2021高考数学一轮复习课后限时集训4函数及其表示(含解析)
2021年高考数学第一轮复习 课后练习册子及其答案和详细解析
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强化练习题
目录
第 1 讲 集合与简易逻辑...........................................................................................................................- 1 第 2 讲 函数及其性质经典精讲 ...............................................................................................................- 2 第 3 讲 函数及其性质 2019 高考真题赏析 .............................................................................................- 3 第 4 讲 函数及其性质 2018 高考真题赏析 .............................................................................................- 4 第 5 讲 平面向量.......................................................................................................................................- 5 第 6 讲 三角函数与三角恒等变换经典精讲 ............................................................
2021年高考数学大一轮复习 课时跟踪检测(四)函数及其表示 文(含解析)
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2021年高考数学大一轮复习 课时跟踪检测(四)函数及其表示 文(含解析)一、选择题1.(xx·大同调研)设全集为R ,函数f (x )=ln1+x1-x的定义域为M ,则∁R M =( )A .(-1,1)B .(-∞,-1)∪(1,+∞)C .(-∞,-1]∪[1,+∞)D .[-1,1]2.已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x 2+1,x ≤1,2x+ax ,x >1,若f (f (1))=4a ,则实数a 等于( ) A.12 B.43 C .2D .43.若二次函数g (x )满足g (1)=1,g (-1)=5,且图象过原点,则g (x )的解析式为( ) A .g (x )=2x 2-3x B .g (x )=3x 2-2x C .g (x )=3x 2+2xD .g (x )=-3x 2-2x4.函数f (x )=10+9x -x 2lg x -1的定义域为( )A .[1,10]B .[1,2)∪(2,10]C .(1,10]D .(1,2)∪(2,10]5.根据统计,一名工人组装第x 件某产品所用的时间(单位:分钟)为f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧c x ,x <A ,c A ,x ≥A ,(A ,c 为常数).已知工人组装第4件产品用时30分钟,组装第A 件产品用时15分钟,那么c 和A 的值分别是( )A .75,25B .75,16C .60,25D .60,166.创新题具有性质:f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x =-f (x )的函数,我们称为满足“倒负”变换的函数,下列函数:①y =x -1x ;②y =x +1x ;③y =⎩⎪⎨⎪⎧x ,0<x <1,0,x =1,-1x ,x >1.其中满足“倒负”变换的函数是( ) A .①② B .①③ C .②③ D .①二、填空题7.(xx·太原月考)已知y =f (2x)的定义域为[-1,1],则y =f (log 2x )的定义域是________.8.设函数f (x )满足f (x )=1+f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12log 2x ,则f (2)=________. 9.已知函数y =f (x 2-1)的定义域为[-3,3],则函数y =f (x )的定义域为________.10.(xx·岳阳模拟)已知奇函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧3x+a ,x ≥0,g x ,x <0,则f (-2)的值为________.三、解答题11.(1)如果f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x =x 1-x,则当x ≠0且x ≠1时,求f (x )的解析式;(2)已知f (x )是一次函数,且满足3f (x +1)-2f (x -1)=2x +17,求f (x )的解析式. 12.如图1是某公共汽车线路收支差额y 元与乘客量x 的图象.(1)试说明图1上点A 、点B 以及射线AB 上的点的实际意义;(2)由于目前本条线路亏损,公司有关人员提出了两种扭亏为赢的建议,如图2、3所示.你能根据图象,说明这两种建议的意义吗?(3)此问题中直线斜率的实际意义是什么? (4)图1、图2、图3中的票价分别是多少元?答 案1.选C 由f (x )=ln1+x 1-x ,得到1+x1-x>0,即(x +1)(x -1)<0,解得-1<x <1,即M =(-1,1), ∵全集为R ,∴∁R M =(-∞,-1]∪[1,+∞).2.选C ∵f (1)=2,∴f (f (1))=f (2)=4+2a =4a ,解得a =2.故选C.3.选B (待定系数法)设g (x )=ax 2+bx +c (a ≠0),∵g (1)=1,g (-1)=5,且图象过原点,∴⎩⎪⎨⎪⎧ a +b +c =1,a -b +c =5,c =0,解得⎩⎪⎨⎪⎧a =3,b =-2,c =0,∴g (x )=3x 2-2x ,选B. 4.选D 要使函数f (x )有意义, 则x 需满足⎩⎪⎨⎪⎧10+9x -x 2≥0,x -1>0,lg x -1≠0,即⎩⎪⎨⎪⎧-1≤x ≤10,x >1,x ≠2,所以不等式组的解集为(1,2)∪(2,10]. 故选D.5.选D 因为组装第A 件产品用时15分钟, 所以cA=15,① 所以必有4<A ,且c4=c2=30.② 联立①②解得c =60,A =16.6.选B 对于①,f (x )=x -1x,f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x =1x-x =-f (x ),满足;对于②,f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x =1x+x =f (x ),不满足;对于③,f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x =⎩⎪⎨⎪⎧1x ,0<1x <1,0,1x =1,-x ,1x >1,即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x =⎩⎪⎨⎪⎧1x ,x >1,0,x =1,-x ,0<x <1,故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x =-f (x ),满足.综上可知,满足“倒负”变换的函数是①③. 7.解析:∵函数f (2x)的定义域为[-1,1], ∴-1≤x ≤1,∴12≤2x≤2.∴在函数y =f (log 2x )中,12≤log 2x ≤2,∴2≤x ≤4. 答案:[2,4]8.解析:由已知得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12=1-f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12·log 22,则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12=12,则f (x )=1+12·log 2x ,故f (2)=1+12·log 22=32.答案:329.解析:∵y =f (x 2-1)的定义域为[-3,3], ∴x ∈[-3,3],x 2-1∈[-1,2], ∴y =f (x )的定义域为[-1,2]. 答案:[-1,2]10.解析:因为函数f (x )为奇函数,所以f (0)=30+a =0,即a =-1.所以f (-2)=g (-2)=-f (2)=-(32-1)=-8.答案:-811.解:(1)令1x =t ,得x =1t(t ≠0且t ≠1),∴f (t )=1t1-1t=1t -1, ∴f (x )=1x -1(x ≠0且x ≠1). (2)设f (x )=ax +b (a ≠0),则3f (x +1)-2f (x -1)=3ax +3a +3b -2ax +2a -2b =ax +5a +b , 即ax +5a +b =2x +17不论x 为何值都成立,∴⎩⎪⎨⎪⎧a =2,b +5a =17,解得⎩⎪⎨⎪⎧a =2,b =7,∴f (x )=2x +7.12.解:(1)点A 表示无人乘车时收支差额为-20元,点B 表示有10人乘车时收支差额为0元,线段AB 上的点表示亏损,AB 延长线上的点表示赢利.(2)图2的建议是降低成本,票价不变,图3的建议是提高票价. (3)斜率表示票价.(4)图1、2中的票价是2元.图3中的票价是4元.N39662 9AEE 髮UM25820 64DC 擜23588 5C24 尤39746 9B42 魂3037076A2 皢t22864 5950 奐{22248 56E8 囨27691 6C2B 氫36174 8D4E 赎。
2021届高考数学一轮总复习第二章函数导数及其应用课时作业4函数及其表示含解析苏教版
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第二章 函数、导数及其应用课时作业4 函数及其表示一、选择题1.下列所给图象是函数图象的个数为( B)A .1B .2C .3D .4解析:①中当x >0时,每一个x 的值对应两个不同的y 值,因此不是函数图象;②中当x =x 0时,y 的值有两个,因此不是函数图象;③④中每一个x 的值对应唯一的y 值,因此是函数图象,故选B.2.函数y =-x 2+2x +3lg (x +1)的定义域为( B )A .(-1,3]B .(-1,0)∪(0,3]C .[-1,3]D .[-1,0)∪(0,3]解析:由已知得⎩⎪⎨⎪⎧-x 2+2x +3≥0,x +1>0,x +1≠1,解得x ∈(-1,0)∪(0,3].故选B.3.如果函数f (x )=ln(-2x +a )的定义域为(-∞,1),那么实数a 的值为( D ) A .-2 B .-1 C .1D .2解析:因为-2x +a >0,所以x <a 2,所以a2=1,得a =2.故选D.4.下列函数满足f (log 32)=f (log 23)的是( C ) A .f (x )=2x +2-xB .f (x )=x 2+2xC .f (x )=x 2+1xD .f (x )=x -1x +1解析:由于log 32=1log 23,故问题等价于满足f (x )=f (1x )的函数.对于A 选项,f (1x )=21x+2-1x ≠f (x ),不符合题意.对于B 选项,f (1x )=1x 2+2x ≠f (x ),不符合题意.对于C 选项,f (x )=x +1x ,f (1x )=1x +x =f (x ),符合题意.对于D 选项,f (1x )=1x -11x +1=1-x1+x ≠f (x ),不符合题意.故选C.5.(2020·广东华南师大附中月考)已知函数f (x )的定义域是[-1,1],则函数g (x )=f (2x -1)ln (1-x )的定义域是( B )A .[0,1]B .(0,1)C .[0,1)D .(0,1]解析:由题意,函数f (x )的定义域为[-1,1],即-1≤x ≤1,令-1≤2x -1≤1,解得0≤x ≤1,又g (x )满足1-x >0且1-x ≠1,解得x <1且x ≠0,所以函数g (x )的定义域为(0,1),故选B.6.已知f ⎝⎛⎭⎫12x -1=2x -5,且f (a )=6,则a 等于( A ) A.74 B .-74C.43D .-43解析:令t =12x -1,则x =2t +2,f (t )=2(2t +2)-5=4t -1,故f (x )=4x -1,则f (a )=4a -1=6,解得a =74.7.已知函数f (x )满足f (2x )=2f (x ),且当1≤x <2时,f (x )=x 2,则f (3)=( C ) A.98 B .94C.92D .9解析:∵f (2x )=2f (x ),且当1≤x <2时,f (x )=x 2,∴f (3)=2f ⎝⎛⎭⎫32=2×⎝⎛⎭⎫322=92. 8.