江西省新余市2013-2014学年高二上学期期末考试理科数学含答案

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2013-2014学年度江西省新余市第一学期高二期末考试(理)及答案

2013-2014学年度江西省新余市第一学期高二期末考试数学理试题说明：1．本卷共有三个大题，21个小题，全卷满分150分,考试时间120分钟．2．本卷分为试题卷和答题卷，答案要求写在答题卷上，在试题卷上作答不给分． 1．数列3，3，15，21，33，…，则9是这个数列的第（）A ．12项B ．13项C ．14项D ．15项2．若R c b a ∈、、，且b a >，则下列不等式中一定成立的是（）A ．11a b<B ．bc ac ≥C ．02>-ba cD ．()02≥-c b a3．已知随机变量X ～B （6,0．4），则当η＝－2X ＋1时，D （η）＝（）A ．－1．88B ．－2．88C ．5．76D ．6．764．在等差数列{}n a 中，已知4816a a +=，则该数列前11项的和11S 等于（）A ．58B ．88C ．143D ．1765．ABC ∆中，ccb A 22cos2+=，则ABC ∆形状是（） A ．正三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形或直角三角形D ．等腰直角三角形6．若621x ax ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中x 3的系数为52，则a ＝（） A ．1B ．2C ．3D ．47．将二项式81⎫的展开式中所有项重新排成一列，有理式不相邻的排法有（）种．A ．37AB ．6366A AC ．6367A AD ．7377A A8．某公园有P ，Q ，R 三只小船，P 船最多可乘3人，Q 船最多可乘2人，R 船只能乘1人，现有3个大人和2个小孩打算同时分乘若干只小船，规定有小孩的船必须有大人，共有不同的乘船方法为（）A ．36种B ．33种C ．27种D ．21种9．已知数列{}n a 满足：11a =，1(*)2n n n a a n N a +=∈+，若11()(1)(*)n nb n n N a λ+=-+∈，1b λ=-，且数列{}n b 的单调递增数列，则实数λ的取值范围为（）A ．2λ>B ．3λ>C ．2λ<D ．3λ<10．已知αβ，是方程22=0x ax b ++的两根，且[]01α∈，，[]1,2β∈,,a R b R ∈∈，求31b a --的最大值与最小值之和为（）．A ．2B ．32C ．12．D ．1二、填空题（本大题共5小题，每题5分，共计25分．请将正确答案填在答题卷相应位置．）11．在ABC ∆中，AB ，=2AC ，0=60C ，则BC = ．12．不等式02122≥-+-x x x 的解集是．13．将一个大正方形平均分成9个小正方形，向大正方形区域随机地投掷一个点（每次都能投中），投中最左侧3个小正方形区域的事件记为A ，投中最上面3个小正方形或正中间的1个小正方形区域的事件记为B ，则P （A |B ）＝_____．14．某高校“统计初步”课程的教师随机调查了选该课的一些学生情况，具体数据如下表：非统计专业为了判断主修统计专业是否与性别有关系，根据表中的数据，所以判定主修统计专业与性别有关系，那么这种判断出错的可能性为．（2χ22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++）15．对于各项均为整数的数列{}n a ，如果(1,2,3,...)i a i i +=为完全平方数，则称数列{}n a 具有“P 性质”，不论数列{}n a 是否具有“P 性质”，如果存在与{}n a 不是同一数列的{}n b ，且{}n b 同时满足下面两个条件：（1）123,,,...,n b b b b 是123,,,...,n a a a a 的一个排列；（2）数列{}n b 具有“P 性质”，则称数列{}n a 具有“变换P 性质”。

2013-2014学年上学期期末考试高二数学试题及答案

2013—2014学年上学期期终考试试卷2012级数学试卷一、填空题：（每题3分，共24分）1. 过点（1,3）且与直线1y -=x 平行的直线方程是2. 过圆4x 22=+y 上一点)1,3(-P 的切线方程是3. 点A(-2，1)到直线0243:=--y x l 的距离为4. 已知直线a ∥b ，且a ∥平面α，则b 与平面α的位置关系是5. 平行于同一平面两条直线的位置关系为6. 在60°的二面角βα--m 的面α内有一点A 到面β的距离为3,A 在β上的射影为A ′,则A ′到面α的距离为7. 用一个平面截半径为25cm 的球,截面面积是π492cm ,则球心到截面的距离为 8.抛掷两颗骰子，则“两颗骰子点数相同”的概率为二、选择题（每题3分，共30分）1．若直线0=++c by ax 通过第一、三、四象限，则（） A. 0,0>>bc ab B. 0,0<>bc ab C. 0,0><bc ab D. 0,0<<bc ab2. 若直线02x =++ay 和02x 3=-y 互相垂直，则a 等于（）A. 23-B. 32- C. 32 D. 233. 方程04222=++-+m y x y x 表示一个圆，则（） A. 5≤m B. 5m < C. 51<mD. 51≤m4. 空间中与同一条直线都垂直的两条直线的位置关系是（） A.平行 B.相交 C.异面 D.以上都可能5．如果平面的一条斜线长是它在这个平面上的射影长的3倍，则这条斜线与平面所成角的余弦值为（）A ．31 B.322 C.22 D.326. 长方体一个顶点上的三条棱长分别是a ,b ,c ，那么长方体的全面积是( ) A. ca bc ab ++ B. 222c b a ++ C. abc 2 D. )(2ca bc ab ++7．已知两球的球面面积比为4︰9 ,则两个球的体积比为（） A. 2︰3 B. 4︰9 C. 8︰27 D. 4︰278.一副扑克牌有黑、红、梅、方各13张,大小王各1张,从中任取一张，则不同取法的种数是（） A. 4 B. 54 C. 413 D. 1349．由1，2，3，4，5五个数字组成个没有重复数字的三位数偶数（） A. 12 B. 24 C. 36 D. 4810．某校对全校3000名学生的肺活量进行调查，准备抽取500名学生作为调查对象，则上面所述问题中的总体是（） A.3000名学生 B.3000名学生的肺活量 C.500名学生 D.500名学生的肺活量三、计算题：（共24分）1．已知点()5,3A 是圆0808422=---+y x y x 的一条弦的中点，求这条弦所在直线方程.（8分）2．求圆2x 22=+y 上的点到直线03=--y x 的最长距离。

江西省新余市高二数学上学期期末质量检测试题理(扫描版)

江西省新余市2015－2016学年上学期高中期末质量检测高二数理科试卷新余市2015-2016学年度上学期期末质量检测高二数学参考答案 (理科)题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案CABBBDCDCBCB二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 11.4512. 102 13． 136 14. 2a三、解答题（本大题共6小题，共70分。

