测量误差分析
第3章 测量误差分析及处理
( 1 2 n ) i
3、几何综合法
绝对误差 相对误差 21 22 2n
2 i 2
i
2 2 2
1 2 n
第三节 随机误差
或然率曲线或概率密度曲线
令真值为A，算数平均值为L，观测值为l，误差△=l-A，偏差 i =l-L，则有
i li A
i li L
l
得： 将L代入 i
i
li nA nL 代入 nii
li nL
i
li nA
i
L
A
li L 得
i i
热能与动力工程 测试技术
第三章 测量误差分析及处理
第一节 误差的来源与分类
一、误差的来源与误差的概念
被观测量客观上存在一个真实值，简称真值。对该量进行观测得到 观测值。观测值与真值之差为真误差，即
真误差=观测值-真值
lA — 真误差 l — 观测值 A — 真值
在测量工作中，对某量的观测值与该量的真值间存在着必然的差异，这 个差异称为误差。但有时由于人为的疏忽或措施不周也会造成观测值与 真值之间的较大差异，这不属于误差而是粗差。误差与粗差的根本区别 在于前者是不可避免的，而后者是有可能避免的。
由于系统误差一般有规律可循，其产生的原因一般也 是可预见的，所以系统误差一般可通过改进测量技术、 对测量结果加修正值等手段来减小。通常处理系统误差 的方法有以下几种： （1）消除系统误差产生的根源。 （2）在测量结果中加修正值。确定出较为准确的修正公 式、修正曲线或修正表格，以便修正测量结果。 （3）在测量过程中采取补偿措施。 例如：在用热电偶测温时，采用冷端温度补偿器或冷端 温度补偿元件来消除由于热电偶冷端温度变化所造成的 系统误差。 （4）采用可以消除系统误差的典型的测量技术。 如采用零值法、替代消除法,预检法等。
如何进行测量数据的误差分析
如何进行测量数据的误差分析如何进行数据的误差分析导语：在科学研究和实验中，测量数据的误差是一个不可避免的问题。
准确地进行误差分析有助于我们理解数据的可靠性和可信度。
本文将介绍一些常见的误差类型，以及如何进行测量数据的误差分析。
一、误差的类型和来源1. 系统误差：系统误差是指由于实验仪器或测量方法本身的固有问题而引起的误差。
例如，仪器的不准确度、仪器的零点漂移等都属于系统误差。
这种误差是可以通过校正和调整仪器来减小的。
2. 随机误差：随机误差是指无法确定其来源的误差，它在测量中以不确定形式出现。
可能是由于实验条件的不可控因素，或者是由于实验人员的操作不精确等导致。
随机误差可以通过多次重复测量取平均值来减小。
3. 人为误差：人为误差是指由于人为疏忽或主观判断而引起的误差。
例如，读数误差、记录错误等。
这种误差可以通过加强实验人员的培训和提高实验操作的规范性来减小。
二、误差分析方法1. 确定测量的不确定度：测量不确定度是描述测量结果的可靠性的指标，是进行误差分析的基础。
可以通过多次重复测量、比较不同测量方法的结果、查阅相关文献等途径来确定测量的不确定度。
2. 统计方法：统计方法是误差分析的重要工具之一。
通过对测量数据进行统计学分析，例如平均值、标准差、标准误差等，可以得出测量结果的可信度。
同时，统计方法还可以检验数据的正态分布性、偏离程度等。
3. 校正与调整：对于存在系统误差的测量数据，可以采取校正与调整的方式，以提高测量结果的准确性。
校正的方法多种多样，例如根据仪器的校准曲线进行修正，或者通过其他准确测量仪器的校正值等方法。
4. 不确定度传递：在进行多个测量值的运算时，需要考虑不确定度的传递问题。
根据误差传递公式，可以计算出结果的不确定度。
这有助于我们对测量结果进行更准确的评估。
三、实例分析以实验测量一个材料的密度为例，探讨误差分析的具体方法：1. 确定实验方法，并进行多次重复测量。
例如通过测量样品的质量和体积来计算密度值。
测绘中的误差分析方法与误差控制技巧
测绘中的误差分析方法与误差控制技巧测绘是一门关于地理空间信息的科学与技术，广泛应用于土地、海洋、天文、地质等领域。
在测绘工作中，误差是难以避免的，因为测量和计算过程中存在着人为和物理因素的不确定性。
因此，误差分析和误差控制成为测绘工作中至关重要的一环。
本文将介绍测绘中常用的误差分析方法和误差控制技巧。
一、误差分析方法1. 精度评定法精度评定法是一种常用的误差分析方法，它通过对同一地物或同一空间点的多次测量，计算其测量结果之间的差异，从而得出误差的大小。
其中，常用的统计指标有平均值、标准差、方差等。
通过对统计量的计算和分析，可以获得测量数据的精度情况，并进一步优化测绘结果。
2. 最小二乘法最小二乘法是一种基于平方误差的数学优化方法，它通过最小化剩余误差的平方和来拟合观测数据和模型之间的关系。
在测绘中，最小二乘法经常用于平差计算和数据拟合。
例如，在地形测绘中，通过最小二乘法可以得到地形曲线的最佳拟合线，提高测绘的精度和可靠性。
3. 误差椭圆法误差椭圆法是一种基于误差椭圆模型的误差分析方法。
在测绘中，我们通常使用误差椭圆来描述测量结果的误差范围和方向。
误差椭圆的长轴表示最大误差，短轴表示最小误差，椭圆的倾斜角表示误差的方向。