(2020·山东聊城一模)已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧-f (x -2),x >2,e x -1+x 2,x ≤2,则f (2 019)=( C ) A .2 B .1eC .-2D .e +4解析:因为当x >2时,f (x )=-f (x -2),所以f (x +2)=-f (x ),故f (x +4)=-f (x +2)=f (x ),因此当x >2时,函数f (x )是以4为周期的函数,所以f (2 019)=f (3+4×504)=f (3)=-f (1),又当x ≤2时,f (x )=e x -1+x 2,所以f (2 019)=-f (1)=-(1+1)=-2.故选C.二、填空题9.(2020·湖南郴州质检)已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧a log 3x ,x >0,1-x ,x ≤0,若f (f (-2))=-2,则a =-2.解析:f (f (-2))=f (3)=a =-2.10.已知f (x )是一次函数,且满足3f (x +1)-2f (x -1)=2x +17,则f (x )=2x +7. 解析:设f (x )=ax +b (a ≠0),则3f (x +1)-2f (x -1)=ax +5a +b ,所以ax +5a +b =2x+17对任意实数x 都成立,所以⎩⎪⎨⎪⎧ a =2,5a +b =17,解得⎩⎪⎨⎪⎧a =2,b =7,所以f (x )=2x +7.11.(2020·河南南阳月考)已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧3+log 2x ,x >0,x 2-x -1,x ≤0,则不等式f (x )≤5的解集为[-2,4].解析:由于f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧3+log 2x ,x >0,x 2-x -1,x ≤0,当x >0时,令3+log 2x ≤5, 即log 2x ≤2=log 24,解得0<x ≤4; 当x ≤0时,令x 2-x -1≤5, 即(x -3)(x +2)≤0,解得-2≤x ≤3, ∴-2≤x ≤0.∴不等式f (x )≤5的解集为[-2,4]. 12.函数y =x 2x 2-x +1的值域是⎣⎡⎦⎤0,43. 解析:若x =0,则y =0;若x ≠0, 则y =1⎝⎛⎭⎫1x 2-⎝⎛⎭⎫1x +1=1⎝⎛⎭⎫1x -122+34∈⎝⎛⎦⎤0,43. 故所求值域为⎣⎡⎦⎤0,43. 13.定义新运算“★”:当m ≥n 时,m ★n =m ;当m <n 时,m ★n =n 2.设函数f (x )=(2★x )x -(4★x ),x ∈[1,4],则函数f (x )的值域为[-2,0]∪(4,60].解析:由题意知,f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧2x -4,x ∈[1,2],x 3-4,x ∈(2,4],当x ∈[1,2]时,f (x )∈[-2,0]; 当x ∈(2,4]时,f (x )∈(4,60],故当x ∈[1,4]时,f (x )∈[-2,0]∪(4,60]. 三、解答题14.设函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧ax +b ,x <0,2x ,x ≥0,且f (-2)=3,f (-1)=f (1).(1)求f (x )的解析式.(2)在如图所示的直角坐标系中画出f (x )的图象.解:(1)由f (-2)=3,f (-1)=f (1)得⎩⎪⎨⎪⎧-2a +b =3,-a +b =2,解得a =-1,b =1,所以f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧-x +1,x <0,2x ,x ≥0.(2)f (x )的图象如图.15.已知函数f (x )=⎩⎨⎧x +1,-1<x <0,2x ,x ≥0.若实数a 满足f (a )=f (a -1),则f ⎝⎛⎭⎫1a =( D ) A .2 B .4 C .6D .8解析:由题意得a >0.当0<a <1时,由f (a )=f (a -1),即2a =a , 解得a =14,则f ⎝⎛⎭⎫1a =f (4)=8,当a ≥1时,由f (a )=f (a -1),得2a =2(a -1),不成立.故选D.16.(2020·贵州六盘水调研)设函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x 2+2(x ≥0),2x +2(x <0),若f (t +1)>f (2t -4),则t 的取值范围是(-∞,5).解析:如图,画出函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x 2+2(x ≥0),2x +2(x <0)的大致图象,可知函数f (x )是增函数,若f (t +1)>f (2t -4),则只需要t +1>2t -4,解得t <5.17.如果对∀x ,y ∈R 都有f (x +y )=f (x )·f (y ),且f (1)=2. (1)求f (2),f (3),f (4)的值. (2)求f (2)f (1)+f (4)f (3)+f (6)f (5)+…+f (2 014)f (2 013)+f (2 016)f (2 015)+f (2 018)f (2 017)的值. 解:(1)因为∀x ,y ∈R ,f (x +y )=f (x )·f (y ),且f (1)=2,所以f (2)=f (1+1)=f (1)·f (1)=22=4,f (3)=f (1+2)=f (1)·f (2)=23=8, f (4)=f (1+3)=f (1)·f (3)=24=16.(2)方法1:由(1)知f (2)f (1)=2,f (4)f (3)=2,f (6)f (5)=2,…,f (2 018)f (2 017)=2,故原式=2×1 009=2 018.方法2:对∀x ,y ∈R 都有f (x +y )=f (x )·f (y )且f (1)=2,令x =n ,y =1,则f (n +1)=f (n )·f (1),即f (n +1)f (n )=f (1)=2,故f (2)f (1)=f (4)f (3)=…=f (2 018)f (2 017)=2,故原式=2×1 009=2 018.。
高考数学一轮复习教学案函数及其表示(含解析)
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第一节函数及其表示[知识能否忆起]1.函数的概念(1)函数的定义:一般地,设A,B是两个非空的数集,如果按照某种确定的对应关系f,使对于集合A 中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应;那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数.记作y=f(x),x∈A.(2)函数的定义域、值域:在函数y=f(x),x∈A中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域;与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域.显然,值域是集合B的子集.(3)函数的三要素:定义域、值域和对应关系.(4)相等函数:如果两个函数的定义域和对应关系完全一致,则这两个函数相等,这是判断两函数相等的依据.2.函数的表示法表示函数的常用方法有:解析法、图象法、列表法.3.映射的概念设A,B是两个非空的集合,如果按照某一个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个元素x,在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应,那么称对应f:A→B为集合A 到集合B的一个映射.4.分段函数若函数在其定义域内,对于定义域内的不同取值区间,有着不同的对应关系,这样的函数通常叫做分段函数.分段函数虽然由几部分组成,但它表示的是一个函数.[小题能否全取]1.(教材习题改编)设g(x)=2x+3,g(x+2)=f(x),则f(x)等于()A.-2x+1B.2x-1C.2x-3 D.2x+7解析:选D f(x)=g(x+2)=2(x+2)+3=2x+7.2.(·江西高考)设函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x 2+1,x ≤1,2x ,x >1,则f (f (3))=( )A.15 B .3 C.23D.139解析:选D f (3)=23,f (f (3))=⎝⎛⎭⎫232+1=139. 3.已知集合A =[0,8],集合B =[0,4],则下列对应关系中,不能看作从A 到B 的映射的是( )A .f :x →y =18xB .f :x →y =14xC .f :x →y =12xD .f :x →y =x解析:选D 按照对应关系f :x →y =x ,对A 中某些元素(如x =8),B 中不存在元素与之对应.4.已知f ⎝⎛⎭⎫1x =x 2+5x ,则f (x )=____________. 解析:令t =1x ,则x =1t .所以f (t )=1t 2+5t .故f (x )=5x +1x 2(x ≠0).答案:5x +1x2(x ≠0)5.(教材习题改编)若f (x )=x 2+bx +c ,且f (1)=0,f (3)=0,则f (-1)=________.解析:由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ 1+b +c =0,9+3b +c =0,得⎩⎪⎨⎪⎧b =-4,c =3.即f (x )=x 2-4x +3.所以f (-1)=(-1)2-4×(-1)+3=8. 答案:81.函数与映射的区别与联系(1)函数是特殊的映射,其特殊性在于集合A 与集合B 只能是非空数集,即函数是非空数集A 到非空数集B 的映射.(2)映射不一定是函数,从A 到B 的一个映射,A 、B 若不是数集,则这个映射便不是函数.2.定义域与值域相同的函数,不一定是相同函数如函数y =x 与y =x +1,其定义域与值域完全相同,但不是相同函数;再如函数y =sin x 与y =cos x ,其定义域与值域完全相同,但不是相同函数.因此判断两个函数是否相同,关键是看定义域和对应关系是否相同.3.求分段函数应注意的问题在求分段函数的值f (x 0)时,一定要首先判断x 0属于定义域的哪个子集,然后再代入相应的关系式;分段函数的值域应是其定义域内不同子集上各关系式的取值范围的并集.函数的基本概念典题导入[例1] 有以下判断:(1)f (x )=|x |x 与g (x )=⎩⎪⎨⎪⎧1,x ≥0,-1,x <0表示同一函数;(2)函数y =f (x )的图象与直线x =1的交点最多有1个; (3)f (x )=x 2-2x +1与g (t )=t 2-2t +1是同一函数;(4)若f (x )=|x -1|-|x |,则f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫12=0. 其中正确判断的序号是________.[自主解答] 对于(1),由于函数f (x )=|x |x的定义域为{x |x ∈R ,且x ≠0},而函数g (x )=⎩⎪⎨⎪⎧1,x ≥0,-1,x <0的定义域是R ,所以二者不是同一函数;对于(2),若x =1不是y =f (x )定义域的值,则直线x =1与y =f (x )的图象没有交点,如果x =1是y =f (x )定义域内的值,由函数定义可知,直线x =1与y =f (x )的图象只有一个交点,即y =f (x )的图象与直线x =1最多有一个交点;对于(3),f (x )与g (t )的定义域、值域和对应关系均相同,所以f (x )和g (t )表示同一函数;对于(4),由于f ⎝⎛⎭⎫12=⎪⎪⎪⎪12-1-⎪⎪⎪⎪12=0,所以f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫12=f (0)=1. 综上可知,正确的判断是(2)(3). [答案] (2)(3)由题悟法两个函数是否是同一个函数,取决于它们的定义域和对应关系是否相同,只有当两个函数的定义域和对应关系完全相同时,才表示同一函数.另外,函数的自变量习惯上用x表示,但也可用其他字母表示,如:f(x)=2x-1,g(t)=2t-1,h(m)=2m-1均表示同一函数.以题试法1.试判断以下各组函数是否表示同一函数.(1)y=1,y=x0;(2)y=x-2·x+2,y=x2-4;(3)y=x,y=3t3;(4)y=|x|,y=(x)2.解:(1)y=1的定义域为R,y=x0的定义域为{x|x∈R,且x≠0},故它们不是同一函数.(2)y=x-2·x+2的定义域为{x|x≥2}.y=x2-4的定义域为{x|x≥2,或x≤-2},故它们不是同一函数.(3)y=x,y=3t3=t,它们的定义域和对应关系都相同,故它们是同一函数.(4)y=|x|的定义域为R,y=(x)2的定义域为{x|x≥0},故它们不是同一函数.