解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.） 17.解：(1) 由题意知：2,1-是()2110ax a x -++=的根112+1=, 21=a a a+∴--⨯ 解得1=2a -……………………5分（2）由()0f x >得0)1)(1(>--x ax ①当0<a 时，解集为}11|{<<x ax ， ②当0=a 时，解集为}1|{<x x ， ③当10<<a 时，解集为}11|{ax x x ><或. ④当1=a 时，解集为}1|{≠x x ⑤当1>a 时，解集为}11|{><x ax x 或……………………10分 18、解：（1）因为小矩形的面积等于频率，所以除[)40,35外的频率和为0.70，所以10.700.065x -==，所以500名志愿者中，年龄在[)40,35岁的人数为0.065500150⨯⨯=(人)；……………………4分（2）用分层抽样的方法，从中选取20名，则其中年龄“低于35岁”的人有12名，“年龄不低于35岁”的人有8名．故X 的可能取值为0,1,2,3，()28514032038===C C X P ，()9528132028112===C C C X P ， ()9544232018212===C C C X P ，()57113320312===C C X P ,故X 的分布列为：X 0 1 2 3P285149528 9544 5711 所以1428441117190123285959557955EX =⨯+⨯+⨯+⨯==. ………………12分19．解：（1）,m n 的所有取值情况有2510C =，即基本事件总数为10.设“,m n 均小于25”为事件A ，则事件A 包含的基本事件为(23,16)，所以1P(A)=10，故事件A 的概率为110. ……………………4分（2）由数据得1(121113)123x =++=，1(253026)273y =++=，由公式，求得12219689722434432ni ii nii x y n x yb xnx ==-⋅⋅-===---∑∑27(2)1251a y bx =-=--⨯=．所以y 关于x 的线性回归方程为ˆ251yx =-+． ……………………8分（3）当x =10时，ˆ2105131y=-⨯+=，|31－23|=8＞2；同理，当x =8时，ˆ285135y=-⨯+=，|35－16|=19＞2．所以，该研究所得到的线性回归方程是不可靠的． ……………………12分 20.解：(1)方法一：∵cos (2)cos 0b C a c B ++=，由正弦定理得：sin cos sin cos 2sin cos B C C B A B +=-，即sin()2sin cos B C A B +=-. 在ABC ∆中，B C A π+=-，∴sin 2sin cos A A B =-，又sin 0A ≠， ∴1cos 2B =-， ∴23B π=. ……………………6分方法二：因为cos (2)cos 0b C a c B ++=，由余弦定理，222222a b c a c b b (2a c)0,2ab 2ac+-+-⨯++⨯=化简得222a ac c b ++=，结合余弦定理2222cos a c ac B b +-=,所以1cos 2B =-,又B (0,π)∈,所以23B π=. ……………………6分(2)由正弦定理知：c bsinC sinB =， bsinC sinB c =π2sin(A)π3sin(A)2π33sin 3⋅-==-.1sin 2ABC S bc A ∆=ππA)sinA(0A )333=-<<1=cosA sinA sinA 322-（）22sin cos 3A A A =-sin 2cos 2)A A =-sin 22A A =+-)363A π=+-，∵03A π<<， ∴52666A πππ<+<,sin(2)sin 162A ππ+≤=，∴)3633A π+-≤，即ABC ∆面积的最大值是3. ……………………12分 21.解:(1) 设事件A 表示:观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手.观众甲选中3号歌手的概率为32,观众乙未选中3号歌手的概率为315-. 所以()23413515P A ⎛⎫⋅-= ⎪⎝⎭=.因此,观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率为154……………………6分 (2)x 表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和,则x 可取0,1,2,3.观众甲选中3号歌手的概率为32,观众乙选中3号歌手的概率为53.当观众甲、乙、丙均未选中3号歌手时,这时()2234(1)(1)35750,0P x x -⋅-====.当观众甲、乙、丙中只有1人选中3号歌手时,这时()233233866201(1)1135535571,5517x P x ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⋅⋅-+-⋅-⋅== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⎭=⎝=.当观众甲、乙、丙中只有2人选中3号歌手时,这时()2332332331291233(1)1(1)355355355752,752x P x ++⎛⎫⋅⋅-+-⋅⋅+⋅-⋅== ⎪⎝⎭===. 当观众甲、乙、丙均选中3号歌手时,这时()2231835733 5,x x P ⎛⎫⋅=⎪= ⎝⎭==.X 的分布列如下表:0123757575757515Ex =⋅+⋅+⋅+⋅==所以,数学期望2815Ex = ……………………12分22.解：(1)由题意，可知12,nb n a a a =L 326b b -=，所以可得3238b b a -==，又由12a =，得公比2q =（2q =-舍去）所以数列{}n a 的通项公式为2nn a =(*)n N ∈，所以(1)2122nn n b n a a a +==L ，故数列{}n b 的通项公式为(1)n b n n =+(*)n N ∈ ……………………6分综上，若对任意*n N ∈均有k n S S ≥，则4k = ……………………12分。

高二上数学期末备考试卷(理科1)

2013-2014学年度第一学期期末备考试卷高二理科数学一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）。

