【四维备课】高中数学 1.6《三角函数模型的简单应用》导学案新人教A版必修4

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【四维备课】高中数学 1.6《三角函数模型的简单应用》导学案新人教a版必修4

1.6《三角函数模型的简单应用》导学案【学习目标】1.通过对三角函数模型的简单应用的学习，使学生初步学会由图象求解析式的方法；2.体验实际问题抽象为三角函数模型问题的过程；3.体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型.【导入新课】复习引入：简单介绍大家熟悉的“物理中单摆对平衡位置的位移与时间的关系”、“交流电的电流与时间的关系”、“声音的传播”等等，说明这些现象都蕴含着三角函数知识.新授课阶段例1 如图，某地一天从6～14时的温度变化曲线近似满足函数b x A y ++=)sin(ϕω．（1）求这一天6～14时的最大温差；（2）写出这段曲线的函数解析式．解：例2 画出函数x y sin =的图象并观察其周期．分析与简解：例3 如图，设地球表面某地正午太阳高度角为θ，δ为此时太阳直射纬度，ϕ为该地的纬度值，那么这三个量之间的关系是δϕθ--= 90．当地夏半年δ取正值，冬半年δ取负值．如果在北京地区(纬度数约为北纬 40)的一幢高为0h 的楼房北面盖一新楼，要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡，两楼的距离不应小于多少？分析与简解：例4 如图，某地一天从6~14时的温度变化曲线近似满足函数()sin y A x b ωϕ=++．（１）求这一天的最大温差；（２）写出这段曲线的函数解析式． θφφ-δδ太阳光答案：解：例5 若cos 2sin y x p x q =++有最大值9和最小值6，求实数,p q 的值.解：课堂小结1.精确模型的应用——即由图象求解析式，由解析式研究图象及性质.2.分析、整理、利用信息，从实际问题中抽取基本的数学关系来建立数学模型，并调动相关学科的知识来解决问题.作业课本第73页习题A 组第1、2、3、4题拓展提升一、选择题1．函数sin(2)(0)y x ϕϕπ=+≤≤是R 上的偶函数，则ϕ的值是（）A ．0B ．4π C.2π D.π 2．将函数sin()3y x π=-的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得的图象向左平移3π个单位，得到的图象对应的僻析式是（） A ．1sin 2y x = B ．1sin()22y x π=- C.1sin()26y x π=- D.sin(2)6y x π=- 3．若点(sin cos ,tan )P ααα-在第一象限,则在[0,2)π内α的取值范围是（）A ．35(,)(,)244ππππ B.5(,)(,)424ππππ C.353(,)(,)2442ππππ D.33(,)(,)244ππππ 4．若,24παπ<<则（）A ．αααtan cos sin >>B ．αααsin tan cos >>C ． αααcos tan sin >>D ．αααcos sin tan >>5．函数)652cos(3π-=x y 的最小正周期是（） A ． 52π B ．25π C ．π2 D ．π5 6．在函数x y sin =、x y sin =、)322sin(π+=x y 、)322cos(π+=x y 中，最小正周期为π的函数的个数为（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题7．关于x 的函数()cos()f x x α=+有以下命题： ①对任意α，()f x 都是非奇非偶函数； ②不存在α，使()f x 既是奇函数，又是偶函数；③存在α，使()f x 是偶函数；④对任意α，()f x 都不是奇函数.其中一个假命题的序号是，因为当α= 时，该命题的结论不成立.8．函数xx y cos 2cos 2-+=的最大值为________. 9．若函数)3tan(2)(π+=kx x f 的最小正周期T 满足12T <<,则自然数k 的值为______.10．满足23sin =x 的x 的集合为_________________________________. 11．若)10(sin 2)(<<=ϖϖx x f 在区间[0,]3π上的最大值是2，则ϖ=________.三、解答题 12．画出函数[]π2,0,sin 1∈-=x x y 的图象.13．比较大小（1）00150sin ,110sin ；（2）00200tan ,220tan .14．（1）求函数1sin 1log 2-=xy 的定义域.（2）设()sin(cos ),(0)f x x x π=≤≤，求()f x 的最大值与最小值.参考答案例1解：（1）由图可知：这段时间的最大温差是20C ；（2）从图可以看出：从6～14是b x A y ++=)sin(ϕω的半个周期的图象， ∴1468.2T =-=∴16.T = ∵ωπ2=T ，∴.8πω= 又∵301010,2301020.2A b -⎧==⎪⎪⎨+⎪==⎪⎩ ∴10,20.A b =⎧⎨=⎩ ∴10sin()20.8y x πφ=++ 将点)10,6(代入得：1)43sin(-=+ϕπ， ∴Z k k ∈+=+,23243ππϕπ， ∴Z k k ∈+=,432ππϕ，取43πϕ=， ∴)146(,20)438sin(10≤≤++=x x y ππ. 例2分析与简解：如何画图？法1：去绝对值，化为分段函数（体现转化与化归！）；从图中可以看出，函数x y sin =是以π为周期的波浪形曲线．例3分析与简解：与学生一起学习并理解教材解法（地理课中已学习过），指出该实际问题用到了三角函数的例4答案：解：（１）由图可知，这段时间的最大温差是20℃．（２）从图中可以看出，从6~14时的图象是函数()sin y A x b ωϕ=++的半个周期的图象，所以()13010102A =-=， 1(3010)202b =+=， ∵121462ω=- π， ∴8ω=π．将6x =，10y =代入上式，解得34ϕ=π．综上，所求解析式为310sin 2084y x ⎛⎫=++⎪⎝⎭ππ，[]6,14x ∈．例5解：令sin ,[1,1]x t t =∈-，21sin 2sin y x p x q =-++, 2222(sin )1()1,y x p p q t p p q =--+++=--+++22()1y t p p q =--+++,对称轴为t p =.当1p <-时，[1,1]-是函数y 的递减区间，max 1|29t y y p q =-==-+=,min 1|26t y y p q ===+=，得315,42p q =-=，与1p <-矛盾；当1p >时，[1,1]-是函数y 的递增区间，max 1|29t y y p q ===+=,min 1|26t y y p q =-==-+=，得315,42p q ==，与1p >矛盾；当11p -≤≤时，2max |19t p y y p q ===++=，再当0p ≥，min 1|26t y y p q =-==-+=，得1,4p q =+当0p <，min 1|26t y y p q ===+=，得1,4p q ==+1),4p q ∴=±=+一、选择题1.C 当2πϕ=时，sin(2)cos 22y x x π=+=，而cos 2y x =是偶函数 2.C 111sin()sin()sin[()]sin()32323326y x y x y x y x πππππ=-→=-→=+-→=- 3.B 5sin cos 0544(,)(,)tan 054240,24ππαααπππαπαππαπα⎧<<⎪->⎧⎪⇒⇒∈⎨⎨>⎩⎪<<<<⎪⎩ 或 4.D tan 1,cos sin 1,ααα><<αααcos sin tan >> 5.D 2525T ππ== 6. C 由x y sin =的图象知，它是非周期函数二、填空题7.① 0 此时()cos f x x =为偶函数8.3 22221(2cos )2cos ,cos 11,3113y y y x x x y y y ---=+=⇒-≤≤≤≤++ 9.2,3或 ,12,,2,32T k k N k k k ππππ=<<<<∈⇒=而或 10.|2,2,33x x k k k Z ππππ⎧⎫=++∈⎨⎬⎩⎭或 11.34 [0,],0,0,3333x x x ππωππω∈≤≤≤≤<max 3()2sin,332344f x ωπωπωππω===== 三、解答题 12.解：将函数[]sin ,0,2y x x π=∈的图象关于x 轴对称，得函数[]sin ,0,2y x x π=-∈的图象，再将函数[]sin ,0,2y x x π=-∈的图象向上平移一个单位即可.13.解：（1）00000000sin110sin70,sin150sin30,sin70sin30,sin110sin150==>∴>而（2）00000000tan 220tan 40,tan 200tan 20,tan 40tan 20,tan 220tan 200==>∴>而14.解：（1）221111log 10,log 1,2,0sin sin sin sin 2x x x x -≥≥≥<≤ 22,6k x k πππ<≤+或522,6k x k k Z ππππ+≤<+∈ 5(2,2][2,2),()66k k k k k Z ππππππ++∈ 为所求. （2）0,1cos 1x x π≤≤-≤≤当时，而[11]-，是()sin f t t =的递增区间当cos 1x =-时，min ()sin(1)sin1f x =-=-；当cos 1x =时，max ()sin1f x =.。