通过对误差椭圆的计算和分析，可以确定误差的大小和方向，从而更好地控制误差。
二、误差控制技巧1. 仪器校准仪器校准是测绘中重要的误差控制技巧之一，它可以消除或减小仪器的系统误差。
在测绘之前，需要对仪器进行定期的校准，以确保其工作状态和精度。
校准的方法包括对仪器的零位、灵敏度、非线性等进行检测和校准，以使仪器的测量结果更加准确和可靠。
2. 环路闭合环路闭合是一种常用的误差控制技巧，它通过对测量数据进行环路检查，判断误差是否超过容许范围。
在测绘中，常用的环路闭合方法有边际平差闭合、法方程闭合等。
环路闭合可以有效控制误差的传播和积累，提高测绘结果的精度和可靠性。
3. 测量网平差测量网平差是一种基于误差传播原理的误差控制技巧，它通过将所有的观测数据和约束条件一起进行优化计算，得出最优解。
测量误差分析
定值可求得算术平均值及其均方根误差的估计值：
x
1 n
x n
xi
i 1
1
n(n 1)
n i 1
(xi
x)2
第三十七页
由于 (x ) / x 服从自由度v = n－1的t分布，所以 可用上式做以下的概率描述
x
或
P( t tp ) P(tp tp ) P x
P(x tpx x tpx ) P 测量结果可表示为：
第四页
对称性：绝对值相等而符号相反的随机误 差出现的概率相同，其分布呈对称性。
抵偿性：在等精度测量条件下，当测量次数不 断增加而趋于无穷时，全部随机误差的算术平 均值趋于零。
第五页
正态分布的分布密度函数为
f
1
e
2 2 2
2
式中， —— 标准误差（均方根误差）；
e —— 自然对数的底。
间 x , x 内的置信概率。 危险率：P(x x ) 1
第二十三页
置信区间与置信概率共同表明了测量结果 的置信度，即测量结果的可信程度。
对于同一测量结果，置信区间不同，其置 信概率是不同的。
置信区间越宽，置信概率越大；反之亦然。
第二十四页
一列等精度测量的结果可以表达为在一定 的置信概率之下，以测定值子样平均值为 中心，以置信区间半长为误差限的量 测量结果＝子样平均值±置信区间半长（置 信概率P＝？）
得
Y y2 f X1, X2 ,
Xm
f ……x1
12
f x 2
22
f x m
m2
Y yn f X1, X2 ,
Xmf x11nf x 22n
f x m
mn
第四十六页
如何进行测量误差的分析与校正
如何进行测量误差的分析与校正引言：测量误差在各行各业都是一个不可忽视的问题。
无论是科研实验、工程建设还是日常生活中的测量，误差都会对结果和判断产生影响。
因此，分析和校正测量误差是非常重要的。
一、什么是测量误差测量误差是指测量结果与真实值之间的差异。
可以从两个方面进行误差的分类：系统误差和偶然误差。
系统误差是由于测量仪器的固有偏差、环境条件等因素引起的，其值可以通过校正来减小；偶然误差则是由测量操作人员的技术水平、环境因素等引起的，其值通常不能通过校正来减小。
二、测量误差的分析方法1. 重复测量法重复测量法是最常用的测量误差分析方法之一。
该方法通过多次对同一测量目标进行测量，并计算其平均值、标准差等统计指标，来评估偶然误差的大小。
在实际应用中，可以根据需要选择重复测量的次数，一般推荐至少进行三次。
2. 标准样品法标准样品法是通过与已知参考物质进行比较，来确定测量结果准确性的方法。
在科学研究中常常使用标准物质，比如化学试剂的纯度确定、医学检验中的参比物等，通过与这些标准物质的测量结果进行对比，可以分析测量误差的大小。
3. 定量比较法定量比较法是通过对比不同测量方法或测量仪器得到的结果，来评估其误差水平的方法。
在实际应用中，我们可以选择不同的测量方法或使用不同的测量仪器进行测量，然后对比结果来分析误差的来源和大小。
三、测量误差的校正方法1. 仪器校正仪器校正是针对系统误差的一种校正方法。
通过定期对仪器进行校准、调整或修理，可以减小系统误差的影响。
在校正过程中，可以使用标准样品、校准模块等工具来验证仪器的准确性，并记录下校正结果。
2. 操作规范改善操作规范是减小偶然误差的有效途径。
制定严格的操作规程、培训操作人员、提供适当的测量环境等措施，都可以降低测量误差的产生。
重视细节、保持专注和精确性，都是操作规范的重要组成部分。
3. 数据处理在测量误差的数据处理中，可以采用统计分析方法，如线性拟合、加权拟合、最小二乘法等来处理数据。
测量工程师中的测量误差分析
测量工程师中的测量误差分析测量工程师是现代工业生产中的重要职业，他们需要进行多种精密测量，确保产品能够满足要求。
但是，无论是在实验室还是在现场，测量误差的存在都是无法避免的。
因此，测量工程师需要具备分析和解决误差的能力，以确保测量结果的准确性。
本文将介绍测量误差的定义、分类以及如何分析和解决误差等内容。
一、测量误差的定义在测量中，误差是指测量结果与被测量值的真实值之间的差异。
误差可能来自于多个因素，例如仪器的限制、环境条件、操作者的技能等。
误差大小的判断需要将测量结果与真实值进行比较。
在大多数情况下，测量结果需要通过多组测量甚至多个测量点进行取平均值以减小误差的影响。
