河北省张家口市第一中学(实验班)2019-2020学年高二上学期12月月考数学试题

绝密★启用前 河北省张家口市第一中学（实验班)2019-2020学年高二上学期12月月考数学试题 试卷副标题 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I 卷（选择题) 请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题 1．某工厂甲，乙，丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为600件，400件，300件，用分层抽样方法抽取容量为n 的样本，若从丙车间抽取6件，则n 的值为（ ） A ．18 B ．20 C ．24 D ．26 2．若0,0a b >>，则“4a b +≤”是 “4ab ≤”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 3．《史记》中讲述了田忌与齐王赛马的故事．“田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马；田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马；田忌的下等马劣于齐王的下等马．”双方从各自的马匹中随机选一匹进行一场比赛，则田忌的马获胜的概率为 A ． B ． C ． D ． 4．随机调查某学校50名学生在学校的午餐费，结果如表： 这50个学生的午餐费的平均值和方差分别是( )○…………外……○…………内……A ．7.2元，0.56元2 B ．7.2 C ．7元，0.6元2 D ．7元 5．方程221102x y m m +=--表示焦点在x 轴上的椭圆，则m 的取值范围为（ ） A ．()2,+∞ B ．()()2,66,10⋃ C ．()2,10 D ．()2,6 6．已知双曲线C 的离心率为2，焦点为1F 、2F ，点A 在C 上，若122F A F A =，则21cos AF F ∠=（ ）A ．14B ．13 C D7．已知抛物线 ，过焦点且倾斜角为60°的直线与抛物线交于A 、B 两点，则△AOB 的面积为A ．B ．C ．D ．8．已知动点(,)M x y 8=，则M 的轨迹方程是（ ）A ．221169x y +=B ．221169x y -=C ．2210169()x y x -=> D ．2210169()y x y -=>9．已知非零向量12,e e 不共线，如果12AB e e =+，1228AC e e =+，1233AD e e =-，则四点A ，B ，C ，D （ ）A ．一定共线B ．恰是空间四边形的四个顶点C ．一定共面D ．可能不共面10．数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C ：221||x y x y +=+就是其中之一（如图）.给出下列三个结论：…………外………………○……：___________…………内………………○……②曲线C ； ③曲线C 所围成的“心形”区域的面积小于3. 其中，所有正确结论的序号是 A ．① B ．② C ．①② D ．①②③ 11．如图，设动点P 在棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的对角线BD 1上，记11D P D Bλ=，当∠APC 为钝角时，λ的取值范围是（ ） A ．20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．12,33⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．2,13⎛⎫ ⎪⎝⎭ 12．设f （x ）在x 处可导，则()()0lim 2h f x h f x h h →+--等于（ ） A ．()2'f x B ．()1'2f x C ．()'f x D ．()4'f x 第II 卷（非选择题) 请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题 13．若向量(2a =，1，2)-，//e a 且1e =，则e =______． 14．如图茎叶图记录了甲．乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x ，y 的值分别为______，______． 15．如图，在平面直角坐标系 中， 是椭圆 的右焦点，直线…装…………○线…………○…※※要※※在※※装※…装…………○线…………○…与椭圆交于两点，且，则该椭圆的离心率是__________．16．函数y＝13x3－ax2＋x－2a在R上不是单调函数，，则a的取值范围是________．三、解答题17．