37圆有关性质(二)

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课时37圆的有关概念与性质

1课时37 圆的有关概念与性质【课前热身】1.（08重庆）如图，AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，则ACB ∠的度数为（）A ．30B ．45C ．60D ．902.（08湖州）如图，已知圆心角78BOC ∠=，则圆周角BAC ∠的度数是（） A ．156B ．78C ．39D ．123.（08梅州）如图所示，圆O 的弦AB 垂直平分半径OC ．则四边形OACB 是（）A ．正方形 B.长方形C ．菱形D ．以上答案都不对4.（08福州）如图，AB 是⊙O 的弦，OC AB ⊥于点C ，若8cm AB =，3cm OC =，则⊙O 的半径为 cm ． 5. (08荆门)如图，半圆的直径AB ＝___ ．【考点链接】1. 圆上各点到圆心的距离都等于 .2. 圆是对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的；圆又是对称图形，是它的对称中心.3. 垂直于弦的直径平分，并且平分；平分弦（不是直径）的垂直于弦，并且平分 .4. 在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，两个圆周角中有一组量，那么它们所对应的其余各组量都分别 .5. 同弧或等弧所对的圆周角，都等于它所对的圆心角的 .6. 直径所对的圆周角是，90°所对的弦是 .【典例精析】例1 （08呼伦贝尔）如图：AC⌒ =CB ⌒ ，D E ，分别是半径OA 和OB 的中点，CD 与CE 的大小有什么关系？为什么？A CB O 第4题第5题 0 1 2-1 -21 A B CBOEDA第2题第3题第1题2例2 （08济南）已知：如图，30PAC ∠=︒，在射线AC 上顺次截取AD =3cm ，DB =10cm ，以DB 为直径作⊙O 交射线AP 于E 、F 两点，求圆心O 到AP 的距离及EF 的长．【中考演练】1.（08台州）下列命题中，正确的是（）① 顶点在圆周上的角是圆周角； ② 圆周角的度数等于圆心角度数的一半； ③ 90的圆周角所对的弦是直径； ④ 不在同一条直线上的三个点确定一个圆； ⑤ 同弧所对的圆周角相等A ．①②③B ．③④⑤C ．①②⑤D ．②④⑤2.（08湘潭）兴隆蔬菜基地建圆弧形蔬菜大棚的剖面如图所示，已知AB ＝16m ，半径 OA ＝10 m ，高度CD 为_ ____m ．3.（08襄樊）如图，⊙O 中OA BC ⊥，25CDA ∠=，则AOB ∠的度数为．4.（08广州）如图，射线AM 交一圆于点B 、C ，射线AN 交该圆于点D 、E ，且BC ⌒ =DE ⌒ ．（1）求证：AC = AE ；（2）利用尺规作图，分别作线段CE 的垂直平分线与∠MCE 的平分线，两线交于点F （保留作图痕迹，不写作法），求证：EF 平分∠CEN ．O AD B CEFP AB CDEMNBACD第2题第3题3ＣＥ﹡5. (07德州) 如图，ABC △是⊙O 的内接三角形，AC BC =，D 为⊙O 的AB⌒ 上一点，延长DA 至点E ，使CE CD =．（1）求证：AE BD =；（2）若AC BC ⊥，求证：AD BD +=．。

专题27圆的有关性质(优选真题60道)-学易金卷：三年(2021-2023)中考数学真题分

47．（2021•德阳）在锐角三角形ABC中，∠A＝30°，BC＝2，设BC边上的高为h，则h的取值范围是．
48．（2023•成都）为传承非遗文化，讲好中国故事，某地准备在一个场馆进行川剧演出．该场馆底面为一个圆形，如图所示，其半径是10米，从A到B有一笔直的栏杆，圆心O到栏杆AB的距离是5米，观众在阴影区域里观看演出，如果每平方米可以坐3名观众，那么最多可容纳名观众同时观看演出．（π取3.14，取1.73）
A．95°B．100°C．105°D．130°
16．（2022•贵港）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AC是⊙O的直径，点P在⊙O上，若∠ACB＝40°，则∠BPC的度数是（）
A．40°B．45°C．50°D．55°
17．（2022•株洲）如图所示，等边△ABC的顶点A在⊙O上，边AB、AC与⊙O分别交于点D、E，点F是劣弧上一点，且与D、E不重合，连接DF、EF，则∠DFE的度数为（）
31．（2022•上海）如图所示，小区内有个圆形花坛O，点C在弦AB上，AC＝11，BC＝21，OC＝13，则这个花坛的面积为.（结果保留π）
32．（2022•日照）一圆形玻璃镜面损坏了一部分，为得到同样大小的镜面，工人师傅用直角尺作如图所示的测量，测得AB＝12cm，BC＝5cm，则圆形镜面的半径为．
三．解答题（共12小题）
49．（2023•北京）如图，圆内接四边形ABCD的对角线AC，BD交于点E，BD平分∠ABC，∠BAC＝∠ADB．
（1）求证DB平分∠ADC，并求∠BAD的大小；
（2）过点C作CF∥AD交AB的延长线于点F，若AC＝AD，BF＝2，求此圆半径的长．
50．（2023•内蒙古）如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，D是上一点，P是AB延长线上一点，连接AD，DC，CP．

24.1.2垂直于弦的直径

C
O
A
E D
B
证明：连结OA、OB，则OA＝ OB．∵ 垂直于弦AB的直径CD所在的直线既是等腰三角形OAB的对称轴又是⊙ O的对称轴． ∴ 当把圆沿着直径CD折叠时， CD两侧的两个半圆重合， A点和B点重合， ⌒ ⌒ AE和BE重合， ⌒ ⌒ AC、AD分别和BC、BD重合． ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ∴ AE＝BE，AC＝BC，AD＝BD
A E B
解：连结OA．过O作OE⊥AB，． O 垂足为E，则OE＝3cm，AE＝BE． ∵AB＝8cm ∴AE＝4cm 在Rt△AOE中，根据勾股定理有OA＝5cm ∴⊙O的半径为5cm．
2．在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦， OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求证：四边形ADOE是正方形．
① 直径过圆心 ③ 平分弦 ⑤ 平分弦所对的劣弧
② 垂直于弦 ⑤ 平分弦所对的劣弧
① 直径过圆心 ③ 平分弦 ④ 平分弦所对优弧
（4）垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直径过圆心，并且平分弦和所对的另一条弧．
③ 平分弦 ④ 平分弦所对优弧
① 直径过圆心 ② 垂直于弦 ⑤ 平分弦所对的劣弧
③ 平分弦 ⑤ 平分弦所对的劣弧
证明： Q O E A C O D A B A B A C
O EA 90
o
EAD 90
o
O D A 90
C E A
o
∴四边形ADOE为矩形， 1 1 AE AC，AD AB 2 2 又∵AC=AB ∴ AE=AD ∴ 四边形ADOE为正方形．
· O
D B
24.1
24.1.2
圆的有关性质
垂直与弦的直径
轴中心圆心

第3讲圆的方程

30
聚焦必备知识突破核心命题限时规范训练
反思感悟建立函数关系式求最值：列出关于所求目标式子的函数关系式，然后根据关系式的特征选用配方法、判别式法、基本不等式法等求最值．
31
聚焦必备知识突破核心命题限时规范训练
训练2 (1)设P(x，y)是圆(x－2)2＋y2＝1上的任意一点，则(x－5)2＋(y
27
聚焦必备知识突破核心命题限时规范训练
反思感悟
求解形如|PM|＋|PN|(其中M，N均为动点)且与圆C有关的折线段的最值问题的基本思路
(1)动化定：把与圆上动点的距离转化为与圆心的距离． (2)曲化直：将折线段之和转化为同一直线上的两线段之和，一般要通过对称性解决．
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聚焦必备知识突破核心命题限时规范训练
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聚焦必备知识突破核心命题限时规范训练
法三：设 A(3，0)，B(0，1)，⊙M 的半径为 r，则 kAB＝10－－03＝－13，AB 的中点坐标为(32，12)， ∴AB 的垂直平分线方程为 y－12＝3(x－32)，即 3x－y－4＝0. 联立23xx＋－yy－－14＝＝00，，解得xy＝＝－ 1，1，
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聚焦必备知识突破核心命题限时规范训练
训练1 在平面直角坐标系xOy中，已知过点M(－2，－1)的圆C和直线x－y＋1＝0相切，且圆心在直线y＝2x上，则圆C的标准方程为_______ _____________．
根据题意，圆心在直线y＝2x上，则设圆心为(n，2n)，圆的半径为r，又圆C过点M(－2，－1)且与直线x－y＋1＝0相切，
答案：(－1，3) x2＋y2－4x＋2y＋1＝0
9
聚焦必备知识突破核心命题限时规范训练

二、解答重难题型突破+题型5 圆的综合++++课件+2025年中考数学总复习人教版(山东)

2
P在半圆弧AB上运动(不与A,B两点重合),过点C作直线PB的垂线CD交PB于点D.
(1)如图1,求证:△PCD∽△ABC.
(2)当点P运动到什么位置时,△PCD≌△ABC?请在图2中画出△PCD并说明理由.
(3)如图3,当点P运动到CP⊥AB时,求∠BCD的度数.
28
【解析】(1)∵AB是☉O的直径,
∴∠BCD=30°.
31
本课结束
∴BF=BE=5.
∵∠ABE=∠AMF=90°,∠BAE=∠MAF,
∴△AMF∽△ABE,

∴ = ,即 = = =2.

设MF=x,则AM=2x,
∴BM=10-2x.
5
∵BM2+MF2=BF2,
∴(10-2x)2+x2=52,解得x=3,x=5(不符合题意,舍去),即MF=3.
∴∠PCD=60°.
∵四边形ABDC内接于☉O,
∴∠B=∠PCD=60°.
9
෽
(2)∵点C为的中点,
∴∠CAD=∠CDA,∴AC=CD.
∵∠ADB=90°,
∴∠CDA+∠CDP=90°.
在Rt△ADP中,∠CAD+∠P=90°,
∴∠CDP=∠P,
∴CD=PC=2 ,
∴AC=CD=PC=2 ,
෽ ,对角线AC为☉O
෽
【例2】(2024·济南三模)如图,四边形ABCD内接于☉O,=
的直径,延长BC交过点D的切线于点E.
(1)求证:DE⊥BE;
3
(2)若☉O的半径为5,tan∠DAC= ,求DE的长.
4
12
【自主解答】(1)连接DO并延长交AB于F,

精编2019深圳中考数学第一轮课时训练含答案(31-40课时).docx

精编2019深圳中考数学第一轮课时训练含答案（31-40课时）目录：2019深圳中考数学第一轮课时训练含答案31：2019深圳中考数学第一轮课时训练含答案32：2019深圳中考数学第一轮课时训练含答案33：2019深圳中考数学第一轮课时训练含答案34：2019深圳中考数学第一轮课时训练含答案35：2019深圳中考数学第一轮课时训练含答案36：2019深圳中考数学第一轮课时训练含答案37：2019深圳中考数学第一轮课时训练含答案38：2019深圳中考数学第一轮课时训练含答案39：圆的有关性质直线与圆的位置关系弧长和扇形面积投影与三视图多面体的表面展开图图形的变换图形变换的应用数据与图表2019深圳中考数学第一轮课时训练含答案40：概率课时训练（三十一）圆的有关性质（限时：40分钟）/考场过关/1. [2017 •泸州]如图K31-1,初是00的直径，弦〃丄個于点氏若A. V7B. 2^7C. 6D. 82. [2018 •盐城]如图K31-2,初为00的直径，仞为00的弦，么ADC=35°，则ZGJg 的度数为（）A. 35°B.45。

C. 55°D. 65°3..[2018 •白银]如图 K31-3,过点 0（0, 0）, C 血,0）, 〃（0, 1）,点〃是x 轴下方CM 上的一点，连接％血则ZO 肋的度数是（）畑8,处二1,则弦〃的长是图 K31-24. [2017 •西宁]如图K31~4,初是OO 的直径，弦皿交初于点P 、AP=2, BP 弋 ZAPC=30° ・则〃的长为（）图K3WA. V15B. 2V5C. 2V15D. 85. [2018 •烟台]如图K31-5,方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点a 勺$ C 在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点。

为原点建立直角坐标系，则过昇,3 C 三点的圆的圆心坐标为・图 K31-56. [2017 -十堰]如图 K31-6, A ABC 内接于 OO, ZACB^0° , ZACB 的平分线交O 。

24-1 圆的有关性质课件(共60张PPT)