二、测量误差的分类常见的误差可以分为系统误差和随机误差。
系统误差是指在测量过程中一些偏差对测量结果的影响，它是可重复的和固定的。
系统误差可以通过标定仪器或更改测量方法来消除或者减小。
随机误差是指在测量过程中由于测量条件的不同而导致的未知误差。
它不重复，不确定，难以消除或减小。
在实际测量中，随机误差较小对于测量结果影响不是太大，但是如果大量积累后，它将会显现出来并影响现有测量的准确性。
三、测量误差的分析和解决误差分析是指在测量前、测量期间和测量后对误差进行识别、分析和减小的过程。
首先，正确选择仪器和测量方法非常关键。
选择适合测量需求的仪器是减少误差的关键。
在选择仪器的时候需要考虑采用精度高、稳定性好、适用性广的设备。
其次，需要通过标定仪器和校准仪器来避免仪器偏差对测量结果的影响。
标定仪器是指利用标准器对检验器进行精度的测试，以确定误差值。
而校准仪器是指在实际使用过程中对仪器进行部分或全部参数的检校，以保证测量结果的准确性。
最后，测量过程中应该保持良好的环境条件和操作者的技能。
优秀的测量工程师需要掌握多项技能，例如测量软件的熟练使用、数据处理技巧、分析报告的编写等，以减少不必要的误差。
综上所述，误差是无法避免的，但是测量工程师可以通过标定、校准、控制等手段来减小误差的影响。
第6章 测量误差
x
带有随机误差的一系列等精度测量,算术平均值 可作为测量的真值。
_
算数平均值： x
n
x1 x 2 n
n
xn
n
i 1
xi n
i xi A0
n
i 1 _
i
i 1
xi n A0 （ 0 抵偿性）
A0
i 1
xi
n
x
检测技术
第六章 测量误差分析
x
检测技术
第六章 测量误差分析
（3）测量的极限误差
随机误差落在规定误差范围内的概率趋近于1的极 端误差称为极限误差。
极限误差的确定
随 机 误 差 落 在 - 1 之 间 概 率 为 1
f(δ)
0.135% 0 99.73% 0.135%
2
2 2
e
2
d 1
的 概 率 为 P
5 10 i
M
i 1
i8
i
0 .2 3 0 .2 3 0 .4 6 C
画出残余误差与测量次数关系图。
检测技术
第六章 测量误差分析
周期性系统误差判定（阿卑-赫梅特准则）
n 1
设
A
i i 1
i 1
若A
n 1
2
测量列中含周期性系统误差。
B、测电动势EX k置于2端。 调 RP使检流计为0
E x IR Pab ES RK R Pab
图6.6电位差计原理图
检测技术
第六章 测量误差分析
误差分析方法
误差分析方法误差分析是指在实验或测量过程中，由于各种因素的影响所导致的实际结果与理论值之间的差异。
误差分析方法的应用可以帮助我们更好地理解实验数据的可靠性，提高实验的精确度和准确性。
本文将介绍几种常用的误差分析方法，希望能为您的实验研究提供一些帮助。
1. 绝对误差分析。
绝对误差是指实际测量值与真实值之间的差异，通常用|Δx|来表示。
在实际测量中，我们很难得到真实值，因此通常采用多次测量取平均值的方法来近似真实值。
绝对误差分析方法就是通过比较多次测量值与平均值之间的差异来评估测量的准确性。
当绝对误差较小时，说明测量结果较为可靠；当绝对误差较大时，则需要重新检查实验装置或者测量方法，以提高测量的准确性。
2. 相对误差分析。
相对误差是指绝对误差与测量值的比值，通常用|Δx/x|来表示。
相对误差分析方法可以帮助我们评估测量结果的相对准确性，即测量结果与测量值之间的比较。
相对误差通常用百分比表示，当相对误差较小时，说明测量结果较为可靠；当相对误差较大时，则需要重新检查实验装置或者测量方法，以提高测量的准确性。
3. 不确定度分析。
不确定度是指测量结果与真实值之间的差异的范围，通常用U(x)来表示。
不确定度分析方法可以帮助我们评估测量结果的可靠性，即测量结果的范围。
不确定度分析方法通常包括随机误差和系统误差两部分，通过对这两部分误差的分析，可以得到测量结果的不确定度范围。
当不确定度范围较小时，说明测量结果较为可靠；当不确定度范围较大时，则需要重新检查实验装置或者测量方法，以提高测量的准确性。
4. 统计分析方法。
统计分析方法是指通过统计学方法对测量数据进行分析，得到测量结果的可信度。
常用的统计分析方法包括均值、标准差、方差等。
通过对测量数据的统计分析，可以得到测量结果的分布规律，评估测量结果的可靠性。
当测量数据的分布规律较为集中时，说明测量结果较为可靠；当测量数据的分布规律较为分散时，则需要重新检查实验装置或者测量方法，以提高测量的准确性。
测绘技术中的常见测量误差分析
测绘技术中的常见测量误差分析测绘技术是现代社会中不可或缺的一门学科，它在土地管理、工程建设、地理信息系统等领域发挥着重要作用。
然而，由于各种因素的影响，测绘过程中常常会产生误差。
本文将介绍测绘技术中的常见测量误差，并进行误差分析。
一、仪器误差仪器误差是测绘中最常见的误差之一。
无论是光学仪器还是电子仪器，在使用过程中都会存在一定的测量偏差。
光学仪器可能受到大气折射、像差等因素的影响，而电子仪器可能因为电子元器件的性能差异而产生误差。
