梯形的中位线
梯形中位线
试一试: 如图所示的三角架,各横木之间互相平 行,且PA=AE=BE,PD=DF=FC.若EF=40cm,则 AD= 20 cm. P 想一想：你会求BC的长吗？ A D E B F C
练一练： （一） 1.（1）梯形的上底长4cm，下底长6cm，则 中位线长 cm. (2)梯形上底长6cm，中位线长8cm，则下 底长 cm. (3)等腰梯形的中位线长6cm，腰长5cm, 则梯形的周长是 cm. （4）若梯形的中位线长6cm，高为5cm, 你会求梯形的面积吗？ （5）一个等腰梯形的周长为80cm，如果 中位线长与腰长相等，高为12cm，求梯形 的面积.
试一试: 如图所示的三角架,各横木之间互相平 行,且PA=AE=BE,PD=DF=FC.若EF=40cm,则 AD= 20 cm. P 想一想：你会求BC的长吗？ A D E B F C
梯形的中位线定义：
连结梯形两腰中点的线段叫做梯形 的中位线。 D A
E B
F C
做一做： 1.画一个梯形ABCD,使AD∥BC; 2.分别取AB、CD的中点E、F，连接EF; 3.沿AF将梯形分成两部分，并画出将△AFD 绕点F旋转1800后的图形.
A E B D F
C
M
梯形中位线定理
梯形的中位线平行于两 底，并且等于两底和的 一半。
如图，在梯形ABCD中，AD//BC， 如果AE=EB,DF=FC ，那么
A E B
D FБайду номын сангаасC
(1)EF//AD//BC
(2)EF= 1 (AD+BC)
2
例1. 如图所示的梯形梯子，AA′∥EE′， AB=BC=CD=DE，A′B′= B′C′= C′D′= D′E′， AA′=40cm， EE′ ＝80cm. 求 : BB′、 CC ′、 DD′. A A′ B B′ C C′ D′ D E E′
梯形的中位线
• 已知：如图，四边形ＡＢＣＤ中， ＡＢ＝ＣＤ，Ｅ、Ｆ、Ｇ分别是Ａ
Ｄ、ＢＣ、ＢＤ的中点，ＧＨ平分
∠ＥＧＦ交ＥＦ于点Ｈ．（１）猜
想：ＧＨ与ＥＦ间的关系是 ＿．（２）证明你的猜想．
若一个三角形的周长是ａｃｍ，面积 是，则它的三条中位线围成的三角形 的周长是＿＿＿ｃｍ，面积是＿＿ ＿．
• 如图，梯形ＡＢ ＣＤ中，ＡＤ∥
• 求底AB与DC的长
D
C
A
EB
• 在梯形ABCD中，AD∥BC，EF是中 位线．1）若ＡＤ＝８ｃｍ，ＥＦ＝ １２ｃｍ，则ＢＣ＝＿＿＿ｃｍ．
2）若ＥＦ＝１０ｃｍ，高ＡＨ＝６ｃ ｍ，则ＡＤ＋ＢＣ＝＿＿＿ｃｍ．
3)若一个等腰梯形的中位线长是６ｃｍ， 腰长是５ｃｍ，则这个等腰梯形的周 长是＿＿＿ｃｍ．
• 如图，梯形ＡＢＣＤ中，ＡＤ∥Ｂ Ｃ，中位线ＥＦ分别交 ＢＤ、ＡＣ
梯形中位线
• 如图中的线段EF应该给它什么名称？ • 你能给它下一个什么名称？ • 你能给它下一个定义吗？
Aபைடு நூலகம்
D
E
F
C
B
G
• 梯形中位线的定义：连结梯形两腰中点的线 段叫做梯形中位线
• 梯形中位线定理：梯形中位线平行于两底， 并且等于两底和的一半。
A E
B
D F
C
• 例1已知：在梯形ABCD中，DC//AB，腰AD=BC,CE⊥AB,BE=1cm,中位线长为2.5cm
Ｂ B 600 C 300
Ｃ，
，
，ＡＤ＝
２ｃｍ，ＢＣ＝
１０ｃｍ，则Ａ
Ｂ＝ ＿ｃｍ，Ｃ
Ｄ＝＿ｃｍ．
已知：如图，矩形ＡＢＣＤ的对 角线相交于点Ｏ，Ｅ、Ｆ分别是 ＯＡ、ＯＤ的中点．
梯形中位线
试一试: 如图所示的三角架,各横木之间互相平 行,且PA=AE=BE,PD=DF=FC.若EF=40cm,则 AD= 20 cm. P 想一想：你会求BC的长吗？ A D E B F C
梯形的中位线定义：
连结梯形两腰中点的线段叫做梯形 的中位线。 D A
E B
F C
做一做： 1.画一个梯形ABCD,使AD∥BC; 2.分别取AB、CD的中点E、F，连接EF; 3.沿AF将梯形分成两部分，并画出将△AFD 绕点F旋转1800后的图形.
A E· B D
C
探究发现： 如图，△ABC中，边BC=a， 若 D1、E1分别是 1 AB、AC的中点，则D1E1= 2 a ； 若D2、E2分别是D1B、E1C的中点， A 则D 2E 2= 1 ( 1 a a ) 3 a ；
2 2 4
D1 若D3、E3分别是D2B、E2C的中点， 则 D 3 E 3 = 1 ( 3 a a ) 7 a ； D2 D 3 2 4 8 B 若Dn、En分别是Dn-1B、En-1C的中点， 则D nE n= .
