2018秋九年级数学上册 22.4 圆周角课前预习训练北京课改版

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数学(北京课改版)九年级上册课前预习训练：22.4圆周角

第二十二章22.4 圆周角自主学习主干知识←提前预习勤于归纳→认真阅读教材,完成下列各题1.顶点在圆上,两边分别与圆相交的角叫______.答案：圆周角2.一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的______.答案：一半3.在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角______,直径所对的圆周角______,90°的圆周角所对的弦是______.答案：相等等于90°直径4.圆的内接四边形中,相对的角______,一个外角等于______.答案：互补它的内对角5.如图22－4－1,A、B、C三点都在⊙O上,∠AOB=58°,那么∠ACB=( )A.29°B.58°C.116°D.30°答案：A6.下列说法：①顶点在圆周上的角叫圆周角；②圆周角相等,它们所对的弧也相等；③等弧所对的圆周角相等；④在同圆中,相等的弦所对的圆周角相等,其中错误的有( )A.1个B.2个C.3个D.4个答案：C7.如图22－4－2,点A、B、C、D是同一个圆上的四个点,则图中相等的圆周角共有( )A.2对B.4对C.6对D.8对答案：B8.如图22－4－3,已知四边形ABCD为⊙O的内接四边形.若∠ABC=125°,则∠AOC=( )A.125°B.55°C.110°D.105°答案：C 解析：∵∠ABC=125°，∴∠ADC=55°，∴∠AOC=110°.9.在同圆中,同弦所对的圆周角( )A.相等B.互补C.相等或互补D.互余答案：C 解析：要注意有两种情况.点击思维←温故知新查漏补缺→1.在理解圆周角的定义时,应注意哪两方面?答案：①顶点在圆上；②角的两边分别与圆相交.2.你能写出弧的度数以及此弧所对的圆周角、圆心角的度数三个量之间的数量关系吗?答案：弧的度数和弧所对的圆心角的度数相等，同一段弧所对的圆周角的度数等于圆心角度数的一半.3.通过本节课我们对圆心角、圆周角的学习,我们可以把哪一个定理加以补充?怎样补充?答案：在同圆或等圆中，两条弦，两条弧，两条弦心距，两个圆心角，两个圆周角这五组量中，任意下组量相等，那么其余各组量也分别相等.4.通过学习我们得到了定理：在同圆中,直径所对的圆周角为90°,90°的圆周角所对的弦是直径.那么,如果题目的已知中有直径,往往我们可以怎样去作辅助线?如果有90°的圆周角,可以怎样去作辅助线?答案：有直径往往构造直径所对的圆周角.有90°的圆周角往往构造90°的圆周角所对的弦.5.同一个圆中请画出一条弦所对的圆周角,并总结所得到的圆周角有几种数量关系?答案：如图，同一条弦所对的圆周角可能相等，也可能互补.。

北京课改版-数学-九年级上册-教案-22.4圆周角(2)

上课日期课的类型新授课授课教师贾金利课题总课时： 2 第2 课时教学目标重点圆周角定理的推论”在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,相等的圆周角所对的弧也相等”难点圆内角与圆外角与圆周角的关系方法合作探究准备Ppt教师活动学生活动设计意图时间安排教学过程教一、旧知回放:1、圆周角定义:顶点在圆上,并且两边都和圆相交的角叫圆周角.特征：①角的顶点在圆上.②角的两边都与圆相交.2、圆心角与所对的弧的关系3、圆周角与所对的弧的关系4、同弧所对的圆心角与圆周角的关系圆周角定理:一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.二.课前测验三,问题讨论问题1、如图1,在⊙O中,∠B,∠D,∠E的大小有什么关系?为什么?问题2、如图2，AB是⊙O的直径，C是⊙O上任一点，你能确定∠BAC的度数吗?问题3、如图3，圆周角∠BAC =90º，弦BC经过圆心O吗？为什么？圆周角定理的推论1：同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。

圆周角定理的推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。

回顾旧知，加深记忆检测上节课的掌握情况形成定理，学生加以理解回顾旧知，为学习新知做准备通过检测，利于安排本节课的学习总结概括，能力提升5分钟5分钟10分钟5分钟●OBA CDEOB CA图3四.例题:例3: 船在航行过程中，船长常常通过测定角度来确定是否会遇到暗礁。

如图A,B表示灯塔，暗礁分布在经过A,B两点的一个圆形区域内，C表示一个危险临界点，∠ACB就是“危险角”，当船与两个灯塔的夹角大于“危险角”时，就有可能触礁。

问题:弓形所含的圆周角∠C=50°,问船在航行时怎样才能保证不进入暗礁区?（1）当船与两个灯塔的夹角∠α大于“危险角”时，船位于哪个区域？为什么？（2）当船与两个灯塔的夹角∠α小于“危险角”时，船位于哪个区域？为什么？例4:一个圆形人工湖,弦AB是湖上的一座桥,已知桥AB长100m.测得圆周角∠C=45°求这个人工湖的直径.七:小结:1、本节课我们学习了哪些知识？2、圆周角定理及其推论的用途你都知道了吗？学生审题理解图形分析利用圆周角性质解决实际问题15分钟5分钟板书设计圆周角例3：例4：圆周角定理的推论1：同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。

北京课改版-数学-九年级上册-教案-22.4圆周角(1)

上课日期课的类型新授课授课教师贾金利课题总课时：2 第1课时教学目标重点探索圆周角与圆心角的关系难点了解圆周角的分类，用化归思路合情推理验证“圆周角与圆心角的关系”.方法小组探究、准备ppt教师活动学生活动设计意图时间安排教学过程一、展示教学目标（1）理解圆周角的概念,掌握圆周角的两个特征、定理的内容及简单应用；（2）继续培养学生观察、分析、想象、归纳和逻辑推理的能力；（3）渗透由“特殊到一般”，由“一般到特殊”的数学思想方法．二、学习新知识（一）、情境创设导入新课问题：足球训练场上教练在球门前划了一个圆圈进行无人防守的射门训练如图（1），甲、乙两名运动员分别在C、D两处，他们争论不休，都说在自己所在位置对球门AB的张角大，如果你是教练，请评一评他们两个人谁的位置对球门AB的张角大？二、呈现问题、合作探究问题1、图中的∠C、∠D与我们前面所学的圆心角有什么区别？问题2、你能仿照圆心角的定义给圆周角下个定义吗?确定自己学习目标。

审题，理解题意两人一组，交换看法(角的顶点在圆上).让学生明确学习目标联系生活中喜闻乐见的足球射门，创设具有一定挑战性的问题情境，导入新课.激发学生的探索激情和求知欲望，把学生的注意力尽快地集中到本节课的学习中.2分钟3分钟CA BDOO ABCOABCDOABC D圆周角定义: 顶点在圆上,并且两边都和圆相交的角叫圆周角.特征：①角的顶点在圆上.②角的两边都与圆相交.随堂练习：判断下列各图形中的角是不是圆周角，并说明理由.问题3、画弧BC所对的圆心角，然后再画弧BC 所对的圆周角，你能画多少个同一条弧的圆心角？多少个圆周角？三、合作探究小组讨论交流四人一组，根据下面的四个问题互相交流。

1、量一量你所画的圆周角的度数，有何发现？2、2、量一量你所画的圆心角的度数，又有何发现？3、你得出了什么猜想？4、你又是怎样验证你的猜想呢？四、验证猜想，定理的证明思路：(1)圆心在圆周角边上的情况(2)圆心在圆周角内部的情况(3)圆心在圆周角外部的情况：五尝试应用判断正误：1、等弦所对的圆周角相等.2、2、同弧或等弧所对的圆周角相等.3、相等的圆周角所对的弧相等.得出结论：同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半.试着说明对定义整体把握掌握圆周角的基本特征在练习本上画图交流讨论后，学生代表说出本小组的猜想.教师利用几何画板的演示得出猜想：同弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半.又用几何画板演示，根据圆周角相对于圆心的位置，可以把它们分成三种情况.后两种情况通过加辅助线刻化归为（1）情况。

北京课改初中数学九上《22.1.4圆周角》教案

问题2提出后，教师关注：
学生是否能由90°的圆周角推出同弧所对的圆心角度数是180°，从而得出所对的弦是直径．
问题3提出后，教师关注：
学生能否得出正确的结论，并能说明理由．
教师提醒学生：在使用圆周角定理时一定要注意定理的条件．
问题4提出后，教师关注：
学生能否利用定理得出与圆周角对同弧的圆心角相等，再由圆心角相等得到它们所对的弧相等．
教师引导学生，小组合作的学习方式，分组讨论．
教师关注：
1．学生是否会与人合作，并能与他人交流思维的过程和结果；
2．学生能否发现圆心与圆周角的三种位置关系．
教师巡视，请学生回答问题．回答不全面时，请其他同学给予补充．
教师演示圆心与圆周角的三种位置关系．
教师引导学生从特殊情况入手证明所发现的结论．
学生写出已知、求证，完成证明．
3．学生是否会利用问题2的结论进行证明．
教师讲评学生的证明，板书圆周角定理．
［活动4］
问题1
半圆（或直径）所对的圆周角是多少度？（课件：圆周角定理推论）
问题2
90°的圆周角所对的弦是什么?
问题3
在半径不等的圆中，相等的两个圆周角所对的弧相等吗？
∠ABC=30°∠A’B’C’=30°
问题4
在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等吗？为什么？
1．阅读作业：阅读教科书84页至86页的内容．
2．巩固作业：教科书87页习题24．1第 2、3、4、5题．
教师带领学生从知识、方法、数学思想等方面小结本节课所学内容．
教师关注不同层次的学生对所学内容的理解和掌握．
教师布置作业．
问题2
如果同学丙、丁分别站在其他靠墙的位置D和E，他们的视角（和）和同学乙的视角相同吗？