高中数学第一章三角函数1.6三角函数模型的简单应用互动课堂学案新人教A版必修4(2021学年)

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1。

6 三角函数模型的简单应用互动课堂疏导引导1。

根据图象求函数解析式。

现实生产、生活和自然现象中，周期现象广泛存在.三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种模型,可以用来研究很多问题,在说明周期变化规律、预测未来等方面都发挥着十分重要的作用.案例１如图1－6－1,某地一天从6~14时的温度变化曲线近似满足函数ｙ＝Asin （ωｘ＋φ)+b。

(１)求这一天的最大温差;(2)写出这段曲线的函数解析式。

图１-6—1【解】（1）由图可知，这段时间的最大温差是20 ℃.（2）从图中可以看出，从6~1４时的图象是函数ｙ=A ｓin(ωｘ+φ)＋ｂ的半个周期的图象, ∴A＝21（３0—10）＝１0，b=21 （３0＋10)=２0. ∵21·ωπ2=１4—６,∴ω=8π。

将x ＝６,ｙ＝1０代入上式，解得φ=43π。

综上,所求解析式为y=1０ｓin(8πｘ＋43π)+２0,ｘ∈[6,14]。

【规律总结】在y=Asin(ωｘ+φ)+ｂ中,各未知量的求法。

(１）A 是振幅,即离开平衡位置的最大距离可直接观察得出，Ａ=2min max y y -. （2)ω=Tπ2，因此要先求T 。

高中数学 1.6三角函数模型的简单应用教案新人教A版必修41

第一章三角函数4-1.6三角函数模型的简单应用【知识与技能】1.掌握三角函数模型应用基本步骤:(1)根据图象建立解析式; (2)根据解析式作出图象;(3)将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型.2.利用收集到的数据作出散点图，并根据散点图进行函数拟合，从而得到函数模型.【过程与方法】例1是研究温度随时间呈周期性变化的问题.问题给出了某个时间段的温度变化曲线，要求这一天的最大温差，并写出曲线的函数解析式.也就是利用函数模型来解决问题.要特别注意自变量的变化范围.例2利用函数图象的直观性，通过观察图象而获得对函数性质的认识，这是研究数学问题的常用方法.显然，函数x y sin =与正弦函数有紧密的联系.例3是研究楼高与楼在地面的投影长的关系问题，是将实际问题直接抽象为与三角函数有关的简单函数模型，然后根据所得的模型解决问题。

应当注意在复杂的背景中抽取基本的数学关系，还要调动相关学科知识来帮助理解问题。

例4本题的解答中，给出货船的进、出港时间，一方面要注意利用周期性以及问题的条件，另一方面还要注意考虑实际意义。

关于课本第73页的 “思考”问题，实际上，在货船的安全水深正好与港口水深相等时停止卸货将船驶向较深的水域是不行的，因为这样不能保证船有足够的时间发动螺旋桨。

补充例题例题：一根为Lcm 的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，组成一个单摆，小球摆动时，离开平衡位置的位移s(单位：cm)与时间t(单位：s)的函数关系是),0[,6sin 3+∞∈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=t t l g s π，（1）求小球摆动的周期和频率；（2）已知g=980cm/s 2，要使小球摆动的周期恰好是1秒，线的长度l 应当是多少？解：（1）l g f g l T l g ππωπω21,22===∴=；（2）cm g l T 8.24412≈==π，即若. 【情态与价值】一、选择题1. 初速度v 0，发射角为θ，则炮弹上升的高度y 与v 0之间的关系式为（） A.t v y 0= B.2021sin t g t v y ⋅-⋅⋅=θ C.t v y ⋅⋅=θsin 0 D.t v y ⋅⋅=θcos 0 2. 当两人提重为G 的书包时，夹角为θ，用力为F ，则θ为____时，F 最小（）A ．2π B.0 C.π D.π32 3.某人向正东方向走x 千米后向右转 150，然后朝新的方向走3千米，结果他离出发点恰好3千米，那么x 的值为（）A ．3 B.32 C.332或 D.3二、填空题4. 甲、乙两楼相距60米，从乙楼底望甲楼顶仰角为045，从甲楼顶望乙楼顶俯角为30，则甲、乙两楼的高度分别为_______5.一树干被台风吹断折成 60角，树干底部与树尖着地处相距20米，树干原来的高度是_____.三、解答题6. 三个力321..F F F 同时作用于O 点且处于平衡，已知 13521的夹角为与F F ，牛顿，的夹角为与2120232=F F F ，求31F F 和7、有一长为α的斜坡，它的倾斜角为θ，现在要倾斜角改为2θ，则坡底要伸长多少?。

