高中数学必修5第一章解三角形测试题015

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人教版高中数学必修5第一章解三角形测试题及答案

必修五第一章解三角形测试(总分150)一、选择题(每题5分，共50分)1、在△ABC 中，a ＝3，b ＝7，c ＝2，那么B 等于（）A ． 30°B ．45°C ．60°D ．120°2、在△ABC 中，a ＝10，B=60°,C=45°,则c 等于（）A ．310+B ．()1310-C ．13+D ．3103、在△ABC 中，a ＝32，b ＝22，B ＝45°，则A 等于（）A ．30°B ．60°C ．30°或120°D ． 30°或150°4、在△ABC 中，3=AB ,1=AC ,∠A ＝30°，则△ABC 面积为（）A ．23 B ．43 C ．23或3 D ．43 或23 5、在△ABC 中，已知bc c b a ++=222，则角A 为（）A ．3πB ．6πC ．32πD ． 3π或32π6、在△ABC 中,面积22()Sa b c =--,则sin A 等于（）A ．1517B ．817C ．1315D ．13177、已知△ABC 中三个内角为A 、B 、C 所对的三边分别为a 、b 、c ，设向量(,)p a c b =+ ，(,)q b a c a =-- .若//p q，则角C 的大小为（）A ．6π B ．3π C ．2π D ．23π8、已知锐角三角形的边长分别为1，3，a ，则a 的范围是（）A ．()10,8B ．()10,8C ．()10,8D ．()8,109、在△ABC 中，已知C B A sin cos sin 2=,那么△ABC 一定是 ( )A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．正三角形 10、在△ABC 中,3,4ABBC AC ===,则AC 上的高为（）A ．BC ．32D ．二、填空题（每小题5分，共20分）11、在△ABC 中，若∠A:∠B:∠C=1:2:3,则=c b a :: 12、已知三角形两边长为11，则第三边长为13、若三角形两边长为1和3，第三边上的中线长为1，则三角形的外接圆半径为 14、在△ABC 中BC=1，3Bπ=，当△ABC tan C =三、解答题（本大题共小题6小题，共80分）15、（本小题14分）在△ABC 中，已知210=AB ，A ＝45°，在BC 边的长分别为20，3320，5的情况下，求相应角C 。

必修5解三角形第一单元测试题 (含答案)

数学必修5解三角形单元测试题（时间120分钟，满分150分）一、选择题：（每小题5分，共计60分）1.在△ABC 中，若BA sin sin >，则A 与B 的大小关系为（） A. B A > B. B A < C. A ≥B D. A 、B 的大小关系不能确定 2. 在△ABC 中，b=3，c=3，B=300，则a 等于（）A ．3B ．123C ．3或23D ．2 3. 不解三角形，下列判断中正确的是（）A ．a=2，b=4，A=300有两解B ．a=30，b=25，A=1500有一解C ．a=6，b=9，A=450有两解D ．a=9，c=10，B=600无解4. 已知△ABC 的周长为9，且4:2:3sin :sin :sin =C B A ，则cosC 的值为（）A ．41-B ．41 C ．32-D ．32 5. 在△ABC 中，A ＝60°，b ＝1，其面积为3，则CB A cb a sin sin sin ++++等于( )A ．33B ．3392C ．338D ．2396．（2013年高考湖南卷）在锐角中ABC ∆,角,A B 所对的边长分别为,a b 若2sin 3,a B b A =则角等于（） A.12π B.6π C.4π D.3π 7.已知锐角三角形的边长分别为1，3，a ，则a 的范围是（）A ．()10,8B ．()8,10 C ． ()10,8D ．()10,88.在△ABC 中，若cCb B a A sin cos cos ==，则△ABC 是（） A ．有一内角为30°的直角三角形B ．等腰直角三角形C ．有一内角为30°的等腰三角形D ．等边三角形9. △ABC 中，若c=ab b a ++22，则角C 的度数是( ) A.60°或120° B.60° C. 45° D.120° 10. 在△ABC 中，若b=22,a=2，且三角形有解，则A 的取值范围是( ) A.0°＜A ＜30° B.0°＜A ≤45° C.0°＜A ＜90° D.30°＜A ＜60°11. 已知△ABC 的三边长6,5,3===c b a ，则△ABC 的面积为（）A ． 14B ．15C ． 142D ．15212.（2013年高考陕西卷）设△ABC 的内角A , B , C 所对的边分别为a , b , c ,若cos cos sin b C c B a A +=, 则△ABC 的形状为（）(A) 锐角三角形 (B)直角三角形 (C)钝角三角形 (D) 不确定二、填空题（每小题5分，满分20分）13.（2013新课标Ⅱ）设θ为第二象限角,若1tan()42πθ+=,则sin cos θθ+=______. 14. 在等腰三角形 ABC 中，已知sinA ∶sinB=1∶2，底边BC=10，则△ABC 的周长是 .15. 在△ABC 中，已知sinA ∶sinB ∶sinC=3∶5∶7,则此三角形的最大内角的度数等于________.16. 已知△ABC 的三边分别是a 、b 、c ，且面积4222c b a S -+=，则角C=_______．三、解答题（70分）17. (本题满分10分)已知a ＝33，c ＝2，B ＝150°，求边b 的长及三角形面积．18. （本题满分12分）在△ABC 中，已知a-b=4,a+c=2b ，且最大角为120°，求△ABC 的三边长.19. （本题满分12分）在△ABC 中，证明：2222112cos 2cos ba b B a A -=-。

高一数学必修5《解三角形》测试题(含答案)

高一数学必修5《解三角形》测试题(含答案)work Information Technology Company.2020YEAR《解三角形》测试题一、选择题(本大题共6小题，每小题6分，共36分)1．已知△ABC 中，a ＝4，b ＝43，∠A ＝30°，则∠B 等于( ) A ．30° B ．30°或150°C ．60°D ．60°或120°2．在△ABC 中，若BA sin sin >，则A 与B 的大小关系为（） A. BA > B.B A < C. A ≥B D. A 、B 的大小关系不能确定 3．已知△ABC 中，AB ＝6，∠A ＝30°，∠B ＝120°，则△ABC 的面积为( ) A ．9 B ．18C ．93D ．1834．在△ABC 中，sin A :sin B :sin C =3:2:4，则cos C 的值为（）A ．23 B ．－23 C ．14 D ．－145．△ABC 中，1c o s 1c o s A aB b-=-，则△ABC 一定是（）A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 锐角三角形D. 钝角三角形6. 已知A 、B 、C 是△ABC 的三个内角，则在下列各结论中，不正确的为( )A ．sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ＋2sin B sin C cos(B ＋C )B ．sin 2B ＝sin 2A ＋sin 2C ＋2sin A sin C cos(A ＋C )C ．sin 2C ＝sin 2A ＋sin 2B -2sin A sin B cos CD ．sin 2(A ＋B )＝sin 2A ＋sin 2B -2sin B sinC cos(A ＋B ) 二、填空题(本大题共4小题，每小题6分，共24分)7．一船以每小时15km 的速度向东航行,船在A 处看到一个灯塔B 在北偏东60，行驶４h 后，船到达C 处，看到这个灯塔在北偏东15，这时船与灯塔的距离为 km ．8．在△ABC 中，若AB ＝5，AC ＝5，且cos C ＝109，则BC ＝________． 9、ABC ∆中，若b=2a , B=A+60°,则A= .10．在△ABC 中，∠C ＝60°，a 、b 、c 分别为∠A 、∠B 、.C 的对边，则ca bc b a +++＝________．三、解答题(本大题共3小题，共40分)11．(本小题共12分)已知a ＝33，c ＝2，B ＝150°，求边b 的长及S △．12. (本小题共14分) 一缉私艇发现在北偏东 45方向,距离12 nmile 的海面上有一走私船正以10 nmile/h 的速度沿东偏南 15方向逃窜.缉私艇的速度为14nmile/h, 若要在最短的时间内追上该走私船,缉私艇应沿北偏东α+45的方向去追,.求追及所需的时间和α角的正弦值.13. (本小题共14分)在∆ABC 中，设,2tan tan bbc B A -=，求A 的值。

高一数学必修五第一章试题——解三角形(带答案)