平分弦所对的两条弧。
知识梳理
知识点4：垂径定理的应用。
将垂径定理和勾股定理有机结合，化圆中问题为三角形问题。
“圆弧AB”或“弧AB”。圆的任意一条直径
的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做
半圆（semi-circle）。
圆
能够重合的两个圆叫做等圆，容易
看出：半径相等的两个圆是等圆；
反过来，同圆或等圆的半径相等。
在同圆或等圆中，能够互相重合的
弧叫做等弧。
圆
概念辨析
直径是弦，弦是直径。这句话正确吗？
2
2
1
∠DOB。
2
圆周角
探究结论
෢
分别测量图中所对的圆周角∠ACB和
圆心角∠AOB的度数，可以发现两角的
度数相同。
同弧所对的圆周角的度数等于这条弧所
对的圆心角的度数的一半。
圆周角
则有圆周角定理：一条弧所对的圆周角等
于它所对的圆心角的一半。
我们还可以得到推论：（1）同弧或等弧
进一步，我们还可以得到推论：平分弦（
不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦
所对的两条弧。
垂直于弦的直径
问题二
赵州桥（图右）是我国隋代建造的石拱桥，距
今约有1400年的历史，是我国古代人民勤劳
与智慧的结晶。它的主桥拱是圆弧形，它的跨
度（弧所对的弦的长）为37m，拱高（弧的
中点到弦的距离）为7.23m，求赵州桥主桥拱
8（）。∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠BCD，
∴∠AOD=∠BOD，∴AD=BD。又在Rt∆ABD中，
2
2
2
2
2
AD +BD =AB ，∴AD=BD= AB= ×10=5

2021年中考数学真题圆的有关性质(共54题)-(原卷版)

24圆的有关性质（共54题）一、单选题1．（2021·甘肃武威市·中考真题）如图，点,,,,A B C D E 在O 上，,42AB CD AOB =∠=︒，则CED ∠=（）A ．48︒B ．24︒C ．22︒D ．21︒2．（2021·广西玉林市·中考真题）学习圆的性质后，小铭与小熹就讨论起来，小铭说：“被直径平分的弦也与直径垂直”，小熹说：“用反例就能说明这是假命题” ．下列判断正确的是（）A ．两人说的都对B ．小铭说的对，小燕说的反例不存在C ．两人说的都不对D ．小铭说的不对，小熹说的反例存在3．（2021·青海中考真题）如图是一位同学从照片上剪切下来的海上日出时的画面，“图上”太阳与海平线交于A ，B 两点，他测得“图上”圆的半径为10厘米，16AB =厘米．若从目前太阳所处位置到太阳完全跳出海平面的时间为16分钟，则“图上”太阳升起的速度为（）．A ．1.0厘米/分B ．0.8厘米分C ．12厘米/分D ．1.4厘米/分4．（2021·山东聊城市·中考真题）如图，A ，B ，C 是半径为1的⊙O 上的三个点，若AB ⊙CAB ＝30°，则⊙ABC 的度数为（）A ．95°B ．100°C ．105°D ．110°5．（2021·湖北鄂州市·中考真题）已知锐角40AOB ∠=︒，如图，按下列步骤作图：⊙在OA 边取一点D ，以O 为圆心，OD 长为半径画MN ，交OB 于点C ，连接CD ．⊙以D 为圆心，DO 长为半径画GH ，交OB 于点E ，连接DE ．则CDE ∠的度数为（）A ．20︒B ．30C ．40︒D ．50︒6．（2021·海南中考真题）如图，四边形ABCD 是O 的内接四边形，BE 是O 的直径，连接AE ．若2BCD BAD ∠=∠，则DAE ∠的度数是（）A ．30B ．35︒C ．45︒D ．60︒7．（2021·四川眉山市·中考真题）如图，在以AB 为直径的O 中，点C 为圆上的一点，3BC AC =，弦CD AB ⊥于点E ，弦AF 交CE 于点H ，交BC 于点G ．若点H 是AG 的中点，则CBF ∠的度数为（）A ．18°B ．21°C ．22.5°D ．30°8．（2021·四川南充市·中考真题）如图，AB 是O 的直径，弦CD AB ⊥于点E ，2CD OE =，则BCD∠的度数为（）A ．15︒B ．22.5︒C ．30D ．45︒9．（2021·四川广安市·中考真题）如图，公园内有一个半径为18米的圆形草坪，从A 地走到B 地有观赏路（劣弧AB ）和便民路（线段AB ）.已知A 、B 是圆上的点，O 为圆心，120AOB ∠=︒，小强从A 走到B ，走便民路比走观赏路少走（）米.A ．6π-B ．6π-C ．12π-D ．12π-10．（2021·重庆中考真题）如图，AB 是⊙O 的直径，AC ，BC 是⊙O 的弦，若20A ∠=︒，则B 的度数为（）A ．70°B ．90°C ．40°D ．60°11．（2021·浙江丽水市·中考真题）如图，AB 是O 的直径，弦CD OA ⊥于点E ，连结,OC OD ．若O 的半径为,m AOD α∠=∠，则下列结论一定成立的是（）A ．tan OE m α=⋅B ．2sin CD m α=⋅C ．cos AE m α=⋅D ．2sin COD S m α=⋅12．（2021·山东泰安市·中考真题）如图，在ABC 中，6AB =，以点A 为圆心，3为半径的圆与边BC 相切于点D ，与AC ，AB 分别交于点E 和点G ，点F 是优弧GE 上一点，18CDE ∠=︒，则GFE ∠的度数是（）A ．50°B ．48°C ．45°D ．36°13．（2021·浙江绍兴市·中考真题）如图，正方形ABCD 内接于O ，点P 在AB 上，则P ∠的度数为（）A ．30B ．45︒C ．60︒D ．90︒14．（2021·四川凉山彝族自治州·中考真题）点P 是O 内一点，过点P 的最长弦的长为10cm ，最短弦的长为6cm ，则OP 的长为（）A ．3cmB ．4cmC ．5cmD ．6cm15．（2021·四川自贡市·中考真题）如图，AB 为⊙O 的直径，弦CD AB ⊥于点F ，OE AC ⊥于点E ，若3OE =，5OB =，则CD 的长度是（）A ．9.6B ．C ．D ．1916．（2021·山东临沂市·中考真题）如图，PA 、PB 分别与O 相切于A 、B ，70P ∠=︒，C 为O 上一点，则ACB ∠的度数为（）A ．110︒B ．120︒C ．125︒D ．130︒17．（2021·湖北鄂州市·中考真题）如图，Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，AC =3BC =．点P 为ABC ∆内一点，且满足22PA PC +2AC =．当PB 的长度最小时，ACP ∆的面积是（）A ．3B ．CD 18．（2021·浙江嘉兴市·中考真题）如图，在ABC ∆中，90BAC ∠=︒，AB =AC =5，点D 在AC 上，且2AD =，点E 是AB 上的动点，连结DE ，点F ，G 分别是BC ，DE 的中点，连接AG ，FG ，当AG =FG 时，线段DE 长为（）A B C D ．419．（2021·四川自贡市·中考真题）如图，()8,0A，()2,0C -，以点A 为圆心，AC 长为半径画弧，交y 轴正半轴于点B ，则点B 的坐标为（）A ．()0,5B ．()5,0C ．()6,0D ．()0,620．（2021·广西来宾市·中考真题）如图，O 的半径OB 为4，OC AB ⊥于点D ，30BAC ∠=︒，则OD 的长是（）A B C ．2 D ．321．（2021·湖北荆州市·中考真题）如图，矩形OABC 的边OA ，OC 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，点D 在OA 的延长线上．若()2,0A ，()4,0D ，以О为圆心、OD 长为半径的弧经过点B ，交y 轴正半轴于点E ，连接DE ，BE 、则BED ∠的度数是（）A ．15︒B ．22.5︒C ．30D ．45︒22．（2021·湖北宜昌市·中考真题）如图，C ，D 是O 上直径AB 两侧的两点．设25ABC ∠=︒，则BDC ∠=（）A ．85︒B ．75︒C ．70︒D ．65︒23．（2021·河北中考真题）如图，等腰AOB 中，顶角40AOB ∠=︒，用尺规按⊙到⊙的步骤操作： ⊙以O 为圆心，OA 为半径画圆；⊙在O 上任取一点P （不与点A ，B 重合），连接AP ；⊙作AB 的垂直平分线与O 交于M ，N ； ⊙作AP 的垂直平分线与O 交于E ，F ．结论⊙：顺次连接M ，E ，N ，F 四点必能得到矩形；结论⊙：O 上只有唯一的点P ，使得OFM OAB S S =扇形扇形．对于结论⊙和⊙，下列判断正确的是（）A ．⊙和⊙都对B ．⊙和⊙都不对C ．⊙不对⊙对D ．⊙对⊙不对24．（2021·湖北黄冈市·中考真题）如图，O 是Rt ABC △的外接圆，OE AB ⊥交O 于点E ，垂足为点D ，AE ，CB 的延长线交于点F ．若3OD =，8AB =，则FC 的长是（）A ．10B ．8C ．6D ．425．（2021·湖南邵阳市·中考真题）如图，点A ，B ，C 是O 上的三点．若90AOC ∠=︒，30BAC ∠=︒，则AOB ∠的大小为（）A ．25︒B ．30C ．35︒D ．40︒26．（2021·湖南长沙市·中考真题）如图，点A ，B ，C 在⊙O 上，54BAC ∠=︒，则BOC ∠的度数为（）A ．27︒B ．108︒C ．116︒D ．128︒27．（2021·湖北武汉市·中考真题）如图，AB 是O 的直径，BC 是O 的弦，先将BC 沿BC 翻折交AB 于点D ．再将BD 沿AB 翻折交BC 于点E ．若BE DE =，设ABC α∠=，则α所在的范围是（）A ．21.922.3α︒<<︒B ．22.322.7α︒<<︒C ．22.723.1α︒<<︒D ．23.123.5α︒<<︒ 二、填空题28．（2021·黑龙江中考真题）如图，在O 中，AB 是直径，弦AC 的长为5cm ，点D 在圆上，且30ADC ∠=︒，则O 的半径为_____．29．（2021·安徽中考真题）如图，圆O 的半径为1，ABC 内接于圆O ．若60A ∠=︒，75B ∠=︒，则AB =______．30．（2021·湖南张家界市·中考真题）如图，ABC 内接于O ，50A ∠=︒，点D 是BC 的中点，连接OD ，OB ，OC ，则BOD ∠=_________．31．（2021·广东中考真题）在ABC 中，90,2,3ABC AB BC ∠=︒==．点D 为平面上一个动点，45ADB ∠=︒，则线段CD 长度的最小值为_____．32．（2021·江苏宿迁市·中考真题）如图，在Rt⊙ABC 中，⊙ABC =90°，⊙A =32°，点B 、C 在O 上，边AB 、AC 分别交O 于D 、E 两点﹐点B 是CD 的中点，则⊙ABE =__________．33．（2021·江苏南京市·中考真题）如图，AB 是O 的弦，C 是AB 的中点，OC 交AB 于点D ．若8cm,2cm AB CD ==，则O 的半径为________cm ．34．（2021·湖北随州市·中考真题）如图，O 是ABC 的外接圆，连接AO 并延长交O 于点D ，若50C ∠=︒，则BAD ∠的度数为______．35．（2021·江苏连云港市·中考真题）如图，OA 、OB 是O 的半径，点C 在O 上，30AOB ∠=︒，40OBC ∠=︒，则OAC ∠=______︒．36．（2021·四川成都市·中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线33y x =+与O 相交于A ，B 两点，且点A 在x 轴上，则弦AB 的长为_________．37．（2021·江苏扬州市·中考真题）在一次数学探究活动中，李老师设计了一份活动单：“追梦”学习小组通过操作、观察、讨论后汇报：点A 的位置不唯一，它在以BC 为弦的圆弧上（点B 、C 除外），……．小华同学画出了符合要求的一条圆弧（如图1）．（1）小华同学提出了下列问题，请你帮助解决．⊙该弧所在圆的半径长为___________；⊙ABC 面积的最大值为_________；（2）经过比对发现，小明同学所画的角的顶点不在小华所画的圆弧上，而在如图1所示的弓形内部，我们记为A '，请你利用图1证明30BA C '∠>︒；（3）请你运用所学知识，结合以上活动经验，解决问题：如图2，已知矩形ABCD 的边长2AB =，3BC =，点P 在直线CD 的左侧，且4tan 3DPC ∠=． ⊙线段PB 长的最小值为_______；⊙若23PCD PAD S S =，则线段PD 长为________．38．（2021·辽宁本溪市·中考真题）如图，由边长为1的小正方形组成的网格中，点A ，B ，C 都在格点上，以AB 为直径的圆经过点C 和点D ，则tan =ADC ∠________．39．（2021·内蒙古通辽市·中考真题）如图，AB 是⊙O 的弦，AB =C 是⊙O 上的一个动点，且60ACB ∠=︒，若点M ，N 分别是AB ，BC 的中点，则图中阴影部分面积的最大值是__________．40．（2021·湖北襄阳市·中考真题）点O 是ABC 的外心，若110BOC ∠=°，则BAC ∠为______． 41．（2021·湖北恩施土家族苗族自治州·中考真题）《九章算术》被尊为古代数学“群经之首”，其卷九勾股篇记载：今有圆材埋于壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？如图，大意是，今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这木材，锯口深CD 等于1寸，锯道AB 长1尺，问圆形木材的直径是多少？（1尺＝10寸）答：圆形木材的直径___________寸；42．（2021·湖南长沙市·中考真题）如图，在⊙O 中，弦AB 的长为4，圆心O 到弦AB 的距离为2，则AOC ∠的度数为______．43．（2021·湖南怀化市·中考真题）如图，在O 中，3OA =，45C ∠=︒，则图中阴影部分的面积是_________．（结果保留π）三、解答题44．（2021·山东临沂市·中考真题）如图，已知在⊙O 中， AB BC CD ＝＝，OC 与AD 相交于点E ．求证：（1）AD ⊙BC（2）四边形BCDE 为菱形．45．（2021·四川南充市·中考真题）如图，A ，B 是O 上两点，且AB OA =，连接OB 并延长到点C ，使BC OB =，连接AC ．（1）求证：AC 是O 的切线．（2）点D ，E 分别是AC ，OA 的中点，DE 所在直线交O 于点F ，G ，4OA =，求GF 的长． 46．（2021·安徽中考真题）如图，圆O 中两条互相垂直的弦AB ，CD 交于点E ．（1）M 是CD 的中点，OM ＝3，CD ＝12，求圆O 的半径长；（2）点F 在CD 上，且CE ＝EF ，求证：AF BD ⊥．47．（2021·浙江中考真题）如图，已知AB 是⊙O 的直径，ACD ∠是AD 所对的圆周角，30ACD ∠=︒．（1）求DAB ∠的度数；（2）过点D 作DE AB ⊥，垂足为E ，DE 的延长线交⊙O 于点F ．若4AB =，求DF 的长． 48．（2021·四川泸州市·中考真题）如图，ABC 是⊙O 的内接三角形，过点C 作⊙O 的切线交BA 的延长线于点F ，AE 是⊙O 的直径，连接EC（1）求证：ACF B ∠=∠；（2）若AB BC =，AD BC ⊥于点D ，4FC =，2FA =，求AD AE 的值49．（2021·江苏无锡市·中考真题）如图，四边形ABCD 内接于O ，AC 是O 的直径，AC 与BD 交于点E ，PB 切O 于点B ．（1）求证：PBA OBC ∠=∠；（2）若20PBA ，40ACD ∠=︒，求证：OAB CDE ∽．50．（2021·甘肃武威市·中考真题）在《阿基米德全集》中的《引理集》中记录了古希腊数学家阿基米德提出的有关圆的一个引理．如图，已知,AB C 是弦AB 上一点，请你根据以下步骤完成这个引理的作图过程．（1）尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）：⊙作线段AC 的垂直平分线DE ，分别交AB 于点,D AC 于点E ，连接,AD CD ；⊙以点D 为圆心，DA 长为半径作弧，交AB 于点F （,F A 两点不重合），连接,,DF BD BF ．（2）直接写出引理的结论：线段,BC BF 的数量关系．51．（2021·四川广元市·中考真题）如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，AD 是BAC ∠的平分线，以AD 为直径的O 交AB 边于点E ，连接CE ，过点D 作//DF CE ，交AB 于点F ．（1）求证：DF 是O 的切线；（2）若5BD =，3sin 5B ∠=，求线段DF 的长． 52．（2021·四川遂宁市·中考真题）如图，⊙O 的半径为1，点A 是⊙O 的直径BD 延长线上的一点，C 为⊙O 上的一点，AD ＝CD ，⊙A ＝30°．（1）求证：直线AC 是⊙O 的切线；（2）求⊙ABC 的面积；（3）点E 在BND 上运动（不与B 、D 重合），过点C 作CE 的垂线，与EB 的延长线交于点F ． ⊙当点E 运动到与点C 关于直径BD 对称时，求CF 的长；⊙当点E 运动到什么位置时，CF 取到最大值，并求出此时CF 的长．53．（2021·四川广元市·中考真题）如图1，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y ax bx c =++与x 轴分别相交于A 、B 两点，与y 轴相交于点C ，下表给出了这条抛物线上部分点(,)x y 的坐标值：（1）求出这条抛物线的解析式及顶点M 的坐标；（2）PQ 是抛物线对称轴上长为1的一条动线段（点P 在点Q 上方），求AQ QP PC ++的最小值；（3）如图2，点D 是第四象限内抛物线上一动点，过点D 作DF x ⊥轴，垂足为F ，ABD △的外接圆与DF 相交于点E ．试问：线段EF 的长是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．54．（2021·云南中考真题）如图，AB 是O 的直径，点C 是O 上异于A 、B 的点，连接AC 、BC ，点D 在BA 的延长线上，且DCA ABC ∠=∠，点E 在DC 的延长线上，且BE DC ⊥．（1）求证：DC 是O 的切线：（2）若2,33OA BE OD ==，求DA 的长．。