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(1)当30 cm 的边长为最长边时，30605020==y x ，解得x=10 cm ，y=25 cm ； (2)当30 cm 的边长为最短边时，yx 60503020==，解得x=75 cm ，y=90 cm. (3)当30 cm 的边长为另外一条边时，yx 60305020==，解得x=12 cm ，y=36 cm ；所以三脚架B 的另外两边长为10 cm ，25 cm ，或12 cm ，36 cm ，或75 cm,90 cm.19.6 相似三角形的性质自主学习主干知识←提前预习勤于归纳→认真阅读教材,完成下列各题1.若两个三角形相似,则它们的对应角_______,对应边______.答案：相等成比例2.相似三角形对应高的比等于______,相似三角形的周长比等于______,面积比等于_______.答案：相似比相似比相似比的平方3.相似多边形的周长比等于________,面积比等于________.答案：相似比相似比的平方4.△ABC～△A'B'C',且AB=4,BC=5,AC=7,△A'B'C'的最大边长为10.5,则它们的相似比为_______,△A'B'C'的周长为______.答案：2：3 245.如果△ABC～△A'B'C'.相似比为2：3.△ABC与△A'B'C的面积比为_______.答案：4：9 解析：相似三角形的面积比等于相似比的平方.点击思维←温故知新查漏补缺→1.两个三角形相似时,它们对应角平分线的比,对应中线的比是否也等于相似比?答案：等于2.判断正误：(1)如果把一个三角形的三边的长同时扩大为原来的10倍,那么它的周长也扩大为原来的10倍.( )(2)如果把一个三角形的面积扩大为原来的9倍,那么它三边的长都扩大为原来的9倍( )答案：(1)√(2)×19.7 应用举例自主学习主干知识←提前预习勤于归纳→认真阅读教材,完成下列各题1.同一时刻,一竹竿高2米,影长为1.5米,某古塔影长36米,则古塔的高为______米.答案：482.为了测量河两岸相对两电线杆A、B的距离,如图19－7－1所示,有四位同学分别测出了以下四组数据：①AC,△ADB；②CD,△ADB；③EF,DE,AD；④DE,DF,AD,根据所测数据能求出A、B间距离的共有( )A.1组B.2组C.3组D.4组答案：B 解析：四组数据中的③可得ABEFAD DE =，其中EF 、DE 、AD 已测出，故可求得AB ；④中涉及的比例线段为：DBDFAD DE =，其中的DE 、DF 、AD 已测出，因而可求得DB 的长，在Rt △DAB 中，由勾股定理可进一步求得AB 的长，综上所述，共有2组. 点击思维 ←温故知新查漏补缺→一盗窃犯于夜深人静之时潜入某单位作案,该单位的自动摄像系统摄下了他作案的全过程.请你为警方设计一个方案,估计该盗窃犯的大致身高. 答案：在图象中选择一个参照物(如门框等)，通过测量图象中盗窃犯的身高，参照物的高度，以及参照物的实际高度，便可确定盗窃犯的大致身高.20.1 二次函数自主学习主干知识 ←提前预习勤于归纳→ 认真阅读教材,完成下列问题1.一般地,我们把形如______的函数叫二次函数,其中的二次项为_______,一次项系数为______,常数项是_______.答案：y=ax 2+bx+c(a ≠0) ax 2 b c2.函数①232-=x y ；②)1(2x x x y +-=；③)4(22+=x x y ；④x x y +=21；⑤y=x(1－x)中,是二次函数的是________.(填序号)答案：①⑤ 解析：②整理后不存在二次项了，③展开后是4次函数，④不是，因为二次函数是定义在整式基础上的，只有①⑤符合二次函数的定义. 3.二次函数y=5－x 2中的a=______,b=______,c=______. 答案：－1 0 5点击思维 ←温故知新查漏补缺→1.在二次函数的表达式中,为什么规定a≠0? 答案：因为若a=0，则变为一次函数了.2.当m 的取值范围是______时,函数y=(m －2)x 2+4x －5(m 是常数)是二次函数.答案：m ≠2 解析：紧扣定义中的a ≠0的条件.20.2 二次函数y=ax2+bx+c(a ≠0)的图象名师导学典例分析例1 已知一次函数y=ax －c 的图象如图20－2－1所示,则二次函数y=ax 2+c 的图象大致为图20－2－2中的( )思路分析:由一次函数y=ax －c 的图象可知a<0,c<0.由a<0可知,抛物线y=ax 2+c 的开口向下,由c<0可知,抛物线y=ax 2+c 与y 轴的交点在x 轴下方,且抛物线y=ax 2+c 的对称轴为y 轴,故应选D. 答案：D例2 把抛物线y=x 2+bx+c 的图象向右平移3个单位长度,再向下平移2个单位长度,所得图象的表达式是y=x 2－3x+5,则有( )A.b=3.c=7B.b=－9,c=－15C.b=3.c=3D.b=－9,c=21思路分析：可把问题转化成：将抛物线y=x 2－3x+5的图象向上平移2个单位长度,再向左平移3个单位长度,所得抛物线的解析式是什么?先确定抛物线的顶点坐标为)411,23(,经过先向上平移2个单位长度,再向左平移3个单位长度,顶点)411,23(平移到了)419,23(-,因此,所得抛物线的表达式为73419)23(22++=++=x x x y ,这时b=3,c=7,故应选A. 答案：A例3 已知二次函数106212++=x x y . (1)试确定函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标； (2)作出函数106212++=x x y 及221x y =的草图；(3)根据函数图象说出抛物线106212++=x x y 与抛物线221x y =的关系. 思路分析：(1)利用配方法将106212++=x x y 化为k h x a y +-=2)(的形式即可作出正确解答；(3)中可结合图形的形状和位置予以说明. 解：(1)△8)6(2110)12(2110621222-+=++=++=x x x x x y , △抛物线106212++=x x y 的开口向上,对称轴为x=－6,顶点坐标为(－6,－8). (2)在同一直角坐标系内作出106212++=x x y 及221x y =的图象,如图20－2－3所示.(3)由图象可以看出,抛物线106212++=x x y 可看作是抛物线221x y =向左平移6个单位长度后,再向下平移8个单位长度得到的,两条抛物线的形状和大小完全相同.只是位置不同.突破易错☆挑战零失误规律总结善于总结★触类旁通1 方法点拨：解此类题目的关键是熟知一次函数与二次函数的图象特点,特别是理解a 、b 、c 对抛物线形状及开口方向、位置的影响.2 方法点拨：本题考查的是抛物线经过平移后所得表达式的变化规律,抛物线平移前后开口方向和a 的值不变,解决此类题可采用逆向思维的方式.3 方法点拨：从本例可以看出,确定一条抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标时,宜将抛物线的表达式化为y=a(x －h)2+k 的形式为好.同时,由图象可以看出两条抛物线的形状和大小以及开口方向完全相同,由此我们可以反过来作一个猜想：如果两条抛物线的形状和大小及开口方向完全相同,则其表达式中y=a 1x 2+b 1x+c 1与y=a 2x 2+b 2x+c 2的a 1=a 2.20.3 二次函数解析式的确定自主学习主干知识 ←提前预习勤于归纳→ 认真阅读教材,完成下列各题1.抛物线y=ax 2+bx+c(a≠0)与y 轴的交点是_____,抛物线与x 轴的交点由______确定,当______时,有一个交点,该点就是抛物线的______点；当_______时,抛物线与x 轴有两个交点；当_______时,无交点.抛物线y=ax 2+bx+c(a≠0)与x 轴交点的横坐标,就是一元二次方程ax 2+bx+c=0(a≠0)的两个根.答案：(0，c) b 2－4ac b 2－4ac=0 顶 b 2－4ac>0 b 2－4ac<0 2.抛物线y=ax 2+bx+c(a≠0)的对称轴是_____,顶点坐标为______.答案：ab x 2-= )44,2(2a b ac a b -- 3.如果抛物线与x 轴有两个交点(x 1,0)、(x 2,0),那么其解析式又可写成_______(也叫交点式),对称轴又可写成直线221x x x +=. 答案：y=a(x －x 1)(x －x 2)点击思维 ←温故知新查漏补缺→有一个二次函数的图象,三位同学分别说出了它的一些特点：甲：对称轴是x=4；乙：与x 轴两个交点的横坐标都是整数；丙：与y 轴交点的纵坐标也是整数,且以这三个交点为顶点的三角形的面积为3.请你根据上述三个同学的叙述,写出一个满足上述全部特点的二次函数的一个表达式. 答案：解析：设二次函数的解析式为y=a(x －x 1)(x －x 2). 由甲所述可知：x 1+x 2=8，由乙所述，x 1、x 2均为整数，不妨取x 1=1，则x 2=7， ∴y=a(x －1)(x －7)=a(x 2－8x+7).令x=0，则y=7a ，依据丙指出的特点知：37)(2112=•-a x x ，解得71=a ，∴17871)78(7122+-=+-=x x x x y . 注：本题答案不唯一，同学们所给出的表达式只要满足甲、乙、丙三人所述特点即可.20.4 二次函数的性质自主学习主干知识 ←提前预习勤于归纳→ 认真阅读教材,完成下列各题1.抛物线y=ax 2的对称轴是_____.顶点是_______；当a>0时,抛物线y=ax 2的开口________顶点是它的_____点；在对称轴左侧,y 随x 的增大而______,在对称轴右侧,y 随x 的增大而_____；当a ＜0时y 抛物线y=ax 2的开口_____,顶点是它的______点,在对称轴左侧,y 随x 的增大而______,在对称轴右侧,y 随x 的增大而______.答案：y 轴 (0，0) 向上最低减小增大向下最高增大减小2.对于二次函数y=ax 2+bx+c(a≠0),当a ＞0时,抛物线开口______,此时有最_____值,最______值为_____；当a ＜0时,抛物线开口_____,此时有最_____值,最_____值为_____对于以上两种情况,函数取得最值时,对应的x 的取值均为______.答案：向上小小 a b ac 442- 向下大大 a b ac 442- ab 2-点击思维 ←温故知新查漏补缺→1.已知函数y=－5x 2的图象上有两个点(x 1,y 1)、(x 2,y 2),若x 1>x 2>0,则y 1与y 2的大小关系为_____. 答案：y 1<y 2 解析：抛物线y=－5x 2的对称轴是y 轴，即直线x=0，在对称轴右侧，y 随x 的增大而减小，所以，当x 1>x 2>0时，有y 1<y2.2.用长8米的铝合金材料制成如图20－4－1所示的矩形窗框,使窗户的透光面积最大,那么这个窗户的最大透光面积是( )A.2564米2 B.34米2 C.38米2 D.4米2 答案：C 解析：设窗框的宽为x 米，则高为238x-米，则面积38)34(232382+--=•-=x x x y ,当34=x 米时，y 有最大值38米2，故应选C.20.5 二次函数的一些应用自主学习主干知识 ←提前预习勤于归纳→认真阅读教材,完成下列问题1.利用二次函数性质判断下列抛物线与x 轴的交点情况： (1)y=x 2+2x －4 (2)y=－2x 2+5x －1 (3)y=x 2+3x+8 答案：(1)两个交点 (2)两个交点 (3)没有交点2.某市近年来经济发展速度很快,根据统计：该市国民生产总值1990年为8.6亿元人民币,1995年为10.4亿元人民币,2000年为12.9亿元人民币.经论证,上述数据适合一个二次函数关系式.请你根据这个函数关系式,预测2005年该市国民生产总值将达到多少? 答案：解析：依题意,可以把三组数据看成三个点： A(0,8.6),B(5,10.4),C(10,12.9), 设y=ax 2+bx+c ，把A 、B 、C 三点坐标代人此式，得⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=,9.1210100,4.10525,6.8c b a c b a c ,解得⎪⎩⎪⎨⎧===,6.8,29.0,014.0c b a 即所求二次函数为y=0.014x 2+0.29x+8.6. 令x=15,代入二次函数关系式,得y=16.1.所以,2005年该市国民生产总值将达到16.1亿元人民币. 点击思维 ←温故知新查漏补缺→1.对于二次函数y=－3x 2+2x －5,小明说,无论x 取何值时,函数值永远是负值,你同意他的观点吗?为什么?答案：解析：小明的观点是正确的，理由：因为a=－3<0，所以抛物线开口向下，又因为b 2－4ac=22－4×(－3)×(－5)<0，所以该抛物线与x 轴无交点，所以无论x 取何值时，对应的函数值永远是负值.(可结合图象理解)2.某工厂的大门是一抛物线形水泥建筑物(如图20－5－1所示),大门的地面宽度为8米,两侧距地面3米高处各有一壁灯,两壁灯之间的水平距离为6米,则厂门的高为多少米?(水泥建筑物厚度忽略不计,精确到0.1米)答案：解析：可建立如图所示的坐标系，求得抛物线的解析式为：)4)(4(73+--=x x y ，当x=0，代人上式，9.6)16(73≈-⨯-=y (米).20.6 反比例函数自主学习主干知识 ←提前预习勤于归纳→ 认真阅读材料,完成下列问题1.一般地,我们把解析式形如_______的函数叫做反比例函数,其中,_______叫做反比例系数. 答案：xky =(k ≠0的常数) k 2.写出下列各题中的关系式,并指出所写各式中变量之间有什么关系? (1)跑100米,所用的时间t 与速度ν之间的关系式是_______.(2)已知一平行四边形的面积是12 cm 2,它的一边长是a cm ；这边上的高为h cm,则a 与h 之间的关系式是_______；(3)某人水平推一物体,做了10焦耳的功,他所用的推力F(牛)与物体运动的距离s(米)之间的关系式是_______. 答案：(1)v t 100=(2)h a 12= (3)sF 10= 三个式子中变量之间都成反比例关系.点击思维 ←温故知新查漏补缺→ 1.什么是反比例关系?答案：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫反比例关系，也即如果x·y=k(k≠0且k 为定值)，那么x 与y 成反比例关系.2.教室里黑板的面积是3米2,长为x 米,宽为y 米. (1)试分析x 、y 这两个变量之间的关系；(2)y 是x 的函数吗?若是,写出函数的表达式；若不是,请说明理由. 答案：(1)变量x 与y 是反比例关系 (2)变量y 是变量x 的函数，xy 3=20.7 反比例函数的图象、性质和应用自主学习主干知识 ←提前预习勤于归纳→ 认真阅读教材,完成下列各题1.反比例函数的图象是________,当k ＞0,图象的两个分支分别在______象限,在每个象限内y 随x 的______；当k<0时,图象的两个分支分别在_____象限,在每个象限内y 随x 的_____. 答案：双曲线一、三增大而减小二、四增大而增大2.反比例函数xy 35-=的图象在______象限,当x ＞0时,y 随x 的增大而_____. 答案：二、四增大 3.点A(1, 6)在双曲线xky =上,则k=_______. 答案：6点击思维 ←温故知新查漏补缺→ 1.对于反比例函数xky =(k≠0,k 为常数)的图象与坐标轴会有交点吗?谈谈你自己的理解. 答案：解析：不可能与x 轴相交，也不可能与y 轴相交．实际上，因为x ≠0，所以图象不可能与y 轴有交点，同样，因为不论x 取何值(x ≠0)，y 永远不为0(因后k ≠0)，所以图象与x 轴也不可能有交点．2.你认为作反比例函数图象时应注意哪些问题?答案：解析：(1)列表时，自变量的取值应选取绝对值相等而符号相反的一对数值，这样既可以简化计算，又便于描点；(2)列表、描点时，要尽量多取一些数值，多描一些点，这样便于成图；(3)连线必须是光滑的曲线；(4)图象应是越来越靠近坐标轴，但与坐标轴不相交． 3.现有一水池,容积为50米3,如果每小时注水x 米3,则经过y 小时可以注满,小明画出了如图20－7－1所示的图象来表示y 与x 之间的函数关系,你认为正确吗?答案：解析：本题函数的关系式为xy 50=，但这里是实际问题，定义域为x>0,因此只能画出第一象限的图像，所以小明画的图象不正确.21.1 锐角三角函数自主学习主干知识 ←提前预习勤于归纳→ 认真阅读教材,完成下列各题1.在Rt△ABC 中,如果锐角A 确定,那么△A 的_______边与_______边的比,叫做△A 的正弦,记为_______；△A 的_______边与______边的比叫做△A 的余弦,记为______;△A 的______边与_______边的比叫做△A 的正切,记为_______.答案：对斜 sinA 邻斜 cosA 对邻 tanA2.锐角的______、_______、_______都是锐角的函数,统称为_______.答案：正弦余弦正切锐角三角函数3.已知：如图21－1－1所示,在Rt△ABC 中,△C=90°,求图中△A 的三角函数值.答案：43tan ,54cos ,53sin ===A A A . 解析：由勾股定理先求出AB=10，再根据锐角三角函数的定义去求解. 4.若21sin =A ,则△A 等于多少度?若22sin =B ,则△B 等于多少度?答案：∠A=30°，∠B=45°.点击思维 ←温故知新查漏补缺→1.当0°<△A<90°时,sin A 的值在什么范围内变化?cos A,tan A 的值又在什么范围内变化? 答案：0<sinA<1，0<cosA<1，tanA>02.在直角三角形中,当一个锐角取固定值时,它的锐角三角函数值是否也是一个固定值?与三角形的大小有关系吗? 答案：是；没有关系.3.如图21－1－2所示,AB 表示靠在墙上的梯子,移动梯子,当sin B,tan B 的值越______时,梯子越陡；当cos B 的值越_____时,梯子越陡.(填“大”或“小”)答案：大小30°、45°、60°角的三角函数值自主学习主干知识 ←提前预习勤于归纳→ 认真阅读教材,完成下列各题1.三角函数30° 45° 60° αsinαcos αtan观察上表,你发现了什么规律? 结合着你观察到的规律,计算:(1)已知sin35°=0.573 6,则cos55°=_______. (2)若sin(90°－B)=cos40°,则锐角△B=_______. 答案：21 22 23 23 22 21 33 13sin30°=cos60°，sin45°=cos45°，sin60°=cos30°.一个锐角的正弦值等于它余角的余弦值；一个锐角的余弦值等于它余角的正弦值. (1)0.5736 (2)40°2.计算：(1)sin 245°+cos 245°=________; (2)(1－tan50°)(sin60°+cos30°)=________. 答案：(1)l (2)03.如图21－2－1所示,在离地面高度为5米处引拉线固定电线杆,拉线和地面成60°的角,则AC=______米,AD=______米.答案：3310 335 点击思维 ←温故知新查漏补缺→ 1.若△B 是Rt△ABC 的一个内角,且sinB=23,则2cos B的值为_____. 答案：23 解析：由sinB=23可知，∠B=60°，代入即可. 2.(1)由sin30°=21,sin45°=22,sin60°=23,你能猜测出当0°<α<β<90°时,sinα与sinβ的大小关系吗?试用计算器予以验证.(2)你能推测出cosα,tanα的变化规律吗?试从特殊角的三角函数值来验证你的看法. 答案：(1)βαsin sin <.(2)当α的值由0°到90°逐渐增大时，cos α的值逐渐减小，如2160cos 2245cos 2330cos =>=>=;当α的值由0°到90°逐渐增大时，tan α的值也在增大，如360tan 145tan 3330tan =<=<=.21.3 用计算器求锐角三角函数值自主学习主干知识 ←提前预习勤于归纳→ 认真阅读教材,完成下列各题1.使用A 型计算器求锐角三角函数值常使用的键有：______、______、______和______. 答案：“正弦”键“余弦”键 “正切”键 “度、分、秒”键2.使用以上各键时,先将角度单位状态设定为：______. 答案：度3.对于非特殊角的锐角,我们可以通过计算器求已知锐角的______,也可由______求锐角. 答案：三角函数值已知锐角三角函数值点击思维 ←温故知新查漏补缺→ 1.判断题：正确的画“√”,错误的画“×”. (1)如果锐角α>β,那么tanα<tanβ.( ) (2)如果锐角α>β,那么cosα<cosβ.( ) (3)如果sinα>sinβ,那么锐角α>β.( ) 答案：(1)× (2)√ (3)√2.令a=sin30°,b=cos30°,c=tan30°,则它们之间的大小关系是( ) A.a<c<b B.b<a<c C.a<c<b D.b<c<a答案：A 解析：可求出相应的值，然后进行比较.21.4 解直角三角形自主学习主干知识 ←提前预习勤于归纳→ 认真阅读教材,完成下列问题1.在Rt△ABC 中,△C=90°,△A 、△B 、△C 的对边分别为a 、b 、c,除直角C 外,其余的两个锐角和三条边之间有什么关系?(1)锐角之间的关系：_________________； (2)三边之间的关系：_________________； (3)边角之间的关系：_________________. 答案：(1)∠A+∠B=90° (2)a 2+b 2=c 2 (3)ba A cb Ac a A ===tan ,cos ,sin ,abB c a B c b B ===tan ,cos ,sin2.根据以上直角三角形中边角之间的关系式,在Rt△ABC 中,若知道a 、b 、c 、△A 、△B 五个元素中的两个(至少有一个是边),就可求出其余的边和角,这种由已知边和角求未知边和角的过程叫______.答案：解直角三角形点击思维 ←温故知新查漏补缺→举例说明,如何根据已知条件解直角三角形?答案：例如，在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知a 和b ，求其他未知元素.解析：由勾股定理a 2+b 2=c 2，可求出c ，在Rt △ABC 中，由tanA=ba，可求得△A ，然后△B=90°－△A.对于其他情况的已知条件，用类似的方式可求解.21.5 应用举例自主学习主干知识 ←提前预习勤于归纳→ 认真阅读教材,完成下列各题1.在视线与______所成的角中,视线在______的上方的角叫做仰角,视线在______的下方的角叫做俯角.答案：水平线水平线水平线2.我们通常把坡面的______和______的比叫做坡度,又叫做_____,用字母i 表示,即)()(=i . 答案：铅直高度h 水平宽度l 坡比 lh i =3.如果把坡面与水平面的夹角记为α(叫做坡角),那么坡度i 等于坡角的______,即i=______；显然,坡度越大,坡角______,坡面也就_______. 答案：正切值 tan α 越大越陡4.指出图21－5－1中表示水平距离、垂直距离和坡长的线段.答案：BC 代表水平距离 AC 代表垂直距离 AB 代表坡长。