高一数学必修五第一章试题——解三角形一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设a ，b ，c 分别是△ABC 中∠A ，∠B ，∠C 所对边的边长，则直线x sin A ＋ay ＋c ＝0与bx －y sin B ＋sin C ＝0的位置关系是( )A ．平行B ．重合C ．垂直D ．相交但不垂直2．在△ABC 中，已知a －2b ＋c ＝0，3a ＋b －2c ＝0，则sin A ∶sin B ∶sin C 等于( )A ．2∶3∶4B ．3∶4∶5C ．4∶5∶8D ．3∶5∶73．△ABC 的三边分别为a ，b ，c ，且a ＝1，B ＝45°，S △ABC ＝2，则△ABC 的外接圆的直径为( )A ．4 3B ．5C ．5 2D ．624．已知关于x 的方程x 2－x cos A ·cos B ＋2sin 2C2＝0的两根之和等于两根之积的一半，则△ABC 一定是( )A ．直角三角形B ．钝角三角形C ．等腰三角形D ．等边三角形5．△ABC 中，已知下列条件：①b ＝3，c ＝4，B ＝30°；②a ＝5，b ＝8，A ＝30°；③c ＝6，b ＝33，B ＝60°；④c ＝9，b ＝12，C ＝60°．其中满足上述条件的三角形有两解的是( )A ．①②B ．①④C ．①②③D ．③④6．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边，若a ＝1，sin B ＝32，C ＝π6，则b 的值为( )A ．1B ．32C ．3或32 D ．±17．等腰△ABC 底角B 的正弦与余弦的和为62，则它的顶角是( ) A ．30°或150° B ．15°或75°C ．30°D ．15°8．若G 是△ABC 的重心，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且aGA →＋bGB →＋33cGC →＝0，则角A ＝( )A ．90°B ．60°C ．45°D ．30°9．在△ABC 中，B ＝60°，C ＝45°，BC ＝8，D 为BC 上一点，且BD →＝3－12BC→，则AD 的长为( ) A ．4(3－1) B ．4(3＋1) C ．4(3－3)D ．4(3＋3)10．在△ABC 中，B A →·B C →＝3，S △ABC ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，332，则B 的取值范围是( ) A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π3 B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π4 C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3 D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π211．在△ABC 中，三内角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，若(b －c )sin B ＝2c sin C 且a ＝10，cos A ＝58，则△ABC 面积等于( )A ．392 B ．39 C ．313 D ．312．锐角△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若2sin A (a cos C ＋c cos A )＝3b ，则cb 的取值范围是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫32，233 C ．(1，2) D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫32，1二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．已知在△ABC 中，a ＋b ＝3，A ＝π3，B ＝π4，则a 的值为________．14．在△ABC 中，AB ＝2，点D 在边BC 上，BD ＝2DC ，cos ∠DAC ＝31010，cos C ＝255，则AC ＋BC ＝________．15．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知a ＝23，C ＝45°，1＋tan A tan B ＝2cb ，则边c 的值为________．16．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，且a ，b ，c 满足2b ＝a ＋c ，B ＝π4，则cos A －cos C ＝________．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)如图，△ACD 是等边三角形，△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，BD 交AC 于E ，AB ＝2． (1)求cos ∠CBE 的值； (2)求AE ．18．(本小题满分12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且cos A a ＋cos B b ＝sin C c ．(1)证明：sin A sin B ＝sin C ； (2)若b 2＋c 2－a 2＝65bc ，求tan B ．19．(本小题满分12分)为保障高考的公平性，高考时每个考点都要安装手机屏蔽仪，要求在考点周围1 km内不能收到手机信号．检查员抽查青岛市一考点，在考点正西约 3 km有一条北偏东60°方向的公路，在此处检查员用手机接通电话，以12 km/h的速度沿公路行驶，最长需要多少时间，检查员开始收不到信号，并至少持续多长时间该考点才算合格？20．(本小题满分12分)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a2＋b2＝λab．(1)若λ＝6，B＝5π6，求sin A；(2)若λ＝4，AB边上的高为3c6，求C．21．(本小题满分12分)已知锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且tan A＝3cbc2＋b2－a2．(1)求角A的大小；(2)当a＝3时，求c2＋b2的最大值，并判断此时△ABC的形状．22．(本小题满分12分)在海岸A处，发现北偏东45°方向，距A处(3－1) n mile的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°的方向，距离A处2 n mile的C处的缉私船奉命以10 3 n mile/h的速度追截走私船．此时，走私船正以10 n mile/h 的速度从B处向北偏东30°方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？一、选择题1．答案 C解析 ∵k 1＝－sin A a ，k 2＝bsin B ，∴k 1k 2＝－1，∴两直线垂直．故选C ． 2．答案 D解析因为a －2b ＋c ＝0，3a ＋b －2c ＝0，所以c ＝73a ，b ＝53a ．a ∶b ∶c ＝3∶5∶7．所以sin A ∶sin B ∶sin C ＝3∶5∶7．故选D ． 3．答案 C解析 ∵S △ABC ＝12ac sin B ＝2，∴c ＝42．由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝25， ∴b ＝5．由正弦定理2R ＝bsin B ＝52(R 为△ABC 外接圆的半径)．故选C ． 4．答案 C解析由题意知：cos A ·cos B ＝sin 2C2，∴cos A ·cos B ＝1－cos C 2＝12－12cos [180°－(A ＋B )]＝12＋12cos(A ＋B )， ∴12(cos A ·cos B ＋sin A ·sin B )＝12， ∴cos(A －B )＝1．∴A －B ＝0，∴A ＝B ，∴△ABC 为等腰三角形．故选C ． 5．答案 A解析 ①c sin B <b <c ，故有两解； ②b sin A <a <b ，故有两解； ③b ＝c sin B ，有一解； ④c <b sin C ，无解．所以有两解的是①②．故选A ． 6．答案 C解析在△ABC 中，sin B ＝32，0＜B ＜π， ∴B ＝π3或2π3，当B ＝π3时，△ABC 为直角三角形， ∴b ＝a ·sin B ＝32；当B ＝2π3时，A ＝C ＝π6，a ＝c ＝1．由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos 2π3＝3， ∴b ＝3．故选C ． 7．答案 A解析由题意：sin B ＋cos B ＝62．两边平方得sin2B ＝12，设顶角为A ，则A ＝180°－2B ．∴sin A ＝sin(180°－2B )＝sin2B ＝12，∴A ＝30°或150°．故选A ． 8．答案 D解析由重心性质可知GA →＋GB →＋GC →＝0，故GA →＝－GB →－GC →，代入aGA →＋bGB→＋33cGC →＝0中，即 (b －a )GB →＋33c －aGC →＝0，因为GB →，GC →不共线，则⎩⎨⎧b －a ＝0，33c －a ＝0，即⎩⎨⎧b ＝a ，c ＝3a ，故由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝32．因为0<A <180°，所以A ＝30°．故选D ．9．答案 C解析由题意知∠BAC ＝75°，根据正弦定理，得AB ＝BC sin45°sin75°＝8(3－1)，因为BD →＝3－12BC →，所以BD ＝3－12BC ．又BC ＝8，所以BD ＝4(3－1)．在△ABD 中，AD ＝AB 2＋BD 2－2AB ·BD ·cos60°＝4(3－3)．故选C ． 10．答案 C解析由题意知ac ·cos B ＝3，所以ac ＝3cos B ， S △ABC ＝12ac ·sin B ＝12×3cos B ×sin B ＝32tan B ．因为S △ABC ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，332，所以tan B ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤33，3，所以B ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3．故选C ．11．答案 A解析由正弦定理，得(b －c )·b ＝2c 2，得b 2－bc －2c 2＝0，得b ＝2c 或b ＝－c (舍)．由a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得c ＝2，则b ＝4．由cos A ＝58知，sin A ＝398．S △ABC ＝12bc sin A ＝12×4×2×398＝392．故选A ． 12．答案 A解析 2sin A (a cos C ＋c cos A )＝3b ⇔2sin A ·(sin A cos C ＋sin C cos A )＝3sin B ⇔2sin A sin(A ＋C )＝3sin B ⇔2sin A sin B ＝3sin B ⇔sin A ＝32，因为△ABC 为锐角三角形，所以A ＝π3，a 2＝b 2＋c 2－bc ， ① a 2＋c 2＞b 2， ② a 2＋b 2＞c 2， ③由①②③可得2b 2＞bc ，2c 2＞bc ，所以12＜cb ＜2．故选A ．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 13．答案 33－32解析由正弦定理，得b ＝a sin B sin A ＝63a ．由a ＋b ＝a ＋63a ＝3，解得a ＝33－32．14．答案 3＋5解析 ∵cos ∠DAC ＝31010，cos C ＝255， ∴sin ∠DAC ＝1010，sin C ＝55， ∴sin ∠ADC ＝sin(∠DAC ＋∠C ) ＝1010×255＋31010×55＝22．由正弦定理，得AC sin ∠ADC ＝DCsin ∠DAC，得AC ＝5DC ．又∵BD ＝2DC ，∴BC ＝3DC ．在△ABC 中，由余弦定理，得 AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos C＝5DC 2＋9DC 2－25DC ·3DC ·255＝2DC 2．由AB ＝2，得DC ＝1，从而BC ＝3，AC ＝5．即AC ＋BC ＝3＋5． 15．答案 22解析在△ABC 中，∵1＋tan A tan B ＝1＋sin A cos Bcos A sin B ＝ cos A sin B ＋sin A cos B cos A sin B ＝sin (A ＋B )cos A sin B ＝sin C cos A sin B ＝2cb ．由正弦定理得c b cos A ＝2c b ，∴cos A ＝12，∴A ＝60°．又∵a ＝23，C ＝45°．由a sin A ＝c sin C 得2332＝c 22，∴c ＝22．16．答案 ±42 解析 ∵2b ＝a ＋c ，由正弦定理得2sin B ＝sin A ＋sin C ，又∵B ＝π4，∴sin A ＋sin C ＝2，A ＋C ＝3π4．设cos A －cos C ＝x ，可得(sin A ＋sin C )2＋(cos A －cos C )2＝2＋x 2，即sin 2A ＋2sin A sin C ＋sin 2C ＋cos 2A －2cos A cos C ＋cos 2C ＝2－2cos(A ＋C )＝2－2cos 3π4＝2＋x 2．则(cos A －cos C )2＝x 2＝－2cos 3π4＝2， ∴cos A －cos C ＝±42．三、解答题 17．解 (1)∵∠BCD ＝90°＋60°＝150°，CB ＝AC ＝CD ， ∴∠CBE ＝15°．∴cos ∠CBE ＝cos15°＝cos(45°－30°)＝6＋24． (2)在△ABE 中，AB ＝2，由正弦定理，得AE sin (45°－15°)＝2sin (90°＋15°)，故AE ＝2sin30°sin75°＝2×126＋24＝6－2．18．解 (1)证明：由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C ，可知原式可以化为cos A sin A ＋cos Bsin B ＝sin Csin C ＝1，因为A 和B 为三角形内角，所以sin A sin B ≠0，则两边同时乘以sin A sin B ，可得sin B cos A ＋sin A cos B ＝sin A sin B ，由和角公式可知，sin B cos A ＋sin A cos B ＝sin(A ＋B )＝sin(π－C )＝sin C ，原式得证．(2)因为b 2＋c 2－a 2＝65bc ，根据余弦定理可知，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝35．因为A 为三角形内角，A ∈(0，π)，sin A >0，则sin A ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫352＝45，即cos A sin A ＝34，由(1)可知cos A sin A ＋cos B sin B ＝sin C sin C ＝1，所以cos B sin B ＝1tan B ＝14，所以tan B ＝4．19．解如右图所示，考点为A ，检查开始处为B ，设公路上C ，D 两点到考点的距离为1 km ．在△ABC 中，AB ＝3≈1．732，AC ＝1，∠ABC ＝30°，由正弦定理，得sin ∠ACB ＝AB sin30°AC ＝32，∴∠ACB ＝120°(∠ACB ＝60°不符合题意)， ∴∠BAC ＝30°，∴BC ＝AC ＝1．在△ACD 中，AC ＝AD ，∠ACD ＝60°， ∴△ACD 为等边三角形，∴CD ＝1．∵BC 12×60＝5，∴在BC 上需要5 min ，CD 上需要5 min ．∴最长需要5 min 检查员开始收不到信号，并至少持续5 min 该考点才算合格．20．解 (1)由已知B ＝5π6，a 2＋b 2＝6ab ，综合正弦定理得4sin 2A －26sin A ＋1＝0．于是sin A ＝6±24，∵0＜A ＜π6，∴sin A ＜12，∴sin A ＝6－24．(2)由题意可知S △ABC ＝12ab sin C ＝312c 2，得12ab sin C ＝312(a 2＋b 2－2ab cos C )＝312(4ab －2ab cos C )，从而有3sin C ＋cos C ＝2即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫C ＋π6＝1．又π6＜C ＋π6＜7π6，∴C ＝π3．21．解 (1)由已知及余弦定理，得sin A cos A ＝3cb 2cb cos A ，sin A ＝32，因为A 为锐角，所以A ＝60°． (2)解法一：由正弦定理，得a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝332＝2，所以b ＝2sin B ，c ＝2sin C ＝2sin(120°－B )．c 2＋b 2＝4[sin 2B ＋sin 2(120°－B )] ＝41－cos2B 2＋1－cos (240°－2B )2＝4－cos2B ＋3sin2B＝4＋2sin(2B －30°)．由⎩⎨⎧0°<B <90°，0°<120°－B <90°，得30°<B <90°，所以30°<2B －30°<150°．当sin(2B －30°)＝1，即B ＝60°时，(c 2＋b 2)max ＝6，此时C ＝60°，△ABC 为等边三角形．解法二：由余弦定理得(3)2＝b 2＋c 2－2bc cos60°＝b 2＋c 2－bc ＝3．∵bc ≤b 2＋c 22(当且仅当b ＝c 时取等号)，∴b 2＋c 2－b 2＋c 22≤3，即b 2＋c 2≤6(当且仅当b ＝c 时等号)．故c 2＋b 2的最大值为6，此时△ABC 为等边三角形．22．解设缉私船用t 小时在D 处追上走私船．在△ABC 中，由余弦定理，得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos ∠CAB ＝(3－1)2＋22－2×(3－1)×2×cos120°＝6，∴BC ＝6．在△BCD 中，由正弦定理，得sin ∠ABC ＝AC BC sin ∠BAC ＝22，∴∠ABC ＝45°，∴BC 与正北方向垂直．∴∠CBD ＝120°．在△BCD 中，由正弦定理，得CD sin ∠CBD ＝BD sin ∠BCD， ∴103t sin120°＝10t sin ∠BCD ， ∴sin ∠BCD ＝12，∴∠BCD ＝30°．故缉私船沿北偏东60°的方向能最快追上走私船．。