专题37 正多边形和圆-中考数学二轮复习之难点突破+热点解题方法

专题37 正多边形和圆一、单选题1．如图所示，ABC 为O 的内接三角形，2,30AB C =∠=︒，则O 的内接正方形的面积（）A ．2B ．4C ．8D ．16【答案】C【分析】先连接BO ，并延长交⊙O 于点D ，再连接AD ，根据同圆中同弧所对的圆周角相等，可得⊙ADB=30°，而BD 是直径，那么易知⊙ADB 是直角三角形，再利用直角三角形中30°的角所对的边等于斜边的一半，那么可求BD ，进而可知半径的长，任意圆内接正方形都是以两条混响垂直的直径作为对角线的四边形，故利用勾股定理可求正方形的边长，从而可求正方形的面积．【详解】解：连接BO ，并延长交⊙O 于点D ，再连接AD ，如图，⊙⊙ACB=30°，⊙⊙BDA=30°，⊙BD 是直径，⊙⊙BAD=90°，在Rt⊙ADB 中，BD=2AB=4，⊙⊙O 的半径是2，⊙⊙O 的内接正方形是以两条互相垂直的直径为对角线的，⊙正方形的边长=⊙S 正方形=8=．【点睛】本题考查了圆周角定理、含有30角的直角三角形的性质，解题的关键是作辅助线，构造直角三角形． 2．如图，在一张正六边形纸片中剪下两个全等的直角三角形（阴影部分），拼成一个四边形，若拼成的四边形的周长为12，则纸片的剩余部分拼成的五边形的面积为（）A ．B ．C ．8D ．16【答案】B【分析】由题可知，求解剩余部分拼成的五边形的面积，需要利用Rt⊙OBC ，求解正六边形面积和两个直角三角形面积；最后正六边形面积减去两倍Rt⊙OBC 的面积即可．【详解】依题意，如图，根据题意得：⊙BOC ＝30°，设BC ＝x ，则OB ＝2x ，OC =， ⊙2（x +2x ）＝12，解得x ＝2，⊙OC ＝⊙ 11222OBC S BC OC ∆=⨯⨯=⨯⨯=⊙ 正六边形的面积＝1212OBC S ∆⨯=⨯=⊙ 拼成一个四边形的面积为：2OBC S ∆⨯=⊙纸片的剩余部分拼成的五边形的面积为：=故选：B ．本题考查正六边形的性质及面积求法，重点在于利用正六边形分解成12个全等直角三角形的方法． 3．如图，两个正六边形ABCDEF 、EDGHIJ 的顶点A 、B 、H 、I 在同一个圆上，点P 在ABI 上，则tan⊙API 的值是（）A ．B ．C ．2D ．1【答案】A【分析】连接AE ，EI ，AH ，过点J 作JM ⊙EI 于M ，证明90AIH ∠=︒，设HI JI JE a ===，求出AI 即可．【详解】解：如图，连接AE ，EI ，AH ，过点J 作JM ⊙EI 于M ．⊙ABCDEF 是正六边形，⊙⊙DEF ＝⊙F ＝120°，⊙F A ＝FE ，⊙⊙FEA ＝⊙F AE ＝30°，⊙⊙AED ＝90°，同法可证，⊙DEI ＝⊙EIH ＝90°，⊙⊙AED +⊙DEI ＝180°，⊙A ，E ，I 共线，设HI JI JE a ===，⊙JM ⊙EI ，⊙EM ＝MI， ⊙AI ＝2EI ＝a ，⊙⊙API ＝⊙AHI ，⊙tan⊙API ＝tan⊙AHI ＝AI HI＝a= 故选：A ．【点睛】本题考查了正多边形和圆，解直角三角形，圆周角定理等知识，解题关键是正确添加辅助线，构造直角三角形解决问题．4，这个正六边形的面积为（）A ．12B．C．D．【答案】B【分析】根据正六边形的特点，通过中心作边的垂线，连接半径，结合解直角三角形的有关知识解决．【详解】解：如图，连接OA 、OB ；过点O 作OG ⊙AB 于点G ．在Rt⊙AOG 中，OG =⊙AOG ＝30°，⊙OG ＝OA •cos 30°， ⊙OA 30OG cos ===︒2，⊙这个正六边形的面积＝6S ⊙OAB ＝612⨯⨯2=．故选：B【点睛】此题主要考查正多边形和圆，根据题意画出图形，再根据正多边形的性质及锐角三角函数的定义解答即可．5．已知⊙O的半径是2，一个正方形内接于⊙O，则这个正方形的边长是（）A．B．2C D．4【答案】A【分析】利用正方形的性质结合勾股定理可得出正方形的边长．【详解】解：如图所示：⊙⊙O的半径为2，四边形ABCD是正方形，⊙OA＝OB＝2，⊙AOB＝90°，⊙AB＝=故选：A．【点睛】此题主要考查了正多边形和圆，熟练掌握正方形的性质是解题的关键．6．将一枚飞镖投掷到如图所示的正六边形镖盘上，飞镖落在白色区域的概率为（）A ．12B ．25C ．35D ．23【答案】A【分析】算出白色区域的面积与整个图形的面积之比即为所求概率．【详解】解：如图，过点A 作AG BF ⊥于点G⊙ 六边形ABCDEF 为正六边形，⊙BAF=120∠︒，=60FAG ∠︒设正六边形的边长为a，则22aAG FG ==⨯=，BF=2⊙空白部分的面积为：13322ABF a S S ==⨯⨯=△空白正六边形的面积为：226S ==六⊙飞镖落在白色区域的概率为：12S P S ==空白六故选：A【点睛】本题考查概率的求解，确定白色区域面积占整个图形面积的占比是解题的关键．7．已知正六边形ABCDEF内接于O，若O的直径为2，则该正六边形的周长是（）A．12B．C．6D．【答案】C【分析】如图，连接OA、OB，由正六边形ABCDEF内接于O可得⊙AOB=60°，即可证明⊙AOB是等边三角形，根据O直径可得OA的长，进而可得正六边形的周长．【详解】如图，连接OA、OB，⊙O的直径为2，⊙OA=1，⊙正六边形ABCDEF内接于O，⊙⊙AOB=60°，⊙OA=OB，⊙⊙AOB是等边三角形，⊙AB=OA=1，⊙该正六边形的周长是1×6=6，故选：C．【点睛】本题考查正多边形和圆，正确得出⊙AOB=60°是解题关键．8．若正六边形的半径长为6，则它的边长等于（）A．6B．3C．D．【答案】A【分析】根据正六边形的外接圆半径和正六边形的边长将组成一个等边三角形，即可求解．【详解】正六边形的中心角为360660，那么外接圆的半径和正六边形的边长将组成一个等边三角形，故正六边形的外接圆半径等于6，则正六边形的边长是6．故选：A．【点睛】此题主要考查了正多边形和圆，利用正六边形的外接圆半径和正六边形的边长将组成一个等边三角形得出是解题关键．9．如图，AB，AC分别为O的内接正三角形和内接正四边形的一边，若BC恰好是同圆的一个内接正n边形的一边，则n的值为（）A ．8B ．10C ．12D ．14【答案】C【分析】连接OB ，OC ，OA ，根据圆内接正三角形，正方形可求出AOB ∠，AOC ∠的度数，进而可求BOC ∠的度数，利用360BOC n︒∠=，即可求得答案．【详解】如图：连接OB ，OC ，OA ，ABE △为圆内接正三角形3601203AOB ︒∴∠==︒ 四边形ACDF 为圆内接正方形 360904AOC ︒∴∠==︒ 1209030BOC AOB AOC ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒ 若以BC 为边的圆内接正n 边形，则有36030BOC n ︒∠==︒ 12n ∴=故选：C ．【点睛】本题考查了圆内接正多边形中心角的求法，熟练掌握圆内接正多边形的中心角等于360n︒（n 为正多边形的边数）是解题关键．10．如图，圆内接正方形的边长为2，以其各边为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为（）A．4B．24π-C．2πD．2π+【答案】A【分析】设正方形的中心为O，连接OA，OB首先求出其长度，再根据阴影部分面积等于四个直径为2的半圆面积之和加上一个边长为2的圆的面积求解即可．【详解】解：设正方形的中心为O，连接OA，OB，由题意可得OA=OB，⊙AOB=90°，AB=2⊙在Rt⊙AOB中，⊙2221=42424 22ABS AB OAππππ⎛⎫⨯⨯+-⨯=+-=⎪⎝⎭阴影故选：A【点睛】本题考查正多边形和圆，勾股定理，正方形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．11．如图，螺母的外围可以看作是正六边形ABCDEF，己知这个正六边形的半径是2，则它的周长是（）A．B．C．12D．24【答案】C【分析】如图，先求解正六边形的中心角AOB ∠，再证明AOB 是等边三角形，从而可得答案．【详解】解：如图，O 为正六边形的中心，,OA OB 为正六边形的半径，1360606AOB ∴∠=⨯︒=︒，2OA OB ==，AOB ∴为等边三角形，2AB ∴=，∴ 正六边形ABCDEF 的周长为62=12.⨯故选：.C【点睛】本题考查的是正多边形与圆，正多边形的半径，中心角，周长，掌握以上知识是解题的关键．12．如图，有一个半径为4cm 的圆形纸片，若在该纸片上沿虚线剪一个最大正六边形纸片，则这个正六边形纸片的边心距是（）．AB ．2cmC ．D ．4cm【答案】C【分析】连接OA 、OB ，根据圆内接正六边形的性质得到⊙AOB 是等边三角形，作OC⊙AB 于C ，求得⊙AOC=30，由OA=4cm ，得到AC=2cm ，根据勾股定理求出=．【详解】如图，连接OA、OB，则⊙AOB是等边三角形，作OC⊙AB于C，⊙⊙AOB是等边三角形，⊙⊙OAB=60︒，⊙⊙AOC=30，⊙OA=4cm，⊙AC=2cm，=，故选：C．．【点睛】此题考查圆内接正六边形的性质，等边三角形的性质，勾股定理，直角三角形30度角所对的直角边等于斜边的一半的性质，熟记圆内接正六边形的性质是解题的关键．13．如图，正六边形ABCDEF内接于O，连接AC，则BAC∠的度数是（）A．60︒B．50︒C．40︒D．30【答案】D【分析】连接BO、CO，根据正六边形的性质可求⊙BOC，再根据圆周角的性质可求BAC∠．【详解】解：连接BO、CO，在正六边形ABCDEF中，⊙BOC=3606︒=60°，⊙⊙BAC=12⊙BOC=30°，故选：D ．【点睛】本题考查了正六边形的性质和圆周角的性质，连接半径，求圆心角是解题关键．14．如图，正ABC 内接于半径是1的圆，则阴影部分的面积是（）A ．4π-B ．4π-C ．2π-D ．2π- 【答案】A【分析】设该圆的圆心为O ，连接OA 、OB ，延长AO 交BC 于点D ，根据题意可知：O 为ABC 的中心，OA=OB=1，⊙ABC=60°从而求出⊙1，然后根据30°所对的直角边是斜边的一半和勾股定理即可求出OD 和BD ，然后根据垂径定理求出BC ，最后根据S 阴影=S 圆－S ⊙ABC 即可求出结论．【详解】解：设该圆的圆心为O ，连接OA 、OB ，延长AO 交BC 于点D ，⊙正ABC内接于半径是1的圆，⊙O为ABC的中心，OA=OB=1，⊙ABC=60°⊙⊙1=12⊙ABC=30°，AD⊙BC在Rt⊙ODB中，OD=12OB=12，=⊙AD=OA＋OD=32，⊙S阴影=S圆－S⊙ABC=21π－12 BC·AD=π－4故选A．【点睛】此题考查的是正多边形与圆、垂径定理、等边三角形的性质和直角三角形的性质，掌握正多边形中心的性质、垂径定理、等边三角形的性质和直角三角形的性质是解题关键．15．公元3世纪，刘徽发现可以用圆内接正多边形的周长近似地表示圆的周长．如图所示，他首先在圆内画一个内接正六边形，再不断地增加正多边形的边数；当边数越多时，正多边形的周长就越接近于圆的周长．