九年级数学上册 22.4 圆周角同步练习北京课改版

22.4圆周角
1、⊙O的弦AB等于半径，那么弦AB所对的圆周角一定是〔〕．
〔A〕30°〔B〕150°〔C〕30°或150°
〔D〕)60°
2、△ABC中，∠B＝90°，以BC为直径作圆交AC于E，假设BC=12，AB=12，那么
的度数为〔〕．
〔A〕60°〔B〕80°〔C〕100°
〔D〕)120°
3、如图，△ABC是⊙O的内接等边三角形，D是AB上一点，AB与CD交于E点，那么图中60°的角共有( )个．
〔A〕3 〔B〕4 〔C〕5
〔D〕6
4、如图，△ABC内接于⊙O，∠OBC=25°，那么∠A的度数为〔〕
〔A〕70°〔B〕65°〔C〕60°〔D〕50°
第3题图第4题图
5、圆内接三角形三个内角所对的弧长为3:4:5，那么这个三角形内角的度数分别为__________．
6、如图，A B是⊙O的直径，CD⊥AB于D，AD=9cm，DB=4cm，求CD和AC的长．
7、：如图，△A BC是⊙O的内接三角形，⊙O的直径BD交AC于E，AF⊥BD于F，延长AF交BC于G．求证：
参考答案
1、C；
2、A；
3、B；
4、B；
5、45°，60°，75°；
6、提示：连结BC，构成双垂直三角形，由△ADC∽△ACB，△ADC∽△CDB得比例式，求得CD=6cm，AC= cm．
7、提示：连结AD，可证∠C=∠D=∠BAG，△ABG∽△CBA即可．。

北京课改版九上22.4《圆周角》word学案

22.4圆周角（一）【学习目标】1、理解圆周角的定义，会是识别圆周角；2、掌握圆周角定理及推论. 【学习过程】一、根据给出的圆周角，总结概括圆周角的定义圆周角定义：练习1：教材144页1、3二、圆周角与圆心角的关系总结：1、圆周角定理巩固练习1、求圆中的x 值思考：如图4，AB 所对的圆周角是否相等，简述理由.若BD AB ，∠1与∠2是否相等？反之是否成立？B 图1图2 图3BC2、圆周角定理推论：符号表示：巩固练习2：（1）在图4 中，若BD AB ，还有哪些圆周角的等量关系？（2）如图5，指出相等的圆周角（3）如图5，若∠CBA=∠BDC ，你能得出哪些等量关系？总结：同圆或等圆中，圆周角与所对的弧、弦之间的等量转化关系——三、例题：例1、如图，A 、B 、C 、D 为⊙O 上的四个点，点E 为DC 延长线上的一点.求证：（1）∠BCD+∠A=180°，∠ABC+∠ADC=180°；（2）∠BCE=∠A试一试：从上面例题，你能总结出什么结论？圆内接四边形性质：小结：检测与作业：教材：146页1——4图5A B C D22.4圆周角（二）【学习目标】1、进一步掌握圆周角定理及其推论2、能利用推论解决有关问题【学习过程】一、想一想：在⊙O 中，AB 为直径，如果点C 是圆上（不与A 、B 重合），那么∠ACB 具有怎样的特征？为什么？圆周角推论2：符号语言：练习1：求证：如果三角形一边中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形.二、定理及推论应用例1、已知：如图，CD 是⊙O 直径，AC 、AE 分别交⊙O 于B 、D 两点，∠A=23°，∠BED=21°，求∠DCE 的度数.例2、已知：如图，在⊙O 中直径AB 的长为10cm ，弦AC 的长为6cm ，∠ACB 的平分线交⊙O 于点D ，求BC 、AD 和BD 的长. A C例3、已知：⊙O 中，AB 为直径，∠DBA=40°，求∠DCB 的度数.例4、已知：AB 为⊙O 的直径，长为10cm ，C 在半圆上，过点C 作CD ⊥AB 于C ，且CD=4cm. 求AD 、BD 的长例5、如图，A 、B 、C 为⊙O 上三点，已知∠A=45°，弦BC=5.求⊙O 的直径练习:教材145页2145页3．如图，⊙C 经过坐标原点O ，并与两坐标轴相交于A 、D ∠OBA=30°，点D 的坐标为（0，2），求点A 的坐标及圆心C 的坐标B作业：教材147页5、6、7、822.4圆周角（三）【学习目标】1、熟练掌握圆周角定理及其推论；2、能熟练进行角之间的转化；3、能利用圆周角的相关结论解决相关问题. 【学习过程】一、想一想：观察右图，⊙O 中，弦AB 、ED 的延长线交于A ，连结EB 、CD ，交于点F ，连结CE 、BC.请找出图中的等角，并写出相似三角形二、补充例题：例1、如图，圆O 中，弦AC 与弦BD 交于点P.求证：AP ·PC=BP ·PD例2、⊙O 的内接四边形ABCD 的对角线交于P ，且AB=BC.求证：AD ：AB=DP:PC .B例3、如图，AB 是△ABC 外接圆O 的直径，D 为⊙O 上一点，且DE ⊥CD 交BC 于E ，求证：EB·CD＝DE·AC．例4、如图，已知AB 是⊙O 的直径，点C 是⊙O 上一点，连结BC 、AC ，过点C 作直线CD⊥AB 于点D ，点E 是AB 上一点，直线CE 交⊙O 于点F ，连结BF ，与直线CD 交于点G ．求证：BC 2＝BG·BF ．例5、△ABC 内接于圆O ，AD ⊥BC 于D ，AB=4，AC=6，AD=3，求⊙O 的半径长.导学76——77页分类选讲作业：教材146——147页选讲。

