误差理论与数据处理-第一章 概 述
误差理论及实验数据处理
可以设法减小或排除掉的，如对试验机和应变仪等定期校准和检验。又如单向拉伸时由于夹
具装置等原因而引起的偏心问题，可以用试样安装双表或者两对面贴电阻应变片来减少这种
误差。系统误差越小，表明测量的准确度越高，也就是接近真值的程度越好。
偶然误差是由一些偶然因素所引起的，它的出现常常包含很多未知因素在内。无论怎样
差出现的可能性小。
3）随着测量次数的增加，偶然误差的平均值趋向于零。
4）偶然误差的平均值不超过某一限度。
根据以上特性，可以假定偶然误差Δ 遵循母体平均值为零
的高斯正态分布，如图Ⅰ-1 所示。
f (Δ) =
1
− Δ2
e 2σ 2
σ 2π
图Ⅰ-1 偶然误差的正态频率曲线
·97·
材料力学实验指导与实验基本训练
Δ ≤ Δ1 + Δ2 [注]：上述法则对于两个相差甚大的数在相减时是正确的。但是对两个相互十分接近的 数，在相减时有效位数大大减少，上述结论就不适用。在建立运算步骤时要尽量避免两个接 近相等的数进行相减。 2）如果经过多次连乘除后要达到 n 个有效位数，则参加运算的数字的有效位数至少要 有 (n + 1) 个或 (n + 2) 个。例如，两个 4 位有效数的数字经过两次相乘或相除后，一般只能 保证 3 位有效数。 3）如果被测的量 N 是许多独立的可以直接测量的量 x1, x2,", xn 的函数，则一个普遍的 误差公式可表示为下列形式，即
控制实验条件的一致，也不可避免偶然误差的产生，如对同一试样的尺寸多次量测其结果的
分散性即起源于偶然误差。偶然误差小，表明测量的精度高，也就是数据再现性好。
实验表明，在反复多次的观测中，偶然误差具有以下特性：
误差理论与数据处理(北航)第1章.pptx
测量与测试
仪器科学与光电工程学院
▪ 测试的概念 – 带有试验性质的测量
▪ 测试的目的 – 获取被测对象的信息
▪ 测试的过程 – 借助专门的设备、仪器或测试系统，通过适当的 实验方法与必需的信号分析及数据处理，由测得 信号获取与研究对象有关信息量值的过程。
▪ 落脚点： – 测量与测试的关系
测量的实现
仪器科学与光电工程学院
▪ 按误差的表示形式
绝对误差→修正值：两者之间的关系 反映测量精度
相对误差→和绝对误差的关系
引用误差 ▪ 按误差的特点与性质
？
与前两者的区别
系统误差 随机误差
同样条件，多次测量同一量值，误差变化的特点？ 误差消除方法？系统误差和随机误差的差别？
粗大误差：明显超出预期的误差，原因？
仪器科学与光电工程学院
对象 属性
被测 对象
被测信息 激励信号
影响
原理 方法
选择 仪器
决定 方法
仪器 系统
测量策 略、算法
参数命令 数据状态
测量 人员
影 响
测量 环境
影响
图1-3 测量的基本要素
测量的分类
仪器科学与光电工程学院
▪ 按所测得的量（参数）是否为欲测之量 直接测量和间接测量
▪ 按零件上同时被测参数的多少分类 单项测量和综合测量
由一个单位作分母，而分子为1构成；如线膨胀 系数单位“每摄氏度（1/℃）”；
由国际单位制单位和国家选定的非国际单位制单 位构成，如电能单位“千瓦小时（kWh）”。
基准
仪器科学与光电工程学院
▪ 基准用来复现某一基本测量单位的量值，只用于鉴 定各种量具的精度，不直接参加测量。
▪ 一级基准，又称主基准和国家基准
误差理论与数据处理
nx
×100%
◆ （4）方差（Variance） 方差（ 度量随机变量和其数学期望之间的偏离程度。 度量随机变量和其数学期望之间的偏离程度。
σ2 =
就是和中心偏离的程度。 就是和中心偏离的程度。在样本容 量相同的情况下，方差越大， 量相同的情况下，方差越大，说明 数据的波动越大， 数据的波动越大，越不稳定
2 数据处理
2.1 有效数字定义、运算规则
2.1.2 运算规则 （2）运算 ） ）：结果的末位数字所在的位置应按各量中存 ◆加（减）：结果的末位数字所在的位置应按各量中存 疑数字所在数位最少的一个为准来决定。 疑数字所在数位最少的一个为准来决定。
a. 30.4 + 4.325 = 34.725 → 34.7 b. 26.65 -3.905 = 22.745 → 22.74
106.25=1778279.41→1.8×106； pH=10.28→[H+]=5.2×10-11
2 数据处理
2.1 有效数字定义、运算规则
2.1.2 运算规则 （2）运算 ） 对数： ◆对数： lgx的有效数字位数由 的位数决定。 的有效数字位数由x的位数决定 的有效数字位数由 的位数决定。
1 误差理论
1.2 分类
1.2.2 系统误差、随机误差、过失误差
◆（3）过失误差 又称粗大误差和疏忽误差。 又称粗大误差和疏忽误差。是由过程中 的非随机事件如工艺泄漏、测量仪表失灵、 的非随机事件如工艺泄漏、测量仪表失灵、设备故障等引发的 测量数据严重失真现象， 测量数据严重失真现象，致使测量数据的真实值与测量值之间 出现显著差异的误差。 出现显著差异的误差。
2.1 有效数字定义、运算规则
2.1.1 定义
在一个近似数中，从左边第一个不是 的数字起 的数字起， 在一个近似数中，从左边第一个不是0的数字起，到精确到 的位数止，这中间所有的数字都叫这个近似数字的有效数字。 的位数止，这中间所有的数字都叫这个近似数字的有效数字。
误差理论与数据处理答案完整版
误差理论与数据处理答案HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】《误差理论与数据处理》第一章 绪论1-1．研究误差的意义是什么？简述误差理论的主要内容。