高中数学必修五第一章《解三角形》单元测试卷及答案

高中数学必修五第一章《解三角形》单元测试卷及答案（2套）单元测试题一一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，每小题有4个选项，其中有且仅有一个是正确的，把正确的选项填在答题卡中） 1．在ABC △中，::1:2:3A B C =，则::a b c 等于（）A ．1:2:3B ．3:2:1C ．2D ．22．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且A >B ，则一定有（） A ．cos A >cos BB ．sin A >sin BC ．tan A >tan BD ．sin A <sin B3．△ABC 的三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，2sin sin cos a A B b A +，则ba =（）A ．B ．C D4．在△ABC 中，∠A ＝60°，a =，b ＝4．满足条件的△ABC （） A ．无解B ．有一解C ．有两解D ．不能确定5．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且222a b c =-，则角B 的大小是（） A ．45°B ．60°C ．90°D ．135°6．在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若22a b -，sin C B =，则A ＝（） A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°7．在△ABC 中，∠A ＝60°，b ＝1，△ABC sin aA为（）A B C D ．8．在△ABC 中，sin 2A ≤sin 2B ＋sin 2C －sin B sin C ，则A 的取值范围是（）A ．0,6π⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．,6π⎡⎫π⎪⎢⎣⎭C ．0,3π⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．,3π⎡⎫π⎪⎢⎣⎭9．在△ABC 中，已知B ＝45°，c =，b =A 的值是（） A ．15°B ．75°C ．105°D ．75°或15°10．在锐角三角形ABC 中，b ＝1，c ＝2，则a 的取值范围是（）A ．1<a <3B ．1a <<C a <D ．不确定11．在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且2cos 22A b cc+=，则 △ABC 的形状为（） A ．直角三角形B ．等腰直角三角形C ．等腰或直角三角形D ．等边三角形12．如图所示，在△ABC 中，已知∠A ∶∠B ＝1∶2，角C 的平分线CD 把三角形面积分为3∶2两部分，则cos A 等于（）A ．13B ．12C ．34D ．0二、填空题（本大题共4个小题，每空5分，共20分，把正确答案填在题中横线上） 13．等腰三角形的底边长为6，腰长为12，其外接圆的半径为________． 14．在△ABC 中，若a 2＋b 2<c 2，且3sin C ，则∠C ＝________． 15．在△ABC 中，a ＝3，26b =B ＝2∠A ，则cos A ＝________．16．某人在C 点测得塔AB 在南偏西80°，仰角为45°，沿南偏东40°方向前进10 m 到O ，测得塔A 仰角为30°，则塔高为________．三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(10分)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ．已知()cos cos 3sin cos 0C A A B +=．（1）求角B 的大小；（2）若a ＋c ＝1，求b 的取值范围．18．(12分)在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．（1）若sin 2cos 6A A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，求A 的值；（2）若1cos 3A =，b ＝3c ，求sin C 的值．19．(12分)在△ABC 中，角A 、B 、C 对应的边分别是a 、b 、c ，已知cos2A －3cos(B ＋C )＝1．（1）求角A 的大小；（2）若△ABC 的面积S =b ＝5，求sin B sin C 的值．20．(12分)在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，且222a b c +=．（1）求C ；（2）设cos cos A B =，()()2cos cos cos A B ααα++，求tan α的值．21．(12分)在△ABC 中，2C A π-=，1sin 3B =．（1）求sin A 的值；（2）设6AC =，求△ABC 的面积．22．(12分)如图，已知扇形AOB ，O 为顶点，圆心角AOB 等于60°，半径为2，在弧AB 上有一动点P ，过P 引平行于OB 的直线和OA 相交于点C ，设∠AOP ＝θ，求△POC 面积的最大值及此时θ的值．答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，每小题有4个选项，其中有且仅有一个是正确的，把正确的选项填在答题卡中） 1．【答案】C 【解析】6A π=，3B π=，2C π=，132::sin :sin :sin 3222a b c A B C ===，故选C ． 2．【答案】B【解析】∵A B >，∴a b >，由正弦定理，得sin sin A B >，故选B ．3．【答案】D【解析】本小题考查内容为正弦定理的应用．∵2sin sin cos a A B b A +=，∴22sin sin sin cos A B B A A +=，sin B A =，∴b =，∴ba．故选D ． 4．【答案】A【解析】4sin 60⨯︒=<a <b sin A ，∴△ABC 不存在．故选A ． 5．【答案】A【解析】∵222a b c =-，∴222a c b +-=，由余弦定理，得222cos 2a c b B ac +-===0°<B <180°，所以B ＝45°．故选A ． 6．【答案】A【解析】由sin C B =及正弦定理，得c =，∴2226a b b -=，即a 2＝7b 2．由余弦定理，2222222cos2b c a A bc +-===，又∵0°<A <180°，∴A ＝30°．故选A ． 7．【答案】B【解析】由1sin 2bc A =c ＝4．由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝13，故a =sin a A ==B ． 8．【答案】C【解析】本题主要考查正余弦定理，∵sin 2A ≤sin 2B ＋sin 2C －sin B sin C ， ∴由正弦定理得：a 2≤b 2＋c 2－bc ，即b 2＋c 2－a 2≥bc ，由余弦定理得：2221cos 222b c a bc A bc bc +-==≥=，∴03A π<≤，故选C ．9．【答案】D 【解析】∵sin sin b cB C =，∴sin sin c B C b ==． ∵0°＜C ＜180°．∴C ＝60°或120°，∴A ＝75°或15°．故选D ． 10．【答案】C【解析】∵b <c ，△ABC 为锐角三角形，∴边c 与边a 所对的角的余弦值大于0，即b 2＋a 2－c 2>0且b 2＋c 2－a 2>0，∴22140140a a ⎧+->⎪⎨+->⎪⎩．∴3<a 2<5，∴35a <<．故选C ． 11．【答案】A【解析】由21cos cos 222A A b c c ++==，整理得cos bA c=．又222cos 2b c a A bc +-=，联立以上两式整理得c 2＝a 2＋b 2，∴C ＝90°．故△ABC 为直角三角形．故选A ． 12．【答案】C【解析】在△ABC 中，设∠ACD ＝∠BCD ＝β，∠CAB ＝α，由∠A ∶∠B ＝1∶2，得∠ABC ＝2α．∵∠A <∠B ，∴AC >BC ，∴S △ACD >S △BCD ，∴S △ACD ∶S △BCD ＝3∶2，∴1sin 3212sin 2AC DC BC DC ββ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅，∴32AC BC =．由正弦定理得sin sin AC BC B A =，sin 2sin 2sin cos sin AC BC AC BCααααα=⇒=， ∴133cos 2224AC BC α==⨯=，即3cos 4A =．故选C ．二、填空题（本大题共4个小题，每空5分，共20分，把正确答案填在题中横线上） 13．815【解析】设△ABC 中，AB ＝AC ＝12，BC ＝6，由余弦定理222222121267cos 2212128AB AC BC A AB AC +-+-===⋅⨯⨯．∵()0,A ∈π，∴15sin A =，∴外接圆半径8152sin BC r A == 14．【答案】23π【解析】∵a 2＋b 2<c 2，∴a 2＋b 2－c 2<0，即cos C <0．又3sin C ，∴23C π∠=． 15．6【解析】∵a ＝3，26b =，∠B ＝2∠A ，由正弦定理326sin sin 2A A=， ∴2sin cos 26sin 3A A A =，∴6cos 3A =． 16．【答案】10 m【解析】画出示意图，如图所示，CO ＝10，∠OCD ＝40°，∠BCD ＝80°，∠ACB ＝45°， ∠AOB ＝30°，AB ⊥平面BCO ，令AB ＝x ，则BC ＝x ，3BO x ，在△BCO 中，由余弦定理得)()223100210cos 8040xx x =+-⨯⨯︒+︒，整理得25500x x -=-，解得10x =，5x =-(舍去)，故塔高为10 m ．三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．【答案】（1）3B π=；（2）112b ≤<．【解析】（1）由已知得()cos cos cos 3cos 0A B A B A B -++-=，即有sin sin 3sin cos 0A B A B =．因为sin A ≠0，所以sin 30B B =．又cos B ≠0，所以tan 3B =．又0<B <π，所以3B π=．（2）由余弦定理，有b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ．因为a ＋c ＝1，1cos 2B =，有2211324b a ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭．又0<a <1，于是有2114b ≤<，即有112b ≤<． 18．【答案】（1）3A π=；（2）1sin 3C =．【解析】（1）由题设知sin cos cos sin 2cos 66A A A ππ+=．从而sin 3A A ，所以cos A ≠0，tan A =．因为0<A <π，所以3A π=．（2）由1cos 3A =，b ＝3c 及a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得a 2＝b 2－c 2，故△ABC 是直角三角形，且2B π=．所以1sin cos 3C A ==． 19．【答案】（1）3A π=；（2）5sin sin 7B C =．【解析】（1）由cos2A －3cos(B ＋C )＝1，得2cos 2A ＋3cos A －2＝0，即(2cos A －1)(cos A ＋2)＝0，解得1cos 2A =或cos A ＝－2(舍去)．因为0<A <π，所以3A π=．（2）由11sin sin 223S bc A bc π====bc ＝20，又b ＝5，知c ＝4．由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝25＋16－20＝21，故a =．又由正弦定理得222035sin sin sin sin sin 2147b c bc B C A A A a a a =⋅==⨯=．20．【答案】（1）34C π=；（2）tan α＝1或tan α＝4．【解析】（1）因为222a b c +=，由余弦定理有222cos 2a b c C ab +-===34C π=．（2）由题意得()()2sin sin cos cos sin sin cos cos cos A A B B ααααα--，因此()()tan sin cos tan sin cos A A B B αα--=，()2tan sin sin tan sin cos cos sin cos cos A B A B A B A B αα-++=，()2tan sin sin tan sin cos cos A B A B A B αα-++=因为34C π=，4A B π+=，所以()sin A B +=因为cos(A ＋B )＝cos A cos B －sin A sin B ，即sin sin 52A B -=，解得sin sin 5210A B =-=．由①得tan 2α－5tan α＋4＝0，解得tan α＝1或tan α＝4． 21．【答案】（1）sin A ；（2）ABC S =△．【解析】（1）由2C A π-=和A ＋B ＋C ＝π，得22A B π=-，04A π<<． ∴cos2A ＝sinB ，即2112sin 3A -=，∴sin A =．（2）由（1）得cos A sin sin BC AC A B =，∴sin 31sin 3AC ABC B===∵2C A π-=，∴2C A π=+，∴sin sin cos 2C A A π⎛⎫=+== ⎪⎝⎭，∴11sin 22ABC S AC BC C =⋅⋅==△． 22．【答案】当θ＝30°时，S (θ)．【解析】∵CP ∥OB ，∴∠CPO ＝∠POB ＝60°－θ，∠OCP ＝120°．在△OCP 中，由正弦定理，得sin sin OP CP OCP θ=∠，即2sin120sin CPθ=︒，∴CP θ．又()2sin 60sin120CO θ=︒-︒，∴()60OC θ=︒-．