北京课改初中数学九上《22.4 圆周角教案北京课改版

22.4圆周角教学目的1．进一步巩固圆周角定理及其推论．2．使学生了解圆内角和圆外角概念，知道它们的度数与所夹弧度数的关系．教学重点和难点圆周角定理及其推论的应用题是这节课的重点，也是难点．教学过程一、复习叙述圆周角定理的三个推论．二、新课例5 如图7—106，已知在⊙O中，直径AB为10cm，弦AC为6cm，∠ACB的平分线交⊙O于D．求BC、AD和BD的长．分析：由AB为直径，知∠ACB=90°，又AC、AB已知，可由勾股定理求BC．又∠ADB=90°，AD=DB，由勾股定理可求AD、BD．解：∵AB为直径，∴∠ACB=∠ADB=90°，又∵AB＝10cm，AC＝6cm，又∵CD是∠ACB的平分线，∠ACD=∠DCB，∴AD=DB．在Rt∠ADB中，例6 已知AB是⊙O的直径，AE是弦，C是的中点，CD⊥AB于D，交AE于F，CB 交AE于G．求证：CF=FG．分析：如图7—107，要证CF=FG，只需证∠FC G=∠FGC．由已知，∠FCG与∠B互余．如果连结AC，∠ACB=90°．∠FGC与∠CAG互余．只需证∠B=证明：连结AC，∵AB为直径，∴∠ACB=90°，∠FGC=90°-∠C AE．又∵CD⊥AB于D，∠FCG=90°-∠B，∴∠FGC=∠FCG．因此，CF=FG．圆周角是顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角．如果顶点在圆内和顶点在圆外呢？我们把顶点在圆内(两边自然和圆相交)的角叫圆内角(如图7—108)．顶点在圆外并且两边都和圆相交的角叫圆外角(如图7－109)．我们可以把圆内角和圆外角的问题转化成圆周角的问题考虑．对于圆内角∠APB，可以延长AP、BP交⊙O于C、D．连结AD，则∠APB=∠A+∠D，而∠A的度数等于度数的一半，∠D的度数等于度数的一半．因此，∠APB的度数等于它所夹弧度数和的一半．对于圆外角∠APB，可以连结AD，则∠APB=∠ADB-∠A，而∠ADB的度数等于AB度数的一半，∠A的度数等于度数的一半．因此，∠APB的度数等于它所夹弧度数差的一半．所以可得出下面的定理：圆内角的度数，等于它所对弧的度数与它的对顶角所对弧的度数之和的一半．圆外角的度数，等于它的两边所夹两条弧的度数的差的一半．利用圆内角度数定理，还可以用另外方法证明例6(怎么证？)如图7—110，对着的圆内角∠AC1B，圆周角∠AC2B，圆外角∠AC3B，比较它们的大小．(∠AC1B＞∠AC2B＞∠AC3B)．练习以等边三角形的一边为直径作圆，求证：这个圆平分其它两边，并且其它两边三等分半圆．(提示：如图7—111，可连结AD、BE)．三、小结这节课内容是通过例题巩固圆周角定理及推论的应用．还介绍了圆内角和圆外角的度数定理．。

新北京课改版数学九上：22.3+圆的对称性课前预习训练

22.3 圆的对称性自主学习主干知识←提前预习勤于归纳→认真阅读教材,成下列各题1.是轴对称图形,有______条对称轴,其中对称轴是______.答案：无数任意一条直径所在的直线2.既是______图形,又是______图形,并且对称中心是______.答案：轴对称中心对称圆心3.圆上任意两点间的部分叫做______,联结圆上任意两点的线段叫做______,经过圆心的弦叫做______,顶点在圆心上的角叫做______,从圆心到弦的距离叫做______.答案：弧弦直径圆心角弦心距4.如图22－3－1,在⊙O中,CD为直径,AB为弦,如果CD⊥AB于点E那么我们可以得出______,______,______.答案：EA=EB5.如图22－3－1,在⊙O中,AB为弦且不是直径,CD为直径且平分AB,那么我们可以得出______,______,______.答案：CD⊥AB6.下列图形中,既是轴对称图形,又是中心对称图形的是( )①等边三角形②矩形③菱形④正方形⑤圆⑥等腰三角形A.①②③ B④⑤⑥ C②③④⑤ D.②④⑥答案：C点击思维←温故知新查漏补缺→1.垂径定理及其推论中的条件和结论往往不易记清楚,但也不必死记硬背,你有很好的方法吗?答案：可结合图形记忆.如图，AB是直径，AB⊥CD(CD不是直径)，CE=DE，五个元素中，其中任意两个成立，则其余各元素一定成立.2.如图22－3－2,已知AB上CD,AB为⊙O的直径.思考OC,OE,CD,AE这四条线段的数量关系.答案：222)21(OC CD OE =+，OC=OA=OE+AE3.一般地,我们要想证明弦相等,可以转化为证明哪些量相等即可? 答案：可证弦心距相等，弧相等，圆心角相等.。

京改版九年级上册第22章《22.4圆周角》教学设计

§22.4圆周角一、指导思想与理论依据学生的数学学习内容应当是现实的、有意义的、富有挑战性的，这些内容要有利于学生主动地进行观察、实验、猜测、验证、推理与交流等数学活动。

内容的呈现应采用不同的表达方式，以满足多样化的学习需求。

有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆，动手实践、资助探索与合作交流是学生学习数学的重要方式。

由于学生所处的文化环境、家庭背景和自身思维方式的不同，学生的数学学习活动应当是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程二、教材分析1.学情分析在前几节课中学生已经学习了圆心角和圆周角，并且能够结合图形区分什么样的角是圆心角，什么样的角是圆周角。

了解了圆心角与弧，弦之间的关系，对于圆的知识已有所了解，同时了解圆心和圆周角的位置关系有三种，为本节课的学习打下了很好的基础。

圆周角主要介绍了圆周角定理，其中定理证明三种情况要分别证明。

因此教学活动中应注意分析和引导，使学生明确，第一种是特殊情况，是证明的基础，其他两种情况都可以转化为第一种情况来解决，转化的工具是添加“以角的顶点为端点的直径”的辅助线。

2.教学方式启发引导、自主探究、合作交流3.教学手段多媒体课件辅助教学三、教学目标1．了解圆周角与圆心角的关系，能够应用圆周角与圆心角进行简单的计算。

2．经历圆周角与圆心角数量关系的探究过程，通过测量、猜想、验证与证明等活动，进一步积累数学活动经验，继续培养学生观察、分析、想象、归纳和逻辑推理的能力。

3. 渗透由“特殊到一般”及转化的数学思想方法。

教学重点：圆周角与圆心角的关系教学难点：探究圆周角定理的形成过程四、教学过程复习旧知，导入新课活动一：复习旧知，展示猜想问题1：圆心角与圆周角的区别学生思考后回答，师生共同纠正评价.圆心角：角的顶点在圆心上。

圆周角：①顶点在圆上；②两边都和圆相交.问题2：在同一圆中，圆心与圆周角的位置关系有几种？学生思考后回答，师生共同评价。

问题3：课前我留给大家一个思考题：同一圆中同一条弧所对的圆周角与圆心角之间在数量上有什么样的关系？请大家在小组活动中完成，下面请小组来汇报一下活动情况.小组代表汇报度量结果，并提出本组的猜想.猜想：一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半。

北京课改初中数学九上《22.4圆周角课件北京课改版

3、圆周角的度数等于这个圆周角所对的弧的度数的一半。
4、本节课涉及：
（1）研究方法：特殊
猜想
—归纳—
一般
应用
——
特殊
（2）数学思想：转化、分类讨论。
四: 想一想
如图,圆周角∠ BAC所对的弧是BC.圆周角∠ BEC, ∠ BDC 所对的弧也是BC,这些角有什么关系? 因此,我们可以换一个研究角度,先得到“同弧所对的圆周角相等”,那么就可以很容易证明圆周角定理.你能先得到“同弧所对的圆周角相等吗?
A
（1）求证：BD=CD
M

（2）我们可以把∠C称为圆外角, 它对着DE和AMB,试探求∠ C与
O E
DE、AMB之间的关系。
（1）证明：连结AD
∵ AB是⊙Ｏ的直径，点D在圆上
∴ ∠ ADB=Rt ∠
∴ AD ⊥ BC
B
D
C
（2）由圆周角定理得：
∠DAC m= ½DE ∠ ADB =m½AMB
∵ ∠ADB= ∠C+ ∠DAC
连结AO并延长,交O于D ,利用(1)的结果,有
DAC 1 DOC、DAB 1 DOB
2
2
DAC DAB 1 (DOC DOB)
2
BAC 1 BOC
2
A O
D
C
B
(3)
圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的
一半。
A A
A
O
O
O
C B
B
C
C
练习一：下图中有哪些圆周角？
D
以A为顶点：∠ DAB、∠ DAC、∠ BAC A.. 以B为顶点：∠ ABD
B