答： 研究误差的意义为：(1)正确认识误差的性质，分析误差产生的原因，以消除或减小误差；(2)正确处理测量和实验数据，合理计算所得结果，以便在一定条件下得到更接近于真值的数据；(3)正确组织实验过程，合理设计仪器或选用仪器和测量方法，以便在最经济条件下，得到理想的结果。
误差理论的主要内容：误差定义、误差来源及误差分类等。
1-2．试述测量误差的定义及分类，不同种类误差的特点是什么？答：测量误差就是测的值与被测量的真值之间的差；按照误差的特点和性质，可分为系统误差、随机误差、粗大误差。
系统误差的特点是在所处测量条件下，误差的绝对值和符号保持恒定，或遵循一定的规律变化（大小和符号都按一定规律变化）；随机误差的特点是在所处测量条件下，误差的绝对值和符号以不可预定方式变化；粗大误差的特点是可取性。
1-3．试述误差的绝对值和绝对误差有何异同，并举例说明。
答：(1)误差的绝对值都是正数，只是说实际尺寸和标准尺寸差别的大小数量，不反映是“大了”还是“小了”，只是差别量；绝对误差即可能是正值也可能是负值，指的是实际尺寸和标准尺寸的差值。
+多少表明大了多少，-多少表示小了多少。
(2)就测量而言,前者是指系统的误差未定但标准值确定的，后者是指系统本身标准值未定1－5 测得某三角块的三个角度之和为180o 00’02”,试求测量的绝对误差和相对误差 解：绝对误差等于： 相对误差等于：1-6．在万能测长仪上，测量某一被测件的长度为 50mm ，已知其最大绝对误差为 1μm ，试问该被测件的真实长度为多少？解： 绝对误差＝测得值－真值，即： △L ＝L －L 0 已知：L ＝50，△L ＝1μm ＝，测件的真实长度Ｌ0＝L －△L ＝50－＝（mm ）1-7．用二等标准活塞压力计测量某压力得 ，该压力用更准确的办法测得为，问二等标准活塞压力计测量值的误差为多少？解：在实际检定中，常把高一等级精度的仪器所测得的量值当作实际值。
第一章 误差以及数据处理
4倍的平均偏差 d ，则可疑值应舍去，否则保留。
丙的这组数据离散程度高，精密度低，虽然平均 值接近于真值，不能说准确度高。
所以，精密度高是准确度高的前提，精 密度高，准确度不一定高；准确度高一定要 求精密度高。
1.2 误差的来源与分类 1.2.1 系统误差
系统误差，又叫可测误差，它是由于在分析过 程中某些确定的、经常的原因造成的使测定结果 系统偏高或偏低。 特点：（1）单向重复性，（2）可测性 产生系统误差的主要原因：
总体平均值 总是位于样本平均值 x 附近的某一 区间内，这一区间叫臵信区间。精密度越高，s越
小，测定次数越多（n越大），x越接近于。
测定值在置信区间范围内出现的概率叫置
信概率（P）；又称为置信水平，置信度。
上式中t 值可以通过查t 值分布表。表中 f
为偏差自由度，f = n – 1。
测定值在置信区间外出现的概率叫显著性水
（1）方法误差；（2）仪器、试剂误差；
（3）操作误差
1.2.2 随机误差
随机误差又称偶然误差，由于某些不确定因素
所造成的不规则的随机性变化的误差。如气温、气
压、空气湿度等对实验的影响。
1.3 随机误差分布规律和有效数据的统计处理
1.3.1 随机误差的分布规律
（1）多次重复测定时，正负误差出现的机会均等；
平，用 表示， 1 P
例1.3 某含氯样品的测定结果为 X=35.21% ,
S=0.06%, n=4 。求置信概率分别为95%及99%时，平 均值的置信区间。 解： n=4时，f=4-1=3. 查t 值分布表，p=95%时，t =3.18 P=99%时，t = 5.84
误差理论第一章绪论
§1-3 精度
精度：反映测量结果与真值接近程度的量， 精度 反映测量结果与真值接近程度的量，与误差的大小相 反映测量结果与真值接近程度的量 对应。误差小则精度高，误差大则精度低。 对应。误差小则精度高，误差大则精度低。 分为： 分为： 反映测量结果中系统误差的影响程度。 ①准确度：反映测量结果中系统误差的影响程度。 准确度 反映测量结果中系统误差的影响程度 ②精密度：反映测量结果中随机误差的影响程度。 精密度：反映测量结果中随机误差的影响程度。 ③精确度：反映测量结果中系统误差和随机误差综合的影响 精确度： 程度。 程度。 一般可用测量的不确定度（或极限误差）来表示。 一般可用测量的不确定度（或极限误差）来表示。对具体的 测量，精密度高的而准确度不一定高， 测量，精密度高的而准确度不一定高，准确度高的而精密度 也不一定高，但精确度高，则精密度和准确度都高。 也不一定高，但精确度高，则精密度和准确度都高。
第一种方法的相对误差为： v1 50.004 − L1 0.004 = = = 0.008% L1 L1 50
v2 80.006 − L2 0.006 第二种方法的相对误差为： = = = 0.0075% L2 L2 80
可见，尽管第二种方法的绝对误差大，但相对误差却较小， 可见，尽管第二种方法的绝对误差大，但相对误差却较小， 故第二种方法的精度较高。 故第二种方法的精度较高。 引用误差 误差： ③ 引用误差：是一种简化和实用方便的仪器仪表示值的相对 误差，是以某一刻度点的示值误差为分子， 误差，是以某一刻度点的示值误差为分子，以测量范围上限 5 值或全量程为分母，比值即为引用误差。 值或全量程为分母，比值即为引用误差。