刘徽在《九章算术》中写道：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣．”我们称这种方法为刘徽割圆术，它开启了研究圆周率的新纪元．小牧通过圆内接正n边形，使用刘徽割圆术，得到π的近似值为（）A ．360sin 2n n ︒⋅B ．3602sin n n ︒⋅C ．3602sin 2n n ︒⋅D ．360sin n n︒⋅ 【答案】A【分析】如详解图，先利用三角函数的知识把正n 边形的边长用含有n 的式子表达出来，求解出正n 边形的周长，再利用正n 边形的周长无限接近圆的周长即可求解．【详解】如图：36012n︒∠= ， 360sin 2a b n︒= 360sin 2a b n︒=，则正n 边形的周长为：36022sin 2L an bn n︒== ，圆的周长为：2L b π=，由圆的内接正n 边形的周长无限接近圆的周长可得：3602sin22bn b n π︒≈ 整理得：360sin2n nπ︒≈ 故选：A ．【点睛】本题考查了极限的思想，抓住圆内接正n 边形的周长无限接近圆的周长是解题关键．16．如图，O 的内接正六边形ABCDEF 的边长为1，则BC 的长为（）A ．14πB ．13π C ．23π D ．π【答案】B【分析】如图（见解析），先根据圆内接正六边形的性质求出中心角60BOC ∠=︒，再根据等边三角形的判定与性质可得1OB OC BC ===，然后利用弧长公式即可得．【详解】如图，连接OB 、OC ，由题意得：1BC =，正六边形ABCDEF 是O 的内接正六边形，∴中心角360606BOC ︒∠==︒，又OB OC =， BOC ∴是等边三角形，1OB OC BC ∴===，则BC 的长为60111803ππ⨯=，故选：B ．【点睛】本题考查了圆内接正六边形的性质、弧长公式等知识点，熟练掌握圆内接正六边形的性质是解题关键．17．如图，⊙O与正六边形OABCDE的边OA、OE分别交于点F、G，点M为劣弧FG的中点．若FM＝，则⊙O的半径为（）A．2B C．D．【答案】C【分析】连接OM，根据正六边形OABCDE和点M为劣弧FG的中点，可得⊙OFM是等边三角形，进而可得⊙O的半径．【详解】解：如图，连接OM，⊙正六边形OABCDE，⊙⊙FOG＝120°，⊙点M为劣弧FG的中点，⊙⊙FOM＝60°，OM＝OF，⊙⊙OFM是等边三角形，⊙OM＝OF＝FM＝则⊙O的半径为．故选：C．【点睛】本题考查正多边形与圆，解题的关键是学会添加常用辅助线．18．如图，正方形ABCD 和正三角形AEF 内接于O ，DC 、BC 交EF 于G 、H ，若正方形ABCD 的边长是4，则GH 的长度为( )A ．B ．CD 【答案】A【分析】连接AC 交EF 于M ，连接OF ，根据正方形的性质、等边三角形的性质及等腰三角形的性质即可求解．【详解】解：连接AC 交EF 于M ，连接OF ，四边形ABCD 是正方形，90B ∴∠=︒，AC ∴是O 的直径，ACD ∴∆是等腰直角三角形，AC ∴==OA OC ∴==AEF ∆是等边三角形，AM EF ∴⊥，30OFM ∠=︒，12OM OF ∴==CM ∴=45ACD ∴∠=︒，90CMG ∠=︒，45CGM ∴∠=︒，CGH ∴∆是等腰直角三角形，2GH CM ∴==故选：A ．【点睛】本题考查正多边形与圆的关系，涉及到特殊锐角三角函数值、正方形的性质、等边三角形的性质及等腰三角形的性质，解题的关键是综合运用所学知识．19．如图，圆内接正八边形的边长为1，以正八边形的一边AB 作正方形ABCD ，将正方形ABCD 绕点B 顺时针旋转，使AB 与正八边形的另一边BC '重合，则正方形ABCD 与正方形A BC D '''重叠部分的面积为（）A 1B ．12CD 【答案】A【分析】先计算出正八边形的内角⊙ABC′=135°，再利用旋转的性质得⊙ABC=⊙A′BC′=90°，⊙BA′D′=⊙BAD=90°，所以⊙ABA′=135°-90°=45°，则延长BA′过点D ，如图，然后利用正方形ABCD 与正方形A′BC′D′重叠部分的面积=S ⊙BDC -S ⊙DA′E 进行计算．【详解】正八边形的内角(82)1801358ABC ︒'︒-⨯∠==，正方形ABCD 绕点B 顺时针旋转，使BC 与正八边形的另一边BC '重合，90,90ABC A BC BA D BAD ∴∠=∠''=︒∠''=∠=︒．1359045ABA ∴∠'=︒-︒=︒．如解图，延长BA '至点D ，DC 与A D ''相交于点E ，,,11AB A B AB BD =∴'==='1A D ∴=．⊙正方形ABCD 与正方形A BC D '''重叠部分的面积11111)1)122BDC DA E S S '=-=⨯⨯-⨯⨯= 故选：A ．【点睛】本题考查正多边形与圆，把一个圆分成n 等分，依次连接各点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，也考查了正方形和正八边形的性质．20．如图，正六边形ABCDEF 内接于O ，过点O 作OM ⊥弦BC 于点M ，若O 的半径为4，则弦心距OM 的长为（）A ．BC ．2D ．【答案】A【分析】如图，连接OB 、OC ．首先证明⊙OBC 是等边三角形，求出BC 、BM ，根据勾股定理即可求出OM ．【详解】解：如图，连接OB 、OC ．⊙ABCDEF是正六边形，⊙⊙BOC=60°，OB=OC=4，⊙⊙OBC是等边三角形，⊙BC=OB=OC=4，⊙OM⊙BC，⊙BM=CM=2，在Rt⊙OBM中，2222OM OB BM=-=-=，4223故选：A．【点睛】本题考查正多边形与圆、等边三角形的性质、勾股定理、弧长公式等知识，解题的关键是记住等边三角形的性质，弧长公式，属于基础题，中考常考题型．21．如图，⊙O是正方形ABCD与正六边形AEFCGH的外接圆．则正方形ABCD与正六边形AEFCGH的周长之比为（）A．⊙ 3B C D．【答案】A【分析】计算出在半径为R的圆中，内接正方形和内接正六边形的边长即可求出．【详解】解：设此圆的半径为R，R ，它的内接正六边形的边长为R ，内接正方形和内接正六边形的周长比为：R ：6R ＝．故选：A ．【点睛】本题考查了正多边形和圆，找出内接正方形与内接正六边形的边长关系，是解决问题的关键．22．如图，正五边形ABCDE 和等边AFG 内接于O ，则GFD ∠的度数是（）A ．10︒B ．12︒C ．15︒D ．20︒【答案】B【分析】如图（见解析），先根据正五边形的内角和定理与性质可得108ABC BCD ∠=∠=︒，BC CD =，再根据三角形的内角和定理、等腰三角形的性质可得36CBD ∠=︒，从而可得72ABD ∠=︒，然后根据圆周角定理可得72AFD ABD ∠=∠=︒，最后根据等边三角形的性质可得60AFG =︒∠，据此即可得出答案．【详解】如图，连接BD ，五边形ABCDE 是正五边形，()521801085ABC BCD -⨯︒∴∠=∠==︒，BC CD =， 1(180)362CBD CDB BCD ∴∠=∠=︒-∠=︒， 72ABD ABC CBD ∴∠=∠-∠=︒，由圆周角定理得：72AFD ABD ∠=∠=︒，又AFG 是等边三角形，60AFG ∴∠=︒，726012GFD AFD AFG ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒，故选：B ．【点睛】本题考查了正五边形的内角和与性质、等腰三角形和等边三角形的性质、圆周角定理等知识点，通过作辅助线，利用到圆周角定理是解题关键．23．如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正六边形OABCDE 绕点O 顺时针旋转i 个45°，得到正六边形i i i i i OA B C D E ，则正六边形(2020)i i i i i OA B C D E i =的顶点i C 的坐标是（）A ．(1,B ．C ．(1,2)-D ．(2,1)【答案】A【分析】如图，以O 为圆心，OC 为半径作,O 得到将边长为1的正六边形OABCDE 绕点O 顺时针旋转i 个45°，即把OC 绕点O 顺时针旋转i 个45°，2020C 与4C 重合，利用正六边形的性质与锐角三角函数求解C 的坐标，利用4,C C 关于原点成中心对称，从而可得答案．【详解】解：如图，以O 为圆心，OC 为半径作,O将边长为1的正六边形OABCDE 绕点O 顺时针旋转i 个45°，即把OC 绕点O 顺时针旋转i 个45°，C 旋转后的对应点依次记为12,...C C ， 1周角＝360,︒OC ∴绕点O 顺时针旋转顺时针旋转8次回到原位置，20208252...4,÷=2020C ∴与4C 重合，4,C C 关于原点成中心对称，连接,CE正六边形OABCDE ，,120.DC DE CDE DEO EOA ∴=∠=∠=∠=︒30,90,60,DEC CEO COE ∴∠=︒∠=︒∠=︒1,OE =tan tan 60CE COE OE∴∠=︒==CE ∴= (,C ∴- 4,C C 关于原点成中心对称，((420201,,1,.C C ∴故选A ．【点睛】本题考查的是旋转的旋转，正六边形的性质，圆的对称性，锐角三角函数，掌握以上知识是解题的关键． 24．设边长为a 的等边三角形的高、内切圆的半径、外接圆的半径分别为h 、r 、R ，则下列结论不正确．．．的是（）A ．h R r =+B ．2R r =C ．4r a =D ．3R a = 【答案】C【分析】将图形标记各点,即可从图中看出长度关系证明A 正确,再由构造的直角三角形和30°特殊角证明B 正确,利用勾股定理求出r 和R,即可判断C 、D ．【详解】如图所示,标上各点⊙AO 为R⊙OB 为r ⊙AB 为h，从图象可以得出AB=AO+OB⊙即h R r =+⊙A 正确⊙⊙三角形为等边三角形⊙⊙⊙CAO=30°⊙根据垂径定理可知⊙ACO=90°⊙⊙AO=2OC⊙即R=2r ⊙B 正确⊙在Rt⊙ACO 中，利用勾股定理可得⊙AO 2=AC 2+OC 2⊙即22212R a r ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭⊙由B 中关系可得⊙()222122r a r ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，解得6=r a ⊙则3R a =⊙所以C 错误，D 正确；故选：C ．【点睛】本题考查圆与正三角形的性质结合,关键在于巧妙利用半径和构建直角三角形．25．如图，在边长为1的正六边形ABCDEF 中，M 是边DE 上一点，则线段AM 的长可以是（）A ．1.4B ．1.6C ．1.8D ．2.2【答案】C【分析】连接AE，AD，过点F作FH⊙AE于点H，则AM的长介于AE和AD之间，分别求出AE，AD的长，再结合选项即可得到问题答案．【详解】解：连接AE，AD，，过点F作FH⊙AE于点H，⊙多边形ABCDEF是正六边形，⊙⊙AFE=⊙DEF=(6-2) ×180°÷6=120°，⊙⊙FEH=30°，⊙AEM=90°，⊙HF=12AF=12，=，＜AM＜2，故选：C．