福建省八县一中2014-2015学年高二上学期期末考试数学(理)试卷
福建省福州八中2013-2014学年高二数学上学期期末考试试题 理 新人教A版
福州八中2013-2014学年高二上学期期末考试数学〔理〕试题第1卷一、选择题〔本大题共8小题，每一小题5分，共40分.每题有且只有一个选项是正确的，请把答案填在答卷相应位置上〕1. 命题“∀x R ∈，2210x x -+<〞的否认是A ．∀x R ∈，2210x x -+≥B ．∃x R ∈，2210x x -+≥C ．∃x R ∈，2210x x -+≤D ． ∃x R ∈，2210x x -+< 2．抛物线22y x =的焦点坐标是 A ．1(,0)4B ．1(,0)2C ．1(0,)8D ．1(0,)43. 如图，四面体ABCD 中，设M 是CD 的中点，如此1()2AB BD BC ++化简的结果是A ．DMB ．BMC ．CMD ． 4. 有如下四个命题：①“假设0x y += , 如此,x y 互为相反数〞的逆命题； ②“全等三角形的面积相等〞的否命题；③“假设1q ≤ ,如此220x x q ++=有实根〞的逆否命题； ④“不等边三角形的三个内角相等〞逆命题； 其中真命题为A ．①②B ．①③C ．②③D ．③④5.设集合{}2|40A x x x =-<，集合{}|03B x x =<<，如此""m A ∈是""m B ∈ 的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6.双曲线的渐近线为y =，且双曲线的焦点与椭圆192522=+y x 的焦点一样，如此双曲线方程为A ．221824x y -=B ．221124x y -= C ．221248x y -=D ．221412x y -= 7. 直线l : x －2y+2=0过椭圆的左焦点F 和一个顶点B, 如此该椭圆的离心率为 A.15B. 258. 平面α过点(3,0,0)A ，(0,3,0)B ，(0,0,3)C ，如此原点O 到平面α的距离为 A ．3 B ．6 CD．二、填空题〔本大题共3小题，每一小题5分，共15分〕9. 顺次连接椭圆2212516x y +=的四个顶点，得到的四边形面积等于_________。
福州市八县一中2014-2015学年高二上学期期末考试数学(理)试题
1八县一中2014-2015学年高二上学期期末考试数学（理）试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。
）1．命题：“0>∀x ，02≥-x x ”的否定形式是（ ）A 0x ∀≤，20x x ->B 0x ∀>，02≤-x xC 0>∃x ，02<-x xD 0≤∃x ，02>-x x 2．抛物线:C 24x y =的焦点坐标为（ ） A )1,0( B )0,1( C )161,0( D )0,161( 3．若向量)1,0,1(-=→a ，向量),0,2(kb =→，且满足向量→a //→b ，则k 等于（ ） A 1 B 1- C 2 D 2-4．“21<<m ”是“方程13122=-+-my m x 表示的曲线是焦点在y 轴上的椭圆”的( )A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充要条件D 既不充分也不必要条件5．经过点(2,2)P -，且与双曲线:C 2212x y -=有相同渐近线的双曲线方程是（ ）A 12422=-y xB 14222=-x yC 14222=-y xD 12422=-x y6．如图所示，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，点E 为上底面对角线11A C 的中点，若→→→→++=AD y xAB AA BE 1，则（ ）A 21,21=-=y x B 21,21-==y x C 21,21-=-=y x D 21,21==y x7．ABC ∆中,)0,5(),0,5(B A -，点C 在双曲线191622=-y x 上，则CBA sin sin sin -=（ ）A53 B 53± C 54 D 54± 8．如图所示，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，M 是棱CD 的中点，则→M A与→1DC 所成角的余弦值为（ ）A 62-B 62C 1010-D 10109． 已知抛物线:C )0(22>=p px y 的焦点为F ，准线为l l 于M ，若060=∠PFM ,则PFM ∆的面积为（ ）A 2pB 23pC 22p D 232p10．如果命题“若y x ⊥，z y //，则z x ⊥”是假命题．．．，那么字母z y x ,,在空间所表示的几何图形可能是( )A z y x ,,全是直线B z y x ,,全是平面C z x ,是直线，y 是平面D y x ,是平面，z 是直线 11．已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>与双曲线22221(0,0)x y m n m n -=>>有共同的焦点)0,(c -和)0)(0,(>c c ，且满足c 是a 与m 的等比中项，2n 是22m 与2c 的等差中项，则椭圆的离心率为( ) A33 B 22 C 41 D 2112．在平面直角坐标系中，一条双曲线经过旋转或平移所产生的一系列双曲线都具有相同的离心率和焦距，称它们为一组“共性双曲线”；例如将等轴双曲线222=-y x 绕原点逆时针转动045，就会得到它的一条“共性双曲线”x y 1=；根据以上材料可推理得出双曲线113-+=x x y 的焦距为（ ）A 4B 24C 8D 28二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分。
福建省福州市八县2014_2015学年高二数学下学期期末考试试题理
2014-2015学年度第二学期八县（市）一中期末联考高中二年数学（理）科试卷第一部分 选择题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1.若n N *∈，则(20)(21)(22).....(100)n n n n ----等于 （ ☆ ）A ．80100n A - B ．n n A --20100 C ． 8120n A - D ．81100n A -2. 5名运动员同时参加3项冠军争夺赛（每项比赛无并列冠军），获得冠军的可能种数为： （ ☆ ）A ．53 B ．35 C ．35A D ．35C3．某机构对儿童记忆能力x 和识图能力y 进行统计分析，得到如下数据：由表中数据，求得线性回归方程为+=a x y 5（ˆ5a y x =-），若某儿童记忆能力为12，则他识图能力为 （ ☆ ）A ．9.2B ．9.8C ．9.5D ．104．7）（y x -的展开式，系数最大的项是 （ ☆ ）A ．第4项B ．第4、5两项C ．第5项D ．第3、4两项5.箱子里有5个黄球，4个白球，每次随机取一个球，若取出黄球，则放回箱中重新取球，若取出白球，则停止取球，那么在4次取球之后停止取球的概率为 （ ☆ ）A ． 4153⨯B ． 94)95(3⨯ C . 94)95(43⨯⨯ D ．95)94(43⨯⨯6．332除以9的余数是 （ ☆ ）A ．1B ．2C ．4D ．87．随机变量X 的概率分布列规律为()(1,2,3,4),(1)a P X n n n n ===+其中a 为常数，则15()22P X <<的值为 （ ☆ ）A ．23B ．34C ．45D ．568. 把座位编号为6,5,4,3,2,1的6张电影票分给甲、乙、丙、丁四个人，每人至少分一张，至多分两张，且分得的两张票必须是连号，那么不同分法种数为 （ ☆ ） A. 240 B. 144 C. 196 D .2889. 李老师从课本上抄录一个随机变量ξ的概率分布列如下表：请小王同学计算ξ的数学期望.尽管“？”处完全无法看清，且两个“！”处字迹模糊，但能断定这两个“！”处的数值相同.据此，小王给出了E ξ的正确答案为 （ ☆ ）A ．错误！未找到引用源。
福建省八县一中高二数学上学期期末考试试题 理
2015-2016学年度第一学期八县（市）一中期末联考高中 二 年 数学（理）科试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项符合题目要求.）1．命题：“若21x >，则1x <-或1x >”的逆否命题是（ ）A ．若21x >，则11x -≤≤B ．若11x -≤≤，则21x ≤ C ．若11x -<<，则21x < D ．若1x <-或1x >，则21x >2．双曲线2222154x y m m-=+-的焦距是（ ） A ．4 B.25 C. 6D.与m 有关3．以正方体1111ABCD ABC D -的顶点D 为坐标原点O ，如图建立空间直角坐标系， 则与1DB u u u u r共线的向量的坐标可以是（ ）A ．()2,2,2-B ．()2,2,2--C ．()2,2,2-D ．()2,2,2---4．直线:220l x y -+=过椭圆左焦点F 1和一个顶点B ，则该椭圆的离心率为（ ） A ．15 B ．25C ．55D ．2555．“点P 的轨迹方程为y x =”是“点P 到两条坐标轴距离相等”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．不充分不必要条件6．已知(0,0,0)O ，(2,1,1)A ，(1,1,1)B -，点(,1,3)P λ在平面OAB 内，则λ=（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．57．在一次跳高比赛前，甲、乙两名运动员各试跳了一次．设命题p 表示“甲的试跳成绩超过 2米”， 命题q 表示“乙的试跳成绩超过2米”，则命题p q ∨表示（ ） A ．甲、乙恰有一人的试跳成绩没有超过2米 B ．甲、乙至少有一人的试跳成绩没有超过2米 C ．甲、乙两人的试跳成绩都没有超过2米 D ．甲、乙至少有一人的试跳成绩超过2米8．双曲线221x y -=的两条渐近线与抛物线24y x =交于,,O A B 三点，O 为坐标原点，则AB 等于（ ）A ． 4B ．6C ．8D ．169．在空间直角坐标系O xyz -中，平面OAB 的法向量为()2,2,1n =-r,O 为坐标原点.已知()1,3,8P --，则P 到平面OAB 的距离等于（ ）A ．4B ．2C ．3D ．110．已知抛物线C ：24x y =的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与抛物线C 的一个交点，若4PF QF =u u u r u u u r，则QF =（ ）A ．34B ．32C ．3D ．611．如图，在正三棱柱ABC A B C '''-中，若2AA AB '=， 则异面直线AB '与BC '所成角的余弦值为（ ） A ．0 B ． 38 C ．35 D ．71012．已知集合22(,)143x y D x y ⎧⎫⎪⎪=+=⎨⎬⎪⎪⎩⎭，有下面四个命题：221:(,),(1)3p x y D x y ∃∈-+≥ 222:(,),(1)1p x y D x y ∃∈-+< 223:(,),(1)4p x y D x y ∀∈-+< 224:(,),(1)2p x y D x y ∀∈-+≥ 其中的真命题是（ ）A ． 1,p 3pB ．1,p 4pC ．2,p 3pD ．2,p 4p二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13．如图，在平行六面体1111ABCD ABC D -错误!未找到引用源。
2014年福建省福州市八县一中高二下学期期末联考数学(理)试题
2014年福建省福州市八县一中高二下学期期末联考数学（理）试题参考数据与公式: （1）:（2）：,))()()(()(22d b c a d c b a bc ad n K ++++-=其中d c b a n +++=为样本容量。
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1、4封不同的信放入3个不同的信箱，则有（ ）种不同的结果.A. 43B. 34A C. 34C D. 342、我国第一艘航母“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中，有5架飞机准备着舰．如果甲、乙两机必须相邻着舰，而丙、丁两机不能相邻着舰，那么不同的着舰方法有( ). A ．12种 B ．18种 C ．24种D ．48种3、分别掷两枚质地均匀的硬币，“第一枚为正面”记为事件A,“第二枚为正面”记为事件B ，“两枚结果相同”记为事件C,那么事件A 与B ，A 与C 间的关系是( ).A ．A 与B,A 与C 均相互独立B ．A 与B 相互独立,A 与C 互斥 C ．A 与B,A 与C 均互斥D ．A 与B 互斥,A 与C 相互独立 4、设()52501252x a a x a x a x -=+++，那么024135a a a a a a ++++的值为（ ）A . 61-60B . 122-121C . 244-241D . -15、袋中共有6个除了颜色外完全相同的球，其中有1个红球、2个白球和3个黑球．从袋中任取两球，其中两球为不同色概率等于( )6、给出下列四个命题，其中正确的一个是（ ）A. 两个随机变量相关性越强，则相关系数的绝对值越接近0；B. 对分类变量X 与Y 的随机变量K 2的观测值k 来说，k 越小，“X 与Y 有关系”可信程度越大； C ．相关指数R 2用来刻画回归效果，R 2越小，则残差平方和越大，模型的拟合效果越好；D ．在线性回归方程ˆ0.212y x =+中，当x 每增加1个单位时，预报量平均增加0.2个单位。
2014-2015年福州市第一学期高三期末理科数学质量检查(word版)