E1 E2 E C3
课堂小结
梯形的中位线定义，定理及证明
课后作业
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它了”。我一瞬间觉得天旋地转，这都是什么跟什么，我先是在来的路上遇到了啥不知名的东西，问我像不像，然后住进了诡 异的房子，遇到了白虎，还有山神，我不是在做梦吧，我觉得我应该是做梦吧，我希望闭上眼睛睁开后还是在原来的家里，可 我睁开眼睛看到的确实一位穿着古代衣服的绝色美男，我最近是怎么了，遇到山神，想想就不可能，我是疯了吗，精神分裂了， 然后出现了幻觉，那男的拍了拍我的肩膀说：“你不是吓傻了吧”我呆呆的望着眼前这是陌生的男子，顿时有种想哭的感觉， 仰天长叹：“天哪，你是跟我开玩笑吗，难道以前的生活就回不去了吗”。刚说完，一道闪电划过天际，雷声响起，看来天要 灭我啊，我摇摇头，还是无法接受这个事实。我突然想到他是山神那应该就知道那栋房子的事情吧，我问：“你知道那栋房子， 就是我住那栋以前是谁的吗？”这时我们已经走到房子的大门口了，这还是我来到这里第一次仔细地看看这栋古老的建筑，这 是一栋很大的古宅，在外面一眼就可以认出来，大门上雕刻着精美的花鸟虽因古老而被腐蚀，但却有种沧桑的美感，进去后是 石子铺成的小路，两旁是些破败的杂草和不知名的花再往前就是房屋了是中国传统的建筑。山神看着这栋房子若有所思地说： “这是我的一个老朋友的”我说：“你认识我的母亲？”“你母亲”他疑惑地看着我说。我从背包里拿出了我母亲的照片给他 看，他摇摇头说：“我不认识”。“那为什么我母亲死后告诉我这栋房子是她的”“这个我不知道”他露出无奈的表情。我心 想怎么会这样，我问：“那你的老朋友是谁”他说：“是一个男的，告诉你，你也不认识啊”，我很不爽的白了他一眼还想再 问他这房子怎么回事，他就不耐烦地摆摆手说：“行了，今天就到这，你就先回去吧，还有你应该不可以离开这里，应为这栋 房子不让你离开，否自你也不会遇上白虎了，我也不知道他们为什么一定要让你在这里”我惊奇到：“什么叫这栋房子不让我 离开，它会不会杀了我啊，你可是山神啊，你救救我吧，让我离开这里，我感觉这里妖气冲天啊”“我怎么没看出来这里有妖 气啊，我觉得他们不会杀你的，不然早就动手了，这也不是我管的事情，虽然我是这里的山神，可唯独这栋房子不归我管，我 也不知道为什么，我们就是这样规定的，你好好保重吧，我会来看你的”山神一脸贱贱的表情说完就不见了。独留我一人还在 神游，什么叫这栋房子不让我离开，哼我偏要走，我转身刚走，耳边就响起山神的声音说：“你还是省省吧，再出去，说不定 遇到的就是狰这种凶神了，而且还有可能是一群啊，别白费心急了”我想想也是，我手无缚鸡之力的，还是别找死了。我回到 客厅里看看还是来时的样子，回到卧室里想想这些天发生的事情
梯形中位线求法
梯形中位线求法一、概述梯形是一种特殊的四边形，它有两条平行的边，称为底边和顶边，以及两条不平行的边，称为腰边。
梯形中位线是连接梯形两个非平行边中点的线段。
本文将详细介绍梯形中位线的求法，并讨论其性质和应用。
二、梯形中位线的求法求解梯形中位线的方法有多种，下面将介绍两种常见的方法。
2.1 方法一：利用梯形的性质根据梯形的性质，梯形中位线的长度等于梯形两个底边长度之和的一半。
设梯形的底边长度为a，顶边长度为b，则梯形中位线的长度为(a+b)/2。
2.2 方法二：利用梯形的顶角平分线性质梯形的顶角平分线是连接梯形两个顶角的线段，它同时也是梯形中位线的一部分。
根据梯形的顶角平分线性质，梯形中位线将梯形分成两个等腰三角形。
因此，我们可以利用等腰三角形的性质来求解梯形中位线的长度。
设梯形的底边长度为a，顶边长度为b，腰边长度分别为c和d。
根据等腰三角形的性质，梯形中位线与底边的夹角等于顶边与腰边的夹角，因此可以利用正弦定理求解梯形中位线的长度。
设梯形中位线的长度为x，则有：x/sin(顶边与腰边的夹角) = b/sin(梯形中位线与底边的夹角)根据正弦定理，我们可以求解出梯形中位线的长度。
三、梯形中位线的性质梯形中位线具有一些重要的性质，下面将逐一介绍。
3.1 梯形中位线与底边平行根据梯形的定义，梯形的两个底边是平行的。
而梯形中位线连接了两个底边的中点，因此梯形中位线与底边平行。