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（北京课改版）九年级数学上册（全册）预习专练+课堂练习+课后作业汇总19.1 比例线段基础能力训练★回归教材注重基础 ◆比例的基本性质 1.如果4a=5b,则=ba_______. 2.如果a ：b=1：5,且b=15,则a=______. 3.已知cbb a =,且a=2,c=9,则b=______.4.若k zy x ===432,且2x －3y+z=6，则k=______,x=_____,y=______,z=______. 解析：由题意知,x=2k,y=3k,z=4k,代人2x －3y+z=6中得k=－6,进一步可求得x 、y 、z. 5.若(2－m)：m=m ：(1－m),则m=______. 6.若x ：y=2：3,y ：z=4：3,则x ：y ：z=______. 7.如果a ：b=4：3,且b 2=ac,那么b ：c=______.8.如果32=b a ,那么=+b ba ______. 9.如果57=+b b a ,那么=b a _______.10.已知：5===fed c b a ,且b+d －f=7,求a+c －e. ◆综合运用11.已知x:y:z=2:3:4,且x+y －z=121,求x 、y 、z 的值. 12.已知：3532=+b b a ,求b ba -的值. 13.已知：x bac a c b c b a =+=+=+,求x 的值.14.设实数a 、b 、c 使｜a －2b ｜+c b -3+(3a －2c)2=0,求a ：b ：c. 综合创新训练★登高望远课外拓展◆创新应用15.如图19－1－2所示,在△ABC 和△BED 中,若35===BE AC BD BC ED AB ,且△ABC 与△BED 的周长之差为20 cm,则△ABC 的周长为多少厘米?16.如图19－1－3所示,联结A 、B 两城的高速公路,全长120千米,在AB 上有两个收费站C 、D,已知AC ：CB=1：5,AD ：DB=11：1,一辆小车从站C 到站D 行驶了43小时,问小车的速度是每小时多少千米?◆开放探索 17.(2008·青岛)如图19－1－4所示,AB 、AC 表示两条相交的公路,现要在∠BAC 的内部建一个物流中心,设计时要求该物流中心到两条公路的距离相等且到公路交叉处A 点的距离为1000m.(1)若要以1：50 000的比例尺画设计图,求物流中心到公路交叉处A 点的图上距离； (2)在图中画出物流中心P 的位置.18.若b c c a b a --=,且,abc≠0,那么cb a 211=+成立吗?为什么?参考答案1答案：452答案：33答案：23± 解析：由比例的基本性质可得b 2=ac,将a=2,c=9,代入得b 2=2×9=18,所以23±=b .4答案：－6 －12 －18 －24 5答案：32 6答案：8：12：9 解析：因为2,3,4的最小公倍数是12,所以由已知条件可设x=8k,y=12k,z=9k,所以x ：y ：z=8k ：12k ：9k=8：12：9. 7答案：4：3 解析：由b 2=ac 可得cb b a =. 8答案：35 解析：方法一：由题意可设a=2k,b=3k,代入求值；方法二：由合比性质求,由32=b a 可得35332=+=+b b a .9答案：5210答案：解析：∵5===fe d c b a ,∴5=--==f ed c b a ,∴5=-+-+fd b ec a ,而b+d －f,=7,∴a+c －e=35.11答案：31,41,61===z y x 12答案：解析：由合比性质得335332-=-+b b b a ,即323=-b b a .∴2=-bba . 13答案：解析：当a+b +c≠0时,2)(2=++++=+=+=+=c b a c b a b a c a c b c b a x ,当a+b+c=0时,有a+b=－c,代人比例式可得1-=-=+=ccc b a x ,∴x 的值为2或－1.14答案：解析：由已知得a －2b=0,3b －c=0,3a －2c=0,∴13,12==b c b a ,∴a:b:c=2:1:3. 15答案：解析：由已知可得35=++++DE BE BD AC BC AB ,可设△ABC 的周长为5k,则△BDE 的周长为3k,5k －3k=20,得k=10,∴△ABC 的周长为5k=5×10=50(cm).16答案：解析：由题意可设DB=k,则AD=11k,AC=2k,CB=10k,CD=AD －AC=9k,而AB=12k=120,得k=10,∴CD=90(千米),∴90÷43=120(千米/时). 17答案：解析：(1)1 000 m=100 000 cm,100 000÷50 000=2,所以物流中心到公路交叉处A 点的图上距离是2 cm ；(2)作∠BAC 的角平分线,以A 为端点在∠BAC 内部的平分线上截取AP=2 cm,则P 点即为所求. 18答案：解析：成立.∵b c c a b a --=,∴b ab c b c a a =-+-+(等比性质),∴b a c c a =-2,∴,12b a c a =-∴ca b a 21=+, ∵abc ≠0,∴a ≠0两边同除以a 得ca b 211=+,故该等式成立.19.1 比例线段自主学习主干知识←提前预习勤于归纳→ 认真阅读教材,完成下列各题 1.比例线段的定义?答案：在四条线段中,如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比,那么这四条线段叫做成比例线段,简称比例线段. 2.如果dcb a =,那么_______；如果ad=bc 且bd≠0,那么________. 答案：bc ad =dc b a = 3.比例的合比性质：如果dcb a =,那么_______.答案：ddc b b a ±=± 4.已知线段a=20 cm,b=0.5 m,则a ：b=________.答案：2：5 解析：求两线段的比先统一单位,如统一为厘米,b=0.5 m=50 cm,所以a ：b=20：50=2：5.5.在比例尺为1：8 000的某学校地图上,矩形运动场的图上尺寸是1 cm×2 cm,矩形运动场的实际大小是多少? 答案：80 m×160 m点击思维←温故知新查漏补缺→ 1.如果d c b a =,那么db c a =成立吗?b da c =呢(a,b,c,d 均不为0)?答案：成立成立2.如果n m d c b a ===...(b+d+…+n≠0),那么ban d b m c a =++++++......成立吗?为什么? 答案：成立,可令k nmd c b a ====...,则a=bk ,c=dk,…,m =nk,所以ba k n db k n d b n d b nk dl bk n d b mc a ==++++=+++++=++++++...)...(.............3.在△ABC 中,AB=2 cm,BC=3 cm,AC=4 cm ；在△DEF 中,DE=30 mm,DF=45 mm,EF=60 mm ；求AB ：DE,BC ：DF,AC ：EF,并试着画出这两个三角形,观察它们的形状,有何发现? 答案：2：3 2：3 2：3 这两个三角形相似19.1 比例线段名师导学典例分析例1 图19－1－1所示,A(0,－2),B(－2,1),C(3,2).(1)求出AB 、BC 、AC 的长；(2)把上述三个点的横坐标、纵坐标都乘2,得到A'、B'、C'的坐标,求A'B',B'C'、A'C'的长； (3)这些线段成比例吗?思路分析：应用坐标系,利用勾股定理可以求出这些线段的长.解：(1)543,2615,1332222222=+==+==+=AC BC AB . (2)A'(0,－4),B'(－4,2),C'(6,4).1321345264''22=⨯==+=B A , 262264104201''22=⨯==+=C B , 1086''22=+=C A .(3)由21'',21'',2113213''====C A AC C B BC B A AB ,所以''''''C A AC C B BC B A AB ==,故这些线段成比例.例2 已知d cb a =(其中a≠b,c≠d). 那么dc d c b a b a -+=-+成立吗?为什么? 思路分析：方法一：因为题目中涉及a+b,a －b,c+d,c －d 等这样的式子,所以应考虑合比性质；方法二：可设一个辅助参数进行等量代换,然后进一步验证. 解：成立.方法一：因为d cb a =,所以d dc b b ad d c b b a -=-+=+,. 两式相除得：dc dc b a b a -+=-+. 方法二：令k d cb a ==,则a=bk,c=dk,代入欲求证的式子中,左边11-+=-+=-+=k k b bk b bk b a b a ,右边11-+=-+=-+=k k d dk d dk d c d c ,左边=右边,所以dc d c b a b a -+=-+. 突破易错☆挑战零失误规律总结善于总结★触类旁通1 方法点拨：解决这类题的一般思路是由已知条件求出有关线段的长,然后再进行线段比的求解.明确线段的比的概念是解决这类题的关键.变式训练：如果a,b,c,d 是成比例线段,a=2,b=3,c=4,则第四比例线段d=________. 解：由题意有d c b a =,即d432=,得d=6. 2 方法点拨：在解决涉及“a ±b”“c ±d”式子的相关题目时,常考虑到合比性质,另外,在比例的有关题目中,常设一个辅助参数k 进行代换,可使原本复杂的题目相对简单化,其中k 起到了桥梁的作用.19.2 黄金分割基础能力训练★回归教材注重基础 ◆黄金分割的定义1.已知AB=10 cm,P 、Q 是线段AB 的两个黄金分割点,则PQ=________.2.已知线段AB=1,点P 是线段AB 的黄金分割点,则AP=________.3.已知线段AB=b,C 为其黄金分割点,求下列各式的值(AC>BC)：(1)=BA AC _______;(2)=AC BC_______； (3)=BCAC _______;(4)AC －BC=________. 4.正常人的体温一般是37℃左右,室温太高、太低,人都会感觉不舒服,多少摄氏度比较合适呢?有人研究认为该温度正好是人正常体温的黄金分割点,则这个温度约为________.5.(2009·南京模拟)顶角为36°的等腰三角形被称为黄金三角形,在∠A=36°的△ABC 中,AB=AC,BD 是∠ABC 的角平分线,交AC 于D,若AC=4 cm,则BC=___________.6.若S 是线段PQ 的黄金分割点,且PS>SQ,则( ) A.SQ 2=PS·PQ B.PS 2=SQ·PQ C.PQ PSPS •=22D.22PQ PS PS SQ +•= 7.已知M 是线段AB 的黄金分割点,且AM>BM.(1)写出线段AB 、AM 、BM 之间的比例式. (2)如果AB=12 cm,求AM 、BM 的长.8.如图19－2－4所示,线段AB 长10cm,点C 是线段AB 的黄金分割点,AC>BC,设以AC 为边的正方形ACDE 的面积为S 1,以BC 为一边，AB 长为另一边的矩形BCFG 的面积为S 2,试比较S 1和S 2的大小.◆黄金分割点的作图9.采用如下方法也可以得到黄金分割点：如图19－2－5所示,设AB 为已知线段,以AB 为边作正方形ABCD ；取AD 的中点E,联结EB ；延长DA 至F,使EF=EB ；以线段AF 为边作正方形AFGH,点H 就是AB 的黄金分割点.任意作一条线段,用上述方法作出这条线段的黄金分割点,你能说出这种作法的道理吗?10.求作已知线段AB 的黄金分割点.(不写作法) 综合创新训练★登高望远课外拓展 ◆创新应用11.如图19－2－6所示,正五角星中,线段AD=2,试问图中阴影部分图形的周长是多少?12.举例说明黄金分割在日常生活中的一些应用. ◆开放探索13.若一个矩形的短边与长边的比值为215-(黄金分割数),我们把这样的矩形叫做黄金矩形.(1)操作：请你在如图19－2－7所示的黄金矩形ABCD(AB>AD)中,以短边AD 为一边作正方形AEFD.(2)探究：(1)中的四边形EBCF 是不是黄金矩形?若是,请说明理由;若不是,也给予说明. (3)归纳：通过上述操作及探究,请概括出具有一般性的结沦(不需要证明).参考答案1答案：)25(10-cm2答案：215-或253- 解析：本题应考虑到同一线段上的黄金分割点有两个.3答案：(1)215-(2)215-(3)215+(4)b )25(- 4答案：23℃5答案：)15(2-cm 解析：∵等腰△ABC 为黄金三角形,∴ACBC为黄金比. ∴AC BC 215-=,∴)15(2-=BC cm.6答案：B 7答案：(1)AMBMAB AM =(2))656(-=AM cm,)5618(-=BM cm 8答案：)53(5021-==S S cm 29答案：解析：设AB=2,那么在Rt △BAE 中,5122222=+=+=AE AB BE .于是EF=BE=5,AH=AF=BE －AE=15-,BH=AB －AH=53-.