福州市2014－2015学年度第一学期高三质量检查理科数学试卷（满分：150分;完卷时间：120分钟）注意事项：1．本科考试分试题卷和答题卷，考生须在答题卷上作答，答题前，请在答题卷的密封线内填写学校、班级、准考证号、姓名；2．本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷 （选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题所给的四个选项中有且只有一个选项是正确的．把正确选项涂在答题卡的相应位置上．） 1． 如图，复平面上的点1234,,,Z Z Z Z 到原点的距离都相等．若复数z所对应的点为1Z ，则复数z 的共轭复数所对应的点为（ ）． A ．1Z B ．2Z C ．3ZD ．4Z2． 已知πtan()34+=α，则tan α的值是（ ）．A ．2B ．12C ．1-D ．3-3． 已知A ⊂≠B ，则“x A ∈”是“x B ∈”的（ ）．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4． 某班有49位同学玩“数字接龙”游戏，具体规则按如图所示的程序框图执行（其中a 为座位号），并以输出的值作为下一个输入的值． 若第一次输入的值为8，则第三次输出的值为（ ）． A ．8 B ．15 C ．29D ．365． 如图，若在矩形OABC 中随机撒一粒豆子，则豆子落在图中阴影部分的概率为（ ）． A ．1π B ．2π C ．3πD ．12第4题图第5题图6． 已知函数()lg(1)=-f x x 的值域为(,1]-∞，则函数()f x 的定义域为（ ）．A ．[9,)-+∞B ．[0,)+∞C ．(9,1)-D ．[9,1)-7． 已知抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率为0.5．现采用随机模拟试验的方法估计抛掷这枚硬币三次恰有两次正面朝上的概率：先由计算器产生0或1的随机数，用0表示正面朝上，用1表示反面朝上；再以每三个随机数做为一组，代表这三次投掷的结果．经随机模拟试验产生了如下20组随机数：101 111 010 101 010 100 100 011 111 110 000 011 010 001 111 011 100 000 101 101 据此估计，抛掷这枚硬币三次恰有两次正面朝上的概率为（ ）． A ．0.30B ．0.35C ．0.40D ．0.658． ABC △的三个内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .若cos cos A bB a==C 的大小为（ ）． A ．60︒B ． 75︒C ．90︒D ．120︒9． 若双曲线2222:1x y a bΓ-=（0,0a b >>）的右焦点()4,0到其渐近线的距离为，则双曲线Γ的离心率为（ ）． ABC ．2D ．410．定义运算“*”为：,0,2,0a b ab a a b a +<⎧⎪*=⎨⎪⎩≥.若函数()(1)f x x x =+*，则该函数的图象大致是（ ）．AC11．已知ABC ∆的三个顶点,,A B C 的坐标分别为())()0,1,,0,2-，O 为坐标原点，动点P 满足1CP =，则OA OB OP ++的最小值是（ ）．A ．4-B 1C 1D 12．已知直线:l y ax b =+与曲线:Γ1x y y=+没有公共点．若平行于l 的直线与曲线Γ有且只有一个公共点，则符合条件的直线l （ ）． A ．不存在B ．恰有一条C ．恰有两条D ．有无数条第Ⅱ卷 （非选择题 共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在答题卡的相应位置上．） 13．若变量,x y 满足约束条件0,0,2x y y x ⎧⎪⎨⎪-⎩≤≥≤，则z x y =+的最小值为 ★★★ ．14．已知6234560123456(1)x a a x a x a x a x a x a x +=++++++，则016,,,a a a ⋅⋅⋅中的所有偶数．．的和等于 ★★★ ．15．已知椭圆2239x y +=的左焦点为1F ，点P 是椭圆上异于顶点的任意一点，O 为坐标原点．若点D 是线段1PF 的中点，则1FOD ∆的周长为 ★★★ ． 16. 若数列{}n a 满足112n n n a a a +-+≥（2n ≥），则称数列{}n a 为凹数列．已知等差数 列{}n b 的公差为d ，12b =，且数列n b n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是凹数列，则d 的取值范围为 ★★★ ．三、解答题（本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17.（本小题满分12分）已知等比数列{}n a 的公比1q >，1a ，2a 是方程2320x x -+=的两根． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求数列{}2n n a ⋅的前n 项和n S ．18.（本小题满分12分）“ALS 冰桶挑战赛”是一项社交网络上发起的筹款活动，活动规定：被邀请者要么在24小时内接受挑战，要么选择为慈善机构捐款（不接受挑战），并且不能重复参加该活动.若被邀请者接受挑战，则他需在网络上发布自己被冰水浇遍全身的视频内容，然后便可以邀请另外3个人参与这项活动.假设每个人接受挑战与不接受挑战是等可能的，且互不影响.（Ⅰ）若某被邀请者接受挑战后，对其他3个人发出邀请，则这3个人中至少有2个人接受挑战的概率是多少？（Ⅱ）假定（Ⅰ）中被邀请到的3个人中恰有两人接受挑战.根据活动规定，现记X 为接下来被邀请到的6个人中接受挑战的人数，求X 的分布列和均值（数学期望）.19.（本小题满分12分）已知函数()4f x x π⎛⎫= ⎪⎝⎭在同一半周期内的图象过点,,O P Q ，其中O 为坐标原点，P 为函数()f x 图象的最高点，Q 为函数()f x 的图象与x的正半轴的交点．（Ⅰ）试判断OPQ ∆的形状，并说明理由．（Ⅱ）若将O P Q ∆绕原点O 按逆时针方向旋转02ααπ⎛⎫<< ⎪⎝⎭时，顶点,P Q ''恰好同时落在曲线k y x =()0x >（如图所示），求实数k 的值．20.（本小题满分12分）一种药在病人血液中的含量不低于2克时，它才能起到有效治疗的作用．已知每服用m （14m ≤≤且m ∈R ）个单位的药剂，药剂在血液中的含量y （克）随着时间x （小时）变化的函数关系式近似为)(x f m y ⋅=，其中()10,06,4.4,682x xf x x x ⎧<⎪⎪+=⎨⎪-⎪⎩≤≤≤(Ⅰ)若病人一次服用3个单位的药剂，则有效治疗时间可达多少小时？(Ⅱ)若病人第一次服用2个单位的药剂，6个小时后再服用m 个单位的药剂，要使接下来的2小时中能够持续有效治疗，试求m 的最小值．21.（本小题满分12分）已知抛物线Γ的顶点为坐标原点，焦点为(0,1)F ． （Ⅰ）求抛物线Γ的方程；（Ⅱ）若点P 为抛物线Γ的准线上的任意一点，过点P 作抛物线Γ的切线PA 与PB ，切点分别为,A B ，求证：直线AB 恒过某一定点；(Ⅲ)分析(Ⅱ)的条件和结论，反思其解题过程，再对命题(Ⅱ)进行变式和推广．请写出一个你发现的真命题．．．，不要求证明（说明：本小题将根据所给出的命题的正确性和一般性酌情给分）． 22.（本小题满分14分）已知函数()()e sin cos ,cos x x f x x x g x x x =-=，其中e 是自然对数的底数．（Ⅰ）判断函数()y f x =在π(0,)2内的零点的个数，并说明理由；（Ⅱ）12ππ0,,0,22x x ⎡⎤⎡⎤∀∈∃∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，使得不等式12()()f x g x m +≥成立，试求实数m 的取值范围；（Ⅲ）若1x >-，求证：()()0f x g x ->．第19题图福州市2014－2015学年度第一学期高三质量检查理科数学试卷参考答案及评分细则一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分． 1．C 2．B 3．A 4．A 5．B 6．D 7．B 8．C 9．C 10．D 11．B 12．C二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，13．2- 14．32 15．316．(,2]-∞ 三、解答题：本大题共6小题，共74分．17． 本题主要考查一元二次方程的根、等比数列的通项公式、错位相减法求数列的和等基础知识，考查应用能力、运算求解能力，考查函数与方程思想． 解：（Ⅰ）方程2320x x -+=的两根分别为1,2， ·························································· 1分 依题意得11a =，22a =． ································································································ 2分 所以2q =，······················································································································· 3分 所以数列{}n a 的通项公式为12n n a -=． ·········································································· 4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知22n n n a n ⋅=⋅， ··················································································· 5分 所以212222n n S n =⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯， ············································ ①23121222(1)22n n n S n n +⋅=⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⋅+⨯， ························· ② 由①－②得23222n S -=+++⋅⋅⋅122n n n ++-⨯， ··············································································· 8分 即 1222212nn n S n +-⋅-=-⨯-， ······················································································· 11分 所以12(1)2n n S n +=+-⋅． ····························································································· 12分 18．本题主要考查离散型随机变量的概率、分布列、数学期望等基础知识，考查运算求解能力以及应用意识，考查必然与或然思想等．解法一：（Ⅰ）这3个人接受挑战分别记为A 、B 、C ，则,,A B C 分别表示这3个人不接受挑战．这3个人参与该项活动的可能结果为：{},,A B C ，{},,A B C ，{},,A B C ，{},,A B C ，{},,A B C ，{},,A B C ，{},,A B C ，{},,A B C ．共有8种； ································································ 2分 其中，至少有2个人接受挑战的可能结果有：{},,A B C ，{},,A B C ，{},,A B C ，{},,A B C ，共有4种． ······················································································································ 3分根据古典概型的概率公式，所求的概率为4182P ==． ·················································· 4分（说明：若学生先设“用(),,x y z 中的,,x y z 依次表示甲、乙、丙三人接受或不接受挑战的情况”，再将所有结果写成(),,A B C ,(),,A B C ,(),,A B C ，(),,A B C ,(),,A B C ,(),,A B C ,(),,A B C ,(),,A B C ，不扣分．） （Ⅱ）因为每个人接受挑战与不接受挑战是等可能的，所以每个人接受挑战的概率为12，不接受挑战的概率也为12． ···································· 5分所以()060611102264P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()51611631226432P X C ⎛⎫⎛⎫==⋅== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()2426111522264P X C ⎛⎫⎛⎫==⋅= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，()3336112053226416P X C ⎛⎫⎛⎫==⋅== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()4246111542264P X C ⎛⎫⎛⎫==⋅= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，()515611635226432P X C ⎛⎫⎛⎫==⋅== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()6661116.2264P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭······················································································· 9分 故X10分所以()1315515310123456364326416643264E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．故所求的期望为3． ········································································································ 12分 解法二：因为每个人接受挑战与不接受挑战是等可能的，所以每个人接受挑战的概率为12，不接受挑战的概率也为12． ···································· 1分 （Ⅰ）设事件M 为“这3个人中至少有2个人接受挑战”，则2323331111()2222P M C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭． ·········································································· 4分 （Ⅱ）因为X 为接下来被邀请的6个人中接受挑战的人数，所以1~6,2X B ⎛⎫⎪⎝⎭．