因此，在进行测绘时，需要对仪器的误差进行有效的校正和补偿。
二、环境误差环境误差是指测绘过程中由于环境条件的变化而引起的误差。
例如，气温、气压、湿度等环境因素会直接或间接地影响测量结果。
例如，在高海拔地区进行测量时，大气压力较低，会导致气压测量的不准确，从而影响了测绘精度。
因此，在进行测绘时，需要对环境因素进行合理的考虑与修正，以提高测量的准确性。
三、人为误差人为误差是指测绘人员在实际操作中由于疏忽、不规范操作等原因而引起的误差。
人为误差可能来自于测绘人员的技术水平、经验丰富度以及不同的思维方式等因素。
例如，在进行地面控制点的标定时，如果测绘人员没有按照规范的程序进行操作，就很容易引起误差。
因此，在测绘过程中，需要加强专业技能的培训，提高测绘人员的综合素质，以减少人为误差的发生。
四、数据误差数据误差是指在测绘过程中由于数据采集、储存等环节产生的误差。
数据误差可能来自于数据采集设备的精度、数据传输的失真以及储存介质的可靠性等方面。
例如，现代测绘常使用的全站仪在进行测量时会产生大量原始数据，如果这些数据在传输和储存过程中发生丢失或失真，就会导致测绘结果的误差。
因此，在进行测绘时，需要选择合适的数据采集设备和储存介质，保证数据的准确性和完整性。
综上所述，测绘技术中的常见测量误差主要包括仪器误差、环境误差、人为误差和数据误差。
为了尽可能地提高测绘的准确度和精度，我们需要从各个角度对这些误差进行分析和控制。
如何进行测量误差的分析和校正
如何进行测量误差的分析和校正引言：在各行各业的实验室和工程项目中，测量是一项非常重要的工作。
然而，测量过程中常常会出现误差，这会对结果的准确性和可靠性带来挑战。
为了有效地分析和校正测量误差，我们需要了解误差类型、产生原因以及适用的分析方法和校正技术。
一、测量误差类型测量误差可以分为系统误差和随机误差两大类。
系统误差是由于测量仪器本身的不准确性或环境因素所导致的，它们在多次重复测量中始终保持一定的偏差。
而随机误差则是由于测量过程中的各种不确定因素所引起的，其大小和方向都是随机性的。
二、测量误差的产生原因1. 仪器校准不准确：在购买或使用测量仪器时，如果仪器的校准不准确，那么无论后续的测量过程如何，都无法获得准确的结果。
2. 操作不当：操作者的技术水平和操作方法的正确性直接影响测量结果的准确性。
例如，对于精密仪器，不正确的使用方法会导致误差的增加。
3. 环境因素：温度、湿度、气压等环境因素也会对测量结果造成一定的影响。
需要将这些因素考虑在内，并进行相应的校正。
4. 实验样本或被测物体的特性：如果被测样本具有复杂的特性，例如不均匀的温度分布或表面不平整，这些因素都会对测量结果产生影响。
三、测量误差分析方法1. 校准和验证测量仪器：在进行测量前，务必对使用的仪器进行校准，以减小仪器本身带来的误差。
校准的方法包括标准样品比对、使用标准设备进行反向测量等。
2. 多次重复测量：通过多次重复测量同一样本，可以获得测量结果的平均值和标准偏差。
标准偏差越小，测量结果越可靠。
3. 整理并分析数据：将获得的测量数据整理并进行适当的统计分析，例如计算平均值、中位数、方差等指标，以了解误差的分布情况和数据的可靠性。
四、测量误差的校正技术1. 系统误差校正：对于系统误差，可以通过对仪器进行调整、更换或升级来减小误差。
此外，还可以通过建立校正方程或修正系数来校正测量结果。
2. 随机误差校正：针对随机误差，可以通过增加样本量来减小误差的影响。
测量误差分析
测量误差分析一.水准测量误差分析水准测量误差包括仪器误差，观测误差和外界条件的影响三个方面。
（一）仪器误差1.仪器校正后的残余误差例如水准管轴与视准轴不平行，虽经校正仍然残存少量误差等。
这种误差的影响与距离成正比，只要观测时注意使前、后视距离相等，便可消除或减弱此项误差的影响。
2.水准尺误差由于水准尺刻划不正确，尺长变化、弯曲等影响，会影响水准测量的精度，因此，水准尺须经过检验才能使用。
至于尺的零点差，可在一水准测段中使测站为偶数的方法予以消除。
(二) 观测误差1.水准管气泡居中误差设水准管分划道为τ″，居中误差一般为±0.15τ″，采用符合式水准器时，气泡居中精度可提高一倍，故居中误差为m =ρτ''⋅'''±215.0·D （D —水准仪到水准尺的距离。
） 2.读数误差在水准尺上估读数毫米数的误差，与人眼的分辨力、望远镜的放大倍率以及视线长度有关，通常按下式计算m v =ρ''⋅''D V 06 （ V —望远镜的放大倍率；） 60″—人眼的极限分辨能力。
3.视差影响当存在视差时，十字丝平面与水准尺影像不重合，若眼睛观察的位置不同，便读出不同的读数，因而也会产生读数误差。
4.水准尺倾斜影响水准尺倾斜将尺上读数增大，如水准尺倾斜033'︒，在水准尺上1m 处读数时，将会产生2mm 的误差；若读数大于1m ，误差将超过2mm 。
（三）外界条件的影响1.仪器下沉由于仪器下沉，使视线降低，从而引起高差误差。
若采用“后、前、前、后”观测程序，可减弱其影响。
2.尺垫下沉如果在转点发生尺垫下沉，使下一站后视读数增大，这将引起高差误差。