求函数的解析式典题导入[例2] (1)已知f ⎝⎛⎭⎫x +1x =x 2+1x 2,求f (x )的解析式; (2)已知f ⎝⎛⎭⎫2x +1=lg x ,求f (x )的解析式;(3)已知f (x )是二次函数,且f (0)=0,f (x +1)=f (x )+x +1,求f (x ). [自主解答] (1)由于f ⎝⎛⎭⎫x +1x =x 2+1x 2=⎝⎛⎭⎫x +1x 2-2, 所以f (x )=x 2-2,x ≥2或x ≤-2,故f (x )的解析式是f (x )=x 2-2(x ≥2或x ≤-2). (2)令2x +1=t 得x =2t -1,代入得f (t )=lg 2t -1,又x >0,所以t >1,故f (x )的解析式是f (x )=lg 2x -1(x >1).(3)设f (x )=ax 2+bx +c (a ≠0), 由f (0)=0,知c =0,f (x )=ax 2+bx , 又由f (x +1)=f (x )+x +1,得a (x +1)2+b (x +1)=ax 2+bx +x +1, 即ax 2+(2a +b )x +a +b =ax 2+(b +1)x +1,所以⎩⎪⎨⎪⎧2a +b =b +1,a +b =1,解得a =b =12.所以f (x )=12x 2+12x (x ∈R).由题悟法函数解析式的求法(1)配凑法:由已知条件f (g (x ))=F (x ),可将F (x )改写成关于g (x )的表达式,然后以x 替代g (x ),便得f (x )的解析式(如例(1));(2)待定系数法:若已知函数的类型(如一次函数、二次函数),可用待定系数法(如例(3));(3)换元法:已知复合函数f (g (x ))的解析式,可用换元法,此时要注意新元的取值范围(如例(2));(4)方程思想:已知关于f (x )与f ⎝⎛⎭⎫1x 或f (-x )的表达式,可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组,通过解方程组求出f (x )(如A 级T6).以题试法2.(1)已知f (x +1)=x +2x ,求f (x )的解析式;(2)设y =f (x )是二次函数,方程f (x )=0有两个相等实根,且f ′(x )=2x +2,求f (x )的解析式.解:(1)法一:设t =x +1,则x =(t -1)2(t ≥1);代入原式有f (t )=(t -1)2+2(t -1)=t 2-2t +1+2t -2=t 2-1. 故f (x )=x 2-1(x ≥1).法二:∵x +2x =(x )2+2x +1-1=(x +1)2-1, ∴f (x +1)=(x +1)2-1(x +1≥1), 即f (x )=x 2-1(x ≥1). (2)设f (x )=ax 2+bx +c (a ≠0), 则f ′(x )=2ax +b =2x +2, ∴a =1,b =2,f (x )=x 2+2x +c . 又∵方程f (x )=0有两个相等实根, ∴Δ=4-4c =0,c =1,故f (x )=x 2+2x +1.分 段 函 数典题导入[例3] (·广州调研考试)设函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧2-x ,x ∈(-∞,1),x 2,x ∈[1,+∞),若f (x )>4,则x 的取值范围是______.[自主解答] 当x <1时,由f (x )>4,得2-x >4,即x <-2;当x ≥1时,由f (x )>4得x 2>4,所以x >2或x <-2, 由于x ≥1,所以x >2. 综上可得x <-2或x >2.[答案] (-∞,-2)∪(2,+∞)若本例条件不变,试求f (f (-2))的值. 解:∵f (-2)=22=4, ∴f (f (-2))=f (4)=16.由题悟法求分段函数的函数值时,应根据所给自变量值的大小选择相应的解析式求解,有时每段交替使用求值.若给出函数值或函数值的范围求自变量值或自变量的取值范围,应根据每一段的解析式分别求解,但要注意检验所求自变量值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围.以题试法3.(·衡水模拟)已知f (x )的图象如图,则f (x )的解析式为________. 解析:由图象知每段为线段.设f (x )=ax +b ,把(0,0),⎝⎛⎭⎫1,32和⎝⎛⎭⎫1,32,(2,0)分别代入, 解得⎩⎪⎨⎪⎧a =32,b =0,⎩⎪⎨⎪⎧a =-32,b =3.答案:f (x )=⎩⎨⎧32x ,0≤x ≤1,3-32x ,1≤x ≤21.下列四组函数中,表示同一函数的是( ) A .y =x -1与y =(x -1)2 B .y =x -1与y =x -1x -1C .y =4lg x 与y =2lg x 2D .y =lg x -2与y =lg x100答案:D2.下列函数中,与函数y =13x定义域相同的函数为( )A .y =1sin xB .y =ln xxC .y =x e xD .y =sin xx解析:选D 函数y =13x的定义域为{x |x ≠0},选项A 中由sin x ≠0⇒x ≠k π,k ∈Z ,故A 不对;选项B 中x >0,故B 不对;选项C 中x ∈R ,故C 不对;选项D 中由正弦函数及分式型函数的定义域确定方法可知定义域为{x |x ≠0}.3.(·安徽高考)下列函数中,不满足f (2x )=2f (x )的是( ) A .f (x )=|x |B .f (x )=x -|x |C .f (x )=x +1D .f (x )=-x解析:选C 对于选项A ,f (2x )=|2x |=2|x |=2f (x );对于选项B ,f (x )=x -|x |=⎩⎪⎨⎪⎧0,x ≥0,2x ,x <0,当x ≥0时,f (2x )=0=2f (x ),当x <0时,f (2x )=4x =2·2x =2f (x ),恒有f (2x )=2f (x );对于选项D ,f (2x )=-2x =2(-x )=2f (x );对于选项C ,f (2x )=2x +1=2f (x )-1.4.已知f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧-cos (πx ),x >0,f (x +1)+1,x ≤0,则f ⎝⎛⎭⎫43+f ⎝⎛⎭⎫-43的值等于( ) A .-2 B .1 C .2D .3解析:选D f ⎝⎛⎭⎫43=12,f ⎝⎛⎭⎫-43=f ⎝⎛⎭⎫-13+1=f ⎝⎛⎭⎫23+2=52,f ⎝⎛⎭⎫43+f ⎝⎛⎭⎫-43=3. 5.现向一个半径为R 的球形容器内匀速注入某种液体,下面图形中能表示在注入过程中容器的液面高度h 随时间t 变化的函数关系的是( )解析:选C 从球的形状可知,水的高度开始时增加的速度越来越慢,当超过半球时,增加的速度又越来越快.6.若f (x )对于任意实数x 恒有2f (x )-f (-x )=3x +1,则f (x )=( )A .x -1B .x +1C .2x +1D .3x +3解析:选B 由题意知2f (x )-f (-x )=3x +1.① 将①中x 换为-x ,则有2f (-x )-f (x )=-3x +1.② ①×2+②得3f (x )=3x +3, 即f (x )=x +1.7.已知f (x )=x 2+px +q 满足f (1)=f (2)=0,则f (-1)=________. 解析:由f (1)=f (2)=0,得⎩⎪⎨⎪⎧ 12+p +q =0,22+2p +q =0,所以⎩⎪⎨⎪⎧p =-3,q =2.故f (x )=x 2-3x +2.所以f (-1)=(-1)2+3+2=6. 答案:68.已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x 2+2ax ,x ≥2,2x +1,x <2,若f (f (1))>3a 2,则a 的取值范围是________.解析:由题知,f (1)=2+1=3,f (f (1))=f (3)=32+6a ,若f (f (1))>3a 2,则9+6a >3a 2,即a 2-2a -3<0,解得-1<a <3.答案:(-1,3)9.设集合M ={x |0≤x ≤2},N ={y |0≤y ≤2},那么下面的4个图形中,能表示集合M 到集合N 的函数关系的是________.解析:由函数的定义,对定义域内的每一个x 对应着唯一一个y ,据此排除①④,③中值域为{y |0≤y ≤3}不合题意.答案:②10.若函数f (x )=xax +b (a ≠0),f (2)=1,又方程f (x )=x 有唯一解,求f (x )的解析式.解:由f (2)=1得22a +b=1,即2a +b =2;由f (x )=x 得x ax +b =x ,变形得x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1ax +b -1=0,解此方程得x =0或x =1-ba ,又因方程有唯一解,故1-ba =0,解得b =1,代入2a +b =2得a =12,所以f (x )=2x x +2. 11.甲同学家到乙同学家的途中有一公园,甲从家到公园的距离与乙从家到公园的距离都是 2 km ,甲10时出发前往乙家.如图所示,表示甲从家出发到达乙家为止经过的路程y (km)与时间x (min)的关系.试写出y =f (x )的函数解析式.解:当x ∈[0,30]时,设y =k 1x +b 1, 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧b 1=0,30k 1+b 1=2,解得⎩⎪⎨⎪⎧ k 1=115,b 1=0.即y =115x .当x ∈(30,40)时,y =2; 当x ∈[40,60]时,设y =k 2x +b 2,由已知得⎩⎪⎨⎪⎧40k 2+b 2=2,60k 2+b 2=4,解得⎩⎪⎨⎪⎧k 2=110,b 2=-2.即y =110x -2.综上,f (x )=⎩⎨⎧115x ,x ∈[0,30],2,x ∈(30,40),110x -2,x ∈[40,60].12.如图1是某公共汽车线路收支差额y 元与乘客量x 的图象.(1)试说明图1上点A 、点B 以及射线AB 上的点的实际意义;(2)由于目前本条线路亏损,公司有关人员提出了两种扭亏为赢的建议,如图2、3所示.你能根据图象,说明这两种建议的意义吗?(3)此问题中直线斜率的实际意义是什么? (4)图1、图2、图3中的票价分别是多少元?解:(1)点A 表示无人乘车时收支差额为-20元,点B 表示有10人乘车时收支差额为0元,线段AB 上的点表示亏损,AB 延长线上的点表示赢利.(2)图2的建议是降低成本,票价不变,图3的建议是提高票价. (3)斜率表示票价.(4)图1、2中的票价是2元.图3中的票价是4元.1.(·北京高考)根据统计,一名工人组装第x 件某产品所用的时间(单位:分钟)为f (x )=⎩⎨⎧cx ,x <A ,cA ,x ≥A(A ,c 为常数).已知工人组装第4件产品用时30分钟,组装第A 件产品用时15分钟,那么c 和A 的值分别是( )A .75,25B .75,16C .60,25D .60,16解析:选D 因为组装第A 件产品用时15分钟, 所以cA=15,① 所以必有4<A ,且c 4=c2=30.② 联立①②解得c =60,A =16.2.(·江西红色六校联考)具有性质:f ⎝⎛⎭⎫1x =-f (x )的函数,我们称为满足“倒负”变换的函数,下列函数:①y =x -1x ;②y =x +1x ;③y =⎩⎪⎨⎪⎧x ,0<x <1,0,x =1,-1x ,x >1.其中满足“倒负”变换的函数是( )A .①②B .①③C .②③D .①解析:选B 对于①,f (x )=x -1x ,f ⎝⎛⎭⎫1x =1x-x =-f (x ),满足;对于②,f ⎝⎛⎭⎫1x =1x +x =f (x ),不满足;对于③,f ⎝⎛⎭⎫1x =⎩⎪⎨⎪⎧1x ,0<1x<1,0,1x =1,-x ,1x >1,即f ⎝⎛⎭⎫1x =⎩⎪⎨⎪⎧1x,x >1,0,x =1,-x ,0<x <1,故f ⎝⎛⎭⎫1x =-f (x ),满足.综上可知,满足“倒负”变换的函数是①③.3.二次函数f (x )满足f (x +1)-f (x )=2x ,且f (0)=1.(1)求f (x )的解析式; (2)解不等式f (x )>2x +5.解:(1)设二次函数f (x )=ax 2+bx +c (a ≠0). ∵f (0)=1,∴c =1.把f (x )的表达式代入f (x +1)-f (x )=2x ,有 a (x +1)2+b (x +1)+1-(ax 2+bx +1)=2x . ∴2ax +a +b =2x . ∴a =1,b =-1. ∴f (x )=x 2-x +1.(2)由x 2-x +1>2x +5,即x 2-3x -4>0, 解得x >4或x <-1.故原不等式解集为{x |x >4,或x <-1}.1.已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧3x +2,x <1,x 2+ax ,x ≥1,若f (f (0))=4a ,则实数a =________.解析:∵f (0)=3×0+2=2,f (f (0))=f (2)=4+2a =4a ,∴a=2.答案:22.若函数的定义域为{x|-3≤x≤6,且x≠4},值域为{y|-2≤y≤4,且y≠0},试在下图中画出满足条件的一个函数的图象.解:本题答案不唯一,函数图象可画为如图所示.3.已知定义域为R的函数f(x)满足f(f(x)-x2+x)=f(x)-x2+x.(1)若f(2)=3,求f(1);又若f(0)=a,求f(a);(2)设有且仅有一个实数x0,使得f(x0)=x0,求函数f(x)的解析式.解:(1)因为对任意x∈R有f(f(x)-x2+x)=f(x)-x2+x,所以f(f(2)-22+2)=f(2)-22+2,又f(2)=3,从而f(1)=1.若f(0)=a,则f(a-02+0)=a-02+0,即f(a)=a.(2)因为对任意x∈R,有f(f(x)-x2+x)=f(x)-x2+x,又有且仅有一个实数x0,使得f(x0)=x0,故对任意x∈R,有f(x)-x2+x=x0.在上式中令x=x0,有f(x0)-x20+x0=x0.又因为f(x0)=x0,所以x0-x20=0,故x0=0或x0=1.若x0=0,则f(x)=x2-x,但方程x2-x=x有两个不相同实根,与题设条件矛盾,故x0≠0.若x0=1,则有f(x)=x2-x+1,易证该函数满足题设条件.综上,所求函数f(x)的解析式为f(x)=x2-x+1.。