「精品」高中数学第一章三角函数1.6三角函数模型的简单应用课堂导学案新人教A版必修4

1.6 三角函数模型的简单应用课堂导学三点剖析1.用三角函数模型解决一些具有周期变化规律的实际问题.(1)试根据以上数据，求出y=Asin ωt+b 的表达式；（2）一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离不少于4.5米时是安全的，如果某船的吃水深度（船底与水面的距离）为7米，那么该船在什么时间段能够安全进港？若该船欲当天安全离港，则在港内停留的时间最多不能超过多长时间（忽略进出港所用的时间）？思路分析：（1）从拟合曲线可知，函数y=Asin ωt+b 中的b ，由t=0时的函数值取的，t=3时取得最大值，进而可求得ω、A 、b 的值，即得函数的表达式.(2)根据（1）中求得的函数表达式，求出数值不小于4.5+7=11.5（米）的时段，从而就可回答题中的两问.解:（1）从拟合曲线可知：函数y=Asin ωt+b 在一个周期内由最大变到最小需9-3=6小时，此为半个周期，所以函数的最小正周期为12小时，因此ωπ2=12,ω=6π. 又∵当t=0时，y=10;当t=3时，y max =13. ∴b=10,A=13-10=3.于是所求的函数表达式为y=3sin6πx+10. (2)由于船的吃水深度为7米，船底与海底的距离不少于4.5米，故在船舶航行时水深y 应大于等于7+4.5=11.5（米）.由拟合曲线可知，一天24小时，水深y 变化两个周期，故要使船舶在一天内停留港口的时间最长，则应从凌晨3点前进港，而从第二个周期中的下午15点后离港.令y=3sin6πx+10≥11.5，可得sin 6πx≥21. ∴2k π+6π≤6πx≤2k π+65π (k∈Z ).∴12k+1≤x≤12k+5(k∈Z ).取k=0，则1≤x≤5；取k=1，则13≤x≤17. 而取k=2时，则25≤x≤29（不合题意）.从而可知船舶要在一天之内在港口停留时间最长，就应从凌晨1点（1点到5点都可以）进港，而下午的17点（即13点到17点之间）前离港，在港内停留的时间最长为16小时.2.从实际问题中抽象出三角函数模型【例2】如右图，某大风车的半径为2 m ，每12 s 旋转一周，它的最低点O 离地面0.5 m.风车圆周上一点A 从最低点O 开始，运动t(s)后与地面的距离为h(m). (1)求函数h=f(t)的关系式；（2）画出函数h=f(t)的图象.解：(1)如下图，以O 为原点，过点O 的圆的切线为x 轴，建立直角坐标系.设点A 的坐标为（x,y ），则h=y+0.5.设∠OO 1A=θ,则cos θ=22y-,y=-2cos θ+2. 又θ=122π×t,即θ=6πt ，所以y=-2cos 6πt+2,h=f(t)=-2cos 6πt+2.5.(2)函数h=-2cos 6πt+2.5的图象如下温馨提示呈现周期性变化规律的实际问题的解决往往与三角函数有关.实际问题的背景往往比较复杂，具有很强的现实生活色彩，语言表达形式不同于常规训练的简单问题，因此在解决实际问题时要注意：（1）自变量的变化范围.（2）数形结合，通过观察图形，获得本质认识.（3）要在实际背景中抽取出基本的数学关系比较困难，因此要认真仔细地审题，多进行联想，选用适当数学模型.3.绝对值对周期函数的影响【例3】画出下列函数图象并观察其周期性. （1）y=sin ｜x ｜;（2）y=cos ｜x ｜.思路分析：本题中含有｜x ｜，故应先对x 进行分类讨论去掉绝对值.根据绝对值的意义可知，x≥0的部分应是y=sinx,y=cosx 右半平面的部分，由于这几个函数都是偶函数，其图象应关于y 轴对称，于是可作出x ＜0部分的图象. 解：(1)y=sin ｜x ｜=⎩⎨⎧<-≥.0)sin(,0sin x x xx其图象如下图所示：从图中可以看出y=sin ｜x ｜不再是周期函数. (2)y=cos ｜x ｜=⎩⎨⎧<≥.0cos ,0cos x xx x其图象如下图所示：从图中可以看出y=cos ｜x ｜仍是周期函数，其周期为2π,而且y=cos ｜x ｜的图象与y=cosx 的图象相同. 各个击破类题演练1已知某海滨浴场的海浪高度y （米）是时间t （0≤t≤24，单位小时）的函数，记作：y=f(t).下表(1)根据以上数据，求出函数y=Acos ωt+b 的最小正周期T 、振幅A 及函数表达式；（2）依据规定，当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放，请根据（1）的结论，判断一天内的上午8:00时至晚上20：00时之间，有多少时间可供冲浪者进行运动？解：（1）由上表中数据，知周期T=12. ∴ω=T π2=122π=6π. 由t=0,y=1.5,得A+b=1.5.① 由t=3,y=1.0,得b=1.0.② ∴A=0.5,b=1, ∴振幅为21，∴y=21cos 6πt+1. (2)由题知，当y ＞1时才可对冲浪者开放,∴21cos 6πt+1＞1,∴cos 6πt ＞0. ∴2k π-2π＜6πt ＜2k π+2π,即12k-3＜t ＜12k+3.③∵0≤t≤24,故可令③中k 分别为0,1,2得0≤t＜3或9＜t ＜15或21＜t≤24.∴在规定时间上午8:00至晚上20：00之间，有6个小时时间可供冲浪者运动：上午9：00至下午15：00. 变式提升1(2006广东模拟)如下图某地夏天从8—14时用电量变化曲线近似满足函数y=Asin （ωx+φ）+b.(1)求这一天的最大用电量及最小用电量；（2）写出这段曲线的函数解析式.解：(1)最大用电量为50万度，最小用电量为30万度.(2)观察图象可知，从8—14时的图象是y=Asin （ωx+φ）+b 的半个周期的图象.∴A=21×(50-30)=10,b=21×(50+30)=40. ∵ωπ221∙=14-8, ∴ω=6π,∴y=10sin(6πx+φ)+40.将x=8,y=30代入上式，解得φ=6π,∴所求解析式为 y=10sin(6πx+6π)+40，x∈［8，14］. 类题演练2要在宽为6米的教室当中装一盏电灯，电灯装在距离正中桌面的高是多少米时，才能使两边靠墙的课桌得到的亮度最大？（已知：电灯对课桌的照度E=2bIcos α,I 为电灯的光度，b 、α如右图所示）.解：由题设E=2cos bI α及b=αsin 3得E=9I sin 2αcos α要使靠墙的课桌得到最大亮度，即E 值最大.∵9I 是常数，且cos α的值使得（sin 2αcos α）2与sin 2αcos α同时达到最大值，因（sin 2αcos α）2=cos 2α(1-cos 2α)2=21·2cos 2α·(1-cos 2α)·(1-cos 2α), 又由α为锐角，且2cos 2α+(1-cos 2α)+(1-cos 2α)=2为定值，∴当2cos 2α=1-cos 2α，即cos α=31时（sin 2αcos α）2最大.亦即E 最大，这时h=223tan 3=α(米). 注：若x+y+z=k,k 为定值，x ＞0,y ＞0,z ＞0,则当且仅当x=y=z 时xyz 有最大值. 变式提升2将自行车支起来，使后轮能平稳地匀速转动，观察后轮气针的运动规律，若将后轮放入如右图所示坐标系中，轮胎以角速度ω rad/s 做圆周运动，P 0是气针的初始位置，气针到轴（O ）的距离为r cm ，求气针（P ）的纵坐标y 关于时间t 的函数关系，并求出P 的运动周期.当φ=6π，r ＝ω=1时，作出其图象.解：过P 作x 轴的垂线，设垂足为M ，则PM 就是正弦线. y=γsin(ωt+φ)，因此T=ωπ2,当φ=6π,γ=ω=1时， y=sin(t+6π),其图象是将y=sint 图象向左平移6π得到.类题演练3画出y=tan ｜x ｜的图象并观察其周期性解析：y=tan ｜x ｜=.0tan ,0tan )tan(tan <≥⎩⎨⎧-x x x x其图象如下图：从图中可以看出y=tan ｜x ｜不是周期函数.变式提升3画出y=｜tanx ｜的图象，并与上图比较.解：y=｜tanx ｜=.0tan ,0tan tan tan <≥⎩⎨⎧-x x x x从图中可以看出，y ｜tanx ｜是周期函数，T=π.。

高中数学人教A版必修4导学案：1.6三角函数模型的简单应用

1.6 三角函数模型的简单应用〖学习目标〗：1、运用函数()sin y A x B ωϕ=++的性质解决生活中的实际问题；〖重点难点〗：将某些实际问题抽象为三角函数的模型，并利用相关知识解决问题。