故△POC 的面积是()1sin1202S CP CO θ=⋅⋅︒()()160sin si 2n 60θθθθ=︒-︒-()1sin sin 21cos 2602θθθθ⎫⎤=-︒=-⎪-⎥⎪⎝⎦⎭，()0,60θ∈︒︒， ∴当θ＝30°时，S (θ)单元测试题二一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的）1．在ABC △中，若90C =︒，6a =，30B =︒，则c b -等于（）A ．1B ．1-C ．D ．-2．在ABC △中，3AB =，2AC =，BC =BA ·AC 等于（）A ．32-B ．23-C ．23D ．323．在△ABC 中，已知a =，b =A ＝30°，则c 等于（）A ．BC ．D ．以上都不对4．根据下列情况，判断三角形解的情况，其中正确的是（） A ．a ＝8，b ＝16，A ＝30°，有两解 B ．b ＝18，c ＝20，B ＝60°，有一解 C ．a ＝5，c ＝2，A ＝90°，无解 D ．a ＝30，b ＝25，A ＝150°，有一解5．△ABC 的两边长分别为2,3，其夹角的余弦值为13，则其外接圆的半径为（）A B C D ．6．在△ABC 中，2cos 22A b cc+⋅=(a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边)，则△ABC 的形状为（） A ．直角三角形 B ．等腰三角形或直角三角形 C ．等腰直角三角形D ．正三角形7．已知△ABC 中，A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．若a c =A ＝75°，则b 等于（）A ．2B -C ．4-D ．4+8．在△ABC 中，已知b 2－bc －2c 2＝0，a =7cos 8A =，则△ABC 的面积S 为（）A B C D ．9．在△ABC 中，AB ＝7，AC ＝6，M 是BC 的中点，AM ＝4，则BC 等于（）A B C D10．若sin cos cos A B Ca b c==，则△ABC 是（） A ．等边三角形 B ．有一内角是30°的直角三角形 C ．等腰直角三角形D ．有一内角是30°的等腰三角形11．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若()222tan 3a c b B ac +-=，则角B 的值为（） A ．6π B ．3π C ．6π或56π D ．3π或23π12．△ABC 中，3A π=，BC ＝3，则△ABC 的周长为（） A ．43sin 33B π⎛⎫++ ⎪⎝⎭B ．43sin 36B π⎛⎫++ ⎪⎝⎭C ．6sin 33B π⎛⎫++ ⎪⎝⎭D ．6sin 36B π⎛⎫++ ⎪⎝⎭二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上） 13．在△ABC 中，2sin sin sin a b cA B C--=________． 14．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若2223a c b ac +-=，则角B 的值为________．15．已知a ，b ，c 分别是△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边．若a ＝1，3b =， A ＋C ＝2B ，则sin C ＝________．16．钝角三角形的三边为a ，a ＋1，a ＋2，其最大角不超过120°，则a 的取值范围是________．三、解答题（本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．(10分)如图所示，我艇在A 处发现一走私船在方位角45°且距离为12海里的B 处正以每小时10海里的速度向方位角105°的方向逃窜，我艇立即以14海里/小时的速度追击，求我艇追上走私船所需要的时间．18．(12分)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边长分别是a 、b 、c ，且4cos 5A =．（1）求2sin cos22B CA ++的值；（2）若b ＝2，△ABC 的面积S ＝3，求a ．19．(12分)如图所示，△ACD 是等边三角形，△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，BD 交AC 于E ，AB ＝2．（1）求cos ∠CBE 的值；（2）求AE ．20．(12分)已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＝2，3cos 5B =．（1）若b ＝4，求sin A 的值；（2）若△ABC 的面积S △ABC ＝4，求b ，c 的值．21．(12分)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且2a sin A ＝(2b ＋c )sin B ＋(2c ＋b )sin C ．（1）求A 的大小；（2）若sin B ＋sin C ＝1，试判断△ABC 的形状．22．(12分)已知△ABC 的角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，设向量(),a b m =， ()sin ,sin B A =n ，()2,2b a --p =．（1）若m ∥n ，求证：△ABC 为等腰三角形；（2）若m ⊥p ，边长c ＝2，角3C π=，求△ABC 的面积．答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的） 1．【答案】C【解析】tan 30ba=︒，tan30b a =︒=2c b ==，c b -= 故选C ． 2．【答案】A【解析】由余弦定理得22294101cos 2124AB AC BC A AB AC +-+-===⋅．∴13cos 3242AB AC AB AC A ⋅=⋅⋅=⨯⨯=．∴32BA AC AB AC ⋅=-⋅=-．故选A ．3．【答案】C【解析】∵a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，∴2515c c =+-．化简得：2100c -+=，即(0c c -=，∴c =c = 故选C ． 4．【答案】D 【解析】A 中，因sin sin a b A B =，所以16sin30sin 18B ⨯︒==，∴90B =︒，即只有一解；B 中，20sin 60sin 18C ︒==c b >，∴C B >，故有两解； C 中，∵A ＝90°，a ＝5，c ＝2，∴b = 故A 、B 、C 都不正确．故选D ． 5．【答案】C【解析】设另一条边为x ，则2221232233x =+-⨯⨯⨯，∴29x =，∴3x =．设1cos 3θ=，则sin θ=．∴32sinR θ==，R =C ． 6．【答案】A【解析】由2cos cos 22A b c b A c c+⋅=⇒⋅=，又222cos 2b c a A bc +-⋅=， ∴b 2＋c 2－a 2＝2b 2⇒a 2＋b 2＝c 2，故选A ． 7．【答案】A【解析】()sin sin 75sin 3045A =︒=︒+︒，由a ＝c 知，C ＝75°，B ＝30°．1sin 2B =．由正弦定理：4sin sin b aB A===．∴b ＝4sin B ＝2．故选A ．8．【答案】A【解析】由b 2－bc －2c 2＝0可得(b ＋c )(b －2c )＝0． ∴b ＝2c ，在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，即22276448c c c =+-⋅．∴c ＝2，从而b ＝4．∴11sin 4222ABCS bc A ==⨯⨯△A ． 9．【答案】B【解析】设BC ＝a ，则2aBM MC ==．在△ABM 中，AB 2＝BM 2＋AM 2－2BM ·AM ·cos ∠AMB ，即22217424cos 42aa AMB =+-⨯⨯⋅∠ ①在△ACM 中，AC 2＝AM 2＋CM 2－2AM ·CM ·cos ∠AMC即22216424cos 42aa AMB =++⨯⨯⋅∠ ②①＋②得：22222176442a +=++，∴a =B ．10．【答案】C 【解析】∵sin cos A Ba b=，∴a cos B ＝b sin A ， ∴2R sin A cos B ＝2R sin B sin A,2R sin A ≠0．∴cos B ＝sin B ，∴B ＝45°．同理C ＝45°，故A ＝90°．故C 选项正确． 11．【答案】D【解析】∵()222tan a c b B +-，∴222tan 2a c b B ac +-⋅=，即cos tan sin B B B ⋅=0<B <π，∴角B 的值为3π或23π．故选D ． 12．【答案】D 【解析】3A π=，BC ＝3，设周长为x ，由正弦定理知2sin sin sin BC AC ABR A B C ===，由合分比定理知sin sin sin sin BC AB BC ACA ABC ++=++，=，∴()sin sin B A B x ⎤+++=⎥⎦，即3sin sin 3sin sin cos cos sin 333x B B B B B π⎤ππ⎛⎫⎫=+++=+++ ⎪⎪⎥⎝⎭⎭⎦133sin sin 3sin 22B B B B B ⎫⎫=+++=++⎪⎪⎪⎪⎭⎭136cos 36sin 26B B B ⎫π⎛⎫=++=++⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭．故选D ．二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上） 13．【答案】0 14．【答案】6π【解析】∵222a cb +-=，∴222cos 2a c b B ac +-==6B π=． 15．【答案】1【解析】在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π，A ＋C ＝2B ．∴3B π=．由正弦定理知，sin 1sin 2a B A b ==．又a <b ．∴6A π=，2C π=．∴sin 1C =． 16．【答案】332a ≤< 【解析】由()()()()()()22222212120121212a a a a a a a a a a a ⎧⎪++>+⎪⎪++-+<⎨⎪++-+⎪≥-⎪+⎩，解得332a ≤<．三、解答题（本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．【答案】2小时．【解析】设我艇追上走私船所需时间为t 小时，则BC ＝10t ，AC ＝14t ，在△ABC 中，由∠ABC ＝180°＋45°－105°＝120°，根据余弦定理知：(14t )2＝(10t )2＋122－2·12·10t cos 120°，∴2t =．答：我艇追上走私船所需的时间为2小时． 18．【答案】（1）5950；（2）a = 【解析】（1）()221cos 1cos 59sin cos2cos22cos 122250B C B C A A A A -++++=+=+-=．（2）∵4cos 5A =，∴3sin 5A =．由1sin 2ABC S bc A =△，得133225c =⨯⨯，解得c ＝5．由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，可得24425225135a =+-⨯⨯⨯=，∴a = 19．【答案】（1；（2）AE=．【解析】（1）∵∠BCD ＝90°＋60°＝150°，CB ＝AC ＝CD ， ∴∠CBE ＝15°．∴()cos cos 4530CBE ∠=︒-︒= （2）在△ABE 中，AB ＝2，由正弦定理得sin sin AE ABABE AEB=∠∠，即()()2sin 4515sin 9015AE =︒-︒︒+︒，故122sin 30cos15AE ⨯︒===︒20．【答案】（1）2sin 5A =；（2）b =5c =．【解析】（1）∵3cos 05B =>，且0<B <π，∴4sin 5B ==．由正弦定理得sin sin a bA B=，42sin 25sin 45a B Ab ⨯===．（2）∵1sin 42ABC S ac B ==△，∴142425c ⨯⨯⨯=，∴5c =．由余弦定理得2222232cos 25225175b a c ac B =+-=+-⨯⨯⨯=，∴b =21．【答案】（1）120A =︒；（2）△ABC 为等腰钝角三角形．【解析】（1）由已知，根据正弦定理得2a 2＝(2b ＋c )b ＋(2c ＋b )c ，即a 2＝b 2＋c 2＋bc ．由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，故1cos 2A =-，120A =︒．（2）方法一由（1）得sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ＋sin B sin C ，又A ＝120°，∴223sin sin sin sin 4B C B C ++=， ∵sin B ＋sin C ＝1，∴sin C ＝1－sin B ． ∴()()223sin 1sin sin 1sin 4B B B B +-+-=，即21sin sin 04B B -+=．解得1sin 2B =．故1sin 2C =．∴B ＝C ＝30°．所以，△ABC 是等腰的钝角三角形．方法二由（1）A ＝120°，∴B ＋C ＝60°，则C ＝60°－B ， ∴sin B ＋sin C ＝sin B ＋sin(60°－B) 11sin sin sin 22B B B B B =-=＝sin(B ＋60°)＝1， ∴B ＝30°，C ＝30°．∴△ABC 是等腰的钝角三角形．22．【答案】（1）见解析；（2）ABC S =△ 【解析】（1）证明 ∵m ∥n ，∴a sin A ＝b sin B ，即22a ba b R R⋅=⋅，其中R 是△ABC 外接圆半径，∴a ＝b ．∴△ABC 为等腰三角形．（2）解由题意知m ·p ＝0，即a (b －2)＋b (a －2)＝0．∴a ＋b ＝ab ．由余弦定理可知，4＝a 2＋b 2－ab ＝(a ＋b )2－3ab ，即(ab )2－3ab －4＝0．∴ab ＝4(舍去ab ＝－1)，∴11sin 4sin 223ABC S ab C π==⨯⨯=△．。