已知命题p：“曲线C1：22228x ym m++=1表示焦点在x轴上的椭圆”，命题q：“曲线C2：2211x ym t m t+=---表示双曲线”．（1）若命题p是真命题，求m的取值范围；（2）若p是q的必要不充分条件，求t的取值范围．18．20名学生某次数学考试成绩(单位：分)的频率分布直方图如下：(1)求频率直方图中a的值；(2)分别求出成绩落在[50,60)与[60,70)中的学生人数；(3)从成绩在[50,70)的学生中人选2人，求这2人的成绩都在[60,70)中的概率．19．如图，已知三棱锥D－ABC中，二面角A－BC－D的大小为90°，且∠BDC＝90°，∠ABC＝30°，BC＝3，AB=…外…………○…………○…………线…………○……学校__________班级：_______…内…………○…………○…………线…………○…… （1）求证：AC ⊥平面BCD ；（2）二面角B －AC －D 为45°，且E 为线段BC 的中点，求直线AE 与平面ACD 所成的角的正弦值． 20．若直线l 为曲线C 1：y =x 2与曲线C 2：y =x 3的公切线，求直线l 的斜率. 21．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>过点，且离心率2e =. （1）求椭圆E 的方程； （2）设直:1()l x my m R =-∈交椭圆E 于,A B 两点，判断点9(,0)4G -与以线段AB 为直径的圆的位置关系，并说明理由. 22．已知抛物线C ；22y px =过点()1,1A ． ()1求抛物线C 的方程； ()2过点()3,1P -的直线与抛物线C 交于M ，N 两个不同的点(均与点A 不重合)，设直线AM ，AN 的斜率分别为1k ，2k ，求证：12k k ⋅为定值．参考答案1．D【解析】 由分层抽样的定义可得：6300600400300n =++，解得：26n =. 本题选择D 选项.2．A【解析】【分析】 本题根据基本不等式，结合选项，判断得出充分性成立，利用“特殊值法”，通过特取,a b 的值，推出矛盾，确定必要性不成立.题目有一定难度，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查.【详解】当0, 0a >b >时，a b +≥，则当4a b +≤时，有4a b ≤+≤，解得4ab ≤，充分性成立；当=1, =4a b 时，满足4ab ≤，但此时=5>4a+b ，必要性不成立，综上所述，“4a b +≤”是“4ab ≤”的充分不必要条件.【点睛】易出现的错误有，一是基本不等式掌握不熟，导致判断失误；二是不能灵活的应用“赋值法”，通过特取,a b 的值，从假设情况下推出合理结果或矛盾结果.3．A【解析】分析：由题意结合古典概型计算公式即可求得最终结果.详解：记田忌的上等马、中等马、下等马分别为a ,b ,c ，齐王的上等马、中等马、下等马分别为A ,B ,C ，由题意可知，可能的比赛为：Aa ,Ab ,Ac ,Ba ,Bb ,Bc ,Ca ,Cb ,Cc ,共有9种，其中田忌可以获胜的事件为：Ba ，Ca ,Cb ，共有3种，则田忌马获胜的概率为 .本题选择A 选项.点睛：有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数．(1)基本事件总数较少时，用列举法把所有基本事件一一列出时，要做到不重复、不遗漏，可借助“树状图”列举．(2)注意区分排列与组合，以及计数原理的正确使用.4．A【解析】【分析】直接利用平均数公式与方差公式求解即可.【详解】先计算这50个学生午餐费的平均值是()16107208207.250x =⨯⨯+⨯+⨯=， 所以方差是()()()222211067.22077.22087.20.5650S ⎡⎤=⨯⨯-+⨯-+⨯-=⎣⎦,故选A ． 【点睛】本题主要考查平均数公式与方差公式的应用，属于基础题. 样本数据的算术平均数公式：12n 1(++...+)x x x x n =；样本方差公式：2222121[()()...()]n s x x x x x x n=-+-++-. 5．D【解析】 根据题意，方程221102x y m m +=--表示焦点在x 轴上的椭圆， 则有10020102x m m m ->⎧⎪->⎨⎪->-⎩，解可得2＜m ＜6；故答案为：D 。

6．A【解析】 试题分析：由已知设21,2,F A m F A m ==则由定义得12122,2,4,2.F A F A a m a F A a F A a -=∴===122,24.c e F F c a a====在12AF F ∆中，由余弦定理得()()2222222121212124441cos 22244a a a AF F F AF AF F AF F F a a +-+-∠===⋅⨯⨯，故选A ． 考点：1.双曲线的几何性质（焦点三角形问题）；2.余弦定理．7．C【解析】试题分析：由题意知，直线 的方程为 ，联立直线 与抛物线的方程可得：，解之得： ，，所以 ，而原点到直线 的距离为，所以，故应选 ． 考点：1、抛物线的简单几何性质；2、直线与抛物线的相交问题；8．C【解析】试题分析：这个方程相信读者一定可以化简出最终结论（无非就是移项平方去根号），但如果考虑到方程中各式子的几何意义的话，可能解法更好，此方程表示点M 与到点(5,0)-的距离比到点(5,0)的距离之差为8，而这正好符合双曲线的定义，点M 的轨迹是双曲线，只不过是右支。