2021高三数学(理)一轮复习专练4函数及其表示含解析
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2021高三数学(理)人教版一轮复习专练4函数及其表示含解析专练4函数及其表示命题范围:函数的概念及其表示、映射、函数的对应法则、函数的定义域、值域.[基础强化]一、选择题1.已知集合A到集合B的映射f:(x,y)→(x+2y,2x-y),在映射f下对应集合B中元素(3,1)的A中元素为()A.(1,3) B.(1,1)C.(3,1)D.(5,5)2.下列各组函数中,表示同一函数的是()A.f(x)=|x|,g(x)=错误!B.f(x)=错误!,g(x)=(错误!)2C.f(x)=x2-1x-1,g(x)=x+1D.f(x)=x+1·错误!,g(x)=错误!3.已知函数f(错误!+1)=x+1,则函数f(x)的解析式为()A.f(x)=x2B.f(x)=x2+1(x≥1)C.f(x)=x2-2x+2(x≥1)D.f(x)=x2-2x(x≥1)4.函数y=错误!的定义域为()A.(-∞,1]B.[-1,1]C.[1,2)∪(2,+∞)D。
错误!∪错误!5.若函数y=f(x)的定义域为[1,2 019],则函数g(x)=错误!的定义域为()A.[0,2 018]B.[0,1)∪(1,2 018]C.(1,2 018] D.[-1,1)∪(1,2 018]6.[2020·葫芦岛一中测试]已知f(x)是一次函数,且f[f(x)]=x+2,则函数f(x)=()A.x+1 B.2x-1C.-x+1 D.x+1或-x-17.[2020·邢台一中测试]如图所表示的函数解析式为()A.y=错误!|x-1|,0≤x≤2B.y=错误!-错误!|x-1|,0≤x≤2C.y=32-|x-1|,0≤x≤2D.y=1-|x-1|,0≤x≤28.已知函数f(x)=错误!若f(a)+f(1)=0,则实数a的值等于()A.-4 B.-1C.1 D.49.已知函数f(x)=-x2+4x,x∈[m,5]的值域是[-5,4],则实数m的取值范围是()A.(-∞,-1) B.(-1,2]C.[-1,2]D.[2,5]二、填空题10.函数f(x)=错误!的定义域为________.11.[2020·广东珠海测试]已知函数f(x)=错误!且f(a)=-3,则f(6-a)=________。
2021高考一轮复习 第四讲 函数及其表示
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2021高考一轮复习 第四讲 函数及其表示一、单选题(共11题;共55分)1.(5分)若定义在R 的奇函数f(x)在 (−∞,0) 单调递减,且f(2)=0,则满足 xf(x −1)≥0 的x 的取值范围是( ) A .[−1,1]∪[3,+∞) B .[−3,−1]∪[0,1] C .[−1,0]∪[1,+∞)D .[−1,0]∪[1,3]2.(5分)已知函数 f(x)={x 3,x ⩾0,−x,x <0.若函数 g(x)=f(x)−|kx 2−2x| (k ∈R) 恰有4个零点,则k 的取值范围是( ) A .(−∞,−12)∪(2√2,+∞)B .(−∞,−12)∪(0,2√2)C .(−∞,0)∪(0,2√2)D .(−∞,0)∪(2√2,+∞)3.(5分)已知函数 f(x)={lgx,x ≥1−lg(2−x),x <1, g(x)=x 3 ,则方程 f(x)=g(x −1) 所有根的和等于( ) A .1B .2C .3D .44.(5分)设函数 y =f(x) 在R 上有意义,对给定实数N ,定义函数 f N (x)={f(x),f(x)≤NN,f(x)>N,则称函数 f N (x) 为 f(x) 的“孪生函数”,若给定函数 f(x)=2−x 2 , N =−1 ,则 y =f N (x) 的值域为( ) A .[1,2]B .[−1,2]C .(−∞,1]D .(−∞,−1]5.(5分)已知函数 f(x)=1−x 2 , g(x)=msin(π6x)+2−m(m >0) ,若存在 x 1,x 2∈[0,1] ,使得 f(x 1)≥g(x 2) 成立,则m 的取值范围是( ) A .(0,1]B .[1,4)C .[1,+∞)D .(0,4)6.(5分)已知函数 f(x)={log 2x,x >03x ,x ≤0,则 f[f(14)] 的值是( ) A .14B .4C .19D .√37.(5分)下列各组函数中,表示同一个函数的是( )A .y =x 2−1x−1 与 y =x +1B .y =1 与 y =x 0C .y =√x 2−1 与 y =x −1D .y =x 与 y =log a a x (a >0且a ≠1)8.(5分)已知函数f (x+2)=x 2,则f (x )等于( )A .x 2+2B .x 2-4x+4C .x 2-2D .x 2+4x+49.(5分)函数 f(x) 的图象如图所示,则它的解析式可能是( )A .f(x)=x 2−12xB .f(x)=2x (|x|−1)C .f(x)=|ln|x||D .f(x)=xe x −110.(5分)设函数 f(x)={x 2−2(x ≥2)log 2x(x <2),若 f(m)=7 ,则实数m 的值为( )A .0B .1C .-3D .311.(5分)下列与函数 y =1√x定义域和单调性都相同的函数是( ) A .y =2log 2xB .y =log 2(12)xC .y =log 21xD .y =x 14二、填空题(共7题;共7分)12.(1分)函数 f(x)=1x+1+lnx 的定义域是 . 13.(1分)函数f (x )= √e x −1 的定义域为 。
限时集训(四) 函数及其表示
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限时集训(四) 函数及其表示(限时:45分钟 满分:81分)一、选择题(本大题共6小题,每小题5分,共30分)1.下列各组函数中,表示相等函数的是( )A .y =5x 5与y =x 2B .y =ln e x 与y =e ln xC .y =(x -1)(x +3)x -1与y =x +3 D .y =x 0与y =1x 0 2.设A ={0,1,2,4},B =⎩⎨⎧⎭⎬⎫12,0,1,2,6,8,则下列对应关系能构成A 到B 的映射的是( )A .f :x →x 3-1B .f :x →(x -1)2C .f :x →2x -1 D .f :x →2x 3.已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧2x -2,x ≥0,lg (-x ),x <0,则f (f (-10))=( ) A.12B.14 C .1 D .-144.(2013·杭州模拟)设函数f (x )=⎩⎨⎧x ,x ≥0,-x ,x <0,若f (a )+f (-1)=2,则a =( ) A .-3B .±3C .-1D .±1 5.若f (x )对于任意实数x 恒有2f (x )-f (-x )=3x +1,则f (x )=( )A .x -1B .x +1C .2x +1D .3x +3 6.(2013·泰安模拟)具有性质:f ⎝⎛⎭⎫1x =-f (x )的函数,我们称为满足“倒负”交换的函数,下列函数:①f (x )=x -1x ;②f (x )=x +1x ;③f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧ x ,0<x <1,0,x =1,-1x ,x >1.满足“倒负”变换的函数是( ) A .①②B .①③C .②③D .只有①二、填空题(本大题共3小题,每小题5分,共15分)7.已知f ⎝⎛⎭⎫x -1x =x 2+1x 2,则函数f (3)=________. 8.若f (a +b )=f (a )·f (b )且f (1)=1,则f (2)f (1)+f (3)f (2)+…+f (2 012)f (2 011)=________. 9.定义在R 上的函数f (x )满足f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧2x ,x ≤0,f (x -1)-f (x -2),x >0,则f (3)的值为______. 三、解答题(本大题共3小题,每小题12分,共36分)10.已知f (x )=x 2-1,g (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x -1,x >0,2-x ,x <0. (1)求f (g (2))和g (f (2))的值;(2)求f (g (x ))和g (f (x ))的解析式.11.二次函数f (x )满足f (x +1)-f (x )=2x ,且f (0)=1.(1)求f (x )的解析式;(2)解不等式f (x )>2x +5.12.规定[t ]为不超过t 的最大整数,例如[12.6]=12,[-3.5]=-4,对任意实数x ,令f 1(x )=[4x ],g (x )=4x -[4x ],进一步令f 2(x )=f 1[g (x )].(1)若x =716,分别求f 1(x )和f 2(x ); (2)若f 1(x )=1,f 2(x )=3同时满足,求x 的取值范围.限时集训(四) 函数及其表示答 案1.D 2.C 3.A 4.D 5.B 6.B7.11 8.2 011 9.-110.解:(1)由已知,g (2)=1,f (2)=3,因此f (g (2))=f (1)=0,g (f (2))=g (3)=2.(2)当x >0时,g (x )=x -1,故f (g (x ))=(x -1)2-1=x 2-2x ;当x <0时,g (x )=2-x ,故f (g (x ))=(2-x )2-1=x 2-4x +3.所以f (g (x ))=⎩⎪⎨⎪⎧x 2-2x ,x >0,x 2-4x +3,x <0. 当x >1或x <-1时,f (x )>0,故g (f (x ))=f (x )-1=x 2-2;当-1<x <1时,f (x )<0,故g (f (x ))=2-f (x )=3-x 2.所以g (f (x ))=⎩⎪⎨⎪⎧x 2-2,x >1或x <-1,3-x 2,-1<x <1. 11.解:(1)设二次函数f (x )=ax 2+bx +c (a ≠0).∵f (0)=1,∴c =1.把f (x )的表达式代入f (x +1)-f (x )=2x ,有a (x +1)2+b (x +1)+1-(ax 2+bx +1)=2x . ∴2ax +a +b =2x .∴a =1,b =-1.∴f (x )=x 2-x +1.(2)由x 2-x +1>2x +5,即x 2-3x -4>0,解得x >4或x <-1.故原不等式解集为{x |x >4或x <-1}.12.解:(1)∵x =716时,4x =74, ∴f 1(x )=⎣⎡⎦⎤74=1.∵g (x )=74-⎣⎡⎦⎤74=34. ∴f 2(x )=f 1[g (x )]=f 1⎝⎛⎭⎫34=[3]=3.(2)∵f 1(x )=[4x ]=1,g (x )=4x -1,∴f 2(x )=f 1(4x -1)=[16x -4]=3.∴⎩⎪⎨⎪⎧1≤4x <2,3≤16x -4<4,∴716≤x <12.。
高考数学一轮复习课时作业4第2章函数、导数及其应用1Word版含答案
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解析: 由- sinx= 0,得 sinx= 0。又 x∈ [0,2 π,]故 x=0 或 π或 2π;由- sinx= 1,得 sinx 2
=- 1。 2
又 x∈ [0,2 π,]故 x= 7π或11π,选 B。 66
答案: B
a·2x,x≥ 0
3.已知函数 f(x) = 2-x, x< 0 (a∈ R),若 f[f(- 1)] = 1,则 a= (
C.( -2,- 1)∪ (1,2) D . (- 4,- 2)∪ (2,4)
解析:
由
2+
x >
0,得
f(x)的定义域为-
2< x< 2。
2- x
- 2< x< 2 2
故 - 2<2< 2。 x
解得 x∈ (- 4,- 1)∪ (1,4) 。
故
f
x 2
+f
2 x
的定义域为
(- 4,- 1)∪ (1,4),故应选
一、选择题
课时作业 (四 ) 函数及其表示
1.设集合 M = { x|-2≤ x≤ 2} , N= { y|0≤ y≤2} ,给出下列四个图形,其中能表示以集 合 M 为定义域, N 为值域的函数关系的是 ( )
A.
