应用统计方法的练习题

练习题
一、设总体X
的概率密度为1
,01()0,
其他
x f x <<=⎪⎩，0λ>未知，12,,n X X X 为
来自总体的一个样本. 求参数λ的矩估计量和极大似然估计量.
解、由()E X X ==，得θ的矩估计量2
ˆ1X X θ⎛⎫= ⎪
-⎝⎭
(5分)
似然函数为1
1
()n i L θ==，取对数得(
))
1ln ()ln 1ln 2n
i i n L x θθ==+∑
由导数
()()ln ()0d L d θθ
=，得极大似然估计量2
21ˆ/ln n
i i n X θ=⎛⎫= ⎪⎝⎭
∑ (5分)
二、（10分）微波炉在炉门关闭时的辐射量（X ）是衡量微波炉质量的一个重要指标。

设某
工厂生产的微波炉的指标2~(,)X N u σ，长期以来0.1σ=，且均值都符合要求不超过0.12。

现在为检查近期生产的微波炉的质量，抽查了50台，测得它们指标X 的均值x =0.126，试问在
α
=0.05的水平下，该厂近期生产的微波炉的辐射量是否升高了？
（96.1u 645.1u 975.095.0==，）
解 据题意，可建立假设01:0.12:0.12H vs H μμ≤>
，选取x U =
作为检验统计
量。

假设的拒绝域为10.05{}W u u -=>即{ 1.645}W u =>，当α=0.05时，拒绝域为
{ 1.645}W u =>，计算得，U=0.424<1,645，也就是说，在选定的置信水平下，不能拒绝原
假设，即认为近期生产的微波炉的辐射量没有明显提高。

三、在研究儿童智力发展和营养的关系，某研究机构调查了1436名儿童，得到的数据如下表，试在显著性水平0.05下判断智力发展与营养有无关系？
（，）（，）（15.873
92.9522
5.9025.90==χχ）
解：用A 表示营养状况，它有两个水平：A1表示营养良好，A2表示营养不良；B 表示儿童智商，它有四个水平，B1，B2，B3，B4分别表示表中四种情况。

假设H0：营养状况与智商无关联，即A ，B 是独立的。

统计表示如下： H0：.4,3,2,1,2,1,...===j i p p p j i ij 3分 在原假设H0成立下，计算褚参数的最大似然估计值，
2403.01432/345ˆ1992.01436/286ˆ2660.01436/382ˆ2946.01436/432ˆ0919,01436/132ˆ9081.01436/1304ˆ4.3.2.1..2,1============p
p
p
p
p
p
从而给出各理论频数 ，:ˆˆˆ.,j i ij p p n p
n =1677.3842946.0*9801.0*1436ˆ11==p n 其他结果见下表：
计
算开方检验统计量的值：
2785.197120
.31)7120.3116(24.7346346.724-342667.1384667.1384-36722
22
=-++= ）（）（χ
3)1)(1(,4,2=--==s r c r
养状况影响智商。

故拒绝原假设。

认为营）（，,2785.1915.8735.002
5.90<==χα
六、距离判别
七 的训练样品如下：
从中抽取容量为为两个二维总体，分别设3,21G G
74427
3 :2
11x x G 8
4759
6
:2
12x x G
(1) 求两总体的样本均值向量)2()1(,X X 和样本离差矩阵21,A A . (2) 假定两总体的协方差矩阵相等，写出合并样本协方差阵S 。

)6,3()1('=X
)8,5()2('=X
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡='--=∑=63323/1)()(31)
1()1()(31)1()1()(1X X X X A ααα
⎥⎦⎤⎢⎣⎡='--=∑=2112)()(31)2()2()(31)2()2()(2X X X X A ααα
（2）⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-==∑
∑=211184444121ˆ21i i A n S 七、已知来自二元正态总体2(,)N μ∑的简单随机样本矩阵⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡=3861096X 求总体均
值MLE ˆ μμ向量的极大似然估计以及总体协方差阵∑的极大似然估计MLE
ˆ ∑ 八、主成分：设随机向量T x x x X ),,(321= 的协方差矩阵为：⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=∑1025223535 ，求X 的第一，第二主成分，并求第一主成分的贡献率。

（答案见课本292）。