1、对于实数,,a b c ，“22ac bc >”是“a b >”的（）A 、充分不必要条件B 、必要不充分条件C 、充要条件D 、既不充分也不必要条件 2、在ABC ∆中，AB =1AC =，30A ∠= ，则ABC ∆面积为（）A、2 B、4C、2 D、42 3、空间向量OA =,(1,OB =-,则OA OB → 与的夹角为（）A 、30B 、60C 、90D 、1204、设抛物线28y x =上一点P 到直线2x =-的距离是6，则点P 到该抛物线焦点的距离是（）A 、12B 、8C 、6D 、45、设0,0a b >>且1a b +=，则12a b+的最小值是（）A 、2B 、4 C、3+ D 、66、命题“若2,1a a >≥则”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，假命题的个数为（）A 、1B 、2C 、3D 、4 7、已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若4518a a =-，则8S 等于（） A 、72 B 、54 C 、36 D 、188、过椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点1F 作x 轴的垂线交椭圆于点P ，2F 为右焦点，若1260F PF ∠= ,则椭圆的离心率为（）A 、13B 、12C、2 D9、在平面直角坐标系中，不等式组040,()x y x y a x a +≥⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩是常数表示的平面区域面积是9，那么实数a 的值为（）10、若数列{}n a 的通项公式为2132n a n n =++，其前n 项和为718，则n 为（） A 、5 B 、6 C 、7 D 、8第Ⅱ卷（非选择题共100分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）．11．在等比数列{}n a 中,0>n a 且965=a a ，则=+9323log log a a __________.12．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a=2，b=2，sinB+cosB=0，则角A 的大小为_____________.13、已知点(3,2)A -、B(1,-4),过A 、B 作两条互相垂直的直线1l 和2l ，则1l 和2l 的交点M 的轨迹方程为_____________.14、若点(1，0)在关于,x y 的不等式组0240331ax y b ax by bx y a +-≥⎧⎪--≤⎨⎪≥-+⎩所表示的平面区域内，则12b a -+的最小值为．三、解答题（本大题共6小题，共80分；解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）．15．（本小题满分12分）设命题:p 函数3()()2x f x a =-是R 上的减函数，命题:q 函数2()43f x x x =-+在[]4,a 上递增．若“p 且q ”为假命题，“p 或q ”为真命题，求a 的取值范围．16．（本小题满分12分）设△ABC 三个角A ，B ，C 的对边分别为,,,c b a 若acA B 32tan tan 1=+. （1）求角B 的大小；（2）若)tan cos sin ,1(),cos ,(cos B A A n B A m -==，求n m ⋅的取值范围.17．（本小题满分14分）已知函数22()log (23)f x ax x a =+-，（1）当1a =-时，求该函数的定义域和值域；（2）当．0≤a 时．，如果()f x ≥1在∈x [2,3]上恒成立，求实数a 的取值范围.BACA 1B 1C 118、（本小题满分14分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，AB AC ⊥，顶点1A 在底面ABC 上的射影恰为点B ，且12AB AC A B ===．（1）求棱1AA 与BC 所成的角的大小；（2）在线段11B C 上确定一点P ，使AP 1P AB A --的平面角的余弦值．19、（本小题满分14分）一动圆与圆221:(1)1O x y -+=外切，与圆222:(1)9O x y ++=内切. (I)求动圆圆心M 的轨迹L 的方程．(Ⅱ)设过圆心1O 的直线:1l x my =+与轨迹L 相交于A 、B 两点，请问2ABO ∆（2O 为圆2O 的圆心）的内切圆N 的面积是否存在最大值？若存在,求出这个最大值及直线l 的方程，若不存在,请说明理由.20、（本小题满分14分）设函数2113()424f x x x =+-，对于正数数列{}n a ，其前n 项和为n S ，且()n n S f a =，()n N *∈.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）是否存在等比数列{}n b ，使得2)12(212211+-=++++n b a b a b a n n n 对一切正整数n 都成立？若存在，请求出数列{}n b 的通项公式；若不存在，请说明理由.15. （本小题满分12分）解：由3012a <-<得3522a <<…2分2()(2)1f x x =-- ，在[]4,a 上递增，得42<≤a ……4分p 且q 为假，p 或q 为真, ∴p 、q 一真一假． ……6分若p 真q 假得，322a << , 若p 假q 真得，425<≤a ． ……10分综上所得，a 的取值范围是322a <<或425<≤a ． ……12分16、（本小题满分12分）解 :（1）由acA B 32tan tan 1=+得 A C A A B B sin 3sin 2sin cos cos sin 1=+即AC A B C sin 3sin 2sin cos sin =),0(,π∈C A ,0sin ,0sin ≠≠∴A C 23cos =∴B ……3分 ),0(π∈B得6π=B ． …… 5分（2）由（1）知6π=B ，∴)cos 33sin ,1(),23,(cos A A n A m -==， ……6分于是 )cos 33(sin 23cos A A A n m -+=⋅=A A sin 23cos 21+=)6sin(π+A ． ……10分ππππ<+<∴<<66,650A A ∴1)6sin(21≤+<πA ，即121≤⋅<n m． …12分 17、（本小题满分14分）解：(1) 当1a =-时，22()log (23)f x x x =-++ 令2230x x -++>，解得13x -<<所以函数()f x 的定义域为(1,3)-. 3分令2223(1)4t x x x =-++=--+，则04t <≤(2) 解法一：()1f x ≥在区间[2,3]上恒成立等价于22320ax x a +--≥在区间[2,3]上恒成立 ……7分令2()232g x ax x a =+--当0a =时，()220g x x =-≥，所以0a =满足题意. 8分当0<a 时，()g x 是二次函数，对称轴为1x a=-，当205a -≤<时， 152a -≥，min ()(2)20g x g a ==+≥，解得2a ≥- 10分当25a <-时，1502a <-<，min ()(3)640g x g a ==+≥，解得23a ≥- 12分综上，a 的取值范围是⎥⎦⎤⎢⎣⎡-0,32 14分解法二：()1f x ≥在区间[2,3]上恒成立等价于22320ax x a +--≥在区间[2,3]上恒成立由22320ax x a +--≥且[2,3]x ∈时，230x ->，得2223xa x -≥- 9分令222()3xh x x -=-，则222246()0(3)x x h x x -+'=>- 12分所以()h x 在区间[2,3]上是增函数，所以max 2()(3)3h x h ==-因此a 的取值范围是⎥⎦⎤⎢⎣⎡-0,32. 14分18、（本题满分14分）【解析】（1）如图，以A 为原点建立空间直角坐标系，则()()()()11200020022042C B A B ，，，，，，，，，，，，()1022AA =，，，()11220BC B C ==-，，．1111cos 2AA BC AA BC AA BC⋅〈〉===-⋅，，故1AA 与棱BC 所成的角是π． ………………6分（2）设()111220B P B C λλλ==-，，，则()2422P λλ-，，．于是12AP λ===（32λ=舍去），C 1设平面1P AB A --的法向量为1n(),,x y z =，则1100n AP n AB ⎧=⎪⎨=⎪⎩, 即32020x y z y ++=⎧⎨=⎩ 令1z = 故1n()201=-，， ……………11分而平面1ABA 的法向量2n 2=（1,0,0），则121212cos ,n n n n n n ===故二面角1P AB A --………………14分 19、解：（1）设动圆圆心为()M x y ，，半径为R ．由题意，得11MO R =+，23MO R =-， 124MO MO +=∴． (3分) 由椭圆定义知M 在以12O O ，为焦点的椭圆上，且21a c ==，，222413b a c =-=-=∴．∴动圆圆心M 的轨迹L 的方程为22143x y +=． (6分) (2) 如图,设2ABO ∆内切圆N 的半径为r ,与直线l 的切点为C ，则三角形2ABO ∆的面积2221()2ABO S AB AO BO r =++=△12121()()242A O A OB O B O r a r r⎡+++⎤==⎣⎦ 当2ABO S △最大时,r 也最大, 2ABO ∆内切圆的面积也最大, (7分) 设11(,)A x y 、22(,)B x y (120,0y y ><), 则2121122121122ABO S O O y O O y y y =⋅+⋅=-△, (8分) 由221143x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩,得22(34)690m y my ++-=,解得12334m y m -+=+,22334m y m --=+, (10分)∴2234ABO S m =+△,令t =则1t ≥,且221m t =-, 有22212121213(1)4313ABO t t S t t t t===-+++△,令1()3f t t t =+,则21()3f t t '=-, 当1t ≥时,()0f t '>,()f t 在[1,)+∞上单调递增,有()(1)4f t f ≥=,21234ABO S ≤=△, 即当1t =,0m =时,4r 有最大值3,得max 34r =,这时所求内切圆的面积为916π,20、（本小题满分14分）解：（1）由2113()424f x x x =+-，()n n S f a = ，()n N *∈ 得2113424n n n S a a =+- ()n N *∈ ①2111113424n n n S a a +++=+- ， ② 即 221111111()422n n n n n n n a S S a a a a ++++=-=-+-，即221111()()042n n n n a a a a ++--+= ，即 11()(2)0n n n n a a a a +++--= ……4分 ∵n a ＞0，∴12n n a a +-= ，即数列{}n a 是公差为2的等差数列，由①得，21111113424S a a a ==+-，解得13a = ……6分因此，数列{}n a 的通项公式为21n a n =+. ……7分（2）假设存在等比数列{}n b ，使得对一切正整数n 都有111222(21)2n n n a b a b a b n ++++=-+ ③当2n ≥时，有1122112(23)2n n n a b a b a b n --+++=-+ ④③－④，得 2(21)n n n a b n =+，由21n a n =+得，2n n b = ……12分又11162(211)a b ==⨯+满足条件， ……13分因此，存在等比数列{}2n ，使得111222(21)2n n n a b a b a b n ++++=-+ 对一切正整数n 都成立. ……14分。