B.
C.
D.
解析: 利用函数的定义, 要求定义域内的任一变量都有唯一的函数值与之对应,
则 Δ= a2- 4< 0,解得- 2< a<2。
故实数 a 的取值范围为 (- 2,2)。
11.已知函数
满足 f(c2)= 98。
(1)求常数 c 的值;
(2)解不等式 f(x)> 82+ 1。 解析: (1)因为 0< c< 1,所以 c2< c,
由
f(
c2
2021年高考数学一轮复习 第04讲 函数及其表示
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1
∴1≤2x≤2,即
f(x)的定义域为
,2 2
.]
2
求函数的解析式
【例 2】 (1)已知 f(x)是二次函数且 f(0)=2,f(x+1)-f(x)=x-1,则 f(x)=
________. (2)已知 f(2x+1)=4x2-6x+5,则 f(x)=________.
1 (3)已知 f(x)+2f x =x(x≠0),则 f(x)=________.
[规律方法] 常见函数定义域的类型及求解策略
1 已知函数解析式,构造使解析式有意义的不等式 组 求解.
2 实际问题:由实际意义及使解析式有意义构成的不等式 组 求解.
3 抽象函数: ①若已知函数 f x 的定义域为[a,b],其复合函数 f g x a≤g x≤ b 求出;
的定义域由不等式
②若已知函数 f g x 的定义域为[a,b],则 f x 的定义域为 g x 在 x∈[a,b]
(2)与 x 轴垂直的直线和一个函数的图象至多有一个交点. ( )
(3)分段函数是两个或多个函数.
()
[答案] (1)× (2)√ (3)×
1 2.(教材改编)函数 y= 2x-3+ 的定义域为( )
x-3
3 ,+∞ A. 2
B.(-∞,3)∪(3,+∞)
3 ,3 C. 2 ∪(3,+∞)
D.(3,+∞)
A.y=( x+1)2 x2
C.y= +1 x
3 B.y= x3+1 D.y= x2+1
3 B [y= x3+1=x+1,且函数定义域为 R,故选 B.]
5.已知函数 f(x)= 2x+1,若 f(a)=5,则实数 a 的值为________.
12 [由 f(a)=5 得 2a+1=5,解得 a=12.]
高考数学一轮复习课后限时集训4函数及其表示含解析理
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课后限时集训(四)(建议用时:40分钟) A 组 基础达标一、选择题1.(2019·开封模拟)函数y =1x -的定义域为( ) A .(1,+∞) B .[1,+∞) C .(1,2)∪(2,+∞) D .(1,2)∪[3,+∞)C [由题意知,⎩⎪⎨⎪⎧x -,x -1>0,即⎩⎪⎨⎪⎧x -1≠1,x >1,解得1<x <2或x >2,故选C.]2.下列各组函数中,表示同一函数的是( ) A .f (x )=x ,g (x )=(x )2B .f (x )=x 2,g (x )=(x +1)2 C .f (x )=x 2,g (x )=|x |D .f (x )=0,g (x )=x -1+1-xC [在A 中,定义域不同,在B 中,解析式不同,在D 中,定义域不同.] 3.(2019·豫南九校联考)已知函数f (x )=则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12=( )A .3B .4C .-3D .38C [由题意知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12=2+3612=8,f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12=f (8)=log 128=-3.故选C.]4.已知f (x )是一次函数,且f (f (x ))=x +2,则f (x )=( ) A .x +1 B .2x -1 C .-x +1D .x +1或-x -1A [设f (x )=kx +b ,则由f (f (x ))=x +2,可得k (kx +b )+b =x +2,即k 2x +kb +b =x +2,∴k 2=1,kb +b =2,解得k =1,b =1,则f (x )=x +1.故选A.]5.(2018·大连模拟)已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧2x,x >0,x +1,x ≤0.若f (a )+f (1)=0,则实数a 的值等于( )A .-3B .-1C .1D .3A [f (1)=2,由f (a )+f (1)=0得f (a )=-2,∴⎩⎪⎨⎪⎧a >0,2a=-2,或⎩⎪⎨⎪⎧a ≤0,a +1=-2,解得a =-3,故选A.]6.已知f (2x +3)=x +5,且f (t )=6,则t =( ) A .5 B .4C .2D .-1A [法一:令2x +3=m ,则x =12(m -3),∴f (m )=12(m -3)+5=12m +72,∴f (x )=12x +72.由f (t )=6,得12t +72=6,解得t =5,故选A.法二:由x +5=6得x =1,则t =2×1+3=5,故选A.]7.若对任意实数x ,恒有2f (x )-f (-x )=3x +1,则f (1)=( ) A .2B .0C .1D .-1A [由2f (x )-f (-x )=3x +1得2f (-x )-f (x )=1-3x .联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧2fx -f -x =3x +1,2f -x -f x =1-3x ,解得f (x )=x +1,所以f (1)=1+1=2,故选A.]二、填空题8.已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x+1=lg x ,则f (x )=________.lg2x -1(x >1) [令2x +1=t (t >1),得x =2t -1. 则f (t )=lg2t -1,即f (x )=lg 2x -1(x >1).] 9.已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x 2+2ax ,x ≥2,2x+1,x <2,若f (f (1))>3a 2,则a 的取值范围是________.(-1,3) [由题知,f (1)=2+1=3,f (f (1))=f (3)=32+6a. 由f (f (1))>3a 2,得9+6a >3a 2,即a 2-2a -3<0,解得-1<a <3.] 10.已知函数f (x )的定义域为[-1,1],则f (log 2x )的定义域为________.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12,2 [由-1≤log 2x ≤1得12≤x ≤2,即f (log 2x )的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12,2.]B 组 能力提升1.(2019·郑州模拟)已知函数y =f (2x -1)的定义域是[0,1],则函数f x +log 2x +的定义域是( )A .[1,2]B .(-1,1] C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤-12,0 D .(-1,0)D [因为函数y =f (2x -1)的定义域是[0,1],所以-1≤2x -1≤1,要使函数fx +log 2x +有意义,则需⎩⎪⎨⎪⎧-1≤2x +1≤1,x +1>0,x +1≠1,解得-1<x <0,故选D.]2.设函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧2x +n ,x <1,log 2x ,x ≥1,若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34=2,则实数n 为( )A .-54B .-13C.14D.52D [因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34=2×34+n =32+n ,当32+n <1,即n <-12时,f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34=2⎝ ⎛⎭⎪⎫32+n +n =2,解得n =-13,不符合题意;当32+n ≥1,即n ≥-12时,f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34=log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫32+n =2,即32+n =4,解得n =52,故选D.]3.已知函数f (x )的定义域为(-∞,+∞),如果f (x +2 019)=⎩⎨⎧2sin x ,x ≥0,-x ,x <0,那么f 2 019+π4·f (-7 981)=________.4 [当x ≥0时,有f (x +2 019)=2sin x ,∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 019+π4=2sin π4=1;当x <0时,f (x +2 019)=lg(-x ),∴f (-7 981)=f (-10 000+2 019)=lg 10 000=4,∴f ⎝⎛⎭⎪⎫2 019+π4·f (-7 981)=1×4=4.]4.定义在R 上的函数f (x )满足f (x +1)=2f (x ).若当0≤x ≤1时,f (x )=x (1-x ),则当-1≤x ≤0时,f (x )=________.-x x +2[当-1≤x ≤0时,有0≤x +1≤1,所以f (1+x )=(1+x )[1-(1+x )]=-x (1+x ),又f (x +1)=2f (x ),所以f (x )=12f (1+x )=-x x +2.]。
2021高考一轮数学(文)课后限时集训4 函数及其表示
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函数及其表示建议用时:45分钟一、选择题1.下列所给图象是函数图象的个数为()① ② ③ ④A .1B .2C .3D .4B [①中当x >0时,每一个x 的值对应两个不同的y 值,因此不是函数图象,②中当x =x 0时,y 的值有两个,因此不是函数图象,③④中每一个x 的值对应唯一的y 值,因此是函数图象.]2.(2019·成都模拟)函数f (x )=log 2(1-2x )+1x +1的定义域为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0,12 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫-∞,12 C .(-1,0)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0,12D .(-∞,-1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫-1,12D [由1-2x >0,且x +1≠0,得x <12且x ≠-1,所以函数f (x )=log 2(1-2x )+1x +1的定义域为(-∞,-1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫-1,12.]3.已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x -1=2x -5,且f (a )=6,则a 等于( )A.74 B .-74 C.43D .