【点睛】本题考查了正多边形，以及勾股定理等知识，熟记和正多边形有关的各种性质以及正确的添加出图形的辅助线是解题的关键．26．如图，圆内接正六边形的边长为4，以其各边为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为（）A ．4πB ．4πC ．8πD ．4π 【答案】A【分析】正六边形的面积加上六个小半圆的面积，再减去中间大圆的面积即可得到结果．【详解】解：正六边形的面积为：1462⨯⨯=，六个小半圆的面积为：22312ππ⋅⨯=，中间大圆的面积为：2416ππ⋅=，所以阴影部分的面积为：12164πππ+-=-，故选：A ．【点睛】本题考查了正多边形与圆，圆的面积的计算，正六边形的面积的计算，正确的识别图形是解题的关键． 27．如图，AB 是O 的直径，O 的半径为2，AD 为正十边形的一边，且//AD OC ，则劣弧BC 的长为（）A ．πB ．32πC ．43πD ．65π 【答案】D【分析】利用正十边形的中心角求法得⊙AOD=36º，再根据等腰三角形的性质及由平行线的性质求得⊙AOC 的度数，进而求得⊙BOC ，然后用弧长公式求解即可．【详解】⊙AD 为正十边形的一边， ⊙⊙AOD=36010=36º， ⊙OA=OD ， ⊙⊙OAD=⊙ODA=180362-=72º， ⊙AD⊙OC ，⊙⊙AOC=⊙OAD=72º，⊙⊙BOC=180º-⊙AOC=180º-72º=108º，⊙劣弧BC 的长为108261805ππ⨯=，故选D ．【点睛】本题考查了正多边形的中心角、圆的定义、等腰三角形的性质、平行线的性质、弧长公式，熟练掌握基本图形的性质，会利用弧长公式求解弧长是解答的关键．二、填空题28．公元263年左右，我国数学家刘徽发现当正多边形的边数无限增加时，这个正多边形面积可无限接近它的外接圆的面积，因此可以用正多边形的面积来近似估计圆的面积，如图，O 是正十二边形的外接圆，设正十二边形的半径OA 的长为1，如果用它的面积来近似估计O 的面积，那么O 的面积约是___．【答案】3【分析】设AB 为正十二边形的边，连接OB ，过A 作AD OB ⊥于D ，由正十二边形的性质得出30AOB ∠=，由直角三角形的性质得出1122AD OA ==，求出AOB 的面积1124OB AD ⨯==，即可得出答案．【详解】解：设AB 为正十二边形的边，连接OB ，过A 作AD OB ⊥于D ，如图所示：3601130,,1222AOB AD OB AD OA ∠∴==⊥∴==， AOB ∴的面积111112224OB AD =⨯=⨯⨯= ∴正十二边形的面积11234=⨯=， O ∴的面积≈正十二边形的面积3=，故答案为：3．【点睛】本题考查了正多边形和圆、正十二边形的性质、直角三角形的性质以及三角形面积等知识；熟练掌握正十二边形的性质是解题的关键．29．如图，在正五边形ABCDE 中，AC 为对角线，以点A 为圆心，AE 为半径画圆弧交AC 于点F ，连结EF ，则⊙1的度数为__．【答案】54°【分析】根据五边形的内角和公式求出⊙ABC ，根据等腰三角形的性质，三角形内角和的定理计算⊙BAC ，再求⊙EAF ，利用圆的性质得AE=AF ，最后求出⊙1即可．【详解】解：⊙五边形ABCDE 是正五边形，⊙⊙EAB ＝⊙ABC ＝()5-21805⨯︒＝108°， ⊙BA ＝BC ，⊙⊙BAC＝⊙BCA＝180-1082︒︒＝36°，⊙⊙EAF＝108°﹣36°＝72°，⊙以点A为圆心，AE为半径画圆弧交AC于点F，⊙AE＝AF，⊙⊙1＝180-722︒︒＝54°．故答案为：54°．【点睛】本题考查了正多边形的内角与圆，熟练掌握正多边形的内角的计算公式、和圆的性质，等腰三角形的性质是解题的关键．30．如图，有一个圆O和两个正六边形T1，T2．T1的6个顶点都在圆周上，T2的6条边都和圆O相切(我们称T1，T2分别为圆O的内接正六边形和外切正六边形)．若设T1，T2的边长分别为a，b，圆O的半径为r，则r：a=____；r：b=____；正六边形T1，T2的面积比S1：S2的值是____．【答案】1：1 2 3：4【分析】根据圆内接正六边形的边长等于它的半径可得r与a比值，在由圆的半径和正六边形的半边及正六边形对角线的一半组成的直角三角形中，根据锐角三角函数即可求得r与b的比值；根据相似多边形的面积比是相似比的平方，由r：a与r：b 可求a：b，继而即可求解．【详解】连接OE，OG，OF，⊙EF=a，T1为正六边形，⊙⊙OEF为等边三角形，OE为圆O的半径r，⊙a：r=1：1，即r：a=1：1⊙，由题意可知：OG为⊙FOE的平分线，即⊙EOG=12⊙EOF=30°，在Rt⊙OEG中，OE=r，OG=b，⊙OE OG =r b=cos⊙EOG=cos30°，即r b⊙r ：2⊙，⊙由⊙⊙得，a ：2，且两个正六边形T 1，T 2相似，⊙S 1：S 2=a 2：b 2=3：4，故答案为：1：12；3：4．【点睛】本题考查正多边形与圆的有关知识，解题的关键是学会构造由正多边形半径，边心距、半边组成的直角三角形，掌握锐角三角函数，注意相似多边形的面积比即是相似比的平方．31．如图，正六边形ABCDEF 的边长为2，以点A 为圆心，AB 的长为半径，作扇形ABF ，则图中阴影部分的面积为_____（结果保留根号和π）．【答案】43π 【分析】设正六边形的中心为点O ，连接OD 、OE ，作OH⊙DE 于H ，根据正多边形的中心角公式求出⊙DOE ，求出OH 和正六边形ABCDEF 的面积，再求出⊙A ，利用扇形面积公式求出扇形ABF 的面积，即可得出结果．【详解】解：设正六边形的中心为点O ，连接OD 、OE ，作OH⊙DE 于H ，如图所示：⊙DOE ＝3606︒＝60°， ⊙OD ＝OE ＝DE ＝2，⊙OH⊙正六边形ABCDEF 的面积＝12＝ ⊙A ＝()621801206-⨯︒=︒， ⊙扇形ABF 的面积2120243603ππ⨯==，⊙图中阴影部分的面积43π=，故答案为：43π．【点睛】本题考查的是正多边形和圆、扇形面积计算，掌握正多边形的中心角、内角的计算公式、扇形面积公式是解题的关键．32．如图，等边⊙ABC 内接于⊙O ，BD 为⊙O 内接正十二边形的一边，CD=等于_________．【答案】252542π- 【分析】首先连接OB，OC，OD，由等边⊙ABC内接于⊙O，BD为内接正十二边形的一边，可求得⊙BOC，⊙BOD 的度数，则证得⊙COD是等腰直角三角形，并利用勾股定理求得圆的半径，最后利用S阴影=S扇形OCD-S⊙OCD 进行计算后即可得出答案．【详解】解：连接OB，OC，OD，⊙等边⊙ABC内接于⊙O，BD为内接正十二边形的一边，⊙⊙BOC＝13×360°＝120°，⊙BOD＝112×360°＝30°，⊙⊙COD＝⊙BOC−⊙BOD＝90°，⊙OC＝OD，⊙⊙OCD＝45°，⊙OC2+ OD2＝CD2．即2OC2=50，⊙OC=5，⊙S阴影=S扇形OCD-S⊙OCD=90251252555360242ππ-⨯⨯=-．故答案为：2525 42π-．【点睛】此题考查了正多边形与圆、扇形面积的计算等知识，掌握辅助线的作法以及数形结合思想的应用是解题的关键．三、解答题33．已知：如图，A为⊙O上一点；求作：⊙O的内接正方形ABCD．【答案】见解析【分析】先作直径AC，再过O点作AC的垂线交⊙O于D、B，然后连接AB、AD、CD、CB即可．【详解】解：如图，四边形ABCD为所作．【点睛】本题考查了作图——复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．的余角34．如图，正五边形ABCDE内接于O，P为DE上的一点（点P不与点,D E重合），求CPD的度数．【答案】54°【分析】连接OC，OD．求出⊙COD的度数，再根据圆周角定理即可解决问题．【详解】如图，连接,OC OD．⊙五边形ABCDE是正五边形，⊙360725COD︒∠==︒，⊙1362CPD COD∠=∠=︒，⊙90°-36°=54°，⊙CPD∠的余角的度数为54°．【点睛】本题考查了正多边形和圆、圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．35．如图1，等边ABC内接于⊙O，连接CO并延长交⊙O于点D．（1）可以证明CD垂直平分AB，写出AD与DB的数量关系：___．（2）请你仅使用无刻度的直尺按要求作图：⊙在图1中作出一个正六边形，保留作图痕迹（作图过程用虚线表示，作图结果用实线表示）．⊙请在图2中作出⊙O的内接正六边形ADBECF的一条不经过顶点的对称轴，保留作图痕迹(作图过程用虚线表示，作图结果用实线表示）．【答案】（1）AD DB=；（2）⊙见解析，⊙见解析【分析】（1）结合外心的定义和等边三角形的性质推断出CD垂直平分AB，从而利用垂径定理得出结论即可；（2）⊙结合（1）的结论，可直接连接AO，BO，分别延长与圆相交，再顺次连接各交点即可；⊙如图，延长AF，EC，交于一点，此时可构成等边三角形，从而连接交点与圆心的直线即为所求的对称轴．【详解】（1）AD DB=，⊙O为三角形的外心，⊙O为三角形三边中垂线的交点，又⊙三角形为等边三角形，⊙可得CD垂直平分AB，根据垂径定理可得：AD DB=；（2）⊙如图所示，在（1）的基础之上，连接AO，并延长至E，连接BO，并延长至F，顺次连接圆周上各点即可；⊙如图所示：（方法不唯一）【点睛】本题主要考查复杂作图，以及正多边形与圆之间的关系，熟练掌握正多边形的性质是解题关键．36．如图M、N分别是⊙O的内接正三角形ABC、正方形ABCD、正五边形ABCDE、…、正n边形ABCDEFG…的边AB、BC上的点，且BM＝CN，连接OM、ON（1）求图1中⊙MON 的度数（2）图2中⊙MON 的度数是，图3中⊙MON 的度数是（3）试探究⊙MON 的度数与正n 边形边数n 的关系是____【答案】（1）120︒；（2）90︒，72︒；（3）360MON n︒∠=．【分析】（1）如图（见解析），先根据圆内接正三角形的性质可得3603120BOC ，再根据圆内接正三角形的性质可得30OBM OCN ∠=∠=︒，然后根据三角形全等的判定定理与性质可得BOM CON ∠=∠，最后根据角的和差、等量代换即可得；（2）如图（见解析），先根据圆内接正方形的性质可得360904BOC ︒∠==︒，再根据（1）同样的方法可得90MON BOC ∠=∠=︒；先根据圆内接正五边形的性质可得中心角360725BOC ︒∠==︒，再根据（1）同样的方法可得72MON BOC ∠=∠=︒；（3）根据（1）、（2）归纳类推出一般规律即可得．【详解】（1）如图，连接OB 、OC ，则OC OB =，ABC 是O 内接正三角形，∴中心角3603120BOC， ⊙点O 是O 内接正三角形ABC 的内心，⊙1130,3022OBM ABC OCN ACB ∠=∠=︒∠=∠=︒， ⊙OBM OCN ∠=∠，在OMB △和ONC 中，BM CN OBM OCN OB OC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，。