2013-2014学年上学期期末考试理科数学答案

2013－2014学年上学期期末调研考试高二理科数学答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．1. D 2．C 3．B 4．C 5．C 6．D 7．C 8．B 9．A 10．A 11．C 12．D 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.32π； 14. 1+n n ； 15.34； 16. ①③④ 三、解答题：本大题6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分）过抛物线)0(22>=p px y 的焦点F 的直线交抛物线于B A ,两点，通过点A 和抛物线顶点O 的直线交抛物线的准线于点D ，求证：直线DB 平行于抛物线的对称轴．证明：设),,2(020y pyA 则直线OA 的方程为)0(200≠=y x y py ①……………2分准线方程为2p x -=② 联立①②可得点D 的纵坐标为02y p y -=③……………4分因为)0,2(p F ，所以可得直线AF 的方程为)2(22200px py py y --=，④ 其中.220p y ≠将④与)0(22>=p px y 联立可得点B 的纵坐标为02y p y -=⑤…………7分由③⑤可知，DB ∥x 轴．……………8分当220p y =时，结论显然成立．……………9分所以，直线DB 平行于抛物线的对称轴．……………10分 18．（本小题满分12分）已知命题[]0,2,1:2≥-∈∀a x x p ；命题,:0R x q ∈∃使得01)1(020<+-+x a x ．若“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，求实数a 的取值范围．解：p 真，则1≤a ，q 真，则,04)1(2>--=∆a 即3>a 或1-<a ．………3分因为“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，所以p ，q 中必有一个为真，另一个为假，……………7分当p 真q 假时，有⎩⎨⎧≤≤-≤311a a 得11≤≤-a ，……………9分当p 假q 真时，有⎩⎨⎧-<>>131a a a 或得3>a ，……………11分综上，实数a 的取值范围为11≤≤-a 或3>a ．……………12分 19．(本小题满分12分)如图，已知四棱锥ABCD P -的底面为等腰梯形，AB ∥BD AC CD ⊥,，H 为垂足，PH 是四棱锥的高，，E 为AD 中点．请建立合适的空间直角坐标系，在坐标系下分别解答下列问题．（1）证明：BC PE ⊥；（2）若,60=∠=∠ADB APB 求直线PA 与平面PEH 所成角的正弦值．BA解：以H 为原点，HP HB HA ,,所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，线段HA 的长为单位长，建立空间直角坐标系如图，则).0,1,0(),0,0,1(B A ………1分（1）证明：设),0,0)(,0,0(),0,0,(><n m n P m C 则).0,2,21(),0,,0(mE m D 可得).0,1,(),,2,21(-=-=→-→-m BC n mPE因为,0022=+-=⋅→-→-mm BC PE 所以BC PE ⊥．………4分（2）由已知条件可得,1,33=-=n m 故).1,0,0(),0,63,21(),0,33,0(),0,0,33(P E D C ---………5分设),,(z y x n =→为平面PEH 的法向量，则,00⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅→-→→-→HP n HE n 即⎪⎩⎪⎨⎧==--,0,06321z z y x ……………8分因此可以取).0,3,1(=→n ……………9分由),1,0,1(-=→-PA 可得,42,cos =><→→-n PA ……………11分所以直线PA 与平面PEH 所成角的正弦值为.42……………12分 20．（本小题满分12分）如图，一个结晶体的形状为平行六面体．（1）如果其中，以顶点A 为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是60，求以这个顶点A 为端点的晶体的对角线的长与棱长的关系；（2）如果已知,1d AC =,,b AD a AB ==,1c AA =，并且以A 为端点的各棱间的夹角都相等为θ，试用d c b a ,,,表示θcos 的值；（3）如果已知该平行六面体的各棱长都等于a ，并且以某一顶点为端点的各棱间的夹角都等于θ，求这个平行六面体相邻两个面夹角α的余弦值．解：（1）设.60,1111=∠=∠=∠===DAA BAA BAD AD AA AB2121)(→-→-→-→-++=AA AD AB AC)(2112122→-→-→-→-→-→-→-→-→-⋅+⋅+⋅+++=AA AD AA AB AD AB AA AD AB,6)60cos 60cos 60(cos 2111=+++++= ……………2分所以,61=→-AC 即A 为端点的晶体的对角线的长是棱长的6倍．……………3分（2）21212)(→-→-→-→-++==AA AD AB AC d,cos )(2222θca bc ab c b a +++++=解得)(2cos 2222ca bc ab c b a d ++---=θ．……………6分（3）在平面1AB 内作E AB E A ,1⊥为垂足，在平面AC 内作F AB CF ,⊥为垂足．.cos ,sin 1θθa BF AE a CF E A ====……………9分θα22111sin )()(cos a BF CB AE A A CFE A CF E A →-→-→-→-→-→-→-→-+⋅+=⋅⋅=θθθπθθπθθ2222222sin cos )cos(cos )cos(cos cos a a a a a +-+-+=.cos 1cos θθ+=……………12分11D CA21．（本小题满分12分）两个数列{}n a 和 {}n b ，满足)(2132*321N n nna a a a b nn ∈+⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+++=，6)12)(1(3212222++=+⋅⋅⋅+++n n n n ．求证：{}n b 为等差数列的充要条件是{}n a 为等差数列．证明：（必要性）由已知，得,2)1(32321n n b n n na a a a +=+⋅⋅⋅+++① …………………1分于是有,2)1()1(3211321--+=-+⋅⋅⋅+++n n b n n a n a a a ②……………2分由①-②，得1)1(21)1(21---+=n n n b n b n a ．………………3分设等差数列{}n b 的公差为d ，由已知，得,11b a =则d n a b n )1(1-+=，所以[]d n a d n a a n 23)1()1(322111∙-+=-+=．……………5分所以数列{}n a 是以1a 为首项，以d 23为公差的等差数列．…………6分（充分性）由已知，得,322)1(321n n na a a a b n n +⋅⋅⋅+++=+③ 设等差数列{}n a 的公差为/d ，则[]/1/1/11321)1()2(3)(232d n a n d a d a a na a a a n -++⋅⋅⋅+++++=+⋅⋅⋅+++)-3-32-2)321(222/1n n d n a +⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+++=（⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-++∙++=2)1(6)12)(1(2)1(/1n n n n n d n n a ),1(322)1(2)1(/1-∙+∙++=n n n d n n a 由③，得),1(32/1-+=n d a b n …………………10分所以数列{}n b 是以1a 为首项，以/32d 为公差的等差数列．……………11分综上，{}n b 为等差数列的充要条件是{}n a 为等差数列．…………………12分 22．(本小题满分12分)已知椭圆)0(1:22221>>=+b a by a x C 的右焦点与抛物线x y C 4:22=的焦点重合，椭圆1C 与抛物线2C 在第一象限的交点为P ，.35=PF 过点)0,1(-A 作直线交椭圆与M 、N 两点．（1）求椭圆1C 的方程；（2）求MN 的最大值；（3）求线段MN 的中点R 的轨迹方程．解：（1）易得),0,1(F 因为35=PF ，根据抛物线定义知,351=+p x 所以32=p x ，将),32(p y P 代入x y C 4:22=解得38=p y ，所以)38,32(P ，将点P 坐标代入)0(1:22221>>=+b a by a x C 得1389422=+b a ①……………3分又在椭圆中有1222==-c b a ② 联立①②解得,3,422==b a所以椭圆1C 的方程为13422=+y x ．……………4分（2）当直线MN 垂直x 轴时，方程为,1-=x 此时线段MN 为通径MN =322=ab ；当直线MN 不垂直x 轴时，设直线MN 的斜率为k ，方程为)1(+=x k y ，………5分与13422=+y x 联立消去y 得,01248)43(2222=-+++k x k x k 设),(),,(2211y x N y x M ，由韦达定理得2221222143124,438k k x x k k x x +-=+=+根据弦长公式得)43()124(4)43(641242242k k k k kMN +-⨯-++= 2243)1(12k k ++=……………6分设m k k =++22431，所以)041(41132≠---=m m m k 因为,02≥k 所以04113≥--m m ，解得,3141≤<m ……………7分所以,4123≤<m由前面知MN =322=ab 所以43≤≤MN ，故MN 的最小值为3（此时为通径长），最大值为4（此时为实轴长）．……………8分（3）设),,(y x R ),(),,(2211y x N y x M ，则21212,2y y y x x x +=+=，③………9分将),(),,(2211y x N y x M 分别代入13422=+y x 得 ,134,13422222121=+=+yx y x 两式相减得 ,4321212121-=++⨯--x x y y x x y y ④因为M 、N 、R 、A 四点共线，所以有12121+=--x yx x y y ⑤ 将③、⑤代入④化简得034322=++x y x ，……………11分因为点R 在椭圆1C 的内部，所以13422<+y x ，因此R 的轨迹方程为034322=++x y x （13422<+y x ）．……………12分。