··········································································································· 5分 所以()060611102264P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()51611631226432P X C ⎛⎫⎛⎫==⋅== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()2426111522264P X C ⎛⎫⎛⎫==⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()3336112053226416P X C ⎛⎫⎛⎫==⋅== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()4246111542264P X C ⎛⎫⎛⎫==⋅= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，()515611635226432P X C ⎛⎫⎛⎫==⋅== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()6661116.2264P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭······················································································· 9分故X10分所以()1632E X =⨯=．故所求的期望为3． ······································································································ 12分 19．本题主要考查反比例函数、三角函数的图象与性质、三角函数的定义、同角三角函数的基本关系式、二倍角公式、两角和的正弦公式等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想． 解法一：（Ⅰ）OPQ ∆为等边三角形． ············································································ 1分 理由如下：因为函数()4f x x π⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以2π84T ==π，所以函数()f x 的半周期为4， 所以4OQ =． ·················································································································· 2分 又因为P 为函数()f x 图象的最高点，所以点P坐标为(2，，所以4OP =， ···································································· 4分 又因为Q 坐标为(4,0)，所以4PQ =，所以OPQ ∆为等边三角形． ··························································································· 6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，4OP OQ ==，所以点P ',Q '的坐标分别为4cos 4sin 33αα⎛⎫ππ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，,(4cos 4sin )αα,， ················ 7分代入k y x =，得216cos sin 8sin(2π)333k αααππ⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且16sin cos 8sin 2k ααα==， ························································································· 9分所以2sin 2sin(2π)3αα=+，结合22sin (2)cos (2)1αα+=，02απ<<，解得1sin 22α=，············································································································· 11分所以4k =，所以所求的实数k 的值为4． ····································································· 12分 解法二：（Ⅰ）OPQ ∆为等边三角形． ·········································································· 1分 理由如下：因为函数()4f x x π⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以2π84T ==，所以函数()f x 的半周期为4，所以4OQ =， ··································· 2分 因为P 为函数()f x 的图象的最高点，所以点P坐标为(2，，所以4OP =，所以OP OQ =． ······································ 4分 又因为直线OP的斜率k ==60POQ ∠=︒， 所以OPQ ∆为等边三角形． ··························································································· 6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，4OP OQ ==，所以点P ',Q '的坐标分别为4cos 4sin 33αα⎛⎫ππ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,,(4cos 4sin )αα,， ·················· 7分 因为点P ',Q '在函数(0)ky x x=>的图象上，所以16cos sin ,3316sin cos k k ⎧ππ⎛⎫⎛⎫=++⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎨⎪=⎩αααα, ················································································ 8分 所以28sin(2π),38sin 2k k ⎧=+⎪⎨⎪=⎩αα, ·································································································· 9分 消去k 得， 2sin 2sin(2π)3αα=+，所以22sin 2sin 2cos πcos2sin π33ααα=+，所以3sin 222αα=，所以tan 2α=，····························································· 10分又因为 02απ<<，所以26απ=，所以1sin 22α=， ···················································· 11分所以4k =．所以所求的实数k 的值为4． ····································································· 12分 解法三：（Ⅰ）同解法一或同解法二；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，OPQ ∆为等边三角形．因为函数(0)ky x x=>的图象关于直线y x =对称， ························································ 8分由图象可知，当12απ=时，点P ',Q '恰在函数(0)ky x x =>的图象上． ······················ 10分此时点Q '的坐标为(4cos 4sin )1212ππ,， ········································································· 11分 所以16sin cos 8sin 412126k πππ===，所以所求的实数k 的值为4． ···························· 12分20． 本题主要考查分段函数模型的应用问题、一元二次函数的最值、解不等式等基础知识，考查应用意识、运算求解能力，考查化归与转化思想、分类讨论思想等．解：（I ）因为3m =，所以30,06,4312,682x xy x x ⎧<⎪⎪+=⎨⎪-⎪⎩≤≤≤． ······················································ 1分当06x <≤时，由3024x+≥，解得x ≤11，此时06x <≤； ······································· 3分 当68x ≤≤时，由31222x -≥，解得203x ≤，此时2063x ≤≤． ····························· 5分综上所述，2003x ≤≤．故若一次服用3个单位的药剂，则有效治疗的时间可达203小时． ······························ 6分 （Ⅱ）当6x ≤≤8时，110102(4)[]824(6)2my x m x x x =⨯-+=-++--， ······················· 8分因为10822mx x -+-≥对6x ≤≤8恒成立，即281210x x m -+≥对6x ≤≤8恒成立，等价于2max 812)10x x m -+≥(，6x ≤≤8．······································································ 9分 令2812()10x x g x -+=，则函数2(4)4()10x g x --=在[6,8]是单调递增函数， ·············· 10分当x =8时，函数2812()10x x g x -+=取得最大值为65， ················································ 11分所以65m ≥，所以所求的m 的最小值为65． ································································ 12分解法二：（Ⅰ）同解法一；（Ⅱ）当6x ≤≤8时，110102(4)[]824(6)2my x m x x x =⨯-+=-++--， ······················· 8分注意到18y x =-及2102my x =-（14m ≤≤且m ∈R ）均关于x 在[6,8]上单调递减，则1082my x x =-+-关于x 在[6,8]上单调递减， ····························································· 10分故10588823m m y -+=-≥，由523m≥，得65m ≥， ······················································· 11分 所以所求的m 的最小值为65． ······················································································· 12分21． 本题主要考查抛物线的标准方程与性质、直线与抛物线的位置关系、归纳推理等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想、特殊与一般思想等． 解：（Ⅰ）依题意可设抛物线Γ的方程为：22x py =（0p >）． ··································· 1分由焦点为(0,1)F 可知12p=，所以2p =．······································································· 2分所以所求的抛物线方程为24x y =． ················································································ 3分 （Ⅱ）方法一：设切点A 、B 坐标分别为221212,,,44x x x x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由（Ⅰ）知，12y x '=．则切线PA PB 、的斜率分别为12112211,22x x x x k y x k y x ==''====， 故切线PA PB 、的方程分别为211111()42y x x x x -=-，222211()42y x x x x -=-， ············· 4分。
福建省八县一中2015-2016学年高二上学期期末考试理数试题解析(解析版)