高中数学必修五第一章解三角形测试题

章末检测一、选择题1．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，若A ＋C ＝2B ，a ＝1，b ＝3，则S △ABC 等于( ) A. 2 B. 3 C.32D ．2 答案 C解析由A ＋C ＝2B ，解得B ＝π3.由余弦定理得(3)2＝1＋c 2－2c cos π3，解得c ＝2或c ＝－1(舍去)．于是S △ABC ＝12ac sin B ＝12×1×2sin π3＝32.2．在△ABC 中，下列关系式①a sin B ＝b sin A ；②a ＝b cos C ＋c cos B ；③a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C ；④b ＝c sin A ＋a sin C ，一定成立的有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个答案 C解析由正弦定理知①正确，由余弦定理知③正确；②中由正弦定理得sin A ＝sin B cos C ＋cos B sin C ，显然成立；④中由正弦定理得sin B ＝2sin A sin C ，未必成立． 3．在△ABC 中，若B ＝120°，则a 2＋ac ＋c 2－b 2的值( ) A ．大于0 B ．小于0 C ．等于0 D ．不确定答案 C解析 ∵B ＝120°，∴cos B ＝－12＝a 2＋c 2－b 22ac ，∴a 2＋c 2－b 2＋ac ＝0.4．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知8b ＝5c ，C ＝2B ，则cos C 等于( ) A.725 B ．－725 C ．±725 D.2425答案 A解析由b sin B ＝c sin C 及8b ＝5c ，C ＝2B ，得5c sin 2B ＝8c sin B ，所以cos B ＝45，所以cos C ＝cos 2B ＝2cos 2B －1＝725.5．在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝3，AB →·BC →＝1，则BC 等于( ) A. 3 B.7 C ．2 2 D.23 答案 A解析由AB →·BC →＝1可得2BC cos(180°－B )＝1，即2BC cos B ＝－1，又由余弦定理可得32＝BC 2＋22－2×2BC cos B ，把2BC cos B ＝－1代入，得9＝BC 2＋4＋2，解得BC ＝ 3.6．在△ABC 中，若tan A sin 2B ＝tan B sin 2A 成立，则△ABC 一定是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形 D ．等腰或直角三角形答案 D解析 ∵tan A sin 2B ＝tan B sin 2A ， ∴sin A cos A sin 2B ＝sin Bcos B·sin 2A ， ∴sin B cos B ＝sin A cos A ，即sin 2A ＝sin 2B .又∵A ∈(0，π)，B ∈(0，π)，∴2A ＝2B 或2A ＋2B ＝π， ∴A ＝B 或A ＋B ＝π2，即△ABC 是等腰三角形或直角三角形．7．在△ABC 中，A ＝π3，a ＝6，b ＝4，则满足条件的△ABC ( )A ．不存在B ．有一个C ．有两个D ．不确定答案 A解析由正弦定理a sin A ＝bsin B，∴sin B ＝b sin Aa ＝4·326＝2>1，∴B 不存在．8．一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点D 测得水柱顶端的仰角为45°，沿点D 向北偏东30°前进100 m 到达点C ，在C 点测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是( ) A ．50 m B ．100 m C ．120 m D ．150 m 答案 A解析如图，AB 为水柱，高度设为h ，D 在A 的正西方向，C 在D 的北偏东30°方向．且CD ＝100 m ，∠ACB ＝30°，∠ADB ＝45°. 在△ABD 中，AD ＝h ，在△ABC 中，AC ＝3h . 在△ACD 中，∠ADC ＝60°，由余弦定理得cos 60°＝1002＋h 2－（3h ）22·100·h ＝12，∴h ＝50或－100(舍)．9．在锐角△ABC 中，BC ＝1，B ＝2A ，则AC 的取值范围是( ) A ．[－2，2] B ．[0，2] C ．(0，2] D ．(2，3) 答案 D解析由题意得⎩⎨⎧0＜π－3A ＜π2，0＜2A ＜π2⇒π6＜A ＜π4，由正弦定理AC sin B ＝BCsin A 得AC ＝2cos A .∵A ∈⎝⎛⎭⎫π6，π4，∴AC ∈(2，3)．10．设a ，b ，c 是△ABC 的三条边，对任意实数x ，f (x )＝b 2x 2＋(b 2＋c 2－a 2)x ＋c 2，有( ) A ．f (x )＝0 B ．f (x )>0 C ．f (x )≤0 D ．f (x )<0 答案 B解析 ∵Δ＝(b 2＋c 2－a 2)2－4b 2c 2＝(b 2＋c 2－a 2)2－(2bc )2 ＝[(b ＋c )2－a 2]·[(b －c )2－a 2]＝(b ＋c ＋a )(b ＋c －a )(b －c ＋a )(b －c －a )， b ＋c ＋a >0，b ＋c －a >0，b －c ＋a >0，b －c －a <0， ∴Δ<0，又b 2>0，∴f (x )>0. 二、填空题11．在△ABC 中，已知∠BAC ＝60°，∠ABC ＝45°，BC ＝3，则AC ＝________．答案2解析在△ABC 中，利用正弦定理得AC sin 45°＝BC sin 60°⇒AC sin 45°＝3sin 60°⇒AC ＝3·sin 45 °sin 60°＝ 2.12．在△ABC 中，M 是线段BC 的中点，AM ＝3，BC ＝10，AB →·AC →＝________．答案－16解析方法一 AB →·AC →＝(AM →＋MB →)·(AM →＋MC →)＝|AM →|2－|MB →|2＝9－5×5＝－16. 方法二特例法，假设△ABC 是以AB ，AC 为腰的等腰三角形，如图所示，AM ＝3，BC ＝10，则AB ＝AC ＝34，cos ∠BAC ＝34＋34－1002×34＝－817，AB →·AC →＝|AB |·|AC →|·cos ∠BAC ＝－16.13．在△ABC 中，已知cos A ＝35，cos B ＝513，b ＝3，则c ＝________．答案145解析在△ABC 中，∵cos A ＝35>0，又∵A ∈(0，π)，∴sin A ＝45.∵cos B ＝513>0，又∵B ∈(0，π)，∴sin B ＝1213.∴sin C ＝sin[π－(A ＋B )]＝sin(A ＋B ) ＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝45×513＋35×1213＝5665.由正弦定理知b sin B ＝csin C，∴c ＝b sin Csin B ＝3×56651213＝145.14．在△ABC 中，已知BC ＝3，AB ＝10，AB 边上的中线为7，则△ABC 的面积为________．答案1523 解析如图，设△ABC 中AB 边上的中线为CD . 则△BCD 中，BC ＝3，BD ＝5，CD ＝7， ∴cos B ＝32＋52－722·3·5＝－12，又∵B ∈(0°，180°)，∴B ＝120°， ∴sin B ＝32， ∴S △BCD ＝12BC ·BD ·sin B ＝12·3·5·32＝1543，∴S △ABC ＝2S △BCD ＝1523.15．在△ABC 中，A 满足3sin A ＋cos A ＝1，AB ＝2，BC ＝23，则△ABC 的面积为________．答案3解析由⎩⎨⎧3sin A ＋cos A ＝1，sin 2A ＋cos 2A ＝1，得⎩⎨⎧sin A ＝32，cos A ＝－12.∴A ＝120°，由正弦定理得2sin C ＝23sin A ，∴sin C ＝12.∴C ＝30°，∴B ＝30°，∴S ＝12AB ×BC ×sin B ＝12×2×23×sin 30°＝ 3.三、解答题16．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知3a cos C ＝2c cos A ，tan A ＝13，求B .解由题设和正弦定理得3sin A cos C ＝2sin C cos A ，故3tan A cos C ＝2sin C ，因为tan A ＝13，所以cos C ＝2sin C ，tan C ＝12，所以tan B ＝tan[180°－(A ＋C )]＝－tan(A ＋C ) ＝tan A ＋tan Ctan A tan C －1＝－1，又因为B ∈(0°，180°)，所以B ＝135°.17.如图所示，我艇在A 处发现一走私船在方位角45°且距离为12海里的B 处正以每小时10海里的速度向方位角105°的方向逃窜，我艇立即以14海里/时的速度追击，求我艇追上走私船所需要的时间．解设我艇追上走私船所需时间为t 小时，且我艇在C 处追上走私船，则BC ＝10t ，AC ＝14t ，在△ABC 中，∠ABC ＝180°＋45°－105°＝120°，AB ＝12，根据余弦定理得(14t )2＝(10t )2＋122－2·12·10t cos 120°， ∴t ＝2小时(t ＝－34舍去)．所以我艇追上走私船所需要的时间为2小时．18．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，并且sin 2A 2＝c －b2c .(1)试判断△ABC 的形状并加以证明； (2)当c ＝1时，求△ABC 周长的最大值．解 (1)△ABC 为直角三角形．证明如下：方法一由已知可得，1－cos A 2＝12－b2c ，即cos A ＝bc.又由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc.化简得c 2＝a 2＋b 2，由此知△ABC 为直角三角形．方法二由方法一知b ＝c cos A . 由正弦定理得sin B ＝sin C cos A . 由sin B ＝sin(A ＋C )，从而有sin A cos C ＋cos A sin C ＝sin C cos A ，即sin A cos C ＝0. 因为sin A ≠0，所以cos C ＝0，C ∈(0，π)，即C ＝π2，故△ABC 为直角三角形．(2)由(1)知c 为Rt △ABC 的斜边．当c ＝1时，两直角边长分别为sin A ，cos A ，则△ABC 的周长l ＝1＋sin A ＋cos A ＝1＋2sin(A ＋π4)．而0<A <π2，当sin(A ＋π4)＝1，即A ＝π4时，周长l 取得最大值为1＋ 2.19．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知b ＋c ＝2a cos B . (1)证明：A ＝2B ；(2)若cos B ＝23，求cos C 的值．(1)证明由正弦定理得sin B ＋sin C ＝2sin A cos B ，故2sin A cos B ＝sin B ＋sin(A ＋B )＝sin B ＋sin A cos B ＋cos A sin B ，于是sin B ＝sin(A －B )．又A ，B ∈(0，π)，故0＜A －B ＜π，所以B ＝π－(A －B )或B ＝A －B ，因此A ＝π(舍去)或A ＝2B ，所以，A ＝2B .(2)解由cos B ＝23得sin B ＝53，cos 2B ＝2cos 2B －1＝－19，故cos A ＝－19，sin A ＝459，cos C ＝－cos(A ＋B )＝－cos A cos B ＋sin A sin B ＝2227.20．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2cos 2A －B2·cos B －sin(A －B )sin B＋cos(A ＋C )＝－35.(1)求cos A 的值；(2)若a ＝42，b ＝5，求BA →在BC →方向上的投影．解 (1)由2cos 2A －B 2cos B －sin(A －B )sin B ＋cos(A ＋C )＝－35，得[cos(A －B )＋1]cos B －sin(A －B )sin B －cos B ＝－35，即cos(A －B )cos B －sin(A －B )sin B ＝－35，则cos(A －B ＋B )＝－35，即cos A ＝－35.(2)由cos A ＝－35，π2<A <π，得sin A ＝45.由正弦定理有a sin A ＝b sin B ，所以sin B ＝b sin A a ＝22.由题意知a >b ，则A >B ，故B ＝π4.根据余弦定理有(42)2＝52＋c 2－2×5×c ×(－35)，解得c ＝1或c ＝－7(舍去)．又∵cos B ＝cosπ4＝22，故BA →在BC →方向上的投影为|BA →|cos B ＝22.21．已知函数f (x )＝32sin 2x －1＋cos 2x 2－12，x ∈R . (1)求函数f (x )的最小值和最小正周期；(2)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且c ＝3，f (C )＝0，若向量m ＝(1，sin A )与向量n ＝(2，sin B )共线，求a ，b 的值．解 (1)∵f (x )＝32sin 2x －1＋cos 2x 2－12＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6－1，∴函数f (x )的最小值是－2，最小正周期是T ＝2π2＝π.(2)由题意得f (C )＝sin(2C －π6)－1＝0，∴sin(2C －π6)＝1，∵0<C <π，∴－π6<2C －π6<116π，∴2C －π6＝π2，∴C ＝π3，∵m ∥n ，∴12＝sin A sin B ，由正弦定理得a b ＝12，①由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos π3，即3＝a 2＋b 2－ab ，② 由①②解得a ＝1，b ＝2.。