2013-2014学年高二上学期期末联考数学(理)试题(含答案)

学校姓名联考证号2013-2014学年高二上学期期末联考数学（理）试题注意事项:1．答题前，考生务必用蓝、黑色墨水笔或圆珠笔将学校名称、姓名、班级、联考证号、座位号填写在试题和试卷上。

2．请把所有答案做在试卷上，交卷时只交试卷，不交试题，答案写在试题上无效。

3．满分150分，考试时间120分钟。

一.选择题(每小题给出的四个选项中,只有一个选项正确每小题5分,共60分) 1. 已知全集}4,3,2,1{=U ,}1{=A ,}42{，=B ,则A ∪=)(B C U A.}1{B.}3,1{C.}3{D.}3,2,1{2. 直线012=+-y x 与直线012=++y ax 的垂直,则=aA. 1B. 1-C. 4D. 4-3. 已知两个不同的平面βα、和两条不重合的直线n m 、,有下列四个命题:①若m //n ,α⊥m ,则α⊥n ; ②若α⊥m ,β⊥m ,则α//β; ③若α⊥m ,β⊂m ,则βα⊥; ④若m //α,n //α,则m //n . 其中正确命题的个数是 A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个4. 到两坐标轴距离之和为6的点的轨迹方程是A.0=+y xB.6||=+y xC.6=±y xD.6||||=+y x5. 执行如图所示的程序框图,其输出的结果是A. 1B.21- C.45- D.813-6. “1=k ”是“直线0=+-k y x 与圆122=+y x 相交”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件7. 一个棱锥的三视图如图,则该棱锥的体积是A.34 B.38 C.4 D.88.直线过点)0,1(-且与圆x y x 222=+相切,若切点在第四象限,则直线的方程为 A.013=+-y x B.013=++y x C.013=+-y x D.013=++y x 9. 正方体1111D C B A ABCD -中,下列结论错误．．的是 A.AC ∥平面11BC A B.⊥1BC 平面CD B A 11C.C B AD 11⊥D.异面直线1CD 与1BC 所成的角是45º 10. 已知向量)2,0(),cos ,2cos 2sin 2(),3,1(π∈-==x x x x ,若b a ⊥,则=x A.6πB.3πC.32π D.65π11. 设抛物线x y 82=的焦点为F ,准线为,P 为抛物线上的一点,l PA ⊥,垂足为A .若直线AF 的斜率为3-,则=||PF A.4 B.8 C.34 D.3812. 已知函数⎪⎩⎪⎨⎧-<≤-+---≥-+=13,)2(11,325)(22x x x x x x f ,则函数2)()(x x f x g -=的零点个数为 A.1 B.2 C.3 D.4二.填空题:(本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在答卷纸的相应位置上) 13. 在区间]2,3[-上随机取一个数,x 则1||≤x 的概率是___________.14. 已知函数⎩⎨⎧<>=0,30,log )(2x x x x f x,则⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛41f f 的值为___________. 15. 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线经过点(4,,则该双曲线的离心率为___________.16. 设三棱柱的侧棱垂直于底面,所有棱长都为a ,顶点都在一个球面上.若该球的表面积为37π,则棱长=a ___________. 三.解答题(本大题6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并把解答写在答卷纸的相应位置上.只写最终结果的不得分) 17.（本小题满分10分）命题:p 函数xa y )22(+=是增函数.命题],1,1[:-∈∀x q 32+--≤x x a 成立，若q p ∧ 为真命题,求实数a 的取值范围. 18.（本小题满分12分）如图,四棱锥ABCD P -中,底面ABCD 是边长为2的正方形,CD PD BC PB ⊥⊥,,且2=PA ,E 为PD 中点.（1）求证:⊥PA 平面ABCD ；（2）求二面角D AC E --的余弦值.19.（本小题满分12分）如图,在△ABC中,52,4==AC B π,552cos =C .（1）求A sin ；（2）设BC 的中点为D ,求中线AD 的长.20.（本小题满分12分）矩形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点M (2,0),AB 边所在直线的方程为:063=--y x , 若点)5,1(-N 在直线AD 上.（1）求点A 的坐标及矩形ABCD 外接圆的方程；（2）过点)1,0(-P 的直线m 与ABCD 外接圆相交于A 、B 两点,若4||=AB , 求直线m 的方程.21.（本小题满分12分）等差数列}{n a 的前n 项和为n S ,且225,5153==S a .（1）数列}{n b 满足:,1),(-1*1=∈=+b N n a b b n n n 求数列}{n b 的通项公式；（2）设,221n c n a n +=+求数列}{n c 的前n 项和n T .22（本小题满分12分）已知椭圆E 的中心在坐标原点、对称轴为坐标轴,且抛物线y x 242-=的焦点是它的一个焦点,又点)2,1(A 在该椭圆上. （1）求椭圆E 的方程;（2）若斜率为2直线与椭圆E 交于不同的两点C B 、,当ABC 面积的最大值时，求直线的方程.高二数学（理科A类）双向细目表。

2013-2014学年度第一学期期末考试高二数学参考答案

2013—2014 学年度第一学期期末考试高二数学参考答案及评分标准一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．1-12 BCADA DDBAC AB二、填空题：本大题共5小题，每小题6分，共30分． 13. 2x-y-3>0； 14.2n-115.362 16.（文）a<3 （理）42a三、解答题：本大题共4小题，每小题15分，共60分。