测量结果应保留的位数原则是 测量结果应保留的位数原则是：其最末一位数字是不可靠 保留的位数原则 的，而倒数第二位数字应是可靠的，测量误差一般取1~2 而倒数第二位数字应是可靠的，测量误差一般取 位有效数字。 位有效数字。 在比较重要的测量中， 在比较重要的测量中，测量结果和测量误差可比上述原则 再多取一位数字作为参考，如结果 再多取一位数字作为参考，如结果15.214±0.042，倒 ± ， 数第一位数为参考数字，倒数第二位为不可靠数字， 数第一位数为参考数字，倒数第二位为不可靠数字，而倒 数第三位是可靠数字。 数第三位是可靠数字。 二、数据舍入规则 ①若舍去部分的数值，大于保留部分的末位的半个单位， 若舍去部分的数值，大于保留部分的末位的半个单位， 则末位加1； 则末位加 ； ②若舍去部分的数值，小于保留部分的末位的半个单位， 若舍去部分的数值，小于保留部分的末位的半个单位， 则末位不变； 则末位不变；
误差理论与数据处理
误差理论与数据处理1. 绪论1.1 数据测量的基本概念1.1.1 基本概念（1）物理量物理量是反映物理现象的状态及其过程特征的数值量。
一般物理量都是有因次的量，即它们都有相应的单位，数值为1的物理量称为单位物理量，或称为单位；同一物理量可以用不同的物理单位来描述，如能量可以用焦耳、千瓦小时等不同单位来表述。
（2）量值一般由一个数乘以测量单位所表示的特定量的大小。
无量纲的SI单位是“1”。
（3）测量以确定量值为目的的一组操作，操作的结果可以得到真值，即得到数据，这组操作称为测量。
例如：用米尺测得桌子的长度为1.2米。
（4）测量结果测量结果就是根据已有的信息和条件对被测物理量进行的最佳估计，即是物理量真值的最佳估计。
在测量结果的完整表述中，应包括测量误差，必要时还应给出自由度及置信概率。
测量结果还具有重复性和重现性。
重复性是指在相同的测量条件下，对同一被测物理量进行连续多次测量所得结果之间的一致性。
相同的测量条件即称之为“重复性条件”，主要包括：相同的测量程序、相同的测量仪器、相同的观测者、相同的地点、在短期内的重复测量、相同的测量环境。
若每次的测量条件都相同，则在一定的误差范围内，每一次测量结果的可靠性是相同的，这些测量服从同一分布。
重现性是指在改变测量条件下，对被测物理量进行多次测量时，每一次测量结果之间的一致性，即在一定的误差范围内，每一次测量结果的可靠性是相同的，这些测量值服从同一分布。
（4）测量方法测量方法是指根据给定的测量原理，在测量中所用的并按类别描述的一组操作逻辑次序和划分方法，常见的有替代法、微差法、零位法、异号法等。
总之，数据测量就是用单位物理量去描述或表示某一未知的同类物理量的大小。
1.1.2 数据测量的分类数据测量的方法很多，下面介绍常见的三种分类方法，即按计量的性质、测量的目的和测量值的获得方法分类。
（1）按计量的性质分可分为：检定、检测和校准。
检定：由法定计量部门（或其他法定授权组织），为确定和证实计量器是否完全满足检定规程的要求而进行的全部工作。
误差理论与数据处理总结
误差理论与数据处理总结三、误差分类三、数据运算规则在有效数据后多保留一位参考(安全)数字。
第一章绪论 (1)近似加减运算。
结果应与小数位数最少的数据小数位数按误差的特点和性质，误差可分为系统误差、随机误差(也相同。
称偶然误差)和粗大误差三类。
第一节研究误差的意义 (2)近似乘除运算。
运算以有效位最少的数据位数多取一 (一)系统误差一、研究误差的意义位，结果位数相同。
在相同条件下，多次测量同一量值时，该误差的绝对值和符号保 1、正确认识误差的性质，分析误差产生的原因，以消除或减少(3)近似平方或开方运算。
按乘除运算处理。
持不变，或者在条件改变时，按某一确定规律变化的误差—系统误差。
(4)对数运算。
n位有效数字的数据该用n 位对数表，或误差。
如标准量值不准、一起刻度不准确引起的误差。
2、正确处理测量和实验数据，合理计算所得结果，以便在一定—曲线上拐点A的横坐标—曲线右半部面积重,(n+1)位对数表。
, 系统误差又可按下列分类: ''''''''条件下得到更接近于真值的数据。
(5)三角函数。
角度误差 10.10.01101、按对误差掌握的程度分心B的横坐标 3、正确组织实验过程，合理设计仪器或选用仪器和测量方法，(1)已定系统误差:指误差的绝对值和符号已确定函数值位数 5 6 78 ,—右半部面积的平分线的横坐标。
以便在最经济条件下，得到最理想结果。
(2)未定系统误差:指误差的绝对值和符号未确定，但可的出4、研究误差可促进理论发展。
(如雷莱研究:化学方法、空气误差范围。
第二章误差的基本性质与处理三、算术平均值分离方法。
制氮气时，密度不同，导致后人发现惰性气体。
) 2、按误差出现规律分(1)不变系统误差:(指绝对值和符号一定)相当于以定系统误第一节随机误差第二节误差基本概念 ,,,lLL1、公理:一系列等精度测量，则。
—真值差。
ii00nnn(2)变化系统误差:(指绝对值和符号为变化)相当于未定系统随机误差的代数和 ,,,,,lLlnL，，,,,iii00定义:在相同条件下多次重复测量同一量时，以不可预定的一、误差定义及表示方法误差，但变化规律可知，如线性、周期性等。
误差理论与数据处理课后习题及答案
第一章 绪论1－5 测得某三角块的三个角度之和为180o00’02”,试求测量的绝对误差和相对误差 解：绝对误差等于： 相对误差等于：1-10检定2.5级（即引用误差为2.5%）的全量程为100V 的电压表，发现50V 刻度点的示值误差2V 为最大误差，问该电压表是否合格？%5.22%100%1002100%<=⨯=⨯=测量范围上限某量程最大示值误差最大引用误差该电压表合格1-14若用两种测量方法测量某零件的长度L1=110mm ，其测量误差分别为m μ11±和m μ9±；而用第三种测量方法测量另一零件的长度L2=150mm 。
其测量误差为m μ12±，试比较三种测量方法精度的高低。
