2009高教社杯全国大学生数学建模竞赛A题

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2009全国大学生数学建模A题0314

2009全国大学生数学建模A题0314
i =1
通过TOPSIS 法,我们对原始数据进行了同趋势和归一化处理,消除了不同 指标量纲的影响。 排序的结果充分利用原始数据信息,能定量反映不同评价单元 的优劣程度,较为直观、可靠。所得到的加权平均值,相对接近度值在0 与1 之 间,该值愈接近1,反映所评价单元接近最优水平程度愈高,反之,该值愈接近0, 评价单元接近最优水平的程度愈低或者说愈接近最劣水平。 通过以上分析计算,该院的工作效率偏低,相对接近度只有0.5026。究其原 因不难发现,虽然医院病床利用率非常高(流入流出达到稳定后几乎定格为 100%),但是除外伤病人外,其他病人等待入院时间过长(约为12天),严重影 响病情治疗。对于病人来说,尽早入院手术是他们的迫切需求,等待时间过长势 必会使医院失去部分病人, 从而影响医院经济效率。针对该院病床使用存在效率 低下的问题,引入模型2,根据医院第二天的出院人数,建立合理的病床安排模 型。 3.3 问题二解决方案
白内障 (双眼) 0.2791 视网膜疾病 0.2785 青光眼 外伤 0.3158 0.1149
(8)计算 Ci 的加权平均值 C 根据题中所给病人信息,统计出各类病人所占百分比,写成向量形式: w = (0.2063 0.2350
5
0.2894
0.1117
0.1576)
加权平均值 C = ∑ wi Ci = 0.5026
3.模型建立与模型求解
3.1 医院病床安排现状分析 由所给附录中 2008 年 7 月 13 日至 2008 年 9 月 11 日时间段内各类病人情况 得出,各类病人占总人数的比例,分布饼图如下:
图 3-1-1 五类病人人数比例 上图表示,白内障单双眼病人所占比例分别为 21%、23%,视网膜病人比例 为 29%,青光眼为 11%,外伤为 16%,由此可知,各类病人分布较均匀,所有病 种所需特点在建模过程中都要考虑到。其中外伤所占比例接近总人数 1/5,并且

2009数学建模试题与答案

2009数学建模试题与答案

华南农业大学期末考试试卷(A卷)2009学年第二学期考试科目:数学模型考试类型:(闭卷)考试时间:120分钟学号姓名年级专业1、(13分)设已知某正方形板材边长20cm,现将之加工出半径为1cm的圆盘,请对下面给出的两种排列方法,写出能加工出的尽可能多的圆盘数。

(1)排列1:圆盘中心按正方形排列(如右图)的尽可能多的圆盘数。

(4分)解:圆盘总数:202010022⨯=排列2:圆盘中心按六角形排列(如右图)的尽可能多的圆盘数。

(4分)解:行数:111+=圆盘总数:20111110522-⨯+=(2)设计出不同于(1)(2)的方案,且加工出的圆盘更多。

(5分)解:前三行正方形,后八行六角形,圆盘总数为106(此题考虑的是当两种方案当两种方案被提出的时候,但仍需改进的时候,应该考虑这两者的综合是否可行,如果可行,则给出方案。

)2、(10分)在举重比赛中,运动员在高度和体重方面差别很大,请就下面两种假设,建立一个举重能力和体重之间关系的模型:(1)假设肌肉的强度和其横截面的面积成比例。

5分(2)假定体重中有一部分是与成年人的尺寸无关,请给出一个改进模型。

5分解:设体重w(千克)与举重成绩y (千克)(1)由于肌肉强度(I)与其横截面积(S)成比例,所以y∝I∝S设h为个人身高,又横截面积正比于身高的平方,则S ∝ h2再体重正比于身高的三次方,则w ∝ h3(2)a, 则一个最粗略的模型为更好的模型:()y k w aγ=-3、 (10分)在超币购物时你压意到大包发商品比小包装面品便宜这种现象了吗?比如洁银牙膏50g 装的每支1.50元,120g 装的每支3.00元,二者单位重量的价格比是1.2:1,试用比例方法构造模型解释这个现象。

(1)请写出商品价恪c 与商品重量w 的关系,其中价格由生产成本、包装成本和其它成本等决定,这些成本中有的与重量w 成正比,有的与表面积成正比,还有与w 无关的因素。

(5分) (2)给出单位重量价格c与w 的关系,并解释。

全国大学生数学建模大赛国家一等奖论文A题

全国大学生数学建模大赛国家一等奖论文A题
海床情况进行求解。
=
− − ( − 1)′
, = 1, 2, · · ·, 210

当逐渐增大,锚链受到的竖直向下方向的合力与支持力之差先逐渐接近于0,
再等于0,直至小于0。当合力小于0时,锚链以海床接触,此时海床提供向上的支持
力,其大小与′ 相等。因此可将小于0 的值都作零处理,故锚链接触海床时,
对于问题二,首先考虑第一个子问题,将风速36/直接代入问题一的模型中,
得出此条件下的吃水深度为0.723,各钢管倾斜角度(度)依次为8.960、9.014、9.068
、9.123,钢桶倾斜角(度)为9.179,锚链链接处的切线方向与海床的夹角(度)为18.414,
游动区域半径为18.80。发现此条件下,水声通讯系统设备的工作效果较差,且锚被
计与应用对海上科学发展有重要意义。
1.2 问题的提出
已知某近浅海传输节点(如图1所示),将浮标视作底面直径2为、高为2、质量
为1000的圆柱体,锚的质量为600,钢管共4节,每节长度为1,直径为50,
每节钢管的质量为10。水声通讯系统安装在一个长为1、外径为30的密封圆
柱形钢桶内,设备和钢桶总质量为100。
Step1: 遍历求解
令吃水深度ℎ的初始值为0.1,以0.0005为单位逐步增加至2。( 浮标高度为2,
完全浸没时吃水深度ℎ则为2 ),记录对应的数据,选取水下物体竖直方向高度和
与海域水深最接近的组别,进一步进行计算,结果如下表所示(具体程序见附录):
表 1: 不同风速的相关结果表
以风速24/的情况为例,绘制游动区域图:
题意的变量临界值。以水深16、系统各部分递推关系式和钢桶与竖直方向夹角小
于5°为约束条件,将多目标优化转化为单目标优化。通过调节决策变量中锚链的型

2009高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目A题

2009高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目A题

个人资料整理仅限学习使用2009高教社杯全国大学生数学建模竞赛承诺书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白,在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式<包括电话、电子邮件、网上咨询等)与队外的任何人<包括指导教师)研究、讨论与赛题有关的问题。

我们知道,抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料<包括网上查到的资料),必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。

我们郑重承诺,严格遵守竞赛规则,以保证竞赛的公正、公平性。

如有违反竞赛规则的行为,我们将受到严肃处理。

我们参赛选择的题号是<从A/B/C/D中选择一项填写):A我们的参赛报名号为<如果赛区设置报名号的话):所属学校<请填写完整的全名):成都理工大学参赛队员(打印并签名> :1.苏建龙2.黄雯丽3.傅戈平指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名>:白林日期:2009年9月13日赛区评阅编号<由赛区组委会评阅前进行编号):2009高教社杯全国大学生数学建模竞赛编号专用页赛区评阅编号<由赛区组委会评阅前进行编号):全国评阅编号<由全国组委会评阅前进行编号): 制动器实验台的控制方法分析摘要:本文通过对车辆制动系统研究中台试及路试过程中各特征量之间的相关物理特性分析,以能量守恒思想为主导,分别建立了描述台试及路试过程车辆速度及能量变化规律的数学模型,在保证车辆制动实际物理过程精确模拟再现的原则下,以两过程速度变化时刻一致及制动力时刻对等为约束,实现两过程的统一,从而展开对补偿电流和离散可观测量之间关系的研究。

问题一:对于台试模拟过程的分析,需要将车辆系统在制动前平动动能等效转化为实验台上飞轮及转轴等机构转动时具有的转动动能,与此能量相对应的转动惯量被称为等效转动惯量。