考点：方程的化简与双曲线的定义。

9．C【解析】【分析】通过已知向量关系，求出5AC AB AD =-，说明四点A ，B ，C ，D 共面.【详解】非零向量12,e e 不共线， 12AB e e =+，1228AC e e =+，1233AD e e =-,∴ 1212125553328AB AD e e e e e e AC -=+-+=+=,∴5AC AB AD =-,由平面向量基本定理可知，四点A ，B ，C ，D 共面.故选：C【点睛】本题主要考查了平面向量基本定理的应用，平面向量的基本运算，属于中档题.10．C【解析】【分析】将所给方程进行等价变形确定x 的范围可得整点坐标和个数，结合均值不等式可得曲线上的点到坐标原点距离的最值和范围，利用图形的对称性和整点的坐标可确定图形面积的范围.【详解】 由221x y x y +=+得,221y x y x -=-,2222||3341,10,2443x x x y x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭厔, 所以x 可为的整数有0,-1,1,从而曲线22:1C x y x y +=+恰好经过(0,1),(0,-1),(1,0),(1,1), (-1,0),(-1,1)六个整点,结论①正确. 由221x y x y +=+得,222212x y x y +++…,解得222x y +≤,所以曲线C 上任意一点到. 结论②正确.如图所示,易知()()()()0,1,1,0,1,1,,0,1A B C D -,四边形ABCD 的面积13111122ABCD S =⨯⨯+⨯=,很明显“心形”区域的面积大于2ABCD S ,即“心形”区域的面积大于3,说法③错误.故选C.【点睛】本题考查曲线与方程､曲线的几何性质，基本不等式及其应用,属于难题,注重基础知识､基本运算能力及分析问题解决问题的能力考查,渗透“美育思想”.11．B【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用∠APC 不是平角，∠APC 为钝角等价于cos 0APC ∠<，即0PA PC ⋅<,从而可求λ的取值范围.【详解】由题设，建立如图所示空间直角坐标系：则有(1,0,0),(1,1,0),(0,1,0),,(0,0,1)A B C D ，11(1,1,1),(,,)D B D P λλλ∴=-=-，()112,,(1,0,1)(1,,1)PA PD D A λλλλλλ∴=+=--+-=---， ()112,,(0,1,1)(,1,1)PC PD DC λλλλλλ=+=--+-=---， 显然∠APC 不是平角，所以∠APC 为钝角等价于cos 0APC ∠<，∴ 0PA PC ⋅<，2(1)()()(1)(1)(1)(31)0λλλλλλλ∴--+--+-=--<，得113λ<<， 因此，λ的取值范围是1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭, 故选：B 【点睛】本题主要考查了利用空间向量求向量的夹角，解一元二次不等式，属于中档题. 12．C 【解析】 【分析】利用导数的定义即可求解. 【详解】()f x 在x 处可导，()()lim()2h f x h f x h f x h'→+--∴=.故选：C 【点睛】本题主要考查了导数的定义，属于容易题. 13．212,,333⎛⎫-⎪⎝⎭或212,,333⎛⎫-- ⎪⎝⎭【解析】 【分析】设e =（2λ，λ，﹣2λ），则|e |==1，由此能求出结果． 【详解】∵向量a =（2，1，﹣2），e ∥a 且|e |＝1， ∴设e =（2λ，λ，﹣2λ），则|e |==1，解得13λ=±， ∴e =（212333-，，）或e =（23-，13-，23）． 故答案为：（212333-，，）或（23-，13-，23）． 【点睛】本题考查向量的求法，考查向量平行的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题． 14．5 8 【解析】 【分析】根据茎叶图中的数据，结合中位数与平均数的概念，求出x 、y 的值． 【详解】根据茎叶图中的数据，得： ∵甲组数据的中位数为15，∴x ＝5； 又∵乙组数据的平均数为16.8， ∴()9151018245y +++++=16.8，解得：y ＝8；综上，x 、y 的值分别为5、8． 故答案为：(1). 5 (2). 