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.）1．命题：“若21x >，则1x <-或1x >”的逆否命题是（ ）A ．若21x >，则11x -≤≤B ．若11x -≤≤，则21x ≤C ．若11x -<<，则21x <D ．若1x <-或1x >，则21x >【答案】B【解析】试题分析：该命题的逆否命题为: 若11x -≤≤，则21x ≤.故B 正确.考点：命题的逆否命题.2．双曲线2222154x y m m-=+-的焦距是（ ）A ．4 B. C. 6 D.与m 有关【答案】C【解析】试题分析：由双曲线的方程可知其22225,4a m b m =+=-,22222549c a b m m ∴=+=++-=,3c ∴=.所以焦距为26c =.故C 正确.考点：双曲线的简单性质.3．以正方体1111ABCD A B C D -的顶点D 为坐标原点O ，如图建立空间直角坐标系，则与1DB 共线的向量的坐标可以是（ ）A ．()2,2,2-B ．()2,2,2--C ．()2,2,2-D ．()2,2,2--- 【答案】D【解析】 试题分析：不妨令正方体的边长为1,则由图可知()()10,0,0,1,1,1D B .()11,1,1DB ∴= ,与1DB 共线的向量的坐标为()()1,1,1,,λλλλ=.故D 正确.考点：空间向量共线问题.4．直线:220l x y -+=过椭圆左焦点F 1和一个顶点B ，则该椭圆的离心率为（ ）考点：椭圆的简单几何性质.5．“点P 的轨迹方程为y x =”是“点P 到两条坐标轴距离相等”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．不充分不必要条件【答案】A【解析】试题分析：点(),P x y 到两条坐标轴距离相等时,则点(),P x y 的轨迹方程为y x =.所以“点P 的轨迹方程为y x =”是“点P 到两条坐标轴距离相等”的充分不必要条件.故A 正确. 考点：1轨迹问题;2充分必要条件.6．已知(0,0,0)O ，(2,1,1)A ，(1,1,1)B -，点(,1,3)P λ在平面OAB 内，则λ=（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】B【解析】试题分析：()()2,1,1,1,1,1OA OB ==- ,(),1,3OP λ= .因为,,,O A B P 四点共面,则存在(),x y 使OP xOA yOB =+ ,即()()(),1,32,1,11,1,1x y λ=+-,2133x y x y x y λλ=+⎧⎪∴=+⇒=⎨⎪=-⎩.故B 正确.考点：四点共面问题.7．在一次跳高比赛前，甲、乙两名运动员各试跳了一次．设命题p 表示“甲的试跳成绩超过2米”， 命题q 表示“乙的试跳成绩超过2米”，则命题p q ∨表示（ ）A ．甲、乙恰有一人的试跳成绩没有超过2米B ．甲、乙至少有一人的试跳成绩没有超过2米C ．甲、乙两人的试跳成绩都没有超过2米D ．甲、乙至少有一人的试跳成绩超过2米【答案】D考点：复合命题.8．双曲线221x y -=的两条渐近线与抛物线24y x =交于,,O A B 三点，O 为坐标原点，则AB 等于（ ）A ． 4B ．6C ．8D ．16【答案】C【解析】试题分析：由双曲线方程221x y -=可知双曲线的渐近线方程为y x =±. 2040x y x y y x=⎧=⎧⇒⎨⎨==⎩⎩或44x y =⎧⎨=⎩,不妨令()4,4A ,同理可得()4,4B -.8=.故C 正确.考点：双曲线的简单几何性质.9．在空间直角坐标系O xyz -中，平面OAB 的法向量为()2,2,1n =- ,O 为坐标原点.已知()1,3,8P --，则P 到平面OAB 的距离等于（ ）A ．4B ．2C ．3D ．1【答案】A【解析】试题分析：()1,3,8OP =-- .所以点P 到面OAB的距离4d .故A 正确. 考点：空间向量法求点到面的距离.10．已知抛物线C ：24x y =的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与抛物线C 的一个交点，若4PF QF = ，则QF =（ ）A ．34 B ．32 C ．3 D ．6【答案】B【解析】试题分析：由抛物线方程24x y =可知其焦点F 到准线l 的距离为2d =.因为4PF QF = ,所以34QP PQ =. 由数形结合及抛物线的定义可得34QFd =,所以32QF =.故B 正确.考点：抛物线的定义.11．如图，在正三棱柱ABC A B C '''-中，若2AA AB '=，则异面直线AB '与BC '所成角的余弦值为（）A ．0B ． 38C ．35D ．710【答案】D考点：异面直线所成角.12．已知集合22(,)143x y D x y ⎧⎫⎪⎪=+=⎨⎬⎪⎪⎩⎭，有下面四个命题：1:(,)3p x y D ∃∈≥ 2:(,)1p x y D ∃∈<3:(,)4p x y D ∀∈< 4:(,)2p x y D ∀∈≥其中的真命题是（ ）A ． 1,p 3pB ．1,p 4pC ．2,p 3pD ．2,p 4p【答案】A【解析】 试题分析：方程22143x y +=为焦点在x 轴的椭圆,其中224,3a b ==,所以焦点为()()121,0,1,0F F -.椭圆22143x y +=上的点到点()1,0的距离为[],d a c a c =-+,[]1,3.所以1,p 3p 为真命题.故A 正确.考点：椭圆的简单几何性质. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13．如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，AC 与BD 的交点为点M .设11C D a = ，11C B b = ，1C C c = ，用a ，b ，c 表示向量1MB ，则1MB ＝___________【答案】1122a b c -+- 【解析】试题分析：11MB MB BB =+ 112DB BB =+ 11112D B CC =+ ()1111112C B C D C C =-- 111111122C B CD C C =-- 1122a b c =-+- . 考点：空间向量加减法.14．已知:(2)(3)0,:12p x x q x +-≤+≥，命题“p q ∧”为真，则实数x 的取值范围是_________【答案】[1,3]【解析】试题分析：p 为真时,()()23023x x x +-≤⇒-≤≤;q 为真时,1212x x +≥⇒+≤-或123x x +≥⇒≤-或1x ≥.所以“p q ∧”为真时231331x x x x -≤≤⎧⇒≤≤⎨≤-≥⎩或.考点：复合命题的真假.15．直线():1l y k x =+与抛物线2y x =只有一个公共点，则实数k 的值为 【答案】0或12±【解析】 试题分析：()21y k x y x⎧=+⎪⎨=⎪⎩消去x 整理可得20ky y k -+=. 由题意可得0k =或20140k k ≠⎧⎨∆=-=⎩,解得0k =或12k =±.考点：直线与椭圆的位置关系问题.16．椭圆192522=+y x 的左焦点为1F ，P 为椭圆上的动点，M 是圆(221x y +-=上的 动点，则1PM PF +的最大值是【答案】17【解析】试题分析：圆(221x y +-=的圆心为(0,C ,半径为1. 由椭圆方程192522=+y x 可知2225,9a b ==,所以5a =,左焦点()14,0F -.1222210101016PC PF PC a PF PC PF CF +=+-=+-≤+=+=,()()11max max 117PM PF PC PF +=++=.考点：椭圆的简单几何性质;2数形结合.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（本题满分10分）已知命题:p 关于x 的方程230x ax a -++=有实数根，命题:11q m a m -≤≤+．(Ⅰ) 若p ⌝是真命题，求实数a 的取值范围；(Ⅱ) 若p 是q 的必要非充分条件，求实数m 的取值范围.【答案】(Ⅰ) (2,6)-;(Ⅱ) (][),37,-∞-⋃+∞.【解析】试题分析：(Ⅰ) p ⌝为真命题,则方程230x ax a -++=无实根,所以其判别式小于0.从而可求得a 的范围. (Ⅱ)命题p 为真,则其判别式大于等于0.p 是q 的必要非充分条件,则命题q 中a 取值的集合是命题p 中a 取值集合的真子集,从而可得关于m 的不等式.试题解析：解法一：(Ⅰ) 当命题p 是真命题时，满足0∆≥则 24(3)0a a -+≥解得 2a ≤-或6a ≥ ………………………………3分p ⌝ 是真命题，则p 是假命题即 26a -<<∴实数a 的取值范围是(2,6)-. ………………………………5分(Ⅱ) p 是q 的必要非充分条件则 [1,1]m m -+是(][),26,-∞-⋃+∞的真子集即 12m +≤-或16m -≥ …………………8分解得 3m ≤-或7m ≥∴实数m 的取值范围是(][),37,-∞-⋃+∞. ………………10分解法二：(Ⅰ) 命题p ⌝：关于x 的方程230x ax a -++=没有实数根p ⌝ 是真命题，则满足0∆<即 24(3)0a a -+< ………………3分解得 26a -<<∴实数a 的取值范围是(2,6)-. ………………5分(Ⅱ) 由 (Ⅰ)可得 当命题p 是真命题时，实数a 的取值范围是(][),26,-∞-⋃+∞p 是q 的必要非充分条件则 [1,1]m m -+是(][),26,-∞-⋃+∞的真子集即 12m +≤-或16m -≥ …………………8分解得 3m ≤-或7m ≥∴实数m 的取值范围是(][),37,-∞-⋃+∞. ………………10分考点：1命题;2充分必要条件.18．（本题满分12分）已知双曲线2222:1x y C a b-=()0,0a b >>4． （Ⅰ）求双曲线的标准方程；（Ⅱ）过点()0,1，倾斜角为045的直线l 与双曲线C 相交于A 、B 两点，O 为坐标原点， 求OAB ∆的面积．【答案】（Ⅰ）2214y x -=;（Ⅱ）43. 【解析】试题分析：（Ⅰ）根据已知条件及222c a b =+可得关于,,a b c 的方程组,从而可求得,,a b c .（Ⅱ）由点斜式可得直线l 方程,与双曲线联立消去y 可得关于x 的一元二次方程.可得两根之和,两根之积.由弦长公式可得AB ,根据点到面的距离公式可得原点到直线l 的距离,从而可求得OAB ∆的面积.试题解析：解：(Ⅰ)依题意可得22224c a b c a b ⎧=⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩………………3分解得1,2,a b c === ∴双曲线的标准方程为2214y x -=． ………………5分 (Ⅱ)直线l 的方程为1y x =+设11(,)A x y 、22(,)B x y由22144y x x y =+⎧⎨-=⎩可得23250x x --=由韦达定理可得 1223x x +=，1253x x =- ………………8分== 原点到直线l 的距离为d = ………………10分 于是114223OAB S AB d ∆=⋅⋅== ∴OAB ∆的面积为43． ………………12分 考点：1双曲线的方程,简单几何性质;2直线与双曲线的位置关系问题.19．（本题满分12分）如图所示，DC ⊥平面BCEF ，且四边形ABCD 为矩形， 四边形BCEF 为直角梯形，//BF CE ，BC CE ⊥，4DC CE ==，2BC BF ==．(Ⅰ) 求证：//AF 平面CDE ；(Ⅱ) 求平面AEF 与平面ABCD 所成锐二面角的余弦值．【答案】(Ⅰ)详见解析; (Ⅱ) 23.试题解析：解：（Ⅰ）以C 为原点，CB 所在直线为x 轴，CE 所在直线为y 轴，CD 所在直线为z 轴建立如图所示空间直角坐标系．根据题意,可得以下点的坐标：(0,0,0)C ，(2,0,0)B ，(0,0,4)D ，(0,4,0)E ，(2,0,4)A ，(2,2,0)F 则(0,2,4)AF =- ，(2,0,0)CB = ．(2,0,0)CB =为平面CDE 的一个法向量． ………………3分又0220(4)00AF CB ⋅=⨯+⨯+-⨯= ，AF CB ∴⊥ ,AF ⊄平面CDE//AF ∴平面CDE ． ………………5分（Ⅱ）设平面AEF 的一个法向量为1111(,,)n x y z = ，则1100n AE n AF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ (2,4,4),(0,2,4)AE AF =--=-111112440240x y z y z -+-=⎧⎨-=⎩， 取11z =，得1(2,2,1)n = ． ………………8分 又CE ⊥ 平面ABCD ，∴平面ABCD 一个法向量为2(0,4,0)n CE ==，设平面ADE 与平面BCEF 所成锐二面角的大小为α，则1211242cos 343n n n n α⋅⨯===⨯ 因此，平面ADE 与平面BCEF 所成锐二面角的余弦值为23． ………………12分 考点：用空间向量法解决立体几何问题.20．（本题满分12分） 点P 在圆22:8O x y +=上运动，PD x ⊥轴，D 为垂足，点M 在线段PD 上， 满足PM MD = ． (Ⅰ) 求点M 的轨迹方程；(Ⅱ) 过点11,2Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭作直线l 与点M 的轨迹相交于A 、B 两点，使点Q 为弦AB 的中点，求直线l 的方程．【答案】(Ⅰ) 22182y x +=;(Ⅱ) 220x y +-=. 【解析】试题分析：(Ⅰ)根据PM MD = 可知M 是线段PD 的中点.设(,)M x y ,根据中点坐标公式可得点P 坐标,将其代入圆O 方程,整理即可求得点M 的轨迹方程. (Ⅱ) 设11(,)A x y 、22(,)B x y ,将其代入点M 的轨迹方程.两式相减,结合中点坐标公式可得直线l 的斜率.由点斜式可得直线l 的方程.试题解析：解：(Ⅰ) 点M 在线段PD 上，满足PM MD =∴点M 是线段PD 的中点设(,)M x y ，则(,2)P x y ………………2分点P 在圆22:8O x y +=上运动则 ()2228x y += 即 22182y x +=∴点M 的轨迹方程为22182y x +=． ………………4分 (Ⅱ) 方法一：当直线l x ⊥轴时，由椭圆的对称性可得弦AB 的中点在x 轴上，不可能是点Q ，这种情况不满足题意． ………………5分设直线l 的方程为1(1)2y k x -=-， 由 221()248y kx k x y ⎧=+-⎪⎨⎪+=⎩可得 22211(14)8()4()8022k x k k x k ++-+--= 由韦达定理可得 12218()214k k x x k-+=-+ ………………9分 由AB 的中点为11,2Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭，可得218()2214k k k --=+ 解得12k =- 即直线l 的方程为11(1)22y x -=-- ∴直线l 的方程为220x y +-=． ………………12分方法二：当直线l x ⊥轴时，由椭圆的对称性可得弦AB 的中点在x 轴上，不可能是点Q ，这种情况不满足题意． ………………5分设11(,)A x y 、22(,)B x yA 、B 两点在椭圆上，满足 221122221(1)821(2)82x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 由(1)(2)-可得 22221212082x x y y --+= 则 1212121214y y y y x x x x -+⋅=--+ ………………9分 由AB 的中点为11,2Q ⎛⎫⎪⎝⎭，可得12122,1x x y y +=+=，代入上式121212AB y y k x x -==-- 即直线l 的方程为11(1)22y x -=-- ∴直线l 的方程为220x y +-=． ………………12分考点：1代入法求轨迹方程;2中点弦问题.21. （本题满分12分）如图，已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面垂直，12AA AB AC ===，BC =M ，N 分别是1CC ，BC 的中点，点P 在直线11A B 上，且111A P A B λ= ．