因此,我们建立车辆平动动能与转动能动能的平衡方程,由此解得等效转动惯量为251.9989/equ J kg m =;问题二:依据转动惯量关于内径、外径及飞轮厚度的关系得到三种机械惯量:2/0083.30m Kg ,260.0166/kg m ,2120.0332/kg m ,可组成八种机械惯量。

2009高教社杯全国大学生数学建模竞赛A-B-C-D题评阅要点

2009高教社杯全国大学生数学建模竞赛A-B-C-D题评阅要点

2009高教社杯全国大学生数学建模竞赛A 题评阅要点[说明]本要点仅供参考,各赛区评阅组应根据对题目的理解及学生的解答,自主地进行评阅。

因为本题涉及到一些重要概念, 所以请各赛区评阅专家在阅卷前务必用比较多的时间来研读本评阅要点. 千万不要简单地以数值结果来评分.评阅时请注意具体情况具体对待, 特别要注意在处理误差分析时有没有闪光点。

这是一个物理模拟问题,模拟的原则是试验台上制动器的制动过程与所设计的路试时车上制动器的制动过程理论上应该一致,所以制动过程中试验台主轴的瞬时转速与车轮的瞬时转速理论上随时一致,制动扭矩也理论上随时一致,另外理论上制动时间也相同。

1. 设前轮的半径为R ,制动时承受的载荷为G ,等效的转动惯量为J ,线速度为v ,角速度为ω,重力加速度为g 。

应该利用能量法得到 222121ωJ v g G =,v = Rω. 从而 J = GR 2/g 。

利用数据计算得到J = 52 kg ·m 2。

(计算结果如不正确适当扣分,但不影响后面的分数。

)2. 记飞轮的外半径为R 1,内半径为R 0,厚度为h ,密度为ρ,则飞轮的惯量为)(24041R R hJ -=πρ,利用数据计算得到三个飞轮的惯量分别为30 kg ·m 2、60 kg ·m 2、120 kg ·m 2,它们和基础惯量一起组成的机械惯量可以有8种情况:10, 40, 70, 100, 130, 160, 190, 220 kg ·m 2。

对于问题1中得到的等效的转动惯量,用电动机补偿能量对应的惯量(简称电机惯量)有两种方案:12 kg ·m 2 或 –18 kg ·m 2。

(写出一个即可,绝对值较小的模拟效果较好。

)3. 导出数学模型的一种方法为: 记需要模拟的单轮的等效的转动惯量为J , 主轴转速为()t ω,机械惯量1J , 则J 关于主轴的制动扭矩()M t 为,dtd Jt M ω=)( (1) J 1关于主轴的扭矩为 1d J dtω (2) 从而电流产生的扭矩()e M t 应为 1()()e d M t J J dtω=- (3) 由于电机的驱动电流0()()e I t k M t =,所以 01()()d I t k J J dt ω=- (4) 控制时可由k ω的测量值差分后得到1k I +.或者由(3)除以(1),得到 1()()e M t J J M t J-=,则有 10()()J J I t k M t J-= (5) 控制时由k M 的测量值得到1k I +. (4)和(5)就是驱动电流依赖于两个可观测量的数学模型。

2009年数学建模考题

2009年数学建模考题

2009年数学建模考题A题制动器试验台的控制方法分析(缺附录)汽车的行车制动器(以下简称制动器)联接在车轮上,它的作用是在行驶时使车辆减速或者停止。

制动器的设计是车辆设计中最重要的环节之一,直接影响着人身和车辆的安全。

为了检验设计的优劣,必须进行相应的测试。

在道路上测试实际车辆制动器的过程称为路试,其方法为:车辆在指定路面上加速到指定的速度;断开发动机的输出,让车辆依惯性继续运动;以恒定的力踏下制动踏板,使车辆完全停止下来或车速降到某数值以下;在这一过程中,检测制动减速度等指标。

假设路试时轮胎与地面的摩擦力为无穷大,因此轮胎与地面无滑动。

为了检测制动器的综合性能,需要在各种不同情况下进行大量路试。

但是,车辆设计阶段无法路试,只能在专门的制动器试验台上对所设计的路试进行模拟试验。

模拟试验的原则是试验台上制动器的制动过程与路试车辆上制动器的制动过程尽可能一致。

通常试验台仅安装、试验单轮制动器,而不是同时试验全车所有车轮的制动器。

制动器试验台一般由安装了飞轮组的主轴、驱动主轴旋转的电动机、底座、施加制动的辅助装置以及测量和控制系统等组成。

被试验的制动器安装在主轴的一端,当制动器工作时会使主轴减速。

试验台工作时,电动机拖动主轴和飞轮旋转,达到与设定的车速相当的转速(模拟实验中,可认为主轴的角速度与车轮的角速度始终一致)后电动机断电同时施加制动,当满足设定的结束条件时就称为完成一次制动。

路试车辆的指定车轮在制动时承受载荷。

将这个载荷在车辆平动时具有的能量(忽略车轮自身转动具有的能量)等效地转化为试验台上飞轮和主轴等机构转动时具有的能量,与此能量相应的转动惯量(以下转动惯量简称为惯量)在本题中称为等效的转动惯量。

试验台上的主轴等不可拆卸机构的惯量称为基础惯量。

飞轮组由若干个飞轮组成,使用时根据需要选择几个飞轮固定到主轴上,这些飞轮的惯量之和再加上基础惯量称为机械惯量。

例如,假设有4个飞轮,其单个惯量分别是:10、20、40、80 kg·m2,基础惯量为10 kg·m2,则可以组成10,20,30,…,160 kg·m2的16种数值的机械惯量。

2009高教社杯全国大学生数学建模竞赛

2009高教社杯全国大学生数学建模竞赛
内蒙古大学
常利芳、赵月涓、李海梅
李凤琴
赛区二等奖
内蒙古大学
刘世达、王恩奇、邓会敏
马壮
赛区二等奖
内蒙古工业大学
魏海洋、路镇旗、韩树春
李娜
赛区二等奖
内蒙古工业大学
赵添源、韦宏、雷丽丽
木仁
赛区二等奖
内蒙古工业大学
王超、董卉、于海龙
木仁
赛区二等奖
内蒙古工业大学
秦格勒、王海然、黄伟
李娜
赛区二等奖
内蒙古工业大学
全国二等奖
北方民族大学
杨姗姗、成霄亮、冉金花
指导组
全国二等奖
北方民族大学
谢星星、王健、任力
指导组
赛区一等奖
宁夏大学
王海强、苏雪红、刘芳春
指导教师组
赛区一等奖
宁夏大学新华学院
周震、伏艳玉、马芮
指导教师组
赛区一等奖
北方民族大学
杜超、杨建锋、郭文杰
指导组
赛区一等奖
宁夏大学
田敏、刘慧、李甲龙
指导教师组
赛区二等奖
赛区一等奖
内蒙古工业大学
武利辰、常贵斌、吴若冰
侯睿
赛区一等奖
内蒙古科技大学
万建龙、汪山林、盛成
石琳
赛区一等奖
内蒙古民族大学
顾文会、高勇、赵常龙
韩海山
赛区一等奖
内蒙古民族大学
米海珍、王冬华、张莉
韩海山
赛区一等奖
内蒙古民族大学
范中保、陈程、宗样祥
韩海山
赛区一等奖
内蒙古财经学院
郭婧、时维阔、梁昕洁
吕喜明
赛区一等奖
全国二等奖
萨和雅
赛区二等奖
内蒙古师范大学