8 【点睛】本题考查了利用茎叶图求数据的中位数与平均数的问题，是基础题． 15．【解析】由题意得，故，， 又 ，所以【考点】椭圆离心率【名师点睛】椭圆离心率的考查，一般分两个层次，一是由离心率的定义，只需分别求出 ，这注重考查椭圆标准方程中量的含义，二是整体考查，求 的比值，这注重于列式，即需根据条件列出关于 的一个等量关系，通过解方程得到离心率的值.16．(－∞，－1)∪(1，＋∞) 【解析】试题分析：函数导数221y x ax '=-+，因为函数在R 上不是单调函数，所以导数值有正有负，即导函数221y x ax '=-+与x 轴有两个交点01a ∴∆>∴>或1a <- 考点：函数单调性点评：本题通过函数导数判定函数单调性，在R 上不是单调函数，则存在极值点，即存在导数值大于零和小于零的情况17．（1）-4＜m ＜-2，或m ＞4；（2）-4≤t ≤-3或t ≥4 【解析】【分析】（1）方程表示焦点在x 轴上的椭圆需满足228280m m m ⎧>+⎨+>⎩，解不等式即可求解（2）化简命题q 可得t ＜m ＜t +1，利用p 是q 的必要不充分条件可知{m |t ＜m ＜t +1}≠⊂{m |-4＜m ＜-2，或m ＞4}，建立不等式求解即可. 【详解】（1）若p 为真：则228280m m m ⎧>+⎨+>⎩，解得-4＜m ＜-2，或m ＞4；（2）若q 为真，则（m -t )(m -t -1)＜0，即t ＜m ＜t +1，∵p 是q 的必要不充分条件， 则{m |t ＜m ＜t +1}≠⊂{m |-4＜m ＜-2，或m ＞4}， 即412t t -≤≤+≤-或t ≥4，解得-4≤t ≤-3或t ≥4. 【点睛】本题主要考查了椭圆、双曲线的简单几何性质，必要不充分条件，真子集，属于中档题. 18．(1)0.005,(2)2,3,(3)0.3[解析] (1)由频率分布直方图知组距为10，频率总和为1，可列如下等式：(2a ＋2a ＋3a ＋6a ＋7a )×10＝1解得a ＝0. 005．(2)由图可知落在[50,60)的频率为2a ×10＝0. 1由频数＝总数×频率，从而得到该范围内的人数为20×0. 1＝2． 同理落在[60,70)内的人数为20×0. 15＝3．(3)记[50,60)范围内的2人分别记为A 1、A 2，[60,70)范围内的3人记为B 1、B 2、B 3，从5人选2人共有情况：A 1A 2，A 1B 1，A 1B 2，A 1B 3，A 2B 1，A 2B 2，A 2B 3，B 1B 2，B 1B 3，B 2B 3,10种情况，其中2人成绩都在[60,70)范围内的有3种情况，因此P ＝．【解析】试题分析：（1）由频率分布直方图的意义可知，图中五个小长方形的面积之和为1，由此列方程即可求得.（2）根据（1）的结果，分别求出成绩落在与的频率值，分别乘以学生总数即得相应的频数；（3）由（2）知，成绩落在[)5060，中有2人，用12,A A 表示，成绩落在中的有3人，分别用1B 、2B 、3B 表示，从五人中任取两人，写出所有10种可能的结果，可用古典概型求此2人的成绩都在中的概率.解：（1）据直方图知组距=10，由()23672101a a a a a ++++⨯=，解得10.005200a == （2）成绩落在[)50,60中的学生人数为20.00510202⨯⨯⨯= 成绩落在[)60,70中的学生人数为30.00510203⨯⨯⨯=（3）记成绩落在[)5060，中的2人为12,A A ，成绩落在[)60,70中的3人为1B 、2B 、3B ，则从成绩在的学生中人选2人的基本事件共有10个：()()()()()()()()()()12111213212223121323,,,,,,,,,,,,,,,,,,,A A A B A B A B A B A B A B B B B B B B其中2人的成绩都在中的基本事伯有3个：()()()121323,,,,,B B B B B B 故所求概率为310P =考点：1、频率分布直方图；2、古典概型.19．（1）见解析；（2 【解析】 【分析】（1））△ABC 中,根据条件利用余弦定理求出AC,根据勾股定理证明垂直即可（2）以C 为原点，CB 所在直线为x 轴，CA 所在直线为y 轴，过点C 作垂直于平面ABC 的直线为z 轴建立空间直角坐标系，求出平面ACD 的法向量，利用直线与平面所成角公式计算即可. 