相对误差0.01%110111±=±=mm mI μ0.0082%11092±=±=mm mI μ%008.0150123±=±=mmm I μ123I I I <<第三种方法的测量精度最高2-7在立式测长仪上测量某校对量具，重量测量5次，测得数据（单位为mm ）为20.0015，20.0016，20.0018，20.0015，20.0011。
若测量值服从正态分布，试以99%的置信概率确定测量结果。
20.001520.001620.001820.001520.00115x ++++=20.0015()mm =0.00025σ==正态分布 p=99%时，t 2.58=lim t δσ=±21802000180''=-'''o o %000031.010*********.00648002066018021802≈=''''''⨯⨯''=''＝o2.58=± 0.0003()mm =±测量结果：lim (20.00150.0003)x X x mm δ=+=±2-12某时某地由气压表得到的读数（单位为Pa ）为102523.85，102391.30，102257.97，102124.65，101991.33，101858.01，101724.69，101591.36，其权各为1，3，5，7，8，6，4，2，试求加权算术平均值及其标准差。
误差理论与数据处理-第一章误差的基本概念ppt课件.ppt
病原体侵 入机体 ，消弱 机体防 御机能 ，破坏 机体内 环境的 相对稳 定性， 且在一 定部位 生长繁 殖，引 起不同 程度的 病理生 理过程
第二节 测量误差的定义及基本概念
一、测量误差
定义
δ＝x-a
测量误差
被测量 的真值
测量结果
病原体侵 入机体 ，消弱 机体防 御机能 ，破坏 机体内 环境的 相对稳 定性， 且在一 定部位 生长繁 殖，引 起不同 程度的 病理生 理过程
根据测量条件是否发生变化分类
等权测量
指在测量过程中，测量仪器、测量方法、测量条 件和操作人员都保持不变。因此，对同一被测量进 行的多次测量结果可认为具有相同的信赖程度，应 按同等原则对待。
不等权测量
指测量过程中测量仪器、测量方法、测量条件或 操作人员某一因素或某几因素发生变化，使得测量结 果的信赖程度不同。对不等权测量的数据应按不等权 原则进行处理。
δ≤2.5％×[0.1－（－0.1）]＝0.005（MPa） 引用误差专用于仪器仪表误差的描述。
病原体侵 入机体 ，消弱 机体防 御机能 ，破坏 机体内 环境的 相对稳 定性， 且在一 定部位 生长繁 殖，引 起不同 程度的 病理生 理过程
第三节 测量误差的来源
为了减小测量误差，提高测量准确度，就必须了解误差 来源。而误差来源是多方面的，在测量过程中，几乎所有 因素都将引入测量误差。
测量方法误差
病原体侵 入机体 ，消弱 机体防 御机能 ，破坏 机体内 环境的 相对稳 定性， 且在一 定部位 生长繁 殖，引 起不同 程度的 病理生 理过程
按测量结果的获取方式分类
直接测量
指被测量与该标准量直接进行比较的 测量，指该被测量的测量结果可以直接 由测量仪器输出得到，而不再需要经过
误差理论与数据处理
第2章 误差的基本性质与处理
第一节 随机误差
一、随机误差产生的原因
当对同一测量值进行多次等精度的重复测量时，得到一 系列不同的测量值（常称为测量列），每个测量值都含有 误差，这些误差的出现没有确定的规律，即前一个数据出 现后，不能预测下一个数据的大小和方向。但就误差整体 而言，却明显具有某种统计规律。 随机误差是由很多暂时未能掌握或不便掌握的微小因 素构成，主要有以下几方面： ① 测量装置方面的因素 零部件变形及其不稳定 ② 环境方面的因素 ③ 人为方面的因素
测量环 境误差
测量方 法误差
测量人 员误差
测量设备误差
以固定形式复现标准量值的器具， 如标准电阻、标准量块、标准砝 码等等，他们本身体现的量值， 不可避免地存在误差。一般要求 标准器件的误差占总误差的 1/3～1/10。 测量装置在制造过程中由于设计、制 造、装配、检定等的不完善，以及在 使用过程中，由于元器件的老化、机 械部件磨损和疲劳等因素而使设备所 产生的误差。 测量仪器所 带附件和附 属工具所带 来的误差。
−∞ +∞
(2-4) (2-5)
其平均误差为： ρ 此外由 ∫− ρ f ( δ ) d δ
θ =
∫
+∞
−∞
| δ | f (δ ) d δ ≈
=
1 2
4 σ 5
(2-6)
2 σ 3
可解得或然误差为 ：
ρ = 0 . 6745 σ ≈
(2-7)
由式（2-2）可以推导出： ① 有 f ( ± δ ) > 0 , f (+δ ) = f (−δ ) 可推知分布具有对称性，即绝对值相 等的正误差与负误差出现的次数相等，这称为误差的对称性； ② 当δ=0时有 f max (δ ) = f (0) ，即 f (±δ ) < f (0) ，可推知单峰性，即绝对值 小的误差比绝对值大的误差出现的次数多，这称为误差的单峰性； ③ 虽然函数 f (δ ) 的存在区间是[-∞,+∞]，但实际上，随机误差δ只 是出现在一个有限的区间内，即[-kσ,+kσ],称为误差的有界性； n ④ 随着测量次数的增加，随机误差的算术平均值趋向于零： → ∞ lim n 这称为误差的补偿性。
误差第一章
误差理论与数据处理开课学院：主讲教师：联系电话：E-mail:关于任课教师秦岚, 1983年9月-1994年6月在重庆大学获精密仪器及机械专业学士、硕士和博士学位，长期从事精密仪器及机械学科的科研和教学工作。
2001年12月晋升教授，2004年7月任博导，2011年晋三级教授。
现为重庆市“322重点人才”工程人选、重庆市学术技术带头人。
先后担任重庆大学光电工程学院副院长（1996-1999）、党委书记（1999-2010）、重庆市发改委副主任（2001-2003，挂职）、重庆大学数学与统计学院党委书记（2010—）、大连理工大学校长助理（201204-201207，挂职）。