高中数学必修五第一章《解三角形》单元测试题(含答案)教学内容

高中数学必修五第一章《解三角形》单元测试题(含答案)高中数学必修五第一章单元测试题《解三角形》一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在△ABC中，下列等式不成立的是()A．c＝a2＋b2－2ab cos CB.asin A＝bsin BC．a sin C＝c sin AD．cos B＝a2＋c2－b22abc2．已知锐角△ABC的面积为33，BC＝4，CA＝3，则角C的大小为()A．75°B．60°C．45°D．30°3．已知△ABC中，c＝6，a＝4，B＝120°，则b等于()A．76 B．219C．27 D．274．已知△ABC中，a＝4，b＝43，A＝30°，则B等于()A．30°B．30°或150°C．60°D．60°或120°5．已知三角形的三边长分别为a，b，a2＋ab＋b2，则三角形的最大内角是()A．135°B．120°C．60°D．90°6．△ABC的三内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c设向量p＝(a＋c，b)，q＝(b－a，c－a)，若p∥q，则角C的大小为()A.π6 B.π3C.π2 D.2π37．在△ABC 中，已知a ＝2b cos C ，那么△ABC 的内角B 、C 之间的关系是( )A ．B >CB ．B ＝C C ．B <CD ．关系不确定8．在△ABC 中，B ＝60°，b 2＝ac ，则这个三角形是( )A ．不等边三角形B ．等边三角形C ．等腰三角形D ．直角三角形9．在△ABC 中，cos A cos B >sin A sin B ，则△ABC 是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等边三角形10．△ABC 中，已知sin B ＝1，b ＝3，则此三角形( )A ．无解B ．只有一解C ．有两解D ．解的个数不确定11．在△ABC 中，若A <B <C ，b ＝10，且a ＋c ＝2b ，C ＝2A ，则a 与c 的值分别为( )A ．8,10B ．10,10C ．8,12D ．12,812．已知平面上有四点O ，A ，B ，C ，满足OA →＋OB →＋OC →＝0，OA →·OB →＝OB →·OC →＝OC →·OA →＝－1，则△ABC 的周长是( )A ．3B ．6C ．3 6D ．9 6二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上)13．在△ABC 中，A ＝30°，C ＝105°，b ＝8，则a ＝________.14．在△ABC 中，若∠A ＝120°，AB ＝5，BC ＝7，则AC ＝________.15．在△ABC 中，已知CB ＝8，CA ＝5，△ABC 的面积为12，则cos2C ＝________.16．甲、乙两楼相距20 m ，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则甲楼高为______m ，乙楼高为________m.三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)已知A ，B ，C 为△ABC 的三个内角，且其对边分别为a ，b ，c ，若cos B cos C－sin B sin C ＝12.(1)求A ；(2)若a ＝23，b ＋c ＝4，求△ABC 的面积．18．(12分)在△ABC 中，C －A ＝π2，sin B ＝13.(1)求sin A 的值；(2)设AC ＝6，求△ABC 的面积．19．(12分)如图，在△ABC中，AC＝2，BC＝1，cos C＝3 4.(1)求AB的值；(2)求sin(2A＋C)的值．20．(12分)已知△ABC顶点的直角坐标分别为A(3,4)、B(0,0)、C(c,0)．(1)若c＝5，求sin A的值；(2)若∠A是钝角，求c的取值范围．21．(12分)如图，A，B，C，D都在同一个与水平面垂直的平面内，B，D为两岛上的两座灯塔的塔顶．测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为75°，30°，于水面C处测得B点和D点的仰角均为60 °，AC＝0.1 km.试探究图中B，D间距离与另外两点间距离哪个相等，然后求B，D 的距离(计算结果精确到0.01 km，2＝1.414，6≈2.449)．22．(12分)设函数f(x)＝cos(2x＋π3)＋sin2x.(1)求函数f(x)的最大值和最小正周期；(2)设A，B，C为△ABC的三个内角，若cos B＝13，f(C2)＝－14，且C为锐角，求sin A.高中数学必修五第一章单元测试题《解三角形》参考答案一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在△ABC中，下列等式不成立的是()A．c＝a2＋b2－2ab cos CB.asin A＝bsin BC．a sin C＝c sin AD．cos B＝a2＋c2－b22abc答案 D解析很明显A，B，C成立；由余弦定理，得cos B＝a2＋c2－b22ac，所以D不成立．2．已知锐角△ABC的面积为33，BC＝4，CA＝3，则角C的大小为() A．75°B．60°C．45°D．30°答案 B解析由S△ABC＝33＝12×3×4sin C，得sin C＝32，又角C为锐角，故C＝60°.3．已知△ABC中，c＝6，a＝4，B＝120°，则b等于() A．76 B．219C．27 D．27答案 B解析由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2ac cos B＝76，所以b＝219. 4．已知△ABC中，a＝4，b＝43，A＝30°，则B等于() A．30°B．30°或150°C．60°D．60°或120°答案 D解析由正弦定理，得asin A＝bsin B.所以sin B＝ba sin A＝434sin30°＝32.又a<b，则A<B，所以B＝60°或120°.5．已知三角形的三边长分别为a，b，a2＋ab＋b2，则三角形的最大内角是()A．135°B．120°C．60°D．90°答案 B解析a2＋ab＋b2>a，a2＋ab＋b2>b，则长为a2＋ab＋b2的边所对的角最大．由余弦定理，得cosα＝a2＋b2－(a2＋b2＋ab)2ab＝－12，所以三角形的最大内角是120°.6．△ABC的三内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c设向量p＝(a＋c，b)，q＝(b－a，c－a)，若p∥q，则角C的大小为()A.π6 B.π3C.π2 D.2π3答案 B解析由p∥q，得(a＋c)(c－a)＝b(b－a)，则b2＋a2－c2＝ab.由余弦定理，得cos C＝a2＋b2－c22ab＝12，所以C＝π3.7．在△ABC中，已知a＝2b cos C，那么△ABC的内角B、C之间的关系是() A．B>C B．B＝CC．B<C D．关系不确定答案 B8．在△ABC中，B＝60°，b2＝ac，则这个三角形是()A．不等边三角形B．等边三角形C．等腰三角形D．直角三角形答案 B9．在△ABC中，cos A cos B>sin A sin B，则△ABC是()A．锐角三角形B．直角三角形C ．钝角三角形D ．等边三角形答案 C 10．△ABC 中，已知sin B ＝1，b ＝3，则此三角形( )A ．无解B ．只有一解C ．有两解D ．解的个数不确定答案 D11．在△ABC 中，若A <B <C ，b ＝10，且a ＋c ＝2b ，C ＝2A ，则a 与c 的值分别为( )A ．8,10B ．10,10C ．8,12D ．12,8 答案 C解析 ∵C ＝2A ，∴sin C ＝sin2A ＝2sin A ·cos A .由正弦定理，余弦定理可得c ＝2a ·100＋c 2－a 22×10c，将a ＝20－c 代入上式整理，得c 2－22c ＋120＝0，解得∴c ＝10(舍去)或c ＝12.∴a ＝8.12．已知平面上有四点O ，A ，B ，C ，满足OA →＋OB →＋OC →＝0，OA →·OB →＝OB →·OC →＝OC →·OA →＝－1，则△ABC 的周长是( )A ．3B ．6C ．3 6D ．9 6 答案 C解析由已知得O 是△ABC 的重心，由OA →·OB →＝OB →·OC →，得OB →·(OA →－OC →)＝0.∴OB →·CA →＝0.∴OB ⊥CA .同理，OA ⊥BC ，OC ⊥AB .∴△ABC 为等边三角形．故∠AOB ＝∠BOC ＝∠COA ＝2π3，|OA →|＝|OB →|＝|OC →|＝ 2.在△AOB 中，由余弦定理，得AB2＝OA2＋OB2－2OA·OB cos 2π3＝6.∴AB＝6，故△ABC的周长是3 6.讲评本题是以向量的数量积给出条件，通过计算得出三角形中的一些量，再利用余弦定理可解．二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上)13．在△ABC中，A＝30°，C＝105°，b＝8，则a＝________.答案4 2解析B＝180°－30°－105°＝45°，由正弦定理，得a＝sin Asin B b＝sin30°sin45°×8＝4 2.14．在△ABC中，若∠A＝120°，AB＝5，BC＝7，则AC＝________. 答案 3解析在△ABC中，由余弦定理，得cos A＝cos120°＝AB2＋AC2－BC22×AB×AC，即25＋AC2－492×5×AC＝－12.解得AC＝－8(舍去)或AC＝3.15．在△ABC中，已知CB＝8，CA＝5，△ABC的面积为12，则cos2C＝________.答案725解析由题意，得S＝12CA×CB sin C，则12＝12×5×8sin C.所以sin C＝35.则cos2C＝1－2sin2C＝725.16．甲、乙两楼相距20 m，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则甲楼高为______m，乙楼高为________m.答案203403 3解析如下图所示，甲楼高为AB，乙楼高为CD，AC＝20 m.。

高中数学必修5第一章--解三角形检测题及答案汇编

学习-----好资料第一章解三角形则A ，C 两地的距离为（aAcos — 2 bBcos2 c Ccos2等于（\3 : 2，贝U sin A : sin B : sin C =(C . 1 : 2 :5. 如果△ A 1B 1C 1的三个内角的余弦值分别等于厶A 2B 2C 2的三个内角的正弦值，则（）.A. △ A 1B 1C 1和厶A 2B 2C 2都是锐角三角形B. △ A 1B 1C 1和厶A 2B 2C 2都是钝角三角形C . △ A 1B 1C 1是钝角三角形，△ A 2B 2C 2是锐角三角形D . △ A 1B 1C 1是锐角三角形，△ A 2B 2C 2是钝角三角形 6. 在厶 ABC 中，a = 2叮'3，b = 2^2，/ B = 45 ° 则/ A 为（）.A . 30 或 150 °B . 60 °C . 60。