2021年全国中考数学真题分类汇编--圆：与圆的有关性质(试卷版)

AB 4 （3）在（2）的条件下，当 BAC = 36时，求线段 CE 的长．
6. （2021•山东省临沂市）如图，已知在⊙O 中，＝＝，OC 与 AD 相交于点 E．求证：（1）AD∥BC；（2）四边形 BCDE 为菱形．
（1）求 sin AOQ 的值；（2）求 AM 值；
MN
的（3）令 ME = x ，QD = y ，直径 AB = 2R（ R 0 ，R 是常数），求 y 关于 x 的函数解析
式，并指明自变量 x 的取值范围．
． 4. （2021•江苏省苏州市）如图，四边形 ABCD 内接于⊙O，∠1＝∠2，使得 CE＝AB，连接
E，若 OE = 3， OB = 5 ，则 CD 的长度是（）
A. 9.6
B. 4 5
C. 5 3
D. 19
18. （2021•浙江省金华市）如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，以该三角形的三条边为
边向形外作正方形，正方形的顶点 E，F，G，H，M，N 都在同一个圆上．记该圆面积为 S1，
4.（2021•长沙市）如图，在⊙O 中，弦 AB 的长为 4，圆心 O 到弦 AB 的距离为 2，则 AOC
的度数为______．
5. （2021•江苏省连云港）如图，OA 、OB 是 O 的半径，点 C 在 O 上，AOB = 30 ， OBC = 40 ，则 OAC = ______ ．
6. （2021•江苏省南京市）如图，AB 是 O 的弦，C 是 AB 的中点，OC 交 AB 于点 D．若 AB = 8cm,CD = 2cm ，则 O 的半径为________ cm ．
数为（）
A．18°
B．21°
C．22.5°
D．30°

人教版九年级上册数学精品教学课件第二十四章圆圆的有关性质垂直于弦的直径

r－1.∵OE⊥AB，∴AF＝12 AB＝12 ×3＝1.5.在
Rt△OAF 中，OF2＋AF2＝OA2，即(r－1)2＋1.52
＝r2，解得 r＝13 ，即⊙O 的半径为 13 m
8
8
课堂小结
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的垂两条弧. 径垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，定并且平分弦所对的两条弧. 理方法规律：利用垂径定理解决问题，通常是根据题意作
∴直径CD所在的直线是AB的垂ห้องสมุดไป่ตู้平分线.
O
∴对于圆上任意一点，在圆上都有关于直
E A
B 线CD的对称点，即⊙O关于直线CD对称.
D
圆是轴对称图形，任何一条直径所
在直线都是圆的对称轴.
知识点2 垂径定理及其推论
显然，由上面的证明可知，如果⊙O的直径CD垂直于弦AB,垂足为E，那么点A、B是关于CD所在直线的对称点，则AE=BE.把⊙O 沿CD对折时，A⌒D与B⌒D重合，即
圆有无数条对称轴，
每一条对称轴都是
直径所在的直线.
O
如何来证明圆是轴对称图形呢？
满足什么条件才能证明已知：在⊙O中，CD是直圆径是，轴对A称B是图弦形，呢？CD⊥AB，垂足为E．
C
O
E A
B
D
思考
左图是轴对称图形吗？大胆猜想
是轴对称图形．
证明：连结OA、OB.
C
则OA＝OB．
又∵CD⊥AB，
如果一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫轴对称图形．
线段
角
矩形
菱形
正方形
等腰梯形
等腰三角形

人教版六年级上数学《圆》课堂笔记

《圆》课堂笔记
以下是整理的关于人教版六年级数学《圆》的课堂笔记：
一、圆的认识
1.圆的概念：圆是由曲线围成的封闭图形，它可以看作是所有到
定点（圆心）的距离等于定长（半径）的点的集合。

2.圆心：圆的中心点叫做圆心，用字母“O”表示。

3.半径：连接圆心和圆上任意一点的线段叫做半径，用字母“r”
表示。

4.直径：通过圆心且两个端点都在圆上的线段叫做直径，用字母“d”表示。

5.半径与直径的关系：在同一个圆中，直径是半径的2倍，即d=2r。

二、圆的周长
1.圆的周长的概念：圆的周长是围成圆的曲线的长度，用字母“C”
表示。

2.周长公式：圆的周长等于2π乘以半径，即C=2πr。

其中π
是一个特殊的数，约等于3.14159。

3.圆周率：圆的周长与直径的比值叫做圆周率，用字母“π”表示。

4.周长的推导公式：根据周长公式和圆的直径与半径的关系，可
以推导出周长公式C=πd或C=2πr。

三、圆的面积
1.圆的面积的概念：圆的面积是圆所占平面的大小，用字母“S”
表示。

2.面积公式：圆的面积等于π乘以半径的平方，即S=πr²。

3.面积的推导公式：根据面积公式和圆的半径与直径的关系，可
以推导出面积公式S=π(d/2)²或S=π(r²)。

4.圆的大小比较：两个圆的大小可以通过它们的半径或直径来比
较。

两个圆的半径相等时，它们的直径也相等；直径相等时，它们的半径也相等。

以上是关于人教版六年级数学《圆》的课堂笔记整理，希望对您有所帮助。

3.3.2+抛物线的简单几何性质课件-2高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册

(一联立方程组;
(二))设而不求,根与系数的关系（韦达定理）;
(三)大胆计算分析,数形结合.
y
直线与抛物线位置关系种类
1、相离(0个交点)；
2、相切(1个交点) ；
3、相交(1个交点,2个交点)
O
x
直线和抛物线的位置关系有三种：相交、相切、相离
将直线方程和抛物线方程联立，消元转化为关于 x（或 y 的）
x
将方程①代入抛物线方程
，化简得 6 x 1 0 ，
设点 A（x1 , y1 ), B( x2 , y2 ).有韦达定理得： x1 x2 6, x1 x2 1
AB 1 k
2
( x1 x2 ) 4 x1 x2 2 6 4 1 8
2
2
解：方法二：由抛物线的定义可知，|AF|=|AD|=x1＋1，|BF|＝|BC|= x2＋1，
4
令 Δ＝(3a＋2) －4(a＋1) ＝a(5a＋4)＝0，解得 a＝0(舍去)或 a＝－5.
2
2
x＝－5，
所以原方程组有唯一解
y＝－2.
综上，实数 a

4

的取值集合是－1，－5.

[解]
p
(1)抛物线 C：y ＝2px 的准线为 x＝－2，
2
于是|AB|=|AF|＋|BF|= x1＋x2＋2．
在方法一中得到方程 x2－6x＋1=0 后，
根据根与系数的关系可以直接得到 x1＋x2＝6，
于是立即可以求出|AB|=6＋2=8．
方法三：抛物线 y2＝4x 中 2p＝4，直线的
2p 4

倾斜角为，所以焦点弦长 AB 2 = 1 =8 .

37毫米直径圆周长-概述说明以及解释

37毫米直径圆周长-概述说明以及解释1.引言1.1 概述在这篇文章中，我们将探讨37毫米直径圆的周长问题。

圆周长作为一个基本的几何概念，在数学和实际生活中都有着重要的应用价值。

我们将介绍圆周长的定义和计算方法，探讨37毫米直径圆的特点，以及探讨圆周长在实际应用中的作用。

通过这篇文章，我们希望读者能够更深入地了解圆周长的重要性，特别是37毫米直径圆的特殊性，同时展望圆周长在未来的应用前景。

1.2文章结构文章结构部分可以包括以下内容：文章结构部分主要是介绍整篇文章的框架和组织结构，让读者了解文章的分析和论证思路。

本文共分为引言、正文和结论三部分。

在引言部分，会对37毫米直径圆周长的主题进行简要概述，介绍文章的目的和重要性，并对整篇文章的结构进行概括性说明。

在正文部分，将详细介绍圆周长的定义和计算方法，分析37毫米直径圆的特点，以及探讨圆周长在实际应用中的价值和意义。

在结论部分，会对整篇文章进行总结，强调圆周长在数学和实际生活中的重要性，并展望37毫米直径圆在未来的应用前景。

通过以上结构安排，读者可以清晰地了解文章内容的主要逻辑和论述线索，帮助读者更好地理解和吸收文章的内容。

"1.3 目的": {"本文旨在探讨37毫米直径圆的周长计算方法，并分析其在实际应用中的重要性和特殊性。

通过详细介绍圆周长的定义和计算方法，以及37毫米直径圆的特点，读者将能够更深入地理解圆周长的概念和意义。

同时，本文也将探讨圆周长在各个领域中的实际应用，并展望其未来的发展前景。

通过本文的阐述，读者将能够更全面地认识和理解37毫米直径圆的周长及其意义，从而启发对圆周长的更深层次的思考和探讨。

"}2.正文2.1 圆周长的定义和计算方法圆周长是指圆的边界的长度，也可以称为圆的周长。

在数学中，圆周长的计算方法是通过圆的直径或半径来确定的。

如果我们已知圆的直径，那么可以通过以下公式来计算圆周长：圆周长= π×直径其中，π是一个常数，约为3.14159。

六年级圆的知识点难点

六年级圆的知识点难点圆是数学中的重要几何概念之一，也是六年级学生需要掌握和理解的内容之一。

本文将介绍六年级圆的知识点和难点，并解析相关例题，帮助学生更好地掌握这一知识。

一、圆的定义与性质圆是由平面上到定点距离相等的所有点组成的集合。

圆上的定点称为圆心，圆心到圆上任意一点的距离称为半径。

半径长度相等的圆称为相等半径圆。

半径作为圆的重要属性，决定了圆的大小。

圆的性质包括：1. 圆上的任意两点与圆心的距离相等；2. 圆上的任意一条弦把圆分成两部分，而两部分弧长之和等于360°；3. 圆上的任意一点与圆心连线都与该圆相交，并且相交点处的线段长度等于半径长度。

二、圆的相关公式在解决和计算与圆相关的问题时，六年级学生需要了解一些与圆相关的公式。

1. 圆的周长公式圆的周长计算公式为：C = 2πr，其中C表示圆的周长，r表示圆的半径。

该公式的推导可以通过将圆展开成一条直线，然后利用直线的周长公式得到。

例如，给定一个半径为5cm的圆，其周长为：C = 2 × π × 5 = 10π ≈ 31.4 cm。

2. 圆的面积公式圆的面积计算公式为：A = πr²，其中A表示圆的面积，r表示圆的半径。

该公式的推导可以通过将圆展开成一个扇形，然后利用扇形的面积公式得到。

例如，给定一个半径为5cm的圆，其面积为：A = π × 5² = 25π ≈ 78.5 cm²。

三、圆的难点解析与例题分析在学习圆的过程中，六年级学生可能会遇到以下几个难点，下面将针对这些难点进行解析，并结合例题进行分析。

1. 圆的直径与半径的关系难点解析：六年级学生容易混淆圆的直径与半径的概念。

直径是连接圆上两点并经过圆心的线段，而半径是连接圆心与圆上一点的线段。

直径是半径的两倍。

例题分析：已知一个圆的半径为6cm, 求其直径的长度。

解析：根据直径与半径的关系，直径等于半径的两倍，所以直径的长度为2 × 6 = 12cm。

第七届伊朗几何奥林匹克

2021年第4期31第七届伊朗几何奥林匹克中图分类号:〇123_1 文献标识码：A文章编号：1005 - 6416(2021)04 - 0031 -10第七届伊朗几何奥林匹克于2020年10月30日举行。