先后兼任全国高等学校机电类专业教学指导委员会委员，中国仪器仪表学会机械量测试仪器分会第四届理事会副理事长，全国测量误差与不确定度研究会副理事长，中国计量测试学会第五届理事会理事，全国互换性与测量技术研究会常务理事、副秘书长等。
1994年至今担任本课程主讲教师。
本课程的意义20042006我和费先生的特殊友谊20132009费业泰: 误差理论是仪器科学特有的基础理论1、误差理论贯穿仪器及测试系统的始末。
在仪器设计、制造、使用及测试结果处理与评定等五大环节，误差理论均起着指导与保证作用。
2、误差理论在仪器科学人才培养中是必不可少重要内容。
过去的教学计划中测试技术课程为主要课程，而有关误差理论内容则占全课程约1/3 学时。
根据国外高校相关专业很早巳开设有关误差理论课程，我国高校1978年首次设置该课程. 30年来讲授误差课程高校专业已很普遍，但仪器学科专业该课程体系、内容最为全面系统。
3、误差理论在科学技术与工程实践中具有重要作用。
任何科学与工程对可靠性、准确度具有要求，这是普遍性问题.不仅其实验和实践过程需要测试，而本身在系统设计、建造和运行控制也需要一定的误差理论作指导。
结论：误差理论是仪器科学的重要基础理论，也是科学与工程技术具有遍普意义的必不可少基础理论之一，而仪器科学领域学术研究所建立误差理论的严谨学术体系与全面系统内容，则是其他科学与工程技术应用误差理论的依据，充分表明误差理论是仪器科学特有的基础理论。
误差分析与数据处理
第一章 误差分析与数据处理1-1 误差分析的意义何在？1-2 误差有几种类型？总结系统误差与随机误差的异同点。
1-3 试验数据的准确度和精密度如何表示，它们之间有何关系？ 1-4 什么叫有效数字，有效数字的误差如何计算？ 1-5 数据有几种表示方法，各有何优缺点？ 1-6 可疑观测值的取舍有哪些方法？简述其步骤。
1-7 测得某三角块的三个角度之和为180º00′02″，试求测量的绝对误差和相对误差。
1-8 在万能测长仪上，测量某一被测件的长度为50 mm ，已知其最大绝对误差为1 m ，试问该被测件的真实长度为多少?1-9 在测量某一长度时，读数值为2.31 m ，其最大绝对误差为20 m ，试求其最大相对误差。
1-10 使用凯特摆时，g 由公式2212/)(4T h h g +=π给定。
今测出长度(h 1+h 2)为(1.04230±0.00005) m ，振动时间T 为(2.0480±0.0005) s 。
试求g 及其最大相对误差。
如果(h 1+h 2)测出为(1.04220±0.0005) m ，为了使g 的误差能小于0.001 m/s 2，T 的测量必须精确到多少?1-11 检定2.5级（即引用误差为2.5%）、量程为100 V 的电压表，发现50 V 刻度点的示值误差2 V 为最大误差，问该电压表是否合格?1-12 为什么在使用微安表等各种电表时，总希望指针在全量程的2/3范围内使用?1-13用两种方法测量L 1=50 mm ，L 2=80 mm ，测量结果为50.004 mm ，80.006 mm 。
试评定两种方法测量精度的高低。
1-14 多级弹导火箭的射程为10000 km 时，其射击偏离预定点不超过0.1 km ，优秀射手能在距离50 m 远处准确地射中直径为2 cm 的靶心，试评述哪一个射击精度高?1-15 测量某物体重量共8次，测得数据(单位为g)为236.45，236.37，236.51，236.34，236.39，236.48，236.47，236.40。
误差理论与数据处理课件(全)
个数K 46 41 33 21 16 13 5 2 0 177
+△ 频率K/n 0.128 0.115 0.092 0.059 0.045 0.036 0.014 0.006
0 0.495
(K/n)/d△ 0.640 0.575 0.460 0.295 0.225 0.180 0.070 0.030 0
（四）复杂规律变化的系统误差
（一）实验对比法 （二）残余误差观测法
（五）计算数据比较法
（一）从产生误差根源上消除系统误差 （二）用修正方法消除系统误差 （三）不变系统误差消除法 1。替代法 2。抵消发 3。交换法
一、粗大误差产生的原因 （1）测量人员的主观原因 （2）客观外界条件的原因
第一节：研究误差的意义 1、始终存在着误差 意义：
1）正确认识误差的性质，分析误差产生 的原因，以消除和减少误差。
2）正确处理测量和实验数据 3）正确组织实验过程
由于误差的存在，使测量数据之间产生矛 盾。
( )实际 180
( )理论 180
测量仪器：i角误差、2c误差 观测者：人的分辨力限制 外界条件：温度、气压、大气折光等
……
2.40~2.60 >2.60
和
个数K 40 34 31 25 20 16 …… 1 0 210
—△ 频率K/n 0.095 0.081 0.074 0.059 0.048 0.038
(4)( AT )1 ( A1)T
(5)对称矩阵的逆仍为对称矩阵。
(6)对角矩阵的逆仍为对角矩阵且：
A1 (diag (a11, a22,ann ))1 diag( 1 , 1 1 )
a11 a22 ann
（1）伴随矩阵法：
设Aij为A的第i行j列元素aij的代数余子式，则由 n*n个代数余子式构成的矩阵为A的伴随矩阵 的转置矩阵A*称为A的伴随矩阵。
误差理论与数据处理知识总结
第一章绪论1.1研究误差的意义1.1.1研究误差的意义为：1）正确认识误差的性质，分析误差产生的原因，以消除或减小误差2）正确处理测量和试验数据，合理计算所得结果，以便在一定条件下得到更接近于真值的数据3）正确组织实验过程，合理设计仪器或选用仪器和测量方法，以便在最经济条件下，得到理想的结果。