全国大学生数学建模竞赛常用建模方法总结

全国大学生数学建模竞赛常用建模方法总结

邯郸学院本科毕业论文题目全国大学生数学建模竞赛常用建模方法探讨学生柴云飞指导教师闫峰教授年级2009级本科专业数学与应用数学二级学院数学系(系、部)邯郸学院数学系2013年6月郑重声明本人的毕业论文是在指导教师闫峰的指导下独立撰写完成的.如有剽窃、抄袭、造假等违反学术道德、学术规范和侵权的行为,本人愿意承担由此产生的各种后果,直至法律责任,并愿意通过网络接受公众的监督.特此郑重声明.论文经“中国知网”论文检测系统检测,总相似比为5.80%.毕业论文作者(签名):年月日全国大学生数学建模竞赛常用建模方法探讨摘要全国大学生数学建模竞赛作为全国高校规模最大的基础性学科竞赛,越来越受到人们的重视,所以建模竞赛的方法也就变得尤为重要.随着竞赛的不断发展,赛题的开放性逐步增大,一道赛题可用多种解法,各种求解的算法有时会相互融合,同时也在向大规模数据处理方向发展,这就对选手的能力提出了更高的要求.由于建模方法种类众多,无法一一介绍,所以本文主要介绍了四种比较常用的数学建模竞赛方法,包括微分与差分方程建模方法、数学规划建模方法、统计学建模方法、图论方法,并结合历年赛题加以说明.关键词:数学建模竞赛统计学方法数学规划图论Commonly Used Modeling Method ofChina Undergraduate Mathematical Contest in ModelingChai yunfei Directed by Professor Yan fengABSTRACTThe China undergraduate mathematical contest in modeling has been attention by more and more people as a basic subject of the largest national college competition. The method of modeling competition has become more and more important. Open questions gradually increased with the development of competition. Most of the games can be solved by lots of solutions. Sometimes these methods can be used together. And there is also a lot of data which puts forward higher requirement on the ability of players. The modeling methods is too numerous to mention, so this article mainly four kinds Commonly used modeling method are introduced that differential and difference equations modeling method, Mathematical programming modeling method, Statistics modeling method, graph theory and interprets with calendar year’s test questions.KEY WORDS:Mathematical contest in modeling Statistics method Mathematical programming Graph theory目录摘要 (I)英文摘要 (II)前言 (1)1微分方程与差分方程建模 (2)1.1微分方程建模 (2)1.1.1微分方程建模的原理和方法 (2)1.1.2微分方程建模应用实例 (3)1.2差分方程建模 (4)1.2.1 差分方程建模的原理和方法 (4)1.2.2 差分方程建模应用实例 (5)2数学规划建模 (5)2.1线性规划建模的一般理论 (6)2.2线性规划建模应用实例 (7)3统计学建模方法 (8)3.1聚类分析 (8)3.1.1 聚类分析的原理和方法 (8)3.1.2 聚类分析应用实例 (8)3.2回归分析 (9)3.2.1 回归分析的原理与方法 (9)3.2.2 回归分析应用实例 (10)4图论建模方法 (10)4.1两种常见图论方法介绍 (11)4.1.1 模拟退火法的基本原理 (11)4.1.2 最短路问题 (11)4.2图论建模应用实例 (12)5小结 (13)参考文献 (13)致谢 (14)前言全国大学生数学建模竞赛创办于1992年,每年一届,目前已成为全国高校规模最大的基础性学科竞赛,也是世界上规模最大的数学建模竞赛.参赛者需要根据题目要求,在三天时间内完成一篇包括模型假设、模型建立和求解、计算方法的设计和实现、模型结果的分析和检验、模型的改进等方面的论文.通过参加竞赛的训练和比赛,可以提高学生用数学方法解决实际问题的意识和能力,而且在培养团队精神和撰写科技论文等方面都会得到十分有益的锻炼.竞赛题目的涉及面比较宽,有工业、农业、工程设计、交通运输、经济管理、生物医学和社会事业等.竞赛选手不一定预先掌握深入的专业知识,而只需要学过高等数学的相关课程即可,并且题目具有较大的灵活性,便于参赛者发挥其创造能力.近年来,竞赛题目包含的数据较多,手工计算一般不能实现,所以就对参赛者的计算机能力提出了更高的要求,如2003年B题,某些问题的解决需要使用计算机软件;2001年A题,问题的数据读取需要计算机技术,并且对于给出的图像,需要用图像处理的方法获得;再如2004年A题则需要利用数据库数据,数据库方法,统计软件包等等.竞赛题目的总体特点可大致归纳如下:(1)实用性不断加强,问题和数据来自于实际,解决方法需要切合实际,模型和结果可以应用于实际;(2)综合性不断加强,解法多样,方法融合,学科交叉;(3)数据结构越来越复杂,包括数据的真实性,数据的海量性,数据的不完备性,数据的冗余性等;(4)开放性也越来越突出,题意的开放性,思路的开放性,方法多样,结果不唯一等.总体来说,赛题向大规模数据处理方向发展,求解算法和各类现代算法相互融合.纵观历年的赛题,主要用到的建模方法有:初等数学模型、微分与差分方程建模、组合概率、数据处理、统计学建模、计算方法建模、数学规划、图论方法、层次分析、插值与拟合、排队论、模糊数学、随机决策、多目标决策、随机模拟、计算机模拟法、灰色系统理论、时间序列等.本文不一一列举竞赛题目中涉及的所有方法,只是重点讨论其中一些比较常用的方法,包括微分与差分方程建模方法、数学规划建模方法、统计学建模方法、图论建模方法,并结合案例说明建模方法的原理及应用.1 微分方程与差分方程建模在很多竞赛题目中,常常会涉及很多变量之间的关系,找出它们之间的函数关系式具有重要意义.可在许多实际问题中,我们常常不能直接给出所需要的函数关系,但可以得到含有所求函数的导数(或微分)或差分(即增量)的方程,这样的方程称为微分方程或差分方程. 建立微分方程或差分方程的数学模型是一种重要的建模方法.如1996年A 题“最优捕鱼策略”,1997年A 题“零件参数设计”,2003年A 题“SARS 的传播”,2007年A 题“中国人口增长预测”,2009年A 题“最优捕鱼策略”等赛题中,都用到了这种方法.1.1 微分方程建模1.1.1 微分方程建模的原理和方法一般来说,任何时变问题中随时间变化而发生变化的量与其它一些量之间的关系经常以微分方程的形式来表现.例1.1 有一容器装有某种浓度的溶液,以流量1v 注入该容器浓度为1c 的同样溶液,假定溶液立即被搅拌均匀,并以2v 的流量流出混合后的溶液,试建立反映容器内浓度变化的数学模型.解 注意到溶液浓度=溶液体积溶液质量,因此,容器中溶液浓度会随溶质质量和溶液体积变化而发生变化.