或 120 °D . 30 °7. 在厶ABC 中，关于x 的方程（1 + x 2）sin A + 2xsin B + （1 — x 2） sin C = 0有两个不等的实、选择题1.已知A , B 两地的距离为10 km , B ,C 两地的距离为20 km ，现测得/ ABC = 120 °A . 10 km10.3 kmC . 10 5 km10 一 7 kmA •等腰三角形B .等边三角形C .直角三角形D .等腰直角三角形3•三角形三边长为 a ，b ，c ,且满足关系式(a + b + c)( a + b — c) = 3ab ,则c 边的对角A . 15 °45°C . 60°120 °4.在△ ABC 中，三个内角/ A ,Z B ，/ C 所对的边分别为a ， b ，c ，且2 .在△ ABC 中，若，则△ABC 是（根，贝U A为（）.A . 锐角B .直角C. 钝角 D.不存在&在厶ABC中，AB = 3, BC=、13,AC= 4,则边AC上的高为( ).A . 3、2B . 33C.3D.3、、3 2229. 在厶ABC中，3 3 3a +b —c 2—c,sin A • sinB= 3，则△ ABC.宀曰/定是（) a + b —c4A . 等边三角形B.等腰三角形C . 直角三角形D.等腰三角形或直角三角形10. 根据下列条件解三角形：①/ B= 30° a= 14, b= 7;②/ B = 60°a = 10,b = 9.那么，下面判断正确的是（）.A .①只有一解，②也只有一解.B .①有两解，②也有两解.C. ①有两解，②只有一解.D.①只有一解，②有两解.二、填空题11. ______________ 在厶ABC中，a, b分别是/ A和/ B所对的边，若a= 73 , b = 1，/ B = 30 °则Z A的值是_______ .12. _________________________________________________________ 在厶ABC中，已知sin Bsin C= cos2 -，则此三角形是________________________________________ 三角形.213. ___________________________ 已知a, b, c是厶ABC中Z A,Z B,Z C的对边，S是厶ABC的面积.若a = 4, b= 5, S= 5 3，求c的长度.14. A ABC中，a+ b = 10,而cos C是方程2x2—3x—2 = 0的一个根，求△ ABC周长的最小值___________ .15. 在△ ABC 中，Z A, Z B, Z C 的对边分别为a, b, c,且满足sin A : sin B : sin C =2 : 5 : 6.若△ ABC的面积为主竺，则△ ABC的周长为416. 在△ ABC中，Z A最大，Z C最小，且Z A = 2Z C, a+ c= 2b,求此三角形三边之比为________ .此三角形.18•如图所示，在斜度一定的山坡上的一点 A 测得山顶上一建筑物顶端 C 对于山坡的斜度为15°向山顶前进100米后到达点B ，又从点B 测得斜度为45°建筑物的高 CD 为三、解答题17.在△ ABC 中，已知/ A = 30° a , b 分别为/ A ，/ B 的对边，且a = 4=二\解50米.求此山对于地平面的倾斜角 -学习-----好资料19.在△ ABC 中，/ A，/ B，/ C 的对边分别为a, b, c,若bcos C= (2a —c) cos B, (I )求/ B的大小;(n )若b = .../7 , a+ c = 4,求厶ABC 的面积.20•在△ ABC中，角A, B, C的对边分别为a, b, c,求证：c sin( A - B) sin C一、选择题 1. D解析：AC 2 = AB 2+ BC 2— 2AB • BCcos Z ABC =102+ 202— 2X 10X 20cos 120 °=700.■I ----AC = 10 . 7 . 2. B解析：由a =b =c 及正弦定理，得 sin A = sin B = sinC ，由2倍角 A cos — B cos—C cos — A B C 2 2 2cos — 2 cos 2 cos — 2的正弦公式得 sin A = sin — = sin —，/ A =Z B =Z C . 2 2 23. C解析：由(a + b + c)( a + b — c) = 3ab , 得 a ? + b ?— c ?= ab .2ab故 C = 60°. 4. D解析：由正弦定理可得 a : b : c = sin A : sin B : sin C = 1 : . 3 : 2. 5. D解析：△ A 1B 1C 1的三个内角的余弦值均大于 0,则厶A 1B 1C 1是锐角三角形.nsin A 2= cosA = sin( — — A|)」sin B 2= cos B = sir(——比), sin C 2= cosC = sin( — — C 1)2那么，A 2+ —2+ C 2 = ―― — ( A 1 + —1 + G)=—，与 A 2 + —2 + C 2= n 矛盾.2 2 所以△ A 2B 2C 2是钝角三角形. 6. C2®： 3 ；•参考答案cos C = 2 2b 「c . n .A 2 = --- A|2得」B Q =」一B 1 ,2 C 2=- — C 12若厶A 2B 2C 2不是钝角三角形，由解析：由L，得sin A=asinB = ____________ 2 = 3,sin A sin B b 2/2 2 而b v a,•••有两解，即/ A = 60°或/ A = 120°.7. A解析：由方程可得(sin A —sin C) x2+ 2xsin B+ sin A + sin C= 0.•/方程有两个不等的实根，2 2 2•4sin B —4( sin A—sin C) > 0.由正弦定理一「= 一匚=—J，代入不等式中得b2—a2+ c2> 0, sin A sin B sinC再由余弦定理，有2ac cos A= b2+ c2—a2> 0.•0vZ A v90°.& B解析：■—r—由余弦定理得cos A= 1，从而sin A = 3，则AC边上的高BD = 3"2 2 29. A解析：3丄 3 3由 a + b c= c2二a3+ b3—c3= (a + b —c) c2= a3+ b3—c2(a + b) = 0= a + b—c(a+ b)( a2+ b2—ab —c2) = 0.a +b > 0,2 2 2二a2+ b2—c2—ab= 0. (1)由余弦定理(1)式可化为2 2 2 2a +b —(a + b —2abcos C) —ab = 0,1得cos C = —, Z C= 60°.2a b c asi n60 bsin60由正弦疋理= = ，得sin A= , sin B =si nA sinB sin 60” c c •sin A・sin B=西呼上=3,c2 4•卑=1, ab= c2. 将ab= c2代入(1)式得，a2+ b2—2ab= 0,即(a —b) 2= 0, a = b. c △ ABC是等边三角形.10. D解析：由正弦定理得sin A=asir|B，①中sin A= 1,②中sin A =葺.分析后可知① b 9有一解，/ A = 90°②有两解，/ A可为锐角或钝角.二、填空题11. 60 或120 °解析：由正弦定理=—计算可得sin A = _3，/ A = 60°或120°sin A sin B 212. 等腰.解析：由已知得2sin Bsin C = 1 + cos A = 1—cos(B+ C),即2sin Bsin C= 1 —( cos Bcos C —sin Bsin C),••• cos(B —C) = 1,得/ B =Z C,•••此三角形是等腰三角形.13. i 21 或.61 .1 J3解：T S= — absin C ,• sin C= —，于是/ C= 60°或/ C = 120°.2 2又c2= a2+ b2—2abcos C,当/C = 60°时，c2= a2+ b2—ab, c = .21 ;当/C = 120°时，c2= a2+ b2+ ab, c= V61 .• c的长度为,21或61 .14. 10+ 5 3 .解析：由余弦定理可得c2= a2+ b2—2abcos C,然后运用函数思想加以处理.•/ 2X2—3x—2 = 0,--X1 2, x? —.2又cos C是方程2x2—3x— 2 = 0的一个根，cos C =—1.2由余弦定理可得c = a + b? —2ab • ( —) = (a + b) —ab,2a + c = 2b ,则 c 2= 100-a(10 — a) = (a -5)2+ 75, 当a = 5时，c 最小，且c = 175 = 5, 此时 a + b + c = 5+ 5 + 5 /3 = 10+ 5 “.； 3 , △ ABC 周长的最小值为 10+ 5 3 .15. 13. 解析：由正弦定理及 sin A : sin B : sin C = 2 : 5 : 6,可得 a : b : c = 2 : 5 设a = 2k , b = 5k , c = 6k (k > 0)，由余弦定理可得 ma 2+b 2-c 24k 2+36k 2 —25k 2 5cos B ===-, 2ab2[2k)( 6k)8sin B = , 1— cos 2 B = —39 .8 1由面积公式S AABC = ac sin B ,得2-• (2k ) • (6k ) •』=,284.k = 1,A ABC 的周长为 2k + 5k + 6k = 13k = 13.:6,于是可本题也可由三角形面积I(海伦公式)得13k (13k— 2k)(13k— 5k)(13k— 6k)2 2 2 23 .、39 4f - f -3,3923 \ 39即k =—4 4k = 1.a +b +c = 13k = 13.16. 6 : 5 : 4.解析：本例主要考查正、余弦定理的综合应用.由正弦定理得？= 泄=色岛 =2cos C ,即cos C = 2 , c si nC sinC 2c由余弦定理 cos C =a 2 +b 2 —c 22ab (a + c)( a — c)+ b 22abcos C =a2c2b( a — c)+ ba + c 2a + c2 a — c)+ -2 2ab2a2 a — c)+2a整理得 2a 2— 5ac + 3c 2 = 0. 解得a = c 或a = 3 c .23 A = 2/C ,「. a = c 不成立，a = c 23 c c a c 2 5^ 2 243 5a :b :c = c : c : c = 6 : 5 : 4.2 4 故此三角形三边之比为 6 : 5 : 4. 三、解答题17. b = 4^3 , c = 8,/ C = 90 ° / B = 60。