(Ⅰ)证明：无论λ取何值，总有AM PN ⊥；(Ⅱ)当λ取何值时，直线PN 与平面ABC 所成的角θ最大？并求该角取最大值时的正切值．【答案】(Ⅰ)详见解析; (Ⅱ) 当12λ=时θ取得最大值,此时tan 2θ=. 【解析】试题分析：(Ⅰ)由勾股定理可证得AB AC ⊥.从而可建立如图所示空间直角坐标系.根据已知条件可得各点的坐标.从而可得各向量的坐标.根据111A P A B λ= ,可得点P 的坐标.根据数量积公式证0AM PN ⋅= ,即证得AM PN ⊥.(Ⅱ)根据线面垂直可得面ABC 的一个法向量. 直线PN 与平面ABC 所成的角的正弦值等于PN 与面ABC 的法向量所成角的余弦值的绝对值.根据配方法可求得其最值.试题解析：证明：由2AB AC ==，BC =222AB AC BC +=则 AB AC ⊥ 即 AB 、AC 、1AA 两两相互垂直 ………………………2分如图，以A 为原点建立空间直角坐标系，则()()()()110,0,2,2,0,2,0,2,1,1,1,0A B M N111(2,0,0)(2,0,0)A P A B λλλ=== ，11(2,0,2)AP AA A P λ=+= ，可得(2,0,2)P λ(12,1,2)PN λ=-- ………………………………4分( Ⅰ）∵(0,2,1)AM = ，∴()(12)012210AM PN λ⋅=-⨯+⨯+-⨯=∴无论λ取何值，AM PN ⊥ …………………………6分 （Ⅱ）∵=（0，0，1）是平面ABC 的一个法向量.∴sin cos ,m θ=<= …………9分 ∴当12λ=时，θ取得最大值，此时sin θcos θtan 2θ= …………12分 考点：空间向量法解决立体几何问题.22．（本题满分12分）已知抛物线2:C y x =，过点(2,0)M 作直线:2l x ny =+与抛物线C 交于,A B 两点，点N 是定直线2x =-上的任意一点，分别记直线AN ，MN ，BN 的斜率为1k ，2k ，3k ．(Ⅰ) 求OA OB ⋅ 的值；(Ⅱ) 试探求1k ，2k ，3k 之间的关系，并给出证明．【答案】(Ⅰ)2; (Ⅱ) 1k ，2k ，3k 成等差数列.【解析】试题分析：(Ⅰ)将直线l 方程与抛物线方程联立消去x 可得关于y 的一元二次方程,从而可得两根之和,两根之积.根据数量积公式可求得OA OB ⋅ 的值. (Ⅱ)根据斜率公式可求得123,,k k k .可先用特殊值法求得123,,k k k 间的关系式.然后再计算即可.试题解析：解：(Ⅰ)设11(,)A x y 、22(,)B x y由 22x ny yx =+⎧⎨=⎩ 可得 220y ny --=由韦达定理可得 1212,2y y n y y +==-……………3分 即 2212121212422OA OB x x y y y y y y ⋅=+=+=-=2OA OB ∴⋅=……………5分 (Ⅱ)当0n =时，A、(2,B不妨取(2,2)N -，则1k =，224k =-，3k = 易得 1222k k k +=……………7分 设0(2,)N y -，024y k =- 102010201212122244y y y y y y y y k k x x ny ny ----+=+=+++++……………9分()()()()()()102201124444y y ny y y ny ny ny -++-+=++120120212122(4)()84()16ny y ny y y y n y y n y y +-+-=+++00224(4)82416n ny n y n n -+--=-++20028216n y y n --=+()20202821622y n n y k -+=+=-= 1222k k k ∴+=，1k ，2k ，3k 成等差数列． ……………12分 考点：直线与抛物线的位置关系问题.：。
2014-2015年福建省八县一中高二第一学期数学期末试卷(理科)及 解析
的距离为
（Ⅰ） 求椭圆的方程； （Ⅱ）已知 A（2，﹣1） ，过原点且斜率为 k（k＞0）的直线 l 与椭圆交于 P、Q 两点，求△APQ 面积的最大值． 22． （14 分）如图（1） ，△ABD 为等边三角形，△BCD 是以 C 为直角顶点的等腰 直角三角形且 CD=2，E 为线段 CD 中点，将△ABD 沿 BD 折起（如图 2） ，使得 线段 AC 的长度等于 2，对于图二，完成以下各小题： （1）证明：AC⊥平面 BCD；
A．充分不必要条件 C．充要条件 5． （5 分）过点（2，﹣2）且与双曲线 是（ A． ）
B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 ﹣y2=1 有相同渐近线的双曲线的方程
B．C．D．6． （5 分）如图所示，在平行六面体 ABCD﹣A1B1C1D1 中，点 E 为上底面对角线 A1C1 的中点，若 = +x +y ，则（ ）
有相同的焦点（﹣c，0）和（c，0） ，若 c 是 a、m 的等比中项，n2 是 2m2 与 c2 的等差中项，则椭圆的离心率是（ ）
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A．
B．
C．
D．
12． （5 分）在平面直角坐标系中，曲线经过旋转或平移所产生的新双曲线与原 双曲线具有相同的离心率和焦距，称它们为一组 “任性双曲线”；例如将等轴 双曲线 x2﹣y2=2 绕原点逆时针转动 45°， 就会得到它的一条“任性双曲线”y= ； 根据以上材料可推理得出双曲线 y= A．4 B．4 的焦距为（ C．8 ） D．8
三、解答题（本大题共 6 小题，共 74 分．解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤． ） 17． （12 分）命题 p：∀x＞0，x+ ＞a；命题 q：∃x0∈R，x02﹣2ax0+1≤0．若￢q 为假命题，p∧q 为假命题，则求 a 的取值范围． 18． （12 分）已知双曲线 C： ﹣ =1（a＞0，b＞0）的焦距为 4，且经过点（﹣
福建省八县(市)一中2014-2015学年高二上学期期中联考数学(理)试卷
福建省八县（市）一中2014-2015学年高二上学期期中联考数学（理）试卷考试日期：11 月13日 完卷时间：120 分钟 满分：150 分一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。
）1．如果3a <，则下列结论一定正确的是（ ）A ．29a >B ．29a <C ．327a >D ．327a <2．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且满足ab b a c ++=222, 则角C 的大小为（ ）A ．120°B ．60°C ．150°D ．30°3．若等差数列{}n a 的前5项和525S =，且32=a ，则4a =（ ）A ．3B ．7C ．8D ．9 4．在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且满足1=a ，2=b ，C =120°,则sin sin AC的值为（ ） A ．71 BCD5．已知等比数列{}n a 的前n 项和121+⋅=-n n t S ，则实数t 的值为（ ） A ．-2 B ．-1 C ．2 D ．0.56．已知实数、x y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≥+-3005x y x y x ，则22)1(y x ++的最大值为（ ）A ．80B ． 54C ．25D ．1727．若0<x ，则xx 345++的最大值为（ ） A ．345+ B ．345± C ．345- D ．以上都不对 8．ABC ∆的外接圆半径和ABC ∆的面积都等于2，则sin sin sin A B C =（ ） A ．81 B ．1 C ．21 D ． 14第 1 页 共 9 页9. 已知等比数列{}n a ，n S 是其前n 项和，若9,3105==S S ，则15S 的值为（ ） A ．27 B ．21 C ．18 D ．1510． △ABC 的三个内角A 、B 、C 满足13:11:5sin :sin :sin =C B A ，则△ABC （ ） A ． 一定是锐角三角形 B ． 一定是直角三角形C ． 一定是钝角三角形D ． 可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形11． 若011<<b a ，则下列不等式：①||||a b >；②ab b a <+；③2>+b a a b ；④22a a b b<-中，正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个12．已知数列{}n a 是递增数列，且满足n n a n λ+=22，则实数λ的取值范围是( )A ．()∞+，0B ．()∞+-，4C ．[)+∞-,4D ．()∞+-，6二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分。
福建省福州八县(市)一中高二数学上学期期末联考试题 理.doc
福建省福州八县（市）一中-高二数学上学期期末联考试题 理完卷时间：1 满 分：150分一、选择题（每小题各5分, 共60分）1．命题2x R,x x 0∀∈-≥的否定（ ）A.2x R,x x 0∀∈-≥B. 2x R,x x 0∃∈-<C.2x R,x x 0∀∈-<D. 2x R,x x 0∃∈-≥2．抛物线214y x =的准线方程是（ ）A ．116y =B ．116y =- C ．1y = D ．1y =-3．已知命题p 、q,“非p 为真命题”是“p 或q 是假命题”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知平面α的法向量是()2,3,1-，平面β的法向量是()4,,2λ-，若βα//， 则实数λ的值是（ ）A ．103-B ．6-C ．6D ．1035.已知,a b R ∈，命题“若1a b +=，则2212a b +≥”的否命题是 （ ）A ．若2211,2a b a b +≠+<则B ．若2211,2a b a b +=+<则C ．若221,12a b a b +<+≠则D ．若221,12a b a b +≥+=则6.设P 是双曲线19222=-y ax 上一点，该双曲线的一条渐近线方程是043=+y x ， 21,F F 分别是双曲线的左、右焦点，若101=PF ，则2PF 等于（ ）A ．2B ．18C ．2或18D ．16 7.已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中，12AA AB =，E 为1AA 中点，则异面直线 BE 与1CD 所成的角的余弦值为( )A ．10 B ． 15 C ． 10 D ． 358. 已知(4,1,3)A 、(2,3,1)B 、(3,7,5)C -，点(,1,3)P x -在平面ABC 内，则实 数x 的值为（ ） A ．4- B ．1 C ．10 D ．119．经过点P （4，2-）的抛物线的标准方程为（ ）A ．x y 82-=B ．y x 82-=C ．x y =2或y x 82-= D ．x y =2或x y 82=10. 已知A 、B 、C 三点不共线，点O 为平面ABC 外的一点，则下列条件中，能得 到∈M 平面ABC 的充分条件是 （ ）A ．1133OM OA OB OC =-+； B ．111222OM OA OB OC =++；C ．OM OA OB OC =++；D ．2OM OA OB OC =-- 11. 已知抛物线22y px =与直线40ax y +-=相交于A 、B 两点，其中A 点的坐标 是(1，2)。
2014-2015年福建省福州八中高二(上)期末数学试卷(理科)及答案
2014-2015学年福建省福州八中高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：（共10小题，每小题5分，共50分）1．（5分）在复平面内，复数﹣|2i|对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．（5分）用反证法证明命题：“如果a＞b＞0，那么|a|＞|b|”时，假设的内容应是（）A．|a|=|b|B．|a|＜|b|C．|a|≤|b|D．|a|＞|b|且|a|=|b|3．（5分）曲线y=4x﹣x3在点（﹣1，﹣3）处的切线方程是（）A．y=7x+4B．y=7x+2C．y=x﹣4D．y=x﹣24．（5分）在下面所给图形的面积S及相应表达式中，正确的有（）A．①③B．②③C．①④D．③④5．（5分）对于非零复数a，b，以下有四个命题：①a+≠0；②（a+b）2=a2+2ab+b2；③若|a|=1，则a=±1或±i；④若a2=ab，则a=b或a=0．则其中一定为真命题的是（）A．②④B．①③C．①②D．③④6．（5分）利用数学归纳法证明＜1（n∈N*，且n≥2）时，第一步不等式左端是（）A．B．C．D．7．（5分）函数f（x）=，则f（x）dx的值为（）A．π+6B．π﹣2C．2πD．88．（5分）设椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，以F2为圆心，OF2（O为椭圆中心）为半径作圆F2，若它与椭圆的一个交点为M，且MF1恰好为圆F2的一条切线，则椭圆的离心率为（）A．﹣1B．2﹣C．D．9．（5分）在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，E为PD中点，若，，，则=（）A．；B．C．D．10．（5分）当a＞0时，函数f（x）=（x2﹣ax）e x的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．二.填空题：（5小题，每小题4分，共20分）11．（4分）函数y=lnx ﹣x 2的单调递增区间为 ．12．（4分）如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，CC 1中点为E ，则直线AE 与BC 1所成的角的大小为 ．13．（4分）设a=，b=，c=，则a 、b 、c 的大小关系为 ．（按从大到小的顺序排列，否则不给分） 14．（4分）已知点A （x 1，a），B （x 2，a）是函数y=a x （a ＞1）的图象上任意不同两点，依据图象可知，线段AB 总是位于A 、B 两点之间函数图象的上方，因此有结论＞a成立．运用类比思想方法可知，若点A（x 1，lnx 1），B （x 2，lnx 2）是函数y=lnx 的图象上任意不同两点，则类似地有 ．15．