不妨设t 时刻容器中溶质质量为()t s ,初始值为0s ,t 时刻容器中溶液体积为()t v ,初始值为0v ,则这段时间()t t t ∆+,内有⎩⎨⎧∆-∆=∆∆-∆=∆t v t v V t v c t v c s 212211, (1) 其中1c 表示单位时间内注入溶液的浓度,2c 表示单位时间内流出溶液的浓度,当t ∆很小时,在()t t t ∆+,内有≈2c =)()(t V t s tv v V t s )()(210-+. (2) 对式(1)两端同除以t ∆,令0t ∆→,则有⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==-=-=00212211)0(,)0(V V s s v v dtdV v c v c dt ds . (3) 即所求问题的微分方程模型.虽然它是针对液体溶液变化建立的,但对气体和固体浓度变化同样适用.实际应用中,许多时变问题都可取微小的时间段t ∆去考察某些量之间的变化规律,从而建立问题的数学模型,这是数学建模中微分方程建模常用手段之一.常用微分方程建模的方法主要有:(1)按实验定律或规律建立微分方程模型.此种建模方法充分依赖于各个学科领域中有关实验定律或规律以及某些重要的已知定理,这种方法要求建模者有宽广的知识视野,这样才能对具体问题采用某些熟知的实验定律.(2)分析微元变化规律建立微分方程模型.求解某些实际问题时,寻求一些微元之间的关系可以建立问题的数学模型.如例1.1中考察时间微元t ∆,从而建立起反应溶液浓度随时间变化的模型.此建模方法的出发点是考察某一变量的微小变化,即微元分析,找出其他一些变量与该微元间的关系式,从微分定义出发建立问题的数学模型.(3)近似模拟法.在许多实际问题中,有些现象的规律性并非一目了然,或有所了解亦是复杂的,这类问题常用近似模拟方法来建立问题的数学模型.一般通过一定的模型假设近似模拟实际现象,将问题做某些规范化处理后建立微分方程模型,然后分析、求解,并与实际问题作比较,观察模型能否近似刻画实际现象.近似模拟法的建模思路就是建立能够近似刻画或反映实际现象的数学模型,因此在建模过程中经常做一些较合理的模型假设使问题简化,然后通过简化建立近似反映实际问题的数学模型.1.1.2 微分方程建模应用实例例1.2(2003年高教社杯全国大学生数学建模竞赛A 题) SARS 传播的预测. 2003年爆发的“SARS ”疾病得到了许多重要的经验和教训,使人们认识到研究传染病的传播规律的重要性.题目给出了感病情况的三个附件,要求对SARS 的传播建立数学模型:(1)对SARS 的传播建立一个自己的模型,并说明模型的优缺点;(2)收集SARS 对经济某个方面影响的数据,建立相应的数学模型并进行预测.问题求解过程分析 由于题目具有开放性,故选择文献[1]中的求解思路分析. 传染病的传播模式可近似分为自由传播阶段和控后阶段,然后将人群分为易感者S ,感病者I ,移出者R 三类.由三者之间的关系可得到下列微分方程:⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=++=-=-=NR I S hI dt dR hI kIS dt dI kISdt dS , 利用附件中给出的数据,可以将上述方程变形为I hI kNI dtdI λ=-=, 其中h kN -=λ,其解为t e I t I λ-=0)(.其中0I 为初始值.但此模型只适用于病例数与总人口数具有可比性的情况,当病例数远小于总人口数时,感病人数将随时间以指数增长.这是按实验定律或规律建立的微分方程模型.为进一步改进模型,用计算机跟踪病毒的个体传播情况,又建立计算机模拟模型.然后用计算机模拟北京5月10日之前SARS 的传播情况,并对5月10日以后的传播情况进行预测.但是得到的有效接触率与实际统计数据有所偏差,所以统计数据,为参数的确定寻求医学上的支持,并以随机模拟取代完全确定性的模拟,对原模型进行改进,建立随机模拟模型.通过计算机编程,产生正态分布的随机数,并对传染情况进行500次模拟,即可进行预测,并可得出对SARS 疫情控制提出的相应建议.1.2 差分方程建模1.2.1 差分方程建模的原理和方法差分方程在数学建模竞赛中应用的频率极高,所以要对这种方法引起足够的重视.它针对要解决的目标,引入系统或过程中的离散变量.具体方法是:根据实际的规律性质、平衡关系等,建立离散变量所满足的关系式,从而建立差分方程模型.差分方程可以分为不同的类型,如一阶和高阶差分方程,常系数和变系数差分方程,线性和非线性差分方程等等.建立差分方程模型一般要注意以下问题:(1)注意题中的离散变化量,对过程进行分析,尤其要注意形成变化运动过程的时间或距离的分化而得到离散变量;(2)通过对具体变化过程的分析,列出满足题意的差分方程,其中入手点是找出变量所能满足的平衡关系、增量或减量关系及规律,从而得到差分方程.1.2.2差分方程建模应用实例例1.3(2007年高教社杯全国大学生数学建模竞赛A题)中国人口增长预测.题目要求从中国的实际情况和人口增长的特点出发,参考附录中的相关数据(也可以搜索相关文献和补充新的数据),建立中国人口增长的数学模型,并由此对中国人口增长的中短期和长期趋势做出预测,特别要指出模型中的优点与不足之处.问题求解过程分析由于题目具有开放性,故选择文献[2]中的求解思路分析.通过分析题中相关的数据,考虑到我国近年来人口发展的总趋势,因为涉及到人口的增长和变换,所以可以先用微分方程来建立模型,并对我国人口增长的中短期和长期趋势做出预测.首先,根据灰色系统理论,使用灰色关联分析模型法对人口系统结构进行关联分析,找出影响人口增长的主要因素;其次使用年龄推算法进行短期预测.在建立和求解长期预测模型时,根据人口阻滞增长模型(Logistic模型),可以考虑对中国人口老龄化进程加速、出生人口性别比例持续升高以及乡村人口城镇化等因素建立新的人口增长的差分方程模型.但是它仅给出了人口总数的变化规律,反映不出各类人口的详细信息,所以我们需要建立离散化的模型,并进一步可以得到全面系统地反应一个时期内人口数量状况的差分方程,可以用微分和差分方程理论来表现和模拟人口数量的变化规律.从而对人口分布的状况、变化趋势、总体特征等有更加详细和科学的了解.在模型的求解过程中,用到了MATLAB软件,并做参数估计,利用所得结果和题目给出的近五年来的人口数据,对我国人口发展趋势进行了预测,得到了在老龄化进程加速、出生人口性别比例持续升高以及乡村人口城镇化等因素影响下,未来我国人口发展预测情况.2 数学规划建模数学规划是指在一系列条件限制下,寻求最优方案,使得目标达到最优的数学模型,它是运筹学的一个重要分支.数学规划的内容十分丰富,包括许多研究分支,如:线性规划、非线性规划、整数规划、二次规划、0-1规划、多目标规划、动态规划、参数规划、组合优化、随机规划、模糊规划、多层规划问题等.在1993年A 题“非线性交调的频率设计”,1993年B 题“足球队排名”,1995年A 题“飞行管理问题”,1996年B 题“节水洗衣机”,1997年A 题“零件的参数设计”,1998年A 题“一类投资组合问题”,1999年B 题“钻井布局”,2001年B 题“公交车调度问题”,2002年A 题“车灯线光源的优化”,2006年A 题“出版社书号问题”,2007年B 题“城市公交线路选择问题”等赛题中,都用到了规划的方法.在此以线性规划为例,对规划的方法进行探讨.2.1 线性规划建模的一般理论线性规划建模方法主要用于解决生产实际中的资源利用、人力调配、生产安排等问题,它是一种重要的数学模型.线性规划是运筹学中研究较早、发展较快、应用广泛、方法较成熟的一个重要分支,它是研究线性约束条件下线性目标函数的极值问题的数学理论和方法.一般的优化问题是指用“最好”的方式,使用或分配有限的资源即劳动力、原材料、机器、资金等,使得费用最小或利润最大.优化模型的一般形式为:()m ax m in 或 ()x f z = (4)().0..≤x g t s ()m i ,,2,1 = (5)()()12,,T n x x x x =,.由(4)、(5)组成的模型属于约束优化.若只有(4)式就是无约束优化.()x f 称为目标函数,()0g x ≤称为约束条件.在优化模型中,如果目标函数()x f 和约束条件中的()g x 都是线性函数,则该模型称为线性规划.建立实际问题线性规划模型的步骤如下:(1)设置要求解的决策变量.决策变量选取得当,不仅能顺利地建立模型而且能方便地求解,否则很可能事倍功半.(2)找出所有的限制,即约束条件,并用决策变量的线性方程或线性不等式来表示.当限制条件多,背景比较复杂时,可以采用图示或表格形式列出所有的已知数据和信息,从而避免“遗漏”或“重复”所造成的错误.