〖学法指导及使用说明〗：1、认真阅读教材60P 例1，做好导学案；2、感受数学建模的过程，成功体验数学的实际应用；3、能力拓展题可选做。

一、自主学习 1、回顾旧知（1）解决数学建模的一般程序：①审题，②建模，③求解，④还原。

（2）教材60P 例1 某地一天从6~14时的温度变化曲线近似满足函数()sin y A x B ωϕ=++，①求这一天的最大温差；②写出这段曲线的函数解析式。

（3）（教材65P 练习1T ）下图为一向右传播的绳波在某一时刻绳子各点的位置图，经过12周期后，乙点的位置将移至何处？（4）（《学海导航》34P 练习1T ）交流电的电压U （单位：V ）与时间t （单位：s ）的关系可用1006U t ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭表示，则电压值的最大值是 V ，第一次获得这个最大值的时间是 s .二、合作探究展示：例1 （《学海导航》34P 例1）在一个港口，两次高潮发生时间相距12h ，低潮时水的深度为8.4m ，高潮时水的深度为16m ，一次高潮发生在10月10日4:00，涨潮落潮时，水的深度d 与时间t 近似满足关系式：()sin d A x h ωϕ=++。

（1）若从10月10日0:00开始计算时间，选用一个三角函数来近似描述该港口的水深()d m 和时间()t h 之间的函数关系。

（2）10月10日17:00该港口水深为多少？（3）10月10日这一天港口共有多少时间水深低于10.3m 。

变式题：（《学海导航》35P 变式题）设()y f x =是某港口水的深度y （米）关于时间t （时）的函数，其中024t ≤≤，下表是该港口某一天从0时至24时记录的时间t 与水深y 的关系：t 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y12 15.1 12.1 9.1 11.9 14.9 11.9 8.9 12.1经长期观察，函数()y f t =的图象可近似地看成函数()sin y k A x ωϕ=++的图象，下面的函数中，最能表示数据间的对应关系的函数式是：（）（A ）[]123sin0246y t t π=+∈，（B ）[]123sin 02462y t t ππ⎛⎫=++∈ ⎪⎝⎭，（C ）[]123sin02412y t t π=+∈，（D ）[]123sin 024122y t t ππ⎛⎫=++∈ ⎪⎝⎭，方法规律总结：给定模型确定解析式的关键：三、能力拓展例2（《学海导航》35P 例2）如图所示，摩天轮的半径为40cm ，O 点距地面的高度为50cm ，摩天轮作匀速圆周转动，每3m i n 转一圈，摩天轮上的点P 的起始位置在最低处。

高中数学第一章三角函数1.6三角函数模型的简单应用教案新人教A版必修

1.6 三角函数模型的简单应用1.知识与技能(1)能根据图象建立解析式.(2)能根据解析式作出图象.(3)能将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型.(4)能利用收集到的数据作出散点图,并根据散点图进行函数拟合,从而得到函数模型.2.过程与方法通过学习三角函数模型的实际应用,使学生学会把实际问题抽象为数学问题,即建立数学模型的思想方法.3.情感、态度与价值观本节引导学生通过解决有一定综合性和思考水平的问题,培养他们综合应用数学和其他学科知识解决问题的能力;培养他们的探索精神和应用意识.重点:用三角函数模型解决一些具有周期变化规律的实际问题.难点:将某些实际问题抽象为三角函数模型.1.如图为弹簧振子的振动图象.(1)振动的振幅是 cm,频率是;(2)如果从A点计算起,那么到点止,质点做了一次全振动.解析:∵振动距离最大为2 cm,∴振幅为2 cm,周期T=0.8 s.∴频率为.∵点A到E点为一个周期.∴A到E,质点做了一次全振动.答案:(1)2(2)E2.如图所示,设单摆小球偏离铅锤方向的角为α(rad),并规定小球在铅锤方向右侧时α为正角,左侧时α为负角.α作为时间t(s)的函数,近似满足关系α=A sin,其中ω>0.已知小球在初始位置(即t=0)时,α=,且每经过π s小球回到初始位置,那么A=;α作为时间t的函数解析式是.解析:∵t=0时,α=,∴=A sin ,∴A=.又∵周期T=π,∴=π,解得ω=2.∴函数解析式是α=sin(t∈[0,+∞)).答案:α=sin,t∈[0,+∞)精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。

读沙漠，读出了它坦荡豪放的胸怀；读太阳，读出了它普照万物的无私；读春雨，读出了它润物无声的柔情。

读大海，读出了它气势磅礴的豪情。

读石灰，读出了它粉身碎骨不变色的清白。

2、幸福幸福是“临行密密缝，意恐迟迟归”的牵挂；幸福是“春种一粒粟，秋收千颗子”的收获. 幸福是“采菊东篱下，悠然见南山”的闲适；幸福是“奇闻共欣赏，疑义相与析”的愉悦。