（4分）已知f （x ）=，定义f 1（x ）=f′（x ），f 2（x ）=[f 1（x ）]′，…，f n +1（x ）=[f n （x ）]′，n ∈N *．经计算f 1（x ）=，f 2（x ）=，f 3（x ）=，…，照此规律，则f n （x ）= ．三、解答题：（3小题，共30分）16．（10分）复数z 1=+（10﹣a2）i，z2=+（2a﹣5）i，若+z2是实数，求实数a的值．17．（10分）设函数f（x）=2x3﹣3（a+1）x2+6ax+8，其中a∈R．①若f（x）在x=3处取得极值，求常数a的值；②若f（x）在（1，3）上不单调，求a的取值范围．18．（10分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=3，BC=4，AB=5，AA1=4，点D是AB的中点，E为CB1与BC1的交点．（1）求证：DE∥平面ACC1A1；（2）求直线BC1与平面DB1C所成角的正弦值．第Ⅱ卷（共50分）一、选择题：（2个小题，每小题5分，共10分）19．（5分）双曲线=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线将平面划分为“上、下、左、右”四个区域（不含边界），若点（1，2）在“上”区域内，则双曲线离心率e的取值范围是（）A．（，+∞）B．（，+∞）C．（1，）D．（1，）20．（5分）已知数列{a n}，，把数列{a n}的各项排成三角形状，如图所示．记A（m，n）表示第m行，第n列的项，则A（10，8）=（）A．B．C．D．二、填空题：（1个小题，共4分）21．（4分）设定义在D上的函数y=h（x）在点P（x0，h（x0））处的切线方程为l：y=g（x），当x≠x0时，若＞0在D内恒成立，则称P点为函数y=h（x）的“类对称中心点”，则函数f（x）=+lnx的“类对称中心点”的坐标是．三、解答题：（3个小题，共36分）22．（12分）在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AB∥DC，∠ADC=90°，AB=AD=PD=1，CD=2．（Ⅰ）求证：BC⊥平面PBD；（Ⅱ）问侧棱PC上是否存在异于端点的一点E，使得二面角E﹣BD﹣P的余弦值为．若存在，试确定点E的位置；若不存在，说明理由．23．（12分）如图，直线l：y=x+b（b＞0），抛物线C：y2=2px（p＞0），已知点P （2，2）在抛物线C上，且抛物线C上的点到直线l的距离的最小值为．（1）求直线l及抛物线C的方程；（2）过点Q（2，1）的任一直线（不经过点P）与抛物线C交于A、B两点，直线AB与直线l相交于点M，记直线PA，PB，PM的斜率分别为k1，k2，k3．问：是否存在实数λ，使得k1+k2=λk3？若存在，试求出λ的值；若不存在，请说明理由．24．（12分）已知f（x）=xlnx，g（x）=﹣x2+ax﹣6．（Ⅰ）求函数f（x）的最小值；（Ⅱ）对一切x∈[3，+∞）恒有f（x）≥g（x）成立，求实数a的取值范围；（Ⅲ）当x∈（0，2π），求证：lnx+cosx+．2014-2015学年福建省福州八中高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：（共10小题，每小题5分，共50分）1．（5分）在复平面内，复数﹣|2i|对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：化简可得﹣|2i|=﹣2=1+i﹣2=﹣1+i对应的点为（﹣1，1）在第二象限，故选：B．2．（5分）用反证法证明命题：“如果a＞b＞0，那么|a|＞|b|”时，假设的内容应是（）A．|a|=|b|B．|a|＜|b|C．|a|≤|b|D．|a|＞|b|且|a|=|b|【解答】解：由于结论|a|＞|b|的否定为：|a|≤|b|，用反证法证明命题时，要首先假设结论的否定成立，故应假设：|a|≤|b|，由此推出矛盾．故选：C．3．（5分）曲线y=4x﹣x3在点（﹣1，﹣3）处的切线方程是（）A．y=7x+4B．y=7x+2C．y=x﹣4D．y=x﹣2【解答】解：∵y=4x﹣x3，∴y'︳x==4﹣3x2︳x=﹣1=1，﹣1∴曲线在点（﹣1，﹣3）处的切线的斜率为k=1，即利用点斜式求出切线方程是y=x﹣2，故选：D．4．（5分）在下面所给图形的面积S及相应表达式中，正确的有（）A．①③B．②③C．①④D．③④【解答】解：图①中；图②中；图③中；图④中．故选：D．5．（5分）对于非零复数a，b，以下有四个命题：①a+≠0；②（a+b）2=a2+2ab+b2；③若|a|=1，则a=±1或±i；④若a2=ab，则a=b或a=0．则其中一定为真命题的是（）A．②④B．①③C．①②D．③④【解答】解：①a=i时，a+=0，故不成立；②（a+b）2=a2+2ab+b2，成立；③设a=x+yi（x，y∈Z），|a|=1，则x2+y2=1，故不成立；④若a2=ab，则a（a﹣b）=0，∴a=b或a=0，成立．故选：A．6．（5分）利用数学归纳法证明＜1（n∈N*，且n≥2）时，第一步不等式左端是（）A．B．C．D．【解答】解：根据数学归纳法的步骤，首先要验证证明当n取第一个值时命题成立；结合本题，要验证n=2时，不等式左边为．故选：D．7．（5分）函数f（x）=，则f（x）dx的值为（）A．π+6B．π﹣2C．2πD．8【解答】解：f（x）dx=（∫﹣20（2﹣x）dx+∫2dx）∵∫﹣20（2﹣x）dx=（2x﹣x2）|﹣20=6，∵∫02dx表示的几何意义是以原点为圆心，以2为半径的圆的面积的四分之一，∴∫02dx==π∴﹣22f（x）dx=∫﹣20（2﹣x）dx+∫02dx=π+6故选：A．8．（5分）设椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，以F2为圆心，OF2（O为椭圆中心）为半径作圆F2，若它与椭圆的一个交点为M，且MF1恰好为圆F2的一条切线，则椭圆的离心率为（）A．﹣1B．2﹣C．D．【解答】解：∵以F2为圆心，OF2（O为椭圆中心）为半径作圆F2，若它与椭圆的一个交点为M，且MF1恰好为圆F2的一条切线，∴F1M⊥F2M．∵，∴|F1M|=c．∴c+c=2a，∴．∴椭圆的离心率为﹣1．故选：A．9．（5分）在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，E为PD中点，若，，，则=（）A．；B．C．D．【解答】解：=====﹣=．故选：C．10．（5分）当a＞0时，函数f（x）=（x2﹣ax）e x的图象大致是（）A．B．C．D．【解答】解：由f（x）=0，解得x2﹣2ax=0，即x=0或x=2a，∵a＞0，∴函数f（x）有两个零点，∴A，C不正确．设a=1，则f（x）=（x2﹣2x）e x，∴f'（x）=（x2﹣2）e x，由f'（x）=（x2﹣2）e x＞0，解得x＞或x＜﹣．由f'（x）=（x2﹣2）e x＜0，解得，＜x＜即x=﹣是函数的一个极大值点，∴D不成立，排除D．故选：B．二.填空题：（5小题，每小题4分，共20分）11．（4分）函数y=lnx﹣x2的单调递增区间为（0，）．【解答】解：函数的定义域为为（0，+∞），则函数的导数f′（x）=﹣2x=，由f′（x）=＞0，得1﹣2x2＞0，解得0＜x＜，故函数的单调递增区间为（0，），故答案为：（0，）12．（4分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，CC1中点为E，则直线AE与BC1所成的角的大小为．【解答】解：如图，连接D1A，D1E，∠D1AE（或其补角）为异面直线BC1与AE 所成角设边长为1，则D1A=，D1E=，AE=，利用余弦定理得cos∠D1AE==∴∠D1AE=故答案为：．13．（4分）设a=，b=，c=，则a、b、c的大小关系为c＞a＞b．（按从大到小的顺序排列，否则不给分）【解答】解：∵（=﹣9＜0，∴＜4，∴c==＞=a，又﹣2==a，∴c＞a＞b．故答案为：c＞a＞b．14．（4分）已知点A（x1，a），B（x2，a）是函数y=a x（a＞1）的图象上任意不同两点，依据图象可知，线段AB总是位于A、B两点之间函数图象的上方，因此有结论＞a成立．运用类比思想方法可知，若点A （x1，lnx1），B（x2，lnx2）是函数y=lnx的图象上任意不同两点，则类似地有＜ln（）．【解答】解：由题意知，点A、B是函数y=a x（a＞1）的图象上任意不同两点，函数是变化率逐渐变大的函数，线段AB总是位于A、B两点之间函数图象的上方，因此有＞a成立；点A（x1，lnx1），B（x2，lnx2）是函数y=lnx的图象上任意不同两点，线段AB总是位于A、B两点之间函数图象的下方，故可类比得到结论＜ln （）．故答案为：＜ln（）．15．（4分）已知f（x）=，定义f1（x）=f′（x），f2（x）=[f1（x）]′，…，f n+1（x）=[f n（x）]′，n∈N*．经计算f1（x）=，f2（x）=，f3（x）=，…，照此规律，则f n（x）=．【解答】解：∵f1（x）==，f2（x）==，f3（x）==，…，由此归纳可得：f n（x）=，故答案为：三、解答题：（3小题，共30分）16．（10分）复数z 1=+（10﹣a2）i，z2=+（2a﹣5）i，若+z2是实数，求实数a的值．【解答】解：∵z1=+（10﹣a2）i，z2=+（2a﹣5）i，∴+z 2是=[+（a2﹣10）i]+[+（2a﹣5）i]=（+）+（a2﹣10+2a﹣5）i=+（a2+2a﹣15）i，∵+z 2是实数，∴a2+2a﹣15=0，解得a=﹣5或a=3．又分母a+5≠0，∴a≠﹣5，故a=3．17．（10分）设函数f（x）=2x3﹣3（a+1）x2+6ax+8，其中a∈R．①若f（x）在x=3处取得极值，求常数a的值；②若f（x）在（1，3）上不单调，求a的取值范围．【解答】解：①f′（x）=6x2﹣6（a+1）x+6a=6（x﹣a）（x﹣1），∵f（x）在x=3处取得极值，∴f′（3）=6（3﹣a）（3﹣1）=0，解得a=3．经过检验，当a=3时，x=3为函数f（x）的极值点．②令f′（x）=6（x﹣a）（x﹣1）=0，解得x=a或1．当a≤1时，f′（x）≥0，可知：函数f（x）在（1，3）上单调递增，不合题意舍去；当1＜a＜3时，当1＜x＜a时，f′（x）＜0，可知：函数f（x）在（1，3）上单调递减；当a＜x＜3时，f′（x）＞0，可知：函数f（x）在（1，3）上单调递增，满足题意；当a≥3时，f′（x）＜0，可知：函数f（x）在（1，3）上单调递减，不合题意舍去．综上可得：a的取值范围是（1，3）．18．（10分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=3，BC=4，AB=5，AA1=4，点D是AB的中点，E为CB1与BC1的交点．（1）求证：DE∥平面ACC1A1；（2）求直线BC1与平面DB1C所成角的正弦值．【解答】（1）证明：∵E为CB1与BC1的交点，∴E为BC1的中点，又点D是AB的中点，即DE为三角形ABC1的中位线，∴DE∥AC1，又DE⊄平面ACC1A1，∴DE∥平面AC C1 A1，（2）解：直三棱柱ABC﹣A1B1C1，底面三边长AC=3，BC=4，AB=5，∵AC2+BC2=AB2，∴AC⊥BC，而由条件知，AC⊥C1C，且BC⊥C1C=C，以CA．CB．CC1分别为x，y，z轴建立如图所示空间直角坐标系，∵AC=3，BC=4，AA1=4，∴，．设平面DB1C的法向量=（x0，y0，z0），则由，令x0=4，则y0=﹣3，z0=3，∴=（4，﹣3，3），又直线BC1与平面DB1C所成角θ的正弦值即直线BC1与平面DB1C的法向量夹角的余弦值，∴，∴直线BC1与平面DB1C所成角的正弦值为．第Ⅱ卷（共50分）一、选择题：（2个小题，每小题5分，共10分）19．（5分）双曲线=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线将平面划分为“上、下、左、右”四个区域（不含边界），若点（1，2）在“上”区域内，则双曲线离心率e的取值范围是（）A．（，+∞）B．（，+∞）C．（1，）D．（1，）【解答】解：双曲线=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为：y=x，∵点（1，2）在“上”区域内，∴×1＜2，即＜2，∴e==＜，又e＞1，则双曲线离心率e的取值范围是（1，）．故选：D．20．（5分）已知数列{a n}，，把数列{a n}的各项排成三角形状，如图所示．记A（m，n）表示第m行，第n列的项，则A（10，8）=（）A．B．C．D．【解答】解：由题意得，第一行有1项，第二行有2项，…，第n行有n项，则前9行共有1+2+3+…+9==45，所以第10行第8个数是数列的第45+8=53项，因为，所以A（10，8）=，故选：D．二、填空题：（1个小题，共4分）21．（4分）设定义在D上的函数y=h（x）在点P（x0，h（x0））处的切线方程为l：y=g（x），当x≠x0时，若＞0在D内恒成立，则称P点为函数y=h（x）的“类对称中心点”，则函数f（x）=+lnx的“类对称中心点”的坐标是．【解答】解：由题意得，f′（x）=，f（x0）=（x＞0），即函数y=f（x）的定义域D=（0，+∞），所以函数y=f（x）在点P（x0，f（x0））处的切线方程l方程为：y﹣（）=（）（x﹣x0），则g（x）=（）（x﹣x0）+（），设F（x）=f（x）﹣g（x）=+lnx﹣[（）（x﹣x0）+（）]，则F（x0）=0，所以F′（x）=f′x）﹣g′（x）=﹣（）===当0＜x0＜e时，F（x）在（x0，）上递减，∴x∈（x0，）时，F（x）＜F（x0）=0，此时，当x0＞e时，F（x）在（，x0）上递减；∴x∈（，x0）时，F（x）＞F（x0）=0，此时，∴y=F（x）在（0，e）∪（e，+∞）上不存在“类对称点”．若x0=e，=＞0，则F（x）在（0，+∞）上是增函数，当x＞x0时，F（x）＞F（x0）=0，当x＜x0时，F（x）＜F（x0）=0，故，即此时点P是y=f（x）的“类对称点”，综上可得，y=F（x）存在“类对称点”，e是一个“类对称点”的横坐标，又f（e）==，所以函数f（x）的“类对称中心点”的坐标是，故答案为：．三、解答题：（3个小题，共36分）22．（12分）在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AB∥DC，∠ADC=90°，AB=AD=PD=1，CD=2．（Ⅰ）求证：BC⊥平面PBD；（Ⅱ）问侧棱PC上是否存在异于端点的一点E，使得二面角E﹣BD﹣P的余弦值为．若存在，试确定点E的位置；若不存在，说明理由．【解答】解：（Ⅰ）平面PCD⊥底面ABCD，PD⊥CD，所以PD⊥平面ABCD，所以PD⊥AD．如图，以D为原点建立空间直角坐标系D﹣xyz．则A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，2，0），P（0，0，1），=（1，1，0）．=（﹣1，1，0）所以，所以BC⊥BD，又由PD⊥平面ABCD，可得PD⊥BC，又PD∩DB=D，所以BC⊥平面PBD．