(3)明确目标要求,并用决策变量的线性函数来表示,标出对函数是取极大还是取极小的要求.需要特别说明的是,要使用线性规划方法来处理一个实际问题,必须具备下面的条件:(1)优化条件:问题的目标有极大化或极小化的要求,而且能用决策变量的线性函数来表示.(2)选择条件:有多种可供选择的可行方案,以便从中选取最优方案.(3)限制条件:达到目标的条件是有一定限制的(比如,资源的供应量有限度等),而且这些限制可以用决策变量的线性等式或线性不等式表示出来.此外,描述问题的决策变量相互之间应有一定的联系,才有可能建立数学关系,这一点自然是不言而喻的.线性规划模型的求解可用图解法或单纯形法.随着计算机的普及和大量数学软件的出现,可以利用现成的软件MATLAB或LINGO等求解,在此不再叙述.2.2线性规划建模应用实例例2.1(2006年高教社杯全国大学生数学建模竞赛B题)艾滋病疗法的评价及疗效的预测.题目给出了美国某艾滋病医疗试验机构公布的两组数据,数据涉及到了病人CD4和HIV的浓度含量的测试结果.根据所给的资料需要参赛者完成以下问题:(1)利用附件1的数据,预测继续治疗的效果,或者确定最佳治疗终止时间;(2)利用附件2的数据,评价4种疗法的优劣(仅以4CD为标准),并对较优的疗法预测继续治疗的效果,或者确定最佳治疗终止时间;(3)如果病人需要考虑4种疗法的费用,对评价和预测有什么影响.问题求解过程分析由于题目具有开放性,故选择文献[3]中的求解思路进行分析.首先对题目所给数据进行分析,考虑到治疗的效果与患者的年龄有关,将患者按年龄分组,如25~35岁及45岁以上4组.每组中按照4种疗法和4个25岁,45~~14岁,35治疗阶段(如1020周,4030周),构造16个决策单元.取4~~~~0周,2010周,30种药品量为输入,治疗各个阶段末患者的4CD值的比值为输出.CD值与开始治疗时4然后建立相应的数学模型,利用相对有效性评价方法,建立分式规划模型并经过变换,转化为线性规划模型求解,对各年龄组患者在各阶段的治疗效率进行评价.计算结果:对第1年龄组疗法2和4在整个治疗中效率较高,在第4阶段仍然有效;对第2年龄组疗法1在第1,2阶段有效;对第3年龄组疗法1,2,3在第1阶段有效;对第4年龄组疗法1,2在第1,2阶段有效.表明只有2514岁的年4种轻患者,才能在治疗的最~后阶段仍然有有效的疗法.随后,由线性规划模型的对偶形式建立预测模型,对各年龄组各种疗法下一阶段的疗效进行预测.若由某决策单元得到的实际输出大于预测输出,则该决策单元相对有效;反之,说明该种疗法对该组患者在治疗的未来阶段不再有效,应该转换疗法.3 统计学建模方法在数学建模竞赛中,常常会涉及到大量的数据,因此,我们就需要用统计学建模方法对这些数据进行处理.此类方法主要包括统计分析、计算机模拟、回归分析、聚类分析、数据分类、判别分析、主成分分析、因子分析、残差分析、典型相关分析、时间序列等.如2004年A题“奥运会临时超市网点设计问题”,2004年B题“电力市场的输电阻塞管理问题”,2007年A题“人口增长预测问题”,2008年B题“大学学费问题”,2012年A题“葡萄酒的评价”等都用到了这种建模方法.在此选取其中两类方法进行阐述.3.1聚类分析3.1.1聚类分析的原理和方法该方法说的通俗一点就是,将n个样本,通过适当的方法选取m聚类中心,通过研究各样本和各个聚类中心的距离,选择适当的聚类标准,通常利用最小距离法来聚类,从而可以得到聚类.结果利用sas 软件或者spss 软件来做聚类分析,就可以得到相应的动态聚类图.这种模型的的特点是直观,容易理解.聚类分析的类型可分为:Q型聚类(即对样本聚类)和R型聚类(即对变量聚类).通常聚类中有相似系数法和距离法两种衡量标准.聚类方法种类多样,有可变类平均法、中间距离法、最长距离法、利差平均和法等.在应用时要注意,在样本量比较大时,要得到聚类结果就显得不是很容易,这时需要根据背景知识和相关的其他方法辅助处理.主要的方法步骤大致如下:(1)首先把每个样本自成一类;(2)选取适当的衡量标准,得到衡量矩阵;(3)重新计算类间距离,得到衡量矩阵;(4)重复第2步,直到只剩下一个类.3.1.2聚类分析应用实例例3.1(2012年高教社杯全国大学生数学建模竞赛A题)葡萄酒的评价.题目的附件中给出了某一年份一些葡萄酒的评价结果,和该年份这些葡萄酒的和酿酒葡萄的成分数据.要求参赛者建立数学模型解决以下问题:(1)分析附件1中两组评酒员的评价结果有无显著性差异,哪一组结果更可信;(2)根据酿酒葡萄的理化指标和葡萄酒的质量对这些酿酒葡萄进行分级;(3)分析酿酒葡萄与葡萄酒的理化指标之间的联系;(4)分析酿酒葡萄和葡萄酒的理化指标对葡萄酒质量的影响,并论证能否用葡萄和葡萄酒的理化指标来评价葡萄酒的质量.问题求解过程分析由于题目具有开放性,故选择文献[4]中的求解思路分析.由于给定了酿酒葡萄的理化指标,首先可将附录2和附录3中的一些数据进行处理.并可以据此对各种酿酒葡萄进行聚类分析,但是,由于题目中所给的数据庞大,所以可通过主成分分析法,简化并提取大部分有效信息,再用聚类分析对酿酒葡萄进行分级.最后根据酿酒葡萄对应葡萄酒质量的平均值大小进行比较,排序分级.接下来针对问题中分析酿酒葡萄与葡萄酒理化指标之间的联系,及上面整理好的数据,采用回归分析原理,在SPSS中得到酿酒葡萄与葡萄酒的理化指标之间的联系.再通过相关分析,得出相应的相关系数,从而得到相应的判断结论.在分析酿酒葡萄与葡萄酒的理化指标之间的联系时,还用到了多元线性回归分析.该模型用于生活实践中,也可以解决很多实际问题.3.2回归分析回归分析是利用数据统计原理,对大量数据进行数学处理,并确定因变量与某些自变量的相关关系,建立一个相关性较好的回归方程,并加以外推,用于预测今后的因变量的变化的分析方法.3.2.1回归分析的原理与方法回归分析是在一组数据的基础上研究这样几个问题:建立因变量与自变量之间的回归模型;对回归模型的可信度进行检验;判断每个自变量对因变量的影响是否显著;判断回归模型是否适合这组数据;利用回归模型对进行预报或控制.回归分析主要包括一元线性回归、多元线性回归、非线性回归.回归分析的主要步骤为:(1)根据自变量和因变量的关系,建立回归方程.(2)解出回归系数.(3)对其进行相关性检验,确定相关系数.(4)当符合相关性要求后,便可与具体条件结合,确定预测值的置信区间.需要注意的是,要尽可能定性判断自变量的可能种类和个数,并定性判断回归方程的可能类型.另外,最好应用高质量的统计数据,再运用数学工具和相关软件定量定性判断.3.2.2回归分析应用实例例3.2(2006年高教社杯全国大学生数学建模竞赛B题)艾滋病疗法的评价及疗效的预测.题目同例2.1.问题求解过程分析由于题目具有开放性,故选择文献[3]中的求解思路进行分析.问题2的解决就用到回归模型.首先分析数据知,应建立时间的一次与二次函数模型,并经过统计分析比较,确定哪种较好.所以可建立一个统一的回归模型,也可对每种疗法分别建立一个模型.以总体回归模型为例,分别用一次与二次时间函数模型进行比较,可知疗法3~1用一次模型较优,且一次项系数为负,即4CD在减少,从数值看疗法3优于疗法2和1;疗法4用二次模型较优,即4t左右达到最大.可以通过4条回归CD先增后减,在20曲线进行比较,显示疗法4在30周之前明显优于其它.最后再用检验法作比较,结果是疗法1与2无显著性差异,而疗法1与3,2与3,3与4均有显著性差异.4 图论建模方法图论建模方法在建模竞赛中也经常涉及,应用十分广泛,并且解法巧妙,方法灵活多变.如1990年B题“扫雪问题”,1991年B题“寻找最优Steiner树”,1992年B题“紧急修复系统的研制”,1993年B题“足球队排名”,1994年A题“逢山开路问题”,1994年B题“锁具装箱问题”,1995年B题“天车与冶炼炉的作业调度”,1997年B题“截断切割的最优排列”,1998年B题“灾情巡视最佳路线”,1999年B题“钻井布局”,2007年B题“城市公交线路选择问题”等都应用到了图论的方法.图论近几年来发展十分迅速,在物理、化学、生物学、地理学、计算机科学、信息论、控制论、社会科学、军事科学以及计算机管理等方面都有着广泛的应用.因此图论越来越受到了全世界数学界和工程技术界乃至经营决策管理者的重视.同时也成为了数学建模中一种十分重要的方法.图论问题算法很多,包括最短路、最大流、最小生成树、二分匹配、floyd、frim等.。