采用往返观测的方法，取成果的中数，可以减弱其影响。
3.地球曲率及大气折光影响 地球曲率与大气折光影响之和为RD f 243.0⨯= 如果使前后视距离D 相等，由公式计算的f 值则相等，地球曲率和大气折光的影响将得到消除或大大减弱。
测量误差分析及处理
测量误差分析及处理测量误差是指测量结果与被测量真值之间的差异。
在实际测量中，由于各种因素的影响，几乎所有的测量都存在一定的误差。
因此，对测量误差进行分析和处理是保证测量结果准确性和可靠性的重要步骤。
一、测量误差的分类1.由人工操作引起的误差：如读数、估计误差、标志误差等。
2.由测量仪器本身引起的系统误差：如仪器固有误差、量程误差、灵敏度误差、非线性误差等。
3.由环境条件引起的误差：如温度、湿度、大气压力等变化引起的误差。
4.由被测量对象本身引起的误差：如形状、材质、表面状态等造成的误差。
二、测量误差的处理方法1.校正补偿法：通过对测量仪器进行校正，把系统误差减小到最小范围内，提高测量仪器的准确性和可靠性。
2.平均法：通过多次测量并取平均值，消除人为误差以及瞬时误差，提高测量结果的精度。
3.区间估计法：根据测量值的分布规律进行统计分析，得到误差范围，从而对测量结果进行合理的处理和评定。
4.转化法：将不确定因素转化为已知的误差，通过相应的公式计算测量结果的修正值，从而减小测量误差的影响。
5.误差传递定律：通过分析测量结果与各个误差之间的关系，计算各个误差对测量结果的影响程度，确定主要影响因素，采取相应措施减小误差。
三、测量误差的评定标准1.绝对误差：指测量结果与真实值之差的绝对值，常用百分数表示。
2.相对误差：指测量结果与真实值之差除以真实值的比值，常用百分数表示。
3.系统误差：指一组测量值质量上所表现出的系统性偏差，可以通过校正来消除。
系统误差一般由测量仪器本身引起，是可以预测和确定的。
4.随机误差：指一组测量值中各个测量结果与其算术平均值之差，常用标准差描述。
随机误差是由多种因素共同作用引起的，通常无法完全消除，但可以通过重复测量和平均值来降低。
四、测量误差的控制措施1.选择合适的测量仪器：根据测量要求选择适合的测量仪器，保证其准确度和稳定性。
2.采取科学合理的测量方法：合理安排测量程序，严格按照测量要求进行测量操作，提高测量的可再现性和准确性。
测量误差分析
如：某个量的准确值x01=1000，其近似值
x1=999，
另一个量的准确值x02=10，相应近似值x2=9
这两个量的绝对误差都是1，但显然x1的近似
程度比x2好。为反应这种近似程度，需引入如
下相对误差
er
e x0
x0 x0
x
为近似值x的相对误差。
相对误差的绝对值越小，近似程度越高
例如，前面两个量x1和x2，它们相对误差分 别为e1r=0.001和e2r=0.1，因为|e1r|<|e2r|，所以 x1比x2逼近程度好。同样，由于准确数x0通 常是未知的，导致相对误差不能计算出来，
轴是数据分布中心 x x0 抵偿性－由于对称性，令随机误差的算术
平均值为0，
lim
n
xi
0
2.1.3 概率积分 对于 p(x) 1
，即 e
(
x x0 ) 2 2
2
2
p(x; x0 , )
经n次测量计算
繁琐，提出特例（ x0 0, 1），称为标准
正态分布函数
误差限一般是可以求出的，例如用具有毫米 刻度的皮尺去测量某个物件的长度，测量的数 据与物件的实际长度不会超过半个毫米，这半 个毫米就是物件长度的误差限。 误差限ε给出了准确值x0的所在范围为
x-ε≤x0≤x+ε，显然误差限ε越小，近似值x的 近似值越精确。
绝对误差不能反映近似值x的近似程度，例
因而产生估计相对误差的相对误差限概念
|
er
||
x0 x0
x
||
r x0
|
r
正数εr为x的相对误差限。
相对误差限不如绝对误差限容易得到，使
测量误差分析
解 1)可能出现的最大引用相对误差从精度等级直接得到
m 2.5%
2) m m Am =2.5%×1.5=0.0375MPa
3)
x
m 100 % Ax
=0.0375/0.70×100%=5.36%
第一节 测量误差基本概念
例 现有0.5级0～300℃和1.0级0～100℃的两个温度计， 要测量80℃的温度，问：采用哪一个温度计好？
( xi
x)2自由度v=n - 1源自n≥6时推荐使用该式。(2)极差法
s(x) (xmax xmin ) / dn
式中 dn——极差系数(查表)，n<6时推荐使用该式。
(3)最小二乘法
当被测量x的估计值是由试验数据用最小二乘法拟合的一条直线 或曲线得到时，任意预期的估计值或表示曲线拟合参数的标准不确 定度可用己知的统计程序得到。
第四节 测量结果误差估计
一、直接测量结果的误差估计 1. 以量程%表示准确度等级的仪器仪表的测量结果， 测量误差：
绝对误差 相对误差
A aAm %
A
Am A
a%
ΔA、δA——测量结果A的绝对误差和相对误差；a、 Am仪器仪表的准确度等级和量程。
第四节 测量结果误差估计
2. 已知仪器仪表的基本误差或允许误差Δ的测量结 果，测量误差：