（Ⅱ）因为=（0，2，﹣1），又且λ∈（0，1），设E（x0，y0，z0），则（x0，y0，z0﹣1）=（0，2λ，﹣λ），所以，E（0，2λ，1﹣λ），即=（0，2λ，1﹣λ），．…（6分）设平面EBD的法向量为=（a，b，c），因为=（1，1，0），由，，得，令a=﹣1，则可得平面EBD的一个法向量为=（﹣1，1，）…（9分）而平面PDB的法向量即为…（10分）所以，=||=，解得或λ=﹣1，…（11分）又由题意知λ∈（0，1），故，即点E在靠近点P的三等分处．…（12分）23．（12分）如图，直线l：y=x+b（b＞0），抛物线C：y2=2px（p＞0），已知点P （2，2）在抛物线C上，且抛物线C上的点到直线l的距离的最小值为．（1）求直线l及抛物线C的方程；（2）过点Q（2，1）的任一直线（不经过点P）与抛物线C交于A、B两点，直线AB与直线l相交于点M，记直线PA，PB，PM的斜率分别为k1，k2，k3．问：是否存在实数λ，使得k1+k2=λk3？若存在，试求出λ的值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵点P（2，2）在抛物线C上，∴p=1，∴y2=2x．…（2分）设与直线l平行且与抛物线C相切的直线l′方程为y=x+m，代入抛物线方程可得x2+（2m﹣2）x+m2=0，∴△=（2m﹣2）2﹣4m2=4﹣8m=0，得m=，则直线l′方程为y=x+．∵两直线l、l′间的距离即为抛物线C上的点到直线l的最短距离，∴有，解得b=2或b=﹣1（舍去）．∴直线l的方程为y=x+2，抛物线C的方程为y2=2x．…（6分）（2）由题意可设AB的斜率为k，则直线AB的方程为y﹣1=k（x﹣2），与抛物线联立，消去x得ky2﹣2y﹣4k+2=0，设点A、B的坐标分别为A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2=，y1y2=，∵k1===，k2=，…（9分）∴．…（10分）由得，y M =，∴k3==，…（13分）∴k1+k2=2k3．因此，存在实数λ，使得k1+k2=λk3成立，且λ=2．…（14分）24．（12分）已知f（x）=xlnx，g（x）=﹣x2+ax﹣6．（Ⅰ）求函数f（x）的最小值；（Ⅱ）对一切x∈[3，+∞）恒有f（x）≥g（x）成立，求实数a的取值范围；（Ⅲ）当x∈（0，2π），求证：lnx+cosx +．【解答】解：（Ⅰ）由条件知，函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=lnx+1，故f（x）在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增；故f min（x）=f （）=﹣；（Ⅱ）对一切x∈[3，+∞）恒有f（x）≥g（x）成立，即xlnx≥﹣x2+ax﹣6恒成立，（x∈[3，+∞））；即a≤lnx+x +恒成立，（x∈[3，+∞））；令h（x）=lnx+x +，则h′（x）==；第21页（共22页）故h（x）在[3，+∞）上是增函数；故h min（x）=h（3）=5+ln3；故实数a的取值范围为（﹣∞，5+ln3]．（Ⅲ）证明：由题意，当x∈（0，2π）时，要证：lnx+cosx +成立，只需证xlnx≥sinx﹣xcosx ﹣；设P（x）=sinx﹣xcosx ﹣，则P′（x）=xsinx，故P（x）在（0，π）上是增函数，在（π，2π）上是减函数；故P max（x）=P（π）=﹣；由（Ⅰ）知，f min（x）=f （）=﹣＞﹣；故当x∈（0，2π），lnx+cosx+恒成立．第22页（共22页）。
福建省八县一中2014-2015学年高二上学期期末考试化学试卷.pdf
福建省八县一中2014-2015学年高二上学期期末考试化学试题 可能用到的相对原子质量：Cu:64 第I卷 一、选择题(每题只有一个正确选项，每题2分，共48分) 1、某学生的实验报告所列出的下列数据中合理的是（ ） A．用10mL量筒量取7.13mL稀盐酸 B．用托盘天平称量25.20gNaCl C．用广泛pH试纸测得某溶液的pH为2.3 D．用25mL滴定管做中和滴定时，用去某浓度的碱溶液21.70mL 2、关于反应3O2（g）2O3（g），反应过程中能量的变化如图所示。
下列有关该反应的ΔH、ΔS的说法中正确的是（ ） A．ΔH<0 ΔS0 ΔS<0 C．ΔH0 D．ΔH>0 ΔS>0 3、单斜硫和正交硫是硫的两种同素异形体。
已知：①S(s，单斜) + O2(g)=SO2 (g) △H1=-297.16kJ·mol-1 ②S(s，正交) + O2(g)=SO2 (g) △H2=-296.83kJ·mol -1 下列说法正确的是（ ） A．S(s，单斜)=S(s，正交) △H3=+0.33kJ·mol -1 B．正交硫比单斜硫稳定 C．相同物质的量的正交硫比单斜硫所含有的能量高 D．①式表示断裂lmol O2中的共价键所吸收的能量比形成1mol SO2中的共价键所放出的能量多297.16kJ 4、、关于下列装置说法正确的是（ ） A．装置①中，盐桥中的K＋移向CuSO4溶液 B．装置①中，Zn为负极，发生还原反应 C．装置②中的Fe发生析氢腐蚀 D．装置②中电子由Fe流向石墨，然后再经溶液流向Fe 5.下列关于热化学反应的描述中正确的是 （ ） A．需要加热才能发生的反应一定是吸热反应 B．由C(s，石墨)===C(s，金刚石) ΔH＝+1.9 kJ·mol－1可知，金刚石比石墨稳定 C.在稀溶液中：H＋(aq)＋OH－(aq)===H2O(l) ΔH＝－57.3 kJ·mol－1，则CH3COOH和NaOH D．CO（g）的燃烧热是283.0 kJ/mol，则2CO2（g）===2CO（g）+O2（g）反应的 △H=+2×283.0 kJ/mol 6.观察下列几个装置示意图，有关叙述正确的是 ( ) A．装置①中阳极上析出红色固体 B．装置②的待镀铁制品应与电源正极相连 C．装置③中外电路电子由a极流向b极 D．装置④的离子交换膜允许阳离子、阴离子、水分子自由通过 7、下列叙述正确的是（ ） ① 锌跟稀硫酸反应制取氢气，加入少量硫酸铜溶液能加快反应速率 ② 镀层破损后，白铁（镀锌的铁）比马口铁（镀锡的铁）更易腐蚀 ③ 电镀时，应把镀件置于电解槽的阴极 ④ 冶炼铝时，用电解熔融氧化铝的方法 ⑤ 钢铁表面常易锈蚀生成Fe2O3?nH2O A．①②③④⑤ B．①③④⑤ C．①③⑤ D．②④ 8．根据如图所示的装置，判断下列说法不正确的是（ ） A.该装置中铜为阳极 B.当铜片的质量变化了12.8 g时，a极上消耗的O2在标准状况下的体积为2.24 L C.该装置中b极的电极反应式是：H2＋2OH－－2e－==2H2O D.该装置中a极为正极，发生氧化反应 9、在一固定容积的密闭容器中，可逆反应： H2(g) + I2(g)2HI (g)达到平衡的标志是（ ） A．H2、I2、HI的分子数之比为1∶1∶2 B．混合气体的颜色不再发生变化 C．单位时间生成n mol H2，同时消耗成2n mol HI 混合气体的密度保持不变 10、汽车尾气净化中的一个反应如下： NO(g)＋O(g)N2(g)+ CO2(g) ΔH＝－kJ·mol－1 A．达到平衡后，若只升高温度，化学平衡正向移动 B．达到平衡后，再通人稀有气体，逆反应速率增大 C．使用催化剂，平衡常数不变 D．0～5 min内，NO的反应速率为2.4×1 0-3 mol·L一1·min一1 11、用来表示可逆反应：2A（g）＋B（g）2C（g）（正反应放热）的正确图象是下图中的（ ） 12、下列反应中，属于水解反应且书写正确的是 （ ） A．CH3COOH＋OH－CH3COO－+H2O B．HCO3—+ H2O CO32- + H3O+ C．NH4+ + H2O NH3·H2O + H+ D．S2- + H2OH2S+ OH- 13、在0.1mol·L－1的CH3COOH溶液中存在如下电离平衡CH3COOHCH3COO－+H+ 对于该平衡，下列叙述正确的是( ) A．加入少量冰醋酸，溶液的pH减小， B．滴加少量0.1mol／LHCl溶液，溶液中C(H+)减少。
福建省八县一中2014-2015学年高二上学期期末考试数学(理)试题
B 1B 福建省八县一中2014-2015学年高二上学期期末考试数学（理）试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。
）1．命题：“0>∀x ，02≥-x x ”的否定形式是（ ）A 0x ∀≤，20x x ->B 0x ∀>，02≤-x xC 0>∃x ，02<-x xD 0≤∃x ，02>-x x 2．抛物线:C 24x y =的焦点坐标为（ ） A )1,0( B )0,1( C )161,0( D )0,161( 3．若向量)1,0,1(-=→a ，向量),0,2(kb =→，且满足向量→a //→b ，则k 等于（ ） A 1 B 1- C 2 D 2-4．“21<<m ”是“方程13122=-+-my m x 表示的曲线是焦点在y 轴上的椭圆”的( ) A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件5．经过点(2,2)P -，且与双曲线:C 2212x y -=有相同渐近线的双曲线方程是（ ）A 12422=-y xB 14222=-x yC 14222=-y xD 12422=-x y6．如图所示，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，点E 为上底面对角线11A C 的中点，若→→→→++=AD y xAB AA BE 1，则（ ）A 21,21=-=y x B 21,21-==y x C 21,21-=-=y x D 21,21==y x7．ABC ∆中,)0,5(),0,5(B A -，点C 在双曲线191622=-y x 上，则CBA sin sin sin -=（ ）A53 B 53± C 54 D 54± 8．如图所示，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，M 是棱CD 的中点，则→M A与→1DC 所成角的余弦值为（ ）A 62-B62 C 1010- D 1010 9． 已知抛物线:C )0(22>=p px y 的焦点为F ，准线为l ，过抛物线上一点P 作PM 垂直l 于M ，若060=∠PFM ,则PFM ∆的面积为（ ）A 2pB 23pC 22p D 232p10．如果命题“若y x ⊥，z y //，则z x ⊥”是假命题．．．，那么字母z y x ,,在空间所表示的几何图形可能是( )A z y x ,,全是直线B z y x ,,全是平面C z x ,是直线，y 是平面D y x ,是平面，z 是直线 11．已知椭圆22221(0)x y a b ab+=>>与双曲线22221(0,0)x y m n mn-=>>有共同的焦点)0,(c -和)0)(0,(>c c ，且满足c 是a 与m 的等比中项，2n 是22m 与2c 的等差中项，则椭圆的离心率为( )A33 B 22 C 41 D 2112．在平面直角坐标系中，一条双曲线经过旋转或平移所产生的一系列双曲线都具有相同的离心率和焦距，称它们为一组“共性双曲线”；例如将等轴双曲线222=-y x 绕原点逆时针转动045，就会得到它的一条“共性双曲线”xy 1=；根据以上材料可推理得出双曲线113-+=x x y 的焦距为（ ） A 4B 24C 8D 28二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分。
【数学】福建省福州市第八中学2014-2015学年高二上学期期末考试(文)
福建省福州市第八中学2014-2015学年 高二上学期期末考试数学（文）试题一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若()()R y x i y i i x ∈+=-,,3，则复数=+yi xA ．i +-3B ．i +3C ．i 31-D ．13i +2. 已知取值如下表：从所得的散点图分析可知：y 与x 线性相关，且a x y +=95.0，则a ＝A. 1.30B. 1.45C. 1.65D. 1.803．下列四个框图中是结构图的个数是A ．1个B ．2个C ．3个4．4个4．函数的图象在点处的切线方程为 A ．B ．C ．D ．5．直线过椭圆的上焦点和一个顶点B ，该椭圆的离心率为A ．B ．C ．D ．6．已知下列命题： ①命题“020031,x x R x >+∈∃”的否定是“x x R x 31,2<+∈∀”；②已知p 、q 为两个命题，若“p 或q ”为假命题，则“p ⌝且q ⌝为真命题”；③“5>a ”是“2>a ”的充分不必要条件； ④“若0=xy ，则0=x 且0=y ”的逆否命题为真命题． 其中所有真命题的序号是A ．①②③B ．②④C ．②③D ．④7．中心在坐标原点，离心率为的双曲线的焦点在轴上，则它的渐近线方程为Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．8.若实数b a ,满足00,0=≥≥ab b a 且，则称a 与b 互补． 记()b a b a b a --+=22,φ，那么()0,=b a φ是a 与b 互补的A ．必要而不充分的条件B ．充分而不必要的条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要的条件9.已知结论：“在正三角形ABC 中，若D 是边BC 的中点，G 是三角形ABC 的内切圆的圆心，则2=GDAG”．若把该结论推广到空间，则有结论：“在棱长都相等的四面体ABCD 中，若BCD ∆的中心为M ，O 是这个四面体的内切球的球心”，则=OMAOA ．1B ．2C ．3D ．4 10．已知函数是定义在R 上的偶函数，且对任意的R ，都有.当0≤≤1时，=，若直线与的图象在[0，2]恰有两个不同的公共点，则实数的值是A.0B.0或C.0或D.或二、填空题：本大题共3小题，每小题4分，共12分.11.若命题“022,2≤--∈∀ax ax R x ”是真命题，则实数的取值范围是__________.12．设1z 是复数，112z i z z -= (其中1z 表示1z 的共轭复数)，已知2z 的实部是－3，则2z 的虚部为__________．13．下列命题：①平面内到两定点距离的差等于定长的点的轨迹不一定是双曲线；②椭圆中的参数不能刻画椭圆的扁平程度，而能刻画椭圆的扁平程度；③已知椭圆的中心在原点，经过两点和的椭圆的标准方程是唯一确定的．④由()()","221221e e aR ，e e a μλμλμλ+=∈+=则若向量可类比推理得()()22,,"bi a z R b a bi a z +=∈+=则若复数把以上各小题正确的答案填在横线上 ．三、解答题：本大题共3小题，共38分。
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B 1B 福建省八县一中2014-2015学年高二上学期期末考试数学（理）试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。