2005-2009全国大学生数学数学建模竞赛参考答案

2005-2009全国大学生数学数学建模竞赛参考答案

2003-2009全国大学生数学建模竞赛试题及参考答案2010-7-192005A题: 长江水质的评价和预测 (2)2005 A题评阅要点 (4)2005B题: DVD在线租赁 (6)2005 B题评阅要点 (8)2006A题:出版社的资源配置 (10)2006A题评阅要点 (10)2006B题: 艾滋病疗法的评价及疗效的预测 (13)2006 B题评阅要点 (14)2007A题:中国人口增长预测 (17)2007 A题评阅要点 (18)2007 B题:乘公交,看奥运 (21)2007 B题评阅要点 (22)2008A题数码相机定位 (24)2008 A题评阅要点 (27)2008B题高等教育学费标准探讨 (27)2008B题评阅要点 (29)2009 A题制动器试验台的控制方法分析 (30)2009 A题评阅要点 (32)2009B题眼科病床的合理安排 (35)2009 B题评阅要点 (36)2005A题: 长江水质的评价和预测水是人类赖以生存的资源,保护水资源就是保护我们自己,对于我国大江大河水资源的保护和治理应是重中之重。

专家们呼吁:“以人为本,建设文明和谐社会,改善人与自然的环境,减少污染。

”长江是我国第一、世界第三大河流,长江水质的污染程度日趋严重,已引起了相关政府部门和专家们的高度重视。

2004年10月,由全国政协与中国发展研究院联合组成“保护长江万里行”考察团,从长江上游宜宾到下游上海,对沿线21个重点城市做了实地考察,揭示了一幅长江污染的真实画面,其污染程度让人触目惊心。

为此,专家们提出“若不及时拯救,长江生态10年内将濒临崩溃”(附件1),并发出了“拿什么拯救癌变长江”的呼唤(附件2)。

附件3给出了长江沿线17个观测站(地区)近两年多主要水质指标的检测数据,以及干流上7个观测站近一年多的基本数据(站点距离、水流量和水流速)。

通常认为一个观测站(地区)的水质污染主要来自于本地区的排污和上游的污水。

2009数学建模A题(PID算法)

2009数学建模A题(PID算法)

制动器试验台的控制方法分析摘要制动器试验台是专门模拟车辆制动过程的试验台。

通过分析制动器试验台的工作原理,可知对制动器实验台的控制实质是对一个闭环系统的控制。

由于制动器制动过程中存在着力矩平衡关系,通过对此力矩平衡关系的变换,得以在电动机驱动电流和可观测量之间建立起可靠的数学关系,为系统数学模型的建立、优化以及系统反馈控制提供了依据。

由于制动器实验台进行的模拟实验需代替车辆路试,所以要求试验台上制动器的制动过程与路试车辆上制动器的制动过程尽可能一致,即要求在制动过程中,试验台上飞轮的制动角减速度与路试时车轮上的制动角减速度尽可能一致。

但由于飞轮与主轴组成的机械惯量和车辆的等效转动惯量之间总存在差异,所以需要利用试验台上的电机补偿扭矩,以达到路试的效果。

这就要求制动器实验台控制系统需有较高的控制精度。

考虑到当前PID (即比例—积分—微分)控制成熟的应用环境和良好的控制效果,本文将其引入到制动器试验台的控制中。

通过对制动器试验台的分析,本文首先建立了理想的纯比例控制模型(模型一),但由于此模型在干扰的情况下总存在波动和稳态误差,所以就有必要对纯比例控制模型进行优化,于是导出了更为符合实际控制情况的PID 控制模型(模型二),并详细论述了决定PID 模型控制效果的三个参数(p K 、e T 、d T )的整定方法,继而引出PID 控制模型的计算机控制方法,同时编写了PID 模型的单片机控制例程,使PID 模型在制动器试验台的应用上具有了实在的意义。

在本文中,还从模拟实验的原则和制动消耗的能量误差两个方面对问题4给出的某种控制方法进行了评价,综合的评价结果是该种控制方法基本可行。

关键字:模拟试验台 控制 PID一、问题的提出汽车行驶时能在短时间内停车且方向稳定和在下长坡时能维持一定车速的能力,称为汽车的制动性。

汽车制动性能直接关系到行车安全,是汽车的主要性能之一,直接影响着人身和车辆的安全。

为了检验设计的优劣,必须进行相应的测试。

2009年数学建模竞赛赛题

2009年数学建模竞赛赛题

2009年数学建模竞赛赛题
2009年全国大学生数学建模竞赛赛题有A题和B题。

A题是设计一个交通环路。

题目描述了许多城市和社区存在的交通圈,需要用一个模型来确定如何最好地控制交通,绕流,并走出了一条循环。

需要考虑影响这种选择的因素,包括一个不超过两个双页纸的技术总结,并说明交通工程师如何使用模型来帮助选择适当的流量控制任何特定交通圈的方法。

B题是能源与手机。

这个问题涉及到手机革命的“能源”后果。

每部手机配备了一个电池和一个充电器。

以上信息仅供参考,建议查阅全国大学生数学建模竞赛官网了解更多赛题内容。

2009年数学建模A题

2009年数学建模A题

2009年数学建模比赛A题制动器实验台控制方法的分析模型摘要:本文研究制动器实验台上对所设计的路试进行模拟的问题,介绍了一种采用电动机进行能量补偿实现惯量模拟的方法,给出了能量补偿的数学模型。

第三题中,运用物理学刚体转动中的转动惯量知识,并大量计算和证明,逐渐建立电动机驱动电流依赖于客观测量的数学模型。

文中用MATLAB软件对数据进行处理和分析,并结合拟合图像顺利完成对模型的改造。

关键字:等效转动惯量机械惯量路试扭矩驱动电流一.符号说明Q J 等效转动惯量; M J 为机械惯量;0ω为制动初始角速度;()t ω为t 时刻的制动角速度;()E t 为电动机提供的能量;()W t 电动机从初始到t 时间内所做的功;E M 为电动机在制动过程中提供的扭矩;i ω为第i 到第i+1时间的角速度;i M 为第i 到第i+1时间段的扭矩; i m 电动机提供的扭矩;M 制动器恒定外力提供的扭矩;i e 在i 到i+1时间段内路试与实验台能量差;i α是i 时刻的角加速度。

二.问题分析汽车的行车制动器联接在车轮上,它的作用是在行驶时使车辆减速或者停止。

制动器的设计是车辆设计中最重要的环节之一,直接影响着人身和车辆的安全。

为了检验设计的优劣,必须进行相应的测试。

第一题和第二题主要求解等效转动惯量大小,转动惯量是描述刚体在转动中的惯性大小的物理量,它等于刚体上各质点的质量与各质点到转轴的距离平方的乘积之和,如果刚体上的质点是连续分布的,则其转动惯量可以用积分进行计算,即2J r dm =⎰。

[1]第三题建立电动机驱动电流依赖于可观测量的数学模型,其中可观测量包括主轴的瞬时转速与瞬时扭转,且实验台采用的电动机的驱动电流与其产生的扭矩成正比,所以问题转化为求电动机的扭矩,求解扭矩需应用一些知识 :(1)功率P =扭矩×角速度ω(公式推导:功率P =功W÷时间t=力F×距离s/t=F×速度v ,这里的v 是线速度,v =角速度ω×半径r ,得:功率P =Fr ω ; 而 力F×半径r =扭矩 得出:功率P =扭矩×角速度ω)。

