⊙O 的两条弦AB 、CD 相交于P ，M 、N 分别是 AB 、CD 的中点，PM ＝PN ，求证：AB ＝CD2、圆周角定理⑴ 求圆中的角x 的度数？⑵ 如图，AB 是⊙O 的直径，∠ A =80°，∠ABC =______.B⑶ 如图，D 是弧AC 的中点，与∠ABD 相等的角是________________.⑷ 如图，已知AB 为⊙O 的直径， C 为⊙O 外一点， BC 交⊙O 于 AC 交⊙O 于D ，∠DOE =60°，求∠ C 的度数.三、练习1．如图所示，在⊙O 中，AB 是⊙O 的直径，∠ACB 的角平分线CD 交⊙O 于D ，则∠ABD ＝_____________度。

弧对应的圆心角和圆周角

弧对应的圆心角和圆周角
目录
1.圆心角和圆周角的定义
2.弧与圆心角和圆周角的关系
3.圆心角和圆周角的计算公式
4.弧、圆心角和圆周角在实际问题中的应用
正文
一、圆心角和圆周角的定义
圆心角是指以圆心为顶点，以两条射线分别与圆周相交所构成的角。

圆周角是指以圆周上的一点为顶点，以两条射线分别与圆周相交所构成的角。

圆心角和圆周角的度数可以用度数或弧度表示。

二、弧与圆心角和圆周角的关系
弧是指圆周上的一段弯曲部分。

圆心角对应的弧称为圆心角弧，圆周角对应的弧称为圆周角弧。

圆心角弧和圆周角弧的长度与对应的圆心角和圆周角的大小成正比。

三、圆心角和圆周角的计算公式
圆心角的大小可以用以下公式计算：
圆心角 = 弧长 / 半径
圆周角的大小可以用以下公式计算：
圆周角 = 弧长 / 半径× 360° / 2π
四、弧、圆心角和圆周角在实际问题中的应用
在解决实际问题时，弧、圆心角和圆周角的概念和计算公式非常有用。

例如，在建筑设计中，需要计算圆弧形结构的长度和角度；在机械制造中，需要根据圆心角和圆周角加工齿轮等零件。

掌握圆心角和圆周角的计算方法，有助于解决这类实际问题。

总之，弧、圆心角和圆周角是几何学中的基本概念，它们在解决实际问题中发挥着重要作用。