3.2 梯形中位线长度等于底边长度之和的一半根据梯形中位线的求法，我们可以得知梯形中位线的长度等于底边长度之和的一半。
3.3 梯形中位线与顶角平分线重合根据方法二的求法，梯形中位线与顶角平分线重合。
这是因为梯形中位线同时也是梯形的顶角平分线。
3.4 梯形中位线将梯形分成两个等腰三角形根据方法二的求法，梯形中位线将梯形分成两个等腰三角形。
这是因为梯形中位线连接了梯形两个非平行边的中点，从而将梯形分成两个底边长度相等的三角形。
四、梯形中位线的应用梯形中位线在几何学中有一些重要的应用，下面将介绍两个常见的应用。
梯形中位线的三种证明方法
梯形中位线的三种证明方法对于初学者来说，学习几何知识可能是一件让人望而生畏的事情。
但是，梯形中位线的三种证明方法是一个很好的开始，这是因为这些证明方法相对简单而且既有趣味性又有启发性。
梯形中位线是指梯形的两条非平行边中的中心线段。
也就是说，梯形中位线从一个梯形的顶点开始，到位于这个梯形另一端的中心点，这两个中心点将这个梯形的一条侧面平分。
因此，我们可以将梯形中位线简单地定义为连接梯形的两条非平行边的中心点的线段。
下面我们来看看有哪些证明方法：第一种证明方法：重心法这是一种最简单的证明方法之一。
它利用梯形的重心的概念，以及梯形中位线与重心之间的几何关系。
梯形的重心是指梯形部分的所有质心的平均值。
这个点总是在梯形中位线上。
将梯形划分成两个三角形，它们的重心到它们所在的梯形中位线的距离相等。
通过简单的计算可以证明这一点。
第二种证明方法：向量法这是一种基于向量概念的证明方法。
通过向量和向量的和，我们可以证明梯形中位线的两个端点与中位线的中心点组成一个三角形。
当然，这个三角形是等腰的，因为向量的大小相等。
我们可以使用如下的向量算法：- 声明梯形的四个顶点坐标（A、B、C和D）。
- 计算相邻顶点之间的向量（AB、BC、CD和DA）。
- 计算梯形的对角线向量（AC和BD）。
- 计算梯形中位线向量（M1和M2）。
- 判断中位线向量是否相等。
第三种证明方法：相似三角形法这是一种利用相似三角形的证明方法，在初学者中非常流行。
我们考虑用两种方法构造相似三角形。
第一种方法：从较小的梯形构建相似三角形。
假设我们有一个梯形ABCD，其中AB || DC，BC ⊥ CD，AC ⊥ BD，M是连接梯形的两条非平行边的中心点。
我们考虑将这个梯形从M处分成两个三角形。
然后我们可以构建一个新的中位线MP，将三角形AMP与三角形DMP进行比较。
因为AM = MD，所以MP是DMP的中位线。
此外，我们可以证明三角形AMP与三角形DMP是相似的。
梯形的中位线
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ＡＢ＝ＣＤ，Ｅ、Ｆ分别是ＡＤ、 ＢＣ的中点，ＢＡ、ＦＥ的延长 线相交于点Ｍ，ＣＤ、ＦＥ的延 长线相交于点Ｎ． 求证：∠ＡＭＥ＝∠ＤＮＥ．
别是ＡＢ、ＢＣ的中点，Ｍ、Ｎ是Ａ Ｃ的三等分点，ＥＭ、ＦＮ的延长线 相交于点Ｄ． 求证：四边形ＡＢＣＤ是平行四边 形．
已知：如图，在△ＡＢＣ中，ＡＤ是 高，Ｅ、Ｆ、Ｇ分别是三边的中点． 求证：四边形ＤＧＥＦ是等腰梯形．
• 已知：如图，四边形ＡＢＣＤ中， ＡＢ＝ＣＤ，Ｅ、Ｆ、Ｇ分别是Ａ Ｄ、ＢＣ、ＢＤ的中点，ＧＨ平分 ∠ＥＧＦ交ＥＦ于点Ｈ．（１）猜 想：ＧＨ与ＥＦ间的关系是 ＿．（２）证明你的猜想．
若一个三角形的周长是ａｃｍ，面积 是，则它的三条中位线围成的三角形 的周长是＿＿＿ｃｍ，面积是＿＿ ＿．
• 如图，梯形ＡＢ ＣＤ中，ＡＤ∥ Ｂ B 600 C 300 Ｃ， ， ，ＡＤ＝ ２ｃｍ，ＢＣ＝ １０ｃｍ，则Ａ Ｂ＝ ＿ｃｍ，Ｃ Ｄ＝＿ｃｍ．
在梯形ＡＢＣＤ中，ＡＤ∥ＢＣ，ＡＢ＝ ＡＤ＝ＤＣ＝３ｃｍ， ，则Ｂ Ｃ＝＿＿＿ｃｍ，梯形的周长＝＿＿＿ｃ 0 B 60 ｍ，面积＝＿＿＿，中位线ＥＦ＝＿＿＿ ｃｍ．
在梯形ＡＢＣＤ中，ＡＤ∥ＢＣ，Ｅ、Ｆ 是ＡＢ的三等分点，ＥＧ∥ＦＨ∥Ａ Ｄ．若ＡＤ＝４ｃｍ，ＢＣ＝１０ｃｍ， 则ＥＧ＝＿＿ｃｍ，ＦＨ＝＿＿＿ｃｍ．
梯形中位线
• 如图中的线段EF应该给它什么名称？ • 你能给它下一个什么名称？ • 你能给它下一个定义吗？
A D
E
F C
B
G
• 梯形中位线的定义：连结梯形两腰中点的线 段叫做梯形中位线
• 梯形中位线定理：梯形中位线平行于两底， 并且等于两底和的一半。