因此,AHBHAB AH =,点H 是线段AB 的黄金分割点. 10答案：略11答案：解析：由于点B 、C 都是线段AD 的黄金分割点,于是有：53)15(2,152152-=--=-=-=-=-⨯==AC AD BD AD AB AC BD , ∴452)53()15(-=---=-=AB AC BC . ∴阴影部分的周长为20510-.12答案：解析：例如：报幕员站在舞台宽度的黄金分割点处,显得最和谐；当矩形的宽与长的比约为0.618时显得美观；拍照时,常把主要景物放在画面的黄金分割点处,会显得更加协调、悦目；二胡中的“千金”分弦的比符合0.618：1时,奏出来的音调最悦耳；优选法中的“0.618法”足黄金分割的重要应用等等. 13答案：解析：(1)如图所示.(2)四边形EBCF 是黄金矩形,因为EF=AE=AB 215-,AB BE 253-=,则EF BE 215-=,所以四边形EBCF 是黄金矩形.(3)在黄金矩形中以短边为边长作一个正方形,另一部分仍为黄金矩形.19.2 黄金分割自主学习主干知识←提前预习勤于归纳→ 认真阅读教材,完成下列各题1.点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC,如果______,那么称线段AB 被点C 黄金分割,点C 叫做线段AB 的______,AC 与AB 的比叫做________. 答案：ACBCAB AC =黄金分割点黄金比 2.黄金分割的比值可以通过一元二次方程解出来,就是______,用小数表示约为_________. 答案：215- 0.618 3.如图19－2－1所示的正五角星,请你找出线段AB 的黄金分割点.答案：如图所示,点C 是线段AB 的黄金分割点.4.如果线段AB 上有一点C,满足AC 2=AB·BC,我们称点C 为AB 的黄金分割点,一条线段的黄金分割点有几个? 答案：2个点击思维←温故知新查漏补缺→1.报幕员在台上时,若站在黄金分割点处,会显得活泼而生动,已知舞台长10米,那么报幕员至少要走多远报幕?答案：5515- 解析:55152151010-=-⨯-. 2.穿高跟鞋真使人觉得美些吗?结合黄金分割及已有的其他知识,谈谈你自己的理解.答案：解析：美本身没什么标准,但在自然界里,物体形状的比例却提供了在匀称与协调上一种美感的参考,这个比例称之为黄金分割,在人体的躯干与身高的比例上,肚脐是理想的黄金分割点,若这个比值越接近0.618,越能给别人一种美的感觉.但是,一般人的躯干与身高的比都低于此数值,大约只有0.58至0.60左右(腿长的人会有较高的比值),若增高鞋的高度,则这种比值会接近或达到0.618.因此.女士们穿高跟鞋使她们显得更美是有数学依据的.(注：躯干是指从脚底到肚脐的长度)3.你知道为什么芭蕾舞演员的亮相动作很漂亮吗?答案：解析：当芭蕾舞演员亮相时,两指尖的距离与头顶到脚尖的距离近似比为0.618：1,所以看上去非常漂亮.4.你知道自己的身体上有哪些黄金分割点吗?答案：解析：如：肚脐是人体的黄金分割点；膝关节是肚脐到脚的黄金分割点；肘关节是手指到肩部的黄金分割点等等.19.2 黄金分割名师导学典例分析例1 已知线段MN=l,在MN 上有一点A,如果253-=AN ,试判断A 是不是MN 的黄金分割点.思路分析：要判断A 是不是MN 的黄金分割点.,由于MN=1,因而,只要计算出MA 的长即可,若215-=MA ,A 点就是黄金分割点,否则就不是. 解析：因为253-=AN ,MN=l, 所以MA=MN －AN=2152531-=--. 所以A 点是MN 的黄金分割点.例2 如图19－2－2所示,在△ABC 中,AB=AC=2,15-=BC ,∠A=36°,BD 平分∠ABC,交AC 于点D,试说明点D 是线段AC 的黄金分割点.思路分析：本题可先判别AD=BD=BC=15-,再根据黄金分割的概念确定215-=AC AD 这个特殊的结论,即可说明点D 是AC 的黄金分割点.解：在△ABC 中,∵AB=AC,∠A=36°,∴∠ABC=∠C=72°,∵BD 平分∠ABC,∴∠1=∠2=36°,∴∠1=∠A,∴AD=BD,∴∠BDC=∠1+∠A=72°, ∴∠BDC=∠C,∴BC=BD=AD=15-,∴215-=AC AD , ∴点D 是线段AC 的黄金分割点.变式训练：如图19－2－3所示,矩形ABCD 内有一个AEFD,且BCABEB BC =.问点E 是线段AB 的黄金分割点吗?思路分析:仍依据黄金分割点的定义来解决,通过计算可知215-=AB BC ,而BC=AD=AE,即215-=AB AE ,显然点E 是线段AB 的黄金分割点. 突破易错☆挑战零失误规律总结善于总结★触类旁通1 方法点拨：判断一个点是不是已知线段的黄金分割点,可依据定义判断,只要满足相应的比例式就可确定其是黄金分割点；另外,也可用较长线段与总线段进行求比,若结果为215-,也可确定其为黄金分割点.2 方法点拨：对于探索结论正确性的题目,一般都是从条件出发,根据数形结合的思想方法,结合图形的性质,用代数方法去论证.另外,本例中的三角形称为黄金三角形,即顶角为36°的等腰三角形叫做黄金三角形. 该矩形中AB AE (即ABBC)是黄金比,也就是说,矩形ABCD 的宽与长的比是黄金比,我们把这样的矩形称之为黄金矩形.19.3 平行线分三角形两边成比例基础能力训练★回归教材注重基础 ◆平行线分线段成比例定理1.如图19－3－6所示,在△ABC 中,35,==AC AB EC AC BE AB ,DE//AC,则AB ：BD=_______.2.如图19－3－7所示,在△ABC 中,DE//AB,DF//BC,若32=AC AD ,AB=9,BC=6,则BEDF 的周长等于______.3.在△ABC 中,BE 、CD 是△ABC 的中线,它们交于点O,则=CO DO ______,=BEOE_______. 4.如图19－3－8所示,在△ABC 中,AE ：BE=1：3,BD ：DC=2：1,AD 与CE 交于点F,则FDAFFC EF +的值为______.5.(2008·福州)如图19－3－9所示,在△ABC 中,D 、E 分别是AB 、AC 的中点,若DE=5,则BC 的长是______.6.如图19－3－10所示,已知AE=ED=DC,FE ∥MD ∥BC,FD 的延长线交BC 的延长线于点N,则BN EF的值是( ) A.21 B.31 C.41 D.517.在梯形ABCD 中,AD ∥BC,对角线AC,BD 交于点O,点E 是CA 延长线上一点,且OC 2=OA·OE,已知AD ：BC=2：3,则DC ：BE 的值是多少? 8.如图19－3－11所示,在△ABC 中,DE ∥BC,且32=DB AD ,BC=12 cm,求DE 的长.9.在△ABC 中,AD 是角平分线,DE ∥AC 交AB 于点E,已知AB=12,AC=8,求DE 的长. 10.如图19－3－12所示,H 为ABCD 中AD 边上的一点,且DH AH 21=,AC 和BH 交于点K,则KCAK的值是多少?综合创新训练★登高望远课外拓展 ◆创新应用11.如图19－3－13所示,在△ABC 中,AB=12,点E 在AC 上,点D 在AB 上,若AE=6,EC=4,且ECAEDB AD =.(1)求AD 的长. (2)试问ACECAB DB =能成立吗?请说明理由. ◆开放探索12.如图19－3－14所示,△ABC 中,AC=BC,F 为底边AB 上的一点,nmAF BF =(m,n>0).取CF 的中点D,联结AD 并延长交BC 于点E.(1)求ECBE的值； (2)如果BE=2EC,那么CF 所在的直线与边AB 有怎样的位置关系?请说明理由. (3)层点能否为BC 中点?如果能,求出相应的nm的值；如果不能,请说明理由. 13.已知：如图19－3－15①所示,AB ⊥BD,CD ⊥BD,垂足分别为B 、D,AD 、BC 交于E,EF ⊥BD 于F,我们可以证明EFCD AB 111=+成立(不必证明),若将图中垂直改为斜交,如图19－3－15②所示,AB ∥CD,AD 、BC 交于点E,EF ∥AB 交BD 于F,则： (1)EFCD AB 111=+还成立吗?为什么? (2)请找出S △ABD ,S △BDC ,S △BED 之间的关系式,并说明理由.参考答案1答案：8：5 解析：由EC AC BE AB =可得,35==EC BE AC AB 而AD BD EC BE =,所以35=AD BD ,所以53=BD AD ,由合比性质得：553+=+BD BD AD ,即58=BD AB .2答案：14 解析：329===AF AB AF AC AD ,得AF=6,所以BF=DE=3.而326===AC AD FD BC FD ,得FD=BE=4,所以BEDF 的周长为2(3+4)=14.3答案：2131 4答案：23解析：过点E 作BC 的平行线.5答案：10 解析：由题意知：DE//BC,∴215===BC BC DE AB AD ,所以BC=10. 6答案：C 解析：∵FE//BC,AE=ED=DC,∴31==AC AE BC EF ,∴BC=3EF.∵FE//CN,∴∠EFD=∠N.又∠EDF=∠CDN,ED=DC,∴△EFD ≌△CND,∴CN=EF, ∴413=+=+=EF EF EF CN BC EF BN EF . 7答案：解析：∵AD//BC,∴OA ：OC=AD ：BC=2：3,∴设OA=2k,OC=3k.∵OC 2=DA·OE,∴k OE 29=.∵OD ：OB=AD ：BC=2：3,且OC ：OE=3k ：k 29=2：3,∴BE//DC,∴DC:BE=2:3. 8答案：解析：∵DE//BC,∴AB AD BC DE =.∵32=DB AD ,∴232+=+AD BD AD ,即52=AB AD ,∴52=BC DE ,∴5245212=⨯=DE (cm). 9答案：解析：根据已知条件可求得DE=AE.又AC DEAB BE =,因此81212DE DE =-,从而求得DE=524.10答案：解析：∵,21DH AH =∴31=AD AH .∵AH//BC,∴31===AD AH BC AH KC AK .11答案：解析：(1)由EC AE DB AD =,可得DE//BC,从而AC AE AB AD =,即10612=AD ,可得,536=AD . (2)成立,由536=AD ,AB=12,得524=DB ,于是52=AB DB .又52104==AC CE ,故ACECAB DB =.或由EC AE DB AD =,得DE//BC,从而ACEC AB DB =. 12答案：解析：(1)过点C 作CG ∥AB 交AE 的延长线于点G,DF DC AF CG =,CGBAEC BE =, ∴11+=+=+==nm AF BF AF AF BF CG AB CE BE . (2)∵BE=2CE,∴21=+=nmCE BE ,∴m=n,∴BF=AF.又AC=BC,∴CF ⊥AB.∴直线CF 垂直平分AB.(3)不能,因为若E 为BC 的中点,而D 又为CF 的中点,则DE//AB,这与已知条件ED 和BF 相交矛盾,所以E 点不能为BC 的中点.13答案：解析:(1)EF CD AB 111=+还成立.因为AB//EF//CD,所以BDBF CD EF BD DF AB EF ==,,所以1=+=+BD DF BF CD EF AB EF ,两边同除以EF 得,EFCD AB 111=+. (2)BEDBCDABDS S S ∆∆∆=+111.理由：如图,过A 、E 、C 三点分别作AH ⊥BD,EM ⊥BD,CN ⊥BD,垂足分别为H 、M 、N,因为,21,21,21BD EM S BD CN S BD AH S BED BCD ABD •=•=•=∆∆∆由已知得,111EMCN AH =+ ∴BD EM BD CN BD AH •=•+•211211211即BED BCD ABD S S S ∆∆∆=+111.19.3 平行线分三角形两边成比例自主学习主干知识←提前预习勤于归纳→ 认真阅读教材,完成下列各题1.平行于三角形一边的直线截其他两边,所得的对应线段______. 答案：成比例2.如图19－3－1所示,在△ABC 中,如果点D 是AB 的中点,过点D 作BC 的平行线交AC 于点E,则AE ：EC=______.答案：13.如图19－3－2所示,DE//BC,总有ECAEDB AD =.应用比例性质,还可以得到哪些成比例线段? 答案：ACEC AB DB EC DB AE AD AC AE AB AD ===,,等. 点击思维←温故知新查漏补缺→1.若把课本P 11性质中的“其他两边”改为“两边的延长线”,结论还成立吗? 答案：成立2.如图19－3－3所示,在△ABC 中,DE//BC,若41=DB AD ,则BCDE的值为多少?答案：51=BC DE19.3 平行线分三角形两边成比例名师导学典例分析例1 已知：如图19－3－4,AB//CD,∠EFB=∠ABC,AB=2,CD=4,则EF 的长是多少?思路分析：尽管题目中给出了AB//CD 的条件,但不能直接运用相关的定理,因为它们分布在不同的三角形中,因而自然联想到在它们的中间作一条和它们都平行的辅助线,类似于桥梁的作用,这样便可解决问题. 