2009高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目

2009高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目

2009高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目
(请先阅读“全国大学生数学建模竞赛论文格式规范”)
C题卫星和飞船的跟踪测控
卫星和飞船在国民经济和国防建设中有着重要的作用,对它们的发射和运行过程进行测控是航天系统的一个重要组成部分,理想的状况是对卫星和飞船(特别是载人飞船)进行全程跟踪测控。

测控设备只能观测到所在点切平面以上的空域,且在与地平面夹角3度的范围内测控效果不好,实际上每个测控站的测控范围只考虑与地平面夹角3度以上的空域。

在一个卫星或飞船的发射与运行过程中,往往有多个测控站联合完成测控任务,如神州七号飞船发射和运行过程中测控站的分布如下图所示:
图片来源/jrzg/2008-09/24/content_1104882.htm
请利用模型分析卫星或飞船的测控情况,具体问题如下:
1. 在所有测控站都与卫星或飞船的运行轨道共面的情况下至少应该建立多少个测控站才能对其进行全程跟踪测控?
2.如果一个卫星或飞船的运行轨道与地球赤道平面有固定的夹角,且在离地面高度为H的球面S上运行。

考虑到地球自转时该卫星或飞船在运行过程中相继两圈的经度有一些差异,问至少应该建立多少个测控站才能对该卫星或飞船可能飞行的区域全部覆盖以达到全程跟踪测控的目的?
3. 收集我国一个卫星或飞船的运行资料和发射时测控站点的分布信息,分析这些测控站点对该卫星所能测控的范围。

2009年全国大学生数学建模竞赛选手选拔试题与答案

2009年全国大学生数学建模竞赛选手选拔试题与答案

2009年全国大学生数学建模竞赛选拔试题时量:180分钟满分:200分系别:专业:学号:姓名:一、数学模型部分(共90分)1、简述数学建模论文的基本结构。

答:应该主要包含论文标题,摘要,问题重述,问题分析,模型建立,模型求解,模型验证,模型分析与改进,模型评价,参考文献等内容。

2、简述数学建模论文摘要的要求及其应包含的主要内容。

答:摘要要用独立的一页来写,字数为300字左右。

应该主要包含建模的思想,建模的方法,建立的模型,模型的求解,模型的改进,模型的评价,以及主要创新点和亮点。

3、试建立桌子在四条腿脚呈长方形时的数学模型,以说明桌子能否在地面上放稳的问题。

4、请把1~9共9个数字填入3乘以3的正方形格子,使3个行中每个行的数字总和为15,3个列中每个列的数字总和也15,两条对角线数字总和也15。

(1)中间格的数字应该为多少?并证明之。

(2) 用推理或建立模型方法求出其它数字(说明求解过程),最终结果请填入右图。

解:(1) 把第2行,第2列,两对角线所有数字相加,1,2,3,4,5,6,7,8,9数字各出现1次,而中间数字记为x 多出现了3次,列出方程1543)987654321(⨯=+++++++++x 解方程得 x=5, 中间格x 22为5(2) 数字1不能填对角,否则相应一个对角为9而1对应行,列总和为14,而14=6+8仅有一种排法 由对称性有右图填法 ( 2分) 把余下数分3个一组,按总和为15分为第一组(3,4,8)预放入第1行,第2组(2,6,7) 预放入第3行 ( 2分) 调整次序不难得出右图最终结果 (2)别一法:利用上图列出方程⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=+=+=++=++610141515k c n b m a k n m c b a 解空间是1维, 取k 为自由变量(k=2,3,4,,6,7,8),取k=2时其它变量全为整数。

5、 设一个鞋店平均每天卖出鞋100双,批发一次差旅费为每次200元,每双鞋每存储一天的费用为0.01元。

2009年全国大学生数学建模A题优秀论文

2009年全国大学生数学建模A题优秀论文

制动器试验台的控制方法分析摘要汽车制动性能的检测是机动车安全技术检验的重要内容之一,制动器的设计也成为车辆设计中重要的环节,在车辆设计阶段需要在制动试验台上对路试制动情况进行模拟,本文主要对制动试验台上的一系列问题进行了研究。

对问题1,我们利用能量守恒定律,把车辆平动时具有的动能等效地转化为试验台上飞轮和主轴等机构转动时具有的转动动能,以此求得等效的转动惯量为51.9989J =2k g m ⋅。

对问题2,根据刚体转动知识建立了飞轮转动的积分模型,求得3个飞轮的转动惯量,进而可以组合成8种机械惯量。

由电动机补偿惯量的范围及问题1等效的转动惯量,可以计算出需要电动机补偿的惯量为11.99062k g m ⋅,或-18.01772k g m ⋅,考虑节能时,取补偿惯量为11.99062k g m ⋅。

对问题3,由机械动力学知识建立刚体转动的微分模型,可以得到电动机驱动电流依赖于可观测量(主轴的扭矩M )的数学模型表达式为d d fJ IK MJ J=⋅⋅+,代入已知数据可以计算出驱动电流为174.6882I =A 。

对问题4,通过固定机械惯量与路试时的转动惯量进行比较,确定电惯量的补偿量,进而确立了混合惯量模拟方法,建立微分方程模型,求出主轴扭矩为恒定值 0276.6218M =N m ⋅,又对实验的数据与理论值进行比较,用隔项逐差法分析了相对误差的大小分别为 4.12%ne =, 2.08%Me =,可以得知该控制方法是切实可行的。

对问题5,我们可以根据自动控制原理建立单闭环反馈系统,通过传感器检测出主轴的扭矩,通过线性关系建立差分模型,可依据前一时间段观测到的瞬时扭矩,求出前段时间的电流值(1)I t -,并可预测出本时段驱动电流的值10()((1))(1)I t a M M t I t =⋅--+-。

将能量误差等效为预测电流值与理论值的相对误差,利用问题4的数据,分析处理得到的相对误差为2.31%,此控制方法比较合理。

2009年数学建模考题2

2009年数学建模考题2

2009高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目C题卫星和飞船的跟踪测控卫星和飞船在国民经济和国防建设中有着重要的作用,对它们的发射和运行过程进行测控是航天系统的一个重要组成部分,理想的状况是对卫星和飞船(特别是载人飞船)进行全程跟踪测控。

测控设备只能观测到所在点切平面以上的空域,且在与地平面夹角3度的范围内测控效果不好,实际上每个测控站的测控范围只考虑与地平面夹角3度以上的空域。

在一个卫星或飞船的发射与运行过程中,往往有多个测控站联合完成测控任务,如神州七号飞船发射和运行过程中测控站的分布如下图所示:图片来源/jrzg/2008-09/24/content_1104882.htm请利用模型分析卫星或飞船的测控情况,具体问题如下:1. 在所有测控站都与卫星或飞船的运行轨道共面的情况下至少应该建立多少个测控站才能对其进行全程跟踪测控?2.如果一个卫星或飞船的运行轨道与地球赤道平面有固定的夹角,且在离地面高度为H的球面S上运行。

考虑到地球自转时该卫星或飞船在运行过程中相继两圈的经度有一些差异,问至少应该建立多少个测控站才能对该卫星或飞船可能飞行的区域全部覆盖以达到全程跟踪测控的目的?3. 收集我国一个卫星或飞船的运行资料和发射时测控站点的分布信息,分析这些测控站点对该卫星所能测控的范围。

2009高教社杯全国大学生数学建模竞赛C题评阅要点[说明]本要点仅供参考,各赛区评阅组应根据对题目的理解及学生的解答,自主地进行评阅。

1.考虑最简单圆形轨道和一般的椭圆轨道假设卫星测控站分布在与卫星轨道共面的地球表面,且卫星的运行轨道为圆。

利用几何关系给出全部覆盖需要的测控站点数与卫星高度的关系。

如卫星高度100 200 300 343 400 500观测站数24 16 12 12 11 10当卫星的运行轨道为椭圆,卫星运行轨道的一个焦点在地球中心,利用几何关系给出每个测控站的覆盖范围。