(17) (10分)已知过点A (－4，0)的动直线l 与抛物线G ：x 2＝2py (p ＞0)相交于B ，C 两点．当直线l 的斜率是12时，AC →＝4AB →.(1)求抛物线G 的方程；(2)设线段BC 的中垂线在y 轴上的截距为b ，求b 的取值范围．解：(1)设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，当直线l 的斜率是12时，l 的方程为y ＝12(x ＋4)，即x ＝2y －4.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2py ，x ＝2y －4，得2y 2－(8＋p )y ＋8＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧y 1y 2＝4①，y 1＋y 2＝8＋p2②，又∵AC →＝4AB →，∴y 2＝4y 1，③由①②③及p ＞0得y 1＝1，y 2＝4，p ＝2，得抛物线G 的方程为x 2＝4y . (5分) (2)设l ：y ＝k (x ＋4) (k ≠0)，BC 的中点坐标为(x 0，y 0)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝4y ，y ＝k （x ＋4），得x 2－4kx －16k ＝0，④∴x 0＝x 1＋x 22＝2k ，y 0＝k (x 0＋4)＝2k 2＋4k .∴线段BC 的中垂线方程为y －2k 2－4k ＝－1k (x －2k )，∴线段BC 的中垂线在y 轴上的截距为b ＝2k 2＋4k ＋2＝2(k ＋1)2.对于方程④，由Δ＝16k 2＋64k ＞0得k ＞0或k ＜－4.∴b ∈(2，＋∞)．（10分）（18）(12分)(1)已知a ，b 是正常数， a ≠b ，x ，y ∈(0，＋∞)，求证：a 2x ＋b 2y ≥（a ＋b ）2x ＋y，并指出等号成立的条件；(2)利用(1)的结论求函数f (x )＝2x ＋91－2x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12的最小值，并指出取最小值时x 的值．18．(1)证明：⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2x ＋b 2y (x ＋y )＝a 2＋b 2＋a 2y x ＋b 2x y ≥a 2＋b 2＋2a 2y x ·b 2xy＝(a ＋b )2，故a 2x ＋b 2y ≥（a ＋b ）2x ＋y，当且仅当a 2y x ＝b 2x y ，即a x ＝b y时上式取等号．（6分）(2)由(1)得f (x )＝222x ＋321－2x ≥（2＋3）22x ＋（1－2x ）＝25，当且仅当22x ＝31－2x ，即x ＝15时上式取最小值，即f (x )min ＝25. （12分）（19）(12分)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若cos A cos B ＝ba且sin C ＝cos A .(1)求角A ， B ，C 的大小；(2)设函数f (x )＝sin(2x ＋A )＋cos2x －C2，求函数f (x )的单调递增区间，并指出它相邻两对称轴间的距离．19．解：(1)由cos A cos B ＝b a 结合正弦定理得cos A cos B ＝sin Bsin A，则sin2A ＝sin2B ，则有A ＝B 或A ＋B ＝π2，①当A ＝B 时，由sin C ＝cos A 得cos A ＝sin2A ＝2sin A cos A 得sin A ＝12或cos A ＝0(舍)，∴A ＝B ＝π6，C ＝2π3，②当A ＋B ＝π2时，由sin C ＝cos A 得cos A ＝1(舍)．综上，A ＝B ＝π6，C ＝2π3，（6分）(2)由(1)知f (x )＝sin(2x ＋π6)＋cos(2x －π3)＝sin(2x ＋π6)＋cos(－π2＋2x ＋π6)＝2sin(2x ＋π6).由2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2得k π－π3≤x ≤k π＋π6(k ∈Z )，所以函数f (x )的单调递增区间为(k π－π3，k π＋π6)(k ∈Z )，相邻两对称轴间的距离为π2.（12分）(20) (12分)已知数列{a n }的前n 项和S n 满足：S n ＝a (S n －a n ＋1)(a 为常数，且a ≠0，a ≠1)(n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝a 2n ＋S n ·a n ，若数列{b n }为等比数列，求a 的值．解：(1)当n ＝1时，S 1＝a (S 1－a 1＋1)， ∴a 1＝a ，当n ≥2时，S n ＝a (S n －a n ＋1)， S n －1＝a (S n －1－a n －1＋1)，两式相减得，a n ＝a ·a n －1，即a na n －1＝a .即{a n }是等比数列， a n ＝a ·a n －1＝a n . （6分）(2)由(1)知b n ＝(a n )2＋a （a n －1）a －1a n ，即b n ＝（2a －1）a 2n －aa na －1.①若{b n }为等比数列，则有b 22＝b 1b 3，而b 1＝2a 2，b 2＝a 3(2a ＋1)，b 3＝a 4(2a 2＋a ＋1)．故[a 3(2a ＋1)]2＝2a 2·a 4(2a 2＋a ＋1)，解得a ＝12.将a ＝12代入①得b n ＝12n 成立． ∴a ＝12. （12分）（21）(12分)设A ，B 分别为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左，右顶点，P （1，32）为椭圆上一点，椭圆长半轴的长等于焦距．(1)求椭圆的方程；(2)设P (4，x )(x ≠0)，若直线AP ，BP 分别与椭圆相交于异于A ，B 的点M ，N ，求证：∠MBN 为钝角．解：(1)依题意，得a ＝2c ，b 2＝a 2－c 2＝3c 2，设椭圆方程为x 24c 2＋y 23c 2＝1，将1，32代入，得c 2＝1，故椭圆方程为x 24＋y 23＝1. （6分）(2)证明：由(1)知A (－2，0)，B (2，0)，设M (x 0，y 0)，则－2＜x 0＜2，y 20＝34(4－x 20)，由P ，A ，M 三点共线，得x ＝6y 0x 0＋2，BM →＝(x 0－2，y 0)，BP →＝2，6y 0x 0＋2，BM →·BP →＝2x 0－4＋6y 20x 0＋2＝52(2－x 0)＞0，即∠MBP 为锐角，则∠MBN 为钝角．（12分）（22）（文）(12分) 己知函数f (x )＝(x 2－ax ＋a )e x(a <2，e 为自然对数的底数)． (1)若a ＝1，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程； (2)若存在x ∈[－2，2]，使得f (x )≥3a 2e 2，求实数a 的取值范围．解：(1)当a ＝1时，f (x )＝(x 2－x ＋1)e x，切点为(1，e)，于是有f ′(x )＝(x 2＋x )e x，k ＝f ′(1)＝2e ，所以切线方程为y ＝2e x －e. （6分）(2)f ′(x )＝x (x －a ＋2)e x，令f ′(x )＝0，得x ＝a －2<0或x ＝0， ①当－2≤a －2<0，即0≤a <2时，x －2 (－2，a －2)a －2(a －2，0)0 (0，2) 2 f ′(x ) ＋0 －0 ＋f (x )极大值极小值所以f (a －2)＝ea －2(4－a )，f (2)＝e 2(4－a )，当0≤a <2时，有f (2)≥f (a －2)，若存在x ∈[－2，2]使得f (x )≥3a 2e 2，只需e 2(4－a )≥3a 2e 2，解得－43≤a ≤1，所以0≤a ≤1.②当a －2<－2，即a <0时，所以f (－2)＝e －2(4＋3a )，f (2)＝e 2(4－a )，因为e －2(4＋3a )<e 2(4－a )，所x －2 (－2，0) 0 (0，2) 2 f ′(x ) －0 ＋f (x )极小值以f (2)>f (－2)，若存在x ∈[－2，2]使得f (x )≥3a 2e 2，只需e 2(4－a )≥3a 2e 2，解得－43≤a ≤1，所以－43≤a <0.综上所述，有－43≤a ≤1. （12分）（22）(理) (12分)如图所示,在直三棱柱ABC A 1B 1C 1中,AB=BC=2AA 1,∠ABC=90°,D 是BC 的中点. (1)求证:A 1B ∥平面ADC 1;(2)求二面角C 1AD C 的余弦值;(3)试问线段A 1B 1上是否存在点E,使AE 与DC 1成60° 角? 若存在,确定E 点位置,若不存在,说明理由. (1)证明:连接A 1C,交AC 1于点O,连接OD.由ABC A 1B 1C 1是直三棱柱，得四边形ACC 1A 1为矩形,O 为A 1C 的中点. 又D 为BC 的中点,所以OD 为△A 1BC 的中位线, 所以A 1B ∥OD.因为OD ⊂平面ADC 1,A 1B ⊄平面ADC 1,所以A 1B ∥平面ADC 1. （4分） (2)解:由于ABC A 1B 1C 1是直三棱柱,且∠ABC=90°, 故BA 、BC 、BB 1两两垂直.如图所示建立空间直角坐标系.设BA=2,则B(0,0,0),A(2,0,0),C(0,2,0),C 1(0,2,1),D(0,1,0). 所以=(-2,1,0),=(-2,2,1).设平面ADC 1的法向量为n=(x,y,z),则有所以取y=1,得n=（,1,-1）.易知平面ADC 的一个法向量为v=(0,0,1). 由于二面角C 1AD C 是锐角且 cos<n,v>==-.所以二面角C 1AD C 的余弦值为. （8分）(3)解:假设存在满足条件的点E.因为E 在线段A 1B 1上,A 1(2,0,1),B 1(0,0,1),故可设E(λ,0,1),其中0≤λ≤2. 所以=(λ-2,0,1),=(0,1,1).因为AE 与DC 1成60°角,所以=. 即=,解得λ=1或λ=3(舍去).所以当点E为线段A1B1的中点时,AE与DC1成60°角. （12分）。