【详解】（1）△ABC 中，由222cos 2AB BC AC ABC AB BC +-∠==⋅，解得AC =AC 2+BC 2＝AB 2，∴AC ⊥BC ；又二面角A -BC -D 的大小为90°，即平面BCD ⊥平面ABC ，而平面BCD ∩平面ABC ＝BC ，AC ⊂平面ABC ，故AC ⊥平面BCD ；（2）以C 为原点，CB 所在直线为x 轴，CA 所在直线为y 轴，过点C 作垂直于平面ABC 的直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，故平面ABC 的法向量u ＝(0，0，1)，设平面ACD 的法向量v ＝(1，m ，n )，由v CA ⊥，易知m ＝0，从而v ＝(1，0，n )，|cos ,|2n u v 〈〉==， 解得n ＝±1，结合实际图形，可知n 取1时，二面角为135°，应舍去， 所以v ＝(1，0，-1)，易知()A ，B (3，0，0)，故3,0,02E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则32EA ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 设直线AE 与平面ACD 所成的角为θ，则42sin |cos ,|EA v θ=〈〉=，即直线AE 与平面ABC ． 【点睛】本题主要考查了余弦定理，利用空间向量求直线与平面所成的角，二面角，属于中档题.20．0或6427【解析】 【分析】分别设l 与C 1, C 2的切点分别为（a ，b ），（m ，n ），利用导数分别求出切线方程，由l 为公切线可知两切线重合，即可求解. 【详解】曲线C 1：y =x 2，则y ′=2x ，曲线C 2：y =x 3，则y ′=3x 2，直线l 与曲线C 1的切点坐标为（a ，b ），则切线方程为y =2ax -a 2，直线l 与曲线C 2的切点坐标为（m ，n ），则切线方程为y =3m 2x -2m 3， ∴2a =3m 2，a 2=2m 3，∴m =0或m =89， ∴直线l 的斜率为0或6427【点睛】本题主要考查了利用导数的几何意义求切线，属于中档题.21．(1)22142x y += (2) 点G 在以AB 为直径的圆外【解析】解法一：（Ⅰ）由已知得222{,b c a a b c ===+解得2{a b c === 所以椭圆E 的方程为22142x y +=．（Ⅱ）设点1122(y ),B(,y ),A x x AB 中点为00H(,y )x ．由22221{(2)230,142x my m y my x y =-+--=+=得 所以12122223+=,=22m y y y y m m ++，从而022y m 2=+.所以222222200000095525GH|()()(+1)++44216x y my y m y my =++=++=. 22222121212()()(+1)()|AB|444x x y y m y y -+--==22221212012(+1)[()4](+1)()4m y y y y m y y y +-==-,故222222012222|AB|52553(+1)25172|GH|(+1)042162(2)21616(2)m m m my m y y m m m +-=++=-+=>+++ 所以|AB||GH|>2，故G 9(4-,0)在以AB 为直径的圆外． 解法二：（Ⅰ）同解法一.（Ⅱ）设点1122(y ),B(,y ),A x x ，则112299GA (,),(,).44x y GB x y =+=+ 由22221{(2)230,142x my m y my x y=-+--=+=得所以12122223+=,=22m y y y y m m ++， 从而121212129955GA GB ()()()()4444x x y y my my y y ⋅=+++=+++22212122252553(+1)25(+1)()4162(2)216m m m y y m y y m m =+++=-+++22172016(2)m m +=>+所以cos GA,GB 0,GA GB 〈〉>又，不共线，所以AGB ∠为锐角. 故点G 9(4-,0)在以AB 为直径的圆外．考点：1、椭圆的标准方程；2、直线和椭圆的位置关系；3、点和圆的位置关系．22．（1）2y x =．（2）见解析． 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法，可求抛物线的标准方程；（2）设过点P （3，﹣1）的直线MN 的方程为()13x t y =++，代入y 2=x 利用韦达定理，结合斜率公式，化简，即可求k 1•k 2的值．【详解】（1）由题意得21p =，所以抛物线方程为2y x =．（2）设()11,M x y ，()22,N x y ，直线MN 的方程为()13x t y =++， 代入抛物线方程得230y ty t ---=．所以()2280t ∆=++>，12y y t +=，123y y t =--． 所以()()121212221212121212111111111111111312y y y y k k x x y y y y y y y y t t ----⋅=⋅=⋅====-----+++++--++,所以1k ，2k 是定值． 【点睛】求定值问题常见的方法①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．。