第一节 测量误差基本概念
二、测量误差的表示
1. 绝对误差 指示/测量值与真值之差，可正可负。
Ax A0
2. 相对误差 绝对误差与真值之比，%形式表示，一般多取正值。 真值用约定真值/相对真值代替。 相对误差越小，准确度越高——常用相对误差评价测量 结果准确度。
第一节 测量误差基本概念
1)实际相对误差 绝对误差与被测量真值之比的百分数表示。
测绘技术中常见的测量误差分析
测绘技术中常见的测量误差分析引言测绘技术是现代社会中广泛应用的一项重要技术，它为土地规划、工程建设、资源管理等领域提供了精确的地理数据。
然而，测绘过程中常常存在各种测量误差，这些误差如果不加以分析和纠正，将对测绘结果的准确性产生负面影响。
因此，对测绘技术中常见的测量误差进行深入分析，对于保证测绘结果的精确性至关重要。
一、随机误差随机误差是由于各种随机因素引起的误差，其特点是无法预测和消除，但可以通过多次测量和统计方法来降低对测量数据的影响。
随机误差通常由仪器精度、人为操作等因素引起。
例如，测量仪器的精度不够高、测量人员的操作不准确等都会导致随机误差的出现。
为了降低随机误差的影响，测绘人员通常会进行多次测量，并使用平均值作为最终结果。
此外，通过合理选择仪器和培训测量人员，也可以减小随机误差的发生。
二、系统误差系统误差是由于测量仪器、测量环境、测量方法等方面的固有原因引起的误差，其特点是存在较为稳定的偏差，且在多次测量中重复出现。
系统误差可分为仪器误差、环境误差和方法误差等几个方面。
1. 仪器误差仪器误差是由测量仪器自身的特性所引起的误差，例如仪器的刻度不准确、仪器的量程限制等。
为了减小仪器误差的发生，测绘人员在选择仪器时需考虑其精度、稳定性等参数，并校准仪器以确保其准确性。
2. 环境误差环境误差是由测量环境的变化所引起的误差，例如温度、湿度等环境因素的变化都会对测绘结果产生影响。
为了降低环境误差，通常会进行环境控制措施，如恒温、湿度控制等。
3. 方法误差方法误差是由于测量方法的选择和执行不当所引起的误差。
例如，在使用全站仪进行测量时，如果选择的测量方法不适当或操作不正确，都会导致方法误差的出现。
为了减小方法误差，测绘人员需要熟悉不同的测量方法，并根据具体情况选择最合适的方法进行测量。
三、环路闭合差环路闭合差是在测量环路中出现的误差，其主要用于检查和评估测量结果的准确性。
闭合差是将环路中各个测量线的长度相加后与环路的实际长度之差，正常情况下应接近于零。
测量误差的分析与消除
测量误差的分析与消除引言：在现代科学与工程领域中，精确的测量是获得准确数据和可靠结论的基础，而测量误差则常常是影响数据准确性的重要因素。
因此，对测量误差进行分析与消除是一项十分重要的任务。
本文将就测量误差的来源、分类和分析方法进行探讨，并介绍一些常用的测量误差消除技术。
一、测量误差的来源与分类1. 系统误差系统误差是由于测量仪器或系统本身的固有特性引起的误差，这种误差通常具有一定的偏差和重复性。
例如，仪器的灵敏度不一致、采样频率不准确等都会导致系统误差的产生。
2. 随机误差随机误差是由于无法完全控制的外部因素引起的误差，它在进行多次重复测量时会出现波动。
例如，环境温度的变化、人为操作不精确等都会导致随机误差的产生。
3. 人为误差人为误差是由于操作人员的主观性、技术水平或疏忽等因素引起的误差。
这种误差可能体现在读数不准确、操作不规范等方面。
二、测量误差分析的方法1. 直接观察法直接观察法是通过多次测量同一量值，然后求平均值来估计测量结果的准确性。
通过计算测量值之间的离散程度，可以判断测量误差的大小。
2. 回归分析法回归分析法适用于对多个因素进行测量的情况，通过建立数学模型，分析每个因素对测量结果的影响程度，从而找出对结果产生较大影响的因素。
3. 方差分析法方差分析法是一种常用的统计分析方法，通过对多组数据进行方差分析，判断不同组别之间的误差差异，并确定是否存在显著差异。
三、测量误差消除的技术1. 校准仪器在进行测量之前，对使用的测量仪器进行校准是非常重要的。
校准可以通过与已知准确值进行比对，或者使用标准参照物进行比较来实现。
校准后的仪器能够提供更加准确可靠的测量结果。
2. 使用纠正因子一些测量误差是可以通过使用纠正因子进行修正的。
例如，根据环境条件的变化修正测量结果、校正仪器的灵敏度不一致等。
3. 重复测量与平均值重复测量同一量值并求平均值，在消除随机误差方面具有一定的效果。
通过多次测量，并排除个别异常值，可以获得更加准确的平均值。
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1.4 测量误差分析1.4.1 测量误差分类按照误差的表示形式，可分为绝对误差、相对误差和引用误差；按照误差的特点和性质，又可分为系统误差、随机误差和粗大误差。
1.按表示形式分类(1) 绝对误差绝对误差的定义为绝对误差＝测得值-真值 (1-1)在实际工作中，经常使用修正值。
为消除系统误差，用代数法加到测量结果中的值称为修正值。