高中数学第一章三角函数1.6三角函数模型的简单应用2教案新人教A版必修

1.6 三角函数模型的简单应用(2)教学分析三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型,可以用来研究很多问题,在刻画周期变化规律、预测其未来等方面都发挥着十分重要的作用.三角函数模型的简单应用的设置目的,在于加强用三角函数模型刻画周期变化现象的学习.本节教材通过4个例题,循序渐进地从四个层次来介绍三角函数模型的应用,在素材的选择上注意了广泛性、真实性和新颖性,同时又关注到三角函数性质(特别是周期性)的应用.通过引导学生解决有一定综合性和思考水平的问题,培养他们综合应用数学和其他学科的知识解决问题的能力.培养学生的建模、分析问题、数形结合、抽象概括等能力.由于实际问题常常涉及一些复杂数据,因此要鼓励学生利用计算机或计算器处理数据,包括建立有关数据的散点图,根据散点图进行函数拟合等.三维目标1.能正确分析收集到的数据,选择恰当的三角函数模型刻画数据所蕴含的规律.将实际问题抽象为三角函数有关的简单函数模型.2.通过切身感受数学建模的全过程,体验数学在解决实际问题中的价值和作用,及数学与日常生活和其他学科的联系.认识数学知识在生产、生活实际中所发挥的作用.体会和感受数学思想的内涵及数学本质,逐步提高创新意识和实践能力.3.通过函数拟合得到具体的函数模型,提高数学建模能力.并在探究中激发学生的学习兴趣,培养锲而不舍的钻研精神,培养学生勇于探索、勤于思考的科学精神.重点难点教学重点:分析、整理、利用信息,从实际问题中抽取基本的数学关系来建立三角函数模型,用三角函数模型解决一些具有周期变化规律的实际问题.教学难点:将某些实际问题抽象为三角函数的模型,并调动相关学科的知识来解决问题.课时安排2课时第2课时导入新课思路1.通过展示上节作业引入,学生搜集、归纳到的现实生活中的周期现象有:物理情景的①简单和谐运动,②星体的环绕运动；地理情景的①气温变化规律,②月圆与月缺；心理、生理现象的①情绪的波动,②智力变化状况,③体力变化状况；日常生活现象的①涨潮与退潮,②股票变化等等.思路2.(复习导入)回忆上节课三角函数模型的简单应用例子,这节课我们继续探究三角函数模型在日常生活中的一些简单应用.推进新课新知探究提出问题①本章章头引言告诉我们,海水在月球和太阳引力作用下发生周期性涨落现象.回忆上节课的内容,怎样用上节课的方法从数学的角度来定量地解决这个问题呢？在指数、对数模型中是怎样处理搜集到的数据的？ ②请做下题(2007浙江高考)若函数f(x)=2sin(ωx+φ),x∈R (其中ω＞0,|φ|＜2π)的最小正周期是π,且f(0)=3,则( ) A.ω=21,φ=6π B.ω=21,φ=3π C.ω=2,φ=6π D.ω=2,φ=3π活动:这样的开头对学生来说是感兴趣的.教师引导学生复习、回忆、理清思路,查看上节的课下作业.教师指导、适时设问,让学生尽快回忆到上节课的学习氛围中,使学生的思维状态进入到现在的情境中. 讨论结果:①略 ②D 应用示例例 1 货船进出港时间问题:海水受日月的引力,在一定的时候发生涨落的现象叫潮.一般地,早潮叫潮,晚潮叫汐.在通常情况下,船在涨潮时驶进航道,靠近码头;卸货后,在落潮时返回海洋.下面是某港口在某季节每天的时间与水深关系表:(精确到0.001).(2)一条货船的吃水深度(船底与水面的距离)为4米,安全条例规定至少要有1.5米的安全间隙(船底与洋底的距离),该船何时能进入港口?在港口能呆多久?(3)若某船的吃水深度为4米,安全间隙为1.5米,该船在2:00开始卸货,吃水深度以每小时0.3米的速度减少,那么该船在什么时间必须停止卸货,将船驶向较深的水域?活动:引导学生观察上述问题表格中的数据,会发现什么规律?比如重复出现的几个数据.并进一步引导学生作出散点图.让学生自己完成散点图,提醒学生注意仔细准确观察散点图,如图 6.教师引导学生根据散点的位置排列,思考可以用怎样的函数模型来刻画其中的规律.根据散点图中的最高点、最低点和平衡点,学生很容易确定选择三角函数模型.港口的水深与时间的关系可以用形如y=Asin(ωx+φ)+h 的函数来刻画.其中x 是时间,y 是水深,我们可以根据数据确定相应的A,ω,φ,h 的值即可.这时注意引导学生与“五点法”相联系.要求学生独立操作完成,教师指导点拨,并纠正可能出现的错误,直至无误地求出解析式,进而根据所得的函数模型,求出整点时的水深.图6根据学生所求得的函数模型,指导学生利用计算器进行计算求解.注意引导学生正确理解题意,一天中有两个时间段可以进港.这时点拨学生思考:你所求出的进港时间是否符合时间情况？如果不符合,应怎样修改？让学生养成检验的良好习惯.在本例(3)中,应保持港口的水深不小于船的安全水深,那么如何刻画船的安全水深呢？引导学生思考,怎样把此问题翻译成函数模型.求货船停止卸货,将船驶向深水域的含义又是什么?教师引导学生将实际问题的意义转化为数学解释,同时提醒学生注意货船的安全水深、港口的水深同时在变,停止卸货的时间应当在安全水深接近于港口水深的时候.进一步引导学生思考:根据问题的实际意义,货船的安全水深正好等于港口的水深时停止卸货行吗？为什么？正确结论是什么？可让学生思考、讨论后再由教师组织学生进行评价.通过讨论或争论,最后得出一致结论:在货船的安全水深正好等于港口的水深时停止卸货将船驶向较深水域是不行的,因为这样不能保证货船有足够的时间发动螺旋桨.解:(1)以时间为横坐标,水深为纵坐标,在直角坐标系中画出散点图(图6).根据图象,可以考虑用函数y=Asin(ωx+φ)+h 刻画水深与时间之间的对应关系.从数据和图象可以得出: A ＝2.5,h ＝5,T ＝12,φ＝0, 由T ＝ωπ2＝12,得ω＝6π. 所以这个港口的水深与时间的关系可用y ＝2.5sin 6πx+5近似描述. 由上述关系式易得港口在整点时水深的近似值:令2.5sin6πx+5=5.5,sin 6πx=0.2. 由计算器可得如图7,在区间[0,12]内,函数y ＝2.5sin6πx+5的图象与直线y ＝5.5有两个交点A 、B,图7因此6πx≈0.201 4,或π－6πx≈0.201 4. 解得x A ≈0.384 8,x B ≈5.615 2.由函数的周期性易得:x C ≈12+0.384 8＝12.384 8,x D ≈12+5.615 2＝17.615 2.因此,货船可以在0时30分左右进港,早晨5时30分左右出港;或在中午12时30分左右进港,下午17时30分左右出港.每次可以在港口停留5小时左右.图8(3)设在时刻x 货船的安全水深为y,那么y=5.5-0.3(x-2)(x≥2).在同一坐标系内作出这两个函数的图象,可以看到在6—7时之间两个函数图象有一个交点(如图8).通过计算也可以得到这个结果.在6时的水深约为5米,此时货船的安全水深约为4.3米;6.5时的水深约为4.2米,此时货船的安全水深约为4.1米;7时的水深约为3.8米,而货船的安全水深约为4米.因此为了安全,货船最好在6.5时之前停止卸货,将船驶向较深的水域.点评:本例是研究港口海水深度随时间呈周期性变化的问题,题目只给出了时间与水深的关系表,要想由此表直接得到函数模型是很困难的.对第(2)问的解答,教师引导学生利用计算器进行计算求解.同时需要强调,建立数学模型解决实际问题,所得的模型是近似的,并且得到的解也是近似的.这就需要根据实际背景对问题的解进行具体的分析.如本例中,一天中有两个时间段可以进港,教师应引导学生根据问题的实际意义,对答案的合理性作出解释.变式训练发电厂发出的电是三相交流电,它的三根导线上的电流强度分别是时间t的函数,I A=Isinωt,I B=Isin(ωt+120°),I C=Isin(ωt+240°),则I A+I B+I C=________.答案:0例2 图9,是一个单摆的振动图象,据图象回答下列问题:(1)单摆振幅多大；(2)振动频率多高；(3)摆球速度首次具有最大负值的时刻和位置；(4)摆球运动的加速度首次具有最大负值的时刻和位置；(5)若当g＝9.86 m/s2J,求摆线长.活动:引导学生观察图象并思考,这个简谐运动的函数模型是什么？引导学生结合函数上例.点拨学生考虑最高点、最低点和平衡点.通过学生讨论、思考确定选用函数y=Asin(ωx+φ)来刻画单摆离开平衡位置的位移与时间之间的对应关系.图9解:结合函数模型和图象:(1)单摆振幅是1 cm；(2)单摆的振动频率为1.25 HZ；(3)单摆在0.6 s通过平衡位置时,首次具有速度的最大负值；(4)单摆在0.4 s时处正向最大位移处,首次具有加速度最大负值；(5)由单摆振动的周期公式T=2πgL,可得L=224πgT =0.16 m. 点评:解决实际问题的关键是要归纳出数学函数模型,然后按数学模型处理.同时要注意检验,使所求得的结论符合问题的实际意义. 变式训练1.已知函数f(x)＝sin(ωx+φ)(ω>0,0≤φ≤π)为偶函数,且其图象上相邻的一个最高点和最低点之间的距离为24π+.(1)求函数f(x)的解析式； (2)若sinx+f(x)＝32,求sinxcosx 的值. 解:(1)∵f(x)为偶函数,∴f(－x)＝f(x),即sin(－ωx+φ)＝sin(ωx+φ). ∴φ＝2π. ∴f(x)＝sin(ωx+2π)＝cos ωx. 相邻两点P(x 0,1),Q (x 0+ωπ,－1). 由题意,|PQ|＝4)(2+ωπ=π2+4.解得ω＝1. ∴f(x)＝cosx. (2)由sinx+f(x)＝32,得sinx+cosx ＝32. 两边平方,得sinxcosx ＝185-. 2.小明在直角坐标系中,用1 cm 代表一个单位长度作出了一条正弦曲线的图象.若他将纵坐标改用2 cm 代表一个单位长度,横坐标不变,那么他所作的曲线的函数解析式是什么？若他将横坐标改用2 cm 代表一个单位长度,而纵坐标不变,那么他所作的曲线的函数解析式又是什么？解:小明原作的曲线为y=sinx,x∈R ,由于纵坐标改用了2 cm 代表一个单位长度,与原来1 cm 代表一个单位长度比较,单位长度增加到原来的2倍,所以原来的1 cm 只能代表21个单位长度了.由于横坐标没有改变,曲线形状没有变化,而原曲线图象的解析式变为y ＝21sinx,x∈R .同理,若纵坐标保持不变,横坐标改用2 cm 代表一个单位,则横坐标被压缩到原来的21,原曲线周期就由2π变为π.故改变横坐标后,原曲线图象的解析式变为y＝sin2x,x∈R.3.求方程lgx＝sinx实根的个数.解:由方程式模型构建图象模型.在同一坐标系内作出函数y＝lgx和y＝sinx的图象,如图10.可知原方程的解的个数为3.图10点评:单解方程是很困难的,而根据方程式模型构建图象模型,利用数形结合来解就容易多了,教师要让学生熟练掌握这一方法.知能训练课本本节练习33.本题可让学生上网查一下,下载有关人体节律的软件,利用软件就能方便地作出自己某一时间段的三条人体节律曲线,它们都是正弦型函数图象,根据曲线不难回答题中的问题.让学生在课下总结一下自己在什么时候应当控制情绪,在什么时候应当鼓励自己；在什么时候应当加以锻炼,在什么时候应当保持体力,以利于学生的高效率学习.点评:通过解决可用三角函数模型描述的自身问题,让学生增强学习三角函数的兴趣,并进一步体会三角函数是描述周期性变化现象的重要模型,体会数学应用的广泛性.课堂小结1.让学生回顾本节课的数学模型都解决了哪些现实生活中的问题,用三角函数模型刻画周期变化规律对国家建设、制定未来计划,以及我们的学习、生活都发挥着什么样的作用.2.三角函数应用题通常涉及生产、生活、军事、天文、地理和物理等实际问题,其解答流程大致是:审读题意→设角建立三角式→进行三角变换→解决实际问题.在解决实际问题时,要学会具体问题具体分析,充分运用数形结合的思想,灵活的运用三角函数的图象和性质解决现实问题.作业图11如图11,一滑雪运动员自h=50 m高处A点滑至O点,由于运动员的技巧(不计阻力),在O点保持速率v0不变,并以倾角θ起跳,落至B点,令OB=L,试问,当α=30°时,L的最大值为多少?当L取最大值时,θ为多大?分析:本题是一道综合性题目,主要考查考生运用数学知识来解决物理问题的能力.首先运用物理学知识得出目标函数,其次运用三角函数的有关知识来解决实际问题.解:由已知条件列出从O 点飞出后的运动方程:⎪⎩⎪⎨⎧-=-=-==.21sin sin cos cos 200gt t v a L h t v a L s θθ由①②,整理得v 0cos θ=t a L cos ,v 0sin θ=t a L sin -+21gt. ∴v 02+gLsin α=41g 2t 2+22t L ≥2222241tL t g ∙=gL.运动员从A 点滑至O 点,机械守恒有mgh=21mv 02, ∴v 02=2gh.∴L≤)sin 1(2)sin 1(20a g gh a g v -=-=200(m),即L max =200(m).又41g 2t 2=222th s +=22t L , ∴t=g L 2,s=Lcos α=v 0tcos θ=2gh·gL2·cos θ, 得cos θ=cos α.∴θ=α=30°.∴L 最大值为200米,当L 最大时,起跳倾角为30°.设计感想1.本节是三角函数内容中新增加的一节,目的是加强学生的应用意识,本节教案设计的指导思想,是让学生围绕着采集到的数据展开讨论,在学生思考探究的过程中,学会积极冷静地对待陌生背景,正确处理复杂数据以及准确分析问题中的数量关系,这很符合新课改理念.2.现实生活中的问题是多变的,学生的思维是发散的,观察的视角又是多样的,因此课题教学中,教师要善于挖掘并发现学生思维的闪光点,通过讨论例题这个载体,充分激发学生的潜能,让学生从观察走向发现,从发现走向创造,走向创新.3.学生面对枯燥的数据,潜意识里是讨厌的,因此教师要在有限的课堂时间里,着重解决物理背景下、地理背景下的三角函数的函数模型的选定,不要把时间浪费在一些计算上.精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。