共有46个国家和地区的学生参加了比赛。

我国北京市、上海市和广东省的部分学校参了此届比赛。

比赛分为三个水平：初级组 (七、八年级），中级组（九、十年级），高级组（十一、十二年级）。

我国共有4人获得了初级组金牌，4人获得了中级组金牌，4人获得了高级组金牌。

下面是本届比赛的试题及解答。

初级1.通过对折多边形纸片，可以在纸上画一条线段并将纸片沿此折叠.如图1所示，对纸片上给定的图形，沿着阴影部分的边界切割纸片就能得到一张多边形纸片.对于该多边形纸片，经过至多五次折叠后可以得到一张矩形纸片.请在答题纸上画出折痕线及每次折叠后纸片的形状来描述你的操作方法.注:折痕线未必要与图形上的网格线重合.图12. 在OAfiCD 中，点 £、C 在直线CZ)上，使得4C同时平分幺JR4C.直线fiC与分别交于点F、//.证明：直线/^经过线段的中点.3. 如图2,三个边长分别为a、6、c的等边三角形除了一个公共顶点之外再无其他公共点.是图上所标记的线段长度.证图2明:3(rc+y+z)>2(a+&+ c).4. 设/1为厶/IflC内任意一点.直线与交于点£，直线C P与交于点尺、心分别为线段fiF、的中点.过点L且平行于C F的直线与S C交于点S，过点K且平行于的直线与S C交于点r.设s关于L、r关于K的对称点分别为M、/V•证明：当点P在内移动时，直线M/V恒过一定点.5. 称一个简单多边形的两个顶点是相互 “可见的”当且仅当它们相邻或连接它们的线段在该多边形内部（除了两端点在边界上).若存在一个有〃个顶点的简单多边形，它的每个顶点恰对其余顶点中的四个是可见的，求正整数》的所有可能值.注:简单多边形指的是无洞且不自交的多边形.中级1. 在梯形中为边45的中点，/V为边上一点，满足：Z ADN =y Z MNC,Z BCN =y Z MND.证明:/V为边C D的中点.2. 在等腰中，仙=4C，0为其外心，为边5C的中点，且似与yv关于边对称.设点r使得四边形A M s r为矩形.证32中等数学明:=3.在锐角△/15C 中，z l C M f i ,//为垂心，M 为边fiC的中点•直线/I M 与A /I B C 的外接圆的第二个交点为尤直线C//与fiC的垂直平分线交于点A 与的外接圆交于点尺圆尸为过点义、的圆，_/为圆厂上一点，使得四边形B C /fj为梯形，c s //iu.证明:见与五M 的交点在圆厂上.4. 在厶4价：中，©/为经过点5、(：的任意一个圆，它与边分别交于点五、F. 点x 使得与A W C 相似（顶点对应排列），并且点Z 、c 在直线M 的同侧•类似地，点F 使得△与△ F 见相似（顶点对应排列），并且点在直线4C 的同侧•证明：直线z y 经过/ific的垂心.5.已知存在一个恰有n 个面的凸多面体，它的每个面都是直角三角形.求整数n(n 多4)的所有可能值.注:一个凸多面体的任意相邻两个面所成的角小于180°.局级1.在△M C 中，分别为边B C 、4C 、/15的中点,£、F 为边上的两点，满足：Z NEC = ~Z A M B ,Z P F B =j Z AMC.证明:处：=4厂2. 在锐角A A 5C 中，/为内心，为A A 5C 外接圆上弧^的中点，点P 使得四边形 /ifiPC为平行四边形.设(？为点/!关于点yv 的对称点，ft为点4在(?/上的投影.证明:直线4/与A的外接圆相切.3. —条直线分离两圆是指两圆与该直线均无公共点，并且两圆在该直线的两侧.设三个两两相离的圆满足如下性质:任何一条分离其中两圆的直线均与第三个圆的内部相交.证明:这三个圆两两圆心之间的距离之和不超过它们半径之和的2及倍.注:若将问题中的2及换成其他常数c >2及，得到更弱的结论，则依据常数c 的值酌情给分.4•在圆外切凸四边形/IBCZ)中，/为内心，其内切圆厂与边仙、Z )C 、Cfi、似分别切于点K 、L 、M 、yv,直线仙与fic交于点五，直线从与CZ)交于点设嫌与分别交于点Z 、r ，L7V 与A D 、5C 分别交于点Z 、r. 证明:A X F F 的外接圆厂，与以E /为直径的圆厂2相切当且仅当△ 的外接圆与以f7为直径的圆相切.5.在锐角中，为垂心，圆厂为外接圆•分别为线段的中点，直线乂似与圆厂的第二个交点为Z.点/V 在直线iBC上，使得7V Z 与圆尸相切，点八 K 在以线段为直径的圆上，满足(点在4//的同侧）.已知过点《、义/的圆厂与过点K 、M 、yv的圆厂2外切.证明：圆厂：与圆厂2外公切线的交点在直线上.参考答案初级1.将给定纸片按照题目要求折叠成矩形有不同的方法.如图3(甲~丁）是依次给出的折叠方法，仅需折叠4次.(甲）（乙）(丙）（丁)图3注意，在第三次折叠和第四次折叠中，折2021年第4期33痕线可以略微向上或向下移动，所有的折痕线必须在图形内部.2.如图4.图4因为所以，Z F C A =Z DAC = Z FAC .于是，类似地，=从而，竺 A C C F .由 Z H A F = Z E C F ，Z A F H = Z C F EZ G A F = Z GCF =» a a f h ^a c f e ^ FE = FH .类似地，⑶= C//.从而，点F 、C 均在线段//£的垂直平分线上.因此，直线平分线段3.如图5,考虑三个白色的三角形，将它们中的每个旋转60°，使得它们中的每个三角形与另一个三角形的某条边重合.在形成的新图形中，距离为2a 的两个顶点之间存在一条长度为％ + y + z 的折线，故x + y -{-z >2a .类似可得另外两式.将它们相加即得结论.4. 如图6.A图6由四边形五M C S 的对角线互相平分，知四边形£M C S 为平行四边形.从而，EM //BC .设Z 为与C F 的交点.由M L //C Z 且L 为C五的中点，知M 为砑的中点.由F Z //B C ，结合平行线的性质知直线 M P 过线段S C 的中点.类似地，直线也过线段的中点.5.先证明不存在满足题意的n >6.设岑，,…，/!…是所有顶点•引理1设次与木“、★、々、卓+丨可见(按顺时针排列，注意乂+1与岑相邻)• 则卓_,与4、尖与4、火与次+ 1分别相互可见.引理1的证明考虑该多边形包含边 M.v4人的三角形划分-引理2沿用引理1的记号，'A 是条边.引理2的证明假设〜44为多边形内部的一条对角线.由引理1，知尖可以看见尖.但4A 、是内部的对角线，于是，七4^是条边.从而，在多边形的边界上，人、4之间仅有一个顶点.类似地，在多边形的边界上，尖、火和4、人.之间也仅有一个顶点.这与〃.> 6 矛盾.因此為4是边，且A ： =y -1 •引理1、2得证.设；使得木^与岑^相互可见（这样的；图534中等数学是存在的，可以取多边形三角划分中的最边上一块）.由引理2,知4-1可见4+2，4+1可见4-2,禹_2可见卓+2•于是，找到了四个顶点，使得由、4+1均可见这四个顶点•若冷可见某个顶点，则次、木+ 1必定也可见（由引理1)•于是，木可见4_2乂+2，这表明，4J i+2是条边（由引理2)•任何凸多边形可作为例子.余下的是r a=6的情况.此时，由引理2,知存在顶点4•為、4，使得M、4次是多边形内部的对角线.不妨设它们是六边形中的于是，4不能被4看见，这表明，次中有一个大于180°，进而，七不能被中的某个看见.事实上，4可被其他四个顶点看见，矛盾.故n =6时，也不存在满足题意的多边形.因此，只可能《=5.中级1.如图7.注意到，Z BCN+ z ADN =y(Z MND+Z MNC)= 90。

圆的性质

1、圆是定点的距离等于定长的点的集合2、圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合3、圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合4、同圆或等圆的半径相等5、到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半径的圆6、和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是着条线段的垂直平分线7、到已知角的两边距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线8、到两条平行线距离相等的点的轨迹，是和这两条平行线平行且距离相等的一条直线9、定理不在同一直线上的三点确定一个圆。

10、垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧11、推论1：①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧12、推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等13、圆是以圆心为对称中心的中心对称图形14、定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等15、推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等16、定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半17、推论：1 同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等18、推论：2 半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径19、推论：3 如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形20、定理：圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角21、①直线L和⊙O相交d＜r②直线L和⊙O相切d=r③直线L和⊙O相离d＞r22、切线的判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线23、切线的性质定理圆的切线垂直于经过切点的半径24、推论1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点25、推论2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心26、切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角27、圆的外切四边形的两组对边的和相等28、弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧对的圆周角29、推论：如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等30、相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等31、推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项32、切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项33、推论：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等34、如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上35、①两圆外离d＞R+r②两圆外切d=R+r③两圆相交R-r＜d＜R+r(R＞r)④两圆内切d=R-r(R＞r)⑤两圆内含d＜R-r(R＞r)36、定理：相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦37、定理：把圆分成n(n≥3):⑴依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形⑵经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形38、定理：任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆39、正n边形的每个内角都等于（n-2）×180°／n40、定理：正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形41、正n边形的面积Sn=pnrn／2 p表示正n边形的周长42、正三角形面积√3a／4 a表示边长43、如果在一个顶点周围有k个正n边形的角，由于这些角的和应为360°，因此k (n-2)180°／n=360°化为（n-2）(k-2)=444、弧长计算公式：L=n兀R／18045、扇形面积公式：S扇形=n兀R^2／360=LR／246、内公切线长= d-(R-r) 外公切线长= d-(R+r)。