D F
A
E
B
梯形的四条公式
梯形的四条公式
梯形是一种四边形，它有两条平行边和两条非平行边。
以下是梯形的四条公式：
1. 周长公式：
梯形的周长等于其四条边的长度之和，即C = a + b + c + d，其中a、b、c、d 分别是梯形的四条边的长度。
2. 面积公式：
梯形的面积等于其上底和下底长度之和的一半乘以高，即A = (a + b) * h / 2，其中a和b分别是梯形的上底和下底长度，h是梯形的高。
3. 中位线公式：
梯形的中位线（连接两个非平行边的中点）的长度等于上底和下底长度之和的一半，即m = (a + b) / 2，其中a、b分别是梯形的上底和下底长度。
4. 阳角和补角公式：
梯形的内角之和等于360度，即A + B + C + D = 360度，其中A、B、C、D分别是梯形的四个内角的度数。
根据梯形的特性，上底和下底的内角和等于180度，即B + C = 180度，求得C = 180度 - B。
同理，A + D = 180度，求得D = 180度 - A。
梯形的中位线
• 求底AB与DC的长
D
C
A
EB
• 在梯形ABCD中，AD∥BC，EF是中 位线．1）若ＡＤ＝８ｃｍ，ＥＦ＝ １２ｃｍ，则ＢＣ＝＿＿＿ｃｍ．
2）若ＥＦ＝１０ｃｍ，高ＡＨ＝６ｃ ｍ，则ＡＤ＋ＢＣ＝＿＿＿ｃｍ．
3)若一个等腰梯形的中位线长是６ｃｍ， 腰长是５ｃｍ，则这个等腰梯形的周 长是＿＿＿ｃｍ．
• 如图，梯形ＡＢＣＤ中，ＡＤ∥Ｂ Ｃ，中位线ＥＦ分别交 ＢＤ、ＡＣ
求证：ＥＦ与ＭＮ互相垂直平分．
ＣＤ中，点Ｅ、Ｆ分别在ＡＤ、 ＢＣ上，且ＡＥ＝ＢＦ，ＡＦ、 ＢＥ相交于点Ｍ，ＣＥ、ＤＦ相 交于点Ｎ． 求证：ＭＮ∥ＢＣ，
ＡＢ＝ＣＤ，Ｅ、Ｆ分别是ＡＤ、 ＢＣ的中点，ＢＡ、ＦＥ的延长 线相交于点Ｍ，ＣＤ、ＦＥ的延 长线相交于点Ｎ． 求证：∠ＡＭＥ＝∠ＤＮＥ．
别是ＡＢ、ＢＣ的中点，Ｍ、Ｎ是Ａ Ｃ的三等分点，ＥＭ、ＦＮ的延长线 相交于点Ｄ．
• 已知：如图，四边形ＡＢＣＤ中， ＡＢ＝ＣＤ，Ｅ、Ｆ、Ｇ分别是Ａ
Ｄ、ＢＣ、ＢＤ的中点，ＧＨ平分
∠ＥＧＦ交ＥＦ于点Ｈ．（１）猜
若一个三角形的周长是ａｃｍ，面积 是，则它的三条中位线围成的三角形 的周长是＿＿＿ｃｍ，面积是＿＿ ＿．
• 如图，梯形ＡＢ ＣＤ中，ＡＤ∥
求证：四边形ＡＢＣＤ是平行四边 形．
已知：如图，在△ＡＢＣ中，ＡＤ是 高，Ｅ、Ｆ、Ｇ分别是三边的中点． 求证：四边形ＤＧＥＦ是等腰梯形．
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不要告诉他老人家呢？“啊？不用吧？”陆羽听师兄这么问,愕然,“老师日理万机咱们别打扰他,有卓律师在,他们占不了便宜,足够了.”常在欣听罢瞟她一眼,“既然这样,你干嘛还叫我来？”“你不是说顺路吗？”陆羽讶然.常在欣：“...”跟情商
梯形中位线定理
梯形中位线定理梯形是一个常见的几何形状，具有一对平行的底边和顶边，以及两对相对的等长的斜边。
在梯形中，中位线是连接两条非平行边中点的线段，它将梯形分成两个等面积的三角形。
梯形中位线定理是指在任意梯形中，梯形的面积可以通过底边和中位线的长度来计算。
具体来说，梯形的面积等于底边长度与中位线长度的乘积的一半。
为了更好地理解梯形中位线定理，我们可以通过一些具体的例子来说明。
假设有一个梯形，其中底边的长度为10厘米，上边的长度为6厘米，而中位线的长度为8厘米。
我们可以利用梯形中位线定理来计算梯形的面积。
根据梯形中位线定理，梯形的面积等于底边长度与中位线长度的乘积的一半。
所以，在这个例子中，梯形的面积可以通过计算(10 + 6) * 8 / 2 = 80平方厘米来得到。
这个定理的证明可以通过几何方法进行。
我们假设梯形的底边长度为a，顶边长度为b，斜边长度为c，中位线长度为m。
根据梯形的性质，底边和顶边平行，斜边相等，斜边与中位线之间的夹角相等。
首先，我们可以通过构造一条平行于底边的线段，连接梯形的两个顶点，将梯形分成两个三角形。
这样，我们可以看到中位线将这两个三角形划分成了等面积的部分。
接下来，我们可以通过计算这两个三角形的面积，并将它们相加，得到整个梯形的面积。
根据三角形的面积公式，三角形的面积等于底边长度与高的乘积的一半。
由于中位线是相等的，所以这两个三角形的高也相等。