然后利用数值方法对测控站点进行优化,给出一些具体结果(数量和位置)。

2009数学建模全国二等奖

2009数学建模全国二等奖

摘要
测控系统是航天工程的有力支持系统,它的任务是跟踪和获取卫星或飞船的各种信 息,进行处理、分析、控制和管理,是影响航天任务成败的关键。因此,建立一个覆盖 卫星运行轨道的测控系统网络具有重要意义。本文就是在了解卫星轨道的不确定性基础 上探究如何设计测控站的分布数量才能使卫星全程都处于监控中。本文综合运用了平面 几何、立体几何的知识找出了卫星轨道与卫星的高度和与赤道夹角的关系。假如不考虑 地球自转等因素且卫星轨道不变,问题一可归结为平面几何问题且只与高度有关。根据 测控站所能测控的曲面弧度,可计算得出需要测控站数量为:
图 1.测控站的测控范围平面示意图 3 (2 / 360), H 卫星轨道的高度,R 地球半径。
如图 1,由正弦定理可得:
sin( 2
)
sin
,
(0,
)
RH
R
2
3
由三角形内角和定理可得
R sin( )
arcsin(
2)
RH
R
sin(
arcsin(
2
) )
2
2
RH

R arcsin(
1
一、问题重述
测控是通过地面的测控网对卫星或飞船的飞行轨道、飞行质量等进行的跟踪和测 控,目的是为了实时了解它们的飞行状况,以评价飞行任务的完成情况,及时掌握飞行 的安全信息。
测控设备只能观测到所在点切平面以上的空域,且在与地平面夹角 3 度的范围内测 控效果不好,实际上每个测控站的测控范围只考虑与地平面夹角 3 度以上的空域。在一 个卫星或飞船的发射与运行过程中,往往有多个测控站联合完成测控任务,我们结合平 面几何、立体几何的知识以及正弦定理等内容,分析以下问题:
R sin( )
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• 3:记需要模拟的单轮的等效的转动惯量为J, 主 (t ) 轴转速为 ,机械惯量J1 , 则关于主轴的制动 d (1) 扭矩 为 M (t) M (t ) J
dt
• J1关于主轴的扭矩为
J1
d dt
(2)
d dt
• 从而电流产生的扭矩应为 • 电机的驱动电流 I ( t ) k
利用数据计算得到三个飞轮的惯量分别为30 kg·m2、60 kg·m2、120 kg·m2,它们和基础惯 量一起组成的机械惯量可以有8种情况:10, 40, 70, 100, 130, 160, 190, 220 kg ·m2。 对于问题1中得到的等效的转动惯量,用电动机补 偿能量对应的惯量(简称电机惯量)有两种方案: 12 kg ·m2 或 –18 kg ·m2。
• 3、 建立电动机驱动电流依赖于可观测量 的数学模型。 • 在问题 1 和问题 2 的条件下,假设制动减 速度为常数,初始速度为 50 km/h,制动 5.0 秒后车速为零,计算驱动电流。 • 4、 对于与所设计的路试等效的转动惯量 为48 kg· 2 ,机械惯量为35 kg· 2 ,主 m m 轴初转速为514 转/分钟,末转速为257 转/ 分钟,时间步长为10 ms 的情况,用某种 控制方法试验得到的数据见附表。请对该 方法执行的结果进行评价。
0
M e (t ) ( J 1 J )
(3)
M e (t )
• •
I (t ) k 0 ( J 1 J )
d dt
观测
k
差分
I k 1
• 4.把整个刹车过程等分为N个时间段,记 tk = k Δt,Δt为时间步长,第k个时间段为[tk-1, tk]。 设tk时的角速度为ωk,制动扭矩为Mk,等效的转 动惯量为J,初始角速度为ω0. 则在整个制动过程 中,理论上能量应该减少
2.3 2009高教社杯全国大学生数学建模
竞赛A题
• 一、问题重述 • 制动器的设计只能在专门的制动器试验台上对所设计的 路试进行模拟试验。模拟试验的原则是试验台上制动器 的制动过程与路试车辆上制动器的制动过程尽可能一致。 制动器试验台一般由安装了飞轮组的主轴、驱动主轴旋 转的电动机、底座、施加制动的辅助装置以及测量和控 制系统等组成。被试验的制动器安装在主轴的一端,当 制动器工作时会使主轴减速。试验台工作时,电动机拖 动主轴和飞轮旋转,达到与设定的车速相当的转速后电 动机断电同时施加制动,当满足设定的结束条件时就称 为完成一次制动。
1 2 k
2
J ( 0 k )
2 2
• 实际制动能量为 M •
i 1
k
i
it
二者的能量误差较大。
• 这是一个物理模拟问题,模拟的原则是试 验台上制动器的制动过程与所设计的路试 时车上制动器的制动过程理论上应该一致, 所以制动过程中试验台主轴的瞬时转速与 车轮的瞬时转速理论上随时一致,制动扭 矩也理论上随时一致,另外理论上制动时 间也相同。
• 了解制动机试验台的工作过程
• 将六个问题进行定性分析 • 前三问定性为物理问题,可以通过直接列出物理 方程进行求解; • 后面三问,定性为建立数学模型求解,分别对制 动系统进行评价,预测,以及改善模型四个方面 的问题。
• 1. 设前轮的半径为R,制动时承受的载荷为G, 等效的转动惯量为J,线速度为v,角速度为ω, 重力加速度为g。应该利用能量法得到 ,
• v = Rω. 从而 J = GR2/g。利用数据计算得到J = 52 kg·2。 m
• 2.了解飞轮的结构
• 记飞轮的外半惯量为:
• 需要做的工作: • 1、 设车辆单个前轮的滚动半径为0.286 m, 制动时承受的载荷为6230 N,求等效的转 动惯量。 • 2、飞轮组由3个外直径1 m、内 直径0.2 m 的环形钢制飞轮组成,厚度分别为0.0392m、 0.0784 m、0.1568 m,钢材密度为7810 kg/m 3 基础惯量为10 kg· 2 ,问可以组成 m 哪些机械惯量?设电动机能补偿的能量相应 的惯量的范围为 [-30, 30] kg· 2 ,对于问 m 题1 中得到的等效的转动惯量,需要用电动 机补偿多大的惯量?
• 等效转动惯量、基础惯量、机械惯量。 • 试验台采用的电动机的驱动电流与其产生 的扭矩成正比(本题中比例系数取为1.5 A/N∙m);且试验台工作时主轴的瞬时转速 与瞬时扭矩是可观测的离散量。 • 评价控制方法优劣的一个重要数量指标是 能量误差的大小,本题中的能量误差是指 所设计的路试时的制动器与相对应的实验 台上制动器在制动过程中消耗的能量之差。 通常不考虑观测误差、随机误差和连续问 题离散化所产生的误差。
• 5、 按照第3 问导出的数学模型,给出根据 前一个时间段观测到的瞬时转速与瞬时 • 扭矩,设计本时间段电流值的计算机控制 方法,并对该方法进行评价。 • 6、 第5 问给出的控制方法是否有不足之处? 如果有,请重新设计一个尽量完善的计算 机控制方法,并作评价。
读懂题目
V
路试 平动
ωk
Mk
模拟试验试验台
实际上能量减少为
• 相对误差为
• 计算得到总能量的相对误差为RE = 5.30%。 • 注:这里是用总能量的相对误差作为评价 标准。不排除其他的评价标准和方法。
• 5.一阶形式递推控制方法 。 • 由3.的数学模型设计控制策略
• 6.一阶递推的控制方法不够好,因为决定第k + 1步的电流值时,此时前面k步的累积误差可以用 已经知道的 0 , 1 , ..., k 与 M , M , ..., M 表述出来,此 时理论上的制动能量为 1
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