-43A [令t =12x -1,则x =2t +2,f (t )=2(2t +2)-5=4t -1,则4a -1=6,解得a =74.]4.若二次函数g (x )满足g (1)=1,g (-1)=5,且图象过原点,则g (x )的解析式为( )A .g (x )=2x 2-3xB .g (x )=3x 2-2xC .g (x )=3x 2+2xD .g (x )=-3x 2-2xB [设g (x )=ax 2+bx +c (a ≠0), ∵g (1)=1,g (-1)=5,且图象过原点,∴⎩⎨⎧a +b +c =1,a -b +c =5,c =0,解得⎩⎨⎧a =3,b =-2,c =0,∴g (x )=3x 2-2x .]5.已知函数f (x )=⎩⎨⎧2x ,x ≤1,log 3(x -1),x >1,且f (x 0)=1,则x 0=( )A .0B .4C .0或4D .1或3C [当x 0≤1时,由f (x 0)=2x 0=1,得x 0=0(满足x 0≤1);当x 0>1时,由f (x 0)=log 3(x 0-1)=1,得x 0-1=3,则x 0=4(满足x 0>1),故选C.]二、填空题6.若函数y =f (x )的定义域为[0,2],则函数g (x )=f (2x )x -1的定义域是________. [0,1) [由0≤2x ≤2,得0≤x ≤1,又x -1≠0,即x ≠1,所以0≤x <1,即g (x )的定义域为[0,1).]7.设函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧1x,x >1,-x -2,x ≤1,则f (f (2))=________,函数f (x )的值域是________.-52 [-3,+∞) [∵f (2)=12,∴f (f (2))=f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12=-12-2=-52. 当x >1时,f (x )∈(0,1), 当x ≤1时,f (x )∈[-3,+∞), ∴f (x )∈[-3,+∞).]8.若f (x )对∀x ∈R 恒有2f (x )-f (-x )=3x +1,则f (1)=________. 2 [由题意可知⎩⎨⎧2f (1)-f (-1)=4,2f (-1)-f (1)=-2,解得f (1)=2.] 三、解答题9.设函数f (x )=⎩⎨⎧ax +b ,x <0,2x ,x ≥0,且f (-2)=3,f (-1)=f (1).(1)求函数f (x )的解析式;(2)在如图所示的直角坐标系中画出f (x )的图象.[解] (1)由f (-2)=3,f (-1)=f (1),得⎩⎨⎧-2a +b =3,-a +b =2,解得⎩⎨⎧ a =-1,b =1,所以f (x )=⎩⎨⎧-x +1,x <0,2x ,x ≥0.(2)函数f (x )的图象如图所示.10.行驶中的汽车在刹车时由于惯性作用,要继续往前滑行一段距离才能停下,这段距离叫做刹车距离.在某种路面上,某种型号汽车的刹车距离y (m)与汽车的车速x (km/h)满足下列关系:y =x 2200+mx +n (m ,n 是常数).如图是根据多次实验数据绘制的刹车距离y (m)与汽车的车速x (km/h)的关系图.(1)求出y 关于x 的函数解析式;(2)如果要求刹车距离不超过25.2 m ,求行驶的最大速度. [解] (1)由题意及函数图象, 得⎩⎪⎨⎪⎧402200+40m +n =8.4,602200+60m +n =18.6,解得m =1100,n =0,所以y =x 2200+x100(x ≥0). (2)令x 2200+x100≤25.2,得-72≤x ≤70.∵x ≥0,∴0≤x ≤70.故行驶的最大速度是70 km/h.1.设函数f (x )=⎩⎨⎧2x +n ,x <1,log 2x ,x ≥1,若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34=2,则实数n 的值为( )A .-54B .-13 C.14 D.52D [因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34=2×34+n =32+n ,当32+n <1,即n <-12时, f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34=2⎝ ⎛⎭⎪⎫32+n +n =2, 解得n =-13,不符合题意; 当32+n ≥1,即n ≥-12时,f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34=log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫32+n =2,即32+n =4, 解得n =52,符合题意,故选D.]2.已知函数f (x )=⎩⎨⎧(a -2)x +3a +1,x ≤3,2a x -2,x >3(a >0且a ≠1),若f (x )有最小值,则实数a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0,56B.⎝ ⎛⎭⎪⎫1,54 C.⎝ ⎛⎦⎥⎤0,56∪⎝ ⎛⎦⎥⎤1,54 D .(0,1)∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫54,+∞C [根据题意,可得f (x )的最小值为f (3)=6a -5,则a -2≤0,f (x )的图象如图所示:图1 图2∴⎩⎨⎧ 1<a ≤2,6a -5≤2a 或⎩⎨⎧0<a <1,6a -5≤0,解得1<a ≤54或0<a ≤56, 则实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0,56∪⎝ ⎛⎦⎥⎤1,54.故选C.]3.设函数f (x )=⎩⎨⎧(x -a )2-1,x ≤1,ln x ,x >1,若f (x )≥f (1)恒成立,则实数a 的取值范围为( )A .[1,2]B .[0,2]C .[1,+∞)D .[2,+∞)A [若f (x )≥f (1)恒成立,则f (1)是f (x )的最小值,则当x ≤1时,f (x )≥f (1)恒成立,又函数y =(x -a )2-1的图象的对称轴为直线x =a ,所以a ≥1.由分段函数性质得(1-a )2-1≤ln 1,得0≤a ≤2.综上可得,实数a 的取值范围为1≤a ≤2,故选A.]4.(2019·平顶山模拟)已知具有性质:f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x =-f (x )的函数,我们称为满足“倒负”变换的函数,下列函数:①f (x )=x -1x ;②f (x )=x +1x ;③f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x ,0<x <1,0,x =1,-1x ,x >1.其中满足“倒负”变换的函数是________.(填序号)①③ [对于①,f (x )=x -1x ,f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x =1x -x =-f (x ),满足题意;对于②,f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x =1x +x =f (x ),不满足题意;对于③,f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x =⎩⎪⎨⎪⎧1x ,0<1x <1,0,1x =1,-x ,1x >1,即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x =⎩⎪⎨⎪⎧1x ,x >1,0,x =1,-x ,0<x <1,故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x =-f (x ),满足题意.综上可知,满足“倒负”变换的函数是①③.]1.设f (x )=⎩⎨⎧x ,0<x <1,2(x -1),x ≥1.若f (a )=f (a +1),则a =________,f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a =________.146 [当0<a <1时,a +1>1,f (a )=a ,f (a +1)=2(a +1-1)=2a , ∵f (a )=f (a +1),∴a =2a , 解得a =14或a =0(舍去). ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a =f (4)=2×(4-1)=6. 当a ≥1时,a +1≥2,∴f (a )=2(a -1),f (a +1)=2(a +1-1)=2a , ∴2(a -1)=2a ,无解.综上,f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a =6.]2.已知x 为实数,用[x ]表示不超过x 的最大整数,例如[1.2]=1,[-1.2]=-2,[1]=1.对于函数f (x ),若存在m ∈R 且m ∉Z ,使得f (m )=f ([m ]),则称函数f (x )是Ω函数.(1)判断函数f (x )=x 2-13x ,g (x )=sin πx 是否是Ω函数(只需写出结论);(2)已知f (x )=x +ax ,请写出a 的一个值,使得f (x )为Ω函数,并给出证明. [解] (1)f (x )=x 2-13x 是Ω函数,g (x )=sin πx 不是Ω函数.(2)法一:取k =1,a =32∈(1,2),则令[m ]=1,m =a 1=32,此时f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32=f ⎝ ⎛⎭⎪⎫⎣⎢⎡⎦⎥⎤32=f (1),所以f (x )是Ω函数.证明:设k ∈N *,取a ∈(k 2,k 2+k ),令[m ]=k ,m =a k ,则一定有m -[m ]=ak -k =a -k 2k ∈(0,1),且f (m )=f ([m ]),所以f (x )是Ω函数.法二:取k =1,a =12∈(0,1),则令[m ]=-1,m =-12,此时f ⎝ ⎛⎭⎪⎫-12=f ⎝ ⎛⎭⎪⎫⎣⎢⎡⎦⎥⎤-12=f (-1),所以f (x )是Ω函数.证明:设k ∈N *,取a ∈(k 2-k ,k 2),令[m ]=-k ,m =-ak ,则一定有m -[m ]=-ak -(-k )=k 2-a k ∈(0,1),且f (m )=f ([m ]),所以f (x )是Ω函数.。
2021版江苏高考数学复习课后限时集训:函数与方程含解析