因此，我们可以将整个梯形的面积表示为两个底边长度与相等高的乘积的一半的和，即 (a + b) * h / 2。
而中位线的长度恰好等于两个底边长度的平均值，即 (a + b) / 2。
将这个中位线的长度代入到梯形的面积公式中，我们可以得到梯形的面积等于底边长度与中位线长度的乘积的一半。
梯形中位线定理不仅可以用于计算梯形的面积，还可以用于解决其他与梯形相关的问题。
例如，我们可以利用梯形中位线定理来求解梯形的高度，以及梯形各边长度之间的关系。
总结起来，梯形中位线定理是指在任意梯形中，梯形的面积等于底边长度与中位线长度的乘积的一半。
梯形的中位线
• 求底AB与DC的长
D C
A
E
B
• 在梯形ABCD中，AD∥BC，EF是中 位线．1）若ＡＤ＝８ｃｍ，ＥＦ＝ １２ｃｍ，则ＢＣ＝＿＿＿ｃｍ． 2）若ＥＦ＝１０ｃｍ，高ＡＨ＝６ｃ ｍ，则ＡＤ＋ＢＣ＝＿＿＿ｃｍ． 3)若一个等腰梯形的中位线长是６ｃｍ， 腰长是５ｃｍ，则这个等腰梯形的周 长是＿＿＿ｃｍ．
• 如图，梯形ＡＢＣＤ中，ＡＤ∥Ｂ Ｃ，中位线ＥＦ分别交 ＢＤ、ＡＣ 于点Ｍ、Ｎ．若ＡＤ＝４ｃｍ，Ｅ Ｆ＝６ｃｍ，则ＥＭ＝＿＿＿ｃｍ， ＦＮ＝＿＿＿ｃｍ，ＭＮ＝＿＿ｃ ｍ，ＢＣ＝＿＿ｃｍ．
在梯形ＡＢＣＤ中，ＡＤ∥ＢＣ，ＡＢ＝ ＡＤ＝ＤＣ＝３ｃｍ， ，则Ｂ Ｃ＝＿＿＿ｃｍ，梯形的周长＝＿＿＿ｃ 0 B 60 ｍ，面积＝＿＿＿，中位线ＥＦ＝＿＿＿ ｃｍ．
• 已知：如图，梯形ＡＢＣＤ中，Ａ Ｄ∥ＢＣ，ＡＢ＝ＤＣ，ＥＦ、Ｍ、 Ｎ分别是ＡＤ、ＢＣ、ＢＤ、ＡＣ 的中点． 求证：ＥＦ与ＭＮ互相垂直平分．
ＣＤ中，点Ｅ、Ｆ分别在ＡＤ、 ＢＣ上，且ＡＥ＝ＢＦ，ＡＦ、 ＢＥ相交于点Ｍ，ＣＥ、ＤＦ相 交于点Ｎ． 求证：ＭＮ∥ＢＣ，
ＡＢ＝ＣＤ，Ｅ、Ｆ分别是ＡＤ、 ＢＣ的中点，ＢＡ、ＦＥ的延长 线相交于点Ｍ，ＣＤ、ＦＥ的延 长线相交于点Ｎ． 求证：∠ＡＭＥ＝∠ＤＮＥ．
梯形中位线
• 如图中的线段EF应该给它什么名称？ • 你能给它下一个什么名称？ • 你能给它下一个定义吗？
A
D
E
F C
B
G
• 梯形中位线的定义：连结梯形两腰中点的线 段叫做梯形中位线 • 梯形中位线定理：梯形中位线平行于两底， 并且等于两底和的一半。
D F
A
E B
C
• 例1已知：在梯形ABCD中，DC//AB，腰AD=BC,CE⊥AB,BE=1cm,中位线长为2.5cm
直角梯形中位线
梯形中位线公式：中位线=(上底+下底)/2。
中位线是一个数学术语，是平面几何内的三角形任意两边中点的连线或梯形两腰中点的连线。
连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边边长的一半。
梯形是只有一组对边平行的四边形。
平行的两边叫做梯形的底边：较长的一条底边叫下底，较短的一条底边叫上底；另外两边叫腰；夹在两底之间的垂线段叫梯形的高。
一腰垂直于底的梯形叫直角梯形。
两腰相等的梯形叫等腰梯形。
梯形中位线
E1 E2 E C3
课堂小结
梯形的中位线定义，定理及证明
课后作业
云鼎彩票 / 云鼎彩票 彩票是印有号码或图形（文字）;由人们自愿购买并能够证明购买人拥有按特定规则获取奖励的书面凭证 他那时不过十五岁，还是半大的少年，她只有十岁，刚来家里两年。他们还是很陌生。他不知道那天下午，他为什么如此细心 又耐心的照顾继母带来的女孩。他那时正是叛逆的时期，少年的内心不知所以的蠢蠢欲动，根本一刻都难以静心。 继母生了孩子不过几个月，对小曼有不自觉的疏忽。等到小曼伤口结痂愈合，她才知道。不是不爱她了，只是有了更爱的儿子。 任何事都害怕对比，因为可以清晰看出这其中的差距，不自觉的显露出来，不能被掩饰。这才是真正难堪的，连谎言都不能够 给予。 也是从那时开始，小曼才逐渐与他亲近。他对任何人都不够耐心，唯独对她十分怜惜。也许是同病相怜。他年幼丧母，与父亲 并不亲近。父亲一年后娶了第二任妻子，生了一个女孩，明珠，又离婚。
例2.如图，在直角梯形ABCD中，点O为CD 的中点. （1）度量顶点A、B到点O的距离，你有什么 发现？ （2）你的结论正确吗？说明理由. D A E·
BO ·C源自练一练: ( 二) 如图,梯形ABCD中,AD∥BC, E是腰AB的中 点,且DE⊥CE. 你能说明 DC=AD+CB吗？ 试试看.