1.2误差的基本概念1.2.1误差的定义：误差是测得值与被测量的真值之间的差。
1.2.2绝对误差：某量值的测得值之差。
1.2.3相对误差：绝对误差与被测量的真值之比值。
1.2.4引用误差：以仪器仪表某一刻度点的示值误差为分子，以测量范围上限值或全量程为分母，所得比值为引用误差。
1.2.5误差来源：1）测量装置误差 2）环境误差 3）方法误差 4）人员误差1.2.6误差分类：按照误差的特点，误差可分为系统误差、随机误差和粗大误差三类。
1.2.7系统误差：在同一条件下，多次测量同一量值时，绝对值和符号保持不变，或在条件改变时，按一定规律变化的误差为系统误差。
1.2.8随机误差：在同一测量条件下，多次测量同一量值时，绝对值和符号以不可预定方式变化的误差称为随机误差。
1.2.9粗大误差：超出在规定条件下预期的误差称为粗大误差。
1.3精度1.3.1精度：反映测量结果与真值接近程度的量，成为精度。
1.3.2精度可分为：1）准确度：反映测量结果中系统误差的影响程度2）精密度：反映测量结果中随机误差的影响程度3）精确度：反映测量结果中系统误差和随机误差综合的影响程度，其定量特征可用测量的不确定度来表示。
1.4有效数字与数据运算1.4.1有效数字：含有误差的任何近似数，如果其绝对误差界是最末位数的半个单位，那么从这个近似数左方起的第一个非零的数字，称为第一位有效数字。
从第一位有效数字起到最末一位数字止的所有数字，不论是零或非零的数字，都叫有效数字。
1.4.2测量结果应保留的位数原则是：其最末一位数字是不可靠的，而倒数第二位数字应是可靠的。
《误差理论与数据处理》课程介绍与教学大纲
《误差理论与数据处理》课程简介课程编号：06024901课程名称：误差理论与数据处理/ Error Theory and Data Processing学分：2学时：32（上机：6 ）适用专业：测控技术与仪器建议修读学期：5开课单位：测控与仪表系先修课程：高等数学、概率论与数理统计、线性代数考核方式与成绩评定标准：百分制，笔试（闭卷）成绩：70%,平时（实验、作业、考勤等）成绩：30% 教材与主要参考书目：1.误差理论与数据处理（第七版），费业泰，机械工'业出版社，2015, 5.误差理论与数据处理，丁振良，哈尔滨工业大学出版社，2015, 22.误差理论与数据处理，蒋萍，国防工业出版社，2014, 9.误差原理与数据处理，钱政，科学出版社，2013, 4内容概述：本课程介绍了误差理论的基本概念、基本理论，着重讲述了有关测量及测量误差的基本概念, 误差理论中有关随机误差和系统误差的分析和计算，误差合成与分配等。
主要目的和任务是使学生掌握相关物理量的静态测量和动态测量的误差理论与数据处理的方法。
英文：This course introduces the basic theory and basic concepts of error theory, focuses on basic concepts of measurement and error of measurement, the analysis and calculation about the random error and system error, and describes the error synthesis and distribution etc. The main purpose is to enable students to master the error theory and data processing method of relevant physical quantities in the static and dynamic measurement.《误差理论与数据处理》教学大纲课程编号：06024901课程名称：误差理论与数据处理/ Error Theory and Data Processing学分：2学时：32（上机：6 ）适用专业：测控技术与仪器建议修读学期：5一、课程性质、目的与任务本课程为测控技术与仪器专业的一门重要的专业基础课，主要是使学生掌握有关物理量的静态测量和动态测量的误差理论与数据处理的方法。
《误差理论与数据处理》答案
《误差理论与数据处理》第一章 绪论1—1．研究误差的意义是什么?简述误差理论的主要内容.答： 研究误差的意义为：（1）正确认识误差的性质,分析误差产生的原因，以消除或减小误差;(2）正确处理测量和实验数据,合理计算所得结果,以便在一定条件下得到更接近于真值的数据；（3）正确组织实验过程,合理设计仪器或选用仪器和测量方法，以便在最经济条件下,得到理想的结果。
误差理论的主要内容:误差定义、误差来源及误差分类等. 1-2．试述测量误差的定义及分类,不同种类误差的特点是什么？答：测量误差就是测的值与被测量的真值之间的差；按照误差的特点和性质，可分为系统误差、随机误差、粗大误差。
系统误差的特点是在所处测量条件下,误差的绝对值和符号保持恒定,或遵循一定的规律变化（大小和符号都按一定规律变化）；随机误差的特点是在所处测量条件下，误差的绝对值和符号以不可预定方式变化； 粗大误差的特点是可取性。
1—3．试述误差的绝对值和绝对误差有何异同,并举例说明。
答：（1）误差的绝对值都是正数,只是说实际尺寸和标准尺寸差别的大小数量，不反映是“大了”还是“小了"，只是差别量;绝对误差即可能是正值也可能是负值，指的是实际尺寸和标准尺寸的差值。