九年级数学上册数学圆的有关性质同步练习及答案人教版

圆的性质一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．如图，在⊙O 中，∠AOB ＝100°，则弧AB 的度数为（）A ．50°B ．80°C ．100°D ．200°第1题图第2题图第3题图第4题图2．如图，AB 是⊙O 的直径，∠D ＝40°，则∠AOC ＝（）A ．80°B ．100°C ．120°D ．140°3．如图，AB 为⊙O 直径，点D 是AB 上方圆上异于A 、B 的一点，若∠BOC ＝130°，则∠D 的度数（）A ．50°B ．25°C ．70°D ．35°4．如图，AB 为⊙O 直径，点C ，D 在⊙O 上，AĈ=BC ̂，AD 与CO 交于点E ，∠DAB ＝30°，若AO =√3，则CE 的长为（）A ．1B ．√32C ．√3−1D ．2√3−25．如图，△ABC 的顶点A ，B ，C 均在⊙O 上，若∠ABC ＝28°，则∠OAC 的大小是（）A ．42°B ．52°C ．62°D ．72°第5题图第6题图第7题图第8题图6．如图，在⊙O 中，半径OC 垂直于弦AB ，∠OBA ＝26°，D 为⊙O 上一点，则∠ADC 的度数是（）A．52°B．64°C．37°D．32°7．如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，连接AC、AD．若∠BAC＝28°，则∠D 的度数是（）A．56°B．58°C．60°D．62°8．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠AOC＝160°，则∠ABC的度数是（）A．80°B．100°C．140°D．160°9．如图，四边形ABCD内接于⊙O，DE是⊙O的直径，连接BD．若∠BCD＝2∠BAD，则∠BDE的度数是（）A．25°B．30°C．32.5°D．35°第9题图第10题图第11题图10．如图，点A，B，C在⊙O上，∠AOC＝90°，AB=√2，BC＝1，则⊙O的半径为（）A．√3B．√52C．√102D．√2+12二．填空题（共7小题，每小题4分，共28分）11．如图，在半径为3的⊙O中，AB是直径，AC是弦，D是AĈ的中点，AC与BD交于点E．若E是BD的中点，则AC的长是．12．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AD＝DC，∠DAC＝25°，则∠ABC＝°．第12题图第14题图第16题图是17题图13．若一条弦把圆周分成2：3的两段弧，则劣弧所对圆心角的度数是．14．如图，AB为⊙O直径，CD为弦，AB⊥CD于E，连接CO，AD，∠BAD＝26°，则∠BOC＝．15．在半径为4cm的⊙O中，弦CD平行于弦AB，AB=4√3cm，∠COD＝90°，则AB与CD之间的距离是cm．16．如图，AB是⊙O的直径，点C，D，E在⊙O上，若∠AED＝15°，则∠BCD的度数为．17．如图，四边形BCDE内接于⊙O，AB是⊙O的直径，满足AB⊥CD于点F，连接AE，BD．若∠ABC＝∠DBE，CF＝2AF＝4，则点E到线段AB的距离为．三．解答题一（共3小题，每小题6分，共18分）18．有一圆柱形木材，埋在墙壁中，其横截面如图所示，测得木材的半径为15cm，露在墙体外侧的弦长AB＝18cm，其中半径OC垂直平分AB，则埋在墙体内的弓形高CD等于多少cm？̂=AD̂，AC交BD于点G．若∠COD 19．如图，BD是⊙O的直径，点A，C在⊙O上，AB＝126°，求∠AGB的度数．20．如图，AB是⊙O的直径，点C，E都在⊙O上，OC⊥AB，CÊ=2AÊ，DE∥AB交OC 于点D，延长OC至点F，使FC＝OC，连接EF．（1）求证：CD＝OD．（2）若⊙O的直径是4，求EF的长．四．解答题二（共3小题，每小题8分，共24分）21．如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，连接AC、AD．若∠BAC＝35°，（1）求∠D的度数；（2）若∠ACD＝65°，求∠CEB的度数．22．如图，以AB为直径的⊙O经过△ABC的顶点C，AE，BE分别平分∠BAC和∠ABC，AE的延长线交⊙O于点D，连接BD、CD．（1）判断△BDE的形状，并说明理由；（2）若AB＝13，BC＝12，求BD的长．23．如图，AB，CD为⊙O直径，弦DE，BF分别交半径AO，CO于点G，H，且∠FBA＝∠EDC．（1）求证：DE＝BF．̂=EF̂=FĈ，且∠DOB＝∠EGO，求AĈ的度数．（2）若AE五．解答题二（共3小题，每小题10分，共20分）24．如图，⊙O的内接四边形ABCD两组对边的延长线分别交于点E、F．若∠E＝∠F时，求证：∠ADC＝∠ABC．（1）若∠E＝∠F＝42°时，求∠A的度数；（2）若∠E＝α，∠F＝β，且α≠β，请你用含有α、β的代数式表示∠A的大小．25．如图，四边形APBC内接于圆，∠APC＝60°，AB＝AC，AP，CB的延长线相交于点D．（1）求证：△ABC是等边三角形；（2）若AP＝3，BP＝2，求PC的长；（3）若∠P AC＝90°，AB＝2√3，求PD的长．参考答案与试题解析一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．【解答】解：∵圆心角∠AOB＝100°，∴弧AB的度数为100°，故选：C．2．【解答】解：∵∠D＝40°，∴∠BOC＝2∠D＝80°，∴∠AOC＝100°．故选：B．3．【解答】解：∵∠BOC＝130°，∴∠AOC＝50°，∴∠D=12∠AOC=12×50°＝25°．故选：B．4．【解答】解：∵AĈ=BĈ，∴∠AOC＝∠BOC＝90°，∵∠DAB＝30°，AO=√3，∴OE＝OA•tan30°=√3×√33=1，∵OA＝OC=√3，∴CE＝OC﹣OE=√3−1．故选：C．5．【解答】解：∵∠AOC＝2∠ABC，∠ABC＝28°，∴∠AOC＝56°，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA=12×（180°﹣56°）＝62°．故选：C．6．【解答】解：∵OC⊥AB，∴AĈ=BĈ，∠BOC+∠OBA＝90°，∴∠ADC=12∠BOC，∵∠OBA＝26°，∴∠BOC＝90°﹣26°＝64°，∴∠ADC=12×64°＝32°，故选：D．7．【解答】解：连接BC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵∠BAC＝28°，∴∠B＝90°﹣∠BAC＝62°，∴∠B＝∠D＝62°，故选：D．8．【解答】解：∵∠AOC＝160°，∴∠ADC=12∠AOC＝80°，∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠ABC＝180°﹣∠ADC＝180°﹣80°＝100°，故选：B．9．【解答】解：连接BE，∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠BCD+∠BAD＝180°，∵∠BCD＝2∠BAD，∴∠BAD＝60°，由圆周角定理得：∠BED＝∠BAD＝60°，∵DE是⊙O的直径，∴∠EBD＝90°，∴∠BDE＝90°﹣60°＝30°，故选：B．10．【解答】解：过点A作AE⊥CB交CB的延长线于点E连接AC．∵∠AOC＝90°，∴∠ABC=12（360°﹣90°）＝135°，∴∠ABE＝45°，∵∠E＝90°，AB=√2，∴AE＝EB＝1，∵BC＝1，∴EC＝2，∴AC=√AE2+CE2=√22+12=√5，∴OA＝OC=√22AC=√102．故选：C．二．填空题（共7小题，每小题4分，共28分）11．【解答】解：如图，连接OD ，交AC 于F ，∵D 是AC ̂的中点，∴OD ⊥AC ，AF ＝CF ，∴∠DFE ＝90°，∵OA ＝OB ，AF ＝CF ，∴OF =12BC ，∵AB 是直径，∴∠ACB ＝90°，在△EFD 和△ECB 中，{∠DBE =∠BCE =90°∠DEF =∠BEC DE =BE，∴△EFD ≌△ECB （AAS ），∴DF ＝BC ，∴OF =12DF ，∵OD ＝3，∴OF ＝1，∴BC ＝2，∴AC =√AB 2−BC 2=√62−22=4√2．故答案为：4√2．12．【解答】解：∵AD ＝AC ，∴∠DAC ＝∠DCA ＝25°，∴∠D＝180°﹣∠DAC﹣∠DCA＝180°﹣25°﹣25°＝130°，∴∠ABC＝180°﹣∠D＝180°﹣130°＝50°，故答案为：50．【点评】本题考查了圆周角定理的知识，解题的关键是了解圆内接四边形的对角互补，难度不大．13．【解答】解：∵一条弦把圆周分成2：3的两段弧，∴劣弧所对圆心角的度数为360°×25=144°．故答案为：144°．14．【解答】解：连接AC，∵AB为⊙O直径，CD为弦，AB⊥CD，∴BĈ=BD̂，∴∠BAC＝∠BAD＝26°，∴∠BOC＝2∠BAC＝52°，故答案为：52°．15．【解答】解：如图1，过点O作OE⊥AB于E，交CD于F，∵AB∥CD，∴OF⊥CD，∵OE过圆心，OE⊥AB，∴EB=12AB＝2√3cm，∵OA＝4cm，在Rt△AOE中，EO=√AO2−AE2=√16−12=2（cm），∵∠COD＝90°，∴∠COF＝45°，∵OF⊥CD，∴CF＝OF＝OC•sin45°＝4×√22=2√2（cm），如图1，若AB、CD位于圆心同侧，则AB与CD之间的距离为（2√2−2）cm，如图2，若AB、CD位于圆心异侧，则AB与CD之间的距离为（2√2+2）cm．综上所述，AB与CD之间的距离为（2√2+2）cm或（2√2−2）cm．故答案为：2√2−2或2√2+2．16．【解答】解：连接AC，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵∠AED＝15°，∴∠ACD＝15°，∴∠BCD＝∠ACB+∠ACD＝105°，故答案为：105°．17．【解答】解：如图，连接OC，过点E作ER⊥AB于点R．设OA＝OC＝r．∵AB⊥CD，AB是直径，∴CF＝DF＝4，AĈ=AD̂，在Rt△OCF中，r2＝42+（r﹣2）2，∴r＝5，∴AB＝10，∵∠ABC＝∠DBE，∴AĈ=DÊ=AD̂，∴CD̂=AE ̂， ∴CD ＝AE ＝8，∵AB 是直径，∴∠AEB ＝90°，∴BE =√AB 2−AE 2=√102−82=6，∵ER ⊥AB ，∴S △ABE =12•AB •ER =12•AE •BE ，∴ER =245，∴点E 到线段AB 的距离为245．故答案为：245．三．解答题一（共3小题，每题6分，共18分）18．【解答】解：∵OC ⊥AB ，∴AD ＝BD ＝9cm ，∵OD 2＝AO 2﹣AD 2，∴OD 2＝152﹣92，∴OD ＝12cm ，∵CD ＝OC ﹣OD ，∴CD ＝15﹣12＝3（cm ），∴埋在墙体内的弓形高CD 等于3cm ．19．【解答】解：∵BD 是⊙O 的直径，∴∠BAD ＝90°，∵AB̂=AD ̂， ∴∠B ＝∠D ＝45°，∵∠DAC =12∠COD =12×126°＝63°， ∴∠AGB ＝∠DAC +∠D ＝63°+45°＝108°．所以∠AGB 的度数为108°．20．【解答】（1）证明：连接OE 、CE ，如图，∵OC ⊥AB ，∴∠AOC ＝90°，∵CÊ=2AE ̂， ∴∠COE ＝2∠AOE ，∴∠COE ＝60°，而OE＝OC，∴△OCE为等边三角形，∵DE∥AB，OC⊥AB，∴DE⊥OC，∴CD＝OD；（2）解：∵⊙O的直径是4，∴OE＝OC＝CF＝2，CD＝OD＝1，在Rt△ODE中，DE=√22−12=√3，在Rt△EFD中，EF=√DE2+DF2=√(√3)2+32=2√3．四．解答题二（共3小题，每题8分，共24分）21．【解答】解：（1）连接CB，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵∠BAC＝35°，∴∠ABC＝90°﹣∠BAC＝55°，∴∠ABC＝∠D＝55°，∴∠D的度数为55°；（2）∵∠CEB是△ACE的一个外角，∴∠CEB＝∠BAC+∠ACD＝100°，∴∠CEB的度数为100°．22．【解答】解：（1）△BDE是等腰直角三角形，理由：∵AD平分∠BAC，BE平分∠ABC，∴∠BAD＝∠CAD，∠ABE＝∠EBC，∵∠CBD＝∠CAD，∴∠CBD＝∠BAD，∵∠DBE＝∠CBD+∠EBC，∠BED＝∠BAD+∠ABE，∴∠DBE＝∠BED，∴BD＝DE，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴△BDE是等腰直角三角形；（2）连接OC，连接OD交BC于点F，∵∠CBD＝∠CAD，∠BCD＝∠BAD，∠BAD＝∠CAD，∴∠CBD＝∠BCD，∴BD＝DC，∵OB＝OC，∴OD是BC的垂直平分线，∴OF⊥BC，BF=12BC＝6，在Rt△OBF中，OB=12AB＝6.5，∴OF=√OB2−BF2=√6．52−62=2.5，∴DF＝OD﹣OF＝4，∴BD=√BF2+DF2=√62+42=2√13，∴BD的长为2√13．23．【解答】（1）证明：如图，连接AD，BD，∵∠AOD＝∠BOC，∴AD̂=BĈ，∵∠FBA＝∠EDC，∴AF̂=CÊ，∴AF̂−EF̂=CÊ−EF̂，即AÊ=CF̂，∴AD̂+AÊ=BĈ+CF̂，即DÊ=BF̂，∴DE＝BF；（2）解：如图，∵OB＝OD，∴∠1＝∠2，∴∠DOB＝180°﹣2∠1，∵∠EGO＝∠EDB+∠ABD＝∠3+∠1+∠2＝∠3+2∠1，∠DOB＝∠EGO，∴180°﹣2∠1＝∠3+2∠1，∴∠3＝180°﹣4∠1，∵AÊ=EF̂=FĈ，∴∠3＝2∠ADE，∴∠ADE=12∠3，∵CD为⊙O直径，∴AD̂+AÊ+CÊ=180°，∴∠2+∠ADE+∠3＝90°，∴∠1+12×（180°﹣4∠1）+（180°﹣4∠1）＝90°，∴5∠1＝180°，∴∠1＝36°，∴∠DOB＝180°﹣36°×2＝108°，∴∠AOC＝108°，∴AĈ的度数为108°．五．解答题三（共2小题，每题10分，共20分）24．【解答】证明：∵∠E＝∠F，∠DCE＝∠BCF，∠ADC＝∠E+∠DCE，∠ABC＝∠BCF+∠F，∴∠ADC＝∠ABC，（1）解：∵∠ADC＝∠ABC，∵∠EDC＝∠ABC，∴∠EDC＝∠ADC，∴∠ADC＝90°，∴∠A＝90°﹣42°＝48°；（2）解：连接EF，如图，∵四边形ABCD为圆的内接四边形，∴∠ECD＝∠A，∵∠ECD＝∠1+∠2，∴∠A＝∠1+∠2，∵∠A+∠1+∠2+∠AEB+∠AFD＝180°，∴2∠A+∠AEB+∠AFD＝180°，即∠A＝90°−12（α+β）．25．【解答】（1）证明：∵∠APC＝60°，∴∠ABC＝∠APC＝60°，∵AB＝AC，∴△ABC是等边三角形；（2）解：如图1中，在PC上截取PT，使得PT＝P A．∵∠APT＝60°，∴△APT是等边三角形，∴AP＝AT，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠P AT＝∠BAC＝60°，∴∠P AB＝∠TAC，∴△P AB≌△TAC（SAS），∴PB＝TC＝2，∵PT＝P A＝3，∴PC＝PT+CT＝3+2＝5；（3）解：在Rt△P AC中，∠APC＝60°，∠P AC＝90°，AC＝AB＝2√3，∴∠PCA＝30°，∴PC＝2P A．∵PC2＝P A2+AC2，∴P A＝2，PC＝4．同理，可求出CD＝4√3，AD＝6，∴PD＝AD﹣P A＝4．。

浙教版初中数学圆的知识点综合

浙教版初中数学圆的知识点综合圆是初中数学中重要的几何图形之一、在浙江教育版初中数学教材中，圆的知识点主要包括圆的构造、性质以及与圆相关的计算题。

一、圆的构造1.圆的定义：圆是平面内到一个定点距离恒定的点的轨迹。

2.圆心和半径：a.圆心：一个圆内部所有点到圆心的距离相等。

b.半径：从圆心到圆上任意一点的距离称为半径，用字母r表示。

3.圆的直径：通过圆心并且两端点都在圆上的线段称为圆的直径，直径的长度是半径的两倍。

4.圆的弦：在圆上连接两个点得到的线段称为圆的弦。

5. 圆的弧：圆上两个点之间的部分称为圆的弧，弧可以用度(°)或弧度(rad)来表示。

二、圆的性质1.圆的性质一：圆内任意两点的距离小于等于直径的长度。

2.圆的性质二：圆内任意一点与圆心的距离等于半径的长度。

三、圆的计算题1.圆的周长：圆的周长是圆上任意一点到该点顺时针或逆时针绕圆一周所经过的距离。

周长公式：C=2πr，其中C是圆的周长，r是圆的半径，π是一个常数，约等于3.142.圆的面积：a.圆的面积定义：圆的面积是圆上任意一点到该点的两条弧所围成的部分的面积。

b.面积公式：S=πr²，其中S是圆的面积，r是圆的半径。

3.圆的扇形面积：a.扇形：由圆心和圆上两点所围成的部分称为扇形。

b.扇形面积公式：S=1/2πr²θ，其中θ是扇形的角度(以弧度为单位)。

4.圆的弧长：a.弧长定义：圆的弧长是圆上任意两点之间的弧长。

b.弧长公式：L=2πrθ，其中L是弧长，θ是弧对应的圆心角的度数。

综合例题：1. 一个半径为5cm的圆的周长是多少？解答：周长C=2πr=2×3.14×5≈31.4㎝。

2.一个直径为8㎝的圆的面积是多少？解答：半径r=直径/2=8/2=4㎝，面积S=πr²=3.14×4²=50.24㎝²。

3. 一个扇形的圆心角是120°，半径为6cm，求扇形的面积。