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教课资料范本2021版江苏高考数学复习课后限时集训:函数与方程含解析编辑: __________________时间: __________________建议用时: 45 分钟一、选择题1.设 f(x)=ln x+ x-2,则函数 f(x)的零点所在的区间为 () A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)B[ ∵f(1)=ln 1+1-2=- 1< 0, f(2)= ln 2>0,∴f(1) ·f(2)< 0,∵函数 f(x)=ln x+ x-2 的图象是连续的,且为增函数,∴f(x)的零点所在的区间是 (1,2). ]x2+x-2,x≤0,2.函数 f(x)=的零点个数为 ()-1+ln x ,x>0A.3B.2C.7D.0B[ 法一: (直接法 )由 f(x)=0 得x≤0,x2+x-2=0x>0,或-1+ln x =0,解得 x=- 2 或 x= e.所以函数 f(x)共有 2 个零点.法二: (图象法 )函数 f(x)的图象以下图,由图象知函数f(x)共有 2 个零点. ]3.已知 a是函数 f(x)=2x- log1x的零点,若 0<x0<a,则 f(x0)的值知足 ()2A.f(x0)= 0B.f(x0)> 0C.f(x0 )< 0D.f(x0)的符号不确立C[f(x)在(0,+∞)上是增函数,若 0< x0<a,则 f(x0)<f(a)=0.]4.已知函数 f(x)=x - x(x >0), g(x)=x +e x ,h(x)= x +lnx 的零点分别为 x 1,x 2,x 3,则 ()A .x 1< x 2 <x 3B .x 2<x 1< x 3C .x 2<x 3< x 1D .x 3<x 1<x 2 1 2x,y 3=- ln x 的图象以下图,可知选 C [ 作出 y =x 与 y = x ,y =- eC.]1,x ≤0,5.(20xx ·长沙模拟 )已知函数 f(x)= 1x ,x >0,则使方程 x +f(x)= m 有解的实数 m 的取值范围是 ()A .(1,2)B .(-∞,- 2]C .(-∞, 1)∪(2,+∞ )D .(-∞, 1]∪[2,+∞ )D [ 当 x ≤0 时, x + f(x)= m ,即 x +1=m ,解得 m ≤1;当 x >0 时, x +1f(x)=m ,即 x +x =m ,解得 m ≥ 2,即实数 m 的取值范围是 (-∞, 1]∪ [2,+∞ ).应选 D.]二、填空题6.函数 f(x)= ax +1-2a 在区间 (-1,1)上存在一个零点,则实数 a 的取值范围是 ________.13,1[ ∵函数 f(x)的图象为直线,由题意可得 f(-1)f(1)<0,1∴(-3a+ 1) ·(1-a)<0,解得3< a<1,1∴实数 a 的取值范围是3,1.]7.若函数 f(x)=x2+ax+b的两个零点是- 2和 3,则不等式 af(- 2x)> 0的解集是 ________.[ ∵f(x)=x2+ ax+b 的两个零点是- 2,3.∴- 2,3 是方程 x2+ax+ b= 0 的两根,-2+3=- a,由根与系数的关系知-2×3=b.a=- 1,∴b=- 6,∴f(x)=x2- x- 6.∵不等式 af(-2x)>0,即- (4x2+2x-6)>0? 2x2+x- 3< 0,解集为.]2x-1,x>0,8.(20xx ·漳州模拟 )已知函数 f(x)=x2+x,x≤0,若函数 g(x)= f(x)- m有三个零点,则实数 m的取值范围是________.[作出函数f(x)的图象以下图.,x 0时,f(x)=x2+x=当≤1 2111x+2-4≥-4,若函数 f(x)与 y= m 的图象有三个不一样的交点,则-4<m≤ 0,即实数 m 的取值范围是.]5/12三、解答题9.已知函数 f(x)=4x+ m·2x+1有且仅有一个零点.(1)求 m的值.(2)求函数的零点.[解 ](1)由于 f(x)= 4x+m·2x+1 有且仅有一个零点,即方程(2x)2+m·2x+1= 0仅有一个实根. , 设 2x=t(t> 0),则 t2+ mt+1=0.当=0时,即m2-4=0,所以 m=±2,当 m=- 2 时, t=1;当 m= 2 时, t=- 1(不合题意,舍去 ).所以 2x=1,x=0 切合题意.当> 0 时,即 m>2 或 m<- 2,t2+mt+ 1= 0 有两正或两负根,即 f(x)有两个零点或没有零点.所以这类状况不切合题意.综上可知:当 m=- 2 时, f(x)有独一零点.(2)由 (1)可知,该函数的零点为0.110.设函数 f(x)= 1-x (x>0).(1)作出函数 f(x)的图象;1 1(2)当 0< a< b,且 f(a)= f(b)时,求a+b的值;(3)若方程 f(x)=m有两个不相等的正根,求m的取值范围.[解 ](1)以下图.1(2)由于 f(x)= 1-x=错误 !故 f(x)在 (0,1]上是减函数,而在 (1,+∞ )上是增函数.由 0< a<b 且 f(a)=f(b),得 0<a<1<b,1111且a-1=1-b,所以a+b= 2.(3)由函数 f(x)的图象可知,当 0<m<1 时,函数 f(x)的图象与直线 y= m 有两个不一样的交点,即方程f(x)=m 有两个不相等的正根.1.若定义在 R上的偶函数 f(x)知足 f(x+ 2)=f(x),且当 x∈ [0,1] 时, f(x)=x,则函数 y=f(x)-log3的零点有|x|()A.多于 4个B.4个C.3个D.2个B [ 由于偶函数 f(x)知足 f(x+2)=f(x),故函数的周期为 2.当 x∈[0,1] 时,f(x)=x,故当 x∈[ -1,0]时, f(x)=- x.函数 y= f(x)-log3|x|的零点的个数等于函数 y=f(x)的图象与函数 y= log3 |x|的图象的交点个数.在同一个坐标系中画出函数 y=f(x)的图象与函数 y= log3 |x|的图象,以下图.明显函数 y=f(x)的图象与函数 y=log3|x|的图象有 4 个交点,应选 B.]2.已知当 x∈ [0,1] 时,函数 y=(mx- 1)2的图象与 y=x+ m的图象有且只有一个交点,则正实数m的取值范围是 ()A.(0,1] ∪[23,+∞ )B.(0,1] ∪[3,+∞ )C.(0,2] ∪[2 3,+∞ )D.(0,2]∪[3,+∞ )12B [ 在同向来角坐标系中,分别作出函数f(x)=(mx-1)2=m2 x-与 g(x)m=x+ m 的大概图象.分两种情况:1(1)当 0<m≤1 时,≥1,如图①,当 x∈ [0,1] 时, f(x)与 g(x)的图象有一个 m 交点,切合题意.①②>时,<1<1,如图②,要使 f(x)与 g(x)的图象在 [0,1]上只有一(2)当 m 10m个交点,只要 g(1)≤f(1),即 1+m≤(m- 1)2,解得 m≥ 3 或 m≤ 0(舍去 ).综上所述, m∈ (0,1]∪ [3,+∞ ).应选 B.]3.已知 f(x)是奇函数而且是 R上的单一函数,若函数y=f(2x2+1)+ f(λ-x)只有一个零点,则实数λ=________.7[ 依题意,方程 f(2x2+ 1)+f(λ- x)=0 只有 1 个解,故 f(2x2+1)=- f(λ-8-x)=f(x-λ)有 1 个解,∴2x2+1=x-λ,即 2x2- x+1+λ=0 有独一解,7故=1-8(1+λ)=0,解得λ=-8.]4.已知二次函数 f(x)的最小值为- 4,且对于 x的不等式 f(x)≤0的解集为 { x|-1≤ x≤3,x∈R} .(1)求函数 f(x)的分析式;(2)求函数 g(x)=错误 ! -4ln x的零点个数.[解 ](1)由于 f(x)是二次函数,且对于x 的不等式 f(x)≤0 的解集为 { x|-1≤x≤3,x∈R} ,所以 f(x)=a(x+1)(x-3)= ax2- 2ax-3a,且 a>0.所以 f(x)min=f(1)=- 4a=- 4, a= 1.故函数 f(x)的分析式为 f(x)=x2-2x-3.由于=x2-2x-33g(x)-4ln x=x-- 4ln x- 2(x>0),(2)x x34所以 g′(x)= 1+x2-x=错误 ! .令 g′ (x)=0,得 x1=1,x2= 3.当 x 变化时, g′ (x),g(x)的取值变化状况以下:x(0,1)1(1,3)3(3,+∞ )g′(x)+0-0+g(x)↗极大值↘极小值↗当 0<x≤3 时, g(x)≤g(1)=- 4<0.又由于 g(x)在 (3,+∞ )上单一递加,因此g(x)在(3,+∞ )上只有 1 个零点.故 g(x)在(0,+∞ )上只有 1 个零点..已知函数-x2-2x+3,x≤1,若对于 x的方程 f(x)= kx-11f(x)=,x>1,2ln x恰有 4个不相等的实数根,则实数k的取值范围是 ________.10/121 e 12, e[若对于 x 的方程 f(x)= kx -2恰有 4 个不相等的实数根,则 f(x)的1图象和直线 y =kx - 2有 4 个交点.作出函数 f(x)的图象,如图,故点 (1,0)在直线111y =kx - 2的下方.所以 k ·1-2>0,解得 k > 2.11ln m +2当直线 y =kx - 2和 y = ln x 相切时,设切点横坐标为m ,则 k =m =11 e 1,所以 m =e.此时, k = =e ,f(x)的图象和直线 y =kx - 有 3 个交点,不mm21e知足条件,故要求的 k 的取值范围是,.]2.已知定义在 R 上的偶函数 f(x)知足 f(x -4)=f(x),且在区间 [0,2] 上 f(x)= x ,若对于 x 的方程 f(x)=log a x 有三个不一样的实根,求 a 的取值范围.[解 ] 由 f(x - 4)=f(x)知,函数的周期为 4,又函数为偶函数,所以 f(x -4)= f(x)= f(4-x),11/12所以函数图象对于x= 2 对称,且 f(2)=f(6)= f(10)=2,要使方程 f(x)=a>1,log a x 有三个不一样的根,则知足loga6 <2,loga10 >2.解得6< a<10,故 a 的取值范围是 ( 6,10).12/12。
高考数学大一轮复习 课时训练4 函数及其表示 理 苏教版
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高考数学大一轮复习 课时训练4 函数及其表示 理苏教版第Ⅰ组:全员必做题1.已知集合A =[0,8],集合B =[0,4],则下列对应关系中,不能看作从A 到B 的映射的是________.(填写序号)①f :x →y =18x ②f :x →y =14x ③f :x →y =12x ④f :x →y =x2.(2014·南昌模拟测试)函数f (x )=2x +12x 2-x -1的定义域是________. 3.(2014·温州高三第一次适应性测试)设函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x 3,0≤x <5f (x -5),x ≥5,那么f (2 013)=________.4.(2014·连云港期末)已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧2,x ∈[0,1],x ,x ∉[0,1],则使f [f (x )]=2成立的实数x 的集合为________.5.根据统计,一名工人组装第x 件某产品所用的时间(单位:分钟)为f (x )=⎩⎨⎧ c x ,x <A ,c A ,x ≥A (A ,c 为常数).已知工人组装第4件产品用时30分钟,组装第A 件产品用时15分钟,那么c 和A 的值分别是________.6.设函数f (x )满足f (x )=1+f ⎝⎛⎭⎫12log 2x ,则f (2)=________.7.已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x 2+2ax ,x ≥2,2x +1,x <2,若f (f (1))>3a 2,则a 的取值范围是________. 8.有以下判断:(1)f (x )=|x |x 与g (x )=⎩⎪⎨⎪⎧1,(x ≥0)-1,(x <0)表示同一个函数. (2)f (x )=x 2-2x +1与g (t )=t 2-2t +1是同一函数.(3)若f (x )=|x -1|-|x |,则f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫12=0. 其中正确判断的序号是________.9.设函数f (x )=⎩⎨⎧ x ,x ≥0,-x ,x <0,若f (a )+f (-1)=2,则a =________.10.二次函数f (x )满足f (x +1)-f (x )=2x ,且f (0)=1.则f (x )=________.第Ⅱ组:重点选做题 1.(创新题)具有性质:f ⎝⎛⎭⎫1x =-f (x )的函数,我们称为满足“倒负”变换的函数,下列函数:①y =x -1x ;②y =x +1x ;③y =⎩⎪⎨⎪⎧ x ,0<x <1,0,x =1,-1x ,x >1.