A E B D F
C
M
梯形中位线定理
梯形的中位线平行于两 底，并且等于两底和的 一半。
如图，在梯形ABCD中，AD//BC， 如果AE=EB,DF=FC ，那么
A E B
D F C
(1)EF//AD//BC
(2)EF= 1 (AD+BC)
2
例1. 如图所示的梯形梯子，AA′∥EE′， AB=BC=CD=DE，A′B′= B′C′= C′D′= D′E′， AA′=40cm， EE′ ＝80cm. 求 : BB′、 CC ′、 DD′. A A′ B B′ C C′ D′ D E E′
梯形的中位线
有祖母懂得那些落叶，也只有那些落叶懂得祖母，她们惺惺相惜，彼此嘘寒问暖。 怀念祖母，是从一片叶子开始的，
• 在梯形ABCD中，AD∥BC，EF是中 位线．1）若ＡＤ＝８ｃｍ，ＥＦ＝ １２ｃｍ，则ＢＣ＝＿＿＿ｃｍ．
2）若ＥＦ＝１０ｃｍ，高ＡＨ＝６ｃ ｍ，则ＡＤ＋ＢＣ＝＿＿＿ｃｍ．
3)若一个等腰梯形的中位线长是６ｃｍ， 腰长是５ｃｍ，则这个等腰梯形的周 长是＿＿＿ｃｍ．
• 求底AB与DC的长
D
C
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EB
；代办资质 代办资质 ；
一转身，我已找不到他，只看见攒动的人头，闪动的各色衣服…… ④还记得那年春天，我一人在秦岭深处行走，山路两旁开满野花：灯芯花、野草莓花、苜蓿花、蒲公英花……路下面的小河，清澈如镜，温柔如绸，淙淙的水声像母亲轻唤谁的乳名。四周的群山，一律被松树、柏树、桦树和茂密
中年乞丐。我急忙赶回家，拿上我去年穿过的那件防寒服给他。可是来到南大街，已看不见他，于是我在东大街找他，又在北大街找他，都没有找到。最后我来到丁字路口，还是没有找到他，却遇到了一个老年乞丐。一转身，苦难转换了方向，交换了背影，但苦难的身份没有改变，都是苦难。
于是我把防寒的衣服披在了这位贫苦的老人身上，希望他下降的体温能稍稍回升，希望降温的人性能稍稍回升。我由此想到，亚洲的穷人，非洲的穷人，全世界的穷人，想到徘徊在文明大街上的那些孤苦身影，一转身，他们到那里去了？而文明，你能否追上去，轻轻拉起那褴褛的衣襟，或者握
。我想在记忆里逼真地收藏一个像野花一样纯真的秦岭女孩。这也许是她一生里最生动的瞬间，我记起了泰戈尔的诗句：“你不知道你是多么美丽，你像花一样盲目。”我情不自禁地转过身来，沿着小女孩走的方向走着，走到山路转弯的地方，出现了个三岔路口。我已经无法知道小女孩走进了
证明梯形中位线定理
证明梯形中位线定理
证明梯形中位线定理
一、证明的目标
梯形中位线定理：在任意的梯形A-B-C-D 中，AB 和CD 是梯形的两边，AD与BC 的中点是梯形ABCD 中的中点，称为梯形ABCD的中位线。
二、梯形中位线定理的证明
证明此定理，可以从两条角的平分线的角度出发，以点A、B、C、D 为顶点的梯形ABCD 为例，由于梯形ABCD是一个平行四边形，则∠BAC=∠CDA，通过以AB 为边，BC 为对角线的半平行四边形，可以得出∠ABC=∠CDA，同理由于梯形ABCD 是一个平行四边形，则∠CBD=∠ADB，通过以CD 为边，AB 为对角线的半平行四边形，可以得出∠CBD=∠ADB。
由此，可以知道以点A、B、C、D 为顶点的梯形ABCD 中，成对角的角都是相等的，AB 和CD 也是成对角的，由定理知：“如果两条边分别是对角线的分线，那么交叉的那两条线就是中线”，可以推出：在任意的梯形ABCD 中，AD 与BC 的中点就是梯形ABCD 中的中点，称为梯形ABCD的中位线。
三、总结
通过上述证明，可以得出：梯形中位线定理：在任意的梯形
A-B-C-D 中，AB 和CD 是梯形的两边，AD与BC 的中点是梯形ABCD 中的中点，称为梯形ABCD的中位线。
梯形中位线推论
梯形中位线推论梯形图形是初学者常会遇到的一种多边形图形，它有四个顶点和四条边，它的两个对边是平行的，但是两个对边的长度不同，我们称之为梯形。
梯形中位线是指梯形两个非平行边的中点连线。
下面我们来介绍一下梯形中位线的一些推论。
1. 梯形中位线长度相等对于任意一个梯形，它的两个非平行边的中位线长度相等。
这是因为中位线将梯形分成了两个等面积的三角形，而这两个三角形有相等的底边，高也相等，因此它们的面积是相等的，中位线的长度也相等。
2. 梯形中位线平行于较短的平行边在梯形中，梯形的两条平行边中，较长的那一条的中位线不和较短的平行边平行，而是和较短的平行边平行。
这是因为梯形中的中位线将梯形分成了两个等面积的三角形，而这两个三角形的顶角顶点分别在梯形两条平行边的中点上，因此中位线与较短的平行边平行。
对于任意一个梯形，它的两个平行边之间的距离就是梯形的高，而梯形的两个非平行边的长度分别为a和b，它们的中位线的长度为c。
我们可以得到以下公式：c = （a + b）/2这个公式告诉我们，梯形的中位线长度等于它的两个平行边距离的平均数。
4. 一组平行四边形的面积如果我们将一个梯形绕它的中位线旋转180度，我们得到一个面积相等的梯形。
由于它们的四个顶点重合，我们还可以得到两个平行四边形，这两个平行四边形显然具有相等的面积。