+多少表明大了多少，-多少表示小了多少. （2）就测量而言,前者是指系统的误差未定但标准值确定的，后者是指系统本身标准值未定1－5 测得某三角块的三个角度之和为180o00’02”，试求测量的绝对误差和相对误差 解：绝对误差等于： 相对误差等于:1—6．在万能测长仪上，测量某一被测件的长度为 50mm ，已知其最大绝对误差为 1μm ，试问该被测件的真实长度为多少？解: 绝对误差＝测得值－真值，即: △L ＝L －L 0 已知:L ＝50，△L ＝1μm ＝0。
001mm ，测件的真实长度Ｌ0＝L －△L ＝50－0。
001＝49.999(mm ）1—7．用二等标准活塞压力计测量某压力得 100.2Pa ，该压力用更准确的办法测得为100。
《误差理论与数据处理》答案解读
《误差理论与数据处理》第一章绪论1-1 •研究误差的意义是什么？简述误差理论的主要内容。
答：研究误差的意义为：(1) 正确认识误差的性质，分析误差产生的原因，以消除或减小误差；(2) 正确处理测量和实验数据，合理计算所得结果，以便在一定条件下得到更接近于真值的数据；(3) 正确组织实验过程，合理设计仪器或选用仪器和测量方法，以便在最经济条件下，得到理想的结果。
误差理论的主要内容：误差定义、误差来源及误差分类等。
1-2 •试述测量误差的定义及分类，不同种类误差的特点是什么？答：测量误差就是测的值与被测量的真值之间的差；按照误差的特点和性质，可分为系统误差、随机误差、粗大误差。
系统误差的特点是在所处测量条件下，误差的绝对值和符号保持恒定，或遵循一定的规律变化(大小和符号都按一定规律变化) ；随机误差的特点是在所处测量条件下，误差的绝对值和符号以不可预定方式变化；粗大误差的特点是可取性。
1-3 •试述误差的绝对值和绝对误差有何异同，并举例说明。
答：(1)误差的绝对值都是正数，只是说实际尺寸和标准尺寸差别的大小数量，不反映是“大了”还是“小了”，只是差别量；绝对误差即可能是正值也可能是负值，指的是实际尺寸和标准尺寸的差值。
+多少表明大了多少，-多少表示小了多少。
(2)就测量而言，前者是指系统的误差未定但标准值确定的，后者是指系统本身标准值未定1-5测得某三角块的三个角度之和为180°00' 02” ,试求测量的绝对误差和相对误差解:绝对误差等于：180°00 02 -180°=2相对误差等于：二- = - 0.00000308641 ： 0.000031%180o 180 60 60 6480001-6 •在万能测长仪上，测量某一被测件的长度为50mm已知其最大绝对误差为1卩m,试问该被测件的真实长度为多少？解：绝对误差=测得值—真值，即：△ L = L- L o 已知：L= 50,^ L= 1卩m= 0.001mm,测件的真实长度L 0= L—A L= 50 - 0.001 = 49.999 ( mm1-7 •用二等标准活塞压力计测量某压力得100.2Pa，该压力用更准确的办法测得为100.5Pa , 问二等标准活塞压力计测量值的误差为多少？解：在实际检定中，常把高一等级精度的仪器所测得的量值当作实际值。
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估计量的评价（Ⅱ）
✓有效性
无偏估计量 ˆ 在θ附近取值的分散程度可用
E
ˆ
2
来衡量。因为
ˆ
是无偏的，故
E
ˆ
2
D ˆ
这表明无偏估计量以方差较小为好，即较为有效.
设 ˆ1 与 ˆ2 都是θ的无偏估计量,若 D ˆ1 D ˆ2
➢ 对于一般的数据，应按有效数字取舍数据的位数。
误差理论
与数据处理
数字的舍入规则
若舍去部分的数值小于保留数字末位的0.5个单位， 则舍去多余数字后保留数字不变。
若舍去部分的数值大于保留数字末位的0.5个单位， 则舍去多余数字后，保留数字的末位加1。
若舍去部分的数值正好等于保留数字末位的0.5个单 位，则在舍去多余数字后，保留数字的末位凑成偶 数，即当保留数字末位为偶数时不变，当末位数字 为奇数时，末位加1。
一般粗大误差是由测量中的失误造成的。
误差理论
与数据处理
测量误差的来源
测量误差
人员
方法
环境
装置
视听 操 觉觉 作
温 湿 气 光电 振 度 度 压 热磁 动
标测
准
量 器
器具
附 件
误差理论
与数据处理
1.3 数理统计的基本概念
总体和子样
统计量和估计量
估计量的评价
区间估计
误差理论
与数据处理
误差理论
与数据处理
研究测量误差的意义
减小误差的影响，提高测量精度
对测的结果的可靠性作出评定， 即给出精确度的估计。
误差理论
与数据处理
测量误差的分类（Ⅰ）
测量误差的来源
对测量误差的掌 握程度
测量误差的特征 规律
装置误差 环境误差 方法误差 人员误差
已知误差 未知误差
系统误差 随机误差 粗大误差
“四舍六入五凑双”
误差理论
与数据处理
数据舍入实例
例：将3.14159分别取3、4位有效数字？ 答：根据规则一、规则二，舍入后的有效数
字分别为3.14和3.142。 例：2.55（保留二位有效数字）2.6
2.65（保留二位有效数字）2.6 按以上规则舍入数字，可保证数据的舍入误差
最小，在数据运算中不会造成舍入误差的迅速累积。 但对于表示精度的数据（标准差、扩展不确定
n
误差理论
与数据处理
区间估计
定义：对于未知参数θ，除了要求出它的点估计 ˆ 外，还常常需要以一定的可靠程度估计出包含真值
的某个区间。参数的区间估计应给出包含参数θ真
值的区间及参数θ包含于这一区间的概率。
设对总体参数θ作区间估计.抽取样本 x1, x2, , xn
并作统计量1x1, x2, , xn 2x1, x2, xn 对于给定概率
度等），在去掉多余位数时，只入不舍。
误差理论
有效数字应为4位，0.460有效数字为3位