解：过点E 作EM//AB,.·.∠ABC=∠EMF,由已知∠ABC=∠EFB,∴∠EMF=∠EFM,∴EF=EM.∵AB//CD,∴1224===AB DC AE CE ,∴32=AC CE .∵AB EM AC CE =,∴232EM =,34=EM , 则34=EF .例2 如图19－3－5所示,△ABC 中,D 为BC 的中点,延长AD 至E,延长AB 交CE 于点P ,若AD=2DE,试说明AP 与AB 之间的数量关系.思路分析:过点B 作BK ∥PC,交AE 于点K,则可得ABAPAK AE =.又BD=DC,∴DK=DE,再由AD=2DE,∴AE ：AK=3,从而进一步得出结论.另外还可以作以下的平行线,同样可得出结论,如：过D 点作DG ∥PC 交即于点G,还可取CP 的中点M,联结DM,进一步得出结论,这里只对第一种作辅助线的方法进行详细解答. 解：AP=3AB.理由：过点B 作BK ∥PC,交AE 于点K,∴AE ：AK=AP ：AB,由已知BD=DC, ∴DK ：DE.又∵AD=2DE,∴AE ：AK=3,∴AP ：AB=3,即AP=3AB.规律总结善于总结★触类旁通1 方法点拨：题目中涉及三角形中的平行线段,因此应考虑到利用“平行线分线段成比例”定理来求解.2 方法点拨：利用平行线分线段成比例定理解题时,应注意利用特殊点,如中点、垂足等.本例中较多的辅助线作法是利用D 为BC 中点而作平行线,这也是作辅助线常用到的规律.19.4 相似多边形基础能力训练★回归教材注重基础 ◆相似多边形1.我们知道所有的正三角形相似,所有的正方形都相似,那么所有的正五边形也相似吗?答：________.再想一想,所有的正六边形的关系?由以上猜想你可以得到一个一般性的结论为_______. 2.在两个相似五边形中,一个五边形的边长分别为1,2,3,4,5,另一个五边形的最大边长为15,则它的最短边长为________.3.如图19－4－8所示,将一个矩形纸片ABCD沿边AD和BC的中点连线EF对折,要使矩形AEFB 与原矩形相似,则原矩形的长与宽的比应为________.4.下列多边形中一定相似的为( )A.两个矩形B.两个菱形C.两个正方形D.两个平行四边形5.观察图19－4－9中的三个矩形,其中相似的是( )A.甲和乙B.甲和丙C.乙和丙D.三个矩形都不相似6.已知：如图19－4－10,梯形ABCD中,AD∥BC,EF∥BC,EF将梯形ABCD分成两个相似梯形AEFD和EBCF,若AD=3,BC=4,求AE：EB的值.7.矩形ABCD的长与宽之比为3：2,矩形A′B′C′D′的长与宽之比也为3：2,这两个矩形相似吗?说说你的理由.◆相似三角形8.已知△ABC～△A′B′C′,若AB=5 cm,A′B′=8 cm,AC=4 cm,B′C′=6 cm,则△A′B′C′与△ABC的相似比为_______,A′C′=_______,BC=_______.9.如图19－4－11所示,△ABC中,DE∥BC,BE与DC相交于点D,则图中相似三角形共有_______对.10.(2008·金华)如图19－4－12所示,小明设计用手电筒来测量某古城墙高度的示意图,点P处放一水平的平面镜后由A点发出的光线经平面镜BD反射后刚好射到古城墙CD的顶点C处,已知AB⊥BD,CD⊥BD,且测得AB=1.2 m,BP=1.8 m,PD=12 m,那么该古城墙的高度是( )A.6 mB.8 mC.18 mD.24 m11.下列命题：①所有的等腰三角形都相似；②有一个底角相等的两个等腰三角形相似；③有一个角相等的两个等腰三角形相似；④顶角相等的两个等腰三角形相似.其中正确的个数是( )A.4B.3C.2D.112.△ABC 的三边长分别是2、10、2,△A′B′C′的两边长分别为1和5,如果△ABC ～△A′B′C′,那么△A′B'C′的第三条边的长度等于( )A.22 B.2 C.2 D.22 13.已知△ABC 的三边长分别为5、12、13,与其相似的△A'B'C'的最大边长为26,求△A'B'C'的面积S.14.已知△ABC 中,∠C=90°,AC=BC,△A′B′C′中,∠C′=90°,A′C′=B′C′,△ABC 与△A′B′C′相似吗?为什么?综合创新训练★登高望远课外拓展◆创新应用15.(2008·安徽)如图19－4－13所示,四边形ABCD 和四边形ACED 都是平行四边形,点R 为DE 的中点,BR 分别交AC 、CD 于点P 、Q.(1)请写出图中各对相似三角形(相似比为1除外)；(2)求BP ：PQ ：QR.◆开放探索16.如图19－4－14所示,已知矩形ABCD,AB=6 cm,BC=8 cm,E 、F 分别是AB 、CD 上的点,且AE=DF=4 cm,两动点M 、N 分别从C 、F 两点同时出发沿CB 、FE 均以2 cm/s 的速度分别向B 、E 运动.猜想当M 、N 运动多长时间时,矩形CFNM 与矩形AEFD 相似?写出你的猜想过程,并与同学交流.参考答案1答案：相似边数相同的正多边形都相似2答案：3 解析：1515x =,得x=3. 3答案：1:2 解析：设原矩形的长AD=x,宽CD=y,E 、F 分别为AD 、BC 的中点,由已知条件可得：x y y x=2,即,222x y =∴2x y =, ∴1:2:=y x ,即AD:CD=1:2. 4答案：C5答案：B 解析：∵都为矩形,所以对应角显然都相等,又75.035.02=,所以由定义可判断甲、丙两个矩形相似.6答案：解析：∵梯形AEFD~梯形EBCF,∴BC EF EF AD =,∴EF 2=AD·BC=3×4=12, ∴3212==EF .∵梯形AEFD~梯形EBCF,∴AE ：EB=AD ：EF=2:332:3=.7答案：解析：相似.在矩形ABCD 中,设长为3a,宽为2a ；在矩形A′B′C′D′中,设长为3b,宽为2b,因此两矩形的对应边之比均为a:b,即对应边成比例.又因为矩形的每个角都是直角,因此对应角相等,故矩形ABCD 与矩形A′B′C′D′相似.8答案：8：5 532 415 9答案：2 解析：△ADE~△ABC,△DOE~△COB. 10答案：B 解析：Rt △ABP~Rt △CDP ,所以DP BP CD AB =,即128.12.1=CD ,解得CD=8 m. 11答案：C12答案：B 解析：设第三边长为x,则x251012==,得2=x . 13答案：解析：设△ABC 的三边依次为BC=5,AC=12,AB=13,因为AB 2=BC 2+AC 2,所以∠C=90°.又因为△ABC~△A′B′C′,所以∠C=∠C′=90°,212613''''C''====B A AB C A AC B BC .又因为BC=5,AC=12,所以B′C′=10,A′C′=24,所以S=21A ′C′×B′C′=21×24×10=120. 14答案：解析：相似.∵在△ABC 中,∠C=90°,AC=BC,∴∠A=∠B=45°.设AC=k>0,则k k k AB 222=+=.同理可证：∠A′=∠B′=45°,A′B′='2k ,(设A′C′=k′).∴∠C=∠C ′，∠A=∠A ′，∠B=∠B ′，∴''22B''k k k k A AB ==，'''''k k C B BC C A AC ==，∴''''''C B BC C A AC B A AB ==， ∴△ABC ～△A'B'C'.15答案：解析：(1)△BCP ～△BER ，△PCQ ～△PAB ，△PCQ ～△RDQ ，△PAB ～△RDQ.(2)因为四边形ABCD 和四边形ACED 都是平行四边形，所以BC=AD=CE ，AC ∥DE ，所以PB=PR ，21=RE PC ，又因为PC ∥DR ，易得△PCQ ～△RDQ ，因为点R 是DE 的中点，所以DR=RE ，所以21===RE PC DR PC QR PQ ，所以QR=2PQ. 又因为BP=PR=PQ+QR=3PQ ，所以BP ：PQ ：QR=3：1：2.16答案：解析：①当M 、N 运动21s ，矩形CFNM 与矩形ADFE 相似. ②当M 、N 运动2s 时，矩形CFNM 与矩形AEFD 相似.19.4 相似多边形自主学习主干知识 ←提前预习勤于归纳→认真阅读教材,完成下列各题1.举几个实际生活中形状相同,大小不一定相同的图形的实例.答案：如：同一底片洗出的不同尺寸的照片中人物的形状相同,只是大小不同；乒乓球和足球的形状相同,只是大小不同；大小五角星的形状相同,大小不同等等.2.像这样,______、______的两个多边形叫做相似多边形,相似多边形______叫相似比. 答案：对应角相等对应边成比例对应边的比3.若△ABC 与△A'B'C'相似,记作：_______,读作：_______.答案：△ABC~△A ′B ′C ′ △ABC 相似于△A ′B ′C ′4.若△ABC 与△A'B'C',的相似比为2：3,则△A'B'C'与△ABC 的相似比为_____.答案：3：2 解析：两个图形的相似比具有顺序性.5.如图19－4－1所示,若△ABC ～△ADB,则∠ACB=_____,∠A=_____,∠ABC=_______.答案：∠ABD ∠A ∠D6.如图19－4－2所示的两个矩形相似吗?若相似,相似比为多少?答案：相似相似比是3：2.点击思维 ←温故知新查漏补缺→1.如图19－4－3所示,一块长3米,宽l.5米的矩形黑板,镶在其外围的木质边框宽为7.5厘米,边框的内外边缘所构成的矩形相似吗?为什么?答案：不相似,因为3：1.5=2：1,而(3+0.075×2)：(1.5+0.075×2)=21：11,故对应边不成比例,所以不相似.2.全等三角形和相似三角形之间有什么关系?答案：全等三角形是特殊的相似三角形,其相似比为1.3.由相似多边形的定义,我们可以得出相似多边形的哪些性质?答案：相似多边形的对应角相等,对应边成比例.4.所有的正五边形都相似吗?两个正n 边形呢?请说明理由.答案：相似相似因为它们彼此的对应角相等,对应边成比例,前者的对应角为108°,后者的对应角为nn ︒•-180)2(.19.4 相似多边形名师导学典例分析例1 下列每组图形形状相同,它们的对应角有怎样的关系?对应边呢?(1)正△ABC 与正△DEF ；(2)正方形ABCD 与正方形EFGH.思路分析：相似多边形的本质特征有两点：一是对应角相等；二是对应边成比例,本题可紧扣这两点解答,对于第(1)小题每个对应角均为60°,对于第(2)小题每个对应角均为90°,当然这两组图形的对应边也均成比例.解：(1)由于正三角形每个角都等于60°,所以∠A=∠D=60°,∠B=∠E=60°,∠C=∠F=60°；由于正三角形三边相等,所以FDCA EF BC DE AB ==. (2)由于正方形的每个角都是直角,所以∠A=∠E=90°,∠B=∠F=90°,∠C=∠G=90°,∠D=∠H =90°；由于正方形四边相等,所以HE DA GH CD FG BC EF AB ===. 例2 写出下列各组相似三角形对应边的比例式.(1)在图19－4－4①中,已知：△ADE ～△ABC,且AD 与AB 是对应边.(2)在图19－4－4②中,已知：△ABC ～△AED,∠B=∠AED.思路分析：要写出两个相似三角形的对应边的比例式,首先要确定两个相似三角形的对应边.因为相似三角形是全等三角形的推广,所以要确定两个相似三角形的各组对应边,可以参照确定全等三角形对应边的方法,从确定这两个相似三角形对应的顶点出发.解：(1)已知△ADE ～△ABC,且AD 和AB 是对应边,它们所对的顶点E 和C 为对应点,而A 是两个三角形的公共顶点,∠BAC 为公共角,所以两个三角形另外两组对应边为DE 和,BC,EA 和CA,得CAEA BC DE AB AD ==. (2)已知△ABC ～△AED,且∠B=∠AED,A 为公共顶点,另一对对应顶点为D 和C,三组对应边分别是AD 和AC,AE 和AB,DE 和CB,得CB DE AB AE AC AD ==. 例3 如图19－4－5所示,Rt △ABC 与Rt △CBD 相似,AB=4,AC=3,试求CD 的长.思路分析：本题可依据相似三角形的定义去求解,即若两个三角形相似,则对应角相等,对应边成比例；不过本题解答时注意Rt △ABC 与Rt △CBD 相似有两种情况：①△ABC ～△CBD ；②△ABC ～△CDB.解：在Rt △ABC 中,∠A=90°,∴5342222=+=+=AC AB BC . ①若△ABC ～△CBD,则CD AC BC AB =,即CD 354=,∴415453=⨯=CD . ②若△ABC ～△CDB,则CD AC CD AB =,即534=CD ,∴320354=⨯=CD . ∴CD 的长为415或320. 突破易错☆挑战零失误规律总结善于总结★触类旁通1 方法点拨：相似多边形的定义既是最基本、最重要的判定方法,也是最本质、最重要的性质,即我们可以用定义来判定两个多边形是否相似,同时如果已知了两个多边形相似,那么这两个多边形的对应角相等,对应边成比例.2 方法点拨：本题中涉及的两类相似三角形是相似三角形的基本图形,解题的关键仍然是找准对应点、对应边.。