将测得值加上修正值之后可以得到近似的真值，即修正值＝真值-测得值 (1-2)由此可得真值≈测得值+修正值 (1-3)修正值与误差值的大小相等而符号相反。
测得值加修正值后可在一定程度上消除该误差的影响，这就是误差修正的基本原理。
但值得注意的是，由于在大多数情况下难以得到真值，修正值本身也存在着误差，因此修正后只能得到较测得值更为准确的结果。
(2) 相对误差相对误差定义为绝对误差与被测量的真值之比，即绝对误差相对误差=真值(1-4) 相对误差只有大小和符号且量纲为一，一般用百分数来表示。
此外，相对误差常用来衡量测量的相对准确程度，相对误差越小，测量精确度越高。
(3) 引用误差对于有一定测量范围的测量仪器或仪表，以上所提到的绝对误差和相对误差都会随测量点的改变而改变，因此往往还采用其测量范围内的最大误差来表示该仪器仪表的误差，这就是引用误差的概念。
引用误差定义为在一个量程内的最大绝对误差与测量范围上限或满量程之比，即最大绝对误差引用误差＝测量范围上限(1-5) 根据国家标准GB776—76《测量指示仪表通用技术条件》规定，我国电工仪表的精确度等级就是按照引用误差进行分级的。
一般分为0.1，0.2，0.5，1.0，1.5，2.5，5.0七级，分别表示它们的引用误差不超过的百分数。
例1-1 某1.0级电流表，满度值为100A μ，求测量值分别为100A μ，80A μ和20A μ时可能出现的最大绝对误差和相对误差。
根据题意得1100A x μ=，280A x μ=，320Ax μ=（13x x -对应了三次测量值），且考虑到绝对误差不随测量值而变，均为123100 1.0%1A x x x μ∆=∆=∆=±⨯=±则最大相对误差分别为1111100%100%1%100x x r x ∆=⨯=±⨯=± 2221100%100% 1.25%80x x r x ∆=⨯=±⨯=± 3331100%100%5%20x x r x ∆=⨯=±⨯=± 可见，在同一量程内，测得值越小，示值相对误差越大。
例1-2检定一只2.5级、量程上限为100 V 的电压表，发现在50 V 处误差最大，其值为2 V ，而其他刻度处的误差均小于2 V ，问这只电压表是否合格？首先求得电压表的引用误差为(2/100)100%2%m r =⨯=由于2％<2.5％，所以电压表合格。
2．按性质分类(1)系统误差系统误差指在相同条件下，多次测量同一量值时，误差的绝对值和符号保持不变；或者在条件改变时，按某一确定规律变化的误差。
其定义为在重复性条件下，对同一被测量进行无限多次测量所得结果的平均值与被测量的真值之差。
系统误差按照掌握程度分为已定系统误差和未定系统误差；按照变化规律可分为恒定系统误差和变值系统误差，其中变值系统误差又可分为线性系统误差、周期性系统误差和复杂规律系统误差。
已定系统误差是误差的绝对值和符号已经确定的系统误差。
未定系统误差是误差的绝对值和符号未能确定的系统误差，但通常可以估计出误差范围。
恒定系统误差是误差的绝对值和符号固定不变的系统误差。
如砝码标准量值的误差、某些仪器的调整偏差所引人的误差都属于恒定系统误差。
变值系统误差是误差的绝对值和符号变化的系统误差。
线性系统误差是误差的数值随某些测量系统的变化而逐渐增加或逐渐减小的系统误差。
周期性系统误差是误差的数值随某些测量条件发生周期性变化的系统误差。
如表盘安装偏心引起的误差，在一周示值上呈正弦规律变化，即表现为周期性系统误差。
复杂规律系统误差指变化规律很复杂的系统误差，但多次测量时其变化具有一定的规律性。
系统误差表现出的规律性，可根据其产生原因，通过采取一定的技术措施予以减小或消除，例如对测量值进行必要的修正可以在一定程度上减小系统误差的影响。
(2)随机误差随机误差也称偶然误差，是在相同条件下，多次测量同一量值时，绝对值和符号以不可预知方式变化的误差。
产生随机误差的原因很多，最常见的如实验过程中温度的波动、噪声的干扰、电磁场的扰动、电压的起伏和外界振动等。
这些因素之间可能很难找到确定的关系，而且每个因素的出现与否，以及这些因素对测量结果的影响，难以预测和控制。
从统计的角度来看，虽然某一个随机误差的出现没有规律性，也不能用实验的方法予以消除。
但是，如果进行大量的重复实验，就可能发现它在一定程度上所遵循的某种统计规律。
这样就可以运用概率统计的方法对随机误差的总体趋势及其分布进行估计，并采取相应的措施减小其影响。
(3)粗大误差明显超出规定条件下预期的误差称为粗大误差，或称过失误差。
这种误差较大，明显歪曲测量的结果，因此要按照一定的判决准则予以剔除。
产生粗大误差的原因可能是某些突发性的因素或疏忽、测量方法不当、操作程序失误、读错读数或单位、记录或计算错误等。
值得注意的是，系统误差和随机误差之间并不存在绝对的界线。
在生产实践中，由于测量是在某种环境中进行的，在一定条件下系统误差和随机误差间可发生变化甚至相互转化。
随着对误差性质认识的深化和测量技术的进步，有可能运用误差分离的技术，把随机误差的某些部分予以分离后实施修正，或者把系统误差当做随机误差来分析，通过概率统计的方法进行处理。