误差理论
与数据处理
数据的有效数字（Ⅱ）
➢ 数字末尾的零的含义有时并不清楚，此时往往采用
10的方次表示。如：12 000m表示为 1.2 104
有效数字为2位，若写成 1.20104 有效数字为3
位。
➢ 记录数据时数据的位数应适当。
➢ 对于给出不确定度的数据，其不确定度的数字取一 到二位。数据的最末一位取到与不确定度末位同一 量级。
测量的绝对误差（Ⅱ）
注意：●“真值”是指被测量的客观真实值。
一
般 来说这一客观真值是未知的
，仅
在一些特殊的场合真值才
是已知的（
如一些理论分析值）.国际
计量大会
规定的最高基准也可
看作是真值，这
是约定真值。
●测量误差的正负号
●量纲与被测量的量纲相同
误差理论
与数据处理
测量的相对误差（Ⅰ）
相对误差
绝对误差 真值
仪器）
通过直接测量来 获得与被测量有 确定函数关系的 其他量
按确定的函数关
系间接的获取被
测量的值
误差理论
与数据处理
测量方法及其分类（Ⅱ）
绝对测量 相对测量
定义
关系
通过测量所得数 据直接得到被测 量值的绝对大小
被测量相对于标 准量的偏差值
被测量的绝对大 小=标准量+偏差 值；同时就某些 方面来讲，相对 测量比较容易满 足精度要求
误差理论
与数据处理
测量方法及其分类（Ⅲ）
定义
静态测量 动态测量
对某种不随时间改变的量进行 的测量
对时间变化的量连续进行的测 量，其数据处理常要用到随机 过程理论
误差理论
与数据处理
测量的绝对误差（Ⅰ）
？ 实验数据 期望值
NO 实验误差
测量误差=测得值—真值 （示值误差=仪器示值—真值）
误差理论
与数据处理
误差理论
与数据处理
测量误差的分类（Ⅱ）
系统误差：在顺次测量的系列测量结果中，其值固定 不变或按某确定规律变化的误差。
确定的规律：①测量误差具有确定的值； ②在相同的考察条件下，可重复表现； ③原则上可用函数的解析式，曲线或数 表示； ④这一规律性并不一定确知；
误差理论
与数据处理
测量误差的分类（Ⅲ）
误差理论
与数据处理
第一章 概 述
✓测量的基本概念 ✓测量误差的基本概念 ✓数理统计的基本概念 ✓数据的有效数字和数字的舍入规则
误差理论
与数据处理
1.1 测量的基本概念
➢测量的定义 ➢测量单位和测量基准 ➢测量方法及其分类 ➢测量的精确度
误差理论
与数据处理
测量的定义
为？确定被测对象的量值而进行的实验
的基准,由基准给出量值单位的真值.为满 足不同精度的测量要求,需要建立量值的传 递系统.
在我国最高精度的测量基准保留在” 中 国计量科学研究院”.根据测量的不同要求 , 采用不同的测量精度,以及相应的仪器.
误差理论
与数据处理
测量方法及其分类（Ⅰ）
直接测量 间接测量
定义
结果
将被测量与标准
量直接 进行比较 直接获得被测量 （或直接 用标准 的值
测量的目的：通过有限次的测量结果求出理论真值 近似值。
误差理论
与数据处理
统计量和估计量
设总体以随机变量ξ 表示，容量为n的子样以随机变
量 1,2, , n 表示。现作子样的实值函数
T T1,2, ,n
则 T1,2, ,n 也为一随机变量，称T 为统计量。
被测量L 标准量E
q=L/E
反映被测 量的数字
误差理论
与数据处理
测量单位和测量基准（Ⅰ）
量的单位
长
度
质
量
时
间
电
流
热力学温度
物质的量
发光强度
单位名称 米
千克（公斤） 秒
安[培] 开[尔文] 摩[尔] 坎[德拉]
单位符号 m kg s A K
mol cd
误差理论
与数据处理
测量单位和测量基准（Ⅱ）
为保证量值统一,对基本量建立相应
值α（0<α<1),使其满足
P1x1, x2, , xn 2 x1, x2, , xn 1
P=（1－α）为置信概率，随机区间 为1θ,的2 置
误差理论
与数据处理
区间估计
信度为P=1－α置信区间，为2 上置信限，为1 下置 信限。所谓区间估计就是要给出置信限(置信上限与 置信下限)及相应的置信度。
✓ 无偏性
设 ˆ 为未知参数θ的估计量,若 Eˆ
ˆ 则称为θ的无偏估计量。
因为估计量是随机变量，对于不同的样 本现实它有不同的估计量，即估计量的取
值具有随机波动性。若Eˆ ,则表ˆ 明估计
量ˆ 的波动中心为θ，此时估计量ˆ 相对 θ仅有随机波动而无系统偏差。
误差理论
则称ˆ1 比 ˆ2 有效。
在某些条件下，估计量 ˆ 的方差 Dˆ 有一下
界，即
Dˆ
1
nE
ln
f
x,
2
误差理论
与数据处理
估计量的评价（Ⅱ）
不等式右端即为方差下界，它依赖于总体的概率
密度 f x, 也依赖于样本容量n.当无偏估计量 ˆ
有效数字：若数据的最末一位有半个单位以内的 误差，而其它数字都是准确的，则各位数字都是 “有效数字”。一般，为确切表述数据的精度，给 出的数据只应保留有效数字。 ✓ 对于小数，第一个非零有效数字前面的零不是有
效数字。如： 0.0023有效数字为最后两位。 ✓ 数据末尾的一个或数个零应为有效数字。如1450
为了估计总体ξ某一参数θ ,由子样1,2 , , n 建
立不带有未知参量的某一统计量 T1,2, ,n ，当获得子 样的某一具体观测值 l1,l2, ,ln 时，依次计算出统计量
的值T l1,l2, ,ln =t，可作为θ估计值，则称 T1,2, ,n
间接测量误差：是因为直接测量获得的 参数本身具有测量误差。
误差理论
与数据处理
数据处理误差
按某一近似关系 处理数据
y=f(x)
数据处理误差 y=ax
此外，在随机数据处理中，子样参数代替总体 参数，有偏估计代替无偏估计等也会引入这类误差。 因此,在数据处理中数学模型和寻找数据处理方法时， 应考虑到数据的精度要求。
相对误差
真值
无
反映测量 效果
绝对误差
测得值-真 值