2013-2014学年度江西省新余市第一学期高二期末考试(文)及答案

2013-2014学年度江西省新余市第一学期高二期末考试数学文试题说明：1．本卷共有三个大题，21个小题，全卷满分150分,考试时间120分钟． 2．本卷分为试题卷和答题卷，答案要求写在答题卷上，在试题卷上作答不给分．一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设i 是虚数单位，集合{}i A ,1=，⎭⎬⎫⎩⎨⎧--=2)1(,12i iB ，则B A ⋃为（）A ．AB ．BC ．{}i ,1,1-D ．{}i i -,,12．若R c b a ∈、、，且b a >，则下列不等式一定成立的是（）A ．bc ac >B ．⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≥+-≤--0,002063y x y x y x C ．0)(2≥-c b a D ．b a 11<3．用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，反设正确的是（）A ．假设三内角都大于60度B ．假设三内角都不大于60度C ．假设三内角至多有一个大于60度D ．假设三内角至多有两个大于60度 4．下面几种推理过程是演绎推理的是（）A ．两条直线平行，同旁内角互补，如果A ∠和B ∠是两条平行直线的同旁内角，则︒=∠+∠180B A ．B ．由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质．C ．三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和是540°，由此得凸n 多边形内角和是︒⋅-180)2(n ．D ．在数列{}n a 中，11a =，)2(12111≥⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=--n a a a n n n ，由此归纳出{}n a 的通项公式．5．在R 上定义运算⊗，b a ab b a ++=⊗2，则满足0)2(<-⊗x x 的实数x 的取值范围为（）A ．)2,0(B ．)1,2(-C ．),1()2,(+∞⋃--∞D ．)2,1(-6．若下边的程序框图输出的S 是126，则条件①可为（）A ．8≤nB ．7≤nC ．6≤nD ．5≤n7．已知等差数列的前n 项和为18，若13=S ，321=++--n n n a a a ,则n 的值为（）A ．9B ．21C ．27D ．368．设变量,x y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥-≥+02201y x y x y x ，则目标函数3z x y =-的最小值为（）A ．4B ．3C ．2D ．19．已知ABC ∆满足2cos c a B =，则ABC ∆的形状是（） A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形10．将正整数排成下表：则在表中数字2014出现在（）A ．第45行第78列B ．第44行第78列C ．第44行第77列D ．第45行第77列二、填空题（本大题共5小题，每题5分，共计25分．请将正确答案填在答题卷相应位置．） 11．若i a z 21+=, i z 432-=，且21z z 为纯虚数，则实数a 的值为． 12．从1，2,3，4，5，6，7中任取两个不同的数，事件A 为“取到的两个数的和为偶数”,事件B 为“取到的两个数均为偶数",则)(A B P =__________．13．若等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，则21(21)n n S n a -=-．由类比推理可得：在等比数列{}n b 中，若其前n 项的积为n P ，则21n P -=________． 14．若正数x ，y 满足032=-+y x ，则xyyx 2+的最小值为_________． 15．设ABC ∆的内角,,A B C 所对的边为,,a b c ,则下列命题正确的是（写出所有正确命题的序号）．①若2ab c >, 则3C π<． ②若2a b c +>, 则3C π<．③若444c b a =+, 则2C π<． ④若()2a b c ab +<, 则2C π>．⑤若22222()2a b c a b +<, 则3C π>．三、解答题（本大题共6小题，共75分。

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新余市2013-2014学年度上学期期末质量检测高二数学试题卷（理科A 卷）命题人：市四中林奇兵新钢中学邹进辉审校人：肖连奇说明：1．本卷共有三个大题，21个小题，全卷满分150分,考试时间120分钟．2．本卷分为试题卷和答题卷，答案要求写在答题卷上，在试题卷上作答不给分．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 1.数列3，3，15，21，33，…，则9是这个数列的第( ) A ．12项 B ．13项 C ．14项 D ．15项 2．若R c b a ∈、、，且b a >，则下列不等式中一定成立的是（）A ．11a b< B ．bc ac ≥C ．02>-ba cD ．()02≥-c b a3．已知随机变量X ～B (6,0.4)，则当η＝－2X ＋1时，D (η)＝( )A ．－1.88B ．－2.88C ．5. 76D ．6.76 4. 在等差数列{}n a 中，已知4816a a +=，则该数列前11项的和11S 等于A ．58B ．88C ．143D ． 1765. ABC ∆中，cc b A 22cos2+=，则ABC ∆形状是（） A. 正三角形 B. 直角三角形C. 等腰三角形或直角三角形D. 等腰直角三角形6．若621x ax ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中x 3的系数为52，则a ＝( ) A ．1 B ．2C ．3D ．47．将二项式81⎫的展开式中所有项重新排成一列，有理式不相邻的排法有( )种． A ．37A B ．6366A A C ．6367A A D ．7377A A8. 某公园有P ，Q ，R 三只小船，P 船最多可乘3人，Q 船最多可乘2人，R 船只能乘1人，现有3个大人和2个小孩打算同时分乘若干只小船，规定有小孩的船必须有大人，共有不同的乘船方法为 ( )A 36种B 33种C 27种D 21种 9．已知数列{}n a 满足：11a =，1(*)2n n n a a n N a +=∈+，若11()(1)(*)n nb n n N a λ+=-+∈，1b λ=-，且数列{}n b 的单调递增数列，则实数λ的取值范围为（）A ．2λ>B ．3λ>C ．2λ<D ．3λ< 10．已知αβ，是方程22=0x ax b ++的两根，且[]01α∈，，[]1,2β∈,,a R b R ∈∈，求31b a --的最大值与最小值之和为( )． A ．2 B ．32 C ．12. D ．1二、填空题（本大题共5小题，每题5分，共计25分.请将正确答案填在答题卷相应位置．．．．．．．．．．．．．．．.）11.在ABC ∆中，AB ，=2AC ，0=60C ，则BC = .12.不等式02122≥-+-x x x 的解集是．13．将一个大正方形平均分成9个小正方形，向大正方形区域随机地投掷一个点(每次都能投中)，投中最左侧3个小正方形区域的事件记为A ，投中最上面3个小正方形或正中间的1个小正方形区域的事件记为B ，则P (A |B )＝_____．14．某高校“性别有关系，那么这种判断出错的可能性为 .（2χ22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++） 15.对于各项均为整数的数列{}n a ，如果(1,2,3,...)i a i i +=为完全平方数，则称数列{}n a 具有“P 性质”，不论数列{}n a 是否具有“P 性质”，如果存在与{}n a 不是同一数列的{}n b ，且{}n b 同时满足下面两个条件：(1)123,,,...,n b b b b 是123,,,...,n a a a a 的一个排列；(2)数列{}n b 具有“P 性质”，则称数列{}n a 具有“变换P 性质”。