）1．命题：“0>∀x ，02≥-x x ”的否定形式是（ ）A 0x ∀≤，20x x ->B 0x ∀>，02≤-x xC 0>∃x ，02<-x xD 0≤∃x ，02>-x x 2．抛物线:C 24x y =的焦点坐标为（ ） A )1,0( B )0,1( C )161,0( D )0,161( 3．若向量)1,0,1(-=→a ，向量),0,2(kb =→，且满足向量→a //→b ，则k 等于（ ） A 1 B 1- C 2 D 2-4．“21<<m ”是“方程13122=-+-my m x 表示的曲线是焦点在y 轴上的椭圆”的( ) A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件5．经过点(2,2)P -，且与双曲线:C 2212x y -=有相同渐近线的双曲线方程是（ ）A 12422=-y xB 14222=-x yC 14222=-y xD 12422=-x y6．如图所示，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，点E 为上底面对角线11A C 的中点，若→→→→++=AD y xAB AA BE 1，则（ ）A 21,21=-=y x B 21,21-==y x C 21,21-=-=y x D 21,21==y x7．ABC ∆中,)0,5(),0,5(B A -，点C 在双曲线191622=-y x 上，则CBA sin sin sin -=（ ）A53 B 53± C 54 D 54±8．如图所示，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，M 是棱CD 的中点，则→与→1DC 所成角的余弦值为（ ）A 62-B62 C 1010- D 1010 9． 已知抛物线:C )0(22>=p px y 的焦点为F ，准线为l ，垂直l 于M ，若060=∠PFM ,则PFM ∆的面积为（ ）A 2pB 23pC 22p D 232p10．如果命题“若y x ⊥，z y //，则z x ⊥”是假命题．．．，那么字母z y x ,,在空间所表示的几何图形可能是( )A z y x ,,全是直线B z y x ,,全是平面C z x ,是直线，y 是平面D y x ,是平面，z 是直线 11．已知椭圆22221(0)x y a b ab+=>>与双曲线22221(0,0)x y m n mn-=>>有共同的焦点)0,(c -和)0)(0,(>c c ，且满足c 是a 与m 的等比中项，2n 是22m 与2c 的等差中项，则椭圆的离心率为( )A33 B 22 C 41 D 2112．在平面直角坐标系中，一条双曲线经过旋转或平移所产生的一系列双曲线都具有相同的离心率和焦距，称它们为一组“共性双曲线”；例如将等轴双曲线222=-y x 绕原点逆时针转动045，就会得到它的一条“共性双曲线”xy 1=；根据以上材料可推理得出双曲线113-+=x x y 的焦距为（ ） A 4B 24C 8D 28二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分。
）13．命题“若090=∠C ，则ABC ∆是直角三角形”的否命题的真假性为 14．若“a x <”是“0322≥--x x ”的充分不必要条件，则a 的取值范围为 15．已知ABC ∆是以B 为直角顶点的等腰直角三角形，其中)2,,1(m BA =,),,2(n m BC =（R n m ∈,）,则=+n m16．在平面直角坐标系中，已知 ),0,(),0,(a N a M -其中R a ∈,若直线l 上有且只有一点P ，使得10=+PN PM ，则称直线l 为“黄金直线”，点P 为“黄金点”。
由此定义可判断以下说法中正确的是○1当7=a 时，坐标平面内不存在黄金直线； ○2当5=a 时，坐标平面内有无数条黄金直线； ○3当3=a 时，黄金点的轨迹是个椭圆；○4当0=a 时，坐标平面内有且只有一条黄金直线；三、解答题（本大题共6小题，共74分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
）17．命题p ：a xx x >+>∀1,0 ；命题q ：012,0200≤+-∈∃ax x R x 。
若q ⌝为假命题，q p ∧为假命题，则求a 的取值范围。
18．已知双曲线C ：)0,0(12222>>=-b a by a x 的焦距为4，且经过点()62,3-。
(Ⅰ)求双曲线C 的方程和其渐近线方程；(Ⅱ)若直线2:+=kx y l 与双曲线C 有且只有一个公共点,求所有满足条件的k 的取值。
19．如图所示，直三棱柱111C B A ABC -中，D 是线段AB 的中点，11===CC CB CA ，090=∠ACB 。
(Ⅰ)证明：//1BC 面CD A 1；(Ⅱ)求面CD A 1与面CA C A 11所成的锐二面角的余弦值。
20. 已知抛物线:C )0(22>=p px y 过点)2,1(-M 。
(Ⅰ)求抛物线C 的方程及其准线方程；(Ⅱ) 过抛物线焦点F 的直线l 与抛物线C 相交于两点、),(11y x A ),(22y x B ，点D 在抛物线C 的准线上，且满足直线BD 平行x 轴，试判断坐标原点O 与直线AD 的关系，并证明你的结论。
AB C 1ABCD21. 已知椭圆12222=+by a x (0>>b a )的离心率为23，且右焦点)0)(0,(>c c 到直线3=x 的距离为3。
(Ⅰ) 求椭圆的方程；(Ⅱ)已知点)1,2(-A ，过原点且斜率为)0(>k k 的直线l 与椭圆交于两点、),(11y x P ),(22y x Q ，求APQ ∆面积的最大值。
22． 如图（1），ABD ∆为等边三角形，BCD ∆是以C 为直角顶点的等腰直角三角形且2=CD ，E 为线段CD 中点，将ABD ∆沿BD 折起（如图2），使得线段AC 的长度等于2，对于图二，完成以下各小题：(Ⅰ)证明：⊥AC 平面BCD ；(Ⅱ)求直线AE 与平面ABD 所成角的正弦值；（III ）线段AB 上是否存在点P ，使得平面CPE 与平面ABD 垂直？若存在，请求出线段BP 的长度；若不存在，请说明理由。
（图1） （图2）● A BCED A B C D● E2014---2015学年度第一学期八县（市）一中期末联考高中 二 年 数学（理）科答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）13. 假 14. 1-≤a 15. -1 16. ①②③ 三、解答题（本大题共6小题，17-21每小题12分，22题14分，共74分）17.解：不妨设p 为真，要使得不等式恒成立只需min)1(x x a +<,又∵当>x 时，2)1(≥+xx )""1(==时取当且仅当x ∴2<a ……………………………4分不妨设q 为真，要使得不等式有解只需0≥∆，即04)2(2≥--a 解得11≥-≤a a 或 ………………………………………………………………………………8分∵q ⌝假，且“p q ∧”为假命题, 故 q 真p 假………………………………………………10分所以⎩⎨⎧≥-≤≥112a a a 或 ∴实数a 的取值范围为2≥a ……………………………………………12分18.解：(1)由题意可知：双曲线的焦点为（-2, 0）和（2,0） 根据定义有2)062()23()062()23(22222=-+----++-=a∴1=a ，由以上可知：3,4,1222===b c a ．∴所求双曲线C 的方程为：1322=-y x ．…4分渐近线方程为：x y 3±= ……………………………………………………………6分(2)由⎪⎩⎪⎨⎧=-+=,131222y x kx y 得：074)x k -(322=--kx .………………………………………7分 ①当0k -32=即3±=k 时，此时直线l 与双曲线相交有一个公共点，符合题意……………8分② 当0k -32≠即3±≠k 时，由△=0得7±=k ，此时直线l 与双曲线相切有一个公共点，符合题意…………………………………11分 综上所述：符合题意的k 的所有取值为7,7,3,3--。
………………………12分19.解：（法一）(1)连结M AC C A 于交11，连结DM又D,M 分别是AB,AC 1的中点，故DM 为△ABC 1的中位线 ∴DM //1BC又∵CD A BC CD A DM 111,面面⊄⊂ ∴CD A BC 11//平面……………4（2）如图，建立空间直角坐标系C-xyz. ……………………………………5∴)0,21,21(),1,0,1(),0,0,0(1D A C ∴ )1,0,1(1=CA ，)0,21,21(=CD 设平面A 1CD 的一个法向量为),,(z y x m =，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅001CD m CA m ⎪⎩⎪⎨⎧=+=+⇒021210y x z x ，取1=x ，得)1,1,1(--=m ．……………………8分 依题意可知平面A 1CA 的法向量：)0,1,0(==CB n …………………………10分则33311,cos -=⨯-=>=<n m ∴面CD A 1与面CA C A 11所成的锐二面角的余弦值为33………………………12分（法二）(1) 如图，建立空间直角坐标系C-xyz. ………………………………1分∴)1,0,0(),0,1,0(),0,21,21(),1,0,1(),0,0,0(11C B D A C∴)1,0,1(1=CA ，)0,21,21(=CD ,)1,1,0(1-=BC 设平面A 1CD 的一个法向量为),,(z y x m =，A 1B 1C 1ABCD●●M则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅001CD m CA m ⎪⎩⎪⎨⎧=+=+⇒021210y x z x ，取1=x ，得)1,1,1(--=m ．…………………4分∴0)1(1)1()1(101=-⨯+-⨯-+⨯=⋅m BC ∴m BC ⊥1又∵CD A BC 11面⊄ ∴CD A BC 11//平面 …………………………………8分 （2）依题意可知平面A 1CA 的一个法向量：)0,1,0(==CB n ………………10分则33311,cos -=⨯-=>=<n m ∴面CD A 1与面CA C A 11所成的锐二面角的余弦值为33…………………………12分 （说明：由于平面的法向量不唯一，所以解答过程．．不唯一） 20.解:（1） 将M(1，-2)代入y 2=2px ， 得(-2)2=2p ·1，所以p=2.故所求的抛物线C 的方程为：x y 42= ………………………………………3分 其准线方程为x=-1. …………………………………………………………………………………4分 （2）判断坐标原点O 在直线AD 上，…………………………………………5分现证明如下：依题意可设过F 的直线l 方程为：x=my+1（m R ∈）， 设),(,),(2211y x B y x A ,),1(2y D -由⎩⎨⎧=+=,4,12x y my x 得：044my -y 2=- 依题意可知恒成立0>∆，且421-=y y ……………………………………9分又∵1211122111221112112114)4(44)4(1x y y y x y y y x y yy x y x y y x y k k ODOA +=+=---=---=--=- 又∵421-=y y ， ∴0=-OD OA k k即证坐标原点O 在直线AD上……………………………………………………………………12分 （说明：直线l 方程也可设为：y=k （x-1），但需加入对斜率不存在情况的讨论，否则扣1分）21.解：(1) 依题意可知33=-c ,∴)(032舍去或==c c …………………2分又∵离心率为23，∴4=a ，故4222=-=c a b 因此椭圆的方程为：141622=+y x ……4分（2）将直线l 方程：y=kx 与椭圆方程联立消y 得016)x 4k (122=-+，所以224116x k +=……………………………………………………6分∴222124116211k k x x k PQ +⨯⨯+=-+= ……………………………8分又∵点A 到直线l 的距离d=2112k k ++ ……………………………………………9分故APQ ∆的面积=2224114444112421k k k k k d PQ +++⨯=++⨯=⋅k k k k 41414414142++⨯=++⨯=当k>0时, )""21(414==≥+时取当且仅当k k k ，故当时21=k ，APQ ∆的面积有最大值24 …………………………………12分22.解：（1）∵22,2=====AD BD AB CB CD又∵,2=AC ∴2228AB CB AC ==+ ∴CB AC ⊥同理可证CD AC ⊥ 故AC 垂直面BCD 内两条相交直线 则⊥AC 平面BCD …………………………………………………3分(2) 由(1)知CB AC ⊥,CD AC ⊥,又有CB CD ⊥故可建如图所示建立空间直角坐标系C-xyz. …………………………………4分 ∴)0,1,0(),0,2,0(),0,0,2(),2,0,0(),0,0,0(E D B A C∴ )2,0,2(-=AB ，)2,2,0(-=AD ,)2,1,0(-=AE ,)0,1,0(=CE 设平面ABD 的一个法向量为),,(z y x m =，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00AD m AB m ⎩⎨⎧=-=-⇒022022z y z x ，取1=x ，得)1,1,1(=m ．……………………6分 设直线AE 与平面ABD 所成角为θ， 则1515351||||,cos |sin =⨯==><=AEm AE m AE m θ，…………………………7分 ∴设直线AE 与平面ABD 所成角的正弦值为1515.………………………8分（3）假设存在符合条件的点P,并设)2,0,2()2,0,2(λλλλ-=-==BA BP (]1,0[∈λ) 则)2,0,22()2,0,2()0,0,2(λλλλ-=-+=+=BP CB CP 设平面CPE 的一个法向量为),,(z y x n =，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅→→0CP n CE n⎩⎨⎧=+-=⇒02)22(0z x y λλ，取λ=x ，得)1,0,(-=λλn ．……………11分 要使得平面CPE 与平面ABD 垂直,只需0=⋅n m 即0)1(1101=-⨯+⨯+⨯λλ 解得21=λ]1,0[∈，故线段AB 上存在点P ，使得平面CPE 与平面ABD 垂直，此时线段BP 的长度为2………14分（说明：①答案提及“存在”而不能说明理由的得1分②第（3）小题也可设P （2-t,0,t ）展开解答）。