因此，我们可以得出一个结论：对于任意一个梯形，它的两个非平行边的中位线连接起来形成的四边形，是一个平行四边形。
而这个平行四边形的面积等于梯形的面积，即：其中，a和b是梯形的两个平行边的长度，h是梯形的高。
5. 中位线长度的平方等于梯形两个三角形面积之和由于梯形中的中位线将梯形分成了两个等面积的三角形，我们可以得到一个结论：梯形中位线长度的平方等于梯形两个三角形面积之和，即：其中，S1和S2分别是梯形两个三角形的面积。
以上就是关于梯形中位线的一些推论，它们不仅可以帮助我们更好地理解梯形的性质，还可以帮助我们解决一些与梯形相关的数学问题。
梯形的中位线
已知：如图，矩形ＡＢＣＤ的对 角线相交于点Ｏ，Ｅ、Ｆ分别是 ＯＡ、ＯＤ的中点． 求证：四边形ＣＢＥＦ是等腰梯 形．
• 已知：如图，梯形ＡＢＣＤ中，Ａ Ｄ∥ＢＣ，ＡＢ＝ＤＣ，ＥＦ、Ｍ、 Ｎ分别是ＡＤ、ＢＣ、ＢＤ、ＡＣ 的中点． 求证：ＥＦ与ＭＮ互相垂直平分．
ＣＤ中，点Ｅ、Ｆ分别在ＡＤ、 ＢＣ上，且ＡＥ＝ＢＦ，ＡＦ、 ＢＥ相交于点Ｍ，ＣＥ、ＤＦ相 交于点Ｎ． 求证：ＭＮ∥ＢＣ，
• 已知：如图，四边形ＡＢＣＤ中， ＡＢ＝ＣＤ，Ｅ、Ｆ、Ｇ分别是Ａ Ｄ、ＢＣ、ＢＤ的中点，ＧＨ平分 ∠ＥＧＦ交ＥＦ于点Ｈ．（１）猜 想：ＧＨ与ＥＦ间的关系是 ＿．（２）证明你的猜想．
Hale Waihona Puke 若一个三角形的周长是ａｃｍ，面积 是，则它的三条中位线围成的三角形 的周长是＿＿＿ｃｍ，面积是＿＿ ＿．
• 如图，梯形ＡＢ ＣＤ中，ＡＤ∥ Ｂ B 600 C 300 Ｃ， ， ，ＡＤ＝ ２ｃｍ，ＢＣ＝ １０ｃｍ，则Ａ Ｂ＝ ＿ｃｍ，Ｃ Ｄ＝＿ｃｍ．
龙是中国等东亚区域古代神话传说中的神异动物，为鳞虫之长。斩龙常用来象征祥瑞，是中华民族等东亚民族最具代表性的传统文化之一，斩 龙的传说等龙文化非常丰富。 ； /xs/1/1055/ 斩龙 kgh75neg 龙的形象最基本的特点是“九似”，具体是哪九种动物尚有争议。斩龙传说多为其能显能隐，能细能巨，能短能长。春分登天，秋分潜渊，呼 风唤雨，而这些已经是晚期发展而来的龙的形象，相比最初的龙而言更加复杂。 [1] 《张果星经》云：“又有辅翼，则为斩龙”，认为有翼方是真龙。 [2] 如西周有大量身负羽翼龙纹器皿，乃至青龙在先秦纹饰中也有羽翼， 一说青龙为祖龙。 [3] 封建时代，龙是皇权的象征，皇宫使用器物也以龙为装饰。
便抛头露面，只能有劳姐姐替凝儿提前接受训戒了。只是苦了姐姐，凭白要为凝儿受苦。”“凝儿，这算什么受苦！为了凝儿，姐姐什么都不 怕。况且，新年的时候随娘亲拜访，感觉那福晋也还是壹个懂礼数的人，应该不会对姐姐怎么样，你放心吧。只是担心你，这还没有出嫁呢， 就这个样子，以后真要是嫁了过去，真不知道怎么办啊？”“没关系，姐姐别担心了。不管担心什么，都是皇上圣旨已定的事情，将来如何， 就看妹妹自己的造化了。”“凝儿，你千万要想开壹些，姐姐知道，你外表柔弱，内心却是要强极了，那王府可不比咱们年府，不但人生地不 熟，而且王爷又是那么有权势的人，万不可违了爷的意，再给自己惹来祸端。”“姐姐，放心吧，凝儿会好好的。”两人正说着话，翠珠过来 禀告，二爷回来了，玉盈着急跟二哥说四福晋邀她去王府的事情，就匆匆先去了前院。第壹卷 第四十四章 初见年二爷壹听玉盈说王府来信 邀请，也是壹脸的诧异，待听完冰凝的猜测和玉盈的担心，表情渐渐凝重起来，低头不语，半响，他才对玉盈说：“现在也只能是这么凭空猜 测，不好说是因为什么，也许，是四福晋要跟咱们年府商量王爷和凝儿大婚的细节……”“那直接写给‘年府’收信不就行了？为什么要直接 写了‘年玉盈’三个字？”“也许是怕咱们派了年峰过去吧，毕竟你的名气和能耐，这整个京城都是大名鼎鼎，把大婚的事情托付了你，可能 王府那边更放心吧。”“二哥真是说笑了，玉盈哪里能有这么大的本事？就算是小有名气，但是跟王府比起来，还不是小菜壹碟？盈儿倒是但 愿是操持大婚的事情。”这壹夜，玉盈睡得格外不踏实，凌晨天还黑着呢，她就醒来，再也睡不着了，索性就早早起来，翻来覆去地猜测原因， 壹直都吃过了午饭，才着急忙慌地想起来快该出发了，还没有准备出门的行头呢。于是赶快唤来翠珠，两人好壹阵紧张忙碌。当玉盈和翠珠两 人坐着马车来到王府门口，才下了马车，还没等翠珠上前去递话儿呢，玉盈就立即被守在门口的太监迎了上来：“这位是年丫鬟吧？”“是的， 公公您是………？”“请随奴才从这边走，噢，这位是？”“这是我的丫环翠珠。”“噢，那就请翠珠姑娘先留步，奴才这就给年丫鬟带路。” 不待回答，玉盈就被小太监壹路引领进了王府。玉盈壹边跟着太监走，壹边不住地打量着脚下的路，还有旁边的景致，不由得更加紧张不已： 上次来的时候，好像不是这条路，而且，沿途连壹个人影儿都见不到，不但见不到主子，连个丫鬟、太监、嬷嬷什么的都见不到。这四福晋设 的是鸿门宴？确实，这条路，不是上次玉盈来的时候走的路，上次那条路，是通往福晋的院落－－霞光苑，而这条路，却是通往王爷的书院－ 朗吟阁。秦顺
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梯形中位线