高中数学必修5第一章解三角形检测题及答案

解三角形第一章一、选择题，＝120°A，B两地的距离为10 km，B，C两地的距离为20 km，现测得∠ABC1．已知．则A，C两地的距离为()735kmkm C．1010km A．10 kmB．D10．bac )＝．＝，则△ABC是(2．在△ABC中，若BCAcoscoscos222 B．等边三角形A．等腰三角形D C．直角三角形．等腰直角三角形边的对角c＋b－c)＝3ab，则，3．三角形三边长为a，bc，且满足关系式(a＋b＋c)(a ．等于()D．120°60°A．15°B．45°C．∶＝1∶b∶c，∠ABC中，三个内角∠A，∠BC所对的边分别为a，b，c，且a4．在△3 )．2，则sin A∶sin B∶sin C＝(∶33332D．1∶C．1∶2∶∶A ．∶2∶1 B．2 ∶1 ∶的三个内角的正弦值，则BCABC的三个内角的余弦值分别等于△A5．如果△211212．)(都是锐角三角形和△ABCA．△ABC221211 BAC都是钝角三角形B．△ABC和△221121 C是锐角三角形AABC是钝角三角形，△B．△C212121是钝角三角形是锐角三角形，△CABCD．△AB21212132，∠B＝45°，则∠A为( a＝2＝，b )．中，．在△6ABC2 30°．D120°或60°．C60°．B 150°或30°．A．22有两个不等的实＝0)sin Cxsin )A＋2xsin B＋(1－x7．在△ABC中，关于x的方程(1＋)．根，则A为(D．不存在．锐角A B．直角C．钝角13 )．＝4，AC＝，则边AC上的高为(8．在△ABC中，AB＝3，BC332333 ．． B ． C D．A3222333cba－＋32．)＝·sin B，则△ABC一定是(c9．在△ABC中，＝，sin A c＋ab－4 ．等腰三角形BA．等边三角形．等腰三角形或直角三角形C．直角三角形D那b＝9．B＝60°，a＝10，b10．根据下列条件解三角形：①∠B＝30°，a＝14，＝7；②∠)．么，下面判断正确的是(B．①有两解，②也有两解．A．①只有一解，②也只有一解．D ．①只有一解，②有两解．．①有两解，②只有一解．C二、填空题3，则＝30°1a所对的边，若，∠＝B，b＝a11．在△ABC中，，b分别是∠A和∠B ．∠A的值是A2 C＝cos__________三角形．，则此三角形是．在△12ABC中，已知sin Bsin 2 ，aABC的面积．若＝4中∠A，∠B，∠C的对边，S是△b13．已知a，，c是△ABC3 ．，求cb ＝5，S＝的长度52周长的ABC＝0的一个根，求△－3x－2C中，14．△ABCa＋b＝10，而cos 是方程2x ．最小值C∶sin A∶sin Bb，∠C的对边分别为a，，c，且满足sin A15．在△ABC中，∠，∠B339，则△ABC的周长为．若△ABC ________________的面积为．∶＝2∶56416．在△ABC中，∠A最大，∠C最小，且∠A＝2∠C，a＋c＝2b，求此三角形三边之比为．三、解答题3b＝a＝4，解，，ab分别为∠A，∠B的对边，且＝．在△17ABC中，已知∠A30°3此三角形．对于山坡的18．如图所示，在斜度一定的山坡上的一点A测得山顶上一建筑物顶端C为CD，建筑物的高，又从点，向山顶前进斜度为15°100米后到达点BB测得斜度为45°? 50．米．求此山对于地平面的倾斜角)(第题18，cos Bc(2a－)bCB，∠的对边分别为a，b，c，若cos C＝A19．在△ABC中，∠，∠的大小；求∠B(Ⅰ)7，a＋c＝4若Ⅱ)b，求△＝ABC的面积．(22)?B(sinAba?20．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，求证：＝．2csinC参考答案一、选择题D．1222ABCBCcosBC∠－2AB解析：ACAB＝·＋22 10×＋2020cos 120°－2＝10×＝700．7 10．AC＝B ．2bacCsinsinABsin＝及正弦定理，得解析：由，由＝2倍角＝＝CBACABcoscoscoscoscoscos222222CBA ＝∠B＝∠C．的正弦公式得＝＝，∠Asinsinsin222C3．ab，c)＝3)(解析：由(a＋b＋ca＋b－222．＝c得a＋bab－222c?b?a1 ＝．cos C＝∴ab22 60°．故C＝D4．3∶2∶．sin B∶C＝1 解析：由正弦定理可得a∶b∶c＝sin A∶sin5．D解析：△ABC的三个内角的余弦值均大于0，则△ABC是锐角三角形．111111ππ??sinA＝cosA ＝sin(－A)A＝－A??1211222??ππ??sinB＝cosB＝sin(－B)B＝－B，，得BAC 不是钝角三角形，由若△??2221121222??ππ??－＝C－C)C＝sinCcosC＝sin(11212??22??π3π－(A ＋B＋C)＝，与A＋B＋C＝π矛盾．＝C＋＋A那么，B22121222122所以△ABC是钝角三角形．222C．6．2?23Babasin3 2 ＝＝＝解析：由，A＝，得sin 2bsinsinBA22 ，b＜a而．A＝120°∴有两解，即∠A＝60°或∠A．72＝0．sin B＋sin A＋(sin A－sin C)xC＋2xsin 解析：由方程可得∵方程有两个不等的实根，222＞0－sin．∴4sinC B－4(sin) Acab222＞a由正弦定理0＋c＝＝，代入不等式中得b，－CBsinsinAsin2220－a．cos 再由余弦定理，有2acA＝b＞＋c 90°．∴0＜∠A＜B8．3331＝．ACA＝边上的高BD，从而sin A＝，则解析：由余弦定理得cos 222A 9．333cba－＋23232333(a＋b解析：由＝ca)＋bc－c＝(a＋b－c)0a＝＋b－c???c－＋ba222)＝0c．＋b －aba(＋b)(a－∵a＋b＞0，222－ab＝0．a＋b －c (1) ∴由余弦定理(1)式可化为2222－2abcos C)－(－aab＋b＝0a，＋b1，∠C＝60°．得cos C＝2?60bbasin60?sinac BA＝，sin ＝，由正弦定理＝＝，得sinAsincBsinc?sin602)?sin60ab(3∴sin A·sin B＝＝，24cab22222＝0，a＝b)－(0abb式得，1cab＝，＝∴1abc．将＝代入()a＋－2＝，即ab．2c 是等边三角形．ABC△．D10．35Basin．分析后可知①，①中sin A＝1，②中解析：由正弦定理得sin A＝sin A＝9b ；②有两解，∠有一解，∠A＝90°A可为锐角或钝角．二、填空题11．60°或120°．ba3 ＝，∠A60°或120°＝解析：由正弦定理计算可得sin A．＝BAsinsin2 ．等腰．12 C)，(1解析：由已知得2sin Bsin C＝＋cos A＝1－cosB＋Ccos 2sin 即Bsin C＝1－(BcosC－sin Bsin )，∴cos(B，C1＝，得∠B＝∠－C)此三角形是等腰三角形．∴61 13．．或2131 ＝120°．，于是∠＝C＝60°或∠C解：∵S＝Csin abC，∴sin 22222 2abcos 又ca＝C＋b，－222＝c，＝ac＋b；－ab时，当∠C＝60°2122261 ．a＝＋bab＋，c当∠C＝120°时，c＝61 的长度为．或∴c213．510＋14．222－2abcos a＝C＋b，然后运用函数思想加以处理．解析：由余弦定理可得c2－3x－2x＝0，∵21．＝－，x＝2x∴2122－3x－2＝C是方程2x0的一个根，又cos 1．C＝－∴cos 212222－2abbc由余弦定理可得，)＋()＝ab－ab ＝a＋·(－2．22－5)a，＋75a(10－a)＝则c(＝100－375 ＝c，＝5当a＝5时，c最小，且33 ＋c＝5＋5＋5510＝＋，此时a＋b3 5．∴△ABC周长的最小值为10＋．15．13，于是可5∶65∶6，可得a∶b∶c＝2∶C解析：由正弦定理及sin A∶sin B∶sin ＝2∶kkkk＝5＝，c6)(，由余弦定理可得＞设a＝20，b222222k－4k25＋36k c＋ab－5 ，cos B＝＝＝)k2(2k)(6ab28392B1cos－＝B＝．∴sin 81 BS＝，得ac sin 由面积公式ABC△2393391kk，2·)·(6)＝·(842kkkkk．＋6＝＝13∴，△＝1ABC的周长为213＋5393k13kk1313k13＝得，(海伦公式)本题也可由三角形面积－－－))(k2k)(6(5k422223933932kk即1．＝，∴＝44k＝13．b＋c＝13a ∴＋16．6∶5∶4．解析：本例主要考查正、余弦定理的综合应用．sin2CaAasin＝＝＝2cos C，即cos C＝，由正弦定理得csinC2csinC2222b ＋－c)＋(ac)(a＋ba－c由余弦定理cos C＝＝．2ab2ab∵a＋c＝2b，a＋ca＋c2?(a－c)＋)a2b(－c＋b22＝cos C＝∴，2ab2aa＋c＋)ca2(－a 2 ．＝∴a2c2．22 0c．＝整理得2aac－5＋33 ca＝．解得a＝c或23＝a＝c不成立，，∴c ∵∠A＝2∠C a23c?c5a?c2＝，∴b＝＝c24253 ∶4．c∶∶c＝6∶∴a∶b∶c＝5c24 4．∶故此三角形三边之比为65∶三、解答题33 ．＝120°＝4，∠C＝30°，∠＝8，∠C＝90°，∠B＝60°或b＝B4，17．b＝c4c，3344ba3 ＝．4解：由正弦定理知sin B＝＝＝，b??Asin2Bsin?sinsin30B30°＝120°或∠CB＝60°或∠B ＝c∠C＝90°c＝8或＝4．∠???中利用正弦定理求出＝ABC，这样可在△18．分析：设山对于地平面的倾斜角∠EAD????角．；再在△BCD中，利用正弦定理得到关于的三角函数等式，进而解出BC100米，＝15°，AB＝解：在△ABC中，∠BAC 30°．45°－15°＝ACB∠＝BC100 根据正弦定理有，＝?15sin30?sin?sin15100)题(第18．∴BC＝?sin30?15100sin??＋，＝＝45°＝中，∵CD50，BC＝，∠CDB90°，∠CBDBCD又在△?30sin?15100sin50?sin30 ．根据正弦定理有＝?)＋(90?sin?45sin????3≈42.94°．＝－1?解得cos，∴∴山对于地平面的倾斜角约为42.94°．19．解：(Ⅰ)由已知及正弦定理可得sin Bcos C＝2sin Acos B－cos Bsin C，)．(＝sinB＋C＝sin Bcos C＋cos Bsin C2sin ∴Acos B 0，)＝sin A≠又在三角形ABC中，sin(B ＋Cπ1．，B＝，即Acos B＝sin Acos B＝∴2sin 3222222，＋c－－2accos B，∴7＝a＋cac)(Ⅱ∵ba＝7＝1222＋2ac，∴ac＝3，∴S＝，ac又 (a＋c)16＝＝asin ＋cB ABC△21333·＝3．S即＝·ABC△24220．分析：由于所证明的是三角形的边角关系，很自然联想到应用正余弦定理．222222－2accos ＋cB；－2bccos Ab得＝解：由余弦定理aa＝b＋c2222－2bccos A＋2＝bac－acos Ba，－b22)＝－2bccos A＋b2accos B，∴2(a －22b－a－bcosA＋acosB＝．2cc由正弦定理得a＝2R sin A，b＝2R sin B，c＝2R sin C，22b－a－bcosA＋acosB∴＝2ccsinAcosB－sinBcosA＝sinCsin(A－B)．＝sinC故命题成立．。

必修5第一章解三角形测试题

错误!未定义书签。

必修5第一章解三角形测试题命题人：常志国一、选择题（本大题共12小题，每小题5分,共60分）1．在△ABC中，若a 2＝b2＋c2－bc,则角A为(）A.错误! B。

错误!C。

错误! D.错误!或错误!2。

已知圆的半径为4，a、b、c为该圆的内接三角形的三边，若abc＝16错误!，则三角形的面积为(）A. 22B。

8 错误!C。

错误!D。

错误!3.如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为(）A. 错误!B.错误!C。

错误! D.错误!4.已知△ABC中，b＝2,c＝错误!，三角形面积S＝错误!,则角A等于()A．30°B．60°C．30°或150°D．60°或120°5．从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α、β的关系为()A．α＞βB．α＝βC．α＋β＝90°D．α＋β＝180°6。

满足A＝45°,c＝错误!，a＝2的△ABC的个数记为m，则a m的值为()A.4B.2C.1D.不确定7．△ABC中，下列结论：①a2＞b2＋c2，则△ABC为钝角三角形;②a2＝b2＋c2＋bc,则∠A为60°;③a2＋b2＞c2，则△ABC为锐角三角形；④若∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3，则a∶b∶c＝1∶2∶3，其中正确的个数为（)A．1B．2 C．3D．48.在△ABC 中，a ，b ,c 分别是角A ，B ，C 的对边，且2cos 22A b c c+=，则△ABC 是 ( ) A 。

直角三角形 B.等腰三角形或直角三角形C.正三角形 D 。

等腰直角三角形9．在△ABC 中，内角A,B ，C 的对边分别是,,a b c ，若223a b bc -=，sin 23sin C B =，则A 等于（）A.030B.060 C 。

高中数学必修五第一章《解三角形》单元测试题(含答案)教学内容

22． (12 分)设函数 f(x)＝ cos(2x＋3π)＋sin2x. (1)求函数 f(x)的最大值和最小正周期； (2)设 A，B，C 为△ ABC 的三个内角，若 cosB＝13，f(C2 )＝－ 14，且 C 为锐角，求 sinA.
高中数学必修五第一章单元测试题
《解三角形》参考答案
一、选择题 (本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 )
21． (12 分)如图，
A，B，C，D 都在同一个与水平面垂直的平面内， B，D 为两岛上的两座灯塔的塔顶．测量船于水面 A 处测得 B 点和 D 点的仰角分别为 75°，30°，于水面 C 处测得 B 点和 D 点的仰角均为 60 °，AC＝0.1 km.试探究图中 B，D 间距离与另外两点间距离哪个相等，然后求 B， D 的距离 (计算结果精确到 0.01 km， 2＝ 1.414， 6≈ 2.449)．
C．asinC＝ csinA a2＋ c2－b2
D．cosB＝ 2abc
2．已知锐角△ ABC 的面积为 3 3，BC＝4，CA＝3，则角 C 的大小为 ( )
A．75° C．45°
B． 60° D．30°
3．已知△ ABC 中， c＝6，a＝4，B＝120°，则 b 等于 ( )
A．76
B． 2 19
三、解答题 (本大题共 6 个小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ) 17． (10 分)已知 A， B， C 为△ ABC 的三个内角，且其对边分别为 a， b， c，若 cosBcosC
1 － sinBsinC＝ 2.
(1)求 A； (2)若 a＝2 3， b＋ c＝ 4，求△ ABC 的面积．

高中数学必修5第一章解三角形测试题015

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