梯形、中位线

梯形、中位线

【知识概要】

一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫梯形，等腰梯形判定和性质定理与等腰三角形的判定和性质类似．

通过作辅助线，把梯形转化为三角形、平行四边形，这是解梯形问题的基本思路，常用的辅助线的作法是：

1．平移腰：过一顶点作一腰的平行线；

2．平移对角线：过一顶点作一条对角线的平行线；

3．过底的顶点作另一底的垂线．

熟悉以下基本图形、基本结论

【课堂练习】

1.( “希望杯”邀请赛试题) 如图，四边形ABCD中，AB∥CD，∠D=2∠B，若AD=a ，AB=b，则CD的长是．

思路点拨平移腰，构造等腰三角形、平行四边形．

注平移腰、平移对角线的作用在于，能得到长度为梯形上下底之差或之和的线段，能把题

设条件集中到同一三角形中来．

2.(全国初中数学联赛试题)已知一个梯形的4条边的长分别为1、2、3、4，则此梯形的面积等于（）

10

A．4 B．6 C．82 D．2

3

思路点拨给出4条线段，要构成梯形需满足一定条件，解题的关键是确定可能的上、下底．注给出4条线段不一定能构成梯形，需满足一定的条件，讨论的方法是通过平移腰，把问题转化为三角形的问题讨论，请读者思考，设为梯形的上、下底，c、为腰，那么a、b、c、d满足怎样的条件?

3.(1)如图，已知等腰梯形ABCD中，AB=CD，AD∥BC，E是梯形外一点，且EA=ED，求证：EB=EC (2)请你将(1)中的“等腰梯形”改为另一种四边形，其余条件不变，使结论“EB=EC”仍

然成立，再根据改编后的问题画图形，并说明理由．

4. 如图，已知梯形ABCD 中，BC ∥AD ，AD=3，BC=6，高h =2，P 是BC 边上的一个动点，直线m 过P 点，且m ∥DC 交梯形另外一边于E ，若BP=x ，梯形位于直线m 左侧的图形面积为y (1)当3

(2)当0≤x ≤3时，求y 与x 之间的关系式；

(3)若梯形ABCD 的面积为S ，当y=S 2

1时，求x 的值．

5. 如图，在等腰梯形ABCD 中，CD ∥AB ，对角线AC 、BD 相交于O ，∠AOD=120°，点S 、P 、Q 分别为OD 、OA 、BC 的中点．

(1)判断△SPQ 的形状并证明你的结论； (2)若AB=5，CD=3，求△PQS 的面积； （3）

8

7

=

∆∆AOD

PQS S S ，求AB CD 的值．

6.如图，分别以△ABC的边AC、BC为一边，在△ABC外作正方形ACDC和CBFG，点P是EF 的中点，求证：点P到AB的距离是AB的一半．

7．如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=3cm，∠C=60°，BD⊥CD，

(1)求BC、AD的长度．

(2)若点P从点B开始沿BC边向点C以2cm／秒的速度运动，点Q从点C开始沿CD边向点D以lcm／秒的速度运动，当P、Q分别从B、C同时出发时，写出五边形ABPQD的面积S与运动时间t之间的关系式，并写出t 的取值范围(不包含点P在B、C两点的情况)；

(3)在(2)的前提下，是否存在某一时刻t，使线段PQ把梯形ABCD分成两部分的面积比为1：5？若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由．

8.如图2-44所示．ABCD是梯形，AD∥BC，AD＜BC，AB=AC且AB⊥AC，BD=BC，AC，BD交于O.求∠BCD的度数．

分析由于△BCD是等腰三角形，若能确定顶点∠CBD的度数，则底角∠BCD可求．由等腰Rt△ABC可求知斜边BC(即BD)的长．又梯形的高，即Rt△ABC斜边上的中线也可求出．通过添辅助线可构造直角三角形，求出∠BCD的度数．

解过D作DE⊥EC于E，则DE的长度即为等腰Rt△ABC斜边上的高AF．设AB=a，由于△ABF也是等腰直角三角形，由勾股定理知AF2+BF2=AB2，即

又BC2=AB2+AC2=2AB2=2a2，

由于BC=DB，所以，在Rt△BED中，

从而∠EBD=30°(直角三角形中30°角的对边等于斜边一半定理的逆定理)．在△CBD 中，

9.如图2-45所示．直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，∠ADC=135°，CD的垂直平分线交BC于N，交AB延长线于F，垂足为M．求证：AD=BF．

分析MF是DC的垂直平分线，所以ND=NC．由AD∥BC及∠ADC=135°知，∠

C=45°，从而∠NDC=45°，∠DNC=90°，所以ABND是矩形，进而推知△BFN是等腰直角三角形，从而AD=BN=BF．

证连接DN．因为N是线段DC的垂直平分线MF上的一点，所以ND=NC．由已知，AD∥BC及∠ADC=135°知∠C=45°，从而∠NDC=45°．

在△NDC中，∠DNC=90°(=∠DNB)，

所以ABND是矩形，所以AF∥ND，∠F=∠DNM=45°．

△BNF是一个含有锐角45°的直角三角形，所以BN=BF．又AD=BN，

所以AD=BF．

10.如图2-46所示．直角梯形ABCD中，∠C=90°，AD∥BC，AD+BC=AB，E是CD的中点．若AD=2，BC=8，求△ABE的面积．

分析由于AB=AD+BC，即一腰AB的长等于两底长之和，它启发我们利用梯形的中位线性质(这个性质在教材中是梯形的重要性质，我们将在下一讲中深入研究它，这里只引用它的结论)．取腰AB的中点F，

(或BC)．过A引AG⊥BC于G，交EF于H，则AH，GH分别是△AEF与△BEF的高，所以

AG2=AB2-BG2=(8+2)2-(8-2)2=100-36=64，

所以AG=8．这样S△ABE(=S△AEF+S△BEF)可求．

解取AB中点F，连接EF．由梯形中位线性质知EF∥AD(或BC)，

过A作AG⊥BC于G，交EF于H．由平行线等分线段定理知，AH=GH且AH，GH 均垂直于EF．在Rt△ABG中，由勾股定理知

AG2=AB2-BG2=(AD+BC)2-(BC-AD)2 =102-62=82，

所以AG=8，从而AH=GH=4，所以S△ABE=S△AEF+S△BEF

11.如图2-47所示．四边形ABCF中，AB∥DF，∠1=∠2，AC=DF，FC＜AD．