1.4.2 随机误差本节内容为随机误差的基本概念，通过对随机误差产生原因、特点及处理方法的介绍，了解随机误差的分布特征，并掌握算术平均值、测量标准差和极限误差等的计算方法。
1.4.2.1 随机误差的基本概念1.随机误差的定义随机误差也称偶然误差，是在相同条件下，多次测量同一量值时，绝对值和符号以不可预知方式变化的误差。
2.随机误差产生的原因随机误差是由许多不能掌握、不能控制、不能调节、更不能消除的微小因素所构成。
虽然产生随机误差的原因很多，但主要可分为以下三个方面：①测量装置方面的因素。
由于所使用的测量仪器在结构上不完善或零部件制造不精密，因而给测量结果带来随机误差。
例如，由于轴与轴承之间存在间隙，因而润滑油在一定条件下所形成的油膜不均匀的现象会给圆周分度测量带来随机误差。
② 测量环境方面的因素。
最常见的如实验过程中温度的波动、噪声的干扰、电磁场的扰动、电压的起伏和外界振动等。
③ 测量人员方面的因素。
操作人员对测量装置的调整、操作不当，如瞄准、读数不稳定等。
这些因素之间可能很难找到确定的关系，而且每个因素的出现与否，以及这些因素对测量结果的影响，都难以预测和控制。
3.随机误差的特点从统计意义来看，虽然某一个随机误差的出现没有规律性，也不能用实验的方法予以消除。
但是如果进行大量的重复实验，就能发现它在一定程度上遵循某种统计规律。
这样，就有可能运用概率统计的方法对随机误差的总体趋势及其分布进行估计，并采取相应的措施减小其影响。
常见的随机误差分布特征有很多种。
若以正态分布为例，则随机误差的出现服从以下规律：①单峰性 测量值与真值相差越小，其可能性越大；与真值相差很大，其可能性较小。
②对称性 测量值与真值相比，大于或小于某量的可能性是相等的。
③有界性 在一定的测量条件下，误差的绝对值不会超过一定的限度。
④抵偿性 随机误差的算术平均值随测量次数的增加越来越小。
正态分布的概率密度函数如图2-1所示。
其表达式为212x y μσ⎧⎫-⎪⎪⎛⎫=-⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭ (1-6) 式中：y ——正态分布概率密度函数；x ——被测量的测量值；μ——被测量的真值；σ——标准差。
从图2-1可以看出，σ越大，则测量的数据越分散。
图2-l 正态分布曲线4.减小随机误差的技术途径①测量前，找出并消除或减少产生随机误差的物理源。
②测量中，采用适当的技术措施，抑制和减小随机误差。
③测量后，对采集的数据进行适当处理，抑制和减小随机误差。
如数据处理中常用低通滤波、平滑滤波等方法来消除中高频随机噪声，用高通滤波方法来有效消除低频随机噪声等。
1.4.3 算术平均值与标准误差1.4.3.1 算术平均值基于随机误差的上述特性，通过多次测量求平均值的方法，可以使随机误差相互抵消。
算术平均值与真值较为接近，一般作为最后测量结果。
在等精度测量条件下，对某被测量进行多次重复测量，测量值代数和除以测量次数而得到的值称为算术平均值。
其表达式为11ni i x x n ==∑ (1-7) 式中：n ——测量次数；i x (i ＝1，2，…，n )——n 个测量结果。
因为算术平均值与被测量的真值最为接近，若测量次数无限增加，则必然趋近于真值，因此将其作为测量结果的最佳估计。
根据误差定义有i i x δμ=- (1-8)式中：i δ——某次测量的误差；i x ——某次测量的测量值；μ——被测量的真值。
式(1-8)还可写成[E(X)][E(X)]i i i x x δμμ=-=-+- (1-9)式中：E(X)——测量结果的期望(又称为数学期望)。
测量误差由两个分量组成：[E(X)]i x -为测量结果与期望的偏差，一般称为随机误差。
其特点是：当测量次数趋于无限大时，随机误差的期望趋于零；[E(X)]μ-为期望与真值的偏差，通常称为系统误差。
式(1-9)可以揭示以下结论：①重复条件下对同一被测量进行无限次测量，测量结果的平均值就是数字期望；②随机误差等于误差减系统误差；③因为测量次数不可能做到无限次，因此只能确定随机误差的估计值。
总之，随机误差是测量误差中数学期望为零的误差分量，而系统误差则是测量误差中数学期望不为零的误差分量。
1.4.3.2 测量的标准差标准差作为随机误差的代表，是随机误差绝对值的统计均值。
在国家计量技术规范中，标准差的正式名称是标准偏差，简称标准差，用符号σ表示。
当对一个参数进行有限次测量时，应将其视为对测量总体取样而求得的标准差估计值，用s 表示，以区别于总体标准差σ。
为便于教学描述，本书对标准差估计值仍用σ表示，但读者应对两者的区别有所了解。
1.单次测量的标准差测量列中单次测量值(任一测量值)的标准差定义为σ (1-9)式中：i δ为第i 次测量的真差。
由于真差i δ未知，所以不能直接按照定义求得σ值，故实际测量时常用残余误差i i x x ν=-代替真差，按照贝塞尔(Bessel)公式求得σ的估计值为σ=(1-10)2.算术平均值标准偏差 如果在相同条件下对同一量值进行多组重复的系列测量，则每一系列测量都有一个算术平均值。