高中数学第一章三角函数1.6三角函数模型的简单应用问题导学案新人教A版必修4(2021学年)

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１.6 三角函数模型的简单应用问题导学一、与函数图象有关的问题活动与探究１已知电流I与时间t的关系为Ｉ＝A sｉｎ（ωt+φ).(1)如图所示的是I=A siｎ(ωt+φ)错误!在一个周期内的图象，根据图中数据求I=A sｉｎ（ωt+φ)的解析式;(2)如果t在任意一段错误!秒的时间内,电流Ｉ=A sin(ωｔ+φ)都能取得最大值和最小值，那么ω的最小正整数值是多少？迁移与应用已知函数ｆ(x)(１)（2)根据(1)的结果,若函数y=f(kｘ)（k>0）的周期为错误!,当ｘ∈错误!时,方程ｆ(ｋx）=m恰有两个不同的解，求实数m的取值范围．正确运用三角函数的图象与性质以及数形结合的数学思想,还要综合应用相关学科的知识来帮助理解具体问题.二、函数解析式的应用活动与探究２一个匀速旋转的摩天轮每12分钟旋转一周，最低点距地面2米,最高点距地面１８米，P 是摩天轮轮周上的定点,点P在摩天轮最低点开始计时，t分钟后P点距地面高度为h(米）,设h＝Ａsin(ωt＋φ)+Ｂ(Ａ>０,ω>0，φ∈[0,２π））,则下列结论错误的是（）Ａ．A＝8 B.ω=错误!C．φ＝错误!Ｄ.Ｂ=1０迁移与应用设y=f（t)是某港口水的深度ｙ（m)关于时间t(时)的函数,其中0≤ｔ≤２４,下表是该港)的图象,下面的函数中,最能近似表示表中数据的对应关系的函数是( ）A.ｙ=12+3sin错误!ｔ,ｔ∈[0,24］B.ｙ＝12＋3ｓin错误!，t∈［0,24]C.y＝12+3sin错误!ｔ，t∈[0,２4]D．y＝12＋３ｓin错误!，t∈[0,24］解决该类题目的关键在于如何把实际问题三角函数模型化,而散点图起了关键的作用．解决这类题目的通法如下:当堂检测1.电流I（Ａ）随时间t（s)变化的关系式是Ｉ＝5sｉn错误!，则当t＝错误!s时,电流I 为( ）A.5 A Ｂ.2。