其中满足“倒负”变换的函数是________(填序号).2.若函数f (x )=x 2-1x 2+1,则 (1)f (2)f ⎝⎛⎭⎫12=________. (2)f (3)+f (4)+…+f (2 012)+f ⎝⎛⎭⎫13+f ⎝⎛⎭⎫14+…+f ⎝⎛⎭⎫12 012=________. 3.(2013·苏北四市一检)定义在R 上的函数f (x )满足f (m +n 2)=f (m )+2[f (n )]2,m ,n ∈R ,且f (1)≠0,则f (2 014)=________.4.规定[t ]为不超过t 的最大整数,例如[12.6]=12,[-3.5]=-4,对任意实数x ,令f 1(x )=[4x ],g (x )=4x -[4x ],进一步令f 2(x )=f 1[g (x )].(1)若x =716,分别求f 1(x )和f 2(x ); (2)若f 1(x )=1,f 2(x )=3同时满足,求x 的取值范围.答 案第Ⅰ组:全员必做题1.解析:按照对应关系f :x →y =x ,对①中某些元素(如x =8),②中不存在元素与之对应.答案:④ 2.解析:由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2x +1≥0,2x 2-x -1≠0,解得x >-12且x ≠1. 答案:{x |x >-12且x ≠1} 3.解析:根据题意,当x ≥5时,f (x )=f (x -5),∴f (2 013)=f (3),而当0≤x <5时,f (x )=x 3,∴f (3)=33=27.答案:274.解析:当x ∈[0,1]时,f (f (x ))=f (2)=2成立;当x ∉[0,1]时,f (f (x ))=f (x )=x ,要使f (f (x ))=2成立,只需x =2,综上所述,实数x 的集合为{x |0≤x ≤1或x =2}.答案:[0,1]∪{2}5.解析:因为组装第A 件产品用时15分钟, 所以c A=15, ① 所以必有4<A ,且c 4=c 2=30. ② 联立①②解得c =60,A =16.答案:60,166.解析:由已知得f ⎝⎛⎭⎫12=1-f ⎝⎛⎭⎫12·log 22,则f ⎝⎛⎭⎫12=12,则f (x )=1+12·log 2x ,故f (2)=1+12·log 22=32. 答案:327.解析:由题知,f (1)=2+1=3,f (f (1))=f (3)=32+6a ,若f (f (1))>3a 2,则9+6a >3a 2,即a 2-2a -3<0,解得-1<a <3.答案:(-1,3)8.解析:对于(1),函数f (x )=|x |x 的定义域为{x |x ∈R 且x ≠0},而函数g (x )=⎩⎪⎨⎪⎧1(x ≥0),-1(x <0)的定义域是R ,所以二者不是同一函数;对于(2),f (x )与g (t )的定义域、值域和对应关系均相同,所以f (x )与g (t )表示同一函数;对于(3),由于f ⎝⎛⎭⎫12=⎪⎪⎪⎪12-1-⎪⎪⎪⎪12=0,⎝⎭⎝⎭2综上可知,正确的判断是(2).答案:(2)9.解析:若a ≥0,则a +1=2,解得a =1;若a <0,则-a +1=2,解得a =-1.故a =±1.答案:±110.解析:设二次函数f (x )=ax 2+bx +c (a ≠0).∵f (0)=1,∴c =1.把f (x )的表达式代入f (x +1)-f (x )=2x ,有a (x +1)2+b (x +1)+1-(ax 2+bx +1)=2x .∴2ax +a +b =2x .∴a =1,b =-1.∴f (x )=x 2-x +1.答案:x 2-x +1第Ⅱ组:重点选做题1.解析:对于①,f (x )=x -1x ,f ⎝⎛⎭⎫1x =1x-x =-f (x ),满足; 对于②,f ⎝⎛⎭⎫1x =1x +x =f (x ),不满足; 对于③,f ⎝⎛⎭⎫1x =⎩⎪⎨⎪⎧ 1x ,0<1x <1,0,1x =1,-x ,1x>1, 即f ⎝⎛⎭⎫1x =⎩⎪⎨⎪⎧ 1x ,x >1,0,x =1,-x ,0<x <1,⎝⎭x 综上可知,满足“倒负”变换的函数是①③.答案:①③2.解析:(1)∵f (x )+f ⎝⎛⎭⎫1x =x 2-1x 2+1+1-x 21+x 2=0, ∴f (x )f ⎝⎛⎭⎫1x =-1(x ≠±1), ∴f (2)f ⎝⎛⎭⎫12=-1. (2)又f (3)+f ⎝⎛⎭⎫13=0,f (4)+f ⎝⎛⎭⎫14=0,…f (2 012)+f ⎝⎛⎭⎫12 012=0,∴f (3)+f (4)+…+f (2 012)+f ⎝⎛⎭⎫13+…+f ⎝⎛⎭⎫12 012=0. 答案:(1)-1 (2)03.解析:令m =n =0,得f (0+02)=f (0)+2[f (0)]2,所以f (0)=0;令m =0,n =1, 得f (0+12)=f (0)+2[f (1)]2,由于f (1)≠0,所以f (1)=12;令m =x ,n =1,得f (x +12)=f (x )+2[f (1)]2, 所以f (x +1)=f (x )+2×⎝⎛⎭⎫122,即f (x +1)=f (x )+12, 这说明数列{f (x )}(x ∈Z )是首项为12,公差为12的等差数列,所以f (2 014)=12+(2 014-1)×12=1 007. 答案:1 0074.解:(1)∵x =716时,4x =74, ∴f 1(x )=⎣⎡⎦⎤74=1.∵g (x )=74-⎣⎡⎦⎤74=34. ∴f 2(x )=f 1[g (x )]=f 1⎝⎛⎭⎫34=[3]=3.(2)∵f 1(x )=[4x ]=1,g (x )=4x -1, ∴f 2(x )=f 1(4x -1)=[16x -4]=3. ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1≤4x <2,3≤16x -4<4,∴716≤x <12. 故x 的取值范围为⎣⎡⎭⎫716,12.。
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当x>1时,f(x)∈(0,1),
当x≤1时,f(x)∈[-3,+∞),
∴f(x)∈[-3,+∞).]
8.若f(x)对任意x∈R恒有2f(x)-f(-x)=3x+1,则f(1)=________.
2 [由题意可知
解得f(1)=2.]
3.设函数f(x)= 若f(x)≥f(1)恒成立,则实数a的取值范围为( )
A.[1,2]B.[0,2]
C.[1,+∞)D.[2,+∞)
A[若f(x)≥f(1)恒成立,则f(1)是f(x)的最小值,则当x≤1时,f(x)≥f(1)恒成立,又函数y=(x-a)2-1的图像的对称轴为直线x=a,所以a≥1.由分段函数性质得(1-a)2-1≤ln 1,得0≤a≤2.综上可得,实数a的取值范围为1≤a≤2,故选A.]
A.- B.-
C. D.
D[因为f =2× +n= +n,
当 +n<1,即n<- 时,f =2 +n=2,解得n=- ,不符合题意;
当 +n≥1,即n≥- 时,
f =log2 =2,即 +n=4,
解得n= ,符合题意,故选D.]
2.已知函数f(x)= 若a[f(a)-f(-a)]>0,则实数a的取值范围为( )
(1)判断函数f(x)=x2- x,g(x)=sin πx是否是Ω函数(只需写出结论);
(1)求出y关于x的函数解析式;
(2)如果要求刹车距离不超过25.2 m,求行驶的最大速度.
[解] (1)由题意及函数图像,
得
解得m= ,n=0,所以y= + (x≥0).
(2)令 + ≤25.2,得-72≤x≤70.
∵x≥0,∴0≤x≤70.故行驶的最大速度是70 km/h.
1.设函数f(x)= 若f =2,则实数n的值为( )
则4a-1=6,解得a= .]
4.若二次函数g(x)满足g(1)=1,g(-1)=5,且图像过原点,则g(x)的解析式为( )
A.g(x)=2x2-3xB.g(x)=3x2-2x
C.g(x)=3x2+2xD.g(x)=-3x2-2x
B[设g(x)=ax2+bx+c(a≠0),
∵g(1)=1,g(-1)=5,
4.(2019·平顶山模拟)已知具有性质:f =-f(x)的函数,我们称为满足“倒负”变换的函数,下列函数:
①f(x)=x- ;②f(x)=x+ ;
③f(x)=
其中满足“倒负”变换的函数是________.(填序号)
①③[对于①,f(x)=x- ,f = -x=-f(x),满足题意;对于②,f = +x=f(x),不满足题意;对于③,f =
A.(1,+∞)
B.(2,+∞)
C.(-∞,-1)∪(1,+∞)
D.(-∞,-2)∪(2,+∞)
D[当a>0时,不等式a[f(a)-f(-a)]>0化为a2+a-3a>0,
解得a>2.
当a<0时,不等式a[f(a)-f(-a)]>0化为-a2-2a<0,
解得a<-2.
综上可得实数a的取值范围为(-∞,-2)∪(2,+∞).]
课后限时集训4
函数及其表示
建议用时:45分钟
一、选择题
1.下列所给图像是函数图像的个数为( )
①②③④
A.1B.2
C.3D.4
B[①中当x>0时,每一个x的值对应两个不同的y值,因此不是函数图像,②中当x=x0时,y的值有两个,因此不是函数图像,③④中每一个x的值对应唯一的y值,因此是函数图像.]
2.(2019·成都模拟)函数f(x)=log2(1-2x)+ 的定义域为( )
且图像过原点,
∴ 解得
∴g(x)=3x2-2x.]
5.已知函数f(x)= 且f(x0)=1,则x0=( )
A.0B.4
C.0或4D.1或3
C[当x0≤1时,由f(x0)=2x0=1,得x0=0(满足x0≤1);当x0>1时,由f(x0)=log3(x0-1)=1,得x0-1=3,则x0=4(满足x0>1),故选C.]
二、填空题
6.若函数y=f(x)的定义域为[0,2],则函数g(x)= 的定义域是________.
[0,1) [由0≤2x≤2,得0≤x≤1,又x-1≠0,即x≠1,所以0≤x<1,即g(x)的定义域为[0,1).]
7.设函数f(x)= 则f(f(2))=________,函数f(x)的值域是________.
三、解答题
9.设函数f(x)= 且f(-2)=3,f(-1)=f(1).
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)在如图所示的直角坐标系中画出f(x)的图像.
[解] (1)由f(-2)=3,f(-1)=f(1),
得
解得 所以f(x)=
(2)函数f(x)的图像如图所示.
10.行驶中的汽车在刹车时由于惯性作用,要继续往前滑行一段距离才能停下,这段距离叫做刹车距离.在某种路面上,某种型号汽车的刹车距离y(m)与汽车的车速x(km/h)满足下列关系:y= +mx+n(m,n是常数).如图是根据多次实验数据绘制的刹车距离y(m)与汽车的车速x(km/h)的关系图.
即f =
故f =-f(x),满足题意.
综上可知,满足“倒负”变换的函数是①③.]
1.设f(x)= 若f(a)=f(a+1),则f =( )
A.2B.4
C.6D.8
C[当0<a<1时,a+1>1,f(a)= ,f(a+1)=2(a+1-1)=2a,
∵f(a)=f(a+1),∴ =2a,
解得a= 或a=0(舍去).
A. B.
C.(-1,0)∪ D.(-∞,-1)∪
D[由1-2x>0,且x+1≠0,得x< 且x≠-1,所以函数f(x)=log2(1-2x)+ 的定义域为(-∞,-1)∪ .]
3.已知f =2x-5,且f(a)=6,则a等于( )
A. B.-
C. D.-
A[令t= x-1,则x=2t+2,f(t)=2(2t+2)-5=4t-1,
∴f =f(4)=2×(4-1)=6.
当a≥1时,a+1≥2,
∴f(a)=2(a-1),f(a+1)=
综上,f =6.]
2.已知x为实数,用[x]表示不超过x的最大整数,例如[1.2]=1,[-1.2]=-2,[1]=1.对于函数f(x),若存在m∈R且m∉Z,使得f(m)=f([m]),则称函数f(x)是Ω函数.