给出下面三个数列：①数列{}n a 的前n 项和2(1)3n n S n =-； ②数列1，2，3，4，5； ③数列1，2，3，… 11.其中具有“P 性质”或具有“变换P 性质”的为 .（写出所有正确的序号）．三、解答题（本大题共6小题，共75分。

解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤）16．（本小题满分12分）在ABC ∆中，角A 、B 、C 对的边分别为a 、b 、c ，且2,60c C ==︒ （1）求sin sin a bA B++的值；（2）若a b ab +=，求ABC ∆的面积ABC S ∆．17.（本小题满分12分）为加快旅游业的发展，新余市2013年面向国内发行总量为200万张的“仙女湖之旅”优惠卡，向省外人士发行的是金卡，向省内人士发行的是银卡.某旅游公司组织了一个有36名游客的旅游团到新余仙女湖旅游，其中34是省外游客，其余是省内游客.在省外游客中有13持金卡，在省内游客中有23持银卡. （1）在该团中随机采访2名游客，求恰有1人持银卡的概率；（2）在该团中随机采访2名游客，求其中持金卡与持银卡人数相等概率. 18．（本小题满分12分）等差数列{}n a 的各项均为正数，13a =，前n 项和为n S ，{}n b 为等比数列, 12b =，且2232,b S = 33120b S =．（1）求n a 与n b ；（2）求数列{}n n a b 的前n 项和n T .19. （本小题满分12分）某项考试按科目A 、科目B 依次进行，只有当科目A 成绩合格时，才可继续参加科目B 的考试.已知每个科目只允许有一次补考机会，两个科目成绩均合格方可获得证书.现某人参加这项考试，科目A 每次考试成绩合格的概率均为23，科目B 每次考试成绩合格的概率均为12.假设各次考试成绩合格与否均互不影响. （1）求他不需要补考就可获得证书的概率；（2）在这项考试过程中，假设他不放弃所有的考试机会，记他参加考试的次数为ξ，求ξ的分布列及数学期望E ξ.20．(本小题满分13分）某投资公司计划投资A ，B 两种金融产品，根据市场调查与预测，A 产品的利润y 1与投资金额x 的函数关系为y 1＝18－ 180x ＋10，B 产品的利润y 2与投资金额x 的函数关系为y 2＝x5(注：利润与投资金额单位：万元).(1)该公司已有100万元资金，并全部投入A ，B 两种产品中，其中x 万元资金投入A 产品，试把A ，B 两种产品利润总和表示为x 的函数，并写出定义域；(2)在（1）的条件下，试问：怎样分配这100万元资金，才能使公司获得最大利润？其最大利润为多少万元？ 21．（本小题满分14分）已知数列{}n a 的相邻两项n a ，1n a +是关于x 方程220n n x x b -+=的两根，且11a =. （1）求证：数列1{2}3nn a -⋅是等比数列；（2）求数列{}n a 的前n 项和n S ；（3）设函数()(*)n n f n b t S n N =-⋅∈，若()0f n >对任意的*n N ∈都成立，求实数t的取值范围.高二数学试题参考答案 (理科A 卷)4 5 6 7 二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分） 11. 4 12.{}1112><≤--<x x x x 或或 13．1414. 5% 15. ①②三、解答题（本大题共6小题，共75分。

解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.） 16解：（1）由正弦定理可得：2sin sin sin sin 60a b c A B C =====︒ 所以 ,a A b B ==，所以sin )3sin sin sin sin A B a b A B A B ++==++ …………………6分（2）由余弦定理得2222cos c a b ab C =+-，即2224()3a b ab a b ab =+-=+-，又a b ab +=，所以2()340ab ab --=，解得4ab =或1ab =-（舍去），所以11sin 422ABC S ab C ∆==⨯= …………………12分17.（ 1）由题意得,省外游客有27人,其中9人持金卡;省内游客有9人,其中6人持银卡. 设事件A 为“采访该团2人,恰有1人持银卡”,..............1分则116302362()7==C C P A C 所以采访该团2人，恰有1人持银卡的概率是27. ……………………………6分（2）设事件B 为“采访该团2人,持金卡人数与持银卡人数相等”,可以分为：事件B 1为“采访该团2人,持金卡0人，持银卡0人”,或事件B 2为“采访该团2人,持金卡1人，持银卡1人”两种情况，则11296211222363644()()()105=+=+=C C C P B P B P B C C 所以采访该团2人，持金卡与持银卡人数相等的概率是44105. …………12分18. 解：（1）设{}n a 的公差为d ，{}n b 的公比为q ，则d 为正整数，3(1)n a n d =+-，12n n b q -=依题意有23322(93)2120(6)232S b d q S b d q ⎧=+=⎨=+=⎩，即2(93)60(6)16d q d q ⎧+=⎨+=⎩，解得2,2d q =⎧⎨=⎩或者65103d q ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（舍去），故32(1)21,2n n n a n n b =+-=+=。

……………………4分（2）(21)2n n n a b n =+⋅。

………………6分213252(21)2(21)2n n n T n n -=⋅+⋅++-⋅++⋅， 23123252(21)2(21)2n n n T n n +=⋅+⋅++-⋅++⋅，两式相减得23132222222(21)2n n n T n +-=⋅+⋅+⋅++⋅-+………………8分23112112222(21)222(21)2(12)22n n n n n n n n +++++=++++-+=--+=--，所以1(21)22n n T n +=-⋅+………………12分19解:设“科目A 第一次考试合格”为事件A 1，“科目A 补考合格”为事件A 2；“科目B 第一次考试合格”为事件B 1，“科目B 补考合格”为事件B 2..............1分 (1)不需要补考就获得证书的事件为A 1·B 1,注意到A 1与B 1相互独立，则1111211()()()323P A B P A P B =⨯=⨯=.该考生不需要补考就获得证书的概率为13..............4分 (2)由已知得，ξ＝2，3，4，注意到各事件之间的独立性与互斥性，可得1112(2)()()P P A B P A A ξ==+2111114.3233399=⨯+⨯=+=.............6分 112112121(3)()()()P P A B B P A B B P A A B ξ==++2112111211114,3223223326699=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=++=...........8分 12121212(4)()()P P A A B B P A A B B ξ==+12111211111,=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=+=.............10分故4418234.9993E ξ=⨯+⨯+⨯= 答：该考生参加考试次数的数学期望为83.............12分20.解：(1)其中x 万元资金投入A 产品，则剩余的100－x (万元)资金投入B 产品，利润总和f (x )＝18－180x ＋10＋100－x5＝38－x 5 －180x ＋10(x ∈[0,100])．………………6分(2)∵f (x )＝40－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋105＋180x ＋10，x ∈[0,100]，∴由基本不等式得：f (x )≤40－236＝28，取等号当且仅当x ＋105＝180x ＋10时，即x ＝20. …………12分答：分别用20万元和80万元资金投资A 、B 两种金融产品，可以使公司获得最大利润，最大利润为28万元．………………13分21．（1）∵12n n n a a ++=，∴11112(2)33n n n n a a ++-⋅=--⋅，∵1112033a -⋅=≠， ∴111231123n n nn a a ++-⋅=--⋅， ∴1{2}3nn a -⋅是首项为13，公比为1-的等比数列。