高中数学第一章三角函数1.6三角函数模型的简单应用学案新人教A版必修4

1.6 三角函数模型的简单应用学习目标：1.了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，并会用三角函数模型解决一些简单的实际问题．(重点)2．实际问题抽象为三角函数模型．(难点)[自主预习·探新知]1．三角函数可以作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型． 2．解三角函数应用题的基本步骤： (1)审清题意；(2)搜集整理数据，建立数学模型； (3)讨论变量关系，求解数学模型； (4)检验，作出结论．[基础自测]1．思考辨析(1)函数y ＝|sin x ＋12|的周期为π.( )(2)一个弹簧振子做简谐振动的周期为0.4 s ，振幅为5 cm ，则该振子在2 s 内通过的路程为50 cm.( )(3)电流强度I (A)随时间t (s)变化的关系式是I ＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫100πt ＋π3，则当t ＝1200 s 时，电流强度I 为52A ．( )[解析] (1)错误．函数y ＝|sin x ＋12|的周期为2π.(2)错误．一个周期通过路程为20 cm ，所以2 s 内通过的路程为20×20.4＝100(cm)．(3)正确．[答案] (1)× (2)× (3)√2．如图161为某简谐运动的图象，则这个简谐运动需要________s 往返一次．图1610．8 [观察图象可知此简谐运动的周期T ＝0.8，所以这个简谐运动需要0.8 s 往返一次．]3．如图162所示的图象显示的是相对于平均海平面的某海湾的水面高度y (m)在某天24 h 内的变化情况，则水面高度y 关于从夜间0时开始的时间x 的函数关系式为________________．图162y ＝－6sin π6x [设y 与x 的函数关系式为y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)则A ＝6， T ＝2πω＝12，ω＝π6. 当x ＝9时，y max ＝6.故 π6×9＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z . 取k ＝1得φ＝π，即y ＝－6sin π6x .][合作探究·攻重难](1)A B C D (2)作出函数y ＝|cos x |的图象，判断其奇偶性、周期性并写出单调区间.【导学号：84352127】[思路探究] (1)根据函数的奇偶性和图象对称性的关系判断．(2)依据y ＝|cos x |＝⎩⎪⎨⎪⎧cos x ，cos x ≥0－cos x ，cos x ＜0画图，并判断此函数的性质．(1)C [(1)y ＝x ＋sin|x |是非奇非偶函数，图象既不关于y 轴对称，也不关于原点对称，故选C. (2)y ＝|cos x |图象如图所示．由图象可知：T ＝π；y ＝|cos x |是偶函数；单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋k π，k π，k ∈Z ，单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π，π2＋k π，k ∈Z .][规律方法]一般方法是根据图象所反映出的函数性质来解决，如函数的奇偶性、周期性、对称性、单调性、值域，此外零点也可以作为判断的依据一些函数图象可以通过基本三角函数图象翻折得到.例如：①由函数y ＝f x 的图象要得到y ＝|f x的图象，只需将y ＝f x 的图象在x 轴下方的部分翻折到x 轴上方，x 轴上方的图象保持不动，即“上不动，下翻上”.②由函数y ＝f x 的图象要得到y ＝fx 的图象，应保留y ＝f x 位于y 轴右侧的图象，去掉y 轴左侧的图象，再由y轴右侧的图象翻折得到y 轴左侧的图象，即“右不动，右翻左”.[跟踪训练] 1．函数f (x )＝2sin x(x ∈[－π，π])的图象大致为( )A B C D A [f (－π)＝2sin(－π)＝20＝1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＝2－1＝0.5，f (0)＝2sin 0＝20＝1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝2sin π2＝2，f (π)＝2sin π＝20＝1.由此知选项A 符合要求．]t (s)的变化规律为s ＝4sin ⎝⎛⎭⎪⎫2t ＋π3，t ∈[0，＋∞)．用“五点法”作出这个函数的简图，并回答下列问题．(1)小球在开始振动(t ＝0)时的位移是多少？(2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是多少？ (3)经过多长时间小球往复振动一次？【导学号：84352128】[思路探究] 确定函数y ＝A sin(ωx ＋φ)中的参数A ，ω，φ的物理意义是解题关键． [解] 列表如下：(1)将t ＝0代入s ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2t ＋π3，得s ＝4sin π3＝23，所以小球开始振动时的位移是2 3 cm.(2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是4 cm 和－4 cm. (3)因为振动的周期是π，所以小球往复振动一次所用的时间是π s. [规律方法] 在物理学中，物体做简谐运动时可用正弦型函数y ＝Aωx ＋φ表示物体振动的位移y 随时间x 的变化规律，A 为振幅，表示物体离开平衡位置的最大距离，T ＝2πω为周期，表示物体往复振动一次所需的时间，f ＝1T为频率，表示物体在单位时间内往复振动的次数.[跟踪训练]2．交流电的电压E (单位：V)与时间t (单位：s)的关系可用E ＝2203sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫100πt ＋π6来表示，求：(1)开始时电压；(2)电压值重复出现一次的时间间隔； (3)电压的最大值和第一次获得最大值的时间．[解] (1)当t ＝0时，E ＝1103(V)，即开始时的电压为110 3 V. (2)T ＝2π100π＝150(s)，即时间间隔为0.02 s.(3)电压的最大值为220 3 V ，当100πt ＋π6＝π2，即t ＝1300s 时第一次取得最大值．[在处理曲线拟合和预测的问题时，通常需要几个步骤？提示：(1)根据原始数据给出散点图．(2)通过考察散点图，画出与其“最贴近”的直线或曲线，即拟合直线或拟合曲线．(3)根据所学函数知识，求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式．(4)利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测和控制，以便为决策和管理提供依据．已知某海滨浴场的海浪高度y (米)是时间t (时)的函数，其中0≤t ≤24，记y＝f (t )，下表是某日各时的浪高数据：(1)根据以上数据，求其最小正周期，振幅及函数解析式；(2)根据规定，当海浪高度大于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据(1)的结论，判断一天内的8：00到20：00之间，有多少时间可供冲浪者进行活动？【导学号：84352129】[思路探究] (1)根据y 的最大值和最小值求A ，b ，定周期求ω. (2)解不等式y ＞1，确定有多少时间可供冲浪者活动．[解] (1)由表中数据可知，T ＝12，∴ω＝π6.又t ＝0时，y ＝1.5，∴A ＋b ＝1.5；t＝3时，y ＝1.0，得b ＝1.0，所以振幅为12，函数解析式为y ＝12cos π6t ＋1(0≤t ≤24)．(2)∵y ＞1时，才对冲浪爱好者开放，∴y ＝12cos π6t ＋1＞1，cos π6t ＞0,2k π－π2＜π6t ＜2k π＋π2，即12k －3＜t ＜12k ＋3，(k ∈Z )．又0≤t ≤24，所以0≤t ＜3或9＜t ＜15或21＜t ≤24，所以在规定时间内只有6个小时冲浪爱好者可以进行活动，即9＜t ＜15.母题探究：1.若将本例中“大于1米”改为“大于1.25米”，结果又如何？ [解] 由y ＝12cos π6t ＋1＞1.25得cos π6t ＞12，2k π－π3＜π6t ＜2k π＋π3，k ∈Z ，即12k －2＜t ＜12k ＋2，k ∈Z .又0≤t ≤24，所以0≤t ＜2或10＜t ＜14或22＜t ≤24，所以在规定时间内只有4个小时冲浪爱好者可以进行活动，即10＜t ＜14.2．若本例中海滨浴场某区域的水深y (米)与时间t (时)的数据如下表：[解] 函数y ＝A sin ωt ＋b 在一个周期内由最大变到最小需9－3＝6(h)，此为半个周期，∴函数的最小正周期为12 h ，因此2πω＝12，ω＝π6.又∵当t ＝0时，y ＝10；当t ＝3时，y max ＝13， ∴b ＝10，A ＝13－10＝3，∴所求函数的解析式为y ＝3sin π6t ＋10(0≤t ≤24)．[规律方法] 解三角函数应用问题的基本步骤提醒：关注实际意义求准定义域．[当堂达标·固双基]1．与图163中曲线对应的函数解析式是( )图163A ．y ＝|sin x |B ．y ＝sin |x |C ．y ＝－sin |x |D ．y ＝－|sin x |C [注意题图所对的函数值正负，因此可排除选项A ，D.当x ∈(0，π)时，sin |x |>0，而图中显然是小于零，因此排除选项B ，故选C.]2．在两个弹簧上各有一个质量分别为M 1和M 2的小球做上下自由振动．已知它们在时间t (s)离开平衡位置的位移s 1(cm)和s 2(cm)分别由s 1＝5sin ⎝⎛⎭⎪⎫2t ＋π6，s 2＝10cos 2t 确定，则当t ＝2π3s 时，s 1与s 2的大小关系是( )【导学号：84352130】A ．s 1＞s 2B ．s 1＜s 2C ．s 1＝s 2D ．不能确定C [当t ＝2π3时，s 1＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3＋π6＝5sin 3π2＝－5，当t ＝2π3时，s 2＝10cos 4π3＝10×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－5，故s 1＝s 2.]3．如图164表示电流强度I 与时间t 的关系为I ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)在一个周期内的图象，则该函数解析式为()图164A ．I ＝300sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫50πt ＋π3B ．I ＝300sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫50πt －π3C ．I ＝300sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫100πt ＋π3D ．I ＝300sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫100πt －π3 C [A ＝300，T ＝2⎝⎛⎭⎪⎫1150＋1300＝150，ω＝2πT ＝100π，I ＝300sin(100πt ＋φ)．代入点⎝ ⎛⎭⎪⎫－1300，0，得100π×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1300＋φ＝0，得φ＝π3，∴I ＝300sin ⎝⎛⎭⎪⎫100πt ＋π3.]4．一根长l cm 的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，小球摆动时离开平衡位置的位移s (cm)与时间t (s)的函数关系式为s ＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫g l t ＋π3，其中g 是重力加速度，当小球摆动的周期是1 s 时，线长l ＝________cm.g4π2[由已知得2πgl＝1，所以g l ＝2π，g l ＝4π2，l ＝g 4π2.] 5．如图165，某动物种群数量1月1日低至700,7月1日高至900，其总量在此两值之间依正弦型曲线变化．图165(1)求出种群数量y 关于时间t 的函数表达式；(其中t 以年初以来的月为计量单位) (2)估计当年3月1日动物种群数量.【导学号：84352131】[解] (1)设种群数量y 关于t 的解析式为y ＝A sin(ωt ＋φ)＋b (A ＞0，ω＞0)，则⎩⎪⎨⎪⎧－A ＋b ＝700，A ＋b ＝900，解得A ＝100，b ＝800. 又周期T ＝2×(6－0)＝12， ∴ω＝2πT ＝π6，∴y ＝100sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6t ＋φ＋800.又当t ＝6时，y ＝900，∴900＝100sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6×6＋φ＋800， ∴sin(π＋φ)＝1， ∴sin φ＝－1， ∴取φ＝－π2，∴y ＝100sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6t －π2＋800.(2)当t ＝2时，y ＝100sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6×2－π2＋800＝750，即当年3月1日动物种群数量约是750.。