一、教学目标
1、理解梯形中位线的定义，会证明梯形中位线定理。
2、会利用梯形中位线定理解决一些四边形的计算问题和证明问题。
3、培养学生的语言概括表达能力、推理论证能力，学会用运动变化的思想研究问题。
二、教学重点和难点
1、教学重点：梯形中位线的概念和性质。
2、教学难点：梯形中位线定理的证明和灵活应用。
三、教学方法
多媒体
四、课时安排
1课时
五、教具学具准备
投影仪、直尺、量角器
六、教学步骤
【导入新课】
请同学们回忆上节课我们研究的三角形的中位线及其性质，我们了解到三角形中位线这条特殊的线段非常的有用，这节课我们共同研究梯形中一类似的线段——梯形的中位线。
梯形的中位线有什么性质呢？是否也平行于它的上、下底边呢？它的长度与上、下底的长度有什么关系呢？
出示教学目标，让学生明白本节课的目标。
【新知探究】
1、明晰概念
梯形中位线定义：连结梯形两腰中点的线段叫梯形的中位线，梯形的中位线有且只有一条。
注意：梯形的中位线是连结“两腰”中点而不是连结“两底”或“腰、底”中点的线段，梯形的中位线只有一条。
2、大胆猜想、合理论证
提出问题
梯形的中位线与底边的位置关系如何？梯形的中位线与两
底之间存在怎样的数量关系？
学生活动：请同学们测量出∠AEF与∠B的度数，并测量
出线段AD、EF、BC的长度，试猜测出EF与AD、BC之间存在什么样的关系？
根据测量可猜想：
1、梯形的中位线平行于两底；
2、梯形中位线的长度等于两底和的一半。
对于以上猜想，你能用所学的知识进行严格的推理吗？
（提示：和我们以前研究任何新课题一样，把一个未知问题化归为几个已知问题，通过已知来解决。
因此，在研究梯形中位线时，应尽可能的利用我们已经熟悉的三角形中位线定理。
）
已知：如图所示，在梯形ABCD中，。
求证：。
分析：把EF转化为三角形中位线，然后利用三角形中
位线定理即可证得.
说明：延长BC到E，使，或连结AN并延
长AN到E，使，这两种方法都需证三点共线（A、N、E或B、C、E）较麻烦，
所以可连结AN并延长，交BC线于点E，这样只需证即可得
，从而证出定理结论。
证明：连结AN并交BC延长线于点E。
又，
∴MN是中位线。
∴（三角形中位线定理）。
3、总结归纳
由此我们可以得到梯形的中位线定理：
梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。
符号表示：在梯形ABCD中
∵AD∥BC，AE=BE，DF=CF
∴EF∥BC EF=(AD+BC)/2
1、梯形中位线的作用:
(1)位置关系：可以证明两条直线平行;
(2)数量关系：可以证明一线段是另一线段的2倍或½;
2、梯形中位线定理的证明是转化为三角形中位线定理来证明的，这里有一条常规辅助线，即是把梯形上底的一个顶点和腰的中点连结并延长于下底相交，进而把梯形问题转化为三角形问题来解决
4、拓展深化
复习小学学过的梯形面积公式。
（其中a、b表示两底，h表示高）
因为梯形中位线所以有下面公式：
它的几何意义是与以梯形的中位线为长，以梯形的高为宽的矩形的面积相等。
例如,梯形ABCD的中位线MN=12 ㎝, 梯形的高DH=10 ㎝,那么梯形面积S=______ 试一试：如图所示的梯形，AA'∥EE'，AB=BC=CD=DE，
A'B'=B'C'=C'D'=D'E'，
AA'=0.3m,EE'=0.9m.你能求出BB'、CC'、DD' 的长吗？说说
你是怎么做的？
【应用示例】
例1：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD+BC，
E为CD的中点。
求证：AE⊥BE。
证明：取AB的中点F，并连接EF
∵AD∥BC，
∴EF=½（AD+CB）
∵AB=AD+BC
∴EF=½AB
∴△ABE直角三角形，AB是斜边，
∴AE⊥BE。
例2、如图，梯形ABCD的周长为20，AB∥CD，AM、BN分别是∠DAB 、∠ABC
的外角平分线，DM ⊥AM 于M ， CN ⊥ BN 于N ，求线段MN 的长。
分析：延长CM 交CD 的延长线于E ，延长BN 交DC 的延
长线于F ，利用外角平分线和AB||CD ，（内错角、角平分线性质）
可得DE=DA,CF=CB （等角对等边）。
又因为DM ⊥AM 于M ，CN ⊥BN 于N ，所以M,N 分
别为AE 和BF 的中点（等腰三角形三线合一）
所以MN 为大梯形AEFD 的中位线，MN=(AB+EF)/2=
（AB+BD+DC+CF ）/2=(AB+AD+DC+CB)/2=20/2=10
【知能训练】
练一练：如右图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC ⊥BD ，且AC ＝12，BD ＝9，则此梯形的中位线长是（ ）
【课堂小结】
梯形中位线的定义
梯形中位线定理
梯形面积公式
遇到和梯形中点有关问题时，要适当添加辅助线灵活转化
为中位线问题。
【作业布置】
课本习题24、4 2、3
A B C N M
D。