数学(北京课改版)九年级上册课前预习训练：22.3圆的对

第二十二章22.3 圆的对称性自主学习主干知识←提前预习勤于归纳→认真阅读教材,成下列各题1.是轴对称图形,有______条对称轴,其中对称轴是______.答案：无数任意一条直径所在的直线2.既是______图形,又是______图形,并且对称中心是______.答案：轴对称中心对称圆心3.圆上任意两点间的部分叫做______,联结圆上任意两点的线段叫做______,经过圆心的弦叫做______,顶点在圆心上的角叫做______,从圆心到弦的距离叫做______.答案：弧弦直径圆心角弦心距4.如图22－3－1,在⊙O中,CD为直径,AB为弦,如果CD⊥AB于点E那么我们可以得出______,______,______.答案：EA=EB5.如图22－3－1,在⊙O中,AB为弦且不是直径,CD为直径且平分AB,那么我们可以得出______,______,______.答案：CD⊥AB6.下列图形中,既是轴对称图形,又是中心对称图形的是( )①等边三角形②矩形③菱形④正方形⑤圆⑥等腰三角形A.①②③ B④⑤⑥ C②③④⑤ D.②④⑥答案：C点击思维←温故知新查漏补缺→1.垂径定理及其推论中的条件和结论往往不易记清楚,但也不必死记硬背,你有很好的方法吗?答案：可结合图形记忆.如图，AB是直径，AB⊥CD(CD不是直径)，CE=DE，五个元素中，其中任意两个成立，则其余各元素一定成立.2.如图22－3－2,已知AB上CD,AB为⊙O的直径.思考OC,OE,CD,AE这四条线段的数量关系.答案：222)21(OC CD OE =+，OC=OA=OE+AE3.一般地,我们要想证明弦相等,可以转化为证明哪些量相等即可? 答案：可证弦心距相等，弧相等，圆心角相等.。

新北京课改版数学九上：22.4+圆周角课堂导学

22.4 圆周角名师导学典例分析例1如图22－4－4,BC为⊙O的直径,AD⊥BC于D,,BF与AD交于点E.求证：AE=BE.思路分析：AE和BE为同一个三角形中的两条边,结论可转化为证明∠ABE=∠BAE,圆周角∠ABF所对的弧为,由已知可联想到联结AC,找出,所对的圆周角.本题也可找到∠BAD所对的弧,故需要延长AD并把田补充完整,然后利用垂径定理证明.证法一：如图①,联结AC,∵BC为⊙O的直径.∴∠BAC=90°,∴∠ACB+∠AB C=90°.又∵AD⊥BC,∴∠BAD+∠ABC=90°.∴∠ACB=∠BAD.又∵,∴ABF=∠ACB.∴∠ABF=∠BAD,∴AE=BE.证法二：如图②,补全⊙O,延长AD交⊙O于G.∵直径BC⊥AD,∴.又∵,∴.∴∠ABF=∠BAG,∴AE=BE.例2如图22－4－5,A、B、C在⊙O上,AD平分∠BAC交⊙O于D,DE//BA交⊙O于E,求证：AC=DE.思路分析:要证AC=DE,只需证∠DAE=∠ADC,利用角平分线,平行线及同弧所对的圆周角相等,便可证出∠DAE=∠ADC.证明：如图,联结AE、CD,∵AD平分∠BAC,∴∠BAD=∠DAC.∵AB//ED,∴∠BAD=∠ADE,∴∠DAC=∠ADE.又∵,∴∠EAC=∠EDC.∴∠DAC+∠EAC=∠ADE+∠EDC,∴∠DAE=∠ADC.∴AC=DE.突破易错☆挑战零失误规律总结善于总结★触类旁通1 方法点拨：本题重在考查圆中常见的辅助线的作法.通过本节课的学习,我们要知道,当题目中有直径时,常构造直径所对的圆周角——直角,然后利用直角三角形的性质解题.通过上一节课的学习,我们知道,垂径定理也是好多题目解题的关键,所以我们可以把圆补全,此时由AG⊥BC构造垂径定理.另外,我们还可以由,利用垂径定理的推论来解题.请同学们在图③中作辅助线。

并尝试证明.2 方法点拨：在圆中要证弦相等,可以考虑证明弧相等,而证明弧相等,可以考虑证明圆周角相等.。

【最新北京课改版精选】北京课改初中数学九上《22.4圆周角教案北京课改版.doc

22.4圆周角教学目的1．使学生正确理解圆周角的概念．2．掌握圆周角定理及其证明的思路．3．通过圆周角定理的证明，使学生了解分情况证明数学命题和“转化”的思想和方法．教学重点和难点重点：圆周角的概念和圆周角定理．难点：对圆周角定理证明中所使用的转化方法的理解和掌握．教学过程一、复习提问1．什么叫圆心角．强调顶点在圆心的角的两边一定和圆相交．2．叙述圆心角定理的内容．二、引入新课如果把圆心角的顶点移动，就不再是圆心角了．当角的顶点移动到圆上时，如图7—92中，∠B1AC1的顶点在圆上，两边都不和圆相交；∠B2AC1的顶点在圆上，只有一边和圆相交；∠B2AC2顶点在圆上，两边都和圆相交，我们把顶点在圆上并且两边都和圆相交的角叫做圆周角．(写出课题)三、新课1．圆周角的定义顶点在圆上并且两边都和圆相交的角，叫做圆周角．从定义可知圆周角具备两个特征：一是顶点在圆上，二是两边都和圆相交．观察图7—93中，哪些角是圆周角．圆(1)，(2)中的∠B1A1C1和∠B2A2C2不是圆周角，因为它们的顶点不在圆上(一个顶点在圆内，一个顶点在圆外)；图(3)中的∠B3A3C3、∠C3A3D3、∠B3A3D3都是圆周角，它们的顶点都在圆上，并且两边都和圆相交；图(4)中的∠B4A4D4、∠D4A4C4都不是圆周角，因为它们的顶点虽在圆上，但它们的两边中至少有一边不和圆相交．2．圆周角定理圆心角和圆周角都是和圆有关的角，圆心角的度数等于它所对弧的度数，圆周角的度数与它所对弧的度数有什么关系呢？圆周角与圆心角之间有什么关系呢？观察图7—94中，∠BAC、∠BA1C、∠BA2C都是BC所对的圆周角，BC所对的圆心角是∠BOC．其中∠BAC与∠BOC关系很容易发现，因为O点在边AB上，∠BOC是△OAC的外角，又因为OA=OC，可知∠BAC=∠ACO，所以周角定理．(写出定理)圆周角定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．已知：在⊙O中，所对的圆周角是∠BAC，圆心角是∠BOC．求证明：分三种情况讨论．(1)如图7—95(1)中，圆心O在∠BAC一边上．(2)如图7—95(2)中，圆心O在∠BAC的内部．作直径AD，由(1)可知，(3)如图7—95(3)中，圆心O在∠BAC的外部．作直径AD，由(1)可知，总结：定理证明用的是“分类讨论”方法．先证明圆心在圆周角的边上这种特殊情况，再证明圆心在圆周角的内部和圆心在圆周角的外部的情况．对后两种情况，是通过添加辅助线——作过圆周角顶点的直径．转化成已证过的特殊情况加以解决．这种“转化”思想方法是一种重要的数学思想方法．解题时我们总是把复杂问题转化成简单问题，把一般情况转比成特殊情况，把未知问题转化成已知问题．如平行四边形的面积问题，是转比成矩形的面积问题解决的；三角形面积问题是转化成平行四边形的面积问题解决的．学习圆周角定理，不仅要掌握定理的内容，还要重视对定理证明过程中所使用的“分类讨论”和“转化”方法的理解．在今后的学习中和解决数学问题时，应逐步学会运用这些方法．圆周角定理表明了圆心角和圆周角之间的倍半关系．因为“圆心角的度数和它所对弧的度数相等”，可以推知：圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半．例1 如图7—96、OA、OB、OC都是⊙O的半径，∠AOB=2∠BOC．求证：∠ACB=2∠BAC．证明：由OA、OB、OC都是⊙O的半径可知，例2 如图7—97，已知：⊙O是△ABC的外接圆，∠BAC=50°，∠ABC=47°，求∠AOB．解：∵⊙O是△ABC的外接圆∴∠A、∠B、∠C是圆周角，∠AOB是圆心角．又∵∠BAC=50°，∠ABC=47°，∴∠ACB=180°-(∠A＋∠B)=180°-(50°＋47°)=83°．∠AOB＝2∠ACB＝2×83°＝166°．四、小结强调要正确理解圆周角的概念，掌握圆周角定理及其证明的思路．说明圆周角定理也可以理解成：“一条弧所对的圆心角等于它所对的圆周角的二倍．”。

九年级数学上册222过三点的圆课前预习训练北京课改版(1)

九年级数学上册222过三点的圆课前预习训练北京课改版(1)自主学习主干知识←提前预习勤于归纳→认真阅读教材,完成下列各题1.过平面上一点A可以作______个圆,圆心的位置可以是______；过平面上两个点A,B可以作______一个圆,这些圆的圆心在______.答案：无数点A外的任意一点无数 AB的垂直平分线上2.在平面内过在同一直线上的三个点有______个圆,过不在同一直线上的三个点有且只有_____个圆.答案：0 13.过三角形的三个顶点可以作______个圆,此圆称为三角形的_____,圆心称为三角形的_____,三角形称为这个圆的______.答案：1 外接圆外心内接三角形4.三角形的外心是______的交点,锐角三角形的外心位置在______,直角三角形的外心位置在______,钝角三角形的外心置在______,等腰三角形的外心位置在______.答案：三边中垂线锐角三角形内直角三角形的斜边中点处钝角三角形外底边的高所在直线上5.反证法的一般步骤：①__________.②__________.③__________.答案：①假设命题的结论不成立②从假设出发，经过推理论证，得出和公理、定义、定理或题设相矛盾的结论③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的正确性点击思维←温故知新查漏补缺→1.在理解定理“不在同一直线上的三个点确定一个圆”时,应注意哪些方面?答案：①三点不在同一直线上，②“确定”即为“有且只有”.2.试着作函观察,在锐角三角形、直角三角形、钝角三角形中,三角形的外心的位置有何特点?答案：由图形可知，锐角三角形的外心在三角形内部，直角三角形的外心在斜边中点处，钝角三角形的外心在三角形外部.。