高中数学第一章三角函数 1.6 三角函数模型的简单应用教案新人教A版必修4(1)

1.6 三角函数模型的简单应用
1.知识与技能
(1)能根据图象建立解析式.
(2)能根据解析式作出图象.
(3)能将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型.
(4)能利用收集到的数据作出散点图,并根据散点图进行函数拟合,从而得到函数模型.
2.过程与方法
通过学习三角函数模型的实际应用,使学生学会把实际问题抽象为数学问题,即建立数学模型的思想方法.
3.情感、态度与价值观
本节引导学生通过解决有一定综合性和思考水平的问题,培养他们综合应用数学和其他学科知识解决问题的能力;培养他们的探索精神和应用意识.
重点:用三角函数模型解决一些具有周期变化规律的实际问题.
难点:将某些实际问题抽象为三角函数模型.
1.如图为弹簧振子的振动图象.
(1)振动的振幅是 cm,频率是;
(2)如果从A点计算起,那么到点止,质点做了一次全振动.
解析:∵振动距离最大为2 cm,
∴振幅为2 cm,周期T=0.8 s.∴频率为.
∵点A到E点为一个周期.
∴A到E,质点做了一次全振动.
答案:(1)2(2)E
2.如图所示,设单摆小球偏离铅锤方向的角为α(rad),并规定小球在铅锤方向右侧时α为正角,左侧时α为负角.α作为时间t(s)的函数,近似满足关系α=A sin,其中ω>0.
已知小球在初始位置(即t=0)时,α=,且每经过π s小球回到初始位置,那么A=;α作为时间t的函数解析式是.
解析:∵t=0时,α=,
∴=A sin ,∴A=.
又∵周期T=π,∴=π,解得ω=2.
∴函数解析式是α=sin(t∈[0,+∞)).
答案:α=sin,t∈[0,+∞)。

高中数学新人教版A版精品教案《1.6 三角函数模型的简单应用》

三角函数模型的简单应用（人教A版高中课标教材数学必修4）教学设计授课教师：李冰永康市第二中学指导教师: 胡振福永康市教育局教研室贾宝芬永康市第二中学2021年5月一、教学内容解析：（一）本节课的内容是《普通高中课程标准实验教科书数学》人教A版必修4第一章《三角函数》《三角函数模型的简单应用》的第一课时，学生已经学习了三角函数图像和性质，在这个基础上来学习三角函数模型的简单应用相关问题。

整节课堂中渗透数学建模的思想，为学生接下来的第二课时的学习做好铺垫。

大到宇宙天体的运动，小到质点的运动，现实生活中的周期现象是无处不在的。

而我们刚刚学习的三角函数就具有明显的周期特征，所以我们常常利用三角函数的模型来解决现实生活中存在的一些实际问题。

本节课堂的内容具有显著的现实意义，选用的两个例题都是采用课本中的原题，再进行深加工。

通过从实际背景中提出问题、分析问题、建构数学模型、应用数学知识计算，进而解决问题的过程，使学生进一步巩固所学的知识，体验一些具有周期性变化规律的实际问题的数学“建模”思想。

再这个过程中可以提高学生分析和解决实际问题的能力、动手操作的能力以及用数学语言表达和交流的能力，增强学生应用数学的意识,培养学生的数学建模能力。

（二）本节课的教学重点：1通过对三角函数模型的简单应用的学习，初步学会由图象求解析式的方法；2体验实际问题抽象为三角函数模型问题的过程，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型；3利用多样化信息技术手段解决现实生活中的数据统计、方程求解等问题。

（三）本节课的教学难点：1.体会数学建模过程，对数学模型中相关量的求解。

如例题1中的求解二、教学目标设置：（一）教学目标：1会对信息进行利用，分析与整理。

体会从实际情境中发现问题——设计方案建构数学模型——运用信息技术手段进行计算求解——回到实际应用问题的数学建模过程，培养学生的数学建模素养；体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型。

【四维备课】高中数学 1.6《三角函数模型的简单应用》导学案 新人教A版必修4